Ejercicios ResueltosVigasContinuas1

7/27/2019 Ejercicios ResueltosVigasContinuas1

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UNIVERSIDAD CATLICA LOSANGELES DE CHIMBOTE

FACULTAD DE INGENIERAESCUELA PROFESIONAL DE INGENIERA CIVIL

RESISTENCIA DE MATERIALES II

VIGAS CONTINUAS EJERCICIOS RESUELTOS

Dr. Ing. Wilson Gernimo Sancarranco Crdova MSc.


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EJERCICIOS RESUELTOS

TEOREMA DE LOS TRES MOMENTOS Y HARDY CROSS

TEOREMA DE LOS 03 MOMENTOS

PROBLEMA 1

Para la viga mostrada determinar los diagramas de fuerza cortante y momento flector

Solucin

Aplicando la ecuacin de los 3 momentos en:

Tramo ABC:

6 8 2

5 2 5 4 4 12000 7200 2 3200 35 3 3

A B CM M M

Pero en la viga: MA = MC = 0

2311 .BM k m

Hallando las reacciones

0BM 0 5 8000 2311 4000 2AR

2738AR k 1262BR k


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0CM 2311

4BR

578BR k

578CR k

Luego:

2738AR k

1262 578 1840BR k

578CR k

Ademas:

3 3 8214 .

2 2 2311 213 .

x A

y B

M R k mM R k m

PROBLEMA 2

Resolver la viga mostrada por el mtodo de los tres momentos.


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PROBLEMA 3

Resolver la viga que se muestra.

Solucin

Tomando como momento de inercia de comparacin, JC, el tramo 01.

1 11

4 4CJ I m

I I

2 22

6 32

CJ I

mI I

Tambin

2

10

3 1 3 15

1 4 .6 6 4 8

abP

A a T m

3

3

2

12

2 618 .

24 24A T m

Reemplazando en la ecuacin de los tres momentos:

4 15 3

2 4 3 6 184 8 6

M

4.66 .M T m

Con este resultado se puede calcular las reacciones de apoyos y, con l los apoyos

cortantes.

0 04.66 4 3 3 1.085R R T

2

2 2

14.66 6 2 6 5.223

2R R T

0 1 2 13 2 6 0 8.692R R R T R T


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1 2 1 28 102.4 5 200

1 : 2 8 5 5 6 5.2 80.968 3 10 3

M M M M

1 2 1 25 200 10

2 : 5 2 5 10 6 25.4 6 86.810 3 6

M M M M

Resolviendo el sistema se tiene:

113.21 .M T m

212.27 .M T m

PROBLEMA 5

Encontrar los momentos de flexin en la viga mostrada, que es de seccin constante y de igual

EI en toda la longitud.

Solucin

Considerando los empotramientos como tramos de apoyo simples con rigideces

infinitamente grandes (L=0, I= ), podemos resolver en forma general.

Tramo Mi Mj Mk j k jiA jkA Ecuacion 03 momentos

0-1-2 0 M1 M2 0 L 03

24

3

1 22 6

24M M

1-2-3 M1 M2 M3 L L

3

24

2

16

P

3 2

1 2 32 2 6

24 16

PM M M

4-3-2 0 M3 M2 0 L 0

2

16

P

2

3 22 6

16

PM M


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Coeficientes de Distribucin por Nudo

Todas las barras tiene la misma rigidez EI/L, por lo que les asignaremos rigidez 1.

Nudos 1 4

A los nudos 1 y 4, llega una sola barra, por lo que si:

Nudos 2 3

Desarrollo

Dibujamos la malla, con los coeficientes de distribucinpor nudo y los momentos de empotramiento perfecto.

Obsrvese que si deshacemos el empotramiento en los nudos, los nudos 1 y 4 rotarn,debido al momento que los afecta y los desequilibra.

1 Vuelta de Equilibrios: Se suelta nudo por nudo (deshaciendo el empotramiento)permitiendo que el nudo gire y las barras interacten. En cada nudo., las barras queconcurren a l reestablecen el equilibrio, aportando. un momento de igual valor Y sentidocontrario. Cada barra hace su aporte en funcin de su correspondiente coeficiente dedistribucin. As es, como en los nudos 1 y 4, la nica barra del nudo aport el total delequilibrio (+600 y -600, respectivamente). En cambio en los nudos 2 y 3, no habadesequilibrio y las barras aportaron "cero"`.

Se traza una lnea horizontal, despus de que cada nudo queda equilibrado y este sevuelve a "empotrar".

1 Vuelta de Traspasos: Cada uno de los momentos aportados por las barras, generan en

sus apoyos contrarios, un momento de igual sentido (signo) y la mitad de su valor.


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Obviamente, las barras que no aportaron momentos, no "traspasan" momentos al apoyocontrario.

Se ha completado as, una primera vuelta o ciclo de equilibrios y traspasos.

Obsrvese que los nudos 2 y 3, despus de los traspasos quedaron nuevamentedesequilibrados. (Momentos que aparecen despus de las lneas horizontales de

equilibrio).Se proceder, por lo tanto, a realizar un 2 ciclo de equilibrios y traspasos.

2 Vuelta de Equilibrios: los nudos 1 y 4 estn equilibrados.mientras que los nudos 2 y 3 tienen desequilibrios de +300 y -300. respectivamente. Se soltar nudo por nudo y losdesequilibrios se equilibrarn, nuevamente, con los aportes delas barras que concurren al nudo, de acuerdo a suscoeficientes de distribucin.

2 Vuelta de Traspasos: Cada uno de los momentos aportados por las barras, generan ensus apoyos contrarios, un momento de igual sentido (signo) y la mitad de su valor.


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El mtodo de Cross nos ha proporcionado el valorde los momentos en los nudos; es tarea aparte elencontrar los valores de momentos de tramo, quese determinan en cada tramo de la viga, con lasmismas herramientas que utilizamos en una vigaisosttica cualquiera y,aunque en este caso plantearemos el modelo, noincluiremos los clculos ya que no es el tema deeste apunte. Por razones de simetra, essuficiente analizar dos tramos de la viga.Y para finalizar, incluiremos el diagrama demomentos de la viga.


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PROBLEMA 2

APLICACIN DEL MTODO DE CROSS EN LA DETERMINACIN DE MOMENTOS DEUNA VIGA CONTINUA, ASIMTRICA, DE DOS TRAMOS Y VOLADIZO.

Datos

Viga de Acero (obviar peso propio)q1 = 200 kg / mlq2 = 300 kg / mlP = 500 kgL = 3,00 m

SOLUCIN

Clculo Momentos de Empotramiento Perfecto

Coeficientes de Distribucin por Nudo.


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Todas las barras tienen la misma rigidez EI/L, por loque le asignaremos rigidez 1 En el nudo 1 elempotramiento tiene una rigidez infinita comparadacon la barra 1-2 por lo tanto el coeficiente dedistribucin de la barra es:

cd(1-2) = 0

En el nudo 2 llegan dos barras de igual rigidez por lotanto el coeficiente de distribucin es el mismo paracada una de ellas:

cd(1-2) = 0,5cd(2-3) = 0,5

En el nudo 3 el equilibrio del voladizo depende de sucontinuidad con la barra 2-3 y no puede aportar nadaal equilibrio del nudo, por lo tanto el coeficiente de

distribucin para cada una de ellas:

cd(2-3) = 1cd(voladizo) = 0

Desarrollo

Como ya hemos desarrollado un ejemplo en que cada ciclo o vuelta se trat por separado,en este ejemplo y en los siguientes incluiremos la malla con el proceso total, de equilibriosy traspasos y los valores finales. Tambin se incluye el cuadro que indica los desequilibriosexistentes en cada vuelta.


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El grafico se aprecia:

PROBLEMA 3

APLICACIN DEL MTODO DE CROSS EN LA DETERMINACIN DE MOMENTOS EN UNMARCO DE DOS NAVES Y UN PISO.

Datos

Marco de Hormign ArmadoVigas 20/50 Pilares 20/30Peso propio vigas q = 250kg/mlSobrecarga q= 300 kg/mlP = 150 kgL1= 3,00 m.L2 = 6,00 m.h= 3,00 m.

SOLUCIN



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Calculo de Rigideces de las Barras. ( EI / L )

Barras 1-4 y 3-6

Barras 2-5

Barras 4-5

Barras 5-6


En los nudos 1, 2 y 3, el empotramiento tiene unarigidez infinita comparada con las barras quellegan a cada nudo por lo tanto el coeficiente dedistribucin de las barras es:

cd(14) cd(25) cd(36) 0

En los nudos 4 y 6 llegan dos barras de distintarigidez por lo tanto el coeficiente de distribucinpara cada una de ellas es:


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En el nudo 5 llegan tres barras de distintas rigideces por lo tanto el coeficiente dedistribucin para cada una de ellas es:

Desarrollo


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En el caso de los marcos, como en elde las vigas hiperestticas analizadasen los ejemplos anteriores, el mtodode Cross nos proporciona el valor delos momentos en los nudos.

Los momentos de tramo se obtiene enlos respectivos tramos de viga, talcomo en los otros casos, con lasmismas herramientas utilizadas hastaahora en una viga isostticacualquiera.

Grfico de Momento

PROBLEMA 4

APLICACIN DEL MTODO DE CROSS EN LA DETERMINACIN DE MOMENTOS DE UNMARCO EN DOS PISOS.

Datos:Marco de Hormign ArmadoViga 20/50 Pilares 20/30Peso propio viga q1 = 250 Kg/mlSobrecarga q2 = 200 Kg/mlP = 500 kgL1 = 6,00 mh = 3,00 m

SOLUCIN



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En el nudo 6 llegan tres barras de distinta rigidez, pero una barra en voladizo no seconsidera ya que sta no aporta rigidez al sistema, por lo tanto el coeficiente de distribucinpara cada una de ellas es:

En los nudos 7 y 8 llegan dos barras de distintasrigideces por lo tanto el coeficiente dedistribucin para cada una de ellas es:

Desarrollo


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El grafico de momentos:

PROBLEMA 5

CASO DE SIMETRA RESPECTO A UN APOYO.

DatosMarco de Hormign Armado

Viga 20/50 Pilares 20/30Peso propio viga q = 250 kg / mlSobrecarga q1 = 200 kg / ml

L1 = 3,00 mh = 3,00 m

SOLUCIN


Calculo de Rigideces de las Barras.

Pilares 1-4

Vigas 4-5


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En el nudo 1 el empotramiento tiene una rigidezinfinita comparada con la barra por lo tanto elcoeficiente de distribucin de la barra es:

cd(14) 0

En el nudo 4 llegan dos barras de distinta rigidez porlo tanto el coeficiente de distribucin para cada unade ellas es:

En el nudo 5 la barra 4-5 llega el eje de simetra porlo tanto al considerar un empotramiento elcoeficiente de distribucin para la barra es:

cd(45) 0

Desarrollo


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Grafico del momento

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