EKUAZIO BIKARRATUAK · 2017. 12. 14. · DBH-4 MATEMATIKA Laguntza neurriak Orr. 1 EKUAZIO...

DBH-4 MATEMATIKA Laguntza neurriak

Orr. 1

EKUAZIO BIKARRATUAK GOGORATU ________________________________ • Forma honetakoak dira: ax4 + bx2 + c = 0, a≠0 delarik. • Ebazteko, aldagaia alda dezakegu, x2 = z esanez

Horrela, zera lortuko dugu: az2 +bz + c = 0, eta bigarren mailako ekuazioa da.

• Ekuazioa ebatzi, z-ren balioa (edo balioak) lortuz, eta aldagai-aldaketa deseginez: zx ±=

ARIKETA EBATZIAK

Ebatzi: a) x4 – 13x2 + 36 = 0 b) x4 – 3x2 –4 = 0 c) x4 – 25x2 = 0 a) x4 – 13x2 + 36 = 0 x2 =z z2 – 13z + 36 = 0

9zeta4z2

5132

25132

14416913z ==→±

=±

=−±

=

z=4 → x2 = 4 → x= 4± → x= -2 eta x= 2

z=9 → x2 = 9 → x= 9± → x= -3 eta x= 3 b) x4 – 3x2 –4 = 0 x2 =z z2 + 3z – 4 = 0

2

532

2532

1693z ±−=

±−=

+±−= → z= -4 eta z= 1

z= -4 → x2 = -4 → Ez du soluziorik z= 1 → x2 = 1 → x= 1± → x= -1 eta x= 1

c) x4 – 25x2 = 0 → x2 (x2 – 25)=0 → ⎪⎩

⎪⎨⎧

=−=→=−

=→=

5xeta5x025x0x0x

2

2

x=0; x= -5 eta x= 5 PROPOSATUTAKO ARIKETAK

Ebatzi honako ekuazio hauek Ariketak Soluzioak Ariketak Soluzioak

a) x4-5x2+4=0 2; -2; 1; -1 h) x4+1=0 Ez du soluziorik

b) x4+x2+2=0 Ez du soluziorik i) 4x4-17x2+4=0 ½; - ½; 2; -2

c) x4-7x2-18=0 -3; 3 j) x4+x2=0 0

d) x4-1=0 -1; 1 k) 9x4-46x2+5=0 31;

31;5;5 −

−

e) x4-10x2+9=0 3; -3; 1; -1 l) x4-

45 x2 +

41 =0 1; -1;

21;

21

−

f) x4-5x2-36=0 3; -3 m) x2(x2-17)+16=0 4; -4; 1; -1

g) x4 –4x2=0 0; 2; -2 n) x4+100 = 29x2 5; -5; 2; -2

4 soluzio ditu

2 soluzio ditu

3 soluzio ditu


Orr. 2

EKUAZIO FAKTORIZATUAK GOGORATU ________________________________ • (x-a) (x-b) ... (x-k) = 0 motako ekuazioak honela ebazten direla: faktore bakoitza zerora

berdinduz, biderkadura berdin zero delako, faktoreetako bat ere berdin 0 bada. ARIKETA EBATZIA Ebatzi x4+3x3-7x2-27x-18=0 ekuazioa. Bi erro oso aurkitu behar ditugu 18ren zatitzaileen artean. Horrela, bigarren mailako polinomiora helduko gara, x2-9. x4+3x3-7x2-27x-18 = (x+1) (x+2) (x2-9) = 0

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−==→=−

−=→=+−=→=+

3xeta3x09x

2x02x1x01x

2

horiek dira ekuazioaren soluzioak PROPOSATUTAKO ARIKETAK Ebatzi honako ekuazio hauek: a) (x-3) (x-25) (x+1) = 0 3; 25; -1

b) x (x+4) (x-2) = 0 0; 4; -2

c) (2x-1) (6x-15)2 = 0 25;

211

d) x (x2-4) (3x+18) = 0 0; 2; -2; -6

e) x2 (x+2) (x2-1) = 0 0; -2; 1; -1

f) (x+2) (x2+1) = 0 -2

g) (x+3)2 (x2+2) = 0 -3

h) (-x-1)2 (x2-5) = 0 -1; 5;5 −

Deskonposatu faktoreetan eta ebatzi honako ekuazio hauek: a) x4-x3-13x2+x+12 = 0 (x-1)(x+1)(x-4)(x+3)=0 Soluzioak: 1; -1; 4; -3

b) x3-12x2+41x-30 = 0 (x-5)(x-6)(x-1)=0 Soluzioak: 5; 6; 1

c) 5x3-20x2-20x+80 = 0 5(x+2)(x-2)(x-4)=0 Soluzioak: -2; 2; 4

d) x3-13x+12 = 0 (x-1)(x-3)(x+4)=0 Soluzioak: 1; 3; -4

e) 6x3-15x2+12x-3 = 0 3(x-1)2 (2x-1)=0 Soluzioak: 1; ½

f) x3+x-2 = 0 (x-1)(x2+x+2)=0 Soluzioak: 1

g) x3-9x = 0 x (x+3)(x-3)=0 Soluzioak: 0; -3; 3

h) x4-2x3+x2 = 0 x2 (x-1)2=0 Soluzioak: 0; 1

i) x3+x2-2x = 0 x (x-1)(x+2)=0 Soluzioak: 0; 1; -2

j) (x2+x)(4x2-1) = 0 x (x+1)(2x+1)(2x-1)=0 Soluzioak: 0; -1; ½; - ½

1 3 -7 -27 -18-1 -1 -2 9 18

1 2 -9 -18 0-2 -2 0 18

1 0 -9


Orr. 3

IZENDATZAILEAN x DUTEN EKUAZIOAK GOGORATU ________________________________

Mota honetako ekuazioak ebazteko, zatikiak izendatzaile komunera laburtu behar dira, izen-datzaileen mkt aurkituz. Ekuazioaren bi ataletan izendatzaile bera daukagunean, zenbakitzai-leak berdinduko ditugu. Prozesu honetan, soluzio faltsuak ager daitezke; horregatik, derrigo-rrezkoa da lortu diren soluzio guztiak egiaztatzea, hasierako ekuazioan ordezkatuz. ARIKETA EBATZIA

Ebatzi 1x

3x2xx3x

xx3x

222 −−

=++

−−− ekuazioa.

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−+=−

+=+

−=−

1)1)(x(x1x

1)x(xxx

1)(xxxx

2

2

2

1)1)(xx(x3x)x(2

1)1)(xx(x1)3)(x(x1)3)(x(x

+−−

=+−

−+−+− → -4x = 2x-3x2

3x2-6x = 0 →

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=−

−→=

⎩⎨⎧

=

dubalio,34

65

2322x

zatitu0rekindaitekeezinetadituelako,anulatzenleakizendatzaigaikolehenengobalio,duezhonekSoluzio

0x

Soluzioa x=2 da. PROPOSATUTAKO ARIKETAK

Ariketak Soluzioak Ariketak Soluzioak

a) x

3x3xx133x

1x1x

2

2 −+=

−

−+

−+ 2

b)

32

x3x

x3x

2=

++

− 3

c) 04x

3x82x

3x2x

42

2=

−

−+

−+

+ 0

d)

22x6x722

x15 −

=− 3; 6

e) 2

6x3x112x

2x8 +

=−−

−− -2; 4

f) 1

6xx12

7x8

=−−

++

-3; 10

Mkt= x(x-1)(x+1). Zatikiak izendatzaile komunera laburtzeko, mktizendatzaile bakoitzarekin zatituko dugu, eta emaitza zenbakitzai-learekin biderkatuko dugu.


Orr. 4

EKUAZIOAK ERROEKIN ARIKETA EBATZIA

Ebatzi x113x =++ ekuazioa 1-x13x =+ Erroa isolatu

( ) 221)(x13x −=+ Bi atalak ber bi egiten dira.

Kontuz! Karratua jasotzean, soluzio faltsuak ager daitezke. Ezinbeste- koa da soluzioak egiaztatzea hasierako ekuazioan. 3x+1=x2-2x+1

x2-5x = 0 → {

soluzioabada5x511535x

soluzioadaez0x0211030x

=→=++⋅→=

=→≠=++⋅→=

Soluzio bakarra x=5 du. ARIKETA PROPOSATUAK

Ariketak Soluzioak a) x112xx −=−− 1; ½

b) 3x52x75xx 2 −=+−+− 3

c) 42x43x =++ ¾

d) 13x7x =−− 2

e) 2x365x =−+ -1; - ¾

f) 12x4x 2 −=− 2

g) 8x3x1 −=−− 7

h) x5x43x3 +=−+ -1; 11/4


Orr. 5

EKUAZIO SISTEMAK ARIKETA EBATZIA

Ebatzi honako sistema hau, ordezkatuz, berdinduz eta murriztuz: ⎩⎨⎧

=−=+

112y3x5y2x

Ordezkapen-metodoa: Ekuazioetako ezezagun bat bakandu eta, beste ekuazioan, lortu den balioa ordezkatuko dugu:

1y3x1325y3x217x

114x103x112x)2(53x

2x5y112y3x

5y2x−==→

⎭⎬⎫

−=⋅−=→=→==+−

→⎭⎬⎫

=−−−=

⎭⎬⎫

=−=+

Berdinketa-metodoa: Ezezagun bera bakanduko dugu bi ekuazioetan, eta lortutako balioak berdindu egingo ditugu:

⎭⎬⎫

−=→⋅−==→=

⎪⎭

⎪⎬⎫

−=+−−−

=−

⎪⎭

⎪⎬⎫

−−

=

−=

⎭⎬⎫

=−=+

1y235y3x217x

3x114x10x23x112x5

23x11y

2x5y

112y3x5y2x

Laburketa-metodoa: Ekuazio bakoitza zenbaki egokiarekin biderkatuko dugu. Batuketa egi-tean, ezezagunetako bat desagertzeko moduan:

⎭⎬⎫

=−=+

112y3x5y2x

⎭⎬⎫

=−=+

112y3x102y4x

7x =21 → x=3 Laburketa-metodoa berriz erabiliz ere aurki genezakeen y-ren balioa

⎭⎬⎫

=+=+

−⋅⋅

⎭⎬⎫

=−=+

22-4y6x-153y6x

2)(3

112y3x5y2x

7y= -7 → y= -1 ARIKETA PROPOSATUAK Ebatzi sistema bakoitza, adierazten den metodoa erabiliz a) Ordezkapena:

⎩⎨⎧

−=+=−

75yx123y2x

x=3; y= -2

b) Berdinketa

⎩⎨⎧

=+−=+

0y2x3y4x

x= ½ ; y= 1

c) Laburketa (birritan)

⎩⎨⎧

−=+−=−

133y7x12y5x

x= -1; y= -2

2x+y=5 → 6+y=5 y= -1


Orr. 6

Ebatzi, egokien deritzozun metodoa erabiliz:

a) ⎩⎨⎧

+−=−=+yx

yx26

1735

x=-4; y=1

b)

⎩⎨⎧

−=+=−

952173

yxyx

x= -2; y= -1

c) ⎩⎨⎧

−=−=

72328

yxyx

x= 7; y=7

d)

⎩⎨⎧

=+=−

63y5x13y2x

x=1; y= 1/3

e) ⎩⎨⎧

=−−=−325y53x

123y45x

x=1; y=2

f)

⎩⎨⎧

=+=−

24y6x32y3x

x=2/3; y= -½

Ebatzi:

a)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=−+

+

=−

−+

29y)2(x

2y3x

511

5y)2(x

3yx

x=0; y= 3

b)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+

−+−

=+

−+

113

yx5)y2(x

27

2yx

31)5(x

x= 2/3; y= - ½

c)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

=+

=−

−+

41

4yx

02

2)3(y5

1)2(x

x= -1; y= 2

d)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=+−

+

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−−

629y)2(x

31x

225

3yx125x

x=5/2; y= ½


Orr. 7

SISTEMA EZ_LINEALAK ARIKETA EBATZIA

Ebatzi honako sistema hauek:

a) ⎪⎩

⎪⎨⎧

=−

=+

3yx

5yx22

22

b) ⎩⎨⎧

=+

=+

72yx

2yx2

a) Laburketa metodoa birritan erabiliko dugu:

35

22

22

=−=+

yxyx

35

22

22

−=+−=+

yxyx

2x2 = 8 → x2 = 4 → x= -2 eta x= 2 2y2 = 2 → y= -1 eta y= 1 Lau soluzio daude: (-2, -1); (-2, 1); 2, -1) eta (2, 1) b) Ordezkapen-metodoa erabiliko dugu:

3xeta1x032xx72x4x

7x)2(2x

x2y72yx

2yx2

2

22 =−==−−=−+

⎭⎬⎫

=−+

−=

⎭⎬⎫

=+=+

⎭⎬⎫

−=−=→==−−=→−=1323

3)1(21yxyx

Soluzioak: (-1,3) eta (3, -1)

ARIKETA PROPOSATUAK Ebatzi honako ekuazio-sistema hauek:

a) ⎩⎨⎧

=−

=+

0yx

3y2x22 (3, -3); (1,1)

b)

⎪⎩

⎪⎨⎧

−=−

=+

133

18222

22

yx

yx (-1,-4); (-1,4)

(1,-4); (1,4)

c) ⎪⎩

⎪⎨⎧

=+

=−

102

022

2

yx

yx (-2,2); (2,2)

d)

⎩⎨⎧

−==+

213

xyyx

(1, -2); (- 2/3, 3)

e) ⎪⎩

⎪⎨⎧

=−

=−

72

305322

22

yx

yx (5,3); (5, -3)

(-5,3); (-5, -3)

f)

⎩⎨⎧

=+

=+−

03

0122 xyx

yx (0,1); (- 3/7, 1/7)


Orr. 8

DEFINIZIO EREMUA ARIKETA PROPOSATUAK 1. Aurkitu hurrengo funtzio hauen definizio eremua:

a) 1xy 2 += R b) 1xy −= [1,∞) c) x1y −= (-∞,1]

d) 2x4y −= [-2,2] e) 4xy 2 −= (-∞,-2]∪[2, ∞) f) 1x

1y2 −

= (-∞,-1)∪(1, ∞)

g) 1x

1y−

= (1,∞) h) x1

1y−

= (-∞,1) i) 2x4

1y−

= (-2,2)

j) 4x

1y2 −

= (-∞,-2)∪(2,∞) k) y=x3-2x+3 R l) x1y = R-{0}

m) 2x

1y = R-{0} n)

4x1y

2 −=

R-{-2,2} o) 4x

1y2 +

= R

p) 1x

1y3 +

= R- { }2,2−

2. Aurkitu funtzio hauen definizio eremua:

a) xx

3y2 +

= R-{-1,0} b) 22)(x

xy−

= R-{2} c) 12x1xy+−

= R-{- 1/2 }

d) 32xx

1y2 ++

= R e) 2x5x

2y−

= R-{0,5} f) 2x

1y2 −

= R- { }2,2−

3. Aurkitu funtzio hauen definizio eremua: a) 9xy 2 −= x2-9≥0 (x-3)(x+3)≥0

(-∞,-3]∪[3,∞) b) 43xxy 2 ++= x2+3x+4≥0 R

c) 22x12xy −= 12x-2x2≥0 2x(6-x)≥ [0,6]

d) 54xxy 2 −−= x2-4x-5≥0 (x+1)(x-5)≥0 (-∞,-1]∪[5,∞)

e) x4

1y−

= 4-x>0, 4>x (-∞,4) f)

3xx

1y2 −

= x2-3x>0 x(x-3)>0 (-∞,0)∪(3,∞)

g) 23 xx

1y−

−=

x3-x2=0 x2(x-1)=0 R-{0,1} h)

1x2xy4 −

= x4-1=0 (x-1)(x+1)(x2+1)=0 R-{-1,1}


Orr. 9

FUNTZIO LINEALAK BI PUNTUTIK PASATZEN DEN ZUZENA

ARIKETA EBATZIA

Aurkitu A(2,4) eta B(3,7) puntuetatik pasatzen den zuzenaren ekuazioa.

a) Zuzenaren malda 32347m =

−−

= da.

b) Ekuazioa puntu-malda eran zera da: y=4+3(x-2) → y=3x-2 Ekuazioa lortzeko beste bide bat Zuzenaren ekuazioa idatziko dugu: y= mx + n A(2,4) puntutik pasatzea nahi badugu, zerak izan beharko du: 4= m.2 + n B(3,7) puntutik pasatzea nahi badugu, zerak izan beharko du: 7= m.3 + n Sistema ebatziz zera dugu, m=3 eta n= -2; hau da, y= 3x - 2 ARIKETA PROPOSATUAK 1. Aurreko probleman A-tik eta B-tik pasatzen den zuzenaren ekuazioa idazteko, A puntua

hartu dugu. Egiaztatu zuzen bera lortuko duzula B puntua hartuz. 2. Idatzi ondoko puntuetatik pasatzen den zuzenaren akuazioa: a) P(1,0), Q(-5,6) y= -x +1 b) P(3,0), Q(0,-4)

3)(x34y −=

c) P(5,-2), Q(-3,1) 5)(x

832y −−−=

d) P(-3/2,1), Q(-1,1/4) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=

23x

231y

e) P(4,5), Q(-2,4) y= 4+1,6(x-2) f) P(125,50), Q(200,25) 125)(x

3150y −−=

3. Aukeratu zuzen hauetariko bakoitzaren bi puntu, eta idatzi ekuazioa:

a) 1)(x535y −+= b) 20)(x

615y −−=

c) y= 0,1 + 0,025(x-6)

d) y= 30 + 12(x-5) e) y= 1000


Orr. 10

FUNTZIO KOADRATIKOAK. PARABOLAK ARIKETA PROPOSATUAK 1. Irudikatu parabola hauek a) y=x2-2x+3 b) y= -x2-2x-3 c) y=x2-6x+5 d) y= 2x2-10x+8 e) y=

31 x2-x+3 f) y=

41 x2+x-2

2. Irudikatu beheko parabolak. Horretarako, aurkitu erpina, koordenatu ardatzekin dituzten ebaki puntuak eta erpinetik hurbil dagoen punturen bat.

a) y=0,5x2-3 b) y= -x2+3 c) y= 2x2-4 d) y= -2

3x 2

Erpina: /0,-3). Ardatzarekin ebaki puntuak ( ) ( ) 3)(0,;,06;,06 −−

Erpina: (0,3) Ardatzarekin ebaki puntuak: ( ) ( ) (0,3);,03;,03−

Erpina: (0,-4) Ardatzarekin ebaki puntuak: ( ) ( ) (0,-4);,02;,02−

Erpina: (0,0) Ardatzarekin ebaki puntuak: (0,0)

3. Irudikatu funtzio hauek:

a) y=x2+2x+1 b) y= 2

2x +3x+1 c) y= -x2+3x-5 d) y= 2x2

+3x+6


Orr. 11

ZATIKA DEFINITUTAKO FUNTZIOAK ARIKETA PROPOSATUAK 1. Adierazi funtzio hauek:

)[)[

( ) ⎪⎩

⎪⎨⎧

≥−

<+=

⎪⎩

⎪⎨

⎧

∈∈+−

−∈+

=1x1,x

1x1,2xg(x)b)

3,7x4,30,x1,2xx

03,x1,x

f(x)a) 22

2. Adierazi grafiko batean funtzio hauek:

⎩⎨⎧

≥−<−−

=⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥<≤−

<−=

1xbaldin15)/2,(3x1xbaldin1,2x

yb)4xbaldin2,

4x0baldin2,x0xbaldin2,

ya)

3. Adierazi:

⎩⎨⎧

≥+−<+

=⎩⎨⎧

>−≤+

=2xbaldin62x

2xbaldin2)/3(2xyb)

2xbaldin3/2x2xbaldin2x/2

ya)

4. Egin ondoko funtzioen adierazpen grafikoak:

⎪⎩

⎪⎨⎧

≥

<−=

⎪⎩

⎪⎨⎧

−≥

−<−−−=

⎪⎩

⎪⎨⎧

>≤−

=⎪⎩

⎪⎨⎧

>−≤

=

0xbaldinx

0xbaldinxyd)

1x,x

1x2,4xxyc)

2x3,2x2x,xyb)

1x1)/3,(2x1x,xya)

2

2

2

2

22

5. Adierazi: ⎪⎩

⎪⎨⎧

≥−<+−

=⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥−<<−−

−≤−−

=1xbaldin3x

1xbaldin1/2xyb)1xbaldin1x

1x1baldin22x

1xbaldin1x

ya)2

2


Orr. 12

ALDERANTZIZKO FUNTZIOAK ARIKETA PROPOSATUAK 1. Adierazi funtzio hauek:

1x34xyf)

1x23xye)2

3x4yd)

3x4yc)

x4yb)

x4ya)

++

=++

=+−

=

−=

−==

2. Adierazi funtzio hauek:

3x1yd)

x1yc)

1x1yb)

1x1ya)

−−

=−

=−

=+

=


Orr. 13

ERRODUN FUNTZIOAK ARIKETA PROPOSATUAK 1. Adierazi ondorengo funtzioak:

3 xyc)x2yb)4x3ya) −=−=−+=

2. Adierazi funtzio hauek: x1yd)x2yc)3xyb)1xya) −=+=+−=−=

EKUAZIO BIKARRATUAK · 2017. 12. 14. · DBH-4 MATEMATIKA Laguntza neurriak Orr. 1 EKUAZIO...

Documents

Transcript of EKUAZIO BIKARRATUAK · 2017. 12. 14. · DBH-4 MATEMATIKA Laguntza neurriak Orr. 1 EKUAZIO...