El

Nombre

e

EL NOMBRE e• Un nombre rar i misteriós

• Un nombre natural (escrit a la natura)

• Un nombre amb nom de lletra, per què?

• Un nombre present a la formula científica més adient per ornar camisetes

(després de la molt famosa E=m·c2)

eiπ+1=0

El nombre e és misteriós

n

n ne

+=

∞→

11lim

És misteriós i rar. Ningú que no fos matemàtic, i matemàtic excepcional, hauria pogut inventar o descobrir aquest nombre.És misteriós com ho són tots els irracionals, nombres decimals infinits i no periòdics, i un poc més.

DUES DEFINICIONS:

primera

segona

...!5

1

!4

1

!3

1

!2

1

!1

11 ++++++=e

n (1+1/n) (1+1/n)n

1 2 2

2 1’5 2’25

3 1’3333333... 2’37037037...

4 1’25 2’44140625

5 1’2 2’448832

..... ..... .....

10 1’1 2’59374246...

100 1’01 2’70481383...

1000 1’001 2’71692393...

1000000 1’000001 2’71828047...

1000000000 1’000000001 2’71828183...

Primera definició:

el nombre e com a límit de la successió (1+1/n)n

Segona definició:

El nombre e com a suma de la sèrie 1+1/1!+1/2!+1/3!+…..+1/n!+…

2,71828182611

2,7182815269

2,7182787708

2,7182539687

2,7180555566

2,7166666675

2,7083333334

2,6666666673

2,5000000002

2,0000000001

1+1/1!+1/21+1/3!+…..+1/n!n

ee ≈ ≈ 2’71828182845904523532’7182818284590452353……

en sabem algunes coses:en sabem algunes coses: és la base dels logaritmes naturals ,o neperians.és la base dels logaritmes naturals ,o neperians.

és un nombre és un nombre irracional , , decimal infinit i no periòdic.decimal infinit i no periòdic.

és un nombre és un nombre trascendenttrascendent , ,no és solució de cap equació polinòmica no és solució de cap equació polinòmica

amb coeficients enters amb coeficients enters

PENSA UN POC: (tot irracional és trascendent?) (tot trascendent és irracional?)

• Creixement exponencial• Creixement logístic• Interés continu• Corba catenària• Datació pel mètode del carboni14 • Determinació de l’instant de la mort en un

assassinat.

Aparicionse-stel.lars

1.Creixement exponencial (malthusià) La derivada de la funció y = ex és y’ = ex

la derivada de y = ekx és y’ = k·ekx

Aquest fet expressa que la velocitat del canvi és proporcional a l’estat de la cosa

que canvia; explica perquè la funció y = ekx apareix en moltíssims fenòmens de creixement natural. La velocitat de creixement d’una població sol ser proporcional al tamany de la població.Com més gran és un cultiu de bacteris (un bosc, una població animal en una zona concreta) més ràpidament creix.

En aquest model de creixement, el nombre d’individus presents a l’instant t ve

donat per la fórmula P(t) = P0·ekt

P0 és el tamany inicial de la població (a l’instant en què començam l’observació), t el temps transcorregut, i k una constant que depèn del cas concret

EXERCICI: Començam amb 500 bacteris en una placa de petri.Observam que després d’una hora ja en tenim 800. Determinau la funció P(t) i representau-la

Creixement exponencial

2.Creixement logístic És fàcil pensar que el creixement exponencial pot servir com a model en els primers estadis de creixement, quan les poblacions creixen de forma incontrolada. Més endavant, per força han d’aparèixer restriccions de tota classe (d’espai, d’aliments,de materials, etc.) que faran ralentitzar aquest creixement.Per això ,els matemàtics han refinat el model i l’han canviat pel creixement logístic,

on curiosament també hi és present el nombre e En aquest cas la funció és:

M és una constant anomenada nivell de saturació, que posa una frontera al creixement; a i b són constants (b<0) que depenen del cas concret i s’han de determinar experimentalment, t és el temps transcorregut

EXERCICI: Representau gràficament la funció

btea

MtP

·1)(

+=

tetP

1'2·9991

1000)( −+

=

Creixement logístic

M

3.Interés continu Un depòsit inicial de 100 euros col.locat a l’interés anual del 8% es convertirà passat un any en 100·1’08 euros . Si parlam de r com a “tant per ú” resumiríem el cas general mitjançant la fórmula C =C0 ·(1+r) Capitalitzant per anys, un capital inicial C0 es convertirà passats t anys en C=C0·(1+r)t , on r és l’interés produït per 1 € en 1 any.

Capitalitzant per semestres C=C0 ·(1+r/2)2t Capitalitzant per trimestres C=C0 ·(1+r/4)4t

Capitalitzant per mesos C=C0 ·(1+r/12)12t

Capitalitzant n vegades a l’any C=C0 ·(1+r/n)nt

Quan el nombre d’actualitzacions (n) és molt gran, podem fins i tot pensar en una actualització contínua (cada instant s’acumulen els interessos al capital), obtendríem per pas al límit C = C0 ·ert , (un cop més el nombre e !!)

EXERCICI: a)Calculau

b)Un euro al 100% anual es convertirà en 2 euros passat un any.Quin és el valor màxim que podem esperar obtenir canviant només el període de capitalització?

nt

n n

rC

+

∞→1·0lim

4.Corba catenària

És la corba que descriu una cadena suspesa pels seus extrems.

En un principi es creia que tal corba era una paràbola. Huygens, als 17 anys, va demostrar que no ho era.

Un exemple d’elles és la corba y = 0,5(ex + e-x) . (totes tenen e )

La catenària invertida té una sèrie de propietats que la fan molt interessant en arquitectura. Gaudí en va ser conscient.

La catenària invertida és present també en aquest projecte mai realitzat de Gaudí. Un hotel certament original i estrany que s’havia de construir a la ciutat de Chicago

5.Datació pel mètode del C-14

Els teixits de plantes i animals vius contenen dues formes de l’element carboni (C): El C-12 no radioactiu i el C-14 ,un isòtop radioactiu, que estan en proporció gairebé invariable 1012:1. Quan un organisme mor ,els seus teixits conserven tot el C-12 mentre que el C-14 emet radiacions i es va desintegrant.

Mesurant la proporció de C-14 respecte al C-12 (sigui Q) que encara conté la mostra que volem datar, podrem obtenir el temps aproximat transcorregut d’ençà de la mort, mitjançant la relació:

On t és el temps expressat en anysEXERCICI: En una cova es troba un crani humà vora les restes d’una foguera.S’ha

establit que només un 2% de la quantitat original de C-14 queda a la fusta cremada. Calculau l’edat del crani ,suposant que aquell home va encendre la foguera.

Q=10-12·e-0’000124t

6.Determinació de l’instant de la mort

Determinació del moment de la mort en un assassinat. Cal aplicar la llei de Newton sobre el refredament obtinguda a partir de la hipòtesi que la velocitat de refredament és proporcional a la diferència entre la seva temperatura i la del medi on es troba.Una persona viva manté la temperatura entorn dels 37º C (..........oF ) Quan mor deixa de produir calor, i per tant, comença a refredar-se seguint la llei:

on T0 és la temperatura normal dels vius, i t són les hores transcorregudes ; M és la temperatura del medi. Llàstima que les temperatures estan en graus Fahrenheit.

teMTMtT 5207'00 )·()( −−+=

EXERCICI:

Varen trobar el cos de nit i estava a 29’45º C

( ........o F) ,

la temperatura ambient era de 20º C

( .........o F)

i s’havia mantingut constant les darreres hores . Quantes hores havien transcorregut d’ençà de la mort?

The end

The end

EULERThe end

Th

e end

Th

e end

EU

LE

R

Th

e end

EULER

The end

The end The end

The end

The end

The end

EULER