C.E.A. San Francisco – Ejercicios de Trigonometría – Hoja 1 / 8

Ejercicio resuelto 1.

Calcula los lados desconocidos de este triángulo rectángulo. Solución: Vamos a utilizar las razones trigonométricas que relacionan el lado y el ángulo que conocemos:

sen 45º =a6 ⇒ a =

º45sen6 =

22

6 = 26 cm

tg 45º = c6⇒ c =

º45tg6 =

16 = 6 cm

Ejercicio resuelto 2. Determina el área de este triángulo. Solución: Calculamos la altura utilizando el seno de α

sen α =ah ⇒ h = 2·sen 60º =

232 ⋅ = 3 cm

Área = 2alturabase ⋅ = 2cm

233 ⋅

Ejercicio resuelto 3. Halla el área de un pentágono regular inscrito en una circunferencia de radio 15 cm. Solución: Si unimos cada vértice con el centro del pentágono, obtenemos cinco triángulos isósceles iguales al que hemos pintado de amarillo. Así que el área será cinco veces el área de uno de los triángulos resultantes. Determinemos el área de uno de los triángulos isósceles.

Área del triángulo =2

hb ⋅

Calculamos la medida del ángulo centralα :

α = n

º360 =5

º360 = 72º. Al trazar la altura de dicho triángulo respecto del lado desigual, se

obtienen dos triángulos rectángulos iguales cuyo ángulo superior es la mitad de 72º, es

decir, ∧A = 36º y, además, b=2a.

sen 36º = 15a

⇒ a = 15·sen 36º = 8,82 cm ⇒ b = 2·8,82 = 17,64 cm

TTTRRRIIIGGGOOONNNOOOMMMEEETTTRRRÍÍÍAAA

15 15

b

h

A

a

15h

C.E.A. San Francisco – Ejercicios de Trigonometría – Hoja 2 / 8

cos 36º = 15h

⇒ h = 15·cos 36º = 12,14 cm

Entonces

Área del triángulo =2

hb ⋅ = 2cm07,1072

14,1264,17=

⋅

Luego, área del pentágono = 5 · área del triángulo = 535,35 cm2. Ejercicio resuelto 4.

Determina la altura del mástil del velero. Solución: Aplicamos la definición de tangente en los dos ángulos conocidos, y formamos un sistema de ecuaciones,

x100hºº45tg

xhº60tg

−=

=⇒

⎪⎭

⎪⎬⎫

⋅−=

⋅=

º45tg)x100(h

º60tgxh

Resolvemos el sistema (método de igualación). x·tg 60º = (100-x) ·tg45º ⇒ x·tg 60º = 100-x ⇒ 1,73 x + x = 100⇒ 2,73x = 100

⇒ x = 73,2

100 = 36,63 m

Calculamos el valor de h, h = x·tg 60º =36,63·1,73 = 63,37 m. Ejercicio resuelto 5. Los ratones han roído parte de una pieza triangular de cartón (Fig. 1) que un sastre había cortado para confeccionar un patrón. ¿Sabrías calcular las longitudes de sus lados a partir de lo que ha quedado de ella? Solución: Datos A = 85° y B = 50° y c = 120 cm. El otro ángulo es C = 180° - (85° + 50°) = 45°. El teorema del seno da

cm06,169º45sen

º85sen120

Csen

Asenca =⋅=⋅=

y

cm1130º45sen

º50sen120

Csen

Bsencb =⋅=⋅=

Figura 1

C.E.A. San Francisco – Ejercicios de Trigonometría – Hoja 3 / 8

Ejercicio resuelto 6. Desde un punto A de la costa se divisa una isla cercana. Con los datos de la Figura 2, ¿puedes calcular la longitud de la isla? Solución:

Disponemos de los datos A = 55°, B = 110° y c=600 m. Luego el otro ángulo es C = 15°. El teorema del seno da:

.m1899º15sen

º55sen600CsenAsenca ===

Ejercicio resuelto 7. Dos lanchas salen de un embarcadero en direcciones que forman un ángulo de 70°, con velocidades respectivas de 50 km/h y 40 km/h. ¿A qué distancia estarán una de otra al cabo de dos minutos? Solución:

Datos b = km35

60250=

⋅ (lo recorrido por la primera lancha en dos minutos, 602 de hora) y

km34

60240c =⋅

= (lo recorrido por la segunda), y ángulo determinado por los lados por los

lados b y c, A = 70°. El teorema del coseno da:

035,3Acoscb2cba 222 =⋅⋅⋅−+= de donde

a= km74,1035,3 =

C.E.A. San Francisco – Ejercicios de Trigonometría – Hoja 4 / 8

1.- Halla cos x y tg x, sabiendo que52senx = y que 90º < x < 180º.

2.- Calcula sen x y cos x, sabiendo que 21tgx = y que 180º < x < 270º.

3.- Se sabe que sen x = -0,78 y que 270º < x < 360º. Halla el valor de x. 4.- Uno de los ángulos de un triángulo rectángulo mide 30º, y su cateto opuesto, 5 cm.

¿Cuánto miden los demás lados y ángulos del triángulo?

5.- Se sabe que 41senx = . ¿Qué valores puede tener cos x?¿Y tg x?.

6.- Resuelve el triángulo rectángulo ABC del margen, sabiendo que:

a. a = 4 cm y ∧B =68º 30´.

b. a = 4,5 cm y b=2,5 cm.

c. h = 3 cm y ∧C = 35º.

d. a = 5 cm y ∧B -

∧C = 20º.

e. m = 3 cm y h = 4 cm. f. b-c = 1 cm y a = 5 cm.

7.- Calcula las longitudes desconocidas de la siguiente figura.

8.- Sabiendo que 34tg =α y que α pertenece al primer cuadrante de la circunferencia

goniométrica, halla las restantes razones trigonométricas. 9.- Halla el valor de las siguientes razones trigonométricas: sen 35º 45´45”, cos 75º 35´25”

y tg 32º 54´45”.

10.- Calcula las restantes razones trigonométricas de los ángulos x, y, z, sabiendo que:

a. 43senx = y 90º < x < 180º.

b. 32ycos −= y 180º < x < 270º.

c. 2tgz −= y 270º < x < 360º.

60º

C.E.A. San Francisco – Ejercicios de Trigonometría – Hoja 5 / 8

1.- Completa con tu calculadora la siguiente tabla, teniendo en cuenta que todos los ángulos son agudos:

seno 0,45 coseno 0,57 tangente 4,75 ángulo 57º34´45”

2.- Utiliza la calculadora para hallar el valor del ángulo x en los siguientes casos:

a. sen x = 0,234; x está en el segundo cuadrante. b. cos x = -0,861; x está en el tercer cuadrante. c. tg x = -2,018; x está en el segundo cuadrante.

3.- Calcula las siguientes razones trigonométricas haciendo uso de la calculadora: a. sen 123,345º b. cos -47,026º c. tg 177,301º d. sen 245º 27´ 19” e. cos 279º 14´ 26” f. tg 264º 28´ 44”

4.- Resuelve el triángulo ABC de la ilustración, teniendo en cuenta en cada caso los datos los datos que se proporcionan:

a. a = 5 cm y ∧C = 23º 30´

b. b = 5,5 cm y c = 3,5 cm

c. h = 4 cm y ∧B = 65º

d. c = 3,5 cm y ∧B -

∧C = 18º

5.- Calcula a, b, c en el siguiente triángulo: 6.- Calcula a, b, c en el siguiente trapecio isósceles: 7.- Hallar las diagonales y el área del siguiente rombo:

a

10 cm b c

3 cm 5 cm

a

b

8 cm

4 cm

5 cm

19º

7 cm

C.E.A. San Francisco – Ejercicios de Trigonometría – Hoja 6 / 8

8.- Calcula las diagonales del siguiente romboide:

9.- Halla los lados y ángulos desconocidos del triángulo

ABC: Ayuda: calcula AC y PC a partir de las razones trigonométricas de A = 40° y utiliza los valores de PC y PB para hallar los demás datos del triángulo. 10.- Con los datos proporcionados, calcula la altura, h, del

poste y las distancias, a y b, del triángulo que se forma:

11.- Para hallar la longitud del cable que se quiere poner entre las terrazas de dos edificios, se han tomado las medidas de ángulos y distancias que se indican en la ilustración. Calcula, a partir de ellas, la longitud del cable y la altura de los dos edificios.

2 cm 3 cm

5 cm

2 cm 3 cm

C

AP

C.E.A. San Francisco – Ejercicios de Trigonometría – Hoja 7 / 8

1.- Resolver los triángulos cuyos datos son: a. a = 3 m, b = 3 m y C = 60º. b. a = 90 m, B = 600 m y C = 45º. c. a = 10 m, B = 120º y c = 15m.

2.- Resolver los triángulos cuyos datos son: a. A = 5 m, b = 10 m y c = 12 m. b. a = 9 m, B = 30º y C= 60º. c. a = 10 m, B = 120º y C = 30º.

3.- Resolver los triángulos cuyos datos son: a. a = 5 m, b = 6 m y c= 9 m. b. a = 10 m, B = 30º y C = 40º. c. a = 5 m, b = 4 m y A = 150 º.

4.- Resolver los triángulos cuyos datos son: a. a = 4 m, B = 45 grados y C = 100 grados. b. A = 30º, B = 100º y c = 10 m. c. A = 150º,b = 10 m y c = 10 m.

5.- Resolver los triángulos cuyos datos son: a. A = 100º, b = 10 m y c = 5 m. b. A = 30º, B = 100º y c = 10 m. c. A = 160º, b = 10 m y c = 15 m.

6.- Calcular la altura de una torre, sabiendo que desde un punto del suelo la cima del campanario se ve con un ángulo de 30º y al alejarnos de la torre 50 metros más el ángulo es de 15º.

7.- Desde el Ayuntamiento de una ciudad se ven el edificio de la Bolsa y el de la Catedral

formando un ángulo de 20º. Desde la Bolsa se ven la Catedral y el Ayuntamiento formando un ángulo de 40º. Si la distancia del Ayuntamiento a la Catedral es de 3 300 metros, ¿cuánto miden las otras dos distancias?

8.- Tres amigos, Alonso, Borja y Carlos, quieren saber la distancia que hay entre sus

casas. Las distancias de la casa de Alonso a la de Borja y a la de Carlos se pueden medir directamente y son 10 y 9 kilómetros, respectivamente, pero la otra no se puede medir, porque hay un pequeño lago entre las dos casas. Entonces deciden calcular el ángulo con el que se ven desde la casa de Alonso las otras dos casas y resulta ser de 15º. ¿Cuál es la distancia entre las casas de Borja y de Carlos?

9.- Desde los extremos de la pista de un aeropuerto se ve un mismo punto de una nube

que está situada sobre la parte central de la pista, con ángulos sobre el suelo de 50 y 60 grados, respectivamente. El aeropuerto tiene la norma de que un helicóptero sólo puede despegar si las nubes están por encima de los 1800 metros de altura. Sabiendo que la pista mide un total de 2500 metros, ¿podrán volar los helicópteros?

10.- Los árboles más altos del mundo se encuentran

en el Parque Redwood de California. Estima la altura de uno de ellos a partir de la información de la siguiente ilustración.

35 m

C.E.A. San Francisco – Ejercicios de Trigonometría – Hoja 8 / 8

11.- Dos baterías antiaéreas, distantes 4 km entre sí, disparan a un caza enemigo en el momento en que éste sobrevuela la línea que forman aquéllas. El primero ha de dirigir sus disparos con ángulo de elevación dé 70°, y el otro con 80°. ¿A qué altura vuela el caza?.

12.- Del extremo superior de un poste se tienden dos cables, para amarrarlo al suelo, hasta

dos puntos que distan 20 m uno de otro. Los cables forman con el suelo ángulos de 75° y 65°. Averigua la altura del poste. (Suponemos que el poste y los cables están en un mismo plano vertical).

13.- Un jugador de golf lanza la pelota desde la posición de salida de un hoyo, distante 350

m y alcanza una distancia de 180 m. Pero el golpe ha sido defectuoso y la dirección de a pelota forma un ángulo de 20° respecto de la dirección hacia el hoyo. ¿A qué distancia del hoyo ha quedado su pelota?

14.- Dos observadores distantes 5 km entre sí, divisan un OVNI dirigiendo sus prismáticos

con ángulos de elevación respectivos de 80º y 65º. ¿a que altura se encuéntrale OVNI? (suponemos que está situado sobre la línea que une a los dos observadores.)