EL ESPACIO DE TRES DIMENSIONES › 2019 › 02 › ... · 2019-02-15 · el blog de mate de aida....

el blog de mate de aida. MATEMÁTICAS II pág. 1

1º.- EL ESPACIO DE TRES DIMENSIONES

Coordenadas de un punto: Tomamos un punto

fijo O (origen) del espacio real de tres

dimensiones (que es en el que nos movemos).

Cada punto P del espacio determina con O un

vector único OP . De este modo, la descripción

analítica de los puntos del espacio se reducirá a

la de los vectores libres del espacio.

Sea 321 ,, eeeB = , una base del espacio de los

vectores libres. Existe una terna de números

(x1, x2, x3) tales que:

332211 ··· exexexOP ++=

Es decir, fijado un punto O y una base 321 ,, eeeB = :

A CADA PUNTO Le corresponde UN VECTOR Le corresponden UNAS

COORDENADAS

P OP (x1, x2, x3)

A cada punto le corresponderán unas coordenadas y recíprocamente.

Por todo lo anterior ( ) 321 ,,; eeeOR = se llama sistema de referencia en el espacio.

En adelante, y mientras no se diga lo contrario,

se supone que estamos utilizando una base

ortonormal.

A los ejes de coordenadas, rectas que pasan por

el origen y son paralelas a los vectores de la

base, los llamaremos X, Y, Z.

OBTENCIÓN GRÁFICA DE LAS COORDENADAS DE UN PUNTO P:

Se proyecta P sobre los planos coordenados XY, XZ, YZ, y los puntos obtenidos se proyectan sobre los

ejes coordenados X, Y, Z:

segmento PD=c (paralelo al eje z)

segmento OA=BD=a (perpendicular al eje Y)

segmento OB=AD=b ( perpendicular al eje X)

Las coordenadas del punto P serán (a, b, c).


VECTOR QUE UNE DOS PUNTOS:

Dados dos puntos A(x1, y1, z1) y B(x2, y2, z2) el

vector AB tiene de coordenadas:

( )121212 ,, zzyyxxOAOBAB −−−=−=

O sea, para obtener las coordenadas del vector que va de un punto a otro, se restan: (coordenadas del

extremo)- (coordenadas del origen).

PUNTO MEDIO DE UN SEGMENTO:

Sean A y B dos puntos distintos, M el punto medio del segmento AB, entonces se verifica:

ABMBAM2

1== . Por tanto:

( ) ( ) =−−−+=+=+= 121212111 ,,2

1,,

2

1zzyyxxzyxABOAAMOAOM

+++=

2,

2,

2

212121 zzyyxx

Semisuma de las coordenadas de los extremos de los segmentos.


2º.- ECUACIONES DE LA RECTA

Una recta r en el espacio queda determinada por un punto A y un vector u no nulo, que se llama vector

director de la recta. El vector aOA = se llama vector de posición del punto A.

ECUACIÓN VECTORIAL:

Un punto cualquiera, X, de la recta cumple la condición siguiente: RtutAX = ,

Si a y x son los vectores de posición de los puntos A y X, respectivamente, se tiene que:

Rtutax =− ,

de donde:

Rtutax += ,

Al hacer variar t en R e van obteniendo los puntos de r.

ECUACIONES PARAMÉTRICAS:

Si en la ecuación vectorial sustituimos los vectores por sus coordenadas se obtiene:

(x, y, z)=(x1, y1, z1) + t(a, b, c)

ECUACIÓN CONTINUA:

Si despejamos el parámetro t de cada ecuación anterior e igualamos, obtenemos:

c

zz

b

yy

a

xx 111 −=

−=

−

x=x1 + ta

y=y1 + tb tR

z=z1 + tc


Si uno o dos de los tres denominadores son nulos, la expresión carece de sentido numérico. No obstante

se acostumbra a poner la igualdad en cualquier caso dándole sentido simbólico, de proporción.

Otra forma de determinar una recta r es mediante un punto A y dos vectores n y 'n perpendiculares

a r. El vector director de la recta se obtiene haciendo el producto vectorial de n y 'n : 'nxn .

PUNTOS ALINEADOS:

Tres o más puntos del espacio son colineales o están alineados cuando pertenecen a la misma recta.

nAAAA ,...,,, 321 están alineados rango ( ) 1,...,, 13121 =nAAAAAA .

3º.- ECUACIONES DEL PLANO

Un plano a en el espacio queda determinado mediante un punto A y dos vectores v y w no nulos y no

proporcionales (paralelos al plano), que se llaman vectores direccionales del plano.

ECUACIÓN VECTORIAL:

Un punto cualquiera X pertenece al plano a, si el vector AX depende de v y w ; es decir:

RsRtwsvtAX += ,,

o también: ( ) 0,,det =wvAX

Si a y x son los vectores de posición de los puntos A y X, respectivamente, se tiene que:


del dibujo se tiene: AXOAx += (siendo wsvtAX += )

de donde:

RsRtwsvtax ++= ,,

ECUACIONES PARAMÉTRICAS:

Sustituyendo en la ecuación anterior los vectores por sus coordenadas se tiene:

( ) ( ) ( ) ( )',',',,,,,, 111 cbascbatzyxzyx ++=

de donde:

++=

++=

++=

'

,'

'

1

1

1

sctczz

RsRtsbtbyy

sataxx

ECUACIÓN IMPLÍCITA:

Si utilizamos la expresión vectorial, se obtiene:

0

'''

111

=

−−−

cba

cba

zzyyxx

(puesto que el rango de la matriz asociada a este determinante es dos, ya que el vector ax − es

combinación lineal de los vectores wv, ).

Desarrollando el determinante por la primera fila, se obtiene:

( ) ( ) ( ) 0''''''

111 =−+−+− zzba

bayy

ca

caxx

cb

cb

Aquí, operando y simplificando, se llega a una ecuación del tipo:

en la que A, B y C no son los tres nulos y es la ecuación implícita o general del plano.

ECUACIÓN NORMAL:

Otra forma de determinar una plano a es mediante un punto A del plano y un vector n normal

(perpendicular) al plano.

Ax+By+Cz+D=0


Si X es cualquier punto del plano, se verifica:

0)·(0· =−= axnAXn

Si ( )CBAn ,,= , sustituyendo las coordenadas de los vectores en la expresión anterior, se tiene:

( ) ( ) ( ) 0111 =−+−+− zzCyyBxxA

o bien, operando:

Ax+By+Cz+D=0

ECUACIÓN SEGMENTARIA:

Un plano “a” no paralelo a ninguno de los tres ejes, y que no pasa por el origen, corta a los ejes en tres

puntos. Sean A(a,0,0), B(0,b,0) y C(0,0,c):

Sea ( )0,,baABv −== y ( )caACw ,0,−== :

0

0

0 =

−

−

−

ca

ba

zyax

Operando, se obtiene:

1=++c

z

b

y

a

x

ECUACIONES DE LOS EJES Y DE LOS PLANOS COORDENADOS:

Planos: OXY z=0

OXZ y=0

OYZ x=0

Ejes: OX

=

=

0

0

z

y; OY

=

=

0

0

z

x;

OZ

=

=

0

0

y

x


4º.- POSICIONES RELATIVAS DE RECTA Y PLANO

Las posiciones de una recta y un plano en el espacio son:

-Recta y plano secantes:

Tienen un punto en común.

-Recta y plano paralelos:

No tienen ningún punto en común.

-Recta contenida en el plano:

Todos los puntos de la recta pertenecen al

plano.

EXPRESIÓN VECTORIAL:

Consideramos la ecuación vectorial de la recta y la ecuación vectorial normal del plano:

utaxr +=: y 0: = nXA

Se presentan los siguientes casos:

0 nu Recta y plano secantes (Los vectores no son

ortogonales).

0= nu A Recta y plano paralelos (Los vectores son

ortogonales, pero no tienen puntos

comunes).

A Recta contenida en el plano (Los vectores

son ortogonales y tienen un punto en

común).


EXPRESIÓN ANALÍTICA:

Consideramos la recta y el plano dados por las ecuaciones generales (recta como intersección de dos

planos):

=+++

=+++

0

0:

1111 DzCyBxA

DCzByAxr y a: A2x+B2y+C2z+D2=0

Estudiamos el sistema formado por estas tres ecuaciones. La matriz A de los coeficientes y la matriz M

ampliada son:

=

222

111

CBA

CBA

CBA

A y

=

2222

1111

DCBA

DCBA

DCBA

M

Se tienen los siguientes casos:

Rango(A)=3 rango(M)=3 Sistema compatible determinado. Los tres planos se cortan en

un único punto. Por tanto, la recta y el plano son secantes.

Rango(A)=2 rango(M)=3 Sistema incompatible. No tienen ningún punto en común. Por

tanto, la recta y el plano son paralelos.

rango(M)=2 Sistema compatible indeterminado. Las infinitas soluciones

dependen de un parámetro. Por tanto, la recta está contenida

en el plano.

5º.- POSICIONES RELATIVAS DE DOS PLANOS

Las posiciones de dos planos en el espacio son:

-Planos secantes:

Tienen en común los puntos de una recta.

-Planos paralelos:

No tienen ningún punto en común.

-Planos coincidentes:

Tienen todos sus puntos en común.


EXPRESIÓN VECTORIAL

Consideramos los planos y dados por las ecuaciones vectoriales normales:

0·: = nXA y 0·: = nXA


( ) 2, = nnrango Planos secantes (Los vectores normales no son paralelos).

( ) 1, = nnrango nA Planos paralelos (Los vectores normales son paralelos y un

punto no es común a los dos planos).

nA Planos coincidentes (Los vectores normales son paralelos y

tienen un punto común).

Consideramos los planos a y b dados por las ecuaciones vectoriales:

wsvtax ++= : y '': wsvtax ++=


( ) 3',',, =wvwvrango Planos secantes (Hay 3 vectores linealmente independientes).

( ) 2',',, =wvwvrango nA Planos paralelos (Sólo hay dos vectores l.i. y un

punto no es común a los dos planos).

nA Planos coincidentes (Sólo hay dos vectores l.i. y

tienen un punto común).


Consideramos los planos y dados por las ecuaciones generales:

: Ax+By+Cz+D=0

:A’x+B’y+C’z+D’=0

Estudiaremos el sistema formado por estas dos ecuaciones:

La matriz de los coeficientes A y la matriz ampliada M son:

=

''' CBA

CBAA y

=

'''' DCBA

DCBAM

rango(A)=2 rango(M)=2 Sistema compatible indeterminado. Las infinitas soluciones

dependen de un parámetro. Por tanto, los dos planos se cortan

en una recta y son secantes.

rango(A)=1 rango(M)=1 Sistema compatible indeterminado. Las dos ecuaciones son

linealmente dependientes. Por tanto, los planos tienen todos

sus puntos en común, es decir, son paralelos coincidentes.

rango(M)=2 Sistema incompatible. Los planos no tienen ningún punto en

común, por tanto, son paralelos distintos.


En la práctica es más ágil estudiar la proporcionalidad de coeficientes y términos independientes.

=='''' D

D

C

C

B

B

A

A Planos paralelos distintos.

==='''' D

D

C

C

B

B

A

A Planos paralelos coincidentes.

Coeficientes no proporcionales Planos secantes.

Se llama haz de planos paralelos al conjunto de planos paralelos a uno dado y su ecuación es:

Ax+By+Cz+k=0, k R

6º.- POSICIONES RELATIVAS DE TRES PLANOS

Consideramos los planos , y g dados por sus ecuaciones generales:

:Ax+By+Cz+D=0

:A1x+B1y+C1z+D1=0

g:A2x+B2y+C2z+D2=0

Estudiaremos el sistema formado por estas tres ecuaciones. La matriz de los coeficientes A y la matriz

ampliada M son:

=

222

111

CBA

CBA

CBA

A y

=

2222

1111

DCBA

DCBA

DCBA

M

Rango(A)=3 rango(M)=3

Sistema compatible determinado.

Los tres planos se cortan en un

punto.

Rango(A)=2 rango(M)=3 Sistema incompatible. Los tres planos no tienen ningún

punto en común.

Los planos se cortan

dos a dos formando

una superficie

prismática.

Dos de los planos son

paralelos y el otro los

corta.


Rango(A)=2 rango(M)=2 Sistema compatible indeterminado. Las infinitas soluciones

dependen de un parámetro.

Los tres planos son

distintos y se cortan

en una recta.

Dos planos son

coincidentes y el otro

los corta.

Rango(A)=1 rango(M)=2 Sistema incompatible. Puesto que rango(A)=1, los tres

planos son paralelos.

Los planos son

paralelos y distintos

dos a dos.

Dos de los planos son

coincidentes y el otro

paralelo a ellos y

distinto.

rango(M)=1 Sistema compatible indeterminado.

El sistema se reduce

a una sola ecuación y

los planos son

coincidentes.

HAZ DE PLANOS SECANTES:

Se llama haz de planos secantes al conjunto de planos que pasan por una recta que se llama arista del

haz y su ecuación es:

t(Ax+By+Cz+D)+s(A1x+B1y+C1z+D1 )=0, t, sR


7º.- POSICIONES RELATIVAS DE DOS RECTAS

Las posiciones de dos rectas en el espacio son:

-Rectas secantes:

Tienen un punto en común.

-Rectas coincidentes:

Tienen todos los puntos en común.

-Rectas paralelas:

No tienen ningún punto en común y

están en un mismo plano.

-Rectas cruzadas:

No tienen ningún punto en común y no están

en un mismo plano.

EXPRESIÓN VECTORIAL:

Consideramos las rectas r y s dadas por sus ecuaciones vectoriales: utaxr +=: y vtbxs +=:


( ) 2, =vurango ( ) 3,, =ABvurango Los vectores directores no son paralelos y

los tres vectores son l.i.. Por tanto, se

cruzan.

( ) 2,, =ABvurango Los vectores directores no son paralelos,

pero los tres vectores son l.d. Luego, se

cortan.

( ) 1, =vurango ( ) 2,, =ABvurango Los vectores directores son paralelos, pero

las rectas no pueden coincidir. Luego son

paralelas distintas.

( ) 1,, =ABvurango Los tres vectores son paralelos, luego las

rectas son coincidentes.

En la práctica se estudia la proporcionalidad de los tres vectores:

• Si los vectores directores son proporcionales: paralelas o coincidentes. Si los tres vectores son

proporcionales, coincidentes. En caso contrario paralelas distintas.

• Si los vectores directores no son proporcionales: secantes o se cruzan. Si además el determinante

formado por los tres vectores es 0 rectas secantes. En caso contrario, se cruzan.


Consideramos las rectas r y s dadas por sus ecuaciones generales (como intersección de 2 planos):

=+++

=+++

0

0:

1111 DzCyBxA

DCzByAxr y

=+++

=+++

0

0:

3333

2222

DzCyBxA

DzCyBxAs


Sea A la matriz de los coeficientes y M la matriz ampliada.


Rango(A)=3 rango(M)=4 Sistema incompatible. Los cuatro planos no tienen ningún punto

en común. Por tanto, se cruzan.

rango(M)=3 Sistema compatible determinado. Se cortan en un punto. Por

tanto, secantes.

Rango(A)=2 rango(M)=3 Sistema incompatible. Las rectas están en el mismo plano.

Luego son paralelas distintas.

rango(M)=2 Sistema compatible indeterminado. Sólo dos ecuaciones son

independientes. Son coincidentes.

EL ESPACIO DE TRES DIMENSIONES › 2019 › 02 › ... · 2019-02-15 · el blog de mate de aida....

Documents

Transcript of EL ESPACIO DE TRES DIMENSIONES › 2019 › 02 › ... · 2019-02-15 · el blog de mate de aida....