Ejercicios Resueltos Integral Definida
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Ejercicios resueltos 1
Conocimientos bsicos de Matemticas. Bloque 4. Clculo. Tema 7. Integral Definida
MATEMTICA APLICAD - Universidad ZaragozaAna Allueva Jos Luis Alejandre Jos Miguel GonzlezGG33ww
Bloque 4. Clculo
Tema 7 Integral DefinidaEjercicios resueltos
4.7-1Resuelve las siguientes integrales definidas:
)a x dx2
2
03
)xb e dx
1
0
)e
c dxx1
1
)d x x x x dx1
2 3 41 2 5
)e dx
x
3
2
1
1
)
xdx
x x
2
21
2 1
)g senxdx2
0
)h dx
x
1
20
1
1
)i dxx x5
2 11 2
)
xj dx
x
1
40 1
Solucin
)a x dx x2 22 3 3 3
003 2 0 8 0 8
)x xb e dx e e e e
1 1 1 0
001
) ln ln lne e
c dx x ex 11
11 1 0 1
)d x x x x dx x x x x
11
2 3 4 2 3 4 5
11
1 2 12 5
2 3 4
1 2 1 1 2 1 2 2 4 101 1 1 1 2
2 3 4 2 3 4 3 3 3 3
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)e dx
x
3
2
1
1
t x t
dx dt t dt C x C
dt dxx t
1 21 211 1 2 1
1 21
dx x
x
33
2 2
12 1 2 2 2 1 2 2 2
1
)
xdx
x x
2
21
2 1
x x A Bdx dx dx dx
x x x x x x2
2 1 2 1
1 1
x A Bx A x B x
x x x x
2 12 1 1
1 1
x AA B
x B
0 11
1 1
ln lnx
dx dx dx x xx x x x
2 2 2 2
2 11 1 1
2 1 1 11
1
ln ln ln ln ln ln ln ln2 3 1 2 2 3 2 3
) cos cos cosg senxdx x2 2
002 0 1 1 0
)h dx arctagx arctag arctagx
1 1
2 00
11 0 0
1 4 4
)i dx
x x
5
2
1
1 2
A B
dx dx dxx x x x
1
1 2 1 2
A BA x B x
x x x x
11 2 1
1 2 1 2
x AA B
x B
1 1 3 1 1
2 1 3 3 3
-
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ln lndx dx x xx x x x
5 5 5
22 2
1 1 1 1 11 2
1 2 3 1 2 3
ln ln ln ln ln ln ln ln ln1 1 1 1 1 2 1
4 7 1 4 4 7 4 4 7
3 3 3 3 3 3 3
)
xj dx
x
1
40 1
t xx
dx dt arctg t C arctg x Cx tdt xdx
22
4 2
1 1 1 1
1 2 1 2 22
xdx arctg x arctg arctg
x
112
40 0
1 1 1 1 11 0 0
1 2 2 2 2 4 2 8
4.7-2 Calcula el rea de la regin limitada por las siguientes grficas:
)
( )
a y x
y EJE OX
x
x
1
0
0
1
)
( )
b y x
y EJE OX
x
x
2 1
0
1
2
)
( )
c y x
y EJE OX
x
x
3
0
0
2
)
( )
d y x
y x
EJE OX
2
2
0
)
( )
e y x x
y EJE OX
x
x
2 2
0
0
1
) cos
( )
f y x
y EJE OX
x
x
0
2
3 2
)g y x
x
2
)h y x x
y x x
2
2
6
2
Solucin
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)
( )
a y x
y EJE OX
x
x
1
0
0
1
A x dx1
01
x x
1
2
0
1
2
1 31 0
2 2
)
( )
b y x
EJE OX
x
x
2 1
0
1
2
A x dx2
2
11
x x
2
3
1
1
3
8 12 1
3 3
7 101
3 3
- 3 - 2 - 1 1 2 3
- 1
1
2
3
4
5
y x2 1
x 1
y 0
x 2
- 4 - 3 - 2 - 1 1 2 3 4
- 4
- 3
- 2
- 1
1
2
3
y 0
x 0 x 1
y x 1
-
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)
( )
c y x
y EJE OX
x
x
3
0
0
2
A x dx x2
23 4
00
1 160 4
4 4
)
( )
d y x
y x
y EJE OX
2
2
0
A
1 1 1 3 50 2 4 2 2
3 2 3 2 6
1 2 3
2
4
6
8
y x3
x 0
y 0
x 2
- 2 - 1 1 2
1
2
3
4
5
y 0
y x2
y x 2
Puntos de corte:
x x x x2 22 2 0
,x 1 2
A x dx x dx1 2
2
0 12
x xx
1 23 2
0 1
23 2
-
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)
( )
e y x x
y EJE OX
x
x
2 2
0
0
1
x x
A x x dx x
13 21
2
00
1 1 132 2 2 0
3 2 3 2 6
) cos
( )
f y x
y EJE OX
x
x
0
2
3 2
cosA xdx senx sen sen
3 2 3 2
22
31 1 2
2 2
- 1. 5 - 1 - 0. 5 0. 5 1 1. 5 2 2. 5
- 2. 5
- 2
- 1. 5
- 1
- 0. 5
0. 5
1
x 0
y 0
y x x2 2
x 1
2
1
x 2
y 0
x 3 2
cosy x
- 1
-
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0. 5 1 1. 5
- 0. 5
- 0. 25
0. 25
0. 5
0. 75
1
1. 25
. 5
y x
y x2
- 1 1 2 3 4 5 6
2
4
6
8
x x2 2
y x x2 6
)g y x
x
2
Puntos de corte:
,x x x x x x x2 2 0 1 0 0 1
x x
A x x dx
12 31
2
00
1 1 10
2 3 2 3 6
)h y x x
y x x
2
2
6
2
Puntos de corte:
x x x x2 26 2
x x x x22 8 0 4 0
,x 0 4
A x x x x dx
42 2
0
6 2
x dx4
2
02 8
x x43 2
0
2 83 2
128 6464 0
3 3
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- 1 1
1
y x21 x 1 x 1
- 1 1
- 1
1
1 2 3 4
- 0. 5
0. 5
1
1. 5
y x x21
22
y x1
2
4.7-3 Calcula el volumen del slido de revolucin generado al girar alrededordel eje OX las siguientes grficas:
)a y x
x
x
21
1
1
)b y x x
y x
21 2
21
2
)c y
yx
x
3
00
5
Solucin
)a y x
x
x
21
1
1
V x dx
x x dx
x xx
1 22
1
12 4
1
13 5
1
1
1 2
2
3 5
2 1 2 11 1
3 5 3 5
4 2 162
3 5 15
)b y x x
y x
21 22
1
2
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0y
0x
3y
5x
Puntos de corte:
,x x
x x x x x x x x x2
2 22 4 3 0 3 0 0 32 2
Se calcula el volumen generado por la grfica de arriba (volumen lleno) yse le resta el volumen generado por la grfica de abajo (volumen delagujero):
x x x xV x dx dx x x dx dx
x x x xx x dx
2 22 4 23 3 3 3
3 2
0 0 0 0
34 5 4 3
33 2
00
2 2 42 2 4 4
15 52
4 4 20 2 4
243 81 135 243 810 675 108 27020 2 4 20 20 5
)c y
y
x
x
3
0
0
5
V dx dx x5 5 52
00 03 9 9 45 0 45
