Planteamiento genérico

Rebotes impares

El dibujo inferior nos muestra la jugada ante un “n” impar. La bola roja pegará en banda y se forma el triángulo que vemos, donde “d” y “R” son conocidos. Se trata de encajar la relación de ángulos del esquema.

Por el teorema de senos, obtenemos que

Que se traduce (para R=1) en

Debemos indicar que sin(x) equivale al radio del círculo interior que circunscriben los rebotes.

Advertencias:

La jugada es inviable para una “d” igual o inferior a 1/n.Si la bola se encuentra en el borde del tapete, hay que seguir recorrido del polígono regular de n lados.

Rebotes pares

Para “n” rebotes pares el esquema difiere un tanto. Y nos lleva a la siguiente igualdad:

Se traduce en :

En este caso, el único punto a descartar sería el centro geométrico, por lógica, y el borde del tapete con el mismo planteamiento anterior.

¿Resolución?

Hemos planteado el problema con unas sencillas fórmulas pero a la hora de abordar valores altos es muy probable que tuviésemos muchas dificultades.Lo que vamos a comentar no es que sea una panacea pero al menos puede tener otro tipo de interés.Desarrollar el sen (nx) se podría ir haciendo de modo recursivo a partir de sen [(n-1)x + x]; sólo de pensarlo me asusta, así que voy a comentar antes una ocurrencia que, en cuanto a planteamiento, no desentona, otra cuestión es que sea factible.

Es posible que algún lector sonría, conviene recordar que no tengo conocimientos matemáticos y esto me sirve de excusa.

“A” representa el centro del billar, “D” es la bola y “B” el punto de rebote para conseguir carambola en 5 bandas, esta vez. El ángulo B es la cuarta parte del A.

Existe por lo tanto un punto “D” de ese círculo de radio “AD”, distancia conocida, en el que ese esquema sería válido (en los casos posibles para ser más exactos). Los arcos de ambos círculos van a mantener la proporción comentada, únicamente modulada por la relación entre los radios de ambos círculos.

La integral entre dos puntos del círculo menor, uno de ellos conocido y otro por conocer, permite conocer la longitud del arco que estará relacionada con la del otro círculo, entre dos puntos, que perfectamente se pueden vincular al común desconocido.

Esa igualdad, combinada con la relación cuádruple de ángulos y la de los radios, nos terminarían de completar esta posible vía. Es muy probable que se trate de una solución compleja, ya no sé si inviable, pero lo que sí es cierto es que valdría para cualquier “n”.

Una vez comentada esta licencia, voy a exponer otro punto de vista y aquí vamos a mencionar el método Chebyshev. Este individuo, en apariencia soviético, nos propone una sucesión polínómica para conocer el valor del sen (nx) y del cos (nx).

La sucesión es más sencilla de lo que parece, es recursiva y guarda una cierta similitud con la secuencia de Fibonacci. El término general sería a(n) = 2*x *a(n-1) – a(n-2).

A continuación os muestro las tablas que he extraído (con sus errores) de un texto que he encontrado en la web.

Vemos la relación (2x * anterior – penúltimo)

2 x * (x) – 12 x * (2x² -1 ) - x ........

(*)El último debiera decir sen 7a

Por poner un ejemplo, el sen 5 a = sen a * (16 cos^4 a – 12 cos² a +1)

Recordaremos nuestra igualdad : d * Sen 5 a = sen a

Esto nos deja: d * ( 16 cos^4 a – 12 cos² a +1) = 1

Una ecuación bicuadrática que, aparte de ser asequible, permite su trazado manual con regla y compás. El “cos a” , equivaldría a la mitad de la cuerda del rebote.