Ejmplo ejercicio geomecanica

8/17/2019 Ejmplo ejercicio geomecanica

1/22

Determinación de Esfuerzos principales máximos y minimos y Esfuerzos de Corte

Principal

Ejercicio Nº 1

Luego el esfuerzo máximo es:

σx = - ! (Esfuerzo de tracción)

σy = -1! (Esfuerzo de tracción)

τxy = "!

τyx = - "!

a = 1 # σx $ σy % 1 # - ! $ - 1! %

& &

a = - '(

r = 1 # σx ) σy %& $ τxy&*

"

r = 1 # - ! $ 1! %& $ #"!%& *

"

r = "+,1+

σ1 = 1 #σx $ σy % $ 1 # σx – σy %& + τ xy& *

& 4

σ1 = 1 # - ! $ -1! % $ 1 # - ! $ 1! %& $ #"!%& *

& "


2/22

Luego el esfuerzo mínimo es:

Por la invariante I1 se tiene que:

#σ x $ σ y % = (σ 1 $ σ ' %

# -! $ -1! % = # 1&,1+ $ - &,1+ %

+! = +!

Por la invariante I se tiene que:

σ1 = 1&,1+

σ' = 1 #σx $ σy % - 1 # σx ) σy%& $ τxy& *

& 4

σ' = 1 #- ! $ -1! % - 1 # - ! $ 1! %& $ #"!%& *

& "

σ' = - &,1+

τ

θmax = 1 # σ1 ) σ' %

&

τ

θ

max = 1 # 1&,1+ ) &,1+ %&

τθmax = "+,1+ = r


3/22

Por la Invariante I! esta"lece que el #lano donde act$a τθmáx% & σ1 siem#re forman un

ángulo de '

τθmax = "+,1+

r = "+,1+

./ θ ="+,1+ θ =0rct/ 1 "+,1+

. θ = r .

τθmax

θ

= 45

"(ºσ1σ3

τ

σ

"(º


4/22

Por invariante I' se esta"lece que el #lano donde act$a σ1 & σ! siem#re forman un ángulo

de *+

Por invariante I se esta"lece que si τθ máx% & σ1 son iguales a cero entonces estos, están

actuando en #lanos distintos%

90º

σ1σ3σ

. θ = 2r

.

-i#-i#

τ


5/22

Ejercicio Nº &

Luego el esfuerzo máximo es:

a = 1 # σx $ σy % 1 # - 1!! $ "! %

& &

a = - '!

r = 1 # σ

x ) σ

y %

&

$ τ

xy

& *

"

r = 1 # - 1!! - "! %& $ #"!%& *

"

r = !,&

σ1 = 1 (σx $ σy % $ 1 # σx ) σy %& $ τ xy& *

& "

σ1 = 1 # - 1!! $ "! % $ 1 # - 1!! - "! %& $ #"!%& *

& "

σ1 = (!,&

σx = - 1!! (Esfuerzo de tracción)

σy = "! (Esfuerzo de com#resión)

τxy = "!

τyx = - "!


6/22

Luego el esfuerzo mínimo es:

Por la invariante I1 se tiene que:

#σ x $ σ y % = #σ 1 $ σ ' %

# -1!! $ "! % = #(!,& $ -11!,& %

- ! = - !

Por la invariante I se tiene que:

σ' = 1 #σx $ σy % - 1 # σx ) σy%& $ τ xy

& *

& "

σ' = 1 #- 1!! $ "! % - 1 # - 1!! - "! %& $ #"!%& *

& "

σ' = - 11!,&

τθmax = 1 # σ1 ) σ' %

&

τ

θmax = 1 # (!,& $ 11!,& %

&

τ

θmax = !,& = r


7/22

Por la Invariante I! esta"lece que el #lano donde act$a τθ máx% & σ1 siem#re forman un

ángulo de '

τθmax = !,&

r = !,&

./ θ = !,& θ = 0rct/ 1 !,&

. θ = 3 3r ,

τθmax

θ ="(º

"(ºσ1σ3

τ

σ

"(º


8/22

Por invariante I' se esta"lece que el #lano donde act$a σ 1 & σ ! siem#re forman un

ángulo de *+

Por invariante I se esta"lece que si τθ máx% & σ 1 son iguales a cero entonces estos, están

actuando en #lanos distintos%

90º

σ1σ3

τ

σ

. θ = 2r

.

-i#-i#


9/22


10/22


11/22

Demostración teórica de la en4ol4ente de Coulom5

Criterio de 6o7r

.eg$n la teoría de /o0r, el material se #lastificará o se rom#erá cuando la tensión de corte

σθ en el #lano de rotura alcance un determinado valor, que de#ende de la tensión normal

σn que act$a so"re dic0o #lano, o "ien, si la tensión #rinci#al de tracción máxima alcanza

el valor de la resistencia a la tracción o, es decir, σ! 2 o%

/ediante los ensa&os de la"oratorio, se o"tienen una serie de círculos, uno #or cada

ensa&o% Estos círculos re#resentan el estado tensional del material en el momento de la

rotura, en e3es σ, τ%

La relación τθ 2 f (σθ), definida como la envolvente de los círculos de /o0r, es una curva

de ti#o #ara"ólico que divide el #lano

σ,

τ en dos zonas, de tal forma que #ara un estado

de tensiones del material re#resentado #or un círculo situado com#letamente en el interior

de la envolvente definida anteriormente, circulo 1 de la figura siguiente, el material no se

rom#erá%


12/22

4uando el círculo re#resentativo de las tensiones del material es tangente a la envolvente,

#unto 4 de la figura en el círculo , el material se rom#erá seg$n un #lano que forma un

ángulo θ con la tensión de com#resión σ!% Por $ltimo cuando el círculo en secante a la

mencionada envolvente, #unto 5 & 6 de la figura en el círculo !, en la zona com#rendida

entre 5 & 6, exterior a la envolvente, se 0an su#erado las tensiones limites del material &

7ste se rom#erá8 en realidad es im#osi"le la existencia de un circulo de este ti#o en la roca%

4onsiderando el círculo de radio 9 , que re#resenta el estado tensional de la roca en el

momento de la rotura, se define el coeficiente de seguridad de una roca cometida a un

estado tensional definido #or el círculo 1, de radio 9 1, como el coeficiente 9 9 1%

.i se somete la #ro"eta a una com#resión 0idrostática, al quedar reducido a un #unto el

círculo que re#resenta el estado de tensiones de la #ro"eta, 7sta no se rom#erá en ning$n

caso%

89N0 DE :9.;:0

89N0 DE :9.;:0

EN DE 692:


13/22

Criterio de Coulom5-Na4ier

;ada la im#osi"ilidad de encontrar una solución matemática de la envolvente definida #or

/o0r τθ 2 f (σθ), en el criterio de 4oulom" se de"e a la simetría de los círculos res#ecto al e3e σ8 #or consiguiente

a#arecerán rectas tangentes a la serie de círculos%

4+, ordenada en el origen, define la co0esión del material%

φ, #endiente de la recta, define el ángulo de rozamiento interno%

Este criterio de rotura, además #redice el #lano #or donde se su#one que rom#erá el

material%

eniendo en cuenta la recta de 4oulom" & las relaciones entre σ1, σ!, τθ, σθ & tgφ que se

deducen de la figura anterior, se #uede o"tener la relación entre σ1 & σ! en el momento de

la rotura%

@A

5cd

a

@'e

φ

A B

Co

o


14/22

En la rotura θ = 90 − φ & la ecuación anterior #asa a:

;e esta ultima formula se o"tiene σ1:

4uando σ3 B es cero, σ1 re#resenta la resistencia a la com#resión, que se re#resentara

mediante σχ:

El estado tensional en el momento de la rotura, definido #or σ1 & σ3, teniendo en cuenta

las dos ultimas relaciones, es el siguiente:

Esta relación #uede utilizarse como criterio de rotura.

El criterio de 4oulom"en &θ = Co $ t/φ&

σ1 $ σ' - σ1 - σ' Cos &θ& &

σ

1

) σ3

Cos φ = Co $ t/φ σ1 $ σ' - σ1 - σ' >enφ& & &

σ

1

= 2Co Cos φ σ3

1 >en φ

1 − >enφ 1 − >enφ

σ

1

= 2Co Cos φ1 − >enφ

σ

1

= σc 1 >en φ σ3

1 − >enφ


15/22

cuando σ1, σ o σ! alcancen el valor de la resistencia a tracción del material, o8 el #lano de

rotura será #er#endicular a la dirección de dic0a tensión%

Para o"tener la recta de 4oulom", 0a& que a3ustar una recta tangente a todos los círculos%

;e"ido a diversos factores in0erentes a la roca & a los ensa&os, este a3uste no tendrá una

solución matemática exacta, &a que 0a"rá una serie de círculos que corten a la recta de

4oulom" & a otros que se a#roximen a ella sin ser tangentes ni secantes%

Demostración de los máximos cuadrados

Para realizar el #rocedimiento de la demostración de los máximos cuadrados se de"e a3ustar

una recta C2 "+ ? mx a la recta de /o0r 4oulom":

;onde τ 2 4o ? σn D tg φ

A B

C

D

φ

τ

=σn * tg φ + Co

Y = mx + bo

τ

O

F


16/22

, #ero 64 2 "o

Pero como se tiene 6; 2 4o

Igualando las ecuaciones (1) & () o"tenemos:

#ero g α 2 m 8 #or lo tanto des#e3amos 4o , así o"tenemos:

σ

g α 2 64 56 2 64 %

56 gα

0 = bo . . α

Ec,#1%

g φ 2 6; 56 2 6;%

56 gα

0 = Co ,

./αEc,#&%

"o 2 4ogα gφ

Co = 5o t/φ

m

Ec,#'%


17/22

Luego:

Posteriormente se o"serva en la grafica que:

E 2 5 D m 9 2 5 D m 8 igualando .en φ D 5 2 5 Dm

"teniendo la ecuación (') la reem#lazamos en (!), & luego se tiene:

g α 2 E 2 m5

9E = 09 m

r = 9E = 9F

.en φ = F F 2 .en φ DB B5r = >en φ 09

>en φ = 3m

φ =arcsen3#m%

Ec,#"%

4o 2 "o D g φ ; m 2 sen φ

m

4o 2 "o D g φ Co = "o D .en φ

.en φ .en φ 4os φ

Co = 5o .

Cos φ


18/22

Determinación de los parámetros Fricción y Co7esión

Gna vez realizadas las demostraciones anteriores se #uede determinar los valores de la

fricción & la co0esión mediante el m7todo de los mínimos cuadrados #ara o"tener valores

H3 e C3, seg$n la ta"la entregada en la"oratorio:

Esfuerzo #rinci#al ma&or σ1(/#a)

Esfuerzo #rinci#al menor σ3(/#a)

1

1J J

1' '

*+

1+ 1

1*+ K

Por la invariante 1 se tiene que:

#σx $ σy% = #σ1 $ σ'%


19/22

Luego los valores de H3 e C3 están dados #or:

Posteriormente los valores o"tenidos de H3 e C3 son res#ectivamente:

Gj Hj

(I

(,( +I,(

" !" ""

111 II

II I1

Jrafico de Ecuación H = 5o $ m x

4on los datos o"tenidos anteriormente se #rocede a realizar el siguiente grafico:

H3 2 1 (σx ? σ&) 2 1 (σ1 ? σ3)

C3 2 1 (σx


20/22

Jrafico Cur4a H= 5o $ mx

0

20

40

60

80

100

120

-20 0 20 40 60 80 100 120

Xj

Y j

4on el cálculo de estos valores se #rocede determinar los siguientes valores #ara facilitar el

calculo de los #arámetros m & "o:

Gj Hj #GjHj% #G&%

66 59 894 456

85.5 !9.5 6!9!."5 !#0."564 60 840 4096

46 44 "0"4 "##6

### 99 #0989 #""#

99 9# 9009 980#

Σ = 4!#.5 Σ = 4".5 Σ = 655."5 Σ = 40000."5

Luego el calculo de los #arámetros m & "o esta dado #or el m7todo de los mínimos

cuadrados:

m = $*Σ

(X*Y% – (Σ

X%*(Σ

Y%

NΣ

#G&% ) #Σ

G%&5o = #ΣH% )

m#ΣG%


21/22

;onde:

• = 2 =ro de datos ta"ulados

• ΣH 2 .umatoria de la columna H3

• ΣC 2 .umatoria de la columna C3

m 2 JD!J!% '1%D'!% m = !,+!'

JD'++++% ('1%)

"+ 2 '!% +%K+!D'1% 5o = ',I&'

J J

Luego reem#lazamos los valores o"tenidos en las ecuaciones demostradas anteriormente

(') & () res#ectivamente:

m B= B.en φ φ = 5rcsen m

φ 2 5rcsen 0.8703

4o 2 bo .

4os φ

4o 2 !%J*! .

4os J+%'*'

C finalmente se o"tiene el siguiente grafico #ara la co0esión & fricción:

φ = !,"I"º

Co= +,"I


22/22

Co = !.4968

&

φ = 60.494º

&

Ejmplo ejercicio geomecanica

Documents

Transcript of Ejmplo ejercicio geomecanica