El concepto de fuerza de Aristóteles -...

Material en revisión (11/05/2010) Prof. Juan Carlos Lavado

El propósito de estas notas es de servir de apoyo a las clases del curso Introductorio de Física de la Facultad de Ingeniería de la UCV y de física I de dicha Universidad. Debido a quelas mismas han sido preparadas en un corto período de tiempo pueden haber fallas de distinto tipo, por favor si notan alguna de ellas háganmela saber. Cordialmente Juan Carlos Lavado

Dinámica.

Hasta el momento hemos estado estudiando la cinemática, es decir la descripción del movimiento de una partícula, no nos hemos preocupado por indicar cuáles son sus causas. Indicaremos ahora un modelo que trata de explicar cuáles son las causas del movimiento, es decir indicar por qué una partícula se mueve como lo hace. Se tratarán de encontrar respuestas a preguntas como ¿por qué los objetos en la cercanía de la Tierra caen con aceleración aproximadamente constante? ¿Por qué oscila un resorte cuando se le libera después de haber sido estirado? ¿Por qué cuando algo resbala sobre una superficie horizontal en un piso de la universidad tiende a detenerse? Todas estas preguntas tienen un denominador común, empiezan por “por qué”, esto no es entonces la mera descripción de un movimiento sino la explicación de sus causas, y a diferencia de la cinemática, la cual responde a la pregunta ¿cómo es que se mueve una partícula? La dinámica trataré de explicar el por qué. i De nuestra experiencia diaria se sabe que el movimiento de un objeto está determinado por sus interacciones con los cuerpos que lo rodean, por ejemplo cuando se golpea un balón con el pié y sale disparado, el movimiento resultante se debe a la interacción del balón con la Tierra; esto es válido para todos los movimientos, podría decirse que la dinámica básicamente es el estudio de la relación que existe entre las fuerzas y los cambios de movimiento de un cuerpo.

Aristóteles y la noción de fuerza

Aristóteles no fue sólo un matemático o un físico, de él podría decirse lo siguiente: “Aristóteles, más que cualquier otro pensador, determinó el rumbo y el contenido de la historia intelectual de Occidente. Fue el autor de un sistema filosófico y científico que prevaleció durante siglos convirtiéndose en soporte intelectual tanto para cristianos o musulmanes medievales hasta finales del siglo XVII, la cultura occidental fue Aristotélica y aún después

de las revoluciones intelectuales ocurridas posteriormente, los conceptos e ideas Aristotélicos permanecieron inmersos en el pensamiento occidental.” ii Adjudicarle a las fuerzas la causa de los movimientos es una idea que proviene del siglo IV antes de nuestra era (nació en el año 384 antes de Cristo y murió en el año 322 antes de Cristo), el gran filósofo griego Aristóteles al estudiar el movimiento, lo clasificó en natural o forzado (algunas veces llamado violento). Según él en la Tierra el movimiento natural era siempre hacia arriba o hacia abajo, como el de la caída de una piedra o el humo que sale de una chimenea hacia las nubes; para él era “natural” que las cosas livianas ascendieran y las pesadas no, por lo que los objetos “buscaban” por decirlo así su estado natural (sus lugares naturales de reposo). Aristóteles llegó a afirmar que en el cielo el estado de movimiento natural era el circular, debido a que la mayoría de los cuerpos celestes observables (a ojo desnudo) indicaban esto; esto traía algunas connotaciones filosóficas como el hecho que una circunferencia no tenga ni

El concepto de fuerza de Aristóteles


principio ni fin, así este era según él un movimiento superior y no estaba provocado por ninguna fuerza. Por otro lado el movimiento forzado era aquel impuesto, aquel que era el resultado de la acción de las fuerzas sobre un objeto, podríamos decir que Aristóteles dio una definición primitiva de fuerza, para él la fuerza era aquellos que se le aplicaba a un objeto para sacarlo de su estado natural de movimiento. Algo importante es que se adjudicaba a la fuerza justamente la propiedad cambiar mediante una acción externa el estado de movimiento de un objeto. Así si un objeto se encuentra en su lugar natural de reposo, no se moverá por sí solo, hay que empujarlo o halarlo. Durante aproximadamente dos milenios se creyó en la proposición de Aristóteles, y se decía que si un objeto se movía contra su naturaleza, debería poder identificarse la causa en la acción de una fuerza externa; por lo que si no había fuerza no habría movimiento. Podríamos decir que para ellos si un objeto estaba en su estado natural entonces no habría ninguna fuerza sobre él y si un objeto no recibe fuerza debe estar en su estado natural de movimiento. Esto condujo a una idea generalizada que la Tierra tenía un estado natural de movimiento y este era el reposo, para moverla se requeriría un fuerza increíblemente grande. Nicolás Copérnico (Nicolaus Copernicus, versión latinizada de Nicolaus Koppernigk)

Nicolás Copérnico, un sacerdote Polaco nacido en 1473 y muerto en 1543. En el siglo XVI las ideas de Aristóteles fueron retadas por varias personas, entre ellas el gran científico Florentino Galileo Galilei.

En 1514 escribió un pequeño libro distribuido entre sus amigos (conocido como “el pequeño comentario”) en el que hacía las siguientes proposiciones:

1) El centro de la Tierra no es el centro del Universo

2) El centro del universo debe estar cercano al Sol

3) La distancia entre la Tierra y el Sol es imperceptible si se le compara con la distancia de las estrellas

4) La rotación terrestre produce el movimiento aparente de las estrellas

5) El ciclo anual aparente del movimiento del Sol se debe a que la Tierra

6) El movimiento aparente retrograda de los planetas es causado por el movimiento terrestre desde el cual estos son observados

Estas ideas eran en extremo peligrosas y controvertidas para la época por lo que decidió elaborarlas mejor, pero en secreto (De revolutionibus orbium coelestium, Nuremberg, 24 de mayo 1543) para evitar ser perseguido, debido a la insistencia de sus amigos en las postrimerías de su vida, él decidió entregar el libro a la imprenta para su publicación. Libro escrito prácticamente en su lecho de muerte. Las ideas de Copérnico retaban abiertamente las Aristotélicas, lo cual hizo que se cuestionara abiertamente el “saber” aristotélico, provocando una verdadera revolución.

Galileo Galilei y las ideas Aristotélicas


Galileo Galilei (filósofo, astrónomo y matemático) nació el 15 de febrero de 1564 en la ciudad de Pisa en la región de la Toscana (Florencia) en la actual Italia, fue el mayor de los hijos de Vincenzo Galilei, músico que realizó importantes aportes a la teoría y práctica de la música (algunos de los cuales tal vez fueron realizados en compañía de su hijo Galileo) entre 1588 y 1589iii los cuales muestran una relación entre la frecuencia del sonido en una cuerda y la tensión aplicada a la misma, explicando así el mecanismo mediante el cual se afinan la mayoría de los instrumentos

musicales de cuerda. Galileo hizo importantes aportes a las ciencias de los movimientos, de los materiales, la astronomía. Su formulación de la inercia, las leyes de caída de los cuerpos, las trayectorias parabólicas, y el método científico marcan el comienzo de un cambio en el estudio del movimiento. Insistía que el libro de la naturaleza estaba escrito en el lenguaje matemático. Dio las pruebas experimentales de algunas de las proposiciones de Copérnico. Al entrar a la universidad de Pisa para estudiar medicina en 1581, descubrió que ese no era su destino y decidió cambiarse pese a la oposición de su padre para estudiar matemática, deseaba convertirse en profesor de Filosofía (al estilo aristotélico) y matemática. Él tuvo que dejar la universidad sin completar sus estudios, y durante años vivió de dar clases particulares de matemática en Florencia y Siena, durante estos años escribió un pequeño libro “La bilancetta” (la balancita) el cual circuló de manera manuscrita, en él mostraba un mecanismo para medir pesos pequeños usando los principios de Arquímedes. Durante los años 90, Galileo finaliza el manuscrito de su libro “De motu” (Sobre el movimiento), el cual muestra el abandono de las ideas Aristotélicas del movimiento, tomando una aproximación arquimediana, pero este ataque a las ideas de Aristóteles no lo hacen popular entre sus colegas; a pesar de eso llaga al cargo de profesor en la universidad de Padua en 1592 y permanece en ella hasta 1610. Con el transcurrir de los años Galileo Adquirió fama debido a sus descubrimientos, llagando a ser considerado en vida el mejor científico de Europa. Enumerar las ideas de Galileo y su aporte a la ciencia puede requerir muchísimo tiempo, ya que él es el creador de lo que podría llamarse, la ciencia moderna, para tener una idea de las obras completas de Galileo, estas están recopiladas en un conjunto de 20 libros que se llaman “Le opere di Galileo Galilei” editado por Antonio Ferraro (1968). Galileo defendió abiertamente las ideas Copernicanas a partir de 1613, año en el que una carta suya a uno de sus alumnos fue enviada a la Inquisición en Roma, con la finalidad de deshacerse de Galileo. Lo cual hizo que se le ordenara no mantener o defender las ideas de Copérnico mediante cualquier medio, ya sea oralmente o por escrito. En 1618, entra en una controversia sobre la naturaleza de los cometas debido a la aparición en de tres de ellos ese año, lo que hizo que publicara un libro con su firma “Il saggiatore” publicado en 1623 en el cual se expone brillantemente lo que es el método científico. Dice allí: “La filosofía está escrita en este gran libro, el universo, el cual permanece continuamente abierto a nuestros ojos. Pero el libro no puede entenderse a no ser que uno aprenda el lenguaje para leer las letras en las que está escrito. Está escrito en el lenguaje de las matemáticas y sus letras son triángulos, círculos y otras figuras geométricas sin las cuales sería humanamente imposible entender la más simple de sus palabras” Aparecen en este libro las definiciones que aún usamos de cantidades básicas y secundarias.


Cuando se publicó el libro Galileo estaba en un buen momento, ya que un amigo suyo había sido electo Papa de Roma, Mateo Barberini, se había convertido en el Papa Urbano VIII, por esa circunstancia se le permitió escribir con el permiso del Papa el libro “Dialogo sopra i due massimi sistemi del mondo, tolemaico e copernicano” (Diálogo acerca de los dos más grandes sistemas del mundo, el Tolemaico y el Copernicano). Este libro fue terminado en 1630 y enviado al sensor de Roma, pero los sensores tanto de Roma como de Florencia tenían un grupo de grandes objeciones las cuales logró salvar al colocar en el prefacio del libro, que estas eran situaciones hipotéticas y el libro fue publicado en 1630.

Debido a su libro Galileo fue acusado en 1632 por la Inquisición y condenado cuando tenía 70 a prisión, casa por cárcel el resto de la vida, en el juicio algunos dicen que pronunció las palabras “Eppur si muove” (y sin embargo se mueve) al obligársele a adjurar. A esa edad se mantenía activo y allí escribió algunos estudios que no había publicado debido a su interés en el telescopio en 1609, el nuevo libro fue publicado en Holanda en 1638 con el título “Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze attenenti alla meccanica (diálogo y

demostraciones matemáticas acerca de dos nuevas ciencias

relacionadas a la mecánica” conocido como Diálogos Acerca de los Nuevas Ciencias, allí muestra sus estudios sobre el movimiento, incluyendo las leyes de los cuerpos que caen,

proyectiles, lanzamientos parabólicos como el resultado de combinar dos movimientos, el de velocidad constante y el de aceleración constante, al momento de escribir este libro Galileo estaba ciego (perdió la visión el 2 de enero de 1638) y pasaba su tiempo trabajando con un estudiante, Vincenzo Viviani el cual estuvo con él hasta el 8 de enero de 1642, fecha de la muerte de Galileo.

Galileo y las leyes del movimiento

Como se ha indicado Galileo realizó un experimento para comprobar sus ideas acerca de las causas movimiento, este experimento (el experimento de los planos inclinados) lo condujo a establecer una forma primitiva de la primera Ley de Newton, al observar que en un plano inclinado un objeto que descendía adquiría cuanto mayor rapidez mientras era mayor la altura que descendía, el intuyó que si el plano era liso al subir el objeto con la misma rapidez inicial que tenía al momento de descender completamente por el plano, la máxima altura era la misma desde la que previamente se le había soltado, lo que le permitió a él construir la hipótesis de que si se dejaba caer un objeto por un plano inclinado liso y luego se le permitía seguir por un plano horizontal lizo, nunca se detendría (ver experimento en la guía, “El experimento de Galileo”). Este experimento recurría a dos planos inclinados colocados uno a continuación del otro, una esfera rodaba desde el reposo debido a su propio peso, pasaba por el fondo y subía por un segundo plano inclinado; él observó que independientemente de la inclinación del segundo plano inclinado, la esfera llegaba siempre a la misma altura si los planos eran lo bastante lisos, él

V=0

V constante

V=0 V=0


redujo paulatinamente el ángulo del segundo plano con la horizontal y concluyó que la esfera rodará cada vez más antes de quedar en reposo, por lo que si el segundo plano era totalmente horizontal la esfera podría no detenerse, esto es rodaría para siempre mientras el segundo plano fuese horizontal, liso e infinitamente largo; así la esfera rodaría en un movimiento uniforme perpetuo. Galileo expresó su idea diciendo que un cuerpo una vez en movimiento y sin ser perturbado en adelante continuará eternamente con rapidez constante por sí mismo. Obsérvese que las ideas de Galileo contradicen la idea aceptada (de Aristóteles) en la que para que algo que tuviese un estado natural de movimiento igual al reposo continuase moviéndose se le debería aplicar una fuerza continuamente. Galileo también introdujo el concepto de inercia, la inercia mide la resistencia de un cuerpo a cambiar su estado de movimiento, entendiéndose que el estado de movimiento de un objeto está completamente determinado por su velocidad, por eso también se puede decir que la inercia es una tendencia de todo cuerpo a resistir cambios de su velocidad, pero como los cambios de velocidad ocurren cuando un objeto está acelerado, entonces también la inercia es una tendencia de los cuerpos a resistir las aceleraciones. El sabio florentino encontró esto al hacer un experimento con estacas sobre la arena, y darse cuenta que cuanto mayor era la masa de un objeto era más difícil detenerlo, al impactar sobre una estaca en la arena, el cuerpo más masivo se enterraba más en la arena al dejarse caer sobre objetos soltados desde la misma altura. La masa es la medida de la inercia, ya que mientras más masa posee un cuerpo es más difícil cambiar su estado de movimiento Mientras más masa tiene un cuerpo más inercia tiene y mayor es la fuerza que hay que ejercer sobre él para ponerlo en movimiento (si estaba en reposo), o detenerlo (si estaba en movimiento).

Newton y las leyes del movimiento

El 25 de diciembre de 1642iv (el mismo año de la muerte de Galileo) nace en Woolsthorpe Inglaterra Isaac Newton. Su padre que también se llamaba Isaac Newton murió en octubre de 1642, antes de su nacimiento. Su madre volvió a casarse cuando él tenía dos años de edad y lo colocó al cuidado de su abuela, fue tratado básicamente como un huérfano teniendo una infancia poco feliz. A pesar de las adversidades Newton consiguió convertirse en uno de los más grandes Matemáticos y Físicos de la historia aportándonos las llamadas leyes del movimiento.

En 1687 publicó un libro llamado “Philosophiae naturalis principia mathematica” comúnmente conocido como Principia Matemática, este libro tal vez sea el libro más importante de la historia de las ciencias, en dicho libro se exponen: El libro comienza con un conjunto de definiciones de los conceptos que va a utilizar. Define cantidad de movimiento, materia, varios tipos de fuerza, fuerza ínsita de la materia, fuerza impresa, fuerza centrípeta, cantidad absoluta de una fuerza, cantidad “acelerativa” de una fuerza y cantidad motriz de una fuerza. La cantidad motriz de una fuerza centrípeta como la medida proporcional al movimiento que genera en un tiempo dado. Le sigue a las definiciones un pequeño escolio en donde expone la importancia del tiempo y el espacio absoluto.

Una versión “primitiva” de la primera Ley de Newton

Concepto de inercia de Galileo

La masa es la medida de la inercia


La parte de axiomas o leyes del movimiento comienza indicándonos las famosas tres leyes de Newton. Primera ley: Todos los cuerpos perseveran en su estado de reposo o de movimiento uniforme en línea recta, salvo que se vean forzados a cambiar ese estado por fuerzas impresas. Segunda ley: El cambio de movimiento es proporcional a la fuerza motriz impresa, y se hace en la dirección de la línea recta en la que se imprime esa fuerza. Tercera ley: Para toda acción hay siempre una reacción opuesta e igual. Las acciones recíprocas de dos cuerpos entre sí son siempre iguales y dirigidas hacia partes contrarias. A estas leyes le siguen una lista de corolarios en donde explica; cómo sumar fuerzas, cómo es que una fuerza se puede separar en dos componentes, la conservación de momento de un sistema y la conservación del momento del centro de masa de un sistema, que aunque no demuestra dice que lo hace en el Lema XXIII. Esta sección también termina con un escolio, en el que indica no ser el autor de estas leyes ya que son “principios aceptado por los matemáticos”. Le da el crédito a Galileo que trabajó con proyectiles y movimiento parabólico, y a Wren, Wallis y Huygens, según él, “los mejores geómetras de nuestro tiempo”, que trabajaron con impactos. Explica una serie de experimentos para mostrar la certeza de las leyes. El segmento del Libro primero está compuesto por una serie de lemas matemáticos. En los primeros está interesado en aproximar áreas con paralelogramos y afirma que “la suma última de esos paralelogramos evanescentes coincidirá en todas las partes con la figura curvilínea.” En lemas siguientes trabaja con arcos y cuerdas que se aproximan a tangentes y asevera que su última razón es la igualdad. La parte del Libro Segundo también llamado, El Movimiento de los Cuerpos en Medios Resistentes, contiene dos secciones, en la primera se ocupa del el movimiento de cuerpos que son resistidos en la razón de la velocidad”, al principio hay un teorema de cuanto movimiento pierden estos cuerpos, seguida de la explicación del movimiento de un cuerpo en descenso con esta resistencia. En un corolario explica que la velocidad alcanza un máximo. La sección II trata “sobre el movimiento de los cuerpos que son resistidos como el cuadrado de su velocidad”, y contiene teoremas similares a los anteriores. Sin embargo en el escolio de la primera sección señala que éstas son más hipótesis matemáticas que físicas. En la última parte del Libro Segundo explica por qué es errónea la representación con vórtices (de descartes) del sistema solar, ya que los vórtices jamás se pueden mover en elipses. Esta parte también es una introducción al Libro Tercero ya que ahí si explicará de forma completa el problema de los planetas. Al principio del Libro Tercero Newton escribe que los libros anteriores son la herramienta matemática para poder explicar el libro tercero, y que si alguien va a leer este libro tiene que estar familiarizado con los principios precedentes. Después de explicar que se necesita la herramienta matemática de los dos primeros libros, denota la importancia de los experimentos. Habla de gravitación. Ya que manifestó la importancia de las observaciones, escribe una parte que se llama fenómenos, que está llena de datos experimentales de los planetas. Le siguen una colección de teoremas que utiliza las demostraciones de los libros anteriores y no incluye casi nada de matemáticas. Se encuentran propiedades de la gravitación, como que la gravitación es proporcional a las cantidades de materia; que los pesos de los cuerpos no dependen de su forma, y que la gravedad es inversamente proporcional al cuadrado de las distancias. Al final de esta sección demuestra que los planetas se mueven en elipsesv

Las tres Leyes de newton aparecidas en el Principia Matemática


Para demostrar sus proposiciones el libro está lleno de gran cantidad de nuevas ideas que aún después de más de 350 años continúan siendo base de mucha de la ciencia y la tecnología actual.

Las Leyes de Newton.

Primera Ley de Newton: Todo cuerpo continua en estado de reposo o en estado de movimiento rectilíneo uniforme, excepto cuando se le obliga a cambiar ese estado debido a las fuerzas que se le aplican. Se podría decir que lo anterior expresa una equivalencia entre movimiento rectilíneo uniforme y reposo ya que para alterar ambas cosas se requiere fuerza; pero una vez adquirido ese estado puede continuar así sin que se requiera ninguna fuerza adicional para ello. Merece mencionar que es imposible verificar experimentalmente sin ningún tipo de dudas y de forma directa la primera Ley ya que eso requeriría encontrar un lugar en el universo donde pudiésemos tener un objeto completamente aislado, lo cual no es factible debido a que siempre existirá la interacción con otros cuerpos, la idea de un movimiento eterno y no perturbado no puede ser realista en un Universo repleto de galaxias; a pesar de ello la idea permite comprender una gran cantidad de observaciones; además se puede interpretar como una relación causa efecto, si algo no se mueve con movimiento rectilíneo uniforme o no está en reposo, debe haber alguna fuerza aplicada sobre él. Así la frase: “Una partícula libre es aquella que no está sujeta a ninguna interacción” no se refiere a algo que podamos encontrar ya que toda partícula está sujeta a interacciones con el resto del mundo, esto equivale a decir que para que una partícula esté completamente aislada esta debería ser la única del universo, pero esto es absurdo porque si esto ocurriese, entonces cómo podríamos observarla, el proceso de observación siempre implica alguna interacción. Sin embargo en la práctica se puede considerar que algunas partículas son libres, bien sea por que están muy alejadas de los otros entes con los que pueden interactuar y la interacción produce efectos despreciables o por que interactúan con varios entes que producen efectos que se anulan. Una partícula libre se mueve siempre con velocidad constante, es decir, sin aceleración. Debe hacerse notar que tal como se dijo en cinemática, todo movimiento es relativo, por lo que para establecer la primera Ley de newton debe indicarse cuál es el observador, esta ley requiere que el observador se comporte asimismo como una partícula libre, tal observador se le conoce con el nombre de un observador inercial y el sistema de referencia que él utiliza se llama sistema de referencia inercial. Debido a su rotación diaria y a su interacción con el Sol y demás cuerpos celestes, la Tierra no es un sistema de referencia inercial; sin embargo para muchos casos los efectos de esto sobre las observaciones del movimiento de otros objetos es despreciable y los sistemas unidos a la Tierra pueden considerarse inerciales sin gran error. Desde tiempos bastante remotos se utilizó una balanza como un mecanismo para medir masa, haciendo uso de lo que se conoce como principio de relativización, por ejemplo si se usa una balanza de brazos iguales y se coloca en alguno de sus platillos algún objeto y lo tomamos como patrón de masas, si colocamos en el otro platillo un objeto y este hace que la balanza esté en equilibrio, con el brazo horizontal, entonces el objeto colocado en este último platillo tendrá una masa igual a la masa patrón, si para lograr esto se requieren que uno de los platillos tenga dos de las unidades patrón, entonces el objeto en el otro tendrá una masa del doble del valor de la unidad, y así sucesivamente, esto permite medir

Primera Ley de Newton o Ley de la Inercia

Primera Ley de Newton: un cuerpo en movimiento permanece por sí mismo en ese estado

Definición de un sistema de referencia Inercial

Definición operacional de masa


cualquier masa al compararla con otra, y es una medición relativa a aquella que estamos usando como patrón; podría decirse que es una definición operacional de la masa. La definición anterior requiere del uso de balanzas y de la posibilidad de usarlas, veremos luego que si estamos en un sitio donde los no se pueda tener una buena medida de las interacciones gravitacionales esto será imposible ya que no habrá fuerza que actúe sobre cada platillo empujándolo hacia abajo; además supone que las partículas están en reposovi. En el Sistema Internacional de Unidades la unidad de la masa es el kilogramo (kg) Por lo tanto se requiere una definición diferente de masa, esta es la masa inercial. Se define la cantidad lineal de movimiento (o momentum lineal) de una partícula como el

producto de su masa por su velocidad, lo denotaremos por P�

Así: P mv=�

�

(ecuación 1), la cantidad lineal de movimiento es un vector y tiene la misma dirección y sentido que el vector velocidad. En el Sistema Internacional de Unidades la unidad de la cantidad de movimiento es kgm/s, la cual no ha recibido ningún nombre. De ahora en adelante llamaremos a esta cantidad simplemente cantidad de movimiento. Con la definición de cantidad lineal de movimiento es posible enunciar de manera diferente la primera ley de Newton: Una partícula libre se mueve con cantidad de movimiento constante. Principio de conservación de la cantidad de movimiento. Una consecuencia importante de la primera Ley de Newton es que un observador inercial reconoce cuando una partícula no está libre cuando observa que su movimiento no es un movimiento rectilíneo uniforme, cuando su velocidad cambia o cuando la cantidad de movimiento deja de ser constante, en estos casos la partícula estará acelerada y estará interactuando con otras al no estar aislada. Consideremos una situación ideal, de dos partículas aisladas, sujetas únicamente a su interacción mutua. Como resultado de su interacción cada partícula deja de estar aislada y su trayectoria no tiene por qué ser rectilínea, en general será entonces una curva. Si estas dos partículas se mueven por los trayectos

1Γ y 2Γ con cantidades de movimiento 1oP�

y 2oP�

en el instante inicial (ti) y 1FP�

y 2FP�

en el instante

final (tf), así la cantidad de movimiento del sistema (suma de la cantidad de movimiento) en cada instante será:

1 2Si o oP P P= +� � �

en el instante inicial

1 2SF F FP P P= +� � �

en el instante final

Un resultado importante es que si realizamos este experimento, la cantidad de movimiento del sistema permanece constante, esto se conoce con el nombre de principio de conservación de la cantidad de movimiento lineal: la cantidad de movimiento total de un sistema de partículas aislado es constante y es válido para cualquier número de partículas presentes en un sistema aislado. Así:

Otra manera de expresar la primera Ley de Newton

Definición de cantidad de movimiento lineal

1Γ

2FP�

1oP�

2oP�

1FP�

2Γ

Principio de conservación de la cantidad de movimiento lineal


1 2 1 2

1 1 2 2

1 2

Si SF

o o F F

o F F o

P P

P P P P

P P P P

P P

=

+ = + ⇒

− = −

−∆ = ∆

� �

� � � �

� � � �

� �

Ecuación 2

Por lo que puede decirse que una interacción entre dos partículas aisladas produce un intercambio de la cantidad de movimiento. Redefinición del concepto de masa: Si la masa de una partícula es constante, entonces el cambio de la cantidad de movimiento en un intervalo de tiempo f it t t∆ = − es:

( )P mv m v∆ = ∆ = ∆�

� �

Ecuación 3

Por lo que para un sistema aislado de dos partículas permite escribir la ecuación 1

1 1 2 2

12

1 2

m v m v

vm

m v

− ∆ = ∆ ⇒

∆=∆

� �

�

�

Esto indica que si se elige la masa m1 como masa patrón, entonces al hacerla interactuar con otra partícula de masa m2 y medir los cambios de sus velocidades, se puede determinar la otra masa, sólo se debe tener en cuenta que hemos supuesto que la masa no cambia con la velocidad y ya se dijo que esto no es necesariamente cierto. Si procedemos a dividir ambos miembros de la ecuación 2 por el intervalo de tiempo f it t t∆ = − , se tendrá:

1 2P P

t t

∆ ∆− =∆ ∆

� �

Ecuación 4

La ecuación 4 es válida para cualquier intervalo de tiempo, así si se toma el intervalo de tiempo muy pequeño como se puede llegar a:

1 2dP dP

dt dt− =

� �

Ecuación 51

Esta ecuación y la anterior nos dice que los cambios promedio de las cantidades de movimiento por unidad de tiempo son iguales y opuestos, no importa el tamaño del intervalo de tiempo. Si se designa el cambio de la cantidad de movimiento con respecto al tiempo como fuerza, entonces:

dPF

dt=

�

�

, Fuerza instantánea Ecuación 6

1 Acuérdense qué significa esta nomenclatura 0

limt

dP P

dt t∆ →

∆=

∆

� �

, que es una derivada del vector

cantidad de movimiento, aunque en el curso sólo nos interesa interpretar físicamente este resultado, en cursos posteriores se tratará esto con más detalles

Redefinición del concepto de masa, masa inercial

Concepto de Fuerza, segunda Ley de Newton


m

PF

t

∆=∆

�

�

, Fuerza media Ecuación 7

Las ecuaciones anteriores son la definición de la fuerza y se conocen con el nombre de segunda Ley de Newton o Ley de la Fuerza. Es importante notar aquí que lo que hemos dado como segunda Ley de Newton, es una definición, sólo eso, por lo que esta, la definición de fuerza siempre puede ser criticada (como cualquier otra definición). Obsérvese que mientras la primera Ley de Newton establece que un cuerpo permanecerá en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme mientras una fuerza impuesta no lo haga cambiar, nos quedó pendiente ¿qué es la fuerza?, la segunda Ley nos dice cómo calcularla, aunque debe fijarse que la fuerza no es algo observable de manera directa, lo que vemos son sus efectos, es decir los cambios que esta produce. En tal sentido Newton escribió que esta es “una acción que se ejerce sobre un cuerpo para cambiar su estado, sea de reposo o de movimiento uniforme” Debe señalarse que una definición operacional plenamente satisfactoria de fuerza no se ha encontrado, a pesar de ser un concepto fundamental para la física. En tal sentido el ganador del premio Nobel de Física Richard Feynman dijo: “Si usted insiste en una definición precisa de fuerza, ¡nunca la encontrará!” Los físicos actuales han identificado cuatro tipos de fuerzas fundamentales: la electromagnética, la gravitatoria, la nuclear fuerte y la nuclear débil. Utilizando en concepto de fuerza y las ecuaciones 4 y 5 se puede establecer que:

21 12F F− =� �

Ecuación 8

Donde la nomenclatura utilizada significa: ijF es la fuerza que la partícula “i” recibe de la

partícula “j” O también:

21 12m mF F− =� �

Ecuación 9

Las ecuaciones 8 y 9 establecen que a toda acción hay una reacción y estas son de igual magnitud, dirección y sentidos opuestos, lo que constituye la tercera Ley de Newton Si a una de las dos fuerzas la llamamos acción, entonces la otra será la reacción. Las fuerzas llamadas de acción y reacción no se equilibran por actuar sobre cuerpos diferentes, entendiendo por equilibrio el que sumen cero. De la ecuación 3 se desprende que cuando la masa es constante, entonces la fuerza es

( )d mv dvF m ma

dt dt= = =

� �

��

Ecuación 10

Por lo que la fuerza es igual a la masa por la aceleración si la masa es constante La unidad de fuerza en el Sistema Internacional de Unidades es el newton, en honor de Sir Isaac Newton, esta unidad está definida como la fuerza que debería aplicarse a un objeto de un kilogramo de masa para que este adquiera una aceleración de 1m/s².

Algunos conceptos básicos de la teoría de Sistemas

Para sistematizar el estudio de las herramientas necesarias para poder resolver algunos problemas muy sencillos, introduciremos algunos conceptos que no ayudarán a hacer algunas generalizaciones. Sistema: Veamos varias definiciones no excluyentes de sistema (en el sentido físico):

Tercera Ley de Newton o Ley de Acción y reacción

Fuerza sobre objetos de masa constante

Las fuerzas de acción y reacción no se equilibran

Sistema


A) Un sistema real es una entidad material formada por partes organizadas (o sus "componentes") que interactúan entre sí de manera que las propiedades del conjunto, sin contradecirlas, no pueden deducirse por completo de las propiedades de las partes.

B) Un sistema es una porción del Universo que se aísla para ser estudiada, donde se supone que sus partes están integradas para interactuar produciendo la realización de la finalidad de existencia del sistema.

C) Un sistema físico es un agregado de objetos o entidades materiales entre cuyas partes existe una vinculación o interacción de tipo causal. Todos los sistemas físicos se caracterizan por:

Los sistemas físicos pueden ser abiertos, cerrados o aislados, según que realicen o no intercambios con su entorno:

a. Un sistema abierto es un sistema que recibe “flujos” (energía y materia) de su entorno. Los sistemas abiertos, por el hecho de recibir energía, pueden realizar el trabajo de mantener sus propias estructuras e incluso incrementar su contenido de información.

b. Un sistema cerrado sólo intercambia energía con su entorno, en un sistema cerrado el valor de la entropía es máximo compatible con la cantidad de energía que tiene.

c. Un sistema aislado no tiene ningún intercambio con el entorno.

Nota aclaratoria: llamaremos en este curso a los sistemas cerrados y aislados de la misma manera ya que no nos interesará el intercambio de energía con el entorno ni los conceptos de entropía; pero debe tenerse esto en cuenta para estudios posteriores. Medio ambiente: Se conoce como tal a todos aquellos objetos que pueden interactuar de manera significativa con el sistema en estudio (según sea el modelo que se está usando). Varios investigadores pueden estudiar el mismo espacio físico e interpretarlo como sistemas distintos, por ejemplo un físico interesado en las propiedades térmicas de aislamiento de una puerta puede usar un modelo distinto de aquel quien está interesado en las propiedades de resistencia a los golpes de la misma puerta. Los modelos usados por ambos pueden ser diferentes, aunque su objeto de estudio es el mismo; pero no así su objetivo de estudio. Debido a lo complejidad que puede tener un sistema físico de este pueden aislarse aquellas propiedades que consideremos importantes, el hecho de “simplificar” la naturaleza al usar un conjunto pequeño de las variables que pueden medirse en un sistema y hacerlas encajar en nuestro estudio es lo que se conoce con el nombre de modelo. Diagrama de cuerpo libre: in diagrama de cuerpo libre es una representación esquemática y vectorial de las acciones del medio ambiente sobre un objeto. Nótese que un diagrama de cuerpo libre sólo hace eco de las acciones, no puede aparecer en un diagrama de cuerpo libre una pareja de fuerzas de acción y reacción ya que estas están actuando sobre cuerpos diferentes; además esta representación se hace sobre lo que está actuando sobre un solo objeto.

Medio ambiente

Diagrama de cuerpo libre


Usted debe fijarse que aún no hemos desarrollado los métodos para tratar objetos que no puedan modelarse de manera aceptable como partículas, así que en esta primera aproximación se supondrá que el objeto es modelable como una partícula abstracta. Las fuerzas que aparecen en un diagrama de cuerpo libre son sólo las que el medio ambiente ejerce sobre el objeto al cual se le está realizando el diagrama, por lo que no puede aparecer tampoco la fuerza resultante. Aunque las fuerzas se presentan siempre en pares (primera Ley) sólo se coloca uno de los miembros de este par en un diagrama de cuerpo libre. La fuerza que nos da la segunda Ley de Newton es la fuerza resultante, es decir la sumatoria de las fuerzas es la fuerza neta (fuerza neta, total, resultante o algún otro sinónimo). Ayuda tener una lista de fuerzas que podamos usar en los diagramas de cuerpo libre, la siguiente lista puede servir para tal fin (sólo válida para la mecánica clásica)


Nombre Dónde se presenta

Relación con las

fuerzas

fundamentales

Comentarios

Peso Esta fuerza de atracción se presenta entre dos cuerpos que tengan masa y en un modelo básico está gobernada por la Ley de Gravitación Universal de Newton

Es esta una de las cuatro fuerzas fundamentales, la que se debe a la interacción gravitacional

Las fuerzas gravitatorias entre dos objetos de muy pequeña masa por lo general se pueden despreciar, tal como ocurre con los objetos que nos rodean de ordinario

Roce (o Fricción) Se presenta en la superficie de contacto que se mueven de manera relativa entre sí.

Se debe fundamentalmente a una interacción electromagnética entre los átomos de ambas superficies

Depende de la naturaleza de los materiales, de las normales y del movimiento relativo entre ellos (esta fuerza se estudiará con más detalle más abajo)

Normal En la superficie de contacto entre superficies

Aparece por una interacción electromagnética

Es siempre perpendicular a la superficie de contacto, como un objeto puede tener más de una superficie de contacto, entonces puede tener más de una fuerza normal aplicada sobre él

Elásticas (resortes; tensión en cuerdas, hilos y cables)

Cuando se deforma un cuerpo ejerce una fuerza elástica, cuyo sentido es opuesto al de la deformación

Aparecen por una interacción electromagnética

La normal pude colocarse en este grupo. Estas fuerzas ocurren a veces cuando la deformación no es obvia, con la excepción del caso de los resortes


Nombre Dónde se presenta

Relación con las

fuerzas

fundamentales

Comentarios

De fluidos (de flotación, empuje o de sustentación)

Se presenta entre los distintos elementos de un fluido, o entre un fluido y un sólido inmerso en él.

Aparecen por una interacción electromagnética

Dependiendo del tipo de fuerza pueden actuar en distintas direcciones, por ejemplo las de flotación actúan hacia arriba y el empuje hacia abajo (en este curso no veremos este tipo de fuerzas)

Clasificación de las Fuerzas según el alcance de sus efectos

Todas las fuerzas (producto de interacciones) se pueden clasificar en dos grandes categorías:

a) Fuerzas de contacto

b) Fuerzas que actúan a la distancia (a veces llamadas fuerzas de tipo campo)

Las fuerzas de contacto son tipos de fuerzas en las que los entes que interactúan se ejercen fuerzas mutuas cuando están en contacto físico; algunas de estas fuerzas son, la normal, la fricción y la tensión. Las fuerzas que actúan a la distancia son un tipo de fuerza en las que los objetos que interactúan no tienen por qué estar en contacto físico directo, como ocurre con la fuerza de atracción gravitacional, la fuerza eléctrica y la fuerza magnética. El peso:

El peso es la fuerza que se ejerce sobre un cuerpo debido a la gravedad. La ley de gravitación universal de Newton nos dice que todo cuerpo con masa atraerá a cualquier otro cuerpo que también tenga masa, así el peso es una medida de este hecho, dicha Ley además establece que dicha interacción va en la línea que une a los centros de gravedad2 y es directamente proporcional al producto de las masas e inversamente proporcional al cuadrado de la separación entre dichos centros de gravedad. El peso es igual al producto entre el vector aceleración de la gravedad y la masa; en la cercanía de un cuerpo celeste como la Tierra, el peso de un objeto ordinario apuntará

hacia abajo. El peso es una interacción a distancia. Así el peso P�

de un objeto de masa m es:

2 Debe tenerse en cuenta que no se ha indicado qué es el centro de gravedad, bastará decir que es un punto

que para efectos gravitacionales se comporta como si toda la masa de un objeto se encontrase concentrada

en él.

Definición de peso

Definición de peso


P mg=�

�

Ecuación 11 Se conoce con el nombre de vínculo a una fuerza que es producida por un objeto que actúa por contacto directo sobre otro, tratando de impedir su libre movimiento. Vínculo superficie:

El vínculo superficie está integrado por dos fuerzas, la normal y la fuerza de fricción (o roce)

La normal ( N�

)

La normal es siempre perpendicular a la superficie de contacto, como un objeto puede tener más de una superficie de contacto, entonces puede tener más de una fuerza normal aplicada sobre él y trata de evitar que un objeto traspase al otro, como resultado siempre se producen deformaciones, aunque pueden ser imperceptibles y en este curso no las tomaremos en cuenta, es decir a no ser que se diga lo contrario, los objetos se supondrán indeformables. La fuerza de roce.

Esta es una fuerza que aparece debido a una interacción electromagnética entre los átomos de dos superficies colocadas en contacto la cual trata de oponerse al movimiento relativo entre las superficies. Debe notarse que experimentalmente se encuentra que la fricción o roce actúa de manera distinta sobre los objetos que se encuentran detenidos entre sí (roce estático) y aquellos que deslizan (roce cinético o dinámico) Las fuerzas de fricción estática actúan de forma tal que equilibran las fuerzas que provocarían en movimiento relativo entre las superficies. La fuerza de fricción estática acomoda su magnitud para evitar el deslizamiento (movimiento relativo) entre las superficies. La fuerza de roce estática aumenta en la medida que la normal aumenta. La fuerza de fricción estática no puede sobrepasar un valor máximo el cual es aproximadamente directamente proporcional a la fuerza normal. El físico e ingeniero, C. A. Coulomb determinó, que la fuerza de roce estática era menor o igual que un límite (la fuerza de roce máxima maxrF )

re eF Nµ≤ Ecuación 12

El coeficiente eµ es una cantidad adimensional que debe determinarse de manera

experimental y se llama coeficiente de roce estático. Deben fijarse que esta no es una relación vectorial, sólo establece el rango de valores que no pueden sobrepasar el módulo de la fuerza de roce estática

Algunos ejemplos de fuerzas de los distintos tipos:

Fuerzas de contacto Fuerzas de acción a distancia

• Fricción

• Normal

• Tensiones

• De atracción gravitacional

• Magnética

• Eléctrica

Definición de vínculo

Definición de la fuerza normal entre dos superficies sólidas

Definición de la fuerza de roce entre dos superficies sólidas


• Elásticas de resortes

• Aplicadas directamente (sin saber cuál es el objeto que la produce)

• Sustentación

• Empuje

Coulomb también encontró que la fuerza de roce cinética es aproximadamente proporcional al módulo de la fuerza normal.

rc cF Nµ= Ecuación 13

El coeficiente de roce cinético, cµ , también es una cantidad adimensional que debe

determinarse mediante experimentos y al igual que el coeficiente de roce estático depende de las características de ambas superficies, de qué tan bien han sido pulimentadas, de su limpieza, del grado de lisura, etc. Muchísimas veces se cumple que c eµ µ<

Vínculo cuerda ideal

Se dice que una cuerda es ideal si no tiene masa y si esta no se puede estirar, al no tener masa la sumatoria de todas las fuerzas que actúan sobre una cuerda ideal es nula. Las fuerzas sobre las cuerdas o las que estas producen suelen llamarse tensiones. Al no considerársele masiva, la sumatoria de cualquier conjunto de fuerzas actuante sobre una cuerda ideal es cero Vínculo polea ideal

Se dice que una polea es ideal si esta no tiene masa y no presenta roce en su eje, las poleas ideales no presentan ninguna oposición a rotar, por lo que la tensión no cambia de módulo a ambos lados de la polea. Por lo general conviene hacer los diagramas de cuerpo libre de las poleas cuando su eje se traslada ya que así se puede obtener la relación entre las tensiones a ambos lados de la polea y la fuerza que esta está recibiendo en su eje. Método para resolver problemas que tienen objetos aislados sometidos a varias

fuerzas

Se enunciará aquí un método para usar los diagramas de cuerpo libre en la resolución de un tipo de problemas sencillo.

a) Decidir si el objeto de interés se puede modelar como una partícula (ya que sólo hemos estudiado ese modelo) Si no nos fijamos en el tamaño, forma o estructura interna, podremos en general considerarlo como una partícula.

b) Se enumeran las partículas del sistema o los objetos que pueden ser tratados como partículas en los casos que existan más de uno de ellos

c) Se modela el universo actuante sobre el objeto, para esto se puede uno guiar por la primera lista de fuerzas y observando cuál es el medio ambiente del objeto.

Fuerza de roce cinética

Vínculo cuerda ideal

Vínculo polea ideal


d) Se realiza el diagrama de cuerpo libre, indicando al objeto con un punto identificado con la masa.

e) Al hacer un diagrama de cuerpo libre se debe están pendiente de:

a. Si se conoce con claridad toda la información que se tenga acerca de la aceleración del objeto ya que el saber hacia dónde se acelera ayuda a saber hacia dónde irá la fuerza resultante

b. Elegir los ejes coordenados más convenientes (sólo se exige obligatoriamente que el sistema de referencia sea inercial) Se aconseja muchas veces que, por lo general conviene usa un sistema de referencia con un eje paralelo a la aceleración (si es esto posible)

f) Enunciar la segunda Ley de Newton para cada coordenada, enumerando las ecuaciones que se consiguen para cada coordenada

g) Comprobar si se cuenta con toda la información necesaria, al contar el número de incógnitas y el número de ecuaciones independientes estas deben ser iguales. Para esto es útil realizar una lista de las incógnitas presente en cada ecuación. Si no se cuanta con igual número de incógnitas que de ecuaciones buscar nuevas ecuaciones, revisar el diagrama de cuerpo libre o tal vez el problema no tenga solución o tenga infinitas soluciones. Si el número de incógnitas y ecuaciones independientes es el mismo, proceder a resolver el sistema de ecuaciones que nos resultó del procedimiento anterior.

Ejemplo de uso de las Leyes de Newton para la resolución de un problema de

dinámica:

Problema 20) Un cuerpo en forma de cuña tiene una masa M de 2kg, descansa sobre una superficie inclinada lisa y fija que presenta un ángulo 30ºθ = sobre la horizontal; sobre dicha cuña se encuentra un bloque de masa m = 0,5kg, el cual se encuentra sobre la superficie horizontal de M. Sólo existe roce entre la cuña y el bloque y los coeficientes de roce cinético y estático son 0,2cµ =

y 0,5eµ = . Si a la cuña se le aplica una fuerza horizontal F�

, determine cuál es el máximo

valor de su módulo para que cuando la cuña esté subiendo el bloque no resbale.

Solución:

Como en el sistema hay dos objetos cuyas masas son importantes se deben realizar dos diagramas de cuerpo libre para lo cual enumero primero los objetos.

M

m

F�

θθθθ

1

2 M

m

F�

θθθθ


Ahora se procede a hacer los diagramas de cuerpo libre correspondientes a cada uno de estos dos objetos. D.C.L para m)

Las acciones que el medio ambiente está ejerciendo sobre “m” las estamos representando

por estas tres fuerzas, la normal 21N�

es parte de la interacción de contacto entre los dos

objetos (la otra parte es la fuerza de roce), el peso 1P�

se debe a la interacción del objeto con

la Tierra, como se dijo antes la fuerza de roce se debe al contacto con “M”; observen el sentido que se le colocó a dicha fuerza, esto se debe a que un observador que estuviese en el objeto que la produce (“M”) vería que la masa “desea” o tiende a quedarse en el lugar que ocupa un instante previo (primera Ley de Newton), así la fuerza de roce al tratar de oponerse a esa tendencia apuntará hacia adelante. Si pudieran resbalar y coloco una marca en cada objeto, marca correspondiente con la posición de un observador en cada objeto, el observador colocado en la cuña vería que la otra marca se le mueve hacia la derecha; en cambio el observador colocado en el bloque vería que la marca del otro objeto se le mueve hacia la izquierda, por lo que la fuerza de roce ejercida por la cuña sobre el bloque va hacia la izquierda en cambio la fuerza de roce producida por el bloque sobre la cuña va hacia la derecha.

El diagrama completo muestra un sistema de coordenadas con un eje paralelo a la aceleración, aunque también es válido cualquier otro sistema de referencia inercial, en especial uno con ejes verticales y horizontales, pero en este caso se tendría que descomponer la aceleración en las distintas direcciones de dichos ejes. La ecuación vectorial proveniente de la segunda Ley de Newton es:

21N�

1P�

21rF�

0t = 0t >

21N�

1P�

21rF�

θ

θ

θ θ

x y


1 1 21 1 21rm a N P F= + +� � �

�

En cada eje las ecuaciones escalares correspondientes son:

( ) ( ) ( )21 21) cosry F mgsen N sen maθ θ θ− + = E1

( ) ( ) ( )21 21) cos cos 0rx F sen mg Nθ θ θ− − + = E2

Notas aclaratorias: a) Fíjense cómo se eligieron los subíndices de la fuerza de roce y del la normal, el

primer subíndice corresponde con la causa y el segundo con el destinatario, así

por ejemplo 21rF es la fuerza de roce que el cuerpo 2 produce sobre el cuerpo 1.

b) Además, observen los ángulos en el diagrama de cuerpo libre, dichos ángulos se consiguen por los teoremas que se vieron al comienzo del curso.

c) También es bueno recalcar que la descomposición de los vectores requiere del mismo tipo de estrategias utilizadas para descomponer los vectores cinemáticos.

d) Noten que no se coloca la fuerza F�

en este diagrama ya que ella está aplicada sobre el otro cuerpo.

e) Vean como se le quitó el subíndice a la aceleración ya que ambos cuerpos tendrán la misma aceleración por no resbalar el uno respecto al otro

Por otro lado la fuerza de roce es una fuerza de roce estática ya que no existe movimiento relativo entre las superficies de la cuña y del bloque. Así:

21 21r eF Nµ≤

Pero se está en una condición de movimiento inminente, por lo que si se aumenta la

fuerza F�

en una pequeña cantidad el bloque resbalaría sobre la cuña, así que en este caso:

21 21r eF Nµ= E3

(Hasta el momento tenemos las incógnitas siguientes: 21 21, ,rF N a , lo que ya de por

sí nos daría un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas que podríamos resolver en este momento, pero lo dejaremos para después) D.C.L “M”)

La ecuación vectorial proveniente de la segunda Ley de Newton es:

1 2 12 12 12 2rm a N P F N F= + + + +� � � � �

�

En cada eje las ecuaciones escalares correspondientes son:

( ) ( ) ( ) ( )21 21) cos cosry F F Mgsen N sen Maθ θ θ θ− − − =

E4 12N�

2P�

12rF�

F�

θ

θ

x y

2N�

θ


( ) ( ) ( ) ( )2 21 21) cos cos 0rx N F sen Fsen Mg Nθ θ θ θ+ − − − = E5

Notas aclaratorias: a) Fíjense cómo se eligieron los subíndices, en las ecuaciones vectoriales, de la

fuerza de roce y del la normal, el primer subíndice corresponde con la causa y el

segundo con el destinatario, así por ejemplo 12rF es la fuerza de roce que el

cuerpo 1 produce sobre el cuerpo 2.

b) Para no aumentar el número de incógnitas, al escribir las ecuaciones escalares

colocamos donde iba 12N , 21N , lo cual es válido ya que dichas fuerzas forman

una pareja de fuerzas de acción y reacción (algo similar se realizó con la fuerza de roce).

c) La aceleración de este objeto es igual a la del bloque.

d) Se adicionan dos incógnitas nuevas con estas dos ecuaciones, F y 2N

Lista de incógnitas original: Ecuación Incógnitas

E1 21 21, ,rF N a

E2 21 21,rF N

E3 21 21,rF N

E4 21 21, , ,rF F N a

E5 2 21 21, , ,rN F F N

Esto conforma un conjunto de cinco ecuaciones independientes con cinco incógnitas. Algunas notas para proceder a resolver este sistema: a) Las tres primeras ecuaciones forma un subsistema de tres ecuaciones con

tres incógnitas

b) L a 2N sólo aparece en la quinta ecuación

c) Las ecuaciones E2 y E3 forma un conjunto de dos ecuaciones con dos incógnitas

Por lo que usaremos las ecuaciones E2 y E3 para comenzar a resolver el problema, siempre se trata de comenzar por la ecuación más simple, aquella que tenga el menor número de incógnitas, en este caso dichas ecuaciones tienen dos incógnitas y por casualidad son las mismas, pero de estas dos ecuaciones la más simple es la tercera así que puede usarse ella primero (después veremos que se puede usar eliminación Gaussiana). Para eliminar 21rF de la segunda ecuación se sustituye en ella el valor de la

misma dado por la ecuación E3


( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )

21 21

21

cos cos 0

cos cos

e

e

N sen mg N

N sen mg

µ θ θ θ

µ θ θ θ

− − + = ⇒

− + = ⇒

( )( ) ( )( )

( ) ( )

( ) ( )( )

21

2

21

cos

cos

0,5 10 cos 30º7,029

0,5 30º cos 30º

e

mgN

sen

mkg

sN newton

sen

θµ θ θ

=− +

= =

− +

Al conocer la normal 21N , la lista de incógnitas se modificaría:

Lista de incógnitas modificada 1: Ecuación Incógnitas

E1 21 21,rF N , a

E2 21 21,rF N

E3 21 21,rF N

E4 21 21, ,rF F N , a

E5 2 21 21, , ,rN F F N

Por lo que ya hay ecuaciones con una incógnita, E2 y E3. De E3:

( )( ) ( )( )21 21

cos3,514

cosr e e

e

mgF N newtons

sen

θµ µ

µ θ θ= = =

− +

Nuevamente ya se puede modificar la lista: Lista de incógnitas modificada 2:

Ecuación Incógnitas E1

21rF 21, N , a

E2 21rF 21, N

E3 21rF 21, N

E4 21, rF F 21, N , a

E5 2 21, rN F 21, ,F N

Ahora se puede despejar la aceleración de la ecuación E1 por ser su única incógnita:


( ) ( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( )

21 21

2

2

cos

cos coscos

cos cos

cos cos cos8,117 /

cos

r

e

e e

e e

e

F mgsen N sena

m

mg mgmgsen sen

sen sena

m

g gsen sen g sena m s

sen

θ θ θ

θ θµ θ θ θ

µ θ θ µ θ θ

µ θ θ µ θ θ θ θ

µ θ θ

− += =

− +− + − +

= =

− − + += =

− +

Por su puesto esto implica que la lista de incógnitas se puede modificar nuevamente: Lista de incógnitas modificada 2:

Ecuación Incógnitas E1

21rF 21, N , a

E2 21rF 21, N

E3 21rF 21, N

E4 21, rF F 21, N , a

E5 2 21, rN F 21, ,F N

La ecuación E4 permite encontrar el valor de la fuerza F : ( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

21 21

2

cos

cos

cos cos cos[ cos

cos

cos] / cos

cos

37,864

r

e e

e

e

Ma F N sen MgsenF

g gsen sen g senF M

sen

mgsen Mgsen

sen

F newtons

θ θ θθ

µ θ θ µ θ θ θ θθ

µ θ θ

θθ θ θ

µ θ θ

+ + +=

− − + += +

− +

+ + =− +

= Por otro lado se pudo multiplicar la ecuación E3 por ( )sen θ y sumársela a la

ecuación E2 para eliminar la fuerza de roce:

( ) ( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( )( )

21 21

21 21

21 21

21 21

21

21

cos cos 0

cos cos

cos cos

cos cos

cos

cos

r

r e

e

e

e

e

F sen mg N

F sen N sen

mg N N sen

N N sen mg

N sen mg

mgN

sen

θ θ θ

θ µ θ

θ θ µ θ

θ µ θ θ

θ µ θ θ

θ

θ µ θ

− − + =

=

− + = ⇒

− = ⇒

− = ⇒

=−

Ecuación que ya se había encontrado antes.


Problemas y preguntas

Preguntas:

1) Cuando se deja caer una pelota, esta rebota, ¿es necesaria una fuerza para hacerla rebotar? Si es así, ¿qué es lo que ejerce esta fuerza?

2) Un objeto pesado que se encuentra dentro de un camión y en su plataforma se mueve justo con el movimiento del camión, sin resbalar, indique ¿cuál es la fuerza que hace que el objeto se acelere?

3) ¿Por qué la distancia de frenado de un camión es más pequeña que la distancia de frenado de un tren a la misma velocidad?

4) Puede un objeto estar aislado y tener una trayectoria curvilínea sin estar sometido a fuerzas para un observador esté en reposo en un sistema de referencia inercial.

5) * Explique si es posible tener una fuerza cuyo trabajo sea mayor que la variación de energía cinética.

Responda verdadero o falso a las siguientes afirmaciones (aquellas marcadas con un

asterisco corresponden al tema de trabajo y energía) y justifique su respuesta:

6) No puede existir movimiento sin que la fuerza neta sea no nula 7) Todos los observadores están de acuerdo con las fuerzas que ellos perciben 8) En la luna la inercia de un objeto es igual que en la Tierra 9) En el espacio libre puede haber un movimiento curvo sin ninguna fuerza aplicada 10) Cuando un objeto cae y rebota, la fuerza que él ejerce sobre el piso es mayor que la

que el piso ejerce sobre él. 11) Sobre un objeto detenido sobre una mesa actúan la normal y el peso, estas no son

fuerzas de acción y reacción. 12) La fuerza normal nunca puede ir a favor del movimiento por ser perpendicular a la

superficie 13) Según Newton no pueden existir fuerzas aisladas 14) La cantidad de movimiento es un vector 15) La normal y el peso forman alguna vez una pareja de fuerzas de acción y reacción 16) La fuerza neta es la misma para cualquier observador 17) La normal nunca puede ir en contra del movimiento, ya que es perpendicular al

desplazamiento 18) Las fuerzas de acción y reacción sobre una persona suman cero para que pueda

quedarse pegada al suelo. 19) Si un móvil de masa constante recorre un trayecto cuadrado, con rapidez constante,

entonces la fuerza neta sobre él nunca puede ser nula 20) La inercia es una medida de la oposición que presenta un cuerpo con masa a

acelerarse. 21) En un movimiento circular uniforme, la fuerza neta no puede ser nula 22) La cantidad de movimiento lineal va contraria a la velocidad

23) La unidad de la cantidad de movimiento es m

kgs

24) El peso de un objeto no es el mismo en cualquier parte del universo


25) La fuerza de roce siempre va en contra del movimiento 26) La masa de un objeto en cualquier parte del universo no cambia 27) En general cuando se patea un balón este se mueve más que quien lo pateo, por lo

que la fuerza que el balón recibe es menor que la que el balón regresa 28) El peso no es una fuerza de contacto 29) La fuerza centrífuga no es una fuerza sin causa aparente 1) * 0pE E− < , siendo E la energía mecánica y Ep la energía potencial

2) *La fuerza normal no realiza siempre un trabajo nulo 3) * La potencia que la fuerza neta realiza en un movimiento circular uniforme es

siempre nula 4) No puede existir movimiento sin que la fuerza neta sea no nula 5) Todos los observadores están de acuerdo con las fuerzas que ellos perciben 6) En la luna la inercia de un objeto es igual que en la Tierra 7) En el espacio libre puede haber un movimiento curvo sin ninguna fuerza aplicada 8) * La fuerza de roce puede realizar trabajos positivos 9) Cuando un objeto cae y rebota, la fuerza que él ejerce sobre el piso es mayor que la

que el piso ejerce sobre él. 10) Sobre un objeto detenido sobre una mesa actúan la normal y el peso, estas no son

fuerzas de acción y reacción. 11) Para un móvil en movimiento rectilíneo, el área bajo la curva fuerza versus posición

representa la potencia mecánica

I.- Responda si cada una de las siguientes proposiciones es verdadera [V] o falsa [F] Indicando su

justificación

1.-*El área bajo la curva “F” Vs. “x” representa el cambio de velocidad. . . . [ ] 2.-La fuerza normal nunca puede ir a favor del movimiento por ser perpendicular a la superficie [ ] 3.-Según Newton no pueden existir fuerzas aisladas . . . . . [ ] 4.-La cantidad de movimiento es un vector . . . . . . [ ] 5.-La aceleración tangencial no se responsabiliza de cambiar la rapidez . . . [ ] 6.-La normal y el peso forman alguna vez una pareja de fuerzas de acción y reacción . [ ] 7.-En un movimiento parabólico con velocidad inicial hacia arriba, la aceleración tangencial puede ser nula

. . . . . . . . . . [ ] 8.-La fuerza neta es la misma para cualquier observador . . . . [ ] 9.-El período no es el tiempo que tarda en repetirse cualquier movimiento . [ ]

10.-La normal nunca puede ir en contra del movimiento, ya que es perpendicular al desplazamiento [ ] 11.-Las fuerzas de acción y reacción sobre una persona suman cero para que pueda quedarse pegada al suelo.

. . . . . . . . . . [ ] 12.-Si un móvil de masa constante recorre un trayecto cuadrado, con rapidez constante, entonces la fuerza neta

sobre él nunca puede ser nula . . . . . . . [ ] 13.-La inercia es una medida de la oposición que presenta un cuerpo con masa a acelerarse. [ ] 14.-En un movimiento circular uniforme, la fuerza neta no puede ser nula . . . [ ] 15.-La cantidad de movimiento lineal va contraria a la velocidad . . . . [ ]

16.-La unidad de la cantidad de movimiento es m

kgs

. . . . . [ ]

17.-El peso de un objeto no es el mismo en cualquier parte del universo . . [ ] 18.-La fuerza de roce siempre va en contra del movimiento . . . . [ ] 19.-La masa de un objeto en cualquier parte del universo no cambia . . [ ] 20.-En general cuando se patea un balón este se mueve más que quien lo pateo, por lo que la fuerza que el balón

recibe es menor que la que el balón regresa . . . . . [ ]


21.-El peso no es una fuerza de contacto . . . . . [ ] 22.-La fuerza centrífuga no es una fuerza sin causa aparente . . . . [ ]

Dinámica:

1) * Una caja de 20,0 kg descansa sobre una mesa. (a) ¿Cuál es el peso de la caja y la fuerza normal que actúa sobre ella? (b) Si se coloca una caja de 10,0 kg encima de la anterior como se muestra en la figura. Determine la fuerza normal que la mesa ejerce sobre masa de 20 kg y la fuerza que la caja de 20 kg ejerce sobre la caja de 10,0 kg.

R.-

a) 200P N N= =� �

b) Normal debida a la mesa = 300N, fuerza ejercida por la caja = 100N

2) * Una persona ejerce una fuerza hacia arriba de 50 N para sujetar una bolsa de comestibles. Describa la fuerza de reacción especificando: a) su magnitud, b) su dirección, c) sobre qué cuerpo se ejerce y d) por cuál cuerpo es ejercida.

R.- a) 50 N, hacia abajo, sobre la persona, ejercida por la bolsa

3) * Aclare la siguiente situación: si al patear un balón de fútbol en reposo, se le ejerce

una fuerza F�

; la tercera ley de Newton nos dice que debe aparecer una fuerza F−�

. La sumatoria de estas dos fuerzas es cero, por lo que no se debería mover. Explique.

R.- Las fuerzas no pueden equilibrarse ya que actúan sobre cuerpos distintos, así F�

actúa

sobre el balón y F−�

sobre la persona que lo pateó

4) ** Un objeto de masa “M” se mueve sobre una superficie horizontal rugosa con la cual presenta un coeficiente de roce cinético igual a 0,2 y un coeficiente de roce estático

igual a 0,3, el objeto está sometido a una fuerza horizontal constante ( )ˆ ˆ2 4F i j N= +�

, al

partir del reposo, encuentre cual es valor de la aceleración del objeto y cuánto tiempo le toma cambiar su rapidez de 5m/s a 10m/s cuando: a) M= 10kg, b) M=0,5kg

a) No se mueve

b) ( ) 2ˆ ˆ3,105 6,211 /a i j m s= +�

, 0,720t s∆ =

10 kg


5) * Una masa “m” colocada sobre la superficie lisa de una mesa está unida a un bloque de masa “M” suspendida mediante una cuerda que pasa por un agujero en la mesa. Encontrar las condiciones (v y r) en las que debe girar “m” para que “M” quede en reposo.

R.-

2v Mg

r m=

6) * Una masa pequeña m se coloca en la superficie de una esfera. El coeficiente de fricción estática es µs = 0,60. ¿A qué ángulo comenzará a deslizarse la masa? Suponga un radio R.

R.-

( ) ( )0,60 30,96ºsartg artgθ µ= = =

7) * ¿Qué fuerza promedio se necesita para detener un automóvil de 1200 kg en 5,0 s si viaja a 90 km/h?

R.- 6000F N=�

8) ** ¿Cuál es la fuerza promedio que ejerce un lanzador de bala sobre una bala de 7,0 kg si ésta viaja una distancia horizontal de 2,8 m, es liberada con una velocidad de 13,0 m/s y permanece 0,2s en la mano del lanzador desde que él la impulsa hasta que sale de ella? Nota: desprecie la altura del lanzador y suponga que la bala aterriza a la misma altura que fue lanzada

R.-

455F N=�

Con 4,768ºθ = sobre la horizontal

9) * Los oficiales de policía que examinan el lugar de un accidente, en el que intervinieron dos automóviles que viajaban por un camino recto y horizontal, miden las marcas de 80 m que dejó uno de ellos al derraparse y casi lograr detenerse antes de chocar. El coeficiente de fricción cinética entre las llantas y el pavimento es 0,8 aproximadamente. Calcule la velocidad inicial del automóvil.

m

M

m

θ


R.-

128,7975km/hoV =�

10) ** El elevador de un edificio muy alto puede alcanzar una velocidad máxima de 4,0 m/s cuando desciende. ¿Cuál deberá ser la tensión en el cable que lo sostiene para detenerlo en una distancia de 3,0 m, si el elevador tiene una masa de 1200,0 kg incluyendo a sus ocupantes?

R.-

3200T N=�

11) ** El coeficiente de fricción estática entre el hule y el cemento seco es de 0,84. a) ¿Cuál es la aceleración máxima de un vehículo de tracción en las cuatro ruedas que acelera y viaja hacia arriba por una pendiente de 15°? b) ¿Cuál es la aceleración máxima si acelera y viaja hacia abajo por el mismo lugar? R.- a) 25,525m/sa =�

b) 210,702m/sa =�

12) *** Un ingeniero de carreteras debe diseñar una curva tal que hasta con hielo en el pavimento no resbale un vehículo parado hasta la cuneta, mientras que un automóvil que viaje a 40 km/h no derrame hacia el exterior de la curva. El coeficiente de fricción estática entre las llantas y el pavimento helado es de 0,10. ¿Cuál debe ser el aperaltamiento de la curva y su radio de curvatura?

13) ** Un pequeño avión a escala de 0,75kg vuela en un círculo horizontal en el extremo de un alambre de control de 60m con una velocidad de 35m/s. Calcule la tensión en el alambre si este forma un ángulo constante de 200 con la horizontal. Suponga que la fuerza de sustentación aerodinámica forma 20° con la vertical hacia adentro. R.-

12,747NT =�

14) *** Se suelta un patín de masa m sobre un bloque en forma de cuña y de masa M, que forma un ángulo de inclinación θ respecto a la horizontal; dicha cuña también puede deslizar sobre una superficie horizontal sin fricción. ¿Cuál es la aceleración del patín y de la cuña? Nota: no hay roce en ninguna superficie. R.-

m

θθθθ

M


( )( )( )

2

2cuña

mg sena

M msen

θθ

=+

�

hacia la izquierda

( ): tan 1

:

cuña

patin

cuña

MComponente vertical a

ma

MComponente horizontal a

m

θ + ↓ = →

�

�

�

15) ** Un objeto de masa 1m kg= sube por un plano inclinado con roce, siendo el

coeficiente de fricción estática 0,8sµ = y el de fricción cinética 0,1cµ = . El plano

presenta un ángulo 20ºθ = con la horizontal. Determinar: a) ¿Dónde se detiene si la

rapidez inicial del ascenso es 5 /oV m s=�

? b) ¿Qué condiciones se deben dar para que el

objeto se quede detenido una vez que alcance su máxima altura, explique? c) Determinar ¿cuál debe ser el ángulo mínimo al que habría de inclinarse el plano para que el movimiento sea inminente si se ha detenido de forma permanente y se aumenta lentamente el ángulo del plano inclinado con la horizontal?

R.-

a) se detiene a 2,867m del punto inicial de ascenso

c) ( )0,8 =38,660ºarctgθ =

16) ** Dos objetos de masas M1=10kg y M2=5kg se encuentran sobre la superficie de un plano inclinado rugoso con una inclinación de θ=30º respecto a la horizontal; los coeficientes de fricción cinética entre dichos objetos y el plano inclinado son 2 0, 4µ = y 1 0,3µ = . Los objetos están

unidos por una barra rígida muy extremadamente liviana, determine: a) ¿cuál es el valor de la aceleración de cada objeto? b) ¿cómo se encuentra la barra, en compresión o en tensión? c) ¿qué pasaría con las dos preguntas anteriores si se intercambia la posición de las masas 1M y 2M ?

R.-

a) 22,1132m/sa =�

b) La barra recibe por ambos extremos una fuerza de 2,886N que la coloca en compresión

c) la aceleración no cambiaría, pero la barra estaría en tensión.

17) * Un auto viaja a 72,0 km/h en una carretera recta, cuando se le atraviesa un conejo a 40 m delante de él y frena inmediatamente al verlo, logrando detenerse justo antes de atropellar al conejo. El conejo huyó del auto cuando el conductor lo vio y corrió con una

M1

M2

θ


velocidad constante por 10,0 s antes de tener al auto justo a su lado. Si el vehículo y sus ocupantes tienen una masa de 1200,0 kg, determinar cuál es el coeficiente de roce cinético entre el terreno y las llantas del carro, suponiendo que el motor deja de funcionar al aplicar los frenos y que el auto se mueve como una única masa con aceleración constante. R.-

0,2cµ =

18) * ¿Cuál debe ser la fuerza promedio que debe aplicarse a un objeto de 1kg de masa para lograr cambiar su velocidad de ( ) smji /440

⌢⌢

+ a ( ) smji /43⌢⌢

+− en 0,002s?

R.-

( )ˆ-22000i NF =�

19) * Un remolcador tira de dos barcazas de 4,10x103kg y 3,5x103kg con velocidad constante, amarradas entre sí. El remolcador ejerce una fuerza de 1000 N sobre la cuerda de la primera barcaza y, conociendo que existe fuerza de fricción, determine la fricción sobre cada barcaza, suponiendo que es la misma para las dos. R.-

500rF N=�

20) *** Un cuerpo en forma de cuña tiene una masa M de 2kg, descansa sobre una superficie inclinada lisa y fija que presenta un ángulo 30ºθ = sobre la horizontal; sobre dicha cuña se encuentra un bloque de masa m = 0,5kg, el cual se encuentra sobre la superficie horizontal de M. Sólo existe roce entre la cuña y el bloque y los coeficientes de roce cinético y estático son 0,2cµ = y 0,5eµ = . Si a la

cuña se le aplica una fuerza horizontal F�

, determine cuál es el máximo valor de su módulo para que cuando la cuña esté subiendo el bloque no resbale.

R.-

40,583F N=�

21) ** En el sistema de la figura la fuerza neta que actúa sobre m1 es de 11 N. Si m1 es de 2 kg, m2 es de 3 kg, m3 es de 1 kg, y el coeficiente de roce entre las masas y la superficie horizontal es de 0,5; calcular:

a. La fuerza F�

que actúa sobre m1. b. La fuerza que m1 ejerce sobre m2.

m1

m2 F�

m3

M

m

F�


22) ** Determinar si la masa de la figura permanecerá en reposo bajo la acción de la fuerza F de 5N y si existe movimiento, ¿hacia dónde será y con qué aceleración se moverá?

β = 25º θ = 30º M = 6kg µe = 0.6 µc = 0.1

23) ** Calcule la velocidad angular a la que debe girar el sistema de la figura para que la tensión en la cuerda inferior sea de 1 N. L = 6 m, θ = 30º, β = 35º, m = 2 kg. L es la longitud de la cuerda inferior.

R.-

( ) ( )( ) ( )

1,587cos

inferiormg sen T sen rad

mLsen s

β θ βω

θ β

+ += =

24) ** Calcular la masa que tiene el bloque de masa m1 de la figura, si esta tarda to segundos en caer una distancia h partiendo del reposo. m2 se encuentra sobre una superficie horizontal rugosa cuyo coeficiente de fricción cinético es µc. ¿Será posible que m1 descienda con rapidez constante?

m2 = 1 kg, to = 5 s, h = 0,5 m y µc = 0.1

25) *** Una cuerda ideal pasa por una polea ideal tal como se muestra en la figura. Determinar cuál es la masa m3. Se conoce que el ángulo que forma el plano inclinado con la horizontal es θ = 30º, que el bloque m1 = 20 kg, m2 = 10 kg y la aceleración de m1 es 2 m/s2 hacia abajo. A) Suponga todas las superficies lisas; b) Considere un coeficiente de roce entre todas las superficies igual a

0,10cµ = .

26) ** Un objeto de M1 =2kg de masa se encuentra en reposo y junto a otro de M2 = 4kg de masa (también en reposo); tal como se muestra en la figura. Determinar la aceleración de cada uno de los objetos, suponiendo θ = 30º y que los coeficientes de roces son:

β

θ

m3

m2

m1

θθθθ

m

θ

βF�

h

m1

m2


a) 1 2 1 20,5; 0,6; 0,2; 0,4e e c cµ µ µ µ= = = =

b) 1 2 1 20,6; 0,5; 0,4; 0,2e e c cµ µ µ µ= = = =

c) 1 2 1 20,8; 0,4; 0,3; 0,1e e c cµ µ µ µ= = = =

d) 1 2 1 20,4; 0,8; 0,1; 0,3e e c cµ µ µ µ= = = =

27) *** Un juego infantil consiste de un embudo giratorio vertical en el que se coloca un pequeño objeto de masa M = 50g en reposo y se le hace girar con un mecanismo mecánico que incrementa paulatinamente su rapidez. Las dimensiones del embudo son las indicadas en el dibujo. El coeficiente de roce estático es 0,6eµ = . Diga si la información

siguiente es correcta: Cuando se hace girar el objeto dentro del embudo con una rapidez de 12 m/s, el objeto no resbala. r = 3 cm; R = 6 cm; h = 5 cm. R.- No, ya que el radio de giro necesario para lograr esto es mayor que R

28) *** Un cuerpo de masa m = 1 kg, tiene otro de masa M = 0,25kg encima. Sólo hay roce entre ambos cuerpos y los coeficientes de roce son 0,2cµ = y 0,6eµ = . La masa m

reposa sobre una superficie inclinada un ángulo θ = 30º sobre la horizontal. Si a “m” se le

empuja con una fuerza F�

paralela al plano, determine:

a) Cuál debe ser el máximo módulo de la fuerza F�

para que el objeto de masa M no resbale y

b) Si se duplica dicho módulo; ¿cuál será la aceleración de cada objeto?

29) ** Un pequeño cuerpo de masa M se encuentra dentro de un tubo giratorio de radio R de eje longitudinal vertical como se indica en la figura. Dicho bloque presenta coeficientes de roce cinético y estático cµ y eµ ,

respectivamente. Si el tubo gira con una velocidad angular ω , determine el mínimo valor de esta para el cuerpo no resbale.

R

r

h

R

h

r

M

R

M

m F�

θ

M1

M2

θ


R.-

e

g

Rω

µ=

30) ** Dos objetos, de masas 1 5M kg= y 2M

se encuentran unidos entre sí por una cuerda ligera e inextensible que pasa por una polea ideal, estando uno de ellos sobre la superficie de un plano inclinado fijo que presenta un ángulo 30ºθ = respecto a la dirección horizontal y el otro colgando al otro extremo. Si se coloca al más ligero colgando de la cuerda vertical este se acelera hacia arriba con una aceleración

de 21,057 /m s y si se invierte la colocación de los mismos, al colgar el más pesado de la cuerda vertical, la

aceleración de este objeto es 27,211 /m s hacia abajo. Entre la superficie y el objeto sobre ella siempre el

coeficiente de roce cinético es 0,2µ = . La cuerda atada al objeto sobre el plano siempre es paralela al

plano mismo. Encuentre al valor de la masa 2M .

R.- 2 1M kg=

31) *Dentro de un auto que viaja con aceleración constante se encuentra un objeto de 1kg que cuelga de una cuerda ligera fija al techo del auto, la cuerda forma un ángulo de 2,5º respecto a la dirección vertical. El auto tiene una masa de 1200kg. Encuentre a) la aceleración del auto respecto a un observador fijo en tierra, pero haciendo uso de un sistema que de referencia colocado en el auto y fijo a éste, b) la fuerza neta sobre el auto.

R.- ( )tan 2,5ºa g=

2) ** Una pequeña moneda de 3,10g de masa descansa sobre un pequeño bloque de 20,0g soportado por un disco giratorio. Ambos están a una distancia de R=12cm del centro del disco. Si los coeficientes de roce entre el bloque y el disco son

1 0,750eµ = y 1 0,640cµ = , en tanto

que para la moneda y el bloque

son 2 0,450eµ = y 1 0,520cµ = . ¿Cuál

es la rapidez angular máxima del disco antes de que la moneda o el bloque deslicen? R.-

Problemas de trabajo y energía:

1) Ocho libros, cada uno de 4,6 cm de ancho y con una masa de 1,8 kg, se encuentran acostados cobre una mesa. ¿Cuánto trabajo se necesita para apilarlos uno sobre otro?

2) Un saco de cemento de 42 kg es levantado 5m verticalmente con rapidez constante de 0, 25 /m s . a) ¿Qué fuerza se requiere? b) ¿Cuánto trabajo realiza esta fuerza sobre el saco?

1M 2M

θ

a�

2M 1M

θ

a�

R

Disco giratorio

Bloque Moneda


3) Una de las fuerzas aplicadas a un objeto de masa m = 2kg es

( )ˆ ˆ2 3F i j N= +�

, si dicho cuerpo es halado con una cuerda paralela al

plano inclinado fijo, produciendo un movimiento ascendente a lo largo de un plano inclinado un ángulo de θ =30º con respecto a la horizontal, moviéndose un metro con rapidez constante. Determine el trabajo de la fuerza de roce y la potencia que se debida a la fuerza

F�

.

4) a) Calcule la fuerza necesaria para comunicar una aceleración de 0.1 g hacia arriba a un helicóptero de masa M. b) Calcule el trabajo efectuado por esa fuerza, cuando el aparato se mueve una distancia h hacia arriba.

5) En el punto “A” de la figura se abandona un objeto de masa m = 2kg, el cual comienza a moverse bajo la

acción de la fuerza F�

, la cual es horizontal y cuya variación con la distancia desde el punto “A” se muestra en la figura.

0

2

4

6

8

10

12

0 0,5 1 1,5 2 2,5

x (m)

F(N)

A

Si AB = 2m, h = 2m, el recorrido BC no presenta roce, el tramo BC es horizontal, R = 0,5 m y CD = 0,5m. Sólo hay roce en CD, siendo el coeficiente de roce cinético µ = 0,3. a) Determine dónde se despega el objeto de la superficie en su descenso, suponiendo que después del punto D se encuentra con un tramo circular de radio R. b) Repetir el problema suponiendo ahora a h = 52cm.

A B

C D

R

F�

h

x

y

θ

m


6) Un resorte tiene K = 78,0 N/m. Trace una gráfica para determinar el trabajo necesario para estirarlo desde x = 2,8 cm hasta x = 5,6 cm, siendo x el desplazamiento a partir de la posición de equilibrio.

7) La fuerza que se ejerce sobre una partícula aumenta linealmente desde cero cuando x = 0 hasta 24.0 N cuando x = 3.0 m. La fuerza permanece constante en 24.0 N desde x = 3.0 m hasta x = 8 m, y a continuación disminuye linealmente hasta llegar a cero cuando x = 11.0 m, Calcule el trabajo efectuado para mover la partícula desde x = 0 hasta x = 11.0 m, en forma gráfica, mediante el cálculo del área bajo la curva x contra F.

8) Se suelta un objeto de masa m = 2kg desde una altura H = 10 m. El mismo desciende a lo largo de una superficie lisa hasta que sale de ella en el punto B a una altura h = 5m, donde la superficie forma con el terreno un ángulo θ = 30º con la horizontal. Calcule usando consideraciones energéticas cuál es la velocidad que tiene el objeto al llegar al terreno en el punto C.

9) Un automóvil tiene el doble de masa que otro, pero sólo la mitad de su energía cinética. Cuando ambos vehículos aumentan su velocidad 6.0 m/s, tienen la misma energía cinética. ¿Cuáles fueron las velocidades originales de los dos automóviles?

10) En el salto de altura la energía cinética de un atleta se transforma en energía potencial gravitatoria, sin ayuda de la garrocha. ¿Con qué velocidad mínima debe dejar el suelo el atleta para elevar su centro de masa a 2.10 m y cruzar la barra a una velocidad de 0,70 m/s?

11) Un proyectil se dispara a un ángulo de 45º con la horizontal, hacia arriba, desde la cima de un acantilado de 265,2 m de altura, con una velocidad de 350.0 m/s. ¿Cuál es la velocidad al chocar con le suelo abajo del acantilado? (Use el método de conservación de la energía).

12) Un ingeniero se encuentra diseñando un resorte que debe colocarse en la base del hueco de un elevador. Si el cable del elevador llegara a romperse a una altura h por encima del resorte, calcule el valor que debe tener la constante del resorte, k, de modo que las personas que están dentro sufran una aceleración no mayor a 5,0 g cuando alcancen el reposo. Sea M la masa total del ascensor y sus ocupantes.

13) ¿Cuál debe ser la constante k de un resorte diseñado para frenar un automóvil de 1200,0 kg desde una velocidad de 100,0 km/h para que sus pasajeros sufran una aceleración máxima de 5,0 g?

B H

h

θ

C


14) Lanzamos un cuerpo hacia la parte superior de un plano inclinado y medimos el tiempo t1 que tarda en ascender y el tiempo t2 que tarda en descender hasta el punto de partida. Determínese el coeficiente de frotamiento, conociendo el ángulo e que forma el plano con la horizontal.

15) Determinar cuál es la compresión que sufre el resorte de la figura (de constante k) si se suelta al bloque de masa m desde una distancia d sobre él, medida a lo largo del plano inclinado con fricción. θ. El coeficiente de roce cinético entre el bloque y la superficie es µc

16) Un cuerpo de 20 kg de masa se mueve a lo largo del recorrido ABC bajo las siguientes condiciones: en A su energía total es de 940 J, siendo 0,5 m la compresión del resorte de constante K = 2000 N/m; el coeficiente de roce a lo largo de todo el recorrido es 0,2; el plano inclinado forma un ángulo θ = 30º; la distancia AB es de 6 m:

a. ¿Cuál es la máxima altura que alcanza el cuerpo en el plano inclinado? b. En A. ¿Qué aceleración experimenta el cuerpo? Nota: Trate al cuerpo como una masa puntual.

17) Desde una distancia de 5 m del extremo libre de un resorte se dispara un cuerpo de M = 6 kg con una velocidad de 8 m/s.

El cuerpo produce una compresión máxima x = 0.5 m

Si el coeficiente de roce cinético entre el cuerpo y la superficie vale 0.5.

a) ¿A qué distancia del extremo libre del resorte se detiene el cuerpo después de rebotar?

b) ¿Cuál es la constante de fuerza del resorte? c) ¿Cuál es la aceleración del cuerpo cuando el resorte se ha comprimido

solamente 0.25 m?

18) Determinar dónde caerá (o se detendrá) el objeto de la figura si este tiene una masa m, si éste se abandona desde el reposo en el punto A de la figura, situado a una altura h y pasa por la región BC de la figura, la cual tiene una extensión de 1 m de longitud y la cual presenta un coeficiente de roce µ. Suponga que sólo hay roce en el tramo BC.

A

B C h

y

h/2

m

K

θ

d

K

C

A B

θ

5 m x

k M


Choques:

1) Una partícula de masa m viaja con una rapidez v; choca en forma elástica con una partícula blanco de masa 2m, inicialmente en reposo, y sale despedida a 90º a) ¿A qué ángulo se mueve la partícula blanco después del choque? b) ¿Cuál es la rapidez final de cada partícula? c) ¿Qué fracción de la energía cinética inicial se transfiere a la partícula blanco?

2) Determinar cuánto se comprime el resorte de constante k = 400 N/m en el sistema de la figura, si se sabe que antes ser comprimido por el resorte se produce un choque entre las masas m1 = 2 kg y m2 = 10 kg, estando la de mayor masa en reposo sobre una superficie horizontal y la velocidad de la otra inicialmente es v = 5m/s. Después del choque la masa menor atraviesa a la otra y sale de ésta con una rapidez igual a la mitad que tenía al momento de chocar. El resorte es comprimido sólo por la masa mayor y no hay roce durante todo el recorrido.

3) Dos cuerpos de masas m1 = 3.0 kg y m2 = 2.0 kg, chocan frontal y elásticamente. Antes del choque ambos cuerpos se dirigen mutuamente el uno hacia el otro con velocidades cuyos módulos son v01 = 2 (m/s) y v02 = 1 m/s. Determinar:

a) Las velocidades de ambas masas después del choque. b) La energía cinética del sistema inmediatamente después del choque. c) La fuerza media que actúa sobre la partícula m1

si el choque dura 1/1000s.

4) Determinar a qué altura se detendrá en bloque de masa M de la figura después del choque con un proyectil de masa m que choca con él con una velocidad horizontal vo. El bloque de masa M se encuentra inicialmente en reposo colgando de una cuerda de longitud L y después del choque ambos siguen juntos.

5) Se le da un empuje inicial a un objeto de masa m1 (desconocida), haciéndolo chocar elásticamente con otro objeto de masa m2 que se encuentra inicialmente en reposo debido a

v k

θ

m1

m2

d

x

y

ov�

M


que él se encuentra justo al comienzo de una región donde la fuerza de roce estática lo obliga a ello. Después del choque el objeto de masa m2 sube a lo largo del plano inclinado de la figura una distancia d antes de detenerse. Suponga conocida la velocidad

ov�

de m1

justo antes del choque, el ángulo θ que forma el plano con la horizontal, la masa m2, el coeficiente de roce entre m2 y el plano inclinado, µ, la distancia d y el tiempo que dura el choque t. Determine: a) Cuál es el valor de la masa m1 en función de los parámetros conocidos y de la aceleración de la gravedad g. b) Cuál es el valor de la energía cinética de m1 justo antes del choque. c) La fuerza promedio (vectorial) que actúa sobre cada una de las masas en el transcurso del choque.

6) Dos objetos, uno de masa m1 = 1kg y otro de masa m2 = 2kg chocan. Antes del

choque el primero tiene una velocidad smjivO /)ˆ2ˆ3(1 +=�

y el segundo está en reposo. Si el

segundo adquiere una velocidad smjiv /)ˆ2ˆ1(2 +=�

inmediatamente después del choque, determinar: a) Cuál es la velocidad del objeto de masa m1 inmediatamente después del choque. b) ¿Es elástico el choque? c) Si el choque dura 1·10-3s, ¿cuál es la fuerza media que actúa sobre cada objeto?

7) Un automóvil cuyos frenos han fallado choca con un segundo automóvil que esta parado en un cruce con los frenos puestos. La masa del automóvil en movimiento es de 900.0 kg, y la del automóvil parado es de 1200.00 kg. El conductor del automóvil en movimiento insiste en que antes del choque iba a menos de 12.0 km/h. La agente de transito que investiga este choque perfectamente inelástico observa que las marcas en el pavimento indican que los dos vehículos se movieron 0.80 m después del choque. El coeficiente de fricción cinética entre el hule y el cemento es de 0.58 m ¿Cuál fue la velocidad del automóvil en movimiento inmediatamente antes del choque?

8) Una bala de 40 g que se mueve a una velocidad de 420 m/s se introduce e incrusta en un bloque de madera de 0.800 kg inicialmente en reposo sobre una superficie horizontal. La bala se detiene a 6.50 cm dentro del bloque. El coeficiente de fricción entre el bloque y la superficie es de 0.40. Encuentre: a) la velocidad del bloque inmediatamente después de que ha entrado la bala. b) la distancia que recorre el bloque sobre la superficie antes de detenerse; c) la energía disipada por la bala al detenerse dentro del bloque; d) la energía disipada por la fricción entre el bloque y la superficie.

9) Un resorte de constante k = 2000 N/m, tiene en su extremo libre un cuerpo A de masa mA = 300 gr. Se comprime el resorte con el cuerpo A una longitud x y de pronto se suelta de manera que el cuerpo A choca con otro B, de masa mB = 500 gr, que está en reposo en el mismo plano horizontal (ver figura) produciéndose una colisión perfectamente elástica y frontal.

h

A

k

k


a. La mínima velocidad que debe tener, después de la colisión, el cuerpo B para que suba la altura h = 70 cm.

b. ¿Cuál sería entonces la velocidad del cuerpo A cuando choca contra el cuerpo B?

c. ¿Y cuál ha de ser la compresión x del resorte para que el cuerpo A adquiera dicha velocidad.

Nota: No hay roce en todo el recorrido. i Física Volumen I, Mecánica, Marcelo Alonso y Edward Finn

ii D J Allan, The Philosophy of Aristotle (1978).

iii Encyclopedia Britannica

iv Esta fecha corresponde al calendario usado en tiempos cuando él vivía, el calendario Juliano era el

utilizado, la fecha corregida para nuestro calendario actual (gregoriano) sería el 4 de enero de 1643.

v Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, wikipedia

vi La masa de una partícula depende de su velocidad, pero esto es apreciable si la velocidad es

extremadamente grande y representa un porcentaje apreciable de la velocidad de la luz, aproximadamente

3x108m/s

El concepto de fuerza de Aristóteles -...

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