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Elaborado por: Jhonny Choquehuanca Lizarraga Ecuaciones Diferenciales de Primer orden y Aplicaciones

1

1. Grafique la familia de curvas que representa la solución general de la ecuación diferencial: ' 0y y

Solución: la ecuación diferencial se la puede resolver por variables separables, como se ve.

1' 0 ln xdy

y y y dy dx c y x c y kedx y

Para graficar la familia de curvas se procederá a signar valores a la constante, de donde se hallan las siguientes curvas.

2. Dada la ecuación diferencial 'xy y , determine la solución general en función de k, grafique las curvas integrales y

encuentre la solución particular que verifica (1) 2y .

Solución: la solución se la puede hallar por el método de variables separables, como se observa.

1 1' ln ln

dyxy y x y dy dx c y xk y xk

dx y x

Determinado la solución particular para las condiciones dadas.

2(1) 2 2 2

1

yy y xk k y x

x

Graficando la familia de curvas:

3. Dada la ecuación diferencial ' 4 0xy y , determine la solución general, grafique las curvas integrales y encuentre la

solución particular para: 3

(1)2

y

Solución: resolviendo por el método de variables separables, se tiene:

1 1 1 1' 4 0 ' 4 4 0

4 4

dyxy y xy y x y dy dx dy dx

dx y x y x

Procediendo a integral y simplificando: 4

1 1

1 1 10 ln ln ln 4ln ln ln

4 4dy dx y x c y x c y x c

y x

4 4 4

1 1ln ln ln ln .... _ .y x c x y c k x y k Solucion gral

0

1

1

2

2

x

k

k

k y ke

k

k


2

Hallando la solución particular para la condición y reemplazando en la solución general

4

4

13 3 3

(1) 132 2 2

2

3... _ .

2

x

y k ky

x y Solución Part

La gráfica de la solución particular será:

4. Resolver la ecuación diferencial por variables separables. 21dy x

dx xy

Solución: separando variables ya que tiene la forma de ( ) ( )f x dx g y dy .

2 2 21 1 10

dy x x xydy dx dx ydy

dx xy x x

Procediendo a integrar: 2 2

21 10 0 ln

2

x xdx ydy x dx ydy x y c

x x

Ordenando y simplificando al máximo: 2

2 2 2 2 2 2 22ln ln ln ln lnx

x x y c k x y x k x yk

5. Resolver la siguiente ecuación diferencial 2 2 2 2' 0y xy y x yx

Solución. Si factorizamos términos semejantes, podemos emplear el método de ecuación diferencial de variables separables ya que tiene la forma ( ) ( )f x dx g y dy .

2 2

2 2 2 2 2 2' 0 (1 ) 1 ...1 1

y xy xy y x yx y x dy x y dx dy dx c A

y x

Integrando por cambio de variable en ambas integrales tenemos:

222 2 2 21 1(1 )ln 2 ln 1 2 1

1 1 2 1 2

v y yy y v v ydy dy dv v v dy y y

dv dyy y v y

222 2 2 21 1( 1)2 ln 2 1 ln 1

1 1 2 1 2

u x xx x u u xdx dx du u u dx x x

du dxx x u x

Reemplazando las últimas dos integrales en la ecuación A, empleando propiedades y simplificando.

2 2

2 21 1 1

ln 1 2 1 2 1 ln 1 2ln 2( )2 2 1

12ln ( ) 2

1

y x xy y x x c x y x y c

y

xx y x y c

y


3

6. Resolver la ecuación diferencial por variables separables. 3 3

2 4 8

dy xy x y

dx xy x y

Solución: factorizando en el denominador y denominador, y separando variables ya que tiene la forma de ( ) ( )f x dx g y dy .

3 3 ( 1) 3( 1) ( 1)( 3) 2 1...

2 4 8 ( 2) 4( 2) ( 2)( 4) 3 4

dy xy x y y x x dy x y y xdy dx c A

dx xy x y x y y dx y x y x

Resolviendo las integrales por separado.

2 2 3 21 5ln( 3)

3 3 3 3 3

y ydy dy dy y y

y y y y y

1 1 4 11 5ln( 4)

4 4 4 4 4

x xdx dx dx x x

x x x x x

Reemplazando las anteriores integrales en A. 5

4 45ln( 3) 5ln( 4) 5ln

3 3

x yx xy y x x c x y c ke

y y

7. Resolver la ecuación diferencial homogénea 2 2 0y x dx xydy .

Solución: para resolver la ecuación diferencial, se hará el siguiente cambio de variable por ser una ecuación diferencial

homogénea que tiene la forma 'y

y fx

.

2 2 2 2 2 2 2

2 2

2

1 1 20

y uxy x u x xdy du u du u

y x dx xydy x u xdy dudx xy dx ux u dx ux u

dx dx

Separando las variables e integrando se tiene: 2

2 2

12 2 4

1 2 1 1 4 1 1 1ln(1 2 ) ln 1 2

1 2 4 1 2 4

du u u ux du dx c du dx c u kx u k

dx u u x u x x

Volviendo a las variables originales, según y ux , se tiene. 2 2 2

2 2 411 14 4

211 2 1 2

x y kyk x y k x

x x x

8. Resolver la ecuación diferencial homogénea 0y y

x xx ye dx xe dy

, si (1) 0y .

Solución: como se observa la ecuación diferencial es homogénea, ya que tiene la forma de 'x

x fy

. Por lo tanto se hará

el siguiente cambio de variable con su respectiva derivada. 1 1

2

1 1 10

yy y x u ux x

y

x u u u

x uydx xe du uye ue du u

x ye dx xe dy y u ydx duy udy dy dy

x ye uy ye u e u edy dy


4

Separando variables e integrando, se tiene: 1

1 1 12

1 2 2

1 1 1 1ln ln ln( )

uu u u

u

du u u ey du dy c e du dy c u e ky kuy e

dy u y u u yu e

Volviendo a las variables originales, se tiene: ln( )y

xx

x uy u kx ey

Determinando el valor de k para las condiciones iniciales: 01

(1) 0 ln( ) ln( ) 10

y

xx

y k e k e x ey

9. Resolver la ecuación diferencial homogénea cos sin cosy y y

y x dx x dyx x x

.

Solución: como se observa la ecuación diferencial es homogénea, ya que tiene la forma de 'x

x fy

. Ordenando y

realizando el cambio de variable para una E.D. homogénea:

cos sin

cos sin cos tan

cos

1 1 1 1tan tan 0

tan tan

y yy x y ux

x xy y y y y dyy x dx x dy dx dy dy du

yx x x x x dx x ux dx dx

x

du duu u x u u x dx du dx du

dx dx x u x u

De la última expresión procediendo a integrar:

1 1 1 cos0 0 ln lnsin ln ln

tan sin sin sin

u x xdx du dx du x u c c k k

x u x u u u

Volviendo a las variables originales, se tiene: sin

sin

y x yy ux u k x k

yx x

x

10. Resolver la siguiente ecuación diferencial reduciéndolas a homogéneas. 4 9 4 2 0x y dx x y dy

Solución: la ecuación diferencial tiene la forma 1 1 1

2 2 2

'a x b y c

y fa x b y c

por lo que es posible reducirla a una ecuación

homogénea. Hallando el punto en común entre las rectas, y haciendo los cambios de variable respectivos se tiene:

4 9 0 1 ,4 94 9 4 2 0 (1, 2)

4 2 0 2 ,4 2

4

4

x y x u dx dux ydyx y dx x y dy P

x y y v dy dvdx x y

dv u v

du u v

Reduciendo la última ecuación a homogénea con un cambio de variable, además de separar variables, se tiene.


5

2

2

2 2 2

4 4 1 4 1

4 4 4 4

4 1 4 2 1 14arctan ln 1 ln

1 1 22 1

v wudv u v dw u wu dw w dw w

u w u w udv dwdu u v du u wu du w du wu w

du du

w wdw du c dw du c w w u c

w u w uw

Llevando en función de las variables originales, se tiene:

22

2 1 24arctan ln 1 ln 11

1 2 11

v yv wu w y y

x cu xx x

u x

11. Resolver la siguiente ecuación diferencial reduciéndolas a homogéneas 6 12

'6 12

x yy

x y


2 2 2

'a x b y c

y fa x b y c


homogénea. Primero se debe hallar el punto en común entre las rectas, y segundo se debe hacer los cambios de variable respectivos:

6 12 0 2 ,6 12 6' (2,0)

6 12 0 ,6 12 6

x y x u dx dudy x y dv u vy P

x y y v dy dvdx x y du u v

Tenemos una ecuación homogénea, por lo que se debe recurrir a otro cambio de variable.

2 3 26 6 6 5 6

6 6 6 6 6

6 1...

3 2

v wuw wdv u v dw w dw w dw w w

u w u w udv dwdu u v du w du w du w wu w

du du

wdw du c A

w w u

La primera integral se procederá a resolver mediante fracciones parciales.

3 3

4

2

6lim 3 3

3 236 3 4

ln3 2 3 2 3 2 26

lim 2 43 2

w

w

wa w

w www a b

dw dw dww w w w w w ww

b ww w

Reemplazando la última integral en A y volviendo a las variables originales, se tiene:

3

3 3 3

2

4 4 4 4

33 3 3 62

ln ln 2 222 2 2 42 2

2

yv y

w w y xw xku ku k x k xu x

w w y xyu xx


6

12. Resolver la siguiente ecuación diferencial reduciéndolas a homogéneas 3 5

'1

x yy

x y


2 2 2

'a x b y c

y fa x b y c


homogénea. Primero se debe hallar el punto en común entre las rectas, y segundo se debe hacer los cambios de variable respectivos:

3 5 0 2 ,3 5 3' (2,1)

1 0 1 ,1

x y x u dx dudy x y dv u vy P

x y y v dy dvdx x y du u v

Tenemos una ecuación homogénea, por lo que recurrimos a otro cambio de variable.

2 2

2 2

3 3 1 3 1 3 2 1 2 1

1 1 1 1

1 1 1 10

2 1 2 1

v wudv u v dw u wu w dw w w w dw w w

u w u w udv dwdu u v du u wu w du w w du wu w

du du

w wdw du dw du

w w u w w u

De la última expresión procediendo a integrar:2

1 10....

2 1

wdw du A

w w u

Resolviendo la integral por separado, se tiene:

2 22 2 2

11 1 1 2 2 1 2 2ln ln 1

2 1 11 1

w zw w w zdw dw dw dz dz z w

dw dzw w z z z z ww w

Reemplazando las integrales anteriores en A, se tiene:

12 2 2

ln 1 ln ln 1 ln ln ln1 1 1

w uw u c w u c k

w w k w

Volviendo a las variables originales:

1

1 211 2 22 2 32

ln ln ln211 3

122

yxv y

w u xw x yxu x

yk w k k x yu x

x

13. Resolver la siguiente ecuación diferencial 3 2 22 cos 3 sin 0xy y x dx x y x dy .

Solución:

Verificando si es una ecuación diferencial exacta para ello debe cumplirse con ( , ) ( , ) 0P Q

P x y dx Q x y dyx x

, esto

se da siempre y cuando ( , ) ( , )F F

P x y dx Q x y dy dx dyx y

, donde F es 0F y es solución de la ecuación diferencial.

3 2 2 2 22 cos 3 sin 0 6 cos , 6 cos

P Q

P Qxy y x dx x y x dy xy x xy x

y x

Como es una ecuación diferencial exacta, podemos hallar la solución F integrando P respecto de x, como se ve. 3 3 2 32 cos (2 cos ) ( ) sin ( )P xy y x F xy y x x k y F x y y x k y


7

Ahora determinemos k(y) derivando F respecto de y e igualando a Q.

2 2 2 2 2 2 2 33 sin 3 sin 3 sin ( ) sin 0F dk dk

x y x Q x y x x y x k y c F x y y x cy dy dy

14. Resolver la siguiente ecuación diferencial 22 2 2 2

1 1 10

x y xdx dy

x y y yx y x y

.

Solución:

Verificando si es una ecuación diferencial exacta para ello debe cumplirse con ( , ) ( , ) 0P Q


, esto

se da siempre y cuando ( , ) ( , )F F


, donde F es 0F y es solución de la ecuación diferencial.

3 32 2 22 2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 10 ,

P Q

x y x P xy Q xydx dy

x y y y y y x yx y x y x y x y

Como es una ecuación diferencial exacta, podemos hallar la solución F integrando P respecto de x, como se ve.

2 2

2 2 2 2

1 1 1 1( ) ln ( )

x x xP F x k y F x y x k y

x y x y yx y x y


2 2 22 2 2 2 2 2

1 1ln

F y x dk y x dk y x dkQ k y c

y y dy y dy y y dy yx y x y x y

Reemplazando lnk y c en F, se tiene: 2 2 ln ln 0x

F x y x y cy

15. Resolver la siguiente ecuación diferencial ( sin sin ) ( cos cos ) 0y x y dx x y x dy .

Solución. Si introducimos el signo negativo dentro del paréntesis obtenemos una ecuación diferencial exacta ya que cumple

con ( , ) ( , ) 0P Q


, esto se da siempre y cuando ( , ) ( , )

F FP x y dx Q x y dy dx dy

x y

,

donde F es 0F y es solución de la ecuación diferencial.

( sin sin ) ( cos cos ) 0 sin cos , cos sin

P Q

P Qy x y dx x y x dy x y y x

y x


( sin sin ) ( sin sin ) ( ) cos sin ( )P y x y F y x y x k y F y x x y k y


cos cos cos cos cos cos ( ) cos sin 0F dk dk

x x y Q x x y x y x k y c F y x x y cy dy dy


8

16. Resolver la ecuación diferencial 2( 4 ) 0xdx x y y dy , para (4) 0y

Solución: determinemos si la ecuación diferencial es exacta. 0, 2P Q P Q

xyy x y x

Como no es exacta debemos hallar un factor que transforme la ecuación diferencial en exacta, para ello aplicamos la siguiente formula.

2( ) 21 1

( ) 0 2 2 ( ) ( )f y dy ydy yP Q

f y xy y u y e e u y eP y x x

Multiplicando este factor a las funciones P y Q, obteniendo así una ecuación diferencial exacta

2

2 2

2

2

2

( 4 ) 0

2

y

y y

P yQ

Pxye

P Qye x dx e x y y dy

y xQxye

x

Ahora procediendo a resolver de la misma manera que el anterior ejercicio, se tiene.

2 2 22

( ) ( )2

y y y xP e x F e x x k y F e k y

Derivando F respecto de y e igualando a Q se obtiene la solución de la ecuación diferencial.

2 2 2 2 2 2

22 2 4 4 ( ) 2 2 0

2

y y y y y yF dk dk xx ye e x y y ye k y e c F e e c

y dy dy

Determinando el valor de c, de acuerdo a las condiciones iniciales. 2 2

20(4) 0 10 2 10 0

4 2

y yy x

y c e ex

17. Resolver la siguiente ecuación diferencial lineal 2( 2 2 ) 0xdy y yx x dx

Solución: para que sea una ecuación diferencial lineal, debe tener la forma: ( ) ( )x x

dyyP Q

dx

22 1 2

( 2 2 ) 0 2dy x

xdy y yx x dx ydx x

Como se observa tiene la forma de una ecuación diferencial lineal, por lo que para resolverla emplearemos la siguiente formula que nos permitirá hallar la solución, en donde solo debemos identificar las funciones P y Q.

( ) ( )

( )

x xP dx P dx

xy e e Q dx c

2 2

2 21 11 2 1 2 2 2 ln ln

2 2 2x x x dx x dxdx dx x x x xx xx xy e e dx c e e dx c e e dx c

Empleando propiedades de logaritmos en el exponencial, se tiene.

2 2

2 2 2 2 2 2ln ln 1 1 12 2 2

x x x x x x x x x xy e e dx c e xe dx c e e xdx c e e cx x x

De donde la solución de la ecuación diferencial será:

21

1 xy cex


9

18. Resolver la siguiente ecuación diferencial lineal di

L Ri Edt , para 0(0)i i .

Solución: dividiendo la ecuación entre L, de tal manera que se asemeje a una ecuación diferencial lineal ( ) ( )x x

dyyP Q

dx .

di di R EL Ri E i

dt dt L L

Empleando la formula ( ) ( )

( )

x xP dx P dx

xy e e Q dx c en donde se hará la siguiente analogía ,i y x t .

( ) ( )

( )

t tP dt P dt

ti e e Q dt c

R R R R R R Rdt dt t t t t t

L L L L L L LE E E E

i e e dt c e e dt c e e c i ceL L R R

La constante c se puede calcular mediante las condiciones iniciales 0

0 0 0(0)0

i i E Ei i i c c i

t R R

0

Rt

LE E

i i eR R

19. Resuelva la siguiente ecuación diferencial de Bernoulli 32 ' ( 1)y y x y .

Solución. Para que sea una ecuación diferencial de Bernoulli debe tener la siguiente forma. ( ) ( )x x

dyyP y Q

dx

, esta

ecuación se hace lineal valiéndose de la sustitución 1z y

1 3 2

3 3

3 2

3

1 1 1 12 ' ( 1) ( 1) 2 ( 1)1

22 2

z y ydy dy

y y x y y x y xdz dydx y dx y

dx y dx

Llevando la ecuación diferencial en función de las nuevas variables.

( 1)dz

z xdx

En donde esta ultima ecuación diferencial es un ecuación lineal, empelando la formula para hallar la solución.

1 1

(1 ) (1 )dx dx x x x x xz e e x dx c e e x dx c e xe c z x ce

Llevando en función de las variables originales, se tiene.

2 2 2 1x

xz y z y x ce y

x ce


10

20. Resuelva la siguiente ecuación diferencial de Bernoulli 5

2 23 6 2 0dy

x xy ydx

.

Solución: para que sea una ecuación diferencial de Bernoulli debe tener la forma ( ) ( )x x

dyyP y Q

dx

, esta ecuación se hace

lineal valiéndose de la sustitución 1z y 5 3

15 32 25 52 2

2 2 252 22

2 3 13 6 2 0 2 3

33 2

2

z y ydy dy y y dy yx xy y y

dz dydx dx x x dx x xy

dx dx

Llevando en función de la nueva variable.

2

13

dz z

dx x x

En donde esta ultima ecuación diferencial es un ecuación lineal, empelando la formula para hallar la solución.

3 3 2 2

3ln 3ln

2 2 3 3 3

1 1 1 1 1

2 2

dx dxx xx x

x xz e e dx c e e dx c xdx c c z c

x x x x x

Llevando en función de las variables originales: 3 3 32 3 3

2 2 23 2 22

3

1 1 2 2

2 1

2

x x xy z c y y

x x k x kxc

x

21. Hallar la ecuación de la curva, para la cual, el segmento interceptado por la tangente en el eje de abscisas es igual al

cuadrado de la ordenada del punto de contacto. Solución: la gráfica según el problema tendrá la siguiente forma, sea c la curva que se desea hallar.

El segmento interceptado será la siguiente ecuación dx

x ydy

Y el cuadrado de la ordenada en el punto de contacto será 2y

2dx dx xx y y y

dy dy y

De donde tenemos una ecuación diferencial lineal de primer orden.

( ) ( )

1 1

( )

1ln

ln 1

y ydy dyP dy P dy y y

y

y y

x e e Q dy c e e y dy c

x e e y dy c y y dy c y y cy

De donde la solución esta compuesta por una familia de parábolas: 2 0y x cy


11

1. Resuelva la ecuación diferencial: ' 0y xy grafique la familia de curvas asociadas a la solución general.

Luego identifique la curva que pasa por el punto (1,-1).

Solución: 1 1

' 0 ln lndy k k

y xy x y dy dx c y ydx y x x x

Identificando la curva que pasa por (1,-1), tenemos: 1 1

1

xky y

yx y

De donde se puede obtener la gráfica siguiente.

2. Si P=P(t) determine la solución de la ecuación diferencial: 2 1dP

Pdt

luego derive la solución y retorne a la

ecuación diferencial.

Solución:

2

2

1 1 1 1 11

1 1 1 2 1 1

dPP dP dt c dP t c dP t c

dt P P p P P

22

2

1 1 1 1 1 1 1ln

2 1 1 2 1 1 1

tt

t

P P kedP t c t c ke P

P P P P ke

Derivando la anterior ecuación para comprobar si es solución:

22

2 2

1 1 1

1 1 1

tt

t t

ke P PP ke k

ke P P e

3. Resuelva la ecuación diferencial 2 ' 1x y xy x utilizando variación de la constante. Derive la solución y retorne

a la ecuación diferencial original.

Solución: 2

2

1' 1 ' ' 0

y x y kx y xy x y y y

x x x x

Derivando y reemplazando en la ecuación diferencial:

2

2

2

'1 ' 1 ln

''

ky

k x k kxx x x k x x k x x c

k x k x xy

x

Reemplazando en y se tiene la solución: lnx x c

yx

Comprobando y si es solución: 2ln 1ln ' ' ' 1 0 ' 1

x x cy xy x x c y xy x y xy x

x x

2 2 2

2

22 2

2 2

' 1 1 ' 1 210 ' 1 ' 1 2 1 0

1 1

2 ' 2 1 ' 1

t t t

t t

P P e P P e P ePk P P P P P

P e P e

P P P P


12

4. Resuelva el PVI: 22 2 2 0, (1) 1y xy dx x y dy y

Solución: es una ecuación diferencial exacta: 2 2 2 2P Q

y x x yy x

2 2 22 2 ( ) 2 ( )F y xy x k y F xy x y x k y

Derivando respecto a y e igualando a Q 22 2 31

2 ' '3

Fxy x k x y k y k y c

y

De donde tenemos el resultado: 2 2 3 2 2 311 13 1 13

2 0 2 013 3 3 3

yF xy x y x y c k x y x y x y

x

5. Se aplica una fuerza electromotriz de 100 v a un circuito en serie en el que la resistencia es de 200 ohms y la

capacitancia es de 10-4 farads.

Escriba la ecuación diferencial asociada.

Encuentre la carga q(t) en el capacitor si q(0)=0

Encuentre la corriente i(t) Solución: sumando la caída de tensión en los componentes e igualando a la fuente:

150

2

q dq q dq q V dqRi V R V q

c dt c dt Rc R dt

Aplicando la solución mediante la fórmula de la ecuación lineal. 501( )

100

tq t ce

Si q(0)=0, se tiene. 501( ) 1

100

tq t e

Derivando para hallar la corriente 50 501 150

100 2

t tdqi e i e

dt

6. Una taza de café se enfría de 80 ºC a 60 ºC en cinco minutos a una temperatura ambiente de 10 ºC.

Planteé la ecuación diferencial y resuélvala

¿Cuál es la temperatura de la taza a los 20 minutos?

¿En cuánto tiempo la temperatura llega a 20 ºC?

Solución: 10kt kt

m m

dTk T T T T Ce T Ce

dt

Si en t=0 la temperatura de la taza es 80 ºC, se tiene. 80 10 70 10 70 ktC C T e

Si después de 5 minutos la temperatura es 60 ºC, se tiene. 5 0.06760 10 70 0.067 10 70k te k T e

La temperatura de la taza la los 20 minutos será: 0.067*2010 70 28.33ºT e T C

El tiempo en el cual la temperatura llega a 20 ºC: 0.06720 10 70 29.04min.te t


13

7. Si 2( ) 1y Bx x donde B es una constante, es solución de una ecuación diferencial de primer orden, escriba la

ecuación diferencial.

Solución: despejando B, y derivando se tiene.

2 222

2

2 22 2 3 2 2 3 2 2

2 ' 1 '1( ) 1 ' ' 0

2 ' ' ' 0 ' '

xy x y xy x y y xyx yy Bx x B

xy xy

x y yx y x yy x y y x yy xy x y y xy y

x

1. Resuelva la ecuación diferencial 2

' 4y y y grafique la familia de curvas asociada a la solución general. Luego

identifique la curva que pasa por el punto (1,4)

Solución: 2 2

' 4 ' 2y y y y y x c y c x

Graficando las curvas para (1,4):

2 2 21

1,3 1 , 34

xy c x c y x y x

y

2. Si P=P(t), determine la solución de la ecuación diferencial 1dP

P Pdt

, luego derive la solución y retorne a la

ecuación diferencial original.

Solución: 1 1

1 ln1 1 1 1

tt

t

dP P P keP P dp dt c t c ke P

dt P P P P ke

Derivando:

2

' 1 ' 10 ' 1 ' 1 0 ' (1 )

1 1

t t t

t t

P P e P P e P ePk P P PP P P P P P

P e P e

3. Resuelva la ecuación diferencial 2 2' 3 10y x y x utilizando variación de la constante. Derive la solución y retorne

a la ecuación diferencial.

Solución: 32 31

' 3 0 xy x y dy x dx c y key

Derivando y reemplazando en la ED:

3 3 3 3 3 3

3 3

2 2 2 2

2

' ' ( 3 ) ' ( 3 ) 3 10

10' 10

3

x x x x x x

x x

y ke y k e k x e k e k x e x ke x

k x e k e c


14

Reemplazado para hallar la solución: 3 3 310 10

3 3

x x xy e c e y ce

Derivando para verificar si es solución:

3 3 3 32

2 2 2 2

10 10 10' ' ' 3 0

3 3 3

' 3 10 0 ' 3 10

x x x xy ce c y e y e y x e

y x y x y x y x

4. Resuelva el PVI de: 2 22 1 0, (1) 1x y dx xy x dy y

Solución: es una ecuación diferencial exacta, entonces se tiene:

3

2( ) ( )

3

x yF x y x k y F k y

Derivando F respecto de y e igualando 3

2 2 2'( ) 2 1 '( ) 1 ( )3

F yx y k y xy x k y y k y y c

y

Reemplazando en F se obtiene la la siguiente solución:

3 3

3 30 33 3

x y yF y c x y y y k

Hallando el PVI: 3 33 3(1) 1 1 1 1 3*1 4 3 4y k k x y y y

5. Un Circuito serie conecta una inductancia de 2 henry con una resistencia de 10 ohmios a una fuente de 12 voltios.

Escriba la ecuación diferencial asociada.

Resuelva para i(t) si i(t)=0

Calcule e interprete: lim ( )t

i t

Solución: sumando la caída de tensión en los componentes e igualando a la fuente se tiene:

56' ' ' 5 6 ( )

5

tR V keLi Ri V i i i i i t

L L

Si i(t)=0, se tiene: 56 1

6 ( )5

tek i t

Interpretando el límite: 56 1 6 6

( ) lim5 5 5

t

t

ei i Amp

la inductancia se cortocircuita.

6. La población de una comunidad se incremente a una tasa proporcional al número de personas presente en el tiempo t. se sabe que en cinco años la población inicial A se duplica.

Plantee la ecuación diferencial y resuélvala

¿Cuánto tarda la población en triplicarse?

¿Cuánto tarda la población en cuadriplicarse?

Solución: ln ktdAAk A kt c A ke

dt

Analizando el PVI si t=0 entonces tenemos una población inicial 0A : 0

0 0 0

k ktA ke k A A A e

Si se sabe que en 5 años la población se duplica: 0 5 0.138

0 0 0

22 0.138

5

k tA A

A A e k A A et


15

Cuánto tarda la población en triplicarse: 0.138

0 03 8tA A e t años

Cuánto tarda la población en cuadriplicarse: 0.138

0 04 10tA A e t años

7. Si 2( ) 1y Ax x donde B es una constante, es solución de una ecuación diferencial de primer orden, escriba la

ecuación diferencial. Solución: despejando B, y derivando se tiene.

2 222

2

2 22 2 3 2 2 3 2 2

2 ' 1 '1( ) 1 ' ' 0

2 ' ' ' 0 ' '

xy x y xy x y y xyx yy Ax x A

xy xy


x

1. Resolver el PVI: 4 0dy x

dx y ; (1) 1y , primero grafique la familia de curvas asociada a la solución general y

luego identifique la curva asociada a la solución particular: Solución: resolviendo por el método de variables separables, se tiene:

2 214 0 4 0 4 0 2

2

dy xydy xdx ydy xdx y x c

dx y

Determinado la solución particular de acuerdo al PVI: 1 1 5

(1) 1 21 2 2

xy c c

y

Entonces la solución particular será: 2 21 52

2 2y x

La familia de curvas y la curva asociada a la solución particular será:

2 21 52

2 2y x

2 212 1

2y x

2 212 4

2y x

2 212 6

2y x

2. Resuelva la ecuación diferencial 2 ' 1x y xy x utilizando variación de la constante. Derive la solución y

retorne a la ecuación diferencial original.

Solución: ordenando la ecuación y haciendo Q(x)=0, tenemos:2

( )

1' ...1 ' 0

Q x

y x yy y

x x x


16

Resolviendo por variables separables: 1 1

' 0 ln ln ...2y A

y dy dx c y x c xy A yx y x x

Derivando respecto de “x” y asumiendo que A=A(x): 2

...3

dAx A

dy dx

dx x

Reemplazando 3 y 2 en 1: 2 2

1 1 1ln

dA Ax A

x dA x xdx x A dx A x x cx x x dx x x

Reemplazando A en 2: ln ln

1x x c x c

y yx x x

Despejando “c” y derivando para volver a la ecuación original:

2 2

ln 11 1 ln 1 ln 0 1

1 1 0 1

x c d d dyy c x y x c x y x y x

x x dx dx dx x

dy dyx y x x xy x

dx dx

3. Resuelva el PVI: 22 2 2 0y xy dx x y dy

Solución: se puede observar que la ecuación es una ecuación diferencial exacta ( , ) ( , ) 0P Q


,

esto se da siempre y cuando ( , ) ( , )F F


, donde F es 0F y es solución de la ecuación

diferencial.

22 2 2 0 2 2 , 2

QP

P Qy xy dx x y dy y x x y

y x


2 2 2 22 2 2 2 ( ) 2 ( )P y xy F y xy x k y F xy x y x k y




4. Se aplica una fuerza electromotriz variable ( ) sin5E t A t a un circuito RL en serie, en el que la inductancia es

0.1 henry y la resistencia es de 50 ohms.

Escriba la ecuación diferencial asociada

Resuelva ( )i t si (0) ( )i k ctte

Solución: según la ley de caídas de tensión de Kirchhoff, tenemos la ecuación diferencial asociada:

( ) sin5 50 0.1 500 10 sin5di di di

v t Ri L A t i i A tdt dt dt

Como es una ecuación lineal, empleamos la fórmula para resolverla: 500 500

( ) 10 sin5dt dt

i t e e A tdt c

1

500 500( ) 10 sin5 ...t t

I

i t e A e tdt c A


17

Integrando por partes:

500

500 500 500

1 1500

sin51 1

sin5 cos5 cos5 5001 5 5500 cos55

t

t t t

t

u e v tdt

I e td I e t t e dtdu e dt v t

Simplificando y volviendo a integrar por partes:

1

500

500 500

1500

500 500 500 500 500 4 500

1

cos51

cos5 100 cos5 15 500 sin55

1 1 1 1cos5 100 sin5 sin5 500 cos5 20 sin5 10 sin5

5 5 5 5

t

t t

t

t t t t t t

I

u e v tdt

I e t e tdtdu e dt v t

I e t e t t e dt e t e t e tdt

Despejando 1I de la ecuación integral:

500

1

1cos5 20sin5

5

10001

te t t

I

Reemplazando en A, tenemos:

500

500

1cos5 20sin5

5( ) 10

10001

t

t

e t t

i t e A c

si (0) 0i , entonces:

0 500

0 500

500

1 1cos0 20sin 0 cos5 20sin5

2 25 5(0) 10 0 ( ) 10

10001 10001 10001 10001

10 1 2( ) cos5 20sin5

10001 5 10001

t

t

t

e e t t

i e A c c A t e A A

Ai t t t Ae

5. Un termómetro que marca 15°C se coloca en un horno precalentado que tiene una temperatura constante. Se

registra que después de medio minuto el termómetro marca 45°C y luego de un minuto desde el inicio, la lectura es de 65°C


¿Cuál es la temperatura del horno?

¿En cuánto tiempo la temperatura llega a 80°C? Solución:

la ecuación diferencial que rige el problema es dT

k T Tmdt

, donde T es la temperatura del termómetro y Tm es

la temperatura ambiente.

1

ln( ) ( ) ktdTk T Tm dT kdt c T Tm kt c T t Tm Ae

dt T Tm

Si 0(0)T T , entonces 0 0 0( ) ...ktT Tm A A T Tm T t Tm T Tm e A

determinado la temperatura del horno:

Si 30t s y 0 15T entonces el termómetro marcará (30) 45T C , reemplazando en A:

3045 15 ...kTm Tm e B



18

6065 15 ...kTm Tm e C

Ordenando las ecuaciones B y C, se tiene:

2230 30

30

60 2 230 30

45 4545 15 15 15

6565 15 65

15 15

k kk

kk k

Tm Tme eTm Tm e Tm Tm

TmTm Tm e Tme eTm Tm

Igualando las ecuaciones, tenemos:

2

2 2 2245 6545 65 15 45 90 975 80

15 15

Tm TmTm Tm Tm Tm Tm Tm Tm

Tm Tm

Restando términos semejantes y despejando, obtenemos la temperatura del medio o la temperatura del horno.

10 1050 105Tm Tm

Reemplazando Tm en B, tenemos:

30 30 2 1 245 105 15 105 ln

3 30 3

k ke e k

Reemplazando T0, Tm y k en la ecuación A, tenemos la función temperatura en función del tiempo dentro del horno:

1 2 1 2

ln ln30 3 30 3( ) 105 15 105 ( ) 105 90

t t

T t e T t e

Determinado el tiempo si la temperatura es 80°C

1 2 1 2ln ln

30 3 30 3

5ln

5 1880 105 90 [ ] 94.77[ ]1 218

ln30 3

t t

e e t s t s



2 222

2

2 22 2 3 2 2 3 2 2

2 ' 1 '1( ) 1 ' ' 0

2 ' ' ' 0 ' '


xy xy


x


19

Formulario Ecuaciones Diferenciales de Primer orden y Aplicaciones

ECUACIONES DIFERENCIALES DE VARIABLES SEPARABLES: ( ) ( ) ( ) ( )f x dx g y dy f x dx g y dy c

ECUACIONES DIFERENCIALES REDUCIBLES A VARIABLES SEPARABLES: si ' ( )y f ax by c , puede

reducirse a variables separables con el cambio de variable u ax by c .

TRAYECTORIAS ORTOGONALES: si ( , , ') 0F x y y entonces la ecuación diferencial de las trayectorias ortogonales

será: 1

( , , ) 0'

F x yy

ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS: si ( , ) ( , ) 0 'y

P x y dx Q x y dt y fx

es homogénea debe

poder reducirse a una ecuación diferencial de variables separables con el siguiente cambio de variable y ux .

ECUACIONES REDUCIBLES A HOMOGÉNEAS: si 1 1 1

2 2 2

'a x b y c

y fa x b y c

, donde

1 1 1

2 2 2

0

0

a x b y c

a x b y c

son rectas

no paralelas. Esta ecuación debe poder reducirse a una ecuación homogénea con el siguiente cambio de variables

x u

y v

, donde son el punto en común entre las rectas.

ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS: si ( , ) ( , ) 0P x y dx Q x y dt , es una ecuación diferencial exacta debe

cumplir con: P Q

y x

FACTOR INTEGRANTE: si ( , ) ( , ) 0P x y dx Q x y dy , no es una ecuación diferencial exacta, se debe hallar un

factor de integración de modo que la anterior ecuación se vuelva exacta. El factor de integración u esta determinado por:


20

( ) ( )1 1( ) ( ) , ( ) ( )

f x dx g y dyP Q P Qf x u x e g y u y e

Q y x P y x

.

ECUACIONES LINEALES DE PRIMER ORDEN: si la ecuación diferencial tiene la forma: ( ) ( )x x

dyyP Q

dx , entonces

la solución de la ecuación diferencial se hallara mediante la siguiente formula:

( ) ( )

( )

x xP dx P dx

xy e e Q dx c

ECUACIÓN DE BERNOULLI: si la ecuación diferencial tiene la forma: ( ) ( )x x

dyyP y Q

dx

entonces es posible

reducirla a una ecuación diferencial lineal de primer orden medial el siguiente cambio de variable 1z y .

RECTA TANGENTE A LA CURVA: sea c la curva en el plano, la recta tangente a la curva en el punto P(x,y), viene

dada por la siguiente ecuación: 'dy

y x c y xy cdx

RECTA NORMAL A LA CURVA: sea c la curva en el plano, la recta normal a la curva en el punto P(x,y), viene dada

por la siguiente ecuación: 1

'

dxy x c y x c

dy y

Reglas de derivación: si c es una constante cualquiera y las funciones ( ), ( ), ( )u x v x w x son derivables, se tiene.

0

d c

dx Derivada de una constante.

d du dvuv v u

dx dx dx Derivada de un producto.

d du

cu cdx dx

Derivada de una constante por una función.

2

du dvv u

d u dx dx

dx v v

Derivada de un cociente.

d du dv dw

u v wdx dx dx dx

Derivada de una suma.

Formulas principales de derivación

1n ndx nx

dx

2

1arcsin

1

dx

dx x

1 1log , ln

lna

d dx x

dx x a dx x

sin cosd

x xdx

2

1arccos

1

dx

dx x

sinh cosh

dx x

dx

cos sind

x xdx

2

1arctan

1

dx

dx x

cosh sinh

dx x

dx

2tan secd

x xdx

2

1arcctan

1

dx

dx x

2

1tanh

cosh

dx

dx x

2ctan csecd

x xdx

ln ,x x x xd da a a e e

dx dx 2

1ctanh

sinh

dx

dx x


21

Tabla de integrales elementales:

1

1

nn x

x dx cn

2

arcsin

arccos1

x cdx

x cx

sin cosxdx x c

lndx

x cx 2

2ln 1

1

dxx x c

x

cos sinxdx x c

2

arctan

arcc tan1

x cdx

x cx

ln

xx a

a dx ca

2cot an

sin

dxx c

x

2

1 1ln

1 2 1

dx xc

x x

x xe dx e c

2tan

cos

dxx c

x


22

PRACTICA # 1

1. Resolver (ED separables): 3'xy y y Rpta: 21

cyx

y

2. Resolver (ED separables): 2 2 0x y y xe dx e dy Rpta: 4 22x ye e c

3. Mediante el cambio de variable x y u , resolver 2

'y x y Rpta: arctan( )x y x c

4. Resolver (ED homogénea): 2 2 23 0x xy y dx x dy Rpta: lnx

x cy x

5. Resolver (ED reducibles a homogéneas): 3 5

'1

x yy

x y

Rpta:

2ln ( 3) 2

3

xc x y

x y

6. Resolver (ED exactas): ( sin 2 sin ) ( cos 2cos) 0x xe y y x dx e y dy

Rpta: sin 2 cosxe y y x k

7. Resolver (ED factor de integración ): 2 2 0x y dx xydy Rpta: 2

lny

x cx

8. Resolver (ED lineal): 1

'sin 2sin 2

yx y y

Rpta: 2 cos8sin2

yyx ce

9. Resolver (ED Bernoulli): 2dy yxy

dx x Rpta: 2 1y x cx


dx y ; (1) 1y , primero grafique la familia de curvas asociada a la solución general y luego

identifique la curva asociada a la solución particular:

11. Resuelva la ecuación diferencial 2 ' 1x y xy x utilizando variación de la constante. Derive la solución y retorne a

la ecuación diferencial original.

12. Resuelva el PVI: 22 2 2 0y xy dx x y dy si (1) 1y

13. Se aplica una fuerza electromotriz variable ( ) sin5E t A t a un circuito RL en serie, en el que la inductancia es 0.1

henry y la resistencia es de 50 ohms.



Que sucederá si lim ( )t

i t

14. Un termómetro que marca 15°C se coloca en un horno precalentado que tiene una temperatura constante. Se registra que después de medio minuto el termómetro marca 45°C y luego de un minuto desde el inicio, la lectura es de 65°C



¿En cuánto tiempo la temperatura llega a 80°C?


23


dx y ; (1) 1y , primero grafique la familia de curvas asociada a la solución general y

luego identifique la curva asociada a la solución particular: Solución: resolviendo por el método de variables separables, se tiene:

2 2

4 0 4 0 4 0

12

2

dy xydy xdx ydy xdx

dx y

y x c

Determinado la solución particular de acuerdo al PVI:

1 1 5(1) 1 2

1 2 2

xy c c

y

Entonces la solución particular será: 2 21 52

2 2y x

La familia de curvas y la curva asociada a la solución particular será:

2. Resuelva la ecuación diferencial 2 ' 1x y xy x utilizando variación de la constante. Derive la solución y

retorne a la ecuación diferencial original.

Solución: ordenando la ecuación y haciendo Q(x)=0, tenemos:2

( )

1' ...1 ' 0

Q x

y x yy y

x x x

Resolviendo por variables separables: 1 1

' 0 ln ln ...2y A

y dy dx c y x c xy A yx y x x

Derivando respecto de “x” y asumiendo que A=A(x): 2

...3

dAx A

dy dx

dx x

Reemplazando 3 y 2 en 1: 2 2

1 1 1ln

dA Ax A

x dA x xdx x A dx A x x cx x x dx x x

Reemplazando A en 2: ln ln

1x x c x c

y yx x x

Despejando “c” y derivando para volver a la ecuación original:

2 2

ln 11 1 ln 1 ln 0 1

1 1 0 1

x c d d dyy c x y x c x y x y x

x x dx dx dx x

dy dyx y x x xy x

dx dx

3. Resuelva el PVI: 22 2 2 0y xy dx x y dy

Solución: se puede observar que la ecuación es una ecuación diferencial exacta ( , ) ( , ) 0P Q


,

esto se da siempre y cuando ( , ) ( , )F F


, donde F es 0F y es solución de la ecuación

diferencial.

2 21 52

2 2y x

2 212 1

2y x

2 212 4

2y x

2 212 6

2y x


24

22 2 2 0 2 2 , 2

QP

P Qy xy dx x y dy y x x y

y x


2 2 2 22 2 2 2 ( ) 2 ( )P y xy F y xy x k y F xy x y x k y




4. Se aplica una fuerza electromotriz variable ( ) sin5E t A t a un circuito RL en serie, en el que la inductancia es

0.1 henry y la resistencia es de 50 ohms.



Solución: según la ley de caídas de tensión de Kirchhoff, tenemos la ecuación diferencial asociada:

( ) sin5 50 0.1 500 10 sin5di di di

v t Ri L A t i i A tdt dt dt

Como es una ecuación lineal, empleamos la fórmula para resolverla: 500 500

( ) 10 sin5dt dt

i t e e A tdt c

1

500 500( ) 10 sin5 ...t t

I

i t e A e tdt c A

Integrando por partes:

500

500 500 500

1 1500

sin51 1

sin5 cos5 cos5 5001 5 5500 cos55

t

t t t

t

u e v tdt

I e td I e t t e dtdu e dt v t

Simplificando y volviendo a integrar por partes:

1

500

500 500

1500

500 500 500 500 500 4 500

1

cos51

cos5 100 cos5 15 500 sin55

1 1 1 1cos5 100 sin5 sin5 500 cos5 20 sin5 10 sin5

5 5 5 5

t

t t

t

t t t t t t

I

u e v tdt

I e t e tdtdu e dt v t

I e t e t t e dt e t e t e tdt

Despejando 1I de la ecuación integral:

500

1

1cos5 20sin5

5

10001

te t t

I

Reemplazando en A, tenemos:

500

500

1cos5 20sin5

5( ) 10

10001

t

t

e t t

i t e A c

si (0) 0i , entonces:


25

0 500

0 500

500

1 1cos0 20sin 0 cos5 20sin5

2 25 5(0) 10 0 ( ) 10

10001 10001 10001 10001

10 1 2( ) cos5 20sin5

10001 5 10001

t

t

t

e e t t

i e A c c A t e A A

Ai t t t Ae

5. Un termómetro que marca 15°C se coloca en un horno precalentado que tiene una temperatura constante. Se

registra que después de medio minuto el termómetro marca 45°C y luego de un minuto desde el inicio, la lectura es de 65°C



¿En cuánto tiempo la temperatura llega a 80°C? Solución:

la ecuación diferencial que rige el problema es dT

k T Tmdt

, donde T es la temperatura del termómetro y Tm es

la temperatura ambiente.

1

ln( ) ( ) ktdTk T Tm dT kdt c T Tm kt c T t Tm Ae

dt T Tm

Si 0(0)T T , entonces 0 0 0( ) ...ktT Tm A A T Tm T t Tm T Tm e A

determinado la temperatura del horno:


3045 15 ...kTm Tm e B


6065 15 ...kTm Tm e C

Ordenando las ecuaciones B y C, se tiene:

2230 30

30

60 2 230 30

45 4545 15 15 15

6565 15 65

15 15

k kk

kk k

Tm Tme eTm Tm e Tm Tm

TmTm Tm e Tme eTm Tm

Igualando las ecuaciones, tenemos:

2

2 2 2245 6545 65 15 45 90 975 80

15 15

Tm TmTm Tm Tm Tm Tm Tm Tm

Tm Tm

Restando términos semejantes y despejando, obtenemos la temperatura del medio o la temperatura del horno.

10 1050 105Tm Tm

Reemplazando Tm en B, tenemos:

30 30 2 1 245 105 15 105 ln

3 30 3

k ke e k

Reemplazando T0, Tm y k en la ecuación A, tenemos la función temperatura en función del tiempo dentro del horno:

1 2 1 2

ln ln30 3 30 3( ) 105 15 105 ( ) 105 90

t t

T t e T t e

Determinado el tiempo si la temperatura es 80°C


26

1 2 1 2ln ln

30 3 30 3

5ln

5 1880 105 90 [ ] 94.77[ ]1 218

ln30 3

t t

e e t s t s



2 222

2

2 22 2 3 2 2 3 2 2

2 ' 1 '1( ) 1 ' ' 0

2 ' ' ' 0 ' '


xy xy


x

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