El uso de números aleatorios para evaluar integrales

Una de las primeras aplicaciones de números aleatorios era en el cálculo de las integrales. Sea g (x) una función y supongamos que queríamos calcular θdonde:

θ=∫0

1

g ( x ) dx

Para calcular el valor de θ, tenga en cuenta que si U está uniformemente distribuida en (0, 1) entonces podemos expresar θ como:

θ=E[ g (U )]

Si U 1 ,…U k son independientes uniformes (0,1) variables aleatorias, lo anterior se desprende que

las variables aleatorias g (U 1 ) ,…g (U k ) son independientes e idénticamente distribuidas

variables aleatorias con medio θ . Por lo tanto por la ley fuerte de los grandes números, se deduce que con probabilidad 1,

∑i=1

k g (U i )k

→ E [ g (U ) ]=θas →∞

Por lo tanto, podemos aproximar θ mediante la generación de un gran número de Ui de números aleatorios y tomando como aproximación del valor medio de g(U 1). Este enfoque a las integrales de aproximación es llamada el método de Monte Carlo.Si quisiéramos calcular:

θ=∫a

b

g ( x ) dx

A continuación, al hacer la sustitución y=(x−a)/ (x−b) , dy=dx / (b−a), vemos que:

θ=∫0

1

g (a+ [b−a ] y ) (b−a ) dy=¿∫0

1

h ( y ) dy ¿

Donde h( y)=(b−a)g (a+[b−a] y ). Por lo tanto, podemos aproximar θ mediante la continua generación de números aleatorios y luego tomando el valor medio de h evaluados en estos números aleatorios.

Del mismo modo, si queríamos

θ=∫a

∞

g ( x ) dx

Se podría aplicar la sustitución y=1 /(x+1) , dy=−dx /(x1)2=− y2 dx, para obtener la identidad

θ=∫0

1

h ( y ) dy

Donde

h ( y )=g( 1

y−1)

y2

La utilidad del uso de números aleatorios para aproximar las integrales se hace más evidente en el caso de las integrales multidimensionales integrales. Supongamos que g es una función con un argumento n-dimensional y que estamos interesados en la informática

θ=∫0

1

∫0

1

…∫0

1

g (x1 ,…,xn )d x1d x2…d xn

la clave del método de Monte Carlo para estima θ se encuentra en el hecho de que θ se puede expresar como la expectativa siguiente:

θ=E[ g(U 1 ,…U n)]

Donde U 1 ,…,U n independiente son uniformes (0,1) variables aleatorias, por lo tanto, si generamos k conjuntos independientes, cada uno con n independiente uniforme (0,1) variables aleatorias

U 11 ,…U n

1

U 12 ,…U n

2

.

.

.U 1

k ,…U nk

Entonces, ya que las variables aleatorias g (U 11 ,…U n

1 ) , i=1 ,... , k , son variables aleatorias

independientes e idénticamente distribuidas con media θ, se puede estimar θ por

∑i=1

k

g (U 11 ,… ,U n

1)/k .

Para una aplicación de lo anterior, considere el siguiente enfoque para estimar

Ejemplo 3a la estimación de pi.Supongamos que el vector aleatorio (X, Y) se distribuye uniformemente en el cuadrado de área 4 centrada en el origen. es decir, se trata de un punto aleatorio en la región especificada en la figura 3,1. Consideremos ahora la probabilidad de que este punto al azar en la plaza se encuentra dentro del círculo de radio escrito 1 (ver figura 3.2). Nota que desde (x, y) se distribuye uniformemente en la cuadrado se sigue que:

(-1,1) (1,1)

(-1,-1) (1,-1)

=(0,0)

P {( X ,Y ) is∈el circulo }=P {x2+ y2≤1}= Areade elcirculoArea deel cuadro

= π4

por lo tanto, si se genera un gran número de puntos aleatorios en el cuadrado, la proporción de

punto que caen dentro del círculo será de aproximadamente π4

. Ahora bien, si X e Y son

independientes y ambos se distribuyeron uniformemente sobre (-1,1), su densidad conjunta sería

f ( x , y )= f ( x ) f ( y )=12

.12

= 14

, −1≤x ≤1 ,−1≤ y ≤1

ya que la función de densidad de (x, y) es constante en el cuadrado, lo que sigue (por definición) que (x, y) se distribuye uniformemente en el cuadrado. Ahora bien, si U es uniforme en (0,1) entonces 2U es uniforme en (0,2) y por lo tanto 2U-1 es uniforme en (-1,1). Por lo tanto, si generar números aleatorios U1 y U2, conjunto x = 2U1-1 e y = 2U2-1, y definir

I=¿0 deotramanera1 si x2+ y2≤1 ¿

Entonces

E [ I ]=P {x2+ y2 ≤1 }=π4

Figura 3.1 cuadro Figura 3.2 circulo dentro del cuadro

Por lo tanto, se puede estimar pi / 4 por la generación de un gran número de pares de números aleatorios U1, U2 y estimar pi / 4 por la fracción de pares de bruja ¿ Menor Igual 1.

Por lo tanto, generadores de números aleatorios se puede utilizar para generar los valores de uniforme (0,1) variables aleatorias. a partir de estos números aleatorios que mostramos en los capítulos 4 y 5 cómo podemos generar los valores de variables aleatorios de distribuciones arbitrarias. Con esta capacidad para generar arbitrarias variables aleatorias que será capaz de simular un sistema de probabilidad - es decir, que será capaz de generar, de acuerdo con las leyes de probabilidad específicas del sistema, todas las cantidades aleatorias de este sistema a medida que evoluciona con el tiempo.

Ejercicios:

3° ∫0

1

exp {ex }dx

4° ∫0

1

(1−x2)3 /2dx

5° ∫−2

2

ex +x2

dx

6° ∫0

∞

x (1−x2)−2 dx

7° ∫−∞

∞

e−x2

dx

8° ∫0

1

∫0

1

e¿¿ ¿¿

9° ∫0

∞

∫0

x

e−(x+ y)dydx