Ejercicios_resueltos TEMA5

7/30/2019 Ejercicios_resueltos TEMA5

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Temas 4 y 5 Trigonometra Matemticas I 1 Bachillerato 1

TEMAS 4 Y 5 TRIGONOMETRA

UNIDADES DE MEDIDAS DE NGULOS

EJERCICIO 1

a Pasa a radianes los siguientes ngulos: 210 y 70 rad53,yrad6

7:nguloslosgradosaPasab)

Solucin:

rad6

7rad

180210210a)

rad

18

7rad

1807070

210180

6

7rad

6

7b)

"7'32200

18053rad53

,,

EJERCICIO 2 : Completa la tabla:

Solucin:

rad18

13rad

180130130

240180

3

4rad

3

4

rad6

11rad

180330330

"37'5685

18051rad51

,,

Por tanto:

NGULOS DE MEDIDAS CUALESQUIERA

EJERCICIO 3 : :)hallar(sincalculacuadrante,primerelenestquengulounesy31

Si tg

tgtgtgtg 360d)360c)180b)180a)

Solucin:

3

1180a) tgtg

3

1180tgb) tg

3

1360c) tgtg

3

1360d) tgtg

EJERCICIO 4 : Si sen 0,35 y 0 < < 90 halla sin calcular :cossen 180b)180a)

Solucin:

350180a) ,sensen

coscos 180b)

Necesitamos saber cunto vale cos: 13501 2222 cos,cossen

87750112250 22 ,coscos, )900puespositivo,(es94,0 cos

940180:tantoPor ,coscos


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EJERCICIO 5 : Sabiendo que sen50 0,77, cos50 0,64 y tg50 1,19, calcula sin utilizar lasteclas trigonomtricas de la calculadora:

310d)230c)310b)130a) sencostgcos

Solucin:

64,050150180130a) coscoscos

19,15050360310b) tgtgtg

64,05050180230c) coscoscos

77,05050360310d) sensensen

RESOLUCIN DE TRINGULOS RECTNGULOS

EJERCICIO 6 : En un tringulo rectngulo la hipotenusa mide 15 cm y uno de los catetos mide 12 cm.Calcula la longitud del otro cateto y la medida de sus ngulos.

Solucin:Aplicamos el teorema de Pitgoras para hallar el otro cateto:

cm9b81144225b225b14415b12cba22222222

Hallamos los ngulos: "12'52366015

9 B,Bsen

c

bBsen 48"'75390 BA

Por tanto:

90Ccm;15c;"12'5236Bcm;9b;48"'753Acm;12a

EJERCICIO 7 : Para sujetar un mstil al suelo como indica la figura hemosnecesitado 10 metros de cable.

Halla la altura del mstil y la distancia entre los puntos A y B.

Solucin:

hsenz

hsenz

z

hsen

z

hsen

3510

60

10

35

60

35351060351060 senzsensenzsenzsenz

3510356035103560 sensensenzsensenzsenz m9833560

3510,

sensen

senz

m4533560

60351060 ,

sensen

sensensenzh

La altura del mstil es de 3,45 m

Para hallar la distancia entre A y B, tenemos que hallar x e y:

m99160

453

6060 ,

tg

,

tg

hy

y

htg

m934

35

453

35

35 ,

tg

,

tg

hx

x

htg

Por tanto, la distancia entre A y B es de xy 4,93 1,99 6,92 m.


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EJERCICIO 11 : Resuelve este tringulo, es decir, halla sus lados y sus ngulos:

Solucin:Hallamos el lado c con el teorema del coseno:

8548162590

504592459

2

2

222

222

,,c

cos,,c

Ccosabbac

cm5874572 ,c,c

Como conocemos los tres lados, la solucin es nica.

:nguloelHallamos A

587

5059

50

58759

,

sen,Asen

sen

,

Asen

,

Csen

c

Asen

a

"24'4573960 A,Asen

"36'1456180 CAB

Por tanto: 50Ccm;58,7c;"36'1456Bcm;4b;"24'4573Acm;5,9a

EJERCICIO 12 : Halla los lados y los ngulos de este tringulo:

Solucin:

:senoslosdeteoremaelconnguloelHallamos B

BsensenBsen

b

Asen

a 8

108

15

46"'2830507015

1088

B,sen

Bsen

relacin).unahaysoloagudos,serdehanyobtuso,es(Como CBA

:nguloelHallamos C "14'3141180 BAC

Calculamos el lado c:

m4610

108

15

"14'3141

,c

sensen

c

Asen

a

Csen

c

Por tanto: "14'3141Cm;46,10c;"46'2830Bm;8b;108Am;15a

EJERCICIO 13 : Calcula los lados y los ngulos del siguiente tringulo:

Solucin:

Como conocemos los tres lados y cada lado es menor que la suma de losotros dos, existe solucin nica. Hallamos los ngulos A y B con el teoremadel coseno:

Acosbccba 2222 Acos,, 423625128451

845136251242 ,,Acos 59342 ,Acos

"12'54948500 A,Acos

Bcos,,,Bcosaccab 4863684512512222

87502512368451486 ,Bcos,,Bcos, "7'5828 B

"41'756180 BAC

Por tanto: "41'756Ccm;6c;"7'5828Bcm;5,3b;"12'5494Acm;2,7a

EJERCICIO 14 : Dos barcos salen de un puerto a la misma hora con rumbos distintos, formando unngulo de 110. Al cabo de 2 horas, el primer barco est a 34 km del punto inicial y el segundo barco,a 52 km de dicho punto. En ese mismo instante, a qu distancia se encuentra un barco del otro?


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Solucin:Hallamos la distancia, x, aplicando el teorema del coseno:

38209170421561

1105234252342

222

,x

cosx

km2071

3850692

,x

,x

Por tanto, la distancia entre los dos barcos es de 71,20 km.

EJERCICIO 15 : Se desea unir tres puntos, A, B y C, mediante caminos rectos que unan A con B,B con C y C con A. La distancia de A a B es de 100 metros, el ngulo correspondiente a B esde 50, y el ngulo en A es de 75. Cul es la distancia entre B y C? Y entre A y C?

Solucin:

:nguloelHallamos C 55180 BAC Calculamos a y b aplicando el teorema de los senos:

m9211755

75100

55

100

75,

sen

sena

sensen

a

m529355

50100

55

100

50,

sen

senb

sensen

b

Por tanto, la distancia entre B y C es de 117,92 m y la distancia entre A y C es de 93,52 m.

EJERCICIO 16 : Resuelve el siguiente tringulo, es decir, halla el valor de suslados y de sus ngulos:

Solucin:

:senoslosdeteoremaelconnguloelHallamos B

BsensenBsen

b

Asen

a 6

105

10

"9'253558010

1056

B,sen

Bsen

solucin).unahaysoloagudos;serdehanyobtuso,es(Como CBA

:denguloelHallamos C "51'3439180 BAC

Calculamos el lado c: m6610510

"51'3439,c

sensen

c

Asen

a

Csen

c

Por tanto: "51'3439Cm;6,6c;"9'2535Bm;6b;105Am;10a

EJERCICIO 17 : Sara y Manolo quieren saber a qu distancia se encuentra un castillo que est en laorilla opuesta de un ro. Se colocan a 100 metros de distancia el uno del otro y consideran eltringulo en cuyos vrtices estn cada uno de los dos, y el castillo. El ngulo correspon-diente al

vrtice en el que est Sara es de 25 y el ngulo del vrtice en el que est Manolo es de 140. A qudistancia se encuentra Sara del castillo? Y Manolo?

Solucin:

:sernguloEl C 1514025180 C Con el teorema de los senos hallamos los lados x e y:

m3524815

140100

15

100

140,

sen

senx

sensen

x

m2916315

25100

15

100

25,

sen

seny

sensen

y

Por tanto: Sara est a 248,35 m del castillo y Manolo, a163,29 m.


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DEMOSTRAR IGUALDADES TRIGONOMTRICAS

EJERCICIO 18 : Demuestra que:

a)xsenxcos

xcos

xcos

xsen

xsen

xcos

221

2111

b) 1

21

22 2

xcosx

cos

c) ysenxsenyxsenyxsen22

d)

xsenxsenxcos

xcosxcosxsen

21

2

e) xcosxcos

xsen

x2tg

xsen 2

2

Solucin:

a)

2

2

11

1

111

1

22222

xcosxsenxcos

xsenxcos

xcosxsenxcos

xsenxcos

xcosxsen

xsenxsenxcos

xcos

xsen

xsen

xcos

xsenxosc

xosc

22

1

21

b) 112

1

2

12

2

1

22 2

xcosxcosxcosxcos

xcosx

cos

c)

22 ysenxcosycosxsenysenxcosycosxsenysenxcosycosxsenyxsenyxsen ysenxsenxsenysenxcosysenxsenyxsencosycosxsen 2 2222222222 1

ysenxsenysenxsenysenysenxsenxsenysenxsen 22222222221

d)

xsenxcosxsenxcos

xcosxcosxsenxcosxsen

xsenxcos

xcosxcosxsen 22

xcos

xcosxcosxsenxcosxsen

xsenxcos

xcosxcosxsen

2

222 22

22

2

xsenxcosxsenxcosxsenxcosxsen 2121222

e) xcos

xsen

xcos

xsen

xsen

xcos

xsen

xtg

xsen 22

2

2

2

2

2

xcos

xsen

xcosxsen

xsenxcosxsen

xcos

xsen

xsen

xcosxsen 2222

2

2

2

22

xcosxcos

xcos

xcos

xsenxsenxcos

xcos

xsen

xcos

xsenxcos

2222222

RESOLUCIN DE ECUACIONES TRIGONOMTRICAS

EJERCICIO 19 : Resuelve:a) 14545 xsenxsen b) sen2xcos x 0

c) cos x sen2xsen x 0 d) xsenxcosxcosxcos 333

e) xcosxcos 3124 f) xsenxcosxcosxsen 22122

Solucin:

a) 14545 xsenxsen 145454545 senxcoscosxsensenxcoscosxsen

1452 cosxsen 2

2

2

1121

2

22 xsenxsenxsen

kx

kkx

360135

donde36045

Z

b) 0120202

xsenxcosxcosxcosxsenxcosxsen


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donde360330

360210

2

1012

36027036090

0

Zkkx

kxxsenxsen

kxkx

xcos

c) 01xcos2xsen0xsenxcosxsen2xcos0xsenx2senxcos2

2

2

2

1

2

1012

36018036000

22 xcosxcosxcos

kxkxxsen

kx

kxxcos

kxkxxcos

360225

360135

2

2

36031536045

22

Por tanto, las soluciones son:

.donde

360225360315360180

360135360453600

Z

k

kxkxkx

kxkxkx

d) xsenxcosxcosxcos 333 0333 xsenxcosxcosxcos 0332 xsenxcosxcos

0331 2 xsenxsenxcos 0232 xsenxsenxcos 0232 xsenxsenxcos

023

360270360900

2 xsenxsen

kxkxxcos

vale)(no2

1

2

13

2

13

2

893xsen

kxxsen 3602701

Por tanto las soluciones son:

Zsiendo

360270

36090k

kx

kx

e) xcos31xsenxcos4xcos31x2cos422 xcos31xsen4xcos4 22

xcos31xcos14xcos422 05xcos3xcos8xcos31xcos44xcos4 222

1

8

5

16133

161693

1616093xcos

kxxcos

k

kx

kxxcos

3601801

siendo

360"56'40308

360"4'1951

8

5

Z

f) xsenxcosxcosxsen 22122 xsenxcosxsenxcosxcosxsen 222 212

0212 222 xsenxcosxsenxcosxcosxsen 012 22 xcosxsenxcosxcosxsen 0112 xcosxcosxsen 02 xcosxcosxsen 012 xsenxcos

kx

kxxx

k

kx

kxx

360150

36030

2

1sen01sen2

siendo

360270

360900cos

Z

REPRESENTACIN DE FUNCIONES TRIGONOMTRICAS

EJERCICIO 20

a Representa la siguiente funcin trigonomtrica:

2

xcosy

b Escribe la ecuacin de la funcin cuya grfica es la siguiente:


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Solucin:a Hacemos una tabla de valores:

La grfica sera:

b La grfica corresponde a la funcin y cos x.

EJERCICIO 21a Escribe la ecuacin de la funcin correspondiente a esta grfica:

b Representa la siguiente funcin: ycosx

Solucin:

a La grfica corresponde a la funcin ysen x.b Hacemos una tabla de valores:

La grfica sera:

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