Universidad Industrial de Santander Escuela de Física LABORATORIO DE FÍSICA I

TL: ELABORACIÓN E INTERPRETACIÓN DE GRÁFICAS INTRODUCCIÓN: Por todos es sabido que una de las herramientas indispensables a la hora de estudios experimentales, es el uso de graficas, tanto por la utilidad para analizar tendencias como la visión global que permite de los datos. Por tanto es de vital importancia afianzar los conocimientos y manejo de las mismas. La técnica de graficar es una de las más sencillas de la ciencia o de la ingeniería, aunque para muchos sea difícil debido a la carencia de criterio. El uso del criterio y de un grupo de reglas generales permitirá al estudiante hacer una gráfica correcta. Por lo general el ingeniero o el científico están más interesados en la gráfica de tipo cuantitativo, que muestra la relación que hay entre dos variables en forma de una curva. (El término ‘curva’ se aplica a las líneas rectas trazadas entre dos puntos o a las curvas suaves regulares.) Según el problema, es posible graficar en un papel milimétrico, semi-logarítmico, logarítmico o de otras formas, tales como polar y triangular. Después de seleccionar el papel gráfico adecuado, los requisitos para hacer una buena gráfica son: 1. Selección y denominación de las escalas coordenadas. 2. Localización de los puntos representativos de los datos. 3. Ajuste de la curva entre los puntos. 4. Preparación del título. OBJETIVOS: Familiarizar y dar al estudiante la habilidad para hacer e interpretar diferentes tipos de graficas de líneas rectas. (Tanto con factores de amplitud en cada eje coordenado como con escala logarítmica) EQUIPO o 1 hoja de papel milimetrado o 1 hoja de papel logarítmico1 o 1 hoja de papel semi-logarítmico. I. GRÁFICAS EN PAPEL MILIMETRADO. Para realizar graficas en papel milimetrado es importante ver el rango de los datos para aprovechar al máximo la hoja con el objeto de ver más claro las características que pudieran ser de interés; para ilustrar lo anterior se desarrolla el siguiente ejemplo:

La siguiente es la tabla de datos para dos variables x y t, se gráfica x vs. t (posición contra tiempo) ajustando los datos mediante una regresión lineal con el factor de escala adecuado.

Repuestas

a.) smxxxm /10

34

10)14(10)04( 3

2

5−

−

−

=−−

= (note que los signos en la operación son opuestos a los mostrados en la gráfica)

1 Nota: El estudiante sólo lleva papel cuadriculado o milimetrado. El profesor puede llevar un papel log-log y otro semi-log para indicar su uso.

a. Encuentre el valor de la pendiente (m) en m/s

b. Encuentre la ecuación de la recta

c. si se quitara el factor de escala con respecto a esta gráfica la inclinación. ¿aumenta o disminuye?

x (m) t(s) -1.5 x10-5 0.1x10-2

1 x10-5 1.0 x10-2 2.5 x10-5 3.0 x10-2 4.1x10-5 4.0x10-2

b) x = (4/3)10-3t - (4/3)10-5. c) la inclinación disminuye ya que el factor de escala en el eje de las x es mayor y al quitarse el avance en x sería menor. Ahora el docente pondrá a los estudiantes un ejercicio similar para que ellos lo resuelvan. II. GRAFICANDO EN PAPEL LOGARÍTMICO Y SEMI-LOGARÍTMICO Linealización de funciones Estas graficas son realmente útiles cuando se quiere graficar una función de la forma Ym = cXn , donde m, n son números racionales mientras que c es un número real, la cual se encuentra frecuentemente en física. Entonces realizando la siguiente sustitución, y = lnY y x = lnX la ecuación anterior se puede escribir de la siguiente forma:

y = (lnc)/m +nx/m “ecuación de una recta” En papel logarítmico, el eje de las abscisas cubre desde 1 a 1000 mientras que en las ordenadas va de 1 a 100 por lo que en ocasiones se hace nuevamente necesario utilizar factores de escala. Ejercicio ilustrativo: Dada la siguiente tabla de datos:

X 1.0 8.0 27.0 64.0 Y 2.0 8.0 18.0 32.0

Amplifique los datos de las abscisas con un factor de 10, para utilizar mejor la escala. a. grafique los datos en un papel logarítmico, utilizando el factor de escala recomendado. b. Encuentre la ecuación que corresponde a los datos dados en la tabla.

(Y3 =8X2 ) Ejercicios para los estudiantes (guiados por el docente): a. En el papel logarítmico trazar una recta cualquiera, y encontrarle la ecuación a la cual corresponde la misma. b. Demuestre que la inclinación de una recta no depende del factor de escala tomado. Para el caso del papel semi-logarítmico el cual puede ser reemplazado por el logarítmico, es útil para el caso cuando m sea igual a 1. Y = cXn Ejercicio ilustrativo: Dada la siguiente tabla de datos:

X 1.0 25.0 49.0 81.0 Y 3.0 15 21.0 27.0

a. Grafique los datos en un papel logarítmico, utilizando el mejor factor de escala. b. Encuentre la ecuación que corresponde a los datos dados en la tabla. Ejercicio para los estudiantes (guiados por el docente): En el papel logarítmico trazar una recta cualquiera, y encontrarle la ecuación a la cual corresponde la misma.

ANALISIS DE UN EXPERIMENTO En la Tabla de abajo se hallan los resultados de un experimento. Se pide al estudiante presentar y analizar estos resultados en tal forma que pueda sacar conclusiones sobre la naturaleza del proceso investigado y predecir los resultados de experimentos similares. La presentación y el análisis de los resultados experimentales son una parte esencial de la Física. El experimento consistió en investigar el tiempo requerido para vaciar un recipiente por un orificio en el fondo. Como es de esperarse, este tiempo depende del tamaño del agujero y de la cantidad del agua en el recipiente. Para encontrar la dependencia en el tamaño del agujero, cuatro grandes recipientes cilíndricos del mismo tamaño, llenos de agua, fueron vaciados por orificios circulares relativamente pequeños de diferentes diámetros. Para encontrar la dependencia en la cantidad de agua, se llenaron los mismos recipientes hasta diferentes alturas. Cada medida fue repetida varias veces y se anotaron en la tabla los promedios de los tiempos requeridos para vaciar cada recipiente (en segundos) Por la dificultad para medir tiempos cortos con un reloj, aparecen menos cifras significativas en las medidas de éstos que en las de tiempo largos.

TABLA Tiempo de vaciado (segundos)

logh 14772155

1

0,602060

0

h [cm] d[cm] 30 10 4 1 1/2

1.5 73.0 43.5 26.7 13.5 0.44 2 41.2 23.7 15.0 7.2 0.25 3 18.4 10.5 6.8 3.7 0.11 5 6.8 3.9 2.2 1.5 0.04

Toda la información que se puede utilizar esta en la Tabla Sin embargo, una representación gráfica permite hacer predicciones y facilita

mucho el descubrimiento de las relaciones matemáticas. Haga primero un gráfico del tiempo en función del diámetro de los orificios para una altura constante, por ejemplo 30cm. Es costumbre colocar la variable independiente (en este caso el diámetro d) en el eje horizontal y la variable dependiente (en este caso tiempo t) en el eje vertical, Para obtener la máxima exactitud en el gráfico, es deseable que la curva se extienda a través de toda la hoja de papel. Escoja escalas sobre los dos ejes, de manera que sea cómodo leerlas. Conecte los puntos con una curva continua. ¿Hay sólo una manera de hacer esto? Teniendo como base su curva, ¿con qué precisión puede usted predecir el tiempo que se necesitaría para vaciar el mismo recipiente si el diámetro del orificio fuese de 4cm de 8cm? Aunque usted puede utilizar su curva para interpolar entre sus medidas o para extrapolar aproximadamente más allá de ellas hasta ahora no ha encontrado una expresión algebraica para las relaciones entre t — d. En su gráfico puede ver que t disminuye rápidamente cuando aumenta d; esto indica alguna relación inversa. Además, usted podría demostrar que el tiempo de flujo debe estar relacionado sencillamente con el área del orificio, puesto que cuanto más grande sea ésta, más agua pasará por ella en la unidad del tiempo. Esto sugiere que se ensaye una gráfica de t en función de l/d2. Para hacer esto, agregue una columna para los valores de 1/d2 en su cuaderno de notas y, escogiendo de nuevo una escala conveniente, haga un gráfico de t en función de l/d2 y conecte los puntos por una línea continua. ¿Cuál es el resultado? ¿Fue correcta su conjetura? puede escribir usted la relación algebraica entre t y d para la altura de agua usada? Para verificar si esta clase de relación entre t y d también se cumple cuando el recipiente se llena a alturas diferentes, en la misma hoja de papel milimetrado haga los gráficos de t y l/d2 para las otras alturas. ¿Qué concluye usted? Note que el gráfico para h = 1cm se extiende ligeramente hacia arriba. Haga un gráfico especial para estos datos tomando una escala mayor para los tiempos, de modo que utilice toda la hoja. ¿Qué observa usted? Con base en sus datos, ¿qué puede decir usted acerca de la relación algebraica entre t y d para h = 1cm? Investigue ahora la dependencia de t en relación a h cuando el diámetro del orificio es fijo. Tome el caso de d = 1.5cm, qué está en la primera fila. Haga un gráfico en el que h esta en el eje horizontal y conecte sus puntos por una línea. Extrapole la curva hasta el origen ¿Pasa la curva por él? Esperaría usted que pasará? ¿Como podría utilizar sus gráficas de t y l/d2 para predecir t cuando h = 20cm y d = 4cm? No hay una consideración geométrica sencilla que guíe para encontrar la relación matemática correcta entre t y h. Se puede tratar de adivinarla observando la curva Puede ser útil girar el papel 90° y mirar primero a h como función de t y luego a t como función de h. Si tiene éxito, verifique su relación haciendo el gráfico adecuado para ver si la misma clase de relación entre t y h se cumple cuando d = 5cm. Si usted está familiarizado con los logaritmos, puede probar con ellos a ver si la relación pertenece a una clase general de relación tal como la ley de las potencias, t = hn para hacer esto, haga la gráfica de logt en función de logh (o simplemente t en función de h en papel logarítmico). ¿Que se obtiene? ¿cuál es el valor de n? ¿Puede encontrar usted la expresión general para el tiempo de flujo como función simultánea de h y d? Calcule t cuando h = 20cm y d = 4cm y compare la respuesta con la encontrada gráficamente. ¿Cuál cree usted que es más digna de confianza?