Prof. Jess Venero ANLISIS MATEMTICO 1 3 A Funcin Inyectiva-Funcin Inversa

1

37. Pruebe que si 21

xf ( ) x

x=

+ entonces 2

1x

f ( x ) ( )x

=

.

38. Si 1f ( x ) x= , 1x ; 3 1 0 35 3 8

x , x [ , ]g( x )

, x ,

, halle of g .

39. Sea 4 3 3f ( x ) ( x )/( x )= + , 3x . Demuestre que f es inyectiva. Halle 1f .

40. Demuestre que 2 6 7f ( x ) x x= + , 7x , , es inyectiva. Halle su rango y su funcin inversa 1f .

41. Si existe halle la funcin inversa de 22f ( x ) x x= , 2 1x [ , ] .

42. Si existe halle la funcin inversa de 22f ( x ) x x= , 2 1 2x [ , / .

43. Si 22 2

0

| x | , xf ( x)

x , x

=

48. Halle of g para 2 11 1

x , xf ( x)

x , x

+ = >

,

2 01 0

x , xg ( x )x , x

53. Si 2 4 3 2

3 1

x x , xf ( x )

x , x

= +

, halle la funcin inversa 1f , si existe.

54. Halle 1f , si existe, para 2

3 3

2 3 1 1

x , x [ ,f ( x )

x x , x [ ,

= +

55. Si f: 1 4[ , ] [ a , b ] , 2 2 2f ( x ) x x= + , demuestre que f es inyectiva y halle a y b

Prof. Jess Venero ANLISIS MATEMTICO 1 3 A Funcin Inyectiva-Funcin Inversa

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para que f sea biyectiva.

56. Halle la funcin inversa 1f , si existe, para 2

2

2 3 1

3 2 2 1 1

x x , x [ ,f ( x )

x x , x [ , ]

= + +

57. Si f : 6 10, ]A , 11 4 2 4f ( x ) ( x )/ ( x )= , halle el conjunto A para que f sea biyectiva. RPT: 4 20[ ,A =

58. Si f : 1 4, ]B , 3 10 10 2f ( x ) ( x )/ ( x )= + , halle el conjunto B para que f sea biyectiva. RPT: 20 30 11, / ]B = . 59. Si 1 2f ( x ) x = , 22 2(g f ) ( x ) x x+ = , encuentre g ( x ) .

60. Sea f una funcin inyectiva tal que 8f ( f (a ) ) f ( )= , 1 8 3f ( ) = , calcule el valor de a y de 14 2 5m f ( ) f [ f ( ) ]a = + . RPT: 3a = .

61. Si 21f ( x ) x+ = , 2 6x , ] ; 1 2 1g ( x ) x = , 1x [ , , halle ( f g ) y (g f ) .

62. Si 2f ( x ) x x= , 0 1x [ , ] , demuestre que f tiene funcin inversa 1f . Halle esta funcin inversa. RPT: 1 21 1f ( t ) ( t ) = , 0 1t [ , ] .

63. Pruebe que la funcin 2 4 1f ( x) x x= + , 5 3x , ] es inyectiva y halle su funcin inversa 1f . RPT: 1 2 5f ( x) x = + , 4 4x [ , .

64. Halle el mximo dominio de 5 1 5f ( x ) ( | x | x ) x= + + , simplifique f ( x ) y de-

muestre que sobre su dominio f es inyectiva. Halle 1f . RPT: 21 5

36x

f ( x)

= , 0x .

65. Sea 4 3 3f ( x ) ( x )/( x )= + , 3x . Demuestre que f es inyectiva y halle 1f .

66. Sea f : 1 5[ ,A , 2 3 2f ( x ) ( x )/( x )= + . Si f es suryectiva, halle el conjunto A . Demuestre que f es inyectiva y halle su funcin inversa 1f .

67. Sean las funciones f : A B , g : B C . Demuestre que: a) Si g f es suryectiva entonces g es suryectiva. b) Si g f es inyectiva entonces f es inyectiva.

68. Sea f : B , 2f ( x ) | x | x= + . Si f es suryectiva, halle el conjunto B.

69. Resuelva las ecuaciones: a) 2 128x = , b) 3 5x = , c) 32 15x = , d) 2 5Log ( x) = , e) 23 4 4Log ( x ) = , f) 22 3Log ( x ) = , g) 5

1 110

xLog ( )

= ,

h) 22 2 7 3Log ( x x ) = , i) 24 1x = , j) 4 8 2 15 0x x( ) + = , k) 9 3 3 10 0x x( ) = , l) 34 2 15 0x x + + = ,

m) 2 13 5 3 2 0x x( )+ + = , n) 3 23 3 4 21 2Log [ x x x ] + = , o) 14 17 2 15 0x x( )+ + = , p) 25 55 6 0Log ( x ) Log ( x ) + = , q) 2 2 3 0Ln ( x ) Ln( x ) = , r) 2 27 11 9 17 3 6 0x x x( ) ( ) ( ) + =

s) 2 8 11 4 17 2 6 0x x x( ) ( ) ( ) + = , t) 125 3 25 4 5 12 0x x x( ) ( ) + =