Ejercicios resueltos Semana 9

1. La probabilidad de que los clientes que entran a un supermercado elijan cierto tipo de

producto por la marca es 0.7. Cuál es la probabilidad que de los próximos 9clientes que

elijan dicho producto: a) Exactamente 5 clientes; b) Al menos 6 clientes; c) A los sumo 3

clientes; lo hagan por la marca?

Solución

El criterio de elegir los productos por la marca es propio de cada cliente, lo que lleva a que

la elección de cada cliente sea independiente de la de otro; y puesto que de alguna manera,

se conoce la probabilidad de elección por la marca, para el producto en cuestión, estamos

ante una variable discreta que se distribuye de manera binomial por lo que las soluciones

son:

• 1715.0)0081.0)(16807.0(126)3.0()7.0()5,7.0,9( 4595 === Cb

• 7297.02703.01)5(1)6()6,7.0,9( =−=≤−=≥=≥ xpxpb

Observación: El valor 0.2703 del literal segundo se obtiene del uso que se hace de las tablas

de distribución acumulada para la binomial.

• 0253.0)3()3,7.0,9( =≤=≤ xpb . Nuevamente para este resultado se recurre a los

valores de las tablas para la distribución acumulada de la binomial.

2. El promedio de vehículos que ingresan a un parqueadero en una hora de baja demanda es

de 8, calcular la probabilidad que en cualquier hora de baja demanda, ingresen al

parqueadero: a) 5 vehículos; b) 9 vehículos; c) menos de 8 vehículos

Solución

La variable aleatoria cantidad de vehículos que ingresan en una hora de baja demanda al

parqueadero, sigue una distribución poisson con 8=µ , así que las soluciones buscadas

son:

• 0916.0

!5

8)8;5(

58

==−e

p

• 1241.0

!9

8)8;9(

98

==−e

p

• 4530.0)8;7()8;8( =≤=< pp Este resultado se obtiene en las tablas que contienen

los valores acumulados de la distribución Poisson para 8;7 =≤ µconx

3. De un lote de 10 proyectiles, se seleccionan cuatro (4) al azar y se disparan. Si el lote

contiene tres proyectiles defectuosos que no explotarán. ¿Cuál es la probabilidad que: a)

Los 4 exploten b) Al menos 2 no exploten c) Al menos 3 exploten.

Solución

El ejercicio cumple las características de una variable aleatoriadiscreta (número de misiles

defectuosos) que se distribuye hipergeométricamente, en el que hay una selección sin

reemplazo, se evidencia una característica (misiles defectuosos) que cumplen K = 3 de ellos;

y hay una muestra de 4 dentro de los cuales se espera que algunos cumplan la característica

dada, así:

• Si se espera que los cuatro misiles exploten, entonces el valor para la variable

aleatoria será en este caso x = 0; es decir que no haya misiles defectuosos; entonces:

1667.0210

35)3,4,10,0(

104

74

30 ===

C

CCh

• Con el mismo razonamiento se espera que no exploten dos o tres de los misiles:

333.0210

70

210

7

210

63)3,4,10,32(

104

71

33

104

72

32 ==+=+=∨

C

CC

C

CCh

• 6667.0

210

140

210

35

210

353)3,4,10,01(

104

74

30

104

73

31 ==+×=+=∨

C

CC

C

CCh

4. Hallar la probabilidad de:

• Que una pareja, tenga una hija mujer por segunda vez en el cuarto hijo

• Obtener un “6” por tercera vez en el quinto lanzamiento de un dado.

Solución

Losliterales primero y segundo propuestos en el ejercicio 4; contienen las características

básicas de una variable aleatoria con distribución binomial negativa, para las cuales se

tienen las siguientes soluciones:

• x = 4; k = 2 y p = 1/2 luego: ( ) 1875.0)5.0()5.0(2/1,2;4 2231 == Cb ;

• ( ) 1929.0)6/5()6/1(6/1,3;5 2342 == Cb .

5. Seis de las cien fresas que contiene una caja de exportación, se dañan durante el transporte,

calcular la probabilidad de que al inspeccionar una caja, a) La tercera; b) La octava; c) la

décima; fresa que se elijan sea la primera dañada que se encuentra.

Solución

Este es un ejemplo clásico de distribución geométrica en el que la forma de abordar la

solución general es: 1)94.0)(06.0()06.0,( −= xxg . Así para los casos planteados las

soluciones son:

• 053.0)94.0)(06.0()06.0,3( 2 ==g

• 03891.0)094.0)(06.0()06.0,8( 7 ==g

• 06.0)94.0)(06.0()06.0,1( 0 ==g