El metodo de los operadores

lineales como alternativa en la

descripcion del regimen

ondulatorio en una capa de fluido

Jorge E. Oviedo G.

Proyecto Curricular de Licenciatura en Fısica

Universidad Distrital Francisco Jose de Caldas

Tesis entregada como requisito para optar al tıtulo de

Licenciado en fısica

Bogota 2016

Indice general

Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1. Preliminares 8

1.1. Condiciones del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2. Condiciones de frontera en la interfaz lıquido-gas . . . . . . . . . . . . 11

1.2.1. Condiciones de frontera dinamicas . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2.2. Condicion de frontera cinematica . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2. Modelo linealizado 19

2.0.1. Adimensionalizacion de las ecuaciones de movimiento . . . . . 19

2.0.2. Forma linealizada de las ecuaciones . . . . . . . . . . . . . . . 22

3. Interludio matematico 26

3.1. El teorema de descomposicion de Helmholtz-Weyl . . . . . . . . . . . 26

3.1.0.1. Espacios de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.1.0.2. Trazas de funciones en H1(Ω) . . . . . . . . . . . . . 43

3.2. El teorema de representacion de Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.3. Generalizaciones del teorema de descomposicion de Helmholtz-Weyl . 54

4. Desarrollo del modelo 66

4.1. Ecuaciones de movimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

4.2. Condiciones de frontera referidas a la superficie de equilibrio . . . . . 68

4.3. La transformada de Fourier-Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5. El metodo de los operadores lineales en espacios de Hilbert 76

5.1. Operadores lineales asociados a la energıa cinetica y potencial del fluido 76

5.2. Ecuacion de evolucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91

5.3. El modelo de Kopachevsky . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

6. Conclusiones 98

i

Apendices 102

Apendice A. El modelo de Shkadov-Kapitza 103

A.1. Formulacion del problema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

A.2. Condiciones de frontera dinamicas y cinematicas . . . . . . . . . . . . 104

A.2.1. Condicion cinematica en la interfaz . . . . . . . . . . . . . . . 107

A.3. Ecuaciones de la capa Lımite a primer orden . . . . . . . . . . . . . . 107

A.3.1. Adimensionalizacion de las ecuaciones de movimiento . . . . . 107

A.3.2. Adimensionalizacion de las condiciones Dinamicas, Cinemati-

cas y de Frontera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

A.3.3. Estimacion de los terminos en las ecuaciones de movimiento . 111

A.4. El metodo de los residuos Nulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

Apendice B. Demostracion de la compacidad del operador G 118

Referencias 122

ii

Indice de figuras

1.1. Ondas en una region acotada del espacio. . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.2. Balance de momentum en la interfaz de dos fluidos. En la imagen

se muestra una porcion de Ω contenida en el hemisferio inferior de

una esfera B de radio ε, la cual a su vez contiene una porcion del

gas situado sobre el lıquido en el hemisferio superior de dicha esfera.

Una parte de S se encuentra contenida allı mismo y corresponde a

la superficie de separacion de los dos fluidos, quedando limitada a su

vez por la curva simple cerrada Γ dentro de la esfera B. . . . . . . . 11

3.1. Frontera de clase C1. En la imagen se observa una bola de radio ε

centrada en un punto x0 ∈ ∂Ω, de tal manera que aquella por-

cion de ∂Ω contenida en dicha bola, se puede representar como la

grafica de una funcion Ψ(x1, x2, ..., xn−1), continuamente diferen-

ciable en las x1, x2, ..., xn−1 coordenadas restantes en Rn, con xn ≥

Ψ(x1, x2, ..., xn−1). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

5.1. Angulo de contacto. Una partıcula fluida se muestra rodeada de una

gas y en contacto con una superficie solida, formando el angulo de

contacto θ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.2. Seccion normal de una superficie. En la imagen se visualiza la seccion

normal de una superficie en R3, representada por la curva resaltada

en color negro. Allı mismo se puede observar el vector v segun el cual

se mide la curvatura normal κn en el punto r(ξ01 , ξ02), de la superficie

dada. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

5.3. Seccion normal de la superficie libre del fluido segun el vector unita-

rio t. En la imagen se puede observar tambien un sistema de coorde-

nado local ası como al vector unitario n normal a S. . . . . . . . . . . 85

A.1. Una capa de fluido que desciende sobre una pared por accion de la

gravedad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

iii

Introduccion

Como es sabido, la dinamica de los fluidos newtonianos esta gobernada por un con-

junto de ecuaciones diferenciales parciales, no lineales, conocidas como ecuaciones

de Navier-Stokes, cuya expresion en un marco de referencia inercial arbitrario es la

siguiente:

∂u

∂t+ (u · ∇)u = −1

ρ∇p+ ν ∆u+ f (1)

En donde u = (u1, u2, u3) representa el campo de velocidades del fluido, p la dis-

tribucion de presiones en el fluido, ρ y ν su densidad y viscosidad cinematica, res-

pectivamente; y f el campo de fuerzas externo por unidad de masa que actua sobre

este.

Dicho conjunto de ecuaciones no es mas que la expresion local del balance de momen-

tum en el fluido y junto con las ecuaciones de continuidad y de estado termodinamico

proporcionan un sistema completo de ecuaciones a partir del cual, en principio, es

posible obtener la descripcion del movimiento del mismo, suministrados por supuesto

los datos iniciales y/o en la frontera de cada problema en particular.

En este orden de ideas, cualquier discusion teorica respecto a un tipo de flujo en

particular, debera traducirse en ultima instancia en la resolucion de dicho problema,

el cual por otra parte dista considerablemente de ser una facil empresa, por lo que

en muchos casos se suele recurrir a aproximaciones que intentan simplificar de tal

manera el conjunto de ecuaciones, que estas no disten de la situacion fısica concreta,

buscando a su vez que las predicciones derivadas del modelo guarden una distancia

razonable, mınima si se quiere, con los resultados del experimento.

De esta manera, la descripcion del flujo ondulatorio en la superficie libre de un fluido

incompresible en particular, estara enmarcada por el cuadro teorico recogido en la

ecuacion (1). Ahora bien, el hecho de que la descripcion teorica de esta clase de flujos

se encuentre suscrita a dicho modelo, no obsta, por lo que respecta a su expresion

matematica, para que esta pueda reformularse en otros terminos. Ası por ejemplo,

las ecuaciones de Navier-Stokes pueden pasar de expresarse en forma diferencial a

expresarse en forma integral, y la descripcion teorica sigue estando enmarcada por

los mismos supuestos que condujeron a las ecuaciones antes mencionadas, con la

ventaja que supone el hecho de poder extraer otro tipo de informacion o de realizar

una nueva lectura de los hechos, que quizas se dificultarıa si solo se estudiase su forma

diferencial.

1

Siguiendo esta lınea de pensamiento, puede formularse el objetivo general de la presen-

te monografıa, como la busqueda de una descripcion teorica alternativa de la dinamica

del movimiento ondulatorio en una capa de fluido, en el sentido de llevar el conjunto

de las ecuaciones de la dinamica de fluidos, verbi gratia la ecuacion de continuidad,

las ecuaciones de Navier Stokes, entre otras, a la forma de una ecuacion de operadores

lineales definidos sobre ciertos espacios de Hilbert, adecuados y construidos estos a

su vez, en virtud de las condiciones de frontera y de la clase de funciones admitidas

como solucion del problema en cuestion. Especıficamente se busca lo siguiente:

Establecer la forma correcta de las ecuaciones que describen la dinamica en la

frontera de la capa de fluido, ello debido a que la gran mayorıa de modelos

existentes del flujo ondulatorio, tienen a tales ecuaciones como ejes centrales

de los mismos (Johnson, 1997). Este objetivo resulta de la mayor importancia

para alcanzar el proposito general de la monografıa, no solo por la razon antes

dada, sino por el hecho, mencionado mas abajo, de que existe una controversia

alrededor de este tema, relacionado con un modelo de ondas no lineales que

describe el flujo ondulatorio en una pelıcula de fluido que desciende sobre una

pared por accion de la gravedad.

Dicho modelo, introducido por primera vez por Kapitza (P. Kapitza, 1948) y

ampliado luego por Shkadov (Shkadov, 1967), poseıa, en la formulacion inicial

dada por estos autores, sendos errores en la forma de las ecuaciones que ex-

presaban el balance normal y tangencial de esfuerzos en la interfaz lıquido-gas.

Tales errores fueron advertidos posteriormente por otros investigadores (Penev,

Krylov, Boyadjiev, y Vorotilin, 1972), quienes afirmaban estar en posesion de

la forma correcta de las ecuaciones mencionadas. Ası las cosas, puede decirse

que el objetivo particular aquı establecido, contribuira por un lado a generalizar

las condiciones dinamicas que prevalecen en la superficie de separacion de dos

fluidos, y por el otro a dirimir la mentada controversia.

Definir las condiciones bajo las cuales se abordara el problema, teniendo en

cuenta el hecho de que al tratarse de un fenomeno superficial, factores como que

la viscosidad, la tension superficial, el angulo de contacto, entre otros, afectaran

el comportamiento de los fluidos de diversas maneras, segun sea el rango de

valores en el que se encuentren dichos parametros.

Adelantar un proceso de formacion en torno al uso y apropiacion de algunos

elementos de la matematica no usados convencionalmente en fısica. Este objetivo

2

responde al proposito general trazado en el presente trabajo, en el entendido

de que al tratar de formular las ecuaciones de la dinamica de fluidos como un

problema de operadores lineales definidos en espacios de Hilbert, sera menester

abocarse con cierta profundidad, al estudio de un aparato matematico altamente

sofisticado y abstracto, el cual por otra parte escapa a la formacion matematica

del licenciado en fısica.

Describir los elementos, y solo aquellos, que resulten esenciales al objetivo ge-

neral de la monografıa, en relacion con la teorıa de espacios de Hilbert y de las

ecuaciones diferenciales parciales definidas en dichos espacios. En particular, se

busca introducir los espacios de Sobolev como estrategia para definir el dominio

de los operadores lineales que seran usados para establecer el modelo de on-

das lineales en una capa de fluido viscoso, que incorpore el efecto de la tension

superficial.

Ofrecer un marco general a partir del cual se puedan consolidar futuras inves-

tigaciones que conduzcan a generalizar y/o ampliar los resultados obtenidos en

la presente monografıa, por ejemplo en la vıa del analisis de la estabilidad del

sistema objeto de estudio.

Ahora bien, la idea de aplicar las ideas y los metodos del analisis funcional a los

problemas de la fısica no es nueva, especialmente si se tiene en cuenta que, historica-

mente, el programa de Von Neumann de erigir todo el edificio de la mecanica cuantica

sobre la base de postular la correspondencia entre observables y operadores lineales

definidos en cierto espacio de Hilbert, ası como el hecho de postular la descripcion del

estado de un sistema cuantico en virtud de las autofunciones de dichos operadores

(Neumann, 1955); constituye uno de los primeros intentos existosos a este respecto.

Un intento similar de aplicar tales metodos a algunos problemas lineales de la teorıa

de la elasticidad ası como de la hidrodinamica teorica, fue realizado por el celebre

matematico ruso Sergei Sobolev (Sobolev, 2008), cuyo trabajo fue continuado pos-

teriormente por otros matematicos de la escuela sovietica como Olga Ladyzheskaya

(Ladyzhenskaya y Silverman, 1969) y Salomon Mikhlin (Mikhlin, 1952).

La novedad de este trabajo reside entonces en utilizar estos elementos para describir

un sistema del cual no se conoce, hasta el momento, un modelo teorico en los termi-

nos antes mencionados. Efectivamente, se han realizado descripciones teoricas de las

3

pequenas oscilaciones en la superficie libre de un fluido ideal, utilizando operadores li-

neales en espacios de Hilbert (Kopachevsky, 1966). Tambien se han estudiado, usando

similares herramientas, las pequenas oscilaciones de un fluido viscoso contenido en un

recipiente parcialmete lleno del mismo (Kopachevsky, 1967), pero no se ha obtenido

un modelo de ondas lineales en la superficie libre de un lıquido viscoso, considerando

los efectos de la tension superficial.

De otra parte, la formulacion tradicional de los modelos de ondas en un fluido, obtie-

nen ecuaciones de onda para el campo de presiones o para el potencial del campo de

velocidades, cuando se asume el flujo potencial de un fluido compresible (Feynman,

Leighton, y Sands, 1979); sin embargo, estos modelos distan de describir la clase de

situaciones de interes en este trabajo.

Junto a estos modelos, tambien se han obtenido descripciones de las ondulaciones

de la superficie de separacion de dos fluidos, incorporando el efecto de la tension

superficial pero no de la viscosidad (Johnson, 1997). Una de las dificultades de estos

modelos, como se discutira en el capıtulo 1, es que en ellos se debe incorporar la

evolucion de la superficie de separacion de los dos fluidos, introduciendo para este fin

una ecuacion para la funcion de onda que representa la elevacion de dicha superficie,

respecto a su posicion de equilibrio. Debido a estas circunstancias, la ecuacion para

la funcion de onda queda acoplada a las ecuaciones para el campo de presiones y para

el campo de velocidades en la interfaz, las cuales ademas son no lineales.

Peor aun es el hecho de que a pesar de que bajo ciertas hipotesis se puedan linea-

lizar esas ecuaciones, seguiran no obstante estando acopladas las ecuaciones para la

superficie, la presion y el campo de velocidades del fluido.

Entre los modelos que incorporan la no linealidad inherente a las ecuaciones de Navier-

Stokes y condiciones dinamicas en la frontera, se cuentan, entre los mas representa-

tivos, el de Stokes, en el caso de fluidos ideales (Johnson, 1997), y el de Shkadov-

Kapitza, mencionado anteriormente, en el caso de fluidos viscosos.

Con la revision del estado del arte que se ha realizado hasta aquı, y habiendo senalado

los objetivos y la novedad que supone la presente monografıa, se procedera a conti-

nuacion a describir la organizacion del trabajo, senalando la manera en que se dara

cumplimiento a los mencionados objetivos, a lo largo del escrito.

4

Considerando que, entre los modelos resenados en los parrafos anteriores, el que mas

se acerca a la situacion fısica que se busca describir, es el de Shkadov-Kapitza, y con

base en la metodologıa desarrollada por Kopachevsky para introducir los operadores

lineales en el modelo de las pequenas oscilaciones de un fluido ideal, se tomaran

como referencias principales los trabajos de Shkadov (Shkadov, 1967), Kopachevsky

(Kopachevsky, 1966), y Tyupsov (Tyupsov, 1966); pasando luego a establecer en el

primer capıtulo las condiciones del problema a ser abordado, el cual consistira en el

estudio teorico del flujo de una capa de fluido en regimen ondulatorio, incorporando

en el mismo el efecto de la tension superficial.

En particular, se ampliara la discusion acerca de las condiciones dinamicas y ci-

nematicas que prevalecen en la superficie libre del fluido, dado que en el artıculo de

Shkadov antes mencionado, se omite por completo este analisis, con la consecuencia

importante de que ciertos terminos de las ecuaciones allı comprometidas son erroneos,

contemplandose ası la idea de contribuir al problema ofreciendo un estudio detallado,

sobre la base de los fundamentos de la teorıa del medio continuo, de dichas condi-

ciones. De esta manera se da cumplimiento, dicho sea de paso, al primer objetivo

trazado en el presente trabajo.

Dado que se desean incorporar elementos del analisis funcional estandar a la teorıa,

se hace indispensable linealizar las ecuaciones del problema, en virtud de lo cual, en

el segundo capıtulo, se estableceran las hipotesis que conduzcan a ello. En el camino

se construira una escala apropiada y se definiran dos parametros adimensionales vi-

tales en el problema, el numero de Reynolds, y el numero de Weber. Con ayuda de

estos, se establecera un criterio por medio del cual, luego de adimensionalizar las

ecuaciones de movimiento, se puedan ponderar las contribuciones de los terminos allı

comprometidos, en la dinamica del fluido. Los resultados de este capıtulo se conside-

ran neuralgicos para el buen desarrollo de la teorıa, y representan una contribucion

propia al particular. Mediante los mismos, se da cumplimiento al segundo objetivo

de la monografıa.

El tercer capıtulo se propone introducir la maquinaria del analisis funcional, vıa el

estudio de conceptos tales como el de espacios de Hilbert, operadores lineales en

dichos espacios, funcionales lineales acotados, espacios duales, entre otros. Allı mismo

se introducen la clase de espacios de Hilbert relevantes a problemas fısicos expresados

por medio de problemas de valores en la frontera, esto es, los espacios de Sobolev. Se

estudian las propiedades de los elementos de dichos espacios, ası como la manera en

5

que su uso permite flexibilizar el criterio que define lo que se entiende por soluciones

a un determinado problema de valores en la frontera.

Un concepto importante en esta direccion, es el de derivada debil de una funcion,

introducido en la seccion 3.1.0.1., el cual extiende el concepto habitual de derivada,

para asignar una nueva derivada, en sentido debil, a funciones que de otra forma

no serıan diferenciables. La seccion 3.0.1.2, que sigue a esta, servira al proposito de

suministrar una herramienta clave para entender como asignar valores en la frontera

de un dominio dado, a los elementos de cierto espacio de Sobolev, ello debido a que

las funciones que hacen parte de dicho espacio, no cuentan con una forma natural de

restringir sus valores a un subconjunto del dominio en el cual estan definidas.

La mentada herramienta que permite tal restriccion a la frontera de un dominio,

de las funciones del espacio de Sobolev H1(Ω) introducido en la seccion 3.1.0.1.,

es un operador lineal acotado, conocido como operador traza, cuya existencia es el

contenido del teorema 3.1.2. La demostracion de este teorema ası como del teorema

de representacion de Riesz que sera un elemento clave para demostrar la exitencia y

unicidad de soluciones a la ecuacion de Poisson, es expuesta a lo largo del capıtulo,

siendo este un aporte por parte del autor de la presente monografıa.

Otro de los resultados centrales del tercer capıtulo, sera el de aportar la demostra-

cion de un teorema crucial en el analisis vectorial, el teorema de descomposicion de

Helmholtz-Weyl, que sera generalizado, en la forma del teorema 3.3.3; empleandolo

posteriormente en la representacion del campo de velocidades del fluido como suma

de un campo irrotacional mas un campo solenoidal, obteniendo ası un conjunto de

ecuaciones independientes para cada una de sus partes: La ecuacion de Laplace para

el potencial escalar, y la ecuacion de calor para el potencial vector. Con estos apor-

tes, puede decirse que se da por cumplido el tercer y cuarto objetivos especıficos del

trabajo.

En el cuarto capıtulo, como se acaba de decir, se utilizara la descomposicion de

Helmholtz-Weyl en la forma linealizada de la ecuacion de Navier-Stokes, concluyendo

que la parte irrotacional del campo de velocidades satisface la ecuacion de Laplace,

mientras que la parte solenoidal obedece a la ecuacion de calor.

Luego, en este mismo capıtulo, se empleara la transformada de Fourier-Laplace para

obtener la estructura de las soluciones del conjunto de ecuaciones antes mencionado.

De igual manera se aplicara dicha transformacion al balance de esfuerzos en la interfaz

6

ası como a la condicion cinematica para obtener una importante relacion que sera

empleada luego al introducir los operadores lineales que describen la evolucion de la

superficie libre del fluido.

En el quinto capıtulo se emplearan todos los elementos previamente desarrollados,

concluyendo con una ecuacion de operadores lineales que describe el regimen ondu-

latorio en la capa de fluido. Estos operadores como se demostrara allı mismo, poseen

ciertas propiedades que en el contexto de la teorıa espectral de los operadores lineales

les hace bien comportados, pues la existencia de un conjunto espectral ası como la

convergencia de sucesiones bajo la imagen de los mismos esta garantizada en virtud

de tales propiedades. Los espacios de Hilbert sobre los que estaran definidos, seran

justamente los espacios de Sobolev estudiados en el capıtulo 3.

El capıtulo concluye contrastando el modelo obtenido por Kopachevsky que describe

las pequenas oscilaciones de la superficie libre de un fluido ideal, considerando los

efectos de la tension superficial; demostrando que el desarrollado aquı es mucho mas

general pues contiene a aquel como caso particular en el lımite en el que el fluido se

considera inviscido. Tambien se estudian en este capıtulo las consecuencias fısicas del

modelo obtenido, dando por cumplido el objetivo principal del trabajo de grado.

Por ultimo, en el sexto capıtulo se exponen las conclusiones del trabajo realizado, po-

niendo de manifiesto las contribuciones y hallazgos en relacion al problema abordado

en la presente monografıa, ası como las perspectivas a futuro.

En el apendice A podra encontrarse el desarrollo del modelo de Shkadov-Kapitza

que modela el movimiento ondulatorio de una capa de fluido viscoso descendiendo

sobre una pared solida por efecto de la gravedad. En la discusion allı realizada se

encontraran las correcciones hechas por el autor de la presente monografıa a dicho

modelo.

7

Capıtulo 1

Preliminares

1.1. Condiciones del problema

Considerese una capa de lıquido limitada por las paredes de un recipiente. Este lıqui-

do ocupa una region Ω ⊂ R3 del espacio, estando sobre aquel un gas de densidad

despreciable. Sea Σ la superficie del recipiente y S la superficie libre del lıquido. De

tal manera que la frontera del dominio Ω, designada por ∂Ω, es la union de estos dos

conjuntos. En otras palabras, ∂Ω = S ∪ Σ, siendo S y Σ subconjuntos cerrados de

∂Ω.

Supongase ademas que la densidad del lıquido, ρ, es constante lo mismo que su vis-

cosidad cinematica, ν, y que este se encuentra bajo la accion de un campo de fuerzas

externo el cual proviene de un potencial por unidad de masa Π(r, t). Un esquema plano

de esta situacion se bosqueja en la siguiente imagen, donde se representa ademas el

vector unitario normal a la superficie libre del fluido n, en un punto R de dicha

superficie.

Figura 1.1: Ondas en una region acotada del espacio.

8

En la imagen h0 representa la desviacion de la superficie libre del liquido respecto a

su posicion de equilibrio, que aquı se designara por N .

Ası pues, una vez el lıquido es ligeramente perturbado, este comenzara a moverse y su

dinamica estara gobernada, como se menciono en la introduccion, por las ecuaciones

de Navier-Stokes:

∂u

∂t+ (u · ∇)u = −∇(

p

ρ+Π) + ν ∆u (1.1)

De modo que el problema consistira entonces en hallar p y u en Ω, sujeto a unas

determinadas condiciones iniciales y/o de frontera las cuales deben verificarse en ∂Ω.

Por otra parte, el lıquido se considera incompresible, por lo cual la ecuacion de con-

tinuidad en la region Ω adoptara la forma:

∇ · u = 0 (1.2)

Puesto que se asume que el fluido no atraviesa la superficie del recipiente, Σ, al tratarse

de una superficie no porosa, y, por la condicion de no deslizamiento del fluido sobre

dicha superficie (Kundu, Cohen, y Hu, 2008), la condicion allı es que la velocidad sea

cero, ası que la condicion de frontera en ese caso sera:

u|Σ = 0 (1.3)

En donde u|Σ significa que u esta siendo evaluado en Σ.

Se asume igualmente que Σ es una pared isotermica y adiabatica, y que no hay

gradientes de temperatura en la interfaz lıquido-gas. Por otro lado, se despreciara el

flujo de calor ocasionado por el rozamiento interno del fluido; de tal suerte que en

suma, la condicion termodinamica sera T = constante, con T la temperatura del

fluido.

Aun deberan darse las condiciones de frontera en S y de ser necesario en su frontera,

toda vez que el conjunto de ecuaciones (1.1) es de segundo orden en las coordenadas

espaciales y de primer orden en el tiempo, para u; e igualmente es una ecuacion de

primer orden en las coordenadas espaciales para p.

9

Reuniendo estos hechos se tiene entonces que deben darse en total 2n condiciones

iniciales y/o de frontera para establecer completamente la solucion del sistema de

ecuaciones (1.1) y (1.2), en donde n es el numero de incognitas comprometidas en

el problema. En este caso las incognitas corresponden a las tres componentes de la

velocidad y la distribucion de la presion en el fluido, con lo que n = 4, ası que el

conjunto de condiciones antes mencionadas debe ser ocho.

Las condiciones dadas por (1.3) son tres, las otras cinco sera preciso especificarlas en

S. Sin embargo, estas condiciones deberan examinarse con cautela, pues en todo caso

la superficie libre del fluido esta en movimiento ası que su posicion en cada instante

de tiempo es desconocida y debera por tanto hallarse.

Desde el punto de vista de la teorıa de las ecuaciones diferenciales parciales, este hecho

se traduce en que el problema ası formulado se constituye en lo que se denomina

un problema de frontera libre (Friedman, 1982), en el que se tiene un conjunto de

ecuaciones diferenciales parciales definido en una region del espacio Ω, sujeto a unas

determinadas condiciones en la frontera de dicho dominio, frontera de la cual no

obstante se desconoce cierta porcion, S, la cual evoluciona en el tiempo.

Esta circunstancia compromete una dificultad adicional, la de obtener una ecuacion

que describa la evolucion de S y que estara acoplada a las ecuaciones que definen

las condiciones de frontera del problema estudiado. Un ejemplo representativo de lo

dicho anteriormente, es el de resolver la ecuacion de calor para un cubo de hielo que

se funde. A diferencia de resolver esta ecuacion para una habitacion, o para un recinto

con paredes rıgidas, el problema de hallar la distribucion de la temperatura en el cubo

de hielo derritiendose, implica que las condiciones de frontera se van modificando dado

que la frontera de este dominio esta cambiando en cada instante de tiempo. De esta

manera, debera obtenerse una condicion adicional que especifique la evolucion de la

superficie del cubo de hielo, la cual se acoplara a las condiciones de frontera del campo

de temperaturas establecidas allı.

Una situacion similar ocurre en el problema abordado en este trabajo: no solo deberan

resolverse las ecuaciones para el campo de velocidades y la distribucion de la presion

en el fluido, sino que debera obtenerse una ecuacion de evolucion para la superficie

libre del mismo, la cual se acoplara a las condiciones de frontera establecidas en

dicha region. La siguiente seccion tiene justamente el merito de obtener, de manera

detallada, las condiciones para el campo de presiones y de velocidades en la superficie

10

Con referencia a la anterior imagen, sean n y n las normales unitarias, exterior e

interior a S, respectivamente, con n = −n. La curva cerrada representa la frontera

de S y se designara por Γ.

Efectuando el balance de momentum en este volumen, se encuentra que actuan allı,

como es natural en un medio continuo, las fuerzas de volumen representadas por f,

ası como las fuerzas de superficie, representadas por t(n) y t(n), en donde t(n) es el

vector de esfuerzos o fuerza por unidad de area ejercida por las partıculas del fluido

contenido en el hemisferio inferior de B, sobre las partıculas del fluido presentes en

S. Por su parte, t(n) es la fuerza por unidad de area ejercida por las partıculas del

fluido contenidas en el hemisferio superior de la esfera, sobre las partıculas fluidas de

S.

Como es conocido en mecanica del medio continuo, estos vectores de esfuerzos estan

dados respectivamente por t(n) = n · T y t(n) = n · T = −n · T; siendo T el tensor

de esfuerzos del primer fluido y T el tensor de esfuerzos del segundo fluido.

Adicional a estas fuerzas actua, en cada punto de la curva Γ, una fuerza por unidad

de longitud, de magnitud σ, conocida como tension superficial, la cual se encuentra

en la direccion del vector normal unitario exterior a dicha curva, s, y cuyo efecto es

el de tratar de aplanar la superficie S.

Reuniendo estos hechos, el balance global de las fuerzas inerciales (representadas pord

dt

∫B

ρ u(r′) d3r′), con las fuerzas antes mencionadas, estara dado por:

d

dt

∫

B

ρ u(r′) d3r′ =

∫

B

f(r′) d3r′ +

∫

S

[t(n) + t(n)]d2r′ +

∮

Γ

σs dr′ (1.4)

Ahora bien, como se puede observar a partir de la anterior ecuacion, tanto las fuerzas

inerciales como las fuerzas de volumen son de orden O(ε3), en tanto que las fuerzas de

superficie y las de tension superficial son de orden O(ε2) y O(ε) respectivamente, de

modo que en el lımite ε → 0 estas dominan sobre las primeras. Ası pues, reteniendo

terminos hasta segundo orden en ε, el balance de momentum sera:

∫

S

n · [T− T] d2r′ +

∮

Γ

σs dr′ = 0 (1.5)

En donde se ha empleado la definicion del vector de esfuerzos dada mas arriba.

12

Por otra parte, el vector s esta dado por s = l× n, en donde l es un vector unitario

tangente a Γ. De modo que las fuerzas de tension superficial se pueden escribir como:

∮Γ

σsdr′ =∮Γ

(σn)× ldr′ =∮Γ

(σn)× dl

Ahora bien, se puede demostrar (Spiegel, 1959) que al aplicar el teorema de Stokes a

la ultima expresion se obtiene:

∮Γ

(σn)× dl =∫S

[n ∇ · (σn)− (n · ∇)(σn)] d2r′

Expandiendo el lado derecho de esta igualdad:

∫S

[n∇ · (σn)− (n · ∇)(σn)]d2r′ =∫S

n[∇σ · n+ σ∇ · n]− (n · n)∇σ − σ(n · ∇)nd2r′

Examinando cada termino del lado derecho de la anterior igualdad, se tiene que

∇σ · n = 0, puesto que ∇σ es un vector tangente a la superficie. Por otra parte,

(n · ∇)n =1

2∇(n · n) − n × (∇× n) = 0, ya que n · n = 1 y ∇× n = 0 al ser n un

campo vectorial irrotacional. De manera que se obtiene lo siguiente:

∫S

[n∇ · (σn)− (n · ∇)(σn)] d2r′ =∫S

n[σ∇ · n]−∇σd2r′

Es decir:

∮Γ

(σn)× dl =∫S

n[σ∇ · n]−∇σd2r′

Reemplazando este resultado en la ecuacion (1.5), se halla que:

∫S

n · [T− T] + n[σ∇ · n]−∇σdS = 0

Y puesto que se trata de una superficie arbitraria, finalmente se concluye que:

n · [T− T] = σn ∇ · n−∇σ (1.6)

Este sera pues el balance de esfuerzos en la interfaz de los dos fluidos. La ecuacion

(1.6) puede proyectarse en la direccion del vector normal a la superficie, ası como a

la largo de dos vectores tangentes a la misma. Lo anterior se efectuara tomando el

producto interno euclıdeo de (1.6), primero con n y luego con dos vectores unitarios,

t (1) y t (2), tangentes a la superficie. A la primera de estas proyecciones se le llamara

balance normal de esfuerzos, a la segunda, balance tangencial de esfuerzos.

13

El balance normal de esfuerzos sera entonces:

n · [T− T] · n = σ(∇ · n)n · n−∇σ · n = σ(∇ · n) (1.7)

Correspondientemente, el balance tangencial de esfuerzos sera:

n · [T− T] · t (m) = σ(∇ · n)n · t (m) −∇σ · t (m) = −∇σ · t (m); m = 1, 2 (1.8)

En la ultima igualdad se ha aprovechado el hecho de que n y t (m) son vectores

ortogonales, por lo cual n · t (m) = 0. La dinamica de la interfaz, como se observa

a partir de estos resultados, dependera entonces de la respuesta del medio ante la

aplicacion de esfuerzos sobre el, respuesta que se expresa por medio de la forma

que adquieren las relaciones constitutivas que dan expresion concreta al tensor de

esfuerzos.

Para fijar ideas y puesto que el objeto de estudio de este trabajo son fluidos newto-

nianos, considerese ahora el balance normal y tangencial de esfuerzos en el caso de

dos fluidos cuyos tensores de esfuerzos estan dados por las relaciones constitutivas:

T = −pI+ µ[(∇u) + (∇u)T ] y T = −pI+ µ[(∇u) + (∇u)T ] (1.9)

En donde p, u, µ y p, u, µ, corresponden al campo de presiones, de velocidades y a

la viscosidad dinamica de cada fluido, respectivamente; (∇u) corresponde al gradiente

del campo de velocidades o tensor tasa de deformacion y (∇u)T a su transpuesto; e

I es el tensor identidad.

Al reemplazar estas expresiones para los tensores de esfuerzos en las ecuaciones (1.7)

y (1.8) se observa la influencia que tienen sobre la dinamica de la interfaz factores

como la viscosidad de cada fluido, ası como la tension superficial de uno de ellos. En

particular, en (1.7) se aprecia como el salto de esfuezos normales se ve compensado

por la accion de la tension superficial, y en (1.8) al no aparecer terminos asociados

con la presion, esto es solo aparecen terminos asociados con gradientes de velocidad

en el lado izquierdo de la igualdad, mientras que en el lado derecho aparecen terminos

asociados con gradientes de tension superficial, se interpreta entonces que un valor

no nulo de dichos gradientes de tension superficial conlleva siempre movimiento de la

interfaz.

14

Esta ultima observacion tiene unas implicaciones notables. Por ejemplo, si se asu-

me una dependencia lineal de la tension superficial con un campo de temperaturas

variable, se obtiene la importante conclusion de que el aumento de temperatura en

la interfaz conlleva siempre movimiento de esta, bajo la hipotesis antes mencionada.

Algo similar pasarıa si se asumen gradientes de concentracion no nulos, o si se anade

un surfactante a la interfaz.

En el caso del problema que se estudia en este trabajo, el primer fluido es un lıquido

viscoso y el segundo un gas de viscosidad despreciable a presion constante p0. Se

considera igualmente que la tension superficial es constante, ası que ∇σ = 0 en (1.9).

Introduciendo ahora un sistema de coordenadas curvilıneas (ξ1, ξ2, ξ3) en una vecindad

de la superficie S que separa a los dos fluidos, (1.9) quedara expresada como Tik =

−pδik+µ[ui,k+uk,i] y Tik = −p0δik, con i, k = 1, 2, 3; ui,k la derivada covariante de u;

y δik la delta de Kronecker. Bajo este sistema de coordenadas, (1.7) y (1.8) adoptaran

respectivamente la forma:

(Tik − Tik)nink = σH y (Tik − Tik)nit(m)k = 0 (1.10)

Siendo H := ∇ · n la curvatura media de la superficie (O'neill, 2006), ni y t(m)i

las componentes i-esimas de n y t (m) en el sistema coordenado, respectivamente. En

(1.10) se esta empleando el convenio de Einstein para la suma sobre ındices repetidos.

Substituyendo en (1.10) las expresiones (1.9) para los tensores de esfuerzos, se llega

a:

[−(p− p0)δik + µ(ui,k + uk,i)]nink = σH y [−(p− p0)δik + µ(ui,k + uk,i)]nit(m)k = 0

O mejor:

p− p0 = µ(ui,k + uk,i)nink − σH y µ(ui,k + uk,i)nit(m)k = 0 (1.11)

En la obtencion de cada una de las igualdades se tiene presente que δiknink = nini = 1

y por otra parte que δiknit(m)k = nit

(m)i = 0.

Ahora bien, puesto que el sistema coordenado se ha escogido de tal suerte que ξ3 este

dirigido a lo largo de n, la normal exterior a S, y ξ2, ξ3 queden sobre S, entonces, la

superficie en su posicion de equilibrio quedara representada por la ecuacion ξ3 = 0;

en tanto que la superficie en el instante t quedara representada por ξ3 = N(ξ1, ξ2, t),

siendo N(ξ1, ξ2, t) la desviacion, segun n, de S respecto de su posicion de equilibrio.

15

Un vector unitario normal a S estara dado en consecuencia por:

n :=1√

1 + |∇N |2(e3 −∇N)

En donde |∇N |2 = ∇N · ∇N ; e3 es el vector coordenado tangente en todo punto a

la lınea coordenada ξ3.

De esta manera, las componentes del vector unitario normal a S se obtienen como:

n1 :=1√

1 + |∇N |2(− 1

h1

∂N

∂ξ1); n2 :=

1√1 + |∇N |2

(− 1

h2

∂N

∂ξ2); n3 :=

1√1|∇N |2

Similarmente, pueden definirse las componentes de los vectores tangentes t (m) como:

t(1)1 :=

1√1 + (

1

h1

∂N

∂ξ1)2; t

(1)2 := 0; t

(1)3 :=

1√1 + (

1

h1

∂N

∂ξ1)2(1

h1

∂N

∂ξ1)

t(2)1 := 0; t

(2)2 :=

1√1 + (

1

h2

∂N

∂ξ2)2; t

(2)3 :=

1√1 + (

1

h2

∂N

∂ξ2)2(1

h2

∂N

∂ξ2)

Siendo h1, h2 y h3, los coeficientes de Lame o factores de escala del sistema coordenado

(McConnel, 1957).

Substituyendo estas expresiones en la primera de las ecuaciones (1.11) se obtiene:

p− p0 =

2µu1,1n21+u2,2n

22+u3,3n

23+(u1,2+u2,1)n1n2+(u1,3+u3,1)n1n3+(u2,3+u3,2)n2n3−σH

Es decir:

p− p0 = 2µγ2u1,1(1

h1

∂N

∂ξ1)2 + u2,2(

1

h2

∂N

∂ξ2)2 +

(u1,2 + u2,1)

h1h2

∂N

∂ξ1

∂N

∂ξ2− (u1,3 + u3,1)

h1

∂N

∂ξ1

− (u2,3 + u3,2)

h2

∂N

∂ξ2+ u3,3 − σH

(1.12)

Con γ2 :=1

1 + |∇N |2 .

Por otra parte, de la segunda de las ecuaciones (1.11) se tiene que:

16

2u1,1n1t(m)1 + (u1,2 + u2,1)(n2t

(m)1 + n1t

(m)2 ) + (u1,3 + u3,1)(n3t

(m)1 + n1t

(m)3 ) +

2u2,2n2t(m)2 + (u2,3 + u3,2)(n3t

(m)2 + n2t

(m)3 ) + 2u3,3n3t

(m)3 = 0

Que es equivalente al par de ecuaciones siguientes:

−(u1,2 + u2,1)

h2

∂N

∂ξ2+ (u1,3 + u3,1)[1− (

1

h1

∂N

∂ξ1)2]

− (u2,3 + u3,2)

h1h2

∂N

∂ξ1

∂N

∂ξ2+ 2

(u3,3 − u1,1)

h1

∂N

∂ξ1= 0

(1.13)

−(u1,2 + u2,1)

h1

∂N

∂ξ1− (u1,3 + u3,1)

h1h2

∂N

∂ξ1

∂N

∂ξ2

+ (u2,3 + u3,2)[1− (1

h2

∂N

∂ξ2)2] + 2

(u3,3 − u2,2)

h2

∂N

∂ξ2= 0

(1.14)

Estas seran pues las condiciones de frontera dinamicas en la interfaz lıquido-gas, las

cuales se verifican en cualquier instante t.

1.2.2. Condicion de frontera cinematica

Se establecera ahora la condicion cinematica que se verifica en la interfaz lıquido-gas.

En este orden de ideas, recordando que la posicion de la superficie libre del lıquido

esta representada en todo instante t por la ecuacion ξ3 = N(ξ1, ξ2, t), la condicion que

expresa el hecho de que la interfaz lıquido-gas se mueve con la misma velocidad que

las partıculas del lıquido, vendra dada entonces por:

d

dt[ξ3 −N(ξ1, ξ2, t)] = 0

Puesto que por definicion u3 =dξ3dt

, y, por la regla de la cadena:dN

dt:=

∂N

∂t+u ·∇N ,

entonces:

∂N

∂t+ u‖ · ∇N = un (1.15)

En donde un := u3 es la componente normal del campo de velocidades del fluido en

la superficie S, y u‖ es la componente tangencial del campo de velocidades definida

en dicha superficie.

La ecuacion (1.15) constituye entonces la condicion cinematica, valida tambien en

cualquier tiempo t.

17

Conviene decir acerca de esta condicion, que ella suministra la informacion acerca de

la evolucion temporal de la superficie libre del lıquido, pero unicamente cuando ya

se halla determinado el campo de velocidades del fluido, pues una vez conocido este,

mediante (1.15), sera posible determinar a ξ3 = N(ξ1, ξ2, t), en cualquier instante t,

conocido a su vez el estado inicial de la superficie libre.

Justamente uno de los meritos del metodo desarrollado en este trabajo es el de aprove-

char esta condicion para obtener, por medio de la introduccion de operadores lineales

asociados con las energıas potencial y cinetica del fluido, una ecuacion que describa

la dinamica de la superficie libre del lıquido en regimen ondulatorio.

Este hecho resulta notable si se tiene en cuenta que la descripcion de la dinamica

ondulatoria en un fluido, tomando en cuenta los efectos de la tension superficial ası

como de la viscosidad, no cuenta aun, hasta donde el autor ha podido constatar, con

un tratamiento que describa a N(ξ1, ξ2, t) independientemente del campo de velocida-

des del lıquido. Para comprobar que esto es ası, el lector interesado puede consultar

por ejemplo la monografıa de Johnson (Johnson, 1997) que es bastante completa, si

bien fue publicada hace ya un tiempo atras.

Otro punto que es importante destacar antes de culminar este capıtulo, es que en

la presente monografıa se busca obtener un modelo de ondas lineales, sin embargo,

las ecuaciones (1.12) a (1.15) ası como las ecuaciones de Navier-Stokes, exhiben un

caracter manifiestamente no lineal. Sera necesario por tanto, hallar una forma de

linealizar dichas ecuaciones. Esto se realizara en el siguiente capıtulo, anticipando de

antemano que la forma en que aquı se hara, constituye uno de los logros alcanzados

en este trabajo.

Por otra parte, el merito es doble, ya que las ecuaciones (1.12), (1.13) y (1.14) antes

obtenidas, pueden ser aplicadas al caso en que se tiene una pelıcula de fluido descen-

diendo sobre una pared por accion de la gravedad. Las expresiones resultantes seran

uno de los ejes centrales para el modelo de ondas no lineales de Shkadov-Kapitza, dis-

cutido en el apendice A. Allı se muestra como la forma correcta del balance normal y

tangencial de esfuerzos procede de calculos similares a los que condujeron a las ecua-

ciones antes mencionadas, corrigiendo de esta forma un error importante contenido

en el trabajo de Shkadov (Shkadov, 1967), y dando con ello la razon a otros autores

como Penev et al. (Penev et al., 1972) quienes advirtieron de tal desaguisado tiempo

despues.

18

Capıtulo 2

Modelo linealizado

En este capıtulo se realizaran ciertos estimados sobre los terminos que aparecen en las

ecuaciones de Navier-Stokes (1.1), de continuidad (1.2), ası como sobre las condiciones

de frontera (1.12), (1.13), (1.14) y sobre la condicion cinematica (1.15), con el fin de

linealizar dichas expresiones.

Las ecuaciones ası obtenidas conduciran a obtener un modelo que permita, por un

lado, introducir la maquinaria del analisis funcional en el problema, que es lo que se

busca, y por el otro establecer los lımites de validez del modelo, lo cual es bastante

importante si se tiene en cuenta que en general en fısica los modelos teoricos son

validos dentro de cierto rango de valores de los parametros comprometidos en los

sistemas objeto de estudio.

Con el fin lograr estos propositos, se empezara por adimensionalizar las ecuaciones

antes mencionadas, introduciendo una escala apropiada. Enseguida, se realizara una

expansion asintotica de los terminos que aparecen en cada ecuacion, reteniendo uni-

camente aquellos terminos hasta cierto orden en un parametro determinado, todo lo

cual se llevara a cabo de tal manera que halla uniformidad a la hora de ponderar la

contribucion de unos terminos frente a otros en las expresiones consideradas.

2.0.1. Adimensionalizacion de las ecuaciones de movimiento

La adimensionalizacion de las ecuaciones (1.1),(1.2) y (1.3) comenzara escogiendo una

escala apropiada. Dicha escala se constituye a partir de una consideracion intuitiva

del fenomeno, a saber: que una vez perturbada la superficie libre del fluido, la visco-

sidad cinematica ν es responsable de producir deformaciones en esta, dado que este

parametro controla el rozamiento interno del fluido. A su vez, las fuerzas de cohe-

sion, controladas por la tension superficial σ, se oponen a esta deformacion pues su

19

mecanismo es justamente el de tratar de aplanar la superficie del fluido, manteninedo

la cohesion molecular de sus componentes. El balance entre estas dos fuerzas en la

superficie libre del fluido es entonces el que vendra a gobernar el regimen ondulatorio

que se busca describir, por lo cual tiene sentido tratar de construir una escala a partir

de σ y ν como parametros fundamentales del modelo.

Sean, l, t, m, representando escalas de longitud, tiempo y masa respectivamente. En

virtud del analisis dimensional, se tiene que:

[σ] =m

t2; [ν] =

l2

t; [ρ] =

m

l3

Resolviendo estas ecuaciones para l y t en funcion de σ, ρ y ν, se encuentra, como

puede facilmente comprobarse:

l =ρ ν2

σ; t =

ρ2 ν3

σ2

Podrıa pensarse entonces en una adimencionalizacion de las variables comprometidas

en terminos de esta escala, efectuando las siguientes transformaciones:

r → l r?; t→ t t?; u → l

tu?; etc.

En donde r?,u?, etc. representan las versiones adimensionalizadas de r,u, etc., res-

pectivamente.

Sin embargo, puesto que se busca obtener una ecuacion que gobierne la evolucion de

N , la desviacion de la superficie del fluido respecto de su posicion de equilibrio; podrıa

pensarse que este parametro puede llegar a ser importante en la construccion de una

escala apropiada al problema. Esta observacion sugiere una forma de proceder que

resulta util, como se vera mas adelante, desde el punto de vista teorico: introducir

en la escala el espesor medio de la capa de fluido, N0, empleando ası dos escalas de

longitud. Sin perdida de generalidad y para facilitar la discusion, las transformaciones

que se realizaran a continuacion vienen expresadas en coordenadas cartesianas:

r → N0 r?; h→ N0 N?; t→ (t l/N0)t

?; u → (N20/l t)u

?; p→p0 + (ρlN0/t

2)p∗; Π → (ρνN0/l t)Π∗

Se definen a partir de esta escala dos parametros adimensionales de vital importancia,

a saber:

20

El numero de Reynolds

(Re)−1 =N2

0

νt

Y el numero de Weber

We = (t2σ

lN20ρ

)−1

El numero de Reynolds por una parte, permite estimar la contribucion de los efectos

inerciales, representados por N20/t, frente a los efectos viscosos, representados por ν.

Por otra parte, el numero de Weber es una herramienta mediante la cual se puede

ponderar la contribucion de los efectos de la tension superficial, representados por σ,

frente a los terminos inerciales, asociados con la cantidad ρ(N20/t

2)l.

Bajo estas transformaciones se tiene por ejemplo que:

∂u

∂t=

N30

(l t)2∂u?

∂t?;∂u

∂x=N0

l t

∂u?

∂x?;∂u

∂y=N0

l t

∂u?

∂y?

∂2u

∂x2=

1

l t

∂2u?

∂x?2;∂2u

∂y2=

1

l t

∂2u?

∂y?2;∂p

∂x=ρl

t2∂p?

∂x?

Reemplazando estas expresiones y terminos semejantes en las ecuaciones de Navier-

Stokes (1.1), de continuidad (1.2), ası como en la condicion de frontera (1.3) y luego

de algunos pasos algebraicos se obtiene el conjunto de ecuaciones adimensionalizadas:

ε(Re)−1[∂u∗

∂t∗+ (u∗ · ∇∗)u∗] = −ε−2(Re)−1∇∗p∗ +∇∗Π∗ + ν ∆∗u∗; ε :=

N0

l(2.1)

∇∗ · u∗ = 0 (2.2)

u∗|Σ = 0 (2.3)

El mismo proceso de adimensionalizacion puede llevarse a cabo sobre las condiciones

dinamicas (1.12), (1.13) y (1.14), ası como sobre la condicion cinematica (1.15). Nue-

vamente, los calculos se haran en coordenadas cartesianas para facilitar el desarrollo.

En el caso de (1.12):

p∗ = 2ε2Reu∗1,1(∂N∗

∂x∗1)2 + u∗2,2(

∂N∗

∂x∗2)2 + (u∗1,2 + u∗2,1)

∂N∗

∂x∗1

∂N∗

∂x∗2− (u∗1,3 + u∗3,1)

∂N∗

∂x∗1

− (u∗2,3 + u∗3,2)∂N∗

∂x∗2+ u∗3,3 −We−1 H∗

(2.4)

21

En donde la curvatura media H se ha adimensionalizado realizando la transformacion

H → 1

N0

H∗, teniendo presente que este parametro tiene dimensiones de inverso de

longitud.

La version adimensonalizada de las restantes ecuaciones no ofrece mayor cambio,

salvo en notacion e interpretacion, respecto a su contraparte dimensional; ası para las

ecuaciones (1.13), (1.14) y (1.15) se tiene:

−(u∗1,2 + u∗2,1)∂N∗

∂x∗2+ (u∗1,3 + u∗3,1)[1− (

∂N∗

∂x∗1)2]

− (u∗2,3 + u∗3,2)∂N∗

∂x∗1

∂N∗

∂x∗2+ 2(u∗3,3 − u∗1,1)

∂N∗

∂x∗1= 0

(2.5)

−(u∗1,2 + u∗2,1)∂N∗

∂x∗1− (u∗1,3 + u∗3,1)

∂N∗

∂x∗1

∂N∗

∂x∗2+ (u∗2,3 + u∗3,2)[1− (

∂N∗

∂x∗2)2]

+ 2(u∗3,3 − u∗2,2)∂N∗

∂x∗2= 0

(2.6)

∂N∗

∂t∗+ u∗

‖ · ∇∗N∗ = u∗n (2.7)

2.0.2. Forma linealizada de las ecuaciones

Muchos modelos teoricos en mecanica de fluidos, tales como el de Prandtl de la capa

lımite, o el de Shkadov-Kapitza que describe el regimen ondulatorio en una capa de

fluido que desciende por accion de la gravedad sobre una pared; basan su poderıo en

las hipotesis que permiten despreciar ciertos terminos en comparacion con otros en las

ecuaciones de movimiento, conduciendo de esta manera a un modelo apreciablemente

mas simple, pero a la vez razonablemente cercano en sus predicciones al resultado

experimental.

Sin embargo estos modelos, como tales, tienen lımites de validez que se traducen en

ordenes de magnitud de los parametros adimensionales comprometidos, como es el

caso del numero de Reynolds y el numero de Weber antes introducidos. De manera que

la adimensionalizacion de las ecuaciones de movimiento ası como de las condiciones

de frontera, sirven al proposito de establecer en que regımenes es valido el modelo en

relacion con los valores de los parametros adimensionales antes mencionados. Esto se

hara mas explıcito de la siguiente manera:

22

1) Se introducira un parametro adimensional de orden, ε << 1, indefinido al principio

pero que puede estar relacionado por ejemplo con la amplitud de las ondas, su longitud

de onda, el valor medio N0 que se menciono antes, etc.; que permita establecer el orden

de magnitud de los diversos terminos que aparecen en las ecuaciones de movimiento

y condiciones de frontera, de modo que se pueda ponderar la contribucion de unos

terminos frente a otros.

2) Dichos estimados se realizaran luego en terminos de las potencias de ε que apa-

rezcan en las ecuaciones mencionadas y dependiendo del orden deseado se tendran

diferentes modelos, por su puesto con diferentes metodologıas de estudio. Vale decir

que se obtendra en este trabajo un modelo a primer orden en ε, queriendo con ello

decir que cualquier expresion en la que figuren potencias de ε de orden superior al

primero, seran descartados de las ecuaciones.

Formalmente, el parametro ε es introducido mediante la transformacion:

u∗ → εu∗; N → εN

Esta es justamente la razon de haber designado por ε a la cantidad N0/l en la ecuacion

(2.1). Intuitivamente hablando, se puede justificar esta transformacion en el hecho de

que se quiere ponderar la contribucion del campo de velocidades en las ecuaciones

de movimiento, concretamente, se busca describir un regimen ondulatorio de bajas

velocidades, por lo que se desean desestimar terminos que comprometan terminos

cruzados o de segundo orden en las componentes de u ası como en la variable N .

Comenzando con la ecuacion (2.1), se observa que luego de esta substitucion se ob-

tiene:

ε2(Re)−1[∂u∗

∂t∗+ ε(u∗ · ∇∗)u∗] = −ε−2(Re)−1∇∗p∗ +∇∗Π∗ + ε ∆∗u∗

Ahora bien, si el numero de Reynolds Re fuese cuando mucho de orden O(ε), lo cual

implicarıa (dado que ε << 1) que Re << 1, siendo por tanto dominantes, bajo esta

condicion, los efectos viscosos sobre los efectos inerciales. La misma condicion, dada

la definicion del numero de Reynolds (Re)−1 := N20/νt, definirıa una escala de tiempo

t, en la cual los efectos inerciales comenzarıan a dominar sobre los viscosos, esto es

para t >>N2

0

ν. De otra parte, puesto que ε := N0/l , se observa que la condicon

Re = O(ε) << 1 indicarıa la existencia de una posible escala de longitud en la cual

el modelo serıa plausible, es decir para (ρν2)/(σN0) >> 1 y de aquı N0 << (ρν2)/σ.

23

En otras palabras, para escalas de longitud mucho mayores que el espesor medio

de la capa de fluido, resultarıa plausible el modelo, pudiendose ademas darse esta

circunstancia en una amplia variedad de condiciones, entre ellas, una condicion de

alta tension superficial y viscosidad dominante sobre los efectos inerciales.

Si se compara el numero de Reynolds aquı definido con el correspondiente definido

en otros contextos (Kundu et al., 2008) como Re =UL

ν, en donde U y L son escalas

de velocidad y de longitud tıpicas de un flujo particular, respectivamente; se puede

ver que si estos son del mismo orden de magnitud, de aquı se podrıa identificar una

escala de velocidades para la que serıa valido el modelo aquı desarrollado, y que

vendrıa dada por medio de la expresion U =ν2t

N20L

. Tomando para una capa de agua

de unos cuantos centımetros de espesor, los ordenes de magnitud ν ∼ 10−6 m2/s,

N0 ∼ 10−2 m, t ∼ 104 s y L ∼ 10 m; se observa por ejemplo que la escala de

velocidad serıa del orden de U ∼ 10−5 m/s, en otras palabras, el modelo tambien

resultarıa correcto a bajas velocidades del fluido.

Con este mismo criterio, el termino (u∗ · ∇∗)u∗ en la anterior ecuacion serıa de orden

O(ε2), lo cual implicarıa a su vez que la contribucion de este frente a los restantes

terminos de la ecuacion serıa despreciable, quedando entonces la igualdad como:

ε2(Re)−1∂u∗

∂t∗= −ε−2(Re)−1∇∗p∗ +∇∗Π∗ + ε ∆∗u∗ (2.8)

De forma que la ecuacion de Navier-Stokes ha sido linealizada, teniendo presente

ademas, bajo que lımites serıa correcto trabajar con ella, esto es a Re = O(ε) cuando

mucho.

Continuando ahora con las ecuaciones (2.5) y (2.6), se obtiene:

−ε2(u∗1,2 + u∗2,1)∂N∗

∂x∗2+ ε(u∗1,3 + u∗3,1)[1− ε2(

∂N∗

∂x∗1)2]

− ε3(u∗2,3 + u∗3,2)∂N∗

∂x∗1

∂N∗

∂x∗2+ 2ε2(u∗3,3 − u∗1,1)

∂N∗

∂x∗1= 0

(2.9)

−ε2(u∗1,2 + u∗2,1)∂N∗

∂x∗1− ε3(u∗1,3 + u∗3,1)

∂N∗

∂x∗1

∂N∗

∂x∗2+ ε(u∗2,3 + u∗3,2)[1− ε2(

∂N∗

∂x∗2)2]

+ 2ε2(u∗3,3 − u∗2,2)∂N∗

∂x∗2= 0

(2.10)

24

Razonando de un modo similar al anterior, estas ecuaciones son reducidas, descar-

tando terminos de orden superior a ε, a la forma:

u∗i,3 + u∗3,i = 0; i = 1, 2 (2.11)

Respecto a las ecuaciones (2.4) y (2.7), estas quedan finalmente convertidas, luego de

ser linealizadas bajo este esquema, en:

p∗ = −(We)−1 H∗ (2.12)

∂N∗

∂t∗= u∗n (2.13)

Es muy importante aclarar que las ecuaciones (2.9) a (2.13) son validas en la superficie

libre del fluido en tanto que condiciones de frontera dinamicas y cinematicas, de modo

que la presion en (2.12) por ejemplo no es la misma que la que figura en la ecuacion

(2.8) y lo mismo aplica para las demas variables.

Para finalizar, analizando las expresiones (2.8) y (2.12), se observa que para tener

consistencia con el criterio de linealizacion seguido aquı, el numero de Weber We

deberıa ser de ordenWe = O(ε−4); lo cual traerıa como consecuencia queWe >> Re,

siendo interpretado este hecho como la imposicion de una limitante adicional definida

en terminos de escalas de longitud y tiempo, expresadas estas a su vez, a traves de la

viscosidad, tension superficial y densidad del fluido, para que el modelo resulte valido.

En particular, esta condicion corrobora el hecho de que en condiciones en las cuales

la tension superficial domina sobre los efectos inerciales, el modelo es plausible.

25

Capıtulo 3

Interludio matematico

3.1. El teorema de descomposicion de Helmholtz-

Weyl

Un hecho crucial para las teorıas clasicas de campo, tales como la electrodinamica

clasica, la teorıa lineal de la elasticidad y desde luego la mecanica de fluidos, es la

posibilidad de representar (bajo unas condiciones bien determinadas), univocamen-

te los correspondientes campos vectoriales de cada teorıa, llamense estos electrico,

magnetico, de desplazamiento o de velocidad, como suma de un campo gradiente mas

un campo solenoidal o de divergencia nula. En otras palabras, si u representa uno de

dichos campos vectoriales, y si este satisface unas ciertas condiciones de regularidad

en un dominio acotado Ω ⊂ R3, se tiene que:

u = ∇φ+w; ∇ ·w = 0

Mas precisamente, sea Ω ⊂ R3 una region acotada del espacio; u ∈ C2(Ω), es decir

u : Ω → R3 es un campo vectorial continuamente diferenciable hasta segundo orden

en Ω y su frontera ∂Ω; Ω := Ω ∪ ∂Ω es la clausura de Ω. Entonces, el teorema de

descomposicion de Helmholtz-Weyl, en su version clasica por llamarla de algun modo,

afirma que, conocidos la divergencia y el rotacional de u, existen campos ∇φ y w,

continuamente diferenciables hasta segundo orden en Ω, tales que u = ∇φ + w con

∇ ·w = 0; y esta representacion es unıvoca.

Cabe aclarar que este teorema puede extenderse a todo el espacio, siempre y cuando

u(r) se proxime a cero conforme |r| = r → ∞, toda vez que dicha representacion

fallarıa al no ser unıvoca. En efecto, considerese por ejemplo el campo dado por u(r) =

(yz, zx, xy), como puede facilmente comprobar el lector, este campo es solenoidal e

irrotacional en todas partes pues ∇× u = 0 y ∇ · u = 0, para todo r. Sin embargo,

26

esto indicarıa que habrıan dos representaciones del mismo campo, por un lado u(r) =

(yz, zx, xy) y por el otro u(r) = (0, 0, 0), un resultado sin lugar a dudas contradictorio.

En este caso el fallo radica justamente en el hecho de que el requerimiento de que

u(r) → 0 conforme r → ∞ no es satisfecho en este ejemplo por el campo u.

Se procedera ahora a demostrar la version clasica de este importante teorema y a

discutir la generalizacion del mismo, al caso en que el campo u no es lo sufientemente

regular, en el entendido de que estos resultados suponen una herramienta de vital

importancia en el desarrollo de este trabajo, puesto que los mismos seran utilizados

en los siguientes capıtulos como base para la construccion del modelo.

Sean f(r) := ∇·u y D(r) := ∇×u funciones conocidas; de otra parte, como es sabido

en electrodinamica clasica (Griffiths, 1999), el operador laplaciano, ∆, aplicado sobre

la funcion 1/|r− r′| con respecto a r, es proporcional a la distribucion delta de Dirac:

∆(1

|r− r′|) = −4πδ(r− r′)

Por otra parte, tambien es sabido en esta materia que se cumple lo siguiente:

u(r) =∫Ωu(r′)δ(r− r′)d3r′

Por tanto, se tiene que:

u(r) =∫Ωu(r′)δ(r− r′)d3r′ =

∫Ωu(r′)[− 1

4π∆(

1

|r− r′|)]d3r′

Puesto que el operador ∆ afecta solo a aquellas funciones de r, puede extraerse

entonces de la integral:

u(r) = − 1

4π∆[

∫Ω

u(r′)

|r− r′|d3r′]

Ahora bien, segun una conocida identidad del analisis vectorial, para cualquier campo

vectorial a continuamente diferenciable a segundo orden, se cumple que ∆a = ∇(∇ ·a)−∇× (∇× a). Usando este hecho en la anterior igualdad, entonces:

u(r) = − 1

4π∆[

∫Ω

u(r′)

|r− r′|d3r′] = − 1

4π[∇(∇ ·

∫Ω

u(r′)

|r− r′|d3r′)−∇× (∇×

∫Ω

u(r′)

|r− r′|d3r′)] = − 1

4π[∇(

∫Ωu(r′) · ∇ 1

|r− r′|d3r′) +∇× (

∫Ωu(r′)×∇ 1

|r− r′|d3r′)]

Ahora bien, puesto que, como se puede comprobar facilmente

27

∇ 1

|r− r′| = −∇′ 1

|r− r′|En donde ∇′ representa el operador Nabla, tomado con respecto a r′. Con esto:

u(r) = − 1

4π[−∇(

∫Ωu(r′) · ∇′ 1

|r− r′|d3r′)−∇× (

∫Ωu(r′)×∇′ 1

|r− r′|d3r′)]

Se hara uso ahora de las siguientes identidades las cuales son validas para cualesquiera

campos a y ψ, continuamente diferenciables en cierto dominio:

a · ∇ψ = −ψ∇ · a+∇ · (ψa)

a×∇ψ = ψ∇× a−∇× (ψa)

De esta manera entonces, la ultima igualdad se transforma en:

u(r) = − 1

4π[−∇(−

∫Ω

∇′ · u(r′)|r− r′| d

3r′ +∫Ω∇′ · ( u(r′)

|r− r′|)d3r′)−∇×

(∫Ω

∇′ × u(r′)

|r− r′| d3r′ −∫Ω∇′ × (

u(r′)

|r− r′|)d3r′)]

Utilizando ahora el teorema de la divergencia en la segunda y cuarta integrales, se

determina que:

∫Ω∇′ · ( u(r′)

|r− r′|)d3r′ =

∮∂Ω

n′ · u(y′)

|r− y′| d2y′

∫Ω∇′ × (

u(r′)

|r− r′|)d3r′ =

∮∂Ω

n′ × u(y′)

|r− y′| d2y′

En donde n′ representa la normal exterior a la superficie ∂Ω que encierra a Ω; y,

y′ ∈ ∂Ω. En virtud de lo anterior, entonces:

u(r) = −∇[1

4π

∫Ω

∇′ · u(r′)|r− r′| d

3r′ − 1

4π

∮∂Ω

n′ · u(y′)

|r− y′| d2y′] +∇×

[1

4π

∫Ω

∇′ × u(r′)

|r− r′| d3r′ − 1

4π

∮∂Ω

n′ × u(y′)

|r− y′| d2y′] = ∇φ+∇×A

Ası pues, queda demostrado el teorema de descomposicion al exhibir la construccion

de los campos φ y A que satisfacen las hipotesis del teorema y que vienen definidos

por:

φ(r) := − 1

4π

∫

Ω

∇′ · u(r′)|r− r′| d

3r′ +1

4π

∮

∂Ω

n′ · u(y′)

|r− y′| d2y′ (3.1)

A(r) :=1

4π

∫

Ω

∇′ × u(r′)

|r− r′| d3r′ − 1

4π

∮

∂Ω

n′ × u(y′)

|r− y′| d2y′ (3.2)

28

Es claro, a partir de la anterior construccion, que la descomposicion de u viene de-

terminada unıvocamente por el conocimiento de la divergencia f(r) = ∇ · u y el

rotacional D(r) = ∇ × u de dicho campo, pero ademas esta supeditada al conoci-

miento de este campo en la frontera del dominio en cuestion como lo corroboran la

presencia de los terminos n′ ·u y n′×u en las expresiones para φ yA, respectivamente.

Esto ultimo que se ha dicho es de remarcar, por lo cual el teorema de Helmholtz-Weyl

se analizara desde una nueva perspectiva. Supongase ahora que tal descomposicion es

posible, el proposito ahora sera el de determinar bajo que condiciones es ello realizable.

En este orden de ideas, tomese la divergencia a ambos lados de la igualdad u =

∇φ+w, de donde:

∇ · u = ∇ · ∇φ+∇ ·w = ∆φ = f(r)

Aquı se ha hecho uso de la identidad ∇ ·∇φ := ∆φ, conocida en el analisis vectorial,

ası como el hecho de que w es un campo solenoidal, esto es ∇ ·w = 0. De suerte que

la descomposicion de Helmholtz-Weyl sera posible en la medida en que sea posible

encontrar una unica funcion φ(r), conocido ∇ · u = f(r), tal que dicha funcion es

solucion del problema:

∆φ = f(r)

Por tanto, φ es solucion a la ecuacion de Poisson, ecuacion que representa por otra

parte un problema de valores en la frontera del dominio Ω y cuya existencia y unicidad

de soluciones se espera, en principio, dependan del grado de regularidad que se le exija

a esta funcion, de las condiciones en la frontera ∂Ω que se le impongan a la misma o

a sus derivadas, ası como el tipo de dominio y de frontera del problema en cuestion.

Afortunadamente, la teorıa de existencia y unicidad de soluciones a la ecuacion de

Poisson esta bastante desarrollada para un amplio espectro de condiciones. Una buena

introduccion al particular la puede encontrar el lector en el libro de texto de Evans

(Evans, 1998). Basta decir aquı que si φ ∈ C2(Ω) entonces, para todo r ∈ Ω y todo

y′ ∈ ∂Ω, se tiene la siguiente representacion de φ:

φ(r) =

∫

Ω

G(r, r′)f(r′)d3r′ −∮

∂Ω

[G(r,y′)n′ · ∇′φ(y′)− φ(y′)n′ · ∇′G(r,y′)]d2y′ (3.3)

En donde G(r, r′) se conoce como funcion de Green de la ecuacion de Poisson y es tal

que:

29

∆G(r, r′) = δ(r− r′)

Como lo demuestra Evans (Evans, 1998), la funcion de Green en R3 para la ecuacion

de Poisson es:

G(r, r′) = − 1

4π(|r− r′|)

De modo que la representacion (3.3) guarda mucha semejanza con el campo definido

por la ecuacion (3.1). De hecho los dos primeros terminos en estas igualdades son los

mismos como se puede apreciar. Sin embargo, ¿que hay del tercero en la ecuacion

(3.3)? Pues bien, resulta ser que existe un principio muy importante en la teorıa

de ecuaciones diferenciales lineales conocido como principio de superposicion, el cual

afirma que la solucion a una ecuacion no homogenea, tal como la de Poisson, se puede

descomponer como la suma de una solucion particular mas una solucion de la ecuacion

homogenea asociada, en este caso la ecuacion de Laplace:

∆φ = 0

Y resulta ser que justamente el tercer termino al que se hace mencion es solucion de

esta ultima ecuacion. En efecto, fıjese un punto r ∈ Ω, para todo y′ ∈ ∂Ω entonces:

n′ · ∇′G(r,y′) = − n′ · (r− y′)

4π(|r− y′|3)

Es una funcion suave. Mas aun, dado que ∆G(r, r′) = δ(r− r′) = 0 para todo r 6= r′;

se deduce entonces que para todo r 6= y′, G(r,y′) es una funcion armonica o que

satisface la ecuacion de Laplace en Ω; por tanto, n′ · ∇′G(r,y′) es tambien armonica

en esta region. Ası pues:

∆∮∂Ωφ(y′)n′ · ∇′G(r,y′)d2y′ =

∮∂Ωφ(y′)∆[n′ · ∇′G(r,y′)]d2y′ =

∮∂Ωφ(y′)[0]d2y′ = 0

Ası que entonces queda justificada la discrepancia entre las ecuaciones (3.1) y (3.3)

por el hecho de que la solucion sera unıvoca una vez que se especifiquen los valores en

la frontera que toman las cantidades allı comprometidas; en particular, si se impone la

condicion de que n′ ·∇′G(r,y′) = 0 para todo y′ ∈ ∂Ω, cobra pleno sentido identificar

dichas igualdades como una sola, estableciendo definitivamente la conexion existente

entre las dos aristas que ha exhibido el analisis de este problema.

La demostracion de la ecuacion (3.3) procede del siguiente modo. Utilizando la se-

gunda identidad de Green, la cual afirma que:

30

∫Ω[ψ∆φ− φ∆ψ]d3r′ =

∮∂Ω[ψn′ · ∇′φ− φn′ · ∇′ψ]d2r′

Y reemplazando allı a ψ por G(r, r′), entonces:

∫Ω[G(r, r′)∆φ− φ∆G(r, r′)]d3r′ =

∫Ω[G(r, r′)f(r′)− φ(r′)δ(r− r′)]d3r′ =∫

ΩG(r, r′)f(r′)d3r′ −

∫Ωφ(r′)δ(r− r′)d3r′ =

∫ΩG(r, r′)f(r′)d3r′ − φ(r) =∮

∂Ω[G(r, r′)n′ · ∇′φ− φn′ · ∇′G(r, r′)]d2r′

Despejando finalmente a φ(r) en esta ultima igualdad queda demostrada la ecuacion

(3.3).

Una vez establecida la existencia y unicidad de φ, es posible construir un campo

solenoidal w tal que la descomposicion de Helmholtz-Weyl resulta ser valida, pues en

efecto, dado que:

∇ · (u−∇φ) = 0

Se concluye que debe existir un campo solenoidal w de tal suerte que:

u−∇φ = w

La discusion anterior, si bien ha sido informal, ha puesto de relieve varios puntos

importantes acerca de la manera en que proceden las demostraciones de las modernas

versiones del teorema de descomposicion: Se establece un problema de valores en la

frontera; se determina la existencia y unicidad de soluciones al mismo, previamente

seleccionando la clase de funciones que se tomaran como soluciones admisibles; y, al

conjunto de estas, se les dotara de la estructura de un espacio de Hilbert. Finalmente,

con base en estos resultados se concluye la existencia de otro campo vectorial el cual es

solenoidal y ademas ortogonal, en cierto sentido bien definido, a ∇φ lo cual concluye

la demostracion del teorema de descomposicion.

La idea detras de este metodo es aplicar una serie de resultados y teoremas del

analisis funcional los cuales permiten ampliar, como se menciono anteriormente, el

conjunto de funciones que son solucion a un determinado problema de valores en

la frontera. Ası por ejemplo, en la demostracion de la ecuacion (3.3) que representa

una solucion de la ecuacion de Poisson, se requerıa que dicha funcion perteneciera al

espacio C2(Ω). Muchas veces sin embargo, exigir tal grado de regularidad no resulta

posible, en especial si la topologıa de Ω es compleja, verbigracia si se trata de un

dominio agujerado, sin frontera, con esquinas, etc. Es ası que mediante la tecnica de

31

convertir una ecuacion diferencial parcial en un problema abstracto en un espacio

de Hilbert, es posible, mediante ciertos teoremas del analisis funcional, demostrar la

existencia de soluciones generalizadas a dicho problema, en otras palabras, funciones

que ni siquiera tienen porque ser continuamente diferenciables en el sentido usual de

la palabra.

A una breve descripcion de los espacios de funciones antes mencionados, ası como

algunas de sus propiedades, espacios que son conocidos en la literatura como de So-

bolev, estara dedicado el siguiente apartado. Luego de ello, con la ayuda de la estruc-

tura adquirida, se procedera a estudiar algunos conceptos importantes del analisis

funcional, tales como los de funcional lineal, formas bilineales, operadores lineales

acotados, entre otros, culminando con el importante teorema de representacion de

Riesz cuya demostracion se dara mas adelante. Este recorrido servira finalmete para

discutir la descomposicion de Helmholtz-Weyl que sera utilizada, junto con el apa-

rato matematico antes mencionado, en el planteamiento del modelo que describe el

movimiento ondulatorio en una capa de fluido.

3.1.0.1. Espacios de Sobolev

Muchos problemas en fısica se reducen, en su expresion matematica, a la busqueda de

soluciones de una ecuacion diferencial parcial definida en una region del espacio Ω; con

datos acerca de la funcion desconocida o de sus derivadas, especificados en la frontera

∂Ω de dicha region. Un ejemplo tıpico de esto que se dice, es el problema de hallar el

potencial electrostatico φ en el disco unitario Ω := (x, y) ∈ R2 : (x−1)2+y2 < 1, con

condicion de frontera φ|∂Ω = 0. En este caso, ∂Ω := (x, y) ∈ R2 : (x− 1)2 + y2 = 1

y el potencial satisface la ecuacion de Laplace, ∆φ = 0, en Ω.

Sin embargo, exigir que las soluciones a esta clase de problemas tengan un grado de

regularidad tal que, por ejemplo, φ sea continuamente diferenciable hasta segundo

orden en Ω, no es posible en muchas ocasiones, maxime si se tiene en cuenta que

dichas soluciones estan obligadas tambien a satisfacer una determinada condicion de

frontera tal como φ|∂Ω = 0. Para no ir tan lejos, siguiendo con este mismo ejemplo,

las partes real e imaginaria de la funcion de variable compleja f(z) =1

z, definidas por

Ref(z) =x

x2 + y2e Imf(z) =

−yx2 + y2

, satisfacen respectivamente la ecuacion

de Laplace en Ω, como se puede comprobar. No obstante, en el punto (0, 0) ∈ ∂Ω estas

funciones no estan definidas, mas aun, en las proximidades de este punto, Ref(z)por ejemplo crece (o decrece segun sea el camino por el cual se aproxime a dicho

punto) sin cota definida.

32

La discusion sostenida en los anteriores parrafos, sugiere entonces ‘flexibilizar’ el gra-

do de suavidad que se le pide a las soluciones de una ecuacion diferencial parcial.

Puesto que el grado de suavidad de una funcion esta relacionado con la existencia de

derivadas parciales, continuas hasta un orden determinado, es de sospechar que esta

flexibilizacion comience por definir un nuevo concepto de derivada, de tal manera que

este no resulte tan restrictivo.

Desde esta perspectiva, surge entonces el concepto de Derivada debil de una funcion,

el cual se introducira a continuacion. Para motivar la idea detras de este concepto,

hara falta sin embargo, la siguiente definicion:

Definicion 3.1.1. Sea C∞c (Ω) el espacio de las funciones infinitamente diferenciables

ψ : Ω −→ R, con soporte compacto en Ω. Usualmente, a las funciones de este espacio

se les denomina funciones test.

En la anterior definicion, cuando se afirma que una funcion ψ tiene soporte compacto

en Ω, quiere decir que en las proximidades de la frontera ∂Ω, la funcion se hace cero.

Sea entonces ψ ∈ C∞c (Ω) y u ∈ C1(Ω). Por el teorema de la divergencia y la regla del

producto para las derivadas, se tiene que:

∫Ω

∇(ψu) d3r =∫Ω

(u∇ψ + ψ∇u) d3r =∫∂Ω

n(ψu) d2r

En donde n es la normal exterior a ∂Ω. Puesto que ψ es de soporte compacto, la

ultima expresion de esta igualdad se hace nula, y de aquı:

∫Ω

u∇ψ d3r = −∫Ω

ψ∇u d3r

Ahora bien, el lado izquierdo de esta igualdad tiene sentido si tan solo se exige que la

funcion u sea integrable en cada subconjunto compacto K de Ω. A esta propiedad se

le llama integrabilidad local y el espacio de las funciones que la satisfacen se designa

por L1loc(Ω). El lado derecho de la igualdad es entonces el problematico, ya que si

u ∈ C1(Ω) la expresion cobra sentido, pero si u no es continuamente diferenciable,

no hay forma de atribuirle un significado preciso a esta expresion. Sin embargo, con

base en lo que se dijo anteriormente, si llegase a existir una funcion v ∈ L1loc(Ω) tal

que v reemplaze a ∇u en esta igualdad, se resolverıa la dificultad. Esto sugiere por

tanto la siguiente definicion:

33

Definicion 3.1.2. Derivadas debiles de una funcion. Supongase que u, vi ∈L1loc(Ω); i = 1, 2, ...,m. Entonces, se dice que vi es la derivada parcial debil de u

respecto a la i-esima variable, lo cual se escribira como vi =∂u

∂xi, siempre que sea

claro el contexto; si se cumple, para toda funcion test ψ ∈ C∞c (Ω), lo siguiente:

∫Ω

u∂ψ

∂xid3r = −

∫Ω

ψvi d3r

De acuerdo con esta definicion, si existen las funciones vi para toda ψ ∈ C∞c (Ω) que

satisfacen la anterior igualdad, entonces v = (v1, v2, ..., vm) se dice que es el gradiente,

en sentido debil, de la funcion u.

Razonando de un modo similar, se pueden definir las derivadas debiles de orden

superior de una funcion dada. Mas concretamente, si α1, α2, ...., αm es un conjunto

de ındices, y α = (α1, α2, ...., αm), se define la α-esima derivada parcial debil de

u ∈ L1loc(Ω), escrita como

Dαu :=∂α1

∂xα1

1

∂α2

∂xα2

2

....∂αm

∂xαmm

u = v

Como aquella funcion v ∈ L1loc(Ω), si existe , tal que para todo ψ ∈ C∞

c (Ω), se cumple

que:

∫Ω

uDαψ d3r = (−1)|α|∫Ω

ψv d3r

En donde |α| := α1 +α2 + ....+αm. Un hecho interesante es que en caso de existir v,

se puede demostrar que esta funcion es unica, salvo en aquellos conjuntos de medida

nula (Spiegel, 1969). Ademas, se pueden demostrar igualmente ciertas propiedades

como la del intercabio en el orden de las derivadas, las reglas para la derivada del

producto y suma de funciones, entre otras, similares a las propiedades de las derivadas

usuales.

En seguida se daran dos ejemplos de este concepto, empleando funciones definidas

sobre subconjuntos de la recta real.

(i) Sea Ω = (0, 2) y

u(x) =

x si 0 < x ≤ 11 si 1 ≤ x < 2

34

Se define:

v(x) =

1 si 0 < x ≤ 10 si 1 < x < 2

Y se afirma que v es la derivada debil de u en (0, 2). Para probar esto, escojase

cualquier ψ ∈ C∞c (0, 2), por las propiedades de la integral definida:

2∫0

uψ′dx =1∫0

uψ′dx+2∫1

uψ′dx =1∫0

xψ′dx+2∫1

ψ′dx

Integrando por partes:

1∫0

xψ′dx+2∫1

ψ′dx = [xψ(x)]10 −1∫0

ψ(x) dx+ [ψ(x)]21

Puesto que ψ es de soporte compacto, ψ(0) = ψ(2) = 0, de manera que:

1∫0

xψ′dx+2∫1

ψ′dx = −1∫0

ψ(x) dx+ ψ(1)− ψ(1) = −1∫0

1 ψ(x)dx−2∫1

0 ψ(x)dx =

−2∫0

v(x)ψ(x)dx

Ası pues, se cumple, para todo ψ ∈ C∞c (0, 2) que:

2∫0

u(x)ψ′(x)dx = −2∫0

v(x)ψ(x)dx

Por tanto, v(x) es la derivada debil de u(x) en (0, 2). Considerese ahora el siguiente

ejemplo:

(ii) Sea Ω = (0, 2) y

u(x) =

x si 0 < x ≤ 12 si 1 < x < 2

Se afirma que la funcion u(x) no posee una derivada debil en (0, 2). Supongase que

ası fuese el caso, entonces se tendrıa que:

−2∫0

v(x)ψ(x)dx =2∫0

u(x)ψ′(x)dx =1∫0

u(x)ψ′(x)dx+2∫1

u(x)ψ′(x)dx =

1∫0

xψ′(x)dx+2∫1

2ψ′(x)dx = −1∫0

ψ(x)dx− ψ(1)

De aquı por tanto:

35

ψ(1) =2∫0

v(x)ψ(x)dx−1∫0

ψ(x)dx

Escojase, entre los elementos de C∞c (0, 2), una sucesion ψk∞k=1 de tal manera que

0 ≤ ψk ≤ 1; ψk(1) = 1; y para todo x 6= 1, ψk(x) → 0 cuando k → ∞. Reemplazando

a ψ por ψk en la anterior igualdad y tomando el lımite cuando k → ∞, se tiene que:

1 = lımk→∞

ψk(1) = lımk→∞

[2∫0

v(x)ψk(x)dx−1∫0

ψk(x)dx]

No obstante, recurriendo al teorema de la convergencia acotada de Lebesgue (Spiegel,

1969), el cual afirma que dada una sucesion de funciones fk∞k=1 medibles en un

conjunto E (de medida no nula); que convergen puntualmente a la funcion f , esto es

lımk→∞

fk(x) = f(x) para todo x ∈ E; y verificando |fk(x)| ≤M para alguna constante

M y todo x ∈ E; k ∈ 1, 2, 3, ..., entonces:

lımk→∞

∫E

fk(x)dx =∫E

lımk→∞

fk(x)dx =∫E

f(x)dx

Puesto que el valor de las integrales que comprometen a fk(x) y f(x) no se ve afectado

por la ocurrencia de subconjuntos de medida nula de E, este teorema sigue siendo

valido salvo en dichos subconjuntos (Spiegel, 1969). En otras palabras, si N ⊂ E es

un subconjunto de medida nula de E, y se verifican las hipotesis del teorema salvo

en N , entonces se cumple que:

lımk→∞

∫E

fk(x)dx = lımk→∞

∫E−N

fk(x)dx;∫E

lımk→∞

fk(x)dx =∫

E−N

lımk→∞

fk(x)dx;

lımk→∞

∫E−N

fk(x)dx =∫

E−N

f(x)dx

Dado que la sucesion ψk∞k=1 del presente ejemplo satisface los anteriores requeri-

mientos, con |ψk(x)| ≤ 1; lımk→∞

ψk(x) = 0 para todo x ∈ [0, 2] − 1; y puesto que el

conjunto unipuntual N = 1 es de medida nula, entonces se cumple, de acuerdo a

la anterior discusion, que:

lımk→∞

∫[0,2]

v(x)ψk(x)dx = lımk→∞

∫[0,2]−1

v(x)ψk(x)dx;

∫[0,2]

v(x) lımk→∞

ψk(x)dx =∫

[0,2]−1

v(x) lımk→∞

ψk(x)dx = 0;

lımk→∞

∫[0,2]−1

v(x)ψk(x)dx =∫

[0,2]−1

v(x)0 dx = 0

De igual manera se cumple que:

36

lımk→∞

∫[0,1]

ψk(x)dx = lımk→∞

∫[0,1]−1

ψk(x)dx;

∫[0,1]

lımk→∞

ψk(x)dx =∫

[0,1]−1

lımk→∞

ψk(x)dx = 0;

lımk→∞

∫[0,1]−1

ψk(x)dx =∫

[0,1]−1

0 dx = 0

En consecuencia, se concluye que:

1 = lımk→∞

ψk(1) = lımk→∞

[2∫0

v(x)ψk(x)dx−1∫0

ψk(x)dx] = 0

Una contradiccion, por tanto, no existe la derivada debil de u(x) en (0, 2) en este

ejemplo.

Habiendo aclarado este concepto, se definiran ahora los espacios de funciones con

derivadas debiles hasta un orden k, siendo estas derivadas y la funcion misma a su

vez, elementos del siguiente espacio:

Definicion 3.1.3. Se define el espacio de Hilbert de las funciones cuadrado integrables

en Ω, L2(Ω) como:

L2(Ω) := u :∫Ω

|u|2d3r <∞

Recuerde el lector que un espacio de Hilbert real, es un espacio lineal H sobre los

reales, provisto de una aplicacion (·, ·)H : H × H −→ R, llamada producto interior,

tal que:

(i) (u, u)H ≥ 0 para todo u ∈ H

(ii) (u, u)H = 0 si y solo si u = 0

(iii) (u, v)H = (v, u)H para todo u, v ∈ H

(iv) (αu, v)H = α(u, v)H para todo u, v ∈ H y cualquier escalar α ∈ R

(v) (u+ w, v)H = (u, v)H + (w, v)H para todo u, v, w ∈ H.

Ademas de satisfacer los anteriores axiomas, toda sucesion de Cauchy en H, debe

converger a un elemento h del mismo espacio.

37

Mas precisamente, la aplicacion√(u− v, u− v)H , constituye una distancia en H,

es decir, se trata de una funcion que da una nocion de cercanıa entre elementos

u y v del espacio H, analoga a la distancia entre puntos del espacio euclideo n-

dimensional. Bajo esta distancia ‘inducida’ por el producto interno del espacio, se

puede definir una nocion de convergencia de sucesiones de elementos del espacio,

similar al concepto de convergencia en Rn. Entonces, si h es un elemento de H y si

hm es una sucesion en este espacio, se dice que hm converge a h y se escribe hm → h

si y solo si√

(hm − h, hm − h)H → 0 cuando m→ ∞.

En este sentido, pues, es que toda sucesion de Cauchy debe converger a un elemento

h del espacio para que este pueda llamarse de Hilbert. A esta propiedad de H, se le

llama completitud del espacio.

Tambien en un espacio de Hilbert, es posible establecer un concepto analogo al de

longitud de un vector en Rn. Esto se logra por medio de una aplicacion ‖ · ‖H : H −→

R, llamada norma, que satisface las siguientes propiedades:

(i) ‖ αx ‖H= |α| ‖ x ‖H para todo α ∈ F y todo x ∈ X

(ii) ‖ x+ y ‖H≤ ‖ x ‖H + ‖ y ‖H para todo x, y ∈ X

(iii) ‖ x ‖H= 0 si y solo si x = 0

Ahora bien, es facil ver que en un espacio de Hilbert H, se puede definir una norma

por medio ‖ x ‖H :=√

(x, x)H , para todo x ∈ H. A la norma ası definida, se le llama

norma inducida por el producto interno de H.

Como se vera en este trabajo, tener una nocion de distancia y una nocion de longitud

para los elementos de un espacio de Hilbert, resulta crucial ya que permite por ejemplo

establecer la existencia de soluciones a una ecuacion diferencial parcial, por lo menos

de manera indirecta, el poder realizarse ciertos estimados sobre las funciones que

hacen parte de dichos espacios.

Bajo estas nociones, se pasa a definir los espacios de Sobolev de orden entero positivo.

Definicion 3.1.4. Espacios de Sobolev de orden entero positivo. Se define el

espacio de Sobolev Hk(Ω) como el espacio de las funciones u ∈ L1loc(Ω) tales que la

funcion y sus derivadas parciales debiles hasta el orden k a lo sumo, son cuadrado

integrables en Ω. Es decir, u, Dαu ∈ L2(Ω), con |α| ≤ k. En particular, H0(Ω) =

L2(Ω).

38

Como lo demuestra Evans (Evans, 1998), estos espacios son a su vez espacios de

Hilbert, por lo cual resultan apropiados para trasladar cuestiones de la teorıa de las

ecuaciones diferenciales parciales al ambito del analisis funcional, donde las tecnicas

allı desarrolladas para estudiar las propiedades de los objetos definidos sobre espacios

de Hilbert se pueden aplicar fructıferamente a tales problemas.

En el espacio de sobolev Hk(Ω) se define una norma, por medio de la siguiente apli-

cacion:

‖ u ‖Hk(Ω):= (∑

|α|≤k

∫Ω|Dαu|2d3r)1/2

Por ejemplo, con H0(Ω) = L2(Ω), esta norma viene definida por:

‖ u ‖L2(Ω):= (∫Ω|u|2d3r)1/2

Para H1(Ω), la norma viene expresada por:

‖ u ‖H1(Ω):= (∫Ω|u|2d3r +

∫Ω|Du|2d3r)1/2 = (

∫Ω|u|2d3r +

∫Ω∇u · ∇u d3r)1/2,

y ası sucesivamente. Tambien mediante esta norma, es posible establecer una defini-

cion de convergencia en el espacio Hk(Ω), tal como se discutio mas arriba. Concreta-

mente, se dice que la sucesion uk∞k=1 converge a un elemento u ∈ Hk(Ω), lo cual se

escribe como um → u en Hk(Ω), si y solo si:

lımm→∞

‖ u− um ‖Hk(Ω)= 0

Con este concepto, se define el espacio de Sobolev H10 (Ω) como la clausura, en el

espacio H1(Ω), del espacio C∞c (Ω). Simbolicamente esto se escribe como H1

0 (Ω) :=

C∞c (Ω) en H1(Ω). Esto significa que un elemento u ∈ H1

0 (Ω) si existe una sucesion

uk∞k=1 ⊂ C∞c (Ω), de funciones infinitamente diferenciables, con soporte compacto

en Ω, tal que um → u en H1(Ω).

Los espacios de Sobolev que se han definido son de orden entero no negativo. Sin

embargo, en la practica se requieren otra clase de espacios adicionales a estos, de

orden no necesariamente entero positivo. Caracterizar por otra parte, de manera

sencilla estos espacios, ası como se hizo en el caso de los espacios de Sobolev de

orden entero positivo, no resulta facil, especialmente si se tiene en cuenta que en

la comunidad matematica no se tiene consenso acerca de la manera en que deben

definirse estos, al punto de que existe una pletora de literatura relacionada con este

particular (Di Nezza, Palatucci, y Valdinoci, 2012).

39

La forma en que aquı se definiran dichos espacios, sera a partir de la transformada

de Fourier, dado que es un concepto mucho mas familiar al profesional en fısica y

no requiere una maquinaria tan sofisticada y abstracta como si la necesitan otras

aproximaciones.

Antes de comenzar, conviene precisar la forma en que aquı se definira la transformada

de Fourier, F :

u(y) := Fu(y) =∫R3

u(x)e−2πix·y d3x

Ası como su correspondiente inversa:

u(x) := F−1u(x) =∫R3

u(y)e2πix·y d3y

Se motivara la definicion de los espacios de Sobolev de orden no entero positivo,

realizando la siguiente discusion sobre la recta real. Supongase entonces que u ∈H1(R) con soporte compacto en R. Entonces, su derivada en sentido debil u′(x) existe

y es un elemento de L1loc(R). Esto garantiza que la transformada de Fourier de u′(x)

esta bien definida, y por tanto:

Fu′(y) =∫R

u′(x)e−2πixy dx = [u(x)e−2πixy]∞−∞ + 2πiy∫R

u(x)e−2πixy dx = 2πi y u(y)

En donde se ha utilizado que u(∞) = u(−∞) = 0 al ser u(x) de soporte compacto

en R. Ahora bien, en virtud del teorema de Plancherel (Evans, 1998), se tiene que

‖ u ‖L2(R)=‖ u ‖L2(R) y por tanto que ‖ u′ ‖L2(R)=‖ u′ ‖L2(R). Usando estos dos

resultados entonces se deduce que:

‖ u′ ‖L2(R)=‖ 2πi y u ‖L2(R)= 2π ‖ y u ‖L2(R)

Recordando de otra parte que, por definicion: ‖ u ‖2H1(R)=‖ u ‖2L2(R) + ‖ u′ ‖2L2(R), de

aquı entonces:

‖ u ‖2H1(R)=‖ u ‖2L2(R) + ‖ u′ ‖2L2(R)=∫R

[ |u|2 + 4π2|y|2|u|2] dx =∫R

( 1 + 4π2|y|2)|u|2 dx

En otras palabras, esta condicion es equivalente a:

‖ u ‖H1(R)=‖ (1 + 4π2|y|2)1/2u ‖L2(R)

40

Este resultado sugiere, por tanto, considerar a H1(R) como aquel espacio de funciones

u, tales que (1+4π2|y|2)1/2u ∈ L2(R), con norma definida por ‖ (1+4π2|y|2)1/2u ‖L2(R).

Puesto que este hecho puede generalizarse facilmente a Rn, considerando derivadas

debiles de orden s, se tiene en consecuencia la siguiente definicion:

Definicion 3.1.5. Para s > 0, se define el espacio de Sobolev Hs(Rn) = u ∈L2(Rn) :‖ (1 + 4π2|y|2)s/2u ‖L2(Rn)<∞ con norma dada por:

‖ u ‖Hs(Rn)=‖ (1 + 4π2|y|2)s/2u ‖L2(Rn)

Como se puede apreciar de la definicion, el caso en que s = 1, n = 1 es el discutido

en los parrafos anteriores.

La definicion anterior resulta adecuada al caso en que se tienen problemas definidos en

todo el espacio, sin embargo, muchos problemas fısicos pretenden describir sistemas en

regiones acotadas del espacio. No obstante lo anterior, dado que todo elemento de los

espacios de Sobolev definidos sobre una region acotada del espacio Ω, cuya frontera

satisface una cierta condicion de regularidad, puede extenderse de este conjunto a

todo el espacio (Evans, 1998), se puede formular la siguiente definicion, util al caso

de problemas fısicos como el que se estudia en este trabajo:

Definicion 3.1.6. Espacios de Sobolev de orden fraccionario positivo. Sea

Ω ⊂ Rn acotado con frontera de clase C1 (ver la siguiente subseccion para una acla-

racion de este concepto). Para s ≥ 0, se define el espacio de Sobolev de orden fraccio-

nario Hs(Ω) := Hs(Rn)|Ω como el espacio de las funciones u ∈ Hs(Rn)|Ω restringidas

a Ω , u|Ω = u; y cuya norma viene dada por:

‖ u ‖Hs(Ω)= ınfu|Ω=u

‖ u ‖Hs(Rn)

De particular interes, con el proposito de definir los espacios de Sobolev de orden

negativo y no entero, resulta el siguiente subespacio de Hs(Ω):

Definicion 3.1.7. El espacio de Sobolev Hs0(Ω) := T (Ω) es la clausura en Hs(Ω),

del espacio de las distribuciones T (Ω), tal como la delta de Dirac, definidas sobre Ω.

La norma en este espacio, se toma como la de Hs(Ω) restringida a este subespacio.

Este espacio, por ser la clausura de un subespacio de Hs(Ω), consta entonces de

lımites de sucesiones de distribuciones que convergen a elementos de dicho espacio.

Tambien resulta claro, a partir de su definicion, que Hs0(Ω) ⊂ Hs(Ω).

41

Finalmente, los espacios de Sobolev de orden negativo y no entero, se definen como

espacios duales a los espacios de Sobolev Hs0(Ω). Con mas precision, dado un espacio

de Hilbert H, su espacio dual, denotado por H ′, es el espacio de todos los funciona-

les lineales acotados (ver la discusion de la siguiente seccion) definidos en H. Estos

funcionales lineales, que cumplen ciertos axiomas de definicion, toman un elemento

h ∈ H y bajo su imagen, que escribiremos para un f ∈ H ′, como f(h), producen

un numero real. Por tanto, la coleccion de todos los funcionales lineales acotados f ,

definidos sobre el espacio de Sobolev Hs0(Ω), se denominara espacio de Sobolev de

orden negativo, no entero, y se denotara por H−s(Ω) con s ≥ 0. En este espacio, se

define una norma por medio de:

‖ f ‖H−s(Ω)= sup|f(u)| : u ∈ Hs0(Ω); ‖ u ‖Hs(Ω)= 1

Puesto que el espacio dual de un espacio de distribuciones es otro espacio de distri-

buciones, y como Hs0(Ω) consta esencialmente de estos objetos, se puede decir que a

grosso modo, los espacios de Sobolev de orden negativo y no entero constan tambien

de distribuciones (Girault y Raviart, 1979).

Las mismas definiciones dadas anteriormente para los espacios de Sobolev de campos

escalares, se haran extensivas a los espacios de Sobolev de campos vectoriales, los

cuales seran necesarios mas adelante en este mismo capıtulo. Solo una importante

salvedad, un cuanto a la notacion debe hacerse. Los espacios de Sobolev de campos

vectoriales se designaran de manera similar a su contraparte escalar, solamente que

se escribiran con un exponente 3, luego de los parentesis.

Por ejemplo, sea u = (u1, u2, u3) : Ω → R3 un campo vectorial, el espacio de Sobolev

L2(Ω)3 se define como:

L2(Ω)3 := u : u1, u2, u3 ∈ L2(Ω)

Es decir, cada componente del vector u, es un elemento de L2(Ω). Similarmente, el

espacio de Sobolev:

Hs(Ω)3 := u : u1, u2, u3 ∈ Hs(Ω)

Esta conformado por campos vectoriales cuyas componentes, todas ellas, son elemen-

tos del espacio Hs(Ω) para un mismo s. Los restantes espacios de Sobolev poseen

definiciones analogas a estas y su notacion sigue este criterio.

Aquı concluye esta sucinta revision de la teorıa de espacios de Sobolev. En el siguiente

apartado se pasara a tratar el importante teorema de las trazas, el cual provee una

forma de asignar valores en la frontera de un dominio a funciones de H1(Ω).

42

3.1.0.2. Trazas de funciones en H1(Ω)

Las funciones que pertencen al espacio de Sobolev H1(Ω) antes descrito, no tienen

porque ser continuas, y lo que es peor aun, estan definidas casi en todas partes de la

region Ω. Esto quiere decir que si A es un subconjunto Lebesgue medible de Ω, con

medida de Lebesgue nula, i. e. el ‘area’ de este conjunto, entendida en un sentido mas

amplio y generalizado para abarcar el caso de conjuntos patologicos como el de Cantor

(ver por ejemplo la referencia (Spiegel, 1969) para una revision de este concepto), a los

cuales difıcilmente se pueda asociar el concepto intuitivo de area, longitud o volumen;

es nula, entonces las propiedades que se le adjudican a una funcion dada en Ω − A

dejan de ser validas allı.

Por ejemplo, una funcion f(x) que sea integrable (Lebesgue integrable para ser mas

precisos) en este conjunto y que sea distinta de cero para todo valor x ∈ A, posee una

integral sobre A igual a cero. Si la misma funcion en este ejemplo es diferenciable casi

en todas partes de Ω, podrıa dejar de serlo en A. Por ultimo, si dicha funcion esta

definida casi en todas partes, pues no hay forma razonable en que se pueda restringir

los valores de f al subconjunto A ya que estos podrıan ser cualquier cosa, en otras

palabras, f podrıa redefinirse en A.

Esto resulta problematico, especialmente si se desea resolver un problema de valores

en la frontera, en los cuales se especifica el valor de la funcion desconocida (o el de

su derivada) en la frontera del dominio; teniendo en cuenta que si Ω es acotado, su

frontera tiene medida nula.

Es en este contexto donde surge el concepto de traza de una funcion, como una

forma de asignarle valores en la frontera de un dominio a una funcion f ∈ H1(Ω).

A continuacion, se proveera un importante teorema en esta direccion, el cual afirma

la existencia de un operador lineal γ, el cual envıa elementos del espacio H1(Ω) en

elementos del espacio L2(∂Ω), de tal manera que si la funcion f es continua, γf :=

f |∂Ω. Antes se definira la clase de dominios sobre los cuales aplica dicho teorema:

Definicion 3.1.8. Sea Ω ⊂ Rn una region acotada del espacio. Se dice que su fron-

tera, ∂Ω, es de clase C1 si para cada x0 ∈ ∂Ω, existe un r > 0 y una funcion

Ψ : Rn−1 −→ R de clase C1 tal que, salvo que se renombren y/o reorienten los ejes

coordenados de ser necesario, se tiene que:

Ω ∩ B(x0, r) := x ∈ B(x0, r) : xn ≥ Ψ(x1, x2, ..., xn−1)

43

Teorema 3.1.2. Supongase que Ω es acotado con frontera de clase C1, entonces,

existe un operador lineal γ : H1(Ω) −→ L2(∂Ω), llamado operador traza, tal que:

(i) γu := u|∂Ω si u ∈ H1(Ω) ∩ C(Ω) y

(ii) ‖ γu ‖L2(∂Ω)≤ c ‖ u ‖H1(Ω), para cada u ∈ H1(Ω)

En la anterior desigualdad, c > 0 puede depender del dominio Ω, pero no de u. Ω es

la clausura de Ω.

Demostracion. La idea de la demostracion es suponer primero que u es una funcion

continuamente diferenciable en Ω de la manera usual, es decir, se presume primero que

u ∈ C1(Ω), para demostrar en primer lugar la desigualdad enunciada en el teorema.

Una vez probada esta desigualdad se define el operador traza, para cada u ∈ C1(Ω),

como γu := u|∂Ω. De esta manera, la desigualdad demuestra que el operador ası

definido es acotado, por tanto, este puede extenderse, en virtud del teorema 3.1.1, a

un operador definido sobre la clausura de C1(Ω) en H1(Ω). Luego, como C1(Ω) es un

subconjunto denso en H1(Ω), es decir su clausura en H1(Ω) es igual a H1(Ω) (Evans,

1998) queda entonces probado el teorema.

Ası pues supongase entonces que u ∈ C1(Ω). Puesto que se asume igualmente que ∂Ω

es C1, puede construirse un vector unitario normal a la superficie, denotado como n,

a partir de la funcion Ψ que describe localmente a ∂Ω. En otras palabras, se define

este vector unitario como

n :=∇Ψ

|∇Ψ|Supongase tambien que en Ω existe un campo vectorial suave, a , tal que sobre la

frontera a · n ≥ 1. Con esto, entonces se cumple que:

∫∂Ω

|u|2 d2r ≤∫∂Ω

|u|2a · n d2r

Utilizando el teorema de la divergencia sobre el lado derecho de esta desigualdad, se

tiene que:

∫∂Ω

|u|2 d2r ≤∫Ω

∇ · (|u|2a) d3r =∫Ω

[a · ∇|u|2 + |u|2∇ · a ] d3r

45

Por otra parte, por la desigualdad de Cauchy-Schwartz (Kreyszig, 1989), |a ·∇|u|2| ≤|a | |∇|u|2| = |a | |2 sgn(u) |u| ∇u| = 2|u||a ||∇u|. En donde la funcion sgn(u) esta

definida como:

sgn(u) =

−1 si u < 00 si u = 01 si u > 0

Usando la desigualdad de Young (Evans, 1998), la cual firma que, para cualesquiera

a, b se cumple que ab ≤ a2

2+b2

2, entonces |a ·∇u2| ≤ 2|u||a ||∇u| ≤ 2|a |2|u|2+1

2|∇u|2.

Reuniendo estos hechos y considerando que a · ∇|u|2 ≤ |a · ∇|u|2|, se obtiene:

∫∂Ω

|u|2 d2r ≤∫Ω

[2|a |2|u|2+ 1

2|∇u|2+ |u|2∇·a ] d3r =

∫Ω

[(2|a |2+∇·a)|u|2+ 1

2|∇u|2] d3r

Finalmente, definiendo la constante c := maxx∈Ω

2|a |2 +∇ · a , 1

2, se obtiene:

∫∂Ω

|u|2 d2r ≤ c∫Ω

[ |u|2 + |∇u|2] d3r

Que es equivalente, por definicion, a la desigualdad:

‖ u ‖2L2(∂Ω)≤ c ‖ u ‖2H1(Ω)

Una consecuencia notable de este teorema es que en el caso de que se tenga un

problema de valores en la frontera, donde se impone una condicion de frontera tal

como φ|∂Ω = 0, se dispone ahora de una herramienta para dar significado preciso a

tales condiciones, maxime si lo que se buscan son soluciones al problema en el espacio

de Sobolev H1(Ω). De hecho, en este caso concreto, Evans (Evans, 1998) demuestra

que aquellas funciones de H1(Ω) con traza o valor en la frontera nulo, son elementos

del espacio de Sobolev H10 (Ω) que se definio en la subseccion anterior. Esto quiere

decir que existe una sucesion de funciones infinitamente diferenciables, con soporte

compacto en Ω, tal que dicha sucesion converge en H1(Ω) a la funcion φ.

46

3.2. El teorema de representacion de Riesz

Existen varios teoremas en la literatura matematica con la denominacion de teore-

ma de Riesz; sin embargo, aquı se tratara del importante teorema que clasifica las

aplicaciones lineales acotadas de un espacio de Hilbert en el campo de los reales o

complejos. Con este fin se introducira en primer lugar la siguiente definicion:

Definicion 3.2.1. Un Funcional lineal es una aplicacion f : V → F del espacio lineal

V en el campo F, que en este caso sera el de los numeros reales R, tal que:

(i) f(αx) = αf(x)

(ii) f(x+ y) = f(x) + f(y)

Para todo x, y ∈ V y todo α ∈ F

Ejemplos de aplicaciones de este tipo se daran a continuacion.

Considerese V = Rn, tomese x0 ∈ R

n, fijo, y sea f : Rn → R definido por:

f(x) :=n∑

k=1

xkx0k = x1x

01 + x2x

02 + ...+ xnx

0n

Claramente f cumple las dos condiciones de la definicion 3.2.1.

Sea ahora V = C1[a, b] el espacio lineal de las funciones continuamente diferenciables

en el intervalo [a, b], con la definicion de suma de elementos de este espacio como

suma de funciones reales y correspondientemente el producto por escalar definido de

la manera habitual. Sea t ∈ [a, b] y defınase el funcional lineal dado por:

f(x) := x′(c); c =a+ b

2

Por las propiedades de la derivada, es claro que esta aplicacion tambien satisface

las dos condiciones en la definicion 3.2.1, pues en efecto, para todo α ∈ R, f(αx) =

(αx)′(c) = αx′(c) = αf(x). Para todos x, y ∈ C1[a, b] entonces f(x+y) = (x+y)′(c) =

x′(c) + y′(c) = f(x) + f(y).

De particular interes son aquellos funcionales lineales definidos sobre un espacio nor-

mado X, el cual es preciso recordar, es un par (X, ‖ · ‖), donde X es un espacio lineal

y ‖ · ‖ es una aplicacion ‖ · ‖: X → R llamada norma, tal que:

(i) ‖ αx ‖= |α| ‖ x ‖ para todo α ∈ F y todo x ∈ X

(ii) ‖ x+ y ‖≤ ‖ x ‖ + ‖ y ‖ para todo x, y ∈ X

(iii) ‖ x ‖= 0 si y solo si x = 0

47

Estos espacios en cierta forma, son una generalizacion del espacio euclideo n−dimensional,

y el concepto de norma generaliza, de cierta manera, el concepto de longitud de un

vector en dicho espacio.

En el espacio normado X se consideraran aquellos funcionales lineales acotados, es

decir aquellos que satisfacen la siguiente definicion:

Definicion 3.2.2. Un funcional lineal acotado es un funcional lineal f : X → F

del espacio normado X en el campo F tal que, para todo x ∈ X, existe un C > 0

independiente de x, verificando |f(x)| ≤ C ‖ x ‖.

Mas aun, si se toma el supremo sobre el conjunto de todas las constantes C en la

anterior definicion, puede definirse la norma del funcional lineal f . Para ser mas

precisos, se tiene que (Kreyszig, 1989):

Definicion 3.2.3. La norma del funcional lineal acotado f se define como:

‖ f ‖:= supx∈D(f); x 6=0

|f(x)|‖ x ‖ = sup

x∈D(f); ‖x‖=1

|f(x)|

Con D(f) ⊂ X el dominio de f .

Como consecuencia de la anterior definicion, se tiene que:

|f(x)| ≤‖ f ‖‖ x ‖

En el primer ejemplo dado mas arriba, el espacio X = Rn es normado (Kreyszig,

1989), con norma definida por:

‖ x ‖:= (n∑

k=1

x2k)1/2 = (x21 + x22 + ...+ x2n)

1/2

En este espacio, se considera el mismo funcional lineal que antes (pag. 47) y se ve, en

virtud de la desiguadad de Cauchy-Schwartz (Kreyszig, 1989), que este es acotado:

|f(x)| = |n∑

k=1

xkx0k| = |x1x01 + x2x

02 + ...+ xnx

0n| ≤

[(x01)2 + (x02)

2 + ...+ (x0n)2]1/2(x21 + x22 + ...+ x2n)

1/2 = C ‖ x ‖

En este caso, se tiene que C := [(x01)2 + (x02)

2 + ... + (x0n)2]1/2 =‖ x0 ‖. Por tanto,

‖ f ‖≤‖ x0 ‖. A su vez, tomando x = x0 entonces, |f(x0)| = |∑k=1(x0k)

2| =‖ x0 ‖2,ası que |f(x0)|/ ‖ x0 ‖=‖ x0 ‖ de modo que ‖ x0 ‖≤‖ f ‖. En vista de lo anterior, se

concluye que ‖ f ‖=‖ x0 ‖.

48

En el segundo ejemplo antes dado (pag. 47), considerese el espacio X = C1[a, b], con

norma definida por:

‖ x ‖:= maxt∈[a,b]

|x(t)|+ maxt∈[a,b]

|x′(t)|

Esta norma esta bien definida puesto que, para todo α ∈ R, entonces:

‖ αx ‖:= maxt∈[a,b]

|αx(t)|+ maxt∈[a,b]

|αx′(t)| = |α| maxt∈[a,b]

|x(t)|+ |α| maxt∈[a,b]

|x′(t)| =|α|(max

t∈[a,b]|x(t)|+ max

t∈[a,b]|x′(t)|) = |α| ‖ x ‖

Por otra parte, para todo x, y ∈ C1[a, b] se cumple que:

‖ x+y ‖:= maxt∈[a,b]

|x(t)+y(t)|+maxt∈[a,b]

|x′(t)+y′(t)| ≤ maxt∈[a,b]

(|x(t)|+|y(t)|)+maxt∈[a,b]

(|x′(t)|+|y′(t)|) = max

t∈[a,b]|x(t)|+ max

t∈[a,b]|x′(t)|+ max

t∈[a,b]|y(t)|+ max

t∈[a,b]|y′(t)| =‖ x ‖ + ‖ y ‖

Finalmente, si x(t) = 0 para todo t ∈ [a, b], es claro que ‖ x ‖= 0. Por otro lado,

si ‖ x ‖:= maxt∈[a,b]

|x(t)| + maxt∈[a,b]

|x′(t)| = 0, entonces, necesariamente maxt∈[a,b]

|x(t)| = 0 y

maxt∈[a,b]

|x′(t)| = 0 pero esto a su vez implica que x(t) = 0 para todo t ∈ [a, b].

En este espacio se definio anteriormente (pag. 47) el funcional lineal dado por f(x) :=

x′(c), con c = (a+ b)/2. Este funcional es acotado, toda vez que:

|f(x)| := |x′(c)| ≤ maxt∈[a,b]

|x′(t)| ≤ maxt∈[a,b]

|x(t)|+ maxt∈[a,b]

|x′(t)| = C ‖ x ‖

En este caso C = 1 y, por tanto, ‖ f ‖≤ 1. Si de otra parte x0(t) es tal que |f(x0)| :=|(x0)′(c)| = 1, lo cual se cumple en virtud del teorema del valor intermedio dado que

x′(t) es continua en [a, b], entonces ‖ f ‖≥ 1. Se concluye por ultimo que ‖ f ‖= 1.

Es preciso notar que si se considera este mismo funcional lineal, definido sobre C1[a, b]

considerado como subespacio de C[a, b], el espacio lineal de las funciones continuas

en [a, b], con norma dada por:

‖ x ‖C[a,b]:= maxt∈[a,b]

|x(t)|

Es claro que en este espacio, dicho funcional ya no serıa acotado, puesto que no

necesariamente se cumple que |f(x)| := |x′(c)| ≤ C maxt∈[a,b]

|x(t)| = C ‖ x ‖ para todo

x ∈ C[a, b], con C > 0. Por ejemplo, tomese [a, b] = [0, π] y sea x(t) = cos(kt),

con k ≥ 1 constante, ası pues, |f(x)| = |x′(c)| = | − k sin(π/2)| = k; a su vez,

‖ x ‖:= maxt∈[0,π]

| cos(kt)| = 1. Por tanto, no habrıa una constante C > 0 tal que

|f(x)| ≤ C ‖ x ‖ para todo x en este espacio.

49

Dado que todo espacio de Hilbert es en particular un espacio normado, definiendo en

estos la norma a partir del producto interno, esto es, si H es un espacio de Hilbert,

puede comprobarse entonces que para todo x ∈ H, ‖ x ‖2:= (x, x)H define una norma

en H; seran estudiados ahora los funcionales lineales definidos sobre estos espacios.

En el primero de los dos ejemplos antes estudiados, se tiene que H = Rn con el

producto interno euclıdeo usual dado por:

(x, y) :=n∑

k=1

xkyk = x1y1 + ...+ xnyn

Como se demostro anteriormente, si se fija un x0 ∈ Rn, el funcional lineal dado por

f(x) = (x, x0) =n∑

k=1

xkx0k es acotado; mas aun, se demostro que ‖ f ‖=‖ x0 ‖. ¿Podrıa

invertirse esta situacion? Es decir, dado un funcional lineal acotado cualquiera en H,

¿existira siempre un x0 ∈ H, tal que f(x) = (x, x0) y aun mas ‖ f ‖=‖ x0 ‖?. Larespuesta a esta pregunta es el contenido del teorema de representacion de Riesz, el

cual afirma que en efecto esto es posible y que de hecho tal representacion es unica:

Teorema 3.2.1. Teorema de representacion de Riesz. Sea f : H → F un

funcional lineal acotado, entonces existe un unico x0 ∈ H tal que f(x) = (x, x0) para

todo x ∈ H. Mas aun ‖ f ‖=‖ x0 ‖.

Demostracion. La idea de la demostracion consiste en primer lugar en probar que

para todo x ∈ H existe una representacion unica x = αh0 + y, en donde α ∈ F,

h0 6= 0 ∈ H −N (f) es fijo e y ∈ N (f); siendo N (f) := y ∈ H : f(y) = 0 el espacio

nulo asociado a f .

Luego, sabiendo que N (f) es un subespacio cerrado de H, el teorema de descom-

posicion ortogonal (Kreyszig, 1989) permite expresar H = N (f)⊕N (f)⊥; es de-

cir, para todo x ∈ H entonces x = y + z en donde, y ∈ N (f) y z ∈ N (f)⊥ con

N (f)⊥ := z ∈ H : (z, y) = 0 para todo y ∈ N (f). Puesto que la representacion

es unica, se concluye que z = αh0 ∈ N (f)⊥. Con ayuda de este resultado entonces

(x, h0) = (αh0 + y, h0) = α(h0, h0) + (y, h0) = α ‖ h0 ‖2, de modo que:

α =(x, h0)

‖ h0 ‖2 .

De aquı, por tanto f(x) = f(αh0 + y) = αf(h0) + f(y) = αf(h0), y ası:

f(x) =(x, h0)

‖ h0 ‖2f(h0) = (x,

f(h0)

‖ h0 ‖2h0) = (x, x0); con x0 :=

f(h0)

‖ h0 ‖2h0.

50

Queda entonces demostrada la existencia de la representacion. En el segundo paso se

demuestra la unicidad de la misma y en el tercero que ‖ f ‖=‖ x0 ‖.

(i) Supongase en primer lugar que f = 0, es decir f(x) = 0 para todo x ∈ H. En tal

caso,N (f) = H y H−N (f) = ∅, de modo que la representacion x = αh0+y descrita

anteriormente serıa trivialmente satisfecha. Por tanto, supongase que f 6= 0 de tal

manera que N (f) es un subconjunto propio de H, mas aun, se trata de un subespacio

de H, pues para todo y1, y2 ∈ N (f) y todo α1, α2 ∈ F entonces f(α1y1 + α2y2) =

α1f(y1) + α2f(y2) = α10 + α20 = 0, ası pues α1y1 + α2y2 ∈ N (f).

El subespacio N (f) es no vacıo, pues f(0 − 0) = f(0) − f(0) = 0 ası que por lo

menos contiene a 0. Su complemento H − N (f) tampoco es vacıo pues si ası fuera,

N (f) = H−(H−N (f)) = H−∅ = H pero como se discutio anteriormenteH 6= N (f)

pues N (f) es subconjunto propio de H, ası que H −N (f) es no vacıo.

Formese ahora el “Coset” de un elemento z ∈ H respecto al subespacioN (f), definido

por z+N (f) = v : v = z+y; y ∈ N (f). Para cada z ∈ H, dichos Cosets constituyen

una coleccion de subconjuntos no vacıos de H, pues en efecto N (f) no es vacıo ya

que por lo menos contiene al 0. Ademas, para dos elementos distintos z1, z2 ∈ H es

claro que z1 +N (f) ∩ z2 +N (f) = ∅, pues de otra forma, suponiendo que exista un

v ∈ z1 +N (f) ∩ z2 +N (f) entonces v = z1 + y = z2 + y para todo y ∈ N (f), pero

de aquı se concluye que z1 = z2 contradiciendo la hipotesis inicial.

A partir de lo que se ha dicho anteriormente, se concluye que cada elemento x ∈ H

pertenece exactamente a uno de de estos subconjuntos, por tanto x ∈ ⋃z∈H

(z+N (f)),

es decir, se tiene que H =⋃z∈H

(z + N (f)); en consecuencia, los conjuntos z + N (f)

constituyen lo que se conoce como particion de H (Kreyszig, 1989) y, de esta manera,

todo elemento de este espacio se puede escribir como x = z + y. Fıjese un h0 ∈H−N (f), el cual existe ya que este conjunto no es vacıo. Entonces, haciendo z = αh0,

con α ∈ F, en la ultima expresion, se tiene finalmente la representacion x = αh0 + y,

donde y ∈ N (f), para todo x ∈ H.

La anterior representacion es unica, pues suponiendo que existiesen dos representacio-

nes de un mismo elemento x, es decir x = α1h0+y1 e x = α2h

0+y2, de aquı por tanto

f(x) = f(α1h0 + y1) = f(α2h

0 + y2), lo cual implica que α1f(h0) = α2f(h

0). Puesto

que f(h0) 6= 0 se concluye que α1 = α2. Ahora bien, dado que para cualesquiera tres

vectores u, v, w, si u+ v = u+w entonces v = w, se concluye finalmente que tambien

y1 = y2. Ası pues, la representacion es unica.

51

(ii) Como se discutio al comienzo de la demostracion, con la ayuda de la representacion

x = αh0 + y, es posible construir un elemento x0 :=f(h0)

‖ h0 ‖2h0, tal que f(x) = (x, x0)

para todo x ∈ H. Para demostrar que tal representacion de f es unica, supongase que

existen dos de tales elementos, x01 y x02, verificando f(x) = (x, x01) = (x, x02), para todo

x ∈ H. Esto implicarıa entonces que (x, x01) − (x, x02) = (x, x01 − x02) = 0. Escogiendo

en particular x = x01−x02, se tendrıa que ‖ x01−x02 ‖= 0, pero esto implicarıa a su vez

que x01 − x02 = 0, es decir x01 = x02. De tal suerte que la representacion de f es unica.

A partir de la construccion de x0, se advierte tambien que este elemento se encuentra

unıvocamente determinado por f .

(iii) Puesto que f es acotado, en virtud de la desigualdad de Cauchy-Schwartz se

observa que |f(x)| = |(x, x0)| ≤‖ x ‖‖ x0 ‖. Tomando entonces el supremo de |f(x)|sobre todos los x ∈ H tales que ‖ x ‖= 1, se concluye que ‖ f ‖≤‖ x0 ‖. Por su

parte, dado que |f(x)| ≤‖ f ‖‖ x ‖, entonces, haciendo x = x0 se tiene que |f(x0)| =|(x0, x0)| =‖ x0 ‖2≤‖ f ‖‖ x0 ‖. De aquı se obtiene por tanto que ‖ x0 ‖≤‖ f ‖. Asıpues, ‖ f ‖=‖ x0 ‖ y queda demostrado el teorema.

Nota. En toda la discusion precedente se ha asumido implıcitamente que F = R,

por lo que si se quiere obtener este mismo resultado con F = C, debe recordarse que

en la definicion de producto interno en un espacio de Hilbert complejo, se tienen la

propiedades (x, y) = (y, x) e (αx, y) = α(x, y) para todo x, y ∈ H, α ∈ C; siendo z

el complejo conjugado de z. Por tanto, se tiene que (x, αy) = α(x, y), por lo que en

la construccion de x0 deberıa hacerse x0 :=f(h0)

‖ h0 ‖2h0 para tener consistencia con los

axiomas del producto interno.

El teorema de representacion de Riesz admite, de cierto modo, una generalizacion al

caso en que la funcion f ya no toma valores unicamente en un espacio de Hilbert

H sino que en el producto cartesiano de dos de dichos espacios. En este orden de

ideas, se discutira a continuacion el teorema de representacion de las llamadas formas

bilineales, por lo cual se definiran estas a continuacion.

Definicion 3.2.4. Formas bilineales. Sean H1 y H2 espacios de Hilbert, una forma

bilineal es una aplicacion a : H1 ×H2 −→ R tal que:

(i) a(x1 + x2, y) = a(x1, y) + a(x2, y) para todo x1, x2 ∈ H1 y todo y ∈ H2

(ii) a(x, y1 + y2) = a(x, y1) + a(x, y2) para todo x ∈ H1 y todo y1, y2 ∈ H2

(iii) a(αx, y) = αa(x, y) para todo x ∈ H1, y ∈ H2, α ∈ R

(iv) a(x, βy) = βa(x, y) para todo x ∈ H1, y ∈ H2, β ∈ R

52

Analogamente, si existe una constante C > 0 verificando |a(x, y)| ≤ C ‖ x ‖H1‖ y ‖H2

para todo x ∈ H1, y ∈ H2, se dice entonces que la forma bilineal es acotada. De

manera similar, para una forma bilineal acotada, se define su norma ‖ a ‖ como:

‖ a ‖:= supH1−0; H2−0

|a(x, y)|‖ x ‖H1

‖ y ‖H2

= sup‖x‖H1

=1; ‖y‖H2=1

|a(x, y)|

En virtud de esta definicion, se concluye ası mismo que |a(x, y)| ≤‖ a ‖‖ x ‖H1‖ y ‖H2

.

El producto interno en un espacio de Hilbert es por ejemplo una forma bilineal aco-

tada. Surge naturalmente la pregunta ¿Toda forma bilineal acotada a su vez se puede

representar como un producto interno? La respuesta nuevamente es positiva y de

hecho se tiene lo siguiente:

Teorema 3.2.2. Teorema de representacion de Riesz II. Sea a : H1×H2 −→ R

una forma bilineal acotada, entonces existe una representacion

a(x, y) = (Tx, y)

En donde T : H1 −→ H2 es un operador lineal acotado. T esta unıvocamente deter-

minado por a y tiene norma ‖ T ‖=‖ a ‖.

Nota. Cabe recordar que la norma de un operador lineal acotado se define de manera

analoga a la manera en que se define la norma de un funcional lineal acotado. De

hecho, un funcional lineal es un caso especial de un operador lineal entre dos espacios

de Hilbert puesto que, como se puede demostrar, F es tambien un espacio de Hilbert.

No se ofrecera una demostracion rigurosa de este teorema, sin embargo, se dara una

indicacion de como procede. La misma consiste en definir un funcional lineal a partir

de a, escogiendo un x ∈ H1 fijo. En efecto, fx(y) := a(x, y), en vista de las propiedades

de a, para todo y ∈ H2, satisface las propiedades de un funcional lineal. Ademas,

puesto que a es acotado, a su vez f sera acotado. De esta manera se podra aplicar el

teorema de representacion antes demostrado, para hallar un z ∈ H2 tal que fx(y) =

(y, z). Para diversas escogencias de x ∈ H1 entonces se obtendran diversos z ∈ H2,

de modo que, a partir de este hecho, se define una aplicacion T : H1 −→ H2 tal que

Tx = z. Ası pues, se obtiene que fx(y) = (y, z) = (z, y) = (Tx, y) y de aquı resulta

la representacion a(x, y) = (Tx, y).

53

Una vez realizada esta construccion resulta facil demostrar la linealidad de T pues de

hecho, a(α1x1 + α2x2, y) = (T (α1x1 + α2x2), y) pero a partir de las propiedades de

a, entonces a(α1x1 + α2x2, y) = α1a(x1, y) + α2a(x2, y) = α1(Tx1, y) + α2(Tx2, y) =

(α1Tx1, y) + (α2Tx2, y) = (α1Tx1 + α2Tx2, y). Por tanto, (T (α1x1 + α2x2), y) =

(α1Tx1+α2Tx2, y) y de aca se deduce entonces que T (α1x1+α2x2) = α1Tx1+α2Tx2.

Queda demostrada de esta forma la linealidad de T .

Por ultimo, se demuestra que esta representacion es unica y que efectivamente se

cumple que ‖ T ‖=‖ a ‖, de manera similar a como se hizo en la demostracion del

primer teorema de representacion de Riesz.

3.3. Generalizaciones del teorema de descomposi-

cion de Helmholtz-Weyl

Con los teoremas de representacion de Riesz a la mano y la maquinaria de los espacios

de Sobolev, ası como la teorıa asociada a estos, es posible volver a la cuestion sobre

la generalizacion del teorema de descomposicion de Helmholtz-Weyl de un campo

vectorial u, la cual habıa sido pospuesta hasta ahora.

En este orden de ideas, volviendo a la ecuacion de Poisson, ∆φ = f(r), se buscara

determinar la existencia y unicidad de soluciones a la misma en el espacio de Sobolev

H1(Ω), imponiendo sobre φ una condicion de frontera de tipo Neumann junto con la

condicion de que su valor medio en Ω sea nulo, esto es, que φΩ :=1

|Ω|∫Ω

φ d3r′ = 0,

donde |Ω| es el volumen de la region. En lo que sigue se supondra que Ω ⊂ R3 es una

region acotada del espacio, simplemente conexa y cuya frontera ∂Ω es de clase C1.

Multiplıquese ası ambos lados de la ecuacion de Poisson por una funcion v ∈ H1(Ω)

e integrese ambos lados sobre Ω:

∫Ω

∆φ v d3r′ = −∫Ω

∇φ · ∇v d3r′ +∮∂Ω

vn′ · ∇φ d2r′ =∫Ω

f v d3r′

En donde se ha aplicado la primera identidad de Green en la segunda igualdad.

Ahora bien, la expresion n′ · ∇φ esta siendo evaluada en la frontera del dominio, por

lo que allı se esta haciendo uso, implıcitamente, del operador traza introducido en

la seccion 3.1.0.2. Mas precisamente, supongase que a φ se le impone una condicion

de frontera de Neumann, es decir que se especifica el valor de la derivada de φ en la

54

direccion de la normal exterior a ∂Ω como una funcion conocida g, de tal manera que

n′ · ∇φ :=∂φ

∂n′

∣∣∣∣∂Ω

= g. A partir de lo anterior, se tiene que:

∫

Ω

∇φ · ∇v d3r′ = −∫

Ω

f v d3r′ +

∮

∂Ω

g v d2r′ (3.4)

El lado derecho de la ultima igualdad puede interpretarse, conocidos f y g, como una

aplicacion l : H1(Ω) −→ R. De hecho, a causa de la linealidad de las integrales, se

trata de un funcional lineal, el cual se definira, para todo v ∈ H1(Ω), por medio de

la expresion:

l(v) := −∫Ω

f v d3r′+ < g, v >∂Ω

En donde < g, v >∂Ω:=∮∂Ω

g v d2r′ y se presume que f ∈ L2(Ω). Ahora bien, dado

que v ∈ H1(Ω), por el teorema de las trazas, teorema 3.1.2, existe un operador lineal

acotado γ : H1(Ω) −→ L2(∂Ω) tal que γv = v|∂Ω; por tanto, v en < g, v >∂Ω,

pertenece al rango de este operador, el cual, como se demuestra en el trabajo de

Girault y Raviart (Girault y Raviart, 1979), es el espacio de Sobolev H1/2(∂Ω) ⊂L2(∂Ω).

En dicho trabajo se demuestra ası mismo que g =∂φ

∂n′

∣∣∣∣∂Ω

pertenece al espacio de

Sobolev H−1/2(∂Ω), cuyos elementos fueron caracterizados en la seccion 3.1.0.1, par-

ticularmente en la discusion que sigue a la definicion 3.1.7. Este hecho tiene que ver

con que la cantidad < g, v >∂Ω, asumiendo que g ∈ L2(∂Ω), es una extension del

producto interno en L2(∂Ω) (Girault y Raviart, 1979), lo cual permite representar a

< g, v >∂Ω de la forma < g, v >∂Ω:=∮∂Ω

g v d2r′, tal como se hizo mas arriba.

Esto implica que para g fijo, y para todo v ∈ H1/2(∂Ω), f(v) :=∮∂Ω

g v d2r′ es un

funcional lineal acotado, y de acuerdo con el teorema de representacion de Riesz, este

puede ser representado por el producto interno en L2(∂Ω), del elemento v del espacio

de Hilbert H1/2(∂Ω), con el elemento g del espacio dual H ′ al espacio H1/2(∂Ω).

Sin embargo, dado que, como se establecio en la seccion 3.1.0.1, el espacio dual de

H1/2(∂Ω), es el espacio H−1/2(∂Ω), de aquı se sigue que g ∈ H−1/2(∂Ω).

Con arreglo a lo antes expuesto, la expresion < g, v >∂Ω constituye entonces una

aplicacion bilineal < ·, · >∂Ω: H−1/2(∂Ω) × H1/2(∂Ω) −→ R, acotada ademas, pues

de hecho (Girault y Raviart, 1979), | < g, v >∂Ω | = |∮∂Ω

g v d2r′| ≤∮∂Ω

|g v| d2r′ ≤‖ g ‖H−1/2(∂Ω) ‖ v ‖H1/2(∂Ω).

55

Lo dicho anteriormente sirve para demostrar que el funcional lineal l es acotado, pues

en vista de la desigualdad de Cauchy-Schwartz y de la anterior desigualdad, se observa

que;

|l(v)| := | −∫Ω

f v d3r′+ < g, v >∂Ω | ≤∫Ω

|f v| d3r′ + | < g, v >∂Ω | ≤‖ f ‖L2(Ω) ‖ v ‖L2(Ω) + ‖ g ‖H−1/2(∂Ω) ‖ v ‖H1/2(∂Ω)

De otra parte, la desigualdad de Poincare (Evans, 1998) establece que para todo

v ∈ H1(Ω) se cumple que ‖ v − vΩ ‖L2(Ω)≤ CΩ ‖ ∇v ‖L2(Ω), en donde vΩ es el

valor medio de v en Ω, CΩ es una constante positiva dependiente del dominio pe-

ro no de v. Particularmente, para aquellas funciones en H1(Ω) tales que vΩ = 0,

la desigualdad de poincare lleva a concluir que ‖ v ‖L2(Ω) ≤ CΩ ‖ ∇v ‖L2(Ω) ≤CΩ(‖ ∇v ‖L2(Ω) + ‖ v ‖L2(Ω)) = CΩ ‖ v ‖H1(Ω). Usando este hecho y recordando que

‖ v ‖H1/2(∂Ω)≤‖ v ‖H1(Ω), se tiene entonces que:

|l(v)| ≤ [CΩ ‖ f ‖L2(Ω) + ‖ g ‖H−1/2(∂Ω)] ‖ v ‖H1(Ω)

El funcional l es entonces acotado. Debido a esto ultimo, l sera un elemento del

espacio dual H−1(Ω) := (H(Ω))′ (Evans, 1998), por medio del cual se constituye una

aplicacion < ·, · >: H−1(Ω)×H1(Ω) −→ R, definida a traves de:

< l, v >:= l(v)

El teorema de representacion de Riesz puede usarse una vez mas para concluir que

existe un unico φ∗ ∈ H1(Ω) tal que l(v) = (v, φ∗)H1(Ω), para todo v ∈ H1(Ω). En

consecuencia, se tiene que:

< l, v >= (v, φ∗)H1(Ω)

En consonancia con la discusion llevada a cabo con relacion al segundo teorema

de representacion de Riesz, se deduce que existe un operador lineal acotado G :

H−1(Ω) −→ H1(Ω), tal que φ∗ = G l.

La expresion a(φ, v) :=∫Ω

∇φ ·∇v d3r′ en el lado izquierdo de la ecuacion (3.4), define

una forma bilineal acotada a(·, ·) : H1(Ω)×H1(Ω) → R, toda vez que la desigualdad

de Cauchy-Schwartz dicta que |∇φ · ∇v| ≤ |∇φ||∇v|. De aquı se obtiene el estimado:

|a(φ, v)| = |∫Ω

∇φ · ∇v d3r′| ≤∫Ω

|∇φ · ∇v| d3r′ ≤∫Ω

|∇φ||∇v| d3r′

56

Puesto que para cualesquiera dos funciones u, w ∈ L2(Ω) se cumple que∫Ω

|u||w| d3r′ ≤

(∫Ω

|u|2d3r′)1/2(∫Ω

|w|2d3r′)1/2 =‖ u ‖L2(Ω)‖ w ‖L2(Ω), entonces:

|a(φ, v)| = |∫Ω

∇φ · ∇v d3r′| ≤∫Ω

|∇φ||∇v| d3r′ ≤‖ ∇φ ‖L2(Ω)‖ ∇v ‖L2(Ω)

En donde se ha tenido en cuenta que ∇φ,∇v ∈ L2(Ω) debido a que φ, v ∈ H1(Ω).

De esta manera, se ha demostrado que la forma bilineal a es acotada. Mas aun, como

se demostrara en el capıtulo 5, a define un producto interior en H1(Ω), el cual sera

designado por (·, ·)0, de tal suerte que a(φ, v) = (φ, v)0 y la correspondiente norma

inducida sera√a(φ, φ) :=‖ φ ‖0. Notese ademas que a(φ− φΩ, v) = a(φ, v), de donde

‖ φ− φΩ ‖0=‖ φ ‖0.

Ahora bien, es claro que ‖ v ‖20 =∫Ω

|∇v|2 d3r′ ≤∫Ω

|∇v|2 d3r′+∫Ω

|v|2 d3r′ =‖ v ‖2H1(Ω).

Si se aplica tambien la desigualdad de Poincare resulta que ‖ v ‖2H1(Ω)=∫Ω

|∇v|2 d3r′+∫Ω

|v|2 d3r′ ≤∫Ω

|∇v|2 d3r′+CΩ

∫Ω

|∇v|2 d3r′ = (CΩ+1)∫Ω

|∇v|2 d3r′ = (CΩ+1) ‖ v ‖20,

es decir ‖ v ‖H1(Ω)≤ (CΩ + 1)1/2 ‖ v ‖0. De esta manera, se estima que:

‖ v ‖0≤‖ v ‖H1(Ω)≤ (CΩ + 1)1/2 ‖ v ‖0

Esto ultimo que se ha demostrado, constituye lo que se conoce como la equivalencia

de las normas ‖ · ‖0 y ‖ · ‖H1(Ω) en H1(Ω). Esto significa que en H1(Ω) podra

utilizarse cualquiera de dichas normas, segun resulte conveniente y lo mismo aplica

para los productos internos respectivos de los cuales provienen tales normas.

Lo elaborado hasta aquı conlleva entonces a establecer que la ecuacion (3.4) es equi-

valente a:

a(φ− φΩ, v) = (φ− φΩ, v)0 = (v, φ− φΩ)0 = (v, φ∗)0

De aquı se concluye en consecuencia que φ − φΩ = φ∗ y, por tanto, que la ecuacion

de Poisson, con condicion de frontera de Neumann, tiene solucion unica ademas si se

hace φΩ = 0, en el espacio H1(Ω), representada de manera abstracta por:

φ = G l (3.5)

57

Ahora bien, recordando que < ∆φ, v >= a(φ, v) :=∫Ω

∇φ · ∇v d3r′, haciendo v = φ

entonces, a(φ, φ) :=∫Ω

|∇φ|2 d3r′ =‖ φ ‖20. Por tanto, para algun 0 < c ≤ 1, se tiene

que a(φ, φ) =‖ φ ‖20≥ c ‖ φ ‖20. Con base en lo anterior, se concluye entonces que

< ∆φ, v >≥√c ‖ φ ‖0. Esta ultima desigualdad permite establecer (Kreyszig, 1989)

que el operador inverso (∆)−1 : H−1(Ω) −→ H1(Ω) existe y es acotado. Finalmente,

dado que la solucion a la ecuacion de Poisson se ha demostrado que existe y que es

unica, se concluye que (∆)−1 := G en la ecuacion (3.5).

Nota. El lector probablemente se encuentre perplejo en relacion con la unicidad de

la solucion a la ecuacion de Poisson que se ha demostrado aquı, ya que es un hecho

conocido que la solucion de este problema, con condicion de frontera de Neumann,

es unica salvo una constante arbitraria, en otras palabras, si se fija el valor de esta

constante, la solucion si que es unica. Esto se demuestra de la siguiente manera.

Supongase que existen dos soluciones a dicha ecuacion, φ1 y φ2 + c, para alguna

constante c, tales que ∆φ1 = f = ∆(φ2 + c), de modo que ∆(φ1 − φ2 − c) = 0.

Multiplicando esta igualdad por φ1 − φ2 − c e integrando sobre Ω, con la ayuda de la

primera identidad de Green, se obtiene:

0 =∫Ω

(φ1 − φ2 − c)∆(φ1 − φ2 − c) d3r′ =

−∫Ω

|∇(φ1 − φ2 − c)|2 d3r′ +∮∂Ω

(φ1 − φ2 − c)∂

∂n′(φ1 − φ2 − c) d2r′

Puesto que se asume que φ1 y φ2+c son soluciones del problema, ambas deben poseer

la misma condicion de frontera y por tanto∂

∂n′(φ1 − φ2 − c)

∣∣∣∣∂Ω

= 0 en la segunda

integral, con lo cual:

‖ φ1 − φ2 − c ‖20 =∫Ω

|∇(φ1 − φ2 − c)|2 d3r′ = 0

De aquı por tanto se obtiene que φ1 − φ2 − c = 0, es decir, dos soluciones a este

problema difieren en una constante arbitraria c.

Ahora bien, si en la ecuacion (3.3) se construye la funcion de Green G(r, r′) de tal

manera que ∆G = δ(r − r′) − 1

|Ω| y∂G

∂n′

∣∣∣∣∂Ω

= 0, lo cual es posible dada la indeter-

minacion de las soluciones a la ecuacion de Poisson con condicion de frontera de tipo

Neumann, entonces por la segunda identidad de Green se tiene lo siguiente:

58

∫Ω

[G∆φ− φ∆G]d3r′ =∮∂Ω

[G∂φ

∂n′− φ

∂G

∂n′]d2r′

∫Ω

[Gf − φ(δ(r− r′)− 1

|Ω|)]d3r′ =

∮∂Ω

G∂φ

∂n′d2r′

∫Ω

φδ(r− r′)d3r′ =1

|Ω|∫Ω

φ d3r′ +∫Ω

G f d3r′ −∮∂Ω

G∂φ

∂n′d2r′

De la ultima igualdad se obtiene la formula de representacion para la solucion a la

ecuacion de Poisson con condicion de frontera de Neumann, la cual difiere de (3.3)

por la aparicion de un termino constante correspondiente al valor medio de φ en Ω:

φ(r) =1

|Ω|

∫

Ω

φ(r′) d3r′ +

∫

Ω

G(r, r′) f(r′) d3r′ −∮

∂Ω

G(r,y′)∂φ

∂n′d2y′ (3.6)

Si se identifica la constante arbitraria c de la cual se hablo antes, con el valor medio

φΩ de φ en Ω, y si en particular se escoge que c = φΩ = 0, se tiene entonces que la

solucion hallada es unica. Pero esto fue justamente lo que se supuso cuando se estaba

demostrando la existencia de una solucion a la ecuacion de Poisson, por tanto, la

anterior demostracion de la existencia de soluciones unicas al problema de Poisson

con condicion de frontera de Neumann, es correcta y compatible con esto ultimo que

sa ha discutido en la presente nota.

Sabiendo ya que para todo u ∈ L2(Ω)3 existe un unico φ ∈ H1(Ω), con φΩ = 0, tal

que ∇· (u−∇φ) = 0, se concluye que existe un campo solenoidal w ∈ L2(Ω)3 tal que

u − ∇φ = w. Este campo sera ortogonal a ∇φ en L2(Ω)3 si se impone la condicion

de que su componente en la direccion de la normal exterior a ∂Ω sea nula. En efecto,

puesto que ∇ · (φ w) = ∇φ ·w+ φ ∇ ·w = ∇φ ·w, formando el producto interior en

L2(Ω)3, se tiene:

(∇φ,w)L2(Ω)3 =∫Ω

∇φ ·w d3r′ =∫Ω

∇ · (φ w) d3r′ =∮∂Ω

φ n′ ·w d2r′

En donde se ha utilizado el teorema de la divergencia en la ultima igualdad. Por tanto,

si se impone la condicion sobre la componente normal wn′ |∂Ω := (n′ ·w)|∂Ω = 0

se concluye que (∇φ,w)L2(Ω)3 = 0, y ası ∇φ y w seran ortogonales en L2(Ω)3. Sin

embargo, esta condicion debe examinarse con mas cuidado, por lo cual se introduciran

primero los siguientes sub-espacios de L2(Ω)3:

Definicion 3.3.1. Sea J (Ω) = w ∈ L2(Ω)3 : ∇ · w = 0 con producto interno

definido por:

(u, v)J (Ω) := (u, v)L2(Ω)3 (3.7)

59

Y sea el espacio G(Ω) = ∇φ ∈ L2(Ω)3 : φ ∈ H1(Ω); φΩ = 0

Bajo esta definicion se tiene el importante resultado cuya demostracion se omitira:

Teorema 3.3.1. El espacio J (Ω) bajo el producto interno (3.7) es un espacio de

Hilbert.

Considerando que wn′ |∂Ω es la restriccion del campo escalar n′ ·w a la frontera de Ω,

entonces la condicion wn′ |∂Ω = 0 antes mencionada debe ser entendida en un sentido

analogo al del operador traza en el caso de campos escalares. Con mas precision, se

define el operador γn′ : w → wn′ |∂Ω, el cual envıa un w ∈ J (Ω) en un elemento

del espacio H−1/2(∂Ω) (Girault y Raviart, 1979). Por tanto, la condicion wn′ |∂Ω = 0

implica que w pertenece al kernel de este operador, ker(γn′) = w ∈ J (Ω) : γn′(w) =

0. Este espacio como se demuestra en el trabajo de Duvaut y Lions (Duvant y

Lions, 2012), corresponde a la clausura del espacio de los campos vectoriales suaves

en Ω; respecto a la norma del espacio J (Ω). Ası pues este espacio, denotado por

J0(Ω), contiene lımites (en la norma de J (Ω)) de sucesiones de campos vectoriales

continuamente diferenciables a cualquier orden en Ω.

El espacio L2(Ω)3, por ser un espacio de Hilbert, es completo, queriendo con ello decir

que toda sucesion de Cauchy um en este espacio, converge a un elemento u de dicho

espacio. No obstante, no se puede decir lo mismo de un subespacio tal como G(Ω) yaque para que un subespacio Y de un espacio de Hilbert H sea completo, es condicion

necesaria y suficiente que dicho subespacio sea cerrado bajo la distancia heredada del

producto interno en H (Kreyszig, 1989). Por su parte, J0(Ω) al ser la clausura de un

subespacio del espacio de Hilbert L2(Ω)3, es un conjunto cerrado allı mismo.

Esto es importante, ya que podrıa darse el caso en que si gm y jm son sucesiones de

cauchy en G(Ω) y J0(Ω) respectivamente, con jm → j ∈ J0(Ω) pero no necesariamente

gm → g ∈ G(Ω) entonces tampoco se podrıa esperar que la sucesion um = gm + jm

converja a un elemento u = g + j tal que g ∈ G(Ω), j ∈ J0(Ω), respectivamente. En

otras palabras, existirıa un elemento u ∈ L2(Ω)3 que no se puede escribir como suma

de un elemento g ∈ G(Ω) mas otro elemento j ∈ J0(Ω), que es todo lo opuesto a lo

que se busca.

Una forma de solucionar este impase es hallar la forma de ‘completar’, por ası decirlo,

el subespacio G(Ω) que es el que no necesariamente es completo. Esto se puede lograr

tomando la clausura de dicho subespacio respecto a la distancia heredada del produc-

to interno en L2(Ω)3. En efecto, dado que la clausura de un subespacio de un espacio

60

de Hilbert es un conjunto cerrado en tal espacio, y, en vista de que todo subespacio

cerrado de un espacio de Hilbert es completo, como se menciono mas arriba, enton-

ces quedarıa resuelto el problema. En este orden de ideas, se definen los siguientes

subespacios de L2(Ω)3.

Definicion 3.3.2. Sea J (Ω) como en la definicion 3.3.1, entonces J0(Ω) = C∞(Ω)3

es la clausura del espacio de los campos vectoriales suaves en Ω, respecto a la distancia

inducida por el producto interno de J (Ω).

Similarmente, sea G(Ω) como en la definicion 4.3.1, entonces G0(Ω) := G(Ω) es la

clausura de G(Ω) respecto a la distancia inducida por el producto interno de L2(Ω)3.

Como resultado de la discusion sostenida en los parrafos anteriores, se puede ahora

establecer el teorema de descomposicion de Helmholtz-Weyl en L2(Ω)3:

Teorema 3.3.2. Teorema de descomposicion de Helmholtz-Weyl. Para todo

u ∈ L2(Ω)3 existen ∇φ ∈ G0(Ω) y w ∈ J0(Ω), tales que u = ∇φ + w; ademas

(∇φ,w)L2(Ω)3 = 0. En otras palabras, se tiene la siguiente descomposicion ortogonal:

L2(Ω)3 = G0(Ω)⊕J0(Ω)

En todo lo elaborado hasta aquı, no se ha hablado de la posibilidad de representar

a w como el rotacional de algun campo vectorial A. A la luz del metodo expuesto

aquı, supongase que esto es posible y que entonces se tiene, para todo u ∈ L2(Ω)3, la

descomposicion u = ∇φ+∇×A, en donde ∇φ ∈ G0(Ω)3 y ∇×A ∈ J0(Ω). Tomando

el rotacional de esta igualdad, entonces:

∇× u = ∇×∇φ+∇×∇×A = ∇(∇ ·A)−∆A

Si al campo vectorial A se le impone la condicion ∇ · A = 0, lo cual es posible en

principio dada la arbitrariedad del mismo, y suponiendo conocido el rotacional de u,

D(r) := ∇× u ∈ L2(Ω)3, entonces se llega al problema:

∆A = −D(r)

Por tanto, si una tal representacion w = ∇×A es posible, para todo w ∈ J0(Ω), se

reduce al problema de determinar la existencia y unicidad de soluciones a la ecuacion

de Poisson para A. Sin embargo, esta cuestion ya fue resuelta para φ, de modo que

si se emplea un razonamiento similar aquı, es posible concluir que existe un unico

A ∈ H10 (Ω)

3 solucion a la ecuacion de Poisson.

61

Antes de continuar con la discusion, conviene resaltar que el espacio H10 (Ω)

3, de

manera analoga al caso de campos escalares (pag. 35), es la clausura del espacio de

los campos vectoriales suaves en Ω, con soporte compacto en dicha region, denotado

por C∞c (Ω)3; respecto a la distancia heredada del producto interno enH1(Ω)3, definido

por:

(u,v)H1(Ω)3 :=∫Ω

∇u : ∇v d3r′

En donde la expresion ∇u : ∇v representa la doble contraccion de los tensores ∇u

y ∇v. Tomese entonces el producto interno de la ecuacion de Poisson en L2(Ω)3 con

alguna funcion v ∈ H10 (Ω)

3:

(∆A,v)L2(Ω)3 =∫Ω

∆A · v d3r′ = −∫Ω

∇×w · v d3r′ =

−∫Ω

w · ∇ × v+∇ · (w× v) d3r′ = −∫Ω

w · ∇ × v d3r′ −∮∂Ω

n′ · (w× v) d2r′

En la tercera igualdad se ha empleado la identidad vectorial ∇ × w · v = w · ∇ ×v +∇ · (w × v), y en la ultima el teorema de la divergencia. Por otro lado, usando

el hecho de que n′ · (w× v)|∂Ω = v · (n′ ×w)|∂Ω = 0 ya que v se anula ‘cerca’ de la

frontera ∂Ω; y que w = ∇×A, entonces se observa que:

(∆A,v)L2(Ω)3 = −∫Ω

(∇×A) · (∇× v) d3r′ = −∫Ω

D(r′) · v d3r′

De aquı, por tanto, se determina lo siguiente:

∫

Ω

(∇×A) · (∇× v) d3r′ =

∫

Ω

D(r′) · v d3r′ (3.8)

La ultima ecuacion guarda semejanza, salvo el termino en la frontera del dominio,

con la ecuacion (3.4), y en analogıa con ella puede pensarse en el lado derecho de esta

igualdad, para todo v ∈ H10 (Ω)

3, como un funcional lineal l : H10 (Ω)

3 −→ R, definido

por:

l(v) :=∫Ω

D(r′) · v d3r′

Bajo argumentos similares para el caso de φ, se puede llegar a demostrar que el

funcional l es acotado si se exige que D ∈ L2(Ω)3. Luego, invocando el teorema de

representacion de Riesz, se podrıa concluir la existencia de un unico A∗ ∈ H10 (Ω)

3 tal

que l(v) = (v,A∗)H10(Ω)3 para todo v ∈ H1

0 (Ω)3. Hara falta entonces demostrar que la

62

forma bilineal a(A,v) :=∫Ω

(∇×A) · (∇×v) d3r′ es acotada y que de hecho define un

producto interno en H10 (Ω)

3, mas aun, que la norma inducida ‖ A ‖20:= a(A,A) =∫Ω

|∇ ×A|2 d3r′, es equivalente a la norma ‖ A ‖2H1

0(Ω)3

:=∫Ω

∇A : ∇A d3r′.

Para ver que esto es ası, fıjese una base cartesiana, entonces, como puede comprobarse

facilmente:

∇A : ∇A =3∑

i,j=1

(∂Ai

∂xj)2 = |∇ ×A|2 + |∇ ·A|2 + [...]

En donde Ai (i = 1, 2, 3), son las componentes cartesianas de A, y:

[...] = 2[∂A1

∂x2

∂A2

∂x1+∂A1

∂x3

∂A3

∂x1+∂A2

∂x3

∂A3

∂x2− ∂A1

∂x1

∂A2

∂x2− ∂A1

∂x1

∂A3

∂x3− ∂A2

∂x2

∂A3

∂x3]

Ahora bien, puesto que ∇·A = 0, entonces ∇A : ∇A = |∇×A|2+[...]. Como puede

advertirse, a partir de su definicion, la cantidad [...] puede asumir valores positivos,

negativos e inclusive cero. Asumiendo por ejemplo que [...] ≥ 0, entonces es facil

ver que∫Ω

|∇ × A|2 d3r′ ≤∫Ω

|∇ × A|2 + [...] d3r′. De igual manera, si se asume

que [...] ≤ 0, entonces∫Ω

|∇ × A|2 d3r′ ≥∫Ω

|∇ × A|2 + [...] d3r′. De esta forma se

concluye que es posible hallar constantes positivas c y C, tales que c∫Ω

|∇×A|2 d3r′ ≤∫Ω

|∇ × A|2 + [...] d3r′ ≤ C∫Ω

|∇ × A|2 d3r′, para todo A ∈ H10 (Ω)

3. Esto en otras

palabras, significa que:

c ‖ A ‖20≤‖ A ‖2H1

0(Ω)3

≤ C ‖ A ‖20

Se concluye entonces que las normas ‖ A ‖0 y ‖ A ‖H10(Ω)3 son equivalentes. En funcion

de estos resultados, se concluye en ultimas que existe una solucion unica A ∈ H10 (Ω)

a la ecuacion de Poisson, ası como una formula de representacion A = Gl, en donde

G : H−1(Ω)3 −→ H10 (Ω)

3 es un operador lineal acotado.

Para terminar de establecer el paralelo con el caso de φ, se define el siguiente subes-

pacio de L2(Ω)3:

Definicion 3.3.3. Sea J0(Ω) = ∇ × A ∈ L2(Ω)3 : A ∈ H10 (Ω)

3; ∇ · A = 0 con

producto interno definido por:

(u, v)J0(Ω) := (u, v)L2(Ω)3 + (∇× u,∇× v)L2(Ω)3 (3.9)

Y sea D0(Ω) la clausura del subespacio J0(Ω) ∩ J0(Ω), en la norma de L2(Ω)3.

63

El espacio D0(Ω) consta entonces de campos vectoriales suaves en Ω, ası como lımites

en L2(Ω)3 de sucesiones de dichos campos, cuyo rotacional pertence a L2(Ω)3; y tales

que ∇ ·A = 0.

Puesto que, por definicion, entre los elementos de este espacio se cuentan lımites de

sucesiones del espacio J0(Ω), cuyos elementos satisfacen en la frontera del dominio la

condicion n′ · ∇ ×A|∂Ω = 0, tal cual fue establecido en las paginas 60 y 61 (recuerde el

lector que allı w := ∇×A), y dado que, de acuerdo con el teorema de descomposicion

ortogonal 3.3.2, ello implica la ortogonalidad entre ∇φ y w := ∇ × A en L2(Ω)3,

resulta entonces posible enunciar el siguiente teorema de descomposicion ortogonal:

Teorema 3.3.3. Teorema de descomposicion de Helmholtz-Weyl II. Para

todo u ∈ L2(Ω)3 existen ∇φ ∈ G0(Ω) y w := ∇ × A ∈ D0(Ω), donde A ∈ H10 (Ω)

3;

tales que u = ∇φ + ∇ × A. Ademas (∇φ,∇ × A)L2(Ω)3 = 0. En otras palabras, se

tiene la descomposicion ortogonal:

L2(Ω)3 = G0(Ω)⊕D0(Ω)

Los dos teoremas de descomposicion de Helmholtz-Weyl demostrados aquı, no cons-

tituyen la unica descomposicion posible de un campo vectorial u. De hecho, Kopa-

chevsky en otro trabajo (Kopachevsky, 1967), construyo una descomposicion orto-

gonal suponiendo que ∂Ω = Σ ∪ S, en donde Σ y S son subconjuntos cerrados de

∂Ω tales que Σ ∩ S tiene medida nula (i. e. el ‘area’ de la interseccion de estas dos

porciones de la frontera del dominio es nula).

Concretamente, este autor propone que, en el teorema 3.3.2 aquı demostrado, se

impongan las condiciones φ|Σ = 0 y n′ ·w|S = 0. La existencia de φ es entonces

demostrada bajo este requerimiento, ası como la de w; pasando luego a definir los

subespacios de L2(Ω)3, dados por:

Definicion 3.3.4. Sea GΣ(Ω) la clausura en la norma de L2(Ω)3, del espacio GΣ(Ω) =

∇φ ∈ L2(Ω)3 : φ ∈ H1(Ω); φ|Σ = 0.

Se define JS(Ω) como la clausura, en la norma de L2(Ω)3, del espacio JS(Ω) = w ∈L2(Ω)3 : ∇ ·w = 0; n′ ·w|S = 0.

Bajo esta construccion, concluye finalmente el teorema de descomposicion ortogonal:

Teorema 3.3.4. Teorema de descomposicion de Helmholtz-Weyl III. Para

todo u ∈ L2(Ω)3 existen ∇φ ∈ GΣ(Ω) y w ∈ JS(Ω), tales que u = ∇φ + w; ademas

(∇φ,w)L2(Ω)3 = 0. En otras palabras, se tiene la descomposicion ortogonal:

64

L2(Ω)3 = GΣ(Ω)⊕JS(Ω)

Este tipo de descomposicion resulta util cuando se esta estudiando el problema de las

pequenas oscilaciones de un lıquido viscoso e incompresible, el cual se halla contenido

en un recipiente parcialmente lleno del mismo, de tal manera que Σ puede ser por

ejemplo la superficie libre del fluido, y S es la superficie del recipiente; entonces, si

no hay penetracion del lıquido a traves de las paredes del recipiente, la componente

normal del campo de velocidades se especifica como nula en S y el valor del potencial

φ se especifica como nulo en Σ.

Puede decirse entonces para concluir, que el tipo de descomposicion obtenida de-

pendera en gran medida del grado de regularidad que se admita para los campos

vectoriales estudiados, del tipo de condiciones en la frontera que prevalezcan en una

situacion determinada, ası como del dominio mismo en cuestion. La construccion de

una tal descomposicion, bajo el metodo expuesto aquı, es guiada de esta manera por

el tipo de problema que se este tratando de resolver.

65

Capıtulo 4

Desarrollo del modelo

4.1. Ecuaciones de movimiento

Retomando la forma linealizada de las ecuaciones de Navier-Stokes, ecuacion (2.8),

en su version dimensionalizada, se substituira en ella ahora la descomposicion de

Helmholtz-Weyl, teorema 3.3.3, para el campo de velocidades u, la cual fue discutida

en el capıtulo anterior:

∂

∂t(∇φ+w) = −∇(

p

ρ− Π) + ν∆(∇φ+w)

Agrupando a un lado los terminos afectados por el operador Nabla en esta expresion

entonces:

∇(∂φ

∂t+p

ρ− Π− ν∆φ) = −(

∂w

∂t− ν∆w)

Ahora bien, por un conocido metodo de solucion de ecuaciones diferenciales parciales

lineales, denominado el metodo de variables separables (Hassani, 2013), la anterior

igualdad se puede argumentar, debe ser igual a una constante dado que el lado iz-

quierdo es independiente de w y el derecho de φ. En particular, si se escoge que dicha

constante sea cero, bajo este ansatz entonces:

∂w

∂t− ν∆w = 0

Y la ecuacion para el campo de presiones, bajo el mismo ansatz, se reducirıa a:

∇(∂φ

∂t+p

ρ− Π− ν∆φ) = 0

Al integrar esta ultima ecuacion a lo largo de una lınea de corriente arbitraria, se

obtiene una primera integral, dada por:

66

∂φ

∂t+p

ρ− Π− ν∆φ = C

Con C una constante arbitraria. Sin embargo, dicha primera integral es obtenida para

un instante de tiempo particular, por lo cual, para diversos instantes de tiempo la

constante que aparece en el miembro derecho de la anterior igualdad no necesaria-

mente es la misma; en otras palabras, para instantes de tiempo distintos, se obtienen

distintas constantes de integracion, en virtud de lo cual se puede decir, de manera

mas general, que dicha constante debe ser reemplazada por una funcion arbitraria del

tiempo, denotada por f(t). De manera que la ecuacion que describe la distribucion

de presiones en el fluido sera:

∂φ

∂t+p

ρ− Π− ν∆φ = f(t)

Ahora bien, a partir de la ecuacion de continuidad se tiene que ∇ · u = 0, ası que

si se sustituye la descomposicion de Helmholtz-Weyl en esta ecuacion tambien, se

obtendra:

∇ · u = ∇ · (∇φ+w) = ∆φ = 0

De suerte que las ecuaciones a que tienen lugar los potenciales, en la region Ω, seran

entonces:

∆φ = 0;∂w

∂t− ν∆w = 0 (4.1)

Por tanto, el potencial escalar sera una funcion armonica en la region de flujo, en vista

de que satisface la ecuacion de Laplace. Por su parte, el potencial vector satisfara a

su vez la ecuacion de calor en dicha region.

Ademas de las anteriores ecuaciones, se sigue que la distribucion de la presion en el

fluido en la region Ω, estara gobernada por la ecuacion de Bernoulli:

∂φ

∂t+p

ρ− Π = f(t) (4.2)

67

4.2. Condiciones de frontera referidas a la super-

ficie de equilibrio

Recordando que la condicion dinamica en la interfaz lıquido-gas, ecuacion (1.12) pudo

ser linealizada y llevada a la forma de la ecuacion (2.12), se analizara ahora la forma

dimensional de la misma, buscando expresar o referir dicha ecuacion a la superficie

en estado de equilibrio. Ello se debe primordialmente al hecho de que al estar osci-

lando dicha interfaz, la curvatura media H que aparece en la ecuacion mencionada,

evoluciona tambien bajo esta dinamica, convirtiendose en una funcion no solo de las

coordenadas sobre la superficie y del tiempo, sino tambien de la ‘funcion de onda’

que se desea describir.

En este orden de ideas, trayendo a colacion la forma dimensional de la ecuacion (2.12):

p− p0 = −σH

Se aplicara sobre esta el metodo de la primera variacion de un funcional, empleado

en mecanica analıtica y en muchas otras areas de la fısica (Sagan, 2012).

La idea del metodo consiste en considerar la expresion p − p0 + σH o mejor aun

la integral de esta funcion sobre la superficie libre del fluido, como una aplicacion

J [N ] definida sobre cierto espacio normado, con valores en un subconjunto de R.

Esta variacion, denotada por δ, se define a grosso modo, en caso de existir, como un

operador lineal, por medio de:

∫ δJ

δNΦdx :=

d

dtJ [N + Φt]|t=0

En donde Φ es una funcion test arbitraria, t es un numero real. A la cantidad, tΦ

se le denomina variacion de N y se denota por δN . Por ejemplo, supongase que el

funcional J , es de la siguiente manera:

J [N(x)] := exp(∫N(x)g(x)dx)

Calculando su variacion, aplicando la definicion anterior, y usando como funcion test

la distribucion delta de Dirac, es decir Φ(y) = δ(y), entonces:

∫ δJ

δN(y)Φdx =

d

dtexp(

∫[N(x) + tδ(x− y)]g(x)dx)|t=0 =

exp(∫[N(x)+ tδ(x−y)]g(x)dx)|t=0

d

dt

∫[N(x)+ tδ(x−y)]g(x)dx)|t=0 = exp(

∫[N(x)+

tδ(x− y)]g(x)dx)|t=0

∫[δ(x− y)]g(x)dx)|t=0 = exp(

∫N(x)g(x)dx)g(y) = g(y)J [N(x)]

68

Ası pues, la variacion de este funcional es δJ = g(y)J [N(x)]δN .

Este procedimiento es aplicado entonces sobre el funcional definido por:

J [N(ξ1, ξ2, t)] :=∫S

(p− p0 + σH)d2r

Y como se menciona en el artıculo de Kopachevsky (Kopachevsky, 1966), esta varia-

cion resulta ser:

∫S

[p′ − σ(− 1

σ

∂p

∂n− κ21 − κ22)N −∆SN ]d2r

En donde p′ = p|S − ρΠ; κ1 y κ2 son las curvaturas principales de la superficie

(Blaschke y Bol, 1938) (ver capıtulo 5) en su configuracion inicial, y ∆S es el lapla-

ciano de N definido sobre la superficie S en su posicion de equilibrio, conocido como

operador de Laplace-Beltrami (McConnel, 1957). De aquı por tanto, en la superficie

libre en su posicion de equilibrio, se verifica finalmente:

p′ = σ(− 1

σ

∂p

∂n

∣∣∣∣ξ3=0

− κ21 − κ22)N −∆SN (4.3)

Examinando esta expresion, se puede ver como la presion en la superficie libre del

lıquido en cada instante, p|S, queda expresada en terminos de la presion hidrostatica

ρΠ, el gradiente normal de la presion evaluado en la superficie de equilibrio∂p

∂n

∣∣∣∣ξ3=0

,

ası como de factores asociados con la geometrıa de la superficie antes de comenzar su

movimiento, tales como κ1, κ2; cantidades que por otra parte se asumen conocidas y

que dependen en principio de las coordenadas ξ1, ξ2.

Puede pensarse ası mismo en esta expresion, al menos de manera intuitiva, como si

se tratase de una expansion en serie de potencias (de N) alrededor de ξ3 = 0 de

la cantidad p − p0 + σH, truncada hasta el primer orden en N . Esto se hara mas

patente considerando la misma situacion fısica pero en dos dimensiones. En este caso

la superficie S se reduce a una curva, cuya curvatura media, expresada en coordenadas

cartesianas, esta dada por H = [1 + (∂N

∂x)2]−3/2∂

2N

∂x2.

En este caso y = 0 describe a la superficie en su posicion de equilibrio y y = N(x, t)

a la misma en movimiento. Se tiene ası mismo que p = p(x, y, t) y expandiendo esta

funcion en serie de Taylor alrededor de y = 0, se obtiene p = p(x, 0, t)+∂p

∂y

∣∣∣∣y=0

y+ ....

De esta manera, la presion evaluada en la ‘superficie’ y = N(x, t) estara dada, a primer

69

orden enN , por p|S = p(x,N, t) ≈ p(x, 0, t)+∂p

∂y

∣∣∣∣y=0

N . Por otra parte, si la pendiente

de la curva,∂N

∂x, es mucho menor que la unidad, la curvatura media podra expresarse

aproximadamente como H ≈ ∂2N

∂x2. Reuniendo estos hechos se tiene entonces que

p−p0+σH ≈ p(x, 0, t)+∂p

∂y

∣∣∣∣y=0

N+σ∂2N

∂x2= 0, en donde se ha absorbido a p0 dentro

de p(x, 0, t). De aquı se verifica entonces que p|S ≈ p(x, 0, t)+σ[− 1

σ

∂p

∂y

∣∣∣∣y=0

N− ∂2N

∂x2].

Comparando terminos con (4.3) se observa entonces que en este caso p(x, 0, t) =

p0 − ρΠ.

Ası pues, puede hacerse una lectura de la ecuacion (4.3), a la luz del ejemplo ilustrativo

antes dado, como representando la distribucion de la presion en la superficie libre del

fluido cuando se presentan ligeras desviaciones (en la direccion de la normal exterior

a esta) respecto de su posicion de equilibrio; esto es para N pequeno, pues de esta

manera es que se ha truncado la serie de Taylor de p(x, y, t) en el ejemplo senalado.

4.3. La transformada de Fourier-Laplace

En lo que sigue se procedera a aplicar la transformada de Fourier-Laplace, denotada

por F L, sobre las ecuaciones (4.1). Este procedimiento fue aplicado por primera

vez por Dutykh y Dias. (Dutykh y Dias, 2007) con el proposito de obtener una nueva

descripcion del flujo de la superficie libre de una capa de fluido viscoso, sin considerar

el efecto de la tension superficial.

Dicha transformacion es definida de tal suerte que solo afecta a las coordenadas ξ1, ξ2

sobre la superficie del lıquido, en tanto que la coordenada normal ξ3 queda desafectada

de la misma. Ası pues, la transformada de Fourier-Laplace se define como:

F Lu(k, ξ3, s) :=∞∫0

∫R2

u(r, ξ3, t)e−2πik·r−std2rdt

En donde k = (k1, k2) es la variable dual de la posicion, r = (ξ1, ξ2); y s es la

correspondiente variable dual del tiempo, t. Se asume que las funciones sobre las que

se aplicara esta transformacion satisfacen todos los requisitos para que ella exista i.

e. que decaen bastante rapido conforme r → ∞, etc. y de hecho debe ser ası puesto

que los elementos de los espacios de Sobolev, como lo son φ y A, pueden extenderse

de Ω a Rn y son tambien elementos de L2(Rn) (Evans, 1998).

70

Ahora bien, para operar la transformacion sobre las ecuaciones (4.1), se separara

el laplaciano de las funciones que allı aparecen en una parte que corresponde a las

coordenadas ξ1, ξ2, esto es aquella parte del laplaciano definida sobre la superficie

S ⊂ Ω y que recibe el nombre de operador de Laplace-Beltrami como ya se indico

antes; mas otra parte que corresponde a las derivadas de segundo orden respecto a

la coordenada normal ξ3. En otras palabras, se tiene que ∆φ := ∆Sφ +∂2φ

∂ξ23, y de

manera analoga ∆w := ∆Sw+∂2w

∂ξ23:

F L∆φ =

∞∫

0

∫

R2

∆φe−2πik·r−std2rdt =

−(2π)2|k|2∞∫

0

∫

R2

φe−2πik·r−std2rdt+∂2φ

∂ξ23=

−(2π)2|k|2φ+∂2φ

∂ξ23= 0

(4.4)

Siendo |k| la norma de k; φ la transformada de Fourier-Laplace de φ.

En la obtencion de la ultima igualdad se ha usado el hecho de que F L∆Sφ =

−(2π)2|k|2φ; y que F L∂2φ

∂ξ23 =

∂2

∂ξ23(F Lφ) = ∂2φ

∂ξ23.

Por otra parte, se tiene que:

F Lν∆w− ∂w

∂t =

∞∫

0

∫

R2

(ν∆w− ∂w

∂t)e−2πik·r−std2rdt =

−(2π)2ν|k|2∞∫

0

∫

R2

we−2πik·r−std2rdt+

ν∂2w

∂ξ23− s

∞∫

0

∫

R2

we−2πik·r−std2rdt =

−(2π)2ν|k|2w+ ν∂2w

∂ξ23− sw = 0

(4.5)

Sustituyendo en seguida la descomposicion de Helmholtz-Weyl en la forma dimensio-

nalizada de las ecuaciones (2.11) y (2.13), recordando de antemano que w = ∇×A,

se obtiene:

71

∂N

∂t− u3 =

∂N

∂t− ∂φ

∂ξ3− ∂A2

∂ξ1+∂A1

∂ξ2= 0 (4.6)

ui,3 + u3,i = (∂φ

∂ξi+ εijk

∂Aj

∂ξk),3 + (

∂φ

∂ξ3+∂A2

∂ξ1− ∂A1

∂ξ2),i = 0 (4.7)

O, desarrollando esta ultima expresion:

ui,3 + u3,i = 2∂φ

∂ξi∂ξ3+ εijk(

∂Aj

∂ξk),3 + (

∂A2

∂ξ1− ∂A1

∂ξ2),i = 0 (4.8)

En lo que sigue se expresaran las anteriores igualdades en coordenadas cartesianas

con el fin de fijar ideas y simplificar los calculos, toda vez que ello no supone una

perdida de generalidad. Ası las cosas se tiene que:

ux,z + uz,x = 2∂φ

∂x∂z− ∂2Ay

∂z2+∂2Az

∂y∂z+∂2Ay

∂x2− ∂2Ax

∂x∂y= 0 (4.9)

uy,z + uz,y = 2∂φ

∂y∂z+∂2Ax

∂z2− ∂2Az

∂x∂z− ∂2Ax

∂y2+∂2Ay

∂x∂y= 0 (4.10)

Y

∂N

∂t− uz =

∂N

∂t− ∂φ

∂z− ∂Ay

∂x+∂Ax

∂y= 0 (4.11)

Al aplicar la transformada de Fourier-Laplace sobre estas expresiones se encuentra

que:

F L2 ∂φ

∂x∂z− ∂2Ay

∂z2+∂2Az

∂y∂z+∂2Ay

∂x2− ∂2Ax

∂x∂y =

2πikx(2∂φ

∂z) + 2πiky(

∂Az

∂z)− ∂2Ay

∂z2+ (2πikx)

2Ay − (2πikx)(2πiky)Ax = 0

(4.12)

F L2 ∂φ

∂y∂z+∂2Ax

∂z2− ∂2Az

∂x∂z− ∂2Ax

∂y2+∂2Ay

∂x∂y =

2πiky(2∂φ

∂z)− 2πikx(

∂Az

∂z) +

∂2Ax

∂z2− (2πiky)

2Ax + (2πikx)(2πiky)Ay = 0

(4.13)

F L∂N∂t

− ∂φ

∂z− ∂Ay

∂x+∂Ax

∂y = sN − ∂φ

∂z− (2πikx)Ay + (2πiky)Ax = 0 (4.14)

72

Multiplicando la ecuacion (4.12) por (−ikx) y la ecuacion (4.13) por (−iky); y, su-mando las expresiones resultantes se obtiene:

2πk2x(2∂φ

∂z) + 2πkxky(

∂Az

∂z) + ikx

∂2Ay

∂z2+ (2π)2ik3xAy − (2π)2ik2xkyAx + 2πk2y(2

∂φ

∂z)−

2πkxky(∂Az

∂z)− iky

∂2Ax

∂z2− (2π)2ik3yAx + (2π)2ikxk

2yAy = 0

Agrupando terminos semejantes:

2π(k2x+k2y)(2

∂φ

∂z)+ikx

∂2Ay

∂z2+(2π)2ikx(k

2x+k

2y)Ay−(2π)2iky(k

2x+k

2y)Ax−iky

∂2Ax

∂z2= 0

Es decir:

2π|k|2(2∂φ∂z

) + [(2π)2|k|2 + ∂2

∂z2](ikxAy)− [(2π)2|k|2 + ∂2

∂z2](ikyAx) = 0

2πi|k|2(2∂φ∂z

) + [(2π)2|k|2 + ∂2

∂z2](kyAx − kxAy) = 0

Ahora bien, por la ecuacion (4.5) se tiene que:

∂2A

∂ξ23= [(2π)2|k|2 + s

ν]A

Por tanto:

∂2

∂z2(kyAx − kxAy) = [(2π)2|k|2 + s

ν](kyAx − kxAy)

Ası pues:

2πi|k|2(2∂φ∂z

) + [(2π)2|k|2 + (2π)2|k|2 + s

ν](kyAx − kxAy) = 0

De aquı entonces:

kyAx − kxAy = − 2(2π)i|k|2

[2(2π)2|k|2 + s

ν]

∂φ

∂z(4.15)

Sustituyendo por otra parte este resultado en la ecuacion (4.14), se encuentra lo

siguiente:

73

sN − ∂φ

∂z− (2πi)(AxAy − kyAx) = sN − ∂φ

∂z− (2πi)

2(2πi)|k|2

[2(2π)2|k|2 + s

ν]

∂φ

∂z=

sN − ∂φ

∂z+

2(2π)2|k|2

(2(2π)2|k|2 + s

ν)

∂φ

∂z= 0

De aquı por tanto se llega a la condicion:

ν[2(2π)2|k|2 + s

ν]N =

∂φ

∂z(4.16)

Reemplazando esta expresion en (4.15):

kyAx − kxAy = −2ν(2π)i|k|2N (4.17)

Al sustituir (4.17) en (4.14) se tiene que:

sN =∂φ

∂z+ (2πi)(kxAy − kyAx) =

∂φ

∂z+ (2πi)(2ν(2π)i|k|2N) =

∂φ

∂z− 2ν(2π)2|k|2N

(4.18)

Invirtiendo esta ecuacion, teniendo presente que:

(F L)−1sN =∂N

∂t; (F L)−1∂φ

∂z =

∂φ

∂z; (F L)−1−(2π)2|k|2N = ∆SN

Se obtiene finalmente la importante relacion:

∂N

∂t=∂φ

∂z+ 2ν∆SN

O, expresada en coordenadas curvilıneas, finalmente:

∂N

∂t=∂φ

∂ξ3+ 2ν∆SN (4.19)

La importancia de esta ecuacion, habiendose obtenido a partir de la condicion ci-

nematica (2.13), con la asistencia de las ecuaciones que expresan el balance tangen-

cial de esfuerzos en la superficie libre del fluido, ecuaciones (2.11), radica en el hecho,

mencionado al final de la seccion 1.2.2, de que ella expresa la evolucion temporal de

la interfaz lıquido-gas, una vez conocido el potencial escalar del campo de velocidades

φ. Sin embargo, la presencia del termino ∆SN , el cual por otra parte esta relacionado

74

con la distribucion de la presion en la superficie libre del lıquido a partir de la ecua-

cion (4.3), y que estarıa ausente si el fluido fuese inviscido, conlleva el hecho de que

el conocimiento de N como funcion del tiempo, esto es, la evolucion temporal de la

funcion de onda que se pretende describir, esta ademas supeditado al conocimiento

del campo de presiones en dicha region del espacio.

A su vez, el conocimiento del campo de presiones en cualquier posicion e instante de

tiempo sera posible, una vez mas, toda vez que se conozca el potencial escalar φ, con

la ayuda de la ecuacion de Bernoulli, ecuacion (4.2).

Ahora bien, puesto que φ es solucion a la ecuacion de Laplace, es cuando se hace

patente, una vez mas, la importancia de la maquinaria desarrollada en el capıtulo

anterior, donde una de las cuestiones resueltas allı tuvo que ver con la existencia y

unicidad de soluciones, en ciertos espacios de Sobolev, a ecuaciones tales como la

ecuacion de Laplace.

Justamente una de las cosas que se hara en el siguiente capıtulo sera la de aglutinar

este conjunto de ecuaciones, valiendose de la estructura matematica desarrollada en

el capıtulo 3, en una sola expresion que permita describir la funcion de onda N , con

independencia del conocimiento del campo de velocidades o de la distribucion de la

presion en el fluido. Este hecho resulta notable, en especial si se tiene en cuenta que

el camino habitualmente seguido no permite llegar a una ecuacion que describa el

flujo ondulatorio en una capa de fluido, unicamente en terminos de N , incorporando

ademas los efectos de la viscosidad y de la tension superficial en el modelo. Como

soporte de esta afirmacion se recomienda una vez mas al lector consultar la monografıa

de Johnson especializada en este particular (Johnson, 1997).

Por otra parte, el metodo aquı seguido, empleando elementos del analisis funcional y

de la teorıa de las ecuaciones diferenciales parciales en espacios de Sobolev, no cuenta

tampoco, hasta donde se conoce, con una solucion a este problema, si bien varios pro-

blemas lineales de la hidrodinamica han sido atacados por esta vıa por matematicos

destacados como Kopachevsky, Ladyzheskaya, Sobolev, entre otros. Basta solamente

dar un vistazo a la muy completa monografıa de Kopachevsky (Kopachevsky N. D.,

2001) o al excelente trabajo de Ibrahim (Ibrahim, 2005) que aborda cuestiones rela-

cionadas con esta, para dar cuenta de ello.

75

Capıtulo 5

El metodo de los operadores

lineales en espacios de Hilbert

5.1. Operadores lineales asociados a la energıa cineti-

ca y potencial del fluido

En esta seccion se introducen dos operadores lineales asociados respectivamente a las

energıas cinetica y potencial del fluido. El derrotero que guıa esta idea es obtener,

por medio de dichos operadores, un modelo que describa la evolucion de la superficie

libre del fluido en el regimen ondulatorio.

En atencion a lo antes mencionado, se daran en esta seccion las definiciones perti-

nentes, introduciendo los espacios sobre los cuales estaran definidos tales operadores.

Ası mismo, se discutiran en esta seccion ciertas propiedades de dichos operadores,

poniendo de relieve la ventaja metodologica que supone la presente estrategia.

El camino ya fue preparado. En los capıtulos anteriores, mediante la maquinaria de

los espacios de Sobolev y el teorema de descomposicion de Helmhotz-Weyl, fue posible

establecer que la ecuacion de Navier-Stokes, para el campo de velocidades, se redujo

a dos problemas independientes. Por un lado, la ecuacion Laplace para el potencial

escalar φ y por el otro la ecuacion de calor para el potencial vector A. Las condiciones

de frontera dinamicas y cinematicas condujeron a las importantes ecuaciones (4.3) y

(4.19) que describen la dinamica de la superficie libre del fluido.

Justamente uno de esos resultados cruciales, fue el de establecer la existencia de so-

luciones a la ecuacion de Poisson con condicion de frontera de tipo Neumann. Se

utilizara dicho resultado a continuacion para demostrar el siguiente teorema, supo-

niendo que el fluido objeto de estudio, de volumen Ω, se encuentra rodeado por las

76

paredes de un recipiente, de superficie Σ. A la superficie libre del lıquido se le llamara

S. Con esto pues, la frontera ∂Ω de la region Ω se podra escribir como ∂Ω = S ∪ Σ,

siendo Σ y S subconjuntos cerrados de ∂Ω cuya interseccion tiene medida nula. En di-

cha region, pues, el potencial φ del campo de velocidades, como se dijo antes, obedece

la ecuacion de Laplace, y sobre este, en Σ, se impone la condicion de frontera:

∂φ

∂n′

∣∣∣∣Σ

= 0

Entonces se afirma que:

Teorema 5.1.1. Sea ∆φ = 0 la ecuacion de Laplace. Entonces existe una solucion

unica a este problema, con condicion de frontera∂φ

∂n′

∣∣∣∣Σ

= 0, en el espacio de Sobolev

H1(Ω). Ademas, se tiene la representacion:

φ = Gq (5.1)

En donde G es un operador lineal compacto, y q :=∂φ

∂n′

∣∣∣∣S

.

Demostracion. La existencia de una solucion en H1(Ω) a la ecuacion de Poisson con

condicion de frontera de tipo Neumann fue demostrada en el capıtulo 3, seccion 3.3, en

donde se establecio la existencia del operador lineal acotado G : H−1(Ω) −→ H1(Ω), y

se obtuvo en particular una formula de representacion explıcita del mismo expresada

a traves de la ecuacion (3.6). Si en particular se hace allı f = 0 ∈ L2(Ω), queda

demostrada la primera parte. Basta solamente demostrar la compacidad de G pero

esto es realizado en el segundo apendice.

En la tarea de demostrar la existencia de soluciones a la ecuacion de Poisson, un

punto clave de la discusion, como recordara el lector, fue el hecho de que al formar el

producto interno en L2(Ω) con una funcion del espacio H1(Ω), surgıa una aplicacion

bilineal < ·, · >∂Ω: H−1/2(∂Ω)×H1/2(∂Ω) −→ R, dada en este caso por:

<∂φ

∂n′, v >∂Ω:=

∮∂Ω

∂φ

∂n′v d2r′ =

∮Σ ∪ S

∂φ

∂n′v d2r′ =

∮Σ

∂φ

∂n′v d2r′ +

∮S

∂φ

∂n′v d2r′ =

∮S

∂φ

∂n′v d2r′

Ahora bien, esta aplicacion bilineal es acotada puesto que, como se discutio tambien

en la seccion 3.3 del capıtulo 3, se cumple que:

| < ∂φ

∂n′, v >∂Ω | ≤‖ ∂φ

∂n′‖H−1/2(∂Ω) ‖ v ‖H1/2(∂Ω).

77

Ello implica, de acuerdo con el segundo teorema de representacion de Riesz, que existe

un operador lineal acotado A, el cual envıa elementos de H−1/2(∂Ω) en elementos de

H1/2(∂Ω). Tomando en particular v = φ, de lo anteriormente dicho se desprende

entonces que este operador envıa∂φ

∂n′

∣∣∣∣S

, en φ|S, esto es:

φ|S = A∂φ

∂n′

∣∣∣∣S

(5.2)

Este operador goza de ciertas propiedades que le hacen interesante desde el punto de

vista de la teorıa espectral de los operadores lineales en espacios de Hilbert. Ademas

de ser acotado, el operador A ciertamente posee las propiedades que se enuncian a

continuacion.

Teorema 5.1.2. El operador lineal A es autoadjunto, definido positivo y compacto.

Demostracion. (i) A es autoadjunto. Sean φ, ψ ∈ H1(Ω) armonicas en Ω, esto es

∆φ = ∆ψ = 0 en Ω. Tomense q =∂φ

∂n′

∣∣∣∣S

, q =∂ψ

∂n′

∣∣∣∣S

; usando la segunda identidad de

Green:

0 = (φ,∆ψ)L2(Ω) − (ψ,∆φ)L2(Ω) =< ψ,∂φ

∂n>S − < φ,

∂ψ

∂n>S=< Aq, q >S

− < Aq, q >S

De de aquı por tanto < Aq, q >S = < Aq, q >S=< q, A >S. Ya que la aplicacion

< ·, · >S, por ser acotada puede representarse, gracias al primer teorema de represen-

tacion de Riesz, por medio del producto interno en L2(S), entonces (Aq, q)L2(S) =

(q, A)L2(S), ası pues A es autoadjunto.

(ii) A es definido positivo. Recordando que en el capıtulo 3 se demostro el estimado:

‖ φ ‖2H1(Ω)≤ (CΩ + 1)a(φ, φ) = (CΩ + 1) <∂φ

∂n′, φ >S

Asumiendo desde luego que el valor medio φΩ = 0. Recordando tambien que por

el teorema de las trazas, teorema 3.1.2, el cual arroja el estimado1

c‖ φ ‖2L2(∂Ω)≤

‖ φ ‖2H1(Ω), entonces se deriva de aquı que:

1

c‖ φ ‖2L2(S)≤ (CΩ + 1)(Aq, q)L2(S)

Para algun c > 0, CΩ > 0 y todo φ ∈ H1(Ω). Por tanto, A es definido positivo.

78

(iii) A es compacto. Para ver que esto es ası, tomando la restriccion de φ ∈ H1(Ω) en

S, en la formula de representacion (5.1), esto es, aplicando el operador traza sobre φ;

se tiene que: φ|S = γφ = γGq = (γG)q, en donde γ es el operador traza. Pero γG es

el producto de un operador acotado γ, con un operador compacto G (la compacidad

de este operador se demuestra en el segundo apendice). Por tanto su producto es

compacto. Usando finalmente la ecuacion (5.2), entonces se concluye que A = γG es

compacto.

La importancia de este operador radica en que, ademas de satisfacer las propiedades

antes enunciadas, las cuales lo hacen bien comportado en cierto sentido, permite

transformar los valores de la derivada normal de φ en la frontera, en los valores de φ

allı mismo, lo cual es valioso en esta clase de problemas, pues siempre sera mejor tratar

con una funcion que con sus derivadas, las cuales ademas no tienen porque existir,

al menos no en el sentido usual. Por otra parte, dicho operador esta fısicamente

relacionado (y es lo que interesa primordialmente aquı) con una cantidad sumamente

importante, a saber, la energıa cinetica del fluido, T , la cual conviene recordar, esta

definida por:

T :=1

2

∫

Ω

ρ u · u d3r′ (5.3)

Con el proposito de hacer explıcita dicha relacion existente entre el operador A y la

energıa cinetica del fluido, se demuestra el resultado a continuacion:

Proposicion 5.1.1. La aplicacion ‖ · ‖1: H1(Ω) −→ R definida por:

‖ φ ‖21= ρ∫Ω

|∇φ|2 d3r′

Es una norma en H1(Ω). Mas aun T =ρ

2(Aq, q)L2(S)

Demostracion. (i) Sea α ∈ R un escalar cualquiera, entonces ‖ αφ ‖21= ρ∫Ω

|α∇φ|2 d3r′ =|α|2ρ

∫Ω

|∇φ|2 d3r′ = |α|2 ‖ φ ‖21.

(ii) Dado que, por la desigualdad triangular en Rn (Kreyszig, 1989), para cualesquiera

φ, ψ ∈ H1(Ω), se cumple que |∇(φ + ψ)|2 = |∇φ + ∇ψ|2 ≤ |∇φ|2 + |∇ψ|2 entonces

se concluye que ρ∫Ω

|∇(φ + ψ)|2 d3r′ ≤ ρ∫Ω

|∇φ|2 d3r′ + ρ∫Ω

|∇ψ|2 d3r′. Por tanto,

‖ φ+ ψ ‖21≤ ‖ φ ‖21 + ‖ ψ ‖21.

79

(iii) Si φ = 0 es evidente que ‖ φ ‖1= 0. Por otra parte, si ‖ φ ‖1= 0 entonces∫Ω

|∇ψ|2 d3r′ = 0 implica que |∇ψ|2 = 0, salvo en un conjunto de medida nula, que no

es el caso de Ω. De aquı se sigue que φ = c. Puesto que a esta constante se la puede

identificar con cualquier cosa dada su arbitrariedad, en particular se la identifica con

el valor medio de φ en Ω, φΩ, el cual se ha escogido igual a cero. Por tanto, φ = 0.

Aplicando la primera identidad de Green∫Ω

(φ∆φ + (∇φ)2)d3r′ =∫S

φ∂φ

∂n′d2r′, nueva-

mente con ∆φ = 0 en Ω, se tiene que 2T = ρ ‖ φ ‖21= ρ∫S

φ∂φ

∂n′d2r′ = ρ(Aq, q)L2(S).

Con base en esto, al operador A se le denominara operador energıa cinetica.

Habiendo introducido el operador lineal A, mostrando de paso que este se encuentra

estrechamente relacionado con la energıa cinetica del fluido, surge entonces la idea

de que quizas un vistaso a la energıa potencial del fluido arroje luz sobre la posible

existencia de otro operador asociado con esta cantidad. En atencion a ello, cabe

recordar que la energıa potencial de un fluido, designada por U , sometido a un campo

de fuerzas externo conservativo, tomando en consideracion las fuerzas de tension

superficial, viene expresada por:

U =

∫

S

σd2r′ +

∫

Ω

Π(r′) d3r′ (5.4)

Siendo Π(r′) el potencial del campo de fuerzas externo y σ el coeficiente de tension

superficial entre el lıquido objeto de estudio y el gas que se encuentra sobre este, tal

como se esclarecio en el primer capıtulo.

Ahora bien, el analisis de un sistema similar al que aquı se desea abordar, fue realizado

por Tyupsov (Tyupsov, 1966), en cuyo trabajo procedio a estudiar la estabilidad de

las formas de equilibrio de un lıquido ideal e incompresible, apelando a argumentos

variacionales.

En dicho trabajo, Tyupsov procede a estudiar la variacion de U en la direccion de la

normal exterior a la superficie de contacto entre dos fluidos. Dicha variacion, denotada

por δU como es costumbre en el calculo variacional, es calculada en su artıculo,

obteniendo la expresion:

δU =∫S

(p− p0 − 2σH)Nd2r′ +∮Γ

(σ cos(θ) + σ1

sin(θ)) N dr′

80

δ2U = σ

∫

S

[aN −∆SN ]Nd2r′ + σ

∮

Γ

[χ1 cos(θ)− χ2

sin(θ)N +

∂N

∂ν]N dr′ (5.5)

En donde χ1, χ2 son respectivamente las curvaturas de las secciones normales de las

superficies S y Σ, segun los vectores t y w que seran definidos mas adelante (Tyupsov,

1966). La funcion a(ξ1, ξ2) := − 1

σ

∂p

∂n′

∣∣∣∣S

−κ21−κ22, siendo κ1, κ2 las curvaturas princi-

pales de la superficie S (O'neill, 2006); (ξ1, ξ2) son un par de coordenadas definidas en

un entorno de S. La derivada∂N

∂νcorresponde a la derivada direccional de N tomada

segun un vector unitario tangente a la curva Γ. Por ultimo, ∆S es el operador de

Laplace-Beltrami el cual se menciono en la seccion 4.2 del capıtulo 4.

Las curvaturas principales κ1, κ2 de una superficie en R3, revisten un significado

geometrico importante, por lo cual resulta de interes dilucidar su significado, con

el fin de comprender mejor la ecuacion (5.5). En este orden de ideas, sea r(ξ1, ξ2) un

parche coordenado de la superficie S (O'neill, 2006), esto es, una parametrizacion de

la misma dada en virtud de la aplicacion r : S ⊂ R2 −→ R

3, (ξ1, ξ2) → r(ξ1, ξ2). En

otras palabras, a medida que el par ordenado (ξ1, ξ2) ∈ S recorre S, la funcion rmapea

dicho par en ternas de puntos de R3. El conjunto de estas ternas constituira entonces la

superficie inmersa en el espacio euclideo tridimensional. En terminos de coordenadas,

la anterior definicion adquiere la forma r(ξ1, ξ2) = (x(ξ1, ξ2), y(ξ1, ξ2), z(ξ1, ξ2)), con

|ξ1| ≤ a; |ξ2| ≤ b, y se asumira en lo que sigue que estas funciones son suaves.

Con ayuda de r(ξ1, ξ2), se forman las expresiones:

I := Edξ21 + 2Fdξ1dξ2 +Gdξ22

II := Ldξ21 + 2Mdξ1dξ2 +Ndξ22

Conocidas en geometrıa diferencial como primera y segunda formas fundamentales,

respectivamente (O'neill, 2006). Las cantidades E,F,G, L,M,N , se definen como:

E :=< rξ1 , rξ1 >; F :=< rξ1 , rξ2 >; H :=< rξ2 , rξ2 >

L :=< rξ1ξ1 ,n >; M :=< rξ1ξ2 ,n >; N :=< rξ2ξ2 ,n >

En donde rξ1 :=∂r

∂ξ1, rξ1ξ2 :=

∂2r

∂ξ1∂ξ2, y ası sucesivamente; < rξ1 , rξ1 > representa

en este contexto al producto interno euclideo de los vectores rξ1 y rξ1 . El campo de

vectores normales a la superficie, n, se define como:

82

n :=rξ1 × rξ2|rξ1 × rξ2 |

La primera y segunda formas fundamentales son usadas luego para hallar, en cada

punto P de la superficie parametrizada, y en la direccion de un vector v := rξ1dξ1 +

rξ2dξ2, lo que se conoce como curvatura normal de la superficie, κn, definida como:

κn(P,v) =II

I(P,v)

Ahora bien, ¿que es esta curvatura normal?. Para entenderla, imagine el lector que en

cada punto P de la superficie parametrizada, se hace pasar por ella un plano α que

contenga al vector normal a la superficie n en dicho punto. Al conjunto resultante de

esta interseccion se le llama seccion normal de la superficie, denotado por C, de tal

suerte que C := S∩α. La seccion normal C sera ası una curva cuyos puntos pertencen

tanto al plano α como a la superficie S. Por tratarse de una curva en R3, dicha seccion

normal puede ser descrita tambien por medio de una aplicacion β : [c, d] ⊂ R −→ R3,

de modo que esta quedara parametrizada a su vez, en terminos de un numero real

t ∈ [c, d].

Con relacion a la seccion normal C, puede llegar a demostrarse (O'neill, 2006) que

en cada punto β(t) de la misma, la aceleracion β′′(t), o bien es perpendicular a la

superficie dada o bien es nula allı, es decir, esta aceleracion sera paralela al vector

normal n. A las curvas que satisfacen tal propiedad se les denomina geodesicas, de

modo que la curva β sera una geodesica sobre la superficie en cuestion.

A partir de estas ideas, puede entonces pensarse en la curvatura normal κn antes

definida, como la curvatura de la seccion normal β, en otras palabras, κn viene a ser

la curvatura de la curva geodesica definida en la superficie S y como puede verse con

base en su definicion, se trata de una funcion de la posicion ası como del vector v.

Para tener una mejor idea de los conceptos introducidos en los parrafos anteriores,

en la siguiente imagen se muestra una seccion normal de la superficie de un toro,

indicando ası mismo la posicion de un punto r(ξ01 , ξ02) sobre la misma, ası como los

vectores β′′(t) y v en dicho punto. Para mayor claridad, la seccion normal se ha

resaltado con color negro.

83

Figura 5.2: Seccion normal de una superficie. En la imagen se visualiza la seccion normalde una superficie en R

3, representada por la curva resaltada en color negro. Allı mismose puede observar el vector v segun el cual se mide la curvatura normal κn en el puntor(ξ01 , ξ

02), de la superficie dada.

Bajo estos conceptos, se definen entonces las curvaturas principales de una superficie,

como los valores maximo y mınimo que toma la curvatura normal de una seccion

normal dada, esto es:

κ1 := mınκn(P,v) : v 6= 0; κ2 := maxκn(P,v) : v 6= 0

Las cuales seran por tanto, funciones de la posicion sobre la superficie. Para el toro

por ejemplo, escogiendo la siguiente parametrizacion:

r(ξ1, ξ2) = ((c+ a cos ξ2) cos ξ1, (c+ a cos ξ2) sin ξ1, a sin ξ2)

Siendo a el radio menor y c el radio mayor del toro (c > a), entonces, realizando los

calculos necesarios, se llega a demostrar que las curvaturas principales del toro son

respectivamente κ1 =cos ξ2

c+ a cos ξ2y κ2 =

1

a.

La seccion normal de una superficie, se definio como aquella curva formada por la

interseccion de una superficie con un plano α, de tal suerte que este fuera normal en

cada punto a aquella. Una idea similar se usara ahora para definir las curvaturas χ1

y χ2 que figuran en (5.5).

84

El proposito de Tyupsov en su artıculo, era el de determinar las posibles configuracio-

nes de la superficie de separacion entre dos fluidos, descrita por la funcion N(ξ1, ξ2, t),

que harıan que el sistema alcanzase una disposicion de equilibrio estable. Puesto que

un sistema mecanico alcanza el equilibrio estable cuando la energıa potencial U del

mismo alcanza a su vez un mınimo, esta es entonces la razon por la cual Tyupsov

procede a investigar la segunda variacion de U , bajo la condicion δ2U ≥ 0.

Ahora bien, el sistema estudiado por Tyupsov reune similares condiciones, como ya se

dijo, a aquellas del problema abordado en la presente monografıa. En ambos trabajos

se busca describir la superficie de saparacion entre dos fluidos, en nuestro caso un

lıquido y un gas, en terminos de cierta funcion N(ξ1, ξ2, t), incorporando los efectos

de la tension superficial y suponiendo que el sistema se encuentra en el seno de un

campo de fuerzas conservativo. La diferencia fundamental estriba en el hecho de que

en el presente escrito se busca incluir tambien los efectos de la viscosidad en el modelo.

Sin embargo, tales efectos son de tipo disipativo, ası que para efectos del desarrollo del

modelo, estos deben ser incorporados con independencia de los efectos de la tension

superficial o del potencial del campo de fuerzas externo. De esta manera, los resultados

obtenidos por Tyupsov resultan cruciales al servir de base para el desarrollo del modelo

que aquı se busca construir, como se vera mas adelante.

Observando por otra parte la expresion de δ2U , resulta claro que si α ∈ R es un escalar

cualquiera, entonces, para cualquier funcion N se tiene que δ2U(αN) = α2δ2U(N).

Esta condicion se define diciendo que δ2U(N) es un funcional homogeneo de segundo

grado en N . De hecho, se demuestra en el calculo variacional (Sagan, 2012) que si

N pertenece a un espacio normado X, y U : X −→ K ⊂ Y es una aplicacion de X

en un subconjunto abierto K del espacio normado Y , satisfaciendo dicha propiedad,

entonces para todo N ∈ X, se verifica que δ2U ≥ 0. Tambien se cumple que una

condicion necesaria para que U alcance un mınimo relativo en algun N0 ∈ A ⊂ X,

estando δ2U(N0 + tN) bien definido en t = 0 y en un entorno de t = 0, donde t ∈ R,

es que se cumpla que δU(N) = 0; δ2U(N) ≥ 0 para todo N ∈ X.

La observacion antes hecha va mas alla, pues considerando la conservacion del vo-

lumen de fluido contenido entre la superficie desplazada del lıquido y la misma en

su posicion de equilibrio, en cualquier instante t; expresada a traves de la ecuacion∫S

N d2r′ = 0 (Kopachevsky, 1966), se aprecia que al sustraer (o anadir) una funcion

arbitraria del tiempo, µ, a la expresion aN −∆SN en la ecuacion (5.5), entonces δ2U

no se ve afectada:

86

σ∫S

[aN −∆SN − µ]Nd2r′ + σ∮Γ

[χ1 cos(θ)− χ2

sin(θ)N +

∂N

∂ν]N dr′ =

σ∫S

[aN −∆SN ]Nd2r′ + σ∮Γ

[χ1 cos(θ)− χ2

sin(θ)N +

∂N

∂ν]N dr′ − µ

∫S

N d2r′ =

σ∫S

[aN −∆SN ]Nd2r′ + σ∮Γ

[χ1 cos(θ)− χ2

sin(θ)N +

∂N

∂ν]N dr′ = δ2U

Por otra parte, si la funcion a(ξ1, ξ2, t) esta acotada por abajo, esto es, si para todo

punto (ξ1, ξ2) y en cualquier instante t, se tiene que µ ≤ a(ξ1, ξ2, t) en donde µ es algu-

na constante, entonces es facil ver que∫S

[µ N −∆SN ]N d2r′ ≤∫S

[aN −∆SN ]N d2r′.

De aquı que si la funcion de onda N ademas esta normalizada a la unidad, es decir

si∫S

N2 d2r′ = 1 y se verifica(n) la(s) condicion(es) de frontera en Γ dada(s) por:

χ1 cos(θ)− χ2

sin(θ)N +

∂N

∂ν= 0 si θ 6= 0;

N |Γ = 0 si θ = 0,

(5.6)

se concluye en consecuencia que en tal caso δ2U estarıa acotada por abajo, mas aun

se cumplirıa que δ2U ≥ σµ, y el mınimo valor de δ2U serıa alcanzado para el mınimo

valor de µ, esto es, para ınfµ : µ ≥ 0; δ2U ≥ σµ. Ahora bien, dado que, como

se indico mas arriba, debe cumplirse que δ2U ≥ 0 para que el sistema alcance el

equilibrio estable, entonces, si fuese el caso que aN − ∆SN − µ = µN , esto llevarıa

junto con (5.6) a que δ2U = σµ∫S

N2d2r′ = σµ, cantidad que evidentemente es mayor

o igual que cero. De suerte entonces que el analisis de la estabilidad del sistema, es

equivalente como lo senala Tyupsov (Tyupsov, 1966), a la solucion del problema de

autovalores y autofunciones definido por:

aN −∆SN − µ = µN

Puede anadirse aun mas a la presente discusion y decir que si se integra esta igualdad

sobre S, se obtiene:

∫S

[aN −∆SN ] d2r′ − µ∫S

d2r′ = µ∫S

N d2r′ = 0

De aquı se desprende entonces que:

µ =1

|S|∫S

[aN −∆SN ]d2r′

87

Ası pues, la funcion arbitraria del tiempo µ queda fijada por la condicion anterior, la

cual se deriva a su vez de la conservacion del volumen de fluido comprendido entre la

superficie desplazada y la superficie en su posicion de equilibrio, expresada, como se

indico antes, por medio de∫S

N d2r′ = 0. De suerte pues, que el problema a resolverse

serıa:

aN −∆SN − 1

|S|∫S

[aN −∆SN ]d2r′ = µN

Acompanado de la condicion de frontera (5.6). Semejante problema podrıa ser inter-

pretado, una vez mas, en terminos de un problema de autovalores para cierto operador

lineal B, el cual actuarıa sobre la funcion N . De otro lado, los posibles valores de µ

serıan interpretados como autovalores de dicho operador, de tal manera que la co-

ta inferior maxima del conjunto de tales autovalores corresponderıa al mınimo de la

segunda variacion de la energıa potencial del sistema.

Siguiendo este orden de ideas, apelando ademas a los espacios de Sobolev estudiados

en el capıtulo 3, se introducira entonces, de manera rigurosa, el operador lineal B

definiendo tambien de manera precisa, el espacio de funciones que corresponde a su

dominio:

Definicion 5.1.1. Sea B el operador lineal, cuyo dominio D(B) es el espacio D(B) :=

G0(S) ∩H(S) ∩H2(S); definido por:

Bu := σa(ξ1, ξ2)u−∆Su−1

|S|

∫

S

[a(ξ1, ξ2)u−∆Su] d2r′ (5.7)

En la anterior definicion, el espacio G0(S) es analogo al espacio G0(Ω) introducido en

la definicion 3.3.2 del capıtulo 3. El espacio H2(S), recuerde el lector, es el espacio

de Sobolev de las funciones con derivadas debiles de segundo orden, en S. El espacio

H(S) es la clausura, en la norma de H1(S), del espacio de las funciones suaves en S,

que son acotadas en las proximidades de la curva Γ.

Siguiendo la anterior definicion, se estudiaran ahora ciertas propiedades que satisface

el operador lineal B, tal como se hizo con A. Multiplıquese para ello la ecuacion (5.7)

por algun v ∈ D(B) e integrese sobre S la igualdad resultante. Se tendra entonces

que:

(Bu, v)L2(S) =∫S

σ[auv − v∆u] d2r − 1

|S|∫S

v d2r∫S

(au−∆u) d2r′

88

De igual manera, es cierto que:

(Bv, u)L2(S) =∫S

σ[auv − u∆v] d2r − 1

|S|∫S

u d2r∫S

(av −∆v) d2r′

Puesto que los elementos de D(B) son tales que vS :=1

|S|∫S

v d2r′ = 0, entonces los

segundos terminos en las anteriores igualdades son nulos. Restando aquellas, se llega

a:

(Bu, v)L2(S) − (Bv, u)L2(S) = σ

∫

S

[u∆v − v∆u] d2r (5.8)

Aplicando la identidad de Green∫S

[v∆u− u∆v] d2r′ =∮Γ

[v∂u

∂ν− u

∂v

∂ν] dr′, la cual es

valida para funciones de D(B), entonces:

(Bu, v)L2(S) − (Bv, u)L2(S) = σ

∮

Γ

[v∂u

∂ν− u

∂v

∂ν] dr′ (5.9)

Ahora bien, si resultase ser que a los elementos de D(B) se les impone la condicion

de frontera (5.6) entonces, el miembro derecho de la igualdad (5.9) serıa nulo, lle-

gando a la conclusion de que (Bu, v)L2(S) − (Bv, u)L2(S) = 0, o mejor (Bu, v)L2(S) =

(Bv, u)L2(S) = (u, Bv)L2(S). Dicho de otra forma:

Proposicion 5.1.2. Sean u, v ∈ D(B), verificando la condicion de frontera (5.6),

entonces, el operador lineal B es autoadjunto.

Si en la expresion para δ2U ocurre que N ∈ D(B) satisface la condicion de frontera

(5.6), resulta entonces claro que:

(BN,N)L2(S) = σ

∫

S

[aN −∆SN ]Nd2r′ = δ2U (5.10)

Ası pues, quedarıa plenamente justificado el planteamiento de asociar la energıa po-

tencial del fluido, o mejor su energıa potencial respecto a la posicion de equilibrio,

toda vez que δ2U es calculado de esta manera; con el operador B. Mas aun, dado

que se cumple que δ2U ≥ 0, de la igualdad (5.10) entonces (BN,N)L2(S) ≥ 0 y esto

significarıa que el operador lineal B es definido positivo.

Mediante el operador B, es posible introducir una norma equivalente a la del espacio

H2(S), para ello se utiliza el siguiente hecho:

89

Proposicion 5.1.3. (u, v)B := (Bu, v)L2(S) define un producto interno en D(B).

Demostracion. (i) Puesto que B es definido positivo se tiene que (u, u)B := (Bu, u)L2(S) ≥0, por tanto (u, u)B ≥ 0.

(ii) Si u = 0, evidentemente (u, u)B = 0. Por otro lado, si (u, u)B = 0, esto es

(Bu, u)L2(S) =∫S

uσ[au−∆u] d2r′ = 0, de aquı se observa que necesariamente uσ[au−∆u] = 0 puesto que S no es un conjunto de medida nula. Se supone que σ 6= 0.

Considerese en primer lugar el caso en que au−∆u = 0, por tanto Bu = 0 para todo

u. Como se demuestra en el trabajo de Kopachevsky (Kopachevsky, 1966)

c ‖ u ‖2H1(S)≤ (Bu, u)L2(S)

Para algun c > 0. De aquı por tanto, c ‖ u ‖2H1(S)≤ 0, pero esto implica que necesaria-

mente u = 0 en todo S. Suponiendo ahora que au−∆u 6= 0, ello implicarıa entonces

que u = 0 en todo S. En cualquier caso, se tiene que u = 0 en todo punto de S.

Esta condicion serıa interpretada, desde el punto de vista fısico, como que la superficie

del lıquido permanecerıa en todo instante en su posicion de equilibrio; lo cual no es

razonable especialmente si la configuracion del sistema es vertical, como serıa el caso

de una capa de fluido descendiendo sobre una pared vertical, o aun si la pared tuviese

cierta inclinacion respecto a la horizontal.

(iii) Sea β ∈ R un escalar cualquiera, entonces (βu, v)B = (B(βu), v)L2(S) =∫S

vσ[a(βu)−∆(βu)]d2r′ =

∫S

(βv)σ[au−∆u]d2r′ = β∫S

vσ[au−∆u]d2r′ = β(u, v)B.

(iv) Puesto que B es auto-adjunto, entonces (u, v)B = (Bu, v)L2(S) = (u, Bv)L2(S) =

(Bv, u)L2(S). De esta manera (u, v)B = (v, u)B.

(iv) Por ultimo, para todo u, v, w ∈ D(B) se cumple que (u + w, v)B = (B(u +

w), v)L2(S) =∫S

vσ[a(u+w)−∆(u+w)]d2r′ =∫S

vσ[au−∆u]d2r′+∫S

vσ[aw−∆w]d2r′ =

(u, v)B + (w, v)B.

Definicion 5.1.2. El complemento del espacio D(B) en la norma ‖ · ‖B se denomina

espacio de energıa, y se denota por HB.

Se concluye este apartado con el importante resultado:

Teorema 5.1.3. El operador inverso B−1 : HB −→ D(B) existe y es compacto.

90

Demostracion. Puesto que B es un operador lineal acotado, y como todo operador

lineal acotado en un espacio de Hilbert X (en general en un espacio normado) posee

un operador inverso B−1, tambien acotado, siempre que exista una constante b > 0

tal que ‖ Bx ‖≥ b ‖ x ‖ para todo x ∈ X; y, como esta condicion es satisfecha por el

operador B, entonces B−1 existe y es acotado. La compacidad de B−1 es demostrada

en (Mikhlin, 1952).

5.2. Ecuacion de evolucion

Volcando nuevamente la atencion sobre la ecuacion (4.2), en particular sobre la funcion

f(t) que allı aparece, es posible afirmar que ademas de ser una funcion arbitraria del

tiempo, esta puede interpretarse fısicamente como una modificacion o desviacion en

el valor de la presion del fluido respecto a su valor en estado de equilibrio. Por otro

lado, puesto que el operador B esta asociado con la segunda variacion de la energıa

potencial del fluido, y esta a su vez representa un cambio, en la direccion de la

normal a la superficie S, tanto de la distribucion de la presion en la interfaz lıquido

gas, como de la tension en la interfaz solido-lıquido; como se infiere al observar la

ecuacion para δU , es razonable entonces escoger la funcion f(t) de tal suerte que

BN := σ[a(ξ, η)N −∆N ]− f(t)], es decir:

f(t) :=1

|S|∫S

[a(ξ1, ξ2)N −∆SN ] d2r′

Maxime si se tiene en cuenta que, a proposito de la discusion que precede a la definicion

5.1.1, en donde se establecio que cualquier funcion arbitraria del tiempo queda fijada

por una expresion como la anterior, y que este hecho se desprende de la conservacion

del volumen de fluido contenido entre la superficie desplazada y su nivel de referencia;

entonces cobra pleno sentido tal escogencia.

Aprovechando las anteriores circunstancias, sera posible entonces escribir la ecuacion

(4.3), con ayuda del operador B, en la forma:

p′ − 1

|S|

∫

S

[a(ξ1, ξ2)N −∆SN ]d2r′ = BN (5.11)

Este es entonces el sentido de haber introducido el operador B, el de poder transformar

una ecuacion que involucra el campo de presiones, en una que comprometa a la funcion

N . El operador A servira ası mismo a un proposito similar. Para ello, empleando la

91

ecuacion (4.13), aplıquese a ambos lados de esta igualdad el operador A, se tendra

por tanto:

A(∂N

∂t− 2ν∆SN) = A

∂φ

∂ξ3= φ|S (5.12)

En donde la ultima igualdad corresponde a lo enunciado en la ecuacion (5.2). Derivan-

do esta expresion respecto al tiempo, teniendo presente que esta operacion conmuta

con la accion del operador A y que este no depende del tiempo, se obtiene:

∂

∂tA(∂N

∂t− 2ν∆SN) = A(

∂2N

∂t2− 2ν

∂

∂t∆SN) = ρ

∂

∂t(φ|S) =

∂φ

∂t

∣∣∣∣S

(5.13)

La ecuacion (4.2) evaluada en S, es por su parte:

ρ∂φ

∂t

∣∣∣∣S

+ p|S − ρΠ = f(t)

Substituyendo en esta igualdad la ecuacion (5.11) y, haciendo uso de la expresion

para∂φ

∂t

∣∣∣∣S

contenida en la ecuacion (5.13), entonces:

ρA(∂2N

∂t2− 2ν

∂

∂t∆SN) +

1

|S|∫S

[a(ξ1, ξ2)N −∆SN ] d2r′ + BN = f(t)

En donde ası mismo se ha tomado en cuenta que p′ = p|S − ρΠ. De aquı, por tanto:

ρA(∂2N

∂t2− 2ν

∂

∂t∆SN) + BN = 0 (5.14)

Como se puede ver, la ecuacion (5.14) es una ecuacion de evolucion para N , a la

que de otra forma no hubiese sido posible llegar sin la ayuda de los operadores A

y B introducidos en la seccion anterior, ya que ellos han permitido desacoplar las

ecuaciones (4.2), (4.3) y (4.13) para obtener esta unica expresion. Sin embargo, es de

interes separar las derivadas cruzadas respecto a la posicion y al tiempo que figuran

en el segundo termino del miembro izquierdo de esta iguadad. Para ello, se propone

ahora una solucion a la ecuacion anterior, de la forma:

N(ξ1, ξ2, t) = eωtψ(λξ1, λξ2, λt)

En donde λ << 1 es un parametro adimensional que puede pensarse como un cierto

factor de escala que determinara el orden de magnitud de los terminos que figuran a

continuacion.

92

Lo anterior sugiere la idea de que el parametro λ juega un papel analogo al de ε

en la seccion 2.0.2. De hecho, un uso adecuado del analisis dimensional permitirıa

relacionar este parametro con la amplitud de las ondas que se buscan describir, con

su longitud de onda o posiblemente con el espesor medio de la capa de fluido. En

todo caso, habrıa libertad para fijar esta variable y, por lo mismo, una variedad de

circunstancias en las cuales el modelo podrıa, en principio, ser aplicado.

Por ejemplo, si se define a λ como λ := l/λ, en donde l es alguna longitud caracterıstica

del sistema y λ representa la longitud de onda, se tendrıa un modelo, con λ << 1, que

describirıa el regimen de ‘ondas largas’ en un recipiente. El parametro λ establecerıa

ası, una escala de longitud en la cual se verificarıan ciertos comportamientos del

movimiento ondulatorio del sistema estudiado; mas aun, indicarıa las condiciones

experimentales en las cuales podrıa buscarse sustento al modelo teorico mismo.

Substituyendo en (5.14) la forma de la solucion propuesta, resulta entonces:

ρA[eωt(λ2∂2ψ

∂(λt)2+ 2ωλ

∂ψ

∂(λt)+ ω2ψ− 2νeωt(ωλ2∆Sψ + λ3

∂

∂(λt)∆Sψ)] + B(eωtψ) = 0

Si se retienen unicamente terminos a O(λ2) en esta igualdad y se dividen todas las

expresiones que allı figuran entre eωt, se obtiene:

ρA(ω2ψ + 2λω∂ψ

∂τ+ λ2

∂2ψ

∂τ 2− 2νωλ2∆sψ) + Bψ = 0

Siendo τ = λt; s = (s1, s2) = (λξ1, λξ2)

En este punto, conviene introducir un conjunto de parametros los cuales haran mas

evidente el caracter ondulatario de la anterior ecuacion. Ası pues, sean los parametros

α y β dados por α := ρc2(λ/ν) y β := ρc2λ2, en donde c2 := 2νω. Por lo que respecta a

las dimensiones de c2, se advierte que este parametro posee dimensiones de cuadrado

de velocidad, ası que especulando un poco, este podrıa ser identificado con el cuadrado

de la velocidad de propagacion de las ondas en la superficie del lıquido en cuestion.

Si esto fuese ası, conociendo la frecuencia de oscilacion ω y la viscosidad del fluido

ν, podrıa aventurarse a tratar de determinar el valor teorico de dicha velocidad de

propagacion. Por otra parte, si como se establecio en la seccion 2.0.2, el modelo tiene

validez para Re << 1, lo cual puede darse, entre otras cosas, para pequenos valores

de la velocidad del fluido, de acuerdo con la definicion del numero de Reynolds,

entonces se esperarıa que para una frecuencia dada de oscilacion, dicha velocidad de

93

propagacion sea pequena; lo cual tiene sentido en relacion con algunos de los supuestos

que permitieron linealizar las ecuaciones de movimiento en el capıtulo 2, entre ellos,

justamente el de asumir pequenas velocidades de movimiento del medio. Por ejemplo,

para ondas en una capa de agua, con una frecuencia de 5 Hz, se tendrıa, usando

ν ∼ 10−6 m2/s, una velocidad de propagacion de c ∼ 3,2 × 10−3 m/s, lo cual es

razonable como se dijo mas arriba.

Junto con los parametros antes introducidos, se define ası mismo el operador energıa

total, dado por Eψ := (ρω2A + B)ψ. De manera pues que la ecuacion (5.14) queda

reducida a la ecuacion de operadores:

A[α∂ψ

∂τ+ β(

1

c2∂2ψ

∂τ 2−∆sψ)] + Eψ = 0 (5.15)

Ecuacion que describe el regimen ondulatorio en una capa de fluido incompresible y

viscoso, bajo el efecto de la tension superficial y de un campo de fuerzas conservativo.

Al comparar esta igualdad con la tıpica ecuacion de onda, como la de una membrana,

por ejemplo:

1

c2∂2η

∂τ 2−∆η = 0,

resultan evidentes la similitud, como tambien las discrepancias, entre ambas. Obvian-

do la aparicion de los operadores A y E en (5.15), una de estas discrepancias entre

ambas ecuaciones, es la presencia del termino α∂ψ

∂τ, el cual podrıa decirse que respon-

de a los efectos viscosos, dado que el parametro que lo acompana es α := ρc2(λ/ν).

Ası pues, este termino darıa cuenta de los efectos disipativos debidos a la viscosidad

del fluido y que comprometerıan un posible amortiguamiento de las ondas en la su-

perficie libre de aquel. La otra diferencia, como es evidente, estriba en la aparicion de

los operadores lineales A y E en (5.15) como ya se indico.

Dadas las propiedades de A y B que fueron demostradas en la seccion 5.1, por ejemplo

el acotamiento de ambos, el caracter autoadjunto de los mismos y en particular la

compacidad de A, se espera, de acuerdo con el teorema de descomposicion espectral

para esta clase de operadores, (Kreyszig, 1989) que estos posean un espectro bien

definido y que ademas las soluciones converjan por ejemplo al aplicar algun metodo

aproximado de solucion tal como el de Rayleigh-Ritz.

94

Otra de las posibles ventajas de emplear estos operadores, es que en caso de que la

viscosidad del fluido sea extremadamente baja, al punto de que sus efectos puedan

ser ignorados sin incurrir en errores considerables, se podrıa analizar la estabilidad

del sistema, como se discutio antes de la definicion 5.1.1, al resolver la ecuacion de

autovalores dada por:

Bψ = µψ

Sujeta a la condicion de frontera (5.6). Adicional a lo anterior, dado que el dominio

de estos operadores lo constituyen espacios de funciones que poseen derivadas en

un sentido no convencional, el conjunto de soluciones admisibles a este problema

sera mucho mas amplio que si se consideraran unicamente funciones continuamente

diferencables a un orden determinado. Ello posibilite quizas la descripcion de una

nueva fenomenologıa que el empleo de las funciones usuales no permitirıa, o por lo

menos permita describir situaciones complejas con un buen grado de aproximacion,

como serıa el caso de la descripcion de ondas en un recipiente con una geometrıa

bastante irregular.

5.3. El modelo de Kopachevsky

Para finalizar, se mostrara en esta seccion un hecho bastante notable, a saber, que

el modelo aquı obtenido generaliza de cierta forma y contiene a su vez, al modelo de

Kopachevsky, el cual valga la pena decir, sirvio de brujula en este proceso.

En este orden de ideas, se describira muy brevemente dicho modelo, estableciendo

unicamente las ideas en las que se basa, para luego evidenciar, comparandolo con el

que aquı se ha obtenido, el hecho de que el nuestro generaliza a aquel.

La idea de Kopachevsky en su artıculo de 1966, (Kopachevsky, 1966), publicado en

el Journal of fluid dynamics, siguiendo un camino similar al expuesto en las secciones

4.1, 4.2 y 5.2 precedentes; fue la de estudiar las oscilaciones normales de un fluido ideal

e incompresible, contenido en un recipiente de superficie Σ, considerando igualmente

el efecto de la tension superficial y el de un campo de fuerzas conservativo.

Siguiendo estas ideas, procedio a establecer las condiciones dinamicas y la condicion

cinematica que prevalecen en la interfaz lıquido-gas, obteniendo las ecuaciones (4.2),

(4.3) y (4.13). Luego, continua formulando la condicion de conservacion del volumen

de fluido durante las oscilaciones, expresada en virtud de la ecuacion∫S

N d2r′ = 0,

95

a partir de lo cual define el espacio de Hilbert, designado por H, de las funciones

ortogonales en L2(S) a 1, esto es, H := u ∈ L2(S) : (u, 1)L2(S) = (1, u)L2(S) =∫S

u d2r′ = 0.

Usando la teorıa de los espacios de Sobolev, establece la formula de representacion

(5.1) y con ella introduce el operador A, con dominio el espacio H; estudiando luego

algunas de sus propiedades. A partir del trabajo deTyupsov, introduce ası mismo el

operador B, estudiando luego algunas de sus propiedades, de forma parecida a como

se hizo aquı. Con la ayuda de las ecuaciones (4.2), (4.3) y (4.13), y aprovechando

estos operadores, arriba en esta empresa a la ecuacion:

A∂2N

∂t2+ BN = 0 (5.16)

Ecuacion que resulta similar a la de un oscilador armonico simple. Ahora bien, si se

compara con la ecuacion (5.14), salta a la vista el hecho de que en el lımite en el que

el fluido se considera inviscido, esto es cuando ν → 0, en la ecuacion mencionada, se

obtiene (5.16). Ası pues, en este sentido es que se afirma que el modelo de Kopachevsky

esta contenido en el nuestro.

Mas aun, Kopachevsy propone una solucion a (5.16), de la forma N(ξ1, ξ2, t) =

exp(iωt)u(ξ1, ξ2), por lo que esta ecuacion se transforma en:

(−ω2Au+ Bu) exp(iωt) = 0

O de otra forma:

Au = Bω−2u

Como se demostro en el teorema 5.1.3, el inverso del operador B, esto es B−1, existe

y es acotado, por lo que pre-multiplicando a ambos lados de la anterior igualdad por

este operador, se tiene que:

B−1Au = B−1Bω−2u = ω−2u

Dado que, como demuestra Mikhlin (Mikhlin, 1952), el operador B−1 es ademas

compacto y, puesto que el producto de un operador compacto con uno acotado en

un espacio de Hilbert; tales como B−1 y A respectivamente, es a su vez un operador

compacto y acotado, se sigue entonces que el operador C := B−1A goza tambien de

esta propiedad.

96

Ademas de lo anterior, el operador C es autoadjunto. En efecto, por definicion se

tiene que:

(Cu, v)B = (BB−1Au, v)L2(S) = (Au, v)L2(S) = (u, Av)L2(S) = (u, BB−1Av)L2(S) =

(u, BCv)L2(S) = (u, Cv)B

En consecuencia, C es auto-adjunto.

Ası pues, Kopachevsky reduce el problema de las oscilaciones normales de un fluido

ideal e incompresible, a un problema de autovalores y autofunciones sobre un espacio

de Hilbert; de la forma:

Cu = ω−2u (5.17)

97

Capıtulo 6

Conclusiones

Del trabajo realizado, es posible concluir varios aspectos importantes, entre ellos:

Los calculos conducentes a determinar las condiciones dinamicas que prevale-

cen en la superficie de separacion entre dos fluidos, fueron realizados con todo

rigor, partiendo de los fundamentos teoricos de la mecanica del medio continuo;

culminando con las ecuaciones (1.12), (1.13) y (1.14).

Se considera por un lado que este hecho representa una contribucion a la solucion

de problemas de frontera libre en mecanica de fluidos (Friedman, 1982), toda vez

que la especificacion de semejantes condiciones es uno de los ejes centrales de los

modelos teoricos relacionados con fenomenos ondulatorios en fluidos (Johnson,

1997).

Por otro lado, tal especificidad en el desarrollo de dichas ecuaciones, permitio

resolver la controversia mencionada en la introduccion, acerca de las condiciones

que describen de manera correcta el balance normal y tangencial de esfuerzos en

la interfaz de un lıquido que desciende sobre una pared por efecto de la gravedad.

En efecto, el marco general que condujo a las ecuaciones (1.12), (1.13) y (1.14),

en particular muestra que las ecuaciones (A.4) y (A.5) del apendice A, son las

correctas, y no las que propone Shkadov en su artıculo (Shkadov, 1967), dando

con ello la razon a Penev et al. (Penev et al., 1972), resolviendo la controversia

en su favor.

Por esta misma razon, puede decirse que otro de los aportes hechos en este

trabajo, es el de ofrecer una correccion al modelo de ondas no lineales propuesto

por Shkadov y Kapitza, lo cual es realizado en el apendice A, donde se comparan

las ecuaciones aquı obtenidas con las de dichos autores, particularmente en lo

que respecta a las ecuaciones (A.4) y (A.5) antes mencionadas, ası como a la

ecuacion (A.18).

98

Dada la necesidad de linealizar las ecuaciones de Navier-Stokes para posibilitar

el uso del aparato matematico del analisis funcional lineal al problema aquı

abordado, se destaca como otro merito alcanzado en la presente monografıa,

el hecho de haber construido una escala apropiada al problema, ganando con

ello una imagen mas intuitiva del fenomeno fısico de las ondas en un fluido

viscoso, sometido a la accion de la tension superficial y de un campo de fuerzas

conservativo.

En particular, se obtuvo el regimen bajo el cual es valida dicha linealizacion,

concluyendo que este viene determinado por un par de parametros adimensio-

nales, el numero de Reynolds Re, y el numero de Weber We, definidos en la

seccion 2.0.1. Allı se determino que el orden de magnitud de estos parametros

debe ser Re = O(ε) y We = O(ε−4), respectivamente, siendo a su vez ε << 1

un parametro de orden que puede definirse como el cociente entre el espesor

medio de la capa de fluido y alguna longitud relevante al problema, por ejemplo

la longitud de las ondas o su amplitud.

Esto ultimo se traduce, como se indica en la seccion 2.0.2 y en contraste con

el modelo del apendice A, en que Re << 1, lo cual significa que los efectos

viscosos son dominantes frente a los terminos inerciales (no lineales) en las

ecuaciones de Navier-Stokes, y ası el modelo podrıa describir una variedad de

circunstancias, entre ellas, una dinamica ondulatoria en la que el medio posee

una baja velocidad, se encuentra sometido a una alta tension superficial, dado

que de la anterior condicion se desprende tambien que We >> Re >> 1; ası

como un movimiento de la superficie libre del lıquido con pequenas oscilaciones

de dicha superficie, respecto al nivel de referencia.

Puesto que uno de los objetivos de la monografıa, era el de hacer uso y apropia-

cion de algunos elementos de la teorıa de los espacios de Sobolev, y en general del

analisis funcional, como estrategia metodologica que condujera a obtener una

formulacion alternativa del problema de la propagacion de ondas en la superficie

de un fluido viscoso; puede decirse que este fue logrado con exito.

Concretamente, esta afirmacion encuentra sustento en las demostraciones ori-

ginales que se ofrecieron a varios teoremas cruciales a lo largo del escrito, entre

ellos: el teorema de las trazas 3.1.2, el teorema de representacion de Riesz 3.2.1,

el teorema de descomposicion de Helmholtz-Weyl 3.3.3 y la demostracion de la

compacidad del operador lineal G que da la solucion, en el espacio de Sobolev

99

H1(Ω), a la ecuacion de Laplace con condicion de frontera de tipo Neumann y

que se expone en el apendice B.

Esto entrana un merito adicional, logrado durante el desarrollo del presente

trabajo, toda vez que los elementos necesarios para realizar dichas demostracio-

nes, y en general los elementos introducidos a lo largo del capıtulo 3, exceden

en grado sumo a los conocimientos adquiridos en el proceso de formacion del

licenciado en fısica de la Universidad Distrital F. J. C.

Se dio cumplimiento al objetivo principal trazado para esta monografıa, el de

obtener una formulacion teorica alternativa del problema del movimiento ondu-

latorio en una capa de fluido viscoso, sujeto a los efectos de la tension superficial;

hallandose el sistema en el seno de un campo de fuerzas conservativo.

Cabe enfatizar, en relacion con los otros objetivos alcanzados, que para el mode-

lo aquı obtenido fueron establecidas las circunstancias y condiciones de validez

del mismo, mostrando claramente en que casos podrıa aplicarse, esto es, para

pequenos desplazamientos de la superficie libre del lıquido, cuando el medio

posee una baja velocidad, y esta sometido a una alta tension superficial.

De igual manera, el problema fue formulado mostrando que el mismo se reduce

a una ecuacion de operadores lineales sobre espacios de Hilbert, concretamente

la ecuacion (5.15), la cual exhibe la forma de una ecuacion de ondas con un

termino de amortiguamiento que responde, como se indico al final de la seccion

5.2., a los efectos disipativos asociados con la viscosidad del fluido.

Para los operadores lineales A y E de la ecuacion (5.15), se dio la construccion

detallada de los espacios de Hilbert sobre los cuales estos actuan, mostrando su

relacion con el aparato matematico desarrollado en el capıtulo 3.

Mas importante aun, se establecio el contenido fısico presente en la definicion

de dichos operadores, mostrando en particular a traves de la proposicion 5.1.1

y de la discusion que precede a la definicion 5.1.1, que el operador lineal A

esta asociado con la energıa cinetica del fluido y que a su vez, el operador

lineal B guarda una estrecha relacion con la energıa potencial del lıquido; lo

cual refleja reminiscencias de ciertos operadores lineales usados en mecanica

cuantica (De La Pena, 2014).

En condiciones de muy baja viscosidad, como se discutio al final de la seccion 5.2,

es importante resaltar que la estabilidad del sistema estudiado en este trabajo,

podrıa investigarse a partir de un problema de autovalores para el operador B,

100

expresado en virtud de la ecuacion Bψ = µψ, en donde los posibles valores

de µ representan a los autovalores de B. La cota inferior maxima del conjunto

de tales autovalores, corresponderıa al mınimo valor de la energıa potencial del

fluido respecto a su configuracion de equilibrio. Esto significa, de acuerdo al

principio de estabilidad de los sistemas mecanicos, que el fluido estarıa en una

situacion de equilibrio estable.

Dentro de las perspectivas enmarcadas por los posteriores desarrollos y exten-

siones que pudieran hacerse al presente trabajo, se destaca la eventualidad de

describir otras posibles fenomenologıas relacionadas con procesos anomalos pre-

sentes en la propagacion de ondas en medios complejos.

La razon de ello es que, como se ha descubierto hace algunos anos, la propagacion

de ondas acusticas en medios complejos, comunmente se encuentra acompanada

de fenomenos de atenuacion que responden a una ley potencial de frecuencias

(Nasholm y Holm, 2013). Una alternativa para modelar estos fenomenos ha

sido la de emplear operadores lineales pseudodiferenciales que comprometen

otro tipo de derivadas conocidas como derivadas fraccionarias, ver por ejemplo

las referencias (Holm y Nasholm, 2011) y (Nasholm y Holm, 2011).

Ası pues, las derivadas debiles y los espacios de Sobolev introducidos en el

capıtulo 3, y que fueron utilizados para definir el dominio de los operadores li-

neales A y B, quizas permitan modelar fenomenos similares a estos. Inclusive, y

para no ir tan lejos, podrıa emplearse el modelo aquı obtenido para buscar solu-

ciones, con un grado menor de regularidad, al problema definido por la ecuacion

(5.15). Otra posibilidad serıa la de considerar el mismo problema pero definido

sobre un dominio irregular del espacio Ω, cuya frontera no sea regular, es decir,

una frontera que ya no sea posible ser descrita localmente por la grafica de una

funcion continuamente diferenciable, sino por una funcion Lipschitz continua,

en los terminos de la definicion 3.1.8 del capıtulo 3 (Ding, 1996).

Finalmente, se destaca como un hecho notable la observacion hecha en la sec-

cion 5.3, de que el modelo construido en esta monografıa contiene como caso

particular al modelo de Kopachevsky (Kopachevsky, 1966), el cual describe las

pequenas oscilaciones de un lıquido ideal e incompresible, considerando los efec-

tos de la tension superficial; cuando la viscocidad ν se hace nula en la ecuacion

(5.14).

101

Apendices

102

Apendice A

El modelo de Shkadov-Kapitza

A.1. Formulacion del problema

El modelo de Shkadov-Kapitza busca describir el flujo ondulatorio de una pelıcula

delgada de un lıquido que desciende sobre una pared solida por efecto de la gravedad.

Para fijar ideas se escogera un sistema de referencia cartesiano en el que el eje x esta

dirigido a lo largo de la pared y el eje y esta dirigido hacia el lıquido, tal y como se

ilustra en la figura A.1, a continuacion.

Figura A.1: Una capa de fluido que desciende sobre una pared por accion de la gravedad.

Se asume igualmente cierta simetrıa a lo largo de la direccion perpendicular al plano

de la figura, de modo que se puede considerar el problema como bidimensional. El

fluido en cuestion se considera incompresible y viscoso, estando en contacto con aire

o con otro fluido newtoniano, de viscosidad despreciable y presion constante p0. El

103

campo de fuerzas externo en este caso corresponde al gravitacional y se asumira que

apunta en la direccion del eje x del sistema de referencia adoptado.

Ası las cosas, las ecuaciones de Navier-Stokes (con u = (u, v, 0)) que describen el

movimiento del fluido como se dijo en la introduccion del capıtulo 1, adoptaran la

siguiente forma:

∂u

∂t+ u

∂u

∂x+ v

∂u

∂y= −1

ρ

∂p

∂x+ ν (

∂2

∂x2+

∂2

∂y2)u+ g (A.1)

∂v

∂t+ u

∂v

∂x+ v

∂v

∂y= −1

ρ

∂p

∂y+ ν (

∂2

∂x2+

∂2

∂y2)v (A.2)

Y la ecuacion de continuidad, para un fluido incompresible sera:

∂u

∂x+∂v

∂y= 0 (A.3)

Siendo respectivamente, u, v las componentes del campo de velocidades, en la direc-

cion del flujo y perpendicular a este; g representa la aceleracion gravitacional, ρ la

densidad del lıquido, ν su viscosidad cinematica y p la distribucion de la presion en

el mismo. Se asume igualmente que la pared es isotermica y que no se presentan

gradientes de temperatura en la interfaz lıquido-gas. Tampoco se considerara el flujo

de calor ocasionado por el rozamiento interno del fluido. La condicion termodinamica

sera, pues, T = constante, con T la temperatura del fluido.

A.2. Condiciones de frontera dinamicas y cinemati-

cas

Siguiendo las mismas ideas que en el capıtulo 1, se continua formulando las condiciones

de frontera cinematicas y dinamicas del modelo de Shkadov-Kapitza. En la situacion

planteada, las componentes del tensor de esfuerzos del lıquido son:

Txx = −p+ 2µ∂u

∂x; Txy = Tyx = µ(

∂u

∂y+∂v

∂x); Tyy = −p+ 2µ

∂v

∂y

Y las componentes del tensor de esfuerzos para el gas seran:

Txx = −p0; Txy = Tyx = 0; Tyy = −p0

Ası mismo, se definen los vectores unitarios, normal a la interfaz lıquido-gas N1, y

tangencial a dicha superficie t , como:

104

N1 := (1 + b2)−1/2(−b, 1); t := (1 + b2)−1/2(1, b)

En donde b =∂h(x, t)

∂x, siendo y = h(x, t) el espesor de la capa de fluido en cada

punto de la superficie, en el instante t.

Utilizando estas definiciones se tiene, de manera similar a como se hizo en la seccion

1.2.1, que:

N1 · [T− T] ·N1 = −p+p0+µ−(1 + b2)−1/2b[−2(1 + b2)−1/2b∂u

∂x+(1 + b2)−1/2(

∂u

∂y+

∂v

∂x)] + (1 + b2)−1/2[−(1 + b2)−1/2b(

∂u

∂y+∂v

∂x) + 2(1 + b2)−1/2∂v

∂y] =

σ

R

En donde:

1

R:= ∇ ·N1 =

1

(1 + b2)3/2∂b

∂x

Corresponde a la curvatura media de la superficie.

Simplificando un poco el lado izquierdo de la ultima igualdad se llega a:

−p+ p0 +µ

1 + b22b2∂u

∂x− b(

∂u

∂y+∂v

∂x)− b(

∂u

∂y+∂v

∂x) + 2

∂v

∂y =

σ

R

Por la condicion de continuidad, es valido que∂u

∂x= −∂v

∂y, de manera que lo anterior

se convierte, luego de mas simplificaciones algebraicas en:

−p+ p0 +2µ

1 + b2(1− b2)

∂v

∂y− b(

∂u

∂y+∂v

∂x) =

σ

R

Reorganizando esta ultima igualdad se obtiene entonces que:

p+σ

R+

2µb

1 + b2(∂u

∂y+∂v

∂x)− 2µ(1− b2)

1 + b2∂v

∂y= p0 (A.4)

Por otro lado, el balance tangencial de esfuerzos adopta la forma:

N1 · [T− T] · t = µ(1 + b2)−1/2[−2(1 + b2)−1/2b∂u

∂x+ (1 + b2)−1/2(

∂u

∂y+∂v

∂x)] +

(1 + b2)−1/2b[−(1 + b2)−1/2b(∂u

∂y+∂v

∂x) + 2(1 + b2)−1/2∂v

∂y] = 0

En donde el lado derecho se ha igualado a cero puesto que se asume que la tension

superficial es constante. Simplificando terminos:

105

µ

1 + b2−2b

∂u

∂x+ (

∂u

∂y+∂v

∂x)− b2(

∂u

∂y+∂v

∂x) + 2b

∂v

∂y = 0

O finalmente al reorganizar un poco mas:

∂u

∂y+∂v

∂x+

2b

1− b2(∂v

∂y− ∂u

∂x) = 0 (A.5)

Es de resaltar que las condiciones (A.4) y (A.5) contrastan con las planteadas en el

trabajo de Shkadov, pues en efecto las correspondientes condiciones en su artıculo

son:

p+σ

R− µb(

∂u

∂y+∂v

∂x)− 2µ

∂v

∂y= p0; y

∂u

∂y+∂v

∂x+

2b

1− b2(∂u

∂x− ∂v

∂y) = 0

Tal discrepancia ha sido senalada por Krylov et. al (Penev et al., 1972) quienes de

hecho proponen las mismas condiciones aquı obtenidas.

El origen de semejantes diferencias puede estar relacionado con la desprolijidad con

la que Shkadov introduce estas expresiones en su artıculo, toda vez que en el mismo

no hay indicios de la manera en que dicho autor llega a tales resultados.

Por otra parte, en este trabajo se ha procurado obtener con todo detalle las ecuaciones

(A.4) y (A.5), que al decir de Pevev et al. son las correctas, como se menciono mas

arriba; partiendo de los fundamentos teoricos de la mecanica del medio continuo.

Ademas de ello, el resultado ha sido generalizado en el capıtulo 1, hecho que se

ve reflejado en la forma de las ecuaciones (1.12), (1.13) y (1.14); al caso en que

la superficie es tridimensional y el sistema no necesariamente esta descrito por un

sistema coordenado cartesiano. De hecho, dada su generalidad, dichas ecuaciones

podrıan describir otro tipo de configuraciones, como por ejemplo una situacion en la

cual la pared sobre la que resbala el fluido posea cierto grado de inclinacion respecto

a la horizontal, y el flujo se de en una region acotada del espacio.

De esta manera, puede decirse que no solo se han reproducido los resultados de otros

autores, sino que tambien se ha resuelto una controversia acerca del particular, dando

la razon a Penev et al., en relacion a la validez de las ecuaciones que expresan las

condiciones dinamicas que prevalecen en la superficie de separacion de dos fluidos.

106

A.2.1. Condicion cinematica en la interfaz

Se considera ahora la condicion cinematica que se verifica en la interfaz. En este orden

de ideas, aplicando el mismo razonamiento que en la seccion 1.2.2 del capıtulo 1., se

obtiene:

∂h

∂t+ u‖ · ∇h = un

En donde u‖ = (u, 0) es la componente del campo de velocidades paralela a la super-

ficie. Por otra parte, un = v es la componente, normal a la superficie, del campo de

velocidades.

Ahora bien, es sabido que en problemas bidimensionales como el estudiado aquı, es

posible hallar las componentes del campo de velocidades u y v a partir de cierta

funcion conocida como la funcion corriente (Kundu et al., 2008), la cual, para la

situacion abordada aquı, viene a ser igual al flujo volumetrico o caudal (por unidad

de profundidad en el eje z) que se designara por Q. Con ayuda de dicha funcion, se

tiene que u‖ = (∂Q

∂y, 0) y que un = −∂Q

∂x. A partir de esto ultimo, se llega finalmente

a la condicion cinematica:

∂h

∂t+∂Q

∂y

∂h

∂x+∂Q

∂x= 0 (A.6)

Y a la condicion que expresa el hecho de que la superficie estudiada consiste de lıneas

de corriente:

Q =

∫ h

0

udy (A.7)

Ecuacion que es obtenida integrando la igualdad u =∂Q

∂y, sobre la capa de fluido, es

decir, entre y = 0 e y = h(x, t).

A.3. Ecuaciones de la capa Lımite a primer orden

A.3.1. Adimensionalizacion de las ecuaciones de movimiento

El procedimiento seguido en el capıtulo 2 para estimar la contribucion de ciertos

terminos en la ecuaciones de movimiento, ası como en las condiciones cinematicas y

de frontera, sera usado en esta seccion.

107

Las ecuaciones ası obtenidas guardan cierta relacion con las ecuaciones de la capa

lımite de Prandtl, en el sentido de que al igual que en dicho modelo, aquı se presenta

una pequena region de flujo en la cual los efectos de la viscosidad son considerables,

ponderandose los efectos inerciales frente a los efectos viscosos, ası como frente a los

gradientes de presion en la direccion perpendicular a la corriente; con el resultado de

que al poder concluir que estos ultimos dominan sobre los efectos inerciales, es posible

integrar la componente perpendicular a la corriente, de la ecuacion de momentum y

de esta forma hallar la distribucion de presiones la cual sera reemplazada luego en la

componente x de la ecuacion de momentum.

Sin embargo, en el caso de una capa de fluido resbalando sobre una pared solida por

efecto de la gravedad, no se considera una region externa de flujo que modifique el

campo de presiones a lo largo de la capa, el cual estarıa relacionado a su vez con

el campo de velocidades externo, en el caso de la teorıa de Prandtl, en virtud de la

ecuacion de Bernoulli aplicada en dicha region. Antes bien, el campo de presiones en

este caso es modificado por la tension superficial ası como por la carga hidrostatica.

Con esto en mente, se procedera a adimensionalizar las ecuaciones (A.1) a (A.7), cons-

truyendo, como se hizo en la seccion 2.0.1 del capıtulo 2, una escala apropiada. Dicha

escala se constituye a partir de una consideracion intuitiva del fenomeno, a saber:

que la aceleracion gravitacional g, es causante del flujo, mientras que la viscosidad

cinematica ν es responsable de la resistencia a este. El balance entre estas dos fuerzas

produce un tipo de solucion del problema en el que la interfaz es plana, de espesor

hN , conocida como solucion de Nusselt (Kalliadasis, Ruyer-Quil, Scheid, y Velarde,

2011).

Si se piensa en el modelo que se busca desarrollar como una ligera modificacion a la

solucion de Nusselt, tiene entonces sentido construir una escala a partir de g y ν.

En virtud del analisis dimensional, se observa por otra parte que:

[g] =lνtν

2; [ν] =

lν2

tν

En donde lν y tν corresponden a las escalas de longitud y tiempo, respectivamente,

y que se dan en terminos de la aceleracion gravitacional g ası como de la viscocidad

cinematica ν, tal como se puede comprobar despejandolas en las anteriores relaciones

dimensionales. Ası pues, dichas escalas de longitud y tiempo vendran determinadas

respectivamente por:

108

lν = (ν2

g)1/3; tν = (

ν

g2)1/3

Podrıa pensarse entonces en una adimencionalizacion de las variables comprometidas

en terminos de esta escala, es decir podrian efectuarse las siguientes transformaciones:

(x, y) → lν(x?, y?); t→ tνt

?; (u, v) → lνtν(u?, v?); etc.

En donde x?, y?, t?, u?, v?, etc., representan las versiones adimensionalizadas de x, y,

t, u, v, etc., respectivamente.

Sin embargo, como lo senala Kalliadiasis en su monografıa (Kalliadasis et al., 2011),

dicha escala resulta conveniente desde el punto de vista experimental, puesto que fija-

do un sistema gas-lıquido-solido, todos lo grupos adimensionales comprometidos, salvo

el numero de Reynolds que depende de hN ; parametro que a su vez esta relacionado

con la razon de flujo, quedan tambien fijados. De esta manera, en los experimentos

bastara con cambiar la razon de flujo para estudiar el cambio en el espesor de la capa

de fluido.

Las observaciones antes hechas no obstante, sugieren una forma de proceder que

resulta util, como se vera mas adelante, desde el punto de vista teorico: introducir en

la escala el espesor de la capa en la solucion de Nusselt hN , empleando ası dos escalas

de longitud, hN y lν , en las transformaciones que se proponen a continuacion:

(x, y) → hN(x?, y?); h→ hNh

?; t→ (tνlν/hN)t?; (u, v) → (h2N/lνtν)(u

?, v?); p→p0 + (ρlνhN/t

2ν)p

∗; Q→ (h3N/tνlν)Q∗

Se definen a partir de esta escala dos parametros adimensionales de vital importancia

en el modelo, a saber:

El numero de Reynolds

Re =gh3N3ν2

Y el numero de Weber

We =σ

ρgh2N

Bajo estas transformaciones por ejemplo, se observa que:

109

∂u

∂t=

h3N(tνlν)2

∂u?

∂t?;∂u

∂x=

hNtνlν

∂u?

∂x?;∂u

∂y=

hNtνlν

∂u?

∂y?

∂2u

∂x2=

1

tνlν

∂2u?

∂x?2;∂2u

∂y2=

1

tνlν

∂2u?

∂y?2;∂p

∂x=ρlνt2ν

∂p?

∂x?

Reemplazando estas expresiones y terminos semejantes en las ecuaciones de Navier-

Stokes (A.1) y (A.2), ası como en la ecuacion de continuidad (A.3) y luego de algunos

pasos algebraicos se llega al sistema de ecuaciones adimensionalizadas:

3Re[∂u?

∂t?+ u?

∂u?

∂x?+ v?

∂u?

∂y?] = −∂p

?

∂x?+∂2u?

∂x?2+∂2u?

∂y?2+ 1 (A.8)

3Re[∂v?

∂t?+ u?

∂v?

∂x?+ v?

∂v?

∂y?] = −∂p

?

∂y?+∂2v?

∂x?2+∂2v?

∂y?2(A.9)

∂u?

∂x?+∂v?

∂y?= 0 (A.10)

A.3.2. Adimensionalizacion de las condiciones Dinamicas, Ci-

nematicas y de Frontera

El mismo proceso de adimensionalizacion puede llevarse a cabo sobre las condiciones

(A.4) y (A.5) pero antes se escribiran estas ecuaciones en una forma mas conveniente.

En el caso de (A.5), a partir de la condicion de continuidad∂v

∂y= −∂u

∂xse deduce

que:

∂u

∂y+∂v

∂x= − 4b

1− b2∂v

∂y

Al reemplazar esto ultimo en (A.4) entonces:

p+σ

R− 2µ

1 + b2

1− b2∂v

∂y= p0

La version adimensionalizada de (A.5) es, teniendo presente que b es adimensional,

similar a su contraparte dimensional:

∂u?

∂y?+∂v?

∂x?= − 4b

1− b2∂v?

∂y?(A.11)

Por otro lado, efectuando el cambio 1/R → 1/hNR? en (A.4), dado que 1/R tiene

dimensiones de inverso de longitud, entonces:

p0 + (ρlνhN/t2ν)p

∗ + (σ/hN)(1/R?) + 2ρν

1 + b2

1− b2hNtνlν

∂u?

∂x?= p0

110

Restando p0 a ambos lados de la igualdad, dividiendo en seguida cada uno de los

terminos de la igualdad resultante entre (ρlνhN/t2ν), y luego de algunos pasos alge-

braicos, recordando ademas las definiciones de lν y tν , se obtiene:

p∗ + (σ/ρgh2N)(1/R?)− 2

1 + b2

1− b2∂v?

∂y?= 0

Pero recordando que tambien We = σ/ρgh2N ; entonces:

p∗ +We1

R?− 2

1 + b2

1− b2∂v?

∂y?= 0 (A.12)

La adimensionalizacion de (A.6) y de la condicion de no deslizamiento en la pared,

no ofrecen mayor dificultad, de modo que se escribiran directamente:

∂h?

∂t?+∂Q?

∂y?∂h?

∂x?= −∂Q

?

∂x?(A.13)

u?|y?=0 = 0; v?|y?=0 = 0 (A.14)

A.3.3. Estimacion de los terminos en las ecuaciones de mo-

vimiento

Con la forma adimensionalizada de las ecuaciones, se pasara ahora a realizar los

estimados siguiendo un criterio similar al de la seccion 2.0.2 del capıtulo 2:

1) Se introduce un parametro de orden ε, indefinido al principio, que permita estable-

cer el orden de magnitud de los diversos terminos que aparecen en las ecuaciones de

movimiento y condiciones de frontera, de modo que se puedan descartar unos frente

a otros.

2) Dichos estimados se realizan luego en terminos de las potencias de ε que aparezcan

junto a las variables pertinentes al problema. Vale decir que se obtendra aquı el

modelo aprimer orden en ε, el cual historicamente fue desarrollado primeramente por

Kapitza, siendo posteriormente ampliado por Shkadov.

Como antes, el parametro ε es introducido mediante la transformacion:

(∂t, ∂x) → ε(∂t, ∂x); ∂xx → ε2∂xx

111

Intuitivamente se puede justificar esta transformacion en la hipotesis (confirmada

por los experimentos de Kapitza (P. L. Kapitza y Kapitza, 1949)) de que en cierto

regimen, el movimiento de la capa de fluido presenta un comportamiento de ondas

largas, es decir, su movimiento consite de ondas, de longitud λ, mucho mayor que

el espesor en estado plano de la capa, hN ; de modo que al parametro ε de alguna

manera se le puede asociar un orden de magnitud ε ≈ hN/λ << 1; y de esta manera

las pequenas modulaciones espacio-temporales de la solucion de Nusselt quedan ası

representadas.

Efectuando esta transformacion en la ecuacion de continuidad (A.10) entonces:

ε∂u?

∂x?+∂v?

∂y?= 0

De aquı se puede ver que v? es de orden O(ε); de manera que es justificable realizar

la tranformacion v? → εv?, y ası la ecuacion de continuadad seguirıa satisfaciendose.

Realizando ahora la transformacion en (A.8) y (A.9):

3Reε[∂u?

∂t?+ u?

∂u?

∂x?+ v?

∂u?

∂y?] = −ε∂p

?

∂x?+ ε2

∂2u?

∂x?2+∂2u?

∂y?2+ 1

3Reε2[∂v?

∂t?+ u?

∂v?

∂x?+ v?

∂v?

∂y?] = −∂p

?

∂y?+ ε3

∂2v?

∂x?2+ ε

∂2v?

∂y?2

Reteniendo unicamente terminos a O(ε) en la segunda igualdad, se observa que es

posible integrar directamente desde un punto arbitrario y en la capa de fluido, hasta

un punto y = h en la interfaz:

∫ h

y∂yp

?dy = ε∫ h

y∂yyv

?dy

p?|h − p? = ε(∂yv?|h − ∂yv

?)

Utilizando la condicion en la interfaz (A.12) se tiene que:

−We1

R?+ 2

1 + ε2b2

1− ε2b2ε∂v?

∂y?|h − p? = ε(∂yv

?|h − ∂yv?)

En donde se ha hecho el cambio b → εb puesto que b = ∂h?/∂x?. Despejando p? en

la anterior expresion:

p? = −We1

R?− ε(∂yv

?|h − ∂yv?) + 2

1 + ε2b2

1− ε2b2ε∂y?v

?|h

112

Ahora bien, expandiendo el factor1 + ε2b2

1− ε2b2en potencias de ε, alrededor de ε = 0,

tenemos que1 + ε2b2

1− ε2b2= 1 +O(ε2)

Por otra parte, 1/R? = ε2(∂b/∂x?)/(1 + ε2b2)3/2 y al expandir 1/(1 + ε2b2)3/2 en

potencias de ε, tambien alrededor de ε = 0, se concluye que 1/(1+ε2b2)3/2 = 1+O(ε2);

ası pues 1/R? = ε2∂x?x?h? +O(ε4).

Con estos estimados el campo de presiones pasa a ser:

p? = −We ε2∂x?x?h? − ε(∂yv?|h − ∂yv

?) + 2ε∂y?v?|h +O(ε3)

O reduciendo terminos semejantes:

p? = −We ε2∂x?x?h? + ε(∂yv?|h + ∂yv

?) +O(ε3)

Sustituyendo esta expresion para p? en (A.8) lo siguiente se verifica:

3Re ε[∂u?

∂t?+ u?

∂u?

∂x?+ v?

∂u?

∂y?] = ε3We

∂3h?

∂x?3+ ε2

∂2u?

∂x?2+∂2u?

∂y?2+ 1 +O(ε4)

Y nuevamente, reteniendo en esta ultima igualdad terminos a O(ε), finalmente:

3Re ε[∂u?

∂t?+ u?

∂u?

∂x?+ v?

∂u?

∂y?] = ε3We

∂3h?

∂x?3+∂2u?

∂y?2+ 1 (A.15)

Esta ecuacion, junto con las condiciones de frontera (A.14), la condicion cinematica

(A.13) y el balance tangencial de esfuerzos (A.11), el cual a proposito se reduce,

realizando un analisis similar a aquel realizado para obtener (A.15), a la forma:

∂u?

∂y?|h = 0 (A.16)

Constituye el modelo a O(ε) de la capa lımite . A partir de (A.15) se puede inferir los

ordenes de magnitud para los parametros adimensionales We y Re, encontrando que

si se quiere un modelo consistente a O(ε), es decir un modelo en el que se desprecian

terminos O(ε2) y superiores, entonces We = O(ε−3) a lo sumo. Otros posibles valores

son We = O(ε−2), We = O(ε−3/2). En todo caso, puesto que ε << 1 de lo anterior se

deduce que We debe ser relativamente grande. Esto implica a su vez que el modelo

sera valido en condiciones de alta tension superficial.

En este orden de ideas, tambien Re = O(ε−1), a lo sumo, de donde Re << We lo cual

permite despreciar los terminos inerciales frente a los efectos de la tension superficial

y se conluye ası que el modelo es valido para valores moderados de Re, como por

ejemplo Re = 10 en el caso de un espesor de 0.1 mm de la capa y una longitud de

onda de 1 mm.

113

A.4. El metodo de los residuos Nulos

Antes de comenzar, conviene aclarar que no se hara una discusion general de este

metodo, el lector interesado podra encontrar una buena discusion del mismo en la

monografıa de Kalliadiasis (Kalliadasis et al., 2011). Antes bien, lo que se hara es

dar una idea general de la manera en que el metodo procede, para luego aplicarlo a

(A.15).

Cabe mencionar ası mismo que los ingredientes de este metodo los proporciona el

analisis funcional. En efecto, el punto de partida es definir el espacio de funciones en

donde se buscaran posteriormente las soluciones a la ecuacion diferencial (A.15). Dicho

espacio debe ser un espacio de Hilbert y puesto que se buscan soluciones relajando los

criterios de suavidad, en concreto se buscaran soluciones en un espacio de Sobolev.

Por tratarse de un espacio de Hilbert, este contara con una estructura de producto

interno, ası como con una base completa de funciones que se designaran por wj. La

clave del metodo consiste en asumir la posibilidad de separar la dependencia de las

soluciones de la ecuacion diferencial con las variables de las cuales depende, mediante

una combinacion lineal de los elementos de la base del espacio, los cuales se presume,

dependen de una sola variable mientras que los coeficientes de esta combinacion lineal

dependen de las restantes variables.

Utilizando este hecho, se buscan soluciones aproximadas al problema proponiendo

una expansion de la funcion a hallar, por decir u, de la siguiente manera:

un(x, y, t) =n∑

j=0

aj(x, t)wj(y) (A.17)

Lo que proporciona la aproximacion de primer orden u1, de segundo orden u2..., hasta

el orden deseado un.

A las funciones wj se les conoce en este contexto como funciones test y a las aj como

amplitudes.

Supongase ahora que la ecuacion diferencial esta dada por:

F (x, y, t, u,Du,D2u, ..., Dαu) = 0

En donde D,D2, ..., Dα son operadores diferenciales.

114

Y desıgnese por (·, ·)H el producto interno en el espacio de Hilbert H. Lo que se hara

en seguida sera reemplazar la expansion (A.17) en la anterior igualdad para luego

formar el producto interno de la expresion obtenida con un conjunto completo de

funciones φk(y) llamadas funciones peso.

A las cantidades obtenidas se les designara por Rk y se les llamara residuos nulos de

orden k. Ası pues se obtienen las ecuaciones:

Rk := (φk,F (x, y, t, un, Dun, D2un, ..., D

αun))H = 0

Para cada k, con k = 0, 1, ..., n, ecuaciones que permitiran hallar las amplitudes aj.

Dependiendo de la escogencia de los pesos φj, se tendran metodos particulares; ası

por ejemplo, si los pesos se escogen como deltas de Dirac, se tendra el metodo de

colocacion; si se escogen como polinomios en y, se obtiene el metodo de momentos; si

se escogen que sean iguales a las funciones prueba, ello conduce al metodo de Galerkin,

etc. (Kalliadasis et al., 2011).

En lo que sigue se aplicara este metodo al modelo de Shkadov-Kapitza.

Como punto de partida, se identifica a F (x, y, t, u,Du,D2u, ..., Dαu) = 0 con la

ecuacion de momentum (A.15); el espacio de funciones sera L2[0, h], el espacio de

funciones cuadrado integrables en el intervalo [0, h].

La escogencia de las wj es el punto sustancial de la teorıa, pues tanto Shkadov como

Kapitza realizan una aproximacion de orden cero al campo de velocidades u?0, asu-

miendo w0 = (y?/h?)−1/2(y?/h?)2, dado que esta funcion satisface automaticamente

las condiciones de frontera (A.14). Ahora bien, esta escogencia entrana una suposicion

fuerte y es que la distribucion de velocidades paralela a la pared, u, tiene un com-

portamiento como si la interfaz fuese plana, de modo que esta escogencia reproduce

la idea de que el modelo de Shkadov-Kapitza representa una correccion a la solucion

de interfaz plana de Nusselt, para modulaciones espacio-temporales pequenas de la

interfaz.

Bajo esta hipotesis, la distribucion de velocidades planteada por ambos autores sera:

u?0 = 3Q?(x, t)/h?(x, t)[(y?/h?(x, t))− 1/2(y?/h?(x, t))2]

Tomando el producto interno de (A.15) con φ0 = 1 en L2[0, h], se tiene que:

115

R0 =∫ h?

o3Re ε[∂u

?0

∂t?+ u?0

∂u?0∂x?

+ v?∂u?0∂y?

]− ε3We∂3h?

∂x?3− ∂2u?0

∂y?2− 1dy?

Resulta conveniente, antes de reemplazar en la anterior igualdad la expresion para

u?0, escribir esta integral de una forma mas comoda, de la siguiente manera:

∫ h?

0

∂u?0∂t?

=∂

∂t?∫ h?

0u?0dy

? =∂Q?

∂t?

∫ h?

0u?0

∂u?0∂x?

=∫ h?

0

∂

∂x?(1

2u?0

2)dy? =1

2

∂

∂x?∫ h?

0u?0

2dy?

∫ h?

0v?0

∂u?0∂y?

dy? = [u?v?]h0 −∫ h?

0u?0

∂v?0∂y?

dy? = u?|h v?|h − u?|0 v?|0 +∫ h?

0u?0

∂u?0∂x?

dy?

Utilizando en el lado derecho de esta ultima igualdad las condiciones de frontera

(A.14) y recordando que de la condicion cinematica (A.13), v?|h = ∂t?h? + u?|h∂x?h?:

∫ h?

ov?0

∂u?0∂y?

dy? = u?|h? ∂t?h? + u?|h?

2 ∂x?h? +1

2

∂

∂x?∫ h?

ou?0

2dy?

Por otra parte, considerando que:

∫ h?

o

∂2u?0∂y?2

dy? =∂u?0∂y?

|h −∂u?0∂y?

|0

Y aprovechando que, a partir del balance tangencial de esfuerzos dado por∂u?0∂y?

|h = 0,

definiendo previamente el esfuerzo de corte adimensional en la pared τw =∂u?0∂y?

|0,entonces:

∫ h?

o

∂2u?0∂y?2

dy? = −τw

Reuniendo todos estos resultados, el residuo de orden cero sera pues:

R0 =

3Re ε[∂Q?

∂t?+u?0|h? ∂t?h

?+u?0|h?2 ∂x?h?+

∂

∂x?∫ h?

ou?0

2dy?]−ε3We∂3h?

∂x?3h?+τw−h? = 0

Ahora resulta mas facil reemplazar la expresion para u?0 en la anterior igualdad, puesto

que de esta manera:

u?0|h? = 3(Q?/h?)[(h?/h?)− 1/2(h?/h?)2] = (3/2)(Q?/h?)

∂

∂x?∫ h?

ou?0

2dy? =∂

∂x?(9(Q?/h?)2

∫ h?

o[(y?/h?)− 1/2(y?/h?)2]2dy?) =

(6/5)∂

∂x?(Q?2/h?)

116

τw =∂u?0∂y?

|0 = 3(Q?/h?2)

Con esto finalmente se obtiene:

R0 = 3Re ε[∂Q?

∂t?+ (3/2)(Q?/h?) ∂t?h

? + (9/4)(Q?/h?)2 ∂x?h? +

(6/5)∂

∂x?(Q?2/h?)]− ε3We

∂3h?

∂x?3h? + 3(Q?/h?2)− h? = 0

O similarmente, dividiendo por h? y expandiendo las derivadas:

3Re ε[1

h?∂Q?

∂t?+

12

5

Q?

h?2∂Q?

∂x?− 6

5

Q?2

h?3∂h?

∂x?+

3

2

Q?

h?2∂h?

∂t?+

9

4

Q?2

h?3∂h?

∂x?]− ε3We

∂3h?

∂x?3+

3Q?

h?3− 1 = 0

Dividiendo ambos lados de la igualdad por 3Reε y definiendo los parametros G =

ε2We/3Re; E = (Reε)−1; H = (3Reε)−1, finalmente:

1

h?∂Q?

∂t?+12

5

Q?

h?2∂Q?

∂x?− 6

5

Q?2

h?3∂h?

∂x?−G∂

3h?

∂x?3+E

Q?

h?3−H+

3

2

Q?

h?2∂h?

∂t?+9

4

Q?2

h?3∂h?

∂x?= 0

(A.18)

Junto con la condicion cinematica:

∂h?

∂t?+∂Q?

∂y?∂h?

∂x?= −∂Q

?

∂x?(A.19)

Este par de ecuaciones difiere significativamente del sistema obtenido por Shkadov,

debido a que ciertos terminos estimados en la condicion cinematica fueron hechos nu-

los por el autor sin que haya una justificacion razonable para ello. Como consecuencia

de ello, al integrar la ecuacion de movimiento y evaluar los terminos en la frontera,

aparecen los dos ultimos terminos del miembro izquierdo de (A.18). Ası mismo, com-

parando con (A.18), se advierte un error en el exponente de h? en el denominador

del segundo termino del lado izquierdo de la ecuacion, pues aquı se observa que es 2

mientras que en en el artıculo de Shkadov (Shkadov, 1967) aparece como 1.

117

Apendice B

Demostracion de la compacidad del

operador G

En este apendice se demostrara la compacidad del operador lineal G introducido en

el teorema 5.1.1 del capıtulo 5.

Para llevar a cabo esta empresa, se introducira en primer lugar toda la maquinaria que

se requiere para tal demostracion, comenzando con la nocion de operador compacto

en un espacio de Hilbert (en general en espacios normados). En este entendido, se

tiene la siguiente definicion

Definicion B.0.1. Sean X e Y espacios normados. Una aplicacion T : X −→ Y se

denomina operador lineal compacto si T es lineal y si para cada subconjunto acotado

M de X, la imagen del operador, T (M), es relativamente compacta, es decir, la

clausura T (M) es un conjunto compacto en Y .

No obstante, la anterior definicion no resulta util para establecer cuando un operador

lineal T es compacto. Afortunadamente, existe un criterio que si se deriva de esta

definicion y que se presenta en la forma del siguiente teorema.

Teorema B.0.1. Sean X e Y espacios normados, T : X −→ Y un operador lineal.

Entonces, T es compacto si y solo si este mapea cada sucesion acotada xj ⊂ X a

una sucesion Txj ⊂ Y la cual posee una subsucesion convergente en Y .

Demostracion. Sea xj ⊂ X una sucesion acotada y T compacto, entonces, por de-

finicion T (xj) es un subconjunto compacto de Y , pero todo subconjunto compacto

de un espacio metrico (con la metrica heredada en este caso de la norma) posee una

subsucesion convergente.

118

Inversamente, asumase que cada sucesion acotada xj contiene una subsucesion

xjk tal que T (xjk) converge en Y . Considerese cualquier subconjunto acotado B ⊂X, y sea yj cualquier sucesion en T (B). Entonces yj = Txj, para algun xj ∈ B y

xj, es acotado ya que B es acotado. Como se dijo antes, se asume que Txj con-

tiene una subsucesion convergente y como nuevamente un subconjunto de un espacio

metrico (con la metrica heredada de la norma en este caso) es compacto si toda su-

cesion contiene una subsucesion convergente, se tiene que T (xj) es un subconjunto

compacto puesto que la sucesion yj se ha escogido de manera arbitraria; por tanto,

de acuerdo con la definicion B.0.1., T es compacto.

Con esta herramienta de la cual se dispone ahora, es posible demostrar la compacidad

de G; sin embargo, sera preciso introducir antes una nocion auxiliar que conducira

a la demostracion deseada. Tal nocion es la de susesion equicontinua, y en relacion

con ella, se tiene un importantısimo resultado en topologıa conocido como teorema

de Ascoli, el cual relaciona la completitud de un espacio metrico con su compacidad.

Definicion B.0.2. Sean X e Y espacios metricos (o normados con la metrica indu-

cida por la norma) y F una familia de funciones de X en Y . Una sucesion xj ⊂ F

se dice que es equicontinua en el punto s0 ∈ X, si para cada ε > 0 existe un δ > 0,

el cual puede depender solo de ε, tal que para todo xj ∈ F y todo s ∈ X que satisface

d1(s0, s) < δ, entonces d2(x(s0), x(s)) < ε; en donde d1(·, ·) y d2(·, ·) son las metricas

en los espacios X e Y respectivamente. Se dice que la familia xj es equicontinua si

lo es en cada punto de X.

En relacion con este concepto, se tiene el importante teorema de Ascoli, cuya demos-

tracion se puede encontrar por ejemplo en el libro de Munkres (Munkres, 2000).

Teorema B.0.2. Teorema de Ascoli. Sea X un espacio compacto e Y un espacio

metrico. Sea tambien C(X, Y ) el conjunto de todas las funciones continuas de X en

Y . Entonces, F ⊂ C(X, Y ) tiene clausura compacta si, y solo si, F es equicontinuo y

esta puntualmente acotado respecto a la metrica d.

Acompanados de estos elementos, sera posible ahora proceder a demostrar la compa-

cidad del operdor G:

Teorema B.0.3. Sea el operador lineal G : L2(S) ⊂ H−1(Ω) −→ H1(Ω) definido

por:

φ = Gq :=∫S

G(r,y′)∂φ

∂n′d2y′

119

Siendo G(r, r′) cuadrado integrable en Ω× Ω, esto es:

∫Ω

d3r′∫Ω

|G(r, r′)|2 d3r <∞,

y q :=∂φ

∂n′. Entonces G es compacto.

Demostracion. Previamente se habıa demostrado que G es lineal y acotado.

Sea la sucesion de funciones wj∞j=1 definida por wj := Gj q =∫S

Gj(r,y′)∂φ

∂n′d2y′,

siendo Gj(r, r′) cuadrado integrable en Ω× Ω, para cada j. Probaremos que wj es

equicontinua en q0 ∈ L2(S). El cuadrado de la distancia, d2(·, ·), para un mismo j,

entre un elemento de esta sucesion de funciones, evaluado en q, y el mismo elemento

evaluado en q0 sera:

d2(wj, w0j )

2 =∫Ω

|wj − w0j |2 d3r +

∫Ω

|∇(wj − w0j )|2 d3r

En donde w0j = Gjq

0 =∫S

Gj(r,y′)∂φ0

∂n′d2y′.

Ahora bien, puesto que se asume que los elementos de la sucesion wj son elementos

del espacio de Sobolev H1(Ω), y que satisfacen tambien la ecuacion de Laplace, con

condicion de frontera de tipo Neumann, entonces, por la proposicion 5.1.1 del capıtulo

5, se tiene que:

∫Ω

|∇(wj − w0j )|2 d3r = (A(q − q0), q − q0)L2(S)

Teniendo presente que el operador A es acotado, de la anterior igualdad se desprende

que:

∫Ω

|∇(wj − w0j )|2 d3r ≤ c21 ‖ q − q0 ‖2L2(S)

Siendo c1 > 0 una constante que no depende de q o de q0, aunque posiblemente si

dependa de S. Por otra parte, se tiene que:

∫Ω

|wj − w0j |2 d3r =

∫Ω

d3r |∫S

Gj(r,y′) [

∂φ

∂n′− ∂φ0

∂n′] d2y′|2

Dado que se asume, para cada j, que Gj(r,y′) es cuadrado integrable en Ω × Ω, y

dado que las funciones q y q0, son elementos de L2(S), entonces, por la desigualdad

de Cauchy-Schwartz (Kreyszig, 1989), de esta igualdad se deduce la desigualdad:

120

∫Ω

|wj − w0j |2 d3r ≤

∫Ω

d3r[∫S

|Gj(r,y′)|2 d2y′

∫S

| ∂φ∂n′

− ∂φ0

∂n′|2 d2y′] =

∫Ω

∫S

|Gj(r,y′)|2 d2y′d3r ‖ q − q0 ‖2L2(S)

De esta manera, a partir de las anteriores desigualdades, se concluye que:

d2(wj, w0j )

2 ≤ c21 ‖ q − q0 ‖2L2(S) +∫Ω

∫S

|Gj(r,y′)|2 d2y′d3r ‖ q − q0 ‖2L2(S)=

c22 ‖ q − q0 ‖2L2(S)

En donde se ha hecho c22 = c21 +∫Ω

∫S

|Gj(r,y′)|2 d2y′d3r. Ası pues, si se asume que

d1(q, q0) :=‖ q − q0 ‖L2(S)< δ; entonces para cada ε = c2 δ > 0, existe δ > 0 tal que

para todo wj ∈ wj∞j=1, y para todo q ∈ L2(S) que verifica d1(q, q0) < δ, se cumple

que d2(wj, w0j ) < ε. Por tanto, la sucesion wj es equicontinua en q0 ∈ L2(S).

Como se ha escogido un q0 cualquiera, dicha familia sera equicontinua ademas, para

cualquier q ∈ L2(Ω).

Esto implica, de acuerdo con el teorema de Ascoli, que wj = Gj q posee clausura

compacta en H1(Ω). Finalmente, por el teorema B.0.1. se concluye que el operador

G es compacto.

121

Referencias

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