Ejercicios resueltos Resistencia de materiales

Resistencia de Materiales

Presentado por:

Javier Fuentes Fuentes

Juan Carlos Heredia Rojas

Presentado a:

Alfonso Rodríguez Peña

Universidad del Atlántico

Ingeniería Mecánica

11 Junio 2015

EJERCICIO (A)

Diagrama de cuerpo libre:

+↺ 𝑀𝐵 = 0: − 𝐴𝑌 4 + 1000 2 = 0

⟹ 𝐴𝑌 = 500

+↺ 𝑀𝐷 = −𝐴𝑌 𝑋 + 𝑀1 = 0

⟹ 𝑀1 = 500 𝑋

𝐸𝐼𝑑2𝑦1

𝑑𝑥2 = 500 𝑋

𝐸𝐼𝑑𝑦1

𝑑𝑥= 𝐸𝐼𝜃1 = 250 𝑋2 + 𝐶1 (1)

𝐸𝐼𝑦1 = 83,333 𝑋3 + 𝐶1 𝑋 + 𝐶2 (2)

2m

A B

1000 N

2m

2m

A B

1000 N

AX

AY BY 2m

A

AY

M1

V1

D

X

+↺ 𝑀𝐸 = −𝐴𝑌 𝑋 + 1000 𝑋 − 2 + 𝑀2 = 0

⟹ 𝑀2 = 𝐴𝑌 𝑋 − 1000 𝑋 + 2000

𝑀2 = −500 𝑋 + 2000

𝐸𝐼𝑑2𝑦2

𝑑𝑥2= −500 𝑋 + 2000

𝐸𝐼𝑑𝑦2

𝑑𝑥= 𝐸𝐼𝜃2 = −250 𝑋2 + 2000 𝑋 + 𝐶3 (3)

𝐸𝐼𝑦2 = −83,333 𝑋3 + 1000 𝑋2 + 𝐶3 𝑋 + 𝐶4 (4)

X-2

A

1000 N

AY

M2

V2

E

X

(X=0, Y1=0)

(X=2, Y1= Y2) (X=2, ϴ1= ϴ2)

(X=4, Y2=0)

Y

X

2m 2m

A B

1000 N

𝑋 = 0, 𝑌1 = 0 𝑒𝑛 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 (2)

𝐸𝐼 𝑌1 = 83,333 𝑋3 + 𝐶1 𝑋 + 𝐶2

𝐶2 = 0 (5)

𝑋 = 2, 𝜃1 = 𝜃2 𝑠𝑒 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑎𝑛 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 1 𝑦 3 :

250 22 + 𝐶1 = −250 22 + 2000 2 + 𝐶3

𝐶1 = 𝐶3 + 2000 (6)

𝑋 = 2, 𝑌1 = 𝑌2 𝑠𝑒 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑎𝑛 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 2 𝑦 4 :

83,333 23 + 𝐶1 2 + 𝐶2 = −83,333 23 + 1000 22 + 𝐶3 2 + 𝐶4

666,664 + 2𝐶1 + 𝐶2 = 3333,336 + 2𝐶3 + 𝐶4 (7)


𝐸𝐼 0 = −83,333 43 + 1000 42 + 𝐶3 4 + 𝐶4

𝐶4 = −10666,688 − 4𝐶3 (8)

𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎𝑠 𝑒𝑐. 5 , 6 𝑦 8 𝑒𝑛 𝑒𝑐. 7 :

666,664 + 2 𝐶3 + 2000 + 0 = 3333,336 + 2𝐶3 + (−10666,688 − 4𝐶3)

𝐶3 = −12000,016 (9)

𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑒𝑐. 9 𝑒𝑛 6 :

𝐶1 = (−12000,016) + 2000

𝐶1 = −10000,016 (10)


𝐶4 = −10666,688 − 4(−12000,016)

𝐶4 = 37333,376 (11)

𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝐶𝑢𝑟𝑣𝑎 𝐸𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎

𝑃𝑎𝑟𝑎 0 ≤ 𝑋 ≤ 2

𝐸𝐼𝜃1 = 250 𝑋2 − 10000,016

𝐸𝐼𝑦1 = 83,333 𝑋3 − 10000,016 𝑋

𝑃𝑎𝑟𝑎 2 ≤ 𝑋 ≤ 4

𝐸𝐼𝜃2 = −250 𝑋2 + 2000 𝑋 − 12000,016

𝐸𝐼𝑦2 = −83,333 𝑋3 + 1000 𝑋2 − 12000,016 𝑋 + 37333,376

Método de singularidad

Haciendo momento en B tenemos que:

𝑀𝐵 = 0 → 𝐴𝑌𝑋 + 𝑃 𝑋 − 2 1 + 𝑀 = 0

𝑀(𝑥) = 𝐴𝑌𝑋 + 𝑃 𝑋 − 2 1

𝐸𝐼𝜃 =𝐴𝑌𝑋

2

2−

𝑃 𝑋 − 2 2

2+ 𝐶1 (1)

𝐸𝐼𝑦 =𝐴𝑌𝑋

3

6−

𝑃 𝑋 − 2 3

6+ 𝐶1𝑋 + 𝐶2 (2)

Evaluando en la ecuación (2) X=0; y=0

0 = 0 + 0 + 𝐶2

𝐶2 = 0

Evaluando la ecuación 2 cuando X=4; y=0

Nos queda que:

0 =500 4 3

6−

1000 2 3

6+ 4𝐶1

𝐶1 = −1000

𝐸𝐼𝜃 =𝑋2

2𝐴𝑌 −

𝑃

2 𝑋 − 2 2 + 1000

La ecuación de la curva elástica por el método de singularidad es:

𝐸𝐼𝑦 = 83,333𝑋3 − 166,666 𝑋 − 2 3 + 1000𝑋

EJERCICIO (B)

𝑃𝑜𝑟 𝑠𝑖𝑚𝑒𝑡𝑟í𝑎: 𝐴𝑦 = 𝐵𝑦 = 3 𝑘𝑁

+↺ 𝑀𝐶 = −𝐴𝑌 𝑥 + 𝑀1 = 0

⟹ 𝑀1 = 3000 𝑥

𝐸𝐼𝑑2𝑦1

𝑑𝑥2 = 3000 𝑥

𝐸𝐼𝑑𝑦1

𝑑𝑥= 𝐸𝐼𝜃1 = 1500 𝑥2 + 𝐶1 (1)

𝐸𝐼𝑦1 = 500 𝑥3 + 𝐶1 𝑥 + 𝐶2 (2)

2m 1m 1m

A B

30 kN/m

2 m 1 m 1 m

A B

3 kN/m

6 kN

AX

AY BY

2 m

A

AY

M1

V1

C

X

+↺ 𝑀𝐷 = −𝐴𝑌 𝑥 +

3000 𝑥 − 1 (𝑥−1

2) + 𝑀2 = 0

⟹ 𝑀2 = 1500(𝑥2) + 1500

𝐸𝐼𝑑2𝑦2

𝑑𝑥2 = 1500 𝑥2 + 1500

𝐸𝐼𝑑𝑦2

𝑑𝑥= 𝐸𝐼𝜃2 = 500 𝑥3 +

1500 𝑥 + 𝐶3 (3)

𝐸𝐼𝑦2 = 125 𝑥4 + 750 𝑥2 +

𝐶3 𝑥 + 𝐶4 (4)

+↺ 𝑀𝐸 = −𝐴𝑌 𝑥 + 6000 𝑥 − 2 + 𝑀3 = 0

⟹ 𝑀3 = 3000 𝑥 − 6000 𝑥 + 12000

⟹ 𝑀3 = −3000 𝑥 + 12000

𝐸𝐼𝑑2𝑦3

𝑑𝑥2= −3000 𝑥 + 12000

𝐸𝐼𝑑𝑦3

𝑑𝑥= 𝐸𝐼𝜃3 = −1500 𝑥2 + 12000(𝑥) + 𝐶5 (5)

𝐸𝐼𝑦3 = −500 𝑥3 + 6000(𝑥2) + 𝐶5(𝑥) + 𝐶6 (6)

M2

A

AY

V2

D

X

X-1

(X-1)/2

3000(X-1)

X

X-2

A E

AY (X-3)

M3

V3

1 m

3 kN/m

6 kN


𝐸𝐼(0) = 500 0 + 𝐶1 0 + 𝐶2

𝐶2 = 0 (7)


1500 22 + 𝐶1 = 500 23 + 1500 2 + 𝐶3

𝐶1 = 𝐶3 + 1000 (8)


500 23 + 𝐶1 2 + 𝐶2 = 125 24 + 750 22 + 𝐶3 2 + 𝐶4

4000 + 2𝐶1 = 5000 + 2𝐶3 + 𝐶4 (9)


500 33 + 1500 3 + 𝐶3 = −1500 32 + 12000(3) + 𝐶5

18000 + 𝐶3 = 22500 + 𝐶5 (10)

2m 1m 1m

A B

30 kN/m

(X=0, Y1=0) (X=1, Y1= Y2) (X=1, ϴ1= ϴ2)

(X=3, Y2= Y3) (X=3, ϴ2= ϴ3)

(X=4, Y3=0)

Y

X


125 34 + 750 32 + 𝐶3 3 + 𝐶4 = −500 33 + 6000(32) + 𝐶5(3) + 𝐶6

16875 + 3𝐶3 + 𝐶4 = 40500 + 3𝐶5 + 𝐶6 (11)

𝑋 = 4, 𝑌3 = 0 𝑒𝑛 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 6 :

𝐸𝐼(0) = −500 43 + 6000(42) + 𝐶5(4) + 𝐶6

0 = 64000 + 4𝐶5 + 𝐶6 (12)

𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑐. 10 : 𝐶3 = 𝐶5 + 4500

𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎𝑠 𝑒𝑐. 10 𝑦 8 𝑒𝑛 𝑒𝑐. 9 :

4000 + 2(𝐶3 + 1000) = 5000 + 2𝐶3 + 𝐶4

4000 + 2𝐶3 + 2000 = 5000 + 2𝐶3 + 𝐶4

4000 + 2(𝐶5 + 4500) + 2000 = 5000 + 2(𝐶5 + 4500) + 𝐶4

4000 + 2𝐶5 + 9000 + 2000 = 5000 + 2𝐶5 + 9000 + 𝐶4

𝐶4 = 1000 (13)

𝑑𝑒 𝑒𝑐. 12 : 𝐶6 = −64000 − 4𝐶5

𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 10 , 12 𝑦 (13) 𝑒𝑛 11 :

16875 + 3 𝐶5 + 4500 + (1000) = 40500 + 3𝐶5 + (−64000 − 4𝐶5)

𝐶5 = −13718,75 (14)

𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 14 𝑒𝑛 12 :

𝐶6 = −64000 − 4(−13718,75)

𝐶6 = −9125 (15)


𝐶3 = (−13718,75) + 4500

𝐶3 = −9218,75 (16)


𝐶1 = (−9218,75) + 1000

𝐶1 = −8218,75 (17)

𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝐶𝑢𝑟𝑣𝑎 𝐸𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎

𝑃𝑎𝑟𝑎 0 ≤ 𝑋 ≤ 1

𝐸𝐼𝜃1 = 1500 𝑥2 − 8218,75

𝐸𝐼𝑦1 = 500 𝑥3 − 8218,75 𝑥

𝑃𝑎𝑟𝑎 1 ≤ 𝑋 ≤ 3

𝐸𝐼𝜃2 = 500 𝑥3 + 1500 𝑥 − 9218,75

𝐸𝐼𝑦2 = 125 𝑥4 + 750 𝑥2 − 9218,75 𝑥 + 1000

𝑃𝑎𝑟𝑎 3 ≤ 𝑋 ≤ 4

𝐸𝐼𝜃3 = −1500 𝑥2 + 12000(𝑥) − 13718,75

𝐸𝐼𝑦3 = −500 𝑥3 + 6000(𝑥2) − 13718,75(𝑥) − 9125

EJERCICIO (C)

Hallar Ecuación de la curva elástica

Diagrama de Cuerpo libre:

+↺ 𝑀𝐵 = 0: − 𝐴𝑌 4 + 1000 2 + 30 ∗ 103 0,5 = 0

⟹ 𝐴𝑌 = 4250

+↺ 𝑀𝐸 = −𝐴𝑌 𝑋 + 𝑀1 = 0

⟹ 𝑀1 = 4250 𝑋

𝐸𝐼𝑑2𝑦1

𝑑𝑥2 = 4250 𝑋

𝐸𝐼𝑑𝑦1

𝑑𝑥= 𝐸𝐼𝜃1 = 2125 𝑋2 + 𝐶1 (1)

𝐸𝐼𝑦1 = 708,333 𝑋3 + 𝐶1 𝑋 + 𝐶2 (2)

2m 1m 1m

A B

1000 N 30 kN/m

2m 1m 1m

A B

1000 N

30 kN

AX

AY BY

0,5m

A

AY

M1

V1

E

X

+↺ 𝑀𝐹 = −𝐴𝑌 𝑋 + 1000 𝑋 − 2 + 𝑀2 = 0

⟹ 𝑀2 = 𝐴𝑌 𝑋 − 1000 𝑋 + 2000

𝑀2 = 3250 𝑋 + 2000

𝐸𝐼𝑑2𝑦2

𝑑𝑥2= 3250 𝑋 + 2000

𝐸𝐼𝑑𝑦2

𝑑𝑥= 𝐸𝐼𝜃2 = 1625 𝑋2 + 2000 𝑋 + 𝐶3 (3)

𝐸𝐼𝑦2 = 541,667 𝑋3 + 1000 𝑋2 + 𝐶3 𝑋 + 𝐶4 (4)

+↺ 𝑀𝐺 = −𝐴𝑌 𝑋 + 1000 𝑋 − 2 + 30 ∗ 103 𝑋 − 3 (𝑋 − 3)

2+ 𝑀3 = 0

X-2

A

1000 N

AY

M2

V2

F

X

X

X-2

A G

1000 N

30(X-3)

AY

(X-3)/2

(X-3)

M3

V3

⟹ 𝑀3 = 4250 𝑋 − 1000 𝑋 − 2 − 30 ∗ 103

2 𝑋 − 3 2

⟹ 𝑀3 = 4250 𝑋 − 1000 𝑋 + 2000 − 15 ∗ 103 𝑋 2 + 90 ∗ 103 𝑋 + (135

∗ 103)

⟹ 𝑀3 = − 15 ∗ 103 𝑋 2 + (93,250 ∗ 103) 𝑋 + (137 ∗ 103)

𝐸𝐼𝑑2𝑦3

𝑑𝑥2= − 15 ∗ 103 𝑋 2 + (93,250 ∗ 103) 𝑋 + (137 ∗ 103)

𝐸𝐼𝑑𝑦3

𝑑𝑥= 𝐸𝐼𝜃3 = − 5 ∗ 103 𝑋 3 + 46,625 ∗ 103 𝑋 2 + 137 ∗ 103 𝑋 + 𝐶5 (5)

𝐸𝐼𝑦3 = − 1,25 ∗ 103 𝑋 4 + 15,542 ∗ 103 𝑋 3 + 68,5 ∗ 103 𝑋 2 + 𝐶5 𝑋 + 𝐶6 (6)


𝐸𝐼 𝑌1 = 708,333 𝑋3 + 𝐶1 𝑋 + 𝐶2

𝐶2 = 0 (7)


𝐸𝐼 𝑌3 = − 1,25 ∗ 103 𝑋4 + 15,542 ∗ 103 𝑋3 + 68,5 ∗ 103 𝑋2 + 𝐶5 𝑋 + 𝐶6

0 = 1770688 + 4𝐶5 + 𝐶6 (8)

2m 1m 1m

A B

1000 N 30 kN/m

(X=0, Y1=0)

(X=2, Y1= Y2) (X=2, ϴ1= ϴ2)

(X=3, Y2= Y3) (X=3, ϴ2= ϴ3)

(X=4, Y3=0)

Y

X


2125 22 + 𝐶1 = 1625 22 + 2000 2 + 𝐶3

𝐶1 = 𝐶3 + 2000 (9)


708,333 23 + 𝐶1 2 + 𝐶2 = 541,667 23 + 1000 𝑋2 + 𝐶3 𝑋 + 𝐶4

𝐶4 = 2𝐶1 − 2666,672 − 2𝐶3 (10)


1625 32 + 2000 3 + 𝐶3 = −5000 33 + 46625 32 + 137000 3 + 𝐶5

𝐶3 = 675000 + 𝐶5 (11)


541,667 33 + 1000 32 + 𝐶3 3 + 𝐶4

= −1250 3 4 + 15542 3 3 + 68500 3 2 + 𝐶5 3 + 𝐶6

23625,009 + 3𝐶3 + 𝐶4 = 934884 + 3𝐶5 + 𝐶6 (12)


𝐶4 = 2 𝐶3 + 2000 − 2666,672 − 2𝐶3

𝐶4 = 1333,328 (13)

𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑐. 8 𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠: 𝐶6 = −4𝐶5 − 1770688

𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎𝑠 𝑒𝑐. 13 , 11 𝑦 8 𝑒𝑛 12 :

23625,009 + 3 675000 + 𝐶5 + 1333,328 = 934884 + 3𝐶5 + (−4𝐶5 − 1770688)

𝐶5 = −721440,584 (14)

𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑒𝑐. 14 𝑒𝑛 (11)

𝐶3 = 675000 + (−721440,584)

𝐶3 = −46440,584 (15)

𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑒𝑐. 14 𝑒𝑛 𝑒𝑐. 8 :

0 = 1770688 + 4𝐶5 + 𝐶6

𝐶6 = 1115074,336 (16)

𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑒𝑐. 15 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑒𝑐. 9 :

𝐶1 = −46440,584 + 2000

𝐶1 = −44440,584 (17)

𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑢𝑟𝑣𝑎 𝑒𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎:

𝑃𝑎𝑟𝑎 0 ≤ 𝑋 ≤ 2

𝐸𝐼 𝜃1 = 2125 𝑋2 − 44440,584

𝐸𝐼 𝑌1 = 708,333 𝑋3 − 44440,584(𝑋)

𝑃𝑎𝑟𝑎 2 ≤ 𝑋 ≤ 3

𝐸𝐼 𝜃2 = 1625 𝑋2 + 2000(𝑋) − 46440,584

𝐸𝐼 𝑌2 = 541,667 𝑋3 + 1000 𝑋2 − 46440,584 𝑋 + 1333,328

𝑃𝑎𝑟𝑎 3 ≤ 𝑋 ≤ 4

𝐸𝐼 𝜃3 = −5000 𝑋3 + 46625 𝑋2 + 137000(𝑋) − 721440,584

𝐸𝐼 𝑌3 = −1250 𝑋4 + 15542(𝑋3) + 68500 𝑋2 − 721440,584 𝑋 + 1115074,337

Método de singularidad:

Haciendo momento en B encontramos la función de momento, la cual la integraremos

dos veces

𝑀𝐵 = 0 → 𝐴𝑦 4 + 1000 2 + 3000 0.5 = 0

𝐴𝑌 = 4250

𝑀 𝑥 = 𝐴𝑌𝑋 − 𝑃 𝑋 − 2 1 −𝑊0

2 𝑋 − 0 2 +

𝑊0

2 𝑋 − 1 2

𝐸𝐼𝜃 =𝐴𝑌𝑋2

2−

𝑃

2 𝑋 − 2 2 −

𝑊0

6 𝑋 − 0 3 +

𝑊0

6 𝑋 − 1 3 + 𝐶1 (1)

𝐸𝐼𝑦 =𝐴𝑌𝑋3

6−

𝑃

6 𝑋 − 2 3 −

𝑊0

24 𝑋 − 0 4 +

𝑊0

24 𝑋 − 1 4 + 𝐶1𝑋 + 𝐶2 (2)

Evaluamos la ecuación (2) cuando X=0; y=0

𝐶2 = 0

Y evaluamos la ecuación (1) cuando X=4; y=0

0 =32

3𝐴𝑌 − 4𝑃 − 𝑊0

8

3 +

9

8𝑊0 + 𝐶1(4)

𝐶1 = 1229,17

La ecuación de la curva elástica por el método de singularidad es:

𝐸𝐼𝑦 = 708,333𝑋3 − 166,666 𝑋 − 2 3 − 125 𝑋 − 0 4 + 125 𝑋 − 1 4 + 1129,17𝑋

𝐸𝐽𝐸𝑅𝐶𝐼𝐶𝐼𝑂 (𝐷)

+↑ 𝐹𝑦 = 0: 𝐴𝑦 − 1000 + 𝐵𝑦 = 0 (A)

+↺ 𝑀𝐴 = 0: − 1000 2 + 𝐵𝑦 4 + 𝑀𝐵 = 0

⟹ 𝐵𝑦 = 500 − 1

4 𝑀𝐵 (B)

2m

A B

1000 N

2m

2m

A B

1000 N

AX

AY BY 2m

BX

MB

+↺ 𝑀𝐶 = 0: 𝐵𝑦 𝑥 + 𝑀𝐵 − 𝑀1 = 0

⟹ 𝑀1 = 𝐵𝑦 𝑥 + 𝑀𝐵

𝐸𝐼𝑑2𝑦1

𝑑𝑥2 = 𝐵𝑦 𝑥 + 𝑀𝐵

𝐸𝐼𝜃1 =𝑑𝑦1

𝑑𝑥=

1

2𝐵𝑦 𝑥

2 + 𝑀𝐵 𝑥 + 𝐶1 (1)

𝐸𝐼𝑦1 =1

6𝐵𝑦 𝑥

3 +1

2𝑀𝐵(𝑥2) + 𝐶1 𝑥 + 𝐶2 (2)

+↺ 𝑀𝐷 = 0: 𝐵𝑦 𝑥 + 𝑀𝐵 − 𝑀2 −

1000(𝑥 − 2) = 0

⟹ 𝑀2 = 𝐵𝑦 𝑥 + 𝑀𝐵 − 1000 𝑥 + 2000

𝐸𝐼𝑑2𝑦2

𝑑𝑥2= 𝐵𝑦 𝑥 + 𝑀𝐵 − 1000 𝑥 + 2000


𝑑𝑥=

1

2𝐵𝑦 𝑥

2 + 𝑀𝐵 𝑥 − 500 𝑥2 +

2000(𝑥) + 𝐶3 (3)

𝐸𝐼𝑦2 =1

6𝐵𝑦 𝑥

3 +1

2𝑀𝐵 𝑥

2 − 166,667 𝑥3 + 1000 𝑥2 + 𝐶3 𝑥 + 𝐶4 (4)

C

By

MB

V1

X

M1

X-2

X

D

B

1000 N

BY

MB V2

M2

2m

A B

1000 N

2m

(X=2, Y1= Y2) (X=2, ϴ1= ϴ2)

(X=4, Y2=0)

Y

X

(X=0, Y1= 0) (X=0, ϴ1= 0)

𝑥 = 0, 𝑦1 = 0 𝑒𝑛 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 2 :

𝐸𝐼(0) =1

6𝐵𝑦 0 +

1

2𝑀𝐵(0) + 𝐶1 0 + 𝐶2

𝐶2 = 0 (5)

𝑥 = 0, 𝜃1 = 0 𝑒𝑛 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 1 :

𝐸𝐼(0) =1

2𝐵𝑦 0 + 𝑀𝐵 0 + 𝐶1

𝐶1 = 0 (6)

𝑥 = 2, 𝑦1 = 𝑦2 𝑠𝑒 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑎𝑛 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 2 𝑦 4 :

1

6𝐵𝑦 23 +

1

2𝑀𝐵(22) + 𝐶1 2 + 𝐶2

=1

6𝐵𝑦 23 +

1

2𝑀𝐵 22 − 166,667 23 + 1000 22 + 𝐶3 2 + 𝐶4

−2666,664 − 2𝐶3 = 𝐶4 (7)

𝑥 = 2, 𝜃1 = 𝜃2 𝑠𝑒 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑎𝑛 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 1 𝑦 3 :

1

2𝐵𝑦 22 + 𝑀𝐵 2 + 𝐶1 =

1

2𝐵𝑦 22 + 𝑀𝐵 2 − 500 22 + 2000(2) + 𝐶3

𝐶3 = −2000 (8)

𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 8 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 (7)

−2666,664 − 2(−2000) = 𝐶4

𝐶4 = 1333,336 (9)

𝑥 = 4, 𝑦2 = 0 𝑒𝑛 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 (4)

𝐸𝐼(0) =1

6𝐵𝑦 43 +

1

2𝑀𝐵 42 − 166,667 43 + 1000 42 + 𝐶3 4 + 𝐶4

0 = 𝐵𝑦 10,667 + 𝑀𝐵 8 + 5333,312 + (−2000) 4 + (1333,336)

𝑀𝐵 = 166,669 − 𝐵𝑦(1,333) (10)

𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑒𝑐. 10 𝑒𝑛 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 (B)

𝐵𝑦 = 500 − 1

4 166,669 − 𝐵𝑦(1,333)

𝐵𝑦 = 687,157 (11)

⟹ 𝑀𝐵 = 166,669 − 687,157 (1,333)

𝑀𝐵 = −749,311 ⟹ 𝑀𝐵 = 749,311 ↻ (12)

𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝐵𝑦 𝑑𝑒 𝑒𝑐. 11 𝑒𝑛 𝑒𝑐. (𝐴)

𝐴𝑦 − 1000 + 𝐵𝑦 = 0

𝐴𝑦 = 312,843 (13)

𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝐶𝑢𝑟𝑣𝑎 𝐸𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎:

𝑃𝑎𝑟𝑎 0 ≤ 𝑋 ≤ 2

𝐸𝐼𝜃1 = 343,578 𝑥2 − 748,628 𝑥

𝐸𝐼𝑦1 = 114,526 𝑥3 − 374,314 𝑥2

𝑃𝑎𝑟𝑎 2 ≤ 𝑋 ≤ 4

𝐸𝐼𝜃2 = −156,421 𝑥2 + 1251,372 𝑥 − 2000

𝐸𝐼𝑦2 = −52,140 𝑥3 + 625,686 𝑥2 − 2000 𝑥 + 1333,336


Haciendo momento en B encontramos la funcion de momento:

𝑀𝐵 = 0 → 𝑀 𝑥 − 𝐴𝑋+𝑃 𝑋 − 2 1 = 0

𝑀 𝑥 = 𝐴𝑋−𝑃 𝑋 − 2 1

𝐸𝐼𝜃 =𝐴𝑦𝑋

2

2−

𝑃 𝑋 − 2

2

2

+ 𝐶1 (1)

𝐸𝐼𝑦 =𝐴𝑦𝑋

3

6−

𝑃 𝑋 − 2

6

3

+ 𝐶1𝑋 + 𝐶2 (2)

Evaluando la ecuacion (2) en 𝑋 = 0; 𝑦 = 0

Tenemos que:

𝐶2 = 0

Y evaluando la ecuación (2) en 𝑋 = 4 𝑌 = 0

0 =32𝐴𝑦

3−

4000

3+ 4𝐶1

𝐶1 = 333,333 − 2,667𝐴𝑦

Ahora evaluamos la ecuacion (1) en

𝑋 = 0 𝜃 = 0

0 = 8𝐴𝑦 − 2000 + 333,333 − 2,667𝐴𝑦

0 = 5,333𝐴𝑦 − 1666,667

𝐴𝑦 =1666,667

5,333

𝐴 = 312,519

𝐶1 = −500

La ecuación de la curva elástica queda de la siguiente forma:

𝐸𝐼𝑦 = 52,086𝑋3 − 166,667 < 𝑋 − 2 >3− 500𝑋

𝐸𝐽𝐸𝑅𝐶𝐼𝐶𝐼𝑂 (𝐸)

+↑ 𝐹𝑦 = 0: 𝐴𝑦 − 6000 + 𝐵𝑦 = 0 (A)

+↺ 𝑀𝐴 = 0: − 6000 2 + 𝐵𝑦 4 − 𝑀𝐵 = 0

⟹ 𝐵𝑦 = 3000 + 1

4 𝑀𝐵 (B)

+← 𝐹𝑦 = 0: −𝐴𝑥 + 𝐵𝑥 = 0

2m 1m 1m

30 kN/m

A B

2 m 1 m 1 m

3 kN/m

6 kN

2 m

A B AX

AY BY

BX

MB

+↺ 𝑀𝐶 = 0: 𝐵𝑦 𝑥 − 𝑀𝐵 − 𝑀1 = 0

⟹ 𝑀1 = 𝐵𝑦 𝑥 − 𝑀𝐵

𝐸𝐼𝑑2𝑦1

𝑑𝑥2 = 𝐵𝑦 𝑥 − 𝑀𝐵


𝑑𝑥=

1

2𝐵𝑦 𝑥

2 − 𝑀𝐵 𝑥 + 𝐶1 (1)

𝐸𝐼𝑦1 =1

6𝐵𝑦 𝑥

3 −1

2𝑀𝐵(𝑥2) + 𝐶1 𝑥 + 𝐶2 (2)

+↺ 𝑀𝐷 = 0: 𝐵𝑦 𝑥 − 𝑀𝐵 − 𝑀2 −

3000 𝑥 − 1 𝑥−1

2 = 0

⟹ 𝑀2 = 𝐵𝑦 𝑥 − 𝑀𝐵 − 1500 𝑥2 +

3000 𝑥 − 1500

𝐸𝐼𝑑2𝑦2

𝑑𝑥2

= 𝐵𝑦 𝑥 − 𝑀𝐵 − 1500 𝑥2

+ 3000 𝑥 − 1500


𝑑𝑥=

1

2𝐵𝑦 𝑥

2 − 𝑀𝐵 𝑥 − 500 𝑥3 + 1500 𝑥2 − 1500(𝑥) + 𝐶3 (3)

𝐸𝐼𝑦2 =1

6𝐵𝑦 𝑥

3 −1

2𝑀𝐵 𝑥

2 − 125 𝑥4 + 500 𝑥3 − 750 𝑥2 + 𝐶3 𝑥 + 𝐶4 (4)

C

By

MB

V1

X

M1

MB

(X-1)/2

X

D B

BY

V2 M2

X-1

3000(X-1)

X

X-2

3 kN/m

6 kN

E V3

M3

BY

MB

+↺ 𝑀𝐸 = 0: − 𝑀3 − 6000 𝑥 − 2 + 𝐵𝑦 𝑥 − 𝑀𝐵 = 0

⟹ 𝑀3 = −6000 𝑥 + 12000 + 𝐵𝑦 𝑥 − 𝑀𝐵

𝐸𝐼𝑑2𝑦3

𝑑𝑥2= −6000 𝑥 + 12000 + 𝐵𝑦 𝑥 − 𝑀𝐵


𝑑𝑥= −3000 𝑥2 + 12000 𝑥 +

1

2𝐵𝑦 𝑥

2 − 𝑀𝐵 𝑥 + 𝐶5 (5)

𝐸𝐼𝑦3 = −1000 𝑥3 +1

6𝐵𝑦 𝑥

3 + 6000 𝑥2 −1

2𝑀𝐵 𝑥

2 + 𝐶5(𝑥) + 𝐶6 (6)

𝑥 = 0, 𝜃1 = 0 𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 1 :

𝐸𝐼 0 =1

2𝐵𝑦 0 − 𝑀𝐵 0 + 𝐶1

𝐶1 = 0 (7)

𝑥 = 0, 𝑦1 = 0 𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 2 :

𝐸𝐼 0 =1

6𝐵𝑦 0 −

1

2𝑀𝐵(0) + 𝐶1 0 + 𝐶2

𝐶2 = 0 (8)

(X=1, Y1= Y2) (X=1, ϴ1= ϴ2)

(X=4, Y3=0)

Y

X

(X=0, Y1= 0) (X=0, ϴ1= 0)

2m 1m 1m

30 kN/m

A B

(X=3, Y2= Y3) (X=3, ϴ2= ϴ3)


1

2𝐵𝑦 12 − 𝑀𝐵 1 + 𝐶1 =

1

2𝐵𝑦 12 − 𝑀𝐵 1 − 500 13 + 1500 12 − 1500(1) + 𝐶3

𝐶3 = 500 (9)


1

6𝐵𝑦 13 −

1

2𝑀𝐵(12) + 𝐶1 1 + 𝐶2

=1

6𝐵𝑦 13 −

1

2𝑀𝐵 12 − 125 14 + 500 13 − 750 12 + 𝐶3 1 + 𝐶4

𝐶4 = 125 (10)


1

2𝐵𝑦 𝑥

2 − 𝑀𝐵 𝑥 − 500 𝑥3 + 1500 𝑥2 − 1500 𝑥 + 𝐶3

= −3000 𝑥2 + 12000 𝑥 +1

2𝐵𝑦 𝑥

2 − 𝑀𝐵 𝑥 + 𝐶5

𝐶5 = −13000 (11)


1

6𝐵𝑦 𝑥

3 −1

2𝑀𝐵 𝑥

2 − 125 𝑥4 + 500 𝑥3 − 750 𝑥2 + 𝐶3 𝑥 + 𝐶4

= −1000 𝑥3 +1

6𝐵𝑦 𝑥

3 + 6000 𝑥2 −1

2𝑀𝐵 𝑥

2 + 𝐶5(𝑥) + 𝐶6

𝐶6 = 10250 (12)

𝑥 = 4, 𝑦3 = 0 𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑛 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 6 :

𝐸𝐼𝑦3 = −1000 𝑥3 +1

6𝐵𝑦 𝑥

3 + 6000 𝑥2 −1

2𝑀𝐵 𝑥

2 + 𝐶5(𝑥) + 𝐶6

𝑀𝐵 = −1218,75 +4

3𝐵𝑦 (13)

𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 13 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝐵 :

⟹ 𝐵𝑦 = 3000 + 1

4 −1218,75 +

4

3𝐵𝑦

𝐵𝑦 = 4042,969 (14)

𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 14 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 13 :

𝑀𝐵 = −1218,75 +4

3(4042,969)

𝑀𝐵 = 4171,875 (15)

𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 14 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝐴 :

𝐴𝑦 − 6000 + (4042,969) = 0

𝐴𝑦 = 1957,030

𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝐶𝑢𝑟𝑣𝑎 𝐸𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎:

𝑃𝑎𝑟𝑎 0 ≤ 𝑋 ≤ 1

𝐸𝐼𝜃1 = 2021,484 𝑥2 − 4171,875 𝑥

𝐸𝐼𝑦1 = 673,828 𝑥3 + 2085,937 𝑥2

𝑃𝑎𝑟𝑎 1 ≤ 𝑋 ≤ 3

𝐸𝐼𝜃2 = −500 𝑥3 + 3521,484 𝑥2 − 5671,875 𝑥 + 500

𝐸𝐼𝑦2 = −125 𝑥4 + 1173,828 𝑥3 − 2835,9375 𝑥2 + 500 𝑥 + 125

𝑃𝑎𝑟𝑎 1 ≤ 𝑋 ≤ 3

𝐸𝐼𝜃3 = −978,515 𝑥2 + 7828,125 𝑥 − 13000

𝐸𝐼𝑦2 = −326,172 𝑥3 + 3914,062 𝑥2 − 13000 𝑥 + 10250


Encontramos la función de momento haciendo momento en B

𝑀𝐵 = 0 → − 𝑀 𝑥 − 15000 𝑋 − 1 2 + 15000 𝑋 − 3 2 + 𝐴𝑦𝑋 = 0

𝑀 𝑥 = 15000 𝑋 − 1 2 + 15000 𝑋 − 3 2 + 𝐴𝑦𝑋

𝐸𝐼𝜃 = −5000 𝑋 − 1 3 + 5000 𝑋 − 3 3 +𝐴𝑦𝑋

2

2+ 𝐶1 (1)

𝐸𝐼𝑦 = −1250 𝑋 − 1 4 + 1250 𝑋 − 3 4 +𝐴𝑦𝑋

3

6+ 𝐶1𝑋 + 𝐶2 (2)

Evaluamos la ecuación (2) en: 𝑋 = 0; y= 0 𝐶2 = 0

Evaluamos la ecuación (1) cuando 𝑋 = 4; 𝜃 = 0

0 = −5000 3 3 + 5000 + 8𝐴𝑦 + 𝐶1

0 = −130000 + 8𝐴𝑦 + 𝐶1

𝐶1 = 130000 − 8𝐴𝑦 (3)

Evaluamos la ecuacion (2) cuando𝑋 = 4; 𝑦 = 0

Para encontrar el valor de la fuerza 𝐴𝑦

0 = −1250 3 4 + 1250 + 10,667𝐴𝑦 − 32𝐴𝑦 + 520000

𝐴𝑦 = 19687,521

Ahora evaluamos el valor de la fuerza 𝐴𝑦 en la ecuacion (3)

𝐶1 = 130000 − 8(19687,521)

𝐶1 = −27500,168

Entonces la ecuacion de la curva elastica queda de la siguiente forma:

𝐸𝐼𝑦 = −1250 𝑋 − 1 4 + 1250 𝑋 − 3 4 + 3281,25𝑋3 − 27500,168𝑋

𝐸𝐽𝐸𝑅𝐶𝐼𝐶𝐼𝑂 (𝐹)

𝜏𝑎𝑑𝑚 = 8 𝑘𝑠𝑖

↠ + 𝑇𝑥 = 𝑃 cos 30 7 − 500 cos 20 5 − 600 cos 20 5 = 0

𝑃 = 500 cos 20 5 + 600 cos 20 5

7(cos 30)

y

z

x

30°

P A

B

C

D

E

R = 7in 500 lb

20°

R = 5in

R = 5in

20° 600 lb 8 in

8 in

8 in

8 in

Y

Z

A 𝑃 (cos 30)7

30°

By

Bz 500 lb

500 cos 20 5

20°

Dz

Dy 20° 600 lb

600 cos 20 5

B

C

D

E

P

𝑃 = 852.550 𝑙𝑏

Plano XY

𝑀𝐵 = 0:

⇒ 𝑃 sin 30 8 + 500 sin 20 8 + 𝐷𝑌 16 − 600 sin 20 24

= 0

𝐷𝑌 = 9,176 𝑙𝑏

+↑ 𝐹𝑌 = 0: − 𝑃 sin 30 + 𝐵𝑌 + 500 sin 20 + 𝐷𝑌 − 600 sin 20 = 0

𝐵𝑌 = 451,301 𝑙𝑏

Y

8 in 8 in 8 in 8 in

500 sin 20

600 sin 20 𝑃 sin 30

A C E D B

Dy By

X

+

-426,275

25,026

196,036 205,212

-500

-400

-300

-200

-100

0

100

200

300

0 8 16 24 32

V (

lb)

X (in)

Diagrama de Fuerza cortante XY

0

-3.410,200-3.209,992

-1.641,704

0

-4000

-3500

-3000

-2500

-2000

-1500

-1000

-500

0

0 8 16 24 32

M (

lb*i

n)

X (in)

Diagrama de Momento flector XY

Plano XZ

𝑀𝐵 = 0:

852,550 cos 30 8 + 500 cos 20 8 − 𝐷𝑍 16

+ 600 cos 20 24 = 0

𝑫𝒁 = 𝟏𝟒𝟒𝟗, 𝟖𝟏𝟏 𝒍𝒃

+↑ 𝐹𝑍 = 0:

852,550 cos 30 + 𝐵𝑍 − 500 cos 20 + 1449,810 − 600 cos 20

= 0

𝑩𝒁 = −𝟏𝟏𝟓𝟒, 𝟒𝟕𝟖 𝑳𝒃

Z

8 in 8 in 8 in 8 in

500 cos 20 600 cos 20

𝑃 cos 30

A C E D B

Dz Bz

X

+

738,33

-416,149

-885,995

563,816

-1000

-800

-600

-400

-200

0

200

400

600

800

1000

0 8 16 24 32

V (

lb)

X (in)

Diagrama de Fuerza Cortante XZ

0

5906,64

2577,448

-4510,512

0

-6000

-4000

-2000

0

2000

4000

6000

8000

0 8 16 24 32

M (

lb*i

n)

X (in)

Diagrama de Momento Flector XZ

Sección critica C

Elemento critico 1

𝜏𝑣

𝜎𝑓𝑙

𝜏𝑡 𝜎𝑓𝑙

𝜎𝑓𝑙

𝜎𝑓𝑙

𝜏𝑡 𝜏𝑣

𝜏𝑣

𝜏𝑣

𝜏𝑡

𝜏𝑡

1

2

3

4

𝜎𝑓𝑙

𝜏𝑣

𝜏𝑡

1

𝑇𝐶 = (500)(cos 20)(5)

𝑻𝑪 = 𝟐𝟑𝟒𝟗, 𝟐𝟑𝟏 𝑳𝒃 ∗ 𝒊𝒏

Esfuerzo cortante por carga transversal:

𝜏𝑉𝑚𝑎𝑥 =4𝑉

3𝐴 ; sabemos que área de una circunferencia es 𝐴 =

𝜋

4𝜙2 si

reemplazamos,


3(𝜋

4𝜙2)


3𝜋𝜙2

𝜏𝑉𝑚𝑎𝑥 =16 500 cos 20

3𝜋𝜙2

𝝉𝑽𝒎𝒂𝒙 = 𝟎, 𝟕𝟗𝟕 ∗ 𝟏𝟎𝟑

𝝓𝟐 𝒑𝒔𝒊

Esfuerzo por flexion;

𝜎𝑚𝑎𝑥 =32𝑀

𝜋𝜙3

𝜎𝑚𝑎𝑥 =32 3.209,976

𝜋𝜙3

𝝈𝒎𝒂𝒙 = 𝟑𝟐, 𝟔𝟗𝟔 ∗ 𝟏𝟎𝟑

𝝓𝟑 𝒑𝒔𝒊

Esfuerzo cortante por torsión:

𝜏𝑇 =16𝑇

𝜋𝜙3 ; 𝑇 =

𝜏𝑇 =16(2349,231)

𝜋𝜙3

𝝉𝑻 = 𝟏𝟏, 𝟗𝟔𝟒 ∗ 𝟏𝟎𝟑


Como el esfuerzo por carga transversal es muy pequeño con respecto a los

esfuerzos de flexion y torsión, podemos despreciarlos.

Entonces tenemos esfuerzo de torsión en X y esfuerzo de flexion en Y.

𝜎𝑌 = 32,696 ∗ 103

𝜙3 𝑝𝑠𝑖

𝝉𝑻 = 𝟏𝟏, 𝟗𝟔𝟒 ∗ 𝟏𝟎𝟑


Ahora calculamos el centro y el radio del circulo de Mohr:

𝐶 =𝜎𝑥 + 𝜎𝑦

2

𝐶 =0 + 32,696 ∗ 103

2

𝐶 =16,348 ∗ 103

𝜙3

𝑅 = 𝜎𝑥 + 𝜎𝑦

2

2

+ 𝜏𝑥𝑦 2

𝑅 = 0 + 32,696 ∗ 103

2

2

+ 11,964 ∗ 103 2

𝑅 =20,258 ∗ 103

𝜙3

Dibujo

Como 𝝉𝒑𝒆𝒓𝒎𝒊𝒔𝒊𝒃𝒍𝒆 = 𝟖. 𝟓 ∗ 𝟏𝟎𝟑𝒑𝒔𝒊, y el radio del circulo es 𝝉𝒎𝒂𝒙, entonces

igualo el radio con el 𝝉𝒑𝒆𝒓𝒎𝒊𝒔𝒊𝒃𝒍𝒆 y asi obtengo el diámetro del eje AE.

𝝉𝒑𝒆𝒓𝒎𝒊𝒔𝒊𝒃𝒍𝒆 = 𝑹

8.5 ∗ 103 =20,258 ∗ 103

𝜙3

𝜙 = 20,258∗103

8,5∗103

3

𝝓 = 𝟏, 𝟑𝟑𝟔 𝒊𝒏

𝜎𝑚𝑎𝑥 = 𝐶 + 𝑅

𝜎𝑚𝑎𝑥 = 16,348 + 20,258

𝜎𝑚𝑎𝑥 = 36,606

Como esta en función del diámetro, el 𝜎𝑚𝑎𝑥 queda de la siguiente manera:

𝜎𝑚𝑎𝑥 =36,606 ∗ 103

𝜙3

Como 𝝓 = 𝟏, 𝟑𝟑𝟔 𝒊𝒏 entonces:

𝜎𝑚𝑎𝑥 =36,606 ∗ 103

1,336 3

𝝈𝒎𝒂𝒙 = 𝟏𝟓, 𝟑𝟓𝟎 ∗ 𝟏𝟎𝟑𝒑𝒔𝒊

𝜎𝑚𝑖𝑛 = 𝐶 − 𝑅

𝜎𝑚𝑖𝑛 = 16,348 − 20,258

𝜎𝑚𝑖𝑛 = −3,910

𝜎𝑚𝑖𝑛 =−3,910 ∗ 103

𝜙3

𝜎𝑚𝑖𝑛 =−3,91 ∗ 103

1,395 3

𝝈𝒎𝒊𝒏 = −𝟏, 𝟔𝟒𝟎 ∗ 𝟏𝟎𝟑𝒑𝒔𝒊

El angulo principal es:

2𝜃𝑝 = tan−1 16,348

11,964 = 54,423°

𝜽𝒑 = 𝟐𝟕, 𝟐𝟏𝟐°

Curva Elastica

Plano (X,Y)

𝑃1 = 426.2804𝐿𝑏

𝐵𝑦 = 451.309586𝐿𝑏

𝑃2 = 171.01𝐿𝑏

𝐷𝑦 = 9.1729𝐿𝑏

𝑃3 = 205.21208𝐿𝑏

Hacemos corte de A a B (0<X<8)

𝑃1

F +↺ 𝑀

𝑉1

X

+↺ 𝑀1 = 𝑜

426.2804 𝑥 + 𝑀1 = 0

𝑀1 = −426.2804𝑋

𝐸𝐼 =𝑑2𝑦1

𝑑𝑥2 = −426.2804𝑋

Integrando


𝑑𝑥2 = −213.1402𝑥2 + 𝑐1

Integrando

𝐸𝐼𝑦1 = −71.04673𝑥3 + 𝑐1𝑥 + 𝑐2

Hacemos corte de B a c (8<X<16)

𝑃1 F

+↺ 𝑀

By V

X

↺ + 𝑀𝑓 = 0

426.2804 𝑥 − 451.3095 𝑥 − 8 + 𝑀2 = 0

𝑀2 = −426.2804 𝑥 + 451.3095 𝑥 − 3610.476

𝑀2 = 25.0292 𝑥 − 3610.476

𝐸𝐼𝑑2𝑦2

𝑑𝑥2 = 𝑀2 (𝑥)

𝐸𝐼𝑑2𝑦2

𝑑𝑥2 = 25.0292𝑥 − 3610.476

𝐸𝐼𝑑𝑦2

𝑑𝑥2= 12.5146𝑥2 − 3610.476𝑥 + 𝑐3

𝐸𝐼𝑦2 = 4.17533𝑥3 − 1805.238𝑥2 + 𝑐3𝑥 + 𝑐4

Hacemos corte de C a D (16<X<24)

P1 P2

F

𝑉 +↺ 𝑀

By

↺ + 𝑀𝑓 = 0

426.2804 𝑥 − 451.3095 𝑥 − 8 − 171.01 𝑥 − 16 + 𝑀3 = 0

𝑀3 = −426.2804𝑥 + 451.309586𝑥 − 3610.476688 + 171.01𝑥 − 2736.16

𝑀3 = 196.039186𝑥 − 6346.636688

𝐸𝐼𝑑2𝑦3

𝑑𝑥2 = 𝑀3 (𝑥)

𝐸𝐼𝑑2𝑦3

𝑑𝑥2 = 196.039186𝑥 − 6346.636688

𝐸𝐼𝑑2𝑦3

𝑑𝑥2 = 98.019593𝑥2 − 6346.636688𝑥 + 𝑐5

𝐸𝐼𝑦3 = 32.673197𝑥3 − 3173.318344𝑥2 + 𝑐5𝑥 + 𝑐6

Hacemos corte de D a E (24<x<32)

P1 P2

F

V +↺ 𝑀

By Dy

↺ + 𝑀𝑓 = 0

426.2804 𝑥 − 451.3095 𝑥 − 8 − 171.01 𝑥 − 16 ± 901729 𝑥 − 249

+ 𝑀4 = 0

𝑀4 = −426.2804𝑥 + 451.309586𝑥 − 3610.476688 + 171.01𝑥 − 2736.16

+ 9.1279𝑥 − 220.1496

𝑀4 = 205.212086𝑥 − 6566.786288

𝐸𝐼𝑑2𝑦4

𝑑𝑥2 = 𝑀4(𝑥)

𝐸𝐼𝑑2𝑦4

𝑑𝑥2 = 205.212086𝑥 − 6566.786288

𝐸𝐼𝑑2𝑦4

𝑑𝑥2 = 102.606043𝑥2 + 6566.786288𝑥 + 𝑐7

𝐸𝐼𝑦3 = 34.202014𝑥3 − 3288.393144𝑥2 + 𝑐7𝑥 + 𝑐8

Plano (X,Z) la viga E,D,C,B,A

𝑃3 = 852.5608𝐿𝑏 cos 30 = 738.3393𝐿𝑏

𝑃1 = 500𝐿𝑏 cos 20 = 469.8463014𝐿𝑏

𝑃2 = 600𝐿𝑏 cos 20 = 563.8155725𝐿𝐵

𝐷𝑧 = 1449.81605𝐿𝑏

𝐵𝑧 = −1154.49355𝐿𝑏

Hacemos corte de A a D (0<X<8)

E F

V +↺ 𝑀

P2

↺ + 𝑀𝑓 = 0

−𝑃2 + 𝑀1 = 0

𝑀1 = 𝑃2 = 563.8155725𝑥

𝑑2𝑦1

𝑑𝑥2 =𝑀𝑥

𝐸𝐼

𝐸𝐼𝑑2𝑦1

𝑑𝑥2 = 563.8155725𝑋

Integrando

𝐸𝐼⦵1 =𝑑2𝑦1

𝑑𝑥2 = 281.9077863𝑥2 + 𝑐1

Integrando

𝐸𝐼𝑦1 = 93.96926208𝑥3 + 𝑐1𝑥 + 𝑐2

Hacemos corte desde D a C (8<x<16)

E F

V +↺ 𝑀

P2 Dz

↺ + 𝑀𝑓 = 0

−𝑃2𝑥 − 𝐷𝑧(𝑥 − 8) + 𝑀2 = 0

𝑀2 = 563.855725𝑥 + 1449.81605𝑥 − 8(1449.81605)

𝑀2 = 2013.631623𝑥 − 11598.5284

𝑑2𝑦2

𝑑𝑥2 =𝑀2𝑥

𝐸𝐼

𝐸𝐼𝑑2𝑦2

𝑑𝑥2= 2013.631623𝑥 − 11598.

Integrando


𝑑𝑥2 = 1006.815812𝑥2 − 11598.5284𝑥 + 𝑐3 = 𝐸𝐼⦵2

Integrando

𝐸𝐼𝑦2 = 335.6052705𝑥3 − 579.2642𝑥2 + 𝑐3𝑥 + 𝑐4

Hacemos desde C a B (16<x<24)

E D P1 F

P2 Dz V3 +↺ 𝑀

↺ + 𝑀𝑓 = 0

−𝑃2𝑥 − 𝐷𝑧 𝑥 − 8 + 𝑃1 𝑥 − 16 + 𝑀3 = 0

𝑀3 = 563.8155725𝑥 + 1449.81605𝑥 − 11598.5284 − 469.84104𝑥

+ 7517.540966

𝑀3 = 1543.785312𝑥 − 4080.987434

𝑑2𝑦3

𝑑𝑥2 =𝑀3𝑥

𝐸𝐼

𝐸𝐼𝑑2𝑦3

𝑑𝑥2 = 1543.785312𝑥 − 4080.987434

Integrando


𝑑𝑥2 = 771.892656𝑥2 − 4080.987𝑥 + 𝑐5

Integrando

𝐸𝐼𝑦3 = 257.297552𝑥3 − 2040.493717𝑥2 + 𝑐5𝑥 + 𝑐6

Hacemos de B a A (24<x<32)

E D P1 F

P2 Dz Bz V3 +↺ 𝑀

↺ + 𝑀𝑓 = 0

−𝑃2𝑥 − 𝐷𝑧 𝑥 − 8 + 𝑃1 𝑥 − 16 − 𝐵𝑧 𝑥 − 24 + 𝑀4 = 0

𝑀4 = 563.8155725𝑥 + 1449.81605𝑥 − 11598.5284 − 469.84104𝑥

+ 7517.540966 − 1154.49355𝑥 + 27707.8452

𝑀4 = 389.2917621𝑥 + 23626.85777

𝑑2𝑦4

𝑑𝑥2=

𝑀4𝑥

𝐸𝐼

𝐸𝐼𝑑2𝑦4

𝑑𝑥2 = 𝑀4𝑥

𝐸𝐼𝑑2𝑦4

𝑑𝑥2 = 389.2917621𝑥 + 23626.85777

Integrando

𝐸𝐼 =𝑑 𝑦4

𝑑𝑥2= 194.6458811𝑥2 + 23626.8577𝑥 + 𝑐7

Integrando

𝐸𝐼𝑦4 = 64.88196037𝑥3 − 11813.42889𝑥2 + 𝑐7𝑥 + 𝑐8

Encontrando las condiciones de frontera

X=8 𝑌1=0

0 = 48110.6985 + 8𝑐1 + 𝑐2

𝑐1 =−48110.6985 − 𝑐2

8 (1)

X=24 𝑌3=0

0 = 3556881.359 − 1175329.381 + 24𝑐5 + 𝑐6

𝑐5 =−23815556.978 + 𝑐6

24 (2)

X=16 𝜃2 = 𝜃3

72168.3947 + 𝑐3 = 132308.22 + 𝑐5

𝑐3 = 60140.32753 + 𝑐5 (3)

48110.6985 + 8𝑐1 + 𝑐2 = 199323.0103 + 8𝑐3 + 𝑐4

8𝑐1 + 𝑐2 = 247433.7088 + 8𝑐3 + 𝑐4 (4)

X=24 𝑌3 = 𝑌4

2381556.978 + 24𝑐5 + 𝑐6 = 7701463.261 + 24𝑐7 + 𝑐8

24𝑐5 + 𝑐6 = 5319906.283 + 24𝑐7 + 𝑐8 (5)

X=8 𝑌2 = 0

0 = −199323.0103 + 8𝑐3 + 𝑐4

𝑐3 =199323.0103 + 𝑐4

8 (6)

X=24 𝑌4 = 0

0 = 7701463.261 + 24𝑐7 + 𝑐8

𝑐7 =−7701463.261 − 𝑐8

24 (7)

X=16 𝑌2 = 𝑌3

109972.4472 + 16𝑐3 + 𝑐4 = 531524.3814 + 16𝑐5 + 𝑐6

16𝑐3 + 𝑐4 = 641496.8286 + 16𝑐5 + 𝑐6 (8)

X=16 𝜃2 = 0

0 = 72168. 3934 + 𝑐3

𝑐3 = 72168. 3934 (9)

X=16 𝜃3 = 0

0 = 132308.721 + 𝑐5

𝑐5 = −132308.721 (10)

Reemplazando 𝑐3en (6) para hallar 𝑐4

𝑐4 = 776670.1581


𝑐6 = 793852.326

Reemplazando 𝑐5, 𝑐6 en (5)

2381556.978 = 5319906.283 + 24𝑐7 + 𝑐8

𝑐8 = −7701463.261 − 24𝑐7

Reemplazando 𝑐8 en (7)

𝑐7 =7701463.261 + 7701463.261 + 24𝑐7

24

𝑐7 − 𝑐7 = 0

𝑐7 = 𝑐7

Reemplazando 𝑐1, 𝑐3, 𝑐4 en (4)

−48110.6985 + 𝑐2 = −48110.6985

𝑐2 = 0


𝑐1 = −6013.8371313

Teniendo los valores de las constantes de integración podemos hallar

la deflexión y pendiente de la viga en cualquier punto del Plano XZ

X=8 𝑌1=0

0 = −36375.92576 + 8𝑐1 + 𝑐2

𝑐1 =36375.92576 − 𝑐2

8 (1)

X=24 𝑌3= 0

0 = −1376157.098 + 24𝑐5 + 𝑐6

𝑐5 =1376157.098 + 𝑐6

24 (2)

X=16 𝜃2 = 𝜃3

54563.8784 + 𝑐3 = −76453.1712 + 𝑐5

𝑐3 = −21889.28928 + 𝑐5 (3)

X=8 𝑌1 = 𝑌2

36375.92576 + 8𝑐1 + 𝑐2 = 113399.4271 + 8𝑐3 + 𝑐4

8𝑐1 + 𝑐2 = −77023.48134 + 8𝑐3 + 𝑐4 (4)

X=24 𝑌3 = 𝑌4

−1376157.091 + 24𝑐5 + 𝑐6 = −1421305.809 + 24𝑐7 + 𝑐8

24𝑐5 + 𝑐6 = −45148.71841 + 24𝑐7 + 𝑐8 (5)

X=8 𝑌2 = 0

0 = −113399.407 + 8𝑐3 + 𝑐4

𝑐3 =113399.407 + 𝑐4

8 (6)

X=24 𝑌4 = 0

0 = −1421305.809 + 24𝑐7 + 𝑐8

𝑐7 =1421305.809 − 𝑐8

24 (7)

X=16 𝑌2 = 𝑌3

44505.3288 + 16𝑐3 + 𝑐4 = −678540.0812 + 16𝑐5 + 𝑐6

16𝑐3 + 𝑐4 = −233485.7524 + 16𝑐5 + 𝑐6 (8)

X=16 𝜃2 = 0

0 = −54563.3784 + 𝑐3

𝑐3 = 54563.3784 (9)

X=16 𝜃3 = 0

0 = −76453.1712 + 𝑐5

𝑐5 = 76453.1712 (10)


𝑐4 = −323111.6201


𝑐6 = −458718.0178

Reemplazando 𝑐5, 𝑐6 en (5)

1376157.091 = −45148.71841 + 24𝑐7 + 𝑐8

𝑐7 = 1421305.809 + 𝑐8

24


=1421305 .809−𝑐8

24 =

1421305 .809−𝑐8

24

𝑐8 = 𝑐8

Reemplazando 𝑐1, 𝑐3, 𝑐4 en (4)

−36375.92576 − 𝑐2 + 𝑐2 = 1023759258

𝑐2 = 0


𝑐1 = −4546.99072

Teniendo los valores de las constantes de integración podemos hallar

la deflexión y pendiente de la viga en cualquier punto del Plano XY

Ejercicios resueltos Resistencia de materiales

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