El Modelo oculto de Markov y sus aplicaciones en Economía y...

El Modelo oculto de Markov y sus aplicaciones enEconomía y Finanzas

Workshop on Econometrics and Data ScienceCIMAT

Monterrey, NL

José Luis Batún Cutz

Universidad Autónoma de Yucatán

8 y 9 de Noviembre de 2018

José Batún (UADY) El Modelo oculto de Markov y sus aplicaciones en Economía y Finanzas8 y 9 de Noviembre de 2018 1 / 18

Contenido

1 El proceso de Markov escondidoCadena de MarkovEl modelo de Markov EscondidoEjemplos

2 Las Series de tiempo Financieras

3 Aplicaciones del HMM

4 Bibliografía


El proceso de Markov escondido Cadena de Markov




4 Bibliografía



Cadena de Markov

DefiniciónUna sucesión de variables aleatorias discretas {St : t ∈ N} es unacadena de Markov si

P [St+1|St ,St−1, . . . ,S1] = P [St+1|St ]

para todo t ∈ N.

Cada v.a. St toma valores en el conjunto de estados S = {1,2, . . . ,m}.Una cadena de Markov es homogenea si las probabilidades detransición

P [Su+t = j |St = i] = pij(u)

no dependen de t .



Cadena de Markov homogenea

Una cadena de Markov homogenea con m estados está determinadapor la matriz de probabilidades de transición P = (pij) de tamañom ×m dada por

pij = P [Su+1 = j |Su = i]


El proceso de Markov escondido El modelo de Markov Escondido




4 Bibliografía



El Modelo escondido de Markov

DefiniciónSea {St : t ∈ N} una cadena de Markov con m estados. El proceso{Xt : t ∈ N} es un proceso de Markov Escondido con m estados(HMM), si

P[St |S(t−1)

]= P [St |St−1] para t = 2,3, ...

P[Xt |X (t−1),S(t)

]= P [Xt |St ] parat ∈ N

donde S(t−1) = (St−1,St−2, . . . ,S1) y X (t) = (Xt ,Xt−1, . . . ,X1)




St-2 St-1 St St+1

Xt-2 Xt-1 Xt Xt+1

Observado

No observado




= 0.8 0.05 0.150.5 0.2 0.30.2 0.5 0.3

−6,10 , 1(6 , 1)

Estado 1Estado 2Estado 3


El proceso de Markov escondido Ejemplos




4 Bibliografía



Markov Switching Variance Model

yt ∼ N(0, σ2t )

σ2t = σ2

1S1t + σ22S2t

con

Skt =

{1 si St = k0 de otra forma

k = 1,2 yP[St = j |St−1 = i] = pij

], i , j = 1,2,∑2

j=1 pij = 1, σ21 < σ2

2



AR Switching Model

yt = CSt + φyt−1 + εt

con St una cadena de Markov con dos estados {1,2}, matriz detransición (

p11 p12p21 p22

)y εt ∼ N(0, σ2).



Estimación

Determinación del número de estados de la cadena de Markov:AIC, BIC, pruebas secuenciales y razón de verosimilitud.Estimación de los parámetros del modelo. Máxima Verosimilitud,con algoritmo de Baum-Welch (EM)Estimación de la secuencia de estados que originó la muestraobservada: Viterbi ALgorithm


Las Series de tiempo Financieras

GARCH o HMM?

Para una serie de tiempo financiera {Xt}, los log-rendimientos sedefinen como

rt = Log(Xt)− Log(Xt−1) = Log(

Xt

Xt−1

)Ambos modelos reproducen los hechos estilizados de las series detiempo financieras.HMM es mejor que GARCH cuando le frecuencia de muestreo de losdatos no es diaria, pues el efecto ARCH puede no estar presente o esmuy débil.


Aplicaciones del HMM


Volatility in Growth rate of real GDP. Bhar(2004)( ventaja sobre elGARCH)Forecasting oil price trends using wavelets and hidden MarkovModels. de Sousa e Silva (2010)Hidden Markov Model in Finance 2007, 2014



Mas acerca del HMM

Las variables observables pueden ser discretas, como porejemplo ventas de un artículo.La cadena de Markov se puede considerar en tiempo continuo.Modelos Semi-MarkovModelar series de tiempo con datos faltantes o datos faltantesdebido a dias feriados


Bibliografía

Bibliografía

Bhar, R., Hamori, S. (2004) Hidden Markov Models, Applications toFinancial Economics. Kluwer Academic Publishers, New York.

Mamon, R. And Elliott R. (2014) Hidden Markov Models in Finance.Further Developments ans Applications, Vol II. Springer, New York.

Mamon, R. And Elliott R. (2007) Hidden Markov Models in Finance.Springer, New York.

Zucchini, W., MacDonald I., Langrock, R. (2016) Hidden MarkovModels for Time Series, An Introduction using R. Chapman & Hall,Second Edition.


Bibliografía

Bibliografía

Rydén, T., Teräsvirta, T. and Åsbrink, S., Stylized facts of daily returnseries and the Hidden Markov Model. J Applied Econometrics, 1988,13, 217-244.Cheng-Der, F (2003) SPRT and CUSUM in Hidden Markov Models,Statistica Sinica, Vol 31, No. 3, 942-947


Bibliografía

Agradecimientos

Agradezco el apoyo y la invitación del comité organizador del evento ydel proyecto de Ciencia Básica Modelos con estructuras dedependencia II, No CB-2015-252996.


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