Ф, el Número de Oro

Proyecto de matemáticasAutor: Andrés Rivadeneira

¿Cuál de los siguientes rectángulos te parece

más armonioso?a b

c

de

f

La sección áurea y el número de oro

La sección áurea es la división armónica de un segmento en media y extrema razón. Es decir, que el segmento mayor dividido por el segmento menor es igual a la totalidad del segmento dividido por el segmento mayor.

1

1-xx

xxx 11

011111

22

xxxxxx

x

Al resolver la ecuación de 2º grado, obtenemos como solución positiva:

251

x

Hacemos operaciones

Nº Áureo o de oro

251

x

2511

1

xxxPor tanto,

........618,1251

Hemos visto,

•El número áureo o de oro

Es un nº irracional, tiene por tanto infinitas cifras decimales no periódicas.

........618,1251

El rectángulo áureo

a

b

ba

b

El rectángulo áureo es el único en el cual la prolongación de una diagonal contiene al vértice del mismo rectángulo adyacente colocado verticalmente al lado.

División de un segmento en sección

áurea

ab

El número de oro en el arte, el diseño y la

naturaleza

El número áureo aparece, en las proporciones que guardan los edificios, esculturas, objetos, partes de nuestro cuerpo, …..

• Un ejemplo de rectángulo áureo en el arte es el alzado del Partenón griego.

 

• En la figura se puede comprobar que AB/CD=Φ. Hay más cocientes entre sus medidas que dan el número áureo, por ejemplo: AC/AD= Φ y CD/CA= Φ.

• El Templo de Ceres en Paestum (460 a.C.) tiene su fachada construida siguiendo un sistema de triángulos áureos, al igual que los mayores templos griegos, relacionados, sobre todo, con el orden dórico.

• Los lados del rectángulo en el cual está idealmente inscrita la estatua del Apolo de Belvedere están relacionados según la sección áurea, es decir, con una proporción de 1:1,618.

• El número áureo no sólo lo podemos encontrar en las antiguas construcciones y representaciones artísticas, diariamente manejamos objetos en los cuales se ha tenido en cuenta las proporciones áureas para su elaboración. Por ejemplo, la mayoría de las tarjetas de crédito así como nuestro carnet de identidad tienen la proporción de un rectángulo áureo. También lo podemos encontrar en las cajetillas de tabaco, construcción de muebles, marcos para ventanas, camas, etc.

• Unas proporciones armoniosas para el cuerpo, las plasmó en este dibujo Leonardo da Vinci. Sirvió para ilustrar el libro La Divina Proporción  de Luca Pacioli editado en 1509.

• Estirando manos y pies y haciendo centro en el ombligo se dibuja la circunferencia. El cuadrado tiene por lado la altura del cuerpo que coincide, en un cuerpo armonioso, con la longitud entre los extremos de los dedos de ambas manos cuando los brazos están extendidos y formando un ángulo de 90º con el tronco. Resulta que el cociente entre la altura del hombre (lado del cuadrado) y la distancia del ombligo a la punta de la mano (radio de la circunferencia) es el número áureo.

En dicho libro se describen cuales han de ser las proporciones de las construcciones artísticas. En particular, Pacioli propone un hombre perfecto en el que las relaciones entre las distintas partes de su cuerpo sean proporciones áureas

El número de oro y el pentágono

ld

ab

bc

cd

La sucesión de Fibonacci y el número

de oro

• Consideramos la siguiente sucesión de números:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, …….Cada número a partir del tercero, se obtiene sumando los dos que le preceden.

Esta sucesión es la llamada Sucesión de Fibonacci.

F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F10 F11 F12 F13 …

1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144

233 …

11 F

12 F

12 nnn FFF 3n

A partir de la sucesión de Fibonacci Fn, calculemos ahora los primeros términos de la sucesión:

n

nn FFa 1

111

1

21 FFa

212

2

32 FFa

5'123

3

43 FFa

..666666'135

4

54 FFa

6'158

5

65 FFa

625'1813

6

76 FFa

...6153846'11321

7

87 FFa

...6176471'13455

9

109

FFa

....6190476'12134

8

98 FFa

...6181818'15589

10

1110

FFa

...6179775'189144

11

1211

FFa

Cuanto mayores son los términos de an, los cocientes se acercan más al nº de oro, Φ=1’61803…..

En lenguaje matemático,

...61803'1251lim 1

n

n

x FF

La espiral logarítmica

Si tomamos un rectángulo áureo ABCD y le sustraemos el cuadrado AEFD cuyo lado es el lado menor AD del rectángulo, resulta que el rectángulo EBCF es áureo. Si después a éste le quitamos el cuadrado EBGH, el rectángulo resultante HGCF también es áureo. Este proceso se puede reproducir indefinidamente, obteniéndose una sucesión de rectángulos áureos encajados que convergen hacia el vértice O de una espiral logarítmica.

Esta curva ha cautivado, por su belleza y propiedades, la atención de matemáticos, artistas y naturalistas. Se le llama también espiral equiangular (el ángulo de corte del radio vector con la curva es constante) o espiral geométrica (el radio vector crece en progresión geométrica mientras el ángulo polar decrece en progresión aritmética). J. Bernoulli, fascinado por sus encantos, la llamó spira mirabilis, rogando que fuera grabada en su tumba.

Curiosidades Áureas

11

12 La ecuación x2-x-1=0 tiene como solución al nº áureo, por tanto Φ2-Φ-1=0 → Φ2=Φ+1

Dividiendo la ecuación Φ2-Φ-1=0 entre Φ y despejando Φ-1

Consideramos la sucesión de término general an=Φn

11a

122 a

1233 a

2344 a

En general, cada término a partir del tercero se obtiene sumando los dos anteriores, es decir, la misma relación que en la sucesión de Fibonacci

21 nnn