EL MÈTODE DELS ELEMENTS FINITS: FONAMENTS · Exercici1 a) Donat el problema de contorn-u xx = -2,...
Transcript of EL MÈTODE DELS ELEMENTS FINITS: FONAMENTS · Exercici1 a) Donat el problema de contorn-u xx = -2,...
EL MÈTODE DELS ELEMENTS FINITS: FONAMENTS
EL MÈTODE DELS ELEMENTS FINITS: FONAMENTS
Laboratori de Càlcul Numèric (LaCàN)
Universitat Politècnica de Catalunya (Spain)
http://www-lacan.upc.es
Laboratori de Càlcul Numèric (LaCàN)
Universitat Politècnica de Catalunya (Spain)
http://www-lacan.upc.es
Problema modelProblema model
Forma forta (diferencial)
� EDP: en
� Condicions de contorn� Condicions de contorn
• Dirichlet
• Neumann
� Solució (clàssica) del problema:
· 2
Una funció és de classe
si totes les seves derivades fins a ordre m existeixen i són contínues.
a
a
Residus ponderatsResidus ponderats
� Multipliquem per una funció de test w i integrem en tot el
domini:
Integració per parts en diverses dimensions
· 3
Espais de funcions
ambi
Residus ponderatsResidus ponderats
� Triem les funcions w a l’espai de funcions de test:
i podem avaluar la integral sobre el contorn
· 4
a
a
Forma febleForma feble
Determinar u en l’espai de funcions “trial”
tal que
per qualsevol w de l’espai de funcions testper qualsevol w de l’espai de funcions test
� La forma forta i la forma feble són equivalents
� Les condicions de contorn essencials (Dirichlet) es
verifiquen exactament, mentre que les condicions de
contorn naturals (Neumann) s’imposen en forma feble.
· 5
Forma febleForma feble
� La forma feble es pot reescriure com:
Determinar tal que
ambforma bilineal, simètrica i coerciva
� Recordeu:
· 6
i
DiscretitzacióDiscretització
� El domini es divideix en elements
i es busquen solucions en els subespais
(de dimensió finita)
Determinar tal que
· 7
Problema discret
polinomis de grau ≤ men cada element
� Forma forta (EDP):
� Forma feble (integral): residus ponderats + integració per parts
Trobar tal que
amb
ResumResum
en
a
a
Trobar t.q.
� Els subespais i són de dimensió finita
� Problema discret
amb
� Les funcions de verifiquen les condicions Dirichlet
i les de s’anul·len sobre ΓD.
· 8
DiscretitzacióDiscretització
� Es considera una interpolació seccional (splines) del grau que es desitgi (lineal, quadràtic, …).
� Les funcions de la base verifiquen Ni(xj) = δij
Ni(x)
· 9
� Avantatges:• suport compacte (bases locals) ⇒ matrius quasi-buides• fàcilment integrable• coeficients ui amb significat físic Detalls
Valors prescritsValors prescrits
� Es fixen els coeficients que corresponen a valors coneguts
per les condicions de contorn essencials
· 10
• uh(x) verifica (llevat de l’error associat a la interpolació) la condició de contorn essencial u=uD en ΓD
• Ni(x)=0 en ΓD per i∉B (funcions de test v)
� Existeixen altres tècniques: multiplicadors de Lagrange,
mètodes de penalització, mètode de Nitsche...
Elecció de les funcions de testElecció de les funcions de test
� Col·locació puntual: es verifica la EDP exactament en n
punts xi
� Mínims quadrats: minimitza la norma L2 del residu al
quadrat
· 11
quadrat
� Galerkin: minimitza l’error en norma de l’energia
pel problema
Discretizació de la forma febleDiscretizació de la forma feble
� Substituïm a la forma feble:
a bilineal
· 12
� Sistema lineal d’equacions
Exercici 1Exercici 1
a) Donat el problema de contorn
-uxx= -2, ∀x∈[0,2]
u(0)=0
ux(2)=4
troba l’aproximació donada pel MEF, uh(x),utilitzant
elements lineals C0 en la següent malla
· 13
elements lineals C en la següent malla
h
0 1 2
Exercici 2Exercici 2b) Donada la EDO
utilitzant la següent interpolació seccional lineal C0
Nj(xi)=δij
per
· 14
determina quina és la matriu del sistema resultant. Quins són els
avantatges d’utilitzar una aproximació seccional? De quina manera es
modificaria la matriu del sistema si fessis servir elements quadràtics?
Nj(xi)=δij
h1 h2 h6
1
FIFIFIFI
· 15
Espais de funcionsEspais de funcions
amb frontera Γ suau a trossos
� espai de funcions de quadrat integrables, amb
� espai de funcions de quadrat integrable amb derivades fins a ordre k de quadrat integrable
producte escalar norma
derivades fins a ordre k de quadrat integrable
Notació:· 16
producte escalar norma
� En general, per a qualsevol enter k > 0, definim l’espai de
Sobolev
on
El producte escalar d’aquest espai és
� Notarem com o l’espai de funcions vectorials de m components amb
La norma per aquest espai és:
· 17
Integració per partsIntegració per parts
Teorema de la divergència de Gauss
· 18
DefinicionsDefinicions
forma en un espai de Hilbert amb norma
� simètrica
� bilineal
· 19
� coerciva (o H-el·líptica):
� contínua:
Interpolació seccional (Spline)Interpolació seccional (Spline)
uh(x)=3N1(x)+2N2(x)+4N3(x)-1N4(x)+2N5(x)
Ni(xj)=δij
Recordeu:
· 20
Significat físic dels coeficients:
uh(xi)=ui
� Element lineal
Elements 1DElements 1D
Ni(xj)=δij
Recordeu:
· 21
� Element quadràtic
Ni(xj)=δij
Recordeu:
· 22
Ni(xj)=δij
Recordeu:
� Element quadràtic
jeràrquic
· 23
� Element cúbic
Elements 2DElements 2D
N1 N2
� Element bilineal Q1
· 24
N3 N4
N1 N2
� Element biquadràtic Q2
· 25
N8 N9
Elements 3DElements 3D
� Tetraedre de 4 nodes (lineal)
� Hexaedre de 8 nodes (trilineal)
· 26