El Método de Elemento Finitos - Aplicación a la Mecánica Escalar (Elementos Unidimensionales y...

Esta pgina est dejada intencionalmente en blanco

El Mtodo de Elemento Finitos - Aplicacin a la

Mecnica Escalar

Esta pgina est dejada intencionalmente en blanco

El Mtodo de Elemento Finitos Aplicacin a la Mecnica Escalar

elementos

unidimensionales

En este captulo se cubren aspectos introductorios para el desarrollo y uso

del Mtodo de los Mtodos Finitos (MEF), como el planteamiento de la

forma general del Mtodo de los Residuos Ponderados (MRP) y su forma

dbil con el uso del Mtodo de Galerkin. Se da el planteamiento general

para hallar las soluciones aproximadas a problemas de Mecnica Escalar

como son los problemas de Poisson aplicados a la transferencia de calor y

al Principio de Trabajos Virtuales. Se introducen los conceptos de

Formulacin Paramtrica e Integracin Numrica, ambos muy

importantes para la implementacin del MEF y que se ampliarn ms

adelante en elementos finitos bi y tridimensionales.

El Mtodo de los Elementos Finitos Mecnica Escalar y Vectorial Elementos Unidimensionales

Mediante ecuaciones diferenciales se puede generalizar el comportamiento de un sistema

continuo, y por tanto dicho comportamiento se logra obteniendo la solucin analtica de dichas

ecuaciones. Para obtener la solucin de la ecuacin diferencial se pueden usar los mtodos directos de

integracin, que nos dar la solucin exacta al problema. Otra alternativa es la de abordar dicha ecuacin

por mtodos aproximados. Los mtodos aproximados se dividen en un primer grupo que toma en cuenta

la ecuacin diferencial original (el mtodo de las diferencias finitas), y el segundo grupo que toma la

formulacin integral equivalente. En el segundo grupo se consideran al Mtodo de los Elementos Finitos,

cuya integral equivalente puede ser una formulacin variacional o una formulacin residual.

A continuacin mencionaremos los tres mtodos que se pueden usar para obtener la solucin

numrica de las ecuaciones diferenciales.

Mtodo de las Diferencias Finitas.

En este mtodo se aproximan las derivadas que gobiernan la ecuacin diferencial usando

ecuaciones diferenciales. Este mtodo es usado en problemas de campo como la transferencia de

calor y la mecnica de fluidos. Con este mtodo se trabaja muy bien en regiones de dos

dimensiones y con bordes paralelos a los ejes de coordenadas, lo que es una desventaja cuando

se quiere aplicar este mtodo en regiones curvas o de bordes irregulares, en los que su

implementacin en programas de cmputo se vuelve muy complicada.

Mtodo Variacional.

La solucin aproximada de una ecuacin diferencial se puede obtener, sustituyendo diferentes

funciones de prueba en un funcional apropiado. La funcin de prueba que nos d un mnimo

valor del funcional, ser la solucin aproximada [Seg]. Consideremos la siguiente integral:

0

(

*

1

El valor de puede calcularse mediante una funcin y=f(x). Por clculo variacional, la ecuacin

particular y=g(x) que cumpla con las condiciones de borde y entregue el menor valor de , ser

la solucin para la ecuacin diferencial siguiente:

Mtodo de Residuos Ponderados.

En este mtodo se elige una funcin aproximada y=h(x) y se evala en la ecuacin diferencial

(1.1). El resultado generar un cierto error (no ser igual a cero), lo que indica que la funcin

y=h(x) no satisface la ecuacin diferencial.

En el Mtodo de los Residuos Ponderados, al residuo R(x) se le multiplica por una funcin de

peso y se procede a integrar el producto, el requerimiento es que la integral sea igual a cero. Se

tendrn tantas funciones de peso como coeficientes desconocidos hayan.


Para la eleccin de las funciones de peso se tienen varios mtodos, entre los cuales los ms

populares son: el mtodo de colocacin puntual, el mtodo de colocacin por subdominios, el

mtodo de Galerkin y el mtodo de mnimos cuadrados.

Se desarrollar el ejemplo de una viga simple sometida a momentos en sus extremos, para

plantear los mtodos descritos anteriormente. Ms adelante se trabajarn slo con los mtodos de

formulacin residual, cuando se desarrolle el mtodo de residuos ponderados en su forma general y en su

forma dbil.

Figura 1.1: Viga sujeta a momentos [Seg].

Las condiciones de borde sern: y(0) = y(L) = 0.

Si se traza el diagrama de momentos se podra notar que toda la viga est sujeta a un valor de Mo

(valor constante para el momento). La ecuacin diferencial que gobierna el comportamiento de la viga es:

EI representa la resistencia de la viga a la flexin, M(x) en este ejemplo tiene un valor constante

igual a Mo. Una solucin aproximada para evaluar la deflexin en la viga es:

La ecuacin (1.3) se considera como una ecuacin apropiada, ya que cumple con las condiciones

de borde y(0) = y(H) = 0 y adems la curva es similar a la curva de deformacin de la viga. La solucin

analtica o exacta de la ecuacin (1.2) es como sigue:

Solucin por el Mtodo Variacional

La integracin para la ecuacin diferencial (1.2), mediante el mtodo variacional es la siguiente:

0

(

*

1

De la ecuacin particular (1.3), el valor de A que nos da la mejor aproximacin a la curva de

deflexin es el valor que hace un mnimo. deber ser escrito en funcin de A y luego ser minimizado

con respecto a A. De la ecuacin (1.3) se tendr:

Reemplazando los valores de (1.3) y (1.4) en el valor de , tendremos:


0

(

*

1

.

/ (

*

Minimizando :

.

/ (

*

Luego el valor de A, ser igual a:

.

/

La solucin aproximada de la curva de deflexin ser entonces:

.

/

Solucin por el Mtodo de Colocacin Puntual

En este mtodo se requiere que la ecuacin residual sea cero en tantos puntos como incgnitas se

tengan. Como funcin aproximada se tomar la ecuacin (1.3) y sustituyndola en la ecuacin (1.2), nos

dar la ecuacin residual:

Como se tiene un solo coeficiente incgnita, igualaremos la ecuacin residual a cero en slo un

punto. Evaluaremos para el punto = L/2.

(

*

.

/


.

/

De elegir un punto distinto a L/2 la solucin aproximada puede variar.

Solucin por el Mtodo de Colocacin por Subdominios

En este mtodo lo que se requiere es que la integral sea igual a cero en tantos

intervalos como incgnitas se tengan. Se puede elegir cualquier longitud como tamao del intervalo. Para

nuestro ejemplo, se elegir un solo intervalo o subdominio ya que slo se tiene una incgnita a ser

calculada, por tanto el intervalo elegido ser toda la viga (0


0

1

Resolviendo la integral se tendr:

(

*

.

/


.

/

Solucin por el Mtodo de Galerkin

En este mtodo la integral , es evaluada usando como funcin de peso , la

misma funcin aproximada. En este ejemplo se tendr una sola funcin de peso debido a que se tiene una

sola incgnita.

0

1


.

/

.

/


.

/

Solucin por el Mtodo de Mnimos Cuadrados

El error en este mtodo ser: Er = [ ] :

0

1


.

/

Minimizando Er:

.

/

Luego el valor de A, ser igual a:


.

/


.

/

De los mtodos usados el mtodo variacional, el mtodo de Galerkin y el mtodo de mnimos

cuadrados nos han entregado resultados iguales; se tendra que elaborar una comparacin de los mtodos

con la solucin analtica para verificar la exactitud de cada uno. La eleccin de la funcin aproximada, as

como los puntos de colocacin o eleccin de subdominio hacen que los mtodos puedan ser ms o menos

precisos.

En lo que sigue del texto se trabajar slo con los mtodos residuales, y entre los mtodos

residuales se dar preferencia al mtodo de Galerkin.

En la figura 1.2 se tiene una barra sometida a una fuerza horizontal H en su extremo libre, y a

cargas axiales distribuidas b(x), no se considerarn las fuerzas de cuerpo como es el peso propio.

Segn se indica en la Figura 1.2, se tomar un elemento diferencial de la barra horizontal. En

dicho elemento diferencial se aplicar el equilibrio por sumatoria de fuerzas, por lo que se tendr:

La relacin esfuerzo-deformacin se expresa por la ley de Hooke:

Figura 1.2: Barra cargada axialmente [OZ]

Si el rea transversal de la seccin es A, el esfuerzo axial N ser:


Reemplazando N en la ecuacin (1.5):

(

*

La ecuacin (1.6) es la ecuacin de equilibrio de fuerzas en la barra. Las condiciones de

contorno sern:

Desplazamiento para u=0 en x=0 (Condiciones de Dirichlet)

2

(Condiciones de Neumann)

Al desplazamiento se le conoce como primera variable, y est especificado en las condiciones de

contorno de Dirichlet o contorno esencial. A

, se le conoce como la segunda variable y est prescrita

en las condiciones de contorno de Neumann o contorno natural.

La ecuacin de Poisson se puede aplicar a muchos campos como a la electroesttica, flujo en

medios porosos, transferencia de calor, flujo en tuberas, flujo de fluidos viscosos, torsin de barras, etc.

La ecuacin general de Poisson tiene la siguiente forma general [Red]:

(

*

En la tabla a continuacin se enumeran algunos de los campos de estudio donde se puede aplicar

la ecuacin de Poisson.

Como se ha visto anteriormente, en el Mtodo de los Residuos Ponderados se transforma la

ecuacin diferencial en una expresin integral equivalente. Se tiene una ecuacin diferencial A() en el

dominio (0 x L, para la barra de la figura 1.2, donde se satisface dicha ecuacin:

(

*

Campo de EstudioVariable

Primaria (u)a c b

Variable

Secundaria

Transferencia de Calor Temperatura (T)Comductividad

(k)

Superficie de

Conveccin (p)

Fuente de Calor

(Q)Calor (q)

Flujo a travs de Medios

Porosos

Altura

Piezomtrica ()Permeabilidad 0 Infiltracin Flujo (q)

Flujo a travs de Tuberas Presin (P)Resistencia de la

Tubera (1/R)0 0 Flujo (q)

Flujo de Fluidos Viscosos Velocidad (vs) Viscosidad () 0Gradiente de

Presin (-dP/dx)

Esfuerzo de

Corte (xz)

Cables ElsticosDesplazamiento

(u)Tensin (T) 0

Fuerza

Transversal (f)

Fuerza Puntual

(P)

Barras ElsticasDesplazamiento

(u)

Rigidez Axial

(EA)0 Fuerza Axial (f)

Fuerza Puntual

(P)

Torsin de Barrasngulo de Giro

()

Rigidez al Corte

(GJ)0 0 Torque (T)

ElectroestticaPotencial

Elctrico ()

Constante

Dielctrica ()0

Densidad de

Cambio ()

Flujo Elctrico

( E)


Las condiciones de contorno sern expresadas por las ecuaciones:

8

Donde es el contorno de Dirichlet (x = 0, para la barra de la figura 1.2), que prescribe la

funcin incgnita (desplazamientos, temperaturas, etc.); y es el contorno de Neumann (x = L, para la

barra de la figura 1.2), donde se prescribe el flujo o tensiones en el dominio.

La forma integral equivalente se obtiene multiplicando a las expresiones A() y B(), por

funciones de peso e integrando sobre el dominio de cada ecuacin:

Donde son las funciones de peso. Para cumplirse con la ecuacin integral (1.8),

debe tambin de cumplirse con las siguientes condiciones:

Por tanto se puede indicar que se puede tener cualquier funcin de peso, y tambin indica que la

funcin que satisface con las ecuaciones (1.6) y (1.7) tambin cumplir la ecuacin integral (1.8). Por

tanto se podr solucionar el problema a partir de las ecuaciones (1.6) y (1.7), que sera usar el mtodo de

las diferencias finitas, o mediante la ecuacin integral (1.8) que es la base del mtodo de los elementos

finitos.

1.4.1. Aproximacin de la Incgnita.

Como no es posible encontrar soluciones exactas al problema, se buscarn soluciones

aproximadas .

Por tanto la ecuacin integral podr ser expresada por la integral de residuos

ponderados, mediante:

( ) ( )

A la ecuacin (1.9) se le conoce como la ecuacin de residuos ponderados, ya que al

sustituir en las ecuaciones A y B, al ser una funcin aproximada de , tendremos los

residuos de la solucin (no sern igual a cero).

( )

( )

La ecuacin (1.9) tambin se puede escribir como:


Si , se cumplir que . La ecuacin (1.10) nos lleva a

interpretarla como la integral de los residuos de la ecuacin diferencial ponderados por las

funciones de peso, de ah el nombre a este mtodo [OZ].

La solucin aproximada se expresa a travs de una combinacin lineal de funciones.

Donde sern los coeficientes a determinar y son las funciones de la variable

independiente x. Para , suelen escogerse:

a. Monomios:

b. Funciones de Fourier:

c. Funciones Exponenciales:

Tomando en cuenta las funciones , la expresin de residuos ponderados ser:

4

5 4

5

La expresin anterior, ordenada adecuadamente, como se ver ms adelante, se puede

escribir en forma matricial como:

Ka = f

La solucin de la ecuacin (1.11), nos dar los valores de las incgnitas .

1.4.2. Aplicacin del Mtodo de Residuos Ponderados a problemas

unidimensionales de transmisin de calor

Se tendrn las siguientes condiciones para el problema a resolver:

La conductividad k ser constante y tendr un valor de 1, Q es el calor generado por

unidad de longitud y es la temperatura. El valor de Q tiene las siguientes condiciones:

{

Se cumplen las siguientes condiciones de contorno:


{

Se tomarn las funciones de forma globalmente . La aproximacin de se har

por series de Fourier.

La funcin es continua en todo el dominio , adems se cumplen con las

condiciones de contorno.

}

De lo anterior se tiene que en el contorno (x=0, x=L):

( )

Operando en :

( ) (

+

(

+

0 (

*

1

La ecuacin integral ser por tanto:

( ) ( )

80 (

*

1

9

80 (

*

1

9

[

(

*

]

Resolviendo la ecuacin (1.12) para distintos valores de i:

Para i=1

0 (

*

1


(

)

(

*

(

)

Para i=2

(

)

(

*

(

)

Para i=n

(

)

(

*

(

)

Las ecuaciones integrales anteriores, tambin se pueden expresar en forma matricial:

(

)

[

]

{

}

{

}

O:

[

]

{

}

{

}

En la anterior ecuacin matricial, cada trmino Kij de la matriz K se expresa por:

(

*

La matriz K no es una matriz simtrica, . Cada trmino fi, ser:

1.4.3. Mtodo de Galerkin

Este mtodo consiste en tomar como funciones de peso, las mismas funciones de

aproximacin .

La ecuacin integral general, tendr la siguiente forma con el Mtodo de Galerkin:

( ) ( )

Continuando con la resolucin del problema unidimensional de transmisin de calor, se

tendr:

( ) ( )


Resolveremos el problema tomando uno y dos trminos.

Para n=1:

[ ]{ } { }

Calculando los trminos de la ecuacin matricial:

(

)

(

)

(

) (

)

(

)

Evaluando la ecuacin matricial:

[ ]{ } { }

0

1 { } {

}

Por tanto:

Para n=2:

[

] ,

- {

}

Calculando los trminos de la ecuacin matricial:

i=1:

(

)

(

)

(

) (

)

(

)

(

*

(

)

(

*


i=2:

(

)

(

*

(

)

(

*

(

*

(

* (

*

(

*

Evaluando la ecuacin matricial:

*

+ ,

- 2

3

Por tanto, la solucin aproximada es:

Se dir que una funcin tiene continuidad o clase Cm, si la funcin es continua y sus m primeras

derivadas; por ejemplo C1 significar que la funcin y su primera derivada son continuas, C0 indicar que

slo la funcin es continua y C-1 que la misma funcin es discontinua.

Para que la derivada m-sima de una funcin sea integrable, es necesario que la m-1 derivada sea

continua.

Figura 1.3: Integral de una funcin y sus dos primeras derivadas [OZ]

En la figura 1.3, la integral de la funcin f(x) existe en el intervalo [0,xi+1] y se calcula hallando

el rea del tringulo, f(x) es una funcin continua (no presenta ningn salto). La primera derivada f (x)

no es un funcin continua, pero es integrable, la integral de la primera derivada de f(x) se calcula hallando

el rea de los dos rectngulos que forma la funcin en el intervalo [0,xi+1]. Sin embargo, f (x) ya no es


integrable (m=2), lo que demuestra lo anteriormente mencionado: no es integrable ya que f (x), que es la

derivada m-1, no es una funcin continua. En resumen la funcin mostrada, tendr una continuidad C0.

Considerando la ecuacin diferencial inicial:

(

*

Con las condiciones de contorno:

8

Aplicando el Mtodo de Residuos Ponderados se tendr:

[ ]

Es comn tomar funciones aproximadas que cumplan con las condiciones de contorno de

Dirichlet, es la razn por la que no se toma en cuenta la ponderacin en . Sustituyendo las

ecuaciones diferenciales se tendr:

[

(

* ]

[ (

*

]

En la ecuacin 1.15, aparece derivada 2 veces (m=2), lo que nos indica que para que sea

integrable, la derivada m-1 (primera derivada), debe ser continua; es decir tener una continuidad C1. Esta

condicin tambin la deben de cumplir las funciones de forma.

Tambin se puede evaluar el grado de continuidad para k, ya que est derivada una sola vez

(m=1), es necesario que slo la funcin sea continua (m-1=0), C0.

Por otro lado, W no se encuentra afectada por ninguna derivada, entonces no es necesario

cumplir con ningn requisito de continuidad, pudiendo ser una funcin de peso discontinua. De evaluar

las continuidades para y para W, podemos concluir que los requisitos de continuidad son asimtricos,

lo que nos conducir a obtener sistemas de ecuaciones algebraicas no simtricas (K no sera una matriz

simtrica como se ha indicado, ).

Por el mtodo de integracin por partes podremos generar otra expresin para la ecuacin

integral que nos permita trabajar con expresiones para y W simtricas:

[ ]

[

(

* ] [ (

*]

(

*

[ (

*]


4

5

6

7

4

5

Reemplazando la integracin por partes en la ecuacin (1.16):

(

*

[

]

[ (

*]

En la ecuacin (1.17), se han modificado los requisitos de continuidad. Para y W se requiere

una continuidad C0 (m=1, m-1=0), mientras que k puede ser discontinua.

La ecuacin integral (1.17) recibe el nombre de forma integral dbil, ya que al usarla se restringe

el campo de seleccin de la funcin W, ya que la forma dbil exige funciones de peso continuas, mientras

que la forma integral original permite cualquier tipo de funciones de peso [OZ].

1.6.1. Condicin de Contorno Natural

Si = -W, simplificando y reordenando la ecuacin se tendr:

(

*

[

]

[ ]

(

*

[ ] [ ]

La variable q0, para el tratamiento de transferencia de calor, es el flujo entrante donde

est prescrito el valor de . Hablando de clculo de estructuras, q0 es la reaccin en x=0. En

ambos casos, q0 puede calcularse una vez que se haya calculado la solucin para .

1.6.2. Solucin de la Ecuacin Diferencial por la forma dbil del MRP

Sustituyendo:

En la ecuacin (1.18):

4

5

[ ] [ ]

Si se dan valores sucesivos a i, se obtiene un sistema de n ecuaciones:

Para n=1

(

*

[ ] [ ]

Continuidad MRP MRP Dbil

C 1 C 0

W C -1 C 0

k C 0 C -1


Para n=2

(

*

[ ] [ ]

Para n=n

(

*

[ ] [ ]

Las ecuaciones anteriores, con el debido acomodo se pueden escribir en forma matricial

como:

[

]{

} {

}

Usando el Mtodo de Galerkin, Wi = Ni, se tendrn las siguientes ecuaciones generales

para cada trmino de la matriz de rigidez y para el vector de fuerzas:

La matriz K ser simtrica, es una de las propiedades que se tiene al usar el mtodo de

Galerkin en la forma dbil de los residuos ponderados. Se tendrn tantas funciones de forma

como en nodos se tenga dividida la barra. Como ya se indico, q0 se desconoce y se podr calcular

despus, una vez que se hayan calculado todos los valores para ai.

Para el clculo de q0, se tiene la siguiente ecuacin:

|

De la ecuacin (1.20), debemos indicar que la precisin de , por lo general, ser

menor al de ; esto se debe a que se calcula a partir de la primera derivada de . En clculo

numrico se considera a la derivada de una funcin como un error adicional, de ah el menor

grado de precisin para los flujos o reacciones.

Problema de Evaluacin N 01:

Se tiene la siguiente ecuacin de Poisson para un problema de transferencia de calor:



8

Se pide obtener la funcin polinmica aproximada de la incgnita , que satisfaga las

condiciones de contorno prescrita en x=0. Calcular para n=2, aplicando la forma dbil de Galerkin.

Adems calcular |

Que se puede comentar de la solucin hallada si se sabe que la solucin analtica es:

Retomando la barra cargada axialmente de la figura 1.2. La ecuacin diferencial es:

(

*

Las condiciones de contorno estarn dadas mediante:

8

Aplicando la ecuacin (1.15):

[

(

* ]

[ (

*

]

De (1.21) se obtiene la forma dbil integrando por partes:

[ ]

[

(

* ] [ (

*]

(

*

[ (

*]

(

,

[

]

(

,

Reemplazando la integracin por partes en la ecuacin (1.22) y haciendo :

(

*

[

]

[ (

*]


(

*

[

] [

] [ (

*]

[ ]

(

*

[

] [ ]

(

*

[

] [ ]

De la relacin esfuerzo-deformacin se tiene:

Reemplazando N en (1.23):

[ ] [ ]

La funcin de peso W, ser conocida como el desplazamiento virtual, denotndose por :

El trmino [ ] se elimina haciendo que la funcin desplazamiento virtual satisfaga las

condiciones de frontera cinemticas.

|

Sustituyendo la funcin de desplazamientos virtuales en (1.24), tendremos:

[ ]

La deformacin virtual se define por:

Sustituyendo en la ecuacin (1.25), se tiene:

El principio de trabajos virtuales es el punto de partida para la solucin por el MEF de problemas

de mecnica de slidos, fluidos y gases [OZ].

La ecuacin (1.26) se conoce como el Principio de Trabajos Virtuales (PTV), su cumplimiento

es necesario y suficiente para el equilibrio estructural de un cuerpo. Su definicin es la siguiente: Un

cuerpo est en equilibrio, si se cumple que para cualquier desplazamiento virtual que satisfaga las

condiciones de contorno cinemticas, el trabajo que realizan las tensiones sobre las deformaciones

virtuales es igual al trabajo que realizan las fuerzas exteriores sobre los desplazamiento virtuales.

De la definicin dada podemos interpretar la ecuacin (1.26). ser el trabajo (por unidad

de longitud), que realiza la carga repartida b(x) sobre los desplazamientos virtuales . es el

trabajo de la fuerza sobre el desplazamiento virtual del extremo de la barra. Y para que el cuerpo est


en equilibrio, la integral del primer miembro, en la ecuacin (1.26), es el trabajo que realizan los

esfuerzos axiales sobre las deformaciones virtuales en toda la barra.

De todo el procedimiento realizado se concluye que el PTV coincide con la forma dbil de

Galerkin. El PTV tambin tiene aplicacin problemas de Poisson, donde se equilibrar el trabajo virtual

de los flujos internos y externos.

En el Mtodo de los Elementos Finitos se combina el Mtodo de los Residuos Ponderados con

aproximaciones polinmicas locales dentro de cada elemento [OZ].

Figura 1.4: Discretizacin de una barra en elementos finitos unidimensionales de 2 nodos [OZ]

En la figura 1.4, se puede apreciar la discretizacin del dominio de anlisis (dominio

unidimensional), en subdominios no intersectantes entre s, a los que se denominan elementos finitos. La

funcin incgnita se aproximar por medio de funciones polinmicas definidas localmente para cada

trmino:

Donde n ser el nmero de puntos del elemento donde se supone que se conoce el valor

aproximado de . A los puntos se le denominar nodos. Los valores de a0, a1,,an son constantes que

dependen de los valores de en los nodos

La expresin (1.27) se puede escribir tambin como:

La funcin interpola dentro del elemento nicamente los desplazamientos

correspondientes al nodo i y se denomina funcin de forma del nodo i. Cada funcin de forma vale la

unidad en el nodo i y cero en el resto de los nodos.


Sustituyendo la expresin aproximada de en la expresin integral del MRP, se obtendrn

ecuaciones algebraicas de equilibrio, las que se podrn escribir en forma matricial: Ka=f. En anlisis

estructural a K se le denomina matriz de rigidez de la malla de elementos finitos, a ser el vector de

incgnitas nodales y f ser el vector de flujos nodales. La matriz K y el vector f , se pueden obtener de las

contribuciones individuales de cada elemento

1.8.1. Definicin local de las funciones de forma

Trabajaremos en cada elemento finito discretizado, el que se presenta de manera general

en la figura en la figura 1.5 de manera aislada.

Figura 1.5: Funciones de forma lineales en un elemento finito unidimensional de dos nodos.

Podemos expresar la variable incgnita en cada nodo mediante un polinomio

lineal:

Si la funcin verdadera y la funcin aproximada, toman el mismo valor en cada nodo,

tomando los nodos extremos se tendr el siguiente sistema de ecuaciones:

Resolviendo el anterior sistema de ecuaciones, obtendremos:

Sustituyendo los valores de en la expresin (1.29):

(

+ (

+

Reordenando la expresin (1.30) en trminos de

, tendremos:


Las funciones de forma se pueden tambin expresar como:

A sido necesario resolver las ecuaciones lineales para obtener las funciones de forma en

relacin a x, ms adelante se usarn funciones de forma con elementos lagrangianos para nos

darn las funciones de orden lineales y de mayor grado sin necesidad de resolver un sistema de

ecuaciones. A continuacin podemos confirmar la propiedad de una funcin de forma, que indica

que en un nodo toma el valor de uno y cero en los otros nodos:

{

{

La interpolacin realizada permite obtener el valor de la funcin incgnita en cualquier

punto del elemento en funcin de los valores nodales

. Generalizando esta tcnica a

todos los elementos finitos, se obtendr una aproximacin lineal por intervalos. En el caso de que

aproxime exactamente a , lo que indicara que la funcin de forma tiene el mismo grado

de polinomio que la solucin analtica; se cumplir lo que se muestra en la figura 1.6(a), donde

se aprecia que la poligonal que nos dan las funciones de forma aproximadas coincide con la

curva de la solucin exacta en cada nodo, no as la variacin interna de la incgnita en el

elemento. En el MEF no es comn que se cumpla lo indicado previamente, generalmente se

cumplir lo mostrado en la figura 1.6(b), donde se generar un error que se traduce en que en los

nodos no se obtendr el valor exacto de la funcin y en el interior de los elementos no se podr

obtener la variacin exacta de la solucin.

Figura 1.6: Solucin por el MEF. (a) Aproximacin exacta nodalmente; (b) Solucin

aproximada.

1.8.2. Solucin de la ecuacin de Poisson con un elemento de dos nodos


Figura 1.7: Solucin de la ecuacin de Poisson con un elemento de dos nodos.

En la figura 1.7 se tiene un problema de transferencia de calor por conduccin, donde

gobierna la ecuacin diferencial siguiente:

(

*


8

La solucin analtica para k constante es la siguiente:

La forma dbil es:

.

/

[ ] [ ]

La aproximacin de la temperatura se escribe de la siguiente manera:

Las temperaturas en los nodos 1 y 2 son respectivamente. Derivando (1.33):

Sustituyendo (1.34) en (1.32):

.

/

[ ] [ ]

Aplicando Galerkin en (1.35) ( :

.

/

[ ] [ ]


Se tendrn dos funciones de peso, ya que se est trabajando con un solo elemento de dos

nodos.

Para i=1:

(

*

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

(

*

Para i=2:

(

*

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

(

*

Las ecuaciones integrales (1.37) y (1.38), nos llevan a un sistema de ecuaciones con dos

incgnitas, que podemos expresarlas en forma matricial:

[

] {

} {

}

Los elementos de la matriz de rigidez de los elementos finitos tendrn la siguiente

expresin:

Calcularemos las derivadas de las funciones de forma:

Calculando cada trmino de la matriz:

(

* (

*

(

* (

*

(

* (

*

Se proceder a calcular el trmino f1 del vector de fuerzas:


(

)

( )

(

)

(

)

[ ] 0

1

De igual manera se calcula f2.

(

)

Todos los trminos acomodados en la ecuacin matricial (1.39), nos dar:

*

+ {

} {

}

Se sabe que , por tanto ser:

Comparando con la solucin analtica se puede observar que el valor para coincide,

no as la variacin dentro del elemento que es de forma cuadrtica. El flujo q0 se obtendr

sustituyendo en la primera ecuacin, lo que ser:

.

/

1.8.3. Solucin de la ecuacin de Poisson con varios elementos de dos nodos

El procedimiento general para la solucin de problemas de Poisson por el MEF, para

varios elementos de dos nodos y funciones lineales ser el siguiente:

Se debe de obtener la matriz de rigidez de los elementos finitos y el vector de

flujos. Para cada elemento se tendr la ecuacin matricial:

[

] {

} {

}

Donde cada elemento de la matriz es igual a:

(

*

(

*

Ensamblar la matriz de rigidez global K y el vector de fuerzas o flujos nodales f.

La ecuacin matricial para n elementos de dos nodos tendr la siguiente forma:

[

] {

} {

}


[

]

{

}

{

}


Resolver el problema presentado en el apartado 1.8.2 considerando como elementos finitos dos

elementos de dos nodos.

Considerar k constante as como tambin una distribucin de Q constante en toda la barra.

Hasta lo tratado previamente, se hizo uso de funciones de forma lineales. Se ha mencionado que

la solucin aproximada coincide con la exacta cuando ambas tienen el mismo grado de polinomio, por

tanto en esta seccin veremos cmo se eligen funciones de forma de grado superior, a la vez obtendremos

estas funciones de forma sin necesidad de resolver un sistema de ecuaciones, como se vio en la seccin

1.8.1.

La aproximacin polinomial de puede escribirse de la siguiente manera:

Para obtener las funciones de forma se pueden hacer uso de los polinomios de Lagrange. Con los

polinomios de Lagrange se tendr un valor en un punto y cero en el resto de puntos, cumpliendo la

propiedad de una funcin de forma. Se normalizar el valor que toma el polinomio de Lagrange a uno,

para de esta forma hacerlas coincidir con las funciones de forma del MEF. La funcin de forma de un

nodo i de n nodos para un elemento lagrangiano se obtiene de la expresin:

( )

( )

Para un elemento de 2 nodos se tendrn las siguientes funciones de forma:

Introduciremos un sistema de coordenadas natural o normalizado para relacionarlo con el

sistema cartesiano con el que hemos venido trabajando, como se puede observar en la figura 1.8.

Donde:


Siendo xC es la coordenada en el centro del elemento.

Figura 1.8: Sistema Cartesiano y Natural ()

Sustituyendo valores para x, se tendr:

En la geometra natural la longitud del elemento ser 2. En este nuevo sistema podemos expresar

la expresin de las funciones por los polinomios lagrangianos:

( )

( )

Para un elemento lagrangiano de dos nodos con 1=-1 y 2=+1, se tendr:

El uso de coordenadas naturales permite independizar las expresiones de las

funciones de forma de la geometra del elemento [OZ] (las funciones para interpolar la

geometra del elemento se ver en el tema siguiente).

En la figura 1.9(a), se tiene un elemento finito cuadrtico unidimensional de tres

nodos, donde 1=-1, 2=0 y 3=+1. Las funciones de forma sern:


Figura 1.9: Elementos unidimensionales cuadrtico(a) y cbico (b) de clase C0.

Las funciones de forma para un elemento finito unidimensional cbico de cuatro

nodos, tal como se muestra en la figura 1.9(b), con 1=-1, 2=-1/3, 3=+1/3 y 4=+1, sern:

(

*(

*

(

*

(

*

(

*(

*



Obtener las funciones de orden para un elemento finito unidimensional de polinomio de cuarto

orden con cinco nodos.

La formulacin paramtrica se refiera a interpolar la geometra del elemento a partir de las

coordenadas de una serie de puntos conocidos. En un elemento lineal de dos nodos, la variable en un

nodo del elemento se expresa dentro del elemento usando la expresin normalizada por:

El gradiente (g) se obtiene de:

Al usar la expresin normalizada se necesita calcular la derivada de las funciones

. Las

funciones de forma no estn en expresadas en funcin de x, ya que se est usando el sistema de

coordenadas naturales. Para el clculo de la gradiente se harn los siguientes procesos:

.

/

.

/

Sustituyendo (1.42) y (1.43) en (1.41):

Ahora es necesario conocer

, por lo que se debe de conocer la relacin entre las coordenadas

cartesianas x y las coordenadas naturales. Esta relacin se puede obtener realizando una interpolacin

numrica de la geometra del elemento. Conociendo las coordenadas de m puntos del elemento, se podr

calcular la coordenada de cualquier punto interior del elemento, interpolando los valores de las

coordenadas conocidas. La interpolacin de la geometra se puede escribir por la siguiente expresin:

Las funciones de interpolacin de geometra (

), tienen las mismas propiedades que las

funciones de forma que se utilizan para interpolar los desplazamientos (temperaturas en el caso de

problemas de transferencia de calor), entonces toman el valor de uno en el punto i y cero en resto de

puntos. La expresin (1.45) tambin se interpreta como la transformacin de coordenadas de a x.

En la figura 1.10 se muestra una curva que representa la geometra o contorno de un elemento

finito curvo, dicha curva cumple con la funcin y = x3 2x2 x + 4. Para la interpolacin paramtrica de

la geometra con una aproximacin cuadrtica se conocen los valores x1 = 0, x2 = 1 y x3 = 2 y sus

respectivos valores y(x1) = 4, y(x2) = 2, y(x3) = 2.


La aproximacin cuadrtica usando los tres puntos conocidos, nos dar la relacin entre las

coordenadas x,y con .

La aproximacin cuadrtica se muestra en la figura 1.10, y se puede apreciar el error que se

presenta al comparar con la funcin cbica que representa la geometra del elemento curvo.

Figura 1.10: Interpolacin de geometra curva.

Para conseguir mayor precisin, se proceder a realizar la interpolacin paramtrica

considerando una aproximacin cbica, para lo que se conoce los siguientes cuatro puntos: x1 = 0, x2 =

2/3, x3 = 4/3 y x4 = 2 donde y(x1) = 4, y(x2) = 74/27, y(x3) = 40/27, y(x4) = 2. Siguiendo el desarrollo

planteado par la aproximacin cuadrtica, se llegar a las siguientes relaciones:

Al tener la funcin de aproximacin igual grado que el polinomio de la funcin exacta se llega a

obtener errores nulos.

Se puede indicar que al usar funciones de aproximacin geomtricas tendremos errores de

aproximacin de geometra, los que se debern tratar de minimizar.


Se tienen entonces dos clases de puntos, puntos que se usan para interpolar el campo de los

desplazamientos (nodos) y los que se utilizan para interpolar la geometra. Estos puntos pueden ser o no

coincidentes, lo que puede depender de cuan compleja o no puede ser la geometra del elemento.

Si m es el nmero de puntos que se usan para interpolar la geometra y es mayor al nmero de

nodos del elemento, las funciones de geometra

sern polinomios de mayor grado que las funciones

de forma

que se usan para interpolar los desplazamientos; a este tipo de formulacin se le denomina

superparamtrica. Si m coincide con el nmero de nodos se denomina formulacin isoparamtrica. Y por

ltimo cuando m sea menor al nmero de nodos se denomina formulacin subparamtrica.

Normalmente se usa la formulacin isoparamtrica teniendo las mismas funciones para

interpolar la geometra y los desplazamientos.

1.10.1. Formulacin Isoparamtrica de un elemento de dos nodos

La geometra del elemento la representaremos en funcin de las coordenadas de los dos

nodos:

Las funciones de forma para aproximar la geometra del elemento sern las mismas

funciones de forma para aproximar la incgnita

. La relacin

ser:

Reemplazando valores de

en (1.46):

.

/

.

/

(

*(

*

(

*(

*

La matriz de rigidez de los elementos finitos, considerando que Q es constante sobre

todo el elemento, se pueden expresar en el sistema normalizado por:

(

+ (

+.

/

(

+ (

+.

/

(

+ (

+(

*

(

*

El vector de fuerzas ser expresado por:


(

*

1.10.2. Formulacin Isoparamtrica de un elemento cuadrtico de tres nodos

La aproximacin de la incgnita es:

La formulacin isoparamtrica para la coordenada x ser:

Las funciones de forma para aproximar la geometra del elemento sern las mismas

funciones de forma para aproximar la incgnita

. La gradiente o relacin

ser:

(

*

(

*

Reemplazando valores de

en (1.47):

(

*

(

*

La relacin (1.48) nos proporciona la relacin entre las coordenadas x y las coordenadas

naturales . Si

es el punto medio del elemento se tendr:

[

]

La matriz de rigidez y el vector de fuerzas nodales se obtendrn de las siguientes

expresiones:

(

+ (

+(

*



Para un elemento cuadrtico de tres nodos, calcular la matriz de rigidez del elemento y el vector

de fuerzas, suponiendo que el segundo punto coincide con el punto central y k y Q son constantes.

El uso de la integracin numrica y la formulacin paramtrica han sido importantes en el

desarrollo de los elementos finitos. La integracin numrica se vuelve ms importante en elementos bi y

tridimensionales, donde el clculo de las integrales se vuelve ms difcil.

En la formulacin isoparamtrica vista para un elemento cuadrtico de tres nodos, hace que

la integral para el clculo de los elementos de la matriz de rigidez y los elementos para el vector de

fuerzas, ya no sea muy fcil en comparacin a elementos lineales, y su complejidad aumenta mientras se

tengan elementos de mayor grado.

Entre los diversos mtodos de integracin numrica el ms usado es el de Gauss-Legendre y es

el que se desarrollar.

Si se desea calcular la integral de una funcin en el intervalo [-1,+1]:

La integracin numrica o cuadratura de Gauss-Legendre, calcula dicha integral como una suma

de los productos de los valores del integrando en una serie de puntos conocidos en el interior del intervalo

por unos coeficientes (pesos) determinados [OZ].

La propiedad de la integracin de Gauss-Legendre es que una cuadratura de orden n integra

exactamente un polinomio de grado 2n-1 o menor [OZ]. El error en el clculo aproximado es de orden

, donde es la distancia entre los puntos de integracin.

La tabla a continuacin muestra las coordenadas y los pesos , para las ocho primeras

cuadraturas de Gauss-Legendre:


La tabla anterior est normalizada para el rango [-1,+1]. A continuacin se ver una aplicacin

de la integracin de Gauss-Legendre.

Se tiene un polinomio de cuarto orden: f(x) = 1 +x + x2 + x3 + x4, se pide calcular la integral en

los lmites [-1,+1].

La integral exacta ser:

0

1

[

]

Usando la cuadratura de Gauss-Legendre de primer orden, se usar un punto, la coordenada del

punto x1 ser igual a 0, y el peso W1 ser 2:

[ ]

Usando una cuadratura de Gauss-Legendre de segundo orden, se usarn dos puntos, la

coordenadas de los puntos son: x1=-0.57735, x2=+0.57735, W1=1, W2=1.

[ ]

[ ]

Usando una cuadratura de Gauss-Legendre de tercer orden, se usarn tres puntos de integracin,

la coordenadas de los puntos son: x1=-0.77459, x2=0, x2=+0.77459, W1=0.55555, W2=0.88888,

W2=0.55555.

[ ]

[ ]

[ ]

n W i1 0 2

2 0.5773502692 1

0.7745966970 0.5555555556

0 0.8888888890

4 0.8611363116 0.3478548451

0.3399810436 0.6521451549

0.9061798459 0.2369268851

0.5384693101 0.4786286705

0 0.5688888889

0.9324695142 0.1713244924

0.6612093865 0.3607615730

0.2386191861 0.4679139346

0.9491079123 0.1294849662

0.7415311856 0.2797053915

0.4058451514 0.3818300505

0 0.4179591837

0.9602898565 0.1012285363

0.7966664774 0.2223810345

0.5255324099 0.3137066459

0.1834346425 0.3626837834

3

6

5

7

8


La cuadratura de tercer orden da un valor igual al valor exacto de la integral, con lo que se

comprueba que una cuadratura de orden n integra exactamente un polinomio de grado 2n-1 o menor. Una

cuadratura de tercer orden nos dar resultados exactos hasta polinomios de quinto grado o menores.

Evaluando la cuadratura de segundo orden, el polinomio al que integrar exactamente ser un

polinomio de grado 3 (2x2-1=3), tal como se vio en el clculo para una cuadratura de segundo orden, el

valor de la integral fue de 2.89 y no es la solucin exacta ya que el polinomio es de cuarto orden.

Como se ha ido viendo en cada una de las secciones, el proceso del clculo para la solucin de

problemas de Poisson nos lleva a evaluar la matriz de rigidez y el vector de fuerzas o flujos, por lo que se

puede enumerar las etapas necesarias que nos servirn para un clculo manual o para programacin.

1.12.1. Interpolacin de la Incgnita

La variable en el interior del elemento se expresa mediante funciones aproximadas:

*

+

{

}

1.12.2. Interpolacin de la Geometra

La coordenada x de un punto del elemento se calcula con la siguiente expresin:

1.12.3. Interpolacin del Gradiente

Las derivadas cartesianas de las funciones de forma son:

Luego se deduce:


Entonces:

Por tanto:

A se le interpreta como la determinante del jacobiano de la transformacin ,

.

1.12.4. Clculo del Flujo

1.12.5. Matriz de Rigidez del elemento

(

+ (

+(

*

Dependiendo de se tendr mayor o menor sencillez de la integral. El clculo de

se efecta por integracin numrica, por tanto tiene la siguiente forma:

[(

+ (

+(

*]

1.12.6. Vector de Fuerzas Nodales Equivalentes

Usando integracin numrica:

* +


Resolver el problema presentado en el apartado 1.8.2 considerando como elementos finitos dos

elementos cuadrticos de tres nodos. Aplicar las etapas de la seccin 1.12.

Considerar k constante as como tambin una distribucin de Q constante en toda la barra.

elementos

bidimensionales

En este captulo se cubren aspectos introductorios para el desarrollo y uso

del Mtodo de los Mtodos Finitos (MEF), como el planteamiento de la

forma general del Mtodo de los Residuos Ponderados (MRP) y su forma

dbil con el uso del Mtodo de Galerkin. Se da el planteamiento general

para hallar las soluciones aproximadas a problemas de Mecnica Escalar

como son los problemas de Poisson aplicados a la transferencia de calor y

al Principio de Trabajos Virtuales. Se introducen los conceptos de

Formulacin Paramtrica e Integracin Numrica, ambos muy

importantes para la implementacin del MEF y que se ampliarn ms

adelante en elementos finitos bi y tridimensionales.

El Mtodo de los Elementos Finitos Mecnica Escalar y Vectorial Elementos Bidimensionales

La ecuacin bidimensional estacionaria de Poisson se puede obtener por balance de flujos (ver

figura 2.1).

Figura 2.1: Obtencin de la ecuacin de Poisson en dos dimensiones.

Se procede similar al caso unidimensional, entonces la ecuacin de Poisson en dos dimensiones

tendr la expresin:

(

*

(

*

es la incgnita. Se tiene un solo grado de libertad por nodo.

Las condiciones de contorno sern:

2

Para calcular que es el flujo normal, se proyecta el flujo en el contorno sobre la normal:

[ ]

*

+

Los flujos en cada direccin son:

. Sustituyendo todas las expresiones

necesarias en la condicin de flujo normal prescrito:

es el flujo prescrito en direccin normal al contorno (ser positivo si el flujo est en la

direccin normal al contorno). es el flujo de calor que sale por el contorno debido a


diferencias de temperatura entre los puntos del contorno y el ambiente a temperatura ; es el

coeficiente de conveccin.

Se usar la terminologa: , pero slo es conceptual, ya que puede darse el caso en

que las condiciones de borde se alternen.

Para solucionar problemas de Poisson en dominios bidimensionales procederemos a usar el

Mtodo de los Residuos Ponderados con el Mtodo de Galerkin, los pasos son similares a los aplicados

para elementos unidimensionales.

2.2.1. Mtodo de los Residuos Ponderados en Elementos Bid imensionales

La forma integral equivalente a las ecuaciones diferenciales que gobiernan el

comportamiento en elementos en dos dimensiones se obtienen por el Mtodo de los Residuos

Ponderados:

Reemplazando las expresiones de (2.1) y (2.2) en (2.3), se tendr la forma integral

equivalente por el MRP:

[

(

*

(

* ]

[

]

La forma dbil del MRP se obtiene acomodando los trminos e integrando por partes:

[

(

*]

[

(

*]

[ ]

[

]

Recordando la integracin por partes:

[ ]

Trabajando en (I):

[

(

*]

6

4

57

{

}

De manera similar en (II):


[

(

*]

Reemplazando los valores de (I) y (II) en (2.4):

[ ]

[

]

Arreglando la expresin:

[

]

[ ]

[

]

[

]

De la figura 2.2, se pueden obtener las siguientes relaciones:

Sustituyendo (2.6) y (2.7) en (2.5) y aplicando condiciones de contorno natural

haciendo , se tendr:

[

]

[ ]

[

]

[

]

Eliminando trminos que se hacen nulos:

[

]

[ ]

[

]

[ ]

Recordando:

Reemplazando (2.9) en (2.8) y acomodando en el primer miembro las expresiones

donde interviene la incgnita , tendremos:


Figura 2.2: Normal al contorno.

[

]

[ ]

[

]

[ ]

[

]

[ ]

La expresin (2.10) es la forma dbil del MRP aplicando el Mtodo de Galerkin, y ser

la expresin que usaremos para encontrar la solucin a los problemas de Poisson en dos

dimensiones.

La integral es el flujo que sale por el contorno donde el valor de

se conoce. El signo es negativo, lo que indica que el flujo normal sale del contorno. Este flujo

al igual que en el caso unidimensional, puede interpretarse como una reaccin que se calcula una

vez se conoce el valor de sobre .

2.2.2. Discretizacin por el MEF

En la figura 2.3 se puede apreciar la discretizacin del dominio en elementos

bidimensionales de n nodos. La aproximacin de en el interior de cada elemento se define por:

El sistema de ecuaciones de la discretizacin se obtendr sustituyendo (2.11) en la

forma dbil del MRP (2.10), escogiendo N funciones de peso Wi:

[

]

[ ]

Donde n es el nmero de nodos de la malla. Aplicando el Mtodo de Galerkin, haciendo

, la expresin se convierte en:

6

4

5

4

57

4

5

[ ]


Figura 2.3: Discretizacin de un dominio bidimensional en elementos triangulares.

La expresin (2.12) pueden escribirse en forma matricial:

Los trminos de la matriz de rigidez de los elementos finitos K y el vector de flujos f, se

obtienen ensamblando las contribuciones de cada elemento. La matriz de rigidez es simtrica por el uso

de la forma dbil del MRP. Con la propiedad de las funciones de forma

, que toman un valor de uno

en el nudo y cero en los restantes, los elementos , pueden escribirse como:

(

+

El vector de flujos ser:

[ ]

Las contribuciones de cada elemento que provienen de las integrales sobre los contornos

elementales se cancelan entre s, cuando el elemento pertenece al interior del dominio. Dicho de otro

modo, en (2.14) las integrales sobre los contornos elementales slo contribuyen al vector de fuerzas

globales en el caso de que el elemento en cuestin tenga uno o ms de sus lados sobre los contornos

externos .

es la contribucin del trmino de fuente de calor sobre el dominio, es la contribucin del

trmino de flujo de calor a travs del contorno de Neumann donde se prescribe el flujo saliente, es el

trmino de flujo (reaccin) sobre el contorno donde se prescribe la variable .

En la Mecnica Escalar, analizando el problema de Poisson, cada nodo tiene un grado de

libertad, que es el valor de la incgnita en el nodo.

Expresaremos una variacin lineal de por el polinomio a continuacin:


Para calcular los coeficientes del polinomio (2.15), sustituiremos las coordenadas nodales:

La solucin al sistema de ecuaciones anterior nos da los valores de los coeficientes ( ,

sustituyendo estos coeficientes en (2.15) se tendr:

[

(

)

(

)

(

)

]

Las funciones de forma sern:

(

)

Donde:

Los ndices i, j y k, varan con los nodos, las funciones de forma cumplen con la propiedad de

tomar el valor de uno en el nodo y cero en los restantes (ver figura 2.4). La funcin de forma global de un

nodo, tambin valdr uno en el nodo y cero en todos los restantes, el dominio de influencia de la funcin

de forma global de un nodo abarca todos los elementos que rodean al mismo.

El rea del elemento se obtiene de los coeficientes del sistema de ecuaciones:

|

|

2.3.1. Matriz de Rigidez del Elemento

De la ecuacin (2.18):


Figura 2.4: Funciones de forma para un elemento lineal de tres nodos.

Sustituyendo (2.18) y (2.19) en (2.13):

(

+

0 (

*.

/ (

)(

)1

[ ]

[ ]

La matriz

se obtendr de:

6

7

La matriz de conveccin

ser:

[

]

La matriz

slo es relevante si el lado ij del elemento pertenece al contorno exterior

por tanto al realizar la integral sobre el lado del elemento que pertenece al contorno, la

funcin del tercer nodo tomar un valor nulo sobre el mismo. Con lo que se logra simplificar la

expresin (2.21) de acuerdo con el lado donde se calcula la integral de contorno.

Para el lado 12,

= 0:

6

7

Para el lado 23,

= 0:

6

7

Para el lado 13,

= 0:


6

7

Suponiendo que es constante, podemos integrar los trminos de las matrices

presentadas como:

{

Donde

es la longitud del lado que se encuentra en el contorno. Reemplazando (2.25)

en (2.22), (2.23) y (2.24):

[

]

[

]

[

]

La matriz general se puede expresar entonces por:

2.3.2. Vector de flujos equivalente nodales

La expresin general de para un triangulo de tres nodos es:

{

}

De (2.14) se tiene:

[ ]

Suponiendo en valor constante de Q, operando :

. Equivale a calcular el volumen del tetraedro que forma

(ver figura

2.4), de base y altura uno (1).

, volumen del tetraedro es rea de la base

por altura dividi por 3.

{

}

{

}

{ }

La contribucin del trmino de conveccin al vector de flujos se calcula como sigue:

tal como para el clculo de la matriz de rigidez, se toma en cuenta que sobre cada lado slo son

diferentes de cero las funciones de forma correspondientes a dicho lado:

Para el lado 12,

= 0:

8

9 [ ]


Para el lado 23,

= 0:

8

9 [ ]

Para el lado 13,

= 0:

8

9 [ ]

Suponiendo que son constantes sobre el lado, se tendr:

[ ] {

}

[ ] {

}

[ ] {

}

Al vector de flujos nodales se le aade la contribucin de los flujos reaccin en los

contornos donde est prescrito . Dichos flujos se aaden directamente a los nodos del

contorno correspondiente y su valor se obtiene una vez que se tienen los valores nodales de .


Analizar la transmisin de calor en el dominio que se presenta en la figura 4.5. Se supondr kx =

ky = k = 2.0 cal/cm C y Q = 2.4 cal/cm2s. Dada la simetra del dominio, slo analizar un octavo del

dominio total.

Las condiciones de contorno son las siguientes:

En el contorno exterior 4-6, =0, .

En los segmentos de borde 1-6 y 1-4, se exige las condiciones de simetra:

. Lo

que indica que el gradiente de temperatura en una direccin normal al contorno de simetra

es cero, lo que tambin significa que dicho contorno est trmicamente aislado. Al no

trasmitirse el flujo a travs de los ejes de simetra, ste lo har slo a travs del lado

exterior 4-6.

Las funciones de forma slo reproducen exactamente variaciones polinmicas de grado igual o

inferior al del polinomio completo de mayor grado contenido en dichas funciones. Por tanto la solucin

por el MEF ser mejor cuanto mayor sea el grado de dicho polinomio completo.

En 2D un polinomio completo de grado n puede escribirse como:


Figura 2.5: (a) Transmisin de calor en un dominio cuadrado, (b) Malla de cuatro elementos

triangulares de tres nodos utilizada por simetra.

El nmero de trminos que tendr el polinomio se calcula por la siguiente frmula:

Entonces si escogemos un polinomio lineal (n=1), el nmero de trminos ser: p=3.

Un polinomio de segundo orden o cuadrtico, usando la ecuacin (2.28), tendr 6 trminos:

Para hallar los trminos completos de un polinomio de dos variables, podemos utilizar el

Tringulo de Pascal (ver figura 2.6).


Figura 2.6: (a) Tringulo de Pascal en dos dimensiones.

Para definir la geometra del elemento se definir un sistema de coordenadas naturales o

intrnseca ,. En la figura 2.7 se puede observar un rectngulo de lados 2 x 2b, cuyos lados estn

normalizados en el sistema natural . La relacin entre las coordenadas cartesianas y las

naturales ser la siguiente:

son las coordenadas del centro del elemento. Las derivadas sern:

Por tanto:

Para integrar una funcin en dos dimensiones en el sistema natural, se har la siguiente

conversin:

Las funciones de forma expresadas en coordenadas naturales deben satisfacer los mismos

requisitos que en coordenadas cartesianas. Por tanto para elementos de clase C0, se debe de cumplir con:

Condicin de compatibilidad nodal.

( ) {

Condicin de slido rgido

Dentro de los elementos rectangulares se clase C0 se distinguen dos grupos o familias diferentes:

la lagrangiana y la serendpita.


Figura 2.7: Elemento Rectangular en Coordenadas Cartesianas y Naturales.

Las funciones de forma de elementos rectangulares lagrangianos se obtienen del producto de dos

polinomios de Lagrange unidimensionales. Por ejemplo, si es el polinomio de Lagrange de grado I

en direccin del nodo i, y el de grado J en direccin , la funcin de forma de nodo ser:

( )

En la figura 2.8 se muestran algunos elementos rectangulares lagrangianos. Una vez que se ha

definido el nmero de nodos en cada direccin, dicho nmero no puede variar a lo largo de las diferentes

lneas nodales. El nmero de trminos polinmicos contenidos en las funciones de forma de un elemento

lagrangiano puede obtenerse usando el tringulo de Pascal. Los polinomios nunca sern polinomios

completos y todas contienen un nmero de trminos adicionales que crece con el orden del elemento.

Si analizamos el elemento rectangular lineal de cuatro nodos, se tiene el trmino que

corresponde a un polinomio de segundo grado, entonces se dice que la funcin de forma contiene

trminos de polinomios incompletos. Dichos trminos generan variables nodales que no contribuyen a

aumentar la aproximacin del elemento. Se puede entonces afirmar que entre dos elementos cuyas

funciones de forma contengan polinomios completos del mismo grado, es ms recomendable aquella

funcin con menos variables nodales.

2.6.1. Elemento Rectangular Lagrangiano de cuatro nodos

Si se considera un nodo i, los polinomios unidimensionales en cada direccin

coinciden con las funciones de forma del elemento de barra de dos nodos. Por tanto:

(

)

Donde toman los valores de la tabla mostrada en la figura 2.9. Entonces

sustituyendo los valores de (2.31) en (2.32), la funcin de forma en el nodo i es:

( )

( )


Figura 2.8: Elementos lagrangianos.


Figura 2.9: Elemento rectangular Lagrangiano de cuatro nodos.

2.6.2. Elemento Rectangular Lagrangiano cuadrtico de nueve nodos

Las funciones de forma para el elemento rectangular lagrangiano de nueve lados, las

obtendremos como productos de dos polinomios de Lagrange de segundo grado de un elemento

cuadrtico de tres nodos unidimensional. La forma grfica de obtener dichas funciones se puede

observar en la figura 2.10, adems se muestra las coordenadas naturales para cada nodo que se

debe de usar.

Las funciones de forma unidimensionales son:

Nodos de Esquina:

( )

(

)

Nodos Intermedios en los Lados:

( )

(

)

( )

(

)

Nodo Central:

( )

En la figura 2.8, se muestra que el elemento lagrangiano cuadrtico contiene todos los

trminos del polinomio completo de segundo grado y 3 trminos adicionales ( )

de pertenecen al tercer y cuarto grado. Entonces podemos afirmar que la aproximacin del

elemento de nueve nodos es simplemente cuadrtica.


Figura 2.10: Elemento rectangular Lagrangiano de nueve nodos.

2.6.3. Elementos Rectangulares Lagrangianos de Orden Superior

Elementos lagrangianos de orden superior como los de 4, 5, 6, 7, etc., se obtienen como

producto de dos polinomios de Lagrange de tercer, cuarto, quinto, sexto, etc., grado

respectivamente. Se deduce que las funciones de forma de un elemento lagrangiano con n nodos

en cada una de las dos direcciones naturales, contiene un polinomio completo de grado n-1, y

n(n-1)/2 trminos de polinomios incompletos de grados superiores.

Los elementos rectangulares lagrangianos pueden tener diferente nmero de nodos en

cada direccin. En este caso las funciones de forma se obtienen igualmente por el producto de

dos polinomios de Lagrange adecuados en cada direccin. El aumento del nmero de nodos en

una direccin no contribuye a incrementar el grado de aproximacin, ya que estos elementos

contendrn polinomios completos de un grado igual al menor de los dos polinomios de Lagrange

unidimensionales en cada direccin.


Los elementos Serendpitos se obtienen de la siguiente manera: se selecciona el nmero de nodos

de cada lado para definir una variacin lineal, cuadrtica, cbica, etc.; luego se escoge el mnimo nmero

de nodos en el interior para que se pueda obtener una variacin polinmica completa y simtrica del

mismo grado que la variacin sobre los lados. En la figura 2.11 se muestran algunos de los elementos

rectangulares ms populares.

El elemento ms sencillo es el rectngulo de cuatro nodos, que es similar a la familia de

elementos lagrangianos. Las funciones de forma serendpitas no se obtienen de manera sistemtica como

en los elementos lagrangianos, sino dependen de la observacin y el ingenio. El nombre es una

referencia al prncipe Serendip y a sus descubrimientos ingeniosos.

2.7.1. Elemento Rectangular Serendpito Cuadrtico de Ocho nodos

Las funciones de forma en los nodos intermedios, se obtienen del producto de un

polinomio de segundo grado en , por otro de primer grado en . El producto de los

polinomios contiene los trminos polinmicos deseados. Para dichos nodos las funciones de

forma se pueden escribir de manera general como sigue:

Para los nodos de esquina no se pueden multiplicar directamente dos polinomios de

segundo orden, ya que nos dara un valor nudo en el centro del elemento, violando la condicin

de slido rgido. Por tanto se debe de realizar un procedimiento distinto (ver figura 2.12).

Se trabajar para el nodo y por analoga se pueden calcular las dems funciones de

forma (ver figura 2.12). Se obtiene la funcin de forma que correspondera al nodo de esquina de

un elemento de cuatro lados, lo que se obtiene es que en el nudo 1 la funcin de forma tenga un

valor de uno y cero en el resto de nodos, excepto en los nodos adyacentes:

En uno de los nodos adyacentes se impone que el valor sea cero, lo que se logra

restando la mitad del valor de la funcin de forma en dicho nodo adyacente. Para anular en el

nodo 2, se hace:

El ltimo paso ser realizar el paso anterior pero en el otro nodo adyacente. Anulamos

el valor en el nodo 8:

Ahora la funcin cumplir con las condiciones de compatibilidad nodal y slido

rgido, y adems contiene los trminos polinmicos correctos.De manera general realizando el

mismo procedimiento para el resto de nodos de esquina, se tendr la siguiente expresin de uso

general:


Figura 2.10: Elementos rectangulares Serendpitos.


Figura 2.11: Elemento rectangular serendpito cuadrtico de ocho nodos.

El elemento serendpito de ocho nodos tiene una aproximacin cuadrtica completa (ver

figura 2.10) y slo contiene dos trminos adicionales x2y y xy2 del polinomio de tercer grado.

Comparado con el elemento lagrangiano de nueve lados, el elemento serendpito tiene el mismo

grado de aproximacin pero con ocho nodos. Lo que significa que el elemento serendpito

presenta una mejor relacin grado de aproximacin/nmero de variables nodales, de ah su uso y

recomendacin para el desarrollo de problemas de elasticidad en dos dimensiones.

2.7.2. Elementos Rectangulares Serendpitos de Mayor Orden

En la figura 2.10 se puede observar el elemento cbico de doce nodos. Las funciones de

forma se obtienen de manera similar al elemento de ocho nodos. Las funciones de forma de los

nodos intermedios se obtienen multiplicando polinomios lagrangianos cbicos por otros de

primer grado. Los nodos de esquina se parten de las funciones lineales del rectngulo de cuatro

nodos a los que se restan sucesivamente las funciones de forma de los nodos adyacentes, los que

se ponderan adecuadamente para que la funcin resultante se anule en dichos nodos. Las

funciones de forma cumplirn con las condiciones de compatibilidad en los nodos y de slido


rgido. En el caso del elemento de doce nodos, la aproximacin ser cbica conteniendo slo dos

trminos del polinomio de cuarto grado. Comparando este elemento con el elemento lagrangiano

de 16 nodos, se concluye que el elemento serendpito de 12 nodos es ms competitivo, pues

presenta el mismo grado de aproximacin que el de 16 nodos, lo que representa un 25% menos

de variables.

En la figura 2.10, tambin se aprecia el elemento rectangular serendpito de cuarto

grado de diecisiete nodos. Para tener el desarrollo completo de un polinomio de cuarto orden, es

necesario introducir un nodo central, por lo que ser necesario usar una funcin burbuja. El

proceso para la obtencin de las funciones de forma, siguen el mismo procedimiento

mencionado para el elemento de 8 y 12 nodos. Se debe tener cuidado con el nudo central, ya que

es necesario que en este nodo el valor de las funciones sea cero. En comparacin al elemento

lagrangiano de 25 nodos, es fcil de notar que el elemento serendpito es muy competitivo a su

anlogo lagrangiano de igual aproximacin, con un ahorro de casi el 50% de variables.

En la figura 2.13 se pueden ver los elementos triangulares de tres, seis y diez nodos, que definen

aproximaciones completas de primer, segundo y tercer grado respectivamente. El desarrollo de los

polinomios puede obtenerse del tringulo de Pascal.

Elemento de Tres Nodos:

Elemento de Seis Nodos:

Elemento de Tres Nodos:

Los coeficientes de los polinomios se pueden obtener mediante la solucin de un sistema de

ecuaciones, pero cuando se tienen elementos de rdenes elevados se vuelve ms complicado. Una forma

ms sencilla y directa es haciendo uso de coordenadas de rea.

2.8.1. Coordenadas de rea

Si se tiene el punto P, que es donde se encuentra el baricentro de un tringulo (ver figura

2.12), con los tres vrtices, se obtienen tres reas A1, A2 y A3, tal que A1, A2 y A3 = A. Las

coordenadas de rea se definen como:

Se cumplir:

Las coordenadas de rea de un nodo pueden definirse como el cociente entre la distancia

del P al lado opuesto y la distancia entre el nodo y dicho lado (figura 2.12). El centro de

gravedad del tringulo tendr coordenadas de rea . A las coordenadas de

rea se les conocen tambin coordenadas baricntricas, triangulares o trilineares.


Figura 2.12: Coordenadas de rea de un tringulo.

son coordenadas de rea del baricentro.

Si la geometra y el campo de desplazamientos se definen por las mismas funciones de

forma expresadas en coordenadas de rea, el elemento es isoparamtrico. Por tanto para un

elemento triangular de lados rectos se puede escribir la relacin lineal entre las coordenadas de

un punto y las de rea:

Trabajando con (2.34) y (2.35) para despejar los valores de obtenemos:

Donde es el rea del tringulo, coinciden con los valores presentados para

el elemento triangular de tres nodos (expresin 2.18). Con la ecuacin (2.37) se comprueba que

las coordenadas de rea son precisamente las funciones de forma del elemento triangular de tres

nodos.

2.8.2. Expresin General de las funciones de forma de un elemento triangular

completo

Las funciones de forma de los elementos triangulares que contienen polinomios

completos de grado M se pueden obtener de las coordenadas de rea. Para un nodo i cualquiera

ubicado en los lados o interior del elemento, las coordenadas (I, J, K) coinciden con los

exponentes con que va afectada cada una de las coordenadas de rea , en la expresin

de forma del nodo. Se cumple que I + J + K = M. La funcin de forma en el nodo i esta dado por

la siguiente expresin:

, es el polinomio de Lagrange de grado I en L1, que toma el valor unidad en el

nodo i, es decir:

( )

(

)

En (2.39) es el valor de la coordenada L1 en l nodo i. Para

se usan

expresiones anlogas.


Figura 2.13: Elementos triangulares lineal, cuadrtico y cbico. Valores Nodales de las coordenadas de

rea Li y entre parntesis los de las coordenadas (I, J, K) de cada nodo.

Para deducir los valores de I, J y K se debe tener en cuenta que la funcin de forma de

cada nodo de vrtice depende nicamente de una coordenada de rea, por tanto el valor de I, J y

K del nodo; los nodos colocados sobre las rectas L1 tienen el mismo valor I, y lo mismo ocurre

con L2 y J y L3 y K; los valores I, J y K decrecen de unidad en unidad, desde sus valores

mximos sobre las rectas Li=1 en el nodo del vrtice, hasta el valor de cero sobre la recta Li=0

que coincide con el lado opuesto al vrtice.

2.8.3. Funciones de Forma del Elemento Triangular Lineal de Tres Nodos

Las funciones de forma sern polinomios de primer grado (M=1). La posicin de cada

nodo y sus coordenadas de rea pueden verse en la figura 2.13.

Nodo 1: Posicin (I,J,K) = (1,0,0), Coordenadas de rea = (1,0,0)

2.8.4. Funciones de Forma del Elemento Triangular Cuadrtico de Seis Nodos

Las funciones de forma sern polinomios completos d segundo grado (m=2). La

posicin de los nodos y las coordenadas de rea se pueden ver en la figura 2.13.


(

)

(

)

(

)

( )


Figura 2.14: Funciones de forma de un nodo esquina y un nodo lateral en un elemento triangular

cuadrtico

Nodo 4: Posicin (I,J,K) = (1,1,0), Coordenadas de rea = (1/2,1/2,0)

( )

(

)

( )

(

)

Reemplazando

en (2.40):

Siguiendo el mismo procedimiento obtenemos el resto de funciones:

2.8.5. Funciones de Forma del Elemento Triangular Cbico de Diez Nodos

Las funciones de forma sern polinomios cbicos (M=3).


( )

(

)

Nodo 4: Posicin (I,J,K) = (2,1,0), Coordenadas de rea = (2/3,1/3,2/3)


( )

(

)

( )

(

)

Reemplazando

en (2.41):

Siguiendo el mismo procedimiento se obtienen las dems funciones de forma, entonces:

2.8.6. Coordenadas Naturales

En la figura 2.15, se puede observar las coordenadas naturales de un elemento

triangular, los lados del elemento se encuentran sobre los ejes =0, =0 y 1--=0. Las funciones

de forma estarn dadas por:

Las coordenadas de rea L2 y L3 coinciden con las coordenadas y respectivamente,

L1=1--.

2.9.1. Elementos Cuadrilteros Isoparamtricos

Los elementos Isoparamtricos utilizan las mismas funciones de forma para interpolar la

geometra y las incgnitas. Por tanto, la expresin geomtrica de un elemento isoparamtrico

bidimensional a partir de las coordenadas x e y de sus nodos ser:

donde son las funciones de forma del elemento. Esta ecuacin relaciona las

coordenadas cartesianas de un punto y las coordenadas naturales . Dicha relacin debe ser

biunvoca, por tanto debe cumplirse que la determinante de la matriz jacobiana de la

transformacin de coordenadas sea de signo constante en todo el elemento.

Puede demostrar que si se utilizan funciones de forma lineales, dicha condicin exige

que ningn ngulo interior entre dos lados del elemento sea mayor que 180. Si las funciones de

forma son cuadrticas es necesario que los nodos sobre los lados se encuentren en el tercio


central de la distancia entre los nodos esquina adyacentes. Para funciones de forma de rdenes

superiores no existen reglas prcticas y es necesario comprobar el signo del determinante

jacobiano. No obstante, las funciones de grado superior a dos son poco utilizables en la prctica.

En la Figura 2-16 se muestran algunos ejemplos de elementos Isoparamtricos en dos

dimensiones.

Figura 2.15: Coordenadas Naturales en un elemento triangular

Figura 2.16: Algunos elementos Isoparamtricos bidimensionales

Para mayor claridad se prescindir del ndice en las funciones de forma del elemento,

as como en la matriz de flujos elementales.

La ecuacin (2-43) permite obtener la relacin entre las derivadas de las funciones de

forma con respecto a los sistemas de coordenadas cartesianas y naturales. En general, vendr

expresada en las coordenadas naturales y , por lo que la regla de derivacin en cadena permite

escribir como:


o en forma matricial

donde es la matriz jacobiana, o el jacobiano, de la transformacin de coordenadas

naturales a cartesianas. De la ecuacin (2.45) se deduce:

donde | | es el determinante del jacobiano.

El determinante del jacobiano permite tambin expresar el diferencial de rea en

coordenadas naturales como:

Para calcular los trminos del jacobiano se utiliza la transformacin isoparamtrica

(2.43):

por lo que:

Si el elemento es rectangular se obtiene fcilmente:

Volviendo al problema de Poisson, la matriz de gradiente nodal de un elemento

isoparamtrico bidimensional se expresa en funcin de las coordenadas naturales, haciendo uso

de (2.46), por:

donde:


Haciendo uso de las expresiones anteriores, la matriz de rigidez del elemento puede

escribirse como una integral sobre el dominio normalizado de las naturales por:

Se deduce de la expresin anterior que los trminos del integrando son funciones

racionales en y amenos que el determinante del jacobiano sea constante. Esto slo ocurre en

elementos rectangulares o en elementos triangulares de lados rectos, en cuyo caso las integrales

se simplifican notablemente. Sin embargo, en elementos de lados curvos, la integracin analtica

de los trminos de

es compleja y es necesario hacer uso de la integracin numrica.

2.9.2. Elementos Triangulares Isoparamtricos

En elementos triangulares la interpolacin isoparamtrica se define de forma similar a la

ecuacin (2.43):

Si el elemento triangular es de lados curvos, es ms conveniente operar en funcin de

las coordenadas naturales y definidas anteriormente, lo que implica sencillamente sustituir

y por y , respectivamente, y por . A partir de aqu el clculo de las

derivadas cartesianas de las

El Método de Elemento Finitos - Aplicación a la Mecánica Escalar (Elementos Unidimensionales y...

Documents

Transcript of El Método de Elemento Finitos - Aplicación a la Mecánica Escalar (Elementos Unidimensionales y...