Ekarpen orekatuak, grafo probabilistikoak eta kooperazio ...€¦ · Azkenik, EHUri, lan honek UPV...
Transcript of Ekarpen orekatuak, grafo probabilistikoak eta kooperazio ...€¦ · Azkenik, EHUri, lan honek UPV...
Ekarpen orekatuak, grafo probabilistikoak eta kooperazio hierarkiak utilitate transferigarriko jokoetan
Jakintza-arloa: Matematika
Egilea: XABIER LASAGA TXOPERENA
Urtea: 1997
Zuzendaria: EMILIO CALVO RAMON
Unibertsitatea: UPV-EHU
ISBN: 978-84-8438-373-4
Hitzaurrea
Joko-teoriak, Euskal Herriarekin lotu daitezkeen hainbat kontzeptu jorratu arren (gatazka, enkanteak, apustuak,…), doktorego-tesia egiten ari nintzen garaian (90. hamarkadan) berari buruzko euskarazko lanik ez nuen aurkitu. Ni ere, ohikoa zen bezala, testua gazteleraz eta ingelesez lantzen ari nintzen; gazteleraz, tesia defendatzeko, eta ingelesez, hortik sortu zitezkeen artikuluak argitaratzeko asmoarekin. Ikusitako hutsunea bete nahian, tesia euskaraz ere idazteko erronka hartu nuen, epeak zirela medio, dena egiteko oso egun gutxi eduki arren. Irakurtzerakoan, presa horiek berehala nabarituko dituzue. Gainera, arlo honi lotutako hainbat kontzeptu euskaraz idatzi gabeak zirenez, arazo terminologikoak ere topatu nituen. Hori guztia ahalbideratzeko, Txus Ortells lankidearen aldetik laguntza handia jaso nuen.
Bestalde, badakit doktorego-tesi batek hizkuntza batua eskatzen duela. Hala ere, joko-teoriako euskarazko lehena zela medio, apaltasun osoz, nire euskalkiaren ukitua eman nahi izan nion.
Bukatzeko, lan honetan oinarritutako hiru artikulu argitaratu zirela esan beharra dago: “Values of games with probabilistic graphs” artikulua, Mathematical Social Sciences aldizkarian (E. Calvo eta A. van den Nouweland-ekin batera); “The principle of balanced contributions and hierarchies” artikulua, Mathematical Social Sciences aldizkarian (E. Calvo eta E. Winter-ekin batera) eta “Probabilistic graphs and power indexes: An application to the Spanish parliament” artikulua Journal of Theoretical Politics aldizkarian (E. Calvo-rekin batera).
Hutsuneak hutsune, norbaitentzat baliagarria izatea nahiko nuke. Horrela izan dadila.
Xabier Lasaga2011
EKARPEN OREKATUAK, GRAFO
PROBABILISTIKOAK ETA KOOPERAZIO
HIERARKIAK UTILITATE
TRANSFERIGARRIKO JOKOETAN
Doktorego Tesia
Xabier Lasaga Txoperenak
Zuzendaria: Emilio Calvo Ramón
Ekonomi eta Enpresa Zientzien Fakultatea
Euskal Herriko Unibertsitatea
Bilbao 1997
Mila esker
Emilio Calvori, tesiaren zuzendaria, emandako denboragatik eta eskainitako ideiengatik,
oinarrizkoak izan baitira lan honetarako.
Anne van den Nouweland, Belén Castro eta Eyal Winterri, lan honetako garai desberdinetan
egin dituzten ekarpenengatik.
Bere denbora eskaini didaten Sarrikoko lankidei, eta bereziki Txus Ortellsi, euskarazko
bertsioan egin ditudan akatsa guztiak egonarritsu konpontzen ibiltzeagatik.
Nere guraso eta bertze senitartekoi, bere baldintzarik gabeko laguntzagatik.
Cristina eta Matxaleni, lan honetan zehar eskainitako adore eta pazientziagatik.
Juani, bere marrazki bikainengatik eta nekerik gabe laguntzeagatik behar izan dudan aldiro.
Garaziri, Oierri eta nere adiskide guztiei, jasotako laguntzagatik.
Lucky Strikeri, beti bere tokian egoteagatik.
Azkenik, EHUri, lan honek UPV 036.321-HA127/93 eta UPV 036.321-HA012/94
proiektuetatik finantziazio partziala jaso baitu.
Jouer c’est rechercher dans l’incertitude
RAYMOND QUENEAU
Aurkibidea
Sarrera .............................................................................................................................. 1
1. kapitulua: Ekarpen orekatuen hastapena eta kooperazio hierarkiak .................. 4
1 Sarrera ....................................................................................................................... 5
2 Notazioak eta definizioak ......................................................................................... 7
2.1 Shapleyen balioa ............................................................................................... 7
2.2 Egitura koalizionalak ........................................................................................ 9
2.3 Maila egiturak ................................................................................................. 13
3 Funtzio potentziala ................................................................................................. 17
4 Ekarpen orekatuak .................................................................................................. 21
2. kapitulua: Grafo probabilistikoak joko kooperatiboetan .................................... 28
1 Sarrera ..................................................................................................................... 29
2 Komunikazio grafoak ............................................................................................. 31
3 Grafo probabilistikoak ............................................................................................ 35
4 Ekarpen orekatuak eta justizia: balioaren bi axiomatizazio ................................... 42
5 Grafo probabilistikoak eta egitura koalizionalak ................................................... 49
3. kapitulua: Egonkortasuna bozketa jokoetan: Espainiako Parlamenturako
aplikazioa ................................................................................................ 58
1 Sarrera ..................................................................................................................... 59
2 Botere indizeak bozketa egoeretan ......................................................................... 61
3 Espainiako Parlamentua ......................................................................................... 65
4 Egonkortasun analisia ............................................................................................. 71
5 Egonkortasuna Espainiako Parlamentuan .............................................................. 74
6 Azken oharrak ........................................................................................................ 81
Laburbilduma ................................................................................................................ 85
Erreferentzi bibliografikoak ........................................................................................ 87
SARRERA
1
Sarrera
Joko teoria testu anitzetan deskribatu ohi da erabaki n-pertsonalaren teoria edo gatazken
analisia bezala. Maiz agertzen dira mehatxu, kooperazio, pizgarriak, zigorrak eta bertze
antzeko hitzak, berehala eramangarriak direnak eguneroko egoeratara, giza harremanetako
edozein esparruetan.
Hasiera batean ekonomia arlora bideratu bazen ere, eta eremu horren barruan industri
antolakuntzara, ikusi da bere egitasmoak baliogarriak direla interes kontrajarri eta aldi berean
elkarmenpekoko pertsona edo talde desberdinek parte hartzen duten egoerak aztertzeko.
Horrela, aspaldion bere aplikagarritasuna arlo desberdinetara hedatu da: politika zientziara,
psikologiara, biologia ebolutibora, etab.
Joko batean, elementu nagusia jokalaria da. Hau anitzetan pertsona bat izan arren, pertsona
taldea, alderdi politikoa, enpresa edo asmo eta nahi berarekin aritzen den bertze edozein talde
izan daiteke.
Azaletik, jokoak bi zatitan bana daitezke, jokalariak beraien artean akordioetara iristeko
gauza diren edo ez direnaren arabera. Ez badira gauza, bakoitzak estrategia bat hautatu
beharko du aukera posible batzuen artean. Bakoitzak bere hautaketa egin ondoren, jokoaren
emaitza bat zehaztua gelditzen da, eta beraz jokalariek lortzen duten utilitatea. Horrela,
jokoaren muina jokalarien hautaketa egokian datza, hau da, beraien onurak hoberenatzen
dituen estrategia ezartzean. Mota honetako jokoak ez kooperatiboak deitzen dira. Joko
kooperatiboek, ordea, jokalarien artean komunikazioa dagoen kasuak aztertzen dituzte, eta
zehatzago, parte-hartzaileen arteko edozein akordio betetzeko prest daudenen kasuak.
SARRERA
2
Helburua arau bat aurkitzea izanen da, non egoera bakoitzari aplikatua, emaitza automatikoki
adierazten duen. Arau hauek jokoaren soluzioak deitzen dira.
Lan honetan gehien bat joko kooperatiboen mota berezi bat erabiliko dugu, utilitatea
jokalarien artean erabat transferigarria izan daitekeen jokoena hain zuzen ere. Joko hauek
utilitate transferigarriko joko kooperatiboak deitu ohi dira.
Aurretik arlo honi buruzko ideia batzuk ukitzen zituzten testuak egon arren, joko teoriaren
sorrera 1944 urtean John von Neumann matematikari hungariarrak eta Oskar Morgenstern
ekonomilari austriarrak idatzi zuten "Game Theory and Economic Behavior" liburuan dagoela
erran daiteke. Liburu honetan joko mota anitzen erreferentziak agertzen dira, eta horrez gain
egileek joko hauen hainbat aplikazio posible ere ematen dituzte.
Bertze garai interesgarria 50 hamarkada izan zen, hor lortutako emaitza batzuk joko teoriaren
garapenari bultzada handia eragin baitzioten, bai eremu kooperatiboan baita eremu ez
kooperatiboan ere. 1950 eta 1951 urteetan John Nashek, adibidez, joko ez kooperatiboen
orekari buruzko hainbat kontzeptu orokortzen ditu n pertsonen jokoetara. Joko kooperatiboen
arloan, berriz, 1953 urtean bi kontzeptu berri garatzen dira: Donald Gilliesek huna definitzen
du, eta Lloyd S. Shapleyek, balioa. Azken honekin, eredu kooperatibo n-pertsonalen garapena
mugatzen zuten bi arazo nagusi konpondu zituen: existentzia eta bakartasuna. Ordurarte
gehien erabilitako soluzio kontzeptua 1944 urtean John von Neumann eta Oskar
Morgensternek definitutako "multzo egonkorra" zen, baina beraiek frogatua zeukaten bere
bakartasuneza, eta gainera bere existentzia n jokalariko joko kooperatibo guztietarako ez zen
ezagutzen (1969 eta 1972 urteetan Willian F. Lucasek soluzio hau ez zuten jokoen
kontradibideak aurkitu zituen).
Lloyd S. Shapleyek axioma sorta bat proposatu ondoren, utilitate transferigarriko joko
kooperatibo guztietarako baieztatzen zituen funtzio (balioa) bakarra ezarri zuen. Lan hau 1950
urtean Harold Kuhn eta Albert Tucker matematikariek hasitako "Contributions to the Theory
of Games" izenburuko bildumaren bigarren bolumenean argitaratu zen. Shapleyen balioa
erabat onartua eta erabilia izan da hainbat arlo desberdinetan, adibidez kostu banaketari
buruzko problemetan, eta alderdi politikoen boterearen analisia egiteko bozketa jokoetan;
SARRERA
3
lehen kapituluko hasieran zehatzago definituko dugu, balio hau izanen baita lana honetan
ikusten diren egoerak aztertzeko erabiliko dugun soluzio kontzeptua.
Hemen aurkezten den memoria hiru kapitulutan banatuta dago, eta bere oinarrizko
edukiera izenburuan agertzen da. Utilitate transferigarriko joko kooperatiboek adieraziko dute
denbora gehienean mugituko garen eremua, eta ekarpen orekatuen hastapena, berriz,
proposatzen ditugun bi ezaugarriztapen garrantzitsuenen ardatz nagusia izanen da. Roger
Myersonek 1980 urtean definitu zuen propietate honek, bi jokalari hartuz, baten jokotik
ateratzeak bertzearengan suposatzen duen eraginarekiko bi jokalarien oreka planteatzen du.
Bertze bi kontzeptuek, bi lehen kapituluetan garatzen diren jokoen murrizketak definitzen
dituzte. Maila egiturak, jokalarien arteko aldez aurreko kooperazioak adierazten ditu. Jokalari
batzuek elkartzea erabaki dezakete, beraien arteko ordainketak hobetzeko asmoarekin; eta
horrela eratutako blokeek aldi berean gauza bera egiteko asmoa izan dezakete, aurreko
blokeen bilduraz osatutako superblokeak eraikiz. Honek, jokalarien arteko bigarren
kooperazio maila adieraziko luke. Prozedura hau errepika daiteke elkartzeko asmoa daukaten
blokerik dagoen bitartean. Eyal Winterek 1989an mota honetako jokoak ezaugarriztatu zituen,
1977 urtean Guillermo Owenek maila bateko kasurako egindakoa hedatuz (balio
koalizionala). Guk proposatzen dugun ezaugarriztapen berria hagitz sinplea da (bi axioma
eskatzen dira soilik, efizientzia eta ekarpen orekatuak), eta horrez gain badu bertze abantaila
interesgarri bat: batukortasuna erabiltzen ez denez, baliogarria izanen da aurreko
ezaugarriztapena baino azpieremu anitz gehiagotan.
Bigarren kapituluan planteatutako murrizketa jokalarien arteko komunikazio mailarekin
erlazionatua dago. Egoera erreal anitzetan, jokalari batzuen eta bertzeen arteko lotura graduak
berdinak ez diren kasuak agertzen dira. Adibidez, politikan hau nabarmena da, eta alderdi
batzuek zailtasun handirik gabe akordioetara iristen diren bitartean, bertze batzuen artean hori
bera lortzea ezinezkoa dirudi. Hori konpontzeko era bat, komunikatzeko gai diren jokalari
bikoteak eta konponezinak direnak desberdintzea izan daiteke. Honek emanen digu Roger
Myersonek 1977 urtean definitu zuen eredua, non jokalari bikoteen arteko komunikazioa edo
inkomunikazioa grafo baten bitartez adierazten zen. Hala ere, nabaria da grafo horren
diseinuaren zailtasuna, batez ere arku bat jartzea edo kentzearen arabera azken ordainketa
SARRERA
4
erabat aldatzen bada. Guk proposatzen dugun ereduan, jokalari bikote bakoitzak 0 eta 1-en
arteko komunikatzeko probabilitatea duela suposatuko dugu. Honek, grafo probabilistikoa
deituko dugun aldebiko komunikazio laukia emanen digu, zeinek hasierako funtzio
karakteristikoa aldatuko duen. Funtzio berri honi Shapleyen balioa aplikatuz lortutako
balioak, jokalari batek bertzeekin daukan komunikazio graduaren arabera, lortzea itxaroten
duena adieraziko du.
Hirugarren kapituluak bi lehenengoetan garatutako ideiak biltzen ditu, bozketa joko
politikoetara aplikatuak. Alderdiek aldez aurretik aliantzaren bat ezar dezakete (maila
bakarreko kasua soilik hartuko dugu kontutan), eta gainera elkar komunikatuak daude grafo
probabilistiko baten arabera. Baldintza hauekin joko ez-kooperatibo bat definituko dugu.
Horrela, oreka sendoa kontzeptuaren bitartez, aliantza irabazle egonkorrik dagoen ala ez
ezarriko dugu. Ondoren, lortutako emaitzak Espainiako Parlamentura aplikatuko dira, bai
1993-1996 legealdira, baita orain betetzen ari denara ere.
4
1. kapitulua
Ekarpen orekatuen hastapena eta kooperazio hierarkiak
EKARPEN OREKATUEN HASTAPENA ETA KOOPERAZIO HIERARKIAK
5
1 Sarrera
Soluzio kooperatibo gehienek jokalarien arteko elkarrekikotasun propietateren bat daukate.
Hau gertatzen da, bertzeak bertze, kernel (Davis eta Maschler, 1965), bargaining set (Aumann
eta Maschler, 1964), erdiegonkorren bektore multzoa (Albers, 1979; Selten, 1981 eta Bennett,
1983) eta Shapleyen balioaren (Shapley, 1953) kasuetan.
Batzuetan, elkarrekikotasun propietate honek simetri axioma bat adierazten du soilik;
bertzetan, bargaining set eta kernelen kasuetan adibidez, jokalari multzoarekiko erlazio bitar
simetriko zailagoa dakarkigu. Propietate hauen azpitik, arrazoizko soluzio kontzeptu bat
orekatua izan behar duelakoaren ideia dago: bi jokalari hartuz, haietako baten jokotik
ateratzeak bertzearen ordainketan suposatzen duen eragina bientzat neurri berdina izan behar
duela.
Shapleyen balioari buruzko literaturan honelako hastapen bat planteatu zuen Myersonek
(1980). Edozein bi jokalari hartuz, bakoitzak irabazten edo galtzen duena bertzea jokutik
ateratzeagatik kantitate bera izan behar duela dio Myersonen ekarpen orekatuen hastapenak.
Myersonek hastapen hau erabili zuen Shapleyen balioa konferentzia egiturarekiko jokoetara
hedatzeko, baina bere emaitzen kasu berezi batek Shapleyen axiomatizazio bat ematen digu.
Gure helburua, Shapleyen balioa kooperazio hierarkiekiko jokoetara hedatzea da. Balio hau,
maila egiturarekiko balioa deitu ohi da, eta lehenik Owen (1977) eta Winterrek (1989)
definitu zuten. Maila egitura batek, jokalarien arteko kooperazio hierarkia bat deskribatzen
du. Hierarkia hau jokalari multzoko partiketa desberdinen segidez adierazita egonen da, non
bakoitza hurrengoa baino finagoa den. Hasiera batean, jokalariak bloke disjuntuetan biltzen
dira, egitura koalizioal bat eratuz. Ondoren, hauetako bloke batzuek beraien artean
superblokeetan biltzeko nahia izan dezakete, bigarren kooperazio maila eratuz. Prozedura hau
bukatuko da maila batean dauden blokeek beraien artean biltzeko asmorik ez tutenean. Egoera
1. KAPITULUA
6
honen adibide nabaria da Europako Parlamentuko kasua. Lehen mailan hor dauden alderdiak
oro herrialde desberdinetako alderdiz osatutako 8 talde parlamentarioetan banatzen dira. Hau
finkatua dagoelarik, hauetako talde batzuk beraien artean bil daitezke, aurrekoa baino
partiketa zabalagoa den bigarren kooperazio maila eratuz. Honen ordez bertze maila egitura
egiteko aukera ere badago. Adibidez, eztabaidatzen ari diren aztergaiak herrialde
desberdinekiko eragina dutenean, herrialde bakoitzeko alderdiak bildu ohi dira, eta bigarren
maila batean, antzeko interesak dituzten herrialdeak elkar daitezke beraien helburuak
hobekiago defendatzeko.
Geroxeago definituko dugun maila egiturarekiko jokoen balioak, kooperazio hierarkia hau
kontutan hartuko du azken ordainketen banaketa ezartzeko orduan. Balio hau Winterek (1989)
axiomatizatu zuen, eta bere kasu berezi bat Owenen (1977) eta Hart eta Kurzen (1983, 1984)
balio koalizionala da. Kapitulu honetan, balio honen bertze ezaugarriztapen bat proposatzen
da, non aurrekoan ez bezala axioma bakar batean oinarritua dagoen (efizientziarekin batera),
ekarpen orekatuen hastapena deitu ohi dena. Honek, maila egiturarekiko balioen, Shapleyen
balioen eta Myersonen balioen arteko erlazio sakonagoa ezartzen du. Gainera, batukortasun
axioma erabiltzen ez denez gero, ezaugarriztapen hau aplikagarria izanen da hainbat
azpieremu garrantzitsuetara bakartasuna galdu gabe. Zehazki, gure ezaugarriztapena, bertzeak
bertze, azpieremu hauetara ere aplikagarria izanen da: joko sinpleetara, merkatu jokoetara
(joko erabat orekatuak), joko ganbiletara eta joko gainbatugarrietara. Hau ez da gertatzen,
ordea, Winteren axiomatizazioarekin, azpieremu anitzetan bakartasuna galtzen baita. Honen
arrazoia, batura mantentzen ez duten azpieremuen existentzian datza (adibidez, bi joko
sinpleen baturak ez du zertan joko sinplea izan beharrik). Puntu hau aurrerago berriro ukituko
dugu.
Gure ezaugarriztapena lortzeko bertze kontzeptu garrantzitsu bat ere erabili dugu, Hart eta
Mas-Colellek (1989) definitutako funtzio potentziala hain zuzen ere. Alde batetik, funtzio
honek berak emanen digu maila egiturarekiko balioaren ezaugarriztapen bat, eta bertzalde,
funtzio honetaz baliatuz, kapituluko emaitza garrantzitsuena frogatuko dugu.
Hasiko gara 2. Atalean, notazio eta oinarrizko definizio sorta batzuekin, eta maila
egiturarekiko bi adierazpen esplizitu ematen. 3. Atalean, funtzio potentziala erabiltzen da
EKARPEN OREKATUEN HASTAPENA ETA KOOPERAZIO HIERARKIAK
7
balioa ezaugarriztatzeko. 4. atalean, azkenik, maila egiturarekiko jokoetarako ekarpen
orekatuen axioma definitzen da, eta ondoren, efizientzia baldintza eta axioma honen bitartez
(eta 3. atalean lortutako emaitzen laguntzarekin) balioaren ezaugarriztapen axiomatiko
nagusia lortuko da.
2 Notazioak eta definizioak
2.1 Shapleyen balioa
Biz , zenbaki arrunten multzoa. Multzo honek jokalarien unibertsoa adieraziko du. v jokoa
(aldeko ordainketekin), -ren azpimultzo bakoitzari zenbaki erreal bat ematen dion funtzioa
da, v()=0 izanik. S-ren osagarrian dauden jokalariak kontutan hartu gabe, S koalizioak ziurta
dezakeen ordainketa bezala interpreta daiteke v(S). S bakoitzeko v(SN)=v(S) betetzen bada,
N azpimultzoa v-ren euskarria dela erranen dugu. v euskarriaren edozein supermultzo ere
v-ren euskarria izanen da. Euskarrian ez dauden jokalariek ez dute eragin zuzenik jokoan, ez
baitute inolako ekarpenik ezein koalizioan. Gu euskarri finituak dituzten jokoetara murriztuko
gara. N idatziko dugu (N,v) bikote guztien multzoa adierazteko, v-k N euskarri finitua
daukalarik.
N-ren jokoen soluzioa edo balioa, N-tik n-rako edozein aplikaziori deituko diogu. Gu
Shapleyen balioan zentratuko gara, hau baita kapitulu honetan barna oinarri gisa hartuko
dugun soluzio kontzeptua.
Ikus dezagun edozein (N,v) jokotarako ordenen bitartezko interpretazioan oinarritutako
balio honen adierazpen esplizitu bat. N jokalariko multzoaren gaineko orden bat, :NN
permutazioaren bitartez definituta dago, ordenean (i) izanik i jokalariaren lekua. N-n
definitutako ordena guztien multzoa adierazteko P(N) idatziko dugu. P(,i), n ordenean i-ren
aurretik dauden jokalarien multzoa izanen da, hots, P(,i) = {jN : (j) < (i)}. Shapleyen
balioak, i jokalari bakoitzari ordena batekiko ekarpen marjinalaren itxarotako ordainketa
esleitzen dio, ordena guztiak probabilitate bera dutelarik:
1. KAPITULUA
8
SHi(v) =
)N(P
i,Pvii,PvNP
1 .
1953 urtean, Shapleyek axioma sorta bat proposatu zuen; soluzio batek axioma hauek
betetzea desiragarria izan zitekeen, eta gainera, denak batera eskatuz balio bat unibokoki
ezaugarriztatzen zuten. Formalki, (N,v) joko baten Shapleyen balioa, i jokalari bakoitzari
SHi(N,v) zenbaki erreala ematen dion eta ondoko axiomak betetzen dituen funtzioa da:
SH1 v jokoaren N euskarri bakoitzeko, NvvSHNi
)(i .
Hau da, N euskarriko jokalariek v(N) ordainketa osoa banatzen dute beraien artean.
SH2 Edozein permutazio eta i jokalari hartuz:
SHi(v)=SHi(v)
betetzen da, v jokoa honako era honetan definituta dagoelarik: (v)(S)=v(S) S
koalizio bakoitzeko.
v jokoa hartuz, v jokoen klaseak v dagokion "joko abstraktoa" adierazten du. Orduan,
simetri axioma honek, jokoaren balioa jokoaren propietate abstraktuen menpe soilik
dagoela erran nahi du.
SH3 Edozein v eta w jokotarako, SH(v+w)=SH(v)+SH(w).
Hau da, bi joko independente konbinatzen direnean, beraien balioak jokalariz jokalari batu
daitezke.
Balio honen bertze adierazpen esplizitu bat badago, Harsanyiren (1963) dibidenduetan
oinarritakoa. Har dezagun T euskarriko UT unanimitate jokoa, hots, UT(R)=1 RT bada eta
EKARPEN OREKATUEN HASTAPENA ETA KOOPERAZIO HIERARKIAK
9
UT(R)=0 bertzela. Joko honetan, ordainketa T-ren jokalarien artean eta zati berdinetan
banatuko da, bertze jokalariek deus lortzen ez dutelarik, hots,
SHi(UT) =
bertzela
TiT0
1
Balioa v jokora hedatzeko, gogoratu v unanimitate jokoen konbinazio lineala dela,
v= NT
TTUa , Ta =
TS
ST )S(v)( 1 izanik.
Horrela, jokoaren batukortasun baldintza erabiliz:
SVi(v)=
Ti
NT
T
T
a.
dT=T
aT kantitatea, T-ren jokalarien Harsanyiren dibidendua deitzen da.
2.2 Egitura koalizionalak
Von Neumann-Morgensternen (1944) soluzioetan egitura koalizionalen azterketa inplizituki
agertu arren, non soluzioen barne eta kanpo egonkortasunaren arabera azken ordainketa
emanen zuen egitura koalizional egonkorra aukeratzen zen, egitura koalizional baten definizio
esplizitu bat ez da agertuko bi hamarkada geroago arte, bargaining setari buruzko literaturan
hain zuzen ere (adibidez, Aumann eta Maschleren, 1964). Aurrerago, Aumann eta Drezek
(1974) eta Owenek (1977), Shapleyen balioan oinarrituta, egitura koalizionalekiko jokoen bi
soluzio kontzeptu aurkeztuko dituzte.
1. KAPITULUA
10
Formalki, egitura koalizionala, jokalari multzoko mS,...,S,SB 21 partiketa finitua da.
Partiketa honek, jokalarien arteko aldez aurreko kooperazio egitura deskribatuko du. Aumann
eta Drezen (1974), Shapleyen (1953) baliorako aldaketa bat proposatzen da TU jokoetarako,
partiketak jokoan "zisku itxiak" sortzen dituela suposatuz; ondorioz, koalizio bateko
jokalariek azpijokoan lortutako balioa banatuko dute beraien artean. Owenen (1977),
partiketen koalizioen arteko superjokoa definitzen dela suposatzen da, eta Shapleyen balioak
koalizio bakoitzari ematen diona bere partaideen artean banatuko da, bakoitzak bertze
koalizioetan sartzeko dituen probabilitateen arabera. Ondoren, Owenen balioa zehatzago
azalduko dugu, gure lana ikuspegi honekin erlazionatuagoa baitago.
Demagun N euskarri finitoa duen v jokoa, eta N-ren mS,...,S,SB 21 egitura
koalizionala. B-k P(N) ordena posible guztiengan P(B) murrizketa eragiten du, SB bildura
bakoitzeko jokalari guztiak batera doazen ordenak soilik kontutan hartzen dituena:
Sorduan bada, ljli:NP:BP .
(N,v) jokoa eta B egitura koalizionala hartuz, balio koalizionala edo Owenen balioa,
honako era honetan definitzen da
OVi(N,B,v):=
)B(P
i,Pvii,PvBP
1. (iN).
Beraz, OVi(N,B,v), i jokalariaren ordena batekiko ekarpen marjinalaren itxarotako balioa
izanen da, SB bildura bakoitzeko jokalari guztiak batera agertzen diren ordenak soilik
kontutan hartzen direnean (eta probabilitate berarekin).
Ikus dezagun definizio honi buruzko adibide bat. Biz 6 jokalariko jokoa, bere funtzio
karakteristikoa honakoa izanik:
EKARPEN OREKATUEN HASTAPENA ETA KOOPERAZIO HIERARKIAK
11
.bertzela
NS
S
,,,,,,,S
S
)S(v
2
12
510
6543432110
10
Shapleyek joko honetarako proposatzen duen banaketa honako hau da:
SH(N,v) = (1.867, 1.867, 2.267, 2.267, 1.867, 1.867).
Suposa zitekeen bezala, 3 eta 4 jokalariek ordainketa bera lortzen dute, simetrikoak
direlako, eta bertzeek baino handiagoa. Hala ere, ordainketa hau alda daiteke jokalariek
egitura koalizional batean biltzea erabakitzen badute, orduan ordena guztien probabilitateak
ez baitira berdinak izanen. Adibidez, B=({1,2},{3,4},{5,6}) hartzen badugu, (3,4,2,1,6,5)
ordena bateragarria da egitura honekin, (3,2,4,1,6,5) ordea, ez. Hau dena kontutan hartuta,
Owenen balioa honakoa izanen da:
OV(N,B,v)=(1.33, 1.33, 3.33, 3.33, 1.33, 1.33)
1975 urtean Owenek, Shapleyek proposatutako axiomak egoera berri honetara egokituz,
balio hau 5 axiomen bitartez ezaugarriztatu zuen. Horrela, efizientzia eta batukortasunarekin
batera,
OV1 v jokoaren N euskarri bakoitzeko, .NvN,B,vOVNi
)()(i
OV2 Edozein v eta w jokotarako, OV(v+w)=OV (v)+ OV (w).
Owenek simetria bikoitza eskatzen du:
OV3 M={1,2,...,M} multzoan definitutako permutazio bakoitzeko,
1. KAPITULUA
12
OV(N,B,v)=OV(N,B,v) da, B= mS,...,S,S 21 izanik;
OV4 N multzoko permutazio bakoitzeko,
v,S,...,S,S,NOVv,S,...,S,S,NOV mimi 2121 .
Eta azkenik, bere oinarrizko planteamenduari buruzko eskakizun bat: bi joko daude,
hasierako v eta blokeen arteko v/B zatidura jokoa, eta bloke bakoitzak bigarren joko honetan
jasotzen duen ordainketa zatidura jokoaren menpe dago soilik. Ondoren, bloke bakoitzeko
jokalariek kantitate hau beraien artean banatuko dute, bakoitzak bertze blokeetan sartzeko
dituen probabilitateen arabera:
OV5 j{1,2,...,m} bakoitzeko, Ni
i v)B,(N,OV kantitatea (M,v/B) zatidura jokoaren menpe
dago soilik, v/B(T)=
TjjSv izanik.
Shapleyen balioak bezala, balio honek ere Harsanyiren dibidenduetan oinarritutako
definizio alternatiboa onartzen du. Hau hurrengo kapituluan zehatzago ikusiko dugu, maila
egiturarekiko jokoen balioa aztertzerakoan.
EKARPEN OREKATUEN HASTAPENA ETA KOOPERAZIO HIERARKIAK
13
2.3 Maila egiturak
Maila egiturak, koalizio egituraren ideia hedatzen du. Jokalari multzoko partiketa egin
ondoren, sortutako blokeek beraien artean biltzeko asmoa izan dezakete, negoziazio indarra
hobetu nahian. Horrela, blokeen bilduraz osatutako bigarren egitura dugu, edo bertze era
batean, bigarren kooperazio maila. Prozesu hau errepika daiteke, aldiro aurreko mailako
partiketak baino finagoak lortuz.
Formalki, N bada jokalarien multzoa, B maila egitura B=(B0,B1,...,Bk) egitura koalizionalez
osatutako segida da, non Bi+1 bakoitza Bi-ren blokeen bilduraz osatua dagoen. Zehazki, i>1
bakoitzeko, S Bi bada, orduan S= *iBT
T1
da, 11 i*i BB izanik.
Bi egitura koalizionala B-ren i-garren maila deituko dugu. B0 bakarkako blokez osatuta
dagoen egitura koalizionala dela suposatuko dugu, B0= {{i}: iN} , eta Bk= {N} dela, hau da,
koalizio osoa den bloke bakar batez osatua dagoela. N multzoaren gaineko B egitura posible
guztien multzoa LN izendatuko dugu.
Demagun (N,B,v) hirukote guztien GN multzoa dugula, v funtzioa, N multzoaren gaineko
jokoa eta BLN, maila egitura direlarik. (N,B,v) hirukotea hartuz, SN koaliziorako demagun
vS funtzioa S-ra murriztutako jokoa dela, T bakoitzeko vS(T)=v(TS) izanik. Kontutan
hartu vS ere GN -ko elementua dela. Hau horrela da, NS bakoitzeko N multzoa vS joko
murriztuaren euskarria ere delako. Hemendik aintzinera hau maiz erabiliko dugu. Notazioa
sinplifikatzeko, N erabiliko dugu (N,B,v) hirukotea izendatzeko, eta (N,B,vS)-ren ordez S
idatziko dugu.
Maila egitura duen joko baterako soluzio kontzeptua, GN -tik n funtzioa da, non joko
bakoitzari n-ko bektore bat dagokion. Guk aztertuko dugun soluzio kontzeptua, maila
egiturekiko balioa da (Winter, 1989). Gaingiroki, balio honek jokalari bakoitzari bere
itxarotako ekarpen marjinala emanen dio, maila egiturarekin bateragarriak diren ordena
guztiekiko.
1. KAPITULUA
14
Ondoren, balio honen adierazpen esplizitua emanen dugu. B maila egitura bakoitzeko
k
jjBPBP
1
)()(
defini dezagun; P(B) B maila egiturarekin bateragarriak diren ordena
guztien multzoa izanen da. Orduan, balioak maila egiturarekin h jokalari bakoitzari honako
hau emanen dio:
h(N,B,v) = .h,Pvhh,PvBP )B(P
1
non P(,h)= hj:Njh,P :)( delarik.
Aurreko apartatuko adibidera berriro itzuliz, {3,4} eta {5,6} blokeek batera jokatzen duten
egoera suposa dezakegu. Orain, bigarren kooperazio maila dagoela suposatuko da, lehen
mailako bi blokeek bateratzeko erabakiz lortua. Taula honetan, B=(B0, B1, B2) maila egitura
zehatzago ikus daiteke:
B2 {1,2} {{3,4},{5,6}}
B1 {1,2} {3,4} {5,6}
B0 1 2 3 4 5 6
2.1 taula
Orain, egitura honekin bateragarriak diren ordenen kopurua, B egitura koalizionalarekin
bateragarriak direnen kopurua baino txikiagoa izanen da, {3,4} eta {5,6} blokeek batera joan
behar baitute. Adibidez, (3,4,2,1,6,5) ordena, baliagarria da B={{1,2},{3,4},{5,6}} egiturak
inposatzen zituen baldintzetarako, ez baina ez ordea maila egitura honetarako.
Egitura honekin, jokoaren balioa maila honako hau izanen da:
(N,v,B)=(1, 1, 3.5, 3.5, 1.5, 1.5).
EKARPEN OREKATUEN HASTAPENA ETA KOOPERAZIO HIERARKIAK
15
Ikus daitekeenez, {1,2}-ren isolamenduak, bigarren mailan 1 eta 2 jokalarien galera sortzen
du, bertze jokalarien onerako.
Badago balio honen adierazpen esplizitu desberdin bat, Harsanyiren (1963) dibidenduetan
oinarritakoa. Har dezagun T euskarria duen UT unanimitate jokoa, UT (R)=1, RT bada eta
UT(R)=0 bertzela. H-ri UT jokoan dagokion ordainketa honela lortuko da: k-1 mailan, T-n
ordezkariak dituen bloke bakoitzak unitate ordainketaren zati bera lortzen du. k-2 mailan, T-n
ordezkariak dituen bloke bakoitzak k-1-eko bere superblokearen azken ordainketaren zati bera
jasotzen du. Prozedura honek horrela jarraituko du maila baxuenera (zero mailara) iritsi arte.
Zehatzago:
hN bakoitzeko, biz Si(h) h jokalaria dagoen i. mailako koalizioa, eta defini dezagun:
1( ) ( ) eta S T , i 0,1,...,k-1 direnean,i iTK h S S h eta
1
0
k
i
iTT ).h(K)h(K
TN koalizio eta hN jokalari bakoitzeko, (i+1). mailan h dagoen bloke berean dauden i.
mailako blokeen artean, T-rekiko elementu amankomunean dituen bloke kopurua adierazten
du )h(K iT zenbakiak. Lehengo adibidean, h=3 eta T={2,3,4,5} badira, )3(0
TK = )3(1TK =2
izanen dira.
Orduan, h jokalariaren ordainketa honakoa da:
h(N,B,UT)=
.bertzela
ThhKT
0)(
1
Balioa v jokora hedatzeko, gogoratu v unanimitate jokoen konbinazio lineal gisa adieraz
daitekeela, v= NT
TTUa . Horrela, jokoaren batukortasun propietatea erabiliz:
1. KAPITULUA
16
h(N,B,v)=
Th
NT T
T
hK
a
)(. (2.1)
Adierazpen honen froga formala Teorema 1-eko frogaren bigarren zatian aurki daiteke,
Winterren (1989).
Orain, balio honen bertze propietate interesgarri bat ikusiko dugu. Propietate honek, maila
bateko bloke baten ordainketa ezarriko du, bloke hau jokalari gisa hartuz.
Biz B=(B1,B2,...,Bk)LN. 1 i k bakoitzeko, Bi-ko koalizioak jokalari moduan hartzen
ditugunean, (N,v)-tik eratortzen den jokoa ii v,B idatziko dugu. SBi jokalari bezala
hartzen denean, [S] idatziko dugu, eta [Bi] jokalari hauen multzoari, :i iB S S B .
Adibidez, S,TBi badira, orduan, TSvT,Svi da.
[Bi] jokalarien multzoarengan definitutako maila egitura Bi=(Bi, Bi+1,...,Bk) idatziko dugu.
Bi-ko blokeak jokalaritzat hartzen ditugunean, maila egitura Bi izanen da. Aurreko
adibidearekin jarraituz, B1 egiturak, maila bakar bat izanen du (hasierakoarekin batera),
[{1,2}] eta {[{3,4}] [{5,6}]} blokeez osaturikoa.
B2 [{1,2}] {[{3,4}],[{5,6}]}
B1 [{1,2}] [{3,4}] [{5,6}]
2.2 taula
i. mailako blokearen azken ordainketa eta bloke horrek [Bi] jokoan jokalari bezala
lortutakoa berdinak direla frogatzen da Winterren (1989). Formalki,
k0,1,...,i BS i ,v,B,Nv,B,B hiii
S . (2.2)
EKARPEN OREKATUEN HASTAPENA ETA KOOPERAZIO HIERARKIAK
17
3 Funtzio potentziala
Lehenik, funtzio potentziala erabiliz maila egiturarekiko balioa ezaugarriztatuko dugu eta
ondoren, kontzeptu honen bitartez balioaren gure ezaugarriztapen nagusia ezarriko dugu.
Kontzeptu honen azpian ekonomia arloan tradizio handia duen ideia dago, jokalari
bakoitzari koalizio osoarekiko bere ekarpen marjinala ematea. Bistakoa denez, orokorki hau
ez da posible, horrela eginez banaketaren efizientzia galduko baikenuke. Honetan oinarrituta,
Hart eta Mas-Colellek (1989) aplikazio bat definitu zuten, funtzio potentziala deitu ohi dena.
Aplikazio honek (N,v) joko bakoitzari P(N,v) zenbaki erreal bat ematen dio, non
potentzialarekiko jokalarien ekarpen marjinalen batura koalizio osoaren balioa den, hots,
Nh
hN Nvv,NPv,NP )()()( ), 0)( v,P
hasierako baldintzarekin batera. Gainera, honela definitutako funtzio potentziala bakarra dela
frogatu zuten, eta jokalari bakoitzaren ekarpen marjinala multzo osoari, jokoaren Shapleyren
balioa dela, hots, hNh v,NPv,NPv,NSH .
Funtzio honen adierazpen esplizitua, lehen definitutako Harsanyiren dibidendoen bitartez
lor daiteke:
NT
Tdv,NP .
Winterren (1992), potentziala egitura koalizionalekiko jokoetara hedatzen da, eta gainera
Owenen balioa potentziala erabiliz ezaugarrizta daitekeela frogatzen da. Guk maila
egiturarekiko jokoen baliotarako antzeko ezaugarriztapena ezarriko dugu.
Demagun (N,B,v) hirukote guztien NN
NG
G multzoa, eta multzo honetan (N,B,v)
hirukote bakoitzari 1)( BRv,B,N bektorea esleitzen dion P funtzioa. SB1 bada, S-ri
elkartutako P-ren osagaiari )( v,B,NP S deituko diogu. Adierazpen luzeegiak laburtzeko,
1. KAPITULUA
18
iii v,B,B jokoa izendatzeko iB erabiliko dugu. Eta iBS bakoitzeko,
SBi
ii iv,B,B jokua SBi idatziko dugu.
(N,B,v) hirukotea eta hSB1 hartuz, h-ren potentzialarekiko ekarpen marginala koalizio
osoari honako hau izanen da:
hNPNPNPD SSh .
Era berean, SB1, hartuz, i<k eta STB1 izanik, iB jokorako S jokalariaren
potentzialarekiko ekarpen marjinala
SBPBPBPD iT
iT
iS
izanen da.
Orain, funtzio potentziala definitzeko baldintzak ezarriko ditugu. Baldintza hauek Hart eta
Mas-Colellek Shapleyen baliorako eta Winterek Owenen baliorako ezarritakoak hedatuko
dituzte.
P maila egiturarekiko jokoen funtzio potentziala dela erraten da honako hiru baldintza
hauek betetzen baditu:
Sh
iSh BSBPDNPD 1 (3.1)
Lehen mailako blokeren baten jokalarien ekarpen marginalen batura, eta blokeen arteko
jokoan bloke horrek jokalari bezala daukan ekarpen marjinala berdinak izatea eskatzen du
(3.1) baldintzak.
Bigarren baldintzak, jokalarien potentzialekiko ekarpen marjinalen batura v(N) izatea
eskatzen du:
EKARPEN OREKATUEN HASTAPENA ETA KOOPERAZIO HIERARKIAK
19
Nh
h NvNPD . (3.2)
Azkenik,
SB1, 0TPS da TS= betetzen duen TN bakoitzeko. (3.3)
Hau normalizazio baldintza da, Hart eta Mas-Colellek multzo hutsaren gaineko joko baten
potentziala zero izatearen eskakizunaren antzekoa.
Prest gaude jadanik funtzio potentzialaren bitartez maila egiturarekiko jokoen balioa
ezaugarriztatzeko.
Teorema 1 Maila egiturarekiko jokoetarako funtzio potentzial bakar bat existituko da.
Gainera, jokalari bakoitzaren funtzio potentzialarekiko ekarpen marjinala, maila
egiturarekiko balioa da, hots, )( Nhv,B,Nv,B,NPD hh .
Frogapena: (N,B,v)GN joko bakoitzeko, SB1 koalizio bakoitzeko eta TS betetzen
duen edozein TN azpimultzotarako, defini dezagun KT(S)=KT(h), hTS eta KT(h)-ak
bigarren atalean definitutako koefizienteak direlarik (ohartu KT(S) ongi definituta dagoela,
h,lTS bakoitzetarako KT(h)=KT(l) baita). Bira
TR
rtT Rva 1 unanimitate jokoetan
deskonposatutako v-ren koefiziente bakarrak.
Orain potentziala esplizituki definituko dugu. Har dezagun 1BNP funtzioa,
ST
NT T
TS
SK
aNP:BS 1
izanik.
1. KAPITULUA
20
Lehenik, h jokalari baten funtzio honekiko ekarpen marjinala h N balioa dela
frogatuko dugu. hSB1 bada, orduan:
\h S SD P N P N P N h NSK
a
SK
a
SK
a h
Th
NT T
T
ST
hNT T
T
ST
NT T
T
(3.4)
non azken berdintza (2.1) adierazpenetik lortzen den.
Ikus dezagun orain horrela definitutako P funtzioak potentzialaren baldintzak betetzen
dituela.
(3.3) baldintza PS(T)-ren definizioaren ondorio zuzena da. (3.2) ere betetzen da maila
egiturarekiko balioaren efizientziagatik, (3.4) erabiliz. (3.1) egiaztatzeko N eta 1B -eri
funtzio potentziala aplikatuko diegu, 0 mailarako (2.2) baldintzarekin batera. Ondorioz,
Sh
h
Sh
hSS NPDNBBPD 11 .
Frogapena bakartasuna ikusiz bukatuko dugu.
Ohartu (3.1) bertze era batean idatz daitekeela:
11
\SS S
h S
P N D P B P N hS
. (3.5)
Bakartasuna frogatzeko indukzio metodoa erabiliko dugu maila kopuruekiko. k= 1 denean,
P(N) bakarra dela dakigu Hart eta Mas-Colellen potentziala baita. Beraz, 1kBP unibokoki
determinatua dago. Suposa dezagun k-1 mailarako bakartasuna betetzen dela.
Indukzio hipotesiagatik 1BP unibokoki determinatua dago. Orain SB1 bakoitzeko
PS(N) ere bakarra dela frogatu beharko dugu. Horretarako, jokoaren euskarrian dauden S-ren
EKARPEN OREKATUEN HASTAPENA ETA KOOPERAZIO HIERARKIAK
21
jokalari kopuruekiko indukzioa erabiliko dugu. Biz T multzoa v-ren euskarri finito bat.
ST=1 bada, orduan, S={h}, eta ondorioz, (3.3)-gatik, PS(N\h)=0 izanen da. (3.5) erabiliz,
PS(N) unibokoki determinatua egonen da.
Suposa dezagun ST=m-1-erako PS(N)-ren bakartasuna frogatua dagoela. Indukzio
hipotesi honen ondorioz, hS bakoitzeko, PS(N\h) unibokoki determinatua egonen da.
Gainera, hasierako indukzio hipotesia erabiliz (mailekiko), 1BPD S ere unibokoki
determinatua dago. Honek, (3.5) baldintzagatik, ST= m-rako PS(N) bakarra dela erran
nahi du. Beraz, N euskarri finituko joko guztietarako potentzialaren bakartasuna frogatuta
dago.
4 Ekarpen orekatuak
Atal honetan, maila egiturarekiko balioaren gure axiomatizazio nagusia ematen da, ekarpen
orekatuen hastapenean oinarrituta dagoena. Shapleyen balioari buruzko literaturan, maiz
agertu den hastapen hau, soluzio kontzeptu kooperatibo gehienetan agertzen diren
elkarkidetasun propietateekin erlazionatua baitago. Propietate hauen azpitik dagoen ideia zera
da: bidezkoa den soluzio batean, i jokalari baten eragina j jokalariaren ordainketarekiko, i-ren
ordainketarekiko j-ren eragina bera izan behar duela. Guk, maila egiturarekiko balioaren
(Owen, 1977 eta Winter, 1989) axiomatizazio berri bat ematen dugu. Baina gainera, sarreran
erraten den bezala, TU jokoen azpieremu interesgarri anitzetan aplika daitekeen abantaila
dauka. Hart eta Mas-Colellen potentziala erabiliko dugu gure emaitza nagusia frogatzeko, eta
balioaren bertze ezaugarriztapen bat ere ezarriko dugu.
Shapleyi buruzko literaturan Myersonek (1980) sartu zuen honelako hastapen bat.
Myersonen ekarpen orekatuen propietateak dio; bi jokalari hartuz, bakoitzak bertzea jokutik
ateratzeagatik irabazten edo galtzen duena, bi kasuetan kantitate bera izan behar duela.
Myersonek Shapleyen balioa konferentzi egiturareriko baliora hedatzeko erabili zuen
propietate hau, baina bere emaitzen kasu berezi batek Shapleyen balioaren axiomatizazioa
ezartzen du.
1. KAPITULUA
22
Formalki, NN: soluzio batek ekarpen orekatuen hastapena egiaztatzen du, i,jN
jokalarietarako
, \ , , \ ,i i j jN v N j v N v N i v .
betetzen bada.
Propietate honekin, efizientzia axiomarekin batera, Shapleyen balioaren ezaugarriztapen
berri bat lortzen da (Myerson, 1980).
Hasteko, ekarpen orekatuen hastapena, maila egiturarekiko joko batera hedatuko dugu.
Definzioa Demagun N euskarriko v jokoa eta B maila egitura. NNG: soluzio batek
ekarpen orekatuen hastapena egiaztatzen duela erraten da, S,TRBi+1 betetzen duten
edozein S,TBi koaliziotarako (i=0,1,...,k-1)
)SN()N()TN()N( TTSS
betetzen bada,
Si
iS NN izanik.
Ekarpen orekatuen baldintza hau, hurrengo mailan bloke beran dauden edozein S eta T
blokeri aplikatuko zaie, eta bloke hauetarako, T-ren ekarpena S-ren elementuen ordainketa
osoari, T-ren elementuen ordainketa osoarekiko S-ren ekarpen bera eskatzen da.
Ikus dezagun, maila egiturako adibide gisa, Europako Parlamentuko kasua. Hor sortzen
den jokoa bozketa jokoa da, eta maila egiturarekiko balioa, kooperazio maila desberdinak
kontutan hartzen dituen botere indizea izanen da. Kasu honetan, gure ekarpen orekatuen
axiomaren esanahia honakoa da: har ditzagun Europako Parlamentuan ordezkariak dituzten
lurralde berako bi alderdi (adibidez, Alemaniako Alderdi Sozialdemokrata (SPD) eta
EKARPEN OREKATUEN HASTAPENA ETA KOOPERAZIO HIERARKIAK
23
Alemaniako Alderdi Kristau Demokrata (CDU)). 1 Bi alderdi hauek hurrengo mailako bloke
beran daudenez (lurralde berakoak izateagatik), CDU Parlamentuan egotearen eragina SPD-
ren ordainketan, hau egoteak CDU-ren ordainketan suposatzen duen eragina bera izan behar
dela inposatzen du gure ekarpen orekatuen axiomak. Eskakizun honen zentzua izanen du
batez ere bi alderdi hauek Europako Batasuneko bertze alderdi sozialdemokrata edo kristau
demokratatik baino hurbilago dauden kasuan, adibidez, Europako instituzioko ordezkaritzari
buruzko gaietan, edo nazioen artean eragin desberdinak dituzten erabaki ekonomikoak hartu
behar direnean. Inmigrazio politikako edo ingurugiroko gaietan, ordea, alderdi bakoitzeko
ideologiak indar handiagoa izan dezake, eta kasu hauetan bertze maila egitura sortuko
litzateke.
Teorema 2-k, ekarpen orekatuaren hastapena eta efizientziaren bitartezko maila
egiturarekiko balioaren axiomatizazioa ematen du (bigarren axioma hau lehen atalean
emandako SH1 efizientzia axioma da, maila egiturarekiko joko batera egokitua).
Teorema 2 Ekarpen orekatuak eta efizientzia betetzen dituen soluzio bakarra dago maila
egiturarekiko jokoetan. Soluzio hau, maila egiturarekiko balioa da.
Frogapena: Idatz dezagun maila egiturarekiko balioa. Existentzia frogatzen hasiko gara.
Horrela, -k efizientzia betetzen duela dakigunez, ekarpen orekatuen baldintza ere baieztatzen
duela frogatzea nahikoa izanen da.
Bira (N,B,v)GN hirukotea, i < k maila, eta S,TRBi+1 betetzen duten S,TBi koalizioak.
Gogoratu, (2.2) ekuazioagatik SBi bakoitzeko iSS BN eta teorema 1-engatik
iS
iS BBPD berdintzak betetzen direla. Hortaz:
( ) ( \ ) \S SS Si iN N T B B T = \S S
i iD P B D P B T =
= \ \ \ ,R R R Ri i i iP B P B S P B T P B S T =
1 SPD eta CDU Sozialistische Partei Deutschland eta Christliche Demokratische Unionen siglak dira,
1. KAPITULUA
24
= \T Ti iD P B D P B S = \ ( ) ( \ )T T T T
i iB B S N N S .
Hau da, -k ekarpen orekatuen baldintza egiaztatzen du.
Bakartasuna frogatzeko, suposa dezagun axiomak betetzen dituzten bi soluzio eta
badaudela. SBi bloke bakoitzeko eta 0ik maila bakoitzeko, S(N)=S(N) dela frogatuko
dugu.
Ohartu lehenik
iBS
Sh
h
iBS
S NvNN
dela. Gainera, v-k RN euskarri finitoa dauka eta RS= da SBi-rako, beraz,
efizientziagatik, S(N)=0 izanen da.
Orain, mailekiko indukzioa erabiliko dugu k mailatik hasita. Bk={N} denez,
efizientziagatik, N(N)=N(N) da.
Suposa dezagun bakartasuna t mailetan betetzen dela, ti, hots, R(N)=R(N) dela RBt
bakoitzeko, kti izanik.
Bira Bi-ren R bloke bat, v-ren KN euskarri finitoa eta izenda ditzagun
RS:BSR ii 11 eta KS:RSKR ii 11 .
11 KRi bada, efizientziagatik, T(N)=T(N) = 0 izanen da TK= betetzen duen
TRi-1 bakoitzeko. Horrela, S(N)=S(N) da, KRS i 1 izanik. Hau zuzena da indukzio
hipotesiagatik, RBi bakoitzeko
hurrenez hurren.
EKARPEN OREKATUEN HASTAPENA ETA KOOPERAZIO HIERARKIAK
25
1 1iRS iRS
SS NN
baita.
Orain, jokoaren euskarriarekin ebakidura ez hutsa duten bloke kopuruarekiko indukzioa
erabiliko dugu. Suposa dezagun 11 mKRi den kasurako bakartasuna betetzen dela eta
har dezagun mKRi 1 betetzen duen joko bat. Berriro ere, efizientziagatik, TK=
betetzen duen TRi-1 bakoitzeko, T(N)=T(N)=0 da.
Har ditzagun KRT,S i 1 . Indukzio hipotesiagatik, S(N-T)=S(N-T) eta T(N-S)=
T(N-S) beteko dira. Hau horrela da TNv eta SNv jokoek K-T eta K-S euskarri finitoak,
hurrenez hurren, dituztelako, eta ondorioz 111 mSKRTKR ii beteko da.
Hau erabiliz, ekarpen orekatuen propietatearekin batera, S(N)-S(N)=T(N)=T(N)
ondoriozta dezakegu. Desberdintza hauek R-ren menpe daudenez soilik, d(R) = S(N)-S(N)
idatziko dugu KRS i 1 -rako.
Mailekiko lehendabiziko hipotesia erabiliz, R(N)-R(N) da, eta ondorioz
).R(dKRNN iKiRS
S
)K(iRS
S 1
11
0
Horrela, d(R)=0 da, eta, beraz, S(N)=S(N) da KRS i 1 bakoitzeko. Honek, (k-1)
mailako blokeetarako bakartasuna frogatzen du.
Indukzio hipotesiarekin jarraituz 0 mailaraino = dela ondorioztatzen da.
1. KAPITULUA
26
Ekarpen orekatuen propietatea elkarren segidan maila guztiei aplikatuz, maila
egiturarekiko balioa lor daitekeela frogatu dugu. Axiomatizazio honetarako TU joko guztien
eremua erabiltzen ari gara, baina jokoa murriztean mantentzen diren bertze azpieremuak har
zitezkeen, hots, v eremuan badago, S koalizio bakoitzeko Sv ere eremuan egotea betetzen
dutenak. Sarreran aipatzen genituen eremuek, joko sinpleak, joko erabat orekatuak, joko
ganbilak, etab., baldintza hau betetzen dute, eta guztietan aplikagarria da gure axiomatizazioa,
Teorema 2-ren antzeko froga erabiliz.
Potentzialen bitartez emandako gure bertze axiomatizazioak ere propietate bera betetzen
du. Hart eta Kurzek (1983) eta Winterek (1989) emandako axiomatizazioek, ordea, ez dute
egiaztatzen propietate hau, batukortasun axioma erabiltzen baitute.
28
2. kapitulua
Grafo probabilistikoak joko kooperatiboetan
GRAFO PROBABILISTIKOAK JOKO KOOPERATIBOETAN
29
1 Sarrera
Bigarren kapitulu honetan, jokalarien komunikazioa murriztua dagoen joko kooperetiboen
bertze eredu bat aurkezten da. Aurreko kapituluan, murrizketa hau jokalarien arteko bilduma
desberdinen bitartezko kooperazio hierarkietan oinarrituta bazegoen, bigarren ikuspegi honek,
berriz, jokalarien arteko komunikazio graduak desberdinduko ditu. Grafo ez-norabideratu
batek emanen digu komunikazioa, jokalariak nodoak direlarik, eta arkuek, bikote bakoitzaren
arteko komunikazio probabilitateak adierazten dituztelarik. Myerson (1977) izan zen ikuspegi
hau erabili zuen lehena, balioa bat efizientzia eta ekitatearen bitartez ezaugarriztatuz. Eredu
honetan, jokalari guztiek ez dute zertan komunikatuak egon beharrik, eta batzuen arteko
komunikazioa murriztua dago. Demagun, adibidez, 3 jokalarien arteko jokoa dugula, eta
hoietako bi beraien artean komunikatu gabe daudela. Egoera hau, honako L komunikazio
grafoaren bitartez adierazia egonen litzateke:
1 2
3
Myersonek, grafo bakoitzaren arabera funtzio karakteristikoa aldatzea proposatu zuen.
Horrela, 2 eta 3 jokalariak ez daude zuzenean komunikatuak, eta ondorioz, v(2,3)
ordainketaren ordez bakoitzak bere aldetik lor zezakeen vL (2,3)=v(2)+v(3) ziurta dezakete.
Kasu honetan ordainketa hau soilik aldatuko da, bertze koalizioetako jokalariak beraien artean
komunikatuak baitaude. Myersonek, horrela aldatzen den jokoari, Shapleyen balioa
aplikatzen dio.
Grafoen arteko hurbilketak planteatzen duen arazo bat, komunikatzeko aukera gehiago edo
gutxiago dutenen kasuak ez desberdintzea da. Ikus dezagun ideia hau adierazten duen honako
adibidea:
2. KAPITULUA
30
Suposa dezagun pertsona bat bere etxea saltzear dagoela eta bertze batek etxe bat erosi
nahi duela. Ohikoa denez, bai erosleak baita saltzaileak ere higiezin agente batengana joko
du, berak baitauka erosle eta saltzaile posibleri buruzko informazioa. Agente hau, erosle eta
saltzaileren arteko bitartekaria izan daiteke, eta salmenta burutzen bada, ordainketa bat jasoko
du bere bitartekaritzagatik. Bertzalde, eroslea eta saltzailea, bitartekari baten laguntzarik gabe,
elkar aurkitzeko aukera txiki bat ere badago. Suposa dezagun etxea saltzen bada ordainketa
unitate batekoa dela. Erosleak eta saltzaileak bitartekaria ezagutzen dute, beraz, bakoitzaren
komunikazio probabilitatea bitartearekin 1 izanen da. Gainera, beraiek elkar ezagutzeko
probabilitatea hagitz txikia da. Egoera hau lehenengo L komunikazio grafoaren bitartez
adieraz daiteke, 1 higiezin agentea, 2 saltzailea eta 3 eroslea direlarik. Beraz, honako vL
funtzio karakteristiko aldatua daukagu: vL(1,2,3)=1 eta vL(S)=0 bertze kasuetan, eta ondorioz,
Myersonen balioak 3
1 emanen dio jokalari bakoitzari.
Eredu honetan, saltzailea eta eroslea ezagutzen ez direla suposatu dugu, kontutan hartu
gabe elkar ezagutzeko probabilitate txikiren bat izan dezaketela. Demagun probabilitate hori
p[0,1] zenbakia dela. Kasu honetan, funtzio karakteristiko berri bat izanen dugu, non orain
{2,3} koalizioaren itxarotako ordainketa p izanik, bertze koalizioen ordainketak aldatzen ez
direlarik (1 balioa koalizio osorako, etxea saltzen baita, eta 0 bertze guztietarako, etxea ezin
baita saldu). Joko hau ebatziz, higiezin agenteak 3
1 p jasoko du, saltzaileak eta erosleak
6
2 p lortzen duten bitartean. Egoera berri honetan, higiezin agentearen ordainketa, saltzaile
eta eroslearen arteko komunikazio zuzenaren menpe dagoela ondoriozta daiteke.
Jokalarien arteko komunikazio probabilitateak erabiltzea egokia izan daitekeen bertze
adibide bat, alderdi politikoek Parlamentuetan sortzen duten bozketa jokoa izan daiteke,
ideologikoki hurbil dauden alderdien arteko komunikazioa eta bi aldeko muturretan kokatuta
daudenen artekoa desberdina izanen baita. Bakoitzaren helburu soziologiko, politiko edo
ideologikoen arabera, alderdi guztien arteko harreman graduak ez dira berdinak izanen, eta
horrek, jokalari bakoitzak koalizio irabazleetan duen eragina ezarriko du. Horrela, mutur
GRAFO PROBABILISTIKOAK JOKO KOOPERATIBOETAN
31
kasuetan edo erabateko komunikazioa edo inkomunikazioa egon arren, orokorki alderdien
arteko probabilitate gradu desberdinak daudela suposatzea zentzudunagoa dirudi.
Kapitulu honetan, jokalarien arteko komunikazio probabilitateak kontutan hartzen diren
egoerak aztertzen duen eredu teorikoa ikusiko dugu. Prozedura honek Myersonen (1977)
eredua hedatzen du, eta biak berdinak dira komunikazio probabilitateak 0 edo 1 direnean.
Kapituluaren azken atalean, orain arte ikusitako bi murrizketak batera hartuko ditugu, hots,
jokalarien arteko komunikazio probabilitate desberdinak, eta jokalari multzoaren zatiketa
egitura koalizional batean. Eredu honek, Carreras, García-Jurado eta Vázquez-Bragek (1996)
proposatutakoa hedatzen du, haiek ezaugarriztatutako jokoetan egitura koalizionalak eta
komunikazio grafo deterministikoak kontutan hartzen baitzituzten.
Komunikazio grafoa eta Myersonek proposatutako soluzioa aurkezten hasiko gara, gero, 3.
atalean, gure eredu probabilistikoa aurkezten dugularik. 4. atalean grafo probabilistikoekiko
balioaren bi ezaugarriztapen ematen dira, eta azkenik, 5. atalean, egitura koalizionalak
kontutan hartzen diren kasuetara hedatzen da balioa.
2 Komunikazio grafoak
Bira N={1,2,...,n} jokalari multzoa eta L(N)={{i,j} | i,jN, ij}, N-ren elementu desberdinez
osaturiko bikote ez-ordenatuen multzoa. Bikote hauek, komunikazio loturak deituko ditugu,
eta N-ren gaineko komunikazio grafoa L(N)-ren L azpimultzo bakoitzari. Biz L(N), N-n
definitutako komunikazio grafo guztien multzoa. Orduan, L grafoa, SN koalizioa eta S-ren
edozein bi jokalari hartuz, i eta j jokalariak S-n L-ren bitartez lotuak daudela erranen dugu,
baldin, eta soilik baldin, biak lotzen dituen kate bat existitzen bada, hots, i=j bada edo
{h1,h2,...,hk}N existitzen badira non h1=i, hk=j eta {ht,ht+1}L betetzen den edozein
t{1,2,...,k-1} zenbakitarako. Horrela, L grafoak, S koalizio bakoitzerako, honen partiketa
osakide konektatuetan zehazten du, bere elementuak, grafoaren bitartez lotuak dauden
2. KAPITULUA
32
bikoteak direlarik. L-k sortutako S-ren partiketa osakide konektatuetan S/L idatziko dugu,
hots,
S/L:={{i | i eta j L-ren bitartez S-n lotuak} | jS}.
Jokalariak L-ren bitartez soilik koordina badaitezke, S zatituko zen azpikoalizio guztien
multzoa bezala interpreta daiteke S/L. S, L-ren bitartez barrutik konektatua dagoela erranen
dugu, baldin, eta soilik baldin, S/L ={S} bada. Horrela, jokoan negozia dezaketen koalizioak,
barrutik konektatuak daudenak soilik direla erran daiteke.
Bistakoa denez, (N,v) jokoan honelako komunikazio murrizketak sartuz, N-ren koalizioei v
funtzio karakteristikoak ematen dizkieten ordainketak aldatuko dira. Horrela, (N,v) joko eta L
grafo bakoitzetarako, jokalarien komunikazio murrizketen ondorioz sortzen den vL funtzio
karakteristiko aldatua, honako eran definituko dugu:
vL (S):= L/SC
Cv )( (SN).
Kasu honetan, S koalizioak ez du lortuko hasierako funtzio karakteristikoak ematen ziona.
Orain, CS/L bloke komunikatuak eratzen dira, eta S-k lor dezakeena bloke bakoitzak lortzen
duen batura izanen da.
(N,v) joko guztien multzoa N idazten badugu, komunikazio grafoekiko jokoa
(N,v,L)NLN hirukotea izanen da, eta komunikazio grafoekiko jokorako esleipen erregela,
:NLN N funtzioa. L grafoak adierazitako jokalarien arteko komunikazio murrizketen
arabera i jokalariak (N,v) jokoan lortzea itxaroten duen ordainketa bezala interpreta daiteke
i(N,v,L).
Esleipen erregela hau, (N,v,L) jokoari soluzio kontzepturen bat aplikatuz lor daiteke,
adibidez, Shapleyen balioa (1953), Banzhafena (1965), nucleolusa (Schmeidler, 1969), etab.
Guk Shapleyen balioa (SH) erabiliko dugu, eta Aumann eta Myersonen (1988) terminologia
bera erabiliz, lortutako esleipen erregelari Myersonen balioa deituko diogu.
GRAFO PROBABILISTIKOAK JOKO KOOPERATIBOETAN
33
Definizioa Biz komunikazio grafoekiko (N,v,L) jokoa. (N,v,L)-ren Myersonen balioa,
M(N,v,L)N , M(N,v,L):=SH(N,vL) bezala definitzen da.
Myersonek (1977) balio honen axiomatizazio bat proposatzen du ondoko bi axiomen
bitartez:
Efizienzia: L grafo eta CN/L osakide konektatu bakoitzetarako,
Ci
)()( CvL,v,Ni
betetzen da.
Justizia: L grafo eta {i,j}L arku bakoitzetarako,
i(N,v,L) - i(N,v,L\{i,j})= j(N,v,L)- j(N,v, L\{i,j})
betetzen da.
Edozein bi jokalarien arteko komunikazioak biei mesede (edo kalte) bera eginen diola
adierazten du bigarren axioma honek.
Sarreran erraten zen bezala, eredu honen arazoa jokalarien arteko komunikazio gradu
desberdinak ez bereiztea da, errealitateak hori kontutan hartu beharrekoa dela erraten digun
bitartean. Suposa dezagun A, B eta C hiru alderdiz osatutako Parlamentua, non bi alderdi
dituen edozein koalizioa irabazle minimala den. Beraien arteko komunikazioa osoa bada, hiru
alderdiak simetrikoak izanen dira, eta ondorioz, ordainketa bera jasoko dute. Komunikazio
loturaren baten apurketak, ordea, ordainketen banaketa erabat aldatuko du, lotura hautsi duten
alderdiek beraien hasierako ordainketen erdia galduz. Zehazki, bi egoera hauek L1 eta L2
grafoen bitartez, hurrenez hurren, adierazita badaude,
2. KAPITULUA
34
A A
B C B C
L1 L2
joko bakoitzari dagokion Myersonen balioa honako hau izanen da:
M(N,v, L1)=
3
1
3
1
3
1,, eta M(N,v, L2)=
6
1
6
1
3
2,, .
Bi grafoen artean baten hautaketa erraza bada, ez dago arazorik. Baina B eta C-ren erlazio
mailari buruzko zalantzak badaude, ordea, erabakia garrantzitsua da, bi grafoen bitartez
lortzen diren ordainketak hagitz desberdinak baitira. Arazo hau konpontzeko modu bat, bi
alderdi hauen arteko komunikazio probabilitatea p[0,1] dela suposatzea da, hau da, L1
grafoaren probabilitatea p, eta L2-rena (1-p) direla suposatzea. vp=pvL1 +(1-p)vL2 funtzio
karakteristikoa definituz gero, (N,vp) joko berriari Shapleyen balioa aplikatuz gero, honako
botere indize hauek lortuko ditugu:
SH(N, vp)=
6
1
6
1
3
2 p,
p,
p
Banaketa honek B eta C-ren arteko komunikazio graduak kontutan hartzen ditu, eta
M(N,v,L1) edo M(N,v,L2) izanen da p-k 1 edo 0 balioak hartzen dituenean.
Lan honetan Myersonen ereduaren bertsio orokortu bat erabiltzen dugu, anitzetan ez baita
zuzena jokalari bikote bateragarri eta erabat bateraezinen arteko banaketa. Hortaz, arruntagoa
izanen da i eta j jokalari bikote bakoitzari beraien arteko bateragarritasun gradua adieraziko
GRAFO PROBABILISTIKOAK JOKO KOOPERATIBOETAN
35
duen zero eta baten arteko pij zenbakia elkartzea, 0 (bateraezinak) edo 1 (bateragarriak) mutur
balioak hartu beharrean.
3 Grafo probabilistikoak
Atal honetan Myersonen (1977) eredua hedatuko dugu, jokalarien arteko
bateragarritasuna(eza) kontutan hartzen den kasuen egoerak deskribatzeko. Myersonen (1977)
terminologia hartuz, komunikazio murrizketa" esamoldea erabiliko dugu
bateragarritasun(eza) hauek adierazteko.
Grafo probabilistikoekiko jokoa, (N,v,p) hirukotea da, (N,v) jokalari multzoan definitutako
koalizio jokoa, eta
p:{{i,j} | {i,j}N, ij} [0,1]
bi jokalarien arteko komunikazio zuzenaren probabilitatea direlarik. Probabilitate hauek
beraien artean independenteak direla suposatuko dugu. Batzutan, p funtzio honi probabilitate
sistema deituko diogu. Gainera, p({i,j})-ren ordez pij idatziko dugu.
Grafo probabilistikoak erabiltzen dituen (N,v,p) joko bakoitzari, komunikazio jokoa
deituko dugun (N,vp) joko koalizionala elkartuko diogu. Joko honek, (N,v) jokoak
deskribatzen dituen jokalarien arteko posibilitate ekonomikoak, eta p probabilitate sistemak
deskribatutako komunikazio murrizketak biltzen ditu. Probabilitateekin ari garenez,
itxarotako ordainketak kontsideratuko ditugu vp joko berri honetan.
Bira i,jN, ij. Bi jokalariak beraien artean pij probabilitatearekin komunika daitezke; kasu
honetan koopera dezakete, v({i,j}) lortuz. Bestalde, ez komunikatzeko probabilitatea (1-pij),
eta kasu horretan v({i})+v({j}) soilik lor dezakete. Ondorioz, i eta j jokalarien itxarotako
ordainketa
vp ({i,j}) := pij v({i,j}) +(1-pij)( v({i})+v({j}))
2. KAPITULUA
36
izanen da.
Era berean defini daiteke vp hiru jokalariko S={i,j,k} koaliziorako; balioak lortzeko,
komunikazio probabilitate guztiak kontutan hartu beharko dira, bakoitza dagokion
komunikazio grafoaren bitartez definituta dagoelarik. Ikus dezagun prozedura hau honako
eskemaren bitartez:
Grafo guztien artean har ditzagun bi, L1={(i,j)} eta L2={(i,j),(j,k)}. L1-ean i eta j
komunikatuak daude, baina horietako ezein ez dago k-rekin komunikatua. Egoera hau
suertatzeko probabilitatea pij(1-pik)(1-pjk)=pS(L1) da, eta jokalariek lor dezaketena,
vL1(S)=v({i,j})+v({k}). Bigarren kasuan, i jokalaria j-rekin komunikatua dago, eta hau k-rekin.
Beraz, hirurak beraien artean komunika daitezke (i ezin da k-rekin zuzenean komunikatu,
baina bai ordea j-ren bitartez). Egoera honen probabilitatea pS(L1)= pijpjk(1-pik) izanen da, eta
vL2(S)=v(S). L(S) idazten badugu S-ren jokalarien arteko komunikazio lotura posible guztien
multzoa, LL(S) grafo bakoitzerako pS(L) probabilitatea eta vL(S) ordainketa definituta
ditugu. Orduan, vp(S) itxarotako ordainketa
vp(S)= )(
)()(SLL
LS SvLp
izanen da.
Definizio honen azpian dagoen ideia orokortuz, edozein koalizioaren itxarotako ordainketa
defini daiteke. Biz SN koalizioa eta defini dezagun S-ren jokalarien artean egin daitezkeen
komunikazio lotura guztien multzoa, L(S):={{i,j} {i,j}S, ij}. Adierazpenak laburtzeko,
L(S)-ren elementuak l idatziko ditugu. L lotura multzo bakoitzerako, S-ren jokalarien artean
sortutako komunikazio grafoa L izatearen probabilitatea
pS(L)=
L)S(Ll
lLl
l pp )1(
izanen da.
GRAFO PROBABILISTIKOAK JOKO KOOPERATIBOETAN
37
Suposa dezagun orain LL(S) dela S-n egiten den grafoa. Ohartu L grafoak S-ren S/L
partiketa (osakide konektatuetan) eragiten duela. Ondorioz, L graforako S-k lortzen duen
ordainketa
vL(S)= L/SC
Cv .
izanen da, eta S-ren itxarotako ordainketa, berriz,
vp(S)= )S(LL
LS SvLp .
Prozedura hau, Myersonek (1977) egindakoaren orokorpen bat da. Horrela dela ikusteko,
ohartu L komunikazio grafo deterministikoa
p:{{i,j} | {i,j}N, ij} [0,1]
funtzioa dela, p({i,j})=1 izanik {i,j}L bada, eta p({i,j})=0 ordea {i,j}L denean. p
honetarako vp=vL betetzen dela frogatzea erraza da.
Era honetan definitutako grafo probabilistikoa, S-n egin daitezkeen komunikazio egitura
guztien gaineko loteria izanen da, honako proposizio honetan ikus daitekeen bezala:
Proposizio 1 SN bada,
)S(LL
S Lp 1 dugu, non pS(L)[0,1] den LL(S) bakoitzerako.
Frogapena Frogatzeko, S-ren kardinalarekiko indukzio metodoa erabiliko dugu.
S=2 S={i,j} 11 )S(LL
ijijS ppLp .
Suposa dezagun S=k-1 arte egiaztatzen dela, eta bira Sk, k kardinaleko N-ren azpimultzoa
eta ikSk. Sk-ren elementuen artean egin daitezkeen loturak bi multzoetan bereiziko ditugu.
2. KAPITULUA
38
Alde batetik, Sk\{ik}-ren elementuak parte hartzen duten loturak ki
L multzoan bilduko
ditugu, eta bertzalde, ik jokalariak parte hartzen duen loturaz osatutako ki
L multzoa. Orduan,
honakoa dugu:
kiLL LkiLll
Lll
)kS(LL kiLL LkiLll
Lll
kS ppppLp 11 .
Indukzio hipotesiagatik, lehen biderkagaia 1 da, k-1 ekementuko multzoen gaineko
probabilitateen batura baita. Eta bigarrenak ere 1 balio du, Sk-ren gaineko indukzio berri baten
bitartez ikus daitekeen bezala. k=2 bada, ik jokalariaz gain bertze jokalari bakar bat daukagu,
eta ondorioz I arku posible bakar bat dago. Beraz, biderkagai hau pl+(1-pl)=1 izanen da. k arte
betetzen dela suposatuz, har dezagun Sk+1\{ik} multzoko jk jokalaria. Orduan, bigarren
biderkagaia
111
j
kiLL Lj
kiLl
lLl
lkikjkikjpppp
izanen da, ik eta Sk+1\{jk}-ren elementuen bitartez egin daitezkeen lotura guztiak j
kiL multzoan
baitaude, eta indukzio hipotesiak erraten digu batura 1 izanen dela.
Komunikazio probabilistiko egoeretarako esleipen erregela bat definitu nahi dugu, hau da,
(N,v,p) hirukote bakoitzari N-ko ordainketa bektore bat ematen dion erregela mota.
Formalki, N-n definitutako joko koalizionalen espazioa N bada, eta PN, N-n definitutako
probabilitate sistema guztien multzoa, esleipen erregela, :NPN N erako funtzioa da.
Gure helburua, grafo probabilistikoekiko jokoetara hedatzea izanen da, eta horrela lortutako
esleipen erregela Myersonen balioa deituko dugu.
GRAFO PROBABILISTIKOAK JOKO KOOPERATIBOETAN
39
Definizioa Biz (N,v,p) komunikazio probabilistiko egoera. (N,v,p)-ren Myersonen balioa,
M(N,v,p)N, M(N,v,p):=SH(N,vp) bezala definitzen da.
Aurreko ataleko adibidea hartuz, non B eta C-ren arteko loturak edo loturaezak azken
ordainketa erabat aldatzen zuen, suposa dezagun hiru alderdien arteko komunikazio
probabilitatea ondoko grafo probabilistiko honen bitartez adierazita dagoela:
A
0.9 0.7
B 0.5 C
Egoera honek A-k B eta C alderdiekin daukan komunikazio ona adierazten du, baina
zalantzan uzten du azken bi hauen arteko harremana. Taula honetan hiru banaketa
desberdinak agertzen dira, B eta C-ren arteko lotura dagonean, ez dagonean, eta grafo
probabilistikoak erabiliz lortutakoak:
A B C
M(N,v,L1) 0.3333 0.3333 0.3333
M(N,v,L2) 0.6667 0.1667 0.1667
M(N,v,p) 0.4283 0.3283 0.2283
3.1 taula
Grafo probabilistikoen bitartez lortutako Myersonen balioak jokalarien arteko erlazioen
araberako neurri egokiagoa ematen digula Erran daiteke. Hiru alderdien simetri fiktizioa
hausten du, aldi berean A-ren egoera estrategikoaren abantaila goraipatuz.
2. KAPITULUA
40
Aldeak oraindik nabarmenagoak izanen dira haietako bat jokalari nulua bada. Suposa
dezagun aurreko adibidean eskatzen den gehiengo kualifikatuak A alderdia nulua egiten duela
(adibidez, A-k 2 boto ditu, B-k 10 eta C-k 9, eta 14 boto eskatzen dira bozketa bat irabazteko).
Orduan, {B,C} izanen da jokoaren koalizio irabazle minimal bakarra, eta bi alderdi hauek
banatuko dute beraien artean ordainketa osoa. Alderdi hauen arteko lotura hausten badugu,
ordea, egoera erabat aldatuko da, kasu honetan, gehiengoa lortzeko, A oinarrizkoa bihurtzen
baita. Orain, koalizio irabazle bakarra {A,B,C} da, eta hiru alderdiek botere bera daukate, ez
dena hagitz zentzuduna, A hasieran jokalari nulua zela kontutan izanik. Taula honetan,
emaitza hauek guztiak ikus daitezke:
A B C
M(N,v’,L1) 0 0.5000 0.5000
M(N,v’,L2) 0.3333 0.3333 0.3333
M(N,v’,p) 0.1050 0.3550 0.3550
3.2 taula
Grafo deterministek alderdien botereen mapa distortsionatua irudikatzen dute, botere hori
handietsiz edo gutxietsiz, hautatutako grafo deterministaren arabera. A nulua izan arren,
bertzeekiko duen posizio egokia aprobetxa dezake, baina horrek ez du erran nahi bertzeen
botere adina daukanik, (N,v’,L2) jokoak ezartzen duen bezala. Bertzalde, aipagarria da kasu
honetan ez dela desberdintzen B eta C-ren botereen artean. Hau horrela da bi alderdi hauek
koalizio irabazle guztietan daudelako. Hirugarren kapituluan, Espainiako Parlamenturako
egiten den analisian, grafo probabilistikoek sortzen dituzten aldaketa guztiak hobekiago
bereizten dira.
Bertzalde, grafo probabilistikoekin ari garenean, Myersonen balioa jarraia denez, honek
erran nahi du p-ren aldaketa txikiek M(N,v,p) balioan aldaketa txikiak sortzen dituztela.
GRAFO PROBABILISTIKOAK JOKO KOOPERATIBOETAN
41
Hortaz, probabilitateak ezartzerakoan sortzen diren akats txikiek ez dute eragin larririk
sortuko egindako botere neurketetan.
Gainera, hurrengo proposizioan frogatzen den bezala, grafo probabilistikoekiko jokoen
balioa egonkorra izanen da Myersonen (1977) eran. Joko gainbatukorretan, balio bat
egonkorra da Myersonen zentzuan, kooperatzea erabakitzen duten edozein bi jokalariek
beraien ordainketak hobetzen badituzte. Grafo probabilistikoen testuinguruan, joko
gainbatukorretan bi jokalarien arteko kooperazio probabilitatea handitzen bada, beraien
ordainketak hobetzen direla adierazten du egonkortasunak.
Definizioa Demagun (N,v) joko gainbatukorra. :NPN N esleipen erregela bat
egonkorra dela erraten da, grafo probabilistikoak erabiltzen dituen edozein (N,v,p) jokorako
eta edozein i,jN jokalarietarako:
Ri (N,v,p) Ri (N,v,q) eta Rj (N,v,p) Rj (N,v,q)
betetzen bada, funtzioa pkl = qkl izanik {k,l}{i,j} bada, eta pijqij (qPN ).
Proposizioa 2 M(N,v,p) Myersonen balioa egonkorra da.
Frogapena: Biz grafo probabilistikoak erabiltzen dituen (N,v,p) jokoa, (N,v) gainbatukorra
izanik. i,jN bi jokalari hartuz, Mi(N,v,p) funtzioa pij probabilitatearekiko gorakorra dela
frogatuko dugu. Shapleyen (1953) balioaren definizio bat erabiliz,
! 1 !, ,
!i p pS N i
S N SM N v p v S i v S
N
da,
SvLpSvSLL
Lp
izanik. ji bada, orduan SN\{i} koalizioetarako {i,j}L(S) dugu
eta ondorioz vp(S) ez dago {i,j}-ren menpe. Orduan, M(N,v,p) funtzioa pij-rekiko monotonoa
izateko vp(S{i}) monotonoa izatea beharrezkoa eta nahikoa da.
2. KAPITULUA
42
Baina
SvppSv LSLL LSLL
p 1
denez, vp(S) funtzioa pij-rekiko deribatuz,
SvSvppp
iSvLj,iL
iS'LL LiS'LLij
p
1
da, L'(S{i})=L(S{i})\{i,j} izanik. Eta v gainbatukorra denez,
0
ij
p
p
iSv da, eta
ondorioz egonkortasuna frogatuta dago.
4 Ekarpen orekatuak eta justizia. Balioaren bi axiomatizazio
Aurreko kapituluan, maila egiturarekiko jokoen balioak ezaugarriztatu dira ekarpen orekatuen
eta efizientziaren bitartez. Ondoren, grafo probabilistikoekiko jokoen balioa, ideia berberak
dituzten bi axiomen bitartez ezaugarriztatuko dugu.
Lehenik, efizientzia osakideetan axioma definituko dugu. Axioma honek dio, koalizio
bateko jokalarien komunikazio probabilitatea kanpoko jokalari guztiekin zero bada, eta
minimala bada propietate honekiko, bere azken ordainketa, koalizio honen itxarotako
ordainketa izan behar dela. Kontzeptu hau formalizatu aurretik notazio batzuk emanen ditugu.
Biz grafo probabilistikoekiko (N,v,p) jokoa. Joko hau era honetan definitutako (N,Lp) grafo
deterministikoarekin elkartuko dugu: {i,j}Lp da, baldin, eta soilik baldin, pij>0 bada. (N,Lp)
grafoak N/p idatziko dugun N-ren partiketa osakide konektatuetan eragiten du. Proposatzen
GRAFO PROBABILISTIKOAK JOKO KOOPERATIBOETAN
43
dugun balioari eskatuko diogun lehen baldintza, osakide bakoitzerako banaketa efizientea
izatea izanen da.
Definizioa Grafo probabilistikoekiko (N,v,p) joko bakoitzerako eta CN/p osakide konektatu
bakoitzerako, :NPNN esleipen erregela bat efizientea osakideetan dela erranen dugu,
ondoko baldintza hau betetzen bada:
Ci
pi Cvp,v,N .
Bozketa jokoen testuinguruan, non irabazleak diren bi osakide disjuntu ezin direnez egon,
efizientzia osakideetan axiomak, botere osoa koalizio irabazlea den osakide baten alderdien
artean banatzen dela adierazten du.
Ekarpen orekatuen axiomak, j jokalariari i jokalariaren isolamenduak eragiten dion galera
(edo onura), j-ren isolamenduak i jokalarian eragiten duen galera (onura) bera dela adierazten
du.
Definizioa :NPNN esleipen erregelak ekarpen orekatuak axioma betetzen duela
erranen dugu, grafo probabilistikoekiko edozein (N,v,p) jokorako eta i,jN edozein bi
jokalaritarako, ondoko baldintza hau betetzen bada:
i(N,v,p)-i(N,v,p-j)=j(N,v,p) ji(N,v,p-i)
p-i({k,l})= p({k,l}) izanik i{k,l} bada eta p-i({k,l})=0, k=i edo l=i kasuetan.
Teorema 1 Myersonen balioa da efizientzia osakideetan eta ekarpen orekatuak betetzen
dituen :NPNN esleipen erregela bakarra.
Frogapena: Myersonen balioak efizientzia osakideetan betetzen duela frogatzeko, demagun
komunikazio probabilistikoko (N,v,p) egoera eta CN/p osakidea ditugula. (N,vp) bi jokoetan
2. KAPITULUA
44
banatuko dugu, (N,vC) eta (N,vN\C) jokoetan hain zuzen ere, SN bakoitzerako,
vC(S):=vp(SC) eta vN\C(S):=vp(S\C) direlarik.
C, (N,Lp)-ren osakidea denez, vp=vC+vN\C dela dakigu eta Shapleyen dummy2
propietateagatik, iC osakide bakoitzerako, SHi(N,vN\C)=0 dela. Beraz,
Ci
pCC
iCi
CNi
Ci
Ci
Cii CvNvv,NSHv,NSHv,NSHp,v,NM
non lehen eta hirugarren berdintzak Shapleyen balioaren definiziotik ondorioztatzen diren.
Hemen batugarritasuna erabili dugu, eta honek ez du zentzurik, adibidez, bozketa jokoetan.
Hala ere, ez digu inolako eraginik agiten, vp-ren deskonposaketa egin den modugatik, vC edo
vN\C joko nulua izanen baita, eta ondorioz bi jokoen batura, bozketa joko ongi definitua da.
Ekarpen orekatuen propietatea ere betetzen duela frogatzeko, funtzio potentziala erabiliko
dugu (N, vp) jokoan. Horrela, badakigu edozein pPN grafo probabilistiko eta edozein i,jN
bi jokalaritarako,
SHi(N,vp)=P(N,vp)-P(N\{i},vp) eta SHj(N,vp)=P(N,vp)-P(N\{j},vp)
berdintzak betetzen direla, beraz,
SHi(N,vp)- SHj(N,vp)=SHi(N\{j},vp)-SHj(N\{i},vp). (4.1)
Bertzalde,
jiv,NSHv,jNSHjpipi
(4.2)
2 asignazio erregela batek dummy axioma baieztatzen du ondokoa betetzen duenean: v(S{i})=v(S)+v(i) SN\{i} guztietarako (i)= v(i).
GRAFO PROBABILISTIKOAK JOKO KOOPERATIBOETAN
45
zeren jpv,N
jokoan j jokalaria dummy denez, efizientzia axioma aplikatuz,
pijpijpi v,jNSHv,jNSHv,NSH
betetzen baita.
Era berean froga daiteke
\ , , ij p j pSH N i v SH N v i j
(4.3)
betetzen dela.
(4.2) eta (4.3) berdintzak (4.1)-en ordezkatuz, M-k ekarpen orekatuen axioma betetzen
duela frogatzen da.
Bakarra dela frogatzeko, har ditzagun efizientzia osakideetan eta ekarpen orekatuak
betetzen dituzten bi esleipen erregela, 1 eta 2, eta ikus dezagun berdinak izan behar dutela.
Ohartu, lehenik, 1 eta 2-ren efizientzia osakideetan baldintzaren ondorioz, jokalari
bikote guztien komunikazio probabilitateak zero diren grafo probabilistikoekiko jokoetan, bi
erregela hauek berdinak dira. Suposa dezagun orain 1 eta 2 ez direla berdinak. Biz
1(N,v,p)2(N,v,p) betetzen duen probabilitate ez nuluak dituzten lotura kopuru minimoko
(N,v,p) komunikazio probabilistikoekiko jokoa.
Badakigu p sistemak N/p zatidura multzoa eragiten duela. Efizientzia osakideetan
propietateagatik, CN/p osakide konektatu bakoitzerako,
021 p,v,Np,v,N CC (4.4)
beteko da, eta ekarpen orekatuen axiomagatik, edozein i,jC bi jokalaritarako,
,p,v,Np,v,Np,v,Np,v,N ijjiji 1111
2. KAPITULUA
46
.p,v,Np,v,Np,v,Np,v,N ijjiji 2222
Baina p minimoa denez, bi berdintza hauen eskuin aldeak berdinak dira, eta ondorioz,
Cj,iCdp,v,Np,v,Np,v,Np,v,N jjii 2121
d(C) balioa C-ren menpe soilik dagoelarik.
Orduan, (4.4) baldintzagatik, CdCp,v,Np,v,N CC 210 da, hots, d(C)=0.
Beraz, jokalari guztietarako, p,v,Np,v,N CC21 betetzen dela ondoriozta daiteke.
Ekarpen orekatuen baldintza justizia axioma batekin ordezkatuz, balio honen bertze
ezaugarriztapen bat lor daiteke.
Bi jokalarien komunikazio zuzeneko aukerak hausten direnean, bertze guztienak aldatu
gabe,bi jokalari hauen ordainketak kantitate berean aldatzen direla erraten du justizia axioma
honek:
Definizioa :NPNN esleipen erregelak justizia betetzen duela erraten da, grafo
probabilistikoekiko edozein (N,v,p) jokotarako, eta edozein i,j bi jokalaritarako,
,p,v,Np,v,Np,v,Np,v,N ijjjijii
betetzen bada, p-ij({k,l})=p({k,l}) izanik {k,l}{i,j} bada, eta p-ij({i,j})=0.
Justiziaren definizio baliokidea lortzen da, p-ij({i,j})=0 baldintza p-ij({i,j})[0,1]-rekin
ordezkatuz. Axioma honen esanahia ondokoa izanen zen: bi jokalarien arteko komunikazio
probabilitatea aldatzen bada, beraien ordainketak kantitate berean aldatuko dira.
GRAFO PROBABILISTIKOAK JOKO KOOPERATIBOETAN
47
Bozketa jokoen testuinguruan, alderdi batek bertze baten kontra jotzen badu horren boterea
jaitsi nahian, biek botere galera bera jasotzen dutela erran nahi du justizi axioma honek.
Teorema 2 Myersonen balioa da efizientzia osakideetan eta justizia axiomak betetzen dituen
:NPNN esleipen erregela bakarra.
Frogapena: Teorema 1-ean Myersonen balioak efizientzia osakideetan betetzen duela
frogatu dugunez gero, justizia ere betetzen duela frogatzea soilik geratzen zaigu. Biz grafo
probabilistikoekiko (N,v,p) jokoa, eta har ditzagun bi jokalari i,jN, ij, pij>0 delarik. Biz
ijpp vv:w
jokoa, p-ij eta p berdinak {i,j} bikotetarako izan ezik, eta p-ij({i,j})=0. Ohartu
SvSvijpp
dela {i,j} bikotea edukitzen ez duten SN koalizioetarako. Orduan, SN
koalizioa hartuz non iS edo jS diren, w(S)=0 beteko da. Beraz, bi jokalari hauek dituzten
koalizioak izanen dira (N,w) jokoan ordainketa ez nulua daukaten koalizio bakarrak. Horrela,
Shapleyen balioaren simetriagatik, SHi(N,w)=SHj(N,w), eta linealtasuna aplikatuz, SH-k
justizia betetzen duela ondoriozta daiteke:
.p,v,NSHp,v,NSHp,v,NSHp,v,NSH ijjjijii
Bakarra dela frogatzeko, har ditzagun efizientzia osakideetan eta justizia betetzen dituzten
1 eta 2 bi esleipen erregela, eta ikus dezagun berdinak izan behar direla.
1 eta 2-ren efizientzia osakideetan baldintzaren ondorioz, bi erregela hauek berdinak
izanen dira jokalari bikote guztien komunikazio probabilitateak zero diren grafo
probabilistikoekiko jokoetan. Suposa dezagun orain 1 eta 2 ez direla berdinak. Biz
1(N,v,p)2(N,v,p) betetzen duen probabilitate ez nuluak dituzten lotura kopuru minimoko
(N,v,p) komunikazio probabilistikoekiko jokoa. (N,v,p)-ren minimotasunagatik, pij>0 betetzen
duen {i,j} bikotearentzat 1(N,v,p-ij)2(N,v, p-ij) dela badakigu. Eta 1 eta 2 funtzioei
justizia axioma aplikatuz:
ijjijiji p,v,Np,v,Np,v,Np,v,N 1111
2. KAPITULUA
48
p,v,Np,v,Np,v,Np,v,N jiijjiji2222
dugu, hau da,
p,v,Np,v,Np,v,Np,v,N jjii2121
berdintza dugu i eta j jokalariak CN/p osakide konektatu beran dauden aldiro. Beraz,
kendura hori C-ren menpe dago soilik, eta ondorioz d(C) zenbakia har dezakegu non
)C(dp,v,Np,v,N ii 21 den, iC jokalari eta CN/p osakide konektatu
bakoitzetarako. 1 eta 2-ri efizientzia osakideetan aplikatuz,
Cvp,v,Np,v,N pCi
iCi
i
21
beteko da CN/p osakide konektatu bakoitzerako. Ondorioz,
CdCp,v,Np,v,NCi
iCi
i
210
dugu, hots, d(C)=0. Horrela, 1(N,v,p)=2(N,v,p) dela erran daiteke.
Jokalari bikote guztien komunikazio probabilitateak independenteak direla suposatu dugu,
eta hau batzuentzat eztabaidagarria izan daiteke. Guretzat zentzuduna izateaz gain, baldintza
honen erabilerak erabiliz kalkuluen kopuruaren aurrezpen nabarmena suposatzen du, LL(S)
komunikazio grafo bakoitzaren probabilitatea kalkulatzeko aldebiko pij probabilitateak soilik
kalkulatu behar baitira. Independentzia hau ez badugu kontutan hartzen, ordea, komunikazio
grafo posible guztien multzoen gain definitutako (pS)SN probabilitateen funtzioa erabili
beharko dugu, hau da, SN koalizio bakoitzerako pS:L(S)[0,1] funtzioa, hots, S-n egin
daitezkeen komunikazio egitura posible guztiekiko loteria. Orduan, (pS)SN hartuz, itxarotako
funtzio karakteristikoa vp-ren formula aplikatuz lortzen da. Ondorioz, n jokalariko joko
GRAFO PROBABILISTIKOAK JOKO KOOPERATIBOETAN
49
batean, probabilitateen independentzia kontutan hartzen badugu,
2
nNL datu ezagutu
behar ditugu, eta bertzela, ordea,
NS NS
SLSLL:L 2 datu ezagutu beharko
genituen.
Hemen aurkeztutako eredua orokortzeko era bat, jokalarien arteko aldez aurreko bildurak
kontsideratzea da. Testuinguru politikoan, bozketa egoeraren deskribapenaren zati bat bezala,
Gobernu koalizioen kasuak aztertzea suposatzen du. Gehiengo osoa lortzen ez den bitartean,
koalizio batek gobernatu beharko du, edo alderdi batek bertze batzuen babes
parlamentarioarekin. Orduan, aldez aurreko bildurak erabiliz, egoera errealetik hurbilago
dauden botere indizeak lor daitezkeela pentsa daiteke. Eredua era honetan orokortzea, aldez
aurreko bildurazko jokoak (Owen, 1977; Carreras eta Owen, 1988), eta Carreras,
García-Jurado eta Vázquez-Bragek (1996) aztertutako grafo deterministikoak eta aldez
aurreko bildurak erabiltzen dituzten jokoak hedatzea suposatzen du. Hurrengo atalean, grafo
probabilistiko eta egitura koalizionalekiko jokoen bi axiomatizazio ematen dira, eta
hirugarren kapituluan emaitza hauek, bozketa egoeretan, koalizioen egonkortasuna aztertzeko
erabiliko dira.
5 Grafo probabilistikoak eta egitura koalizionalak
Ordainketak handitu nahian, jokalariak beraien artean biltzeko joera maiz agertzen da alderdi
anitzeko prozesuetan. Owenek (1977) hau kontutan hartu zuen, Shapleyen balioa aldez
aurretiko bildurak dauden jokoetara hedatzeko. Hedapen hau balio koalizionala edo Owenen
balioa deitu ohi da, eta bere definizoa eta axiomatizazioa ikusi ditugu lehen kapituluan.
Carreras, García-Jurado eta Vázquez-Bragek (1996) komunikazio grafoak eta egitura
koalizionalak zituzten jokoak ezaugarriztatu zituzten, eta guk, atal honetan, hau dena grafo
probabilistikoekiko jokoetara hedatuko dugu.
2. KAPITULUA
50
Definizioa Demagun (N,v) joko koalizionala, p probabilitateen sistema eta B egitura
koalizionala. CM(N,B,v,p) balio koalizionala, CM(N,B,v,p):=OV(N,B,vp) betetzen duena
dela erranen dugu.
Grafo probabilistikoekiko Myersonen baliorako frogatu zen bezala, kasu honetan
definitutako balioa ere efizientzia osakideetan eta ekarpen orekatuen axiomen bitartez
ezaugarrizta daiteke, oraingo honetan bigarren baldintza hau bikoitza delarik, egiturako
blokeekiko eta bloke bakoitzeko jokalariekiko.
Definizioa :NPNBN N esleipen erregela efizientea osakideetan dela erranen dugu,
grafo probabilistiko eta egitura koalizionalekiko (N,B,v,p) joko bakoitzerako eta CNIp
osakide konektatu bakoitzerako,
Ci
pi Cvp,v,B,N egiaztatzen bada.
Eskatuko dugun bigarren axioma ekarpen orekatuen hastapena da, eta bi mailatan
aplikatuko dugu: egitura koalizionala osatzen duten blokeen artean, eta bloke bakoitzeko
jokalarien artean: edozein Bi eta Bj bi bloke hartuz, Bj blokeari Bi blokeko jokalariaren
isolamenduak eragiten dion galera (edo onura), Bj-ko jokalarien isolamenduak Bi blokean
eragiten duen galera (onura) bera dela, eta bloke bakoitzean, bi jokalari i eta j hartuz, j
jokalariari i jokalariaren isolamenduak eragiten dion galera (edo onura), j-ren isolameduak i
jokalarian eragiten duen galera (onura) bera dela.
Definizioa :NPNBN N esleipen erregelak ekarpen orekatuen baldintza betetzen duela
erranen dugu, ondoko bi baldintza hauek betetzen baditu:
(i) Grafo probabilistikoekiko edozein (N,B,v,p) jokotarako eta edozein Bi,BjB bi bloketarako:
,p,v,B,Np,v,B,Np,v,B,Np,v,B,NiBjBjBjBiBiB
l,kpl,kpiB izanik ii BlBk eta direnean, eta 0 l,kp
iB izanik
ii BlBk edo kasuetan.
GRAFO PROBABILISTIKOAK JOKO KOOPERATIBOETAN
51
(ii) Edozein i,jBk jokalaritarako:
,p,v,Np,v,Np,v,Np,v,,B,N ijjjii
non p-i({k,l})= p({k,l}) den i{k,l} bada eta p-i({k,l})=0 k=i edo l=i kasuetan.
Teorema 3 Balio koalizionala da efizientzia oskideetan eta ekarpen orekatuak betetzen
dituen :NPNBN N esleipen erregela bakarra.
Frogapena: Balio koalizionalak efizientzia osakideetan betetzen duela frogatzeko, demagun
komunikazio probabilistikoekiko (N,B,v,p) egoera eta CN/p osakidea. (N,B,vp) bi jokoetan
banatuko dugu, (N,B,vC) eta (N,B,vN\C), SN bakoitzerako, vC(S):=vp(SC) eta
vN\C(S):=vp(S\C) direlarik.
C multzoa (N,B,Lp)-ren osakidea denez, vp=vC+vN\C dela dakigu eta balio koalizionalaren
dummy propietateagatik, iC osakide bakoitzerako OVi(N,B,vN\C)=0 dela. Beraz,
Ci
CNi
Ci
Ci
Cii v,B,NOVv,B,NOVp,v,B,NCM
,CvNvv,B,NOVCi
pCC
i
non lehen eta hirugarren berdintzak balio koalizionalaren definiziotik ondorioztatzen diren.
Bloke bakoitzeko elementuetarako ekarpen orekatuen propietatea betetzen dela frogatzeko,
funtzio potentziala erabiliko dugu (N,B,vp) jokoan. Horrela, badakigu edozein pPN grafo
probabilistiko, BkB bloke eta i,jBk bi jokalaritarako,
piNk
pk
pi v,B,iNPv,B,NPv,B,NOV
2. KAPITULUA
52
pjNk
pk
pj v,B,jNPv,B,NPv,B,NOV
betetzen direla, baina
pj,iNk
pjNk
pjNi v,B,j,iNPv,B,jNPv,B,jNOV
pj,iNk
piNk
piNj v,B,j,iNPv,B,iNPv,B,iNOV
direnez,
piNjpjNipjpi v,B,iNOVv,B,jNOVv,B,NOVv,B,NOV (5.1)
beteko da. Bertzalde,
, , , , ji p i pN jOV N j B v OV N B v i j
(5.2)
da, jpv,B,N
jokoan j jokalaria dummy denez, efizientzia axioma aplikatuz,
pjNijpjNijpi v,B,jNOVv,B,jNOVv,B,NOV
betetzen baita. Era berean
, jiv,B,NOVv,B,iNOVipjpiNj
(5.3)
ere betetzen dela froga daiteke.
GRAFO PROBABILISTIKOAK JOKO KOOPERATIBOETAN
53
(5.2) eta (5.3) berdintzak (5.1)-en ordezkatuz, CM-k bloke bakoitzeko jokalarietarako
ekarpen orekatuen axioma betetzen duela frogatzen da.
Blokeetarako ere betetzen duela zuzena da, Mkv,MSHv,B,NOV BpkpkB
betetzen baita, eta lehen ikusi dugu SH balioak ekarpen orekatuen baldintza betetzen duela.
Bakarra dela frogatzeko, har ditzagun efizientzia osakideetan eta ekarpen orekatuak
betetzen dituzten 1 eta 2 bi esleipen erregela, eta ikus dezagun berdinak izan behar dutela.
Ohartu, lehenik, 1 eta 2-ren efizientzia osakideetan baldintzaren ondorioz bi erregela
hauek berdinak izanen direla grafo probabilistikoak erabiltzen dituzten jokoetan non jokalari
bikote guztien komunikazio probabilitateak zero diren. Suposa dezagun orain 1 eta 2 ez
direla berdinak. Biz orain 1(N,B,v,p)2(N,B,v,p) betetzen duen probabilitate ez nuluak
dituzten lotura kopuru minimoko (N,B,v,p) komunikazio probabilistikoarekiko jokoa.
Badakigu p sistemak N eta M multzoengan N/p eta M/p zatidura multzoak, hurrenez
hurren, eragiten dituela. Har dezagun orain RM/p. R=1 bada, orduan BR={Br} bloke
isolatua da, eta efizientzia osakideetan propietateagatik, 21RBRB da. |R|>1 bada,
Rr
rR BB
izanen da, non hau N/p-ren elementuen bildura gisa jar daitekeen,
p/NHSRr
rR SBB
. Eta efizientzia osakideetan baldintzagatik,
p/NHS
pRBRB Svp,v,B,Np,v,B,N
21 . (5.4)
Har ditzagun orain r,sR, Br eta Bs konektatuak daudelarik. Orduan, blokeen arteko
ekarpen orekatuagatik,
1,2.i rBi
sBsBi
rBi
sBi
rB p,v,B,Np,v,B,Np,v,B,Np,v,B,N
2. KAPITULUA
54
Baina p minimoa denez, bi berdintzen bigarren aldea berdina da. Beraz,
d(R)2121 p,v,B,Np,v,B,Np,v,B,Np,v,B,NsBsBrBrB
Da, d(R) balioa R-ren menpe soilik dagoelarik.
Orduan, (5.4)-gatik, d(R)0 21 Rp,v,B,Np,v,B,NrBrB , hots, d(R)=0.
Horrela,
Rr;p/MRp,v,B,Np,v,B,NrBrB 21 ,
eta ondorioz,
Mkp,v,B,Np,v,B,NkBkB 21 . (5.5)
Bira orain BkB blokea eta p-ren bitartez isolatuak ez dauden i,jBk. Bloke honen
jokalarien arteko ekarpen orekatuagatik,
1,2.t ,p,v,B,Np,v,B,Np,v,B,Np,v,B,N itj
tjj
ti
ti
Baina p minimoa denez, bi berdintza hauen eskuin aldea berdina da. Beraz,
d(k),2121 p,v,B,Np,v,B,Np,v,B,Np,v,B,N jjii (5.6)
d(k) zenbakia Bk-ren menpe soilik dagoelarik.
Bk jokalari isolatuen multzoari Bk(A) deituz, Bk(NA) isolatuak ez daudenari, eta (5.5)
berdintza aplikatuz,
GRAFO PROBABILISTIKOAK JOKO KOOPERATIBOETAN
55
NAkBi
iikBkB p,v,B,Np,v,B,Np,v,B,Np,v,B,N 21210
NAkdhp,v,B,Np,v,B,NAkBj
jj k21 Bh ,0
dugu. Ondorioz, d(k)=0 da eta (5.6)-gatik, bloke bakoitzeko elementuetarako ere 1 eta 2
berdinak izanen dira. Hortaz, CM bakarra dela frogatua gelditzen da.
Badago ezaugarriztapen alternatibo bat, blokeen arteko ekarpen orekatuen baldintza
justizia axioma batekin ordezkatuz lortzen dena. Bi blokeko jokalarien arteko komunikazio
zuzeneko aukerak hausten direnean, bertzeenak aldatu gabe, bi bloke horien ordainketak
kantitate berean aldatzen direla erraten du justizia axioma honek:
Definizioa :NPNBN N esleipen erregelak blokeen arteko justizia betetzen duela
erranen dugu, grafo probabilistiko eta egitura koalizionalekiko edozein (N,B,v,p) jokotarako
eta edozein Bi, BjB bi bloketarako honako hau betetzen bada:
,p,v,B,Np,v,B,Np,v,B,Np,v,B,NjBiBjBjBjBiBiBiB
non l,kpl,kpjBiB den jiBl,k B kasuan, eta 0 l,kp
jBiB bertzela.
Blokeen arteko justiziaren definizio baliokidea lortzen da, jiBl,k B bikoteetarako
l,kpl,kpjBiB soilik eskatuz. Axioma honen esanahia ondokoa izanen da: bi
blokeen arteko komunikazio probabilitatea aldatzen bada, beraien ordainketak kantitate
berean aldatuko dira.
Teorema 4 Balio koalizionala da efizientzia osakideetan, bloke bakoitzeko jokalarien arteko
ekarpen orekatuak eta blokeen arteko justizia betetzen dituen :NPNBN N esleipen
erregela bakarra.
2. KAPITULUA
56
Frogapena: Balio koalizionalaren definizioagatik, Bi bloke bakoitzari p,v,M B zatidura
jokoaren Myersonen balioa dagokio, hots, p,v,MMp,v,B,NCM BiiB . Eta Myersonen
balioak justizia betetzen duenez,
ijB
jB
jijB
iB
i p,v,MMp,v,MMp,v,MMp,v,MM
beteko da. Beraz, grafo probabilistikorekiko balio koalizionalak blokeen arteko iustizia
betetzen du.
Bakarra dela frogatzeko, aurreko teoreman egindakoaren antzekoa da eginen da. Blokeen
arteko ekarpen orekatuen baldintza pausu bakar batean erabiltzen da, eta pauso hori ere
beteko da blokeen arteko justizia baldintzarekin.
Carreras, García-Jurado eta Vázquez-Bragen (1996) gertatzen zen bezala, testuinguru
honetan ere balio koalizionala ezin izan dugu ezaugarriztatu blokeen arteko justizia eta bloke
bakoitzeko jokalarien arteko justizia erabiliz.
Lehen kapituluan erran den bezala, Winterrek (1992) balio koalizionalak P funtzio
potentziala onartzen duela frogatzen du. Era berean, grafo probabilistiko eta egitura
koalizionalekiko jokoek ere funtzio potentzial bakarra izanen dute. Funtzio hau (N,B,vL)
jokoen konbinazio lineal gisa era honetan adieraz daiteke:
.p,v,B,NPLpv,B,NPLpv,B,NPp,v,B,NPNLL
NL
NLL
Np
58
3. kapitulua
Egonkortasuna bozketa jokoetan: Espainiako Parlamenturako aplikazioa
EGONKORTASUNA BOZKETA JOKUETAN: ESPAINIAKO PARLAMENTURAKO APLIKAZIOA
59
1 Sarrera
Politika zientzi arloari begira, joko teoriaren aplikazio bat bozketa egoera politikoetan parte
hartzen duten alderdien boterea neurtzea da. Neurri hori lortzeko, bozketa jokoak joko
kooperatibo gisa jartzen dira, eta ondoren alderdi bakoitzaren boterea emanen duen soluzio
kontzeptu bat aplikatzen zaio. Joko teoriaren barne botere indize ezagunenak Shapley-
Shubiken (1954) eta Banzhafen (1965) indizeak dira. Bi kontzeptu hauek adierazten dutenen
arabera, orokorki alderdien boto kopuruak soilik ez du erakusten bakoitzaren boterea.
Adibidez, A, B eta C alderdiak hartuz, 16, 14 eta 4 ordezkariekin, hurrenez hurren, C-k boto
gutxiago izan arren ezin dugu erran bertzeek baino anitzez botere txikiagoa izanen duenik;
gehiengoa lortzeko 18 boto behar direnez, C-ren erabakiak bertzeenak bezain garrantzitsuak
baitira.
Alderdi bakoitzaren boterearen erreferentzi hobea lortzeko, alderdi bat zenbat koalizioetan
den beharrezkoa koalizio hori irabazlea izateko aztertzea interesgarria dirudi, hau da,
irabazleak diren zenbat koalizio bihurtzen diren galtzaile, alderdia koalizio horretatik
ateratzerakoan.
Hala ere, prozedura honek ez digu ematen beti alderdi bakoitzaren benetako botere neurria,
alderdien arteko kooperazioan eragina izan dezaketen alde soziologikoak, politikoak edo
ideologikoak ez baituzte kontutan hartzen.
Politika zientziara aplikatu diren joko kooperatiboei buruzko literaturan, egoera hauei
aurre egiteko saiakera desberdinak egin dira, hasierako jokoari murrizketak inposatuz.
Owenek (1971), adibidez, jokalari bakoitza espazioko puntu batean kokatu ondoren, puntuen
arteko distantzia euklidearra kalkulatzen du. Hasierako funtzio karakteristikoa aldatzen du
lortutakoaren arabera, eta honi aplikatzen dio Shapleyen balioa. Carrerasek (1991), jokoa
murrizteko hiru metodo desberdin proposatzen ditu, beti ere joko sinpleen eremuan, eta
bakoitzari dagokion balioa. Lehena hurbiltasunen grafoari dagokio eta, joko gainbatukorretan
bederen, joko sinpleetara murriztutako Myersonen balio bera da. Bigarrena, bateraezintasun
3. KAPITULUA
60
grafo bati buruzkoa da eta hirugarrenean, aldi berean bateraezintasunak eta hurbiltasunak
erabiltzen ditu. Kasu bakoitzerako, joko murriztuaren Shapleyen balioa aztertzen du.
Bertzalde, Amer eta Carrerasek (1995) funtzio karakteristikoa aldatzen dute kooparazio
indizeen bitartez, hau da, jokoan parte hartzen duen koalizio bakoitzaren kooperazio graduak
kontutan hartuta.
Guk, aurreko kapituluan definitutako botere indizea erabiliko dugu, hots, grafo
probabilistikoak aldatutako funtzio karakteristikotik lortzen dena, eta horren bitartez
kalkulatuko dugu 1993ko ekainean sortutako Espainiako Parlamentuan dauden alderdien
boterea.
Kapitulu honen bigarren helburua, Gobernu koalizio eraketen azterketa egitea izanen da.
Horretarako, joko teorian maiz agertzen diren bi kontzeptu erabiliko ditugu: balioa eta
egonkortasuna. Lehenik, jokalari bakoitzaren boterea aztertzen da grafo probabilistikoak
aldatutako funtzio karakteristikoari balio koalizionala aplikatuz. Koalizio gehiengodunetan
parte hartzen duten alderdien boterea neurtu ondoren, horietako koalizioren bat egonkorra den
ikusiko dugu. Hau aztertzeko, joko ez-kooperatibo bat definituko da, non alderdi bakoitzaren
estrategiak bakarrik egotea edo koalizio gehiengodunen batean parte hartzea diren.
Ordainketen funtzioa honelaxe zehaztuko da: estrategien bektore bat hartuz, koalizio irabazle
bateko alderdi guztiak bat badatoz, estrategia horri ordainketen funtzioak koalizio horrek
definitutako egiturako balio koalizionala grafo probabilistikoekin emanen dio, eta bertzela,
hots, jokalarien estrategiek ez badute bat egiten koalizio irabazle batean, Myersonen balioa
grafo probabilistikoekin banatuko dute. Egonkortasunaren existentzia aztertzeko, oreka
sendoaren kontzeptua erabiliko da, eta aliantza bat egonkorra dela erranen dugu, parte hartzen
duten ezein alderdik ez badu aliantza hori apurtzen bertze koalizio irabazle batean parte
hartzeko, kide berri haiek guztiek beraien balioak hobetzen dituztelarik.
Hirugarren kapitulu honen egitura ondokoa da: 2. atalean bozketa egoera eta Shapley-
Shubiken (1954) indizea deskribatu egiten dira; gainera, grafo probabilistikoen bitartez
kooperazioaren ziurgabetasuna nola sartzen den erakusten da, ondoren botere indize berria
definituz. 3. atalean, 1993an sortutako Espainiako Parlamentura aplikatzen da teoria hau, eta
ondoren alderdien arteko komunikazio probabilitateen aldaketek botere indize hauetan
EGONKORTASUNA BOZKETA JOKUETAN: ESPAINIAKO PARLAMENTURAKO APLIKAZIOA
61
daukaten eragina aztertuko dugu. Gobernu aliantzen egonkortasuna aztertzea da 4. ataleko
helburua. Owenen (1977) balioaren bitartez, alderdien boterearekiko aldaketak aztertzen dira
hauetako batzuk beraien artean biltzea erabakitzen dutenean, eta Hart eta Kurzek (1983 eta
1984) erabili zituzten jokoek erakarritako aliantza eraketen jokoa eskaintzen da. 5. atalean
prozedura hau Espainiako Parlamentuko azken bi legegintzaldietara aplikatzen da, eta
azkenik, 6. atalean zenbait ohar ematen dira.
2 Botere indizeak bozketa egoeretan
Parlamentu batean sortzen diren bozketa egoerak gehiengo neurtuko joko gisa jar daitezke. n
alderdi ditugu, i alderdi bakoitzak wi eserleku ditu, eta koalizio bakoitzak boto guztien erdia
baino gehiago behar du erabaki bat aurrera ateratzeko. Beraz, (N,w) joko kooperatiboa dugu,
jokalari multzoa N={1,2,... ,n} izanik, eta SN bakoitzerako, w funtzio karakteristikoa
honako eran definituta dagoelarik:
bertzela0
bada 2
11
Si Niii ww
:Sw
S koalizioa irabazlea da w(S)=1 betetzen badu, eta irabazle minimala, w(S)=1 izateaz gain
w(T)=0 bada S-ren T azpikoalizio hertsi guztietarako.
Alderdi bakoitzak (N,w) bozketa jokoan duen boterea neurtzeko, joko kooperatiboetan
erabiltzen den soluzio kontzepturen bat aplikatzea bertzerik ez zaigu falta. Gure kasuan,
testuinguru honetan gehien erabiltzen dena hartuko dugu, Shapley-Shubiken (1954) indizea
hain zuzen ere.
Indize hau, bozkatzaile pibotearen ideian oinarrituta dago. Suposa dezagun alderdiak
erabaki baten alde egiteko asmoaren arabera ordenatzen ditugula (handiagotik gutxiagora).
3. KAPITULUA
62
Ordenaketa bakoitzean, pibote alderdi bat egonen da. Pibotea honen ezaugarria hau da:
aurrekoekin batera alde bozkatzen badu, erabakia aurrera ateratzen da, eta hurrengoekin
batera aurka bozkatzerakoan, ordea, erabakia deuseztatzen da. Indizea kalkulatzeko, ordena
guztiek probabilitate bera daukatela suposatuko da, eta indizeak, alderdi bakoitzak pibotea
izateko probabilitatea neurtuko du. Probabilitate hau, eserleku kopuruekin erlazionatua egon
arren, bien neurketek ez dute zertan berdinak izan behar. Alderdi bakoitzaren boterea
neurtzeko era alternatibo bat badago: bakoitza pibotea den ordena kopurua zenbatzea, hots,
bere parte-hartzearekin soilik irabazleak diren koalizio kopurua. Era honetan lortutakoa,
Banzhaf-Colemanen (Banzhaf, 1965) indizea deitu ohi da.
Formalki, N jokalari multzoa hartuz, ordena bat :NN bijekzioren bitartez definituko da,
(i) delarik i-ren kokapena ordenean. N-n definitutako ordena guztien multzoa P(N)
idatziko dugu. P(,i) da ordenean i-ren aurrean dauden jokalarien multzoa, hots,
P(,i):={jN : (j) < (i)}. (N,w) gehiengo neurtuko jokoa hartuz, (N,w) idatziko dugu i
jokalaria pibotea den ordena guztien multzoa,
1 i,Pwii,Pw:NPw,NPi .
Orduan, (N,w) gehiengozko jokoaren Shapley-Shubiken indizea honako eran honetan
definituta dago:
,NP
w,NP:w,N i
i iN jokalari bakoitzerako.
Indize hau komunikazio probabilistiko egoeretara heda daiteke, aurreko kapituluan egin
dugun era berean, Shapley-Shubiken indizea (N,w) gehiengo neurtuko jokoaren Shapleyen
indizea baita. Ondoren, aurreko kapituluan lortutako emaitzen laburbilduma txiki bat emanen
dugu, bozketa jokoetara egokitua:
(N,w) gehiengo neurtuko jokoa eta N-n definitutako L komunikazio grafoa hartuz, S
koalizioa irabazlea izanen da testuinguru honetan, irabazlea izateaz gain barrutik konektatua
badago, hots, w(S)=1 eta S/L={S} betetzen badira, edo bertze era batean, wL(S)=1 bada.
EGONKORTASUNA BOZKETA JOKUETAN: ESPAINIAKO PARLAMENTURAKO APLIKAZIOA
63
Pi(N,w,L) idatziko dugu i jokalaria pibotea den ordena guztien multzoa adierazteko, hau
da,
1 i,Pwii,Pw:NPL,w,NP LLi .
Orduan, (N,w,L) komunikazio jokoari dagokion indizea honakoa izanen da:
,NP
L,w,NP:L,w,N i
i iN bakoitzerako.
Eta N-n definitutako p probabilitateen sistema hartuz, grafo probabilistikoak erabiltzen
dituen (N,w,p) gehiengozko jokoaren botere indizea honakoa izanen da:
,L,w,NLp:p,w,N iNLL
i
iN jokalari bakoitzerako.
Grafo probabilistikoaz gain egitura koalizional bat badagoela suposatuz gero, kasu honetan
i jokalaria pibotea den ordena guztien multzoa
1 i,Pwii,Pw:B,NPL,w,B,NP LLi
izanen da, eta L grafo bakoitzerako botere indize koalizionala:
,NP
L,w,B,NP:L,w,B,N i
i iN bakoitzerako.
Testuinguru probabilistikora jotzen badugu orain, (N,w) gehiengo neurtuko jokoa, B
egitura koalizionala eta p probabilitateen sistema hartuz, itxarotako botere indize koalizionala
honako eran defini daiteke:
3. KAPITULUA
64
,L,w,B,NLp:p,w,B,N iNLL
i
iN jokalari bakoitzerako.
Horrela, i, i jokalariaren botere indize koalizionalaren itxaropen matematikoa izanen da,
komunikazio grafo posibleen multzoekiko probabilitate banaketaren arabera. 4. Atalean, balio
hau erabiliko dugu Gobernu eraketen azterketa egiteko.
Komunikazio probabilistiko egoeren azterketak bistako arazo bat dakar: hainbat faktorek
baldintzatzen duten jokalarien arteko komunikazio probabilitateen kalkulu egokia nola lortu.
Nagusienetariko bat, alderdien kokapena da, dimentsio anitz dituen espazio politikoan:
dimentsio sozioekonomikoa (ezker-eskuin dimentsioa), erlijio dimentsioa, nazionalismo edo
zentralismo graduak neurtzen dituena, etab. Behin alderdiak espazio horretan kokatuak egon,
probabilitate sistema bat lor daiteke, adibidez, beraien arteko distantzia neurtuz. Alderdi
politikoen kokapenak neurtzeko saiakera ugari egon da, eta horietako erreferentzi anitz aurki
daiteke Laver eta Schofielden (1990). Eredu espazial hauei soluzio kontzeptu desberdinen
aplikazioetaz baliatuz, Parlamentuko azterketa koalizionalak egin dira (ikusi, adibidez,
Schofielden (1995) eta Seneden (1995) lanak).
Hala ere, distantzia hauek ez digute ematen beti alderdien arteko benetako komunikazio
probabilitatea. Adibidez, ideia berdintsuak dituzten bi alderdi hurbil egonen dira espazio
politikoan, baina antzeko hautesleen botoak jasotzeko borrokak zaildu dezake beraien arteko
komunikazioa. Batzutan, teorikoki urruti dauden alderdien arteko hurbilketak gertatzen dira,
biekin borrokatzen duen hirugarren alderdi baten aurka (nire etsaiaren etsaia nire laguna da).
Hurbilketa ideologikoa eta benetako komunikazioaren arteko desberdintza aipagarriena
alderdi bat zatitzen denean ikusten da. Sortzen diren alderdiek hasiera batean antzeko
ideologia izan arren, espazio politikoaren bilakaerak eta zatiketaren ondorio pertsonalek
baldintzatuko dute erabat beraien arteko komunikazioa. Beraien arteko aliantza ia ezinezkoa
izanen da, gutxienez bakoitzak bere espazio politikoa lortu arte.
EGONKORTASUNA BOZKETA JOKUETAN: ESPAINIAKO PARLAMENTURAKO APLIKAZIOA
65
Banaketa kasuetara murriztu gabe, anitzetan kontu pertsonalek baldintza dezakete
negoziazio prozesua. Buruzagien tankerak, edo beraien arteko harreman mota desberdinak
bertze alderdikoekin erabakigarriak izan daitezke aliantza bat lortu edo deuseztatzeko orduan.
Ahaztu behar ez diren bertze kontuak ere badaude. Parlamentu bat baino gehiago dauden
lekuetan, adibidez, alderdi baten Parlamentu konkretu bateko estrategiak, bertze instituziotan
hartzen duen jarrera baldintza dezake. Colomer eta Martinezen (1995) ikus daiteke kontu
hauen garrantzia alderdien arteko negoziazio prozesuetan.
Azkenik, gogoratu behar da pij probabilitateek ere parte hartzen dutela jokalarien elkar-
eragite estrategietan. Hemen aurkeztutako ereduan, komunikazio batzuen aldaketen
boterearekiko eraginak ere aztertzen dira.
Aipatutako hau guztia kontutan hartuta pij probabilitateak endogenoki kalkulatuko
lituzketen ereduak garatzea interesgarria izanen litzateke. Batere erreza ez den lan hau
etorkizunerako uzten dugu. Oraingoz, botere indizeak grafo probabilistikoak ematen dizkigun
datuen arabera kalkulatuko ditugu. Probabilitate hauek alda daitezkeenez legealdian zehar,
lortutako botere neurriak une konkretu batean ateratako irudi finkoak direla erran daiteke,
prozesu politiko dinamiko baten barnean.
3 Espainiako Parlamentua
1993ko ekainean egindako hauteskundeen ondorioz, Kongresuko 350 eserlekuak 11 alderdien
artean modu honetan banatu ziren:
Alderdia
Eserlekuak
PSOE (Partido Socialista Obrero Español)
PP (Partido Popular)
IU (Izquierda Unida)
159
141
18
3. KAPITULUA
66
CIU (Convergencia i Unió)
PNV (Partido Nacionalista Vasco)
CC (Coalición Canaria)
HB (Herri Batasuna)
EA (Eusko Alkartasuna)
ERC (Esquerra Republicana de Catalunya)
PAR (Partido Aragonés Regionalista)
UV (Unión Valenciana)
17
5
4
2
1
1
1
1
3.1 taula
Bi alderdi handi daude, PSOE eta PP, bi tarteko neurrikoak, IU eta CIU, eta bertze guztiak
nahiko txikiak dira. Bozketa bat irabazteko, aldeko 176 boto behar dira. Gainera, lau puntu
hauek kontutan hartuko dira: (1) erabateko boto disziplina alderdi bakoitzean, (2) bozkatzaile
guztiak bertan daude, (3) bi alternatiben arteko erabakiak hartzen dira, proposamen
bakoitzaren aldekoa edo aurkakoa, eta (4) zerbait onartzeko gehiengo osoa eskatzen da.
Bakoitzaren boto kopurua soilik kontutan hartzen bada, PNVk eta bera baino txikiagoak
diren alderdi guztiek ez dute inolako botererik, ez baitute inolako eraginik bozketa bat
irabazteko. Alderdi hauek ez dauden koalizio batek ez badu gehiengoa lortzen, berdin
jarraituko du horietako batzuk koalizio horretan sartzen badira. Jokoaren koalizio irabazle
minimalen multzoa honako hauxe da:
{{PSOE,PP}, {PSOE,IU}, {PSOE,CIU}, {PP,IU,CIU}}.
Beraz, alderdi bat nagusitzen da, PSOE, eta bertze hirurak, PP, IU eta CIU simetrikoak
dira. Bertze guztiek indar nulua daukate. Alderdien Shapley-Shubiken botere indizeak 3.2
taulan eskeintzen dira:
Alderdiak PSOE PP IU CIU PNV CC HB EA ERC PAR UV
(N,w) 0.5 0.1667 0.1667 0.1667 0 0 0 0 0 0 0
EGONKORTASUNA BOZKETA JOKUETAN: ESPAINIAKO PARLAMENTURAKO APLIKAZIOA
67
3.2 taula
Ondoren, probabilitate sistemak erabiltzeak indize hauetan eragiten dituzten aldaketak
ikusiko ditugu.
Probabilitateak lortzeko, komunikabide desberdineko (prentsa, irratia eta telebista) analista
politikoen artean inkesta bat egin zen hauteskundeen aurretik. Inkesta honetarako 3.3 taulan
agertzen den antzekoa bete behar zen, 0 eta 100en arteko zenbakiak jarriz alderdi bikote
bakoitzak akordioetara iristeko daukan probabilitatea adierazteko. 9 erantzun jaso genituen,
eta probabilitateen sistema beraien batezbestekoa eginez kalkulatu zen.
PSOE PP IU CIU PNV CC HB EA ERC PAR
PP 0.2289
IU 0.4500 0.1375
CIU 0.6361 0.5712 0.2094
PNV 0.7028 0.4062 0.2469 0.8062
CC 0.4429 0.6571 0.3292 0.5917 0.4071
HB 0.0500 0.0156 0.1781 0.0537 0.1969 0.0514
EA 0.1611 0.1000 0.3156 0.2964 0.4281 0.3167 0.4406
ERC 0.1686 0.0621 0.3786 0.3571 0.3500 0.2150 0.4357 0.7214
PAR 0.1900 0.7536 0.1286 0.4214 0.3250 0.5786 0.0250 0.1979 0.0829
UV 0.1305 0.7464 0.1257 0.3543 0.3214 0.6571 0.0250 0.1764 0.1179 0.7321
3.3 taula
Azkenean, jokoa laburtu dugula erran beharra dago, praktikan vp kalkulaezina baita 8
jokalari baino gehiagoko jokoetan (adibidez, 66 MHz abiadurako PC-486 batek 8 jokalariko
3. KAPITULUA
68
joko batean vp kalkulatzeko 69 ordu behar dira, bainan gutxi gora behera 2 urtetan
kalkulatuko luke 9 jokalariko joko baterako).
Horrela, EA alderdia ERC-kin eta PAR alderdia UV-kin elkartu ditugu, 2 eserlekuko bi
alderdi berri sortuz. Elkarketa egokienak iruditu zaizkigu, bi kasuetako alderdiek antzeko
komunikazio probabilitateak izateaz gain, harreman estuak baitituzte. Adibide gisa, Europako
Parlamentuko azkeneko bi hauteskundeetan hautagai-zerrenda beran parte hartu dute.
Bertzalde, HB isolatu dugu, bere probabilitate guztiak zero eginez, bere komunikazio
probabilitate gehienak oso txikiak zirelako eta gainera bilkura parlamentariotan parte ez
hartzea erabaki zuelako. Horrela, jokalari nulua bihurtzen denez joko berrian, 8 jokalari soilik
gelditzen zaizkigu eta vp-ren kalkuluak egin daitezke.3
Jokoaren laburketak zerbait aldatzen du probabilitateen sistema, bi jokalari berriak,
EA+ERCk eta PAR+UVk parte hartzen baitute. Bi kasuetan bakoitzak bertzeekin zituen
probabilitateen batezbestekoak hartu dira. Hurrengo taulan aldaketa guztiak taula honetan
agertzen dira:
PSOE PP IU CIU PNV CC EA+ARC
EA+ERC 0.1648 0.0810 0.3471 0.3238 0.3890 0.2858
PAR+UV 0.1602 0.7500 0.1271 0.3878 0.3232 0.6178 0.1438
3.4 taula
Alderdien botere indize berria, probabilitateen sistema honen bitartez kalkulatu dugu:
3 (N,v) jokoan i jokalaria nulua bada, hots, v(S{i})=v(S) SN\{i}, ez du deus lortzen, SHi(N,v)=0, eta edozein jN\{i}, jokalarirako SHj(N,v)=SHj(N\{i},vN\{i}) betetzen da, non (N\{i},vN\{i}), (N\{i}-ren azpimultzoetan (hau da, 2N\{i} multzoan) v aplikatuz lortutako azpijokoa den.
EGONKORTASUNA BOZKETA JOKUETAN: ESPAINIAKO PARLAMENTURAKO APLIKAZIOA
69
Alderdiak PSOE PP IU CIU PNV CC EA+AERC PAR+UV HB
(N,v,p) 0.4523 0.1127 0.1283 0.1859 0.0502 0.0367 0.0103 0.0181 0
3.5 taula
3.5 taulan ikus daitekeen bezala, alderdien arteko bateragarritasun mailak erabat aldatzen
du bakoitzaren botere indizea. Adibidez, PNVk, hasierako jokoan jokalari nulua zenak, PPk
duenaren ia erdia lortzen du orain. Bertzalde, PP, IU eta CIU, hasieran simetrikoak, beraien
botere indize berrian eserleku kopuruarekiko alderanzko proportzioan daude.
PSOEk bakarrik osatu zuen Gobernua, beharrezko gehiengoa ez eduki arren. Hala ere,
gutxienez legealdiko bi lehenengo urteetan CIU eta PNVren laguntza jaso zuen. CIUrena
argiagoa izan arren (adibidez urteko aurrekontuak aurrera ateratzeko), PNVrena ere
nabarmena izan zen Kongresuko ikerketa komisio anitzetan. Gainera, beraien arteko
lankidetza aurretik zetorren, bi alderdi hauek Euskal Autonomi Erkidegoan koalizio
Gobernua osatzen baitzuten. 5. Atalean, koalizio egonkorren eraketari buruzko azterketa
zehatzagoa egiten da.
Alderdien arteko harreman prozesua dinamikoa denez, bien arteko komunikazio
probabilitate aldaketak bertze alderdien boterean nolako eragina izanen duen aldez aurretik
jakiteko gauza garen galde gaitezke. Orokorki, egoera berrirako kalkuluak egin gabe, eragina
ezin dela aldez aurretik jakin erran daiteke. Hau hobekiago ikusteko, legealdian barna PPk eta
IUk izan duten jarreraz baliatuko gara.
Testuinguru honetan, Gobernuaren aurkako PP eta IUren oposizio politikak bi alderdi
hauen estrategiak hurbildu zituen, eta ondorioz bi alderdi hauen lankidetza indartuz joan zen
(hasiera batean erabat kontrakoak zirenak dimentsio ideologikoan) arrazoi desberdinagatik:
PPk, hurrengo hauteskundeak irabazteko asmoarekin, eta IUk PSOErekin daukan antzeko
hautesleria bereganatzeko asmoarekin. Hala ere, bi alderdi hauen arteko kooperazioa
indartzeak, nolako eragina izanen du bertze alderdietan? 3.6 taulan alderdien boterea
adierazita dago p(PP,IU)-ren funtzio bat bezala, bertze probabilitate guztiak ukitu gabe,
azkeneko p* zutabean izan ezik, baina hau aurrerago azalduko dugu.
3. KAPITULUA
70
p(PP,IU) 0.1375 0.5 0.7 p*
PSOE
PP
IU
CIU
PNV
CC
EA+ERC
PAR+UV
0.4523
0.1127
0.1283
0.1859
0.0502
0.0367
0.0103
0.0181
0.4223
0.1265
0.1422
0.1998
0.0470
0.0333
0.0087
0.0168
0.4058
0.1341
0.1498
0.2074
0.0452
0.0315
0.0078
0.0161
0.3786
0.1323
0.1093
0.2371
0.0615
0.0429
0.0113
0.0212
3.6 taula
Hasierako p(PP,IU)=0.1375 probabilitateaz gain, 0.5 eta 0.7 balioak kontutan hartu dira,
joera bat ezartzeko asmoarekin. Ikus daitekeenez, PP eta IUren lankidetza indartu hala, PSOE
eta PNVren boterea jaisten da, bainan ez ordea Gobernu koalizioko bertze bazkidearena.
Horrela, PSOEren ahuldurak alderdiaren barruan tentsioa sor dezakeen bitartean, CIUn
aurkako eragina dauka, bertze bazkideekin negoziatzeko bere posizioa indartu baita, eta
ondorioz egoera ez aldatzeko bere interesa handiagotuko da.
p* zutabeko balioak kalkulatzeko komunikazio probabilitate gehiago aldatu ditugu,
zehazki, p(PP,IU)=0.5 eta p(PSOE,PP)=p(PSOE,IU)=0.15 diren kasurako kalkulatu ditugu
botere indizeak, hau da, PP eta IUren komunikazioa indartzeaz gain, beraiek PSOEkin
daukaten komunikazioa ahultzen den kasurako. Aldaketa hauen guztien ondorioz PSOEren
ahuldura areagotu egiten da, bere bi bazkideen boterea handitzen den bitartean. Hala ere,
nabarmenena, PP eta IUren botereekiko eragin desberdina da. PPrentzat mesedegarria den
bitartean, IUren posizioa erabat ahultzen da.
EGONKORTASUNA BOZKETA JOKUETAN: ESPAINIAKO PARLAMENTURAKO APLIKAZIOA
71
4 Egonkortasunaren analisia
Orain arte, grafo probabilistikoen bitartez aldatu dugun jokoak alderdi bakoitzari ematen dion
botere indizea kalkulatzen ibili gara. Dena den, alderdien helburua beraien boterea
hobereneratzea denez gero, baliteke hauek beraien artean gehiengoa daukaten koalizioetan
biltzeko saiakera egitea. Horrela, parte har dezaketen koalizio horiek guztiek kontutan hartuta,
alderdi bakoitzaren helburua, bere boterea hobereneratzen duen aliantza hautatzea izanen
litzateke. Egoera honen eredu bat egiteko, Gobernu aliantza eraketen joko ez kooperatibo bat
definituko dugu.
Erabiliko dugun aliantza kontzeptuak ez du erran nahi parte hartzaile guztiek Gobernuan
egon behar dutenik; beraz, kontutan hartuko ditugu gehiengoa daukaten aliantza guztiak,
batzuetan aliantza bateko alderdi bakar batek Gobernua eratzen badu ere. Honela, i alderdi
bakoitzaren estrategiak honako hauexek izanen dira: bakarrik egotea, {i}, edo gehiengoa
daukan SWi koalizio batean parte hartzea. Estrategia posible guztien multzoa Xi:=Wi{i}
idatziko dugu. Biz x=
Ni
in XXx,...,x,x 21 estrategia posibleen arteko konbinazio bat;
ondorioztatzen den B(x) egitura era honetan definituta dago:
B(x)=
bertzela.
koguztietara bada
Nii:NB
SiSxSiiS:SB
*
i
Beraz, S koalizio irabazleko jokalari guztiek batera joatea erabakitzen badute, dagokion
egituraren bloke nagusia S bera izanen da, bertze alderdi guztiak bloke independenteetan
mantentzen diren bitartean. Bertzela, ez da aliantzarik eratuko eta alderdiak oro bakarkako
bloke independenteetan mantenduko dira.
3. KAPITULUA
72
Jokoaren ordainketa funtzioa, ondorioztatzen den egitura koalizionalarekiko balioaren
bitartez kalkulatzen da, hots,
.p,v,xB,NCM:x 4
Alderdi bakoitzaren botere indizea handitu hala, legealdiaren barna bere huteskunde
egitaraua defendatzeko ahalmen handiagoa izanen duela suposatuko dugu. Orain, estrategi
moduan definitutako joko ez kooperatiboa daukagu, eta (X;) bikotearen bitartez adieraziko
dugu. Eredu honen bertsio orokorragoa Hart eta Kurzen (1983, 1984) eta Kurzen (1988) ikus
daiteke.
Erabiliko dugun egonkortasun kontzeptua jokoaren oreka sendoarekin erlazionatua dago.
Gainetik, aliantza bat egonkorra izanen da ez badago bertze bat non aliantza berri honen kide
guztiek ez duten beraien boterea hobetzen. Ondoren ideia hau formalki zehaztuko dugu.
Biz xX estrategia n-kotea, eta idatz dezagun SiiS xx SN koalizioaren
ordainketen bektorea adierazteko. x,yX bi estrategia hartuz, x-ek S-ren bitartez y
menperatzen duela erranen dugu, x >s y, yx SS bada, eta jS jokalariren baterako
yx jj bada. Hau da, S-ko ezein alderdi ez badago x-en y-n baino okerrago, eta
gutxienez horietako bat hertsiki hobekiago badago. Eta x-ek y menperatzen duela erranen
dugu, x > y, SN koalizioaren bat badago non x >s y den. Jokoaren oreka sendoen multzoa,
OS(X;), n-kote estrategia ez menperatuen multzoa gisa definitzen da,
OS(X;)={xX ez da yX existitzen non y > x den }.5
4 Ohartu, definizioagatik berdintza hauek ditugula:
p,v,NMp,v,NB,NCMp,v,B,NCM * .
5 Joko ez kooperatiboetarako definitutako kontzeptu hau literatura kooperatiboan agertzen den hunaren antzekoa da (Gillies, 1953 eta 1959).
EGONKORTASUNA BOZKETA JOKUETAN: ESPAINIAKO PARLAMENTURAKO APLIKAZIOA
73
Guk definitutako koalizio egonkorrak jokoaren oreka sendoarekin erlazionatuak egonen
dira. Ikus dezagun honi buruzko adibide bat:
Adibidea: Biz A, B, C eta D alderdiaz osatutako bozketa jokoa, ondoko sei koalizioak
irabazleak direlarik:
Kl = {(A,B),(A,B,C),(A,B,D),(A,C,D),(B,C,D),(A,B,C,D)}.
Hurrengo taulan, koalizio irabazle bakoitzari elkartutako egitura koalizionalarekiko
balioak agertzen dira:
AB ABC ABD ACD BCD ABCD
A 0.43 0.40 0.41 0.42 0.18 0.35
B 0.25 0.20 0.28 0.10 0.22 0.20
C 0.12 0.20 0.07 0.20 0.27 0.18
D 0.10 0.10 0.14 0.18 0.23 0.17
4.1 taula
Ikus daitekeenez, adibide honetan aliantza egonkor bat badago. Ez A-k ezta B-k ere ez
dute {A,B} aliantza hautsi nahi izanen, horrela eginez galtzen ateratzen baitira. B alderdiak
{A,B,D} koalizioan botere handiagoa lortu arren, aliantza hori eratzeko A-ren eta D-ren
laguntzaren premia dauka, eta A-k ez dio laguntza hori eskainiko, horrela galtzen ateratzen
baita. Ez dago bertze aliantza egonkorrik: {A,B,D} blokea A-k eta D-k hautsiko dute, biak
ere C-rekin batera hobekiago baitaude; eta bertze aliantza guztiak A-k eta B-k hautsiko
dituzte, biak {A,B} egituran elkartzeko.
Orokorki, ezin dugu ziurtatu oreka sendoaren existentziarik joko ez kooperatiboetan, eta
grafo probabilistikoak erabiltzen diren testuinguruan ere gauza bera erran daiteke, ezin baita
ziurtatu oreka sendoen ez existentzia ezta bakartasuna ere. Badago, bertzalde, maiz
3. KAPITULUA
74
errepikatzen den koalizio mota, optimala deituko duguna, non bere kide guztiek bertze
edozein koalizioetan baino balio hertsiki hobeagoak lortzen dituzten. (X;) jokoak gehienez
aliantza optimal bat daukala eta aliantza optimal bakoitza joko ez kooperatiboaren oreka
sendo batekin elkartua dagoela erraz froga daiteke, baina bi kontzeptuak ez dira baliokideak,
aurkako inplikazioa orokorki ez baita betetzen. Adibidez, A, B, C eta D-ren jokora jotzen
badugu, oreka sendo bat egon arren, ez dago aliantza optimalik.
Egoera politikoetan aztertu diren Gobernu koalizioen eraketarako teoria kooperatibo
guztietan existentziezaren arazo bera dago, Laver eta Schofielden (1990) ikus daitekeen
bezala. Interesgarria dirudi Nashen (1951) orekaren berfinketa bat aurkitzea, Aumannen
(1967) oreka sendoa baino ahulagoa, testuinguru politikora egokia dena eta bere existentzia
ziurtatua dagoelarik.
Ikus dezagun ondoren, atal honetan barna garatzen ibili garen prozeduraren aplikazio
praktiko bat.
5 Egonkortasuna Espainiako Parlamentuan
1993ko hauteskundeen ondoren sortu zen negoziaketa prozesuan batez ere PSOE, CIU, PNV
eta IU alderdiak (azken hau bertzeak baino gutxiago) parte hartu zuten. PP negoziaketatik at
gelditu zen.
5.1 taulan, hainbat aliantza estrategiei lotutako egitura koalizionaletarako ordainketak ikus
daitezke (3.5 taulako balioak kalkulatzeko erabili den grafo probabilistiko bera delarik).
B1=B*(N); eta B1=Bi(Si), non S2 = {PSOE,CIU}, S3 = {PSOE,CIU,PNV},
S4 = {PSOE,IU}, S5= {PSOE,IU,CIU} eta S6 = {PP,IU,CIU} diren,
B1 B2 B3 B4 B5 B6
PSOE 0.4523 0.5621 0.5666 0.5486 0.5670 0.2037
EGONKORTASUNA BOZKETA JOKUETAN: ESPAINIAKO PARLAMENTURAKO APLIKAZIOA
75
PP
IU
CIU
PNV
CC
EA+ERC
PAR+UV
0.1127
0.1283
0.1859
0.0502
0.0367
0.0103
0.0181
0.0244
0.0367
0.2958
0.0418
0.0211
0.0049
0.0076
0.0170
0.0233
0.2995
0.0650
0.0133
0.0036
0.0061
0.0439
0.2247
0.0943
0.0383
0.0260
0.0082
0.0105
0.0231
0.1394
0.2105
0.0284
0.0158
0.0044
0.0057
0.1954
0.2030
0.2744
0.0394
0.0414
0.0159
0.0213
5.1 taula
Taula honetan argi gelditzen den bezala, aliantza optimalak lortzeko ezin gara murriztu
koalizio irabazle minimaletara. Horretarako, B2 eta B3 zutabeetan agertzen diren ordainketak
ikustea nahikoa da: PSOE, CIU eta PNV alderdiek ordainketek B2-n lortutakoa B3-n hobetzen
dute, S3 koalizio irabazle minimala ez izan arren.
Gure kasuan, 5.1 taulako 8 alderdiak kontutan hartuta, 128 koalizio irabazle daude.
Guztiak aztertu ondoren (bere garapen aspergarria irakurleari aurreztuko diogu), aliantza
optimalen existentzieza ikus daiteke. PSOEk ordainketak hobereneratzen ditu B5 egituran,
baina S5-en dagoen CIUk ordainketa handiena B3-n lortzen du. Beraz, PSOE ez dagoen
koalizioen azterketa falta zaigu soilik. Baina koalizio hauetan guztietan parte hartu behar dute
PP, IU eta CIUk, eta azken honek bere balio hoberena B3-n lortzen duela ikusita dago.
Hala ere, jokoak badauka oreka sendo bat, PSOE, CIU eta PNV alderdien arteko S3
koalizioak lortzen duena. Koalizio hau izan zen gainera legealdiko lehen bi urteetan
Gobernuaren alde jokatu zuen bloke parlamentarioa. Dena den, honek ez du bertzerik erran
nahi, eta ereduaren baliogarritasuna denbora pasa hala soilik ikusiko da.
Itzul gaitezke orain 4. ataleko bukaeran prozesu politikoen izate dinamikoari buruzko
eztabaidara. Alderdien arteko harremanei eragiten dieten faktoreen multzoa konplexua eta
aldakorra da. Beraz, probabilitateen sistema aldatzen bada, jokoaren aliantzen egonkortasuna
ere alda daiteke, hala zirenak egonkortasuna galduz, edo alderantziz, talde egonkor berriak
sortuz.
3. KAPITULUA
76
PP eta IUren hurbiltze jarrera kontutan hartzen badugu, 3.6 taulan adierazten ziren antzeko
ondorioak ikusten dira balio koalizionalak erabiliz. 5.2(a) eta 5.2(b) tauletan, PSOE, CIU,
PNV, PP eta IUren hiru ordainketa konpara daitezke S2 eta S3 aliantzetarako, hasierako
egoerakoa, p(PP,IU)=0.5 denean lortutakoak eta gainera p(PSOE,PP)=p(PSOE,IU)=0.15
direnean (p* zutabea).
S2 = (PSOE, CIU)
p(PP,IU) 0.1375 0.5 p*
PSOE
CIU
PNV
PP
IU
0.5621
0.2958
0.0418
0.0224
0.0367
0.5414
0.3188
0.0394
0.0267
0.0390
0.4930
0.3515
0.0489
0.0323
0.0286
5.2 (a) taula
S3 = (PSOE, CIU, PNV)
p(PP,IU) 0.1375 0.5 p*
PSOE
CIU
PNV
PP
IU
0.5666
0.2995
0.0650
0.0170
0.0233
0.5453
0.3247
0.0622
0.0183
0.0246
0.4899
0.3585
0.0761
0.0229
0.0197
5.2 (b) taula
Ikus daitekeen bezala, 3.6 taulan ematen zen antzekoa gertatzen da hemen. p* baldintzetan
egonkortasuna galtzen da, kasu honetan, PNVrekin elkartzeak CIUri soilik egiten dio
mesedea, PSOEk S2 koalizioa nahiago duen bitartean.
EGONKORTASUNA BOZKETA JOKUETAN: ESPAINIAKO PARLAMENTURAKO APLIKAZIOA
77
Arrazoi desberdinengatik, legealdia 1996ko martxoan bukatu zen, urte bereko ekainean
hauteskunde berriak egin zirelarik. Ondoren, hauteskunde hauen ondorioz sortutako
Parlamentu berria aztertuko dugu.
350 eserlekuak berriro 11 alderdien artean banatu ziren, horietatik 10 aurreko
legealdikoak, eta bat berria, BNG (Bloque Nacionalista Galego), 2 eserlekurekin. PAR ordea,
desagertzen da Parlamentu berri honetatik. Dena den, HBk bere bi ordezkariak ez inskribatzea
erabaki zuenez gero, 348 parlamentariko Ganbara gelditzen zaigu. Beraz, 10 alderdiko
Parlamentua dugu, non gehiengoa lortzeko 175 boto behar diren.
Taulan honetan, eserlekuen banaketa osoa eta alderdi bakoitzaren Shapley-Shubik indizeak
ikus daitezke:
PP PSOE IU CIU PNV CC BNG EA ERC UV
Eserlekuak 156 141 21 16 5 4 2 1 1 1
(N,w) 0.4548 0.1829 0.1829 0.1214 0.0163 0.0163 0.0123 0.0044 0.0044 0.0044
5.3 taula
Eserlekuen banaketa, aurreko Parlamentuarenaren antzekoa da, PP eta PSOEren aldaketak
izan ezik, bainan kasu honetan ere ia bien arteko trukaketa dugu (PSOE 159tik 141ra pasatzen
da, eta PP 141tik 156ra). Aldaketak hagitz txikiak izan arren, ondorioak nabarmenak dira.
Lehen, 4 alderdi nagusietatik at bertze guztiak nuluak baziren, oraingo joko honetan alderdi
guztiak gutxienez koalizio irabazle minimal batean daude, eta ondorioz ez dago jokalari
nulurik.
Aurreko analisian bezala, alderdi kopuru handiegiak Parlamentu osorako kalkuluak
galarazten digu, eta berriro ere 8 alderdiko batera murriztera behartuak egon gura. Soluzio
egokiena BNG, EA eta ERC alderdiak bateratzea iruditu zaigunez, hori egin dugu. Hirurak
ideologia aldetik hurbil samar daude eta beraien arteko harremanak estuak dira, eta, adibidez,
hautagai zerrenda beran aurkeztu ziren Europako Parlamentuko azken hauteskundeetan.
3. KAPITULUA
78
B+E+E idatziko dugu lau eserleku dituen alderdi berri hau adierazteko. Eserleku banaketa
berrian botere indizeak zerbait aldatzen dira, eta adibidez UV oraingo honetan jokalari nulu
bihurtzen da. Joko berria (N,w') idatziko dugu, eta alderdi bakoitzaren botere indizea, ondoko
taulan agertzen dena izanen da:
PP PSOE IU CIU PNV CC B+E+E UV
Eserlekuak 156 141 21 16 5 4 4 1
(N,w’) 0.4524 0.1857 0.1857 0.1190 0.0190 0.0190 0.0190 0
5.4 taula
Grafo probabilistikoa, aurreko Parlamentuan erabilitako prozedura beraren bitartez lortu
dugu, hau da, komunikabide desberdineko analista politikoen erantzunak kontutan hartuta.
Erran beharra dago, inkestak bidaltzeko orduan sortutako arazo batengatik prozedura atzeratu
zela, hauteskundeak egin aurretik 5 erantzun soilik jasoz (gogoratu grafo probabilistikoa
hauteskunde aurretik osatzeko eskaera, emaitzek ez dezaten erantzunak baldintzatu). Berriro
ere "alderdi berri" bat sortu dugu, eta B+E+Eren komunikazio probabilitateak, bakoitzak bere
aldetik zituztenen batezbestekoak izanen dira.
Matrize probabilistiko osoa honako taula honetan ikus daiteke:
PP PSOE IU CIU PNV CC B+E+E
PSOE 0.1900
IU 0.2750 0.3600
CIU 0.5450 0.7050 0.1900
PNV 0.4800 0.6600 0.3300 0.7700
CC 0.7500 0.5850 0.3100 0.5450 0.5600
B+E+E 0.1470 0.3580 0.5820 0.4650 0.4320 0.4200
EGONKORTASUNA BOZKETA JOKUETAN: ESPAINIAKO PARLAMENTURAKO APLIKAZIOA
79
UV 0.7750 0.2100 0.1950 0.2550 0.2900 0.5600 0.2920
5.5 taula
Probabilitate sistema honen bitartez, alderdi bakoitzaren (N,w',p) Myersonen balioa
kalkula daiteke:
PP PSOE IU CIU PNV CC B+E+E UV
(N,w’,p) 0.3628 0.1507 0.1412 0.1446 0.0616 0.0744 0.0359 0.0273
5.6 taula
Lehen bezalako egonkortasun analisia egin dugu, koalizio irabazle guztiek definitzen
dituzten balio koalizonal probabilistikoak kontutan harturik (berriro 128 koalizio irabazle
dago). 5.7 taulan, adibide gisa, 7 egituratako balio koalizionalak agertzen dira, Bk izanik Sk
koalizio irabazleak sorten duen egitura, k=1,...,7.
S1 = {PP,CIU,PNV}, S2 = {PSOE,IU,CIU}, S3 = {PP,CIU,PNV,CC},
S4 = {PSOE, IU,PNV,CC,B+E+E}, S5 = {PP,PSOE}, S6 = {PP,CIU,PNV,CC,UV}
eta S7 ={PSOE,IU,CIU,PNV,CC}.
B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7
PP
PSOE
IU
CIU
PNV
CC
B+E+E
0.4731
0.0299
0.0275
0.2502
0.1493
0.0380
0.0113
0.1160
0.2553
0.2374
0.2621
0.0415
0.0374
0.0352
0.4844
0.0188
0.0164
0.2686
0.0889
0.1031
0.0063
0.0885
0.2288
0.2084
0.0428
0.1497
0.1641
0.1036
0.4616
0.2495
0.0495
0.0752
0.0482
0.0677
0.0172
0.4742
0.0147
0.0126
0.2705
0.0870
0.1013
0.0052
0.0848
0.2421
0.2408
0.2339
0.0770
0.0857
0.0254
3. KAPITULUA
80
UV 0.0190 0.0135 0.0120 0.0123 0.0293 0.0329 0.0085
5.7 taula
Aurreko kasuan ez bezala, oraingo aliantzen arteko jokoan ez dago oreka sendorik. 128
koalizio irabazleak aztertu ondoren, bakoitzean badago hautsi nahi duen alderdiren bat, bertze
batzuekin batera horiei denei komeni zaien aliantza berria osatzeko. Ikus dezagun, adibide
gisa, 5.7 taulako aliantzetan gertatzen dena.
S1 aliantza ez da egonkorra, CIUk hautsiko baitu PSOE eta IUrekin elkartzeko S2-n, non
hiru alderdiek beraien boterea hobetzen duten. Hala ere, koalizio hau ez da egonkorra. Berriro
ere CIUk hautsiko luke S3-n sartzeko. Hau, S1 < S2 < S3-rekin adieraziko dugu. Prozedura
honekin jarraituz, 5 lehen aliantzak ez direla egonkorrak ikus daiteke, S1 < S2 < S3 < S4 < S5
< S1-era iritsiko gara. Eta gauza bera gertatzen da S6 eta S7-rekin, S4 eta S6 koalizioek
apurtzen dituztelako, hurrenez hurren.
Aurreko Parlamentuan aliantza egonkor bakarra lortzen zen, gainera bi lehenengo urteetan
gobernatzen ibili zena izanik. Oraingo honetan ez da gauza bera errepikatzen. Ez dugu
aliantza egonkorrik aurkitu, baina PPk, negoziaketa epealdi labur baten ondoren, Gobernua
osatu zuen CIU, PNV eta CCren babes parlamentarioarekin.
Dena den, badago aliantza hori interpretatzeko modu bat. Bi alderdi nagusitzen dira, PP eta
CIU, biak antzeko koalizioetan hobetzen dutelarik: PPren bloke onena S3 da eta bigarrena S6,
hau izanik CIUren aukera onena, eta bigarrena S3. Kontutan hartu behar da bi koalizio hauen
arteko desberdintza bakarra UV dela, eserleku bakarra daukan alderdia, bertze guztiak
gobernatzen ari den koalizioa osatzen duten alderdiak izanik. UV sartzea edo ez sartzearen
eztabaidatik kanpo, lortutako emaitzek adieraz dezakete orain gobernatzen ari den {PP, CIU}
koalizioaren aldeko jarrera.
EGONKORTASUNA BOZKETA JOKUETAN: ESPAINIAKO PARLAMENTURAKO APLIKAZIOA
81
6 Azken oharrak
1. Ereduan sartu dugun komunikazio probabilistikoak gehiengozko bozketa sistemetan
alderdiek daukaten botere erlatiboa aldatzen du. Ganbaran hartzen diren erabakiekiko
alderdien eragina ez da egonen orain beraien eserleku kopuruei soilik baldintzatua, eta
bakoitzak bertzeekin daukan bateragarritasun(eza) graduaren arabera, bertzeen botoa ere
baldintza dezake. Bi faktore hauek batera hartuz ezarriko dute alderdi bakoitzaren boterea.
Hortaz, indize honek bozketaren emaitzan eragiteko probabilitatea adieraziko du. Honen
ondorioz, orokorki alderdi guztiek bere botere zatia daukatela erran daiteke, parlamentari
kopurua kontutan hartuta soilik batzuk bozketa jokoan nuluak izan arren.
2. Bi alderdiren arteko komunikazioen aldaketak daukan "osotasunezko" eragina ere
aipagarria da. PP eta IUren arteko komunikazio aldaketak haien botereak aldatzeaz gain,
bertze alderdien botereak ere aldatuko ditu (3.6 eta 5.2 tauletan ikus daitekeen bezala).
3. pij probabilitateak ongi kalkulatzea ezinbestekoa da lortutako indizeak baliogarriak izan
daitezen. Hau ez da lan erraza, kontutan hartuta gainera probabilitate horiek alderdien arteko
harremanekiko estrategietan ere parte har dezaketela. Ereduak aldaketa horien eraginak
aztertzen laguntzen du, eta interesgarria izanen litzateke aldez aurretik pij probabilitateen
balioak kalkulatuko lituzketen ereduak garatzea.
4. Gobernu koalizio posibleen egonkortasuna aztertzeko prozesuan, alderdi bat bertze
batzuekin modu iraunkor batean koordinatzea erabakitzen duenean, bozketa baten emaitzan
duen eragina aldatuko dela kontutan hartu dugu. Gainera, erabakiak hartzeko orduan,
alderdiak razionalak direla suposatu dugu, hau da, beraien elkartze estrategietan botere
indizeak hobereneratzea dutela helburutzat. Bestalde, oposizioko alderdiek, bakoitzaren
identitatea eta desberdintasun ideologikoak mantendu nahian, beraien independentzia
mantendu eta oposizio aliantzak ez egitea nahiago dutela ere kontutan hartu dugu.
3. KAPITULUA
82
Gure elkartze jokoa ia sinpleena izan arren, batzuetan ezin da ziurtatu orekaren existentzia.
Adibidez, 1994ko urrian osatutako Euskal Autonomi Erkidegoko Legebiltzarrerako egindako
analisiaren emaitzan, aliantza egonkorrik ez zegoela ikusi genuen . Eta errealitatean Gobernu
hirukoitza nahiko egonkorra osatu zen (PNV, PSE-EE eta EArekin).
Testuinguru politikoetarako egokia den Nashen (1950) orekaren berfinketa bat lortzea
interesgarria izanen litzateke, oreka sendoa (Aumann, 1967) baino ahulagoa eta existentzia
ziurta zezakeena.
5. Gure ereduan koalizio irabazle ez minimalak egon daitezke. Aliantzen arteko kideek
beraien artean banatzen dutenez boterea, hasiera batean koalizio irabazle minimalak osatzea
egokiagoa izanen dela pentsa daiteke (hau, Rikeren (1962) "neurriaren hastapena" edo
"koalizio irabazle minimalen hastapena" bezala ezagutzen da). Horrelako zerbait gertatuko da
probabilitateen sistemarik ez dagoenean. Gogoratu w funtzio karakteristikoak 1 ematen diola
S koalizio irabazleari, eta balio koalizionalak unitate hau S-ren kideen artean banatuko du,
bertzei 0 emanez. Orduan, elkarte horretara bertze jokalari baten bat sartzen bada, alderdi
honek zerbait jasotzekotan hasierako kideei boterea murriztuz izanen da, eta beraz,
pentsatzekoa da hauek ez dutela bertze inor bereganatzeko gogo handirik izanen.
Probabilitate sistemak erabiltzen diren kasuetan, alderdi giltzarriaren papera nabarmentzen
da. Hurbil ez daudenen arteko koalizio irabazle minimala egonkorra izatea zaila izanen da,
baina beraiekin hagitz ongi komunikatua dagoen alderdi bat sartzeak aliantza berriari
trinkotasuna eman diezaioke (orain minimala ez izan arren). 5. Atalean, Espainiako
Parlamentua aztertzerakoan horrelako kasu bat ikusi dugu. PSOE, CIU eta PNVren arteko
koalizioa egonkorra dela lortu da, irabazle minimala ez izan arren. Hau izan daiteke Europako
Gobernu batzuk koalizio irabazle ez minimalaz osatuak egotearen arrazoi bat (gai honi
buruzko garapen sakona egiten da Schofielden, 1993).
EGONKORTASUNA BOZKETA JOKUETAN: ESPAINIAKO PARLAMENTURAKO APLIKAZIOA
83
Gehiengoa ez duten eta koalizio irabazleren babesik gabeko Gobernuak ere badaude (ikusi
adibide gisa, Strom, 1990). Hauek egoera ezegonkorrak adierazten dituzte, alderdien arteko
komunikazio graduak oso txikiekin, oreka sendoen multzoa hutsa delarik.
6. Erabili dugun moduan, aliantza kontzeptuak ez du halabeharrez inplikatzen Gobernu kidea
izatea. Horren ordez, aliantzan dauden alderdi batzuk bertze ordainketa mota desberdinak jaso
ditzakete. Horrela, gure helburua aliantzen egonkortasuna(eza) aztertzea izan da, eta ez
aliantza egonkor bat osatzen dutenen arteko ministro kargu banaketa ezartzea. Hala ere, gure
ustez, koalizio horretan daudenen arteko indar posizio desberdinak kontutan hartu beharko
lirateke banaketa hori negoziatzeko orduan. Ondoko adibidean, banaketa indize posible bat
ematen dugu, horretarako alderdi bakoitzak daukan eserleku kopurua eta grafo
probabilistikoekiko bere balio koalizionala kontutan hartu ditugularik.
Horrela, demagun vi dela S Gobernu koalizioko i alderdi bakoitzak daukan eserleku
kopurua eta p,v,SB,NCM: ii , egitura horretarako lortzen duen balio koalizionala.
Orduan, ministro kargu kopurua proportzio honetan egon zitekeen:
Si
i
i
Sii
ii v
vh
2
1.
85
Laburbilduma
Ondoren, memoria honetan lortutako emaitza garrantzitsuen laburpena ematen da.
1. KAPITULUA
Funtzio potentzial eta ekarpen orekatuen hastapenaren kontzeptuak maila egiturarekiko
jokoetara hedatzen dira, eta honetan oinarrituz, testuinguru horretarako balioaren bi
ezaugarriztapen axiomatiko berri ematen dira.
Teorema 1-ean, joko mota hauetan funtzio potentzia bakar baten existentzia frogatzen da,
eta jokalari baten potentzialarekiko ekarpen marjinala maila egiturarekiko jokoaren balio bera
dela. Emaitza hau teorema 2-n erabili da, kapitulu horretako emaitza garrantzitsuena
frogatzeko, hots, efizientzia eta ekarpen orekatuen axiomen bitartez egindako maila
egiturarekiko balioaren ezaugarriztapena.
2. KAPITULUA
Lehenik, jokalarien arteko komunikazio probabilitate desberdinetan oinarritutako
komunikazio probabilistikoekiko joko eredua aurkezten da. Ondoren, joko mota honetarako
balioa definitzen da, Myersonen balioa deituko duguna, bertzeak bertze joko
gainbatugarrietan egonkorra dela baieztatzen duena, hau da, bi jokalarien arteko
komunikazioa handitzerakoan (bertze jokalarienak finkoak mantenduz), bien ordainketak
indartzen direla. Efizientzia osakideetan, ekarpen orekatuak eta justizia axiomak testuinguru
honetarako definitu ondoren, grafo probabilistikoekiko balioaren bi ezaugarriztapen
proposatzen dira, hauetako bat bi lehenengo axiomen bitartezkoa, eta bertzea efizientzia
osakideetan eta justizia axiomen bitartez lortutakoa.
86
Azkenik, aldez aurretik emandako egitura koalizional bat kontutan hartzen duten jokoetara
hedatzen dira emaitza hauek guztiak, joko mota hauetarako bertze bi ezaugarriztapen
axiomatiko aurkeztuz.
3. KAPITULUA
Hirugarren kapituluan 1993ko hauteskundeetan sortutako Espainiako Parlamentua aztertzen
da eta horretarako ondoko bi ikuspuntu hauetan oinarritzen gara: alderdi bakoitzaren botere
indizean, eta Gobernu aliantza posibleen egonkortasunean. Alderdien boterea neurtzeko,
Parlamentuari dagokion bozketa jokoan aurreko kapituluan definitutako grafo
probabilistikoekiko balioa aplikatzen da. Egonkortasuna aztertzeko, berriz, joko ez
kooperatibo bat definitzen da, non alderdi bakoitzak dituen estrategiak bakarrik mantentzea
edo koalizio irabazle batean parte hartzea diren. Ordainketa funtzioa era honetan ezartzen da:
estrategien bektore bat hartuz, koalizio irabazle bateko jokalari guztiek hautaketa bera egiten
badute, estrategia honi ordainketa funtzioak koalizio horrekin elkartuta dagoen egiturarekiko
balio koalizionala emanen dio, eta bertzela, hau da, jokalarien estrategiak ez badute bat egiten
ezein koalizio irabazlean, grafo probabilistikoekiko jokoaren Myersonen balioa banatuko da
beraien artean. Egonkortasuna aztertzeko, oreka sendoa kontzeptua erabiltzen da, beraz,
aliantza bat eginkorra da ezein kidek ez badu koalizio hori hautsi nahi bertze jokalari
batzuekin aliantza irabazle desberdin batean elkartzeko.
Prozedura hau, emaitza desberdinak eskeintzen dituzten Espainiako azken bi
Parlamentuetara aplikatzen da; 1993koan aliantza egonkor bat zegoen, eta oraingo legealdian,
ordea, ez dagoen koalizio irabazle egonkorrik.
87
Erreferentzi bibliografikoak
Albers, W. (1979) Core- and kernel-variants basad on imputations and demand profiles,
Game Theory and Related Topics (O. Moeschin and D. Pallaschke, eds.). Amsterdam,
North-Holland.
Amer, R. eta Carreras, F. (1995) Games and cooperation indicas, International Journal of
Game Theory 24: 239-259.
Anmann, R. J. (1967) A Survey of cooperative games without side payments, Essays in
Mathemathical Economics, (M. Shubik ed.). Princeton: Princeton University Press, 327.
Aumann, R. J. eta Drèze, J. (1974) Cooperative games with coalition structures,
International Journal of Game Theory,3, 217-237.
Aumann R. J. eta Maschler, M. (1964) The barguining set for cooperative games, Advances
in Game theory (Dresher, M., Shapley L.S. and Tucker, A.W. eds.). Princeton University
Press, Princeton, 443-447.
Aumann, R. J. eta Myerson, R. (1988) Endogenous formation of links between players and
coalitions: an Application of the Shapley Value, Essays in Honor of Lloyd S. Shapley
(A.E. Roth ed.). Cambridge: Cambridge University Press, 155-173.
Bennett, E. (1983) The aspiration approach to predicting coalition formation and payoff
distribution in sidepayment games, International Journal of Game Theory 12, 1-18.
88
Banzhaf, J. (1965) Weighted voting doesn't work: a mathematical analysis, Rutgers Law
Review 19, 317-343.
Carreras, F. (1991) Restriction of simple games, Mathematical Social Sciences 21, 245-260.
Carreras, F., García Jurado, I. eta Vázquez-Brage, M. (1996) The Owen value applied to
games with graph restricted communication, Games and Economics Behavior 12, 42-53.
Carreras, F. eta Owen, G. (1988) Evaluation of the Catalonian Parliament, 1980-1984,
Mathematical Social Sciences 15, 82-92.
Colomer, J. M. eta Martínez, F. (1995) The paradox of coalition trading, Journal of
Theoretical Politics 7, 41-63.
Davis, M. eta Maschler, M. (1965) The kernel of a cooperative game, Naval Research
Logistics Quarterly 12, 223-259.
Gillies, D. B. (1953) Some theorems on n-person games, PhD Dissertation, Department of
Mathematics. Princeton University Press, Princeton.
Gillies, D. B. (1959) Solutions to general non-zero-sum games, Contributions of the Theory
of Games, vol. IV (Annals of Mathematics Studies, 40) (A.W. Tucker and R.D. Luce,
eds.). Princeton: Princeton University Press, 47-85.
Harsanyi, J. C. (1963) A simplified bargaining model for n-person cooperative game,
International Economic Review 4, 194-220.
Hart, S., y Kurz, M. (1983) Endogenous formation of coalitions, Econometrica 51: 1047-
1064.
Hart, S., eta Kurz, M. (1984) Stable coalition structures, Coalitions and Collective Action
(M.J. Holler ed.), Würzburg: Physica-Verlag: 235-258.
89
Hart, S., eta Mas-Colell, A. (1989) Potential, value and consistency, Econometrica 3, 589-
614.
Kurz, M. (1988) Coalitional value, Essays in Honor of Lloyd S. Shapley (A.E. Roth ed.).
Cambridge: Cambridge University Press, 155-173.
Laver, M. J. eta Schofield, N. (1990) Multiparty Government: The Politics of Coalition in
Europe. Oxford: Oxford University Press, 131-143.
Lucas, W. F. (1969) The proof that a game may not have a solution, Trans. Amer. Math.
Soc.,136, 219-229.
Lucas, W. F. (1972) A Game with no solution, Bulletin American Math. Soc., 74, 237-239.
Myerson, R. B. (1977) Graphs and cooperation in games, Mathemathics of Operations
Research 2: 225-229.
Myerson, R. B. (1980) Conference structures and fair allocation rules, International Journal
of Game Theory 9, 169-182.
Nash, J. F. (1950) Equilibrium points in n-person games, Proc. of the National Academy of
Sciences, USA, 36, 1, 48-49.
Nash, J. F. (1951) Non-cooperative games, Annals of Mathematics 54, 286-295.
Neumann, J. van eta Morgenstern, O. (1944) Theory of games and economic behavior,
Princeton University Press, Princeton, New Jersey.
Owen, G. (1971) Political games, Naval Research Log Quarterly 18, 345-355.
90
Owen, G. (1977) Values of games with priori unions, Essays in Mathematical Economics and
Game Theory (R. Heim and O. Moeschlin, eds.), Springer-Verlag, New York.
Riker, W. (1962) The theory of political coalitions. New Haven, CT: Yale University Press.
Schofeld, N. (1993) Political competition in multiparty coalition Governments, European
Journal of Political Research 23: 1-33.
Schofield, N. (1995) Coalition politics: a formal model and empirical analysis, Journal of
Theoretical Politics 7(3): 245-281.
Selten, R. (1981) A non cooperative model of characteristic function bargaining, Essays in
Game Theory and Mathematical Economics in Honor of Oscar Morgenstern (V. Bohm and
H. Nachtbamp, eds), Bibliographisches Institut, Mannheim, 131-151.
Sened, I. (1995) Equilibria in weighted voting games in two-dimensional spaces, Journal of
Theoretical Politics 7(3): 283-300.
Shapley, L. S. (1953) A value for n-person games, Contributions to the Theory of Games II
(H.W. Kuhn and A.W. Tucker, eds.), Princeton: Princeton University Press, 307-317.
Shapley, L. S. eta Shubik, M. (1954) A method for evaluating the distribution of power in a
committee system, Ameritan Political Science Review 48: 787-792.
SchmeIdler, D. (1969) The nucleolus of a characteristic function game, SIAM Journal on
Applied Mathematics 17, 1163-1170.
Strom, K. (1990) Minority Government and majority rule. Cambridge: Cambridge University
Press.
Winter, E. (1989) A value for cooperative games with level structure of cooperation,
International Journal of Game Theory 18, 227-240.
91
Winter, E. (1992) The consistency and potential for values of games with coalition
structures, Games and Economic Behavior 4, 132-144.