Elaboración de objetos físicos como alternativa didáctica...

Elaboración de objetos físicos como alternativa didáctica para la

enseñanza del álgebra en grado 8º

OLGA LUCIA MASSO SANJUÁN

Universidad Nacional de Colombia

Facultad de Ingeniería y Administración

Palmira

2013

Elaboración de objetos físicos como alternativa didáctica para la

enseñanza del álgebra en grado 8º

OLGA LUCIA MASSO SANJUAN

Trabajo de grado para optar al título de:

MAGISTER EN ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES

Director (a):

Ing. RAÚL ANTONIO DÍAZ PACHECO MSc.

Universidad Nacional de Colombia

Facultad de Ingeniería y Administración

Palmira

2013

DEDICADO A…

A mi gran y mayor tesoro, mi hija MARIA CAMILA, a mi madre. Por quererme ellas, comprenderme y apoyarme en cada momento de la vida y regalarme todo el tiempo que les quite para realizar este proyecto; a mis hermanos.

A Dios, por guiarme en este camino y en cada momento de mi vida, dándome la oportunidad de avanzar en mi formación profesional y alcanzar cada vez más logros y metas.

Agradecimientos

A mi director Raúl Antonio Díaz Pacheco por su valiosa orientación y tiempo dedicado para realizar satisfactoriamente este proyecto. Y a todas aquellas personas que directa o indirectamente me aportaron consejos y motivaciones para realizar esta investigación: mis profesores de maestría MECENA, mis compañeros, mis estudiantes rafaelianos y los estudiantes de diseño industrial que me colaboraron para realizarla.

Resumen y Abstract IX

Resumen Este trabajo es resultado de la presentación y desarrollo de una propuesta pedagógica que tiene como propósito facilitar y mejorar significativamente el aprendizaje del álgebra en grado 8º en la institución Educativa Rafael Navia Varón de la ciudad de Cali, a partir de la observación y el análisis de los procesos cognitivos implicados cuando los estudiantes la aprenden; estudiando principalmente la construcción del lenguaje algebraico con su riqueza de significados, sus ideas fundamentales (resolución de ecuaciones y problemas algebraicos) y analizando el tratamiento conceptual necesario en la fase de transición entre el pensamiento aritmético y el pensamiento algebraico, reconociendo además, las dificultades y obstáculos que surgen en el aprendizaje de este conocimiento, elaborando e implementando para ello objetos físicos como alternativa didáctica para potenciar las prácticas pedagógicas que se llevan a cabo en el aula, apoyadas en el uso de las nuevas tecnologías, la lúdica y el juego, y de esta forma favorecer tanto la enseñanza y comprensión de los procesos algebraicos que realizan los educandos como el desarrollo de sus competencias matemáticas.

Palabras clave: Procesos cognitivos, álgebra, didáctica, objetos físicos, lenguaje algebraico.

Abstract This essay is the result of the presentation and the development`s pedagogic proposal which intends to facility and improve significantly the earning`s in Algebra in 8th grade at the Rafael Navia Varon Educational Institution in Cali city, starting from the observation and the analysis of cognitive processes implied when the students learn it, studying mainly the construction of the algebraic language with its rich meanings, yours fundamentals ideas (resolution of equations and algebraic problems) and analyzing the necessary conceptual processing in the transition phase between the arithmetic thought and the algebraic thought; also recognizing the difficulties and the obstacles that come up

in the learning of this knowledge, elaborating and implementing for it physical objects as didactic alternative to develop the pedagogic practices which carries out in the classroom basing on the use of the new technologies, the ludic and the game and this way to contribute the teaching and the comprehension of the algebraic processes that the students realize as much as the development of the mathematical competence.

Keywords: Cognitive processes, Algebra, didactic, physical objects, algebraic

language.

Contenido XI

CONTENIDO

Pág. Resumen ........................................................................................................................... IX Lista de figuras ................................................................................................................ XII Lista de tablas ................................................................................................................. XV INTRODUCCIÓN ................................................................................................................ 1 1. FORMULACIÓN DEL PROBLEMA ............................................................................ 5 2. OBJETIVOS .............................................................................................................. 14

2.1 General ................................................................................................... …….14 2.2 Especifícos ...................................................................................................... 14

3. CONSIDERACIONES TEÓRICAS ............................................................................ 15 3.1 Desarrollo Histórico del Álgebra ......................................................... ……… .15 3.2 El Lenguaje y el Álgebra .................................................................... ……… .26 3.3 Teorías del Aprendizaje en la Enseñanza de las Matemáticas ......... ……… .34 3.4 Implementación de Objetos Físicos como Estrategia Didáctica para el Trabajo en el Aula ....................................................................................................... ……… .36

4. DESARROLLO METODOLÓGICO ........................................................................... 39 4.1 PRIMERA ETAPA: Diseño y Elaboración de los Objetos Físicos de Aprendizaje OFA y de las Secuencias Didácticas de Apoyo (AAA) .............. ……… .39

4.1.1 Objetos de Aprendizaje ........................................................................ 40 4.1.2 Diseño de las Secuencias Didácticas .................................................. 61

4.2 SEGUNDA ETAPA: Puesta a Prueba de los OFA y de la Secuencias Didácticas Usando Protocolos de Validación ................................................ ……… .74

4.2.1 Uso en el Aula de los OFA con Respectivas Secuencias Didácticas . 75 4.2.2 Recolección de Información Mediante el Uso de protocolos de Comprobación al Utilizar los OFA en el Aula ...................................................... 78

5. RESULTADOS Y ANÁLISIS ..................................................................................... 89 5.1 Resultados Obtenidos al Implementar en el Aula OFA Colorgebra .. ………...90 5.2 Resultados Obtenidos al Implementar en el Aula OFA Gebratorre . ………...95 5.3 Resultados Obtenidos al Implementar en el Aula OFA Pascalgebra .... ….....98 5.4 Situación Actual del Proceso de Enseñanza Debido a la Implementación en el Aula de los OFA .………………………………………………………………… .….....102

6. CONCLUSIONES .................................................................................................... 109 REFERENTES BIBLIOGRÁFICOS ................................................................................ 113 ANEXOS ......................................................................................................................... 115

Contenido XII

LISTA DE FIGURAS

Pág.

Figura 1. Planilla de registro de valoraciones periódicas de Estudiantes de grado octavo 7

Figura 2. Porcentajes de distribución de los estudiantes de grado 3ro I.E. Navia Varon según rangos de puntajes y niveles de Desempeño en matemáticas año 2012 11

Figura 3. Porcentajes de distribución de los estudiantes de grado 5to I.E. Navia Varon según rangos de puntajes y niveles de Desempeño en matemáticas años 2009 y 2012 12

Figura 4. Porcentajes de distribución de los estudiantes de grado 9o

I.E. Navia Varon según rangos de puntajes y niveles de Desempeño en matemáticas años 2009 y 2012 12

Figura 5. Evidencias de dificultades de los estudiantes de grado 8º al hacer Operaciones básicas algebraicas 42

Figura 6. Evidencias de dificultades de los estudiantes de grado 8º al utilizar

Lenguaje algebraico 43

Figura 7. Evidencias: estrategia didáctica utilizada en años lectivos anteriores Antes de implementar OF para la enseñanza de productos notables 45

Figura 8. Ilustraciones de fuentes de Inspiración para el diseño de los Objetos Físicos de Aprendizaje 53

Figura 9. Objeto Físico de Aprendizaje COLORGEBRA 55 Figura 10. Imágenes de la evolución del diseño del OFA Colorgebra 55 Figura 11. Objeto Físico de Aprendizaje GEBRATORRE 57 Figura 12. Imágenes de la evolución del diseño del OFA Gebratorre 57 Figura 13. Objeto Físico de Aprendizaje PASCALGEBRA 58 Figura 14. Imágenes de la evolución del diseño del OFA Pascalgebra 59

Contenido XIII

Figura 15. Componentes de Diseño de los Objetos Físicos de Aprendizaje 60 Figura 16. Hoja de predicciones individual AAA No.1 62 Figura 17. Hoja de predicciones individual AAA No. 2 64 Figura 18. Hoja de predicciones individual AAA No. 3 66 Figura 19. Hoja de predicciones individual AAA No. 4 67 Figura 20. Evidencias gráficas del uso e implementación del

OFA Colorgebra en el Aula 76 Figura 21. Evidencias gráficas del uso e implementación de los

OFA Gebratorre y Pascalgebra en el Aula 77 Figura 22. Condiciones espaciales para la prueba de validación No.1 81 Figura 23. Evidencias otras fuentes de recolección de información 87 Figura 24. Porcentaje de estudiantes que emplean 4 horas clase para AAA #1 90 Figura 25. Porcentaje de estudiantes que tardan en reconocer la noción de

Variables sobre el objeto 91 Figura 26. Porcentaje de Estudiantes que Logran Derivar de los

Elementos del OF el Concepto de Variable 92

Figura 27. Porcentaje de estudiantes que desarrollaron completamente AAA#1 93 Figura 28. Cantidad de estudiantes que reconocen la

Función de las partes del OFA 94

Figura 29. Porcentaje de estudiantes que logran relacionar forma de las Fichas del objeto con el uso de 2 variables, combinaciones ( + )2 96

Figura 30. Porcentaje de estudiantes que logran formar la combinación ( + )2 96

Figura 31. Porcentaje de estudiantes que escriben la combinación ( + )2 Con elementos y símbolos propios del álgebra 97

Figura 32. Porcentaje de estudiantes que logran configurar el Triángulo de Pascal usando el OFA Pascalgebra 98

XIV Elaboración de objetos físicos como alternativa didáctica para la enseñanza del álgebra en grado 8º

Figura 33. Porcentaje de estudiantes que maneja correctamente las Fichas del OFA Pascalgebra 99

Figura 34. Porcentaje de estudiantes que logran configurar el Triángulo de Pascal para combinaciones (x + y)n, con potencias altas (n≥ 5) 99

Figura 35. Evidencias de modificaciones hechas a formatos de registro y de Control de actividades, usados en las pruebas de validaciones 100

Figura 36. Evidencias de Uso de los OFA Dentro del espacio Escolar 101 Figura 37. Porcentaje de estudiantes que mejoran significativamente la

Aprehensión de los conceptos del álgebra con la implementación De los OFA 102

Figura 38. Evidencias por medio de evaluaciones escritas del Rendimiento

Académico de los estudiantes de grado 8º, antes de Implementar la propuesta 105

Figura 39. Evidencias por medio de evaluaciones escritas del Rendimiento Académico de los estudiantes de grado 8º, después de Implementar la propuesta 106

Figura 40. Evidencias de respuestas dadas por estudiantes participantes en el Proyecto a encuesta realizada para conocer su opinión acerca de la Implementación de OFA como estrategia didáctica en el aula 107

Contenido XV

LISTA DE TABLAS

Pág.

Tabla 1. Rendimiento académico de estudiantes de octavo Temática del álgebra 8

Tabla 2. Competencias y componentes evaluados en las Pruebas

Saber aplicadas en octubre del 2012 9 Tabla 3. Descripción genérica de los niveles de desempeño en las

Pruebas Saber aplicadas en octubre del 2012 10 Tabla 4. Distribución de los estudiantes de la I.E. Navia Varon

Evaluados en el año 2012 con Pruebas Saber 10 Tabla 5. Evolución histórica del lenguaje algebraico 29 Tabla 6. Fases de la evolución del lenguaje algebraico 31 Tabla 7. Trabajos de investigación ya desarrollados que contribuyen

Para la sustentación teórica de esta propuesta 32

Tabla 8. Criterios más relevantes tenidos en cuenta para el Diseño de los OFA 48

Tabla 9. Resumen de trabajos teóricos relacionados con la Problemática del Álgebra 51

Tabla 10. Estado del Arte 52 Tabla 11. Protocolo de Validación No. 1 79 Tabla 12. Conclusiones inmediatas a la aplicación de la

Prueba No. 1 81 Tabla 13. Protocolo de Validación No.2 82 Tabla 14. Conclusiones inmediatas a la aplicación de la

Prueba No. 2. 83 Tabla 15. Protocolo de Validación No. 3 84 Tabla 16. Conclusiones inmediatas a la aplicación Prueba No.3 86

XVI Elaboración de objetos físicos como alternativa didáctica para la enseñanza del álgebra en grado 8º

ANEXOS

Pág.

Anexo A: Desempeño de los estudiantes en el área de Matemáticas De la temática Factorización evidenciado en evaluaciones Escritas antes y después de implementar la propuesta. 115

Anexo B: Respuestas a Encuestas hechas a los estudiantes durante

El proceso de Socialización. 117

Anexo C: Formato de registro de observaciones y resultados De pruebas de validación. 118

Anexo D: Registro escrito que evidencia el desarrollo de las Actividades propuestas en las secuencias didácticas Respuestas a predicciones. 119

Contenido XVII

GLOSARIO

ACTIVIDADES DE APRENDIZAJE ACTIVO (AAA): Son el conjunto de guías de actividades o tareas que deben ser desarrolladas por los estudiantes para construir los conocimientos matemáticos, basándose en la observación directa de situaciones que se les presenta para posteriormente hacer predicciones, discutir y sacar conclusiones sobre los hechos observados. Estas guías están estructuradas y organizadas con la Metodología del Aprendizaje Activo y permiten al educando trabajar en forma individual o grupal y al docente la orientación permanente durante su ejecución. Su objetivo es apoyar el uso de los objetos de aprendizaje. ÁLGEBRA: Es una rama de las matemáticas que se ocupa de estudiar las propiedades generales de las operaciones aritméticas y los números para generar procedimientos que puedan globalizarse para todos los casos análogos. Caracterizada por hacer implícitas las incógnitas dentro de la misma operación; ecuación algebraica. Etimológicamente, proviene del árabe ( al-dejaber ), con el significado de reducción. APREHENSIÓN: Ésta palabra corresponde a la asimilación o comprensión inmediata que tiene un sujeto de una idea o de un conocimiento por completo. APRENDIZAJE SIGNIFICATIVO: Éste según AUSBEL (1968, 1978,1986, 2000), es aquél en que, el significado del nuevo conocimiento, viene de la interacción con algún conocimiento específicamente relevante ya existente en la estructura cognitiva del aprendiz con un cierto grado de estabilidad y diferenciación. En esta interacción, no sólo el nuevo conocimiento adquiere sentido sino también el conocimiento anterior queda más rico, más elaborado, adquiere nuevos significados. Interacción (entre conocimientos nuevos y previos) es la característica clave del aprendizaje significativo. COMPETENCIA MATEMÁTICA: Es aquella que permite a los educandos utilizar sus habilidades cognitivas, su capacidad de razonamiento lógico (cálculos matemáticos, pensamiento numérico, problemas de lógica, solución de problemas, comprender conceptos abstractos, razonamiento y de relaciones) todo en conjunto que les favorezca el resolver un problema en contexto. Formulación tomada de los Lineamientos Curriculares de Matemáticas dados por el Ministerio de Educación Nacional para orientar los procesos curriculares y que aparece en el documento Estándares Básicos de Competencias en Matemáticas, potenciar el pensamiento matemático: ¡un reto escolar! 2006 pág. 49. DIDÁCTICA: Disciplina práctica, presentada como la necesidad de un saber teórico sobre la enseñanza, a partir de cómo se desarrolla el currículo en el contexto del aula, y que genera normas de acción. Por su carácter investigativo de los procesos de enseñanza y aprendizaje que se llevan a cabo en el aula, posibilita un saber sobre las

XVIII Elaboración de objetos físicos como alternativa didáctica para la enseñanza del álgebra en grado 8º

estrategias de enseñanza más efectivas para promover el aprendizaje de los estudiantes; atravesando con una doble dimensión (descriptiva y normativa), desde sus orígenes, el conocimiento didáctico. DISEÑO INDUSTRIAL: es una actividad intelectual, creativa y proyectual que establece, siempre con anterioridad y mediante una metodología que permite soluciones objetivas, todas las propiedades necesarias para la más adecuada fabricación seriada de cualquier tipo de objeto. Éste, no solo se encarga de los aspectos técnicos-tecnológicos que han de permitir siempre la más optimizada fabricación de los objetos sino que incorpora todas las propiedades necesarias para que estos puedan resultar Productos. Es decir, se ocupa también de las necesidades del mercado y de todos los condicionantes y aspectos

funcionales y comunicativos-culturales de los objetos. (Pensamiento tomado de grandes teóricos del diseño como por ejemplo, Tomás Maldonado y expuesto en una ponencia del 1er Congreso de Diseño Industrial, Málaga-España “Esto es Diseño Industrial” enero de 2012). En el campo educativo, sus aportes e importancia en la enseñanza radica en que presenta soluciones que llaman la atención de los estudiantes al diseñar y elaborar equipos y materiales didácticos que optimizan el aprendizaje cumpliendo tanto con requerimientos dados desde los conceptos de uso, función y de diseño como con propósitos curriculares. ESTÁNDARES PARA LA ENSEÑANZA DE LAS MATEMÁTICAS: Los estándares Básicos de Competencias en Matemáticas son la selección de algunos de los niveles de avance en el desarrollo de las competencias asociadas con los cinco tipos de pensamiento matemático: numérico, espacial, métrico, aleatorio y variacional, y ponen el énfasis en uno o dos de los cinco procesos generales de la actividad matemática que cruzan dichos tipos de pensamiento (formular y resolver problemas; modelar procesos y fenómenos de la realidad; comunicar; razonar, y formular, comparar y ejercitar procedimientos y algoritmos). FACTORIZACIÓN: es un proceso en el que dado un polinomio, éste puede ser expresado como el producto de dos o más factores, que al ser multiplicados dan nuevamente el polinomio original (antes de factorizarla), inverso a la multiplicación de polinomios y llevado a cabo mediante procedimientos definidos y denominados casos de factorización. LINEAMIENTOS CURRICULARES: Según el Ministerio de Educación Nacional son orientaciones para que las instituciones, desde sus PEI (Proyecto Educativo Institucional), asuman la elaboración de sus propios currículos. Se estructuran por ejes problémicos y a través de competencias, de manera que permitan un aprendizaje significativo, vinculando lo aprendido con el medio circundante (2002). LÚDICA: Es una dimensión en el desarrollo de un individuo y es entendida como una acción que produce diversión, placer y alegría; que se identifica con la recreación y con

Contenido XIX

una serie de expresiones culturales (como el teatro, la danza, la música, las competencias deportivas, los juegos infantiles, los juegos de azar, actividades de recreación, entre otros). La lúdica en el aprendizaje es considerada como una tendencia que utiliza el método experiencial, por medio de la cual basándose en el juego se diseñan un conjunto de estrategias para crearles un ambiente de armonía a los estudiantes que están inmersos en este proceso. MINISTERIO DE EDUCACIÓN NACIONAL (MEN): Ministerio que formula las políticas nacionales de educación, y que establece los criterios y parámetros técnicos cualitativos que contribuyen al mejoramiento de la calidad educativa y a la formación de mejores ciudadanos. METODOLOGÍA DE APRENDIZAJE ACTIVO: Es una estrategia didáctica para el aprendizaje que facilita la construcción del conocimiento a través de la observación directa del mundo real, que le otorga un papel muy relevante al estudiante al permitirle hacer predicciones, discutir y sacar conclusiones de los hechos observados. OBJETOS FÍSICOS DE APRENDIZAJE (OFA): material físico o instrumentos con características, requerimientos y determinantes adecuados para su configuración desde la perspectiva de los conceptos de uso y de diseño que propone el diseño industrial para la elaboración de material educativo, con el objetivo de ser implementados durante la actividad escolar, facilitando el aprendizaje, generando conocimiento y desarrollando en los estudiantes habilidades, actitudes y competencias en función de sus necesidades. PENSAMIENTO ALGEBRAICO llamado también Pensamiento Variacional, como su nombre lo indica, este tipo de pensamiento tiene que ver con el reconocimiento, la percepción, la identificación y la caracterización de la variación y el cambio en diferentes contextos, así como con su descripción, modelación y representación en distintos sistemas o registros simbólicos, ya sean verbales, icónicos, gráficos o algebraicos (formulas y ecuaciones matemáticas). Referido al conjunto de operaciones lógico matemáticas que explican las formas de razonar los estudiantes para comprender el sentido y el significado de la variabilidad (mediante el desarrollo de diferentes técnicas de cálculo numérico y algebraico). Planteamiento tomado desde los Lineamientos Curriculares de Matemáticas dados por el Ministerio de Educación Nacional MEN para orientar los procesos curriculares y la organización de actividades centradas en la comprensión del uso y significado de la noción de variable que aparece en el documento Estándares Básicos de Competencias en Matemáticas, potenciar el pensamiento matemático: ¡un reto escolar! 2006 pág. 66. PENSAMIENTO ARITMÉTICO referido al conjunto de operaciones lógico matemáticas que explican las formas de razonar los estudiantes para comprender el sentido y el significado de las operaciones y de las relaciones entre números (mediante el desarrollo de diferentes técnicas de cálculo y estimación). Planteamiento tomado desde los Lineamientos Curriculares de Matemáticas dados por el Ministerio de Educación Nacional

XX Elaboración de objetos físicos como alternativa didáctica para la enseñanza del álgebra en grado 8º

MEN para orientar los procesos curriculares y la organización de actividades centradas en la comprensión del uso y de los significados de los números y de la numeración que aparece en el documento Estándares Básicos de Competencias en Matemáticas, potenciar el pensamiento matemático: ¡un reto escolar! 2006 pág. 59. PENSAMIENTO DE ORDEN SUPERIOR: Conjunto de actividades mentales o habilidades cognitivas de pensamiento requeridas para el análisis de situaciones complejas o problemas que van más allá de su comprensión o de su aplicación. Se caracterizan por una disposición del pensamiento para analizar, sintetizar y evaluar; acciones clasificadas como de orden superior. Otros ejemplos de actividades cognitivas que se clasifican en este grupo son: argumentar, hacer comparaciones, resolver problemas no algorítmicos complejos, trabajar con controversias e identificar suposiciones subyacentes, formular preguntas de investigación, proponer hipótesis, planear experimentos o sacar conclusiones. PROCESO ENSEÑANZA – APRENDIZAJE: la enseñanza y el aprendizaje forman parte de un único proceso que tiene como fin la formación del estudiante. Donde el proceso de enseñar es el acto mediante el cual el profesor muestra o suscita contenidos educativos (conocimientos, hábitos, habilidades) al estudiante, a través de unos medios, en función de unos objetivos y dentro de un contexto; y el proceso de aprender es el proceso complementario al de enseñar. Aprender es el acto por el cual un educando intenta captar y elaborar los contenidos expuestos por el profesor, o por cualquier otra fuente de información. Él lo alcanza a través de unos medios (técnicas de estudio o de trabajo intelectual). Este proceso de aprendizaje es realizado en función de unos objetivos, que pueden o no identificarse con los del profesor y se lleva a cabo dentro de un determinado contexto. PRODUCTO NOTABLE: Según Baldor (2002) se llaman productos notables a ciertos productos que cumplen reglas fijas y cuyo resultado puede ser escrito por simple inspección, es decir, sin verificar la multiplicación. SECUENCIA DIDÁCTICA: entendida como una serie ordenada de actividades o tareas relacionadas entre sí, que pretenden enseñar ciertos contenidos. Rutas de acciones diseñadas para alcanzar los propósitos de enseñanza. Según las características de las actividades y la función que desempeñen, se pueden identificar diversas fases en ella: presentación o iniciación (motivación), comprensión de la información, práctica o ejercitación y transferencia o aplicación de lo aprendido.

Introducción

Tradicionalmente, las formas de enseñanza de las matemáticas y en especial del álgebra en las instituciones educativas de nuestro país han mostrado grandes deficiencias en cuanto a su aprendizaje y comprensión. Cuando se trabaja las matemáticas en el aula se evidencia en los estudiantes que la aprenden más de manera mecánica, es decir, desde su operatividad o de su simple interpretación simbólica, que se valora poco la importancia de su significación y aplicación en contextos reales. Concretamente, observando y analizando los procesos cognitivos implicados cuando aprenden el álgebra los estudiantes de grado 8º de la institución educativa Rafael Navia Varón, se ha encontrado que presentan dificultades en cuanto a que no reconocen el significado y la utilización de una variable para representar o modelar diferentes situaciones, o que confunden las expresiones algebraicas cuando realizan operaciones con los elementos del álgebra, esto se debe a que no diferencian el significado matemático de algunas de ellas, por ejemplo, confunden 2x con x2, e igualmente, desconocen la aplicación de reglas necesarias para hacer operaciones algebraicas básicas, como identificar términos semejantes, entre otras dificultades más. Detectar e identificar dichos obstáculos conceptuales al trabajar cursos de álgebra en secundaria en años lectivos anteriores permitió elaborar y proponer este trabajo para realizarlo con estudiantes de grado octavo jornada de la mañana de la institución ya mencionada, así como también superar la inquietud por mejorar las prácticas llevadas a cabo en el aula e igualmente, suplir las expectativas ofrecidas en el programa de maestría de aspirar a formar docentes que sean capaces de crear y evaluar sus propias estrategias de enseñanza, de actualizarse por sí mismos y de establecer redes académicas que soporten su trabajo1.

1 Tomado de la página web de descripción de la Maestría Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales MECENA, www.ciencias.unal.edu.co/mecena Consultada en agosto de 2011.

2 Introducción

A partir de la problemática, se plantea la necesidad de que los estudiantes comprendan y se apropien acertadamente de las nociones algebraicas. El campo de acción de este concepto se fundamenta a partir de la asimilación de los procesos matemáticos previos, y de la naturaleza de los elementos propios de la actividad algebraica (como son: signos, variables, igualdades y ecuaciones que se usan para representar las relaciones aritméticas) y en favorecer el desarrollo de su pensamiento de orden superior. Por esta razón, es pertinente incorporar y diseñar para la intervención o mediación dentro del aula, estrategias metodológicas que le permitan a los estudiantes el modo más adecuado para desarrollar su pensamiento matemático y para lograrlo, cualquier material bien estructurado es válido como medio didáctico a la hora de aprender conceptos matemáticos. Dentro de estos, la elaboración y uso de objetos físicos didácticos para mejorar el aprendizaje aparece como herramienta didáctica poderosa para potenciarlo, por el enorme atractivo que generan (apoyados en el juego, la lúdica y las nuevas tecnologías2), de esta forma y bajo los presupuestos teóricos de la pedagogía, la didáctica y el diseño, elaborar y presentar dicho material bien estructurado con diversas estrategias metodológicas sirve como alternativa didáctica para que los educandos aprendan mejor y aclaren las nociones propias del álgebra sin que les resulte algo aburrido y repetitivo sino por el contrario, participen con agrado en su proceso de aprendizaje y de este modo se logra trascender a las formas tradicionales de enseñanza de esta disciplina en la construcción de aprendizajes. En este proyecto, con la metodología utilizada se encuentra una gran variedad de retos, ésta es desarrollada en dos fases básicamente, por una parte, diseñar los objetos didácticos con los que se pretende facilitar y mejorar la comprensión de los conceptos del álgebra en los estudiantes de grado octavo, valorando aquí la importancia del diseño industrial en la construcción de objetos de aprendizaje desde sus perspectivas y consideraciones, ya que éste al fomentar estrategias de diseño y de desarrollo, aporta soluciones que atraen más la atención de los estudiantes y optimizan y favorecen la enseñanza de las matemáticas, y por otra simultáneamente, se hace la elaboración de las guías de trabajo o secuencias didácticas fundamentadas en el Aprendizaje Activo que llevan a la manipulación del objeto y su puesta a prueba bajo investigación exploratoria, a través de la ejecución de actividades denominadas AAA (Actividades de Aprendizaje Activo) que apoyan su uso, evidenciando con lo anterior el desarrollo conceptual, pedagógico y didáctico de este trabajo concretizando así de esta manera el propósito

2 Centradas en los desarrollos tecnológicos con sus procesos y aplicaciones y no como informática.

Introducción 3

fundamental de cursar el programa de Maestría en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales3 con énfasis en profundización. La consideración tanto de los pocos resultados favorables obtenidos al trabajar la temática del álgebra con estudiantes de grado octavo en años lectivos anteriores (un 90% de los estudiantes manifestaban dificultades para aprenderla) como del rendimiento académico de ellos en matemáticas en esos periodos (un 12% de reprobaba el curso), evidencian su bajo nivel en esta área, es por esta razón que desarrollar este proyecto cobra sentido y demuestra la pertinencia de aplicar nuevas estrategias didácticas y pedagógicas para incentivar en ellos el estudio de esta ciencia. Es de resaltar que la situación anterior no es ajena a nivel universitario y diferentes trabajos ya realizados lo comprueban, un ejemplo es el desarrollado por Robledo (2003) quien con su investigación expone que los estudiantes llegan a la universidad con falencias que traen desde cuando cursan en secundaria estos temas. Robledo citado por García E., Jaime en su tesis para optar al título de maestría4, basó su estudio en resultados académicos obtenidos entre los años 2001 al 2004 del primer parcial de Cálculo I de los estudiantes de las carreras de Ingeniería de la Universidad del Valle o de la Nacional de Colombia sede Palmira, llegando a la conclusión de que “La formación matemática de los estudiantes de primer semestre de ingeniería de la Universidad del Valle (…y de la mayoría de las universidades de Colombia…) es desigual: hay estudiantes con una buena formación matemática, al lado de estudiantes que debido a su deficiente formación matemática se constituyen en una población en riesgo de desertar de la universidad o de permanecer en la misma durante períodos de tiempo socialmente inaceptables”5.

3 El programa de Maestría en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales tiene como objetivo ofrecer al docente de educación media y básica una formación que integre tanto el conocimiento disciplinar sólido de los contenidos científicos en las ciencias exactas y naturales (Matemáticas, Estadística, Física, Química, Biología, Geociencias, Astronomía) como las estrategias didácticas que le permitan enseñar estos contenidos con los medios a su disposición y adecuado a las características de su entorno.

4 García, Jaime en su tesis denominada Incidencia de las tecnologías de la información y la comunicación como estrategia de aprendizaje del álgebra en estudiantes de primer semestre de la Universidad Nacional de Colombia sede Palmira, presenta una forma alternativa para mejorar la comprensión de los estudiantes diseñándoles ambientes tecnológicos para el aprendizaje de esta temática utilizando el software de GeoGebra.

5 Texto tomado completamente como aparece del documento de García, J. en la página 12.

4 Introducción

Todo lo antes mencionado, el poder aprovechar las condiciones y los recursos de tipo tecnológico, pedagógico y didáctico con los que se cuentan en la I.E. y la necesidad de mejorar las prácticas que se llevan a cabo al interior de la escuela particularmente, para abordar con estrategias adecuadas el tratamiento de los problemas que tienen la enseñanza aprendizaje del álgebra en octavo, representan el objetivo general que motivó a desarrollar este proyecto.

FORMULACIÓN DEL PROBLEMA

La enseñanza del álgebra para un número considerable de estudiantes de educación media conlleva a problemas de aprendizaje que tienen que ver con la interpretación y el manejo de diferentes representaciones del concepto (debido a que normalmente se aborda el concepto a nivel formal, es decir, éste se da a conocer en forma acabada, quedando ocultos, para los estudiantes, los procesos de construcción) desarrollar este trabajo es importante para mejorar significativamente en la institución escolar los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, principalmente del álgebra. En consecuencia, la propuesta se plantea como problema a abordar, la siguiente pregunta: ¿Cómo mejorar la enseñanza y la comprensión de los procesos algebraicos (especialmente la factorización) en los estudiantes de grado 8º elaborando objetos físicos como alternativa didáctica? Por esta razón, el objeto de estudio en esta propuesta se centra entonces en las ideas fundamentales del álgebra como son la resolución de ecuaciones y sus problemas algebraicos relacionados, y el tratamiento conceptual necesario en la fase de transición entre el pensamiento aritmético y el pensamiento algebraico. De este modo, la problemática se plantea a partir de la necesidad de que los estudiantes entiendan, comprendan y se apropien acertadamente de estas nociones. El campo de acción de este concepto se fundamenta a partir de la asimilación de los procesos matemáticos previos, y de la naturaleza de los elementos propios de la actividad algebraica (como son: signos, variables, igualdades y ecuaciones que se usan para representar las relaciones aritméticas). Sumado a lo anterior, hay que tener en cuenta que un número de estudiantes manifiestan de forma verbal que como no aprenden fácilmente el álgebra, les resulta difícil ésta disciplina. Lo que genera en ellos sentimientos contrarios o de rechazo hacia las matemáticas, otra más de las ocupaciones del profesor, intentar cambiar estas actitudes y hacerlas positivas.

6 Elaboración de objetos físicos como alternativa didáctica para la enseñanza del

álgebra en grado 8º

Con los resultados obtenidos tanto en pruebas de desempeños que miden el trabajo realizado por los estudiantes de grado octavo de la institución Rafael Navia, como los del reporte del bajo rendimiento académico en el área de matemáticas cuando cursan este nivel de escolaridad y que se derivan de sus informes de valoración periódicos (un 30% aproximadamente de los educandos reprueban, lo que significa que en promedio 12 de ellos por cada grupo de 45, se encuentran en esta condición, al igual que con los de las mediciones hechas a través de pruebas externas como las Pruebas Saber Icfes (ver tablas 1 a 3), se tienen indicadores para evidenciar las dificultades y la problemática que se genera en los educandos al aprender los conocimientos matemáticos, en particular para el aprendizaje del álgebra.

Capítulo 1 7

Figura 1 Planilla de registro de valoraciones periódicas: desempeños de los estudiantes de grado 8º, cuando se trabaja la temática del álgebra

Fuente: Formato de registro de valoraciones de los estudiantes, manejado por los docentes.

En este caso, se toman de muestra los datos obtenidos durante el segundo periodo académico del año lectivo 2011, a un grupo de 34 estudiantes de uno de los tres cursos de matriculados para ese nivel escolar durante ese tiempo lectivo, periodo en el cual se trabaja la temática propia del álgebra referida a los contenidos para su iniciación y tratamiento conceptual hasta llegar al proceso de factorización y que corresponden a la



evaluación de las dimensiones Cognitiva (Conocer); Procedimental (Hacer) y Actitudinal (Ser y Convivir) que se les hace a ellos. Dichas valoraciones se expresan con una nota numérica entre 1,0 y 5,0 asignándole el mismo nivel de ponderación a cada dimensión que para este caso corresponde al 32%. El 4% faltante lo constituye la valoración dada por los estudiantes de sí mismos atendiendo al proceso de autoevaluación (ver figura 1). La observación y análisis de los datos registrados en dicho informe, sobre el rendimiento académico de los educandos en el área de matemáticas de este grado de escolaridad, permite concluir los siguientes resultados (véase tabla 1): Tabla 1 Rendimiento Académico temática del Álgebra

Nivel de Desempeño (Rango de Valoración)

Dominio Conceptual

Cantidad de Estudiantes

Bajo (1,0 – 2,9)

Tienen conocimiento inferior al mínimo o escaso referido a la temática del álgebra.

11

Básico (3,0 – 3,9)

Tienen conocimiento básico y simple de las nociones algebraicas.

18

Alto

(4,0 – 4,5) Aplican su conocimiento y comprensión en situaciones algebraicas complejas.

3

Superior (4,6 – 5,0)

Organizan su conocimiento algebraico, hacen argumentaciones, generalizaciones y resuelven problemas complejos.

2

Fuente: Elaboración propia.

Los resultados por niveles de desempeño sobre el rendimiento académico en el área de matemáticas en grado octavo con relación al dominio conceptual del álgebra indican que el 33% de los estudiantes se encuentran en el nivel bajo, un 52% en el básico, el 9% alcanza el nivel alto y sólo el 6% está en el nivel superior. Estas cifras son preocupantes puesto que más de las tres cuartas partes de los estudiantes presentan dificultades en el manejo de los conocimientos básicos del álgebra y no saben aplicar apropiadamente sus conocimientos matemáticos para resolver problemas. Igualmente, tomando como referencia los logros alcanzados en las pruebas externas, los resultados son similares, se observa claramente identificada dicha problemática.

Capítulo 1 9

Los reportes propios de este establecimiento muestran bajos resultados obtenidos, esto aparece bien detallado en el informe presentado por el Instituto Colombiano para la Evaluación de la Educación (ICFES) de la aplicación de las Pruebas Saber6 3ro, 5to y 9o en el año 2012 donde además, se tiene un comparativo entre las mediciones obtenidas en dicho año con las del 2009, esas medidas reflejan las carencias y debilidades de los estudiantes en el área de matemáticas en estos cursos, especialmente en lo relacionado con las competencias que deben poseer y los componentes que tienen que manejar y que son evaluados mediante estas pruebas para esta disciplina por constituir la base para el trabajo escolar. (Véase la tabla 2). Tabla 2 Competencias y componentes evaluados en las Pruebas Saber aplicadas en octubre del 2012

Fuente: ICFES. Pruebas Saber 3˚, 5˚ y 9˚. Aplicación realizada en octubre de 2012. Guía para la lectura e interpretación de los reportes de resultados institucionales. Segunda entrega. Publicada en www.icfes.gov.co y consultada en marzo de 2013.

La interpretación de los resultados de estas pruebas requiere tener en cuenta que ellos se expresan con puntajes dados en porcentajes y en rangos de puntajes de 0 a 500, de acuerdo con niveles de desempeño que indican el saber hacer en contexto de los educandos y que son ponderados como Insuficiente, Mínimo, Satisfactorio y Avanzado, véase tabla 3.

6 Estas pruebas miden el rendimiento académico de los estudiantes colombianos en las áreas de Lenguaje, Matemáticas y Ciencias Naturales con el objetivo de determinar qué tanto los estudiantes de educación básica se acercan al logro de los resultados esperados, según los estándares básicos de competencias definidos por el Ministerio de Educación Nacional para estas áreas; con el propósito de que esta evaluación permita a las instituciones educativas, las secretarías de educación y al MEN construir planes de mejoramiento en sus respectivos ámbitos de actuación valorando los avances en el tiempo.



Tabla 3 Descripción genérica de los niveles de desempeño en las Pruebas Saber aplicadas en octubre del 2012

Fuente: ICFES. Pruebas Saber 3˚, 5˚ y 9˚. Aplicación realizada en octubre de 2012. Guía para la lectura e interpretación de los reportes de resultados institucionales. Segunda entrega. Publicada en www.icfes.gov.co y consultada en marzo de 2013.

Los estudiantes que se tomaron como muestra para este informe y que en total fueron 503, corresponden a los matriculados en el año lectivo 2012 en la entidad escolar Navia Varon, están distribuidos tal como se observa en la tabla 4. Tabla 4 Distribución de los estudiantes de la I.E. Rafael Navia Varon evaluados en el año 2012 con Pruebas Saber

NIVEL DE

ESCOLARIDAD

SEDE

JORNADA

CANTIDAD DE ESTUDIANTES

TOTALES

3ro.

Francisco Montes

Panamericana

Mañana y tarde

Mañana

95

48

143

5to.

Francisco Montes

Panamericana

Mañana y tarde

Mañana

91

42

133

9o

Navia Varon

Navia Varon

Mañana

Tarde

136

91

227

TOTAL 503 503 Fuente: Elaboración propia, datos tomados del registro de matrícula Zimat de la institución en el año 2012.

Capítulo 1 11

En las siguientes gráficas se muestra la distribución de los estudiantes según su rango de puntaje y niveles de desempeño en matemáticas de la institución tanto del año 2009 como del 2012 (Véase figuras 2, 3 y 4) información reportada por el Icfes y publicada en su página web, resultados Pruebas Saber para el establecimiento educativo: 35-01 Rafael Navia Varon. Código DANE: 176001020359. Fecha de actualización de datos, viernes 22 de marzo 2013. Figura 2 Porcentajes de distribución de los estudiantes de grado 3ro de la I.E. Navia Varon según rangos de puntajes y niveles de desempeño en matemáticas año 2012

Fuente: Datos tomados de la página web del Icfes, consultados en marzo de 2013.



Figura 3 Porcentajes de distribución de los estudiantes de grado 5to de la I.E. Navia Varon según rangos de puntajes y niveles de desempeño en matemáticas años 2009 y 2012


Figura 4 Porcentajes de distribución de los estudiantes de grado 9o de la I.E. Navia Varon según rangos de puntajes y niveles de desempeño en matemáticas años 2009 y 2012


Capítulo 1 13

La distribución porcentual de los estudiantes según los desempeños alcanzados en matemáticas de la entidad educativa Navia Varon indican que la mayoría de los estudiantes de grado tercero, el 78%, se encuentran en el nivel Avanzado cifra favorable que demuestra que más de las tres cuartas partes de los educandos de este nivel tienen un buen manejo de los conocimientos matemáticos debido a que el trabajo escolar que se realiza con ellos permite acercarlos a los preconceptos y a las nociones iniciales y básicas del álgebra; en estas pruebas, este componente (numérico-variacional) tiene un alto número de participación en las preguntas a resolver7. En quinto en el año 2012, la situación es desfavorable, la mayor parte de los evaluados se encuentran en los niveles Insuficiente y Mínimo, 38% y 30% respectivamente, resultados contrarios a las mediciones registradas en el 2009 donde la gran mayoría los participantes de la prueba se concentró en los niveles Satisfactorio y Avanzado, 30% y 40% respectivamente (es de tener en cuenta que los que presentaron la prueba en dichos años de realización son grupos diferentes de estudiantes), estas cifras son preocupantes, si bien es cierto que el grado de complejidad de los conocimientos matemáticos ha aumentado, ellas determinan que muchos de los evaluados no saben aplicar la matemática para resolver problemas complejos, quedando de este modo ubicados por debajo de los promedios nacionales. En cuanto a la distribución para noveno en el año 2012 se ve que gran parte de los educandos están ubicados en el nivel Mínimo (resultado similar al obtenido en el 2009), y aunque se tiene una reducción de 16 puntos porcentuales de los que se encuentran en este nivel, esta cifra resulta poco significativa teniendo en cuenta que en este rango de desempeños ese 56% registrado quiere decir que más de la mitad de los evaluados no superan las preguntas de menor complejidad de la prueba y por tanto carecen de muchas de las competencias que se requieren para tener un buen dominio conceptual de los conocimientos matemáticos, este valor describe que esos participantes no saben y no saben hacer con situaciones y problemas que se les presenta en esta ciencia. Si bien es cierto, que diseñar estos objetos de aprendizaje no suple directa y totalmente las carencias evidenciadas en la presentación de pruebas como por ejemplo, las Saber, la idea con el uso de estos recursos es ofrecer a los estudiantes una forma alternativa didáctica para aprender los conocimientos matemáticos. Con ellos la pretensión es contribuir para fortalecer y desarrollar más sus competencias y habilidades al atenderse aspectos no sólo de tipo cognitivo sino que también a los de orden afectivo, social y de pensamiento que están vinculados en el contexto de aprendizaje de esta ciencia y de este modo que estén mejor preparados para el abordaje de dichas pruebas.

7 En la página web del Icfes aparecen cuestionarios simulacros de Pruebas Saber que pueden ser consultados para conocer acerca de las preguntas, temáticas y formas de evaluar esta entidad en esta clase de pruebas.

OBJETIVOS

2.1 Objetivo General

Mejorar de manera efectiva y significativa la comprensión y aprehensión de las nociones fundamentales del álgebra, particularmente, la factorización a partir de la manipulación de objetos físicos.

2.2 Objetivos Específicos 2.2.1 Desarrollar una propuesta didáctica, pedagógica e innovadora para mejorar la enseñanza y facilitar el aprendizaje del álgebra.

2.2.2 Elaborar objetos de aprendizaje como material didáctico que permitan a través de su manipulación mejorar significativamente en los estudiantes la comprensión de las nociones algebraicas.

2.2.3 Apoyarse en las nuevas tecnologías, la lúdica, el juego y diferentes recursos y materiales como estrategia didáctica para el desarrollo de esta propuesta.

CONSIDERACIONES TEÓRICAS

En este marco, para efectos de sustentar la presente propuesta se atiende en primer lugar a la problemática de la formulación conceptual del álgebra haciendo un recorrido histórico para comprender acerca de su evolución y desarrollo, destacando algunos de los elementos necesarios para los procesos de construcción del lenguaje algebraico donde se pone de manifiesto la fase de transición entre el pensamiento aritmético y el algebraico, y para los procedimientos y métodos utilizados al resolver ecuaciones, seguido de ciertas consideraciones teóricas sobre los procesos de enseñanza aprendizaje de esta ciencia desde el enfoque del aprendizaje significativo y del aprendizaje activo (teorías que particularmente sustentan este trabajo) y en los fundamentos de la estructura curricular propuesta por el MEN en los lineamientos y estándares para la enseñanza de las Matemáticas; finalmente, se valora la importancia y se trata el porqué de implementar objetos físicos de aprendizaje como alternativa didáctica para desarrollar el trabajo que se realiza en el aula desde la perspectiva pedagógica, didáctica y del diseño industrial para el abordaje de esta problemática base de este proyecto.

3.1 Desarrollo Histórico del Álgebra Desde la antigüedad se ha planteado la problemática de la formulación conceptual del álgebra; este planteamiento matemático ha girado en torno a las teorías que han sido expuestas y trabajadas por Filósofos- Matemáticos como Diofanto (s. III), Fibonacci (s. XI y XII), Vieta (s. XV), Harriot y Newton (s. XVI), Descartes (s. XV y XVI), Leibnitz (s. XVIII), entre muchos otros. Fue durante los Siglos XVI y XVII que se mostró que el pensamiento variacional no se podía refinar sin los sistemas algebraicos y analíticos ni éstos sin aquél. La relación del pensamiento variacional con el manejo de los sistemas algebraicos colocó al álgebra como un sistema potente de representación que describía los fenómenos de variación y de cambio, dejando de ser solamente un juego formal de símbolos no interpretados.



El desarrollo de los conceptos básicos del álgebra tuvo diversos enfoques a través de la historia, en su recorrido fueron muchos los matemáticos que trabajaron por su perfeccionamiento, siendo en la última mitad del siglo XVIII cuando fue llevada a un máximo grado de perfección, al hacerla como el más apto y el más útil instrumento para adelantar todas las demás ciencias. Un aspecto importante en el aprendizaje del álgebra corresponde a la utilización con sentido y al estudio formal de los objetos algebraicos (variables, constantes, parámetros, términos, fórmulas y otras expresiones algebraicas como las ecuaciones e inecuaciones, los sistemas de ecuaciones o de inecuaciones, por ejemplo), para lo que se requiere ampliar la notación del lenguaje aritmético y utilizar las propiedades características de los sistemas numéricos (como la conmutativa y la asociativa de la adición y la multiplicación y la distributiva de la multiplicación respecto de la adición, o el carácter simétrico y transitivo de la igualdad y el carácter anti simétrico y transitivo de la desigualdad), de esta manera, el cálculo algebraico surge como una generalización del cálculo aritmético. Al hacer un recorrido por el desarrollo histórico del álgebra8 se evidencia claramente que la construcción del lenguaje simbólico fue muy lenta y dificultosa, en ciertos periodos se tiene un mejoramiento progresivo en cuanto a este tema y en otros se ve un estancamiento del mismo; por ejemplo, los babilonios (2000 a.C.), los egipcios (1700 a.C.), los griegos (600-200 a.C.) y los chinos (300 a.C.-300 d.C.) utilizaban exclusivamente el lenguaje natural, sin recurrir a algún signo para representar la incógnita. Fue Diofanto cuando en el año 250 d.C. introdujo, por primera vez en la historia de las matemáticas, abreviaturas usando letras griegas para indicar la incógnita en una ecuación y sus potencias:

xllamada "il número del problema" x2 "cuadrado" o "potencia" x3 "cubo" x4 "cuadrado-cuadrado"

8 En este proyecto, las ideas tenidas en cuenta para mostrar el desarrollo histórico del álgebra fueron tomadas casi de forma literal y casi completa de como aparecen en el trabajo desarrollado por Elsa Malisani: Los Obstáculos Epistemológicos en el Desarrollo del Pensamiento Algebraico. Visión histórica. Articolo pubblicato nella “Revista Irice” del instituto Rosario de investigaciones en Ciencias de la Educación” di Rosario – Argentina, nel n° 13 del 1999, in lingua spagnola. ISSN 0327-392x.

Capítulo 3 19

x5 "cuadrado-cubo" x6"cubo-cubo" 1/x También en esa época la adición se representaba escribiendo los términos uno al lado del otro, para la diferencia se utilizaba el símbolo /|\; y no había signo alguno para representar la multiplicación, la división y coeficientes; la igualdad se expresaba con is y los cálculos se desarrollaban usando el lenguaje natural escribiendo sus soluciones en un texto continuo. (Kline, M. 1991 citado por Malisani). Más adelante, en el siglo VII los hindúes crearon un simbolismo algebraico bastante eficiente que permitió desarrollar nuevos procedimientos para la resolución de ecuaciones. En la obra de Brahmagupta (598 d. C.) se encuentran algunas abreviaturas que se utilizaron para representar la incógnita y sus potencias por ese tiempo: x → ya [primera sílaba de la palabra yavattavat (tanto-cuanto)] x2 → va x3 → gha x4 → vava x9 → ghagha x 1/2 → ka [primera sílaba de la palabra karana (raíz cuadrada)]. Los hindúes no contaban con algún símbolo para indicar la adición y el producto; y para la resta, utilizaban un punto sobre el sustraendo y para igualar dos cantidades se limitaban a escribir los dos miembros en dos líneas consecutivas. Cuando en un problema aparecían varias incógnitas, una de ellas se representaba con la sílaba ya y las otras con objetos de diversos colores: en general, usaban la primera sílaba de la palabra relativa al respectivo color. Este simbolismo, si bien es cierto era muy rudimentario, resultó suficiente para catalogar el álgebra hindú como "casi-simbólica". En el siglo XII, Leonardo Pisano, introdujo en Occidente los procedimientos aritméticos utilizados por los árabes, las características de esta álgebra se transmitieron por toda Europa y tuvo una fuerte influencia durante más de tres siglos. En las obras de Leonardo y en el tratado de ábaco llamado Trattato d'Algibra (Anónimo del Siglo XIV), se observa que estos desarrollos empleaban básicamente el lenguaje natural. Más tarde, en el Siglo XVI Pacioli (1445- 1514) usaba en su obra otras abreviaturas tales como: p de più (más), m de meno (menos), ae de aequalis (igual), R2 y R3 (atravesadas por una barra oblicua) que indicaban raíz cuadrada y raíz cúbica respectivamente y la m delante de un número para señalar que éste era negativo.



Con Bombelli (1526-1572) se produjo una verdadera transformación del lenguaje algebraico, él al introducir símbolos especiales para representar la incógnita y sus potencias (una semicircunferencia sobre la cual se escribía un número para indicar el exponente de la potencia) marcó una gran evolución en el uso del lenguaje simbólico (Bombelli, 1566). La mayor parte de los cambios que se habían efectuado hasta ese momento consistían en abreviaturas de palabras del lenguaje natural. Bombelli lo que hizo fue utilizar un lenguaje Sincopado-Avanzado o lenguaje de Signos, resultado de una combinación entre el lenguaje natural y el simbolismo algebraico, para formular las reglas de las operaciones numéricas, de los polinomios y de los procedimientos para la resolución de ecuaciones. Este simbolismo comparte precisamente con el álgebra de Vieta (1540-1603) la característica de ser auto explicativo; aunque Bombelli necesitó acompañar sus desarrollos con versiones más retóricas y para demostrar la validez de las igualdades implicadas en diversos tipos de ecuaciones empleaba construcciones geométricas. Muchos de los cambios de notación realizados hasta el 1500 se dieron accidentalmente y no se apreciaba suficientemente lo que el simbolismo significaba en el álgebra. Entre el 1500 y el 1600 fueron introducidos casi todos los símbolos conocidos en la actualidad, aunque esto fue un proceso lento, el álgebra simbólica no suplantó de golpe al álgebra sincopada o de signos. Algunos autores sostienen que los signos + y - fueron introducidos por los alemanes para indicar los pesos en exceso o en defecto de los cajones y posteriormente fueron adoptados por los matemáticos Widman (Siglo XV) y Stifel (1486-1567); pero hay quienes atribuyen este invento a Leonardo da Vinci (1452-1519). (Kline, pág. 303; Loria, pág. 468 citados por Malisani). Para indicar la igualdad, Recorde (1510-1558) –que escribió el primer tratado inglés de álgebra- introdujo el signo = en el 1557, Vieta al principio utilizaba la palabra aecqualis, después adoptó el signo ~, mientras Descartes (1596-1650) usaba el signo ´ del producto para ella; los signos > y < indicaban las desigualdades y fueron introducidos por Harriot (1560-1621). Los paréntesis se conocieron en el 1544, los corchetes y las llaves, alrededor del 1593. La raíz cuadrada Ö y la raíz cúbica Öc aparecieron en el Siglo XVII con Descartes (Kline, pág. 304). Los exponentes fueron introducidos gradualmente Stevin (1548-1620) utilizó también exponentes fraccionarios: 1/2 para la raíz cuadrada y 1/3 para la raíz cubica. Con Vieta se produjo el cambio más significativo en la construcción del lenguaje simbólico, este autor fue el primero en utilizar sistemáticamente las letras para todas las cantidades (la incógnita, sus potencias y los coeficientes) y los signos para las operaciones, empleando este lenguaje simbólico tanto en los procedimientos resolutivos como para la demostración de reglas generales.

Capítulo 3 21

Respecto a los métodos de resolución de ecuaciones el desarrollo del simbolismo algebraico fue también lento y dificultoso debido a la ausencia de un lenguaje adecuado y de algunos conocimientos requeridos de los conjuntos numéricos. En un principio, se utilizaban procedimientos geométricos para la resolución de ecuaciones de primer y segundo grado. Por ejemplo, en la obra de Euclides, Los Elementos; la proposición 12 del Libro VI (pág. 107) que consiste en calcular el cuarto proporcional de tres segmentos dados, La aplicación de esta propiedad implica resolver "geométricamente" ecuaciones del tipo ax = b con coeficientes positivos, considerando como segmentos: AB = a, BC = b, AD= 1 e DE = x . De la misma obra, para demostrar las proposiciones 28 y 29 del Libro VI (pág. 146-150) se resuelven "geométricamente" como ecuaciones de segundo grado que admiten al menos una raíz positiva. Ellas son expresadas mediante ecuaciones de tipo ax – x2 = b2; y corresponden al problema geométrico: "Sobre un segmento dado (a) construir un rectángulo (de altura x), que exceda al cuadrado de la altura (x2) en un área equivalente a un cuadrado dado (b2). Los árabes resolvían las ecuaciones de segundo grado considerando separadamente cinco casos distintos, de manera que los coeficientes fueran siempre positivos. Este modo de proceder era similar al de Diofanto, pero representaba un paso atrás respecto al álgebra hindú que consideraba la forma general de la ecuación de segundo grado, estos admitían coeficientes negativos y empleaban lenguaje natural para describir todas las operaciones algebraicas. Por ejemplo, el árabe al-Khowârismî, presentó una ecuación de segundo grado de este modo: Un cuadrado y diez de sus raíces son iguales a nueve y treinta (por treinta y nueve) dirhems, es decir tú sumas diez raíces a un cuadrado y la suma es igual a treinta y nueve. Este enunciado, traducido al lenguaje simbólico del álgebra, corresponde a la ecuación: x2 + 10 x = 39, pudiendo el autor obtener su solución completando el cuadrado. Un aporte muy interesante de la matemática árabe consistió en que lograron resolver ecuaciones de tercer grado mediante la intersección de curvas cónicas desarrollado una correspondencia entre geometría y álgebra cinco siglos antes de Descartes y Fermat. Después de la difusión del Tratado de Algebra (Al-jabr w'al muqâbala) de al-Khowârismî se generaron dos corrientes de ideas: * Ciertos problemas geométricos se pueden resolver a partir del desarrollo de ecuaciones algebraicas con una incógnita; * La(s) solución(es) de determinadas ecuaciones de tercer grado se pueden obtener mediante la construcción geométrica. Con al-Khayyam (1038-48 -1123) el álgebra se transformó en la teoría general delas ecuaciones algebraicas con coeficientes positivos y de grado menor o igual que tres.



Este autor resolvió las ecuaciones de segundo grado con raíces positivas utilizando el procedimiento geométrico de Euclides. Obtuvo, además, la solución general de las ecuaciones de tercer grado (con raíces positivas y no reducibles a ecuaciones de segundo grado) mediante la intersección de curvas cónicas. Hasta 1500 aparecieron los métodos europeos para resolver ecuaciones, en su obra el Liber Abaci (1202), Fibonacci resolvió numerosos problemas de tipo práctico (relativos a transacciones comerciales), mediante la aplicación de la sucesión que lleva su nombre o de procedimientos relativos al análisis indeterminado de primer y segundo grado, siguiendo el estilo diofantino y árabe considerando separadamente cinco casos distintos, de manera que los coeficientes resultaran siempre positivos, para cada uno de ellos, encontró la solución utilizando los razonamientos geométricos de Euclides. El autor del Trattato d'Algibra (siglo XIV) estableció 25 reglas para resolver ecuaciones de los primeros cuatro grados, considerando separadamente varios casos particulares de ecuaciones del mismo grado, superior al primero, de modo que los coeficientes resultaran siempre positivos. Siguió, además, la tradición árabe de aceptar solamente las soluciones reales positivas no nulas. Resolvió las primeras 22 ecuaciones aplicando la transposición de términos (esto es, "cambiar de lado-cambiar de signo") o la fórmula resolutiva para las ecuaciones de segundo grado, que en algunos casos debió adaptar para encontrar solamente la solución positiva. Transformó las ecuaciones bicuadráticas en cuadráticas y ciertas ecuaciones cúbicas y cuárticas en ecuaciones de segundo grado, dividiéndolas por la incógnita o su cuadrado. Es interesante subrayar que, estas observaciones pueden parecer obvias para la persona que está acostumbrada a utilizar el simbolismo algebraico, pero en realidad eran mucho menos triviales para el autor que las formuló disponiendo sólo del lenguaje natural. Alrededor del 1500 Scipione Dal Ferro enunció la fórmula resolutiva de la ecuación x3 + px = q con p y q positivos, utilizando el lenguaje natural. En el 1535, de manera independiente, Tartaglia descubrió la fórmula resolutiva de las ecuaciones cúbicas con coeficientes positivos: x3 + px = q y x3 + q = px, que fueron publicadas en el 1545 por Cardano en su obra l'Ars magna. En este texto, el autor expuso el método de resolución de las ecuaciones cúbicas y, siguiendo la tradición árabe, realizó una demostración geométrica para cada una de las reglas obtenidas describiendo también el método de solución para algunas ecuaciones cuárticas, procedimiento descubierto por Ferrari y estableció las condiciones para que el número de raíces de una ecuación (de segundo o tercer grado) sea igual a su grado, junto con las reglas para bajar el grado de una ecuación de la cual ya se conoce una raíz.

Capítulo 3 23

En su obra L'Algebra, Bombelli (1566), desarrolló la teoría de las ecuaciones de los primeros cuatro grados. Consideró separadamente tantos casos particulares de ecuaciones del mismo grado, superior al primero, de manera que los coeficientes fueran siempre positivos. Para cada tipo de ecuación enunció (en lenguaje retórico) una regla práctica de resolución, realizó la construcción geométrica (en los casos posibles) para justificar la validez de la igualdad formulada en la ecuación y analizó la naturaleza y la multiplicidad de las raíces. Siguió, además, la tradición árabe y medieval de aceptar solamente las soluciones reales positivas no nulas, porque las raíces negativas o complejas resultaban difíciles de interpretar de modo adecuado, en relación con los problemas que permitían resolver. Además, utilizó la construcción geométrica para resolver problemas algebraicos, pero su procedimiento era inverso del que se encuentra álgebra geométrica de los antiguos, porque este autor no resolvió directamente el problema geométrico para obtener la solución analítica de la interpretación aritmética de la construcción realizada, sino que utilizó precisamente la resolución algebraica para deducir la construcción geométrica. Este análisis histórico de los distintos procedimientos utilizados para resolver ecuaciones deja ver que los exponentes de estos procedimientos no solo usaron los elementos algebraicos sino que además recurrieron a otros tipos de lenguajes: natural, aritmético o geométrico. El álgebra tiene gran presencia en los contenidos matemáticos tratados en la institución escolar, y es por esta razón que hay que considerar las dificultades que se dan (cuando se le aprende o se le enseña), como consecuencia de la transición dada al pasar del pensamiento aritmético al pensamiento algebraico9 y que son manifestadas en la utilización de:

El lenguaje algebraico (letras con significado – variables – organizado desde lo epistemológico, cognitivo y didáctico).

Las expresiones algebraicas (ecuaciones lineales y cuadráticas).

Los procesos de pensamiento (específicamente la sustitución formal, la generalización y la modelación) y

La resolución de problemas. Sobre estos aspectos, es importante que los procesos de aprendizaje que realicen los educandos se guíen hacia el desarrollo de estructuras cognoscitivas10 que les permitan

9 SOCAS, Martín. La enseñanza del álgebra en la educación obligatoria: Aportaciones de la investigación. En: Revista NÚMEROS. Vol. 77. p. 5 - 34. Julio de 2011. ISSN: 1887-1984 10 Para Piaget y los constructivistas éstas son estructuras que permiten al sujeto acercarse al objeto de conocimiento haciendo uso de capacidades sus intelectuales dejándole ver el objeto de cierta manera y así



acceder al conocimiento con el menor desgaste pero con el mayor disfrute posible. Como se sabe, los estudiantes están en capacidad de extraer información de los objetos de conocimiento y en esta etapa de desarrollo su vida mental ha alcanzado ya altos niveles de percepción de dicho objeto (es decir, elaboran con más precisión conceptos como por ejemplo, la noción de número, de clase, de espacio, de tiempo, etc.). Referirse al estudio del álgebra como tal, implica considerar los planteamientos teóricos formulados desde las contribuciones hechas por los antiguos matemáticos hasta llegar a las modernas teorías del desarrollo del álgebra, en el álgebra moderna, no basta con tener el enfoque notacional del análisis algebraico, se precisa de las formas simbólicas para denotar las entidades algebraicas, esa clara inclinación hacia el análisis es considerado dentro de ella como un método el cual es conocido como la logística simbólica, introducido por Vieta (y desarrollado por otros como Harriot, Fermat, Leibniz, etc.) en su Arte Analítico (p.17), y que “... emplea símbolos o signos para cosas, como, digamos, las letras del alfabeto”. Este método, dentro del desarrollo evolutivo del álgebra al permitir representar por medio de las letras del alfabeto las variables, e incluso los coeficientes, en una ecuación; le trajo una ventaja adicional a esta disciplina: las operaciones presentes en la resolución de una ecuación se hicieron mucho más evidentes. Esta forma de razonamiento puede resultar ser útil si permite:

La generalización de ecuaciones aritméticas (e inecuaciones) para ser indicadas como leyes (por ejemplo, para toda y ), y es así el primer paso al estudio sistemático de las propiedades del sistema de los números reales.

La referencia a números que no se conocen. En el contexto de un problema, una variable puede representar cierto valor que todavía no se conoce, pero que puede ser encontrado con la formulación y la manipulación de las ecuaciones.

La exploración de relaciones matemáticas entre las cantidades (por ejemplo, si usted vende x cantidad de boletos, entonces, su ganancia será 3x - 10 pesos).

extraer de él información. La nueva información produce modificaciones y acomodaciones en las primeras de tal forma que el sujeto cuando se acerca nuevamente al objeto lo ve de manera distinta.

Capítulo 3 25

Estos tres aspectos (generalizar, referir y explorar) son fundamentos esenciales del álgebra elemental según diversas investigaciones hechas en educación matemática por diversos autores (Wagner y Kieran, 1989; Bednarz, Kieran y Lee, 1996; Kieran, 2007) y citadas por Godin11 y otros (2010), caracterizando las dificultades de los estudiantes en el tránsito desde la aritmética hasta el álgebra en la escuela secundaria. Según los autores estas investigaciones han descrito aproximaciones al razonamiento algebraico que, posteriormente, permitieron aportar datos experimentales y justificaciones teóricas para apoyar la inclusión del álgebra desde la escuela y que debe ser distinguida del álgebra abstracta por ser una temática más avanzada y enseñada generalmente a nivel universitario. Trabajar el álgebra al interior del aula desde sus fundamentos esenciales, posibilita un mayor acercamiento de los estudiantes a las nociones propias de este campo. Cuando ellos reconocen que una expresión algebraica contiene números, variables y operaciones aritméticas e igualmente entienden la forma como estas expresiones aparecen escritas les es más fácil su tratamiento. Concretamente, tal acercamiento es evidenciado en momentos como cuando los educandos escriben expresiones algebraicas teniendo en cuenta las condiciones requeridas para ello, por ejemplo colocar los términos con exponente más altos a la izquierda (forma ascendente utilizada al escribir un polinomio, como se muestra a continuación: x + 3; y2 + 2x; z7 + a (b + x3) + 42/y – π); o cuando conciben a una ecuación como la igualdad entre dos expresiones; o cuando razonan de que algunas ecuaciones son verdades para todos los valores de las variables implicadas, un ejemplo

de ello es: ; y reconocen que tales ecuaciones son llamadas identidades y las diferencian de las ecuaciones condicionales (las cuales son verdades solamente para algunos valores de las variables implicadas), como se puede ver en:

; o cuando determinan que los valores de las variables que hacen la ecuación verdadera son llamados solución de la ecuación. Merchán (2009), menciona que al caracterizarse las dificultades de los estudiantes durante el tránsito de la aritmética al álgebra en la escuela y que al adoptar estrategias adecuadas para superarlas se reafirma el propósito de que es necesario ¨…conocer lo que ocurre al interior de las aulas para entender el papel que juega la escuela en la

11 Trabajo como proyecto de investigación sobre la naturaleza del álgebra elemental realizado por Juan D. Godin, Walter F. Castro, Lilia P. Aké y Miguel R. Wilhelm, publicado en el Boletín de Educación Matemática EDU2010-14947, Ministerio de Ciencia e Innovación (MCINN) y fondos FEDER.



formación matemática de los jóvenes…¨ y así poder identificar que puede hacerse para mejorar las prácticas educativas, perfilando lo mejor posible los contenidos y métodos de enseñanza propios de esta ciencia; formulando una teoría de acción en el aula con posibilidades y estrategias adecuadas para el cambio y desarrollando propuestas fundamentadas en los campos de la didáctica y la pedagogía.

3.2 El Lenguaje y el Álgebra Al considerar la influencia12 sobre los estudiantes de las estructuras aprendidas mediante el lenguaje algebraico se determina la capacidad de éste para resolver un problema. En particular, el estudio de la construcción del lenguaje algebraico con su ambigüedad semántica y su riqueza de significados pone de manifiesto la fase de transición entre el pensamiento aritmético y el algebraico, Malisani (1999). Aquí se encuentra el pasaje entre lo semiótico significativo (la aritmética) y el tentativo de poner a punto un nuevo lenguaje (el álgebra) relativos a una cierta clase de problemas (resolución de ecuaciones). En tanto que en los procesos cognitivos implicados en el aprendizaje del álgebra se evidencian los errores que cometen los estudiantes y las dificultades que encuentran cuando empiezan a aprenderla, al tener que resolver ecuaciones y problemas algebraicos y no realizar los cambios conceptuales necesarios para pasar de un pensamiento a otro. Por otro lado, en cuanto al problema de la enseñanza del álgebra, se pone de manifiesto que su función principal no es la de generalizar la aritmética sino la de modelar sistemas matemáticos y no matemáticos, como lo afirmaba Chevallard13: “…que la enseñanza del álgebra debe promover una dialéctica entre el manejo formal del cálculo algebraico y el contenido de los sistemas numéricos”; quien cuestionaba además, el modelo epistemológico didáctico del álgebra elemental dominante en la institución escolar que se caracterizaba como una aritmética generalizada. En álgebra, las letras se usan de diversas maneras. Pueden representar: -. Un número o más desconocidos específicos, como por ejemplo en las ecuaciones de las formas -5x +2 = -2 ó x² = 49.

12 Influencia basada en el desarrollo de su capacidad para ordenar, calcular, clasificar entre otras. 13 Afirmaciones hechas en sus trabajos de investigación en torno a este tema entre los años 1984 y 1990.

Capítulo 3 27

-. Una cantidad variable que tiene relación con otra variable, como en y = 3x. -. Una generalización que puede tomar valores de un conjunto numérico, como el caso x + (-x) = 0. -. Un rótulo u objeto, como en 3P = 1Y (3 pies = 1 yarda). Para el desarrollo de estrategias algebraicas, los estudiantes deben comenzar utilizando el lenguaje verbal para explicar sus razonamientos; progresivamente, deben incorporar el uso de la letra como objeto, ante la necesidad de una representación más práctica, y más adelante, utilizarla como incógnita en la resolución de ecuaciones. Se trata de acercar a los estudiantes para la enseñanza-aprendizaje del álgebra desde un lenguaje transicional (el lenguaje cotidiano) que les posibilite mayor aproximación y comprensión de los símbolos. Señalarles los obstáculos habituales que se presentan en algunos aspectos del tratamiento algebraico de situaciones problemáticas: traducción del lenguaje verbal al simbólico, generalización (siempre intentan asociar a un valor numérico), operaciones inversas (al despejar una ecuación), interpretación de la solución de un sistema de ecuaciones o de una ecuación, diferencias entre el tratamiento dado a valores conocidos y desconocidos. Sobre esta problemática en el tratamiento del lenguaje algebraico, Mc Gregor y Stacey (1997), citados por Rabino y otros (2004), formulan para la enseñanza del álgebra partir de experiencias reales de los estudiantes “...Al comienzo los alumnos tienden a recurrir y asociar las letras a otros aspectos accesibles de su experiencia personal. Por ejemplo: asocian la letra con el número de orden en el alfabeto y se sugiere que esto se debe a las experiencias de los estudiantes con los rompecabezas y actividades donde se utilizan códigos”, y expresan además, que los símbolos tienen que servir realmente para recordar y comprender los procesos que se han seguido, y para facilitar y hacer posibles los cálculos cuando se necesitan. Los autores Rabino y otros mencionan que en la enseñanza tradicional del álgebra no se tiene suficientemente en cuenta las dificultades en la comprensión, por parte del educando, del tratamiento algebraico para la solución de situaciones problemáticas; al respecto Streefland (1995) citado por ellos, encontró a partir de sus experiencias de enseñanza, que la comprensión del significado de símbolos literales es un constituyente importante en el proceso de matematización vertical (formalización progresiva) en los alumnos. “El cambio del significado de una letra, necesita ser observado y se debe tener cuidado durante el proceso de aprendizaje. De esta manera el nivel matemático del pensamiento de los niños evoluciona”.



Los autores continúan con sus consideraciones sobre la dificultad del lenguaje algebraico planteando que frecuentemente éste se subestima y no es explicativo por sí mismo y lo reafirman en lo que al respecto promulga Freudenthal (1992) “…su sintaxis consiste en un largo número de reglas basadas en principios que, parcialmente, contradicen el lenguaje cotidiano y el lenguaje de la aritmética y que, además, son mutuamente contradictorios” Ellos además, explican lo anterior diciendo por ejemplo, que 3 + 4 es un problema de aritmética, y se debe interpretar como sumar 3 a 4, mientras que, a + b no es fácilmente interpretado como un problema14. En consecuencia, son múltiples las consideraciones e implicaciones que trae consigo el tratamiento del algebra, precisan de un adecuado manejo tanto de las estructuras psicológicas como cognitivas que desarrollan los estudiantes cuando aprenden y que han sido explicadas por las diferentes teorías relacionadas con este tema. El desarrollo del lenguaje algebraico fue dificultoso, se tuvo que pasar de ciertos nombres para designar a la incógnita y a algunas relaciones (utilizando para ello códigos intermedios entre el lenguaje retórico y el algebraico) para llegar finalmente a los símbolos propios de esta ciencia, abreviando en un comienzo dichos códigos y depurándolos gradualmente hasta conseguir elaborar el simbolismo algebraico correcto sintácticamente y más eficiente operativamente, dejándose ver en este proceso el abandono progresivo del lenguaje natural como medio de expresión de las nociones algebraicas. La tabla 5 que aparece a continuación, muestra un esquema de la forma cómo este lenguaje se desarrolló históricamente, teniendo en cuenta al hacerlo los aportes más relevantes que contribuyeron para su evolución.

14 Es pertinente aclarar que para la sustentación teórica del marco conceptual de este proyecto se han tomado de manera textual en algunas ocasiones, los contenidos de ciertas ideas expuestas por diferentes autores aquí mencionados y referenciados, a fin de conseguir una mejor comprensión, al igual que conservar su estructura.

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Tabla 5 Evolución histórica del lenguaje algebraico

Fuente: cuadro tomado del trabajo desarrollado por Malisani, E: Los Obstáculos Epistemológicos en el Desarrollo del Pensamiento Algebraico. Visión histórica. Anexos págs. 22 y 23.



Continuación Tabla 5 Tabla 5 Evolución histórica del lenguaje algebraico

Fuente: cuadro tomado del trabajo desarrollado por Malisani, E: Los Obstáculos Epistemológicos en el Desarrollo del Pensamiento Algebraico. Visión histórica. Anexos págs. 23 y 24.

El nivel de desarrollo del lenguaje algebraico fue muy escaso, por eso en sus inicios se hizo necesario recurrir a otros lenguajes (natural, aritmético, geométrico o analítico) para obtener la solución de un problema, a partir de la interpretación de los procedimientos efectuados. Algunos por ejemplo, utilizaban la construcción geométrica para justificar la validez de las igualdades formuladas en las ecuaciones o para resolver problemas algebraicos, pero su procedimiento era inverso de aquellos seguidos en los otros casos. El apoyo de otros lenguajes, natural o geométrico, en tales casos se utilizaba para completar la comunicación, no para resolver el problema. La semántica del lenguaje algebraico fue menos rica de aquéllas correspondientes al lenguaje natural, aritmético o geométrico; por lo tanto, se requirió de servirse de ellas para formular sus reglas, para interpretar adecuadamente el problema a resolver, para obtener su solución o para

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justificar los pasajes algebraicos. Es precisamente esa ambigüedad semántica y la riqueza de significados las que permitieron poner a punto el lenguaje simbólico. En la siguiente tabla se propone una clasificación más detallada de las fases de la evolución del lenguaje algebraico, en ella se considera no sólo el uso de un simbolismo adecuado, sino también el grado de generalidad del método aplicado y el nivel de argumentación utilizado en la resolución de ecuaciones (Véase tabla 6). Tabla 6 Fases de la evolución del lenguaje algebraico

Fuente: cuadro tomado del trabajo desarrollado por Malisani, E: Los Obstáculos Epistemológicos en el Desarrollo del Pensamiento Algebraico. Visión histórica. Incluido como anexo pág. 25.

En la siguiente tabla se resumen los planteamientos presentados y desarrollados por los diversos autores tomados como base para la sustentación del marco teórico de este proyecto, resaltando cómo éstos contribuyen al mismo (véase tabla 7):



Tabla 7 Trabajos de investigación ya desarrollados que contribuyen para la sustentación teórica de esta propuesta

REFERENCIAS CONTRIBUCIÓN AL PROYECTO MERCHÁN, Javier. La cuestión del cambio de la práctica de la enseñanza y la necesidad de una teoría de la acción en el aula. Edita: Revista Iberoamericana de Educación ISSN: 1681-5653 n º 48/6 – 10 de marzo de 2009.

Su importancia radica en la necesidad de cambio de las prácticas que llevamos a cabo en el aula los docentes para mejorar la enseñanza de las matemáticas, especialmente en mi caso del álgebra para abandonar las formas tradicionales de enseñanza.

GRAS, Albert y CANO, Marisa. Tic en la enseñanza de las ciencias experimentales. Módulo del máster “Nuevas Tecnologías aplicadas a la educación”. Instituto universitario de Posgrado. Universidad de Alicante. 2000.

Porque utilizar estos recursos hace parte de las estrategias propuestas en el proyecto para mejorar la comprensión del álgebra; su uso y el de otros recursos didácticos (utilización de objetos físicos, por ejemplo) favorecen los procesos de enseñanza aprendizaje de los estudiantes.

OTERO, María Rita. Psicología cognitiva, representaciones mentales e investigación en enseñanza de las ciencias. Investigación en enseñanza de las ciencias. Argentina. 1999. V4 (2), p. 93-119

Debido a la importancia de las implicaciones que tiene la psicología sobre la cognición para explicar dichos procesos cuando aprenden los estudiantes. Y a la necesidad de manejar apropiadamente las representaciones mentales de formas y conceptos abstractos como lo es el álgebra y para comprenderla mejor.

OLFOS, Raimundo y VILLAGRAN, Eduvina. Actividades lúdicas y juegos en la iniciación al álgebra. En: Integra No. 5. Universidad La serena. Chile. 2001.

Por presentar algunas ideas con respecto a lo que son los juegos y cómo estos se relacionan con la matemática para la resolución de problemas y por su uso como estrategia para iniciar el estudio del algebra.

RIOS G, Yaneth. Una ingeniería didáctica aplicada sobre fracciones. Revista OMNIA vol.13 número 002. Venezuela (2007) ISSN: 1315-8856, p. 132-139.

Al retomar García las investigaciones de Brousseau (1983) y otros en las cuales identifican los elementos de la didáctica de las matemáticas y teoriza sobre ellos en el contexto de su enseñanza aprendizaje en situaciones didácticas analizando las interacciones que se presentan en el aula entre los actores del proceso.

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RABINO, A., CUELLO, P. y MUNNO, M. Aprehender álgebra utilizando contextos significativos. Trabajo “Comparar cantidades” aplicado a estudiantes de los colegios Don Bosco y Amuyen de San Carlos de Bariloche. Argentina. 2004.

Porque los autores retoman los planteamientos teóricos de Romberg y Spence 1993, para hacer énfasis de las implicaciones que trae el álgebra cuando es tratada de forma tradicional, y ser vista como estéril, desconectada de otros aspectos de la matemática y del mundo real.

MALISANI, Elsa. Los obstáculos epistemológicos en el desarrollo del pensamiento algebraico. Visión histórica. Artículo publicado en Revista IRICE. N° 13. Argentina 1999. ISSN 0327-392X.

Al estudiar la construcción del lenguaje algebraico con su ambigüedad semántica y su riqueza de significados se pone de manifiesto la fase de transición entre el pensamiento aritmético y el algebraico.

CHEVALLARD 1984 y 1990. Desarrollo de Trabajos de investigación en torno al tema.

Debido a que los problemas de la enseñanza del álgebra evidencian que su función principal no es la de generalizar la aritmética sino la de modelizar sistemas intramatemáticos y extramatemáticos como lo afirmaba él.

RABINO, A., CUELLO, P. y MUNNO, M. Aprehender álgebra utilizando contextos significativos. Trabajo “Comparar cantidades” aplicado a estudiantes de los colegios Don Bosco y Amuyen de San Carlos de Bariloche. Argentina. 2004.

Debido a que los autores destacan de los estudios de Mc Gregor y Stacey, 1997, para el tratamiento de situaciones problema, la importancia de acercar a los estudiantes para la enseñanza-aprendizaje del álgebra desde un lenguaje transicional que les posibilite mayor aproximación y comprensión de los símbolos.

SOCAS, Martín. La enseñanza del álgebra en la educación obligatoria: Aportaciones de la investigación. En: Revista NÚMEROS. Vol. 77. p. 5 - 34. Julio de 2011. ISSN: 1887-1984

Sus aportaciones llevan a concluir que los procesos de aprendizaje que realizan los educandos deben guiarse hacia el desarrollo de estructuras cognoscitivas que les permitan acceder al conocimiento ya que están en capacidad de realizar inferencias y la etapa de desarrollo de su vida mental ha alcanzado altos niveles de percepción del objeto de conocimiento (es decir, elaboran con más precisión ciertos conceptos como por ejemplo, la noción de número, de clase, de espacio, de tiempo, etc.).

Fuente: Elaboración propia con datos tomados de la revisión e indagación de diversos trabajos de investigación ya desarrollados referidos a la enseñanza aprendizaje del álgebra.



3.3 Teorías de Aprendizaje en la Enseñanza de las Matemáticas Conocer acerca de los aportes de las teorías del aprendizaje para la enseñanza de las matemáticas, hace reflexionar tanto en las formas como éstas han sido definidas y concebidas a través de los tiempos, como en el amplio panorama que proporcionan sobre las múltiples posibilidades que tienen hoy los estudiantes para aprender los conocimientos matemáticos. Las anteriores ideas en este trabajo son tratadas desde las formulaciones hechas por algunos autores dentro del enfoque constructivista, el aprendizaje significativo, el aprendizaje experiencial, desde las metodologías del aprendizaje activo y desde la perspectiva didáctico pedagógica que se encarga de investigar la problemática educativa conocida como “investigación-acción”, todas ellas sustentan y enfatizan en concepciones y planteamientos teóricos necesarios para el fortalecimiento tanto de los procesos de enseñanza aprendizaje del álgebra como en las practicas que tienen lugar en el ámbito escolar, colocando al docente como investigador de su propio ejercicio profesional.

Para entender cómo a través de los tiempos, los desarrollos de las diversas teorías del aprendizaje, que en su gran mayoría han surgido de la necesidad de investigar las formas de enseñanza y las prácticas que se llevan a cabo en el aula es necesario comprender cómo se han dado y evolucionado éstas y cómo han servido para transformar la enseñanza: enseñar para lo nuevo, el cambio y lo desconocido. El aprendizaje de las Matemáticas, debe situarse en un ambiente de aprendizaje agradable, en un ambiente de interacción, donde el docente se convierte en un orientador y comparte sus conocimientos y los estudiantes asumen un rol protagónico y participan de su propio aprendizaje, esto posibilita enmarcar la actividad escolar dentro de la dinámica de las metodologías activas, al otorgarle un papel relevante al estudiante al permitirle construir su propio conocimiento a partir de escenarios, actividades o pautas que les diseñan los maestros, es decir desde la perspectiva que proponen los modelos del Aprendizaje Activo y del Significativo. El desarrollo de este proyecto se basa en ciertas ideas de Vygotsky (1978) sobre el socio constructivismo, para él a partir de los saberes previos se inicia el proceso de construcción de nuevos conocimientos, y esto depende de la situación y del medio en

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que se de ese aprendizaje. El contexto es muy importante, y el estudiante aprende de y con otros compañeros. Se busca pues que la formación de competencias propias de la disciplina matemática, permita al estudiante un desempeño acorde a su grado y nivel de desarrollo; que acrecente su pensamiento categorial mediante el uso de sus capacidades y habilidades, conocimientos y actitudes. Asimismo, que considere el conocimiento como un proceso mediante el cual encuentra la relación de la Matemática con otras disciplinas y con su entorno. David Ausebel, también menciona que para que el aprendizaje sea óptimo el individuo debe poseer en su estructura cognitiva conocimiento relacionado con el tema de estudio, es decir, preconceptos. Su teoría, es que el individuo aprende mediante “Aprendizaje Significativo”, entendido este como la incorporación de la nueva información a la estructura cognitiva del individuo. Esto crea una asimilación entre el conocimiento que el individuo posee en su estructura cognitiva con la nueva información, facilitando el aprendizaje. Ausebel plantea: "Si tuviese que reducir toda la psicología educativa a un sólo principio, enunciaría éste: el factor más importante que influye en el aprendizaje es lo que el alumno ya sabe. Averígüese esto y enséñese consecuentemente" (1986). Estas estrategias de aprendizaje, centran y consideran además, las experiencias que tienen los educandos dadas de sus vivencias, y no sólo en los conceptos abstractos que poseen o en el manejo o dominio de algoritmos; es esto lo que les posibilita apropiarse del conocimiento matemático, aprender a aprender, razonar y pensar de una mejor forma cuando se les presenta un problema, asimismo, ellos al concentrarse en sus actividades de trabajo en el aula, logran así un verdadero aprendizaje significativo, y pueden observar simultáneamente sus alcances y avances. No obstante, la epistemología, la sicología, la historia de las ciencias, la pedagogía y la didáctica coinciden en reconocer la importancia de una reflexión sobre el carácter de lo que se aprende y sobre los procesos mismos de aprendizaje. Hay autores como Bodanski (1991), Malisani (1999), Rojano (2008) que proponen la fundamentación teórica para la enseñanza de las matemáticas, otros como Grass y Cano (2000) estrategias didácticas para la enseñanza y aprendizaje de los conceptos propios de esta disciplina, lo cierto es que aspectos como la planificación de las acciones educativas, el carácter de la evaluación formativa, el considerar las ideas previas que los estudiantes poseen, el incentivarlos a exponer sus puntos de vista, a escuchar los de los compañeros, a argumentar buscando un consenso; el evaluar para conocer (tomándola como punto de partida para la elaboración de propuestas de intervención), el considerar no sólo los contenidos curriculares sino los métodos de construcción del conocimiento



matemático y los procesos mentales involucrados en esa construcción con lleva a tratar un tema que es fundamental en el desarrollo didáctico y es objeto de estudio, la formación académica docente. Esta última formulación de investigar la formación profesional docente es denominada por Carr y Kemmis (1988)15, como investigación-acción y es concebida:

"como la adopción de un concepto de verdad y acción socialmente construidas, englobadas en la historia". Los autores consideran que este modelo permite trabajar con las "teorías implícitas" de los docentes, para convertirlos en "investigadores activos que llegan a desarrollar sus propias teorías educacionales sobre la base de un conocimiento personal, en el supuesto de que únicamente los prácticos pueden investigar su praxis". En esta perspectiva, "el carácter de la investigación-acción es lograr una acción emancipadora, para poner a prueba las prácticas educativas y mejorarlas".

3.4 Implementación de Objetos Físicos Como Estrategia Didáctica Para el Trabajo en el Aula Como en el proceso de iniciación al álgebra es donde se presentan las mayores dificultades a nivel conceptual, al llegar a esta etapa del aprendizaje, en un gran número de estudiantes se encuentra esta problemática (se estima que por cada grupo de 40 estudiantes 24 de ellos evidencian dichas dificultades, aproximadamente un 60%). Por lo tanto, para realizar el trabajo en el aula es necesario utilizar todos los medios a nuestro alcance, es decir, incorporar materiales educativos como recursos didácticos que hagan más atractivos para los estudiantes los procesos de enseñanza aprendizaje, en este sentido, la lúdica, el juego y las nuevas tecnologías cumplen ampliamente este requerimiento y así lo expresan y reafirman Gras y Cano (2000):

“…Las Tecnologías de la Información y de la Comunicación (TIC) y demás recursos de aprendizaje están revolucionando nuestro entorno social, efecto que también se deja sentir en las aulas. Se nos plantea el reto de preparar a

15 Citados por Francisco Guerrero Castro en documento publicado en internet del análisis sobre la didáctica. (2000) p.19 y consultado en mayo de 2012.

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nuestros alumnos para moverse con seguridad en un mundo complejo y cambiante, e impregnado de los efectos de las TIC. Se requiere aprender a utilizar la gran capacidad de procesamiento y de cálculo del ordenador para incrementar la diversidad de recursos didácticos, y como complemento eficaz de las metodologías convencionales o renovadas…”16.

Trabajar estos recursos como ambientes facilitadores para llevar a cabo la tarea escolar sirve para preparar y potenciar procesos de desarrollo humano, su función, en últimas, está ligada a la cotidianidad como experiencia cultural y social de aprendizaje, a través de ellos los jóvenes pueden participar directamente en su propio proceso de formación; y a la par sus actos de creación transforman dichos procesos, es decir, los van dotando de sentido y de significación. En consecuencia, implementar estos recursos (lúdica, juegos y tics) como medios o formas para la enseñanza aprendizaje del álgebra, requiere de diseñar propuestas creativas e innovadoras para ser desarrolladas al interior del espacio escolar, incorporar en su aplicación el uso de objetos físicos bien elaborados y estructurados, acompañados de unidades didácticas de conocimiento adecuadas y pertinentes sirve como una buena manera para trabajar estas nociones en el aula, en primer lugar por su atractivo para los estudiantes y en segundo término porque en su manipulación estos materiales presentados en forma de juego o lúdica y construidos bajo condiciones específicas aprovechan y dan gran impulso al proceso de aprendizaje de los educandos haciéndoselos más significativo y divertido. De este modo, estas alternativas didácticas, sirven, fundamentalmente, para aclarar conceptos y mejorar las destrezas y habilidades de los jóvenes en álgebra que, de otra forma, ellos encontrarían aburridas y repetitivas; resaltando que con su manipulación no sólo perciben objetos, formas, colores; sino que también perciben significaciones de carácter más generalizado que aislado. Concretamente en el proyecto, estudiar la transición del pensamiento aditivo al multiplicativo como una ruta para acceder a la iniciación temprana al pensamiento algebraico y proponer para esa iniciación partir de contenidos matemáticos como el razonamiento variacional y los procesos de generalización; diseñar secuencias didácticas que toman en consideración tanto aspectos cognitivos como el uso de distintos

16Gras, Albert y Cano, Marisa. Tics en la enseñanza de las ciencias experimentales. Módulo del Máster "Nuevas Tecnologías aplicadas a la educación", Instituto Universitario de Posgrado. Universidad de Alicante (2000). Pág. 1-2

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lenguajes (numérico, geométrico y algebraico), trabajar en dos ambientes simultáneos: objetos de aprendizaje y guías de actividades que apoyan su utilización con tareas en las cuales los estudiantes pueden hacer uso de patrones y regularidades desde los entornos: numérico, geométrico, y algebraico. En síntesis, se puede concluir que implementar estas alternativas didácticas es ideal para el aprendizaje de las nociones algebraicas, su utilización brinda mayores beneficios. Su estado ideal dentro del aprendizaje es aquel que se produce entre la manipulación (uso) y la concreción (conceptualización), en el cual el estudiante se siente ocupado en una actividad que lo atrapa, le agrada y que retiene toda su atención sin mucho esfuerzo y por consiguiente le posibilita producir muchas más asociaciones cognitivas de alto nivel. Los beneficios aportados por el uso de estos objetos de aprendizaje, están enmarcados en las características que reúnen estos elementos como material didáctico y que permiten a través de su manipulación mejorar significativamente en los estudiantes la comprensión del álgebra al: • Ser sencillos y adecuados al nivel de los estudiantes. • Tener y podérseles asignar una finalidad específica. • Ser atractivos y motivadores. • Incorporar, siempre que se pueda, estructuras de objetos, figuras y juegos ya

conocidos. • Posibilitar la realización de actividades individuales y grupales que faciliten la

interiorización del concepto a trabajar. • Ser asequibles tanto económicamente como en su manipulación, prestando especial

interés en los que para llevar a cabo esta propuesta se van a construir.

DESARROLLO METODOLÓGICO

Como generalmente, los trabajos de investigación sobre el álgebra, muestran que estos se han ocupado en su gran mayoría de su enseñanza aprendizaje desde el punto de vista de sus contenidos matemáticos o desde las operaciones algebraicas usadas en los procesos de razonamiento algebraico para la resolución de problemas cuando se trabaja en la escuela, con este proyecto, se pretende presentar una alternativa didáctica diferente para abordar la problemática generada cuando se le enseña, para ello, se propone la elaboración de objetos físicos de aprendizaje para hacerle más fácil a los estudiantes el aprendizaje de este conocimiento, permitiéndoles de un modo más agradable incorporar las cuestiones que implica desarrollar el pensamiento algebraico. Para suplir dicho propósito se determinó entonces, en el desarrollo metodológico del proyecto organizarlo para su realización por etapas; la primera, diseñar y elaborar los objetos físicos de aprendizaje acordes con las características y exigencias que para tal aporta el diseño industrial así como también, la elaboración de secuencias didácticas o guías de trabajo fundamentadas en metodología para el aprendizaje activo denominadas Actividades de Aprendizaje Activo (AAA) que orientan su uso; la segunda, poner a prueba tanto los objetos didácticos para su validación, como las guías de actividades didácticas AAA para verificar el cumplimiento de los propósitos curriculares por los cuales fueron elaborados; y la última, observar y analizar los resultados obtenidos de la aplicación de los objetos de aprendizaje y de las actividades didácticas para confirmar que con su implementación se mejora significativamente, en los estudiantes de grado octavo la enseñanza y el aprendizaje del álgebra.

4.1 PRIMERA ETAPA: Diseño y Elaboración de los Objetos Físicos de Aprendizaje y de las Secuencias Didácticas de Apoyo El álgebra está presente en la actividad matemática, para facilitar su aprendizaje el diseñar, construir e implementar objetos físicos representa una estrategia didáctica no



tradicional para aprenderla, como estos proporcionan creatividad, favorecen su aprehensión y generan mayor motivación en los estudiantes hacia estas ideas matemáticas, les brindan diferentes posibilidades para el desarrollo de su pensamiento inductivo y de sus habilidades al resolver problemas, les ayudan a fortalecer una actitud positiva hacia la asignatura, así como también, les permiten acrecentar su capacidad para la formulación de hipótesis y para la búsqueda de caminos propios hacia procedimientos y métodos que deben aplicar en su hacer matemático.

4.1.1 Objetos Físicos de Aprendizaje Esta estrategia didáctica de implementar objetos físicos para el aprendizaje, no está enmarcada en las formas tradicionales de enseñar el álgebra. Comúnmente se piensa que la matemática no puede ser ni entendida ni entretenida y por esta razón, este conocimiento resulta aburrido para muchos de los estudiantes e inclusive algunos de ellos pasan por los cursos de álgebra sin comprender en ningún grado y medida sus métodos y procedimientos. Es muy importante destacar que usar objetos físicos de aprendizaje en el aula para llevar acabo la actividad matemática principalmente, para aprender el álgebra es una práctica educativa pertinente y significativa pues con ella se permite a los educandos avanzar en procesos como: el ensayo y error, el empezar por lo fácil, manipular, descomponer, experimentar, usar analogías, organizar, representar, variar las representaciones, deducir, conjeturar, analizar casos límites, reformular conocimientos matemáticos entre otros más que son el propósito de desarrollar este proyecto para mejorar y facilitar el aprendizaje del álgebra. Una consecuencia de lo anterior, es que al trabajar esta ciencia, la clase se hace una actividad más agradable y menos aburrida para los estudiantes, pues ellos participan con mayor agrado y motivación; sienten que aprenden más, que acrecentan sus conocimientos y mejoran sus competencias en el campo matemático. En la etapa de diseño y elaboración de cada uno los objetos de aprendizaje que para este proyecto se crearon tres17, se distinguen dos fases típicas:

17 El primero denominado “Colorgebra”, el segundo “Gebratorre”, y el tercero, “”Pascalgebra”.

Capítulo 4 41

La comprensión del problema del aprendizaje del álgebra, en la que hay una exploración inicial para la presentación de propuestas de diseño de los objetos.

La Construcción de los objetos, acorde con los requerimientos que para ello proporciona el diseño industrial y de las guías de actividades que direccionan su uso.

Comprensión de la Problemática La iniciación al estudio del álgebra se hace, en la mayoría de las veces, con demasiada rapidez y sin valorarse de forma adecuada las dificultades que conlleva su correcta asimilación, pues no se tiene en cuenta que éstas no se deben, exclusivamente, a una asimilación deficiente de los procesos matemáticos previos, sino que se deben también a la naturaleza de los elementos y de la propia actividad algebraica. Esto es, el salto al nivel formal que se presenta en la etapa de transición del pensamiento aritmético al algebraico se realiza tan rápido que no se da tiempo a los estudiantes a desarrollar sus propios esquemas, y es en este momento cuando se generan las mayores dificultades en los educandos al aprenderla, dificultades que son manifestadas en situaciones como por ejemplo (véanse figuras 5 y 6):

Para ellos cuando tienen una expresión como 10 + 4 es un problema de aritmética, y fácilmente, la interpretan como sumar 10 a 4; pero, al dárseles una expresión como x + y no les es tan claro y directo interpretarla como un problema en el cual se presenta la generalización como uno de los procesos propios del álgebra.

En cuánto a los métodos algebraicos, para ellos, es necesario que además de hacer cambios de los símbolos, se produzca un cambio en su significado, esto es, que no sea una sustitución de números por letras, sino que realicen los procesos de pensamiento necesarios para el paso de número a variable.

El no asimilar situaciones de equilibrio y su propiedad simétrica que representa el igual (=) de las ecuaciones, sólo reconocen su carácter unidireccional y desconocen que deben manejar simultáneamente sus dos lados. De esta manera se consigue que las reglas formales de resolución de ecuaciones no sean meros procedimientos carentes de sentido.



Figura 5 Evidencias de dificultades de los estudiantes de grado 8º al hacer operaciones básicas algebraicas

Fuente: Elaboración propia tomada del registro de cuadernos de estudiantes de 8º del año lectivo 2011.

En cuanto al razonamiento algebraico que deben hacer al resolver problemas se

requiere que entiendan que tienen múltiples trayectorias de solución, y que éste es apto para explorar y hacer aproximaciones creativas de solución. Se debe motivar y entusiasmar a los estudiantes a considerar y explorar métodos alternativos de solución y, una vez que resuelven el problema, reflexionen sobre sus propios métodos y los comparen con los de sus compañeros, lo que favorecerá de una buena manera desarrollar en ellos su razonamiento lógico y verificar estrategias. Aquí se debe orientar a los estudiantes para que comprendan cómo las ecuaciones y sus modificaciones representan acciones con los objetos y de este modo, mejorar el proceso de traducir palabras a símbolos.

Capítulo 4 43

Los estudiantes al utilizar este material manipulable, no se quedan asignándole a los valores variables una sola denominación x por ejemplo, ni le asignan a un sólo valor cuando construyen las expresiones algebraicas, al manejar diferentes formas de representación (lenguaje verbal, simbólico, gráfico o algebraico), no le restan a la letra o símbolo el carácter variacional que posee y que toma en estas expresiones. Igualmente, como estos recursos les son más concretos les facilita la ejecución de las reglas algorítmicas para hallar los polinomios y factorizarlos empleando la multiplicación inversa o productos notables binomio, con ellos lo que se les propone es que realicen procedimientos simples para posteriormente, hacer generalizaciones conectando los conceptos relacionados con este proceso y de este modo, superar en parte la dificulta manifestada en la limitada comprensión del mismo (factorizar expresiones polinómicas), debido a que mantienen aisladas sus ideas sobre las nociones que aquí se relacionan. El objetivo es que identifiquen patrones de comportamiento o regularidades en las expresiones que obtienen y de esta manera dirigirlos a predecir su factorización. Figura 6 Evidencias de dificultades de los estudiantes de grado 8º al utilizar el lenguaje algebraico

Fuente: Elaboración propia tomada del registro de cuadernos de estudiantes de 8º del año lectivo 2011.



Situaciones como las anteriores entre otras más, motivaron a presentar esta propuesta didáctica, escogiendo para su realización el diseño de objetos físicos para el aprendizaje del álgebra, que en un comienzo dichos objetos fueron ideados desde mi experiencia como docente pero que al empezar mis estudios de Maestría en Enseñanza de las Ciencias Exactas y Naturales resulta ser otro de los aportes y apoyo que ésta brinda a los profesores para mejorar los procesos de enseñanza de las matemáticas en la institución escolar, reafirmándose y fundamentándose tal propuesta sobre todo al conocer y cursar la asignatura Diseño de Objetos de Aprendizaje para la Enseñanza, al tener la posibilidad de diseñarlos, elaborarlos y construirlos con los requerimientos que para tal propone el diseño industrial y con el deseo de superar con mi práctica profesional las dificultades mencionadas, contando además con la ayuda interdisciplinar tanto de estudiantes de últimos semestres de Diseño Industrial como de los docentes titulares del curso.18 Se hace necesario mencionar que antes de contar con estos recursos didácticos, para el tratamiento de esta temática y que los estudiantes lograran construir las fórmulas de los productos notables de los binomios suma se utilizaba como estrategia dentro del aula una actividad que consistía en emplear varias fichas de papel de forma circular hechas en cartulina y de dos colores diferentes, elementos que ellos debían traer a la clase previamente recortados (del tamaño de una moneda y aproximadamente 50 de ellos de cada color), con el material listo según las indicaciones dadas, se les pedía que las pegaran en una hoja de papel, de tal modo que formaran todas las combinaciones posibles con ellas al organizarlas en columnas, sabiendo que se contaba con dos colores de fichas y con la condición de que se tuvieran 2, 3, 4 o más fichas en cada columna según el producto notable que se quisiera formar, además debían cumplir con la regla de que ninguna de las combinaciones formadas se repitiera (Ver figura 7).

18 El equipo de trabajo interdisciplinar estuvo conformado por los estudiantes de Diseño Industrial de la Universidad

Nacional de Colombia sede Palmira: Guillermo Gómez Cohen, Harold Rodríguez, Camilo Martínez, Andrés Fernando Montes, Jaime Alonso Moreno, Felipe Vergaño Payan, y docentes titulares: Raúl Antonio Díaz P., Miguel Fernando González A. y Sandra Rozo.

Capítulo 4 45

Figura 7 Evidencias: estrategia didáctica utilizada en años lectivos anteriores antes de implementar OFA para la enseñanza de productos notables

Fuente: Elaboración propia tomada de productos finales del trabajo que realizan los estudiantes de 8º antes de implementar el uso de los OFA: Colorgebra, Gebratorre y Pascalgebra.

Generalmente, algunos de los estudiantes no traían a la clase el material solicitado (los círculos recortados debido posiblemente a la cantidad de fichas que debían recortar, por olvido o por irresponsabilidad frente a tareas asignadas) lo cual ocasionaba hacer dicho trabajo durante la clase, acortando el tiempo tanto para la clase misma como el que se requiere para el tratamiento de estos conocimientos, y aunque esta estrategia permite al docente el seguimiento y control de la actividad de aprendizaje directamente desde el registro del trabajo que realiza el estudiante es decir, la hoja de papel con las fichas pegadas (lo que facilita la evaluación); y además potenciar la transferencia de conocimientos conduce a los estudiantes hacia patrones fijos de aprendizaje (solo conocimientos teóricos); enfrentándolos a una forma meramente algorítmica de trabajo alejándolos de experiencias más prácticas . En otras palabras, los estudiantes estaban a menudo más absorbidos por los aspectos técnicos de la actividad, preocupados más de cómo alinear las fichas de cartulina o pegarlas por pegarlas que en el sentido de la misma llegando en ocasiones y en varios de ellos a desconocerlo, esto es, a no pensar sobre lo que están haciendo. Esta experiencia tendía entonces a ser simple por causa de limitaciones ya sean de equipamiento o de tiempo y débil en términos del razonamiento pues se pone en énfasis la falta de pensamiento crítico.



Construcción de los Objetos Físicos de Aprendizaje Partiendo de la premisa de que un material didáctico bien elaborado debe servir de soporte, contener una estructura didáctica y permitir incluir en su implementación diferentes tipos de contenidos de un programa educativo, en este caso la temática propia del álgebra, y con el propósito de que los estudiantes adquieran, aprehendan y comprendan estos conocimientos mediante su uso se crearon tres objetos físicos de aprendizaje (denominados Colorgebra, Gebratorre y Pascalgebra) durante el desarrollo de este proyecto. Al elaborar y construir los objetos físicos para el aprendizaje del algebra, se consideró para su diseño cómo hacer posible la interpretación y uso de la variable en el momento que se deja de usar el número y se empieza a usarla, para esto, se pensó en la importancia y manejo de los colores y de las formas geométricas para su representación. Cabe destacarse que la escogencia de estas herramientas didácticas no se hizo desde lo virtual sino desde lo físico, precisamente este fue un criterio muy relevante al hacerlo, debido a sus enormes ventajas y por brindar la posibilidad de hacer más concreto y tangible en el estudiante estos elementos que son propios de una disciplina tan abstracta como es el álgebra, la idea fundamental es que los educandos puedan ir asimilando desde el inicio de la etapa de transición de la aritmética al álgebra tanto sus nociones iniciales como sus métodos y procedimientos. Ellos, al igual que las herramientas didácticas virtuales exigen un cambio de paradigmas y cumplen con la necesidad de … rediseñar los procesos educativos incorporando un modelo pedagógico constructivista y colaborativo, con la flexibilidad de las herramientas tecnológicas, con un adecuado diseño instruccional, en combinación con entornos educativos virtuales, con la construcción de objetos de aprendizaje interactivos centrados en las necesidades de los usuarios y las instituciones, lo que permitirá conseguir un avance importante hacia la integración de la TIC en la educación … tal como lo exponen Rosado Briceño, Jesús y otros en su artículo: Construcción de objetos de aprendizaje.19

19 Artículo basado en la metodología y la experiencia de la Universidad Autónoma Metropolitana, sobre el desarrollo de

Objetos de Aprendizaje, partiendo de un caso práctico de un Curso de Náhuatl desarrollado para el Gobierno del Distrito

Federal (GDF) y elaborado por Jesús Alberto Rosado Briceño, Lourdes trinidad Delgado y Vicente Jaime Ampudia Rueda. (2008).

Capítulo 4 47

Tanto el reconocimiento de la problemática como el considerar los requerimientos y determinantes que propone el diseño industrial para la construcción de material didáctico permitió caracterizar los objetos de aprendizaje para su diseño, requerimientos que me fueron conocidos al cursar durante mis estudios de maestría la asignatura Diseño de Objetos de Aprendizaje para la Enseñanza.

La estrategia empleada para el diseño y la elaboración de los objetos físicos fue acoger las sugerencias hechas al respecto tanto por el director de tesis magister Raúl Antonio Díaz Pacheco, como por el equipo de trabajo interdisciplinar que estuvo conformado por los estudiantes de Diseño Industrial de la Universidad Nacional de Colombia sede Palmira: Guillermo Gómez Cohen, Harold Rodríguez, Camilo Martínez, Andrés Fernando Montes, Jaime Alonso Moreno, Felipe Vergaño Payan, y los docentes titulares: Miguel Fernando González A., Sandra Rozo y el mismo director, quienes basados en las necesidades expuestas desde mi experiencia profesional como docente y en la indagación sobre el estado del arte que para tal se encuentra en trabajos de investigación ya desarrollados sobre esta temática (véanse Tablas 7 y 9) formularon los requerimientos para la creación de los objetos, alterno a ello se hizo necesario elaborar guías de actividades de aprendizaje diseñadas bajo el enfoque de las metodologías para el Aprendizaje Activo, con el propósito de apoyar y orientar el uso de dicho material (véanse figuras 16 a 19). Otra característica que se buscaba en ellos era que permitieran acertadamente la interacción: contenidos curriculares, objeto de aprendizaje, profesor y educandos; y que cumplieran con las características y ventajas de aplicación de estándares que propone el diseño para hacer el aprendizaje más significativo (véanse Tabla 8 y sus respectivas explicaciones pág. 50). A continuación se expresa de forma más detallada, cómo están estructurados (requerimientos, fuentes de inspiración, descripción y componentes) y cómo se diseñaron los objetos físicos que se crearon para llevar a cabo esta experiencia investigativa y mejorar la enseñanza aprendizaje del álgebra en grado 8º.



Requerimientos de los OFA Los OFA se desarrollaron de acuerdo con los requerimientos más importantes de diseño para esta clase de instrumentos tales como: seguridad, comodidad, versatilidad, flexibilidad e intuición en el uso, y algunos deseables como: estética visual y coherencia teniendo en cuenta las tendencias más adecuadas para este tipo de herramientas. La tabla 8 muestra los aspectos más relevantes que definen los requerimientos y determinantes para la configuración del objeto desde la perspectiva de concepto de uso y de diseño. Tabla 8 Criterios más relevantes tenidos en cuenta para el diseño de los OFA

Requerimientos para la configuración del Objeto Físico

CONCEPTOS DE USO CONCEPTOS DE DISEÑO

Eficiencia Flexibilidad Versatilidad Sencillez

Calidad Técnica Adaptabilidad Calidad Estética Seguridad

Amigables Accesibilidad Fuente: Elaboración propia con datos obtenidos del proceso de selección de los requerimientos necesarios para diseñar los objetos didácticos, consultados en el documento Construcción de objetos de aprendizaje de Rosado B., Delgado y Ampudia R. (2008) en febrero de 2012. Cruz y Galeana citados por Betancur (2009) explican algunos de los anteriores requerimientos20 y las ventajas de aplicación de estandares y otros más que caracterizan los objetos de aprendizaje de la siguiente manera: Reusabilidad: es la capacidad de los objetos para ser combinados dentro de nuevos cursos (o entornos de aprendizaje)

20 Explicaciones tomadas de la tesis de maestría denominada Incidencias de las Tecnologías de la Información y la Comunicación como Estrategia de Aprendizaje del Álgebra en Estudiantes de Primer Semestre de la Universidad Nacional de Colombia sede Palmira, elaborada por Jaime García E., que aparecen en la pág. 43 y consultada en marzo de 2013.

Capítulo 4 49

Escalabilidad: característica de los objetos que les permite ser integrados a estructuras más complejas o extensas dentro del dominio de aprendizaje para el que fueron creados, así como también que las capacidades (multiusuario) que se le anexen no implique un incremento proporcional en costos. Generatividad: característica del objeto que permite generar otros objetos derivados de él. Gestión: Facilidad que brinda el sistema para tener la información concreta y correcta acerca de los contenidos que aborda y de las posibilidades de estudio que ofrece al estudiante. Interactividad: capacidad que posee el objeto para generar la actividad y la comunicación entre los sujetos involucrados en el proceso de aprendizaje. Accesibilidad: facilidad que ofrece al usuario para acceder libremente a los contenidos apropiados en el tiempo que se requiera. Durabilidad: se refiere a la vigencia de la información de los objetos a fin de eliminar su obsolescencia. Adaptabilidad: característica del objeto de aprendizaje para acoplarse a las necesidades de aprendizaje de cada individuo. Autocontención Conceptual: capacidad de los objetos para auto explicarse y posibilitar experiencias de aprendizaje integral. Otras características más particulares tenidas en cuenta para cumplir y suplir los requerimientos necesarios para diseñar los objetos en este proyecto son: Comportarse de forma modular permitiendo la representación de diferentes

expresiones algebraicas. Contar con fichas, diferenciadas por el color, la forma o por una combinación de

ambas.

Trabajar y funcionar de forma sistemática con cada una de sus partes. Para su diseño, considerar formas geométricas bidimensionales y tridimensionales, y

colores planos. Posibilitar con su manejo y diseño construir cualquier expresión algebraica. Facilitar con ellos el registro, control, seguimiento y la evaluación del trabajo realizado

por los estudiantes.



Ser portables fácilmente. Para su almacenamiento, todas sus partes deben autocontenerse para evitar la

pérdida de ellas. De su uso, derivarse fácilmente las nociones algebraicas y permitir su control y

orientación por medio de secuencias didácticas.

Fuentes de Inspiración Para el Diseño de los Objetos y Estado del Arte

En la revisión de diversas fuentes de información se ha encontrado que se han realizado numerosas investigaciones (en la tabla 7 se resumen algunos de ellos) y se han desarrollado trabajos a partir de la necesidad de elaborar propuestas que mejoren significativamente el aprendizaje del álgebra para su tratamiento en la institución escolar apoyadas en la implementación del juego, la lúdica y las nuevas tecnologías y en los referentes teóricos que las sustentan.

Estas referencias se focalizan fundamentalmente en estudios y experiencias previas desarrolladas por docentes colombianos, latinoamericanos y algunos internacionales, además, de servir de marco de referencia para guiar la puesta en marcha de esta propuesta al poderse hacer comparaciones y contar con otras ideas para el abordaje de esta problemática.

A continuación, se presentan resumidos algunos ejemplos de trabajos teóricos y prácticos (ver tabla 9); elaborados, aplicados y relacionados con esta problemática y que hacen parte de su estado del arte (ver tabla 10):

Capítulo 4 51

Tabla 9 Resumen de trabajos teóricos relacionados con la problemática del Álgebra

PUNTO DE VISTA DESARROLLO Desde la investigación didáctica y desde la visión histórica de la evolución del álgebra: LOS OBSTÁCULOS EPISTEMOLÓGICOS EN EL DESARROLLO DEL PENSAMIENTO ALGEBRAICO. VISIÓN HISTÓRICA Elsa Malisani Argentina. 1999.

Se abordan los obstáculos epistemológicos en el aprendizaje del álgebra y se hace un estudio experimental, considerando no sólo el camino histórico-epistemológico, sino también otros caminos significativos para la formalización del nuevo lenguaje. En él también se indaga la relación entre el lenguaje algebraico en construcción y los otros lenguajes (natural, aritmético y geométrico) en la comunicación de las Matemáticas y de qué modo estos lenguajes pueden contribuir y/o interferir en el desarrollo del lenguaje algebraico, en los aspectos sintaxis-semántica y relacional-procedimental.

Desde la resolución de problemas contextualizados: APREHENDER ÁLGEBRA UTILIZANDO CONTEXTOS SIGNIFICATIVOS Adriana Rabino, Patricia Cuello, Mario de Munno. Argentina (2004). ACCESIBILIDAD EN EL APRENDIZAJE DE LA MATEMÁTICA. A "QUIENES VEN EL MUNDO CON SUS MANOS" Gloria María Isidro Villamizar. Estudiante de Licenciatura en Matemática en la Universidad Industrial de Santander, Bucaramanga

Colombia. (2007, 2011).

Utilizan situaciones reales para comenzar con ellas el desarrollo de los conceptos matemáticos. Presentando a los estudiantes problemas en un contexto real. Mostrando que el problema se resuelve de una manera que tiene sentido para ellos. Usando herramientas o estrategias diferentes, como nexo entre lo concreto y lo abstracto. La experiencia enseña que si queremos estudiantes que utilicen estrategias matemáticas para resolver un problema, se debe proveerlo de problemas que exijan eso.

Desarrollo de estrategias de enseñanza aprendizaje de las matemáticas accesibles a estudiantes ciegos. Utilizando máquinas para operaciones matemáticas en Braille, el plano táctil.

Fuente: Elaboración propia modelo adaptado.



Desde la implementación del juego, la lúdica y las tics:

1. CADENA DE IDENTIDADES NOTABLES.

2. ROMPECABEZAS BLANCO.

3. JUEGO DE ADIVINANZA.

4. COMICS SOBRE ÁLGEBRA.

5. VIDEOS (ENSEÑANZA DE CASOS DE FACTORIZACIÓN).

García Azcarate. Madrid, 1999. Revista Creative Child. 2006.

EL ÁLGEBRA GEOMÉTRICA COMORECURSO DIDÁCTICO PARA INICIAR A LOSESTUDIANTES EN EL ÁLGEBRA ESCOLAR. Universidad Distrital Francisco José de CaldasBogotá –Colombia 200910mo SIMPOSIO DE EDUCACIÓN MATEMÁTICAMARGARITA LASCANO GARCIA y otros.

Ayudas didácticas del álgebra usando figuras geométricas y software educativo con videos en YouTube; juegos de mesa basados en álgebra; comics sobre álgebra; juegos: puzles-rompecabezas-cadena de identidades.

Si te llaman la atención los problemas de lógica - matemática y las actividades de habilidad mental.

Tienes la oportunidad de ser el mejor.

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DESAFIO III

“Solo Para Genios”

No digas que eres el mejor, ¡Demuéstralo!

Tabla 10 Estado del Arte

Fuente: Elaboración propia modelo adaptado.

Capítulo 4 53

Teniendo en cuenta tanto los elementos anteriores, resultantes del análisis de referentes didácticos como los trabajos de investigación ya elaborados (véase tabla 9) que tomaron por fuente de inspiración (véase figura 7) y apoyo a los juegos de mesa, rompecabezas, comics y otros (obtenidos en la búsqueda y revisión de material didáctico existente para potenciar la enseñanza aprendizaje del álgebra, ver tabla 10) se construyeron las herramientas didácticas para este proyecto, consisten en tres productos finales quienes en orden de aparición son llamados respectivamente así por los elementos conceptuales que movilizan con más fuerza como: “COLORGEBRA” al primero, por permitir a través del color interiorizar la noción de variable y su operatividad; “GEBRATORRE” al segundo, por facilitar con formas geométricas y con su estructuración vertical el hacer operaciones básicas del álgebra y derivarse con su uso las correspondientes fórmulas de ciertos productos notables, y “PASCALGEBRA” al último, por posibilitar el tratamiento y manejo de sumas elevadas a cualquier potencia mediante la configuración del Triángulo de Pascal.

Figura 8 Ilustraciones de fuentes de Inspiración para el diseño de los Objetos Físicos de Aprendizaje



Fuente: Elaboración propia y de imágenes tomadas de internet: www.search.rainbowresource.com/math-games; www.recursosmatematicos.com/recreat.html consultadas en febrero de 2012.

Descripción de los OFA Los objetos didácticos constan de los siguientes elementos y partes como se describe a continuación.

1) COLORGEBRA: Este objeto consta de un tablero horizontal en madera con cierta inclinación que sirve de base, con perforaciones circulares sobre las que se disponen las fichas de forma cilíndrica blancas, con tallado a manera de divisiones para representar diversas cantidades numéricas y tapones en colores. Sobre su base hay marcadas líneas verticales de separación que indican la formación de columnas para facilitar su utilización y signos de suma (+) y producto (x). Una característica física de él es que no permite modificar su tamaño (ampliarlo o reducirlo), es decir, éste ya está determinado. Sus fichas son compuestas de dos partes, el vástago que se insertaba en el tablero representa un número natural de acuerdo a la cantidad de secciones que se le ha tallado. Cuando ésta base es cubierta por un casquillo o tapa de color, la función del número desaparece y el vástago hace las veces de variable dada por su color. (véase figura 9).

Capítulo 4 55

Figura 9 Objeto Físico de Aprendizaje COLORGEBRA

Fuente: Elaboración propia fotografía tomada del objeto No. 1 Colorgebra.

La figura 10, muestra la evolución del primer objeto hasta llegar a convertirse en el producto final, Colorgebra: Figura 10 Imágenes de la evolución del diseño del OFA Colorgebra

Ficha tapón, con su color se trata la idea de variable

Ficha base, la cantidad de secciones talladas en ella representan valores numéricos

Tablero con perforaciones circulares, constituye la

base del objeto



Fuente: Elaboración propia fotografía tomada del objeto Colorgebra.

Este primer objeto por estar su base (tablero de madera con perforaciones circulares) en un principio dispuesta casi de manera horizontal, y sin líneas divisorias causaba en los estudiantes dificultad para entender las indicaciones que aparecen en la guía de trabajo que apoya su uso: La secuencia didáctica AAA No. 1 “Aprender álgebra si es posible” (véase figura 15); sobre todo cuando en ella se pide identificar la operación usada cuando se trabaja con el objeto por columnas o filas para construir las expresiones algebraicas (numeral 6 de la misma), por esta razón fue necesario hacerle modificaciones consistentes en colocar líneas verticales de separación, signos de suma + y producto *; y darle cierta inclinación a la base para que no se vea planar. Además, por ser su base de forma rectangular (con perforaciones dispuestas por filas y columnas de máximo 5 x 4), con este tamaño y dimensiones se limitaba y se no permitía el trabajar sobre él expresiones con muchos términos o con potencias muy grandes para hacer manejo operativo algebraico, esto motivó a construir el segundo objeto presentando como posible solución la posibilidad de disponer fichas con las cuales se formaran torres (de aquí el nombre del segundo objeto: Gebratorre), para ello, se implementó el uso de una base lineal como riel que sirve para sostener las fichas que en el objeto tienen la forma de sólidos geométricos y que se incrustan unas sobre otras para formar dichas columnas.

2) GEBRATORRE: es una base modular lineal en madera con perforaciones dispuestas a lo largo de una fila, separadas a una distancia determinada y sobre las cuales se disponen fichas con formas de sólidos geométricos en colores (en este caso cubos y esferas), cada ficha cuenta con un pin en uno de sus extremos para ser incrustada sobre otra y una ranura en el otro para incrustársele a ella otra ficha; de este modo forman columnas o torres que representan ciertos productos notables: binomios suma de la forma (x + y)n. Su característica física esencial es que permite modificar su tamaño, es decir, expandirse para poder trabajar dichas expresiones algebraicas con valores (potencias) ≥ 2 para n. Ver figura 11.

Capítulo 4 57

Figura 11 Objeto Físico de Aprendizaje GEBRATORRE

Fuente: Elaboración propia fotografía tomada del objeto No. 2 Gebratorre.

La figura 12, muestra la evolución del segundo objeto, hasta llegar a convertirse en el producto final: Figura 12 Imágenes de la evolución del diseño del OFA Gebratorre

Fuente: Elaboración propia fotografía tomada del objeto No. 2 Gebratorre.

Este segundo objeto aunque mejoró sustancial y significativamente las falencias encontradas en el primero de ellos (dadas por el tamaño limitando el tratamiento de productos notables binomio suma de la forma (x+y)n para n mayor de 3), y al tener con él la posibilidad de manejar su tamaño al permitir expandir su base linealmente, es decir, adicionarle más módulos base; y así poder construir los productos notables binomios suma para potencias mayores a 3, se presentó con él, la dificultad de que al expandirlo se requerían muchas fichas para completar y formar dichos productos notables. Esto

Fichas con formas de sólidos geométricos (cubos y esferas) con las que se forman torres.

Base modular, con perforaciones sobre las que se disponen las fichas y con acoples.



llevó a diseñar el tercer objeto que representa la configuración hecha por Pascal para determinar los respectivos coeficientes de los términos que forman cada una de las sumas elevadas a cualquier potencia (y que corresponden a los productos notables binomios) estructurando un triángulo conocido como el Triángulo de Pascal (de aquí el nombre del tercer objeto: Pascalgebra).

3) PASCALGEBRA: este objeto (figura 13) está formado por dos módulos con

fichas planas de forma hexagonal de madera, donde uno se comporta como fichas base sobre la cuales se puede escribir y el otro sirve, por ser fichas perforadas y en colores, para determinar con la cantidad de fichas puestas sobre las fichas base, representando la cantidad de estas últimas fichas los valores respectivos o coeficientes numéricos de las expresiones que se derivan de la configuración del Triángulo de Pascal. Además, las fichas base se disponen de tal modo que se forma con ellas un triángulo donde se aumenta cada vez más su base dependiendo de la potencia a desarrollar. La característica física más relevante de este objeto es que al no constituirse por muchos elementos permite más fácilmente su manejo.

Figura 13 Objeto Físico de Aprendizaje PASCALGEBRA

Fuente: Elaboración propia fotografía tomada del objeto del tercer objeto.

Con la siguiente figura, se muestra la evolución del tercer objeto (véase figura 14):

Capítulo 4 59

Figura 14 Imágenes de la evolución del diseño del OFA Pascalgebra

Fuente: Elaboración propia fotografía tomada del objeto No. 3 Pascalgebra.

Configuración de los Objetos de Aprendizaje La configuración de los OFA se basa en métodos funcionales y en sus relaciones de uso (eficiencia, versatilidad, calidad técnica y estética y amigables, definidas en la pág. 50) que facilitan su seguimiento y control, su utilización está enmarcada en la lúdica y el juego y por esta razón, al estar construidos bajo condiciones específicas de diseño permiten por su atractivo una buena manera de trabajar nociones matemáticas en el aula, igualmente, posibilitan la evaluación. Con relación a los componentes de uso y de diseño de los objetos (véase figura 15), estos se escogieron buscando manipular las emociones de los estudiantes, enfrentándolos a elementos que pueden asociar más fácilmente con su cotidianidad, siendo el color y las formas geométricas los constitutivos esenciales dentro de su diseño para llevar al educando al reconocimiento y construcción de la idea de variable (con ello romper con esquemas tradicionales para el tratamiento conceptual del álgebra, al brindárseles la posibilidad de materializarla y concretizarla); ésta, la variable, en un principio le es y representa un elemento intangible, con el uso de los OFA la pretensión es, hacerla concreta, tangible y real para ellos.

Fichas Base: con las que se forma el triángulo.

Fichas en colores: la cantidad de ellas colocadas sobre una ficha base representan los coeficientes o valores numéricos de los términos de cada producto notable



Figura 15 Componentes de Diseño de los Objetos Físicos de Aprendizaje

Aplicar para las fichas un dummie que puede tomar cualquier valor al adicionar un elemento en el cual el estudiante decidirá que letra ponerle y dejarle claro que sin importar el elemento del abecedario que el use la ficha tiene un carácter numérico.

Disponer los dummies para que el estudiante pueda hacer dependiendo de la ubicación en el eje determinadas operaciones…

Eje “x” parasuma

Eje “y” paraproducto

Fuente: Imágenes tomadas de internet: www.matematicas.profes.net/propuestas2 consultada en marzo de 2012

También para su configuración como tal, fue muy importante tener en cuenta cómo se comportarían las propuestas frente al usuario final (en este caso el educando), de este modo, tener claridad sobre las respuestas para suplir necesidades, obtenidas éstas de datos reales del comportamiento de los objetos cuando se implementan en el aula, al

Capítulo 4 61

estar basados en conceptos de diseño destinados para hacer de la calidad de los productos una realidad.

4.1.2 Diseño de las Secuencias Didácticas Las guías de actividades o tareas que deben desarrollar los estudiantes se diseñaron bajo los presupuestos teóricos de las Metodologías para el Aprendizaje Activo, éstas en el proyecto son denominadas Actividad de Aprendizaje Activo (AAA), y para apoyar el uso de los objetos se elaboraron cuatro de ellas, éstas determinan el desarrollo conceptual, pedagógico y didáctico del trabajo y contribuyen a crear un clima favorable para la implicación de los estudiantes en las tareas que deben abordar. Dichas guías, se estructuraron desde los contenidos curriculares y estándares necesarios para desarrollar las nociones del álgebra en grado 8º de educación básica, con el propósito de resolver en gran medida las dificultades que se presentan cuando se le aprende o se le enseña; dificultades que son consecuencia de la transición dada al pasar del pensamiento aritmético al pensamiento algebraico y que están manifestadas en situaciones21 que ya han sido mencionadas antes en este documento (ver pág. 24). Además, éstas secuencias se elaboraron con estrategias educativas centradas en y para el aprendizaje del álgebra, constituyendo un documento de apoyo que contiene tres momentos básicos referidos a realizar actividades de inicio, desarrollo y cierre, permitiendo ir más allá de la planeación curricular, y de la consideración de los contenidos a trabajar; implicando el empleo y desarrollo de competencias genéricas y disciplinares por parte de los estudiantes, así como de valores, estrategias, técnicas y actividades acordes a un determinado tiempo y que serán evaluadas con criterios establecidos, para definir avances y dificultades durante el proceso (por precisarse en ellas tanto los objetivos como los criterios y formas de evaluar, así como los aprendizajes o productos resultado esperados).

21 Como la utilización de: el lenguaje algebraico (letras con significado – variables – organizado desde lo epistemológico, cognitivo y didáctico); las expresiones algebraicas (ecuaciones lineales y cuadráticas); los procesos de pensamiento (específicamente la sustitución formal, la generalización y la modelación) y la resolución de problemas.



A continuación, primero se caracteriza cada una de las cuatro secuencias didácticas (ver figuras 16 a 19) o rutas de acciones que deben seguir los estudiantes para alcanzar los objetivos de aprendizaje, que para este caso consisten en aprender las nociones algebraicas; seguidamente, se describen las situaciones que las conforman cada una de las guías AAA referidas a la temática que movilizan con los preconceptos requeridos para trabajarlas, su objetivo, la relación con el objeto de aprendizaje que apoyan para su uso, y la explicación de cómo surgieron sus puntos numerales (cómo están agrupados y qué secuencia tienen).

Caracterización de las Secuencias Didácticas

Secuencia Didáctica No. 1 La primera secuencia didáctica corresponde a la guía AAA No. 1, denominada “Aprender Álgebra si es Posible” cuyo objetivo es construir y representar expresiones algebraicas sencillas, usando del objeto físico COLORGEBRA y siguiendo las indicaciones que aparecen en ella (figura 16). Figura 16 Hoja de predicciones individual AAA No.1 I.E.T.I. RAFAEL NAVIA VARÓN

MATEMÁTICAS GRADO 8º Lic. OLGA LUCIA MASSO S.

Nombre: __________________________________________ Grupo: ___ Fecha: ______

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE ACTIVO No. 1 “Aprender álgebra si es posible ”

HOJA DE PREDICCIONES – INDIVIDUAL Instrucciones: Esta hoja será recogida en cualquier momento por el profesor. “escriba su nombre para registrar su asistencia y participación en esta actividad”. Siga las instrucciones del profesor. Materiales: Kit: Base tablero, fichas circulares (objeto de aprendizaje COLORGEBRA), ficha de registro y cuaderno de trabajo.

Objetivo: Mejorar en la comprensión y aprehensión de las nociones del álgebra utilizando objetos físicos para el tratamiento y manejo de expresiones algebraicas. Tiempo previsto para toda la actividad: 2 sesiones de clase (240 minutos).

¿CÓMO REPRESENTAR EXPRESIONES ALGEBRAICAS? Usa el material didáctico para explorar el manejo de expresiones algebraicas siguiendo las indicaciones que aparecen a continuación. Camila está jugando con fichas que se pueden colocar de diversas maneras en las perforaciones sobre la base-tablero del objeto de aprendizaje, analiza la forma como las organizó para descubrir que existen características asociadas a ellos que permiten construir expresiones del álgebra. Realiza las siguientes predicciones primero individualmente:

Capítulo 4 63

1. Reconoce y explora el objeto de aprendizaje, para ello libremente mueve sus fichas, y forma tus

propias construcciones. 2. ¿Cómo describirías con tus palabras, los elementos (las fichas) que aparecen organizadas en la

base-tablero? Cuál crees que es su función? Escríbelo. 3. ¿Reconoces características comunes que compartan los elementos del objeto de aprendizaje o

respecto a la forma como están colocadas sobre él? Escríbelas. 4. ¿Cómo representarías con un esquema la construcción que está formada sobre la base- tablero? 5. ¿Renombra ahora, utilizando el lenguaje matemático (símbolos, letras o variables, operaciones) la

representación que hiciste anteriormente? ¿Cómo quedaría ahora ella? Escríbelo. 6. Observa sobre el tablero que operación es utilizada por columnas y por filas. ¿Cómo podrías

expresar utilizando el lenguaje matemático cada organización que aparece en cada columna? Utiliza la tabla 7 para hacer tus registros.

7. Une sumando todas las expresiones que encontraste en el ejercicio anterior, para obtener en su totalidad la expresión algebraica que representa a la construcción inicial. Escribe cómo quedaría.

Respuestas a las predicciones

4. Dibujo o esquema de tus observaciones

Columna Fila

Fuente: Elaboración propia basada en modelos de guías de actividades con Aprendizaje Activo.

Secuencia Didáctica No. 2 Alterno a la secuencia didáctica No.1 se diseñó otra guía (la número dos), con el propósito de empezar a trabajar las operaciones básicas con expresiones algebraicas, colocándole un mayor grado de complejidad a las tareas que deben realizar los estudiantes. La siguiente gráfica (véase figura 17), corresponde a la guía AAA No. 2 llamada: “Problemas con Figuras de Colores” que apoya el uso de objeto COLORGEBRA.

7. Tabla

Columna #

Expresión

1

2

3

4

5



Figura 17 Hoja de predicciones individual AAA No. 2

I.E.T.I. RAFAEL NAVIA VARÓN MATEMÁTICAS GRADO 8º

Lic. OLGA LUCIA MASSO S.

Nombre: __________________________________________ Grupo: ___ Fecha: ______

ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE ACTIVO No. 2 “ Problemas con figuras de Colores ”

Instrucciones: Esta hoja será recogida en cualquier momento por el profesor. “escriba su nombre para registrar su asistencia y participación en esta actividad”. Siga las instrucciones del profesor. Materiales: Kit: Base tablero, fichas circulares y de colores (objeto de aprendizaje COLORGEBRA), ficha de registro y cuaderno de trabajo. Objetivo: Mejorar en la comprensión y aprehensión de las nociones del álgebra utilizando objetos físicos para el tratamiento y manejo de expresiones algebraicas y de sus operaciones básicas. Tiempo previsto para toda la actividad: 2 sesiones de clase (240 minutos).

HACIENDO OPERACIONES CON EXPRESIONES ALGEBRAICAS…

Usa el material didáctico para explorar el manejo correcto de operaciones algebraicas siguiendo las indicaciones que aparecen a continuación. Coloca sobre el tablero del objeto de aprendizaje, las fichas necesarias para construir las expresiones que correspondan y representen el área de cada una de las figuras geométricas que aparecen seguidamente, ten en cuenta al hacerlo utilizar y nombrarlas con variables. Trabaja individualmente. Encuentra la respuesta de cada una de las siguientes preguntas haciendo las operaciones necesarias, para ello utiliza el objeto de aprendizaje Colorgebra. Registra en este documento los procedimientos de las operaciones.

Capítulo 4 65




Secuencia Didáctica No. 3 El siguiente diseño corresponde a la guía AAA No.3 denominada “Matemática y Lúdica” (figura 18) cuyo objetivo es aplicar correctamente procesos de factorización utilizando objetos físicos para el tratamiento y construcción de algunos productos notables empleando el objeto físico GEBRATORRE y siguiendo las indicaciones que aparecen en ella. Figura 18 Hoja de predicciones individual AAA No. 3



Nombre:________________________________________________ Grupo: ___Fecha: _______ ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE ACTIVO No. 3

“MATEMÁTICA Y LÚDICA ” Instrucciones: escriba su nombre para registrar su asistencia y participación en esta actividad. Siga las instrucciones dadas por el profesor. Materiales: Kit: Base de madera torre, sólidos geométricos (objeto de aprendizaje GEBRATORRE), tablero de registro y guía de trabajo.

Objetivo: Aplicar correctamente procesos de factorización utilizando objetos físicos para el tratamiento y construcción de algunos productos notables. Tiempo previsto para toda la actividad: 3 sesiones de clase (360 minutos).

¿CÓMO CONSTRUIR ALGUNOS PRODUCTOS NOTABLES? Usa el material didáctico para formar algunos productos notables en este caso, potencias de sumas de binomios, sigue las indicaciones que aparecen a continuación.

1. Utiliza los sólidos geométricos (esferas y cubos) para formar sobre la base de madera torres o columnas, en las cuales en cada una de ellas haya dos figuras geométricas. Para ello, tenga en cuenta al formarlas considerar todas las posibilidades que se tienen de organizarlas o distribuirlas sabiendo que se dispone de dos figuras diferentes para hacerlo.

2. Ahora, renombra con una letra o variable a cada figura geométrica utilizada para formar las torres. Luego, escriba la expresión algebraica que corresponde a cada columna construida, utilizando al hacerlo, la multiplicación como operación matemática.

3. Obtenga la expresión algebraica total uniendo con suma todas las expresiones que resultaron de cada columna formada en el ejercicio anterior, si es necesario, simplifíquela reduciendo términos semejantes. Escribe cómo quedaría.

4. Indaga sobre qué producto notable formaste.

5. Dibuja esquemas gráficos de los resultados obtenidos.

6. Repite el mismo proceso anterior, para construir ahora torres o columnas en las cuales hayan: A) 3 sólidos geométricos. B) 4 sólidos geométricos. C) 5 sólidos geométricos.

7. Compara las expresiones algebraicas obtenidas en cada caso y establezca las características de los polinomios resultantes.

8. Qué crees que sucede, si se quiere formar torres con más de 5 sólidos en cada una de ellas, tanto con el objeto (en relación con sus

elementos y partes) como con las torres o columnas que se forman? Argumenta tu respuesta.

Fuente: Elaboración propia basada en modelos de guías de actividades con metodología del Aprendizaje Activo.

Capítulo 4 67

Secuencia Didáctica No. 4 La figura que se muestra a continuación, corresponde a la guía AAA No.4 denominada “Construyamos el Triángulo de Pascal” cuyo objetivo es calcular diferentes potencias de binomios para cualquier valor principalmente para valores de la potencia mayores de 4, utilizando el objeto físico PASCALGEBRA y siguiendo las indicaciones que aparecen en ella. Figura 19 Hoja de predicciones individual AAA No. 4



Nombre: ________________________________________________ Grupo: ___ Fecha: _______ ACTIVIDAD DE APRENDIZAJE No. 4

“ Construyamos el Triángulo de Pascal ” Instrucciones: escriba su nombre para registrar su asistencia y participación en esta actividad. Siga las instrucciones dadas por el profesor. Materiales: Kit: Base de madera, fichas hexagonales (objeto de aprendizaje PASCALGEBRA), tablero de registro y guía de trabajo. Objetivo: Calcular diferentes potencias de binomios para cualquier potencia empleando la configuración del Triángulo de Pascal. Tiempo previsto para toda la actividad: 2 sesiones de clase (240 minutos).

¿CÓMO CALCULAR DIFERENTES POTENCIAS DE BINOMIOS? Usa el material didáctico para determinar los coeficientes de los términos del desarrollo de binomios de diferentes potencias. Sigue las indicaciones dadas posteriormente para hacerlo.

1. Deriva las potencias de los siguientes binomios, ordenando los números naturales de tal modo que se forme un triángulo con la característica de qué la suma de dos números consecutivos es igual al número en la fila siguiente y en medio de ellos como se muestra en la figura que sirve de base y que aparece a continuación.

PREDICCIONES 2. Qué deduces de lo que sucede a medida que aumenta el valor de la potencia? Argumenta. 3. Qué crees que representan cada uno de los números que se ubican y forman cada fila del

triángulo? Explica. 4. Determina cuales números se ubican y forman la fila 15 del triángulo?


a) (x + y)5 =

b) (x + y)6 =

c) (x + y)7 =

d) (x + y)10 =

e) (x + y)8 =



Descripción de las Secuencias Didácticas (S. D.) Las guías de trabajo o secuencias AAA como ya se había mencionado, se

diseñaron con el enfoque de la metodología para el Aprendizaje Activo, de tal forma de que con ellas se pudiera realizar representaciones sobre los objetos en estudio, desde las perspectivas gráfica, numérica, geométrica y algebraica. La temática movilizada en las secuencias de actividades AAA Nros. 1 y 2 son la noción de variable y su tratamiento al hacer operaciones básicas, con las Nros. 3 y 4 son las fórmulas de productos notables derivadas con y sin hacer las multiplicaciones (mediante construcciones geométricas y numéricas) para el manejo correcto del proceso de factorización. Los preconceptos relacionados con estos temas corresponden al dominio conceptual del número, dentro de conjuntos numéricos como los enteros, racionales y reales, con sus relaciones (igualdades y ecuaciones) y propiedades de las operaciones básicas (esencialmente las de la suma y el producto); las leyes de los signos dadas para multiplicación; y el conocimiento tanto de diferentes lenguajes como de formas de representación (verbal, gráfica, algebraica, conjuntista).

Los productos notables son multiplicaciones especiales, y como su nombre lo indica, éstos tienen una relación bien definida entre las expresiones que se multiplican, ellos permiten hacer los productos siguiendo reglas o casos dados por fórmulas de una manera abreviada. Además, se puede decir que representan la factorización de polinomios cuando la igualdad o equivalencia que expresan es tomada en sentido contrario, es decir, como una multiplicación inversa. En los textos escolares de matemáticas para grado 8º disponibles para enseñar el álgebra aparecen como tema a enseñarse anterior al de la factorización, los productos notables. La existencia de una relación directa entre estas dos temáticas, sugiere para el trabajo del aula abordar y aprender primero los productos notables para reconocerlos como un procedimiento inverso a la factorización y de este modo lograr en los educandos mayor comprensión de este último proceso, igualmente, se hace más fácil en ellos el dominio conceptual de estos contenidos temáticos. Por otra parte, en los textos de matemáticas para octavo, aparece la explicación de los productos notables ya sea por medio de representaciones geométricas que van guiando al estudiante para derivarlos a través de la relación dada en áreas de cuadrados y rectángulos o por representaciones aritméticas y algebraicas, fórmulas y procedimientos de cada uno de ellos, y que son precisamente en los que se centró el interés para desarrollar esta propuesta usando OFA para su aprendizaje.

Capítulo 4 69

A continuación, se expresan las definiciones de productos notables binomios suma que corresponden a potencias de n = 2, 3, 4 y 5 que aparecen en libros escolares de matemáticas para grado octavo: Cuadrado de la suma de dos cantidades (x+y)2: Elevar el cuadrado de x + y equivale a multiplicar este binomio por sí mismo. (x y)2 = (x+y) (x+y) (x y)2 x2 + xy + xy + y2

(x y)2 x2 + 2xy + y2 (Ecuación 1)

Luego, el cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, más el doble producto de la primera cantidad por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad.

Con similar procedimiento se derivan las fórmulas para el cubo, la cuarta, la quinta o la ene-ésima potencia de los binomios suma:

Cubo de la suma de dos cantidades (x+y)3: (x y)3 x3 + 3x2 y + 3x y2 + y3 (Ecuación 2) Cuarta potencia de la suma de dos cantidades (x+y)4: (x y)4 x4 + 4x3 y + 6x2 y2 + 4x y3 + y4 (Ecuación 3) Quinta potencia de la suma de dos cantidades (x+y)5: (x y)5 x5 + 5x4 y + 10x3 y2 + 10x2 y3 + 5x y4 + y5 (Ecuación 4)

El objetivo general con cada una de las S. D. es desarrollar con ellas y con la mediación dada por la utilización de los objetos de aprendizaje competencias y habilidades en los estudiantes para la comprensión y aprehensión de las nociones básicas del álgebra con respecto al tratamiento del lenguaje y la simbología propios de esta ciencia, a la construcción de expresiones y fórmulas que se derivan al hacer operaciones con los elementos que la caracterizan como son las expresiones algebraicas, y al manejo correcto y apropiado de los métodos para resolver ecuaciones y problemas.



Como objetivos específicos, con la primera y segunda secuencia se pretende mejorar en la comprensión y la aprehensión de los conceptos algebraicos utilizando objetos de aprendizaje al igual que propiciar avances en los desempeños de los estudiantes evaluados en los temas de álgebra que involucran la idea de variable (inmersa dentro de una expresión algebraica) construida a partir del uso de la terminología del álgebra y de la aplicación de la reglas para hacerlo, particularmente en la primera de ellas; y al darle manejo operativo (esto es, hacer operaciones básicas de suma, resta, multiplicación con estas expresiones) mediante la abstracción de propiedades geométricas (perímetro, área y volumen de una figura) principalmente con la segunda secuencia. Para la tercera de ellas, concretamente el objetivo es derivar las fórmulas de los productos notables binomios suma de forma (x+y)n por medio de la aplicación correcta de la factorización dada del proceso inverso de la multiplicación desde la perspectiva geométrica; y para la última secuencia, aunque su propósito es el mismo al de la anterior, con ella se quiere permitir construir las fórmulas de los binomios configurando el Triángulo de Pascal para derivar los coeficientes de los términos que forman dichos binomios haciendo énfasis en la perspectiva numérica. Las relaciones dadas entre S.D. y OFA están mediadas por factores tales como:

el tipo de contenidos curriculares a abordar (en este proyecto las nociones

algebraicas).

La función de apoyo que desempeñan cada uno de ellos para el tratamiento, organización y desarrollo de dichos contenidos.

Las interrelaciones entre ellos entendidas como aquellos puntos de conexión y encuentro que evidencian la relación entre estos dos elementos desde la perspectiva didáctica, como son la interrelación teórico-disciplinar; la metodológica; la funcional y la integradora.

La valoración de estos elementos como instrumentos didácticos que al actuar simultáneamente, como estrategia que el docente utiliza permite ejercer participación activa y abordar de forma no convencional, motivante y lúdica estos contenidos específicos mejorando la calidad de la enseñanza y de los aprendizajes construidos por los estudiantes.

La oportunidad ofrecida por ellos al docente para controlar, limitar, organizar, planificar la movilización de contenidos curriculares para lograr los objetivos planteados y orientar el trabajo en el aula.

Capítulo 4 71

En las S. D. los numerales que las conforman están descritos como situaciones a desarrollar a manera de predicciones, aspecto que caracteriza a las guías de trabajo que están diseñadas con la metodología del Aprendizaje Activo.

‐ Respecto a secuencia AAA No. 1 (véase figura 16), el propósito con las tres primeras preguntas es que los estudiantes puedan reconocer las características, elementos y partes del objeto Colorgebra y derivar de la abstracción en el contacto con él, la idea de variable determinada por el color usado en las fichas tapa y la cantidad de variables utilizadas en una expresión de acuerdo con los diferentes colores de fichas tapa empleados en el arreglo que se les entrega construido sobre la base tablero. Si no se logra identificar en el color usado en uno de los elementos del objeto (lo implícito) se pueden producir dificultades en algunos educandos para construir expresiones algebraicas.

Con las situaciones de las preguntas 4 y 5, se pretende introducirlos en el manejo y tratamiento tanto del lenguaje y la terminología algebraica (símbolos, letras, variables) como en formas de representación gráfica y matemática para hacer traducciones y cambios de una representación a otra. En las preguntas 6 y 7 se les propone hacer manejo operativo utilizando con sentido los elementos algebraicos (variables, constantes, parámetros, términos, signos) en un nivel básico, ampliando la notación del lenguaje aritmético y empleando las propiedades características de los sistemas numéricos (como la conmutativa y la asociativa de la adición y la multiplicación y la distributiva de la multiplicación respecto de la adición).

‐ Con la secuencia AAA No. 2 (ver figura 17), se pretende seguir trabajando las operaciones básicas con expresiones algebraicas utilizando las fichas del OFA Colorgebra, colocándole un mayor grado de complejidad a las tareas que deben realizar los estudiantes y como complemento a la propuesta formulada en la secuencia anterior (en ella, se impone un nivel de aplicación con mayor grado de dificultad para hacer manejo operativo). Partiendo de la observación y análisis de una situación problema presentada en forma gráfica y utilizando con sentido los elementos algebraicos (variables, constantes, parámetros, términos, signos), ampliando además, la notación del lenguaje aritmético y empleando las propiedades características de los sistemas geométricos (áreas y perímetros) y algebraicos (fórmulas y otras expresiones como las ecuaciones, los sistemas de ecuaciones, el carácter simétrico y transitivo de la igualdad, por ejemplo) para que de esta manera, el cálculo algebraico surja como un proceso de generalización del trabajo aritmético con modelos geométricos en situaciones de variación de los valores de las medidas de las dimensiones relacionadas funcionalmente sobre los lados de los rectángulos.



Para responder los estudiantes las preguntas 1 a 6 de acuerdo con la información de la figura mostrada en la situación problema y hallar las áreas y perímetros solicitados. El énfasis de las preguntas se dió en el marco geométrico para buscar su solución, en esta guía, el docente propone analizar la información dada en figuras geométricas (los rectángulos), haciendo hincapié en la interpretación que deben hacer ellos de las variaciones que se van dando en las dimensiones de los lados de los rectángulos (medidas dadas no con valores numéricos sino a manera de expresión algebraica) para pedirles encontrar, las áreas y los perímetros utilizando las reglas para el producto y la suma de estas expresiones (para lo cual se requiere aplicar las leyes de los signos y la identificación de términos semejantes). El cambio de representación en este caso, se hace del lenguaje geométrico al algebraico y requiere de la aplicación de habilidades de pensamiento lógico matemático (razonar, inferir, generalizar y argumentar). Es posible que algunos de los educandos no interpreten correctamente la variación que se da en las dimensiones de los lados de los rectángulos para hallar las áreas que se les pide encontrar, lo que puede llevarlos a contestar erróneamente las preguntas planteadas y escoger una opción incorrecta de respuesta (debido a que las preguntas en esta secuencia están elaboradas a manera de test con opción múltiple pero con única respuesta) o a no poder hacerlo.

‐ Con relación a la secuencia AAA No. 3 (véase figura 18), las situaciones dadas en las preguntas 1 a 3, pretenden que los estudiantes continúen con el manejo y tratamiento tanto del lenguaje y la terminología algebraica (símbolos, letras, variables) como con diversas formas de representación gráfica (ambiente geométrico - lúdico) y matemática (ambiente algebraico) para hacer traducciones y cambios de una representación a otra empleando las fichas que tienen la forma de sólidos geométricos del objeto Gebratorre y profundizar en el dominio de fórmulas que en este caso, corresponden a productos notables binomios suma de la forma (x+y)n. En la pregunta 4, el profesor les pide que identifiquen (haciendo consulta y revisión bibliográfica sobre este tema), aquellas expresiones que corresponden a estos productos y los caractericen por su forma, la cantidad de términos que los componen y por el caso al cual pertenecen. En el evento de que haya educandos que no logren identificar y definir las fórmulas de los productos notables, el docente durante la clase presencial introduce este tema, y les explica en profundidad todo lo relacionado con él.

La idea con las preguntas 5 a 7 es que los estudiantes con procesos de iteración reafirmen estos conocimientos y alcancen un dominio conceptual alto y apropiado sobre esta temática al pedirles que resuelvan productos notables para llegar a la comprensión del proceso de factorización desde este proceso inverso de multiplicación. Con la pregunta 8, el propósito es incentivar en el estudiante el desarrollo de habilidades y procesos cognitivos, como la argumentación y la proposición para favorecer su capacidad de razonamiento con cuestiones matemáticas basándose en las predicciones que pueden hacer.

Capítulo 4 73

En la secuencia AAA No. 4 (ver figura 19), el propósito en ella es el mismo que el de la secuencia anterior (la número tres), sólo que la pretensión ahora es hacer más fácil y posible en los estudiantes la construcción de las fórmulas de los productos notables binomios suma (x+y)n y el hecho de que puedan derivar cualquier fórmula de estas sin importar que tan grande sea el valor n potencia del binomio, utilizando la configuración creada por Pascal que consiste en formar un triángulo ordenando los números naturales, de tal modo que éste se forme con la característica de que la suma de dos números consecutivos es igual al número en la fila siguiente y en medio de ello.

La pregunta 1 lleva a los estudiantes a utilizar y realizar procedimientos matemáticos utilizando los elementos fichas base y fichas colores del objeto Pascalgebra y así derivar las fórmulas que se le plantean, siguiendo instrucciones ellos deben configurar el triángulo de Pascal para de ese modo obtener los coeficientes respectivos de las expresiones que forman cada producto notable. En este punto pueden cometer errores en cuanto a que realicen un procedimiento erróneo dentro del proceso matemático.

El propósito con las preguntas 2 a 4 es poner de manifiesto la capacidad de argumentación y proposición de los educandos, ellos al hacer las predicciones deben presentar soluciones a las formulaciones hechas; en este aspecto se puede perder significancia si no logran mediante procesos de generalización abstraer las reglas que están determinadas en las fórmulas de los productos notables.

A medida que se avanzaba en el proyecto se encontró con una gran variedad de retos a la hora de diseñar tanto los objetos didácticos como las guías de trabajo AAA, ambos durante las diferentes etapas para su elaboración estuvieron sujetos a modificaciones y una vez concluida su creación se decidió realizar comprobaciones para determinar sus beneficios y desventajas, obteniendo resultados interesantes y de gran utilidad para la evaluación de este proyecto, ver capítulo 5 Resultados y Análisis, secciones 5.1 a 5.3 Resultados de la implementación de los tres OFA en el aula y de sus respectivas secuencias didácticas, principalmente la 5.4 donde se evidencia la situación actual del proceso de enseñanza de las nociones algebraicas debido a la implementación en el aula de los objetos de aprendizaje.



4.2. SEGUNDA ETAPA: Puesta a Prueba de los Objetos Físicos y de las Secuencias Didácticas Usando Protocolos de Validación.

Una vez elaborados los objetos didácticos después de haber sufrido modificaciones de acuerdo con las necesidades que se iban presentando hasta evolucionar a los tres objetos resultados, se inició en abril de 2012 su uso y aplicación con 45 estudiantes de grado 8º de la jornada de la mañana (que en ese momento se contaba con tres grupos de aproximadamente 45 estudiantes cada uno) en la I.E. Rafael Navia Varon, los resultados obtenidos se registraron en los protocolos de comprobación (véanse tablas 10, 11 y 12) que fueron creados especialmente para la puesta a prueba y validación de los mismos, en esta etapa, se aprovechó tanto las condiciones favorables como los recursos de tipo tecnológico, pedagógico, didáctico y de talento humano con los que cuenta la entidad, al igual que el hecho de estar motivados por la necesidad de mejorar las prácticas que se llevan a cabo al interior de la escuela particularmente, para abordar con estrategias adecuadas el tratamiento de los problemas que tienen la enseñanza aprendizaje del álgebra en este grado de escolaridad. La I.E. donde se lleva a cabo este proyecto, está ubicada en el municipio de Santiago de Cali comuna 10, institución donde soy docente de matemáticas y trabajo con adolescentes entre los 12 y 16 años de edad, la cual por estar ubicada en una zona del estrato 4 y por sus favorables condiciones socioeconómicas y demográficas posibilita adelantar con mayor asertividad la implementación y ejecución de propuestas como esta, pues en ella se dispone en gran parte de recursos para hacerlo, talento humano (docentes y estudiantes de la institución), tecnológicos (equipos e infraestructura adecuada), pedagógicos y didácticos en concordancia con la misión y visión institucional. En este proceso, se consideraron dos aspectos relevantes, tanto el uso de los tres objetos con sus respectivas guías de actividades o secuencias didácticas números 1, 2, 3 y 4 (véanse figuras 16 a 19) como la recolección de información para ser analizada mediante la aplicación de protocolos de comprobación números 1, 2 y 3 diseñados especialmente para este proceso de validación (ver tablas 10 a 12).

Capítulo 4 75

4.2.1 Uso en el Aula de los Objetos Físicos de Aprendizaje con sus Respectivas Secuencias Didácticas Para la implementación y utilización en el aula de los OF se hicieron pruebas de uso tomando como criterios los segmentos de mercado o rango de usuario con los que se fundamentaron los objetos para su diseño. Para cada uno de los objetos se hicieron 2 sesiones de uso (cada una de 2 horas de clase: aproximadamente 240 min) en el salón de clase matemáticas #8 de la institución, escogiendo de forma aleatoria 15 estudiantes como muestra de cada uno de los tres cursos de grado 8º con que se contaba en ese momento en la institución. Para la primera sesión experimental, donde se empleó el objeto denominado “Colorgebra”, se les facilitó a los estudiantes dicho material (estableciéndose en ese instante el primer contacto con él), a la par se les proporcionó, la secuencia didáctica AAA No.1: “Aprender álgebra si es posible” para ser desarrollada con el objetivo que los educandos escribieran expresiones algebraicas con símbolos y lenguaje propios del álgebra siguiendo las indicaciones que aparecen en ella, en la sesión posterior, se aprovechó éste para avanzar en la conceptualización, estructuración y tratamiento de las nociones algebraicas y se trabajó entonces la segunda guía AAA: “Problemas con Figuras de Colores” para que ellos hicieran manejo operacional del álgebra, con esta actividad los estudiantes tuvieron la posibilidad de realizar operaciones básicas de suma, resta y multiplicación con expresiones algebraicas atendiendo a reglas matemáticas necesarias para hacerlo como es el uso y reconocimiento de términos semejantes. Este proceso fue implementado de igual forma para las 4 sesiones (2 para cada objeto) que se llevaron a cabo para validar en el espacio escolar los objetos “Gebratorre” y “Pascalgebra” con sus respectivas guías de apoyo para su uso y alcanzar los propósitos establecidos en ellas: derivar las fórmulas correspondientes de ciertos productos notables principalmente potencias de binomios suma de la forma (x+y)n, y que corresponden a las ecuaciones 1, 2, 3 y 4 respectivamente para valores enteros de n = 2, 3, 4 y 5 (ver pág. 72). Como consecuencia de este proceso aparece ya definido en el programa curricular plan de aula de grado 8º esta estrategia de implementar OFA para la enseñanza del álgebra. Las evidencias de la aplicación de estas pruebas aparecen en imágenes (véase figura 20 y 21), y el análisis de resultados en el capítulo 5 en sus sesiones 1 a 4.



Figura 20 Evidencias gráficas del uso e implementación del OFA Colorgebra en el Aula

Fuente: Elaboración propia de registro fotográfico seguimiento de actividades.

Capítulo 4 77

Figura 21 Evidencias gráficas del uso e implementación de los OFA Gebratorre y Pascalgebra en el Aula

Fuente: Elaboración propia de registro fotográfico seguimiento de actividades.

Una vez terminadas las sesiones experimentales y desarrolladas las actividades propuestas en las guías, se generaban espacios para la socialización y evaluación grupal de la mismas, momentos guiados a través de preguntas formuladas por la maestra (ejemplos de algunas de ellas aparecen enumeradas a continuación y en Anexo B) solicitando a los participantes posturas, opiniones y argumentaciones personales, para establecer de este modo alcances, aciertos y desaciertos de acuerdo con los objetivos establecidos en los protocolos de comprobación para implementar en el aula estos materiales, preguntas como, entre otras más:

1) Por ejemplo con relación a los objetos teniendo en cuenta las partes y elementos que los componen, se les preguntaba si con su uso al desarrollar las tareas propuestas en las guías AAA, fácilmente podían representar, abstraer o representar la noción de variable o hacer operaciones utilizándolos, entendiendo y aprendiendo reglas algebraica al hacerlo.



2) Preguntas para determinar qué resultados obtuvieron, tras la manipulación,

observación, y uso de los mismos, como por ejemplo les agrada que para enseñar esta temática en clase de matemáticas se utilicen estos recursos.

3) Aquellas para citar, confrontar elementos, datos e información que influya positiva o negativamente tanto cuando se utilizan estos materiales como en el desarrollo de las guías.

4) Las que sirven para establecer con sus apreciaciones, si los modelos elaborados cumplen con las condiciones y requerimientos necesarios para mejorar, comprender y aprehender los conceptos del álgebra22.

Las respuestas a estas preguntas se encuentran registradas en informes elaborados por

la docente investigadora, en los resultados obtenidos en este trabajo capítulo 5 y en los

hallazgos que como docente he encontrado (véase pág.107) y expresado en la ejecución

de toda la propuesta (ver también anexo B).

4.2.2. Recolección de Información Mediante el Uso de Protocolos de Comprobación al Utilizar los OFA en el Aula En cada una de las pruebas se contaba con un protocolo de comprobación el cual permitió coordinar y controlar todas las variables presentes al usar los objetos de aprendizaje (tiempo, espacio, entendimiento y comprensión por parte de los estudiantes tanto del objeto como de la guía que lo apoya en su implementación) y de esta forma poder establecer y definir el impacto que tiene ellos desde las perspectivas dadas de su diseño y de referentes didáctico pedagógicos. La información de la implementación de los OFA al interior del aula se recogió mediante las pruebas: Análisis de Interacción con el Objeto Didáctico (protocolo de validación No.1, ver tabla 11); Objetos para la Enseñanza de Productos Notables (protocolo 2, ver tabla 13) y Pascalmetry (protocolo No. 3, ver tabla 15). En este proyecto, cada uno de los objetos construidos contaba con su propio protocolo de prueba acorde a su diseño, necesidades y requerimientos. Pero en general, en todos ellos se propuso como indicadores a cumplir en las validaciones los siguientes aspectos:

22 Algunas de las respuestas dadas por estudiantes aparecen en la figura 34 como evidencia.

Capítulo 4 79

‐ Identificar falencias de comunicación y de uso presentes en los modelos físicos.

‐ Evaluar los diferentes pasos realizados en la secuencia de uso.

‐ Dar posibles soluciones a las dificultades presentadas, haciendo modificaciones necesarias y apropiadas a los modelos físicos.

A continuación, se muestran los componentes más relevantes de cada uno de los tres protocolos diseñados para el uso de cada OFA.

Protocolo 1 Este protocolo denominado ANÁLISIS DE INTERACCIÓN CON EL OBJETO DIDÁCTICO, se diseñó para el uso del objeto Colorgebra y se estructuró bajo la formulación de objetivos de prueba y el manejo de dos hipótesis con sus respectivos indicadores como se describe seguidamente: Tabla 11 Protocolo de Validación No. 1

NOMBRE DE LA PRUEBA ANÁLISIS DE INTERACCIÓN CON EL OBJETO DIDÁCTICO. FECHA Mayo de 2012

HORA Hora de iniciación: 11:30 a.m. LUGAR I.E.T.I Rafael Navia Varón, salón de matemáticas #8, Grado Octavo.

RECURSOS DE LA PRUEBA .- HUMANOS: Harold Rodríguez: organizador de la actividad. Guillermo Gómez: camarógrafo y recolector de datos. Olga Lucia Masso: manejo de los usuarios. .- FÍSICOS: EQUIPOS: MATERIALES: Cámara digital. Libreta de apuntes. Cronometro. Elementos de escritura. Pupitres Fichas de registro. OFA COLORGEBRA

‐ Dar a conocer los resultados obtenidos tras la manipulación, observación, y uso del objeto realizada por parte del usuario.



OBJETIVOS DE LA PRUEBA

‐ Citar y enfrentar los elementos, datos e información que influye tanto positiva como negativamente en el desarrollo del objeto.

‐ Probar si el modelo desarrollado cumple con las características para lograr una mejora en la comprensión y aprensión del algebra.

Hipótesis 1: Qué los estudiantes reconozcan y entiendan el objeto didáctico al ver su configuración, aplicando los preconceptos del álgebra, y desarrollando la actividad en el tiempo establecido.

Indicadores Hipótesis 1: (teniendo en cuenta el cumplimiento de los indicadores generales formulados en la pág. 80).

‐ Pasos acertados según la secuencia de uso descrita.

‐ Tiempo para realizar la actividad (Sesión de dos horas clase, aproximadamente 120 minutos).

Hipótesis 2: Qué los estudiantes al usar el objeto cumplan con los siguientes objetivos:

‐ Reconocer las partes del objeto (fichas, tapones, tablero, elementos de escritura).

‐ Establecer la relación concepto de variable con las fichas cubiertas con los tapones.

Indicadores Hipótesis 2: (teniendo en cuenta el cumplimiento de los indicadores generales formulados en la pág. 81).

‐ Cantidad de estudiantes que aprueban los objetivos vs. la cantidad de estudiantes que no aprueban.

‐ Tiempo que tarda cada estudiante en cumplir con los objetivos.

Fuente: Elaboración propia con datos tenidos en cuenta para las pruebas de validación.

Capítulo 4 81

Figura 22 Condiciones espaciales para la prueba de validación No.1 Fuente: Elaboración propia con datos tomados del lugar donde se realizó la prueba I.E. Navia V.

Con la medición de los indicadores (ver tabla 11) respectivamente para cada hipótesis se buscó identificar los resultados de la aplicación de la prueba. A continuación se expresan las conclusiones inmediatas dadas al terminar las comprobaciones de validación del objeto Colorgebra. Tabla 12 Conclusiones inmediatas a la aplicación de la prueba No. 1 Fuente: Elaboración propia con datos de los resultados obtenidos.

‐ Al concluir esta prueba y analizar los datos podemos decir que la hipótesis 1 se cumplió al haber alcanzado en el 95,6% de los estudiantes el objetivo propuesto en esta prueba de validación, con las modificaciones hechas a la base-tablero del objeto Colorgebra dándole cierta inclinación; y respecto al documento o secuencia didáctica AAA No.1 al haberle cambiado cuestiones sobre el lenguaje utilizado presentarlo menos técnico para indicar a los educandos lo que deben hacer de tareas y que aparecen en ella, facilitó el acceso de éstos al objeto didáctico y les mejoró la interacción con él.

‐ La actividad tomó alrededor de una hora de clase, es importante tener en cuenta cualquier contratiempo y la necesidad de un recuento de preconceptos a la hora de hacer la actividad y utilizar el objeto, por lo cual se plantea una hora y treinta minutos (01:30) para desarrollarla y cumplir a cabalidad con los objetivos previstos.

‐ Dada la observación y la interacción con el estudiante después de realizar la prueba se tiene en cuenta que algunas de las opiniones, ellas apuntan a nuevos materiales para la elaboración del objeto didáctico, hemos pensado desarrollarlo en polímero como primera respuesta sin dejar de lado los elementos de la señalética y las configuraciones formales obtenidas por los elementos de los referentes y el concepto de diseño a la hora de producir el objeto.

‐ El objeto didáctico cumple satisfactoriamente con las expectativas del grupo y se espera producirlo e implementarlo lo más pronto posible en la institución donde se realizaron las pruebas y en otras.



Protocolo 2 Este protocolo denominado OBJETOS PARA LA ENSEÑANZA DE PRODUCTOS NOTABLES, se creó para el uso del objeto Gebratorre y se estructuró bajo la formulación de objetivos de prueba y el manejo de una hipótesis con sus respectivos indicadores como se indica a continuación (véase tabla 13). Tabla 13 Protocolo de Validación No. 2

NOMBRE DE LA PRUEBA OBJETOS PARA LA ENSEÑANZA DE PRODUCTOS NOTABLES. FECHA Octubre de 2012


RECURSOS DE LA PRUEBA .- HUMANOS: Andrés Montes: organizador de la actividad. Felipe Vergaño: camarógrafo y recolector de datos. Olga Lucia Masso: manejo de los usuarios. .- FÍSICOS: EQUIPOS: MATERIALES: Cámara digital. Libreta de apuntes. Cronometro. Elementos de escritura. Pupitres. Fichas de registro. OFA GEBRATORRE

OBJETIVOS DE LA PRUEBA GENERAL Facilitar el aprendizaje de los productos notables mediante la implementación de un desarrollo objetual que se presente como una ayuda didáctica al momento de abordar la temática.

ESPECÍFICOS

‐ Hacer más atractiva la actividad de enseñanza y aprendizaje del tema.

‐ Reducir el tiempo que se requiere para explicar y trabajar la temática.

‐ Facilitar la interacción entre el docente y los estudiantes al trabajar el tema.

Capítulo 4 83

Hipótesis: Con el uso de la plataforma objetual se facilita el entendimiento de la temática Productos Notables y a su vez se hace esta actividad más agradable e interactiva para los usuarios del mismo.

Indicadores de Hipótesis: (teniendo en cuenta el cumplimiento de los indicadores generales formulados en la pág. 80).

‐ Distingue y usa adecuadamente las fichas del objeto.

‐ Asimila y entiende el concepto de variable que representa la presencia de las fichas.

‐ Responde correctamente a la indicación de formar columnas.

‐ Forma las combinaciones apropiadamente.

‐ Agrupa términos semejantes correctamente.

‐ Expresa matemáticamente los resultados.

‐ Reducir el tiempo de trabajar esta temática.

Fuente: Elaboración propia con datos tenidos en cuenta para las pruebas de validación. Medir los indicadores (ver tabla 13) formulados para la hipótesis permitió identificar los resultados de la aplicación de la prueba. En seguida en la tabla 14, se expresan las conclusiones inmediatas dadas al terminar las comprobaciones de validación del objeto Gebratorre. Tabla 14 Conclusiones inmediatas a la aplicación de la prueba No. 2

Fuente: Elaboración propia con datos de los resultados obtenidos.

‐ La hipótesis resultó cierta, el 87,5% de los participantes logró derivar con el uso del objeto las fórmulas de los productos notables. El diseñar esta herramienta para la enseñanza de esta temática es bueno y ayuda a los estudiantes a comprenderlos mejor, a asociar más rápido los elementos de la expresión algebraica logrando hacerlo en menos tiempo.

‐ Aunque el objeto es muy intuitivo y fácil de manejar, todos los estudiantes que interactuaron con él deben tener conocimientos previos como: el manejo de operaciones básicas sobre los conjuntos numéricos de los enteros y los reales; conocimiento y tratamiento adecuado de reglas para trabajar y resolver ecuaciones e igualdades para derivar las fórmulas de los productos notables binomios suma.

‐ Con el uso del objeto se pudo ver que éste acelera, facilita y permite a los educandos recordar de forma eficaz lo visto en clase. Este recurso didáctico es muy intuitivo, con colores planos, contrastes y formas geométricas les ayudó a comprender mejor esta temática y les resultó una manera agradable en general a todos los estudiantes que participaron de la prueba.



Protocolo 3 El protocolo denominado PASCALMETRY, se elaboró para ser implementado para la validación del objeto Pascalgebra y se estructuró bajo la formulación de objetivos de prueba y el manejo de una hipótesis con sus respectivos indicadores como se muestra seguidamente. Tabla 15 Protocolo de Validación No. 3

NOMBRE DE LA PRUEBA PASCALMETRY FECHA Noviembre de 2012


RECURSOS DE LA PRUEBA .- HUMANOS: Camilo Martínez: organizador de la actividad. Jaime Moreno: camarógrafo y recolector de datos. Olga Lucia Masso: manejo de los usuarios. .- FÍSICOS: EQUIPOS: MATERIALES: Cámara digital. Libreta de apuntes. Cronometro. Elementos de escritura. Mesas. Fichas de registro. OFA PASCALGEBRA

OBJETIVOS DE LA PRUEBA GENERAL Facilitar el aprendizaje de los productos notables mediante la implementación de un desarrollo objetual que se presente como una ayuda didáctica al momento de abordar la temática.

ESPECÍFICOS

‐ Facilitar el manejo de binomios para derivar las fórmulas de los productos notables que los representan sin importar que tan grande sea el valor de su potencia.

‐ Hacer más atractiva la actividad de

enseñanza y aprendizaje del tema y reducir el tiempo que se requiere para trabajarla.

Capítulo 4 85

‐ Facilitar la interacción entre el

docente y los estudiantes al trabajar el tema.

Hipótesis: Con el uso de la plataforma objetual se facilita el entendimiento de la temática Productos Notables y a su vez se hace esta actividad más agradable e interactiva para los usuarios del mismo.

Indicadores de Hipótesis: (teniendo en cuenta el cumplimiento de los indicadores generales formulados en la pág. 80).

‐ Responde correctamente a las indicaciones dadas para formar el Triángulo de Pascal.

‐ Entiende que la presencia de las fichas de acuerdo a su ubicación representan los coeficientes de los términos de los binomios que se forman en cada fila del triángulo.

‐ Coloca correctamente las fichas para derivar los números coeficientes respectivos para configurar las expresiones que se forman en cada fila del Triángulo de Pascal.

‐ Expresa matemáticamente los resultados.

‐ Reducir el tiempo de trabajar esta temática.

Fuente: Elaboración propia con datos tenidos en cuenta para las pruebas de validación.

De la medición de los indicadores (ver tabla 15) de la hipótesis dejó ver los resultados de la aplicación de la prueba, a continuación se expresan las conclusiones inmediatas dadas al terminar las comprobaciones de validación del objeto Pascalmetry (véase tabla 16).



Tabla 16 Conclusiones inmediatas a la aplicación de la prueba No. 3

Fuente: Elaboración propia con datos de los resultados obtenidos. Fuente: Elaboración propia con datos de los resultados obtenidos.

Durante las sesiones experimentales, las siguientes formas sirvieron de fuente o medio para recolectar información para ser analizada y presentar los resultados en el capítulo 5 para medir el impacto causado al implementar OFA para el trabajo escolar (ver figura 23):

Los formatos diseñados para el seguimiento y control durante la aplicación de la prueba para determinar el cumplimiento o no de las hipótesis formuladas en el protocolo de comprobación (Anexo C).

Los registros escritos de los estudiantes al seguir las indicaciones dadas en las AAA, como respuestas a las predicciones formuladas en la misma (Anexo D).

Encuestas a estudiantes que participaron de la actividad experimental para conocer su opinión sobre aspectos como su parecer frente a realizar la experiencia, su participación, la aceptación del OF como herramienta didáctica de aprendizaje y sobre la metodología de trabajo empleada (Anexo B).

Los resultados del proceso de socialización para evaluar las actividades (Anexo

B).

‐ La hipótesis formulada para la validación resultó acertada, el 100% de los participantes de la prueba logró formar el Triángulo de Pascal. Al analizar las situaciones de la realización de la prueba podemos decir que el haber configurado el objeto Pascalgebra como una extensión del anterior (Gebratorre) solucionó en gran medida el problema de formar los productos notables binomios cuando su potencia es muy grande. Con el objeto Gebratorre se trabajan sin dificultad las potencias en (x+y)n para n = 2, 3 y 4 mientras que con Pascalgebra cualquier valor para la potencia n, mayor o igual a dos 2 principalmente las mayores que 5 se pueden construir rápida y fácilmente sus expresiones.

‐ Con la actividad usar Pascalgebra le toma menos tiempo a los estudiantes para derivar los coeficientes y formar los binomios productos notables, en una sesión de clase ellos logran configurar el triángulo con un número considerable de filas (aproximadamente de 8 a 10 de ellas) las cuales representan cada una de las expresiones algebraicas que corresponden a los productos notables.

‐ Dada la observación de la interacción objeto estudiante, después de realizar la prueba se concluye teniendo en cuenta algunas de las opiniones dadas, que con este objeto en particular fácilmente trabajan esta temática y sobre todo disfrutan el hacerlo.

Capítulo 4 87

Figura 23 Evidencias otras fuentes de recolección de información

a) Guías de Actividades AAA

b) Formatos Fichas de Registro Protocolos FICHA DE REGISTRO HIPÓTESIS 1

1. FECHA DIA .MES .AÑO .HORA .

2. NOMBRE DE LA PRUEBA: Análisis de interacción con el objeto didáctico.

3. HIPOTESIS: Los estudiantes reconocerán y entenderán el objeto didáctico al ver su configuración, aplicaran los preconceptos del algebra y desarrollaran la actividad en el tiempo determinado.

4. INDICADORES: ‐ Pasos acertados según la secuencia de uso descrita. ‐ Tiempo para culminar la actividad

5. TABLA DE REGISTRO:

Secuencia de uso: 1. Reconocer el objeto. 2. Explorar el documento de la actividad de aprendizaje. 3. Leer el documento de la actividad de aprendizaje. 4. Explorar las fichas del objeto didáctico. 5. Desarrolla la actividad. 6. Hace las preguntas respectivas. 7. Culmina la actividad.

Tiempo total: Observaciones:

c) Hojas de Trabajo – Encuestas a Estudiantes

1. HOJA DE TRABAJO Observaciones iniciales:



Cual(es) números enteros identificaste? ¿Por qué?

Que letras le colocaste a cada tapa color? ¿Por qué? Que operaciones identificaste? ¿Por qué?

‐ Relaciones que formaste con los elementos anteriores: ‐ Orden o síntesis que le das a las expresiones anteriores: ‐ Tu fusión de columna con fila es:

Señala con una línea las 2 que escogiste

Ahora el resultado final de las 5 columnas es:

Fuente: Elaboración propia con datos de formatos de registro creados para recoger información.

Capítulo 4 89

5. RESULTADOS Y ANÁLISIS

Para llevar a cabo el análisis de los resultados obtenidos, se dió relevancia entre otros, a los siguientes aspectos para hacer las interpretaciones correspondientes: Los tres objetos físicos de aprendizaje que fueron creados para este proyecto,

(desde las perspectivas dadas desde su diseño, como por su uso pedagógico y didáctico) teniendo en cuenta sus ventajas, aciertos y desaciertos.

Las secuencias didácticas AAA, elaboradas para apoyar el uso de los OFA. Las Comparaciones hechas entre resultados obtenidos sin la utilización de los OF

y los resultados logrados con la implementación de los mismos en el aula para la enseñanza del álgebra en grado octavo y así establecer qué avances, logros y cambios significativos se han alcanzado con el uso dichos recursos.

Los resultados de los trabajos realizados por los estudiantes del desarrollo de las

guías AAA propuestas. La evaluación permanente de los procesos y actividades involucrados en el

desarrollo de este proyecto. La apreciación y respuesta de los participantes en la realización de este trabajo.

Los resultados descritos a continuación son en su mayoría, producto del análisis tanto de las pruebas de validación realizadas mediante la aplicación de protocolos de comprobación que fueron diseñados especialmente para medir las implicaciones y el impacto causado por los OFA, de las guías de actividades que orientan la implementación en el aula de ellos objetos como de los hallazgos que como docente permite derivarlos. En esta fase, se consideraron las respuestas dadas por los estudiantes participantes (del total de estudiantes de grado 8º de la jornada de la mañana matriculados en la institución para el año lectivo 2012) como las situaciones generadas durante la realización de las pruebas de validación de los objetos y los registros de control y seguimiento de las actividades los cuales sirvieron de base para presentar los siguientes resultados.



5.1 Resultados Obtenidos de la Implementación en el Aula del OFA Colorgebra Los primeros resultados corresponden al análisis de situaciones particulares generadas del cumplimiento de las hipótesis formuladas en el protocolo 1 y posteriormente aparecen resultados generales de la comprobación del mismo. Sobre la hipótesis 123 y sus respectivos indicadores24 que resultaron acertados, se

tienen las siguientes observaciones las cuales motivaron para hacer cambios en algunos de los indicadores formulados:

‐ El 100% de los participantes (45), tomaron más tiempo del que estaba previsto para trabajar la guía de AAA No. 1, lo que llevó a modificar el tiempo dado para realizar dicha actividad, en un principio se había considerado asignar 1 sesión: 2 horas clase y la actividad tomó 2 sesiones: 4 horas clase para terminarla.

Figura 24 Porcentaje de estudiantes que emplean 4 horas clase para AAA No. 1

Fuente: Elaboración propia con datos recogidos con la prueba protocolo 1.

23 Qué los estudiantes reconozcan y entiendan el objeto didáctico al ver su configuración, aplicando los preconceptos del algebra, y desarrollando la actividad en el tiempo establecido. 24 -. Pasos acertados según la secuencia de uso descrita. -. Tiempo para realizar la actividad (Sesión de

dos horas clase, aproximadamente 120 minutos).

0

10

20

30

40

50

1 2 3 4

TIEMPO EMPLEADO PARA REALIZAR ACTIVIDADES PROPUESTAS EN LA SECUENCIA DIDACTICA Nro 1

NRO ESTUDIANTES

Nro. Horas de Clase(55 mín. cada una)

100%

0%

Capítulo 4 91

‐ El 95.6% de los estudiantes, pasados 30 minutos estaban en el 3er o 4to punto de la secuencia didáctica AAA “Aprender Álgebra si es posible”, 2 de los estudiantes participantes no estaban desarrollando estos puntos en este momento debido a la dificultad que tuvieron al no identificar rápidamente sobre él la noción de variable representada en el color de las fichas del objeto. Con relación a este aspecto se pone de manifiesto el poco desarrollo de las habilidades cognitivas de esos 2 estudiantes por no tener afianzados los preconceptos necesarios relacionados con esta temática y poco dominio conceptual.

Figura 25 Porcentaje de estudiantes que tardan en reconocer la noción de variables sobre el objeto


‐ El 93.3% relacionaron en el objeto, los preconceptos iniciales del álgebra de manera rápida e intuitiva, solo 3 estudiantes no lograron relacionar sus observaciones sobre él. Esto es, cuando utilizaron el objeto como ayuda didáctica para realizar el trabajo de aula, no pudieron derivar y reconocer la noción de variable con la manipulación de las fichas de colores (elementos del OF); en la figura 26 se observa en porcentajes este resultado. Este porcentaje evidencia en la mayoría de los educandos un dominio conceptual alto así como también, un desarrollo favorable de su capacidad de razonamiento lógico matemático para el abordaje de estas nociones.

4,4%

95,6%

1

2

Tiempo empleado˃ a 30 mín.

˂ a 30 min.

PORCENTAJE DE ESTUDIANTES QUE TARDAN EN RECONOCER EN UN TIEMPO DADO LA NOCIÓN DE VARIABLE SOBRE EL OBJETO



Figura 26 Porcentaje de Estudiantes que Logran Derivar de los Elementos del OF el Concepto de Variable

En conclusión, de la observación del cumplimiento de la hipótesis 1, se estableció que sólo 2 estudiantes de los que participaron en la actividad tomaron mucho más tiempo para interpretar el contenido de la guía de actividades y realizar las predicciones que se proponían en ellas. Resultados obtenidos y observaciones hechas de la hipótesis 225 y de sus

respectivos indicadores26:

‐ La hipótesis resultó acertada, el 95.6% de los estudiantes realizó y aprobó todos los puntos establecidos como predicciones, que aparecen en la guía de trabajo AAA #1, sólo un estudiante no aprobó el tercer punto de la misma27 al no lograr

25 Qué los estudiantes al usar el objeto cumplan con los siguientes objetivos: 1) Reconocer las partes del objeto (fichas, tapones, tablero, elementos de escritura). 2) Identificar el concepto de variable sobre las fichas cubiertas con los tapones y establecer la relación entre ellos.

26 -. Cantidad de estudiantes que aprueban los objetivos propuestos vs. la cantidad de estudiantes que no

aprueban. -. Tiempo que tarda cada estudiante en cumplir con los objetivos. 27 ¿Reconoces características comunes que compartan los elementos del objeto de aprendizaje? Escríbelas.

6,7 %

93,3 %

PORCENTAJE DE ESTUDIANTES QUE LOGRAN DERIVAR

EL CONCEPTO DE VARIABLE CON EL USO DEL OFA

No Logra

Si Logra


Capítulo 4 93

escribir con elementos del álgebra las características observadas en el objeto por no poder reconocer la función de sus partes y elementos.

Figura 27 Porcentaje de estudiantes que desarrollaron completamente AAA No. 1


El hecho de que casi en su totalidad los participantes de la prueba hayan terminado las tareas propuestas demuestra un avance sustancial en el proceso de aprendizaje del álgebra, sobre todo porque se evidencia el rigor que se requiere para el trabajo académico propio de esta disciplina.

‐ El 100% de los estudiantes cumplieron con el punto 1 de la hipótesis 2 entre el minuto 5 y el 7 una vez iniciado el trabajo de desarrollar las predicciones propuestas en la guía. Y el punto 2 de la hipótesis lo hicieron y aprobaron alrededor del minuto 30 después de haber iniciado el desarrollo de la actividad.

‐ El 6.7% de los estudiantes no logró relacionar el concepto de variable con las fichas cubiertas con los tapones; 3 de ellos, no encontraron en dichas fichas, la relación establecida desde su función como elemento de una de las partes del objeto: su base representa un valor numérico o cantidad y la tapa de un color determinado, una variable (Ver figura 26).

2,2%

97,8%

1

2

No Logra

Logra

PORCENTAJE DE ESTUDIANTES QUE APROBARON Y TERMINARON LAS PREDICCIONES PROPUESTAS EN LA AAA # 1



Figura 28 Cantidad de estudiantes que reconocen la función de las partes del OFA


En definitiva, los estudiantes relacionaron más fácil el concepto de variable con las fichas de un solo tipo en este primer nivel de trabajo con el OFA, y en su totalidad los estudiantes participantes de las comprobaciones aprobaron y terminaron las actividades propuestas. Como resultados generales de la prueba de validación protocolo 1 se tienen los siguientes: Las modificaciones hechas a la secuencia didáctica No.1 se debieron a aspectos

de redacción y a la necesidad de utilizar un lenguaje más descriptivo, coloquial y menos técnico para los estudiantes y de ese modo hacerles más fácil la interpretación de la misma y garantizar su realización; en cuanto al objeto, éste requirió de cambios en su configuración como darle cierta inclinación (dejar de ser tan planar), demarcar sobre el tablero líneas divisorias verticales y signos de suma(+) y de multiplicación(*) para establecer las operaciones apropiadas a realizar según se maneje horizontal o verticalmente el objeto.

0

10

20

30

40

50

NO LOGRA LOGRA

3

42

ESTUDIANTES QUE RECONOCEN LA FUNCIÓN DE LOS ELEMENTOS PARTE DEL OFA

# ESTUDIANTES

Capítulo 4 95

Aprovechar más el OFA Colorgebra cuando se utiliza en el aula, se propone entonces, asignarle 2 niveles de juego, uno donde el estudiante reconoce y entra en contacto con él, y el otro, una vez hayan comprendido su funcionamiento, se proceda a usar las fichas que representan valores numéricos y que requieren de estructuras y operaciones algebraicas de mayor complejidad; para ello, se creó la secuencia didáctica o guía AAA No. 2 denominada: “Problemas con Figuras de Colores” para apoyar el trabajo que se sugiere como segundo nivel y hacer las operaciones básicas álgebra empleando este objeto.

5.2 Resultados Obtenidos de la Implementación en el Aula del OFA Gebratorre Los primeros resultados corresponden al análisis de situaciones particulares generadas del cumplimiento de la hipótesis formulada en el protocolo 2, teniendo en cuenta que ellos se procesaron con una muestra de 16 de un total de 45 estudiantes que participaron de esta prueba de validación (por encontrarse resultados similares en todos ellos), posteriormente aparecen resultados generales de la comprobación del mismo. Sobre la hipótesis28 y sus respectivos indicadores29 que resultaron acertados, se

tienen las siguientes observaciones: ‐ El 100% de los estudiantes logró derivar y relacionar de la forma de las fichas (en

este caso sólidos geométricos) la idea de variable; distinguiendo claramente que por haber dos tipos diferentes de ellas se hacia el manejo de binomios, cumpliendo las mismas su función como elementos de una de las partes del objeto.

28 Facilitar el aprendizaje de los productos notables mediante la implementación de un desarrollo objetual que se presente como una ayuda didáctica al momento de abordar la temática. 29 -.Distingue y usa adecuadamente las fichas del objeto. -.Asimila y entiende el concepto de variable que representa la

presencia de las fichas. -. Responde correctamente a la indicación de formar columnas. -.Forma las combinaciones apropiadamente. -. Agrupa términos semejantes correctamente. -.Expresa matemáticamente los resultados. -. Reducir el tiempo de trabajar esta temática.



Figura 29 Porcentaje de estudiantes que logran relacionar forma de las fichas del objeto con el uso de 2 variables, combinaciones ( + )2


‐ El 87.5% de los estudiantes, lograron realizar el punto 1 de las actividades de la secuencia didáctica AAA No. 3 “Matemática y Lúdica” que indica armar columnas teniendo en cuenta todas las posibilidades que existen de construirlas quedando cada una de ellas con dos fichas sabiendo que se cuenta con fichas de 2 figuras diferentes, sólo 2 de los estudiantes participantes no comprendían lo que debían hacer; requiriendo más aclaración de ello. Una vez el orientador de la prueba les presentó más indicaciones, desarrollaron la actividad considerando todas las posibles combinaciones al formarlas.

Figura 30 Porcentaje de estudiantes que logran formar la combinación ( + )2

‐ Durante la realización de las actividades de uso del objeto y desarrollo de la guía,

cuando deben trasladar al lenguaje algebraico las representaciones hechas en el OFA sólo 2 estudiantes (12,5%) no lograron hacerlo, por tener dificultad para manejar los símbolos y operaciones propios de este lenguaje.


100%

12,5%

87,5%

100%

Capítulo 4 97

Figura 31 Porcentaje de estudiantes que escriben la combinación ( + )2 con elementos y símbolos propios del álgebra

Los siguientes son los resultados generales de la aplicación de la prueba de validación protocolo 2: En cuanto al objeto aunque no se modificó, éste posibilitó el diseño del tercer

objeto de aprendizaje ya que con Gebratorre se limita o no es tan funcional

trabajar las combinaciones ( + )n, cuando n es mayor a 4. Éste OFA Colorgebra causó un impacto positivo y aceptación en su uso por parte

de los educandos, manifestando que les resulta más fácil construir las fórmulas de los binomios y que la manera de trabajar con él las actividades es más lúdica y agradable y que eso los motiva.

Las modificaciones hechas a la secuencia didáctica No.3 se debieron a aspectos

de redacción, haciéndose necesario de utilizar de forma correcta los términos: combinaciones, arreglos, torres, columnas para que los estudiantes de ese modo más fácilmente comprendieran e interpretaran lo que debían hacer en la guía y garantizar su realización.

12,5%

87,5%




5.3 Resultados Obtenidos de la Implementación en el Aula del OFA Pascalgebra Al analizar las situaciones generadas de la aplicación de la prueba de validación protocolo 3, y tomando como muestra los productos resultantes de 8 de un total de 30 estudiantes que participaron de esta prueba (por encontrarse resultados similares en todos ellos), aparecen los siguientes resultados: Sobre la hipótesis30 y sus respectivos indicadores31 que resultaron acertados, se

tienen las siguientes observaciones: ‐ El 100% de los estudiantes logró formar el arquetipo del Triángulo de Pascal con

las fichas o módulos de objeto; entendiendo las indicaciones dadas para su configuración

Figura 32 Porcentaje de estudiantes que logran configurar el Triángulo de Pascal usando el OFA Pascalgebra

30 Con el uso de la plataforma objetual se facilita el entendimiento de la temática Productos Notables y a su vez se hace esta actividad más agradable e interactiva para los usuarios del mismo.

31-. Responde correctamente a las indicaciones dadas para formar el Triángulo de Pascal. -. Entiende que la presencia

de las fichas de acuerdo a su ubicación representan los coeficientes de los términos de los binomios que se forman en cada fila del triángulo. -. Coloca correctamente las fichas para derivar los números coeficientes respectivos para configurar las expresiones que se forman en cada fila del Triángulo de Pascal. -. Expresa matemáticamente los resultados. -. Reducir el tiempo de trabajar esta temática.

100%


Capítulo 4 99

‐ El 100% de los estudiantes logró relacionar de las fichas el concepto de variable;

y distinguir claramente los dos tipos diferentes de ellas para hacer el manejo de binomios, cumpliendo las mismas su función como elementos de una de las partes del objeto al comportarse unas de módulo base y las otras que sirven para representar los coeficientes de las expresiones que se forman. Figura 33 Porcentaje de estudiantes que maneja correctamente las fichas del OFA Pascalgebra

‐ El 87,5% de los estudiantes logró formar la configuración de Pascal para trabajar

binomios con potencias altas; sólo 1 estudiante evidenció dificultad para hacerlo debido a que a medida que se construye el triángulo, aumenta la cantidad de filas de su base, aumentando también de forma exponencial la cantidad de términos de cada una de ellas pudiendo construir solo hasta la mitad de las combinaciones.

Figura 34 Porcentaje de estudiantes que logran configurar el Triángulo de Pascal para combinaciones (x + y)n, con potencias altas (n≥ 5)

87,5%

100%


12,5%




Los siguientes son los resultados generales de la aplicación de la prueba de validación protocolo 3: El diseño de este objeto posibilitó trabajar sin limitaciones cualquier binomio suma

sin importar el valor de la potencia, combinaciones (x + y)n, con n número natural.

Pascalgebra causó un mayor impacto y aceptación en su uso para los estudiantes, manifestando que les resulta más fácil construir las fórmulas de los binomios y que la manera de trabajar con él las actividades es más lúdica y agradable y que eso los motiva.

Con relación a la secuencia didáctica No.4 aunque no sufrió modificaciones si se

hizo necesario detallar más los pasos a realizar para que los estudiantes de ese modo fácilmente los comprendan e interpreten y configuren el Triángulo de Pascal usando el objeto de aprendizaje.

En general, las modificaciones hechas tanto a los OFA como a las secuencias didácticas que los apoyan para obtener los productos finales son el resultado de haber realizado con asertividad el seguimiento, control y evaluación permanente a todo el proceso que se llevó a cabo para lograr el cumplimiento de los objetivos propuestos en este trabajo de investigar sobre uno de los problemas que se presentan en la enseñanza aprendizaje de los conocimientos matemáticos (Ver figura 35). Figura 35 Evidencias de modificaciones hechas a formatos de registro y control de actividades usados en las pruebas de validaciones

Fuente: Elaboración propia tomada de registro fotográfico de pruebas de validación.

Capítulo 4 101

Las opiniones, observaciones, sugerencias o situaciones que mencionaron los estudiantes resultaron importantes y sirvieron como base para hacer modificaciones tanto a los objetos mismos como a las guías de trabajo que los apoyan, al final de cada sesión de prueba ellos tenían la oportunidad de manifestar su parecer respecto a la actividad, expresar qué tanto habían aprendido, qué era lo que más les gustaba, contestar si con la utilización de los objetos como estrategia didáctica se hacía mejor la clase, todo esto derivado del proceso de socialización (Ver figura 40). El uso de estas herramientas didácticas tuvo gran aceptación en mayor medida entre todos los estudiantes participantes de la actividad, manifestando abiertamente los beneficios y bondades que se obtienen al adoptarlas como estrategia o recurso didáctico para el aprendizaje de los conceptos matemáticos asociados con el aprendizaje del álgebra y por crear ambientes favorables para el tratamiento de esta temática (Ver figura 36). Figura 36 Evidencias de Uso de los OFA Dentro del espacio Escolar

Fuente. Elaboración propia tomada de registro fotográfico de las pruebas de validaciones.



5.4 Situación Actual del Proceso de Enseñanza debido a la Implementación en el Aula de los OFA

En la figura 37, se hace y se muestra en cifras porcentuales un comparativo de los resultados obtenidos con la implementación del objeto didáctico y sin la misma para el trabajo escolar. En ella, se observa que la cantidad (un número alto) de estudiantes (esto es más o menos 30 estudiantes , por cada uno de los tres cursos de octavo con un promedio de 45 de ellos en cada uno) que presentaban dificultad para aprender las nociones algebraicas, cuando no se utilizaba en años lectivos anteriores la estrategia de usar objetos físicos para realizar la actividad escolar y que una vez implementados estos recursos para abordar estas nociones, se evidencia que dicha cantidad disminuyó sustancial y representativamente (en promedio entre 3 y 5 estudiantes en cada grupo continúan con dificultades al aprender el álgebra). Figura 37 Porcentaje de estudiantes que mejoran significativamente la aprehensión de los conceptos del álgebra con la implementación de los OFA

Fuente: Elaboración propia con datos recogidos antes y en el año lectivo 2012 al enseñar álgebra a estudiantes de 8º de la I.E. Navia Varón.

En cuanto a la situación actual de la enseñanza del álgebra en grado octavo, el argumento principal lo constituye el hecho de poder afirmar de que con la implementación de los OFA creados en este proyecto y con el desarrollo de las

Capítulo 4 103

secuencias didácticas que los soportan en su uso (y que incluyen el manejo de estructuras cognitivas generales y especificas) cuando esta disciplina se enseña en contextos determinados resultó ser una estrategia educativa muy poderosa que provocó cambios en el razonamiento de los estudiantes. El cambio didáctico que significó moverse de una enseñanza centrada en la transmisión del conocimiento a una centrada en la indagación y en el desarrollo de habilidades propias del pensamiento de orden superior, aunque es un cambio relativamente pequeño sus beneficios educativos son enormes (véanse figuras 38 y 39). Particularmente, la aplicación y el desarrollo de las tareas propuestas en las secuencias didácticas (especialmente elaboradas para apoyar el uso de los objetos de aprendizaje) causa un impacto favorable en este proceso el cual está determinado en los hallazgos que como docente he encontrado al implementarlas simultáneamente con dicho material para realizar el trabajo escolar, así como también, en el deseo de apoyar a los educandos para que logren desarrollar competencias, habilidades cognitivas matemáticas, tal impacto se evidencia cuando los estudiantes: Son capaces de realizar y representar operaciones numéricas que incluyen

relaciones de cantidad, análisis de cambios o variación, empleando números, letras (variables) y signos, es decir, logran alto dominio conceptual.

Hacen descripciones verbales, utilizando diferentes lenguajes y diversas formas de representación (verbal, gráfica, algebraica) pasando de una a otra aplicando la terminología y símbolos del álgebra, quiere decir que logran acrecentar el desarrollo de sus competencias y habilidades matemáticas.

Describen el significado de las expresiones simbólicas en palabras, e interpretar los cambios en sus parámetros, haciéndose notoria su capacidad cognitiva al razonar, interpretar, argumentar y proponer.

Distinguen apropiadamente entre los diferentes usos de las variables, los parámetros, las constantes y las ecuaciones, (como símbolos para cantidades que varían o para un valor fijo y posiblemente desconocido en una ecuación o para todos los números en propiedades o en fórmulas) dejándose ver procesos de comunicación y de conexión dentro de las competencias matemáticas.

Construyen, resuelven e interpretan las soluciones de ecuaciones de diversos tipos en contextos matemáticos y del mundo real, es decir, acrecentan favorable y sustancialmente sus competencias y habilidades matemáticas (atendiendo a procesos de comunicación, conexión, razonamiento lógico y resolución de problemas) para el cumplimiento de estándares definidos para el desarrollo de los pensamientos matemáticos (numérico, geométrico, variacional, métrico y aleatorio).



Lo anteriormente expuesto, se evidencia por medio de los resultados alcanzados, ellos, muestran el avance en varios de los procesos que anteriormente sin llevar a cabo esta propuesta no se tenían y que se reflejan en los registros elaborados por los estudiantes (ya sean los escritos en sus cuadernos, evaluaciones, talleres u otros materiales. Anexo B) y en los registros que como docente diligencio: planillas de calificaciones Anexo A, informes valorativos de periodo de los estudiantes, notas numéricas asignadas a estos por el desarrollo de las actividades propuestas en clase; así como también en sus apreciaciones hechas en forma verbal o escrita (evaluación formativa de periodo) donde manifiestan lo que les significa ahora la clase de matemáticas.

Capítulo 4 105

Figura 38 Evidencias por medio evaluaciones escritas del Rendimiento Académico de los estudiantes de grado 8º, antes de implementar la propuesta

Fuente: Elaboración propia tomada de la hoja de evaluación escrita de un estudiante de grado 8º.



Figura 39 Evidencias por medio evaluaciones escritas del Rendimiento Académico de los estudiantes de grado 8º, después de implementar la propuesta

Fuente: Elaboración propia tomada de la hoja de evaluación escrita de un estudiante de grado 8º.

Capítulo 4 107

Figura 40 Evidencias de respuestas dadas por estudiantes participantes en el proyecto a encuesta realizada para conocer su opinión acerca de la implementación de OFA como estrategia didáctica en el aula

Fuente. Elaboración propia tomada de registro fotográfico de las pruebas de validaciones.

La comparación de los avances del grupo de estudiantes participantes de este proyecto respecto a los grupos anteriores a su implementación es notablemente significativa. Estos resultados indican que mejoraron sus habilidades de pensamiento crítico hasta cierto punto y los procesos de escritura usando la simbología propia del álgebra, quizás porque esta estrategia les permite construir su propio conocimiento al seguir la línea de la experimentación práctica. También con la evaluación de las habilidades de razonamiento de los estudiantes antes y después de la experiencia de enseñanza aprendizaje mediante la observación directa realizada por la docente y analizar su capacidad de argumentar, formular, contra argumentar, refutar, y justificar en el área ahora deja ver una mejora notoriamente significativa; en todas las dimensiones exploradas se tuvo un efecto positivo en su capacidad para tratar las nociones algebraicas. Los resultados presentados en las secciones anteriores de este capítulo, muestran que, en general, los estudiantes de grado octavo de la institución Rafael Navia, se

OPINIONES DE ALGUNOS ESTUDIANTES QUE PARTICIPARON EN EL PROYECTO

Registro escrito

Manuel Leitón: Me pareció una forma muy práctica de aprender…

dinámica y sencilla.

Andrés Ortegón: Muy entretenida, se aprende muy fácilmente.

Melisa Ruíz: Me pareció muy divertido, y muy buena forma de

aprender.



beneficiaron con la implementación de esta propuesta didáctica para la enseñanza del álgebra en términos de su capacidad de argumentación y de análisis, sin embargo, estos resultados no indican de forma individual que estudiantes tuvieron mayores progresos durante el proceso de ejecución pero teóricamente, podría decirse que en gran parte de la población de ellos, a saber (muchos con bajo o menor rendimiento académico en el área o aquellos que han desarrollado actitudes negativas frente a la misma) se contribuyó para mejorar significativamente su proceso de aprendizaje, resultado importante obtenido en este estudio dado al examinar los efectos de la enseñanza adoptando estas estrategias didácticas. Para los estudiantes, la idea de moverse constantemente entre dos niveles de actividades produce beneficios en ellos: uno procedimental (adquieren mayor práctica, al usar el material didáctico, es decir, los objetos físicos de aprendizaje mejoran con ellos sus habilidades y destrezas) y otro teórico (al hacer tratamiento conceptual los educandos amplían el manejo y el dominio tanto de contenidos curriculares específicos de la temática del álgebra como el uso de la terminología y simbología propias de esta ciencia cuando desarrollan las guías de actividades AAA) les implica involucrarse activa, positiva y directamente en el proceso de aprendizaje de estos conocimientos. Como ambos niveles se trabajan y están construidos de la planificación sistemática y organizada de los contenidos curriculares acordes con los propósitos de enseñanza propios de los conocimientos algebraicos, ambos casos, permiten el tratamiento adecuado de estos elementos de pensamiento que son tan abstractos pero que los entrelazan a través de múltiples experiencias que requieren que los estudiantes usen estrategias de pensamiento particulares para cada nivel. En este sentido, ocuparse de reglas, generalizaciones y principios siempre en conexión con la experiencia concreta de los estudiantes resulta esencial para lograr un aprendizaje significativo en ellos. La capacidad de transferir el conocimiento a problemas nuevos y la conservación de esta capacidad por períodos de tiempo más extensos requieren un grado sustancial de comprensión.

6. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES

Con los resultados obtenidos en el proceso investigativo se reconoce que los objetivos tanto general como específicos propuestos fueron cumplidos. Como se evidencia durante el desarrollo de toda la propuesta, la implementación en el aula de Objetos Físicos de Aprendizaje como estrategia didáctica para trabajar las nociones algebraicas permitió con asertividad mejorar la enseñanza del álgebra en grado 8º al pasarse, con la manipulación de estos materiales, de un porcentaje de 91.7% a un 20.8% de estudiantes que presentaban dificultades para aprender estos conceptos, concretamente, se fortaleció en los estudiantes de la I. E. Navia Varon de manera efectiva y significativa la comprensión y la aprehensión de estas ideas principalmente, la factorización. Con respecto a los objetivos específicos 2.2.1 y 2.2.2, su cumplimiento se logró tanto porque con esta propuesta de crear y usar OFA para el trabajo escolar, resultó ser una estrategia innovadora (en cuanto a la renovación y cambio que se le dió a las formas de enseñar los conocimientos matemáticos saliéndose de las formas tradicionales existentes) que generó toda una experiencia novedosa para enseñar y aprender las nociones algebraicas como por atender, con la implementación y manejo de estos recursos, a las necesidades que tienen hoy los estudiantes al aprender; mejorando además, sus desempeños, habilidades y competencias al alcanzar un mayor nivel de comprensión de esta ciencia. De igual forma, el objetivo específico 2.2.3 se alcanzó al haber tomado como base las nuevas tecnologías, la lúdica y el juego para apoyar, fundamentar y llevar acabo esta propuesta didáctica. Integrar estos componentes, permitió prestar atención tanto a los procesos de pensamiento que desarrollan los estudiantes cuando razonan, argumentan, resuelven problemas y proponen soluciones, como a los contenidos propios y específicos de esta disciplina. Por otro lado, respecto a la implementación de estos recursos para el trabajo en el aula se demostró que fue posible promover en los estudiantes el aprendizaje de estas nociones particularmente, del proceso de factorización (mediante del tratamiento de la



terminología y la simbología propias de esta ciencia, usando diferentes lenguajes, diversas formas de representación y procesos inversos de multiplicación para manejar las fórmulas de los productos notables). De esta forma, se mejoraron los desempeños de ellos desde que se inicia la etapa de transición del pensamiento aritmético al algebraico. En términos generales los educandos actualmente, evidencian mejor rendimiento en el área con relación a esta temática, esto se debe al hecho de aplicar simultáneamente las secuencias didácticas y los objetos de aprendizaje. La cuestión de que para diseñar las secuencias didácticas se hiciera bajo el enfoque de la metodología para el Aprendizaje Activo resultó una ventaja para ellos, además, al permitírseles con dichas guías hacer predicciones y explicar paso a paso procedimientos favoreciendo su razonamiento lógico matemático los llevó a alcanzar un mayor dominio conceptual, factor determinante en este proceso. Las tareas planteadas en las guías de trabajo, el diseño de las mismas y de los objetos de aprendizaje significó un aspecto innovador, diferente, atractivo y motivante para los estudiantes. Los colores, las formas geométricas, la metodología propiciaron un aprendizaje más consciente e intencionado en ellos e incentivaron el desarrollo de sus competencias y habilidades. Los resultados obtenidos en el desarrollo de este proyecto reflejan avances y situaciones educativas importantes. Con esta propuesta, al pasar de una forma de enseñanza tradicional a implementar una no convencional presentándole a los educandos una estrategia didáctica diferente les posibilitó el aprender por experimentación (en ella, se le asigna un rol preponderante a los estudiantes y se les permite participar activamente en su proceso de formación); con la utilización de estos OFA, el aprendizaje se hizo más intencionado y consciente lo cual favoreció este proceso, además, se propició un cambio sustancial tanto en el currículo de las matemáticas, como en el desarrollo de las relaciones docente, educandos y objeto de conocimiento. Al salirse esta propuesta de las formas rutinarias de enseñar y crearle con ella a los educandos un ambiente de aprendizaje más adecuado se observó una mayor disponibilidad y disposición de su parte; la comunicación, la orientación, la reflexión y la evaluación permanente durante todo el proceso investigativo favoreció su participación activa (individual y grupal) para construir sus propios conocimientos. Lo anterior ratifica lo propuesto de que con la implementación de esta estrategia se atiende a expectativas y necesidades de los estudiantes cuando ellos aprenden. Cabe destacar que del análisis del uso de los OFA, se determinó en la experimentación que de los aspectos que más sobresalen en este estudio, son la gran aceptación y el

CONCLUSIONES

111

impacto positivo que tienen este tipo de recursos, éstos resultan ser más adecuados, pertinentes y posibilitan la adquisición y aprehensión de saberes, asimismo según sus manifestaciones, están más acordes con las múltiples formas que para aprender tienen hoy ellos. Igualmente, el trabajo con estos recursos fue de gran utilidad como no revisten de mayor grado de dificultad para su uso y son fácilmente accesibles, con el apoyo de ellos los jóvenes lograron desarrollar las secuencias didácticas, el 100% de los estudiantes pudo reconocer la configuración de los objetos, así mismo, el 87.5% de los participantes logró comprobar y derivar las fórmulas de los productos notables y de ellos, el 95.6% trabajó y construyó productos notables binomios suma para n muy grande (n>4). Si bien es cierto que uno de los propósitos de implementar esta estrategia era reducir el tiempo asignado para el desarrollo de esta temática, no se logró de manera significativa avanzar en este aspecto, un 95% de los estudiantes tomó más tiempo del previsto lo que llevó a modificar el tiempo de desarrollo de las actividades. Un aspecto que se puede considerar como una desventaja al trabajar con esta forma alternativa de enseñar el álgebra, es que implementar esta clase de estrategias para realizar el trabajo del aula implica una mayor actitud de cambio y un mayor esfuerzo en cuanto al tiempo y dedicación por parte del docente para promover real y verdaderamente un aprendizaje significativo en sus estudiantes, esto es concentrarse y hacer uso de sus conocimientos y habilidades para encauzar el aprendizaje de ellos. El profesor debe poseer la habilidad de elegir lo más conveniente para las necesidades, exigencias y expectativas de los educandos, conocerlos bien; sus estilos de aprender, sus habilidades cognitivas matemáticas, las competencias que más dominan y poseen, las técnicas didácticas más propicias para ellos, de este modo les puede brindar nuevas experiencias que les sean más significativas y así ellos, construyen nuevos conocimientos.

En conclusión, el uso e implementación de estos objetos físicos de aprendizaje como herramienta didáctica para desarrollar el trabajo al interior del aula si facilita la enseñanza, adquisición y el aprendizaje de los conocimientos algebraicos. Lo anterior es corroborado con los desempeños y resultados académicos de los estudiantes posteriores a la puesta en marcha de esta propuesta, pues tiempo después de haber iniciado el proyecto como docente aún de los educandos con los que se llevó a cabo la experiencia, se evidencia en ellos situaciones de avance relevantes y significativas manifestadas en el



reconocimiento, tratamiento y comprensión del significado de la noción de variable, la operatividad del álgebra, y en el manejo apropiado del proceso de factorización al trabajar con mayor propiedad y asertividad sus casos; constituyéndose este proyecto como un aporte significativo para el desarrollo del currículo de matemáticas en grado 8º. Por último, se recomienda en términos de futuras investigaciones, considerar a esta propuesta como base (por las bondades y resultados positivos que se dieron en el cumplimiento de los objetivos propuestos en este proyecto) para estructurar otras cuyo propósito sea transformar desde el cambio, la renovación y la innovación las prácticas educativas llevadas a cabo dentro del espacio escolar y de esta manera movilizar con sentido y pertinencia los conocimientos matemáticos favoreciendo las competencias y habilidades de los estudiantes así como también, los resultados que se obtengan del desempeño de ellos cuando se enfrentan a mediciones hechas a través de pruebas externas como las Saber Icfes. Este problema investigativo es propicio para ser desarrollado a través del uso de recursos y material didáctico tangible, esta propuesta se puede considerar como un aporte para trabajar el álgebra no sólo en la I. E. Navia Varón sino también en otras instituciones de educación básica por los resultados positivos que se dieron con ella.

7. REFERENTES BIBLIOGRÁFICOS

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114 Elaboración de objetos físicos como alternativa didáctica para la enseñanza del álgebra en grado 8º

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ANEXOS ANEXO A: Desempeño de los estudiantes en el área de matemáticas de la temática Factorización evidenciado en evaluaciones escritas antes y después de implementar la propuesta.

ANTES


DESPUÉS

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ANEXO B: Respuestas a Encuestas hechas a los estudiantes durante el proceso de Socialización.


ANEXO C: Formato de registro de observaciones y resultados de pruebas de validación.

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Anexo D: Registro escrito que evidencia el desarrollo de las actividades propuestas en las secuencias didácticas – Respuestas a predicciones

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