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El Problema de

Transporte

INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES I

Maestro

Ing. Julio Rito Vargas Avilés Octubre 2008

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Problema de Transporte

Es un caso especial de problemade programación lineal (PPL), parael cual se ha desarrollado unaversión distinta del métodoSimplex.

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Principales características

Suponga que se dispone de n fábricas y de m centros deconsumo, ambos localizados en distintos puntos. Cadafábrica i posee una capacidad de producción Oi, y cadacentro de consumo j posee una demanda Dj. El costo deproducir una unidad en la fábrica i es de CPi, y el costo detransportar cada unidad desde la fábrica i al centro deconsumo j es de CTij.

El problema es determinar la cantidad a producir en cadafábrica y las cantidades a transportar, al mínimo costo.Luego xij es la cantidad a producir en la fábrica i para serllevado al centro de consumo j.

Red de distribución

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Fábrica

Centro de consumo

RAAN

RAAS

5

RED DE TRANSPORTE

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Modelo

de Programación Lineal

MIN costo = s.a.

xij 0 con i:1.. n y j:1..m

Se utilizará el siguiente modelo de programación lineal (PPL)

n

1i

m

1j

ijijiji ) xCT x(CP

n

1i

jij D x

m

1j

iij O x

Se satisface toda la Demanda

No se puede producir más allá de la capacidad de la fábrica.

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Modelo

de Programación Lineal

MIN costo = s.a.

xij 0 con i:1.. n y j:1..m

Suponiendo que:

n

1i

m

1j

ijij xC

n

1i

jij D x

m

1j

iij O x

y reemplazando Cij=CPi+CTij queda el siguiente modelo:

n

1i

i

m

1j

j O D Cap. de Prod. igual a la Dda.

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Modelo

de Programación Lineal

Si

n

1i

m

1j

jiF DOD

entonces se genera un nuevo centro de consumo ficticio.Lo que consuma ese centro no es real, por tanto quedacomo capacidad de producción ociosa.

n

1i

i

m

1j

j O D Cap. de Prod. mayor a la Dda.

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Modelo

de Programación Lineal

Si

n

1i

i

m

1j

jF ODO

entonces se genera una nueva fábrica ficticia. Lo queproduzca esa fábrica no es real. Por tanto queda comodemanda insatisfecha.

n

1i

i

m

1j

j O D Cap. de Prod. menor a la Dda.

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Modelo

de Programación Lineal

Ejemplo:

Suponga que se dispone de 3 bodegas con capacidadesde 15000, 25000 y 5000 unidades. Por otra parte, setienen 4 centros de consumo con demandas de 5000,15000, 15000, y 10000 unidades respectivamente.Encuentre las cantidades óptimas a producir ytransportar, tal de minimizar los costos que se muestrana continuación:

1 2 3 4

1 10 0 20 11

2 12 7 9 20

3 0 4 16 18

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Procedimiento

Para trabajar se utiliza la siguiente tabla:

1 2 ... m Oi ui

1h11 c11 h12 c12

...h1m c1m

O1 u1x11 x12 x1m

2h21 c21 h22 c22

...h2m c2m

O2 u2x21 x22 x2m

... ... ... ... ... ...

nhn1 cn1 hn2 cn2

...hnm cnm

On unxn1 xn2 xnm

Dj D1 D2 ... Dm

vj v1 v2 ... vm

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Solución factible inicial

Al igual que en el método Simplex tradicional, el problemade transporte requiere partir de una solución inicialfactible. Para ello se necesita asignar las cantidades xij demanera de cumplir con las restricciones. Para ello existenal menos 3 posibilidades:

• Solución por “tanteo”.

• Método de la esquina Noroeste.

• Método de Vogel.

•

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Método

de la esquina Noroeste

Este método no considera los costos, por eso puede que susolución quede alejada del óptimo. Consiste en asignar lamáxima cantidad factible al casillero superior izquierdo queno posea ninguna asignación o marca. La cantidad aasignar es el mínimo entre la oferta disponible y lademanda en dicho momento.

Hecha la asignación, se descuenta la cantidad tanto a laoferta como a la demanda. Con esto, una de las dosquedará en cero (fila o columna). Por tanto se marcantodos los casilleros vacíos de ella.

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Método

de la esquina Noroeste

Ejemplo:

1 2 3 4 O

110 0 20 11

150005000 10000 - -

212 7 9 20

25000- 5000 15000 5000

30 4 16 18

5000- - - 5000

D 5000 15000 15000 10000 C=410

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Método

de la esquina Noroeste

En caso de que al realizar una asignación simultáneamenteambas se hagan cero (fila y columna), entonces se asignauna nueva variable con valor cero en el casillero de la fila ocolumna que tenga un menor costo. Se producen entonces2 asignaciones: Una con el valor mínimo y la otra con cero.Esto se debe a que el sistema debe tener n+m-1 variablesbásicas definidas.

Esto se muestra en el siguiente ejemplo:

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Método

de la esquina Noroeste

Ejemplo 2:

1 2 3 4 5 O

17 20 13 5 2

1515 - - - 0

210 15 12 7 10

20- 20 - 0 -

38 11 8 3 9

20- - 20 - -

412 10 12 8 10 10

- - 10 0 -

515 15 12 11 10 25

- - - 15 10

D 15 20 30 15 10

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Método

de Vogel

Este método si considera los costos, por tanto entrega unamejor solución factible inicial que la esquina noroeste.Consiste en: para cada fila y columna se calcula ladiferencia entre el mayor y el menor costo de los casillerossin marcar. Calculada la diferencia, se selecciona la fila ocolumna de mayor valor, en donde se le asigna la máximacantidad factible a su casillero de menor costo que noposea ninguna asignación o marca. Luego, se actualizanlas cantidades disponibles.

Hecha la asignación, se descuenta la cantidad de formasimilar al método de la esquina noroeste. En caso que lafila y columna se hagan cero, se hace lo mismo que en elmétodo anterior.

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Método

de Vogel

Ejemplo:

1 2 3 4 O

110 0 20 11

15000- 15000 - -

212 7 9 20

250000 - 15000 10000

30 4 16 18

50005000 0 - -

D 5000 15000 15000 10000

C=335

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Simplex de Transporte

Paso 1

1 2 3 4 O

110 0 20 11

150005000 10000 - -

212 7 9 20

25000- 5000 15000 5000

30 4 16 18

5000- - - 5000

D 5000 15000 15000 10000

C=410

Se encuentra una solución factible inicial.

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Simplex de Transporte

Paso 2

1 2 3 4 O ui

110 0 20 11

15 u15 10 - -

212 7 9 20

25 u2- 5 15 5

30 4 16 18

5 u3- - - 5

D 5 15 15 10

vj v1 v2 v3 v4C=410

Se determinan los valores de los ui y de los vj . Se plantean n+m-1

ecuaciones con n+m incógnitas, por lo que a una de ellas se le hacevaler cero arbitrariamente, y se resuelve el sistema.

u1+v1=10

u1+v2=0

u2+v2=7

u2+v3=9

u2+v4=20

u3+v4=18

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Simplex de Transporte

Paso 3

1 2 3 4 O ui

10 10 0 0 + 20 -2 11

15 -75 10 - -

2-5 12 0 7 0 9 0 20

25 0- 5 15 5

3-15 0 -1 4 + 16 0 18

5 -2- - - 5

D 5 15 15 10

vj 17 7 9 20 C=410

Se determinan los hij para ver la variable que entra. Para todos los

xij se tiene que hij=cij-(ui +vj). Si xij es variable básica, entonces hij = 0 ycij=ui+vj .

u1+v1=10

u1+v2=0

u2+v2=7

u2+v3=9

u2+v4=20

u3+v4=18

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Simplex de Transporte

Paso 4

1 2 3 4 O ui

10 10 0 0 + 20 -2 11

15 -75 - 10 + - -

2-5 12 0 7 0 9 0 20

25 0- 5 - 15 5 +

3-15 0 -1 4 + 16 0 18

5 -2- + - - 5 -

D 5 15 15 10

vj 17 7 9 20 C=410

Entra la variable con el hij más negativo. Si no existe ningúnnegativo, se llegó al óptimo. Con la variable entrante se formaun circuíto.

Entra

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Simplex de Transporte

Paso 5

1 2 3 4 O ui

10 10 0 0 + 20 -2 11

15 -75 - 10 + - -

2-5 12 0 7 0 9 0 20

25 0- 5 - 15 5 +

3-15 0 -1 4 + 16 0 18

5 -2- + - - 5 -

D 5 15 15 10

vj 17 7 9 20

C=410

Se determina la variable que sale de entre los xij que presentan un - .Se escoge el de menor valor, y en caso de empate se elige el de mayorcosto. toma el valor del xij que sale.

Sale

=5

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Simplex de Transporte

Paso 6

1 2 3 4 O ui

10 10 0 0 + 20 -2 11

15 -70 15 - -

2-5 12 0 7 0 9 0 20

25 0- 0 15 10

3-15 0 -1 4 + 16 0 18

5 -25 - - 0

D 5 15 15 10

vj 17 7 9 20

C=335

Se actualizan los valores de los xij sumando o restando en los casosque corresponda y se recalcula el costo. Se vuelve al paso 2.