EL115-UNIDAD1-Cuantizacion2

8/15/2019 EL115-UNIDAD1-Cuantizacion2

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UNIVERSIDAD PERUANA DE CIENCIAS APLICADAS (UPC)Facultad de Ingeniería - Escuela de Ingeniería Electrónica

PROCESAMIENTO AVANZADODE SEÑALES E IMÁGENES

UNIDAD 1 : CUANTIZACIÓN DE SEÑALES

Prof. Dr. Guillermo Kemper Vásquez


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Aproximación de los niveles de tensión de una señal a valores previamente definidos que sonidentificados a traves de un código binário C#. Cada nivel de aproximación es llamado de “nivel decuantización”. El numero de niveles de cuantizacion determina la resolución del cuantizador. Cuantomayor sea el numero de nivles de cuantización, mayor sera la aproximación que se tenga de la señal

original. Sin embargo este incremento aumenta el numero de bits a transmitir lo cual es desventajosopara efectos de transmitir la señal en canales de banda angosta. Solución: COMPRESION.

C0C0

C1C1

C2C2

C3C3

C3C3

C4C4

C5C5

C6C6

C7C7

C8C8

C9C9

Cuantización o Cuantificación

Discret ización en Amp li tud

Dr. Guillermo Kemper Vásquez

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+x

eq

xQ=Q(x)

Ruido de Cuantización AditivoBlanco(eq) :Se asume una señal aleatoria estacionaria de distribución uniforme ydensidad espectral de potencia ( ) de valor constante para todas las

componentes de frecuencia (ruido blanco).

señalde entrada

señal discreta en amplitud

peq(e)

e∆/2-∆/2

1/∆

Función de densidad de probabilidaddel ruido de cuantización

óncuantizacideruidodelVarianza:

12dee

1de)e( pe

2

q

22/

2/

2

e

22

q q

σ

∆=∆

==σ ∫ ∫ ∆

∆−

∞

∞−

.ruidodelmediovalor:e

0de e1

de(e) pee

q

2/

2/

2/

2/eq q

=∆

== ∫ ∫ ∆

∆−

∆

∆−

)(R qe τ )f (S

qe

τ f

)f (Sqe

Autocorrelación

(señal no correlacionada)

DEP (Densidad Espectral de Potencia)

0 0

2Modelamiento de un Cuantizador


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Q(x)

∆

∆/2

-∆/2

xL

L : Nº de intervalos o nivelesde cuantización.

r : N º de bits / muestra

SNR = 6r + 10log10(3 /γ 2)

Para Audio SNR = 96 dB aprox. (r=16 bits) , Para video SNR : 50 dB aprox. (r=8bits)

eq

x

-xmaxxmax

Intervalo de cuantización de

tamaño constante para cualquier

nivel de señal: CUANTIZACIÓNUNIFORME

γ

=

σσ

=

γ σ=σ

σσ

=γ

=σ

===∆

σ∆

=σ

σ

σσ

=

+=

−=

−

−

−−

2

r 2

102

e

2

x10dB

r 222

x2

e

rmsx

x

max

r 22

max2

e

)1r (

maxr

maxmax

2

e

22

e

2

x

2

e

2

x10dB

dB

q

q

32log10log10SNR

,

3

2

:finalmente

)(x x""deeficazValor :

x :comocargadefactoreldefinese

3

2x :luego

2x2

2x

L

2x

:r""delfunciónenSNR ladeCalculo

óncuantizacideruidodelvarianza: ,12

entradadeseñalladevarianza:

log10SNR

:)SNR (oSeñal/RuidRelación

ex)x(Q

x)x(Qe

:AditivoRuido

q

q

q

qq

q

Relación Señal/Ruido y Ruido de Cuantización:

r 2L =

Vmin

Vmax


3


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Cuantización o CuantificaciónCuantizadores Mid-Tread y Mid-Rise

Obs : Utilizado en digitalización de señales de

audio (16 bits - 65536 niveles y video (8 bits -256 niveles).

Obs : Tiene la ventaja de proporcionar el mismo

numero de niveles a la parte positiva y a la partenegativa.

C 0

C 1

C 2

C 3

C 4

C 5

C 6

C 7

Máximo nivel devoltaje de la señal de

entrada.

Q(x)

Mid-Rise

Intervalo deCuantización

-xmax

xmax

C 0

C 1

C 2

C 3C 4

C 5

C 6

C 7

Voltajes de la señal

de entrada.

x

Q(x)

Mid-Tread

∆a b c

valores cuanti-

zados sin error

Código binário


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)x( px

x0

x(t)

t

3.7r 6SNR

4 ,

4

x

dB

maxx

−=

=γ =σ

xσ

Señal estacionaria con función de densidad de probabilidad : GAUSSIANA

Señal estacionaria con función de densidad de probabilidad : UNIFORME

x(t)

t

6r SNR

3 ?,3

xs

dB

maxx

=

==

xmaxxmaxx−

)x( px

Señales Senoidales : maxmaxmaxmin0max

20max1 xV,xV:recuerde ,)tcos(4

x)t(x , )tcos(x)t(x =−=ω=ω=

t

x(t)

maxx

maxx−

)t(x1

)t(x2

76.1r 6SNR

2 ,2

x

dB

maxx

+=

=γ =σ

)t(x1

28.10r 6SNR

24 ,24

x

dB

maxx

−=

=γ =σ

)t(x2

maxxmaxx−


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Conversión Análogo-Digital (A/D)Formato PCM (Pulse Code Modulation)

Arq uitecturas de A/Ds(según el métod o uti l izado para l a de cuan tizacióny cod if icac ión de un nivel de voltaje analógico)

CLA SIFICACIÓN CLA SIFICACIÓN

MUESTREO EN TASA SMUESTREO EN TASA SSUPERIORES AL VA LOR DESUPERIORES AL VA LOR DE

NYQUIST NYQUIST

Sigma - Delta

MUESTREO EN LA TA SA DEMUESTREO EN LA TA SA DENYQUIST NYQUIST

Flash

Subranging

Pipelined

Aproximaciones Sucesivas

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Arq ui tecturas de A/Ds :

Convert idor de Ap roximaciones sucesivas

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Arq ui tecturas de A/Ds

Convert idor Flash


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Conversión AnálogoConversión Análogo--Digital (A/D)Digital (A/D)Formato PCM (Pulse Code Modulation)Formato PCM (Pulse Code Modulation)

Característic as y Lim itacio nes d e los A/Ds bas ado sCaracterístic as y Lim itacio nes d e los A/Ds bas ado s

en la Tasa de Muestreo de Nyq uist en la Tasa de Muestreo de Nyq uist

CadaCada muestramuestra eses siempresiempre cuantizadacuantizada enen máximamáxima resoluciónresolución..

LaLa resoluciónresolución dede loslos convertidoresconvertidores implementadosimplementados enen chipschips VLSIVLSI eseslimitadalimitada por por lala tecnologíatecnología concon lala queque estosestos chipschips sonson fabricadosfabricados..

EsEs extremadamenteextremadamente dicifildicifil lala implementaciónimplementación dede estosestos convertidoresconvertidores dede

altaalta resoluciónresolución enen circuitoscircuitos integradosintegrados.. (Calibración,(Calibración, disposicióndisposición dede

componentes,componentes, etc)etc)..

SiSi lala señalseñal eses muestreadamuestreada concon unauna frecuenciafrecuencia muymuy proximaproxima alal valor valor dedeNyquistNyquist sese requiererequiere lala utilizaciónutilización filtrosfiltros analógicosanalógicos antianti--aliasingaliasing dede altaaltaselectividadselectividad

Dr. Guillermo Kemper VásquezDr. Guillermo Kemper Vásquez

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Convert ido res basados en tasas de mu estreo super iores la valor de Nyqu ist Convert ido res basados en tasas de mu estreo super iores la valor de Nyqu ist

ConceptoConcepto BásicoBásico :: Muestrear Muestrear unauna señalseñal aa frecuenciasfrecuencias muymuy superioressuperiores alal valor valor dede

NyquistNyquist aa cambiocambio dede reducir reducir lala resoluciónresolución deldel procesoproceso dede cuantizacióncuantización :: reducciónreducción deldelnumeronumerodede nivelesnivelesdede cuantizacióncuantización --menor menor numeronumero dede bitsbits por pormuestramuestra..

20KHz20KHz--20KHz20KHz f f

X(f)X(f)

00

20KHz20KHz--20KHz20KHz f f 00--80KHz80KHz --40KHz40KHz 40KHz40KHz 80KHz80KHz

X(eX(e j2 j2ππf f ))

20KHz20KHz--20KHz20KHz f f 00--250KHz250KHz

X(eX(e j2 j2ππf f ))

250KHz250KHz

Espectro e n frecuencia deuna señal analógica, conancho de banda BW = 20KHz.

Espectro en frecuencia de una señaldiscreta en el tiempo muestreada enlatasa de Nyquist.

Espectro e n frecuencia de una señal

discreta en el tiempo, muestreada a unatasa mucho mayor que el valor de Nyquist:SUPERMUESTREO

Filtro Pasa BajasFiltro Pasa Bajasde Reconstrucciónde Reconstrucción


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Diagrama General de un Convert idor A/D basado en SUPERMUESTREO Diagrama General de un Convert idor A/D basado en SUPERMUESTREO

Filtro

Anti-Aliasing

f f ss = D. ( 2B= D. ( 2Bww ))

x(t)x(t) x(n)x(n)

++

eeqq(n)(n)

Filtro DigitalPasa Bajas

D

Señal Analógica conSeñal Analógica conancho de bandaancho de banda BBww

CuantizadorCuantizadorresolución : r bits/muestrasresolución : r bits/muestras DecimadorDecimador

Sub-muestreador

Procesamiento Analógico Procesamiento Analógico Procesamiento Digital Procesamiento Di gital

frecuencia de muestreo :frecuencia de muestreo : f f ssresolución de cuantizaciónresolución de cuantización > r bits/muestra> r bits/muestra

Señal DigitalizadaSeñal Digitalizaday(n)y(n)

SNR dB=6r+10log10(3/γ 2)+10log10( f s/(2Bw) )

= 6r + 10log10(3/γ 2)+ 10log10( D )Ganancia en SNRGanancia en SNR

por efecto del Supermuestreopor efecto del Supermuestreo

SeSe puedepuede disminuirdisminuir elel “r”“r” dadodado queque estaestacaídacaída eses compensadacompensada porpor lala gananciagananciaobtenidaobtenida porpor e lel supermuestreosupermuestreo.. DeDe e saes aformaforma puedepuede utilizarseutilizarse cuantizadorescuantizadores dedemenormenor resoluciónresolución sinsin afectarafectar lala calidadcalidaddede lala señalseñal resultanteresultante..

Por ejemplo para mantener la calidad de una señal de audio de compact disk (CD)(f s=44.1KHz, r = 16 bits/muestras y Bw= 22.05 KHz) a través de un A/D de 8bits es

necesariomuestrar la señal a una frecuencia de f s = 2.64 GHz.¡Problema! A/D’s de 8 bits con esa frecuencia de muestreo no pueden serimplmentados en latecnologia CMOS actual.

Para bajar de 12 bits a 8 bits la situación mejora ya que se necesitaria muestrear laseñal a f s = 10MHz sin embargo todavia es una frecuencia muy alta. SOLUCIÓN :utilizar un modulador llamado SIGMA-DELTA..


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Densidad Espectra l de Potencia del Ruido de Cuant izac ión en unDensidad Espectra l de Potencia del Ruido de Cuant izac ión en un

Convert idor A /D basado enConvert idor A /D basado en SUPERMUESTREO SUPERMUESTREO

BBww = f = f s1s1/2/2--f f s1s1/2/2 f f s2s2/2/2--f f s2s2/2/2

f f ss11 == frecuenciafrecuencia dede muestreomuestreo enenelel valorvalordedeNyquistNyquist

f f ss22 == frecuenciafrecuencia dede muestreomuestreo muchomucho mayormayorqueque elel valorvalordede NyquistNyquist ((supermuestreosupermuestreo))

SSeqeq(f)(f)

f f

DEPDEP deldel ruidoruido dede cuantizacióncuantización enenlala regiónregióndede interésinterés parapara unun A/DA/D basadobasado enenmuestreomuestreo enenelel valorvalor dede NyquistNyquist [[--BBww ,, BBww ]]

DEPDEP deldel ruidoruido dede cuantizacióncuantización parapara ununA/DA/D basadobasado enen supermuestreosupermuestreo..

Observaciones :

Para el A/D que utilza f s1 el ruido de cuantización ocupa todo el ancho la

banda de la señal (Bw) . Por tanto toda la potencia del ruido se concentra enesa banda.

Para el A/D que utiliza f s2 solo una parte pequeña delruido de cuantizaciponse concentra en la banda de la señal.

Cuanto mayor es el supermuestreo menor potencia de ruido se concentra enla banda de la señal (Bw).


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Converso r A/DConverso r A/D - - Sigma Delta de 1 Sigma Delta de 1 er er Orden Orden

Filtro

Anti-Aliasing

f f ss = D. ( 2B= D. ( 2Bww ))

x(t)x(t) v(n)v(n)

++

eeqq(n)(n)

Señal Analógica conancho de banda Bw

+ + ZZ--11

Filtro Digital

Pasa Bajaswcorte= π / D

D

DecimadorDecimador

Sub-muestreadorSeñalSeñalDigitalizadaDigitalizada

--

++

integrador en tiempo discretointegrador en tiempo discreto

u(n)u(n)

Conversor D/A

procesamiento analógico en tiempo discreto (moduladorprocesamiento analógico en tiempo discreto (modulador SIGMASIGMA- -DELTADELTA ))

CuantizadorCuantizador

rr bits / muestrabits / muestra

w(n)w(n)

y(n)y(n)

procesamiento digitalprocesamiento digital

yyaa(n)(n)

SNR dB=6r+10log10(3/γ 2)-10log10(π2/3)+30log10( D )

y(n) = x(ny(n) = x(n--1) + e(n)1) + e(n) -- e(ne(n--1)1)

rr bits / muestrabits / muestraFactor de SupermuestreoFactor de Supermuestreo


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Converso r A/DConverso r A/D - - Sigma Delta de 2 Sigma Delta de 2 do do Orden Orden

vv22(n)(n)

++

eeqq(n)(n)

+ + ZZ--11

--

++

integrador en tiempo discretointegrador en tiempo discreto

uu11(n)(n)

Conversor D/A

procesamiento analógico en tiempo discretoprocesamiento analógico en tiempo discreto

CuantizadorCuantizadorrr bits / muestrabits / muestra

y(n)y(n)

yyaa(n)(n)

SNR dB= 6r + 10log10(3/γ 2) -10log10(π4/5) + 50log10( D )

rr bit / muestrabit / muestra

vv22(n)(n)

+ ZZ--11+

--

++ uu22(n)(n)x(n)x(n)


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Respuesta en Frecuencia de los ModuladoresRespuesta en Frecuencia de los Moduladores

Sigma Delta respecto al Ruido de Cuantización (H Sigma Delta respecto al Ruido de Cuantización (H eq eq

) )

f / f f / f ss00

0.10.1--0.10.1

HHeqeq(f)(f)Bw = 20KHz

f s= 200KHz

-2Bw 2Bw

0.50.5--0.50.5

Región de InterésRegión de Interés

[[ --BBww , B, Bww ]]

33er er OrdenOrden

22d0d0 OrdenOrden

11er er OrdenOrden

--f f ss / 2/ 2 f f ss / 2/ 2

D = 10

--ππ / D/ D ππ / D/ D

(Hz)(Hz)

(rad)(rad)--ππ ππ

Bw-Bw

sin modulador


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Algu nas Desventajas de los Convert idores A/D Sigm a Algu nas Desventajas de los Convert idor es A/D Sigm a- -Delta Delta

SuSu usouso eses limitadolimitado aa señalesseñales concon anchoancho dede bandabanda menor menor aa 11MHzMHz (aprox(aprox..),), comocomo por por

ejemploejemplo :: señalesseñales dede voz,voz, señalesseñales dede audio,audio, señalesseñales utilizadasutilizadas enen instrumentacióninstrumentación

electronica,electronica, señalesseñales dede ultrasonido,ultrasonido, etcetc..

PresentanPresentan considerableconsiderable dependenciadependencia dede loslos dispositivosdispositivos analógicosanalógicos queque conformanconformanloslos moduladoresmoduladores analógicosanalógicos SigmaSigma -- DeltaDelta (capacitores,(capacitores, transistores,transistores, etc)etc) ::

estabilidad,estabilidad, calibración,calibración, temperatura,temperatura, efectosefectos dede ruido,ruido, etcetc..

LaLa complejidadcomplejidad dede lala etapaetapa analógicaanalógica sese incrementadaincrementada enen lala medidamedida queque aumentaaumenta elelordenorden deldel conversor conversor..


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Convert idores A /DConvert idores A /D - - D /A S igmaD/A Sigma - - De lta ut i li zados hoy en d ia y sus ap l i cac iones Del ta ut i l izados ho y en dia y sus apl icac io nes

Conversores Sigma - Delta utilizados en Sistemas de Procesamiento de Señales(Texas Instruments )

• CS4222 : A/D - D/A Sigma-Delta, estéreo,20bitsde resolución- audio• TLC320AD535 : A/D - D/A Sigma-Delta, 16 bits de resolución- voz• TLV320AIC14 : A/D - D/A Sigma - Delta,16 bits, voz,bajo costo.

Ancho deBanda (Bw) Frecuencia deMuestreo (f s) D = f s / 2Bw Resolución(# bits/muestra) Estructura delModulador Cuantizador Interno Aplicación

492Hz 128KHz 128 20 4to orden 1 bit Instrumentación

500Hz 128KHz 128 20 4to orden 1 bit Señales sísmicas

4KHz 4MHz 500 13 1er orden 1 bit Voz

4KHz 1.024MHz 128 13 2do orden 1 bit Voz

20.5KHz 5.25MHz 128 16 2do orden 4 bits Audio

24KHz 6.144MHz 128 18 4to orden 4 bits Audio

24KHz 3.072MHz 64 16 2do orden 1 bit Audio

25KHz 6.4MHz 128 17 “2-1” cascada 1 bit Audio40KHz 10.24MHz 128 14 2do orden 1 bit ISDN

40KHz 2.56MHz 32 13 “2-1” cascada 1 bit ISDN

100KHz 3.25MHz 16 15 “2-2-2” cascada 3 niveles Digital Cellular Radio

160KHz 20.48MHz 64 16 “2-1” cascada 1 bit -

250KHz 32MHz 64 14 4to orden 1 bit -

1MHz 50MHz 25 12 “2-1” cascada 1 y 3 bits ultrasonido


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Convert idores D/A 1 bi tConvert idores D/A 1 bi t - - S igmaSigma - - De lta (Compact Disk) Del ta (Compact Disk )

Señal Compact Disk Señal Compact Disk

f f ss = 44.1 KHz= 44.1 KHz

16 bits/muestra16 bits/muestra

SeñalSeñal digitaldigital (PCM)(PCM)provenienteproveniente dede lala lecturalectura

deldel dispositivodispositivo ópticoóptico..

InterpoladorInterpolador

↑↑ DD ++

eeqq(n)(n)

CuantizadorCuantizador11 bit / muestrabit / muestra

Integrador

Zona de Error

Distorsión

Código Binario Original : 0011111111111111

Error en un bit : 0001111111111111

ErrorError Zona de ErrorZona de Error

D/AD/A -- PCMPCM -- 16 bits16 bits

Señal ReconstruidaSeñal Reconstruida

f f ss’’= D (44.1) KHz= D (44.1) KHz

DistorsiónDistorsión Señal ReconstruidaSeñal Reconstruida

Cambia el códigoCambia el código -- cambia la amplitudcambia la amplitud


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Conversores A/D - D/A Sigma-Delta son ampliamente utilizados hoy en día

en diversos sistemas electrónicos de procesamiento digital de señales,

conformandolos llamados CODECS de Audio, Voz, etc.

Casi todos los Reproductores de Compact Disk en la actualidad utilizan

conversores D/A Sigma Delta de 1bit de resolución.

El avance de los sistemas de conversión Sigma Delta esta en función de

las tecnologías de fabricación de circuitos integrados.

La conversión Sigma - Delta mezcla procesamiento digital de señales con

procesamiento analógico. Hoy en día se continua haciendo investigaciónrespecto a manipular estos dos tipos de procesamiento a fin de obtener

conversores de mejor calidad.


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Ejemplos de Sistemas de Procesamiento Digital de SeñalesDiagramas Generales

A/D Procesador de

Señales Digitales

(DSP)

D/A

x(t) xr (t)

PROCESAMIENTO DE SEÑALES ANALÓGICAS

A/Dx(t) Procesador de

Señales Digitales

(DSP)Tx CANAL Rx

Procesador deSeñales Digitales

(DSP)D/A

COMO PARTE DE UN SISTEMA DE COMUNICACIONES DIGITALES

xr (t)


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Tasa de Bit

A/D

r f s

Canal de TransmisiónTx Rx D/A

r f s

Canal Digital : Se especifica la tasade bits (TBcanal) que soporta el canal ola tasa de bit asignada para la

transmisión de la información.

x(t) xr(t)

Tasa de Bit (TB) : Cantidad de Información digital que es transmitida por unidad de tiempo (bits/seg.)

TBx ≅ f s.r (bits/seg)

Muchas veces se tiene que : TBx>TBcanal

Por tanto, para adecuar la tasa de bits de la señal a la tasa de bits del canal se tienen dos opciones : o se disminuye la “ f s “ o se

disminuye el “r”.

Si se disminuye la “f s” se tiene que hacer un nuevo corte de la señal en ancho de banda a través del filtro anti-aliasing. Esto haríacaer la calidad de la señal de voz , audio o vídeo que se desea transmitir.

Si se disminuye el “r” se decrementa la SNR lo cual hace caer también la calidad de la señal dado que se introduce mayor cantidadde ruido.

Solución : utilizar ALGORITMOSDE COMPRESIÓN.

Compresión implica disminuir la cantidad de información digital a transmitir lo cual resulta en una menor tasade bits.

Los algoritmos de compresión de mayor performance aplicados a voz, audio y vídeo disminuyen el “r” en componentes defrecuencia donde el oído o el ojo humano (dependiendo del caso) presentan poca sensibilidad en la percepción. De esa forma, la

calidad de la señal resultante de la compresiónno es afectada seriamente por la disminucióndel “r” .En estos esquemas de compresión la señal es inicialmente pasada al dominio de la frecuencia y subdividida en bandas o

componentes de frecuencia.Esta forma de codificación recibe el nombre de : Codificación por transformada o Codificación de Sub-banda.


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Tasa de Bit

El espacio que ocupa una señal analógica en un canal de transmisión se mide a nivel de ancho de

banda. Para el caso de señales digitales se utiliza el termino Tasa Bits el cual representa la cantidadde bits por segundo con la cual debe ser transmitida una señalen formato digital.

TasadeBits =Tb = f s x r f s : Frecuenciade Muestreo

r : Numero de Bits por muestra

SeñalesFM (Analogicas) Ancho de Banda : 15 KHz

SeñalesFM (Digitales)r = 1 6f s= 32 KHz

Tb (mono) = 32Kx16 = 512Kbit/s

Tb(estereo)= 2xTb(mono) = 1Mbit/s

1 minuto de musica FMEstereo, necesita unespacio de almacenamiento deaproximadamente : 8 Mbytes.

SeñalesSeñalesdede CompactCompact DiskDisk (Analogicas)(Analogicas) Ancho Ancho dede BandaBanda:: 2205022050 HzHz

SeñalesSeñalesdede CompactCompact DiskDisk (Digitales)(Digitales)r r == 1616

f f ss == 4410044100KHzKHz

TbTb (mono)(mono) == 4444..11KxKx1616 == 705705..66Kbit/sKbit/s

Tb(estereo)Tb(estereo)== 22xTb(mono)xTb(mono) == 11..44 Mbit/sMbit/s

11 minutominuto dede musicamusica CDCD Estereo,Estereo, necesitanecesita ununespacioespacio dede almacenamientoalmacenamiento dedeaproximadamenteaproximadamente :: 1010 MbytesMbytes..


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Re-cuantizaciónRe-cuantizar una señal implica disminuir el parametro “r” (bits/muestra) a través de algoritmos de procesamiento digitalde señales. Decremento del “r” también implica compresión.

RE-CUANTIZACIÓN POR FACTOR DE ESCALA (f e) :

En este tipo de recuantización inicialmente se calcula el factor de escala de la señal a re-cuantizar. Definese el factor deescala como el máximo valor absoluto de las muestras que conforman la secuencia a re-cuantizar. Luego se asume elrango de variación de la señal como (-f e, f e) y en seguida se procede ha realizar la operación de re-cuantización con el

nuevo numerode niveles o intervalos de aproximación.

1.- Re-cuantización por factor de escala fijo :

En este método se define el factor de escala f e= xmax. Por tanto se mantiene el rango de variación de la señal original y se

variael numero de niveles entre esa escala de variación (-xmax , xmax).

Definese como como siendoel vector de muestras que representa la señaloriginal (“r” bits/muestra) . Luegose tiene :x

donde “ r’ ” es el nuevo numero de bits/muestra de la señal; la función “round” retorna el valor entero mas próximo, “ “es un vector utilizado para efectos de almacenamiento o transmisión de la señal resultante, mientras que “ “ es elvector que contienelas muestras de la señalre-cuantizada a 2r’ niveles.

y

( )

−

=

−= −

−

)1(2

y'f y , 12

f

xroundy'

1r'e1r'

e

'y

El formato de almacenamiento de la señal re-cuantizada seria de la siguiente forma:

y’(0) y’(1) y’(2) y’(L-1)f e

r fe bits valores almacenados con una precisión de “ r ’ “ bis por muestra

L muestras

8

L'r r bytes# fey

+=, 8

rL bytes# x =dado que siempre r >r’ entonces se deduce que:

yx bytes# bytes# >


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Re-cuantización2.- Recuantización por factor de escala adaptivo por bloques

En este método de re-cuantización la señal es segmentada en bloques de muestras de tamaño “L”. Luego por cada

bloque se determina un factor de escala, el cual constituye el máximo valor absoluto de las muestras que conforman el

bloque.Definese como siendo el vector de muestras que representa el bloque de muestras “b” de la señal a recuantizar .

Luego setiene:

donde “ r’ ” es el nuevo numero de bits/muestra de la señal; la función “round” retorna el valor entero mas próximo; “ “es un vector utilizado para efectos de almacenamiento o transmisión de cada bloque “b”, mientras que “ “ es elbloque“b” re-cuantizado a 2r’ niveles.

El formato de almacenamiento de la señal re-cuantizada seriade la siguiente forma:

bx x

( )

( )

−

=

−=

=

−−

)1(2

y(b)f y , 12

(b)f

xroundy

)xabs(max(b)f

1r'

'

be b

1r'

e

b'

b

be

f e(0)

'

by

f e(1) f e(2) f e(3)'

0y'

1y'

2y'

3y f e(N)'

Ny

“ N ” bloques de “ L ” muestras cada uno

bloque 0 bloque 1 bloque 2 bloque 3 bloque N

r fe bits r’ bitsr fe bits r’ bits r fe bits r’ bitsr fe bits r’ bits r fe bits r’ bits

0y 1y 2y 3y Ny

by

Señal re-cuantizada disponible para reproducción


24


26/31

8

N)L'r r ( bytes# ,

8

N.L.r bytes# fe

yx

+==

2.- Recuantización por factor de escala adaptivo por bloques (continuación)

El espacioen bytes que ocupa la señal original y la señalre-cuantizada vía factor de escala adaptivo es definido como:

Observación: El valor “r fe” es el espacio en bits ocupado por el factor de escala de cada bloque.

Por otro lado, se sabe que cuando una señal es recuantizada se hace compresión. De esa forma se define el factor decompresión como la ganancia en compresión alcanzadadespués delprocesamiento de la señal.

El factor (f c) puede ser calculado a partir del espacio ocupado por la señal resultante o a partir de la tasa de bitsresultante.De acuerdoa ello se tiene:

Conclusiones :•La re-cuantización por factor de escala adaptivo presenta un factor de compresión menor que el método por factor de

escala fijo. Sin embargo el primero resulta en una señal de mayor nivel de calidad.•El factor de escala adaptivo adapta su rango de cuantización [xmin, xmax] a cada bloque de la señal, lo que resulta en una

SNR mas estable para todos los niveles de señal.

•Cuanto menor sea el tamaño de los bloques en el método de factor de escala adaptivo mayor será el nivel de calidad dela señal resultante. Sin embargo esto afecta la compresión ya que se tendría que almacenar mayor numero de factoresde escala.

Re-cuantización

T

Tf ,

byte#

bytes#f

yB

xBc

y

xc ==


25


27/31

Cuantización No Uniforme•Como se pudo apreciar anteriormente, la cuantización uniforme presenta la desventaja de asignar diferente niveles deSNR para distintos niveles de señal. Este problema trae como consecuencia, que los niveles bajos de señal seanafectados por mayores niveles de ruido, lo cual a la larga afecta la calidadde la señal resultante.

•El problema se aprecia con mayor intensidad en señales de voz, las cuales presenta nivel bajos de señal en variosinstantesde tiempo.

•Una forma de resolver este problema es digitalizar una señal de voz mediante el método de cuantización no uniformeel cual asigna mayores niveles de cuantización a los niveles bajos de señal y menor numero de niveles de cuantización

a los niveles altos de señal.

•Con este formato de aproximación se obtiene una SNR masestable e independiente de los niveles de señal.

La gráfica de un cuantizador no uniforme es presentadoen la siguiente figura:

Q(x)

xNivelesBajos

NivelesAltos

-xmin xmax


26


28/31

Cuantización No Uniforme

Amplificador No lineal

(Logarítmico)

A/D(uniforme)

r f s

x(t) Amplificador No lineal

(exponencial)

D/A(uniforme)

r f s

xr (t)

Diagrama de un sistema de conversión A/D - No uniforme(utilizando compresores y expansores analógicos)

Comentarios:La utilización de un un amplificador logarítmico se basa en que la mayoría de señales de voz son modeladas comogaussianas y por tanto la performance de su cuantización esta en función de los niveles de la señal, sin embargo con el

uso del amplificador se trata de uniformizar a la señal (distribución uniforme) a fin de que el proceso de cuantización y laSNR sean independientes de losniveles de señal.

La cuantización logarítmica o no uniforme es utilizadaen la transmisión en formato digital de señales telefónicas.

De acuerdo a ello se ha establecido leyes para la función de transferencia del amplificador logarítmico y sucorrespondiente amplificador exponencial.En los Estados Unidos de Norteamerica se utiliza la llamada ley “u” mientras que en Europa se ha establecido lallamada ley “A”.Una señal de voz cuantizada con 7 bits/muestra través de la cuantización logarítmica ( leyes “u” o “A”) presenta lamisma calidad de voz de una señal cuantizada uniformemente con 11 bits por muestra. Esto implica que la cuantizaciónlogarítmica permite tener una ganancia de aproximadamente 24dB.


27

compresor expansor

Para el caso de voz, r = 8 bits


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A/D(uniforme)

r f s

x(t) D/A(uniforme)

r f s

Diagrama de un sistema de conversión A/D - No uniforme(utilizando compresores y expansores digitales)

28

compresordigital

Codificador

Compresor

a r’ bits/muestras

Para el caso de voz el “r” del

A/D en este esquema de

cuantización generalmente esta

entre 11 a 13 bits por muestra.

expansordigital

Decodificador

Expansor

a r bits/muestras

Para el caso de voz, el compresor

digital comprime logaritmicamente

a través un algoritmo implementado

en el CODEC (A/D - D/A). La

conversión es de r’ a r. En la

practica de r=12 o 13 bits a r’=8

bit s por muestra (salida del

compresor).

Para el caso de voz, el expansor

digital expande exponencialmente a

través un algoritmo implementado

en el CODEC (A/D - D/A). La

conversión es de r’ a r. En la

practica de r’=8 bits a r=12 o 13

bits por muestra (salida del expansor).

Transmisión ó Procesamiento Digital


30/31


Ley “u”(U.S.A)

+

+=

maxx

xu1ln

)u1ln(

)x(signy ( )( )

−+=

u

1y).u1ln(exp.x).y(signx

max


(Logarítmico)


(exponencial)

x y xy

En la medida que se aumenta el valor de “u” se tiene mayor efecto logarítmico sobre la señal. Para u=0 se tienecuantización uniforme.Para transmisión telefónica se utiliza el valor u=255.

u=1000

u=255

u=0

maxx

x

y

1

1


29


31/31

Ley “A”(Europa)

≤≤

+

+

≤

+

=

1

x

x

A

1,

x

xAln1

ln(A)1

sign(x)

A

1

x

x,

x

x

lnA1

A

y

maxmax

maxmax

[ ]( )

≤≤+

−+

+≤

+

=

1ylnA1

1,

A

1ylnA)(1sign(y)expx

lnA1

1y,y

A

lnA)(1x

x

max

max


(Logarítmico)


(exponencial)

x y xy

Para transmisión telefónicase utilizael valor A=87.6, equivalente al u=255.


30


A=1000

A=87.6

A=1

maxx

x

y

1

1

EL115-UNIDAD1-Cuantizacion2

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