EL COLOR I EL COMETA DE GOLDBACH - · PDF fileproporcionades pel MAPLE no es podria haver ......

EL COLORI

EL COMETADE GOLDBACH

ALUMNE: ORIOL ROMERO VITÒCURS 2010/2011

TUTORA: MIREIA LÓPEZI.E.S. MILÀ I FONTANALS DE BARCELONA

ÍNDEX

Introducció 4

Capítol primer: El cometa de Goldbach.1.1.- La conjectura de Goldbach. 51.2.- Número de descomposicions que té un nombre parell compost. 91.3.- Nombres que tenen un número de descomposicions donat. 121.4.- Nombres parells que tenen un número de descomposicions més gran que un nombre donat. 151.5.- Nombres que tenen un número de descomposicions més petit que un nombre donat. 181.6.- Gràfica de la funció f(n). 20

Capítol segon: Estudi del cometa de Goldbach.2.1.- Valors que destaquen. 252.2.- La zona més inferior del cometa. 282.3.- Nombres que són el doble d'un nombre primer però una potencia d'un nombre primer fixat. 292.4.- Nombres que són el doble d'un nombre compost per una potència d'un nombre primer fixat. 332.5.- Estudi dels punts vermells que estan sensiblement separats de la resta. 362.6.- La gran troballa: ser o no ser múltiple de tres. 402.7.- Ser o no ser múltiple d'un nombre primer senar diferent de tres. 442.8.- Ser o no ser múltiple d'un nombre compost. 462.9.- Dues gràfiques molt il·lustratives. 48

Capítol tercer: Sumes de nombres primers consecutius.3.1.- Sumes de nombres primers consecutius. 533.2.- Nombres naturals que són suma de nombres primers consecutius. 543.3.- És infinita la successió de nombres naturals que no són suma de nombres primers consecutius? 583.4.- Estudi de la funció g(n) i de la seva gràfica. 59

Conclusions 65

dilet.html file:///L:/ÀREA D'INNOVACIÓ- Programes/ÀREA D'INNOVACIÓ 2...

1 de 66 29/04/2011 09:02

Bibliografia 68

INTRODUCCIÓ

En primer lloc hem de dir que aquest treball és fruit d'una utilització de les eines informàtiques. Per una banda, sense les dadesproporcionades pel MAPLE no es podria haver arribat a les conjectures elaborades. Però per altra banda, el treball no esredueix a una generació de dades, sinó que és fruit d'un llarg procés d'observació i anàlisi d'aquests milers de dades per tald'elaborar les conjectures que es presentaran emprant recursos "d'última generació" com és l'ús del color en les gràfiques pertal d'observar regularitats.

També hem de dir que aquest treballs es va pensar en dues parts clarament diferenciades. La primera, formada pels dosprimers capítols, parteix de la conjectura de Goldbach i del Cometa de Goldbach (Delahaye). Ambdós temes s'expliquenexhaustivament en el primer capítol. En aquesta part i dins del capítol primer s'estudia la funció que a cada nombre parell mésgran que dos se li assigna el nombre de descomposicions de Goldbach que té, ja en aquest capítol es donen dues conjectures.En el capítol segon es fa un estudi força complet del cometa de Goldbach. A partir de l '́us del color en les gràfiques s'hanpogut elaborar unes quantes conjectures més i una sèrie de propietats que s'expliquen al llarg d'aquest segon capítol.

A la segona part, formada pel tercer capítol, s'estudia quins nombres naturals es poden expressar com suma de nombresprimers consecutius obtenint-ne resultats força interessants.

S'ha de dir que els resultats estan calculats o dibuixats fins on els ordinadors actuals permeten dins d'un temps prudencial. Perexemple algunes gràfiques del final del dos primers capítols ha trigat l'ordinador gairebé 24 hores en dibuixar cadascuna d'elles.En el tercer capítol per obtenir alguns dels resultats l'ordinador ha trigat més de tres dies de càlcul ininterromput per cadascund'ells. En el tercer capítol també deixem una mica el que seria el començament d'un futur treball de recerca, així que l'estudiqueda obert.

Finalment és obligatori dir que tots els programes utilitzats han estat fets per nosaltres i que les propietats i les conjectures delprimer capítol i tot el que hi ha en els capítols dos i tres és inèdit.

CAPÍTOL PRIMER

EL COMETA DE GOLDBACH

1.1.- La conjectura de Goldbach.-

En el títol d'aquest apartat hi ha dues paraules que no són d'ús freqüent: conjectura i goldbach. Per tant, començarem perexplicar el seu significat.

Una conjectura és una propietat que no s'ha pogut demostrar però que fins on arriba la capacitat dels ordinadors actuals no s'hiha trobat cap contraexemple. Així, si enunciem que: el conjunt de nombres primers és infinit, podem dir amb tota la seguretatdel món que aquesta afirmació és certa, Euclides (330 a.c. - 275 a.c.) ja la va demostrar a la seva època. Aquests tipus depropietats o afirmacions que tenen una demostració formal es coneixen com a teoremes o corol·laris segons la sevaimportància i/o la dificultat de la seva demostració. Ara bé, si enunciem que: el conjunt de parells de primers que esdiferencien en dues unitats és infinit, això és una conjectura ja que no s'ha pogut demostrar de manera convencional però amesura que la capacitat infòrmatica ha anat augmentant sempre s'han trobat parells de primers més grans que els últimsdescoberts que la compleixen.

Referent a la segona paraula és el cognom del senyor Christian Goldbach. A continuació resumirem en unes poques línies laseva biografia.

Christian Goldbach va néixer el 18 de març de 1690 i va morir el 20 de novembre de 1764, va ser un matemàtic prussià, nascuta Königsberg, Prússia (avui Kaliningrad, Rússia), fill d'un pastor. Va estudiar lleis i matemàtiques. Va realitzar diversos viatgesa través d'Europa i va conéixer a diversos matemàtics famosos, com Leibniz, Leonhard Euler i Daniel Bernoulli.

L'any 1725 es va convertir en un historiador i professor de matemàtiques a Sant Petersburg. Tres anys més tard es va traslladara Moscou per treballar pel Tsar Peter II. Va viatjar per tota Europa prenent contacte amb molts matemàtics, entre ells Euler,amb qui més tard va seguir en contacte.

Va realitzar importants treballs en el camp de les matemàtiques. Però avui dia és conegut per la, en el seu honor, anomenadaConjectura de Goldbach o Conjectura forta de Goldbach, que diu que tot nombre parell major que 2 es pot representar com lasuma de dos nombres primers. Avui se sap que això és cert per tots els nombres menors que un trilió, (és a dir, un 1 seguit dedivuit zeros, ó 1.000.000.000.000.000.000). Aquesta conjectura es va trobar en una carta que va enviar Goldbach a Euler el1742.


2 de 66 29/04/2011 09:02

El gran matemàtic suís Euler no va aconseguir demostrar ni refutar el resultat d'aquest teorema, i en l'actualitat, gairebé 300anys després, ningú ha donat una demostració formal totalment concloent sobre la veracitat del resultat i tampoc s'ha trobatcap contraexemple (és a dir, un nombre parell que no pugui posar-se com suma de dos nombres primers). Existeix una altraconjectura de Goldbach, anomenada feble, que diu el següent: "Tot nombre senar major que 7 pot escriure's com suma de 3números primers senars." Aquesta conjectura tampoc està resolta, tot i que s'ha avançat en la seva demostració. En l'actualitat,s'ha aconseguit demostrar que per tot nombre senar major que un 1 seguit de 1346 zeros la conjectura és certa. Per tant noméshauríem de comprovar nombre a nombre que tot senar menor que un 1 seguit de 1346 zeros pot posar-se com suma de 3nombres primers senars. Però aquesta cota encara és massa gran per la nostra tecnologia. S'haurà d'esperar algun avanç de lamateixa o que es pugui rebaixar formalment aquest nombre.

En aquest capítol treballarem sobre la conjectura forta de Goldbach, és a dir, "tot nombre parell més gran que dos es potescriure com suma de dos nombres primers".

Donat un nombre natural parell compost n a cada conjunt format per dos nombres primers a i b tals que n = a + bl'anomenarem una descomposició de Goldbach del nombre n i per abreujar senzillament una descomposició del nombre n ,mentre que a la descomposició factorial d'un nombre sempre l'esmentarem com descomposició factorial.

Si donem un nombre parell compost però petit per exemple 6 a cop d'ull es pot veure que l'única descomposició que té comsuma de dos primers és 6 = 3 + 3. Si augmentem una mica, no gaire, el valor del nombre per exemple 14, fàcilment podemveure que admet dues descomposicions com suma de dos primers 14 = 7 + 7 i 14 = 3 + 11.

Amb paciència i una taula de nombres primers possiblement podríem calcular totes les descomposicions de qualsevol nombreparell més petit que cent i amb una mica més de paciència i molt més de temps potser aquest valor es podria augmentar fins ados cents o mil. Però perdríem part de la vida de forma inútil si haguèssim de calcular totes les descomposicions per exempledel 124800. Per aquest motiu hem fet un programa que primer calcula totes les descomposicions d'un nombre parell més granque dos i després ens diu quantes n'hi ha. Aquest programa el donem a continuació:

> gold:=proc(N)

> local x,i1,i2,n,i,r,N1:

> N1:=N:r:=0:

> n:=prevprime(N1):

> i:=0:

> while n >= floor(N1/2) and N-prevprime(N)<>2 do:

> i2:=N1-n:

> if isprime(i2)=true then

> print(n,i2);i:=i+1:

> fi:

> if n>2 then n:=prevprime(n):else n:=0:fi:

> od:

> print(i);

> end:

S'ha de dir que tots el programes que donem al llarg del treball estan fets sense controladors dels valors d'entrada. És a dir, si esdonen valors d'entrada no vàlids pel programa en questió poden o no donar resultats o avisos de funcionament incorrecte.

A continuació donem uns exemples respecte el programa anterior. Aquest programa s'ha fet per nombres parells més grans quedos. Vegem quins resultats surten si entrem 2, un nombre senar o un nombre que no sigui natural:

> gold(2);

Error, (in prevprime) there are no primes less than 2

Error, a l'instrucció prevprime ja que no existeixen nombres primers més petits que dos.

> gold(15);


3 de 66 29/04/2011 09:02

Dóna zero descomposicions, la qual cosa no és certa ja que 15 = 13 + 2. Per tant 15 és suma d'almenys dos nombres primers.

> gold(34/7);

Error, (in prevprime) argument must be integer

Error, a l'instrucció prevprime el valor ha de ser un nombre enter.

Evidentment és molt fàcil arreglar el programa per evitar entrades incorrectes i per tant aquests resultats. Així, tindríem elsegüent programa:

> gold:=proc(N)

> local x,i1,i2,n,i,r,N1:

> if type(N,integer)=true and N>2 and N mod 2 = 0 then

> N1:=N:r:=0:

> n:=prevprime(N1):

> i:=0:


> i2:=N1-n:


> print(n,i2);i:=i+1:

> fi:


> od:

> print(i);

> else

> print(`El valor d'entrada ha de ser un nombre natural parell compost`);

> fi:

> end:

Ho hem fet solament en aquest programa com exemple de quins tipus d'intruccions s'haurien d'afegir a fi que rebutgés valorsd'entrada incorrectes. No ho hem fet a la resta de programes ja que el nostre interés estava centrat en els resultats i no enl'optimització dels programes.

Ja modificat, quan el valor d'entrada fos incorrecte la sortida seria:

> gold(2);

> gold(15);

> gold(34/7);

Amb aquest programa o l'anterior podem calcular les descomposicions que té un nombre parell compost i el número dedescomposicions. Així:


4 de 66 29/04/2011 09:02

> gold(4);

> gold(14);

> gold(120);

A les files que hi apareixen dos nombres són els nombres primers que sumats donen N . Per exemple 113 + 7 = 120, 89 + 31 =120 o bé 61 + 59 = 120. L'últim nombre dóna el número de descomposicions que té l'entrada N . Així, el nombre 4 té una únicadescomposició, el nombre 14 té dues descomposicions, mentre que el 120 té 12 descomposicions.

Referent al nombre 124800 que hem donat abans podem dir que té 2086 descomposicions, que l'ordinador les calcula amb unsegon i mig i no les hem escrit ja que suposen més de cinquanta pàgines.

El lector que estigui interessat per coneixer totes i cadascuna d'aquestes descomposicions solament ha d'activar el programa iescriure la següent instrucció:

> gold(124800);

i prémer "return".

1.2.- Número de descomposicions que té un nombre parell compost.-

Un cop elaborat el programa gold ara ens interessarem més pel nombre de descomposicions que té un nombre parell més grano igual que quatre que per les descomposicions en si. Per aquest motiu hem modificat el primer programa per fer el programaque anomenem gold1 a fi que ens doni el número de descomposicions que té cada nombre parell en un interval donat.

En aquest programa a cada línia donem el nombre, la seva descomposició factorial i el número de descomposicions que té.


5 de 66 29/04/2011 09:02

Tenint en compte que per la descomposició factorial necessitem la instrucció ifactor que està a la llibreria de teoria denombres primer hem de cridar aquesta llibreria amb la instrucció with(numtheory): , després activar el programa i usar-lo.

En aquest programa li hem fet escriure la descomposició factorial del nombre abans del número de descomposicions a fid'investigar si hi ha una relació entre els dos tipus de descomposicions.

A continuació donem com es crida la llibreria esmentada i el programa:

> with(numtheory):

Warning, new definition for order

> gold1:=proc(k1,k2)

> local x,i1,i2,n,i,r,N1,N:

> for N from k1 by 2 to k2 do:

> N1:=N:r:=0:

> n:=prevprime(N1):

> i:=0:


> i2:=N1-n:


> i:=i+1:

> fi:


> od:

> print(N,ifactor(N),i);

> od:

> end:

Així si l'apliquem als intervals [4,14], [100,110], [1000,1010], [10000,10010], [24990,25000], [49990,50000] i[99990,100000] obtenim:

> gold1(4,14);

> gold1(100,110);


6 de 66 29/04/2011 09:02

> gold1(1000,1010);

> gold1(10000,10010);

> gold1(24990,25000);

> gold1(49990,50000);


7 de 66 29/04/2011 09:02

> gold1(99990,100000);

A partir de la funció "gold1" es van estudiar molts intervals d'amplitud molt més grans continguts a l'interval [4,100000]. Enaquesta secció només hem adjuntat una petita mostra a tall d'exemples ja que reproduir tots els resultats estudiats allargarien enexcés el treball.

La interpretació exhaustiva de tots aquests milers de resultats va donar peu a començar a elaborar hipòtesis i a estudiar-les.

Si definim la següent funció f : N --> N ( N conjunt de nombres naturals) tal que a cada nombre parell més gran o igual quequatre li fa correpondre el número de descomposicions que té aquest nombre a partir dels resultats anteriors podem afirmarque la funció no és creixent ni decreixent ja que 99990 és més petit que 99992 però la imatge del primer 1855 és més gran quela imatge del segon 638, però la imatge de 99994 és 651 més gran que la imatge de 99992. A més de tots els resultats quedisposàvem, vam conjecturar les dues propietats següents:

Conjectura 1.- Donat un nombre natural i , existeix un nombre parell k 2 tal que f ( n ) és més gran que i per a tot nparell més gran que k2 .

Conjectura 2.- Donat un nombre natural i , existeix un nombre parell k1 tal que f ( n ) és més petit o igual que i per atot n parell compost més petit que k 1.

Per donar suport a les nostres dues conjectures ho fem a partir d'uns programes que donem als tres apartats següents.

1.3.- Nombres que tenen un número de descomposicions donat.-

Aquí es tracta de calcular el conjunt d'originals que té un nombre natural donat. Per aquest motiu hem fet el següent programa:

> gold2:=proc(k1,k2,b)

> local i2,n,i,N1,N,a,r:

> if b > 1 then

> print(`Nombres de l'interval [`,k1,k2,`] que tenen `,b,` descomposicions`);

> fi:

> if b = 1 then

> print(`Nombres de l'interval [`,k1,k2,`] que tenen una descomposició`);


8 de 66 29/04/2011 09:02

> fi:

> r:=0:


> N1:=N:

> n:=prevprime(N1):

> i:=0:


> i2:=N1-n:


> i:=i+1:

> fi:


> od:

> if i=b then r:=r+1:a[r]:=N:fi:

> if r=5 then

> print (a[1],` `,a[2],` `,a[3],` `,a[4],` `,a[5]);

> r:=0:

> fi:

> od:

> if r=4 then

> print (a[1],` `,a[2],` `,a[3],` `,a[4]);

> fi:

> if r=3 then

> print (a[1],` `,a[2],` `,a[3]);

> fi:

> if r=2 then

> print (a[1],` `,a[2]);

> fi:

> if r=1 then

> print (a[1]);

> fi:

> end:

Ara vegem uns quants exemples:

> gold2(4,10000,1);


9 de 66 29/04/2011 09:02

> gold2(4,10000,2);

> gold2(4,10000,3);

> gold2(4,10000,4);

> gold2(4,10000,5);

En els exemples anteriors, veiem que el nombre més gran de cadascun dels resultats és molt més petit que l'extrem superiorescollit per a l'interval on hem fet l'escombrat. Així, s'ha d'elegir com extrem superior un nombre molt més gran que l'últim delsresultats que dóna el programa a fi d'evitar que hi hagi nombres que tinguin el mateix número de descomposicions i estiguinfora de l'interval.

Per exemple, si per als nombres que tenen quatre descomposicions haguèssim pres l'interval [4,100] el nombre 122 no haguésaparegut. Per tant, quan calculem els nombres que tenen un determinat número de descomposicions si el nombre més gran delresultat és proper a l'extrem superior de l'interval hem de tornar a calcular-ho amb un extrem superior molt més gran per evitarque no apareixin tots els nombres que tenen aquell número de descomposicions.

Per exemple:

> gold2(4,1000,30);

> gold2(4,2000,30);


10 de 66 29/04/2011 09:02

> gold2(4,4000,30);

En el primer cas el nombre 786 no està suficient lluny de l'extrem superior. Ampliem aquest extrem a 2000 i veiem queapareixen nous nombres que tenen 30 descomposicions, però el 1988 tampoc està suficientment distanciat del 2000. Tornem afer-ho prenent com extrem superior 4000. En aquest cas el 2456 és petit comparat amb el 4000 i podríem dir que aquests sóntots els nombres que tenen trenta descomposicions. En cas de dubte es pren un extrem superior més gran. Així:

> gold2(4,8000,30);

En el resultat no s'hi ha afegit cap més nombre i per tant podem assegurar que aquests 29 nombres naturals són tots elsnombres que tenen exactament 30 descomposicions.

Per treure més conclusions donem dos exemples més:

> gold2(4,8000,29);


11 de 66 29/04/2011 09:02

> gold2(4,8000,31);

Veiem que si a partir dels resultats del número de descomposicions igual a 30, diguèssim que tot nombre més gran que 2456 témés de trenta descomposicions ens estaríem equivocant, ja que el 2642 té només 29 descomposicions. També ensequivocaríem si afirmèssim que tot nombre més petit que 480 té menys de 29 descomposicions, ja que el 420 té 30descomposicions. Per tant, a partir dels resultats que ens dóna el programa el màxim que podem afirmar és que el conjuntd'originals d'un nombre parell donat és finit. Modificant lleugerement el programa anterior en els dos apartats següentsdonarem dos programes tal que els seus resultats donen suport a les dues conjectures.

1.4.- Nombres parells que tenen un número de descomposicions més gran que un nombre donat.-

En primer lloc donarem un programa que donat un nombre k ens permet calcular un nombre parell tal que tot nombre parellmés gran que aquest tingui més descomposicions que k .

> goldmin:=proc(k1,k2,b)

> local i2,n,i,N1,N,a,r:

> if b > 1 then

> print(`Nombres de l'interval [`,k1,k2,`] que tenen com a molt `,b,` descomposicions`);

> fi:

> if b = 1 then

> print(`Nombres de l'interval [`,k1,k2,`] que tenen una descomposició`);

> fi:

> r:=0:


> N1:=N:

> n:=prevprime(N1):

> i:=0:



12 de 66 29/04/2011 09:02

> i2:=N1-n:


> i:=i+1:

> fi:


> od:

> if i<=b then r:=r+1:a[r]:=N:fi:

> if r=5 then

> print (a[1],` `,a[2],` `,a[3],` `,a[4],` `,a[5]);

> r:=0:

> fi:

> od:

> if r=4 then

> print (a[1],` `,a[2],` `,a[3],` `,a[4]);

> fi:

> if r=3 then

> print (a[1],` `,a[2],` `,a[3]);

> fi:

> if r=2 then

> print (a[1],` `,a[2]);

> fi:

> if r=1 then

> print (a[1]);

> fi:

> if r=0 then print(`Cap`);fi:

> end:

Evindentment a l'hora d'aplicar el programa hem de ser hàbils amb l'extrem inferior. Així:

> goldmin(100,1000,1);

Per tant podríem afirmar que tot nombre més gran que 100 té més d'una descomposició. Tenint en compte el que hem vistaquest nombre es podria reduir molt. Així:

> goldmin(12,1000,1);


13 de 66 29/04/2011 09:02

A partir d'aquest resultat podem assegurar que tot nombre parell més gran que 12 té més d'una descomposició. I el nombre 12seria el nombre parell tal que tot nombre parell més gran que ell té més d'una descomposició.

Apliquem-ho a un altre número de descomposicions amb més dificultat:

> goldmin(100,1000,10);

En aquest cas hem d'augmentar els dos extrems, com extrem inferior prendre el 632 i extrem superior pujar al 4000. Aleshorestenim:

> goldmin(632,4000,10);

Ara si que podem afirmar que tot nombre parell més gran que 632 té més de 10 descomposicions. Per tant, el nombre 632 seriael nombre parell tal que tot nombre parell més gran que ell té més de deu descomposicions.

Amb suficient temps i potencial informàtic usant aquest programa podríem calcular el nombre natural parell tal que tots el


14 de 66 29/04/2011 09:02

nombres més grans que ell tenen més descomposicions que un nombre donat qualsevol. Per tant, aquest programa ens dónasuport a la primera conjectura.

1.5.- Nombres que tenen un número de descomposicions més petit que un nombre donat.-

Ara donarem un programa que donat un nombre k ens permet calcular un nombre parell tal que tot nombre parell més petit queaquest tingui menys descomposicions que k + 1.

> goldmax:=proc(k1,k2,b)

> local i2,n,i,N1,N,a,r,k:

> print(`Nombres de l'interval [`,k1,k2,`] que tenen com a mínim `,b+1,` descomposicions`);

> r:=0:k:=0:


> N1:=N:

> n:=prevprime(N1):

> i:=0:


> i2:=N1-n:


> i:=i+1:

> fi:


> od:

> if i>b then r:=r+1:a[r]:=N:fi:

> if r=5 then

> print (a[1],` `,a[2],` `,a[3],` `,a[4],` `,a[5]);

> r:=0:k:=1:

> fi:

> od:

> if r=4 then

> print (a[1],` `,a[2],` `,a[3],` `,a[4]);

> fi:

> if r=3 then

> print (a[1],` `,a[2],` `,a[3]);

> fi:

> if r=2 then

> print (a[1],` `,a[2]);

> fi:

> if r=1 then


15 de 66 29/04/2011 09:02

> print (a[1]);

> fi:

> if r=0 and k=0 then print(`Cap`);fi:

> end:

A l'hora d'aplicar el programa hem de ser hàbils amb l'extrem superior i fins que no es tingui pràctica amb la interpretació delsresultats aconsellaríem prendre per extrem inferior el quatre. Així:

> goldmax(4,100,2);

> goldmax(4,100,3);

> goldmax(4,100,4);

Amb aquests resultats podem dir que tot nombre parell més petit que 22 té menys de tres descomposicions, que tot nombreparell més petit que 34 té menys de quatre descomposicions i que tot nombre parell més petit que 48 té menys de cincdescomposicions.


16 de 66 29/04/2011 09:02

Com a l'apartat anterior apliquem-ho a un nombre més gran, per exemple 100:

> goldmax(4,3000,100);

Aleshores, podem afirmar que tot nombre més petit que 2310 té meyns de 101 descomposicions. Per tant, aplicant aquestprograma al número de descomposicions desitjat obtindríem el nombre parell tal que tot nombre parell més petit que ell témenys o igual número de descomposicions que el nombre donat.

1.6.- Gràfica de la funció f ( n ).-

A continuació donem dos programes que hem fet per representar la gràfica de f ( n ), és a dir, la funció que a cada nombrenatural parell i compost li assigna el número de descomposicions que té el nombre n .

> goldgr:=proc(k1,k2)

> local i2,n,i,N1,N,A:

> A:={}:


> N1:=N:

> n:=prevprime(N1):

> i:=0:


> i2:=N1-n:


> i:=i+1:

> fi:


> od:

> A:=A union {[N,i]}:

> od:

> with(plots):

> print(`Gràfica`);

> pointplot(A);

> end:

Aquest primer programa representa tots els punts de la gràfica amb negre. Així es veu el típic dibuix que apareix en els llibres,com per exemple, Merveilleux nombres premiers de Jean-Paul Delahaye, i l'hem dibuixat de 4 a 100000.

> goldgr(4,100000);


17 de 66 29/04/2011 09:02


18 de 66 29/04/2011 09:02

La representació anterior es coneix com el cometa de Goldbach. Ara bé, aquesta funció té per recorregut un subconjunt delsnombres naturals per tant les imatges estan sobre rectes d'equació y = a, sent a un nombre natural.

A fi de que quedi totalment clara la seva gràfica hem fet un segon programa que representa els punts generats pels nombresque tenen un número de descomposicions múltiple de 5 amb negre i els que tenen un número de descomposicions múltiple de 5més 1, 2, 3 o 4 amb vermell, blau, verd o daurat respectivament.

Seguidament donem aquest programa i algunes aplicacions que comentarem:

> goldgr1:=proc(k1,k2)

> local i2,n,i,N1,N,p0,p1,p2,p3,p4,A0,A1,A2,A3,A4:

> A0:={}:A1:={}:A2:={}:A3:={}:A4:={}:


> N1:=N:

> n:=prevprime(N1):

> i:=0:


> i2:=N1-n:


> i:=i+1:

> fi:


> od:

> if i mod 5 = 0 then A0:=A0 union {[N,i]}:fi:





> od:

> with(plots):

> p0:=pointplot(A0,color=black):

> p1:=pointplot(A1,color=red):

> p2:=pointplot(A2,color=blue):

> p3:=pointplot(A3,color=green):

> p4:=pointplot(A4,color=gold):


> display(p0,p1,p2,p3,p4);

> end:

> goldgr1(4,500);


19 de 66 29/04/2011 09:02

> goldgr1(4,2000);

A les dues representacions anteriors es veu clarament que les imatges segueixen rectes paral·leles a l'eix d'abscisses, i a lasegona comença a intuir-se la forma de cometa. Si fem la representació fins el 20000 ja s'aprecia totalment la seva típica formade cometa però es perd la discontinuïntat de les imatges donant l'aparença que el recorregut són els reals positius.

> goldgr1(4,20000);


20 de 66 29/04/2011 09:02

Per acabar aquest capítol donarem la gràfica fins el 100000 a fi que es pugui comparar amb la primera que hem donatrepresentada solament amb punts de color negre.

> goldgr1(4,100000);


21 de 66 29/04/2011 09:02

FI DEL CAPÍTOL PRIMER

>


22 de 66 29/04/2011 09:02

>

>

>

>

>

>

CAPÍTOL SEGON

ESTUDI DEL COMETA DE GOLDBACH

2.1.- Valors que destaquen.-

Si fem una ullada al cometa de Goldbach per una banda veurem clarament que hi ha unes zones amb molta densitat de punts,unes altres on pràcticament no hi ha cap punt i uns punts, sobretot per la part de dalt, que destaquen de forma clara de la resta.Per altra banda hi ha una regió pràcticament sense punts que divideix el cometa quasi per la meitat amb dues zones que al llargdel treball anomenarem zona superior i zona inferior.

Començarem per esbrinar quins són aquests punts que marquen la frontera superior i inferior del cometa. Per cercar-los, hemfet el següent programa:

> goldm:=proc(k1,k2)

> local i2,n,i,N1,N,a,im,b,ig:

> a:=0:b:=0:im:=0:ig:=0:


> N1:=N:

> n:=prevprime(N1):

> i:=0:


> i2:=N1-n:


> i:=i+1:

> fi:


> od:

> if i>im then a:=N:im:=i:fi:

> if ig=0 or i<=ig then b:=N:ig:=i:fi:

> od:

> print(a,ifactor(a),im);

> print(b,ifactor(b),ig);

> end:

Aquest programa ens permet calcular els nombres que tenen el màxim i el mínim de descomposicions a l'interval [k1,k2].


23 de 66 29/04/2011 09:02

Recordem que l'instrucció ifactor necessita carregar abans la llibreria de teoria de nombres:

> with(numtheory):


Primer l'hem aplicat als intervals [4,1000], [9000,10000] i [19000,20000] donant els següents resultats:

> goldm(4,1000);

> goldm(9000,10000);

> goldm(19000,20000);

En el primer exemple la primera línia ens diu que el nombre 990 té 52 descomposicions i és el nombre que té mésdescomposicions en aquest interval, mentre que la segona línia diu que el nombre 12 només té una descomposició. El nombre990 és el més petit dels nombres que tinguin 52 descomposicions, mentre que el nombre 12 és el més gran dels nombres quetenen descomposició única. Evidentment, la columna central dóna la descomposició factorial del nombre de l'esquerra. Lainterpretació dels altres dos exemples seria la mateixa i per tant la deixem al lector.

S'ha fet l'estudi amb intervals de 1000 nombres fins el 100000. A fi de no allargar el treball innecessàriament no donarem totsels resultats. A continuació i com exemple donem els que van de 40002 a 50000, i els que van de 90002 a 100000.

> for k from 0 to 9 do:goldm(k*1000+40002,(k+1)*1000+40000);print(`--------`);od;


24 de 66 29/04/2011 09:02

> for k from 0 to 9 do:goldm(k*1000+90002,(k+1)*1000+90000);print(`--------`);od;


25 de 66 29/04/2011 09:02

Si observem els resultats dels punts mínims de cadascun dels intervals veurem que molt majoritàriament aquests punts tenenuna abscissa que és una potència de dos per un nombre primer o bé solament una potència de dos.

Per tant, la primera hipòtesi del treball serà:La zona densa més inferior del cometa de Goldbach la formen els nombres que són una potència de dos per un nombre primero bé solament una potència de dos.

2.2.- La zona més inferior del cometa.-

Tenint en compte, que actualment no existeix cap fórmula que donat un nombre natural n ens permeti calcular el n -èssimnombre primer, és impossible fer el que s'entén a matemàtiques per una demostració formal. Aleshores, hem de tornar a fer ús


26 de 66 29/04/2011 09:02

de la informàtica per donar-li suport. Ara bé, com seria inacabable que calculéssim el nombre de descomposicions de desenesde milers de nombres i estudiéssim els resultats, donarem suport a la nostra hipòtesi fent un programa que dibuixi el cometa deGoldbach de tal manera que pinti de vermell els nombres que són una potència de dos per un nombre primer o bé solament unapotència de dos i la resta de nombres els pinti de verd. S'ha de dir que aquest tipus de suports a base de dibuixar amb diferentscolors les gràfiques i interpretar-les eren impensables uns pocs anys enrere.

No donem aquest programa, ja que després es va millorar i generalitzar, programa que donarem al següent apartat. L'únic queesmentarem és que els primers dos paràmetres d'entrada són respectivament l'extrem inferior i l'extrem superior de l'interval onvolem que dibuixi la gràfica, mentre que el tercer paràmetre és el nombre tal que els punts dibuixats de vermell tenen perabscissa els nombres que són el doble d'una potència d'aquest nombre per un nombre primer.

El dibuix que vàrem obtenir va ser el següent:

> gp4b(4,50000,2);

Els nombres que apareixen a la primera fila ens donen el número de punts vermells i el número de punts verds respectivamentque hi ha a la gràfica. La suma dels dos nombres ha de donar 50000/2 - 1, és a dir, 24999.

A partir de la gràfica podem establir la següent conjectura:

Conjectura 3.- Els nombres que són una potència de 2 (més gran o igual que 4) o són una potència de 2 (d'exponent mésgran o igual que 1)

per un nombre primer formen molt majoritàriament la zona més inferior del cometa de Goldbach.

Com a conseqüència d'aquesta troballa la pregunta següent va ser:Què passarà amb els nombres que són el doble d'un nombre primer per una potència d'un nombre fixat? En el següent apartatveurem que els resultats obtinguts per respondre-la són força interessants.

2.3.- Nombres que són el doble d'un nombre primer per una potència d'un nombre primer fixat.-


27 de 66 29/04/2011 09:02

Ara estudiarem com es comporten els nombres que són de la forma on b (nombre primer fixat) i n són nombres

naturals més grans o iguals que 3 i 1 respectivament i p és un nombre primer.

Utilitzarem el mateix mètode que a l'apartat anterior, per poder-lo aplicar es va fer el següent programa:

> gp4b:=proc(k1,k2,b)

> local i2,n,i,N1,N,p2,p3,N5,B,C,n2,k,m:

> B:={}:

> C:={}:

> m:=0:

> if b<>2 then

> n2:=floor(ln(1/4*k2)/ln(b))+1:

> else

> n2:=floor(ln(1/2*k2)/ln(b))+1:

> fi:


> N1:=N:

> n:=prevprime(N1):

> i:=0:


> i2:=N1-n:


> i:=i+1:

> fi:


> od:

> if b<>2 then N5:=N:else N5:=2*N:fi:

> if (N mod b = 0 and (isprime(N5/(2*b))=true or N5/(2*b)=1)) then m:=1:fi:

> if m<>1 then

> for k from 2 to n2 do:

> if (N mod b^k = 0 and isprime(N5/(2*b^k))=true) then m:=1:fi:

> if m=1 then k:=n2+1:fi:

> od:

> fi:

> if m=1 then C:=C union {[N,i]}:m:=0:else B:=B union {[N,i]}:fi:

> od:

> print(nops(C),nops(B));with(plots):


28 de 66 29/04/2011 09:02

> p2:=pointplot(C,color=red):

> p3:=pointplot(B,color=green):


> display(p2,p3);

> end:

A continuació donarem les gràfiques que vàrem obtenir pels valors de b igual a 3, 5 , 7 i 11. És a dir, els quatre primersnombres primers senars.

> gp4b(4,50000,3);

> gp4b(4,50000,5);


29 de 66 29/04/2011 09:02

> gp4b(4,50000,7);

> gp4b(4,50000,11);


30 de 66 29/04/2011 09:02

Observant aquestes quatre gràfiques deduïm que els nombres que són el doble d'un nombre primer per una potència d'un

nombre primer fixat donen lloc a una gràfica molt semblant a la corba on a1 < a2 i k són nombres naturals. Si

observem millor veurem que hi ha un molt reduït nombre de punts (tres o quatre en cada cas) que s'aparten sensiblementd'aquesta corba. Aquests punts seran estudiats a l'apartat 2.5 i explicarem el motiu de la seva separació.

Una de les coses més importants de l'observació és que mentre que a les tres últimes gràfiques els punts vermells estan a la partbaixa del cometa, la gràfica de les potències de tres està situada a la part més baixa de la zona superior del cometa, és a dir,dóna el límit inferior de la zona superior.Per tant podem donar:

Conjectura 4.- Els punts d'abscissa el doble d'una potència de tres per un nombre primer formen majoritàriament lazona densa més inferior de la zona superior del cometa.

També hem observat que la gràfica de l'onze està per sota de la del set que a la vegada està per sota de la del cinc. Com quenosaltres hem fet les gràfiques fins el nombre primer 29, no incloses al treball per no ser massa repetitiu, podem conjecturarque:

Conjectura 5.- Si r i s són dos nombres primers més grans que 3, les gràfiques dels nombres de la forma i

on p és un nombre primer

estan a la zona inferior del cometa i a més si r<s la segona estarà per sota de la primera.

La següent pregunta que ens formulem és:

Que passarà amb els nombres que són el doble d'un nombre compost per una potència d'un nombre primer fixat? Aquestapregunta la respondrem al següent apartat.

2.4.- Nombres que són el doble d'un nombre compost per una potència d'un nombre primer fixat.-

Hem començat provant nombres compostos que siguin solament producte de dos primers senars exclòs el tres. Així donem elsdibuixos que han donat el 35 i el 55:

> gp4b(4,50000,35);


31 de 66 29/04/2011 09:02

> gp4b(4,50000,55);

Podem observar que estan a la zona inferior del cometa però a la part alta d'aquesta zona. És més, quan el nombre és més petit(35) la gràfica vermella està per sobre de l'altra gràfica (55).

Que passa si hi ha tres factors primers superiors a tres, per exemple el 5·7·11 = 385?. A continuació donem el corresponetdibuix:

> gp4b(4,50000,385);


32 de 66 29/04/2011 09:02

Vegem que els punts vermells estan per la part alta de la zona inferior.

Ara bé, què passa quan un dels dos factors primers és el tres? Vegem-ho amb els tres exemples següents:

> gp4b(4,50000,15);

> gp4b(4,50000,21);


33 de 66 29/04/2011 09:02

> gp4b(4,50000,33);


34 de 66 29/04/2011 09:02

Podem observar que totes tres gràfiques de punts vermells estan a la zona superior del cometa i igual que abans quant més petités el nombre la gràfica està més amunt. Així, la gràfica del 15 està per sobre de la del 21 que a la vegada està per damunt de ladel 33.

Què passa si el nombre està format per tres factors sent un d'ells el tres? Vegem-ho fent la gràfica del 3·5·7 = 105, gràfica quedonem a continuació:

> gp4b(4,50000,105);


35 de 66 29/04/2011 09:02

Semblant als casos en què no hi ha el factor tres, aquí la franja vermella també està a la part alta però de la zona superior.

Per tant, podem concloure que:

Conjectura 6.- Les gràfiques dels nombres que són el doble d'un nombre compost per una potència d'un nombre fixatestan a la zona superior si el nombre fixat té el factor tres i a la zona inferior si no té aquest factor.

Dins de cada zona les gràfiques estan més amunt quan més factors té el nombre, i si dos nombres tenen el mateixnombre de factors, el més petit té la gràfica per sobre del més gran.

2.5.- Estudi dels punts vermells que estan sensiblement separats de la resta.-

En aquest apartat estudiarem aquells pocs punts vermells que estan fora del gruix de la gràfica principal. Per fer-ho hem fet elsegüent programa, que necessita la llibreria de teoria de nombres:

> with(numtheory):


> gp4m1:=proc(k1,k2,b,ma,mi)

> local i2,n,i,N1,N,p2,p3,N5,Nmax,Nmin,imax,imin,n2,m,k:

> Nmax:=0:Nmin:=0:imax:=0:imin:=mi:m:=0:

> if b<>2 then n2:=floor(ln(1/4*k2)/ln(b))+1:else n2:=floor(ln(1/2*k2)/ln(b))+1:fi:


> N1:=N:

> n:=prevprime(N1):

> i:=0:


> i2:=N1-n:


> i:=i+1:

> fi:


> od:

> if b<>2 then N5:=N:else N5:=2*N:fi:

> if (N mod b = 0 and (isprime(N5/(2*b))=true or N5/(2*b)=1)) then m:=1:fi:


36 de 66 29/04/2011 09:02

> if m<>1 then

> for k from 2 to n2 do:

> if (N mod b^k = 0 and isprime(N5/(2*b^k))=true) then m:=1:fi:

> if m=1 then k:=n2+1:fi:

> od:

> fi:

> if m=1 and i>=ma and i>imax then Nmax:=N:imax:=i:fi:

> if m=1 and i<=mi and i<=imin then Nmin:=N:imin:=i:fi:

> if m=1 then m:=0:fi:

> od:

> print(Nmax,ifactor(Nmax),imax);

> print(Nmin,ifactor(Nmin),imin);

> end:

Aquest programa calcula els dos punts vermells que tenen el màxim i el mínim de descomposicions en un interval fixat.

Ara bé, per cercar cadascun dels punts aïllats hem de definir l'interval inicial on volem fer el càlcul a partir de l'observació dela gràfica corresponent. Aleshores, per la gràfica corresponent a les potències de dos per un nombre primer hem definit elssegüents intervals i el programa ha trobat els següents punts:

> gp4m1(1000,2000,2,0,500);

> gp4m1(2000,4000,2,20,100);

> gp4m1(6000,7000,2,50,200);

> gp4m1(12000,13000,2,50,200);

> gp4m1(20000,21000,2,100,300);


37 de 66 29/04/2011 09:02

> gp4m1(24000,26000,2,100,300);

> gp4m1(28000,30000,2,100,300);

> gp4m1(40500,41000,2,100,300);

> gp4m1(48000,50000,2,500,500);

Si observem els mínims només fan que confirmar la primera conjectura, és a dir, els mínims són o bé potències de dos o bépotències de dos per un nombre primer.

L'observació dels màxims ens diu que els nombres que generen punts que estan a la zona superior del cometa tenen el factortres, mentre que els altres no tenen aquest factor. Cada estudi porta a que tenir o no tenir aquest factor és molt important.

A continuació donarem els màxims i mínims corresponents al doble de les potències de tres per un nombre primer. Per fer-ho,hem definit els següents intervals i el programa ha trobat els següents punts:

> gp4m1(6000,8000,3,0,1000);

> gp4m1(10000,11000,3,0,1000);print(`------`);gp4m1(15200,16400,3,0,1000);print(`------`);gp4m1(21000,23000,3,0,1000);


38 de 66 29/04/2011 09:02

> gp4m1(30000,31000,3,0,1200);print(`------`);gp4m1(43000,44000,3,0,1200);print(`------`);gp4m1(47000,49000,3,0,1000);

Els punts en aquest cas estan sempre a la zona superior del cometa. Ara bé, si és una potència de tres amb un exponent de 6 o7 o més estan situats a la banda alta, mentre que si és tres o tres al quadrat per un nombre primer es troben al límit inferior dela zona superior.

Hem fet el mateix pel 5, 7 ,11, 13, 17, 19 i també per alguns dels nombres compostos que hem donat la gràfica. Tenint encompte que la interpretació dels resultats és fàcilment extrapolable només hem donat els del doble d'una potència de 5 per unnombre primer. A continuació els tenim:

> gp4m1(4,1000,5,0,1200);print(`------`);gp4m1(3500,4000,5,0,1200);print(`------`);gp4m1(18000,20000,5,0,1000);print(`------`);gp4m1(43000,45000,5,0,1000);

L'estudi tant d'aquests últims resultats com de les gràfiques donades als apartats 4 i 5 d'aquest capítol fan pensar quel'existència del factor tres situa el punt a la zona superior. Ara bé, la pregunta és: Si un nombre és múltiple de tres el punt quegenera està a la zona superior, mentre que si no és múltiple de tres està a la zona inferior? En el proper apartat donarem laresposta.

2.6.- La gran troballa: ser o no ser múltiple de tres.-


39 de 66 29/04/2011 09:02

Fins ara hem arribat a moltes conclusions treballant amb nombres que són el doble d'una potència d'un nombre per un nombreprimer, però creiem que és el moment d'un canvi d'enfoc i mirar que passa quan representem en vermell els punts d'abscissamúltiples d'un nombre i en verd els punts d'abscissa que no són múltiples d'aquest mateix nombre.

Per aquest motiu hem fet el següent programa:

> gp3:=proc(k1,k2,b1)

> local i2,n,i,N1,N,p1,p2,p3,B,C:

> B:={}:

> C:={}:


> N1:=N:

> n:=prevprime(N1):

> i:=0:


> i2:=N1-n:


> i:=i+1:

> fi:


> od:

> if N mod b1 <> 0 then

> B:=B union {[N,i]}:

> fi:

> if N mod b1 = 0 then

> C:=C union {[N,i]}:

> fi:

> od:

> with(plots):




> display(p2,p3);

> end:

El funcionament d'aquest programa és molt senzill. Primer calcula el nombre de descomposicions que té cada nombre parell del'interval d'extrems k1 i k2 . Segon, quan ha calculat les descomposicions i d'un nombre N afegeix al conjunt C el punt ( N , i )si N és un mútiple de b1 , mentre que aquest punt l'afegeix al conjunt B si N no és múltiple de b1 . Finalment, representa envermell els punts del conjunt C i en verd els punts del conjunt B .

Evidentment, hem començat aplicant aquest programa quan b1 és el nombre 3.

> gp3(4,50000,3);


40 de 66 29/04/2011 09:02

Observant la gràfica veiem que la zona superior la generen els nombres que són múltiples de tres, mentre que la zona inferior lageneren els nombres que no són múltiples de tres.

Ara bé, si ho mirem amb detall ens trobem amb dos punts verds que semblen inflitrats a la zona vermella. L'abscissa d'aquestspunts pertany als intervals [12000,14000] i [19000,21000].

En primer lloc s'ha fet un programa que localitzi exactament aquests punts. El programa calcula els nombres múltiples de tresque tenen el màxim i el mínim de descomposicions a l'interval donat [ k1 , k2 ], i també els nombres que no són múltiples detres que tenen el màxim i el mínim de descomposicions a l'interval donat.

El programa el donem a continuació:

> with(numtheory):


> gz4m1:=proc(k1,k2,b)

> local i2,n,i,N1,N,Nmax1,Nmin1,imax1,imin1,Nmax2,Nmin2,imax2,imin2:

> Nmax1:=0:Nmin1:=0:imax1:=0:imin1:=10^6:

> Nmax2:=0:Nmin2:=0:imax2:=0:imin2:=10^6:


> N1:=N:

> n:=prevprime(N1):


41 de 66 29/04/2011 09:02

> i:=0:


> i2:=N1-n:


> i:=i+1:

> fi:


> od:

> if N mod b <> 0 and i>imax1 then Nmax1:=N:imax1:=i:fi:

> if N mod b <> 0 and i<=imin1 then Nmin1:=N:imin1:=i:fi:

> if N mod b = 0 and i>imax2 then Nmax2:=N:imax2:=i:fi:

> if N mod b = 0 and i<=imin2 then Nmin2:=N:imin2:=i:fi:

> od:

> print(`Respecte els nombres que són múltiples de `,b);

> print(Nmax2,ifactor(Nmax2),imax2);

> print(Nmin2,ifactor(Nmin2),imin2);

> print(`Respecte els nombres que no són múltiples de `,b);

> print(Nmax1,ifactor(Nmax1),imax1);

> print(Nmin1,ifactor(Nmin1),imin1);

> end:

Primer calcularem aquests punts, així:

> gz4m1(12000,14000,3);

> gz4m1(19000,21000,3);


42 de 66 29/04/2011 09:02

A primera vista els punts que s'inflitren tenen per abscissa 13090 i 20020. Per precisar més farem una ampliació de la gràfica acadascun d'aquests intervals, els resultats són:

> gp3(12000,14000,3);

> gp3(19000,21000,3);

Com si fos un procés iteratiu, reduïm els intervals suficientment i obtenim:

> gz4m1(13080,13100,3);


43 de 66 29/04/2011 09:02

> gz4m1(20000,20040,3);

Per tant, veiem que en un interval suficientment petit tots els punts vermells estan per damunt dels punts verds. Això, enspermet donar la següent conjectura:

En un interval suficientment petit tots els punts vermells estan per damunt dels punts verds. Aleshores, podem dibuixar unalínea seguint el límit inferior dels punts vermells que estarà sempre per damunt de la línea que dibuixem seguint el límitsuperior dels punts verds. És a dir, podem enunciar:

Conjectura 7.- La zona superior del cometa està formada exclusivament per múltiples de tres, mentre que la zonainferior la generen els nombres que no són múltiples de tres.

2.7.- Ser o no ser múltiple d'un nombre primer senar diferent de tres.-

Començarem per estudiar quines zones ocupen els múltiples de cinc. Utilitzarem el primer programa de l'apartat anterior i ensdóna el següent dibuix:

> gp3(4,50000,5);

Podem observar que els múltiples de cinc ocupen dues zones ben definides. La part superior de la zona superior i per tanttambé seran múltiples de tres i la part superior de la zona inferior i per tant aquests no seran múltiples de tres. Si fem el mateixamb el 7, obtenim:

> gp3(4,50000,7);


44 de 66 29/04/2011 09:02

Aquí, els múltiples de 7 ocupen quatre franges i amb tot el que hem dit no s'ha de perdre molt de temps per interpretar-les.

De dalt a baix tenim: la primera està formada pels punts generats per nombres que són múltiples de 3, 5 i 7, la segona pels quesón múltiples de 3 i 7 però no de 5, la tercera són múltiples de 5 i de 7 però no de 3 i la quarta són múltiples de 7 però no de 3ni de 5.

Si fem la gràfica pels nombres múltiples d'11 i després pels múltiples de 13, ja que són els dos nombres primers que venen acontinuació, obtenim respectivament:

> gp3(4,50000,11);

> gp3(4,50000,13);


45 de 66 29/04/2011 09:02

Interpretar la gràfica de l'11 és molt fàcil. Tenim vuit franjes que correponen respectivament a múltiples de 3, 5, 7 i 11,múltiples de 3,5 i 11 però no múltiples de 7, múltiples de 3, 7 i 11 però no múltiples de 5, múltiples de 3 i 11 però ni múltiplesde 5 ni de 7, múltiples de 5, 7 i 11 però no múltiples de 3, múltiples de 5 i 11 però ni de 3 ni de 7, múltiples de 7 i 11 però ni de3 ni de 5 i finalment múltiples de 11 però ni de 3 ni de 5 ni de 7.

Interpretar la gràfica del 13 és molt fàcil si extrapolem tot allò que hem vist i interpretat fins ara. Té setze franjes i per tanthauríem de fer totes les combinacions possibles entre ser múltiple i no ser-ho de 3, 5 ,7 i 11 de la mateixa manera que s'ha fetpel cas de l'11.

Podem deduir que si ho apliquéssim al n -èssim nombre primer el número de franges vermelles que obtindríem seria

.

2.8.- Ser o no ser múltiple d'un nombre compost.-

És molt fàcil saber que passarà quan es tracta d'un nombre compost. Suposem per exemple el 15, aquest nombre és 3·5 per tantseria la franja superior dels múltiples de 5. Si fos el 21 serien les dues franges superiors dels múltiples de 7. Ara bé, si fos el 35serien les franges superiors de la zona superior i de la zona inferior dels múltiples de 7 i així successivament.

A continuació donem les gràfiques d'aquests tres nombres per comprovar el que acabem d'explicar:

> gp3(4,50000,15);


46 de 66 29/04/2011 09:02

> gp3(4,50000,21);


47 de 66 29/04/2011 09:02

> gp3(4,50000,35);


48 de 66 29/04/2011 09:02

També s'ha trobat que si es representen els múltiples de productes de nombres primers consecutius a partir del 3 la franjavermella es va reduint a la part més superior del cometa.

A continuació donem les gràfiques pels nombres 3·5·7 = 105 i 3·5·7·11 = 1155.

> gp3(4,50000,105);

> gp3(4,50000,1155);


49 de 66 29/04/2011 09:02

En aquesta última gràfica i al voltant del 46000 apareix un punt que hem determinat, obtenint:

> gz4m1(46000,47000,1155);

Vegem que aquest punt és el 46410 que té 1205 descomposicions i que és el producte dels nombres primers senars 3, 5, 7, 13 i17. És a dir no hi ha l'11 però té un factor més. No hem esmentat el 2 ja que hem de recordar que tots els nombres són parells iper tant tots són múltiples de 2.

2.9.- Dues gràfiques molt il·lustratives.-

Per acabar aquest capítol i com a resum de moltes de les conclusions que hem anat donant, el següent programa ensrepresentarà dues gràfiques que són molt il·lustratives:

> gp4:=proc(k1,k2,b1,b2,b3)

> local i2,n,i,N1,N,p2,p3,B,C,B1,B2,B3,C1,C2,C3,p21,p22,p23,p31,p32,p33:

> B:={}:C:={}:B1:={}:C1:={}:B2:={}:C2:={}:B3:={}:C3:={}:


> N1:=N:

> n:=prevprime(N1):

> i:=0:


> i2:=N1-n:


> i:=i+1:


50 de 66 29/04/2011 09:02

> fi:


> od:

> if N mod b1 <> 0 and N mod b2 <> 0 and N mod b3 <> 0 then

> B:=B union {[N,i]}:

> fi:

> if N mod b1 = 0 and N mod b2 <> 0 and N mod b3 <> 0 then

> B1:=B1 union {[N,i]}:

> fi:

> if N mod b1 <> 0 and N mod b2 = 0 and N mod b3 <> 0 then

> B2:=B2 union {[N,i]}:

> fi:

> if N mod b1 <> 0 and N mod b2 <> 0 and N mod b3 = 0 then

> B3:=B3 union {[N,i]}:

> fi:

> if N mod b1 = 0 and N mod b2 = 0 and N mod b3 <> 0 then

> C1:=C1 union {[N,i]}:

> fi:

> if N mod b1 = 0 and N mod b2 <> 0 and N mod b3 = 0 then

> C2:=C2 union {[N,i]}:

> fi:

> if N mod b1 <> 0 and N mod b2 = 0 and N mod b3 = 0 then

> C3:=C3 union {[N,i]}:

> fi:

> if N mod b1 = 0 and N mod b2 = 0 and N mod b3 = 0 then

> C:=C union {[N,i]}:

> fi:

> od:

> print(nops(B),nops(B1),nops(B2),nops(B3));

> print(nops(C1),nops(C2),nops(C3),nops(C));

> with(plots):


> p21:=pointplot(C1,color=blue);

> p22:=pointplot(C2,color=gold);

> p23:=pointplot(C3,color=orange);


51 de 66 29/04/2011 09:02

> p31:=pointplot(B1,color=black);

> p32:=pointplot(B2,color=navy);

> p33:=pointplot(B3,color=coral);



> display(p2,p21,p22,p23,p31,p32,p33,p3);

> end:

> gp4(4,100000,3,5,7);


52 de 66 29/04/2011 09:02

> gp4(4,100000,5,7,11);


53 de 66 29/04/2011 09:02

A la primera de les dues gràfiques podem distingir vuit franjes de diferents colors, quatre a la zona superior del cometa i altresquatre a la zona inferior. Si anem de dalt a baix a la zona superior tenim: la primera franja la generen els nombres (n'hi ha 476)que són múltiples de 3, 5 i 7, la de sota està generada pels múltiples (són 2857) de 3 i de 5 però no de 7. La tercera la generenels nombres (1904) que són múltiples de 3 i de 7 però no de 5, mentre que l'última de la zona superior la formen els punts(11429) tals que la seva abscissa és un nombre múltiple de 3 però ni és múltiple de 5 ni de 7. Respecte les franjes de la zonainferior i anant de dalt a baix tenim: totes elles estan generades per nombres que no són múltiples de 3, la de més amunt elsnombres (952) són múltiples de 5 i de 7, la següent múltiples (5715) de 5 però no de 7, la tercera múltiples (3810) de 7 però node 5, finalment l'última els nombres (22856) que la generen no són ni múltiples de 5 ni de 7.

Deixem la interpretació de la segona gràfica al lector donant-li aquestes quatre pistes:

La zona superior està generada per nombres múltiples de 3, mentre que la inferior no són múltiples de 3.

Tant la zona superior com la zona inferior tenen vuit franjes cadascuna i s'ha jugat amb els primers 5, 7 i 11.


54 de 66 29/04/2011 09:02

La zona més superior està generada pels nombres que són múltiples de 3, 5, 7 i 11.

La zona més inferior està generada pels nombres que no són múltiples de cap d'aquests quatre nombres.

FI DEL CAPÍTOL SEGON

>

>

>

>

>

CAPÍTOL TERCER

SUMES DE NOMBRES PRIMERS CONSECUTIUS

3.1.- Sumes de nombres primers consecutius.-

Començarem explicant que entenem per sumes de nombres primers consecutius.

Dins dels nombres naturals hi ha el subconjunt de nombres primers. Si els ordenem mitjançant l'ordre natural tenim que el 2serà el primer element, el 3 el segon, el 5 el tercer i així successivament. Ordenats d'aquesta manera direm que dos nombresprimers són consecutius si no hi ha cap nombre primer entre ells.

En el Maple hi ha una instrucció que ens permet calcular directament el n-èssim nombre primer, aquesta intrucció és ithprime.

Si nosaltres volem saber quins són el nombres primers que ocupen els llocs que van del vuitantè al vuitanta-quatrè ambaquestes tres intruccions el Maple ens ho dirà:

> for j from 80 to 84 do;ithprime(j);od;

Per una banda direm que aquests cinc nombres són cinc nombres primers consecutius, per altra si volem saber la seva sumanomés s'ha d'afegir alguna instrucció a les anteriors. Així:

> s:=0:for j from 80 to 84 do;s:=ithprime(j)+s:od:print(s);

Per tant direm que 2113 és suma de cinc nombres primers consecutius ja que 2113 = 409 + 419 + 421 + 431 + 433.

Si estudiem que passa amb nombres naturals petits per exemple el 10, és molt fàcil deduir que 10 = 2 + 3 + 5, és a dir, és unnombre que és suma de nombres primers consecutius. Mentre que si prenem l'11 no podem trobar nombres primersconsecutius tal que la seva suma sigui aquest

nombre. Si ara ho provem per al 12 tenim que 12 = 5 + 7 i per tant, és suma de nombres primers consecutius.

Ara bé, si volguèssim saber si un nombre més gran que cent es pot expressar com suma de nombres primers consecutius seriauna feina que comportaria força temps i seria pràcticamnet impossible si el nombre és més gran que 10000.

En el següent apartat estudiarem com saber si un nombre natural qualsevol es pot expressar o no com suma de nombresprimers consecutius i en cas afirmatiu saber quins nombres primers consecutius sumats donen aquest nombre natural.

3.2.- Nombres naturals que són suma de nombres primers consecutius.-


55 de 66 29/04/2011 09:02

Degut per una banda, a que la successió de nombres primers no és ni una progressió aritmètica, ni geomètrica, ni una successiórecurrent i per altra, a que donat un nombre primer no sabem quina quantitat hem de sumar a aquest per obtenir el següentnombre primer, l'única manera d'enfocar el problema és, altra vegada, fent ús de la informàtica.

Aleshores, hem fet un programa que digui si un nombre natural es pot expressar com suma de nombres primers consecutius ien cas afirmatiu doni els nombres primers que són els sumands d'aquesta suma. A continuació donem aquest programa:

> sumprim:=proc(N)

> local x1,a,s,n,j,i,n1,b:

> x1:=floor(N/2)+1:

> n1:=2:b:=0:

> while n1<x1 do:

> n:=n1:

> s:=0:j:=0:i:=0:a:=0:

> while s<N+1 do:

> s:=n+s:j:=j+1:

> if s=N then

> n:=nextprime(n):

> for i from 1 to j do:

> n:=prevprime(n):

> print(n);a:=1:b:=1:

> od:

> fi:

> n:=nextprime(n):od:

> n1:=nextprime(n1):

> if a=1 then print(`-----------------`);fi:

> od:

> if b=0 then print(`No hi ha descomposició`);fi:

> end:

Aixi per exemple:

> sumprim(67);

> sumprim(47);


56 de 66 29/04/2011 09:02

> sumprim(311);


57 de 66 29/04/2011 09:02

> for zz from 20001 to 20005 do:print(`Nombre `,zz);sumprim(zz);print(`----------------`);od;

No donem els resultats ja que seria allargar innessariament aquest treball.

Ara bé, el que interessa és saber quins nombres es poden expressar com suma de nombres primers consecutius i de quantesmaneres diferents. Per aquest motiu s'ha fet el següent programa que dóna els nombres i el número d'expressions de cada und'ells com a suma de nombres primers consecutius a l'interval [ N 1, N 2], N 1 i N 2 són dos nombres naturals qualsevols ambl'única condició que N 1 < N 2:

> spsi:=proc(N1,N2)

> local x1,N,s,n,j,i,n1,k,x,a,z:

> j:=1:

> for N from N1 to N2 do:

> k:=0:a:=0:

> x1:=floor(N/2)+1:

> n1:=1:

> while n1<x1 do:

> n:=n1:

> s:=0:i:=0:

> while s<N+1 do:

> n:=nextprime(n):

> s:=n+s:

> if s=N then

> k:=1:a:=a+1:

> fi:

> od:


> od:

> if k = 1 and N<>2 then

> x[j]:=N:z[j]:=a:j:=j+1:a:=0:

> fi:

> if j = 6 then

> print(x[1],z[1],` `,x[2],z[2],` `,x[3],z[3],` `,x[4],z[4],` `,x[5],z[5]);

> j:=1:

> fi:

> od:

> if j=5 then


58 de 66 29/04/2011 09:02

> print(x[1],z[1],` `,x[2],z[2],` `,x[3],z[3],` `,x[4],z[4]);

> fi:

> if j=4 then

> print(x[1],z[1],` `,x[2],z[2],` `,x[3],z[3]);

> fi:

> if j=3 then

> print(x[1],z[1],` `,x[2],z[2]);

> fi:

> if j=2 then

> print(x[1],z[1]);

> fi:

> end:

Començarem aplicant-lo a l'interval de l'1 al 200:

> spsi(1,200);

A cada columna el primer nombre és el nombre natural respecte el qual es cerca de quantes maneres diferents, sense tenir encompte l'ordre dels sumands, es pot expressar com a suma de nombres primers consecutius. El que està a la seva dreta és elnúmero d'expressions diferents que té aquet nombre. Així, el nombre 5 només es pot expressar d'una manera com a suma denombres primers consecutius, mentre que el nombre 72 és pot expressar de dues maneres diferents.


59 de 66 29/04/2011 09:02

Els nombres que no estan escrits en aquesta taula és que no es poden expressar com suma de nombres primers consecutius.

L'observació d'aquests resultats ja ens permet treure algunes conclusions. Així, per una banda hi ha nombres primers quepoden ser expressats com suma de nombres primers consecutius, per exemple el 17, i nombres primers que no poden serexpressats com suma de nombres primers consecutius, per exemple el 19. Per altra banda el poder-se expressar com suma denombres primers consecutius és independent de la paritat del nombre, per exemple 198 sí, 196 no i, 197 sí, mentre que 193 no.És més, és independent del fet que el nombre sigui múltiple o no d'un altre nombre fixat, ja que podem veure múltiples de 3, 5o 7 a la taula i altres nombres múltiples d'un d'aquests nombres que no hi són.

3.3.- És infinita la successió de nombres naturals que no són suma de nombres primers consecutius?.-

Vist els resultats anteriors, ara ens plantajem primer si donat un nombre natural qualsevol sempre podem trobar nombresnaturals que admeten ser expressats com suma de nombres primers consecutius, i nombres naturals que no poden serexpressats d'aquesta manera. Segon, de quina manera creix el número d'expressions per un mateix nombre natural a mesuraque anem augmentant el valor d'aquest nombre.

Per intentar esbrinar les contestacions a aquestes preguntes hem fet diferents escàners a diferents intervals de nombres naturalsd'extrems cada vegada més grans. Aquí i per motius obvis donarem només alguns dels resultats obtinguts.

> spsi(10^5,10^5+100);

> spsi(10^6,10^6+50);

> spsi(10^7,10^7+10);

A la vista d'aquests resultats i de molts altres que per motius ja explicats no s'han inclós podem donar les tres conjecturessegüents:

Conjectura 9.- La successió de nombres naturals que no es poden expressar com a suma de nombres primersconsecutius és infinita.

Conjectura 10.- La successió de nombres naturals que es poden expressar d'una única manera com a suma de nombresprimers consecutius és infinita.


60 de 66 29/04/2011 09:02

Conjectura 11.- La successió de nombres naturals que es poden expressar de dues maneres com a suma de nombresprimers consecutius és infinita.

Per aprofundir més l'estudi hem definit la següent funció g : A cada nombre natural n li assigna el número de maneres diferentsen que aquest nombre n es pot expressar com a suma de nombres primers consecutius. Així, g (100089) = 1, g (197) = 2, o bég (10000000) = 0.

En el proper apartat la representació gràfica d'aquesta funció ens permetrà treure més conclusions.

3.4.- Estudi de la funció g ( n ) i de la seva gràfica.-

Primer donem el programa sumprgr que llista els nombres que es poden expressar més de r vegades com a suma de nombresprimers i dóna en un sola línia la quantitat de nombres que no es poden expressar com suma de nombres primers consecutius,la quantitat de nombres que es poden expressar d'una única forma, de dues, de tres de quatre, de cinc i de més de cinc.Finalment representa la funció g ( n ) a l'interval [ N 1, N 2] excloent els punts que g ( n ) = 0, ja que estan sobre l'eix OX i esconfondrien amb aquest eix.

Les entrades d'aquest programa són els extrems inferior i superior de l'interval on volem fer l'estudi i representació, mentre quela tercera entrada serveix a fi que llisti només els nombres que es poden expressar de més maneres que el valor d'aquestaentrada.

> sumprgr:=proc(N1,N2,r)

> local x1,N,s,n,j,i,n1,A,a,a1,a2,a3,a4,a0,a5,a6:

> A:={}:a0:=0:a1:=0:a2:=0:a3:=0:a4:=0:a5:=0:a6:=0:

> for N from N1 to N2 do:

> x1:=floor(N/2)+1:

> n1:=1:a:=0:

> while n1<x1 do:

> n:=n1:

> s:=0:j:=0:i:=0:

> while s<N+1 do:

> s:=nextprime(n)+s:j:=j+1:

> n:=nextprime(n);

> if s=N then

> a:=a+1:

> fi:

> od:


> od:

> if a=0 or N=2 then a0:=a0+1:fi:

> if a=1 and N<>2 then a1:=a1+1:fi:

> if a=2 then a2:=a2+1:fi:





61 de 66 29/04/2011 09:02

> if a>5 then a6:=a6+1:fi:

> if a>r then print(N,a);fi:

> if a<>0 and N<>2 then A:=A union {[N,a]}:fi:

> od:

> print(a0,a1,a2,a3,a4,a5,a6);

> with(plots):


> pointplot(A);

> end:

Aquí en el treball només hem posat els intervals més significatius, tots ells tenen per extrem inferior l'1 i per extrem superior100, 1000, 10000, 50000 respectivament. L'entrada r l'hem anat modificant a fi que no escrivís llistes excessives iinnecessàries de nombres.

> sumprgr(1,100,3);

La primera línia ens diu que a l'interval [1,100], hi ha 60 nombres que no es poden expressar com a suma de nombres primersconsecutius, 33 que es poden expressar d'una única manera i 7 de dues maneres, mentre que no hi ha cap nombre que es puguiexpressar de 3 o més formes.

Per tant, podem dir que el 60% de nombres no té cap expressió, el 33% una i el 7% dues.

> sumprgr(1,1000,3);


62 de 66 29/04/2011 09:02

A l'inteval [1,1000] ha trobat dos nombres amb més de 3 expressions com a suma de nombres primers consecutius cadascunque són el 311 i el 863 ambdós amb quatre expressions. L'expressió de la tercera línia és igual a la donada a l'interval anterior iper tant podem dir que el 60,6 % de nombres no té cap expressió, el 28,7% una, el 9,4% dues, el 1,1% tres i el 0,2% quatre.

> sumprgr(1,10000,4);

A l'inteval [1,10000] ha trobat 18 nombres amb més de 3 expressions com a suma de nombres primers consecutius cadascun,ara bé, tots admeten només 4 formes diferents, encara no n'ha aparegut cap de 5 o més. No els hi hem fet escriure aquests 18nombres i per aixó hem posat r = 4. L'expressió de la tercera línia és igual a la donada al primer interval i per tant podem dirque el 58,4% de nombres no té cap expressió, el 30,63% una, el 9,34% dues, el 1,45% tres i el 0,18% quatre.

Si es volgués trobar algun d'aquests 18 nombres, per exemple els que estan el voltant de 6000, l'únic que hauriem de fer ésrepresentar la gràfica en un interval adient i posar r = 3. Així:

> sumprgr(5600,6800,3);


63 de 66 29/04/2011 09:02

D'aquesta manera sabem que els tres nombres són el 5770, el 5999 i el 6504.

> sumprgr(1,50000,4);

A l'interval [1,50000] ha trobat els 8 primers nombres amb 5 expressions com a suma de nombres primers consecutiuscadascun. Veient els resultats podem dir que el 57,2% dels nombres no té cap expressió, el 32% té una, el 8,94% dues, l'1,62%tres, el 0,22% quatre i el 0,016% cinc.

> sumprgr(1,100000,5);


64 de 66 29/04/2011 09:02

A l'interval [1,100000] ha trobat 21 nombres amb cinc expressions com suma de nombres primers consecutius cadascun peròencara no ha trobat cap que en tingui més de cinc. El 56,81% dels nombres no té cap expressió, el 32,35% té una, el 9% dues,l'1,6% tres, el 0,21% quatre i el 0,021% cinc.

El primer nombre que apareix que tingui 6 expressions diferents com a suma de nombres primers consecutius és el 130638 i elsegüent és el 295504. L´únic nombre amb 7 expressions diferents com a suma de nombres primers consecutius que hem trobatés el 218918. Aquestes últimes gràfiques en les que hem trobat aquests nombres, però, no les hem posat per tal de no fer eltreball massa llarg innecessàriament com també hem dit en altres casos.

En primer lloc hem de dir que l'escaneig de 200000 a 300000 va trigar més de tres dies, per part de l'ordinador, en fer elscàlculs. El següent escaneig de 300000 a 400000 es va haver d'avortar degut a que no portava traces d'acabar en un tempsraonable.

Degut a la poca capacitat informàtica les conclusions mínimament fiables que es poden treure són poques i les exposem acontinuació:

Podríem dir que al voltant d'un 58% de nombres no es pot expressar com a suma de nombres primers consecutius. Entre un30% i un 33% admet una única expressió, pels voltants del 10% dues i la resta més de dues, sense poder precisar més. Perfer-ho necessitaríem poder arribar fins els 10 milions, la qual cosa avui dia és impossible per la capacitat dels ordinadors.Sembla que els nombres que es puguin expressar en 6, 7 o més maneres diferents són molt escassos almenys en els ordres demagnitud en que s'ha pogut fer l'estudi.

Per tant, aquí queda un futur treball de recerca, seria continuar el que s'ha fet al capítol tercer quan la velocitat de càlcul delsordinadors casolans augmenti sensiblement.

.

FI DEL CAPÍTOL TERCER

>

>

>

>

>

Conclusions:

Si es defineix la funció f:N'N de manera que a cada nombre parell més gran o igual que quatre li fa correspondre el número dedescomposicions que té aquest nombre a partir dels resultats que vam obtenir es pot afirmar que la funció no és creixent nidecreixent i es poden donar les dues conjectures següents:-Conjectura 1.- Donat un nombre natural i, existeix un nombre parell k2 tal que f(n) és més gran que i per a tot n parell mésgran que k2.-Conjectura 2.- Donat un nombre natural i, existeix un nombre parell k1 tal que f(n) és més petit o igual que i per a tot n parellcompost més petit que k1.


65 de 66 29/04/2011 09:02

En el segon capítol vam estudiar el cometa de Goldbach.-Conjectura 3.- Els nombres que són una potència de 2 (més gran o igual que 4) o són una potència de 2 (d'exponent més grano igual que 1) per un nombre primer formen molt majoritàriament la zona més inferior del cometa de Goldbach.-Conjectura 4.- Els punts d'abscissa el doble d'una potència de tres per un nombre primer formen majoritàriament la zonadensa més inferior de la zona superior del cometa.-Conjectura 5.- Si r i s són dos nombres primers més grans que 3, les gràfiques dels nombres de la forma 2rnp i 2snp on p és unnombre primer estan a la zona inferior del cometa i a més si r<s la segona estarà per sota de la primera.-Conjectura 6.- Les gràfiques dels nombres que són el doble d'un nombre compost per una potència d'un nombre fixat estan ala zona superior si el nombre fixat té el factor tres i a la zona inferior si no té aquest factor.Dins de cada zona les gràfiques estan més amunt quan més factors té el nombre, i si dos nombres tenen el mateix nombre defactors, el més petit té la gràfica per sobre del més gran.-Conjectura 7.- La zona superior del cometa està formada exclusivament per múltiples de 3, mentre que la zona inferior lageneren els nombres que no són múltiples de 3.Vam començar per estudiar quines zones ocupaven els múltiples de 5 i vam poder observar que aquests ocupaven dues zonesben definides: la part superior de la zona superior (per tant aquests també són múltiples de 3) i la part superior de la zonainferior (per tant aquests no són múltiples de 3). Vam fer el mateix amb el 7 i vam obtenir que els seus múltiples ocupavenquatre franges.Vam poder deduir que si ho apliquéssim al n-èssim nombre primer el número de franges vermelles que obtindríem seria 2(n-2).Si es tracta d'un nombre compost, per exemple el 15, com aquest nombre és 3·5 seria la franja superior dels múltiples de 5. Sifos el 21 serien les dues franges superiors dels múltiples de 7. Però si fos el 35 serien les franges superiors de la zona superior id ela zona inferior dels múltiples de 7 i així successivament.També vam deduir que si es representen els múltiples de productes de nombres primers consecutius a partir del 3 la franjavermella es va reduint a la part més superior del cometa.

En el tercer capítol vam començar a estudiar les sumes de nombres primers consecutius.Així per una banda hi ha nombres primers que es poden expressar com suma de nombres primers consecutius i nombresprimers que no es poden expressar com a tal. Per altra banda, si es pot expressar com suma de nombres primers consecutius ono, és independent del fet que el nombre sigui múltiple o no d'un altre nombre fixat, ja que hi ha múltiples de 3, 5 i 7 a la taula ialtres nombres múltiples d'un d'aquests nombres que no hi són.-Conjectura 9.- La successió de nombres naturals que no es poden expressar com a suma de nombres primers consecutius ésinfinita.-Conjectura 10.- La successió de nombres naturals que es poden expressar d'una única manera com a suma de nombresprimers consecutius és infinita.-Conjectura 11.- La successió de nombres naturals que es poden expressar de dues maneres com a suma de nombres primersconsecutius és infinita.A l'hora d'estudiar el número d'expressions diferents com a suma de nombres primers consecutius en que es podien expressarels nombres, vam obtenir que el primer nombre que apareixia amb 6 expressions diferents era el 130638 i el següent era el295504. L'únic nombre amb 7 expressions diferents que vam trobar va ser el 218918.En primer lloc fa falta dir que l'escaneig de 200000 a 300000 va trigar més de tres dies. El següent escaneig, que va ser de300000 a 400000, es va haver d'avortar perquè no semblava que hagués d'acabar en un temps raonable.Podem dir que al voltant d'un 58% dels nombres no es pot expressar com a suma de nombres primers consecutius. Entre un 30i un 33% admet una única expressió, un 10% en té dues i la resta en té més de dues, sense poder precisar-ho més. Perprecisar-ho necessitaríem poder arribar fins els 10 milions, però avui dia això és impossible amb la capacitat dels nostresordinadors.Sembla que els nombres que es poden expressar de 6, 7 o més maneres diferents són molt escassos, almenys en els ordres demagnitud en que s'ha pogut fer l'estudi.Aquí queda un futur treball de recerca que consistiria en continuar el que s'ha fet al capítol tercer quan la velocitat de càlculdels nostres ordinadors augmenti sensiblement.

Bibliografia:

Burton, D.M (1997) Elementary Number Theory. McGraw Hill International, New York.Delahaye, Jean Paul (2000) Merveilleux nombres premiers. Éditions Pour la Science.Delahaye, Jean Paul (1999) Premiers jumeaux: frères ennemis? Éditions Pour la Science.Demazure, M. (1997) Cours d'algèbre. Primalité, divisibilité, codes. Cassini, París.Gran enciclopèdia catalana (1997) Enciclopèdia Catalana, S.A., Barcelona.HP 49G, Guía del usuario avanzado (2001) Publicaciones Hewlett Packard, Singapur.Maple V, release 5 (1998) Springer, Waterloo, Canadá.Roanes Macías, E. & Roanes Lozano, E. (1999) Cálculos matemáticos por ordenador con MAPLE V.5, Rubiños-1860 S.A.,Madrid.Travesa, Artur (1998) Aritmètica. Publicaciones de la Universitat Autònoma de Barcelona. Bellaterra.


66 de 66 29/04/2011 09:02

EL COLOR I EL COMETA DE GOLDBACH - · PDF fileproporcionades pel MAPLE no es podria haver ......

Documents

Transcript of EL COLOR I EL COMETA DE GOLDBACH - · PDF fileproporcionades pel MAPLE no es podria haver ......