Colegio Everest FemeninoCoordinacin MatemticaGua n 1Electivo IV Medio 2015Nombre : ____________________________________________________El Cuerpo de los Nmeros Reales1.1. El Cuerpo El conjunto de los Nmeros Reales( IR), est formado por todos aquellos nmeros que se pueden expresar como un nmero decimal finito o infinito.Por eso, se dice que: IR = Q

Adems, en IR la adicin y multiplicacin cumplen las siguientes propiedades:

Propiedades de la adicin en IRPropiedades de la multiplicacin en IR

se cumple que:a. Clausura: ( p + q ) b. Asociatividad: ( p + q ) + r = p + ( q + r ) c. Existencia de un nico elemento neutro aditivo:p + 0 = 0 + p = p d. Existencia de un nico opuesto aditivopara cada nmero real:p + (- p ) = ( - p ) + p = 0 e. Conmutatividad:p + q = q + p

Por lo tanto,La estructura ( IR, + ) constituye un Grupo Abeliano.

se cumple que:a. Clausura: b. Asociatividad:

c. Existencia de un nico elemento neutro multiplicativo.p1=1p = p

d. Existencia de un nico inverso multiplicativo para cada nmero real distinto de cero:=1

e. Conmutatividad:

Por lo tanto,La estructura constituye un Grupo Abeliano.

Adems, estas dos operaciones en forma conjunta cumplen en IR la propiedad de:f. Distributividad de la multiplicacin con respecto a la adicin:Por la izquierda: Por la derecha: Dado que ( IR , + ) y ( ) constituyen un Grupo Abeliano y adems en IR se cumple que la multiplicacin es distributiva con respecto a la adicin,entonces se afirma que :El conjunto de los nmeros reales ( IR) con las operaciones de adicin y multiplicacin constituye una estructura algebraica denominada Campo o Cuerpo, lo que se escribe: es un Cuerpo.

1.2 Orden en IRLa igualdad en el conjunto de los Nmeros Reales es una relacin de equivalencia, ya que cumple las propiedades siguientes:a. Refleja b. Simtrica c. Transitiva Tambin IR es un conjunto ordenado, ya que en l se cumple la relacin menor o igual , la que se expresa como:Dados p, q , se dice que p es menor o igual que q , si q menos p es mayor o igual que cero.Es decir:

Esta relacin menor o igual que entre nmeros reales es una relacin de orden, ya que cumple con las tres propiedades o axiomas de orden siguientes:a. Refleja b. Antisimtrica c. Transitiva Con base en lo anterior, puede decirse que:

Pero, adems, en el conjunto IR la relacin menor o igual que cumple la propiedad o axioma de tricotoma:

d. Tricotoma se cumple una y solo una de las tres alternativas siguientes:

Por lo anterior, se afirma que :

Ejemplos1.- El ordenamiento de los elementos qumicos en una tabla peridica, de acuerdo a su nmero atmico, es una relacin de orden total.2.- En el conjunto A = se define la relacin:R = R es una relacin de orden total, ya que permite ordenar los elementos en una sola fila:

1.3 Intervalos en IRSi x es un nmero real cualquiera que est entre otros dos reales p y q , podemos escribir .Como x es un nmero real cualquiera, esta expresin se satisface para los infinitos valores que puede tomar x de los que existen entre p y q.Grficamente:

Luego, Se denomina intervalo a la expresin , la cual representa al conjunto de todos los nmeros reales x que estn entre otros dos reales p y q dados, con .Ejemplo:En la recta numrica se representa la expresin , es decir , el conjunto de los nmeros reales comprendido entre 5 y 3 . Grficamente:

De acuerdo a lo sealado anteriormente, es posible definir por comprensin y en forma grfica distintos conjuntos de nmeros reales en la recta numrica.

Tipo de intervaloDefinicin por comprensinRepresentacin

Intervalo Abierto

Intervalo abierto por la derecha.

Intervalo abierto por la izquierda.

Intervalo cerrado

Sin embargo, tambin existen otros tipos de intervalos; estos son los no acotados en uno o en ambos extremos.Ellos se definen y representan en el cuadro siguiente:Tipo de intervaloDefinicin por comprensinRepresentacin

Intervalo abiertopor la izquierda y no acotado por la derecha.

Intervalo cerrado porla izquierda y no acotado por la derecha.

Intervalo no acotado porla izquierda y abierto por laderecha.

Intervalo no acotado por la izquierda y cerrado por la derecha

Intervalo no acotado por la izquierda y por la derecha.

Ejercicios1. Represente en la recta numrica real (IR) cada uno de los siguientes conjuntos y escrbalos en notacin de intervalo.a) A = c) C = b) B= d) D= 1.4. Conjuntos acotados Conjunto acotado superiormente.Todo elemento bIR se denomina cota superior de un conjunto , si:

Al existir para el conjunto A a lo menos una cota superior, se dice que A est acotado superiormente.EjemploConsideremos A = Podemos ver que cualquier bIR, tal que b, es una cota superior del conjunto A.Grficamente:

Conjunto acotado inferiormenteTodo elemento a se denomina cota inferior de un conjunto , si:

Al existir para el conjunto A a lo menos una cota inferior, se dice que A est acotado inferiormente.EjemploConsideremos A = . Cualquier a , tal que a , es una cota inferior del conjunto A.Grficamente:

Por lo anterior, podemos sealar que:Un conjunto A est acotado si tiene a lo menos una cota inferior y una superior simultneamente.Es decir: est acotado si tal que :

1.5 Supremo e nfimo de un conjuntoSi un conjunto est acotado, es decir, tiene al menos una cota inferior y una superior, entonces:Se denomina supremo de A a la menor de todas las cotas superiores de A.Se denomina nfimo de A a la mayor de todas las cotas inferiores de A.Grficamente:

Preguntas:1) Si A = IN, tiene nfimo?; tiene supremo? ______________________________________________________________________

2) Si A = IR, tiene nfimo?; tiene supremo? ______________________________________________________________________

Axioma de completitud de un conjunto- Todo conjunto no vaco y acotado superiormente, tiene supremo.- Todo conjunto no vaco y acotado inferiormente , tiene nfimo.

1.6. Entorno de un nmero realSe denomina vecindad o entorno de un nmero real a , al conjunto de nmeros reales x, tales que:

Si , entonces el intervalo Ejemplo: El entorno simtrico del nmero real