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Revista Colombiana de Estadística

N2 8 - 1983

TEORÍA DE LA RUINA

Y

EL PROCESO DE WIENER

NéstorJacobo LasprlUia A.

Estudiante carrera de Matemáticas

Director del Seminario: Luis G. Moreno 0.

I n t r o d u c c i ó n .

El objetivo principal de éste trabajo es

establecer una analogía entre la Teoría de la

Ruina y el Movimiento Browniano. Con éste fin

se considera el Movimiento Financiero de una em

presa desde el punto de vista del movimiento de

una partícula Browniana y mediante el Teorema

del Límite Central, se establece la distribución

de la probabilidad del tiempo que transcurre pa_

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ra que la empresa en mención se arruine.

1. Nociones generales de Procesos Estocásticos,

La teoría clásica de probabilidades trata

con problemas que envuelven colecciones de varia^

bles aleatorias independientes. Sin embargo, mu­

chos problemas reales no son de esta naturaleza

y para tratarlos satisfactoriamente es necesario

extender la teoría a colecciones de variables

aleatorias dependientes.

Una colección {X*} de variables aleatorias

definidas sobre un espacio de probabilidad

(fi,?,p) se conoce con el nombre de "Proceso Es­

tocástico"

Los elementos principales que distinguen a

un proceso estocástico son: El conjunto de sub­

índices, el espacio de los estados y las relaci£

nes entre las variables aleatorias.

En unproceso estocástico {X^}, el conjunto

no vacío del cual t toma sus valores se conoce

con el nombre de "Conjunto de Subíndices", Un

proceso íXj,: -t = 1} en donde I € Z es llamado

"Proceso estocástico de tiempo discreto", míen-

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tras que un proceso "fX.: ;t e I} en donde I c R ,

es llamado "Proceso estocástico de tiempo contí-

El espacio de los estados, que indicaremos

por S, es el espacio que contiene los valores de

cada variable Xj^. Cuando S es enumerable, el

proceso ÍX^} es un proceso de estado dlScAeto. Por

el contrario si S no es enumerable nos referire­

mos al proceso {X.} como a un p r o c e s o de e s t a d o

c o n t i n u o . El espacio S puede ser unidimensional,

bidimensional n-dimensional,

Dentro de los procesos estocásticos pode­

mos distinguir; entre otros, los caminos aleato­

rios y los procesos de Markov.

a. Cam i nos a 1ea tor ios.

Sean, X.,X2,... v.a. independientes y dis

tribuidas idénticamente y x c R. El proceso es^

tocástico S_,S.,S2,... con S Q = X y S^ = X+Xj +

,,,+X para n = 1,2,... es llamado un camino

a l e a t o r i o que se I n i c i a en x. En este contexto

las variables aleatorias

\ = n - V i ^ = ' ' ^ "

son llamadas los I n c r e m e n t o s del proceso í ^ }

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Cuando el espacio de los estados del proceso

{5,} es un subconjunto de los enteros, la suce-n - ' sión {S„} recibe el nombre de camino a l e a t o r i o n

u n i d i m e n s i o n a l . En este caso, el proceso es re­

presentado por una partícula que se desplaza

en forma horizontal (sobre la recta real). Si

la partícula se halla en el estado I , puede en

una transición simple, permanecer en I , con pr£

habilidad r . , o moverse a uno de los estados ad

yacentes: l - l ó -c+1, con probabilidades <? • y p •

respectivamente. Puesto que no hay más alterna^

tivas tenemos: q .+r .+p . = 1 cualquiera que sea Ar Amr Ar

e l e s t a d o 1 .

b. Procesos de Ma rkov.

Un proceso "CXj.: í e: I} recibe el nombre

de P roceso de Markov, si para todo conjunto B de

Borel^ ) en R se tiene:

PÍX^ = B/X ^ = Xj,X^ = X2, . . . ,Xt^ = x }

P{X_^-B/X^^-x^},

(*) Decimos que un conjunto B es de Borel, si puede ser obtenido por un número contable de operaciones (unió nes, intersecciones o complementos) a partir de con­juntos abiertos.

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siempre y cuando t . < t - < . . .< t < t . En otras

palabras, la probabilidad de cualquier comporta^

miento futuro del proceso, cuando su estado pr£

senté es conocido, no se altera por el conoci­

miento adicional que concierne a su comportamien

to pasado.

2. El proceso de Wiener o movimiento browniano.

El movimiento browniano, descubierto como

un fenómeno físico, por el botánico inglés Ro­

bert Brown en 1827, es el movimiento exhibido

por una partícula que se halla totalmente sumer^

gida en un líquido o én un gas. La primera ex­

plicación del fenómeno sobre el movimiento brow

niano fué dada por Einstein en 1905. Sin embar­

go, la formulación matemática concisa del movi^

miento browniano fué dada por Norbert Wiener en

1918.

Sea Xj. el desplazamiento (desde el punto de partida y a lo largo de un eje fijo) en el tiempo t de una partícula browniana. El despla­zamiento X^-X sobre el intervalo Í S , t ) puede

^ s observarse como la suma de un gran número de

desplazamientos pequeños, en virtud de lo cual,

mediante el Teorema del Límite Central, podemos

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afirmar que la diferencia X^-X es distribuida

normalmente. De manera similar, es razonable

afirmar que los incrementos del proceso íXy.}

son estacionarios, esto es, las distribuciones

de X.-X y de ^t+h~^A.i.h ^ ° " ^^ mismas, para

cualquier ^ > 0. Intuitivamente es claro que el

desplazamiento X^-X debe depender solo de la A, S

longitud t - S y no del tiempo en que empezamos

la observación.

Un proceso ÍX .; t ^ 0} recibe el nombre de

p r o c e s o de ÜJlener con coefciente de desplaza­

miento y si

i) X Q = O

ii) ^ ^ t ' t " 0} tiene incrementos independien­

tes y estacionarios.

iii) Para cada t >y O, X^ es distribuida normal­

mente con media ^ít

De la condición (i) se deduce que el pro­

ceso {X^: í ^ 0} no es estacionario. Escribien­

do :

^t+S ' ^t^S ' ^ t '*' ^ t

y usando la suposición de incrementos indepen­

dientes, obtenemos:

80

t/a/t(X ^ ) = VaríX^_^^ - X^) + VaríX^)

la cual por incrementos estacionarios produce:

VaríX^^^) = VariX^) + VariX^)

La solución de esta ecuación funcional viene da

da por

(2.1) VariX^) = a t

de donde el valor de a es una función del pro­

ceso fundamental y debe determinarse empíricamen

te. Del resultado anterior se concluye que la

variable Xy. tiene distribución normal con media 2 \ i t y varianza O t .

La densidad de probabilidad de Xj. está da

da entonces por

(2.2) ^^(X) = ^2Tít a

2ta' _ 00 < X < oo

3.. Teoría de la ruina.

La teoría de la ruina trata con las varia

ciones en la cantidad de superávit de un asegu­

rador, en un período de tiempo. Por superávit

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se entiende, el exceso de primas recibidas sobre

los reclamos pagados. Para r " O sea W^ el supe­

rávit del asegurador en el tiempo r . Asumiremos

que los tenedores de las pólizas pagan una prima

de riesgos C > O por unidad de tiempo y que S^

indica los reclamos totales hasta el tiempo r .

Si W_ = W es el superávit a mano en el tiempo ce

ro, posiblemente como resultado de operaciones

pasadas, entonces

(3.1) \Ü^ = vú + c r - S ^ ', r :}' O

Nótese que en éste modelo no se tienen en cuen­

ta el interés y los factores distintos a las pri

mas y a los reclamos, que podrían afectar el sti

peravit. Por ejemplo, no se involucran los divi^

dendos a los aseguradores, los gastos y los re­

cargos asociados con estos flujos de dinero. Un

resultado típico de este proceso de superávit

{W : r ^ 0} es mostrado en la Figura 1.

Se observa que el superávit se incrementa

linealmente (con pendiente c), excepto en los

tiempos en que un reclamo ocurre, momento en el

cual, el superávit disminuye en una cantidad

equivalente al monto del reclamo. En el gráfico

R . indica el valor del ^-ésimo reclamo y Z^ re­

presenta el monto de la prima acumulada desde el

82

Wr

n

1

z ;=d " " " "

V i ^2 ^3

Rl»

/ ^

/

Figura 1

reclamo precedente menos el mondo del ^-ésimo re

clamo.

De acuerdo con el planteamiento anterior,

el superávit en el tiempo r , se puede escribir

mediante la relación:

(3.2) W

^ 1=1 ^

en donde W = \_r\ (la parte entera de r ) .

Como se ilustra en la Figura 1, el supera

vit podría traspasar una barrera preestablecida,

la cual se halla a la distancia U de la recta

W = 0 . Cuando el superávit atraviesa esta ba-r

83

rrera se dice que la ruina ha ocurrido. En la

práctica es posible que un asegurador cuyo supe

ravit cruza la barrera U, sea refinanciado para

que continúe operando.

Teniendo en cuenta la posibilidad de refi^

nanciación diremos que la ruina se presenta

cuando el superávit cruza la barrera U por pri».

mera vez. El tiempo T en que esto ocurre se de­

fine en la forma siguiente:

(3.3) T = m l n i r : W^ < U}

El símbolo T = " se usa para indicar que la

ruina jamás ocurre, esto es, W^ > Ü para todo

r . 0 .

Por otra parte, la estabilidad financiera

de un asegurador se mide por la probabilidad de

ruina de este. Esta probabilidad de ruina que

depende del superávit inicial W se puede indi­

car en la forma

(3.4) liiiw) = P{T < «>}.

En la práctica, la mayoría de los asegura_

dores están interesados en la ruina, sólo sobre

un período largo pero finito. Más precisamente,

la consideración se limita a

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(3,5) ip(M?, ) = P{T < r }

la probabilidad de ruina antes del tiempo r .

4, La Teoría de la Ruina y

el Proceso de Wiener.

Consideremos la teoría de la ruina desde

el punto de vista de un camino aleatorio unidi­

mensional. Supondremos que una partícula inicia

su movimiento en el origen y que la barrera li

se halla a la derecha del origen. Por tal razón

Z. representa ahora, el déficit a que da lugar

al X-ésimo reclamo; esto es, el monto del ^-ési^

mo reclamo menos el monto de la prima acumulada

desde el reclamo precedente. De esta manera,

si la diferencia es positiva la partícula avan­

za hacia la derecha y si la diferencia es nega­

tiva la partícula se desplaza hacia la izquier­

da. La ecuación (3,2) se puede escribir enton­

ces en la forma

W (4.1) W^ = i Z^

-c=l

en donde Wjyj representa ahora el déficit del ase

gurador luego del W-ésimo reclamo.

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Igual que en la mayoría de las aplicacio­

nes prácticas, asumiremos que U es grande en com

paración con los pasos individuales de la par­

tícula. También supondremos que las variables

Z^,Z„,,.. son independientes y distribuidas

idénticamente con

(4.2) EZ. = m y Var. Z. = a^ 1 = 1,2,. Ar ^ t

en donde m representa el recargo de seguridad.

El problema se centra en hallar, la fun­

ción de distribución del tiempo T que toma la

partícula para cruzar la barrera U por primera

vez. Por esta razón definimos ahora el tiempo

en la forma

(4.3) T = mln iN: W ^ > U}

Entonces el evento {T •$ W} es equivalente

al evento {W , > U} y por tanto, la probabilidad

de ruina antes del W-ésimo reclamo viene dada

por

(4.4) P{T ^ W} = P{ — > 1}

Puesto que a medida que U aumenta de va­

lor se requiere un recargo menor de seguridad,

el término mU se considerará como una constante

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Sw U

se indicará por y. Escribiendo la variable

en la forma:

(4 5) ' JL = o^^N-mN mN_

Vemos por el Teorema del Límite Central que pa-^W ra Ü y W bastante grandes, la variable jj— se

aproxima a la distribución normal con media \ i t

y varianza a Z con t = j - j - Para evitar un caso

trivial se asume que -t > O. En esta forma, la

N \ función de densidad de la variable TJ— está dada

por la relación (2.2) y la probabilidad de ruina

antes del n-ésimo reclamo viene dada por

(4.6) P{T 4 W} = 7 5 = ^ ; e 2ía ¿^

X—\it Mediante el cambio de variable: z = = se tie ne

v{T < w} = - ^ f e '^ ' /^dz (4.7) /2Tra J_^

Por lo tanto, de acuerdo con esta última rela­

ción, los valores de la probabilidad P{.T 4 W}

se obtiene fácilmente, consultando la tabla de

distribución normal.

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5. Ejemplo.

Una compañía tiene 10.000 reclamos por

año, siendo $ 1.000 el monto promedio de cada

uno de ellos. Sabiendo que la desviación están

dar es de $ 10.000 y el recargo de seguridad es

igual a 0; con probabilidad 0,995 la compañía

desea protegerse de la ruina durante los prime­

ros 25 años de operación.

De acuerdo con las considexaciones anterio

res tenemos:

10.000

o 25(1.000)

0.995

250.000

Consultando la tabla de distribución normal, en -9

contramos que t = 1,5x10 . En consecuencia

Ü = $ 12*909.404.

Como el ingreso de las primas netas anuales es

lO.OOOxl.OOO = lO'OOO.OOO vemos que la reserva

de la compañía debe ser igual al 129,09% del in

greso por prima neta anual. Esta reserva es ne­

cesaria para proteger la supervivencia de la

compañía durante los primeros 25 años de opera-

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ción, con 99,5% de probabilidad.

Ahora, si dejamos las mismas suposiciones

excepto que el tamaño de la compañía es dos ve­

ces mayor, ello significa que la compañía tiene

ahora 20.000 reclamos por año y que el ingreso

anual por primas netas es de 20*000,000. En es­

te caso hallamos que U = $18*257.400 indicando

que la reserva debe ser anualmente del 91,28%

del ingreso por prima neta.

*

BIBLIOGRAFÍA

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