El método operacional de Laplace - Panel de Estado · problemas pueden ser clasificados en...

Universidad Nacional

de Mar del Plata

Departamento de Ingeniería Eléctrica

Area Electrotecnia

El método operacional de Laplace

Autor: Ingeniero Gustavo Luis Ferro – Prof. Adjunto – Electrotecnia EDICIÓN 2016


Ingeniero Gustavo Luis Ferro – Prof. Adjunto – Electrotecnia página 2

1. Introducción al método operacional El método operacional de análisis transitorio está basado en el concepto de transformar una función del tiempo, f (t), en una función compleja F(s). En el método operacional, para cada función del tiempo hay una función de “s”, e inversamente, para cada función de “s” existe precisamente una función del tiempo. La conversión de una f(t) en su respectiva F(s), se realiza por medio de la Transformación de Laplace.

Este método reduce: diferenciación a multiplicación e integración a división, simplificando así la resolución de ecuaciones diferenciales.

2. La transformación de Laplace La transformación de Laplace (Transformada L) es una herramienta matemática que facilita considerablemente la resolución de ecuaciones diferenciales con coeficientes constantes.

Fundamentalmente, consiste en que permite transformar una ecuación diferencial en otra algebraica de relativa sencillez, la cual puede ser expresada en la forma deseada.

A partir de esta última y mediante otra transformación inversa se obtiene la solución completa de la ecuación diferencial de partida, siendo otra de sus ventajas la posibilidad de permitir la inclusión de condiciones iniciales o límites. Por otra parte, y debido a que la mayoría de los problemas pueden clasificarse en categorías semejantes, sus soluciones pueden ser tabuladas para su empleo posterior. Esencialmente, la transformación de Laplace, elimina la variable independiente en las ecuaciones diferenciales (que es generalmente el tiempo t) sustituyendo en su lugar el operador “s”, que es una cantidad compleja (es decir contiene términos real e imaginario).

La mayor diferencia entre el Método Clásico y el de la Transformación de Laplace, es que éste último establece reglas definidas, las cuales permiten incluir en las ecuaciones los valores exactos de las condiciones iniciales, obteniéndose la solución completa al efectuar la transformación inversa y pasar nuevamente al dominio del tiempo (variable independiente).

El paso del dominio de la variable independiente a la forma de operador, se lleva a cabo integrando la ecuación diferencial entre los límites de dicha variable, esto es,

entre 0 y . Las condiciones iniciales se presentan para t = 0+, siendo indeterminado el valor de las variables en instantes anteriores, ya que la transformación de Laplace no está definida

para t 0. La integral particular utilizada es relativamente sencilla, por otra parte, ya que los problemas pueden ser clasificados en distintas categorías, la solución puede obtenerse a partir de una tabla, no siendo necesario aplicar la transformación integral.



3. Sistemas lineales y ecuaciones diferenciales Las leyes físicas expresan relaciones entre ciertas cantidades que generalmente se representan por medio de ecuaciones. Por ejemplo, la conocida Ley de Ohm, que establece que si se aplica una tensión de magnitud “v” a una resistencia “R”, entonces circulará una corriente “i” por la resistencia tal que:

v = i . R [1]

Por otra parte, las ecuaciones diferenciales se aplican ampliamente en la descripción de las leyes físicas:

Una ecuación diferencial es cualquier igualdad algebraica que incluya ya sea diferenciales o derivadas.

Las ecuaciones diferenciales resultan de gran utilidad pues permiten relacionar las variaciones o cambios de las variables y otros parámetros involucrados. Retomando nuestro ejemplo de la Ley de Ohm, si reemplazamos la corriente “i” por su equivalente, es decir, por la relación de cambio de la carga “q” a través de la resistencia con relación al tiempo, obtendremos:

v(t) = R . dq/dt [2]

Una ecuación diferencial ordinaria es aquella que involucra una o más variables dependientes, una variable independiente y una o más derivadas de las variables dependientes con respecto a la variable independiente. La Ley de Ohm escrita como la expresión [2], es una ecuación diferencial ordinaria donde la carga q = q (t) y la tensión v = v (t) son variables dependientes y el tiempo “t” es la variable independiente. Un término lineal es aquel en donde las variables dependientes y sus derivadas son de primer grado.

Una ecuación diferencial lineal es aquella formada por la suma de términos lineales (obviamente todas las demás son ecuaciones diferenciales no lineales)

Un sistema lineal (por ejemplo, un determinado circuito eléctrico), es aquel que posee la propiedad de que, si: a) Una entrada x1 (t) produce una salida y1 (t); b) Una entrada x2 (t) produce una salida y2 (t); c) Una entrada c1 x1 (t) + c2 x2 (t) produce una salida c1 y1 (t) + c2 y2 (t), para todos

los pares de entradas x1 (t) y x2 (t) y todos los pares de constantes c1 y c2. El Principio de Superposición establece que la respuesta y(t) de un sistema lineal, debida a varias entradas x1 (t); x2 (t); ... ; xn (t), que actúan simultáneamente, es igual a la suma de las respuestas de cada entrada actuando sola. Es decir, si yi (t) es la respuesta debida a la entrada xi (t), entonces:

]3[)t(y)t(yn

1i i



4. Integral de la Transformación de Laplace Por definición, la integral de la transformación de Laplace es: que se simboliza así: en lo anterior: “s” es el operador de Laplace “f (t) “ es una función conocida del tiempo para t > 0 “F (s)” es una función del operador “s” El límite superior de la integral [6] es infinito. Las integrales con infinito como límite superior son las llamadas integrales impropias. Si la integración y la sustitución de los límites da por resultado un número finito, se dice que la integral converge. Prácticamente todas las f(t) de interés en Ingeniería Eléctrica satisfacen esta condición, por lo que no nos detendremos a profundizar sobre este particular. 5. Aplicación del método operacional de Laplace 5.1. Transformada de una constante

Sea f (t) = A F (s) = L (A) = A / s [8] 5.2. Transformada de una función exponencial

Sea f (t) = e g t F (s) = L (e g t ) = 1 / s – g [9] 5.3. Transformada de derivada primera

Teniendo presente que: F (s) = L (f (t)) y que para t = 0 f (t) = f (0), entonces:

L (d f(t) /dt) = s . F (s) – f (0) [10] 5.3.1. Transformada de una tensión a través de una inductancia Si a través de una inductancia “L” circula una corriente variable en el tiempo i(t), podemos escribir su transformada como: L [ i (t) ] = I (s), siendo la caída de tensión a través de la inductancia: vL = L di/dt, y la transformada de la derivada:

L [di(t) /dt] = s. I (s) – i (0 -) Donde i (0 -) es el valor de i (t) para t = 0 - ; i (0-) puede ser positiva o negativa. Es positiva cuando la dirección de i (t) coincide con la dirección positiva supuesta de la corriente a través de la inductancia después de la conmutación. Por lo tanto: L [ L di(t) /dt] = s L I (s) – L i (0 -) [11] 5.4. Transformada de derivada segunda La ecuación correspondiente es: L [ d2 f(t) /dt2] = s2 F (s)– s f(0 -) – [df(t)/dt]t=0 [12] Por lo tanto, la transformada de Laplace de la derivada segunda de la corriente es:

L [ d2 i(t) /dt 2] = s2. I (s) – s . i (0 -) – [ di (t) / dt] t = 0 [13]

]6[td)t(fe)s(F0

ts

]7[)t(f)s(F L



5.5. Transformada de una integral

5.5.1. Transformada de la tensión a través de un capacitor La expresión instantánea para la tensión en bornes de un capacitor a través del que circula una corriente variable en el tiempo i (t), es:

En la expresión anterior se ha tenido en cuenta que, para el tiempo t, la tensión a través del capacitor depende no solamente de la corriente a través del mismo durante el intervalo de tiempo desde 0 a t, sino también de la tensión vC (0-) que existía para t = 0 -. De acuerdo con la expresión [14]:

y siendo v C (0-) una constante: L [ vC (0 -)] = vC (0 -) / s

5.6.Transformada de una Transformación Lineal La transformada de Laplace es una transformación lineal entre funciones definidas en el dominio del tiempo “t” y funciones en el dominio de la frecuencia compleja “s”. Es decir, si F1(s) y F2(s) son las transformadas de Laplace de f1(t) y de f2(t), respectivamente, entonces:

L { a 1 f 1 (t) + a 2 f 2 (t)} = a 1 F1 (s)+ a 2 F2 (s) [16] donde a1 y a2 son constantes arbitrarias. 5.7. La antitransformada de una Transformación Lineal La antitransformada de Laplace es una función lineal entre funciones definidas en el dominio de “s” y funciones en el dominio de “t”. Es decir:

L –1 { b1 F1 (s) } = b1 f1 (t) y L –1 { b2 F2 (s) } = b2 f2 (t)

Entonces:

L – 1 { b1 F1 (s) + b2 F2 (s)} = b1 f1 (t)+ b2 f2 (t) [17] Donde b 1 y b 2 son constantes arbitrarias. 6. La Ley de Ohm en forma operacional Conociendo la metodología para encontrar la transformada de Laplace de distintas funciones, en este artículo veremos la aplicación de la misma para la resolución de circuitos eléctricos. Pasos en la aplicación de la transformada de Laplace: 1. Transformar el circuito del dominio temporal al dominio de s.

]14[)(

])([L0 s

sFtdtf

t

t

CC dttivtv0

)()0()(

Cs/)s(I]td)t(iC/1[t

0L

]15[Cs/)0(vCs/)s(I])t(v[ CC

L



2. Resolver el circuito usando el análisis nodal, el análisis de mallas, la transformación de fuentes, la superposición o cualquier otra técnica del análisis de circuito con la que se esté familiarizado.

3. Calcular la transformada inversa de la solución y, obtener así la solución en el dominio temporal.

Solo el primer paso es nuevo y lo analizaremos aquí. Como se hizo en el análisis fasorial, se transforma un circuito en el dominio temporal al dominio de frecuencia o dominio s mediante la transformada de Laplace de cada término en el circuito. Para una resistencia R la relación tensión – corriente en el

dominio temporal es: Calculando la transformada de Laplace, se obtiene:

Para un inductor L: Calculando la transformada de Laplace en ambos lados resulta: O sea la corriente valdrá: Los esquemas circuitales pueden verse en la figura. Para un capacitor resulta: Calculando la transformada de Laplace en ambos lados resulta:

Si se suponen condiciones iniciales nulas los circuitos equivalentes resultan: Resistor: V(s) = R I(s) Inductor: V(s) = s L I(s) Capacitor: V(s) = 1/sC I(s)

)(.)( tiRtv

)(.)( sIRsV

dt

tdiLtv

)()(

)0()()]0()([)( iLsILsisIsLsV

s

isV

sLsI

)0()(

1)(

dt

tvdCti

)()(

)0()()]0()([)( vCsVCsvsVsCsI

s

vsI

sCsV

)0()(

1)(



Su representación circuital resulta:

La impedancia en el dominio de s se define como el cociente de la transformada de la tensión a la transformada de la corriente, en las condiciones iniciales nulas, es decir: Por lo tanto, las impedancias de los tres elementos del circuito son: Resistor: Z(s) =R Inductor: Z(s) = s L Capacitor: Z(s) = 1/sC La admitancia en el dominio de s es el recíproco de la impedancia, o sea: El uso de la transformada de Laplace en el análisis de circuitos lineales facilita el uso de varias fuentes de señales, como el impulso, el escalón, la rampa, exponencial y senoidal. 7.1. Ejemplo de aplicación Encuentre v0 (t) en el circuito de la figura, suponiendo las condiciones iniciales nulas. Solución: Como primer paso se transforma el circuito del dominio temporal al dominio de s, para lo cual:

u(t) 1/s

1 H sL = s

1/3 F 1/sC = 3/s En el circuito transformado aplicamos el método de las corrientes de malla resultando: Para la malla 1

Para la malla 2 Resolviendo el sistema resulta que la corriente I2 vale: Luego V0 (s) valdrá:

)(

)()(

sI

sVsZ

)(

)()(

sV

sIsY



Antitransformando resulta:

8. La Leyes de Kirchhoff en forma operacional 8.1. La Ley de las Corrientes de Kirchhoff en forma operacional Aplicando la ley de las corrientes de Kirchhoff para el nodo “a” de la red de la figura 1:

i 1 + i 2 + i = 0 [22] Aplicando la Transformada de Laplace a la expresión [22] y teniendo en cuenta que la transformada de la suma es igual a la suma de las transformadas, tendremos:

I 1 (s) + I 2 (s) + I (s) = 0 [23] En el caso general:

I (s) = 0 [24] La expresión [24] es la ley de las corrientes de Kirchhoff en forma operacional. 8.2. La Ley de las Tensiones de Kirchhoff en forma operacional Consideremos la malla representada en la figura 3: L1 y L2 son inductancias acopladas. Con la convención adoptada para las direcciones de i1 e i2 , como se muestra en la figura 3, L1 y L2 están conectadas aditivamente. La caída de tensión a través de L1 es la suma de dos términos, L1 d i1 /dt y M d i2 /dt. La caída de tensión a través de L2 es la suma de L2 d i2 /dt y M d i1 /dt. La tensión inicial a través del capacitor es vC(0-) y está en la misma dirección que i3. El valor inicial de i 1 es i 1 (0-) y de i 2 (0-). Aplicando la ley de Kirchhoff de las tensiones y teniendo en cuenta las convenciones adoptadas, podemos escribir para un sentido horario de circulación en la malla:

Sustituyendo cada término en la expresión [25] por su correspondiente transformada, tendremos:

I1 (s) Z1 (s) + I2 (s) Z2 (s) + I3 (s) Z3 (s) = E1 (s) – E2 (s) + Ei (s) [26] Donde:

Z1 (s) = s ( L1 – M) Z2 (s) = s ( M – L2 ) – R2

]25[eetd

idM

td

idLRitdi

C

1)0(v

td

idM

td

idL 31

12222

t

03C

211



Z3 (s) = 1 / sC Ei (s) = ( L1 – M) i1 (0-) + ( M – L2 ) i2 (0-) – v C (0-) /s

En forma general, la ecuación [26] puede ser escrita así: La [27] es una expresión matemática para la ley de las tensiones de Kirchhoff en forma operacional. En el caso general, E k (s) también incluye todas las fems internas. 9. Algunos teoremas útiles relacionados con la Transformada de Laplace Existen cuatro teoremas que combinados con los resultados obtenidos directamente a partir de la integral de Laplace, son capaces de proveer un número suficiente de pares de transformadas como para cubrir la gran mayoría de los casos que se pueden presentar en el estudio de la Ingeniería Eléctrica. 9.1. Teorema del Retardo o de la Translación Real Establece que si una función f(t) es transformada por Laplace, tal que: L [f(t)] = F(s), entonces:

L f [ t – T ] = e – s T F (s) [28]

La función f (t – T) es la misma función f(t) pero desplazada en el tiempo en una cantidad “T”, como se muestra en la figura 4. La función representada en la figura anterior queda definida por:

f (t) = 0 para t T f (t) = 1 para t ≥ T ; por lo tanto: Si L f (t – T) = e – s T F (s); entonces como F (s) = 1/s , será: L f (t – T) = e – s T / s [29] 9.2. Teorema de la Translación Compleja Supongamos que en cualquiera de las transformadas de Laplace halladas la variable

“s” se reemplaza por (s + ): ¿Cómo influye esto en la correspondiente f (t)? La respuesta la brinda, precisamente, este Teorema que establece que si L f (t) = F(s),

entonces la multiplicación de f(t) por la función exponencial e - t origina una traslación en el dominio s y viceversa:

L e – t f (t) = F ( s + ) [30]

Por aplicación de este teorema a pares de transformadas adicionales, como, por

ejemplo. Si sabemos que: f (t) = cos wt L (cos wt) = s/(s2 + w2), aplicando el

teorema resultará: L ( e - t cos wt) = (s + ) / [(s + )2 + w2 ] [31] 9.3. Teorema del valor final Establece que si f (t) y su derivada primera f ’(t) son transformables por Laplace y si L [f (t)] = F (s) y los polos de s F (s) se encuentran en el semiplano izquierdo del plano s, entonces:

lím s . F (s) = lím f (t) [32]

s0 t

]27[)()()( sEsZsI kkk



La ecuación [32] es útil cuando se conoce la función transformada de un problema y todo lo que se necesita es información sobre la solución final o de régimen permanente. Realizando la operación indicada en el primer miembro de la ecuación [32], obtendremos información sobre el valor final sin necesidad de evaluar la solución completa en el dominio del tiempo. 9.4. Teorema del valor inicial Establece que si f (t) y f ‘(t) son transformables por Laplace y el límite para s F (s), cuando s tiende a infinito, existe, entonces:

lím s . F (s) = lím f (t) [33]

s t 0

La ecuación [33] permite evaluar el valor inicial en el dominio del tiempo de la solución f (t) sin necesidad de obtener la misma, formalmente. Podemos trabajar directamente con la transformada de la solución temporal para obtener valores iniciales, llevando a cabo la operación indicada en el primer miembro de la [33]. No siempre resulta sencilla la evaluación de los valores final y/o inicial, sobretodo cuanto más complicada es la expresión en el dominio s. El proceso de hallar la solución en el tiempo partiendo desde el dominio “s” a través del uso de tablas apropiadas es conocido como la transformada inversa o antitransformada de Laplace. En la siguiente sección vamos a considerar la manera de tratar expresiones complicadas de soluciones transformadas, de modo de llevarlas a formas que se encuentren en nuestras Tablas de Pares de Transformadas. 10. Métodos de desarrollo En el análisis de circuitos es necesario, expresar un cociente como suma de fracciones simples con objeto de hallar la transformada de Laplace, ya que en el dominio de la variable “s” la corriente suele venir definida como cociente de dos polinomios en s; como:

I(s) = P(s) / Q(s), en donde Q(s) es de mayor grado que P(s) Vamos ahora a examinar la aplicación del método de desarrollo en fracciones simples a los diferentes casos que se pueden presentar con los cocientes de polinomios. Luego veremos otro importante método basado en la fórmula del desarrollo de Heaviside. 10.1 Desarrollo en Fracciones Parciales La ecuación I(s) = P(s) / Q(s) se puede escribir como una suma de fracciones cada una de las cuales tenga por denominador uno de los divisores de Q(s) y por numerador una constante. En el desarrollo del cociente P(s)/Q(s) se deben considerar las raíces de Q(s). Estas pueden ser reales o complejas, lo cual da lugar a los siguientes casos:



CASO 1: RAICES REALES SIMPLES DE Q(s) Consideremos la siguiente expresión de la intensidad de corriente en el dominio d ela variable s: Descomponiendo en factores Q(s), la ecuación adquiere la forma: Para s = - 2 y s = -1 la expresión anterior tiende a infinito, estos valores de s se llaman “polos” simples de la función. El coeficiente de un polo s = s0 viene dado por: Por lo tanto, para hallar el coeficiente A, multiplicamos ambos miembros de la ecuación por (s + 2): Sustituyendo s = - 2 resulta que A vale: Análogamente: Sustituyendo estos valores en la expresión de la corriente en el dominio s resulta: La transformada inversa de Laplace de I(s) resulta:

Otro método de resolución: Multiplicando los dos miembros de la expresión: por (s+2) (s+1) resulta: Igualando los coeficientes de los términos de igual grado en s, resultan: A+ B = 1 y A + 2B = -1, por lo que resulta A = 3 y B= -2 CASO 2: RAICES REALES MULTIPLES DE Q(s) Consideremos la siguiente expresión de la intensidad de corriente en el dominio d ela variable s; Entonces:

23

1

)(

)()(

2

ss

s

sQ

sPsI

12)1()2(

1)(

s

B

s

A

ss

ssI

0)()( 0 sssssI

)2(1

)2()1()2(

1

s

s

BAs

ss

s

31

12

s

s

sA

22

11

s

s

sB

1

2

2

3)(

sssI

tteeti 23)(

2

12)1()2(

1)(

s

B

s

A

ss

ssI

BAsBABsAss 2)()2()1(1

22 )3(

1

)96(

1

)(

)()(

ssssssQ

sPsI

22 )3(3)3(

1

s

C

s

B

s

A

ss



Multiplicando los dos miembros de la expresión anterior por s y haciendo s = 0 resulta que: En el caso de raíces múltiples, el coeficiente del término de segundo grado viene dado por:

Por consiguiente:

El coeficiente del término lineal viene dado por la expresión Es decir : Sustituyendo estos valores en la ecuación de la corriente será: Con lo que la transformada inversa de Laplace es: CASO 3: RAICES COMPLEJAS DE Q(s) Consideremos la siguiente expresión de la intensidad de corriente en el dominio de la variable s: Como las raíces de Q(s) son complejas conjugadas, los numeradores de las fracciones también deben ser conjugados: Multiplicando los dos miembros por (s + 2 + j) y haciendo s = - 2 – j resulta: Sustituyendo estos valores en la ecuación de la corriente resulta: La transformada inversa será: 10.2. Fórmula del Desarrollo de Heaviside La formula de Heaviside establece que la transformada inversa de Laplace del cociente I(s) = P(s)/ Q(s) es:

9

1

)3(

102

s

sA

0

2

0 )()( sssssI

3

113 s

sC

0

2

0 )()([ sssssIds

d

9

11)

1( 323 ss

ssds

dB

2)3(

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3

9/19/1)(

ssssI

tteteti

33

3

1

9

1

9

1)(

)2()2(

1

54

1

)(

)()(

2 jsjssssQ

sPsI

js

A

js

A

jsjs

2

*

2)2()2(

1

2

1*

2

1

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12 jAyj

jsA js

js

j

js

jsI

2

2/1

2

2/1)(

tsenetit2

)(



En donde los coeficientes ak son las raíces distintas de Q(s). Aplicando este desarrollo de Heaviside a la expresión de la intensidad de corriente en el dominio de la variable s del caso 1 Ahora bien, P(s) = s – 1 , Q(s) = s2 + 3 s + 2 y Q´(s) = 2 s + 3 . Las raíces son a1= -2 y a2 = - 1. Luego la corriente valdrá: 11. Codificación de los pares de transformadas A los fines de utilizar las tablas de pares de transformadas que forman parte como anexo del presente trabajo, se utiliza un flexible sistema de numeración a fin de que cualquier función racional en “s” pueda identificarse rápidamente con su transformada inversa. A cada fracción polinómica se le asigna una cifra de cinco dígitos, denotando los dos primeros las características del numerador y las tres últimas las del denominador, estando ambos grupos separados por un punto. El significado de cada digito es el siguiente:

El primero de ellos indica la potencia de s que puede factorizarse en el numerador, es decir la potencia de s que puede extraerse factor común en el numerador.

El segundo digito expresa el orden de s en el numerador. El tercero representa la potencia de s que puede extraerse factor común en el

denominador. El cuarto digito indica el número de raíces reales distintas de cero que

aparecen en el denominador. El quinto digito corresponde al número de pares de raíces complejas del

denominador. Como ejemplo consideremos la siguiente ecuación:

El código que corresponde a dicha función será: 02.121 dado que:

a) No puede extraerse ningún factor común s en el numerador; b) El orden de s en el numerador es 2 c) Se puede factorizar una “s” en el denominador; d) Existen dos raíces reales distintas en el denominador ( s= -1 y s= -0,5) e) Hay un par de raíces complejas conjugadas en el denominador asociadas al

factor (1 + s + s2)

)ss1()s21()s1(s

s10s21)s(F

2

2

nk

k

takeakQ

akP

sQ

sPL

1

1

)´()(

)(

)(

)1()2(

1

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1

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2

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ss

s

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sPsI

tttt eeeQ

Pe

Q

P

sQ

sPLti

23

)1´(

)1(

)2´(

)2(

)(

)()( 221



Se observa en la tabla de transformadas que hay varios casos en que dos o más ecuaciones tienen el mismo número código, no constituyendo ninguna dificultad para el lector el identificar la adecuada a un problema particular. A pesar de la diversidad de pares de transformadas puede no encontrarse el que se necesita, en tales casos se puede deducir la solución descomponiendo la función en fracciones simples y aplicando la técnica desarrollada en el punto 10 del presente trabajo. 12. Función de Transferencia La función de transferencia es un concepto importante en el procesamiento de señales porque indica cómo se procesa una señal conforme pasa a través de la red. Para las redes eléctricas, la función de transferencia también se conoce como “función de red” La función de transferencia de una red describe cómo se comporta la salida respecto a la entrada.

La función de transferencia H(s) es el cociente de la respuesta Y(s) a la salida y la excitación X(s) a la entrada, suponiendo que todas las condiciones iniciales son nulas.

Por lo tanto: La función de transferencia depende de lo que se define como entrada y salida. Puesto que la entrada y la salida pueden ser la corriente o la tensión en cualquier lugar del circuito, hay cuatro posibles funciones de transferencia: Por lo tanto, un circuito puede tener muchas funciones de transferencia. Cada una de las funciones de transferencia puede encontrarse de dos formas: a) Una es suponer cualquier entrada conveniente X(s), utilizar cualquier técnica de

análisis de circuitos (como el divisor de corriente o de tensión, el análisis nodal o de mallas) para encontrar la salida Y(s), y luego obtener el cociente de ambos.

b) Otra manera es aplicar el “método escalera”, el cual involucra el análisis del circuito.

Mediante este método se supone que la salida es 1 V o 1 A, conforme sea más apropiado, y se aplican la Ley de Ohm y de Kirchhoff La función de transferencia se convierte en el recíproco de la entrada. Es conveniente este enfoque cuando el circuito tiene muchas mallas o nodos.

En el primer método se supone una entrada y se determina la salida; en el segundo, se supone una salida y se encuentra la entrada. Los dos métodos se basan en la propiedad de la linealidad de los circuitos considerados.

)1()(

)()(

sX

sYsH



La ecuación (1) supone que se conocen X(s) y Y(s). A veces se conoce la entrada X(s) y la función de transferencia H(s). Se determina la salida Y(s) como: y se toma la transformada inversa para obtener y(t).

Un caso especial es cuando la entrada es la función impulso unitario, x(t) = (t) de forma que X(s) = 1. Para este caso: El término h(t) representa la respuesta a un impulso unitario; es la respuesta de la red en el tiempo ante un impulso unitario. H(s) es la transformada de Laplace de la respuesta de la red a un impulso unitario, una vez que se conoce h(t) se puede obtener la respuesta de la red a cualquier otra señal de entrada si se utiliza la ecuación (2) en dominio de s o si se usa la integral de convolución en el dominio temporal, tema que veremos en el artículo siguiente. 12.1 Ejemplos de aplicación Ejemplo 1.- La salida de un sistema lineal es y(t) = 10 e- t cos 4t u(t), cuando la entrada es x(t) = e – t u(t) . Determine la función de transferencia del sistema.

Ejemplo 2.- Determine la función de transferencia H(s) = V0 (s) / I0 (s) para el circuito de la figura.

)2()(.)()( sXsHsY

)]([)()3()()()()(1

sHLthdondethtyosHsY



Ejemplo 3 En el circuito del dominio s de la figura, encuentre: a)la función de transferencia H(s) = V0/Vi , c)la respuesta cuando vi (t) = u(t) V, d)la respuesta cuando vi (t) = 8 cos 8t V.



13. La Integral de convolución El termino convolución significa “voltear”. La convolución es una herramienta importante para el ingeniero, porque proporciona un medio para ver y caracterizar sistemas físicos. Por ejemplo, se usa para encontrar la respuesta y(t) de un sistema a una excitación x(t), conociendo la respuesta del impulso del sistema h(t). Esto se logra a través de la integral de convolución, definida como:

Donde es una variable muda y el asterisco denota la convolución. La ecuación anterior establece que la salida es igual a la entrada convolucionada con la respuesta ante un impulso unitario. El proceso de convolución es conmutativo. La integral de convolución se puede simplificar si se supone que un sistema tiene dos

propiedades. Primero si x(t) = 0 para t 0, entonces:

Segundo, si la respuesta al impulso del sistema es causal (es decir , h(t) = 0 para t

0), entonces h(t - ) = 0 para t - 0 o t, de manera que la ecuación se convierte en: Veamos el vínculo entre la transformada de Laplace y la integral de convolución. Dadas las funciones f1 (t) y f2 (t) con transformadas de Laplace F1 (s) y F2 (s), respectivamente, su convolución es: Calculando la transformada de Laplace se obtiene: Glf/2016

)(*)()()()()( thtxtyodthxty

0

)()()( dthxty

t

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ANEXO

glf/2016

El método operacional de Laplace - Panel de Estado · problemas pueden ser clasificados en...

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