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Introducción Ecuación Integral de Fredholm Aplicaciones a ODEs Resumen

El Teorema de Contracción de Mapas

Carlos Gamez

Escuela de MatemáticaFacultad de Ciencias Naturales y Matemática

Universidad de El Salvador

Presentación Beamer


Esquema

IntroducciónContracciónPunto Fijo, Teorema de Contracción y demostración

Ecuación Integral de FredholmDefiniciónTeorema, demostración y resultados adicionales

Aplicaciones a ODEsProblemas de valor inicial de DEsTeorema y demostración de unicidad de ODEs


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Definición

ContracciónSea (X, d) un espacio métrico. Un mapeo T : X → X es unmapeo de contracción o simplemente llamado ”contracción” siexiste una constante c, con 0 ≤ c < 1, tal que

d(T (x), T (y)) ≤ cd(x, y) (1)

para todos x, y ∈ X.

Así, una contracción mapea los puntos a una distancia más"cercana" basado en una espacio métrico definido.


En particular, para todo x ∈ X, y por cualquier r > 0, paratodos los puntos y en la esfera Br(x) son asignados a la esferaBs(Tx), con

Figura 1. T es una contracción.

s < r. Esto es ilustrado en la figura (Fig 1). Al observar (1) seconcluye que una contracción T es una funciónuniformemente continua.


Punto Fijo y Teorema Contracción de Mapas

Definición. Punto Fijo.Si T : X → X, entonces el punto x ∈ X tal que

T (x) = x (2)

es llamado un punto fijo de T .


Teorema de Contracción de Mapas

Teorema Contracción de mapas. Si T : X → X es un mapeode contracción es un espacio métrico completo (X, d) entoncesexiste exactamente un punto fijo (x ∈ X que es solución de laecuación 2).


Demostración del teorema

Demostración. La prueba es constructiva, lo que significa queconstruiremos explicitamente una secuencia convergiendo a elpunto fijo. Sea x0 cualquier punto en X. Definimos la secuencia{xn} en X por

xn+1 = Txn paran ≥ 0.

Para simplificar la notación, normalmente omitiremos losparéntesis alrededor de el argumento del mapeo. Denotaremosla n-ésima iteración de T por Tn,de tal forma que xn = Tnx0.


Mostramos que (xn) es Cauchy. Si n ≥ m ≥ 1, entonces de (1)y de la desigualdad triangular obtenemos:

d(xn, xm) = d(Tnx0, Tmx0)

≤ cmd(Tn−mx0, x0

)≤ cm

[d(Tn−mx0, T

n−m−1x0)

+ d(Tn−m−1x0, T

n−m−2x0)

+ . . .+ d (Tx0, x0)]

≤ cm[n−m−1∑k=0

ck

]d(x1, x0)

≤ cm[ ∞∑k=0

ck

]d(x1, x0)

≤(

cm

1− c

)d (x1, x0)


lo que implica que (xn) es Cauchy. Ya que X es completo, (xn)converge a un limite x ∈ X. El hecho que el límite x es u puntofijo de T sigue de la continuidad de T :

Tx = T lımn→∞

xn = lımn→∞

Txn = lımn→∞

xn+1 = x.

Finalmente si x y y son dos puntos fijos, entonces:

0 ≤ d(x, y) = d(Tx, Ty) ≤ cd(x, y)

Ya que c < 1, tenemos que d(x, y) = 0,por lo que x = y y elpunto fijo es único.


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Ecuación Integral de Fredholm

Una Ecuación Integral de Fredholm del segundo tipo para unafunción desconocida f : [a, b]→ R es una ecuación de la forma:

f(x)−∫ b

ak(x, y)f(y)dy = g(x) (3)

donde k : [a, b]× [a, b]→ R y g : [a, b]→ R son funciones dadas.La ecuación integral (3) puede ser escrita como una ecuaciónde punto fijo Tf = f , donde el mapa T es definido por

Tf(x) = g(x) +

∫ b

ak(x, y)f(y)dy. (4)


Teorema

TeoremaSupóngase que k : [a, b]× [a, b]→ R es una función continuatal que

supa≤x≤b

{∫ b

a|k(x, y)| dy

}< 1 (5)

y g : [a, b]→ R es una función continua. Entonces existe unafunción continua única f : [a, b]→ R que satisface (3).


DemostraciónDemostración. Probamos este resultado cuando mostramosque cuando la condición del teorema se cumple, el mapa T esuna contracción en el espacio C([a, b]) con norma al máximo‖·‖∞. Como el espacio C([a, b]) es completo, T es unacontracción ya que para todas f1, f2 ∈ C([0, 1]) tenemos:

‖Tf1 − Tf2‖∞ = supa≤x≤b

∣∣∣∣∫ b

ak(x, y) (f1(y)− f2(y)) dy

∣∣∣∣≤ sup

a≤x≤b

∫ b

a|k(x, y)| |f1(y)− f2(y)| dy

≤ ‖f1 − f2‖∞ supa≤x≤b

{∫ b

a|k(x, y)| dy

}≤ c ‖f1 − f2‖∞ .

El resultado sigue del Teorema de Contracción de Mapas.


De la prueba del Teorema de Contracción de Mapas,obtenemos el punto fijo f en el límite:

f = lımn→∞

Tnf0 (6)

para cualquier f0 ∈ C([a, b]). Es interesante re-interpretar ellímite como una serie. Definimos el mapaK : C([a, b])→ C([a, b]) por :

Kf =

∫ b

ak(x, y)f(y)dy.

El mapeo K es llamado el Operador Integral Fredholm y lafunción k es llamada el kernel de K. La Ecuación Integral deFredholm puede ser escrito como

(I −K)f = g, (7)

donde I es el mapeo identidad (If = f).


El mapeo de contracción T esta dado por Tf = g +Kf , lo queimplica que:

Tnf0 = g +K (g + . . .+K (g +Kf0))

= g +Kg + . . .+Kng +Kn+1f0.

Obteniendo el punto fijo a través de iteraciones (ecuación 6),encontramos que:

f =

∞∑n=0

Kng.

Ya que f = (I −K)−1g, es posible escribir esta ecuaciónformalmente como:

(I −K)−1 =

∞∑n=0

Kn. (8)


Estas series son llamadas las Series de Neumann. El uso delas sumas parciales de estas series para aproximar el inversoes llamado la Aproximación Born. Explicitamente tenemos:

(I +K +K2 + . . .

)f(x)

= f(x) +

∫ b

ak(x, y)f(y)dy +

∫ b

a

∫ b

ak(x, y)k(y, z)f(z)dydz + . . .

Las series de Neumann se parecen a las series geométricas,

(1− x)−1 =

∞∑n=0

xn para |x| < 1.

De hecho está serie de Neumann (ecuación 8) realmente esuna serie geométrica que converge absolutamente conrespecto a un operador de norma apropiado cuando ‖K‖ < 1.


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Problemas de valor inicial de DEs• El Teorema de Contracción de Mapas puede ser utilizado

para probar la existencia y unicidad de soluciones deproblemas de valor inicial.

• Consideremos un sistema de primer orden de ODEs parauna función u(t) que toma valores en Rn,

u(t) = f(t, u(t)), (9)u(t0) = u0

• Se asume que la función f(t, u) es continua de t yLipschitz continua de u e cierto dominio.

• Este ODE se puede re-formular como:

u(t) = u0 +

∫ t

t0

f(s, u(s))ds. (10)


• Esta reformulación (ecuación 10) puede ser expresado enforma de ecuación punto fijo:

u = Tu (11)

por el mapa T definido por:

Tu(t) = u0 +

∫ t

t0

f(s, u(s))ds. (12)

• Queremos hallar las condiciones que garanticen que Tsea una contracción.


Definición Lipschitz

Definición. Supóngase que f : I × Rn → Rn, donde I es unintervalo en R. Decimos que f(t, u) es globalmente Lipschitzcontinua de u uniformemente en t si existe una constanteC > 0 tal que

‖f(t, u)− f(t, v)‖ ≤ C ‖u− v‖ para todou, v ∈ Rn y todo t ∈ I.(13)


Teorema de unicidad ODEs

Teorema. Supóngase que f : I × Rn → Rn, donde I es unintervalo en R y t0 un punto interior de I. Si f(t, u), es unafunción continua de (t, u) y globalmente Lipschitz continua deu, uniformemente en t, en I × Rn, entonces hay una únicafunción diferenciable u : I → Rnque satisface el problema devalor inicial (ecuación 9).


Demostración del teorema de unicidadProbaremos que T es una contracción en el espacio defunciones continuas en el intervalo t0 ≤ t ≤ t0 + δ. Supóngaseque u, v : [t0, t0 + δ]→ Rn son dos funciones continuas.De la reformulación y de la condición de continuidad Lipschitz(ecuaciones 12 y 13) estimamos:

‖Tu− Tv‖∞ = supt0≤t≤t0+δ

‖Tu(t)− Tv(t)‖

= supt0≤t≤t0+δ

∥∥∥∥∫ t

t0

[f(s, u(s))− f(s, v(s))] ds

∥∥∥∥≤ sup

t0≤t≤t0+δ

∫ t

t0

‖f(s, u(s))− f(s, v(s))‖ ds

≤ supt0≤t≤t0+δ

∫ t

t0

C ‖u(s)− v(s)‖ ds

≤ Cδ ‖u− v‖∞


• Escogiendo δ < 1/C, entonces T es una contracción enC([t0, t0 + δ]).

• Por lo tanto hay solución única en u : [t0, t0 + δ]→ Rn.• El argumento se mantiene para cualquier t0 ∈ I y

cubriendo I a través de intervalos de longitud menor a 1/Cvemos que el problema de valor inicial (ecuación 9) tienesolución única definida en I.

• Una prueba similar aplica para t0 − δ < t < t0.


Gracias!

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