El millor matemàtic de l’antiguitat -...

AArrqquuiimmeeddeess ddee

SSiirraaccuussaa

El millor matemagravetic de

lrsquoantiguitat

Arquimedes de Siracusa Iacutendex

IacuteNDEX

Pagraveg

Introduccioacute4

1 Context histograveric i vida drsquoArquimedes

11 Primers temps de la Biblioteca alexandrina

Formacioacute del savi7

12 Regnat de Hieroacute II Personalitat drsquoArquimedes9

13 Egravepoca de les grans descobertes del siracusagrave 12

14 Inici de la Segona Guerra Puacutenica Fi del regnat de Hieroacute

Inestabilitat poliacutetica a lrsquoilla de Siciacutelia 13

15 Setge romagrave de Siracusa

Desplegament de les magravequines drsquoArquimedes 16

16 Entrada dels romans a Siracusa Mort drsquoArquimedes 19

17 El savi grec despreacutes de la seva mort 22

2 Obra drsquoArquimedes

21 Enginys i magravequines

211 El cargol hidragraveulic 25

212 El polispast 26

213 Lrsquourpa drsquoArquimedes 26

214 Els escorpions27

215 Els miralls ardents 27

216 El planetari 30

22 Tractats

221 Tractats que demostren teoremes relatius a les agraverees i

als volums de figures limitades per corbes i superfiacutecies 31

222 Tractats relatius a problemes drsquoestagravetica i drsquohidrostagravetica 33

223 Tractats menors 35

Conclusioacute37

Fonts drsquoinformacioacute 40

Apegravendix Traduccioacute drsquoun fragment de les Chiliades

1 Les Chiliades o Llibre drsquohistograveries 42

2


3

2 Lrsquoautor 42

3 Text grec 43

4 Traduccioacute 45

Arquimedes de Siracusa Introduccioacute

INTRODUCCIOacute

La fascinacioacute que provoca tot allograve que envolta el moacuten clagravessic eacutes quelcom molt

curioacutes i interessant a la vegada Gregravecia i Roma les civilitzacions meacutes importants

drsquoaquest moacuten almenys per a nosaltres perquegrave en som els descendents directes

amaguen una gran quantitat drsquoinformacioacute a la vegada que molts misteris fet que ajuda

que contiacutenuament siguin estudiades I encara meacutes fascinant que el moacuten clagravessic en

general ho soacuten els autors clagravessics Mentre que un escriptor un matemagravetic o un cientiacutefic

actual resulta conegut despreacutes drsquoescriure un llibre que faci sort entre el puacuteblic o beacute

despreacutes de realitzar un descobriment important perograve al cap drsquoun cert temps el seu nom

va perdent popularitat perdut dins la immensitat de nous escriptors cientiacutefics i

matemagravetics no passa pas el mateix amb els autors de lrsquoantiguitat malgrat haver existit

alguns fa meacutes de dos mil anys les seves obres continuen essent traduiumldes estudiades i

comentades srsquohi troben cada vegada detalls nous que havien passat encoberts i srsquohi

detecten sovint similituds amb el present fins al punt de semblar a vegades actuals

Aixograve eacutes el que fa que resulti molt interessant llegir la vida i les obres de

personatges com Demogravestenes Platoacute Cegravesar Ciceroacute Plutarc O Arquimedes

Arquimedes eacutes un autor clagravessic que uneix les dues civilitzacions eacutes un grec que viu en

temps de lrsquoImperi Romagrave i que acaba difuminant-se en el moacuten llatiacute I eacutes a la vegada un

dels personatges meacutes coneguts de tota la histograveria de la humanitat sobretot per les seves

anegravecdotes i pels seus descobriments Paradoxalment perograve dins la ciegravencia resulta ser

meacutes important per allograve que coneixem menys la seva aportacioacute purament matemagravetica

ldquoHi ha una unanimitat sorprenent a reconegraveixer Arquimedes com el meacutes

important dels matemagravetics de lrsquoantiguitatrdquo Amb aquesta frase comenccedila la presentacioacute

de lrsquoedicioacute catalana del Megravetode drsquoArquimedes dins la Fundacioacute Bernat Metge Perograve no

eacutes lrsquouacutenica que srsquoinicia aixiacute quasi totes les edicions de les obres del matemagravetic de

Siracusa contenen aquesta afirmacioacute en alguna part del seu prograveleg Perograve eacutes realment

Arquimedes el millor matemagravetic de tota lrsquoedat antiga Aquesta pregunta eacutes la que

srsquointentaragrave respondre amb aquest treball mitjanccedilant una anagravelisi de la seva vida del

context histograveric que lrsquoenvoltagrave i de la seva obra

Tant el context histograveric com la vida drsquoArquimedes srsquoestudiaran bagravesicament amb

lrsquoobra de tres historiadors clagravessics que narraren la Segona Guerra Puacutenica perograve que a la

4


vegada dedicaren una extensa part de la seva obra a tractar aquest personatge Polibi Tit

Livi i Plutarc El primer eacutes el meacutes fiable dels tres nascut una desena drsquoanys despreacutes de

la caiguda de Siracusa molt probablement conegueacute testimonis directes que participaren

en la guerra lrsquoinconvenient que presenta la seva obra eacutes que conteacute diverses llacunes eacutes

a dir parts del text original que srsquohan perdut amb el pas dels anys Afortunadament

aquestes llacunes les podem emplenar amb lrsquoobra de Tit Livi La seva tampoc ha arribat

iacutentegra fins a lrsquoactualitat perograve els llibres que descriuen la situacioacute de Siciacutelia durant el

segle III aC es conserven quasi en la seva totalitat A meacutes tot i que aquest autor sovint

ha estat criticat per ser en alguns llibres poc escrupoloacutes amb el tractament dels fets el

seu relat sobre la Segona Guerra Puacutenica eacutes correcte i coincideix amb el que doacutena Polibi

Lrsquouacuteltim dels tres autors eacutes Plutarc que resulta interessant per la precisioacute amb quegrave

descriu el setge de Siracusa i per tota la informacioacute que ens proporciona sobre la vida i

el caragravecter drsquoArquimedes A banda drsquoaquests tres srsquoutilitzaragrave lrsquoobra drsquoaltres autors del

moacuten romagrave i helmiddotlegravenic per acabar de completar la informacioacute que inclou aquest apartat

tals com Ciceroacute Vitruvi Valeri Magravexim Diodor Tzetzeshellip A causa de la gran quantitat

de fonts a consultar i les limitacions que tenen la majoria de biblioteques de quegrave

disposem les citacions drsquoalguna drsquoaquestes fonts srsquoextrauran de les introduccions a les

diferents edicions de les obres drsquoArquimedes

Lrsquoanagravelisi de la vida sempre eacutes interessant a lrsquohora de tractar un personatge

perquegrave ens permet conegraveixer el seu caragravecter i la seva manera de viure En el cas

drsquoArquimedes a meacutes lrsquoestudi minucioacutes del context histograveric en quegrave srsquoenvoltagrave la seva

existegravencia eacutes importantiacutessim perquegrave fou un eacutesser que restagrave influenciat en tot moment

pel seu voltant el rei Hieroacute les Guerres Puacuteniques la ideologia de la Biblioteca

alexandrina les aliances de Siracusa amb lrsquoexteriorhellip

El segon apartat del treball que tracta sobre lrsquoobra del savi es divideix en dos

blocs els enginys i magravequines construiumlts per ell i els seus tractats Per al primer bloc

srsquoutilitzaran bagravesicament els escrits de Plutarc Vitruvi Ciceroacute i en lrsquoapartat dels miralls

ardents Thuillier un autor francegraves contemporani En el cas del segon bloc srsquoempraran

directament les obres drsquoArquimedes perograve com que les obres del geni sovint tenen

continguts drsquoun nivell bastant superior al de batxillerat seragrave convenient consultar tambeacute

llibres sobre Arquimedes que analitzin i reprodueixin en un llenguatge meacutes planer i

actual el contingut dels tractats

5


6

El coneixement de la produccioacute drsquoArquimedes sigui fiacutesica sigui abstracta eacutes

una eina molt uacutetil per saber la manera de treballar del savi veure tot lrsquoabast del seu

enginy i apreciar tota la immensitat del seu llegat Eacutes un procediment encara meacutes eficaccedil

que lrsquoestudi de la seva vida per comprendre tota la personalitat que amagava la persona

drsquoArquimedes

A meacutes drsquoaquests dos apartats el treball inclouragrave un apegravendix consistent en la

traduccioacute drsquoun fragment drsquouna obra inegravedita del bizantiacute Tzetzes el qual tracta

exclusivament sobre Arquimedes Malgrat que aquest autor no es considera massa

fiable aquesta histograveria en concret eacutes de gran interegraves perquegrave ens permet apreciar com

amb el pas dels anys es va creant una llegenda que envolta el savi la qual arriba a

atribuir-li invents o estudis que mai dugueacute a terme Acompanyaragrave la traduccioacute el text

grec original i unes notes sobre lrsquoautor i lrsquoobra on srsquoinclou el fragment que ajuden a

conegraveixer en quines condicions es va escriure

Arquimedes de Siracusa Context histograveric i vida

1 CONTEXT HISTOgraveRIC I VIDA DrsquoARQUIMEDES

11 Primers temps de la Biblioteca alexandrina Formacioacute del savi

Arquimedes va neacuteixer lrsquoany 287 aC1 a la

ciutat portuagraveria de Siracusa (Siciacutelia) en aquella

egravepoca cologravenia de la Magna Gregravecia El seu pare fou

Fiacutedies un astrogravenom fet que exerciacute una forta

influegravencia en la formacioacute i la vocacioacute del seu fill2

La seva famiacutelia tenia llaccedilos de parentiu3 o

drsquoamistat amb qui seria lrsquoany 265 aC el rei Hieroacute

II aquesta relacioacute permetria meacutes endavant que

Arquimedes pogueacutes dedicar-se plenament a la

seva activitat cientiacutefica i matemagravetica

Despreacutes de rebre els primers estudis a la

mateixa Siracusa va traslladar-se essent encara

molt jove a la que en aquell moment era la

capital cientiacutefica i cultural del moacuten helmiddotlegravenic Alexandria El punt neuragravelgic drsquoaquesta

capital de les ciegravencies era la Biblioteca que havia estat fundada lrsquoany 298 per Ptolomeu

I rei drsquoEgipte i que acabaria reunint la colmiddotleccioacute meacutes important de llibres de

lrsquoantiguitat Aquesta gran biblioteca comprava llibres a tot el moacuten donava feina a una

gran quantitat de copistes i ja en temps de Ptolomeu II es convertiacute en la primera

Universitat del moacuten la institucioacute tenia quatre departaments que es dedicaven a lrsquoestudi

de les mategraveries meacutes significatives Literatura Matemagravetiques Astronomia i Medicina

Arquimedes Quadre de Domenico Fetti (1620)

Arquimedes tingueacute el privilegi drsquoaprendre lrsquoart de les matemagravetiques en aquest

ambient envoltat dels altres savis del moment Alliacute hi feacuteu amistat amb alguns cientiacutefics 1 La data de naixement es basa en un escrit de Tzetzes el qual afirma que Arquimedes arribagrave a viure setanta-cinc anys ldquo[Arquimedes] assolint setanta-cinc anys drsquoedat estudiagrave nombroses forces mecagraveniques [hellip]rdquo (Chiliades II 105-106) Ioannes Tzetzes (c 1110-1180) fou un historiador i escriptor bizantiacute lrsquoobra meacutes coneguda del qual el

libre drsquohistograveries o Chiliades (vegirsquos apegravendix) estagrave composta per dotze volums de mil versos cada un L2 En una de les obres del mateix Arquimedes Lrsquoarenari (II 220 21-22) hi apareixen aquestes dades sobre el seu pare ldquoFiacutedies el meu pare [declaragrave] que [el diagravemetre del Sol eacutes] dotze vegades [el diagravemetre de la

luna]rdquo L

7


en par

sos per

realit

ticular amb Conoacute de Samos Dositeu de

Peluacutesion i Eratogravestenes de Cirene4 (aquest

uacuteltim seria a partir de lrsquoany 240 el director de

la Biblioteca drsquoAlexandria) als quals enviaragrave

un cop a Siracusa tots els seus teoremes

Malgrat la bona situacioacute que gaudien

els estudiants a la capital egiacutepcia on estaven

sota el mecenatge del rei Ptolomeu i tenien a

lrsquoabast una gran quantitat de recur

zar les seves investigacions Arquimedes

acabagrave tornant al cap de poc a la seva ciutat natal

sigui per respondre a la crida del rei Hieroacute que pretenia afavorir la cultura de la ciutat o

beacute per la ideologia platogravenica de la Universitat alexandrina que defensava un ciegravencia

teograverica i abstracta el que entendriacuteem per lsquomatemagravetica purarsquo ldquorebutjant de manera

elitista les aplicacions pragravectiques per considerar-les corruptores i degradants i

menystenint lrsquoestudi de la dimensioacute sensible de la realitat5rdquo A propogravesit drsquoaixograve escriu

Plutarc6 ldquoPlatoacute srsquoindignagrave contra ells [Eudoxos i Arquitas7 els quals havien donat un

primer impuls a la mecagravenica derivant la geometria cap a exemples instrumentals] i 3 Aquest relacioacute familiar la suggereix Plutarc Vida de Marcel XIV 12

Biblioteca dAlexandria

a 4 Els alexandrins amb quegrave Arquimedes feacuteu amistat no eren matemagravetics qualssevol alguns han passat a la

s dedicagrave a lrsquoestudi de les seccions cograveniques) i en

perquegrave es destacagrave en molts camps del

a

quimedes Barcelona Fundacioacute Bernat

ou un biogravegraf i assagista grec lrsquoobra meacutes important del qual Vides Paralmiddotleles eacutes

nt

general i tambeacute matemagravetic

histograveria per haver fet importants aportacions a la ciegravencia Conoacute de Samos (c 280-220 aC) destacagrave en matemagravetica (eastronomia eacutes famoacutes principalment per haver descobert la constelmiddotlacioacute Coma Berenices a la qual ell mateix va donar el nom en honor a lrsquoesposa del rei Ptolomeu III Eratogravestenes de Cirene (c 276-194 aC) a banda de ser cegravelebreconeixement (geografia astronomia filologia geometria poesia) eacutes meacutes conegut per haver mesurat la circumferegravencia de la Terra de la forma meacutes precisa que es donagrave en lrsquoantiguitat Dositeu de Peluacutesion (aprox 230 aC) no fou tan important com els altres dos perograve succeiacute Conoacute comdirector de lrsquoescola de matemagravetiques alexandrina i aixograve feacuteu que Arquimedes el valoreacutes com un home savi que podia comprendre i era mereixedor de rebre els seus tractats 5 GONZAacuteLEZ P M VAQUEacute J Introduccioacute al Megravetode drsquoArMetge 1997 p 33 6 Plutarc (c 50-125) funa segraverie formada per meacutes de vint biografies de personatges grecs i llatins entre els quals estableix comparacions Les citacions de lrsquoautor que apareixen en aquest treball nomeacutes soacuten de la vida de Marcel 7 Eudoxos de Cnidos (c 408-355 aC) fou metge matemagravetic astrogravenom i legislador cegravelebre especialmeper descobrir que lrsquoany solar teacute 365 dies i 6 hores Arquitas de Tarent (c 400-347 aC) va ser home drsquoestat Tots dos soacuten comptats entre els filogravesofs meacutes ilmiddotlustres de lrsquoescola pitagograverica

8


sostingueacute enegravergicament que tiraven a perdre i corrompien el que la geometria teacute de bo

fent-la escapar de les coses incorpograveries i ideals cap als objectes sensibles i servir-se de

cossos que requereixen molta vulgar magrave drsquoobra8rdquo Per tant Arquimedes el qual veurem

meacutes endavant com un gran inventor no podia trobar-se a gust investigant en aquest

ambient i avanccedilagrave la seva tornada a Siracusa per tal de gaudir de meacutes llibertat

12 Regnat de Hieroacute II Personalitat drsquoArquimedes

consolidat el seu poder a la ciutat

despreacutes

iacutecia Arquimedes va poder investigar i desenvolupar els

seus teoremes i les seves teories cientiacutefiques aixiacute com donar llum a molts dels invents

que li soacuten atribuiumlts De fet el savi srsquohauria dedicat exclusivament a la investigacioacute

Quan arribagrave a Siciacutelia el rei Hieroacute ja havia

de diverses lluites internes i de les intervencions dels cartaginesos i de Pirrus

rei de lrsquoEpir en lluita contra els romans que pretenien ocupar lrsquoilla Tot aixograve a meacutes del

fet que era un dirigent savi just i que exercia una administracioacute eficient va propiciar

que fos molt apreciat pels habitants de la cologravenia Poc despreacutes durant la Primera Guerra

Puacutenica el rei siracusagrave feacuteu una alianccedila amb els romans i la

mantingueacute durant tota la seva vida cosa que causagrave que

lrsquoilla gaudiacutes drsquouna egravepoca de pau i prosperitat Polibi9

dedica unes pagravegines de la seva obra a fer un panegiacuteric a

Hieroacute ldquoRegnagrave durant cinquanta-quatre anys en els quals

mantingueacute la pagravetria en pau Ninguacute no va atemptar contra el

seu imperi i es veieacute lliure de lrsquoenveja que acostuma a

seguir els magravexims magistrats Fins i tot intentagrave diverses

vegades abdicar del govern perograve en fou privat per

lrsquoassemblea dels ciutadans [hellip] Sobrepassagrave els noranta anys i conservagrave sempre lrsquouacutes de

tots els sentits i mantingueacute intactes totes les parts del seu cos Aixograve em sembla un indici

no petit sinoacute gran drsquouna vida temperada10rdquo

En aquesta situacioacute prop

Moneda de bronze amb la imatge del rei Hieroacute II gravada

8 Marcel XIV 11 9 Polibi (c 203-120 aC) fou un historiador grec presoner de guerra deportat a Roma el 168 aC Va arribar a ser molt amic de Publi Corneli Escipioacute al qual acompanyagrave en moltes de les seves batalles La seva obra Histograveria (Ἱστορίων) estagrave formada per quaranta llibres en la qual explica com i per quegrave els paiumlsos civilitzats eren dominats per Roma representa el testimoni meacutes fiable sobre les Guerres Puacuteniques ja que Polibi tingueacute contacte amb testimonis directes El seu estil eacutes senzill clar i didagravectic 10 Histograveria VII 8 4-8

9


matem

eure el que es conta drsquoell que vivint

sempre

tes estagrave clarament relacionada

amb el

agravetica si no hagueacutes estat perquegrave ldquoel rei Hieroacute havent tingut el desig vehement i a

lrsquouacuteltim persuadit Arquimedes que decanteacutes una mica el seu art de les nocions abstractes

a les coses materials i fes en certa manera la seva teoria meacutes evident al vulgar mesclant-

la per via del sentit a les aplicacions usuals11rdquo

El seu caragravecter estava farcit de muacuteltiples excentricitats algunes formen part de la

llegenda perograve la majoria eacutes molt possible que fossin veritat En aquest sentit Plutarc

narra ldquoNo hi ha doncs raoacute per a deixar de cr

encantat per una mena de sirena familiar i domegravestica srsquooblidava fins de menjar i

negligia la cura de la seva persona i que arrossegat sovint per forccedila a lrsquoungiment i al

bany dibuixava figures geomegravetriques a la cendra dels fogars i quan tenia untat el cos

amb el dit hi traccedilava liacutenies dominat per un gran plaer i verament posseiumlt per les

muses12rdquo Drsquoaixograve podem extreure la implicacioacute del savi siracusagrave en les seves

investigacions fins al punt que prescindiacutes de menjar fins haver acabat i demostrat un

teorema per tal com algunes de les anegravecdotes expliquen com continuava pensant en

geometria fins i tot mentre tenien cura de la seva higiene

Per als habitants de Siracusa Arquimedes devia ser un personatge cegravelebre

peculiar i famoacutes tant per les seves excentricitats com per algunes demostracions

puacutebliques que devia fer amb els seus invents Una drsquoaques

descobriment del polispast o politja muacuteltiple13

tal demostracioacute teacute el seu origen en una carta que el

matemagravetic enviagrave al seu rei ldquoArquimedes [hellip] va

escriure-li [a Hieroacute] que amb una forccedila donada eacutes

possible de moure qualsevol pes donat i endut

joveniacutevolament asseguren per la forccedila de la demostracioacute digueacute que si tenia una altra

terra ell mouria aquesta despreacutes drsquohaver passat a lrsquoaltra Hieroacute meravellat li demanagrave

que poseacutes en execucioacute el problema i li fes veure alguna gran massa moguda per una

forccedila petita Arquimedes fa treure a terra un vaixell reial de tres pals amb gran treball i

molts de braccedilos hi introdueix una multitud drsquohomes i la cagraverrega ordinagraveria i aleshores

ell assegut a distagravencia sense esforccedil bellugant tranquilmiddotlament amb la magrave lrsquoextrem drsquoun

11 Marcel XIV 8 12 Marcel XVII 11 13 Vegeu apartat 212 drsquoaquest treball

10


sistema de cordes i politges lrsquoacosta cap a ell tan llisament i sense entrebancades com si

corregueacutes pel mar14rdquo

Una altra anegravecdota potser la meacutes coneguda del savi grec narrada molt

extensament per Vitruvi15 ens permet saber que moltes de les investigacions i

descob

ertes realitzades per Arquimedes sorgiren de la necessitat que tenia de resoldre

problemes pragravectics i sovint en trobava la solucioacute mitjanccedilant lrsquoobservacioacute del

comportament dels elements del seu voltant Eacutes la seguumlent ldquoHieroacute havia enfortit molt el

seu poder reial a Siracusa i gragravecies als seus egravexits16 va decidir oferir als deacuteus

immortals en un temple una corona votiva drsquoor Va llogar els serveis drsquoun artesagrave i va

entregar-li una quantitat drsquoor despreacutes drsquohaver-lo pesat En el termini fixat lrsquoartesagrave va

presentar a lrsquoaprovacioacute del rei lrsquoobra finament acabada i semblava que el pes de la

corona corresponia al de lrsquoor lliurat Perograve

meacutes tard es van tenir notiacutecies que en

lrsquoelaboracioacute de la corona hom havia sostret

or i havia afegit la mateixa quantitat

drsquoargent Hieroacute indignat pel menyspreu

perograve no trobant la manera de descobrir el

furt va demanar a Arquimedes que en fes

la investigacioacute Arquimedes mentre se

nrsquoocupava anagrave casualment a uns banys i quan es ficava a la banyera observagrave que la

quantitat drsquoaigua que en sobreeixia era igual a la quantitat del seu cos que hi submergia

Doncs beacute ja que aquest fet li mostrava la solucioacute del cas no srsquohi entretingueacute sinoacute que

empegraves per lrsquoalegria va saltar de la banyera i anant-sersquon cap a casa feia saber amb veu

forta que havia trobat exactament el que buscava perquegrave corrent sense parar cridava

en grec lsquoHeacuteureka 17 heacuteurekarsquo18rdquo

14 Marcel XIV 12-13 15 Vitruvi (c 70-25 aC) fou un arquitecte i enginyer romagrave que va dissenyar artefactes begravelmiddotlics per ordre de lrsquoemperador August La seva obra meacutes important De Architectura eacutes una extensa obra de deu llibres que

itectura enginyeria instalmiddotlacions sanitagraveries hidragraveulica acuacutestica i altres aspectes

brir el frau Abordarem meacutes extensament aquesta tema a lrsquoapartat 222

tracta temes sobre arqusobre la construccioacute Va comenccedilar a valorar-se i estudiar-se a partir del Renaixement 16 Els egravexits a quegrave fa referegravencia Vitruvi soacuten les que va aconseguir el rei siracusagrave quan fou aliat dels romans durant la Primera Guerra Puacutenica Ens situem per tant al voltant de lrsquoany 240 aC ja finalitzada la guerra amb els cartaginesos 17 Εὕρηκα (heacuteureka) eacutes el perfet del verb εὑρίσκω (heuriacutesko lsquotrobarrsquo) significa lsquoho he trobatrsquo 18 De Architectura IX Despreacutes drsquoaquest fragment Vitruvi explica el procediment que segons ell utilitzagrave Arquimedes per desco

11


13 Egravepoca de les grans descobertes del siracusagrave

Diversos escriptors agraverabs afirmen que Arquimedes tornagrave a Egipte cridat pel rei

lemes que causaven les crescudes

periogravedi

doacutena ll

aprovessin els seus resultats matemagravetics23rdquo

Ptolomeu que volia que resolgueacutes els prob

ques del riu Nil19 Alliacute va cooperar en la construccioacute de terraplens i bases de

ponts que permetessin comunicar les heretats durant les inundacions Segons Diodor de

Siciacutelia20 durant la seva estada a Egipte Arquimedes tambeacute inventagrave el cargol hidragraveulic21

Despreacutes drsquoaquesta breu estada a Alexandria segurament Arquimedes retornagrave a

Siracusa per quedar-srsquohi ara siacute per sempre Eacutes en aquest periacuteode quan el matemagravetic

um als seus descobriments meacutes importants sobre geometria i en deixa testimoni

en forma de cartes a antics companys drsquoestudi Arquimedes tambeacute es dedicava a enviar

els enunciats dels seus teoremes als alexandrins incitant-los a buscar-ne la demostracioacute

els savis del Museu tanmateix no solien tenir egravexit resolent els problemes que els

proposava En el preagravembul del Megravetode dedicat a Eratogravestenes el siciliagrave escriu

ldquoArquimedes saluda Eratogravestenes Fa temps vaig enviar-te alguns teoremes que havia

descobert te nrsquoexposava els enunciats i trsquoinvitava a trobar-ne les demostracions que

aleshores no vaig indicar-te22rdquo Sembla que Arquimedes ldquoconvenccedilut de la importagravencia

de les seves descobertes [hellip] veieacutes com una necessitat que els cientiacutefics del Museu

s en plena

2-221 aC)

ents de la resta

t de la imaginacioacute de lrsquoartiacutefex no nomeacutes en aixograve sinoacute tambeacute

19 No sabem del cert el moment exacte en quegrave va tornar a Egipte perograve eacutes poc probable que ho fePrimera Guerra Puacutenica per tal com Siciacutelia estava envoltada de combats navals Possiblement doncs va viatjar a Alexandria un cop acabats aquests ja quan hi governava Ptolomeu III Evegravergetes (c 28podriacuteem arribar a dir que fou Eratogravestenes qui va recomanar Arquimedes a Ptolomeu (abans de ser director de la Biblioteca fou tutor del seu fill i per tant era un home de confianccedila del rei) perquegrave investigueacutes les crescudes del riu ja que el matemagravetic siracusagrave coneixia el de Cirene i hi mantenia contacte per mitjagrave de cartes on li enviava els seus teoremes tot aixograve tendeix a fer pensar que Arquimedes no retornagrave a Egipte fins passat lrsquoany 240 aC 20 Aquest historiador siciliagrave (c 90-20 aC) va escriure una obra que pretenia ser una histograveria universal des de la creacioacute del moacuten fins lrsquoany 58 aC La colmiddotleccioacute consta de quaranta volums dels quals sersquon conserven quinze iacutentegrament i fragm21 El fragment de Diodor que fa referegravencia a aquesta invencioacute eacutes el seguumlent ldquo[hellip] extreuen el flux de les aiguumles amb els anomenats kochliacuteas egipcis que descobriacute Arquimedes de Siracusa quan va estar a Egipte [hellip] Certament un pot quedar molt admiraen molts altres grans invents famosos a tot el moacuten habitat les particularitats dels quals tractarem en detall meacutes endavant quan ens referirem a lrsquoegravepoca drsquoArquimedes [hellip]rdquo (Biblioteca Histograverica V 37) La seccioacute a la qual remet Diodor srsquoha perdut sobre el cargol hidragraveulic vegeu apartat 211 22 Megravetode II 426 23 GONZAacuteLEZ P M VAQUEacute J Introduccioacute al Megravetode drsquoArquimedes Barcelona Fundacioacute Bernat Metge 1997 p 34

12


14 Inici de la Segona Guerra Puacutenica

Fi del regnat de Hieroacute Inestabilitat poliacutetica a lrsquoilla de Siciacutelia

Lrsquoany 218 aC srsquoinicia la Segona Guerra Puacutenica i Hieroacute com a bon aliat dels

nat tota la seva forccedila naval per fer front als

s vista la possibilitat

drsquoun in

illa a meacutes contribuiumla amb blat i queviures al manteniment de

lrsquoexegraverc

per al bon rumb de lrsquoilla va morir

sobtada

r absolut26rdquo De fet Hieroacute havia intentat deixar Siracusa

convertida en repuacuteblica abans de morir per evitar que el seu regne srsquoarruiumlneacutes a causa del

romans24 posa a la disposicioacute del Se

cartaginesos i als seus aliats Eacutes molt probable que en aquest temp

tent puacutenic de posar setge a la ciutat de Siracusa Arquimedes es dediqueacutes a

construir tot tipus de magravequines defensives i ofensives per poder fer front a qualsevol

atac

Gragravecies a la flota de Hieroacute els romans van poder mourersquos amb meacutes facilitat entre

Itagravelia i Siciacutelia perquegrave es dedicava a enfonsar totes les esquadres cartagineses que

srsquoavistaven des de lrsquo

it al front Malgrat tenir ja meacutes de vuitanta anys el vell rei ldquova prometre que ara

en la seva vellesa ajudaria el poble romagrave amb el mateix esperit amb quegrave lrsquohavia ajudat

durant la seva joventut a la guerra anterior25rdquo

Lrsquoany 216 Geloacute el primogegravenit de Hieroacute va estar a punt de revolucionar Siciacutelia

quan es passagrave al bagravendol dels cartaginesos no respectant ni la vellesa del seu pare ni

lrsquoantiga alianccedila amb Roma Afortunadament

ment quan estava instigant el poble a la revolta i srsquoaconseguiacute mantenir

lrsquoestabilitat Aquest fet perograve evidenciava que Hieroacute II ja era massa gran per mantenir la

sang freda davant drsquouna guerra tan important i en efecte moriria poc despreacutes el 215

aC a lrsquoedat de 91 anys

El vell rei doncs fou succeiumlt per Hierogravenim el seu neacutet un adolescent de quinze

anys ldquoque difiacutecilment hauria pogut exercir amb moderacioacute un poder de llibertats i

encara menys un pode

24 En paraules de Livi ldquoHieroacute era un home de beacute i un aliat extraordinari i des que srsquohavia fet amic del

a escriure una completiacutessima obra que narra la

Primera Guerra Puacutenica

poble romagrave de forma constant srsquohavia mantingut lleial i en tot lloc i moment havia afavorit generosament els interessos de Romardquo (Ab Vrbe condita XXII 37 10) Tit Livi (59 aC-17 dC) va ser un historiador romagrave que vhistograveria de Roma des de la seva fundacioacute (drsquoaquiacute el seu nom en llatiacute) Aquesta estava formada per cent quaranta-dos volums i fou un encagraverrec drsquoAugust per realccedilar la glograveria de lrsquoImperi recentment format Malgrat que Livi no eacutes molt escrupoloacutes a lrsquohora de narrar els fets ja que lrsquoobra conteacute anacronismes i contradiccions va ser la histograveria de Roma meacutes llegida fins al Renaixement 25 Ab Vrbe condita XXI 50 9 Quan diu lsquoa la guerra anteriorrsquo es refereix a la26 Ab Vrbe condita XXIV 4 1

13


despoti

s els conciutadans

mai vi

splaccedilagrave ragravepidament cap a

Siracus

sme del nou monarca no obstant aixograve la insistegravencia de les seves filles que

volien un governant manipulable ndashper poder exercir el poder reial elles mateixesndash va

fer que el rei nomeneacutes successor Hierogravenim guiat per quinze tutors27

Poc despreacutes dels funerals de Hieroacute un dels seus gendres convenccedil la resta de

tutors a abandonar la tutela argumentant que el jove ja eacutes capaccedil de governar tot sol A

partir drsquoaquest moment Hierogravenim comenccedila a comportar-se amb opulegravencia vestint el

color porpra28 i duent escorta armada i amb un tracte despectiu enver

st en el seu predecessor El que succeiacute despreacutes ho narra Livi amb aquestes

paraules ldquoI drsquoaquesta manera el pagravenic srsquoapoderagrave de tothom fins a tal punt que alguns

dels tutors srsquoanticiparen al cagravestig que temien rebre per mitjagrave del suiumlcidi o de lrsquoexili

voluntari Tres drsquoells Adranogravedor i Zoippos gendres de Hieroacute i un tal Trasoacute eren els

uacutenics que tenien acceacutes al palau amb relativa familiaritat en altres quumlestions la veritat eacutes

que [Hierogravenim] no feia massa cas a llur opinions perograve com que dos drsquoells es decantaven

pels cartaginesos i Trasoacute per lrsquoalianccedila amb Roma amb el seu enfrontament i la seva

proclivitat atreien a vegades latencioacute del jove Aleshores un tal Caloacute [hellip] denunciagrave una

conjuracioacute enginyada per acabar amb la vida del rei29rdquo Caloacute nomeacutes va donar el nom

drsquoun dels conjurats que fou torturat fins que confessagrave qui eren els seus suposats

cogravemplices per encobrir els reals digueacute que Trasoacute era el cap del complot i esmentagrave com

a coparticipants diversos innocents que formaven part de lrsquoograverbita que envoltava

Hierogravenim30 Tots aquests foren declarats culpables i ajusticiats

Llavors sense Trasoacute pel mig el rei es decantagrave per lrsquoalianccedila amb Cartago drsquoaltra

banda els conjurats que srsquohavien amagat esperant lrsquoocasioacute adient van aprofitar que el

monarca srsquohavia desplaccedilat a Leontini31 per portar a terme el complot i assassinar-lo32

Despreacutes de lrsquohomicidi Teogravedot el liacuteder de la conspiracioacute es de

a proclamant la llibertat pels carrers de la ciutat al cap de dos dies se celebraren 27 Per assegurar-se del tot que podrien influir en el governant les filles de Hieroacute el convenceren perquegrave els seus marits Adranogravedor i Zoippos fossin els principals tutors del jove

ca romana per tenyir les togues dels magistrats (com meacutes alt era el

28 Aquest color srsquoutilitzava en lrsquoegravepocagraverrec drsquoun magistrat meacutes bandes de color porpra tenia la seva toga i meacutes gruixudes eren aquestes) i simbolitzava el poder i en aquest cas tambeacute la reialesa 29 Ab Vrbe condita XXIV 5 7-9 30 El que doacutena credibilitat a aquesta confessioacute eacutes que els suposats membres de la conjuracioacute soacuten homes propers al rei als quals beneficiava la seva mort 31 Actual Lentini prop de Siracusa32 Amb aquest crim srsquoacabagrave el curt regnat de Hierogravenim que nomeacutes havia durat tretze mesos entre els anys 215 i 214 aC

14


eleccions per escollir els membres del senat de les quals surten vencedors Adranogravedor i

els assassins de Hierogravenim Hipogravecrates i Epiacutecides uns descendents de Siracusa que

temps enrere Anniacutebal havia enviat a Siciacutelia per pactar lrsquoalianccedila amb Hierogravenim aprofiten

la situacioacute encara inestable per difondre rumors segons els quals ldquoel senat i la noblesa

[hellip] estaven ordint un pla secret dirigit a fer que Siracusa passeacutes a poder dels romans

amb el pretext drsquouna renovacioacute de lrsquoalianccedila per despreacutes exercir la tirania una faccioacute els

pocs instigadors de la renovacioacute del tractat33rdquo Tot aixograve donava peu a un cop drsquoEstat i

Adranogravedor es decidiacute i planejagrave fer-se amb el poder malauradament en entrar a la cuacuteria34

els soldats li llevaren la vida assabentats dels seus projectes Aleshores els membres

del senat decideixen perseguir i liquidar la resta de la famiacutelia reial en un intent drsquoevitar

meacutes conspiracions per aconseguir el poder de la ciutat perograve tambeacute perquegrave sospitaven

que el govern despogravetic exercit per Hierogravenim havia estat provocat pels tutors la majoria

familiars seus

Un cop morta tota la reialesa es convocaren noves eleccions per substituir

lrsquoaristocragravecia assassinada de les quals en sortiren clars vencedors Hipogravecrates i Epiacutecides

Arranjat aquest assumpte el senat ignoragrave la recent alianccedila amb Anniacutebal i enviagrave

ambaixadors al general Marcel35 per refer lrsquoantic pacte amb Roma Aixograve no agradagrave als

recentment escollits ja que eren partidaris de Cartago perograve no van tenir temps drsquoactuar

perquegrave foren enviats a Leontini amb un exegravercit per ajudar les tropes romanes Aleshores

ordeixen un pla en primer lloc eliminen amb els seus soldats la unitat de vigilagravencia que

Marcel tenia apostada a la zona i es refugien a la poblacioacute El general romagrave sorpregraves per

lrsquoatac al seu exegravercit amb la qual cosa srsquohavia trencat el pacte amb Siracusa ldquopren la

ciutat de Leontini a viva forccedila no fa cap dany als habitants perograve tots els desertors que

hi atrapa els fa assotar i occir Hipogravecrates comenccedila per enviar a Siracusa un report que

Marcel passa a degolla tota la joventut de Leontini i llavors quan teacute els siracusans

contorbats els cau damunt [amb Epiacutecides] i srsquoapodera de la ciutat36rdquo

33 Ab Vrbe condita XXIV 23 11 34 La cuacuteria era lrsquoedifici on acostumava a reunir-se el Senat

8 aC) fou cinc vegades cogravensol el Senat de Roma li atorgagrave el

Hipogravecrates amb molt drsquoenginy aprofita el millor coneixement que teacute de la situacioacute es sobre Marcel per enviar primer que ninguacute missatgers a Siracusa

preteacuten (i aconsegueix) crear lrsquoestat drsquoopinioacute

35 Marc Claudi Marcel (c 268-20comandament de les tropes de Siciacutelia perquegrave era lrsquouacutenic general que no havia sofert derrotes a Itagravelia 36 Marcel XIV 2-3la qual cosa li doacutena certs avantatgtransmetent un report fals sobre lrsquoatac romagrave a Leontini que que ell desitja a la capital Graciegraves a aixograve li eacutes relativament fagravecil fer-se amb el poder representant el paper de salvador davant lrsquoenemic Roma

15


15 Setge romagrave de Siracusa Desplegament de les magravequines drsquoArquimedes

Quan els romans srsquoassabentaren dels fets van traslladar el s eu campament a

criu amb tot

luxe d

podien oposar a

una for

vaixell aixecat de sobre el mar girant drsquoaciacute drsquoallagrave suspegraves oferia un espectacle

Siracusa i comenccedilaren lrsquoatac a la ciutat per terra i per mar37 Plutarc el des

e detalls38 ldquoApi menagrave lrsquoexegravercit de terra i ell mateix [Marcel] dugueacute seixanta

galeres de cinc rengles de rems39 plenes de tota mena drsquoarmes i trets40

Quan els romans doncs atacaren per les dues bandes alhora la consternacioacute

srsquoapoderagrave dels siracusans que estaven muts de terror creient que res no

ccedila i una puixanccedila tan grans Perograve Arquimedes engega les magravequines i tot drsquouna

van a lrsquoencontre de les tropes de terra trets de tota mena i unes grandagraveries enormes de

pedres que queien amb brunziment i rapidesa increiumlbles res no pot arrecerar contra llur

pes tomben a munts els qui

srsquoescauen a sota i desbaraten els

rengles Quant a les naus de sobte

per damunt les muralles es projecten

antenes41 que fent forccedila a les unes

amb un pes que sersquols recalca des de

dalt les fa anar a fons o amb unes

grapes de ferro o uns becs com de

grua nrsquoestiren drsquoaltres enlaire per la

proa i les submergeixen verticalment

per la popa o per mitjagrave de llibants creuats des de dins les fan giravoltar i rodar sobre

elles mateixes i les rebaten contra els espadats i els esculls que srsquoavancen al peu de la

muralla esclafant-les-hi amb gran destroccedila dels qui les tripulen42 Moltes vegades un

Atac romagrave a Siracusa

esgarrifoacutes fins que els homes precipitats i escampats com els trets drsquouna fona el

37 Lrsquoinici de lrsquoatac se situa entre els mesos drsquoagost i setembre de lrsquoany 213 aC 38 Lrsquoescomesa romana tambeacute eacutes descrita per Polibi Histograveria VIII 3-7 i Livi Ab Vrbe condita XXIV 34

estres el qual estava a les

es srsquohavien drsquoacostar molt a la muralla ategraves que a mitjanccedilant unes escales que llanccedilaven des de dalt del pal de la nau per poder

39 Api Claudi era el general romagrave que srsquoencarregava de dirigir les tropes terrordres de Marcel que srsquoocupava tambeacute de la flota naval 40 Marcel XIV 5 41 Arquimedes aprofita el fet que les embarcacions romanpretenien superar-lcolpejar-les amb els seus ginys 42 Per veure una descripcioacute meacutes extensa dels aparells utilitzats per Arquimedes durant lrsquoatac romagrave a Siracusa consulteu lrsquoapartat 21

16


deixaven buit i queia contra les muralles o lliscava de lrsquoagafall que el retenia La

magravequina que Marcel feia avanccedilar des de la plataforma es deia sambuca43 [hellip] Mentre

era encara a una certa distagravencia de la muralla contra la qual es movia li eacutes descarregada

una pedra de deu talents de pes44 despreacutes una segona i una tercera de les quals les

unes caient amb gran estregravepit i maror de ple dins la magravequina nrsquoesclafen la base i

sotraguen i desballesten lrsquoenclavillat de la plataforma de manera que Marcel perplex

srsquoallunya ragravepidament amb la seva flota i envia a lrsquoexegravercit de terra lrsquoordre de retirada

Llavors en un consell de guerra acord eacutes pres drsquoacostar-se encara si es pot a

les muralles durant la nit perquegrave els llibants que usa Arquimedes tenen forccedila per a fer

volar molt amunt els trets que es disparin perograve de prop soacuten perfectament ineficaccedilos

perquegrave el cop no teacute distagravencia [progravepia] Arquimedes sembla per aixograve mateix havia

prepara

buca i supera els fabulosos monstres de cent mans disparant-nos

t feia temps moviments de ginys adequats per a tota distagravencia i trets curts i

successions de forats no pas grans perograve siacute nombrosos i continus en els quals hi havia

escorpions drsquoabast curt perograve aptes per a colpir de la vora emplaccedilats sense que els

pogueacutes veure lrsquoenemic Aixiacute doncs quan els romans soacuten al peu de la muralla creient

passar desapercebuts i una vegada meacutes es troben amb tot de trets i de cops una pluja de

pedres que els cauen al cap gairebeacute perpendicularment mentre que la muralla els envia

fletxes de pertot reculen I no eacutes tot quan tornen a estar arrengats lluny surten altra

vegada trets que els atenyen mentre es retiren i hi ha una gran destroccedila drsquohomes i un

terrible entrexocar de naus sense que puguin tornar-se contra els enemics La majoria

de les magravequines en efecte Arquimedes les havia fabricades a recer de la muralla i els

romans semblava que lluitessin contra deacuteus perquegrave milers de mals adollaven sobre ells

drsquouna font invisible

Nogensmenys Marcel escapa dels perills i plasentejant amb els seus artiacutefexs i

enginyers lsquoiquestNo acabarem diu de fer la guerra a aquest Briareu de la geometria que

amb els nostres vaixells escudella lrsquoaigua del mar i a cops de vara ha tret fora amb

vilipendi la nostra sam

43 Marcel havia unit dues galeres i les utilitzava com a suport per fer avanccedilar aquesta magravequina una espegravecie de torre drsquoassalt per mar que permetia als romans poder superar la muralla un cop les naus hi haguessin arribat 44 Uns 400 quilograms

17


tants d

quals M

quidistant

i que a

e trets alhora45rsquo Perquegrave en realitat tots els altres siracusans eren el cos de

lrsquoaparell drsquoArquimedes i lrsquoagravenima que tot ho movia i girava era una les altres armes

jeien quietes la ciutat aleshores nomeacutes feia servir les drsquoell per a lrsquoatac i per a la

defensa A la fi Marcel veient els romans tan esfereiumlts que a la vista drsquoun llibantet o

drsquouna fusta que srsquoallargueacutes una mica per sobre la muralla vociferant que Arquimedes

movia alguna magravequina contra ells giraven lrsquoesquena i fugien desistiacute de tota mena de

combat i drsquoassalt confiant al temps la resta del setge46rdquo

Durant aquest que duragrave vuit mesos Marcel es dedicagrave a atacar els partidaris dels

cartaginesos que hi havia a lrsquoilla Mentrestant perograve es mantenia a lrsquoexpectativa

drsquooportunitats per intentar penetrar a la ciutat la primera que se li presentagrave47 va sorgir

drsquouns tragravensfugues siracusans que no estaven drsquoacord amb lrsquoactual pacte cartaginegraves i als

arcel prometeacute que viurien lliures si entregaven Siracusa Mentre srsquoultimaven els

preparatius del pla perograve Epiacutecides se nrsquoassabentagrave i torturagrave i matagrave els traiumldors

La segona oportunitat es presentagrave immediatament despreacutes ldquoUn lacedemoni

enviat per Siracusa al rei Filip48 havia estat capturat per naus romanes Epiacutecides estava

molt interessat a rescatar-lo tant si com no i Marcel no srsquohi oposagrave [hellip] Els enviats a

lrsquoentrevista per negociar el rescat calcularen que hi havia un lloc exactament e

nava beacute a ambdues parts [hellip] prop drsquouna torre que anomenen Galeagra49 Van

anar-hi diverses vegades i un dels romans observagrave el mur de prop comptagrave les pedres

feacuteu els cagravelculs mentalment de lrsquoamplada que mesurava cadascuna calculagrave lrsquoalccedilada de la

muralla tan precisament com pogueacute i quan va veure que era bastant meacutes baixa del que

en un principi havien pensat ell i tota la resta i que fins i tot es podia superar amb

escales no massa llargues nrsquoinformagrave Marcel que srsquoho va prendre seriosament perograve

45 Briareu era un dels Hecatonquirs gegants dotats de cent mans i cinquanta caps que posseiumlen una forccedila descomunal Plutarc utilitza la metagravefora per representar el gran enginy drsquoArquimedes que amb el seu art i les seves magravequines superava agravedhuc aquests monstres mitologravegics 46 Marcel XV XVI XVII 1-4 47 Ens situem a principis de la primavera de lrsquoany 212 aC 48 Filip V (238-197 aC) fou rei de Macedogravenia a partir del 221 aC Durant la Segona Guerra Puacutenica signa una alianccedila amb els cartaginesos vistes les victograveries drsquoAnniacutebal a Itagravelia i preteacuten el domini de la regioacute drsquoIlmiddotliacuteria despreacutes de la derrota romana Aquesta alianccedila provocagrave lrsquoinici de les Guerres Macedograveniques que acabaren amb el domini llatiacute de Gregravecia 49 Al nord de Siracusa entre els barris de Tique i Acradina La ciutat es dividia en cinc barris o districtes LrsquoIlla Ciutat Nova Epiacutepoles i els dos ja esmentats el drsquoAcradina era la part principal i estava separat de la resta per un mur

18


com que no era possible aproximar-se al lloc perquegrave estava vigilat per la raoacute

mencionada van romandre quiets esperant una oportunitat50rdquo

16 Entrada dels romans a Siracusa Mort drsquoArquimedes

Aquesta nova oportunitat arribagrave pocs dies meacutes tard de la magrave drsquoun desertor el

ual informagrave Marcel ldquoque tots els siracusans celebren una festa que dura tres dies en

mengen molt pobrament no

obstant

l

er recorregut no trobaren ninguacute perquegrave els qui srsquohavien

q

honor drsquoArtegravemis i que per beacute que a causa de lrsquoescassetat

de vi no en manca perquegrave Epiacutecides i els siracusans de fora lrsquohan aportat en

abundagravencia Marc [hellip] opinant que el meacutes natural eacutes que els de dintre srsquohaguessin

embriagat perquegrave havien begut sense menjar res de sogravelid va prendre el determini de

temptejar les seves esperances Ragravepidament feacuteu adossar a la muralla dues escales

apropiades i es disposagrave a prosseguir lrsquoempresa Als meacutes aptes per a pujar i per a

afrontar el primer i meacutes visible risc els participagrave el projecte i els feacuteu concebre grans

esperances Triagrave els qui havien drsquoajudar-lo a transportar les escales perograve no els declaragrave

res del projecte nomeacutes els managrave que estiguessin atents a les ordres que rebrien

Aquestes foren acomplertes exactament en el moment oportuacute de la nit desvetllagrave els

primers i enviagrave els portadors de les escales amb un maniple i un tribuacute51 despreacutes

drsquoassenyalar la recompensa que tindrien els coratjosos Immediatament desvetllagrave tot

lrsquoexegravercit i als primers drsquoaquests els enviagrave

a intervals maniple per maniple Quan

aquests arribaren aproximadament al

miler deixagrave passar un temps i seguiacute ell

mateix amb tota la tropa Els qui

portaven les escales pogueren recolzar-

les a la muralla sense risc i sense eacutesser

vistos pels de dins Els escollits pujaren

sense vacilmiddotlar Tampoc aquests no foren

vistos i drets i en seguretat dalt de la

es sense observar lrsquoordre del principi sinoacute

Mapa de la Siracusa del segle III aC

muralla els altres corregueren cap a les esca

cadascuacute per on podia En el prim 50 Ab Vrbe condita XXV 23 8-13

19


congregat a les torres per als sacrificis uns eren al punt culminant del banquet i altres

jeien totalment embriacs Per aixograve tant als de la primera torre com als de la segona els

assaltaren drsquoimprevist i en mataren impunement la majoria totalment desapercebuts I

en apropar-se en llur descens a les lsquoSis Portesrsquo obriren la primera porta52 que hi havia

bastida i per ella reberen el general i la resta de lrsquoexegravercit53rdquo

Lrsquoentrada dels soldats romans a Siracusa produiacute la fuga i el terror general dels

ciutadans ldquocom si no quedeacutes res de la ciutat per prendre I tanmateix quedava el barri

meacutes fort meacutes bell i meacutes gran que es diu lrsquoAcradina54rdquo Aquest barri seria conquerit un

any i m

ue es va veure obligat a

permet

orta tres ldquoSrsquoestava tot sol reflexionant

sobre

Arquimedes no vol fins haver acabat el probl

ple drsquoi ta Drsquoal

ig meacutes tard despreacutes drsquointensos combats i negociacions

Tant Livi com Plutarc afirmen que Marcel imaginant-se com quedaria la ciutat

despreacutes del saqueig de lrsquoexegravercit no va poder contenir les llagravegrimes El general evitagrave que

fos cremada i arrasada com proposaven molts soldats malgrat q

re que es fes botiacute de les riqueses i els esclaus I efectivament ldquono foren pas

menys les riqueses endutes drsquoalliacute que meacutes endavant de Cartago55 perquegrave la resta de la

ciutat56 no gaire temps despreacutes lliurada per la traiumlcioacute persistiren a saquejar-la excepte

el tresor reial aquest fou apartat per al fisc57rdquo

Durant aquest pillatge eacutes quan es produiacute la mort del savi Arquimedes que tant

afligiacute Marcel perquegrave el general havia decretat que es respecteacutes la vida del matemagravetic

Ens nrsquohan arribat moltes versions Plutarc nrsquoap

una figura de geometria i talment havia donat a aquella contemplacioacute el

pensament i els ulls que no va tenir esment de la irrupcioacute dels romans ni de la presa de

la ciutat De sobte se li presenta un soldat i li mana que el segueixi on eacutes Marcel

ema i establert la demostracioacute el soldat

tres diuen que el romagrave va presentar-se ja

de dret amb lrsquoespasa nua per matar-lo i que Arquimedes en veurersquol pregagrave i suplicagrave que

srsquoespereacutes una estona a fi de no deixar la seva recerca inacabada i sense demostracioacute

ra srsquoarrenca de lrsquoespasa i el ma

51 Un maniple era cada una de les trenta unitats en quegrave es dividia la legioacute romana un tribuacute era el cap drsquoun cos de tropes

57

52 La primera porta era lrsquoHexagravepila la meacutes important de les lsquoSis Portesrsquo situades de forma contigua a la part nord de la muralla 53 Histograveria VIII 38 2-11 54 Marcel XVIII 5-6 55 La destruccioacute de Cartago es produiria lrsquoany 146 aC 56 Es refereix a lrsquoAcradina el barri principal i on habitaven els ciutadans meacutes rics

Marcel XIX 7

20


perograve el soldat sense amoiumlnar-srsquohi gens lrsquoenllestiacute I una tercera versioacute eacutes que

Arquimedes portava a Marcel uns instruments de matemagravetiques quadrants solars

esferes i escaires amb els quals adaptava

la magnitud del sol a la vista uns soldats el

topen creuen que porta or dins la caixa i el

maten58rdquo

Tit Livi descriu lrsquoassassinat del savi

de forma meacutes succinta ldquoArquimedes quan

estava inclinat sobre uns dibuixos que

havia traccedilat a terra fou mort per un soldat

que de

despreacutes de colmiddotlocar-se

al seu

sconeixia la seva identitat59rdquo Valeri

Magravexim60 per contra ofereix potser la versioacute

meacutes tragravegica dels fets ldquoMentre Arquimedes amb la ment i els ulls clavats a terra traccedilava

unes figures un soldat va irrompre a casa seva per saquejar-la i amb lrsquoespasa

desembeinada sobre el seu cap va preguntar-li qui era ell pel deler desmesurat de

prosseguir la seva investigacioacute no va poder donar-li el seu nom sinoacute que protegint

lrsquoarena amb les mans va dir-li lsquoSi et plau no em desfacis aixograversquo Com si actuant aixiacute

menyspreeacutes lrsquoordre del vencedor fou mort i amb la seva sang va desfigurar les liacutenies

fruit de la seva ciegravencia Drsquoaquesta manera va passar que la seva mateixa passioacute per

lrsquoestudi primer li feacuteu el do de la vida i despreacutes la hi prengueacute61rdquo

Meacutes endavant ja en egravepoca bizantina Tzetzes aportagrave una nova versioacute de la mort

del savi ldquoEstava inclinat traccedilant un dibuix mecagravenic i un romagrave

Un soldat romagrave ordena a Arquimedes que vagi a veure Marcel

costat el feia presoner arrossegant-lo Aleshores Arquimedes completament

concentrat en el dibuix no reconeixent-lo qui lrsquoarrossegava li deia lsquoApartarsquot home del

meu dibuixrsquo Quan el romagrave lrsquoestirava despreacutes de girar-se [Arquimedes] i reconegraveixer que

era romagrave cridava lsquoQue alguacute em doni alguna magravequina de les mevesrsquo I el romagrave

espantat mata a lrsquoinstant aquest home degravebil i vell extraordinari per les seves obres62rdquo

1 V 31 9

) va ser un compilador drsquoanegravecdotes i relats tradicionals que agrupagrave en la

memorabilia VIII 7

58 Marcel XIX 8-159 Ab Vrbe condita XX60 Valeri Magravexim (s I aC ndash s I dCseva obra Dits i fets memorables (Dicta et facta memorabilia) dedicada a lrsquoemperador Tiberi Estagrave dividida en nou llibres que srsquoagrupen en blocs segons la seva temagravetica religioacute institucions civils virtuts socials etc 61 Dicta et facta 62 Chiliades II 136-144

21


I per uacuteltim citarem una versioacute moderna que eacutes de fet una reproduccioacute en paper

de la llegenda que ens ha arribat fins a lrsquoactualitat resultat de moltes modificacions i que

agafa d

nts fou causada per la presa romana de la ciutat

de Sira

Arquimedes perograve va fer que la seva histograveria no srsquoacabeacutes amb la mort Drsquouna

atemagravetiques han aconseguit que el seu treball

hagi es

matemagravetic ldquodemanagrave als seus

amics i

etalls de cada autor clagravessic ldquoQuan [hellip] Siracusa fou al final capturada per les

legions romanes un destacament de soldats romans va irrompre a la casa drsquoArquimedes

el qual estava absort al pati del darrere traccedilant algunes complicades figures

geomegravetriques a la sorra lsquoNoli tangere circulos meosrsquo exclamagrave Arquimedes en el seu

mal llatiacute quan un dels soldats va trepitjar-los Com a resposta el soldat traspassagrave amb la

seva llanccedila el cos de lrsquoanciagrave filogravesof63rdquo

Sigui quina sigui la veritable anegravecdota sobre la mort drsquoArquimedes tots els

escriptors estan drsquoacord en diversos pu

cusa encara que el general que dirigia lrsquoatac sempre intentagrave protegir el savi i de

fet com diu Plutarc ldquoque Marcel srsquoadoloragrave que es giragrave del seu matador amb horror com

drsquoun sacriacuteleg i que va fer cercar els seus parents per honrar-los tothom hi conveacute64rdquo

17 El savi grec despreacutes de la seva mort

banda les contribucions que feacuteu a les m

tat valorat fins a lrsquoactualitat i investigat pels savis des del Renaixement de

lrsquoaltra lrsquoesplegravendida defensa que desenvolupagrave durant lrsquoatac romagrave a Siracusa li permeteacute

fer-se un lloc a les pagravegines de tots els historiadors que ens han transmegraves diverses

anegravecdotes del savi A meacutes tot i que no escrigueacute cap llibre les cartes que enviagrave als seus

amics ens han permegraves tenir testimoni de tot el seu llegat

I aixograve no eacutes tot la tomba drsquoArquimedes eacutes gairebeacute miacutetica i ha passat a la

histograveria com la primera amb un epitafi cientiacutefic Perquegrave el

als seus parents que despreacutes de la seva mort posessin damunt la seva tomba un

cilindre contenint una esfera i per inscripcioacute la proporcioacute en quegrave el sogravelid continent

excedeix el sogravelid contingut65rdquo

y of Phisics New York Harper and Brothers Publishers 1961 p 29-30

12

63 GAMOW G Biograph(Traduccioacute) 64 Marcel XIX65 Marcel XVII 12

22


Aquest fet el corrobora Ciceroacute66 el qual lrsquoany 75 aC mentre era quumlestor67 al

Lilibeu (Siciacutelia) descobriacute la tomba del savi en molt males condicions ldquoEssent jo

quumlestor

sans que negaven lrsquoexistegravencia de la seva

vaig descobrir el seu sepulcre ignorat dels siracusans (que fins i tot negaven

que existiacutes) voltat i cobert pertot arreu

drsquoesbarzers i malesa Jo em recordava

drsquouns senaris que segons una tradicioacute

estaven gravats sobre la seva

sepultura i en aquests senaris es deia

que al cim del monument hi havia una

esfera amb un cilindre Aleshores jo

un dia que estava escorcollant amb els

ulls tot el terreny que hi ha al voltant

de la porta drsquoAgrigent (en aquell

indret hi ha una gran quantitat de sepulcres) em vaig adonar drsquouna columneta que no

sobresortia gaire de la brossa en la qual hi havia gravades les figures drsquouna esfera i drsquoun

cilindre Vaig dir de seguida als siracusans que mrsquoacompanyaven (eren els principals de

la ciutat) que em creia que allograve era el que cercava Hi vam enviar uns quants homes amb

falccedils per netejar i descobrir el lloc Quan vam tenir una entrada oberta ens vam acostar

a la cara anterior del pedestal Srsquohi veia la inscripcioacute amb els versos rosegats al final

gairebeacute la meitat68rdquo

Drsquoaquesta manera veiem que Arquimedes cent trenta-set anys despreacutes de la seva

mort continuava deixant perplexos els siracu

Monument en honor a Arquimedes que reprodueix la seva tomba (Siracusa)

66 Marc Tulmiddotli Ciceroacute (106-43 aC) fou un orador escriptor i poliacutetic romagrave que visqueacute els uacuteltims temps de la repuacuteblica Eacutes meacutes conegut per la seva eloquumlegravencia i per lrsquoestil de la seva prosa que encara eacutes model avui en dia per redactar les enciacutecliques papals La seva obra eacutes molt extensa perograve destaquen els diversos discursos que feacuteu davant del senat al llarg de la seva vida aixiacute com els seus l67

libres de teoria filosogravefica Els quumlestors foren la magistratura meacutes baixa de la carrera poliacutetica (cursus honorum) romana encarregaven de supervisar el tresor i les finances de lrsquoestat lrsquoexegravercit i els funcionaris

68 Tusculanae Disputationes V 23 64-66 srsquo

23


24

mba perograve tambeacute els romans que veien com lrsquoagravenima del millor matemagravetic de

antiguitat restava viva present en totes les seves descobertes

to

lrsquo

Arquimedes de Siracusa Obra enginys i tractats

2 OBRA DrsquoARQUIMEDES

21 Enginys i magravequines 211 El cargol hidragraveulic El cargol cargol sense fi o cograveclea (κοχλίας) fou un instrument que ideagrave

Arquimedes durant la seva segona estada a Egipte per tal de poder elevar lrsquoaigua del riu

Nil i guanyar aixiacute camps fegravertils o beacute per desguassar terres meacutes baixes on srsquohi estancava

lrsquoaigua1

Estava compost drsquouna llarga

fusta ben arrodonida que srsquoenvoltava

amb una espiral feta a partir drsquoun llarg

regle de faig enganxat amb pega

liacutequida damunt drsquoaquesta srsquohi anaven

afegint espirals successivament fins que el canal per on havia de pujar lrsquoaigua tenia el

gruix suficient El conjunt drsquoespirals es cobria totalment a base de taulons que es

reforccedilaven amb arcs de ferro Els eixos tambeacute de ferro es colmiddotlocaven a les puntes de la

fusta central i la magravequina srsquoaccionava de forma manual fent girar un drsquoaquests2

El seu funcionament era

bastant simple quan es girava el

cargol el contingut drsquoaigua que hi

havia als esglaons submergits de

lrsquoespiral anava pujant fins que

arribava a dalt de tot i queia al canal o

en un recipient

1 Diodor Siacutecul Biblioteca Histograverica V 37 2 Vitruvi De Architectura X VI

25


212 El polispast El polispast (πολύσπαστον) o politja muacuteltiple fou un enginy utilitzat per

Arquimedes per moure un vaixell immens i aixiacute complaure el rei Hieroacute que li havia

demanat que li mostreacutes com amb una forccedila petita podia desplaccedilar una massa molt gran3

Aquesta magravequina es basa en la foacutermula nPF =

Segons aquesta la forccedila que cal realitzar per aixecar un objecte (F) eacutes igual al

pes drsquoaquest (P) dividit entre el nombre de politges (n) de quegrave estigui compost el

polispast en quumlestioacute Aixiacute doncs com meacutes gran sigui el nombre de politges meacutes petit

seragrave lrsquoesforccedil realitzat per fer pujar lrsquoobjecte

Lrsquoinconvenient drsquoaquest aparell eacutes que ndl = o sigui la distagravencia que srsquoeleva el

pes (l) eacutes igual a la longitud de corda estirada (d) dividida entre el nombre de politges

Aixograve fa que com meacutes politges utilitzem per aixecar un objecte meacutes longitud de corda

haurem drsquoestirar per fer-lo pujar una mateixa distagravencia

Si tenim en compte que la galera que mogueacute Arquimedes era drsquouna massa

enorme i es desplaccedilava molt lentament el nombre de politges que utilitzagrave el savi en

aquella demostracioacute degueacute ser important

213 Lrsquourpa drsquoArquimedes Aquesta magravequina eacutes una de les meacutes originals emprades en la defensa de la ciutat

de Siracusa durant lrsquoatac naval de Marcel lrsquoany 213 aC

Descrita per Plutarc com una grapa de ferro (χείρ σιδηρᾶ) o un bec com de grua

(στόμα εἰκάμενον γεράνου)4 era un giny compost per un tauloacute vertical i un altre

drsquohoritzontal colmiddotlocat aquest segon per la part del mig al capdamunt del primer de

manera que fos mogravebil estava situat a lrsquointerior de la muralla que donava al mar La

fusta horitzontal passava per sobre del mur a la banda exterior hi havia penjada una

corda amb un ganxo de ferro a la punta mentre que a la interior srsquohi colmiddotlocava un

sistema de politges

3 Marcel XIV 13 4 Marcel XV 3

26


Funcionava de la seguumlent manera

quan un vaixell srsquoapropava a la muralla el

que dirigia lrsquourpa feia que el ganxo es claveacutes

a la proa de la nau llavors uns homes

estiraven la corda del final del polispast i

aprofitant el seu sistema elevaven el vaixell

a poc a poc perograve sense esforccedil Un cop havia

assolit una posicioacute totalment vertical deixaven anar la corda de sobte fet que provocava

que lrsquoembarcacioacute srsquoestavelleacutes contra lrsquoaigua per la popa i srsquoenfonseacutes ragravepidament

214 Els escorpions Aquestes petites ballestes en grec σκορπίοι les utilitzagrave Arquimedes per frenar

lrsquoatac terrestre drsquoApi Claudi5 Estaven preparades per tirar petits dards de forma ragravepida

i la seva mida era bastant reduiumlda ja que estaven situades darrere drsquouns petits forats de

la muralla que passaven desapercebuts als romans

Lrsquoarma sorprengueacute molt els atacants perquegrave no srsquoesperaven que el geni siracusagrave

els pogueacutes colpir amb cap tipus de magravequina un cop haguessin aconseguit arribar al peu

de la muralla Per tirar el dardell lrsquohome que la manipulava nomeacutes nrsquohavia de tensar la

corda mitjanccedilant unes palanques colmiddotlocar la fletxa al canal i accionar el mecanisme que

deixaria anar la corda de cop impulsant el projectil a gran velocitat a traveacutes del foradet

del mur que colpejava amb forccedila un objectiu desprotegit

215 Els miralls ardents Tambeacute coneguts com a miralls ustoris aquest eacutes lrsquoinvent atribuiumlt a Arquimedes

que ha generat meacutes polegravemica de tots drsquoenccedilagrave que es comenccedilagrave a estudiar durant el

Renaixement A causa de la seva gran complexitat analitzarem aquest enigma pas a pas

Segons els relats drsquoalguns historiadors durant lrsquoatac naval que el general Marcel

feacuteu en un intent de conquerir Siracusa el savi grec utilitzagrave uns miralls que concentraven

els raigs del sol per aconseguir calar foc a les galeres romanes En el seu moment

aquests relats es van acceptar fagravecilment perograve quan comenccedilagrave la difusioacute de les obres

5 Marcel XV 9

27


drsquoArquimedes al segle XVI i els cientiacutefics srsquointeressaren tambeacute per la vida i les gestes

del matemagravetic els miralls ardents van desencadenar una gran controvegraversia

Alguns drsquoaquests homes de la ciegravencia6 afirmaren que amb els mitjans de quegrave

disposava Arquimedes i amb els seus coneixements sobre catograveptrica era completament

impossible que hagueacutes pogut confeccionar aquests miralls i encendre les naus romanes

drsquoaltres7 perograve van concloure que Arquimedes siacute posseiumla la ciegravencia i els recursos

suficients per crear-los i dur a terme lrsquoincendi de les embarcacions mitjanccedilant la

concentracioacute dels raigs del sol en un sol punt Malgrat que els primers simplement es

limitaren de manera teograverica a desmentir la llegenda dels miralls ustoris els segons van

realitzar nombroses experimentacions per tal de demostrar que lrsquoinvent hauria pogut

tenir egravexit8 els escegraveptics tendiren sempre a guanyar terreny

Perograve el tema no estava tancat del tot ja que lrsquoany 1973 lrsquoenginyer grec Ioannis

Sakkas demostragrave que amb un conjunt drsquoescuts-mirall es podia encendre una galera

situada a uns cinquanta metres en nomeacutes dos minuts Ell va concloure que Arquimedes

hauria pogut utilitzar el mateix procediment al segle III aC

No obstant aixograve poc meacutes tard lrsquoany 1977 lrsquoanglegraves Simms9 va proposar-se

donar el cop de gragravecia per tal de desacreditar totalment la llegenda dels miralls ardents

El seu pla drsquoatac era interdisciplinari i es basava en tres punts que havien de ser

decisius per acabar drsquouna vegada per totes amb una discussioacute iniciada tres segles abans

1) Establir que les fonts histograveriques favorables a lrsquoexistegravencia dels miralls no

tenen cap valor

6 El meacutes important fou Reneacute Descartes que ataca el mite dels miralls a la seva obra Dioptricae 7 Galileo Galilei Bonaventura Cavalieri Roger Bacon Athanasius Kircher (Ars magna Lucis et Vmbrae) Georges Buffon (Histoire naturelle) 8 Per les demostracions drsquoaquests segons cientiacutefics vegeu THUILLIER P De Arquiacutemedes a Einstein las caras ocultas de la invencioacuten cientiacutefica Madrid Alianza Editorial 1990 p 48-51

28


Els historiadors que ens proporcionen meacutes informacioacute sobre el setge de Siracusa

soacuten tres Polibi Tit Livi i Plutarc El primer eacutes el meacutes fiable de tots ja que nasqueacute deu

anys despreacutes de lrsquoatac de Marcel i per tant va poder conegraveixer testimonis directes que

participessin en les campanyes romanes a Siciacutelia Cap dels tres perograve fa cap tipus

drsquoalmiddotlusioacute a lrsquouacutes de miralls ustoris durant la defensa de la ciutat pel fet que les seves

narracions expliquen amb tot detall les magravequines utilitzades per Arquimedes haurien

drsquohaver tractat tambeacute el tema dels espills si haguessin existit

El primer escriptor que narragrave lrsquouacutes dels miralls ardents per part del geni eacutes Antemi

de Tralles del segle VI A la seva obra Magravequines extraordinagraveries explica com es pot

inflamar una mategraveria combustible a una distagravencia de tir amb arc i el mecanisme utilitzat

per Arquimedes per encendre les galeres romanes Aquest testimoni eacutes bastant

interessant tot i que no eacutes gaire fiable ja que no cita cap font anterior i eacutes bastant tardagrave

Despreacutes drsquoAntemi hi ha alguns testimonis meacutes com Zonaras i Tzetzes perograve soacuten

drsquoegravepoca bizantina i a meacutes es remeten a obres drsquohistoriadors romans que srsquohan perdut

Abans drsquoAntemi hi ha dos fonts ndashel metge Galegrave i lrsquoescriptor grec Lluciagrave de

Samogravesata (segle II dC)ndash que afirmen que el siracusagrave incendiagrave algunes naus romanes

perograve no anomenen expliacutecitament dels miralls ardents sinoacute ldquoun mecanisme mitjanccedilant el

qual es podia calar foc a una embarcacioacuterdquo

2) Provar que Arquimedes no disposava dels mitjans tegravecnics i intelmiddotlectuals per

construir una arma solar suficientment potent

De cap dels tractats arquimedians que han arribat fins a lrsquoactualitat no podem

saber si el geogravemetra posseiumla coneixements de catograveptrica No obstant aixograve diverses fonts

antigues10 afirmen que Arquimedes srsquoocupagrave del tema perograve Simms cita al respecte

Diogravecles que va escriure el tractat Sobre els miralls ardents en el qual no fa cap mencioacute

sobre el seu uacutes en la defensa de Siracusa tot i haver estat escrit entre els anys 190 i 180

aC nomeacutes dues degravecades despreacutes del setge Altra vegada el silenci dels escriptors meacutes

fiables eacutes el que permet negar que Arquimedes tingueacutes els mitjans suficients per idear el

sistema de miralls

3) Demostrar que en les condicions concretes del setge de Siracusa una proesa

drsquoaquest tipus no srsquohauria pogut dur a terme amb egravexit

9 SIMMS D L ldquoArchimedes and the burning mirrorsrdquo Tecnology and culture 18 (1997) p 1-24 10 Apuleu (s II) Teoacute drsquoAlexandria (s IV)

29


En aquest punt Simms basant-se en els treballs efectuats per la British fire

research station intenta demostrar que els espills drsquoArquimedes no eren prou potents

per calar foc a les naus romanes El seu veredicte eacutes el seguumlent la fusta drsquoun vaixell

completament seca necessita 07 calories per centiacutemetre quadrat i per segon per tal

drsquoencendrersquos perograve com que la fusta de les embarcacions conteacute un 20 drsquohumitat es

necessitarien 15 calcm2s

Nogensmenys molts experiments han comprovat que amb una aportacioacute

calograverica menor srsquoha aconseguit inflamar una nau perograve Simms afirma que aixograve srsquoha

realitzat en condicions ograveptimes que no es van complir a Siracusa les demostracions

sempre han incendiat un objectiu fix perograve les galeres romanes estaven en constant

moviment la qual cosa impedia que fos possible apuntar un punt concret durant el

temps suficient per aconseguir calar-hi foc Aquest eacutes potser lrsquoargument meacutes sogravelid de

tots els presentats per Simms

Thuillier que analitzagrave lrsquoenigma dels miralls ustoris uns anys despreacutes intentagrave

posar objeccions als arguments disposats per Simms per tal de demostrar que no hi ha

cap investigacioacute que permeti aclarir del tot lrsquoassumpte i acabagrave concloent ldquoAprendamos

la leccioacuten no tenemos del pasado maacutes que una imagen deformada y en todo caso

incompleta Aun permaneciendo criacutetico es necesario admitir que lsquolo imposiblersquo a veces

tambieacuten pudo realizarsehellip11rdquo

216 El planetari Segons Ciceroacute Arquimedes ldquova fixar en una esfera les ograverbites de la Lluna del

Sol i dels cinc planetes i va fer [hellip] que una sola revolucioacute de lrsquoesfera combineacutes

moviments totalment diversos per mitjagrave de velocitats diferents12rdquo Abans de construir

aquesta el siracusagrave ja havia confeccionat un planetari perograve no deixava de ser una cogravepia

tot i que molt bona drsquoun model ja creat el qual nomeacutes combinava un sol moviment

Lrsquoesfera que esmenta Ciceroacute eacutes uacutenica pel fet de reproduir per primera vegada diversos

moviments alhora cosa que mai ninguacute no havia aconseguit

Marcel meravellat per lrsquoenginy drsquoaquest invent despreacutes de la mort del savi va

rescatar ambdoacutes planetaris de casa seva per evitar que fosssin destruiumlts lrsquoesfera meacutes 11 THUILLIER P De Arquiacutemedes a Einstein las caras ocultas de la invencioacuten cientiacutefica Madrid Alianza Editorial 1990 p 75

30


bona va quedar-se-la per a ell i el model menys perfecte el colmiddotlocagrave al temple de la

Virtut a Roma per tal que pogueacutes ser contemplat per tothom

22 Tractats Tot lrsquoobra escrita drsquoArquimedes es conserva en forma de tractats continguts

majoritagraveriament a les cartes que enviagrave als seus amics alexandrins per ensenyar-los els

diferents teoremes que anava descobrint Sersquon teacute constagravencia drsquoun total de tretze i es

divideixen en tres blocs dins de cada bloc les obres estan disposades segons lrsquoordre

proposat per Heiberg13

221 Tractats que demostren teoremes relatius a les agraverees i als volums de figures

limitades per corbes i superfiacutecies

En els tractats analitzats en aquest bloc srsquoenumeraran els teoremes definits per

Arquimedes que utilitzava el megravetode drsquoexhaustioacute14 alguns acompanyats drsquouna

demostracioacute utilitzant els coneixements matemagravetics actuals

1) Sobre la quadratura de la paragravebola ldquoes demostra que tot segment compregraves per

una recta i una seccioacute de con rectangle15 eacutes quatre terccedilos del triangle que teacute la mateixa

base i igual alccedilada que el segment16rdquo

( )2aa ( )2aaminus

Siguin la paragravebola drsquoequacioacute i la recta

drsquoequacioacute

2xy =2ay =

Agraverea del triangle = 32

22

2aaahb

=sdot

=sdot

Agraverea de la seccioacute de paragravebola =

12 Tusculanae Disputationes I XXV 63 13 Johan Ludvig Heiberg (1854-1928) fou professor de la Universitat de Copenhaguen i editor de les obres drsquoArquimedes lrsquoany 1906 quan es descobriacute un palimpsest a Jerusalem srsquoencarregagrave drsquoinvestigar-lo i hi descobriacute fragments inegravedits drsquoalguns tractats drsquoArquimedes 14 El megravetode drsquoexhaustioacute o megravetode drsquoesgotament consisteix a agafar dos nombres entre els quals hi ha el resultat que es preteacuten obtenir i anar-los acotant fins arribar a la solucioacute Aquest eacutes un megravetode de demostracioacute no de descoberta per tant calia conegraveixer-ne el resultat per endavant 15 Aquesta eacutes lrsquoexpressioacute que utilitza Arquimedes per referir-se a la paragravebola ja que aquest terme eacutes posterior 16 Sobre la quadratura de la paragravebola II 264

31


( )[ ]minusminussdotminussdot=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡minus=minus=minus=

minusminus minusminusint intint aaaaxxadxxdxadxxa

a

a

a

a

a

a

a

a

223

22222

3

( ) [ ] 3333

333

3333

34

326

322

3333aaaaaaaaaaasdot=

minus=minus=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+minus+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ minusminusminus

2) Sobre lrsquoesfera i el cilindre determina les agraverees i els volums drsquoesferes i cossos

relacionats amb aquestes Destaquen els teoremes seguumlents

ndash ldquoLa superfiacutecie de tota esfera eacutes el quagravedruple del cercle magravexim dels que hi ha en

ella17rdquo

ndash El volum drsquouna esfera eacutes quatre vegades el volum del con que teacute com a base el

cercle magravexim de lrsquoesfera i com a altura el radi de lrsquoesfera

Volum del con = 322

31

31

31 rrrhr sdotsdot=sdotsdotsdot=sdotsdotsdot πππ

Volum de lrsquoesfera = 4 middot volum del con = 33

34

314 rr sdotsdot=sdotsdotsdot ππ

ndash ldquoEn tota esfera el cilindre la base del qual eacutes igual al cercle magravexim dels de

lrsquoesfera i la seva alccedilada igual al diagravemetre de lrsquoesfera eacutes ell mateix una vegada i mitja

lrsquoesfera i la seva superfiacutecie una vegada i mitja la de lrsquoesfera18rdquo

Superfiacutecie del cilindre = =sdotsdotsdotsdot+sdotsdot=sdotsdotsdot+sdot+sdot rrrhrrr 2222 222 πππππ222 642 rrr sdotsdot=sdotsdot+sdotsdot= πππ

Superfiacutecie del cilindre = sdot23 superfiacutecie de lrsquoesfera = =sdotsdotsdot 24

23 rπ

22 62

12 rr sdotsdot=sdotsdot= ππ

Volum del cilindre = 322 22 rrrhr sdotsdot=sdotsdotsdot=sdotsdot πππ

Volum del cilindre = sdot23 volum de lrsquoesfera = =sdotsdot=sdotsdotsdot 33

612

34

23 rr ππ

32 rsdotsdot= π

Arquimedes devia sentir-se molt orgulloacutes drsquoaquest descobriment ja que com

hem vist demanagrave que el posessin com a epitafi de la seva tomba

17 Sobre lrsquoesfera i el cilindre I 2 18 Sobre lrsquoesfera i el cilindre I 2

32


3) Sobre les espirals defineix la corba que actualment srsquoanomena lsquoespiral

drsquoArquimedesrsquo El resultat meacutes destacat drsquoaquest tractat eacutes que lrsquoagraverea limitada per la

primera volta de lrsquoespiral i el punt inicial eacutes igual a un terccedil del primer cercle

4) Sobre conoides i esferoides calcula lrsquoagraverea i el volum de seccions de cons

esferes i paraboloides

5) Sobre la mesura del cercle exposa lrsquoequivalegravencia entre el cercle i el triangle

de base la circumferegravencia i altura el radi i fa un cagravelcul aproximat del nombre π situat

entre els nombres 01723366 (31412989) i

347937629 (31428265) que substitueix per

71103+ i

722 meacutes cogravemodes drsquoutilitzar

222 Tractats relatius a problemes drsquoestagravetica i drsquohidrostagravetica 1) Sobre lrsquoequilibri dels plans determina el centre de gravetat drsquoalguns poliacutegons

especialment de paralmiddotlelograms i de triangles i de segments de paragravebola Un dels

aspectes meacutes importants drsquoaquest tractat eacutes la llei de la palanca que sosteacute que dos pesos

srsquoequilibren a distagravencies reciacuteprocament proporcionals als seus pesos La foacutermula de la

palanca seria doncs γβαγ sdot=sdot BA on A i B soacuten els dos pesos i αγ i γβ les distagravencies

respectives entre cada pes i γ anomenat tambeacute punt drsquoequilibri o fulcre

2) Megravetode sobre els teoremes mecagravenics dedicat a Eratogravestenes en aquest tractat

Arquimedes exposa el procediment seguit en les seves descobertes fins al moment

completament desconegut El mateix Arquimedes explica en quegrave consisteix el seu llibre

en el preagravembul de lrsquoobra dirigit a Eratogravestenes ldquoHe cregut oportuacute exposar-te per escrit i

explicar en aquest mateix llibre les particularitats drsquoun megravetode que et permetragrave drsquoiniciar

la investigacioacute drsquoalgunes quumlestions matemagravetiques mitjanccedilant la mecagravenica Estic

convenccedilut tambeacute que aquest megravetode no eacutes menys uacutetil per a la demostracioacute dels mateixos

teoremes perquegrave alguns dels que de primer sersquom feren evidents mecagravenicament meacutes tard

foren demostrats geomegravetricament ja que la investigacioacute realitzada per aquest megravetode no

comporta demostracioacute eacutes meacutes fagravecil certament elaborar una demostracioacute adquirint

pregraveviament una certa coneixenccedila de lrsquoobjecte de la investigacioacute mitjanccedilant aquest

megravetode que no pas investigar sense cap coneixement previ19rdquo El megravetode drsquoArquimedes

19 Meacutetode II 428-430

33


consisteix a utilitzar les lleis que ell mateix postulagrave al tractat Sobre lrsquoequilibri dels plans

per tal de trobar el resultat dels problemes que ell es planteja sabut aquest li eacutes molt

meacutes senzill realitzar la demostracioacute mitjanccedilant el megravetode drsquoexhaustioacute

3) Sobre els cossos flotants eacutes un tractat sobre hidrostagravetica que inclou la

investigacioacute sobre lrsquoestabilitat de les seccions drsquouna esfera i drsquoun paraboloide de

revolucioacute parcialment submergits en un fluid En aquesta obra hi apareix la llei

fonamental de la hidrostagravetica tambeacute coneguda com a principi drsquoArquimedes segons la

qual tot cos submergit en un liacutequid eacutes afectat per una forccedila ascensional igual al pes del

fluid desallotjat La llei de la hidrostagravetica es basa en quegrave 1γsdot=VP i 2γsdot=VF

F

en

aquestes foacutermules P eacutes el pes del cos F la forccedila ascensional V el volum del cos γ1 i

γ2 el pes especiacutefic del cos i del liacutequid respectivament Aleshores si P gt el cos

srsquoenfonsa i si el cos sura En tots dos casos el pes del cos mesurat dins el fluid

eacutes

FP lt

FP minus

En aquest moment cal reprendre el tema sobre el frau que cometeacute lrsquoorfebre

encarregat de fer una corona drsquoor per al rei Hieroacute Segons el relat de Vitruvi el rei

sospitava que lrsquooriacutefex havia substituiumlt una part de lrsquoor per plata durant la seva fabricacioacute

perograve no tenint manera de provar-ho suplicagrave a Arquimedes que srsquoencarregueacutes de la

investigacioacute Aquest un dia que es banyava srsquoadonagrave que el seu cos feia sortir fora de la

banyera una quantitat drsquoaigua proporcional al volum del seu cos Vitruvi continua la

narracioacute explicant el megravetode que utilitzagrave el savi per descobrir el frau ldquoAleshores

seguint el curs del seu descobriment segons diuen aconseguiacute dos lingots que tenien el

mateix pes que la corona un drsquoor i lrsquoaltre de plata Va omplir drsquoaigua fins dalt un gran

vas i hi va introduir el lingot de plata cosa que feacuteu vessar fora del vas una quantitat

drsquoaigua igual al volum del lingot que srsquohavia introduiumlt El va treure del vas i tornagrave a

omplir aquest completament tal com estava en un bon principi comprovant que la

quantitat drsquoaigua vessada era un sextari20 Drsquoaquesta manera va descobrir que el pes de

la plata corresponia amb una exacta quantitat drsquoaigua

Despreacutes drsquoaquesta experiegravencia va introduir al vas ple drsquoaigua un lingot drsquoor el

va treure posteriorment i tornagrave a omplir el recipient fins dalt observagrave que la quantitat

drsquoaigua vessada era menor i conclogueacute en quina exacta proporcioacute el volum drsquoor era

menor que el de plata encara que els dos lingots pesessin el mateix Finalment va

20 Mesura antiga de capacitat que equival a mig litre

34


omplir el vas drsquoaigua de nou introduiacute la corona al seu interior i descobriacute que srsquohavia

vessat meacutes aigua que quan havia introduiumlt el lingot drsquoor del mateix pes partint drsquoaixograve

[hellip] i fent cagravelculs va descobrir que la corona contenia una aleacioacute drsquoargent i or aixiacute

posagrave en evindegravencia el frau comegraves per lrsquooriacutefex21rdquo

Aquest relat ha estat criticat per molts cientiacutefics que afirmen que Arquimedes no

disposava dels instruments necessaris per mesurar amb precisioacute lrsquoaigua desplaccedilada a

banda que no el consideren digne del geni drsquoArquimedes per la gran quantitat de

recursos que srsquohan drsquoutilitzar Un drsquoaquests Galileu

srsquointeressagrave molt per lrsquoafer i va descriure un megravetode

alternatiu22 al narrat per Vitruvi que creu que eacutes el que

empragrave Arquimedes Aquest es basa en un instrument la

balanccedila hidrostagravetica a cada costat de la qual es colmiddotloca la

corona i un lingot drsquoor del mateix pes respectivament A lrsquoaire els dos objectes

srsquoequilibren perograve en submergir-los a lrsquoaigua desapareix la posicioacute drsquoequilibri i lrsquoor

srsquoenfonsa meacutes ragravepidament que la corona Aixograve srsquoexplica perquegrave lrsquoor al ser meacutes dens i

tenir un volum inferior desplaccedila una quantitat drsquoaigua menor que la corona i segons el

principi drsquoArquimedes la forccedila ascensional que lrsquoempeny cap amunt eacutes meacutes petita que

la que empeny la corona per la qual cosa cau amb meacutes celeritat dins el fluid Explica

Galileu que amb aquest procediment Arquimedes descobriacute que la corona era menys

densa que lrsquoor i per tant contenia altres materials

223 Tractats menors 1) Lrsquoarenari exposa un megravetode per escriure nombres molt grans Amb aquesta

nou sistema de numeracioacute afirma Arquimedes es poden arribar a comptar tots els grans

de sorra que hi ha al cosmos El tractat resulta de gran importagravencia per saber alguns

detalls sobre Fiacutedies pare drsquoArquimedes i ens permet conegraveixer les opinions del savi

sobre astronomia aixiacute com el sistema heliocegraventric proposat per Aristarc de Samos

contemporani drsquoArquimedes

21 De Architectura IX 22 En un petit tractat anomenat La Bilancetta ovvero Discorso del sig Galileo Galilei intorno allrsquoarteficio che usograve Archimede nel scoprir il furto dellrsquooro nella corona di Hierone

35


36

2) El problema dels bous dirigit a Eratogravestenes i els matemagravetics alexandrins els

repta a comptar el nombre de caps de bestiar del ramat del deacuteu Hegravelios resolent un

sistema drsquoequacions diofagraventiques

3) Stomachion descriu el trencaclosques que duu el nom del tractat similar al

Tangram actual i calcula les agraverees de catorze peces que es poden unir de maneres

diferents per formar un quadrat

4) Llibre dels Lemmes tracta sobre algunes propietats dels cercles i presenta

noves figures geomegravetriques

5) Esferopeia descriu el planetari creat per Arquimedes mateix23

23 Vegeu apartat 216 Aquesta obra srsquoha perdut perograve com que tenim testimoni tant de lrsquoexistegravencia del planetari (Ciceroacute) com drsquoaquest tractat (Papos Procle) ens decantarem per acceptar que fou escrita i que el seu autor va ser Arquimedes

Arquimedes de Siracusa Conclusioacute

CONCLUSIOacute

Amb tot el que srsquoha dit fins ara no nomeacutes podem afirmar que Arquimedes eacutes el

millor matemagravetic de lrsquoantiguitat sinoacute que podem dir amb tota seguretat que eacutes el millor

matemagravetic sobretot dins la branca de la geometria des del principi de la humanitat fins

pragravecticament al segle XVI en ple Renaixement A meacutes eacutes un dels millors enginyers i

perquegrave no dir-ho estrategs de tot el moacuten grecoromagrave

Ell per comenccedilar fou un dels pocs que frenagrave absolutament un atac romagrave que en

aquest cas era doble per terra i per mar i a meacutes a meacutes ho feacuteu sense baixes per al seu

bagravendol bagravesicament perquegrave els pocs homes que ajudaven Arquimedes srsquoencarregaven

uacutenicament de manejar les magravequines que delmaven els efectius romans A banda drsquoaixograve

aconseguiacute esfereir un exegravercit que es considerava lsquoel meacutes coratjoacutes i valent del moacutenrsquo de

tal manera que com veiem al relat de Plutarc els soldats fugien corrents quan veien una

fusta que sobresortia per damunt de la muralla perquegrave pensaven que era una magravequina

drsquoArquimedes

Pel que fa a la seva faceta mecagravenica tots els enginys creats pel de Siracusa tot i

que ell no en deixagrave constagravencia en cap obra seran els fonaments dels capiacutetols del De

Architectura de Vitruvi que es dediquen a les magravequines defensives i ofensives i tambeacute

del que es dedica a com elevar aigua en el qual descriu com construir una cograveclea o

cargol drsquoArquimedes Vitruvi que srsquoencarregagrave de dissenyar artefactes begravelmiddotlics per ordre

de lrsquoemperador August establiacute les mides i proporcions drsquoaquests basant-se molt

probablement en els ginys utilitzats durant el setge de Siracusa La influegravencia

drsquoArquimedes en Vitruvi srsquoaprecia en el fet que eacutes citat per lrsquoautor romagrave almenys una

vegada a cada un dels deu llibres de quegrave consta la seva obra principal

A banda de tot aixograve lrsquoanagravelisi detinguda de les obres de Polibi i de Tit Livi

permet veure un error en la majoria de crograveniques modernes sobre el setge de Siracusa

Els relats indiquen que lrsquoatac de Marcel comenccedilagrave lrsquoany 214 aC i es basen en el text de

Livi que diu que el setge tingueacute una durada de dos anys posant com a punt de partida

lrsquoany de la mort drsquoArquimedes el 212 aC arriben a aquesta dada Malgrat aixograve Polibi

afirma clarament que el setge srsquoallargagrave durant vuit mesos la diferegravencia entre les dues

dades es deu al fet que els dos autors es refereixen a periacuteodes diferents Tots dos posen

com a punt de partida lrsquoatac de Marcel a Siracusa perograve mentre que Polibi doacutena el setge

37


com a finalitzat amb lrsquoentrada del romans a la ciutat Tit Livi lrsquoallarga fins a la presa de

lrsquoAcradina el barri fortificat que es conqueriacute meacutes drsquoun any despreacutes de la mort

drsquoArquimedes la qual srsquoesdevingueacute quan els soldats penetren a la ciutat per primer cop

amb la seva eufograveria per haver-ho aconseguit maten el savi sense miraments Per tot

aixograve la data de lrsquoinici del setge srsquoobteacute restant vuit mesos a la data de lrsquoentrada dels

romans a Siracusa a la meitat de la primavera de lrsquoany 212 aC Eacutes a dir el setge

comenccedilagrave a finals drsquoestiu del 213 aC i finalitzagrave el 211 aC A causa de la poca importagravencia

de la tasca de penetrar a lrsquoAcradina quan ja srsquohavia inutilitzat el poder militar de la

ciutat Polibi omet en la seva narracioacute la conquesta drsquoaquest barri

Tornant a lrsquoobra drsquoArquimedes cal enfocar ara la seva vessant geomegravetrica

Partint dels Elements drsquoEuclides lrsquoobra de geometria meacutes important en el seu temps el

geni investigagrave aquesta branca de la matemagravetica per tal drsquoanar trobant teoremes cada

vegada meacutes complexos i aixiacute anar fent aportacions cada vegada meacutes valuoses A

diferegravencia de molts alexandrins que es van limitar a comentar lrsquoobra existent

Arquimedes feacuteu noves contribucions per engruixir-la distanciant-se aixiacute dels seus

colmiddotlegues clarament inferiors al seu nivell si veiem que no eren capaccedilos de demostrar

cap dels teoremes que ell els enviava

A meacutes a meacutes tot i que ara ens pot semblar molt senzilla la resolucioacute drsquoalguns

dels problemes que plantejava ategraves que utilitzem el sistema algebraic el cert eacutes que

amb els instruments que posseiumla Arquimedes tals com el sistema numeral grec

compost per lrsquoalfabet i alguns signes afegits que variaven el seu valor amb certes

marques i el megravetode drsquoexhaustioacute que provocava que la demostracioacute dels teoremes fos

lenta i costosa va aconseguir grans avenccedilos que potser cap altre matemagravetic amb els

mateixos recursos i maduracioacute de la ciegravencia matemagravetica que hi havia al segle III ac

hauria pogut assolir durant tota la seva vida Arquimedes que coneixia les limitacions

dels sistemes que utilitzava ideagrave diversos recursos per poder afrontar millor els seus

problemes com soacuten el megravetode mecagravenic o el sistema de numeracioacute que descriu a

lrsquoArenari

Amb totes les seves descobertes contingudes als seus tractats creagrave a meacutes un

puntal sobre el qual creixeria la matemagravetica actual i es produiria la revolucioacute cientiacutefica

del segle XVII la qual no deixa de ser el resultat de la lenta comprensioacute que requeriren

les seves obres Per posar un exemple de la influegravencia tan gran drsquoArquimedes cal

destacar que eacutes citat per Galileu al voltant drsquoun centenar de vegades en tota la seva obra

38


39

Finalment el megravetode drsquoexhaustioacute que ell perfeccionagrave i utilitzagrave amb tanta habilitat acabagrave

essent el fonament i punt de partida de diversos sistemes de cagravelcul moderns com

lrsquoinfinitesimal o lrsquointegral Aixograve precisament eacutes el que li confereix el tiacutetol de millor

matemagravetic del moacuten antic exercint una funcioacute clau de pont amb el Renaixement

Arquimedes de Siracusa Fonts drsquoinformacioacute

FONTS DrsquoINFORMACIOacute

Llibres

ndash ARQUIMEDES Megravetode (De mechanicis propositionibus ad Eratosthenem

methodus) Per Pedro Miguel Gonzaacutelez i Joan Vaqueacute Barcelona Fundacioacute Bernat

Metge 1997

ndash ARQUIacuteMEDES Tratados I Madrid Gredos 2005

ndash ARQUIacuteMEDES Tratados II Madrid Gredos 2009

ndash CICEROacute La repuacuteblica (De re publica) Per Joan M del Pozo Barcelona Fundacioacute

Bernat Metge 2006

ndash CICEROacute Tusculanes (Tusculanae disputationes) VOL I Per Eduard Valentiacute

Barcelona Fundacioacute Bernat Metge 1948

ndash CICEROacute Tusculanes (Tusculanae Disputationes) VOL III Per Eduard Valentiacute


ndash CICEROacuteN Sobre la naturaleza de los dioses (De natura deorum) Per Aacutengel

Escobar Madrid Gredos 1999

ndash COLERA J OLIVEIRA M J GARCIacuteA R Matemagravetiques 2 Batxillerat

Modalitat ciegravencies i tecnologia Barcelona Editorial Barcanova 2003

ndash DIOacuteN CASIO Historia romana Per Domingo Plaacutecido Madrid Gredos 2004

ndash GAMOW G Biography of Physics New York Harper and Brothers Publishers

1961

ndash GONZAacuteLEZ P M Arquiacutemedes y los oriacutegenes del caacutelculo integral Madrid Nivola

libros y ediciones 2008

ndash Gran Enciclopegravedia Aula CD Barcelona Planeta deAgostini 1995

ndash Gran Enciclopegravedia Catalana Barcelona Enciclopegravedia Catalana 1986

ndash GRIMAL P Diccionario de mitologiacutea griega y romana Barcelona Paidoacutes 2008

ndash LOZANO M De Arquiacutemedes a Einstein los diez experimentos maacutes bellos de la

fiacutesica Barcelona Debate 2005

ndash PLUTARC Vides paralmiddotleles VOL VIII Per Carles Riba Barcelona Fundacioacute

Bernat Metge 1937

ndash POLIBI Histograveria VOL V Per Manuel Balasch Barcelona Fundacioacute Bernat

Metge 1963

40


41

ndash THUILLIER P De Arquiacutemedes a Einstein las caras ocultas de la invencioacuten

cientiacutefica Madrid Alianza Editorial 1990

ndash TITO LIVIO Historia de Roma desde su fundacioacuten (Ab Vrbe condita) XXI-XXV

Per Joseacute Antonio Villar Madrid Gredos 1993

ndash TORIJA R Arquiacutemedes Alrededor del ciacuterculo Madrid Nivola libros y ediciones

1999

ndash TZETZES I Chiliades Edicioacute per Theophil Kiessling Leipzig Bibliotheca

Gandavensis 1826

ndash VALERIO MAacuteXIMO Dichos y hechos memorables (Dicta et facta memorabilia)

Per Fernando Martiacuten Torrejoacuten de Ardoz Akal 1988

ndash VITRUBIO Los diez libros de Arquitectura (De Architectura libri decem) Per Joseacute

Luiacutes Oliver Madrid Alianza Editorial 1997

Pagravegines web

ndash http mathdborgarticlesarchimedese_archimedeshtm

(obtingut el 180909 a les 1942)

ndash httpcawikipediaorgwikiArquimedes (obtingut el 220509 a les 1610)

ndash httpenwikipediaorgwikiArchimedes (obtingut el 220509 a les 1611)

ndash httpenwikipediaorgwikiArchimedesrsquo_circles (obtingut el 140609 a les 2303)

ndash httpenwikipediaorgwikiArchimedesrsquo_screw (obtingut el 140609 a les 2254)

ndash httpenwikipediaorgwikiArchimedesrsquo_use_of_infinitesimals (obtingut el

140609 a les 2304)

ndash httpeswikipediaorg

ndash httpwww-historymcsst-andrewsacukBiographiesArchimedeshtml (obtingut el

140609 a les 1905)

ndash httpwww-historymcsst-andrewsacukExtrasArchimedes_on_staticshtml


ndash httpwww-historymcsst-andrewsacukExtrasArchimedes_parabolahtml


ndash httpwww-historymcsst-andrewsacukExtrasArchimedes_The_Methodhtml


Arquimedes de Siracusa Ioannes Tzetzes Chiliades

APEgraveNDIX TRADUCCIOacute DrsquoUN FRAGMENT DE LES CHILIADES

1 Les Chiliades o Llibre drsquohistograveries

El Llibre drsquohistograveries (Βιβλίον ἱστορικῆς) eacutes una de les obres de lrsquoautor bizantiacute

Ioannes Tzetzes Eacutes un conjunt drsquohistograveries que narren les vides o fets ocorreguts a

personatges importants de lrsquoantiguitat la nuacutemero 35 que ens disposem a traduir tracta

sobre alguns aspectes de la vida drsquoArquimedes i el seu paper com a enginyer i

constructor de magravequines defensives

Lrsquoobra estagrave composta en total per 12674 versos poliacutetics (formats per dotze

siacutelmiddotlabes) aquesta grandagraveria desmesurada explica per quegrave en la seva primera edicioacute a

cagraverrec de N Gerbel (1546) eacutes dividiacutes lrsquoescrit en dotze llibres de mil versos cadascun

Per aquest motiu lrsquoobra passagrave a ser coneguda amb el nom de Chiliades (en grec

lsquomilersrsquo)

Es tracta drsquoun llibre inegravedit ja que el seu contingut es basa en un conjunt de

cartes escrites pel mateix autor de fet molts editors lrsquohan considerat com un comentari

versificat drsquoaquestes Per aixograve eacutes una obra relativament poc important i tambeacute perquegrave

Tzetzes no tenia llibres a casa i redactava la majoria de les seves obres citant els autors

que recordava de la seva egravepoca drsquoestudiant sovint cometia errors histograverics greus

causats per la seva falta de documentacioacute Nogensmenys lrsquoescriptor bizantiacute adquireix

certa importagravencia per la seva accessibilitat a obres que srsquohan perdut o de les quals

nomeacutes ens nrsquohan arribat fragments i el Llibre drsquohistograveries ens permet conegraveixer i saber de

quegrave tractaven aquestes

2 Lrsquoautor Ioannes Tzetzes (c 1110-1180) va neacuteixer a Constantinoble capital de lrsquoImperi

Bizantiacute Rebeacute una important educacioacute filologravegica estudiagrave les obres dels autors clagravessics

meacutes representatius (poetes historiadors filogravesofs oradors) i durant un temps exerciacute

com a professor de gramagravetica meacutes tard perograve srsquoacabagrave dedicant a la literatura

De la seva obra es pot extreure una gran quantitat drsquoinformacioacute sobre la seva

biografia vivia en la meacutes absoluta pobresa i misegraveria fins al punt que posseiumla nomeacutes un

42


sol llibre un exemplar de les Vides Paralmiddotleles de Plutarc En els seus escrits

acostumava a lamentar-se de la seva situacioacute i els dedicagrave tots a nobles i gent important

com si aixiacute volgueacutes ser partiacutecip de la seva riquesa

Tenia un caragravecter arrogant que srsquoaprecia en els elogis que es dedica a si mateix

al llarg dels seus llibres per la qual cosa ha estat qualificat com lrsquoexemple pragmagravetic de

lsquobizantiacute pedantrsquo Amb tot se li ha de reconegraveixer una qualitat que certament posseiumla la

memograveria que li permeteacute recordar potser no tots els detalls perograve si suficient informacioacute

com per escriure una obra tan extensa com la seva

3 Text grec La traduccioacute de la histograveria 35 de les Chiliades es basa en el text seguumlent extret

drsquouna edicioacute criacutetica del llibre a cagraverrec del professor Theophil Kiessling publicada lrsquoany

1826

ΠΕΡΙ ΑΡΧΙΜΗΔΟΥΣ ΚΑΙ ΤΙΝΩΝ ΑΥΤΟΥ ΜΗΧΑΝΩΝ

Ὁ Ἀρχιμήδης ὁ σοϕός μηχανητὴς ἐκεῖνος

Τῷ γένει Συρακούσιος ἦν γέρων γεωμέτρης

Χρόνους τε ἑβδομήκοντα καὶ πέντε παρελαύνων

Ὅστις εἰργάσατο πολλὰς μηχανικὰς δυνάμεις

Καὶ τῇ τρισπάστῳ μηχανῇ χειρὶ λαιᾷ καὶ μόνῃ

Πεντεμυριομέδιμνον καϑείλκυσεν ὁλκάδα

Καὶ τοῦ Μαρκέλλου στρατηγοῦ ποτὲ δὲ τῶν Ῥωμαίων

Τῇ Συρακούσῃ κατὰ γῆν προσβάλλοντος καὶ πόντον

Τινὰς μὲν πρῶτον μηχαναῖς ἀνείλκυσεν ὁλκάδας

Καὶ πρὸς τὸ Συρακούσιον τεῖχος μετεωρίσας

Αὐτάνδρους πάλιν τῷ βυϑῷ κατέπεμπεν ἀϑρόως

Μαρκέλλου δ᾿ ἀποστήσαντος μικρόν τι τὰς ὁλκάδας

Ὁ γέρων πάλιν ἅπαντας ποιεῖ Συρακουσίους

Μετεωρίζειν δύνασϑαι λίϑους ἁμαξιαίους

Καὶ τὸν καϑένα πέμποντα βυϑίζειν τὰς ὁλκάδας

Ὡς Μάρκελλος δ᾿ ἀπέστησε βολὴν ἐκείνας τόξου

Ἑξάγωνόν τι κάτοπτρον ἐτέκτηνεν ὁ γέρων

Ἀπὸ δὲ διαστήματος συμμέτρου τοῦ κατόπτρου

Μικρὰ τοιαῦτα κάτοπτρα ϑεὶς τετραπλᾶ γωνίαις

43


Κινούμενα λεπίσι τε καὶ τισι γιγγλυμίοις

Μέσον ἐκεῖνο τέϑεικεν ἀκτίνων τῶν ἡλίου

Μεσημβρινῆς καὶ ϑερινῆς καὶ χειμεριωτάτης

Ἀνακλωμένων δὲ λοιπὸν εἰς τοῦτο τῶν ἀκτίνων

Ἔξαψις ᾔρϑη ϕοβερὰ πυρώδης ταῖς ὁλκάσι

Καὶ ταύτας ἀπετέϕρωσεν ἐκ μήκους τοξοβόλου

Οὕτω νικᾷ τὸν Μάρκελλον ταῖς μηχαναῖς ὁ γέρων

Ἔλεγε δὲ καὶ δωριστί ϕωνῇ Συρακουσίᾳ

Πᾶ βῶ καὶ χαριστίωνι τὰν γᾶν κινήσω πᾶσαν

Οὗτος κατὰ Διόδωρον τῆς Συρακούσης ταύτης

Προδότου πρὸς τὸν Μάρκελλον ἀϑρόως γενομένης

Εἴτε κατὰ τὸν Δίωνα Ῥωμαίοις πορϑηϑείσης

Ἀρτέμιδι τῶν πολιτῶν τότε παννυχιζόντων

Τοιουτοτρόπως τέϑνηκεν ὑπὸ τινος Ῥωμαίου

Ἦν κεκυϕώς διάγραμμα μηχανικόν τι γράϕων

Τὶς δὲ Ῥωμαῖος ἐπιστὰς εἷλκεν αἰχμαλωτίζων

Ὁ δὲ τοῦ διαγράμματος ὅλος ὑπάρχων τότε

Τίς ὁ καϑέλκων οὐκ εἰδώς ἒλεγε πρὸς ἐκεῖνον

Ἀπόστηϑι ὦ ἄνϑρωπε τοῦ διαγράμματός μου

Ὡς δ᾿ εἷλκε τοῦτον συστραϕεὶς καὶ γνοὺς Ῥωμαῖον εἶναι

Ἐβόα τὶ μηχάνημα τὶς τῶν ἐμῶν μοι δότω

Ὁ δὲ Ῥωμαῖος πτοηϑεὶς εὐϑυς ἐκεῖνον κτείνει

Ἄνδρα σαϑρὸν καὶ γέροντα δαιμόνιον τοῖς ἔργοις

Ἐϑρήνησε δὲ Μάρκελλος τοῦτο μαϑὼν εὐϑέως

Λαμπρῶς τε τοῦτον ἔκρυψεν ἐν τάϕοις τοῖς πατρώοις

Σὺν τοῖς ἀρίστοις πολιτῶν καὶ τοῖς Ῥωμαίοις πᾶσι

Τὸν δὲ ϕονέα τοῦ ἀνδρὸς οἶμαι πελέκει κτείνει

Ὁ Δίων καὶ Διόδωρος γράϕει τὴν ἱστορίαν

Καὶ σὺν αὐτοῖς δὲ μέμνηνται πολλοὶ τοῦ Ἀρχιμήδους

Ἀνϑέμιος μὲν πρώτιστον ὁ παραδοξογράϕος

Ἥρων καὶ Φίλων Πάππος τε καὶ πᾶς μηχανογράϕος

Ἐξ ὧνπερ ἀνεγνώκειμεν κατοπτρικὰς ἐξάψεις

Καὶ πᾶσαν ἂλλην μάϑησιν τῶν μηχανικωτάτων

Βαρυολκόν πνευματικήν τὰς ὑδροσκοπιάς τε

Κἀκ τούτου δὲ τοῦ γέροντος τῶν βίβλων Ἀρχιμήδους

44


4 Traduccioacute La present traduccioacute preteacuten ser una versioacute literal de lrsquooriginal grec respectant al

magravexim lrsquoestil de Tzetzes ndashque utilitza una gran quantitat de participis propis del grec

perograve tambeacute empra un legravexic bastant pobre i repetitiundash fins on ho ha permegraves lrsquoestructura

de la nostra llengua Perquegrave el text en catalagrave sigui meacutes entenedor i fluiumlt de llegir srsquoha

passat del vers a la prosa perograve intentant en tot moment respectar lrsquoordre tzetziagrave dels

sintagmes en les oracions A meacutes tot i que lrsquooriginal no presenta cap tipus de particioacute

es proposa una divisioacute de la traduccioacute en paragravegrafs que respon als canvis de temagravetica

que segueix la histograveria

SOBRE ARQUIMEDES I ALGUNS DELS SEUS INVENTS

Arquimedes el savi el famoacutes inventor era siracusagrave per naixement i un anciagrave

geogravemetra el qual assolint setanta-cinc anys drsquoedat estudiagrave nombroses forces

mecagraveniques i amb una magravequina de tres politges uacutenicament amb la magrave esquerra va

varar un vaixell de cagraverrega1 de cinquanta mil medimnes2

I una vegada quan Marcel general dels romans atacava Siracusa per terra i per

mar3 en primer lloc [Arquimedes] aixecagrave algunes naus amb unes magravequines4 i despreacutes

drsquoelevar-les cap a la muralla siracusana de nou les llanccedilava al fons del mar de cop amb

tots els tripulants Un cop Marcel va haver allunyat una mica els vaixells el vell

novament fa que tots els siracusans puguin aixecar pedres enormes i que llanccedilant-les

una darrere lrsquoaltra enfonsin les embarcacions Quan Marcel va allunyar-les a un tir de

fletxa lrsquoanciagrave muntagrave un mirall hexagonal Despreacutes de colmiddotlocar en quatre angles a una

distagravencia simegravetrica del mirall petits espills semblants que es movien amb lagravemines i

algunes articulmiddotlacions5 lrsquoha situat al mig dels raigs del sol de migdia siguin estiuencs

com molt hivernals Quan es reflectiren els raigs contra tot aquest una terrible flama

1 Plutarc Vida de Marcel XIV 13 2 El medimne (μέδιμνος) eacutes una mesura de capacitat que equival a 5253 litres Per tant el vaixell en quumlestioacute tenia una capacitat de 2626500 litres eacutes a dir de 26265 metres cuacutebics 3 Lrsquoatac romagrave a Siracusa eacutes descrit extensament per Plutarc Marcel XV XVI Polibi Histograveria VIII 3-7 Livi Ab Vrbe condita XXIV 34 4 Aquestes magravequines soacuten conegudes actualment com lrsquourpa drsquoArquimedes Vegirsquos apartat 213 5 Aquesta descripcioacute sobre el muntatge dels espills Tzetzes la copia de lrsquoobra drsquoAntemi de Tralles Magravequines extraordinagraveries

45


abrasadora sorgiacute en les naus i les reduiacute a cendres des drsquouna distagravencia de tir drsquoarc6

Drsquoaquest manera el vell venccedil Marcel amb els seus invents

[Arquimedes] Tambeacute deia en dograveric dialecte siracusagrave ldquoOn puc anar per moure

tota la terra amb la meva palancardquo7 Aquest beacute segons Diodor8 quan Siracusa fou

traiumlda de sobte per al benefici de Marcel beacute segons Dioacute9 quan fou saquejada pels

romans mentre els seus ciutadans celebraven unes festes nocturnes en honor

drsquoArtegravemis10 moriacute drsquoaquesta manera a mans drsquoun romagrave11

Estava inclinat traccedilant un dibuix mecagravenic i un romagrave despreacutes de colmiddotlocar-se al

seu costat el feia presoner arrossegant-lo Aleshores Arquimedes completament

concentrat en el dibuix no reconeixent-lo qui lrsquoarrossegava li deia ldquoApartarsquot home

del meu dibuixrdquo Quan el romagrave lrsquoestirava despreacutes de girar-se [Arquimedes] i reconegraveixer

que era romagrave cridava ldquoQue alguacute em doni alguna magravequina de les mevesrdquo I el romagrave

espantat mata a lrsquoinstant aquest home degravebil i vell extraordinari per les seves obres

Marcel va lamentar-ho nomeacutes assabentar-sersquon i lrsquoenterragrave esplegravendidament a les tombes

dels ancestres amb els millors ciutadans i tots els romans tambeacute matagrave lrsquoassassiacute de

lrsquohome crec amb una destral

Dioacute i Diodor escriuen la histograveria12 i molts srsquohan recordat drsquoArquimedes amb

aquests el primer de tots Antemi lrsquoescriptor de coses extraordinagraveries13 Heroacute i Filoacute i

Papos i tots els escriptors de mecagravenica14 a partir dels quals hem conegut els focs

6 El tema dels miralls ustoris es tracta de manera extensa a lrsquoapartat 215 7 Clara almiddotlusioacute a Plutarc Marcel XIV 12 8 Vegirsquos nota 20 (apartat 13) 9 Dioacute Cassi (c 150-235) fou un historiador i poliacutetic romagrave drsquoorigen grec Va ocupar diversos cagraverrecs a lrsquoImperi i fins i tot arribagrave a ser cogravensol dues vegades La seva obra Histograveria de Roma estagrave redactada en grec i composta per vuitanta llibres dels quals sersquon conserven divuit iacutentegres i fragments de la resta aixiacute com resums fets per altres autors 10 Polibi Histograveria VIII XXXVIII 2 Plutarc Marcel XVIII 4 Tit Livi Ab Vrbe condita XXV 23 14 11 Lrsquoegravepica mort drsquoArquimedes eacutes narrada per un gran nombre drsquoautors clagravessics cadascun afegeix quelcom a la descripcioacute que la fa diferent de qualsevol altra Vegeu apartat 16 i els fragments seguumlents Plutarc Marcel XIX 8-12 Tit Livi Ab Vrbe condita XXV 31 9-10 Valeri Magravexim Dicta et facta memorabilia VIII 7 Zonaras IX 5 5 12 Lrsquoobra que es conserva drsquoaquests dos historiadors no conteacute res sobre la vida drsquoArquimedes o la seva participacioacute a la defensa de Siracusa en el cas drsquoambdoacutes eacutes gragravecies a Tzetzes que coneixem la informacioacute continguda als fragments sobre Arquimedes que no han perdurat fins als nostres temps 13 Referegravencia a lrsquoobra Magravequines extraordinagraveries 14 Tzetzes esmenta aquiacute els autors meacutes importants que citen Arquimedes a la seva obra i que tracten sobre els seus descobriments

46


47

catograveptrics i tota la resta dels coneixements continguts en els seus invents ndashelevacioacute de

pesos pneumagravetica i hidroscogravepiandash perograve tambeacute ho hem conegut a partir dels llibres

drsquoaquest anciagrave Arquimedes

Antemi de Tralles (c 474-558) fou matemagravetic professor de geometria i arquitecte de la catedral de Santa Sofia En la seva uacutenica obra tractagrave a fons el tema dels miralls ustoris i afirmagrave la seva utilitzacioacute per Arquimedes en la defensa de la ciutat de Siracusa Heroacute drsquoAlexandria (c 10-62) va ser enginyer i inventor Descrigueacute un gran nombre de magravequines estudiagrave la catograveptrica i generalitzagrave el principi de la palanca drsquoArquimedes a banda de fabricar una magravequina de vapor molt primitiva anomenada eoliacutepila Filoacute de Bizanci (c 280-220 aC) fou un escriptor sobre mecagravenica que elaboragrave una descripcioacute sobre la cograveclea que inventagrave Arquimedes Papos drsquoAlexandria (c 290-350) va ser lrsquouacuteltim gran matemagravetic de lrsquoescola alexandrina Escriviacute importants comentaris dels Elements drsquoEuclides de lrsquoAlmagest de Ptolomeu i de gran part dels tractats arquimedians

Introduccioacute 4

El cargol cargol sense fi o cograveclea (κοχλίας) fou un instrument que ideagrave Arquimedes durant la seva segona estada a Egipte per tal de poder elevar lrsquoaigua del riu Nil i guanyar aixiacute camps fegravertils o beacute per desguassar terres meacutes baixes on srsquohi estancava lrsquoaigua

Estava compost drsquouna llarga fusta ben arrodonida que srsquoenvoltava amb una espiral feta a partir drsquoun llarg regle de faig enganxat amb pega liacutequida damunt drsquoaquesta srsquohi anaven afegint espirals successivament fins que el canal per on havia de pujar lrsquoaigua tenia el gruix suficient El conjunt drsquoespirals es cobria totalment a base de taulons que es reforccedilaven amb arcs de ferro Els eixos tambeacute de ferro es colmiddotlocaven a les puntes de la fusta central i la magravequina srsquoaccionava de forma manual fent girar un drsquoaquests

212 El polispast

El polispast (πολύσπαστον) o politja muacuteltiple fou un enginy utilitzat per Arquimedes per moure un vaixell immens i aixiacute complaure el rei Hieroacute que li havia demanat que li mostreacutes com amb una forccedila petita podia desplaccedilar una massa molt gran

Aquesta magravequina es basa en la foacutermula







IacuteNDEX

Pagraveg

Introduccioacute4

1 Context histograveric i vida drsquoArquimedes

11 Primers temps de la Biblioteca alexandrina

Formacioacute del savi7

12 Regnat de Hieroacute II Personalitat drsquoArquimedes9

13 Egravepoca de les grans descobertes del siracusagrave 12

14 Inici de la Segona Guerra Puacutenica Fi del regnat de Hieroacute

Inestabilitat poliacutetica a lrsquoilla de Siciacutelia 13

15 Setge romagrave de Siracusa

Desplegament de les magravequines drsquoArquimedes 16

16 Entrada dels romans a Siracusa Mort drsquoArquimedes 19

17 El savi grec despreacutes de la seva mort 22

2 Obra drsquoArquimedes

21 Enginys i magravequines

211 El cargol hidragraveulic 25

212 El polispast 26

213 Lrsquourpa drsquoArquimedes 26

214 Els escorpions27

215 Els miralls ardents 27

216 El planetari 30

22 Tractats

221 Tractats que demostren teoremes relatius a les agraverees i

als volums de figures limitades per corbes i superfiacutecies 31

222 Tractats relatius a problemes drsquoestagravetica i drsquohidrostagravetica 33

223 Tractats menors 35

Conclusioacute37

Fonts drsquoinformacioacute 40

Apegravendix Traduccioacute drsquoun fragment de les Chiliades

1 Les Chiliades o Llibre drsquohistograveries 42

2


3

2 Lrsquoautor 42

3 Text grec 43

4 Traduccioacute 45


INTRODUCCIOacute































4


































5


6





drsquoArquimedes




































luna]rdquo L

7


en par

sos per

realit























a



nt



8









despreacutes
























9


matem


sempre


amb el































10






descob


























11





periogravedi

doacutena ll

















s en plena

2-221 aC)

ents de la resta



12







drsquoun in


lrsquoexegraverc


sobtada







atac





















13


despoti

s els conciutadans

mai vi


Siracus




























14














familiars seus



















15




criu amb tot

luxe d

podien oposar a

una for





























16













prepara



















17


tants d

quals M

quidistant

i que a

























18








obstant

l


q



























19










any i m


permet


sobre























57


Marcel XIX 7

20







maten58rdquo





que de


al seu



















1 V 31 9


memorabilia VIII 7


21




agafa d


de Sira



hagi es


amics i

























12


22




quumlestor


























23


24



to

lrsquo






lrsquoaigua1
















en un recipient


25

























sistema de politges


26




























5 Marcel XV 9

27






















tenen cap valor


28





























sistema de miralls




29






























30

















( )2aa ( )2aaminus


drsquoequacioacute

2xy =2ay =


22

2aaahb

=sdot

=sdot



31



⎤⎢⎣



a

a

a

a

a

a

a

a

223

22222

3

( ) [ ] 3333

333

3333

34

326

322


minus=minus=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+minus+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ minusminusminus




ella17rdquo



Volum del con = 322

31

31



34







23 rπ

22 62




612

34

23 rr ππ

32 rsdotsdot= π




32











71103+ i





















33











F

en




eacutes

FP lt

FP minus




















34





























35


36












CONCLUSIOacute













drsquoArquimedes


















37





























lrsquoArenari






38


39







Llibres



Metge 1997




Bernat Metge 2006











1961









Bernat Metge 1937


Metge 1963

40


41






1999


Gandavensis 1826





Pagravegines web








140609 a les 2304)



140609 a les 1905)



















lsquomilersrsquo)
















42












1826





















43





































44


























45






















46


47





Introduccioacute 4



212 El polispast









3

2 Lrsquoautor 42

3 Text grec 43

4 Traduccioacute 45


INTRODUCCIOacute































4


































5


6





drsquoArquimedes




































luna]rdquo L

7


en par

sos per

realit























a



nt



8









despreacutes
























9


matem


sempre


amb el































10






descob


























11





periogravedi

doacutena ll

















s en plena

2-221 aC)

ents de la resta



12







drsquoun in


lrsquoexegraverc


sobtada







atac





















13


despoti

s els conciutadans

mai vi


Siracus




























14














familiars seus



















15




criu amb tot

luxe d

podien oposar a

una for





























16













prepara



















17


tants d

quals M

quidistant

i que a

























18








obstant

l


q



























19










any i m


permet


sobre























57


Marcel XIX 7

20







maten58rdquo





que de


al seu



















1 V 31 9


memorabilia VIII 7


21




agafa d


de Sira



hagi es


amics i

























12


22




quumlestor


























23


24



to

lrsquo






lrsquoaigua1
















en un recipient


25

























sistema de politges


26




























5 Marcel XV 9

27






















tenen cap valor


28





























sistema de miralls




29






























30

















( )2aa ( )2aaminus


drsquoequacioacute

2xy =2ay =


22

2aaahb

=sdot

=sdot



31



⎤⎢⎣



a

a

a

a

a

a

a

a

223

22222

3

( ) [ ] 3333

333

3333

34

326

322


minus=minus=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+minus+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ minusminusminus




ella17rdquo



Volum del con = 322

31

31



34







23 rπ

22 62




612

34

23 rr ππ

32 rsdotsdot= π




32











71103+ i





















33











F

en




eacutes

FP lt

FP minus




















34





























35


36












CONCLUSIOacute













drsquoArquimedes


















37





























lrsquoArenari






38


39







Llibres



Metge 1997




Bernat Metge 2006











1961









Bernat Metge 1937


Metge 1963

40


41






1999


Gandavensis 1826





Pagravegines web








140609 a les 2304)



140609 a les 1905)



















lsquomilersrsquo)
















42












1826





















43





































44


























45






















46


47





Introduccioacute 4



212 El polispast









INTRODUCCIOacute































4


































5


6





drsquoArquimedes




































luna]rdquo L

7


en par

sos per

realit























a



nt



8









despreacutes
























9


matem


sempre


amb el































10






descob


























11





periogravedi

doacutena ll

















s en plena

2-221 aC)

ents de la resta



12







drsquoun in


lrsquoexegraverc


sobtada







atac





















13


despoti

s els conciutadans

mai vi


Siracus




























14














familiars seus



















15




criu amb tot

luxe d

podien oposar a

una for





























16













prepara



















17


tants d

quals M

quidistant

i que a

























18








obstant

l


q



























19










any i m


permet


sobre























57


Marcel XIX 7

20







maten58rdquo





que de


al seu



















1 V 31 9


memorabilia VIII 7


21




agafa d


de Sira



hagi es


amics i

























12


22




quumlestor


























23


24



to

lrsquo






lrsquoaigua1
















en un recipient


25

























sistema de politges


26




























5 Marcel XV 9

27






















tenen cap valor


28





























sistema de miralls




29






























30

















( )2aa ( )2aaminus


drsquoequacioacute

2xy =2ay =


22

2aaahb

=sdot

=sdot



31



⎤⎢⎣



a

a

a

a

a

a

a

a

223

22222

3

( ) [ ] 3333

333

3333

34

326

322


minus=minus=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+minus+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ minusminusminus




ella17rdquo



Volum del con = 322

31

31



34







23 rπ

22 62




612

34

23 rr ππ

32 rsdotsdot= π




32











71103+ i





















33











F

en




eacutes

FP lt

FP minus




















34





























35


36












CONCLUSIOacute













drsquoArquimedes


















37





























lrsquoArenari






38


39







Llibres



Metge 1997




Bernat Metge 2006











1961









Bernat Metge 1937


Metge 1963

40


41






1999


Gandavensis 1826





Pagravegines web








140609 a les 2304)



140609 a les 1905)



















lsquomilersrsquo)
















42












1826





















43





































44


























45






















46


47





Introduccioacute 4



212 El polispast









































5


6





drsquoArquimedes




































luna]rdquo L

7


en par

sos per

realit























a



nt



8









despreacutes
























9


matem


sempre


amb el































10






descob


























11





periogravedi

doacutena ll

















s en plena

2-221 aC)

ents de la resta



12







drsquoun in


lrsquoexegraverc


sobtada







atac





















13


despoti

s els conciutadans

mai vi


Siracus




























14














familiars seus



















15




criu amb tot

luxe d

podien oposar a

una for





























16













prepara



















17


tants d

quals M

quidistant

i que a

























18








obstant

l


q



























19










any i m


permet


sobre























57


Marcel XIX 7

20







maten58rdquo





que de


al seu



















1 V 31 9


memorabilia VIII 7


21




agafa d


de Sira



hagi es


amics i

























12


22




quumlestor


























23


24



to

lrsquo






lrsquoaigua1
















en un recipient


25

























sistema de politges


26




























5 Marcel XV 9

27






















tenen cap valor


28





























sistema de miralls




29






























30

















( )2aa ( )2aaminus


drsquoequacioacute

2xy =2ay =


22

2aaahb

=sdot

=sdot



31



⎤⎢⎣



a

a

a

a

a

a

a

a

223

22222

3

( ) [ ] 3333

333

3333

34

326

322


minus=minus=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+minus+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ minusminusminus




ella17rdquo



Volum del con = 322

31

31



34







23 rπ

22 62




612

34

23 rr ππ

32 rsdotsdot= π




32











71103+ i





















33











F

en




eacutes

FP lt

FP minus




















34





























35


36












CONCLUSIOacute













drsquoArquimedes


















37





























lrsquoArenari






38


39







Llibres



Metge 1997




Bernat Metge 2006











1961









Bernat Metge 1937


Metge 1963

40


41






1999


Gandavensis 1826





Pagravegines web








140609 a les 2304)



140609 a les 1905)



















lsquomilersrsquo)
















42












1826





















43





































44


























45






















46


47





Introduccioacute 4



212 El polispast









6





drsquoArquimedes




































luna]rdquo L

7


en par

sos per

realit























a



nt



8









despreacutes
























9


matem


sempre


amb el































10






descob


























11





periogravedi

doacutena ll

















s en plena

2-221 aC)

ents de la resta



12







drsquoun in


lrsquoexegraverc


sobtada







atac





















13


despoti

s els conciutadans

mai vi


Siracus




























14














familiars seus



















15




criu amb tot

luxe d

podien oposar a

una for





























16













prepara



















17


tants d

quals M

quidistant

i que a

























18








obstant

l


q



























19










any i m


permet


sobre























57


Marcel XIX 7

20







maten58rdquo





que de


al seu



















1 V 31 9


memorabilia VIII 7


21




agafa d


de Sira



hagi es


amics i

























12


22




quumlestor


























23


24



to

lrsquo






lrsquoaigua1
















en un recipient


25

























sistema de politges


26




























5 Marcel XV 9

27






















tenen cap valor


28





























sistema de miralls




29






























30

















( )2aa ( )2aaminus


drsquoequacioacute

2xy =2ay =


22

2aaahb

=sdot

=sdot



31



⎤⎢⎣



a

a

a

a

a

a

a

a

223

22222

3

( ) [ ] 3333

333

3333

34

326

322


minus=minus=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+minus+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ minusminusminus




ella17rdquo



Volum del con = 322

31

31



34







23 rπ

22 62




612

34

23 rr ππ

32 rsdotsdot= π




32











71103+ i





















33











F

en




eacutes

FP lt

FP minus




















34





























35


36












CONCLUSIOacute













drsquoArquimedes


















37





























lrsquoArenari






38


39







Llibres



Metge 1997




Bernat Metge 2006











1961









Bernat Metge 1937


Metge 1963

40


41






1999


Gandavensis 1826





Pagravegines web








140609 a les 2304)



140609 a les 1905)



















lsquomilersrsquo)
















42












1826





















43





































44


























45






















46


47





Introduccioacute 4



212 El polispast



































luna]rdquo L

7


en par

sos per

realit























a



nt



8









despreacutes
























9


matem


sempre


amb el































10






descob


























11





periogravedi

doacutena ll

















s en plena

2-221 aC)

ents de la resta



12







drsquoun in


lrsquoexegraverc


sobtada







atac





















13


despoti

s els conciutadans

mai vi


Siracus




























14














familiars seus



















15




criu amb tot

luxe d

podien oposar a

una for





























16













prepara



















17


tants d

quals M

quidistant

i que a

























18








obstant

l


q



























19










any i m


permet


sobre























57


Marcel XIX 7

20







maten58rdquo





que de


al seu



















1 V 31 9


memorabilia VIII 7


21




agafa d


de Sira



hagi es


amics i

























12


22




quumlestor


























23


24



to

lrsquo






lrsquoaigua1
















en un recipient


25

























sistema de politges


26




























5 Marcel XV 9

27






















tenen cap valor


28





























sistema de miralls




29






























30

















( )2aa ( )2aaminus


drsquoequacioacute

2xy =2ay =


22

2aaahb

=sdot

=sdot



31



⎤⎢⎣



a

a

a

a

a

a

a

a

223

22222

3

( ) [ ] 3333

333

3333

34

326

322


minus=minus=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+minus+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ minusminusminus




ella17rdquo



Volum del con = 322

31

31



34







23 rπ

22 62




612

34

23 rr ππ

32 rsdotsdot= π




32











71103+ i





















33











F

en




eacutes

FP lt

FP minus




















34





























35


36












CONCLUSIOacute













drsquoArquimedes


















37





























lrsquoArenari






38


39







Llibres



Metge 1997




Bernat Metge 2006











1961









Bernat Metge 1937


Metge 1963

40


41






1999


Gandavensis 1826





Pagravegines web








140609 a les 2304)



140609 a les 1905)



















lsquomilersrsquo)
















42












1826





















43





































44


























45






















46


47





Introduccioacute 4



212 El polispast









en par

sos per

realit























a



nt



8









despreacutes
























9


matem


sempre


amb el































10






descob


























11





periogravedi

doacutena ll

















s en plena

2-221 aC)

ents de la resta



12







drsquoun in


lrsquoexegraverc


sobtada







atac





















13


despoti

s els conciutadans

mai vi


Siracus




























14














familiars seus



















15




criu amb tot

luxe d

podien oposar a

una for





























16













prepara



















17


tants d

quals M

quidistant

i que a

























18








obstant

l


q



























19










any i m


permet


sobre























57


Marcel XIX 7

20







maten58rdquo





que de


al seu



















1 V 31 9


memorabilia VIII 7


21




agafa d


de Sira



hagi es


amics i

























12


22




quumlestor


























23


24



to

lrsquo






lrsquoaigua1
















en un recipient


25

























sistema de politges


26




























5 Marcel XV 9

27






















tenen cap valor


28





























sistema de miralls




29






























30

















( )2aa ( )2aaminus


drsquoequacioacute

2xy =2ay =


22

2aaahb

=sdot

=sdot



31



⎤⎢⎣



a

a

a

a

a

a

a

a

223

22222

3

( ) [ ] 3333

333

3333

34

326

322


minus=minus=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+minus+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ minusminusminus




ella17rdquo



Volum del con = 322

31

31



34







23 rπ

22 62




612

34

23 rr ππ

32 rsdotsdot= π




32











71103+ i





















33











F

en




eacutes

FP lt

FP minus




















34





























35


36












CONCLUSIOacute













drsquoArquimedes


















37





























lrsquoArenari






38


39







Llibres



Metge 1997




Bernat Metge 2006











1961









Bernat Metge 1937


Metge 1963

40


41






1999


Gandavensis 1826





Pagravegines web








140609 a les 2304)



140609 a les 1905)



















lsquomilersrsquo)
















42












1826





















43





































44


























45






















46


47





Introduccioacute 4



212 El polispast
















despreacutes
























9


matem


sempre


amb el































10






descob


























11





periogravedi

doacutena ll

















s en plena

2-221 aC)

ents de la resta



12







drsquoun in


lrsquoexegraverc


sobtada







atac





















13


despoti

s els conciutadans

mai vi


Siracus




























14














familiars seus



















15




criu amb tot

luxe d

podien oposar a

una for





























16













prepara



















17


tants d

quals M

quidistant

i que a

























18








obstant

l


q



























19










any i m


permet


sobre























57


Marcel XIX 7

20







maten58rdquo





que de


al seu



















1 V 31 9


memorabilia VIII 7


21




agafa d


de Sira



hagi es


amics i

























12


22




quumlestor


























23


24



to

lrsquo






lrsquoaigua1
















en un recipient


25

























sistema de politges


26




























5 Marcel XV 9

27






















tenen cap valor


28





























sistema de miralls




29






























30

















( )2aa ( )2aaminus


drsquoequacioacute

2xy =2ay =


22

2aaahb

=sdot

=sdot



31



⎤⎢⎣



a

a

a

a

a

a

a

a

223

22222

3

( ) [ ] 3333

333

3333

34

326

322


minus=minus=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+minus+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ minusminusminus




ella17rdquo



Volum del con = 322

31

31



34







23 rπ

22 62




612

34

23 rr ππ

32 rsdotsdot= π




32











71103+ i





















33











F

en




eacutes

FP lt

FP minus




















34





























35


36












CONCLUSIOacute













drsquoArquimedes


















37





























lrsquoArenari






38


39







Llibres



Metge 1997




Bernat Metge 2006











1961









Bernat Metge 1937


Metge 1963

40


41






1999


Gandavensis 1826





Pagravegines web








140609 a les 2304)



140609 a les 1905)



















lsquomilersrsquo)
















42












1826





















43





































44


























45






















46


47





Introduccioacute 4



212 El polispast









matem


sempre


amb el































10






descob


























11





periogravedi

doacutena ll

















s en plena

2-221 aC)

ents de la resta



12







drsquoun in


lrsquoexegraverc


sobtada







atac





















13


despoti

s els conciutadans

mai vi


Siracus




























14














familiars seus



















15




criu amb tot

luxe d

podien oposar a

una for





























16













prepara



















17


tants d

quals M

quidistant

i que a

























18








obstant

l


q



























19










any i m


permet


sobre























57


Marcel XIX 7

20







maten58rdquo





que de


al seu



















1 V 31 9


memorabilia VIII 7


21




agafa d


de Sira



hagi es


amics i

























12


22




quumlestor


























23


24



to

lrsquo






lrsquoaigua1
















en un recipient


25

























sistema de politges


26




























5 Marcel XV 9

27






















tenen cap valor


28





























sistema de miralls




29






























30

















( )2aa ( )2aaminus


drsquoequacioacute

2xy =2ay =


22

2aaahb

=sdot

=sdot



31



⎤⎢⎣



a

a

a

a

a

a

a

a

223

22222

3

( ) [ ] 3333

333

3333

34

326

322


minus=minus=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+minus+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ minusminusminus




ella17rdquo



Volum del con = 322

31

31



34







23 rπ

22 62




612

34

23 rr ππ

32 rsdotsdot= π




32











71103+ i





















33











F

en




eacutes

FP lt

FP minus




















34





























35


36












CONCLUSIOacute













drsquoArquimedes


















37





























lrsquoArenari






38


39







Llibres



Metge 1997




Bernat Metge 2006











1961









Bernat Metge 1937


Metge 1963

40


41






1999


Gandavensis 1826





Pagravegines web








140609 a les 2304)



140609 a les 1905)



















lsquomilersrsquo)
















42












1826





















43





































44


























45






















46


47





Introduccioacute 4



212 El polispast













descob


























11





periogravedi

doacutena ll

















s en plena

2-221 aC)

ents de la resta



12







drsquoun in


lrsquoexegraverc


sobtada







atac





















13


despoti

s els conciutadans

mai vi


Siracus




























14














familiars seus



















15




criu amb tot

luxe d

podien oposar a

una for





























16













prepara



















17


tants d

quals M

quidistant

i que a

























18








obstant

l


q



























19










any i m


permet


sobre























57


Marcel XIX 7

20







maten58rdquo





que de


al seu



















1 V 31 9


memorabilia VIII 7


21




agafa d


de Sira



hagi es


amics i

























12


22




quumlestor


























23


24



to

lrsquo






lrsquoaigua1
















en un recipient


25

























sistema de politges


26




























5 Marcel XV 9

27






















tenen cap valor


28





























sistema de miralls




29






























30

















( )2aa ( )2aaminus


drsquoequacioacute

2xy =2ay =


22

2aaahb

=sdot

=sdot



31



⎤⎢⎣



a

a

a

a

a

a

a

a

223

22222

3

( ) [ ] 3333

333

3333

34

326

322


minus=minus=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+minus+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ minusminusminus




ella17rdquo



Volum del con = 322

31

31



34







23 rπ

22 62




612

34

23 rr ππ

32 rsdotsdot= π




32











71103+ i





















33











F

en




eacutes

FP lt

FP minus




















34





























35


36












CONCLUSIOacute













drsquoArquimedes


















37





























lrsquoArenari






38


39







Llibres



Metge 1997




Bernat Metge 2006











1961









Bernat Metge 1937


Metge 1963

40


41






1999


Gandavensis 1826





Pagravegines web








140609 a les 2304)



140609 a les 1905)



















lsquomilersrsquo)
















42












1826





















43





































44


























45






















46


47





Introduccioacute 4



212 El polispast












periogravedi

doacutena ll

















s en plena

2-221 aC)

ents de la resta



12







drsquoun in


lrsquoexegraverc


sobtada







atac





















13


despoti

s els conciutadans

mai vi


Siracus




























14














familiars seus



















15




criu amb tot

luxe d

podien oposar a

una for





























16













prepara



















17


tants d

quals M

quidistant

i que a

























18








obstant

l


q



























19










any i m


permet


sobre























57


Marcel XIX 7

20







maten58rdquo





que de


al seu



















1 V 31 9


memorabilia VIII 7


21




agafa d


de Sira



hagi es


amics i

























12


22




quumlestor


























23


24



to

lrsquo






lrsquoaigua1
















en un recipient


25

























sistema de politges


26




























5 Marcel XV 9

27






















tenen cap valor


28





























sistema de miralls




29






























30

















( )2aa ( )2aaminus


drsquoequacioacute

2xy =2ay =


22

2aaahb

=sdot

=sdot



31



⎤⎢⎣



a

a

a

a

a

a

a

a

223

22222

3

( ) [ ] 3333

333

3333

34

326

322


minus=minus=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+minus+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ minusminusminus




ella17rdquo



Volum del con = 322

31

31



34







23 rπ

22 62




612

34

23 rr ππ

32 rsdotsdot= π




32











71103+ i





















33











F

en




eacutes

FP lt

FP minus




















34





























35


36












CONCLUSIOacute













drsquoArquimedes


















37





























lrsquoArenari






38


39







Llibres



Metge 1997




Bernat Metge 2006











1961









Bernat Metge 1937


Metge 1963

40


41






1999


Gandavensis 1826





Pagravegines web








140609 a les 2304)



140609 a les 1905)



















lsquomilersrsquo)
















42












1826





















43





































44


























45






















46


47





Introduccioacute 4



212 El polispast














drsquoun in


lrsquoexegraverc


sobtada







atac





















13


despoti

s els conciutadans

mai vi


Siracus




























14














familiars seus



















15




criu amb tot

luxe d

podien oposar a

una for





























16













prepara



















17


tants d

quals M

quidistant

i que a

























18








obstant

l


q



























19










any i m


permet


sobre























57


Marcel XIX 7

20







maten58rdquo





que de


al seu



















1 V 31 9


memorabilia VIII 7


21




agafa d


de Sira



hagi es


amics i

























12


22




quumlestor


























23


24



to

lrsquo






lrsquoaigua1
















en un recipient


25

























sistema de politges


26




























5 Marcel XV 9

27






















tenen cap valor


28





























sistema de miralls




29






























30

















( )2aa ( )2aaminus


drsquoequacioacute

2xy =2ay =


22

2aaahb

=sdot

=sdot



31



⎤⎢⎣



a

a

a

a

a

a

a

a

223

22222

3

( ) [ ] 3333

333

3333

34

326

322


minus=minus=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+minus+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ minusminusminus




ella17rdquo



Volum del con = 322

31

31



34







23 rπ

22 62




612

34

23 rr ππ

32 rsdotsdot= π




32











71103+ i





















33











F

en




eacutes

FP lt

FP minus




















34





























35


36












CONCLUSIOacute













drsquoArquimedes


















37





























lrsquoArenari






38


39







Llibres



Metge 1997




Bernat Metge 2006











1961









Bernat Metge 1937


Metge 1963

40


41






1999


Gandavensis 1826





Pagravegines web








140609 a les 2304)



140609 a les 1905)



















lsquomilersrsquo)
















42












1826





















43





































44


























45






















46


47





Introduccioacute 4



212 El polispast









despoti

s els conciutadans

mai vi


Siracus




























14














familiars seus



















15




criu amb tot

luxe d

podien oposar a

una for





























16













prepara



















17


tants d

quals M

quidistant

i que a

























18








obstant

l


q



























19










any i m


permet


sobre























57


Marcel XIX 7

20







maten58rdquo





que de


al seu



















1 V 31 9


memorabilia VIII 7


21




agafa d


de Sira



hagi es


amics i

























12


22




quumlestor


























23


24



to

lrsquo






lrsquoaigua1
















en un recipient


25

























sistema de politges


26




























5 Marcel XV 9

27






















tenen cap valor


28





























sistema de miralls




29






























30

















( )2aa ( )2aaminus


drsquoequacioacute

2xy =2ay =


22

2aaahb

=sdot

=sdot



31



⎤⎢⎣



a

a

a

a

a

a

a

a

223

22222

3

( ) [ ] 3333

333

3333

34

326

322


minus=minus=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+minus+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ minusminusminus




ella17rdquo



Volum del con = 322

31

31



34







23 rπ

22 62




612

34

23 rr ππ

32 rsdotsdot= π




32











71103+ i





















33











F

en




eacutes

FP lt

FP minus




















34





























35


36












CONCLUSIOacute













drsquoArquimedes


















37





























lrsquoArenari






38


39







Llibres



Metge 1997




Bernat Metge 2006











1961









Bernat Metge 1937


Metge 1963

40


41






1999


Gandavensis 1826





Pagravegines web








140609 a les 2304)



140609 a les 1905)



















lsquomilersrsquo)
















42












1826





















43





































44


























45






















46


47





Introduccioacute 4



212 El polispast





















familiars seus



















15




criu amb tot

luxe d

podien oposar a

una for





























16













prepara



















17


tants d

quals M

quidistant

i que a

























18








obstant

l


q



























19










any i m


permet


sobre























57


Marcel XIX 7

20







maten58rdquo





que de


al seu



















1 V 31 9


memorabilia VIII 7


21




agafa d


de Sira



hagi es


amics i

























12


22




quumlestor


























23


24



to

lrsquo






lrsquoaigua1
















en un recipient


25

























sistema de politges


26




























5 Marcel XV 9

27






















tenen cap valor


28





























sistema de miralls




29






























30

















( )2aa ( )2aaminus


drsquoequacioacute

2xy =2ay =


22

2aaahb

=sdot

=sdot



31



⎤⎢⎣



a

a

a

a

a

a

a

a

223

22222

3

( ) [ ] 3333

333

3333

34

326

322


minus=minus=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+minus+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ minusminusminus




ella17rdquo



Volum del con = 322

31

31



34







23 rπ

22 62




612

34

23 rr ππ

32 rsdotsdot= π




32











71103+ i





















33











F

en




eacutes

FP lt

FP minus




















34





























35


36












CONCLUSIOacute













drsquoArquimedes


















37





























lrsquoArenari






38


39







Llibres



Metge 1997




Bernat Metge 2006











1961









Bernat Metge 1937


Metge 1963

40


41






1999


Gandavensis 1826





Pagravegines web








140609 a les 2304)



140609 a les 1905)



















lsquomilersrsquo)
















42












1826





















43





































44


























45






















46


47





Introduccioacute 4



212 El polispast











criu amb tot

luxe d

podien oposar a

una for





























16













prepara



















17


tants d

quals M

quidistant

i que a

























18








obstant

l


q



























19










any i m


permet


sobre























57


Marcel XIX 7

20







maten58rdquo





que de


al seu



















1 V 31 9


memorabilia VIII 7


21




agafa d


de Sira



hagi es


amics i

























12


22




quumlestor


























23


24



to

lrsquo






lrsquoaigua1
















en un recipient


25

























sistema de politges


26




























5 Marcel XV 9

27






















tenen cap valor


28





























sistema de miralls




29






























30

















( )2aa ( )2aaminus


drsquoequacioacute

2xy =2ay =


22

2aaahb

=sdot

=sdot



31



⎤⎢⎣



a

a

a

a

a

a

a

a

223

22222

3

( ) [ ] 3333

333

3333

34

326

322


minus=minus=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+minus+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ minusminusminus




ella17rdquo



Volum del con = 322

31

31



34







23 rπ

22 62




612

34

23 rr ππ

32 rsdotsdot= π




32











71103+ i





















33











F

en




eacutes

FP lt

FP minus




















34





























35


36












CONCLUSIOacute













drsquoArquimedes


















37





























lrsquoArenari






38


39







Llibres



Metge 1997




Bernat Metge 2006











1961









Bernat Metge 1937


Metge 1963

40


41






1999


Gandavensis 1826





Pagravegines web








140609 a les 2304)



140609 a les 1905)



















lsquomilersrsquo)
















42












1826





















43





































44


























45






















46


47





Introduccioacute 4



212 El polispast




















prepara



















17


tants d

quals M

quidistant

i que a

























18








obstant

l


q



























19










any i m


permet


sobre























57


Marcel XIX 7

20







maten58rdquo





que de


al seu



















1 V 31 9


memorabilia VIII 7


21




agafa d


de Sira



hagi es


amics i

























12


22




quumlestor


























23


24



to

lrsquo






lrsquoaigua1
















en un recipient


25

























sistema de politges


26




























5 Marcel XV 9

27






















tenen cap valor


28





























sistema de miralls




29






























30

















( )2aa ( )2aaminus


drsquoequacioacute

2xy =2ay =


22

2aaahb

=sdot

=sdot



31



⎤⎢⎣



a

a

a

a

a

a

a

a

223

22222

3

( ) [ ] 3333

333

3333

34

326

322


minus=minus=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+minus+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ minusminusminus




ella17rdquo



Volum del con = 322

31

31



34







23 rπ

22 62




612

34

23 rr ππ

32 rsdotsdot= π




32











71103+ i





















33











F

en




eacutes

FP lt

FP minus




















34





























35


36












CONCLUSIOacute













drsquoArquimedes


















37





























lrsquoArenari






38


39







Llibres



Metge 1997




Bernat Metge 2006











1961









Bernat Metge 1937


Metge 1963

40


41






1999


Gandavensis 1826





Pagravegines web








140609 a les 2304)



140609 a les 1905)



















lsquomilersrsquo)
















42












1826





















43





































44


























45






















46


47





Introduccioacute 4



212 El polispast









tants d

quals M

quidistant

i que a

























18








obstant

l


q



























19










any i m


permet


sobre























57


Marcel XIX 7

20







maten58rdquo





que de


al seu



















1 V 31 9


memorabilia VIII 7


21




agafa d


de Sira



hagi es


amics i

























12


22




quumlestor


























23


24



to

lrsquo






lrsquoaigua1
















en un recipient


25

























sistema de politges


26




























5 Marcel XV 9

27






















tenen cap valor


28





























sistema de miralls




29






























30

















( )2aa ( )2aaminus


drsquoequacioacute

2xy =2ay =


22

2aaahb

=sdot

=sdot



31



⎤⎢⎣



a

a

a

a

a

a

a

a

223

22222

3

( ) [ ] 3333

333

3333

34

326

322


minus=minus=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+minus+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ minusminusminus




ella17rdquo



Volum del con = 322

31

31



34







23 rπ

22 62




612

34

23 rr ππ

32 rsdotsdot= π




32











71103+ i





















33











F

en




eacutes

FP lt

FP minus




















34





























35


36












CONCLUSIOacute













drsquoArquimedes


















37





























lrsquoArenari






38


39







Llibres



Metge 1997




Bernat Metge 2006











1961









Bernat Metge 1937


Metge 1963

40


41






1999


Gandavensis 1826





Pagravegines web








140609 a les 2304)



140609 a les 1905)



















lsquomilersrsquo)
















42












1826





















43





































44


























45






















46


47





Introduccioacute 4



212 El polispast















obstant

l


q



























19










any i m


permet


sobre























57


Marcel XIX 7

20







maten58rdquo





que de


al seu



















1 V 31 9


memorabilia VIII 7


21




agafa d


de Sira



hagi es


amics i

























12


22




quumlestor


























23


24



to

lrsquo






lrsquoaigua1
















en un recipient


25

























sistema de politges


26




























5 Marcel XV 9

27






















tenen cap valor


28





























sistema de miralls




29






























30

















( )2aa ( )2aaminus


drsquoequacioacute

2xy =2ay =


22

2aaahb

=sdot

=sdot



31



⎤⎢⎣



a

a

a

a

a

a

a

a

223

22222

3

( ) [ ] 3333

333

3333

34

326

322


minus=minus=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+minus+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ minusminusminus




ella17rdquo



Volum del con = 322

31

31



34







23 rπ

22 62




612

34

23 rr ππ

32 rsdotsdot= π




32











71103+ i





















33











F

en




eacutes

FP lt

FP minus




















34





























35


36












CONCLUSIOacute













drsquoArquimedes


















37





























lrsquoArenari






38


39







Llibres



Metge 1997




Bernat Metge 2006











1961









Bernat Metge 1937


Metge 1963

40


41






1999


Gandavensis 1826





Pagravegines web








140609 a les 2304)



140609 a les 1905)



















lsquomilersrsquo)
















42












1826





















43





































44


























45






















46


47





Introduccioacute 4



212 El polispast

















any i m


permet


sobre























57


Marcel XIX 7

20







maten58rdquo





que de


al seu



















1 V 31 9


memorabilia VIII 7


21




agafa d


de Sira



hagi es


amics i

























12


22




quumlestor


























23


24



to

lrsquo






lrsquoaigua1
















en un recipient


25

























sistema de politges


26




























5 Marcel XV 9

27






















tenen cap valor


28





























sistema de miralls




29






























30

















( )2aa ( )2aaminus


drsquoequacioacute

2xy =2ay =


22

2aaahb

=sdot

=sdot



31



⎤⎢⎣



a

a

a

a

a

a

a

a

223

22222

3

( ) [ ] 3333

333

3333

34

326

322


minus=minus=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+minus+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ minusminusminus




ella17rdquo



Volum del con = 322

31

31



34







23 rπ

22 62




612

34

23 rr ππ

32 rsdotsdot= π




32











71103+ i





















33











F

en




eacutes

FP lt

FP minus




















34





























35


36












CONCLUSIOacute













drsquoArquimedes


















37





























lrsquoArenari






38


39







Llibres



Metge 1997




Bernat Metge 2006











1961









Bernat Metge 1937


Metge 1963

40


41






1999


Gandavensis 1826





Pagravegines web








140609 a les 2304)



140609 a les 1905)



















lsquomilersrsquo)
















42












1826





















43





































44


























45






















46


47





Introduccioacute 4



212 El polispast














maten58rdquo





que de


al seu



















1 V 31 9


memorabilia VIII 7


21




agafa d


de Sira



hagi es


amics i

























12


22




quumlestor


























23


24



to

lrsquo






lrsquoaigua1
















en un recipient


25

























sistema de politges


26




























5 Marcel XV 9

27






















tenen cap valor


28





























sistema de miralls




29






























30

















( )2aa ( )2aaminus


drsquoequacioacute

2xy =2ay =


22

2aaahb

=sdot

=sdot



31



⎤⎢⎣



a

a

a

a

a

a

a

a

223

22222

3

( ) [ ] 3333

333

3333

34

326

322


minus=minus=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+minus+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ minusminusminus




ella17rdquo



Volum del con = 322

31

31



34







23 rπ

22 62




612

34

23 rr ππ

32 rsdotsdot= π




32











71103+ i





















33











F

en




eacutes

FP lt

FP minus




















34





























35


36












CONCLUSIOacute













drsquoArquimedes


















37





























lrsquoArenari






38


39







Llibres



Metge 1997




Bernat Metge 2006











1961









Bernat Metge 1937


Metge 1963

40


41






1999


Gandavensis 1826





Pagravegines web








140609 a les 2304)



140609 a les 1905)



















lsquomilersrsquo)
















42












1826





















43





































44


























45






















46


47





Introduccioacute 4



212 El polispast











agafa d


de Sira



hagi es


amics i

























12


22




quumlestor


























23


24



to

lrsquo






lrsquoaigua1
















en un recipient


25

























sistema de politges


26




























5 Marcel XV 9

27






















tenen cap valor


28





























sistema de miralls




29






























30

















( )2aa ( )2aaminus


drsquoequacioacute

2xy =2ay =


22

2aaahb

=sdot

=sdot



31



⎤⎢⎣



a

a

a

a

a

a

a

a

223

22222

3

( ) [ ] 3333

333

3333

34

326

322


minus=minus=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+minus+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ minusminusminus




ella17rdquo



Volum del con = 322

31

31



34







23 rπ

22 62




612

34

23 rr ππ

32 rsdotsdot= π




32











71103+ i





















33











F

en




eacutes

FP lt

FP minus




















34





























35


36












CONCLUSIOacute













drsquoArquimedes


















37





























lrsquoArenari






38


39







Llibres



Metge 1997




Bernat Metge 2006











1961









Bernat Metge 1937


Metge 1963

40


41






1999


Gandavensis 1826





Pagravegines web








140609 a les 2304)



140609 a les 1905)



















lsquomilersrsquo)
















42












1826





















43





































44


























45






















46


47





Introduccioacute 4



212 El polispast











quumlestor


























23


24



to

lrsquo






lrsquoaigua1
















en un recipient


25

























sistema de politges


26




























5 Marcel XV 9

27






















tenen cap valor


28





























sistema de miralls




29






























30

















( )2aa ( )2aaminus


drsquoequacioacute

2xy =2ay =


22

2aaahb

=sdot

=sdot



31



⎤⎢⎣



a

a

a

a

a

a

a

a

223

22222

3

( ) [ ] 3333

333

3333

34

326

322


minus=minus=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+minus+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ minusminusminus




ella17rdquo



Volum del con = 322

31

31



34







23 rπ

22 62




612

34

23 rr ππ

32 rsdotsdot= π




32











71103+ i





















33











F

en




eacutes

FP lt

FP minus




















34





























35


36












CONCLUSIOacute













drsquoArquimedes


















37





























lrsquoArenari






38


39







Llibres



Metge 1997




Bernat Metge 2006











1961









Bernat Metge 1937


Metge 1963

40


41






1999


Gandavensis 1826





Pagravegines web








140609 a les 2304)



140609 a les 1905)



















lsquomilersrsquo)
















42












1826





















43





































44


























45






















46


47





Introduccioacute 4



212 El polispast









24



to

lrsquo






lrsquoaigua1
















en un recipient


25

























sistema de politges


26




























5 Marcel XV 9

27






















tenen cap valor


28





























sistema de miralls




29






























30

















( )2aa ( )2aaminus


drsquoequacioacute

2xy =2ay =


22

2aaahb

=sdot

=sdot



31



⎤⎢⎣



a

a

a

a

a

a

a

a

223

22222

3

( ) [ ] 3333

333

3333

34

326

322


minus=minus=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+minus+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ minusminusminus




ella17rdquo



Volum del con = 322

31

31



34







23 rπ

22 62




612

34

23 rr ππ

32 rsdotsdot= π




32











71103+ i





















33











F

en




eacutes

FP lt

FP minus




















34





























35


36












CONCLUSIOacute













drsquoArquimedes


















37





























lrsquoArenari






38


39







Llibres



Metge 1997




Bernat Metge 2006











1961









Bernat Metge 1937


Metge 1963

40


41






1999


Gandavensis 1826





Pagravegines web








140609 a les 2304)



140609 a les 1905)



















lsquomilersrsquo)
















42












1826





















43





































44


























45






















46


47





Introduccioacute 4



212 El polispast













lrsquoaigua1
















en un recipient


25

























sistema de politges


26




























5 Marcel XV 9

27






















tenen cap valor


28





























sistema de miralls




29






























30

















( )2aa ( )2aaminus


drsquoequacioacute

2xy =2ay =


22

2aaahb

=sdot

=sdot



31



⎤⎢⎣



a

a

a

a

a

a

a

a

223

22222

3

( ) [ ] 3333

333

3333

34

326

322


minus=minus=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+minus+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ minusminusminus




ella17rdquo



Volum del con = 322

31

31



34







23 rπ

22 62




612

34

23 rr ππ

32 rsdotsdot= π




32











71103+ i





















33











F

en




eacutes

FP lt

FP minus




















34





























35


36












CONCLUSIOacute













drsquoArquimedes


















37





























lrsquoArenari






38


39







Llibres



Metge 1997




Bernat Metge 2006











1961









Bernat Metge 1937


Metge 1963

40


41






1999


Gandavensis 1826





Pagravegines web








140609 a les 2304)



140609 a les 1905)



















lsquomilersrsquo)
















42












1826





















43





































44


























45






















46


47





Introduccioacute 4



212 El polispast
































sistema de politges


26




























5 Marcel XV 9

27






















tenen cap valor


28





























sistema de miralls




29






























30

















( )2aa ( )2aaminus


drsquoequacioacute

2xy =2ay =


22

2aaahb

=sdot

=sdot



31



⎤⎢⎣



a

a

a

a

a

a

a

a

223

22222

3

( ) [ ] 3333

333

3333

34

326

322


minus=minus=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+minus+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ minusminusminus




ella17rdquo



Volum del con = 322

31

31



34







23 rπ

22 62




612

34

23 rr ππ

32 rsdotsdot= π




32











71103+ i





















33











F

en




eacutes

FP lt

FP minus




















34





























35


36












CONCLUSIOacute













drsquoArquimedes


















37





























lrsquoArenari






38


39







Llibres



Metge 1997




Bernat Metge 2006











1961









Bernat Metge 1937


Metge 1963

40


41






1999


Gandavensis 1826





Pagravegines web








140609 a les 2304)



140609 a les 1905)



















lsquomilersrsquo)
















42












1826





















43





































44


























45






















46


47





Introduccioacute 4



212 El polispast



































5 Marcel XV 9

27






















tenen cap valor


28





























sistema de miralls




29






























30

















( )2aa ( )2aaminus


drsquoequacioacute

2xy =2ay =


22

2aaahb

=sdot

=sdot



31



⎤⎢⎣



a

a

a

a

a

a

a

a

223

22222

3

( ) [ ] 3333

333

3333

34

326

322


minus=minus=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+minus+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ minusminusminus




ella17rdquo



Volum del con = 322

31

31



34







23 rπ

22 62




612

34

23 rr ππ

32 rsdotsdot= π




32











71103+ i





















33











F

en




eacutes

FP lt

FP minus




















34





























35


36












CONCLUSIOacute













drsquoArquimedes


















37





























lrsquoArenari






38


39







Llibres



Metge 1997




Bernat Metge 2006











1961









Bernat Metge 1937


Metge 1963

40


41






1999


Gandavensis 1826





Pagravegines web








140609 a les 2304)



140609 a les 1905)



















lsquomilersrsquo)
















42












1826





















43





































44


























45






















46


47





Introduccioacute 4



212 El polispast





























tenen cap valor


28





























sistema de miralls




29






























30

















( )2aa ( )2aaminus


drsquoequacioacute

2xy =2ay =


22

2aaahb

=sdot

=sdot



31



⎤⎢⎣



a

a

a

a

a

a

a

a

223

22222

3

( ) [ ] 3333

333

3333

34

326

322


minus=minus=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+minus+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ minusminusminus




ella17rdquo



Volum del con = 322

31

31



34







23 rπ

22 62




612

34

23 rr ππ

32 rsdotsdot= π




32











71103+ i





















33











F

en




eacutes

FP lt

FP minus




















34





























35


36












CONCLUSIOacute













drsquoArquimedes


















37





























lrsquoArenari






38


39







Llibres



Metge 1997




Bernat Metge 2006











1961









Bernat Metge 1937


Metge 1963

40


41






1999


Gandavensis 1826





Pagravegines web








140609 a les 2304)



140609 a les 1905)



















lsquomilersrsquo)
















42












1826





















43





































44


























45






















46


47





Introduccioacute 4



212 El polispast




































sistema de miralls




29






























30

















( )2aa ( )2aaminus


drsquoequacioacute

2xy =2ay =


22

2aaahb

=sdot

=sdot



31



⎤⎢⎣



a

a

a

a

a

a

a

a

223

22222

3

( ) [ ] 3333

333

3333

34

326

322


minus=minus=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+minus+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ minusminusminus




ella17rdquo



Volum del con = 322

31

31



34







23 rπ

22 62




612

34

23 rr ππ

32 rsdotsdot= π




32











71103+ i





















33











F

en




eacutes

FP lt

FP minus




















34





























35


36












CONCLUSIOacute













drsquoArquimedes


















37





























lrsquoArenari






38


39







Llibres



Metge 1997




Bernat Metge 2006











1961









Bernat Metge 1937


Metge 1963

40


41






1999


Gandavensis 1826





Pagravegines web








140609 a les 2304)



140609 a les 1905)



















lsquomilersrsquo)
















42












1826





















43





































44


























45






















46


47





Introduccioacute 4



212 El polispast





































30

















( )2aa ( )2aaminus


drsquoequacioacute

2xy =2ay =


22

2aaahb

=sdot

=sdot



31



⎤⎢⎣



a

a

a

a

a

a

a

a

223

22222

3

( ) [ ] 3333

333

3333

34

326

322


minus=minus=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+minus+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ minusminusminus




ella17rdquo



Volum del con = 322

31

31



34







23 rπ

22 62




612

34

23 rr ππ

32 rsdotsdot= π




32











71103+ i





















33











F

en




eacutes

FP lt

FP minus




















34





























35


36












CONCLUSIOacute













drsquoArquimedes


















37





























lrsquoArenari






38


39







Llibres



Metge 1997




Bernat Metge 2006











1961









Bernat Metge 1937


Metge 1963

40


41






1999


Gandavensis 1826





Pagravegines web








140609 a les 2304)



140609 a les 1905)



















lsquomilersrsquo)
















42












1826





















43





































44


























45






















46


47





Introduccioacute 4



212 El polispast
























( )2aa ( )2aaminus


drsquoequacioacute

2xy =2ay =


22

2aaahb

=sdot

=sdot



31



⎤⎢⎣



a

a

a

a

a

a

a

a

223

22222

3

( ) [ ] 3333

333

3333

34

326

322


minus=minus=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+minus+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ minusminusminus




ella17rdquo



Volum del con = 322

31

31



34







23 rπ

22 62




612

34

23 rr ππ

32 rsdotsdot= π




32











71103+ i





















33











F

en




eacutes

FP lt

FP minus




















34





























35


36












CONCLUSIOacute













drsquoArquimedes


















37





























lrsquoArenari






38


39







Llibres



Metge 1997




Bernat Metge 2006











1961









Bernat Metge 1937


Metge 1963

40


41






1999


Gandavensis 1826





Pagravegines web








140609 a les 2304)



140609 a les 1905)



















lsquomilersrsquo)
















42












1826





















43





































44


























45






















46


47





Introduccioacute 4



212 El polispast










⎤⎢⎣



a

a

a

a

a

a

a

a

223

22222

3

( ) [ ] 3333

333

3333

34

326

322


minus=minus=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+minus+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ minusminusminus




ella17rdquo



Volum del con = 322

31

31



34







23 rπ

22 62




612

34

23 rr ππ

32 rsdotsdot= π




32











71103+ i





















33











F

en




eacutes

FP lt

FP minus




















34





























35


36












CONCLUSIOacute













drsquoArquimedes


















37





























lrsquoArenari






38


39







Llibres



Metge 1997




Bernat Metge 2006











1961









Bernat Metge 1937


Metge 1963

40


41






1999


Gandavensis 1826





Pagravegines web








140609 a les 2304)



140609 a les 1905)



















lsquomilersrsquo)
















42












1826





















43





































44


























45






















46


47





Introduccioacute 4



212 El polispast


















71103+ i





















33











F

en




eacutes

FP lt

FP minus




















34





























35


36












CONCLUSIOacute













drsquoArquimedes


















37





























lrsquoArenari






38


39







Llibres



Metge 1997




Bernat Metge 2006











1961









Bernat Metge 1937


Metge 1963

40


41






1999


Gandavensis 1826





Pagravegines web








140609 a les 2304)



140609 a les 1905)



















lsquomilersrsquo)
















42












1826





















43





































44


























45






















46


47





Introduccioacute 4



212 El polispast


















F

en




eacutes

FP lt

FP minus




















34





























35


36












CONCLUSIOacute













drsquoArquimedes


















37





























lrsquoArenari






38


39







Llibres



Metge 1997




Bernat Metge 2006











1961









Bernat Metge 1937


Metge 1963

40


41






1999


Gandavensis 1826





Pagravegines web








140609 a les 2304)



140609 a les 1905)



















lsquomilersrsquo)
















42












1826





















43





































44


























45






















46


47





Introduccioacute 4



212 El polispast




































35


36












CONCLUSIOacute













drsquoArquimedes


















37





























lrsquoArenari






38


39







Llibres



Metge 1997




Bernat Metge 2006











1961









Bernat Metge 1937


Metge 1963

40


41






1999


Gandavensis 1826





Pagravegines web








140609 a les 2304)



140609 a les 1905)



















lsquomilersrsquo)
















42












1826





















43





































44


























45






















46


47





Introduccioacute 4



212 El polispast









36












CONCLUSIOacute













drsquoArquimedes


















37





























lrsquoArenari






38


39







Llibres



Metge 1997




Bernat Metge 2006











1961









Bernat Metge 1937


Metge 1963

40


41






1999


Gandavensis 1826





Pagravegines web








140609 a les 2304)



140609 a les 1905)



















lsquomilersrsquo)
















42












1826





















43





































44


























45






















46


47





Introduccioacute 4



212 El polispast









CONCLUSIOacute













drsquoArquimedes


















37





























lrsquoArenari






38


39







Llibres



Metge 1997




Bernat Metge 2006











1961









Bernat Metge 1937


Metge 1963

40


41






1999


Gandavensis 1826





Pagravegines web








140609 a les 2304)



140609 a les 1905)



















lsquomilersrsquo)
















42












1826





















43





































44


























45






















46


47





Introduccioacute 4



212 El polispast




































lrsquoArenari






38


39







Llibres



Metge 1997




Bernat Metge 2006











1961









Bernat Metge 1937


Metge 1963

40


41






1999


Gandavensis 1826





Pagravegines web








140609 a les 2304)



140609 a les 1905)



















lsquomilersrsquo)
















42












1826





















43





































44


























45






















46


47





Introduccioacute 4



212 El polispast









39







Llibres



Metge 1997




Bernat Metge 2006











1961









Bernat Metge 1937


Metge 1963

40


41






1999


Gandavensis 1826





Pagravegines web








140609 a les 2304)



140609 a les 1905)



















lsquomilersrsquo)
















42












1826





















43





































44


























45






















46


47





Introduccioacute 4



212 El polispast










Llibres



Metge 1997




Bernat Metge 2006











1961









Bernat Metge 1937


Metge 1963

40


41






1999


Gandavensis 1826





Pagravegines web








140609 a les 2304)



140609 a les 1905)



















lsquomilersrsquo)
















42












1826





















43





































44


























45






















46


47





Introduccioacute 4



212 El polispast









41






1999


Gandavensis 1826





Pagravegines web








140609 a les 2304)



140609 a les 1905)



















lsquomilersrsquo)
















42












1826





















43





































44


























45






















46


47





Introduccioacute 4



212 El polispast




















lsquomilersrsquo)
















42












1826





















43





































44


























45






















46


47





Introduccioacute 4



212 El polispast



















1826





















43





































44


























45






















46


47





Introduccioacute 4



212 El polispast












































44


























45






















46


47





Introduccioacute 4



212 El polispast

































45






















46


47





Introduccioacute 4



212 El polispast





























46


47





Introduccioacute 4



212 El polispast









47





Introduccioacute 4



212 El polispast








El millor matemàtic de l’antiguitat -...

Documents

Transcript of El millor matemàtic de l’antiguitat -...