El Ajedrez Extravagante y Otros Problemas

7/26/2019 El Ajedrez Extravagante y Otros Problemas

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El ajedrez extravagante y otros problemas

1. Ajedrez extravaganteAl visitar, hace poco, un club ajedrecstico imaginario tuve ocasin deobservar el desarrollo de una partida entre los seores Blanco yNegro, los dos jugadores del club que ms se distinguan por laextravagancia de sus partidas !ara sorpresa ma, el tablero mostrabala posicin de la "igura #$

Figura 50. Situacin de las piezas tras la cuarta jugada de las negras

!ens% enseguida que cada jugador haba empe&ado la partida sin sucaballo de rey, y que las primeras en mover haban sido las negras 'lseor Negro me explic entonces que acababa de reali&ar su cuartajugada, en una partida ajustada a las reglas ordinarias y, que sehaba desarrollado como sigue(

Blancas1. C3AR

2. C5R

3. C6AD

4. C x C

NegrasP4D

C3AR

CR2D

C x C

)na hora ms tarde, tras perder una partida *rente a otro jugador,volv a echar un vista&o al tablero de Blanco y Negro 'n su segundapartida, el tablero tena exactamente el mismo aspecto que antes,salvo que ahora *altaban todos los caballos 'l seor Negro, queacababa de mover una pie&a negra, al& la vista del tablero y dijo(+Acabo de reali&ar m quintajugadaa- ./abr el lector construir una partida que produ&ca tan curiosa


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situacin inicial, vali%ndose tan slo, claro est, de jugadas lcitas0+1a que estamos en ello, me dijo el seor Blanco, +he inventado unproblema que tal ve& podra resultarle entretenido a sus lectores/upongamos que volcamos una caja completa de pie&as en una bolsalas 23 pie&as blancas y las 23 negras, que agitamos la bolsa para

me&clarlas bien, y vamos despu%s sacando las pie&as al a&ar, de dosen dos /i ambas son negras las colocamos en la mesa, comen&andoa *ormar con ellas el grupo negro /i ocurre que ambas son blancas,las ponemos en otro lugar de la mesa, iniciando as el grupo de lasblancas "inalmente, si las pie&as salen de distinto color, lascolocamos en la caja que las contena inicialmente )na ve& extradasde la bolsa la totalidad de las 45 pie&as, .qu% probabilidad hay de queel n6mero de pie&as del grupo negro sea exactamente igual aln6mero del grupo blanco0 +7ummm, musit% + As, a primeravista, parece que la probabilidad debera ser bastante pequea

Negro y Blanco disimularon una sonrisita maliciosa, y prosiguieron supartidab- .8ul es exactamente la probabilidad de que ambos gruposconsten de igual n6mero de pie&as0

2. Una Eva charlatana'l criptaritmo que aqu presento 9o al*am%tico, como pre*ierenllamarlo algunos problemistas- es muy antiguo y de origendesconocido: seguramente sea uno de los mejor construidos ;oo*re&co aqu con la esperan&a de que no sea demasiado conocido de

los lectores(

8omo siempre, letras iguales representan ci*ras iguales, entre las quepuede hallarse el $ ;a *raccin '


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Figura 51. Demostrar que el ngulo A mas el ngulo B es igual al

ngulo C

@engo que agradecer a ;yber at& el haberme comunicado esteproblema, que es de una sencille& *ascinante 'n una carta meexplicaba que de nio *ue a la escuela en osc6, donde lespropusieron el problema en #C de Bsica +para subir nota 'n su

carta, at& aade que +el n6mero de callejones sin salida a queconduce el problema es extraordinario

4. a propos!c!"n de #ohl"rederiD !ohl, uno de los mejores escritores de ciencia *iccin, haideado este truco, recientemente publicado en una revista deilusionismo llamada pilogue 's probable que los expertos enin*ormtica lo resuelvan ms rpidamente que los dems/e le pide a un espectador que dibuje en un papel una hilera depequeos crculos, que representan otras tantas monedas ientras

as lo hace, el mago permanece de espaldas 'l espectador, alt%rmino, coloca la yema del pulgar de su mano derecha sobre laprimera circun*erencia de *orma que con el pulgar y el resto de lamano oculte, completamente la hilera de crculos 'l mago se vuelveentonces hacia %l, y le apuesta a que es capa& de anotarinmediatamente en la hoja un n6mero que indicar el n6mero totalde posibles combinaciones de caras y cruces que resultaran de lan&arcada una de las monedas !or ejemplo, dos monedas pueden caer decuatro *ormas distintas, tres monedas, de ocho, y as sucesivamenteNo hay *orma de saber cuntas monedas dibuj( sin embargo, es *cil

ganar la apuesta .8mo0

$. os blo%ues desl!zantes de Escott'ste notable y curioso rompecabe&as *ue ideado por 'dEard Brind'scott, matemtico americano *allecido en 2FG3 9


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Figura 5!. l rompeca"ezas de "loques deslizantes de scott

'l problema apareci en el n6mero de agosto de 2F4H de una revista

de vida e*mera, llamada #ames Digest No lleg a publicarseninguna solucin 'l problema consiste en ir haciendo desli&ar losbloques de uno en uno, manteni%ndolos en contacto con el plano ysin salirse del marco rectangular, hasta que los bloques 2 y 5 hayanintercambiado sus puestos con los bloques I y 2$ >e esta *orma, enla posicin *inal los dos pares de bloques se encontrarn comomuestra la *igura de la derecha, estando las restantes pie&as en otroslugares, no dibujados, del tablero No es lcito hacer girar ning6nbloque, a6n suponiendo que hubiera espacio para ello: cada uno hade conservar su orientacin primitiva al tiempo de despla&arse hacia

arriba, abajo, hacia la derecha o hacia la i&quierda'scott era un especialista en teora de n6meros, y publicabundantemente en diversas revistas matemticas "ue pro*esor endiversas escuelas y *acultades del iddle Jest, y en sus 6ltimos aos,actuario de una compaa de seguros

&. #esas rojas' blancas y azules>urante estos 6ltimos decenios se han puesto de moda los problemasde balan&as y pesadas 7e aqu uno no muy conocido, inventado por!aul 8urry, bien conocido entre los a*icionados al ilusionismo

@enemos seis pesas >e ellas, un par es rojo, otro par, blanco, y eltercero a&ul 'n cada par, una de las pesas es levemente ms pesadaque la otra, siendo por lo dems indistinguible de su gemela ;as tresms pesadas 9una de cada color- tienen pesos id%nticos, y lo mismoes cierto de las tres ms livianas7aciendo 6nicamente dos pesadas con una balan&a 9de platillos-,.cmo podramos identi*icar en cada par la pesa liviana y la mspesada0

(. El n)mero de los d!ez d*g!tos


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Figura 5$. %n pro"lema digital

'n las 2$ casillas de la "igura #4 hay que inscribir un n6mero de 2$ci*ras tal que el dgito que ocupe la primera casilla 9marcada con un$- exprese el n6mero de ceros que contiene en total el n6meroproblema, que el dgito de la casilla +2 indique cuntos unos *iguranen el n6mero, y as sucesivamente, hasta la 6ltima casilla, que dir eln6mero de nueves que en %l intervienen 98orno es obvio, el $ estambi%n un dgito- ;a solucin del problema es 6nica

+. ,onedas en la bolera

obon "ujimura, uno de los ms distinguidos creadores de problemasde ingenio del Kapn, ha preparado este rompecabe&as, que *igura enuno de sus libros ms recientes /e colocan die& monedas iguales, deuna peseta, por ejemplo, en la *ormacin triangular con que sedisponen los bolos 9v%ase la "igura #G-.8ul ser el n6mero mnimo de monedas a retirar con el *in de quecon los centros de las restantes no pueda construirse ning6n tringuloequiltero, de ning6n tamao0 >e considerar como id%nticas aqu%llas*ormaciones que puedan deducirse unas de otras por giros osimetras, resulta existir 6nicamente una con*iguracin donde el

n6mero de monedas retiradas sea mnimo Notemos que en ladisposicin inicial existen dos tringulos equilteros al bies, cuyasbases no son hori&ontales

Figura 5&. 'ro"lema (monetario) de origen japon*s

1 -oluc!ones

2 a )n posible desarrollo como el pedido es(


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Blancas

1. C3AR

2. C3AD

3. C4D4. CR x C

5. C x C

Negras

C3AR

C3AD

C4DPC x C

P x C

Ambos problemas *ueron reimpresos en el n6mero de verano de 2F3Fde una revista matemtica llamada +ani,old , publicada en la)niversidad de JarEicD, en 8oventry, ?nglaterra 'n ella se citabacomo *uente un n6mero de la C-ess e/ie del ao 2FGI ;a varianteaqu presentada se debe al ajedrecista norteamericano ;arryBlustein

annis 8harosh me ha llamado la atencin acerca de una interesanteversin del problema de los caballos desaparecidos 'n lugar deeliminar los caballos de rey de ambos bandos deben suprimirse los dedama y adems, en lugar de avan&ar dos cuadros con el pen dedama ahora debe avan&ar slo uno @ambi%n este problema admitesolucin en cuatro jugadas: pero la solucin tiene ahora el m%rito deser 6nica 9'n la versin que he presentado aqu, las dos primerasjugadas de las negras son intercambiables- ;a nueva varianteapareci en laFair C-ess e/ie de *ebrero de 2F##, siendo allatribuida a L /chEeig, quien la dio a conocer en 2F4H >ejo alcuidado del lector la tarea de resolverla" ;a probabilidad es 2 !uesto que los pares de pie&as desechadoscontienen una pie&a de cada color, los n6meros de pie&as blancas ynegras sobrantes sern id%nticos5 8omo ya expliqu%, para obtener la *raccin generatri& de unn6mero decimal peridico puro, se escribe el bloque peridico en elnumerador, y en el denominador, tantos nueves cuantas ci*ras tengael bloque peridico 'n este ejemplo, @A;=FFFF, simpli*icada almximo, debe dar '?> MF$F


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@an slo cabe, pues, que >?> M 4$4 8omo 'e los 2G n6meros capic6as que empie&an por estas ci*ras 9252, 2G2,, 5F5- 6nicamente 5G5 produce un desarrollo decimal con*orme alesquema $,@A;@A;@A; donde todas las ci*ras del perodo son

distintas de las de '


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2FI4, pp HF- !ueden verse otras demostraciones en una nota deoger North publicada en la +at-ematical #azette , diciembre de2FI4, pp 44GO43, con segunda parte en la misma revista, octubre de2FIG, pp 525O2# !uede verse una generali&acin del problema auna hilera de cuadrados en el artculo de @rigg( +Leometrical !roo* o*

a esult o* ;ehmers, en 3-e Fi"onacci 4uarterl , vol 22: diciembrede 2FI4, pp #4FOG$G !ara ganar la apuesta es su*iciente escribir un 2 junto a la yemadel pulgar que est ocultando la hilera de crculos Al levantar lamano nuestro espectador, el papel mostrar un n6mero binario*ormado por un 2 seguido de una hilera de ceros /uponiendo que losceros representen n monedas, este n6mero binario ser equivalenteal n6mero decimal 5n que es el n6mero total de distintasordenaciones en que pueden salir cara o cru& al lan&arsucesivamente nmonedas

# Al presentar el rompecabe&as de bloques desli&antes de 'scott enmi seccin de Scienti,ic American di una solucin que requera 33movimientos uchos lectores consiguieron rebajar tal n6mero a sloGH, y %sta es por ahora la solucin ms breve que se conoceas la solucin de GH movimientos no es 6nica ;a que presentamosen la "igura #3 9que me *ue enviada por Kohn J Jright- puedeconsiderarse tpica ;as letras /, B, >, ? 9subir, bajar, derecha,i&quierda- sirven para denotar los movimientos 'n todos los casos espreciso mover las pie&as indicadas tanto cuanto sea posible en ladireccin expresada


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Figura 5. %na solucin en &6 mo/imientos para el rompeca"ezas de

los "loques deslizantes

8omo la disposicin inicial tiene doble simetra, toda solucin tieneuna inversa 'n este caso la inversa comien&a por despla&ar la pie&an6mero # hacia abajo y a la i&quierda, en lugar de la pie&a 3, que ibahacia la derecha y arriba, y prosigue ejecutando sim%tricamente loscorrespondientes movimientos3 )n procedimiento para resolver el problema de las seis pesas dos

rojas, dos blancas y dos a&ules consiste en colocar en un platillo unapesa blanca y una roja, y en el otro, una blanca y una a&ul/i la balan&a quedase en equilibrio, sabramos que en cada platillohay una pesa liviana y otra con sobrepeso etiremos de los platilloslas pesas de color, dejando 6nicamente las blancas, una en cada uno/abremos as en qu% platillo est la pesa blanca ms ligera, y en culla ms pesada Al mismo tiempo, ello nos dice cul de las pesas antesempleadas 9una roja, una a&ules ms ligera que la otra, lo que a suve& nos aclara cules son las pesas liviana y pesada del par a&ulOrojono usado todava

/i la balan&a no queda en equilibrio al e*ectuar esta primera pesada,es seguro que caer del lado donde se encuentre la pesa blanca de


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mayor peso 'mpero seguimos a oscuras con respecto a la roja y laa&ul 8ompararemos pues la roja ya utili&ada con la gemela de la a&ulempleada para la primera pesada 9o bien, la a&ul primitiva con lagemela de la roja- 8omo hace notar 8 B 8handler 9a quien deboesta sencilla solucin- el resultado de la segunda comparacin ms el

recuerdo de lo ocurrido en la primera, ya es su*iciente para distinguirlas seis pesasAquellos lectores que hayan encontrado este problema de su gustopodrn pasar otro rato entretenido anali&ando la siguiente variante,ideada por Ben Braude, mago amateur y dentista, neoyorquino ;asseis pesas son id%nticas en todos los aspectos 9color incluido- salvoen que hay tres que son ms pesadas que las otras ;as tres consobrepeso son id%nticas: lo mismo ocurre con los pesos de las tresms ligeras ;a tarea consiste en identi*icar cada una de las seishaciendo tres pesadas independientes con una balan&a

8omo @homas PQBeirne ha hecho notar, el problema de Braude o*recedos tipos de soluciones, de caracteres que podramos llamarcomplementarios o duales 'n unas, las pesas son comparadas parcontra par: en otras, cada platillo es cargado siempre con una solapesa >ebo a Kohn 7amilton la concisa tabla siguiente, donde se danlas cuatro posibilidades del m%todo ms sencillo 9publicado en eln6mero de mar&o de 2FI$ de una revista de ilusionismo, 3-e'all"earers e/ie-

1a \ B

c \ D

e \ F

2a \ B

c d

d \ E

3a b

b c

c \ D

4a b

b \ C

D E

;as letras may6sculas indican pesos con sobrecarga, y lasmin6sculas, pesos mermados )n tra&o hori&ontal indica equilibrio,mientras que la barra oblicua muestra de qu% lado cae la balan&a

I ;a solucin, 6nica, es 352$$$2$$$ No dispongo aqu de espaciopara dar una demostracin detallada: puede verse una *rancamentebuena en la seccin de divertimentos matemticos de la 3ec-nicale/ie 9*ebrero de 2F3H- del ? @, debida a 'dEard ! >e;oren&o'n el mismo lugar del n6mero de junio de 2F3H hay unademostracin de enneth J >rit& de que para casilleros de menos de2$ cuadros, las 6nicas soluciones en numeracin de base 2$ son252$: 5$5$: 525$$: 4522$$$: G52$2$$$, y #52$$2$$$!uede verse una solucin general, debida a "ranD ubin, enel2ournal o, ecreational +at-ematics , vol 22, 2FIHOIF, pp I3OII'n ella demuestra que no existe ning6n n6mero +autodescriptivo enlas bases 2, 5, 4 y 3 'n base # existe tan slo uno, #52$$$ 'n base

G tenemos 252$ y 5$5$ y es la 6nica base donde existe ms deuna solucin de longitud igual a la base 'n todas las bases mayores


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que 3 existe una 6nica solucin, que es de la *orma 52 9$ $-2$$$, siendo cuatro unidades menor que la base de numeracin,y el n6mero de ceros entre par%ntesis, siete menos que la baseH 'l n6mero mnimo de monedas a retirar es de cuatro 9v%ase la"igura #I-, correspondientes a las sombreadas en gris en la *igura

>e esta *orma, nunca se podrn tomar tres centros de las monedasrestantes que se encuentren en los v%rtices de un tringuloequiltero, /alvo por rotacin, la con*iguracin de las monedas es6nica, y evidentemente, id%ntica a su sim%trica

Figura 57. 8a solucin al pro"lema de las 10 monedas

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