El vínculo entre computacion y matemáticas

El Discreto Idilio de las Matematicas y laComputacion

Jose Galaviz Casas

Departamento de Matematicas,Facultad de Ciencias,

Universidad Nacional Autonoma de Mexico.

Marzo de 2009

Jose Galaviz Casas (Facultad de Ciencias, UNAM) El Discreto Idilio de las Matematicas y la Computacion Mar/2009 1 / 42

Matematicas y computacion

La mayor parte del tiempo han estado juntas. En que se parecen?,en que son diferentes?


Que es computar?

Computar es calcular.

Calcular es hacer calculos y eso es...

... que es un calculo?


Concepto de calculo

Calculo: Mat. Conjunto de procedimientos matematicos quepermiten operar con numeros o smbolos numericos, as comoresolver problemas relacionados con dichas operaciones. Med.Cuerpo mas o menos solido, compuesto por sales, que se formaanormalmente en el organismo.


Etimologa

Calculus = piedrecilla, guijarro

Los romanos utilizaban un abaco con piedrecillas para hacercuentas.

Computar = calcular = hacer cuentas

Sin embargo la historia de la computacion no es la historia delos dispositivos de calculo.


Hacer cuentas es...

Aburrido: Labor repetitiva, poco estimulante.

Frustrante: Es facil equivocarse y no existen terminos medios,o el resultado es correcto o no.

As que cualquier persona sensata procura evitarlo...

Pero es necesario.


La flojera de calcular

Como hacemos para que sea mas rapido y menos propenso aerrores?

Pensando menos

Ejemplo: las tablas de multiplicar

Caso ideal: que otro lo haga

Historia de la computacion = historia de la busqueda demetodos para calcular sin pensar (automaticamente).

De aqu surge el vnculo entre matematicas y computacion: Alprincipio son indistinguibles


Calcular computar

Computar, al menos como loentendemos hoy, tiene un sentidomas general:

Pasar ciertos datos por unproceso que permite resolverun problema.


Algoritmo

Un proceso...

Hecho de una secuencia ordenada de pasos.

El numero de pasos es finito.

Hoy da esta es la nocion intuitiva de algoritmo.

El nucleo de la computacion.


Computo al estilo griego

Recordemos la geometrasintetica de Los Elementos deEuclides.

Un rectangulo aureo de ladocorto b y lado largo a esaquel en el que:ab = =

1+

52

Es bonito.

Como se construye?, almas puro estilo griego conregla y compas.


Construccion de rectangulo aureo A

PP A A

S

1 2


Construccion de rectangulo aureo B

P A

B

P A

BSS

M

3 4


Construccion de rectangulo aureo C

P A

BS

P

S

Q Q

R

M

5 6


Construccion de pentagono

C MP E

Q

P

Q


Pendientes

Y as... hay algoritmos para muchas otras construccionesgeometricas usando solo regla y compas.

Pero los griegos nunca nos dijeron como:

Dado un angulo, dividirlo en tres partes iguales. La trisecciondel angulo.Dado un crculo de area A, trazar un cuadrado de la mismaarea. La cuadratura del crculo.Dado un cubo de volumen V , construir un cubo de volumen2 V . La duplicacion del cubo.


Pendientes



Dado un angulo, dividirlo en tres partes iguales.

La trisecciondel angulo.Dado un crculo de area A, trazar un cuadrado de la mismaarea. La cuadratura del crculo.Dado un cubo de volumen V , construir un cubo de volumen2 V . La duplicacion del cubo.


Pendientes




La trisecciondel angulo.

Dado un crculo de area A, trazar un cuadrado de la mismaarea.

La cuadratura del crculo.Dado un cubo de volumen V , construir un cubo de volumen2 V . La duplicacion del cubo.


Pendientes




La trisecciondel angulo.

Dado un crculo de area A, trazar un cuadrado de la mismaarea.

La cuadratura del crculo.

Dado un cubo de volumen V , construir un cubo de volumen2 V .

La duplicacion del cubo.


Pendientes



Dado un angulo, dividirlo en tres partes iguales. La trisecciondel angulo.Dado un crculo de area A, trazar un cuadrado de la mismaarea. La cuadratura del crculo.Dado un cubo de volumen V , construir un cubo de volumen2 V . La duplicacion del cubo.


Al-Khowarizmi

Metodos para hacercuentas rapido y con menospropension al error: con unbuen sistema numerico.

Como el indo-arabigo.

Al-khowarizmi escribio sobreel y los metodos para usarloen los calculos (850).

De donde proviene nuestrapalabra algoritmo.


Ramon Lull (Doctor Illuminatus)

Para descubrir la verdad setiene que pasar por lastribulaciones delpensamiento.

Ars Magna (S. XIII), discosconcentricos con palabras ysmbolos escritas sobre ellos.

Se formula una pregunta.Los discos enuncian larespuesta de acuerdo conciertas reglas.

La verdad es calculable, sepuede automatizar elrazonamiento.


John Neper

Logaritmos (1590)

AB = log1(log A+log B)Bueno: transforman unamultiplicacion en una suma.

Y es mucho mas facil sumarque multiplicar, es masrapido y menos propenso alerror.

Sobre todo si uno es unastronomo del siglo XVII.

Malo: hay que tener tablasde logaritmos yantilogaritmos.


Los huesos de Neper

Los huesos de Neper(Rabdologa, 1617).

Auxiliar para automatizarcalculos aritmeticos:multiplicaciones, divisiones yraces cuadradas.


Uso de los huesos de Neper


Descartes

La Geometrie (1637), tercerapendice de Discours de laMethode.

Define cinco operacionesfundamentales que seutilizan en geometra ytienen un equivalentealgebraico: suma, resta,multiplicacion, division ycalculo de raz cuadrada.

Luego inventara (o, segunalgunos, retomara) la ideade los ejes coordenados y elsistema cartesiano.


Descartes y la sistematizacion

Cualquier problema de geometra se resuelve recurriendo a lasoperaciones mencionadas.Esto es algo que los antiguos no observaron, puesto que deser as no se habran tomado la molestia de escribir tangruesos libros, en los que el solo orden de las proposicionesnos indica que carecan de un metodo para hallarlas.

Si se pudiera tener un sistema de smbolos para representar lasideas y estos obedecieran a una sistematizacion como la de losnumeros, podramos generar todas las ideas que somoscapaces de pensar por medio de una especie de matematicadel pensamiento.


Blaise Pascal

Maquina para sumar yrestar, la Pascalina (1642).

Tambien lleva cuenta delacarreo mediante ruedasdentadas.

Escribio De lArt depersuader y De lEspritgeometrique, donde disertaacerca del formalismo: losaxiomas son verdades queno pueden ser probadas pornuestras humanaslimitaciones, pero todo lodemas debe ser deducible deellos metodicamente.


Gottfried Wilhelm Leibniz

Es una desgracia quehombres excelentes pierdanhoras como esclavos de lalabor de calcular, la quepodra ser encomendada acualquier otro si se utilizaranmaquinas.

En 1673 invento su propiamaquina calculadora quemultiplicaba y divida.

Se preguntaba si se podraconstruir una maquina quepudiera decir si unaproposicion matematica esverdadera o no.


Ideas de Leibniz

1666, De Arte Combinatoria. Basado en la idea de Descartesde un alfabeto del pensamiento humano, la de Hobbes(pensamiento no es mas que aritmetica) y las de Lull(combinatoria + alfabeto).

Todos los conceptos no son sino combinaciones de conceptosmas simples. El alfabeto y sus reglas permiten construirproposiciones verdaderas.

El lenguaje perfecto para los conceptos se llamaCharacteristica Universalis.

Las reglas para combinar los smbolos del lenguaje Calculusratiocinator.

La verdad de cualquier proposicion en cualquier campo de lacuriosidad humana puede determinarse por medio de simplecalculo.


Las monadas

En 1714 algunas de estas ideas son retomadas y llevadas masalla en Monadologie. Las monadas:

Son atomos metafsicos. Elementos indivisibles constitutivosdel universo y reflejos de el.

Las monadas poseen sus propias reglas: un conjunto deinstrucciones que determinan su comportamiento en todomomento, un programa.

Descubrir el algebra que las gobierna es develar el misterioultimo del universo.


George Boole

Mathematical Analysis ofLogic (1847). La ideasubyacente no es considerara la logica como parte de lasmatematicas, sino evidenciarque la logica (en su sentidomas puro de leyes delpensamiento), es tratable demanera similar al algebra.


Las leyes del pensamiento

An Investigation of the Laws of Thought (1854).

Madura las ideas anteriores.

Las proposiciones son tratadas como las literales de unaecuacion.

Cualquier conclusion deducible de un conjunto de premisas sepuede obtener mediante manipulaciones puramente simbolicas.


Gottlob Frege

Begriffsschrift (lenguaje deconceptos), 1879. Subttulo:Un lenguaje de formulas,como el de la aritmetica,para el razonamiento puro.

Desterrar, de una vez portodas y para siempre, laintuicion en lasmatematicas. Si algunelemento de tu teorarequiere de tu intuicion paraevidenciarlo, ponlo comoaxioma.


Begriffsschrift

El objetivo es que todo sea deducible (calculable) solo a partirde los axiomas y las reglas de inferencia.

Las cosas son verdaderas por la forma que tienen, las reglasde sintaxis son las que permiten deducir la verdad.

La aritmetica se puede ver como una rama de la logica. Solohay que decir quienes son los numeros: 1 es el numero deelementos que tiene el conjunto {piedra}, 2 es el numero deelementos que tiene el conjunto de orejas de un ser humano...


David Hilbert

Lograr una formalizacion detoda la matematica: tododebe formularse en unlenguaje preciso, sujeto areglas.


El programa de Hilbert

Completud: que cualquier proposicion verdadera pueda serprobada en el formalismo.

Consistencia: no se puede probar una proposicion y sunegacion. Ya lo haba mencionado en 1900 a proposito de laaritmetica.

Decidibilidad: debe haber un algoritmo para decidir la verdado falsedad de cualquier proposicion.


Los fundamentos de la matematica

Bertrand Russell y Alfred N.Whitehead, PrincipiaMathematica (1910- 1913).

Fundamentar lamatematica en la logica.Demostrar que el edificiode la matematica esperfecto formalmente.Inspirado en Frege.


Kurt Godel

Kurt Godel demuestra que laaritmetica no puede ser,simultaneamente, completay consistente. 1931.

Hay cosas que no se puedencalcular.


Entscheidungsproblem, decidibilidad

Dados un conjunto deaxiomas, las reglas de lalogica de primer orden y unaproposicion, existe unasecuencia finita dededucciones (algoritmo) quelleve de los axiomas a laproposicion?

Respuesta:

NO

. Alan Turing(1936).


Entscheidungsproblem, decidibilidad

Dados un conjunto deaxiomas, las reglas de lalogica de primer orden y unaproposicion, existe unasecuencia finita dededucciones (algoritmo) quelleve de los axiomas a laproposicion?

Respuesta: NO. Alan Turing(1936).


Maquina de Turing

Modelo abstracto para definir lo que es computable.

Tesis de Church-Turing: Es computable todo aquello quepueda ser calculado por una maquina de Turing.

Hasta ahora no parece ser falsa.


Los modelos

Maquinas de Turing (1936).

Calculo l de Alonzo Church (1936).

Maquinas de Post (1936).

Todos los modelos son equivalentes.

Nace la ciencia de la computacion.


Cada quien su camino

Luego de eso los caminos de la computacion y lasmatematicas se han separado.

Siguen muy cerca solo que ahora tienen su propio espacio.

En que son diferentes:

La computacion, siempre es discreta, cuando no decididamentefinita.Los objetos de interes de la computacion deben construirse,porque son resultado de la ejecucion de un algoritmo. No bastacon mostrar que existe algo que satisface p, hay que ensenarlo.En computacion no solo importa que algo puede hacerse (quesea computable) sino cuantos recursos se requieren parahacerlo (que tanto debo recordar en el proceso, cuanto tiempotardo).


Ejemplo

Criptografa, funciones de un solo sentido:

Si A quiere enviar un mensaje secreto (m) a B, en un sistemade los que se denominan de clave publica, A busca en undirectorio accesible a todo mundo, la clave para cifrarmensajes a B (c).

A enva a B: e = f (c,m).

Solo B tiene la clave privada (p) que deshace lo que clavepublica hace. Aplica f 1(p, e) = m.Conocer c no sirve de mucho para conocer p.


Funciones unidireccionales

En computacion la funcion f usada para cifrar es una funcionde un solo sentido es facil cifrar aplicando f (c,m), es difcilhacer f 1(p, e) si no se conoce p.En matematicas una funcion es invertible o no, no hayterminos medios.

Las funciones de un solo sentido son entes computacionales.Su existencia proviene del hecho de determinar que tan difciles calcular la inversa.


A fin de cuentas...

La computacion surge de las matematicas.

A partir de la busqueda de medios para facilitar los calculos yhacerlos mas confiables.

Lo que derivo en intentos por automatizar muchas masactividades.

Lo que nos llevo a preguntarnos que se poda automatizar.

Lo que nos lleva a buscar modelos alternativos de computo ya hacernos preguntas profundas: nuestro cerebro es unacomputadora?


Que?, y lo de los griegos?

Habamos mencionado tres problemas que nunca fueron abordadosen los libros conocidos de geometra sintetica griega:

La triseccion del angulo.

La duplicacion del cubo.

La cuadratura del crculo.

Ninguno se puede hacer con regla y compas. En el sistema formalde la geometra griega cuyo lenguaje esta hecho solo deoraciones consistentes en operaciones de regla y compas, no sepueden expresar las construcciones mencionadas.


El vínculo entre computacion y matemáticas

Documents

Transcript of El vínculo entre computacion y matemáticas