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El resultado más extraño y

fascinante de las

MatemáticasPublicado el 6 de febrero de 2014

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Crédito de la imagen: Youtube

Pregunta: ¿Cuánto da la suma de TOO! los n"meros #O!$T$%O!&

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + … !

"#os puntos suspensi$os signi%can &ue tenemos &ue sumar todos los

n'meros positi$os (asta el in%nito)

Ser* un n'mero enorme enorme enorme ,$erdad!

-espuesta correcta: '1(12) ***un n"mero +E,-T$%O...

.ste resultado no es s/lo matem*ticamente cierto0 dem*s resulta

necesario en muc(os campos de la sica: desde la teora de cuerdas (asta

la mec*nica cu*ntica0

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  s la primera $e &ue encontr esto en un libro de matem*ticas casi me

estalla la cabea0

,/mo puede ser &ue la suma de todos los n'meros positi$os d un n'mero

negati$o!

/na eueña introduccin

#as sumas "&ue tambin se llaman 9series) de in%nitos trminos son uno

de los ob;etos m*s estudiados en matem*ticas0 <*sicamente e=isten dos

tipos:

a3 as series con5erentes) &ue tienen un $alor bien de%nido0 Por

e;emplo:

1 + 1>2 + 1>4 + 1>8 + 1>16 + 1>32 + 1>64 + 1>128 + …0 2

?s puede parecer algo e=trao pero una suma de in%nitas racciones como

esta tiene un resultado %nito0 Sera imposible realiarla incluso con un

ordenador por&ue tiene in%nitos trminos A no acabaramos nunca0 Pero las

matem*ticas son mara$illosas A es muA sencillo demostrar &ue el resultadoes 20

Por cierto este e;emplo muestra &ue la parado;a de 9&uiles A la

tortuga in$entada por el %l/soo griego Ben/n no es tal0

b3 as series di5erentes &ue en principio no tienen un $alor de%nido0

#a serie &ue nos interesa es di$ergente0 Cic(o en trminos tcnicos: “la

sucesión de sumas parciales tiende al infnito”:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 +… !

#ero resulta ue s7 odemos asinarle un 5alor matemáticamente

riuroso a esta suma y ue ese 5alor es '1(128

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.uler A m*s tarde -iemann nos ensearon &ue podemos e=tender de orma

rigurosa A consistente el concepto de 9suma para las series di$ergentes0

.n nuestro caso basta con sustituir la serie original por una de Ciric(let A

luego calcular por continuaci/n analtica cierto $alor de la unci/n eta de

-iemann para obtener el $alor D1>120

Ena orma muc(o m*s sencilla de entenderlo es a tra$s del mtodo &ue

utilian en este $deo <radA Faran A ntonio Padilla un sico de la

Eni$ersidad de Gotting(am0 (NOTA: En el vídeo se realizan algunos pasos

que no son matemticamente rigurosos! pero a"n así! resulta mu#

interesante desde un punto de vista pedagógico$%