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El problema de realización de grupos en categorías de flechas David Méndez, Universidad de Málaga ([email protected]) Conjunto con Cristina Costoya (Universidade da Coruña) y Antonio Viruel (Universidad de Málaga) Con financiación de los siguientes proyectos: Ministerio de Economía y Competitividad MTM2016-78647-P y MTM2016-79661-P, y Xunta de Galicia EM2013/16. Resumen Introducimos una versión generalizada del problema de realización de grupos en categorías de flechas. Proporcionamos una solución a este problema en la categoría de grafos y, cuando nos restringimos a grupos finitos, en la categoría de homotopía de espacios topológicos. Introducción: El problema Dada una categoría C , definimos su categoría de flechas Arr(C ): I Un objeto a de Arr(C ) es un morfismo a : A 1 → A 2 de C . I Un morfismo f : a → b de Arr(C ) es un par (f 1 ,f 2 ) que da lugar a un cuadrado conmutaঞvo A 1 B 1 A 2 B 2 . f 1 f 2 a b I Un automorfismo de a : A 1 → A 2 es un par (f 1 ,f 2 ) donde f 1 ∈ Aut(A 1 ), f 2 ∈ Aut(A 2 ) y a ◦ f 1 = f 2 ◦ b. Problema (realización de grupos en la categoría de flechas): Dados grupos H ≤ G 1 × G 2 , ¿existe a : A 1 → A 2 objeto de Arr(C ) tal que Aut(A 1 ) ∼ = G 1 , Aut(A 2 ) ∼ = G 2 y Aut(a) ∼ = H ? Antecedentes: el problema clásico Para encontrar una solución a nuestra pregunta hay que re- solver el problema de realización clásico: Dada una categoría C y un grupo G, ¿existe X ∈ Ob(C ) tal que Aut(X ) ∼ = G? I Categoría de grafos (G rafos): Propuesto: König, 1936. Resuelto para grupos finitos: Frucht, 1939. Resuelto en el caso general: de Groot, 1959. Método: Uঞlizan el reemplazamiento de flechas para codificar direcciones y eঞquetas de un grafo de Cayley en un grafo simple. = ⇒ I Categoría de homotopía de espacios (HoTop): Propuesto: Kahn, años 60. Resuelto para grupos finitos: Costoya-Viruel, 2014. Método: asocian a cada grafo un modelo algebraico de un ঞpo de homotopía racional. Esta asociación es fun- torial en una subcategoría de G rafos que no es plena. M G = (Λ(x 1 ,x 2 ,y 1 ,y 2 ,y 3 ,z ) ⊗ Λ(x v ,z v | v ∈ V (G )),d) homotópicamente rígida codifica grafo generadores asociados a vérঞces generadores asociados a vérঞces Objetivo y metodología I Objeঞvo: resolver el problema de realización en las cate- gorías de flechas de G rafos y HoTop. I Metodología: análoga a la del problema clásico. 1. Resolver el problema en grafos dirigidos y eঞqueta- dos. 2. Trasladar la solución a grafos simples mediante reem- plazamiento de flechas. 3. Construir un funtor de grafos a espacios racionales que permita llevar la solución a HoTop. De grupos a grafos 1. Los subgrupos del producto. Sea H ≤ G 1 × G 2 . Sean π j : G 1 × G 2 → G j e i j : G j → G 1 × G 2 . π 1 (H ) ≤ G 1 es el grupo de las primeras componentes de elementos de H . Análogo con π 2 (H ). i -1 1 (H ) ≤ G 1 es el grupo de elementos g 1 ∈ G 1 tales que (g 1 ,e G 2 ) ∈ H . Análogo con i -1 2 (H ). Si (g 1 ,g 2 ), (g 0 1 ,g 2 ) ∈ H comparten segunda componente, [g 1 ]=[g 0 1 ] ∈ π 1 (H )/i -1 1 (H ). Está bien definida la aplicación ϕ : π 1 (H )/i -1 1 (H ) → π 2 (H )/i -1 2 (H ) que lleva [g 1 ] a [g 2 ] tal que (g 1 ,g 2 ) ∈ H . Lema (Goursat): La aplicación ϕ : π 1 (H )/i -1 1 (H ) → π 2 (H )/i -1 2 (H ) es un isomorfismo de grupos, y H = {(g 1 ,g 2 ) ∈ π 1 (H ) × π 2 (H ) | ϕ[g 1 ]=[g 2 ]}. 2. El punto de parঞda: grafos de Cayley. Sea G un grupo, R un conjunto de gener- adores de G. El grafo de color de Cayley de G asociado a R es un grafo dirigido y coloreado Cay(G, R) con: Vérঞces: uno por cada elemento de G. Aristas: una arista eঞquetada r ∈ R entre g y rg , para todo g ∈ G. Proposición: Si G grupo con R conjunto de generadores, Aut(Cay(G, R)) ∼ = G. 1 0 2 3 Ejemplo: Cay(Z 4 , {1, 2}) 3. Los grafos que resuelven el problema: Sean H ≤ G 1 × G 2 . Construimos ψ : G 1 →G 2 : G 1 = Cay(G 1 ,R), con R elegido según las clases laterales de G 1 /i -1 1 (H ). G 2 se construye a parঞr de Cay(G 2 ,S ), con S elegido según las clases laterales de G 2 /π 2 (H ): • Se construye un grafo G i 0 que representa a las clases laterales de G 1 /i -1 1 (H ). • Por cada clase lateral de G 2 /π 2 (H ), se añade a Cay(G 2 ,S ) una copia de G i 0 . • De cada vérঞce g 2 de Cay(G 2 ,S ) sale una única arista con una nueva eঞqueta, ϕ. • Esta arista llega a un vérঞce de la copia de G i 0 que corresponde a la clase de g 2 en G 2 /π 2 (H ). • El vérঞce de llegada de la arista se escoge en función de ϕ (Lema de Goursat). ψ lleva cada vérঞce de G 1 a su clase en la copia de G i 0 asociada a π 2 (H ). 0 1 2 3 0 1 2 3 [0] [1] [1] [0] G 1 G 2 ψ Ejemplo: Solución para G 1 = G 2 = Z 4 , H = h(1, 2)i≤ G 1 × G 2 . Proposición: Aut(G 1 ) ∼ = G 1 , Aut(G 2 ) ∼ = G 2 y Aut(ψ ) ∼ = H . 4. De grafos dirigidos y eঞquetados a grafos simples: Se uঞliza el reemplazamiento de flechas. De grafos a espacios racionales Definimos un funtor M : G rafos → CDGA (modelos algebraicos de ঞpos de homotopía racional): I A G grafo sin vérঞces aislados se asocia M(G )=(A⊗ Λ(x v | v ∈ V (G ),z (v,w) ,z (w,v ) |{v,w}∈ E (G )),d): A = (Λ(x 1 ,x 2 ,y 1 ,y 2 ,y 3 ,z ),d) CDGA rígida como álgebra (es decir, End(A)= {0, 1}). Generadores x v asociados a vérঞces con dx v =0. Generadores z (v,w) asociados a aristas con dz (v,w) = x 3 v + x v x w x 8 2 + x 29 1 . I A σ : G 1 →G 2 morfismo de grafos se asocia M(σ ): M(G 1 ) →M(G 2 ): M(σ ) es la idenঞdad en la parte rígida, es decir, M(σ )(w)= w, para w ∈{x 1 ,x 2 ,y 1 ,y 2 ,y 3 ,z }. M(σ )(x v )= x σ(v ) , para todo v ∈ V (G 1 ),y M(σ )(z (v,w) )= z (σ(v ),σ(w)) , para todo {v,w}∈ E (G 1 ). Proposición: Dados grafos G 1 y G 2 sin vérঞces aislados, Hom(G 1 , G 2 )= Hom(M(G 1 ), M(G 2 )) -{0}. Resultados Del desarrollo anterior obtenemos los siguientes resultados. Denotemos, para X ∈ Ob(HoTop), Aut(X )= E (X ) el grupo de auto-equivalencias de homotopía de X . I Teorema: Dados grupos H ≤ G 1 × G 2 , existe un morfismo de CDGAs ϕ : M 1 → M 2 tal que Aut(M i ) ∼ = G i y Aut(ϕ) ∼ = H . Si además G 1 y G 2 son finitos, existe una aplicación conঞnua entre espacios topológicos f : X 1 → X 2 tal que E (X i ) ∼ = G i y E (f ) ∼ = H . I Teorema: Sea C una categoría pequeña y concreta. Existe un funtor F : C→ CDGA tal que Hom(A, B )= Hom(F (A),F (B )) -{0}, para todo A, B ∈ Ob(C ). Si además Ob(C ) es numerable y Hom(A, B ) es finito para todo A, B ∈ Ob(C ), existe un funtor F : C→HoTop tal que Hom(A, B )=[F (A),F (B )] -{0}, para todo A, B ∈ Ob(C ). Dado M un monoide, sea M 0 el monoide obtenido al añadir a M un elemento cero. I Corolario: Para todo monoide M existe una CDGA A tal que End(A) ∼ = M 0 . Si además M es finito, existe un espacio topológico X tal que [X, X ] ∼ = M 0 .
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El problema de realización degrupos en categorías de flechas
David Méndez, Universidad de Málaga ([email protected])Conjunto con Cristina Costoya (Universidade da Coruña) y Antonio Viruel (Universidad de Málaga)
Con financiación de los siguientes proyectos: Ministerio de Economía y Competitividad MTM2016-78647-P y MTM2016-79661-P, y Xunta de Galicia EM2013/16.
Resumen
Introducimos una versión generalizada del problema de realización de grupos en categorías de flechas. Proporcionamos una solución a este problema en la categoría de grafos
y, cuando nos restringimos a grupos finitos, en la categoría de homotopía de espacios topológicos.
Introducción: El problema
Dada una categoría C, definimos su categoría de flechasArr(C):I Un objeto a de Arr(C) es un morfismo a : A1 → A2 de C.I Un morfismo f : a→ b de Arr(C) es un par (f1, f2) que da
lugar a un cuadrado conmuta vo
A1 B1
A2 B2.
f1
f2
a b
I Un automorfismo de a : A1 → A2 es un par (f1, f2) dondef1 ∈ Aut(A1), f2 ∈ Aut(A2) y a ◦ f1 = f2 ◦ b.
Problema (realización de grupos en la categoría de flechas):
Dados grupos H ≤ G1 ×G2, ¿existe a : A1 → A2 objeto de
Arr(C) tal que Aut(A1) ∼= G1, Aut(A2) ∼= G2 y Aut(a) ∼= H?
Antecedentes: el problema clásico
Para encontrar una solución a nuestra pregunta hay que re-
solver el problema de realización clásico: Dada una categoría
C y un grupo G, ¿existe X ∈ Ob(C) tal que Aut(X) ∼= G?
I Categoría de grafos (Grafos):Propuesto: König, 1936.
Resuelto para grupos finitos: Frucht, 1939.
Resuelto en el caso general: de Groot, 1959.
Método: U lizan el reemplazamiento de flechas paracodificar direcciones y e quetas de un grafo de Cayleyen un grafo simple.
=⇒
I Categoría de homotopía de espacios (HoTop):
Propuesto: Kahn, años 60.
Resuelto para grupos finitos: Costoya-Viruel, 2014.
Método: asocian a cada grafo unmodelo algebraico deun po de homotopía racional. Esta asociación es fun-torial en una subcategoría de Grafos que no es plena.
MG = (Λ(x1, x2, y1, y2, y3, z)⊗Λ(xv, zv | v ∈ V (G)), d)homotópicamente rígida codifica grafo
generadores asociados a vér cesgeneradores asociados a vér ces
Objetivo ymetodología
I Obje vo: resolver el problema de realización en las cate-
gorías de flechas de Grafos yHoTop.
I Metodología: análoga a la del problema clásico.
1. Resolver el problema en grafos dirigidos y e queta-dos.
2. Trasladar la solución a grafos simples mediante reem-plazamiento de flechas.
3. Construir un funtor de grafos a espacios racionalesque permita llevar la solución a HoTop.
De grupos a grafos
1. Los subgrupos del producto. Sea H ≤ G1 ×G2. Sean πj : G1 ×G2 → Gj e ij : Gj → G1 ×G2.
π1(H) ≤ G1 es el grupo de las primeras componentes de elementos de H . Análogo con π2(H).
i−11 (H) ≤ G1 es el grupo de elementos g1 ∈ G1 tales que (g1, eG2
) ∈ H . Análogo con i−12 (H).
Si (g1, g2), (g′1, g2) ∈ H comparten segunda componente, [g1] = [g′1] ∈ π1(H)/i−1
1 (H). Está bien
definida la aplicación ϕ : π1(H)/i−11 (H) → π2(H)/i−1
2 (H) que lleva [g1] a [g2] tal que (g1, g2) ∈ H .
Lema (Goursat): La aplicación ϕ : π1(H)/i−11 (H) → π2(H)/i−1
2 (H) es un isomorfismo de grupos, y
H = {(g1, g2) ∈ π1(H)× π2(H) | ϕ[g1] = [g2]}.
2. El punto de par da: grafos de Cayley. Sea G un grupo, R un conjunto de gener-
adores de G. El grafo de color de Cayley de G asociado a R es un grafo dirigido y
coloreado Cay(G,R) con:Vér ces: uno por cada elemento de G.
Aristas: una arista e quetada r ∈ R entre g y rg, para todo g ∈ G.
Proposición: Si G grupo con R conjunto de generadores, Aut(Cay(G,R)) ∼= G.10
23
Ejemplo: Cay(Z4, {1, 2})
3. Los grafos que resuelven el problema: Sean H ≤ G1 ×G2. Construimos ψ : G1 → G2:
G1 = Cay(G1, R), con R elegido según las clases laterales de G1/i−11 (H).
G2 se construye a par r de Cay(G2, S), con S elegido según las clases laterales de G2/π2(H):
• Se construye un grafo Gi0 que representa a las clases laterales de G1/i−11 (H).
• Por cada clase lateral de G2/π2(H), se añade a Cay(G2, S) una copia de Gi0.• De cada vér ce g2 de Cay(G2, S) sale una única arista con una nueva e queta, ϕ.
• Esta arista llega a un vér ce de la copia de Gi0 que corresponde a la clase de g2 en G2/π2(H).
• El vér ce de llegada de la arista se escoge en función de ϕ (Lema de Goursat).
ψ lleva cada vér ce de G1 a su clase en la copia de Gi0 asociada a π2(H).
0 1
23
0 1
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[0]
[1] [1]
[0]
G1 G2ψ
Ejemplo: Solución para G1 = G2 = Z4, H = 〈(1, 2)〉 ≤ G1 ×G2.
Proposición: Aut(G1) ∼= G1, Aut(G2) ∼= G2 y Aut(ψ) ∼= H .
4. De grafos dirigidos y e quetados a grafos simples: Se u liza el reemplazamiento de flechas.
De grafos a espacios racionales
Definimos un funtorM : Grafos → CDGA (modelos algebraicos de pos de homotopía racional):
I A G grafo sin vér ces aislados se asocia M(G) = (A⊗ Λ(xv | v ∈ V (G), z(v,w), z(w,v) | {v, w} ∈ E(G)), d):A = (Λ(x1, x2, y1, y2, y3, z), d) CDGA rígida como álgebra (es decir, End(A) = {0, 1}).Generadores xv asociados a vér ces con dxv = 0.
Generadores z(v,w) asociados a aristas con dz(v,w) = x3v + xvxwx82 + x291 .
I A σ : G1 → G2 morfismo de grafos se asocia M(σ) : M(G1) → M(G2):
M(σ) es la iden dad en la parte rígida, es decir, M(σ)(w) = w, para w ∈ {x1, x2, y1, y2, y3, z}.M(σ)(xv) = xσ(v), para todo v ∈ V (G1), yM(σ)(z(v,w)) = z(σ(v),σ(w)), para todo {v, w} ∈ E(G1).
Proposición: Dados grafos G1 y G2 sin vér ces aislados, Hom(G1,G2) = Hom(M(G1),M(G2))− {0}.
Resultados
Del desarrollo anterior obtenemos los siguientes resultados. Denotemos, para X ∈ Ob(HoTop), Aut(X) = E(X) el grupo de auto-equivalencias de homotopía de X .
I Teorema: Dados gruposH ≤ G1×G2, existe un morfismo de CDGAs ϕ : M1 →M2 tal que Aut(Mi) ∼= Gi y Aut(ϕ) ∼= H . Si ademásG1 yG2 son finitos, existe una aplicación
con nua entre espacios topológicos f : X1 → X2 tal que E(Xi) ∼= Gi y E(f ) ∼= H .
I Teorema: Sea C una categoría pequeña y concreta. Existe un funtor F : C → CDGA tal que Hom(A,B) = Hom(F (A), F (B)) − {0}, para todo A,B ∈ Ob(C). Si además
Ob(C) es numerable y Hom(A,B) es finito para todo A,B ∈ Ob(C), existe un funtor F : C → HoTop tal que Hom(A,B) = [F (A), F (B)]− {0}, para todo A,B ∈ Ob(C).DadoM un monoide, seaM 0 el monoide obtenido al añadir aM un elemento cero.
I Corolario: Para todo monoideM existe una CDGA A tal que End(A) ∼= M 0. Si ademásM es finito, existe un espacio topológico X tal que [X,X ] ∼= M 0.
![Treballs de Fi de Grau Titulaci o de Matem atiques · 25. Eduard Gallego. [egallego@mat.uab.cat] La formula de Gauss-Bonnet en varietats. 26. Armengol Gasull. [gasull@mat.uab.cat]](https://static.fdocuments.es/doc/165x107/5b76000f7f8b9a634c8e2da3/treballs-de-fi-de-grau-titulaci-o-de-matem-25-eduard-gallego-egallegomatuabcat.jpg)
