Elasticidad lineal -...

Capıtulo 4

Elasticidad lineal

En anteriores capıtulos se ha estudiado el equilibrio y la deformacion

locales en los cuerpos deformables. Se vio, en primer lugar que al someter

un cuerpo de este tipo a fuerzas exteriores aparecen a nivel local fuerzas

cuyo valor, por unidad de area, definimos como tensiones. Posteriormente,

se estudio que la deformacion puede caracterizarse de forma precisa, tambien

a nivel local, a traves del concepto de deformacion. Pues bien, en los cuerpos,

las tensiones y las deformaciones en cada punto no son independientes, sino

que (al menos en condiciones isotermas) una siempre acompana a la otra.

La relacion local entre tensiones y deformaciones es el problema central

de la mecanica de solidos. Si bien las ecuaciones de equilibrio y la relacion

desplazamiento-deformacion son resultados matematicos que no son discu-

tibles una vez aceptadas las hipotesis de partida, la relacion entre tension y

deformacion, las llamadas leyes constitutivas, dependen del tipo de ma-

terial, de los procesos que se quieran modelar, etc. Aunque las relaciones

constitutivas mas sencillas y utiles son bien conocidas y estan descritas en

todos los libros, todavıa se siguen proponiendo otras nuevas que mejor mo-

delan el comportamiento de nuevos materiales.

La formulacion de modelos constitutivos es especialmente complejo cuan-

do las deformaciones son grandes [9]. En este capıtulo nos centraremos, sin

embargo, en el caso mas sencillo posible, el de la elasticidad lineal. Este

modelo, aparentemente trivial, esta en la base de la mayor parte de calculos

en mecanica de solidos y de estructuras. Servira ademas como introduccion

para otros modelos mas complejos que estudiaremos en capıtulos posteriores.

4.1. Los modelos elasticos

El problema fundamental de la mecanica de solidos es la formulacion

de modelos constitutivos, es decir, expresiones funcionales que permitan

calcular el valor de la tension � en un punto a partir del valor de la defor-

macion " en ese instante y en todos los anteriores. Por tanto, en general y de

75

76 Mecanica de solidos I. Romero

acuerdo a la experiencia practica, es la historia completa de la deformacion

en un cuerpo la que permite conocer la tension en los puntos del mismo (o

viceversa).

Se dice que un material es simple cuando el estado de la tension � en

un punto depende solo de la historia de la deformacion en ese mismo punto.Ademas, es posible es posible que la tension � en un punto x 2 ⌦ en el

instante de tiempo t solo dependa de la deformacion " en ese mismo punto

e instante, es decir,�(x, t) = f("(x, t)) . (4.1)

siendo f : V2 ! V2

una funcion que describe el modelo constitutivo. Cuando

esto ocurre, decimos que el comportamiento del material en el punto x es

elastico. La importancia de este tipo de modelos es doble: por un lado

son los mas sencillos y, sobre todo, reflejan muy bien el comportamiento de

muchos materiales cuando las deformaciones son pequenas.

Claramente no todos los materiales se comportan elasticamente. Es bien

sabido, por ejemplo, que las propiedades mecanicas de los metales dependen

de su proceso de fabricacion (su historia de deformacion y temperatura);

tambien la experiencia habitual nos dice que los muchos materiales tienen

un comportamiento reologico.

Dentro de todos los materiales elasticos, un subconjunto de ellos consiste

en aquellos en los que la funcion f de la ecuacion (4.1) es lineal, es decir

�(x, t) = C"(x, t) , (4.2)

donde C es un tensor de cuarto orden. Este tipo de modelos, llamados elasti-cos lineales proporciona una aproximacion muy buena al comportamiento

de muchos materiales cuando la deformacion es pequena y dedicaremos el

resto del capıtulo a su estudio.

Una consecuencia inmediata de la hipotesis de linealidad es lo que se

conoce como el principio de superposicion : la tension debida a la super-

poscion de dos deformaciones es la suma de las tensiones correspondientes,

es decir, que para toda pareja ↵,� 2 R

f(↵"1

+ �"2

) = ↵f("1

) + �f("2

) , (4.3)

lo cual se demuestra trivialmente a partir de (4.2).

4.2. Elasticidad lineal isotropa

Estudiamos, en primer lugar, la relacion constitutiva elastica mas sen-

cilla que existe, a saber, la de los cuerpos isotropos, aquellos en los que

la respuesta no depende de la direccion. La formulacion de las ecuaciones

constitutivas se logra mediante ensayos experimentales en los que se somete

un cuerpo a un estado de tension/deformacion homogeneo y se deducen a

partir de ahı consecuencias puntuales.

Capıtulo 4. Elasticidad lineal 77

x

y

z

L0

r0

L

r

Figura 4.1: Esquema del ensayo a traccion.

4.2.1. El ensayo uniaxial de traccion

El unico ensayo que se necesita para caracterizar materiales isotropos

es el de traccion uniaxial. Una barra recta, cilındrica de longitud L0

, se

tracciona aplicando un tension normal en las caras rectas del cilindro y se

mide la longitud L de la barra deformada (ver figura 4.1). Si se coloca un

sistema de coordenadas cartesiano con el eje x alineado con el eje de la barra,

los estados de tension y deformacion en cualquier punto de misma, son

[�] =

2

4�xx

0 0

0 0 0

0 0 0

3

5 , ["] =

2

4"xx

0 0

0 "yy

0

0 0 "zz

3

5(4.4)

La deformacion longitudinal "x

se puede calcular mediante la expresion "x

=

(L � Lo

)/Lo

y se define el modulo de Young del material mediante la

relacion

E =

�xx

"xx

. (4.5)

De la expresion anterior se deduce que el modulo de Young es la pendiente

de la recta �x

vs. "x

que se obtiene en un ensayo de traccion y que tiene

dimensiones de presion. En el apendice ?? se recogen los valores del modulo

de Young para algunos materiales.

Como se indica en la figura 4.1, al traccionar una barra el alargamiento

axial se ve acompanado de un acortamiento transversal y por tanto, si el

radio original del cilindro era ro

, despues de deformarse toma el valor r, quepuede medirse.

En el caso de un solido cilındrico como el de la figura, este acortamiento

se cuantifica con deformaciones "yy

e "zz

en las direcciones transversales

cuya valor es "yy

= "zz

= (r � r0

)/r0

, y que es negativo. El coeficiente dePoisson se define como

⌫ = �"yy"xx

= � "zz"xx

, (4.6)

y es por tanto un propiedad del material sin dimensiones. La igualdad en

la expresion anterior se debe a la isotropıa del material. En el apendice ??


tambien se recogen valores caracterısticos de este coeficiente para distintos

materiales.

4.2.2. Respuesta general

A partir del modulo de Young y el coeficiente de Poisson se puede obtener

la relacion tension-deformacion en un punto sometido a un estado tensio-

nal arbitrario, encontrando la llamada ley de Hooke generalizada , puesextiende al continuo la relacion elastica de los resortes.

Para obtener dicha relacion partimos primero de la siguiente observacion:

el estado tensional mas complejo que puede ejercerse sobre un diferencial

de volumen es un estado triaxial de traccion/compresion. Efectivamente,

cualquier estado tensional puede expresarse, en la base principal de tension,

como un estado triaxial de traccion/compresion. En dicho estado las tres

tensiones normales se denominan �1

,�2

,�3

y coinciden con las tensiones

principales.

Debido a la hipotesis de linealidad, se puede aplicar el principio de su-

perposicion y se puede obtener la respuesta al estado triaxial de tension

superponiendo tres estados de traccion/compresion uniaxial. Comenzando

por la traccion/compresion sobre un plano perpendicular a la direccion prin-

cipal primera, el estado de tension y deformacion correspondiente es:

[�

(1)

] =

2

4�1

0 0

0 0 0

0 0 0

3

5["

(1)

] =

2

4�1E

0 0

0 �⌫ �1E

0

0 0 �⌫ �1E

3

5 . (4.7)

Estudiando a continuacion un estado de traccion/compresion uniaxial en

la direccion principal de tension segunda obtenemos un nuevo estado de

deformacion

[�

(2)

] =

2

40 0 0

0 �2

0

0 0 0

3

5 , ["

(1)

] =

2

4�⌫ �2

E

0 0

0

�2E

0

0 0 �⌫ �2E

3

5 . (4.8)

Finalmente, considerando el tercer estado de tension posible se obtiene que

la tension y deformacion son

[�

(3)

] =

2

40 0 0

0 0 0

0 0 �3

3

5 , ["

(3)

] =

2

4�⌫ �3

E

0 0

0 �⌫ �3E

0

0 0

�3E

3

5 . (4.9)

Por el principio de superposicion, la deformacion debida a un estado

tensional � = �

(1)

+�

(2)

+�

(3)

es la suma " = "

(1)

+ "

(2)

+ "

(3)

, o en forma

de matriz:

["] =

2

4�1E

� ⌫ �2E

� ⌫ �3E

0 0

0

�2E

� ⌫ �1E

� ⌫ �3E

0

0 0

�3E

� ⌫ �1E

� ⌫ �2E

3

5 . (4.10)


La primera conclusion que se obtiene de (4.10) es que, en un material

elastico isotropo, las bases principales de tension y deformacion coinciden.

Sobre todo, esta expresion indica la relacion mas general posible entre ten-

sion y deformacion de un material de estas caracterısticas cuando estas dos

cantidades se expresan en componentes de la base principal. Para hallar la

expresion intrınseca, valida para cualquier sistema de coordenadas, no ne-

cesariamente cartesiano reformulamos la anterior expresion de la siguiente

manera:

["] =

1 + ⌫

E

2

4�1

0 0

0 �2

0

0 0 �3

3

5� ⌫

E(�

1

+ �2

+ �3

)

2

41 0 0

0 1 0

0 0 1

3

5

=

1 + ⌫

E[�]� ⌫

Etr(�) [I] .

(4.11)

Esta ultima expresion depende solo de operadores intrınsecos, pues en ningun

lugar se hace referencia a componentes o sistemas de coordendas, ası que

se puede formular de manera completamente general la siguiente ley deHooke generalizada :

" =

1 + ⌫

E� � ⌫

Etr(�) I (4.12)

Para la resolucion de problemas resulta util recoger la expresion en com-

ponentes cartesianas de (4.12). Definimos para ello el modulo de cortanteo cizalla G =

E

2(1+⌫)

y escribimos

"xx

=

�xx

E� ⌫

E(�

yy

+ �zz

) , �xy

=

⌧xy

G,

"yy

=

�yy

E� ⌫

E(�

zz

+ �xx

) , �xz

=

⌧xz

G,

"zz

=

�zz

E� ⌫

E(�

xx

+ �yy

) , �yz

=

⌧yz

G.

(4.13)

En estas expresiones se puede leer un resultado adicional importante: en

los materiales elasticos isotropos las tensiones normales solo producen defor-

maciones longitudinales (en las tres direcciones debido al efecto Poisson) y

las tensiones cortantes solo produce deformaciones angulares (cada tension

cortante produce una deformacion angular desacoplada del resto).

4.2.3. Las ecuaciones de Lame

La ecuacion (4.12) permite calcular la deformacion " en funcion de la

tension � y en esta seccion invertimos esta expresion para encontrar una

formula de la tension en funcion de la deformacion. Para ello, comenzamos

amplicando el operador “traza” a ambos lados de la igualdad (4.12) resul-


tando en

tr(") =

1 + ⌫

Etr(�)� ⌫

Etr(�) tr(I)

=

✓1 + ⌫

E� 3

⌫

E

◆tr(�)

=

1� 2⌫

Etr(�) .

(4.14)

En el capıtulo 3 se escogio el sımbolo ✓ para indicar la traza de la deforma-

cion, ası pues

tr(�) =

E

1� 2⌫✓ . (4.15)

Sustituyendo este ultimo resultado en la ecuacion (4.12) obtenemos

" =

1 + ⌫

E� � ⌫

E

E

1� 2⌫✓ I . (4.16)

Despejando el tensor de tension de esta expresion se obtiene

� =

E

1 + ⌫"+

E⌫

(1 + ⌫)(1� 2⌫)✓ I . (4.17)

Para poder escribir esta expresion de forma mas compacta definimos elprimer y segundo coeficiente de Lame

� =

E⌫

(1 + ⌫)(1� 2⌫), µ =

E

2(1 + ⌫). (4.18)

Ambos coefiecientes de Lame tienen dimensiones de F/L2

, como el modulo

de Young, puesto que son rigideces. Ademas, el segundo coeficiente de Lame

es igual al modulo de cortante G. Finalmente, escribimos la expresion (4.17)

como

� = 2µ "+ � tr(")I (4.19)

Esta ultima expresion se conoce como la ecuacion de Lame y permite

obtener la tension a partir de la deformacion. Como se trata de una ecuacion

intrınseca es valida en cualquier sistema de coordendas. En particular, si se

expresan todos los tensores en coordendas cartesianas se obtiene

�xx

= 2µ "xx

+ � ✓ , ⌧xy

= µ �xy

,

�yy

= 2µ "yy

+ � ✓ , ⌧xz

= µ �xz

,

�zz

= 2µ "zz

+ � ✓ , ⌧yz

= µ �yz

,

✓ = "xx

+ "yy

+ "zz

.

(4.20)


4.2.4. Deformaciones y tensiones proporcionales

En un ensayo uniaxial, una tension de traccion provoca una deformacion

en direccion de las tensiones aplicadas. En general esto no es ası y un punto

sometido a un estado tensional � experimenta una deformacion " que no

es proporcional a la tension, es decir, " 6= !�, para ningun escalar !. Porejemplo, un punto sometido a traccion uniaxial sufre deformaciones en las

direcciones perpendiculares a al traccion aplicada debidas al “efecto Pois-

son”. Sin embargo, un punto sometido a un estado de tension de cortante

puro solo experimenta deformacion angular y se comprueba facilmente que

" = (2µ)�1

�. Pretendemos estudiar a continuacion cuantos casos existen de

solicitaciones que provocan estados de deformacion proporcionales a estos.

Teorema 4.2.1. En un solido elastico isotropo solo los estados de tensionesfericos y los puramente desviadores causan estados de deformacion pro-porcionales a ellos mismos. En el primer caso, cuando � es esferico,

" = (3)�1

� ,

siendo = �+ 2

3

µ el modulo de rigidez volumetrica, y en el segundo, cuando� es desviador,

" = (2µ)�1

� .

Demostracion. Supongamos que en para un estado tensional �, la deforma-

cion provocada en un punto es tal que " = !�. Entonces, por las ecuacionesde Lame,

� = 2µ!� + �!tr(�)

3

I .

Esta ecuacion se puede reescribir como

(1� 2µ!)� = �!tr(�)

3

I .

Para que esta ecuacion se cumpla para algun escalar ! solo existen dos

posibilidades: o bien � =

tr(�)

3

I, o bien ambos lados de la igualdad se

anulan. En el primer caso la tension es esferica y se cumple

(1� 2µ!)tr(�)

3

I = �!tr(�)

3

I =) 1� 2µ! = 3�! =) ! = (3)�1 .

En el segundo caso la tension es desviadora, tr(�) = 0, y el parentesis

en la ecuacion (4.2.4) debe de anularse, para lo cual es necesario que ! =

(2µ)�1

.

Usando la definicion de la rigidez volumetrica, las ecuaciones de Lame

se pueden escribir tambien de la siguiente manera

� = tr(")I + 2µ e (4.21)


Esta expresion muestra que la constante relaciona la respuesta volumetri-

ca con las cargas volumetricas, y la deformacion desviadora (el cambio de

forma), con las cargas desviadoras. En otras palabras, las respuestas vo-

lumetrica y desviadora de materiales isotropos estan desacopladas.

Existe un ultimo caso, degenerado, y es cuando el coeficiente de Poisson

es nulo. En este caso, � se anula yterminar

4.2.5. Restricciones en las constantes elasticas

Las constantes que caracterizan el comportamiento elastico de los cuer-

pos isotropos no pueden tener valores aleatorios. Existen algunas restric-

ciones que siempre deben de cumplir, unas basadas en argumentos mas o

menos fısicos y otras en argumentos de tipo matematico.

Un camino “fısico” consiste en considerar los ensayos mas sencillos: el

de traccion uniaxial, el de cortante puro y el de compresion volumetrica.

En el primero, nuestra experiencia nos dice que al estirar una barra de

material elastico, esta siempre se alarga, ası que concluimos que E > 0.

En el segundo ensayo, tambien tenemos la experiencia de que al cizallar

un cuerpo, este se deforma en el sentido de la tension, ası pues µ > 0. Por

ultimo, al comprimir (sin cambio de forma) un cuerpo, su volumen disminuye

siempre, ası que > 0. A partir de estas tres experiencias y las relaciones

entre las constantes elasticas podemos deducir las restricciones de las demas

constantes elasticas. Por ejemplo, a partir de las relaciones

µ =

E

2(1 + ⌫)y =

E

3(1� 2⌫), (4.22)

se deduce que �1 < ⌫ < 1

2

. Si se considera la definicion

� =

⌫E

(1� 2⌫)(1 + ⌫), (4.23)

se concluye que � > 0.

Existen argumentos mas rigurosos, basados en la existencia de solucion

al problema elastico, o al estudio de la velocidad de propagacion de las ondas

en estos materiales, y estos se pueden encontrar en tratados mas avanzados

de elasticidad [3].

4.3. Hiperelasticidad

Como se vera mas adelante, los modelos elasticos mas interesantes desde

el punto de vista termodinamico son los que derivan de un potencial. Ası

definimos:


W

W ⇤

"

�

Figura 4.2: Energıa elastica y energıa elastica complementaria como areas

bajo y sobre la curve de tension-deformacion.

Definicion 4.3.1. Se dice que un material es hiperelastico cuando existe

una funcion escalar W = W ("), llamada la funcion de energıa elastica o

interna, tal que

� =

@W (")

@"(4.24)

En el caso general se sigue que W (") =

1

2

" : C" y, en particular, para

modelos elasticos isotropos

Wiso

(") =

�

2

( tr("))

2

+ µ " : " =

2

( tr("))

2

+ µ e : e . (4.25)

Cuando la funcion W es convexa, la relacion (4.24) se puede invertir y

definiendo la energıa elastica complementaria W ⇤= W ⇤

(�) como la

transformada de Legendre de la energıa interna, y por tanto se verifica

" =

@W ⇤(�)

@�(4.26)

Para materiales elasticos isotropos, la energıa interna complementaria tiene

la expresion

W ⇤(�) =

tr(�)

2

18+

1

4µs : s =

1 + ⌫

2E� : � � ⌫

2Etr(�)

2 . (4.27)

En el caso de un material elastico lineal, el valor de W (") y W ⇤(�) coincide

cuando � = C". Esta coincidencia es muy util a la hora de resolver proble-

mas y se aprovecha, sobre todo, en el calculo de estructuras elasticas. Sin

embargo, en general, como ilustra la figura 4.2, esto no ocurre.

. Ejemplo 4.3.2. Para ilustrar el concepto de energıa interna, consideramos

el modelo mas sencillo que es el de un resorte elastico de constante K. Segun


la ley de Hooke, la fuerza que estira del resorte N y la elongacion � del mismo

estan relacionadas por la expresion N = K�. La energıa elastica asociada es

por tanto

W (�) =

Z�

0

N(x) dx =

Z�

0

Kx dx =

1

2

K�2 .

De la misma manera, al energıa elastica complementaria se puede calcular

como

W ⇤(N) =

ZN

0

�(x) dx =

ZN

0

x

Kdx =

1

2KN2 .

/

4.4. Simetrıas

En las secciones anteriores estudiamos la respuesta constitutiva de los

materiales isotropos. Muchos materiales son anisotropos y son mas difıciles

de caracterizar. A continuacion estudiamos los distintos tipos de simetrıas

posibles a partir del concepto de simetrıa material y concluimos las diferentes

simetrıas que el tensor C puede heredar. Mas detalles sobre los calculos

omitidos se pueden encontrar, por ejemplo, en [6].

4.4.1. Simetrıas menores y mayores

En primer lugar, debe de indicarse, que el tensor C tiene dos simetrıas,

independientemente del tipo de material elastico que modele. Como " y �

son tensores simetricos y � = C", CA = CAT

, para cualquier tensor A y

ademas CA = (CA)

T

, es decir, C solo actua sobre la parte simetrica de un

tensor y solo devuelve tensores simetricos. Estas son las llamadas simetrıasmenores del tensor de elasticidades.

Se dice ademas que el tensor de elasticidades tiene simetrıas mayoressi A·CB = B ·CA, para cualquier pareja de tensores A,B o, en notacion de

Voigt, que la matriz [C] es simetrica. Esto ocurre, por ejemplo, siempre que

el material sea hiperelastico. Cuando un material tiene todas las simetrıas

menores (siempre) y las mayores, de las 81 componentes que tiene el tensor

de constantes elasticas, solo 21 de ellas son independientes.

4.4.2. El concepto de simetrıa material

Consideremos todos los tensores ortogonales Q (las rotaciones y reflexio-

nes). Igual que Qa es el vector que resulta de rotar (y/o reflejar) el vector

a, el tensor Q"Q

T

es el resultado de rotar el tensor de deformacion. El con-

cepto de simetrıa material esta relacionado con la invarianza de la respuesta

constitutiva en relacion a los efectos de algunas rotaciones.


Figura 4.3: Materiales monoclınicos. En formaciones rocosas estratificadas el

comportamiento es (macroscopicamente) como el de un material monoclıni-

co, siendo el plano de simetrıa, en cada punto, el del estrato.

Definicion 4.4.1. Se dice que el tensor Q ortogonal es una simetrıa ma-terial en un punto cuando la energıa de deformacion W es invariante frente

a la rotacion de la deformacion. Es decir, si definiendo

¯

" = Q"Q

T

, se verifica

W (

¯

") = W (") (4.28)

para cualquier deformacion ". La coleccion de todas las simetrıas posibles

en un punto se denomina el grupo de simetrıa del mismo.

El concepto de simetrıa material esta definido, por tanto, localmente y

pueden existir cuerpos que posean simetrıas distintas en regiones separadas.

Que las simetrıas en un punto tienen la estructura de grupo se sigue de que

si Q

1

y Q

2

son dos simetrıas, tambien lo es Q

1

Q

2

, de que Q

�1

tambien es

una simetrıa, y de que el tensor identidad tambien lo es siempre.

4.4.3. Materiales monoclınicos

Un material monoclınico tiene un plano de simetrıa que suponemos, sin

perder generalidad, que es el perpendicular al eje e

3

. Por ello, el tensor

ortogonal Q

3

= e

1

⌦e

1

+e

2

⌦e

2

�e

3

⌦e

3

, que geometricamente representa la

reflexion respecto al plano de simetrıa, debe de estar en el grupo de simetrıa

del punto. Dada una deformacion arbitraria ", el resultado de reflejar este

tensor con Q

3

tiene por matriz

2

4"11

"12

"13

"21

"22

"23

"31

"32

"33

3

5=

2

41 0 0

0 1 0

0 0 �1

3

5T

2

4"11

"12

"13

"21

"22

"23

"31

"32

"33

3

5

2

41 0 0

0 1 0

0 0 �1

3

5

=

2

4"11

"12

�"13

"21

"22

�"23

�"31

�"32

"33

3

5

. (4.29)


Por definicion de lo que se entiende por ser una simetrıa, se debe de verificar

" · C" =

¯

" · C¯" . (4.30)

para cualquier deformacion. En componentes,

3X

ijkl=1

Cijkl

"ij

"kl

=

3X

ijkl=1

Cijkl

"ij

"kl

. (4.31)

Si suponemos que todas las componentes de la deformacion son nulas excepto

"11

y "13

se sigue que

C1113

"11

"13

= C1113

"11

"13

. (4.32)

Como "11

= "11

y "13

= �"13

, concluimos que C1113

= 0 y tambien todos

los coeficientes que resultan de las simetrıas menores y mayores. Repitiendo

el mismo proceso para otros combinaciones de deformaciones se sigue que

C1113

= C1123

= C2213

= C2223

= C3313

= C3323

= C2312

= C1312

= 0 ,(4.33)

ası como todas sus permutaciones. De las 21 constantes independientes que

tiene un material elastico anisotropo, se sigue que solo 13 de ellas son inde-

pendientes para un material monoclınico.

4.4.4. Materiales ortotropos

Un punto tiene simetrıa ortotropa si tiene tres plano ortogonales de si-

metrıa. En terminos de tensores de rotacion, los tensores Q

1

,Q2

,Q3

estan

en el grupo de simetrıa del punto.

Para encontrar las consecuencias de estas simetrıas, y tomando como

planos de simetrıa los perpendiculares a los vectores de la base, podemos

repetir en analisis de los materiales monoclınicos. Ademas de las simetrıas

identificadas en la ecuacion (4.33), se pueden identificar como simplificacio-

nes adicionales

C1112

= C2212

= C3312

= C2313

(4.34)

y todas sus permutaciones menores y mayores. En total, teniendo en cuen-

ta la restricciones identificadas, solo puede haber nueve constantes elasti-

cas independientes en los materiales ortotropos. Estas simetrıas se dan, por

ejemplo, en las maderas y materiales compuestos.

4.4.5. Materiales transversalmente isotropos

Un punto tiene simetrıa ortotropa si existe un eje (supongamos que coin-

cide con el vector e

3

) tal que las matrices de la forma

2

4cos ✓ sin ✓ 0

� sin ✓ cos ✓ 0

0 0 1

3

5(4.35)


son la expresion matricial de tensores en el grupo de simetrıa, para cual-

quier valor del angulo ✓. En este caso, se puede demostrar que las unicas

componentes del tensor de elasticidades que no son nulas son

C1111

= C2222

, C3333

, C1122

, C1133

= C2233

, C2323

= C1313

, (4.36)

C1212

= (C1111

� C1122

)/2, (4.37)

y como se puede comprobar solo cinco de ellas son independientes.

4.4.6. Materiales isotropos

Por ultimo, los materiales con el grupo de simetrıa mas grande son aque-

llos en los que cualquier rotacion y/o reflexion es una simetrıa. Si conside-

ramos que estos materiales son aquellos que tienen tres ejes ortogonales

alrededor de los cuales cualquier rotacion es una simetrıa, el analisis de los

materiales transversalmente isotropos concluye que los terminos no nulos del

tensor C son

C1111

= C2222

= C3333

, C1122

= C1133

= C2233

(4.38)

C2323

= C1313

= C1212

= (C1111

� C1122

)/2 , (4.39)

que solo incluye dos constantes independientes. En notacion de Voigt, la

matriz de elasticidades tiene la expresion:

[C]iso

=

2

6666664

�+ 2µ � � 0 0 0

� �+ 2µ � 0 0 0

� � �+ 2µ 0 0 0

0 0 0 µ 0 0

0 0 0 0 µ 0

0 0 0 0 0 µ

3

7777775(4.40)

Como los materiales isotropos se pueden describir mediante dos constan-

tes independientes, todas las que hemos descrito estan relacionadas entre sı.

El cuadro 4.1 resume todas estas relaciones.

4.5. Enunciado completo del problema elastico

Combinando los conceptos de equilibrio, deformacion y modelo consti-

tutivo se consigue la formulacion completa de un problema de contorno que

ya tiene solucion y que, aunque puede ser muy difıcil de obtener, es unica.

En el caso de la elasticidad, el problema completo es:

Un cuerpo elastico deformable es un dominio ⌦ ⇢ R3

con contorno @⌦ =

�u

[�t

. En �u

el cuerpo esta sujeto, y en �t

hay unas fuerzas de superficie

¯

t

conocidas. Todo el cuerpo esta sometido a fuerzas volumetricas

¯

f . Si el

cuerpo esta en equilibrio, es isotropo y elastico, y solo se consideran pequenas


E ⌫ µ ⌘ G � k

E, ⌫ E

2(1+⌫)

⌫E

(1+⌫)(1�2⌫)

E

3(1�2⌫)

E,G E�2G

2G

(2G�E)G

E�3G

GE

3(3G�E)

E,� �E��A

4�

E�3�+A

4

E+3�+A

6

E, k 3k�E

6k

3Ek

9k�E

3k(3k�E)

9k�E

⌫, G 2G(1 + ⌫) 2G⌫

1�2⌫

2G(1+⌫)

3(1�2⌫)

⌫,� �(1+⌫)(1�2⌫)

⌫

�(1�2⌫)

2⌫

�(1+⌫)

3⌫

⌫, k 3k(1� 2⌫) 3k(1�2⌫)

2(1+⌫)

3k⌫

1+⌫

G,� G(3�+2G)

�+G

�

2(�+G)

�+

2

3

G

G, k 9Gk

3k+G

3k�2G

6k+2G

k � 2

3

G

�, k 9k(k��)

3k��

�

3k��

3

2

(k � �)

Cuadro 4.1: Relacion entre todas las constates de los materiales lineales

isotropos. La constante A esta definida como A =

pE2

+ 2E�+ 9�2.

deformaciones, el desplazamiento u : ⌦ ! R3

, la deformacion " y la tension�

satisfacen el siguiente problema de valores de contorno:

div� +

¯

f = 0 en ⌦ ,

�n =

¯

t sobre �t

,

�

T

= � ,

u = 0 sobre �u

,

" = rS

u ,

� = � tr(")I + 2µ " .

(4.41)

Este sistema de ecuaciones en derivadas parciales es el objeto de la teorıa

de la elasticidad clasica. De hecho, simplemente reemplazando la ultima de

estas ecuaciones por una relacion constitutiva mas compleja se define el

problema de la mecanica de solidos deformables en pequenas deformaciones.

4.5.1. El principio de Saint Venant

La experiencia indica que para el estudio de la solucion a un problema

de un cuerpo deformable los detalles exactos de como estan aplicadas las


fuerzas de superficie no son muy relevantes. Por ejemplo, cuando se realiza

un ensayo de traccion, la forma de las mordazas de la maquina de traccion,

aunque no puede ser completamente aleatoria, no afecta el resultado de los

ensayos. Lo mismo ocurre con las tensiones en el terreno bajo una zapata, o

en un piston cuando esta sometido a las presiones de los gases en el interior

de un cilindro.

El principio de Saint Venant establece que los campos de despla-

zamiento, deformacion y tension debidos a dos distribuciones de fuerzas de

superficie estaticamente equivalentes son iguales lejos de la zona de aplica-

cion. Esta definicion deja sin definir cuan lejos los efectos de los detalles

en la aplicacion de las fuerzas dejan de ser perceptibles, ası que resulta un

poco imprecisa. Como regla general, se puede estimar que esta distancia es

igual a la dimension caracterıstica de la zona de aplicacion de las cargas.

En cualquier caso, su aceptacion es fundamental en ingenierıa y siempre lo

daremos como valido.

El principo de Saint Venant data de 1855, aunque con el tiempo se ha

demostrado que no es un principio como tal sino que puede ser demostrado.

Parte de la dificultad en demostrarlo radica en que su definicion, como se

comento anteriormente, es algo imprecisa. Desde su formulacion inicial varios

autores han tratado de dar una demostracion rigurosa del mismo [4, 7, 8].

4.5.2. Las ecuaciones de Navier

En la formulacion completa del problema elastico (ver ecuaciones (4.41))

aparecen como incognitas los campos de desplazamiento u, de deformacion "

y de tension �. Para la resolucion analıtica de algunos problemas resulta

util plantear el problema de contorno unicamente en funcion del campode desplazamientos. Cuando esto se lleva a cabo para las ecuaciones de la

elasticidad lineal se obtienen unas formulas muy compactas que reciben en

nombre de ecuaciones de Navier .

Para obtener dichas ecuaciones, basta con sustituir la expresion de la ten-

sion � en funcion de la deformacion y esta del desplazamiento u resultando

en

div [� div[u] I + 2µ grad

s

[u]] +

¯

f = 0 ,

(� div[u]I + 2µ grad

s

[u])n =

¯

t , en �t

,

u = 0 , en �u

.

(4.42)

Simplificando la primera de estas ecuaciones mediante las relaciones

div[div[u] I] = grad[div[u]] ,

div[gradu] = 4u ,

div[grad

T

u] = grad[div[u]] ,

(4.43)


se demuestra inmediatamente que (4.42) se puede escribir como

(�+ µ) grad[div[u]] + µ4u+

¯

f = 0 ,

(� div[u]I + 2µ grad

s

[u])n =

¯

t , en �t

,

u = 0 , en �u

.

(4.44)

4.6. Estados planos de tension y deformacion

El tratamiento analıtico de los problemas de cuerpos deformables es,

en general, muy complicado. Existen dos casos particulares que simplifican

mucho la descripcion matematica del problema y que, ademas, son muy

habituales. Estos son los casos de tension y deformacion plana en los que

algunas de las componentes de tensor de tension o deformacion son nulas en

todos los puntos del cuerpo. Como se vera a continuacion, esto es el resultado

de geometrıas y cargas muy particulares.

4.6.1. Estados de tension plana

Definicion 4.6.1. Un cuerpo se encuentra en un estado plano de tensioncuando existe un sistema de coordenadas (x

1

, x2

, x3

) tal que el tensor de

tensiones en todo punto del cuerpo tiene la expresion

[�] =

2

4�11

(x1

, x2

) �12

(x1

, x2

) 0

�21

(x1

, x2

) �22

(x1

, x2

) 0

0 0 0

3

5 . (4.45)

Este estado de tension aparece, de forma muy aproximada, en cuerpos

planos, muy delgados con cargas de superficie y volumen contenidas en dicho

plano como, por ejemplo, las membranas.

El tensor de deformacion en estados planos de tension tiene por expresion

["] =

1 + ⌫

E[�]� ⌫

Etr(�)[I] =

2

4�11�⌫�22

E

�12G

0

�21G

�22�⌫�11E

0

0 0

�⌫

E

(�11

+ �22

)

3

5 .

(4.46)

Notese que la deformacion "33

no se anula.

4.6.2. Estados de deformacion plana

Definicion 4.6.2. Un cuerpo se encuentra en un estado plano de de-formacion cuando existe un sistema de coordenadas (x

1

, x2

, x3

) tal que el

tensor de deformacion en todo punto del cuerpo tiene la expresion

["] =

2

4"11

(x1

, x2

) "12

(x1

, x2

) 0

"21

(x1

, x2

) "22

(x1

, x2

) 0

0 0 0

3

5 . (4.47)


Este estado de deformacion aparece, de forma muy aproximada, en cuer-

pos con simetrıa axial y cargas ortogonales a dicho eje de simetrıa, que ha de

coincidir con el eje x3

del sistema de referencia indicado anteriormente. Los

cuerpos que se encuentran en un estado plano de deformacion tiene un cam-

po de desplazamientos que, empleando el sistema de referencia cartesiano

que se menciona, verifica

u = u(x1

, x2

) , u · e3

= 0 . (4.48)

En estos estados de deformacion, el tensor de tensiones tiene por expresion

matricial en la base {e1

, e2

, e3

}

[�] = 2µ ["] + � tr(")[I] =

2

42µ"

11

+ �✓ µ�12

0

µ�21

2µ"22

+ �✓ 0

0 0 �✓

3

5 . (4.49)

Notese que, en general, la componente �33

no se anula. De hecho, podemos

escribir

�11

+ �22

= 2µ("11

+ "22

) + 2�✓ = 2(�+ µ)✓ . (4.50)

Como � + µ =

�

2⌫

, la tension en la direccion x3

se puede expresar tambien

como

�33

= �✓ = 2⌫(�+ µ)✓ = ⌫(�11

+ �22

) . (4.51)

4.6.3. El diagrama de Mohr en estados planos

En un estado plano, la direccion que hemos denominado x3

es principal

y la tension asociada es una tension principal (que se anula en el caso de

tension plana). En el plano x1

x2

, existen dos tensiones principales que lla-

mamos �I

,�II

con sus direcciones principales correspondientes v

I

,vII

. Notese

que no se correspoden necesariamente con las dos tensiones principales ma-

yores en el punto, porque puede que la tension principal � = 0 sea la mayor

de la tres o la intermedia.

Para continuar, y por simplificar la notacion, supongamos que el sistema

coordenado x1

, x2

, x3

es el cartesiano x, y, z. Entonces, en cualquiera de los

dos tipos de estados planos las tensiones principales �I

y �II

son las raıces

del polinomio caracterıstico

0 =

��

�x

�xy

�xy

�y

��

1 0

0 1

�� = �2 � (�x

+ �y

)�+ �x

�y

� �2xy

. (4.52)

´

Estas se pueden escribir de forma explıcita como

� =

�x

+ �y

2

±s✓

�x

� �y

2

◆2

+ �2xy

. (4.53)


�n

⌧m

�I�II

�I+�II2

2✓

Figura 4.4: Diagrama de Mohr para estados planos.

Consideremos ahora las componentes intrınsecas de la tension t = �n

sobre planos de normal n contenida en el plano xy, es decir, tal que n·k = 0.

En la base principal BP

= {vI

,vII

,k} este vector se puede escribir como

n = cos ✓ vI

+ sin ✓ vII

, ası pues la tension normal sobre dicho plano es

�n

= n · �n =

8<

:

cos ✓sin ✓0

9=

; ·2

4�I

0 0

0 �II

0

0 0 �z

3

5

8<

:

cos ✓sin ✓0

9=

;

= �I

cos

2 ✓ + �II

sin

2 ✓

=

�I

+ �II

2

+

�I

� �II

2

cos(2✓) .

(4.54)

Para calcular la componente tangencial definimos el vector unitario m =

n ⇥ k. Este vector define, solo para problemas planos la unica direccion

tangencial posible sobre el plano de normal n donde puede haber tension

tangencial. Este vector ademas tiene expresion en la base principal m =

sin ✓ vI

� cos ✓ vII

ası que podemos definir la tension tangencial ⌧m

como la

proyeccion t ·m y calcularla explıcitamente de la siguiente manera

⌧m

= m · �n =

8<

:

sin ✓� cos ✓

0

9=

; ·2

4�I

0 0

0 �II

0

0 0 �z

3

5

8<

:

cos ✓sin ✓0

9=

;

= �I

sin ✓ cos ✓ � �II

sin ✓ cos ✓

=

�I

� �II

2

sin(2✓).

(4.55)


x1

x2

(x1, x2)

�

(x1 + u1, x2 + u2)

�

S

m

n

Figura 4.5: Seccion transversal de un eje no circular

A partir de las expresiones (4.54) y (4.55) se interpreta que las componentes

intrınsecas (�n

, ⌧m

) de la tension en estados planos recorren un circunfe-

rencia en el plano como se indica en la 4.4. A diferencia del diagrama de

Mohr para estados de tension tridimensionales, en el caso plano tiene sen-

tido representar un cırculo completo, puesto que en este caso la tensiones

tangenciales ⌧m

sı que pueden ser negativas.

4.7. Aplicacion: torsion de ejes no circulares

Estudiamos a continuacion una aplicacion de la teorıa de la elasticidad li-

neal para el estudio de la torsion de ejes con seccion no circular de materiales

elasticos lineales isotropos.

El caso de ejes de seccion circular maciza o hueca se describe con la

teorıa de Coulomb, y es relativamente sencilla gracias a la simetrıa de revo-

lucion en la solucion. Como se estudia en cursos basicos de Resistencia de

Materiales, un eje circular macizo o hueco sometido a torsion pura de valor

Mt

experimenta un giro por unidad de longitud # cuyo valor es

# =

Mt

µ Io

, (4.56)

siendo Io

el momento polar de inercia de la seccion respecto de su centro de

gravedad. Ademas se puede deducir de forma sencilla que las tensiones sobre


Figura 4.6: Barra sometida a torsion y alabeada, tal y como la dibujo Saint

Venant.

las secciones transversales del eje son unicamente tangenciales, en direccion

perpendicular a los radios de la misma y de modulo

|⌧ | = Mt

Io

r , (4.57)

siendo r la distancia del punto estudiado al centro de gravedad de la seccion.

Para ejes no circulares, sin embargo, la solucion es bastante mas compleja

y la propuso Saint-Venant. El metodo de obtencion, que se conoce como

semi-implıcito, es habitual en teorıa de elasticidad: se postula una expresion

para los desplazamientos que depende de algunos parametros; se encuentra

el valor de los parametros que hace valida esta ecuacion y se comprueba

finalmente que ademas esta solucion se corresponde con un estado de torsion

pura.

Para describir las hipotesis de la teorıa de Saint Venant, supondremos

que la seccion del eje esta contenida en el plano x1

, x2

de un sistema de

coordenadas x1

, x2

, x3

con origen en el centro de gravedad de la seccion y

con la direccion x3

perpendicular a la misma, como se indica en la figura 4.5.

Cuando se aplica un estado de torsion pura sobre el eje se supondra que:

Las secciones giran y se alabean, pero su proyeccion sobre el plano x1

, x2

permanece identica a la seccion sin deformar.

El alabeo de todas las secciones es el mismo, y ademas es proporcional

al giro por unidad de longitud #.

Como en la teorıa de Coulomb, el giro de una seccion es proporcional

al giro por unidad de longitud y la distancia a un extremo del eje.


La expresion matematica de las hipotesis es:

u1

= r cos(� + �)� r cos�

u2

= r sin(� + �)� r sin�

u3

= # (x1

, x2

)

(4.58)

Si el giro � es pequeno, es inmediato comprobar que los desplazamientos se

pueden aproximar por las funciones

u1

= �x2

x3

# ,

u2

= x1

x3

# ,

u3

= # (x1

, x2

) .

(4.59)

A partir del campo de desplazamiento se deduce que las tres deformaciones

longitudinales "11

, "22

y "33

son nulas y que las deformaciones angulares son

"12

= 0 , "13

=

#

2

( ,1

� x2

) , "23

=

#

2

( ,2

+ x1

) . (4.60)

A partir de estas, y empleando las ecuaciones de Lame, se sigue que las

tensiones �11

, �22

y �33

son nulas y las tensiones tangenciales valen

�12

= 0 , �13

= µ#( ,1

� x2

) , �23

= µ#( ,2

+ x1

) . (4.61)

Suponiendo que no existen fuerzas volumetricas sobre el eje, o que su

valor es despreciable, la ecuacion del equilibrio de fuerzas, div� = 0, expre-

sada en la base escogida implica que se debe satisfacer

µ#( ,11

+ ,22

) = 0 (4.62)

o, equivalentemente,

4 = 0 (4.63)

en todos los puntos del interior de la seccion. Para encontrar la expresion de

la ecuacion del equilibrio de fuerzas en el contorno de la seccion supongamos

que este se puede parametrizar con una funcion diferenciable x = x(s),siendo el parametro s la longitud de arco del contorno. En este caso, el

vector tangente al contorno es m = x

0y el vector normal n = m ⇥ e

3

.

Como el contorno de la seccion esta libre de tensiones se sigue que 0 = �n.

Si la normal al contorno se expresa como n = n1

e

1

+ n2

e

2

, entonces la

condicion de contorno implica dos igualdades escalares triviales y ademas

0 = ( ,1

� x2

)n1

+ ( ,2

+ x1

)n2

. (4.64)

La funcion de alabeo es por tanto una funcion armonica que satisface la

identidad anterior en el contorno y el campo de desplazamientos (4.58) es

la solucion a un problema elastico.


Falta por comprobar que, efectivamente, la solucion encontrada corres-

ponde a un estado de torsion pura. Es sencillo comprobar que no existe

ninguna fuerza resultante sobre la seccion, ası pues no hay sobre ella ni es-

fuerzo axial ni de cortante. Ademas, como no hay tensiones normales �33

,

tampoco existen momentos flectores sobre esta. Sin embargo, el momento

resultante en direccion del eje x3

es

Mt

=

Z

S(x

1

�23

� x2

�13

) dS

=

Z

Sµ#(x2

1

+ x22

+ x1

,2

� x2

,1

) dS .

(4.65)

De esta identidad se sigue que la relacion entre el par torsor y el giro por

unidad de longitud # se puede escribir como

# =

Mt

µ It

(4.66)

si It

, la inercia a torsion de la seccion, se calcula como

It

=

Z

S(x2

1

+ x22

+ x1

,2

� x2

,1

) dS . (4.67)

Observaciones:

a) Comparando la expresion (4.66) con (4.56) concluimos que la inercia

a torsion juega el mismo papel que el momento polar de inercia en la

torsion de ejes circulares, cuantificando la contribucion geometrica a

la rigidez torsional.

b) Ademas, se verifica que si la seccion es circular la funcion de alabeo es

identicamente nula y por tanto It

= I0

.

c) Por ultimo, se puede comprobar que para cualquier seccion It

Io

,

siendo cierta la identidad unicamente para las secciones circulares.

Esto apunta a que las secciones no circulares sometidas a torsion se

alabean como mecanismo para reducir su rigidez torsional, pero man-

teniendo una solucion valida al problema elastico, y ası disminuir su

energıa potencial.

4.7.1. Teorıa de Prandtl

Las unicas componentes no nulas del tensor de tensiones, en el sistema de

referencia escogido, son �31

y �32

. Para intentar comprender mejor como son

estas componentes de la tension tangencial sobre el plano de las secciones


x1

x2 r�

Figura 4.7: Isolıneas de nivel de la funcion de Prandtl.

transversales del eje supongamos que existe una funcion diferenciable � =

�(x1

, x2

), llamada funcion de Prandtl, tal que

�13

= �,2

, �23

= ��,1

. (4.68)

En primer lugar se observa que si esta funcion existe, entonces el tensor

de tensiones satisface div� = 0, es decir, verifica las ecuaciones de equi-

librio. En segundo lugar, utilizando las expresiones (4.61) de las tensiones

tangenciales se sigue que

�13

= �,2

= #µ( ,1

� x2

) ,

�23

= ��,1

= #µ( ,2

+ x1

) .(4.69)

Derivando la primera de estas identidades con respecto a x2

, la segunda con

respecto a x1

y restando el resultado de ambas operaciones concluimos que

�4� = 2µ# . (4.70)

Finalmente, si como anteriormente suponemos que el contorno de la seccion

viene dado por una curva x = x(s), entonces, la condicion de que el lateral

del eje no esta sometido a tension se expresa como �n = 0 o tambien

0 = �,2

n1

� �,1

n2

= �,2

x02

+ �,1

x01

=

@�

@s, (4.71)

es decir, que la funcion � es contante a lo largo del contorno de la seccion.


El momento torsor se puede calcular como

Mt

=

Z

S(x

1

�23

� x2

�13

) dS

=

Z

S�(x

1

�,1

+ x2

�,2

) dS

=

Z

Sgrad� · (x

1

e

1

+ x2

e

2

) dS

=

Z

S� div(x

1

e

1

+ x2

e

2

) dS �Z

@S� (x

1

e

1

+ x2

e

2

) · n d� .

(4.72)

Si la seccion S no tiene agujeros, podemos fijar arbitrariamente el valor de �en el contorno y escogiendo � = 0 en @S concluimos que

Mt

= 2

Z

S� dS . (4.73)

Igual que en el caso de la teorıa de Saint Venant, podemos encontrar la

inercia a torsion a partir de la expresion anterior y la relacion (4.66):

It

=

2

RS � dS

µ#. (4.74)

Ademas de una herramienta para calcular la rigidez a torsion, la funcion

de Prandtl sirve para obtener conclusiones cualitativas sobre la distribucion

de tensiones tangenciales en la seccion. Como esta tension es de la forma

⌧ = �13

e

1

+ �23

e

2

= �,2

e

1

� �,1

e

2

y podemos deducir

|⌧ | = |grad�| , ⌧ · grad� = 0 , (4.75)

es decir, que los vectores tension sobre las secciones transversales del eje

son perpendiculares al gradiente de � y tiene el mismo modulo que grad�.A partir de las curvas de nivel de �, podemos deducir que las maximas

tensiones tangenciales ocurriran allı donde estas esten mas juntas, y que si

direccion sera la tangente a las curva de nivel.

4.7.2. Ejemplo: torsion de secciones elıpticas

Como ejemplo de aplicacion de la teorıa de esta seccion calculamos la

funcion de alabeo y la funcion de Prandtl de una seccion elıptica con las di-

mensiones indicadas en la figura 4.8. En primer lugar, buscamos una funcion

: S ! R que satisfaga las ecuaciones (4.63) y (4.64). Para ello, emplea-

mos el llamado metodo semi-inverso que consiste en proponer una solucion

conocida parcialmente. En este caso, se propone

(x1

, x2

) = kx1

x2

, (4.76)


x1

x2

a

b

n

Figura 4.8: Seccion elıptica sometida a torsion pura.

siendo k una constante a determinar. Es inmediato comprobar que esta fun-

cion satisface la ecuacion (4.63). Para verificar si cumple la condicion (4.64)

en el contorno de la seccion recordamos la ecuacion parametrica de la elipse

x1

= a cos ✓ , x2

= b sin ✓ , (4.77)

y obtenemos a partir de esta la expresion del vector tangente al contorno

de S, que denominamos m y del vector normal n = m⇥ e

3

:

m = (x01

e

1

+ x02

e

2

)/C = (�a sin ✓e1

+ b cos ✓e2

)/C ,

n = (b cos ✓e1

+ a sin ✓e2

)/C = (

b

ax1

e

1

+

a

bx2

e

2

)/C ,(4.78)

siendo C una constante para normalizar el vector tangente y el normal.

Sustituyendo la expresion del vector normal en la ecuacion (4.64) se sigue

0 = (kx2

� x2

)

b

ax1

+ (kx1

+ x1

)

a

bx2

= (k � 1)

b

ax1

x2

+ (k + 1)

a

bx1

x2

(4.79)

que se verifica si k = (b2 � a2)/(b2 + a2) y por tanto

(x1

, x2

) =

b2 � a2

b2 + a2x1

x2

. (4.80)

Una vez conocida la funcion de alabeo, podemos calcular la inercia a torsion


Figura 4.9: Funcion de alabeo para el eje de seccion elıptica.

de la seccion empleando la expresion (4.67):

It

=

Z

S(x2

1

+ x22

+ x1

,2

� x2

,1

) dA

=

Z

S(x2

1

+ x22

+ kx21

� kx22

) dA

= (1 + k)

Z

Sx21

dA+ (1� k)

Z

Sx22

dA

= (1 + k)I2

+ (1� k)I1

= (1 + k)⇡

4

ab3 + (1� k)⇡

4

a3b

=

⇡a3b3

a2 + b2.

(4.81)

Notese que It

= Io

+ k(I2

� I1

). Cuando a > b, k es negativo y I2

� I1

,

positivo, ası pues It

< Io

. Cuando a < b la conclusion es la misma. El unico

caso en el que It

= Io

es cuando la funcion de alabeo es identicamente nula,

es decir, en la seccion circular.

Para calcular la funcion de Prandtl, utilizamos tambien el metodo semi-

inverso y suponemos que esta es de la forma

�(x1

, x2

) = ⌘

✓x21

a2+

x22

b2� 1

◆, (4.82)

siendo ⌘ una constante cuyo valor determinaremos a continuacion. Las cur-

vas de nivel de la funcion � son elipses concentricas y esta es evidentemente

nula en el contorno de la seccion. La relacion (4.70) se satisface si ⌘ vale

⌘ = �µ#a2b2

a2 + b2. (4.83)


Figura 4.10: Curvas de nivel de la funcion de Prandtl � de la viga de seccion

elıptica

Figura 4.11: Direccion (izda.) y modulo (dcha.) de los vectores de tension

tangencial en el eje de seccion elıptica sometido a torsion pura.

Esta funcion nos indica que la tensiones tangenciales sobre la seccion son

tangentes a elipses concentricas y que su modulo es maximo donde los se-

miejes cortan la elipse exterior. Dado que el momento torsor y la funcion de

Prandtl estan relacionados por la formula (4.73), podemos verificar que la

inercia torsional es

It

=

Mt

µ#=

2

RS �(x1, x2) dA

µ#=

⇡a3b3

a2 + b2, (4.84)

que coincide con el resultado obtenido mediante la funcion de alabeo.

4.8. Limitaciones de la teorıa lineal

En estas notas estudiamos unicamente la teorıa lineal de los solidos defor-

mables y en este capıtulo hemos descrito el caso particular de la elasticidad

lineal, por ser el mas sencillo y el de mas facil aplicacion. Este modelo tie-

ne, por un lado, innumerables aplicaciones a la mecanica estructural y de


maquinas. Por otro, tambien adolece de graves limitaciones que impiden su

uso generalizado para problemas mas complejos, donde la hipotesis de pe-

quenas deformaciones es inaceptable. Mencionamos a continuacion alguna

de estas, dejando para cursos mas avanzados el estudio de la elasticidad no

lineal y de la teorıa no lineal de solidos deformables ([1, 5, 2]).

4.8.1. Limitaciones en la estatica

La ecuacion del equilibrio de fuerzas div� +

¯

f = 0 es estrictamente

cierta, incluso aunque las deformaciones sean enormes, siempre que se defina

con precision el tensor � y las fuerzas volumetricas

¯

f . La dificultad aparece

cuando un cuerpo, debido a su deformacion, cambia significativamente de

forma y tamano, de tal manera que las fuerzas por unidad de area inicial

y las fuerzas por unidad de area deformada no son parecidas. Entonces, es

necesario especificar a que area hace referencia el tensor de tensiones.

En particular, el tensor de tensiones de Cauchy � se define como la

fuerza que se hace, por unidad de area deformada a traves de un diferencial

de area. El razonamiento para llegar a la ecuacion del equilibrio en la llamada

configuracion deformada es identico al empleado en el Capıtulo 2.

Sin embargo, como la configuracion deformada no es conocida a priori

resulta que para poder definir el tensor de tensiones y expresar la ecuacion

del equilibrio es necesario haber resuelto el problema con anterioridad. Para

evitar este argumento circular, se proponen otros tensores de tension. Por

ejemplo, el (primer) tensor de Piola-Kirchho↵ es el tensor de tensio-

nes que expresa las fuerzas que se ejercen sobre un diferencial de area, por

unidad de area sin deformar. Pero este no es el unico tensor de tensiones

util en mecanica de solidos. Al contrario, existen varios mas que son utiles

y cuya descripcion se puede encontrar en libros mas avanzados. Como unica

aclaracion, indicamos que la fuerza por unidad de area sin deformar tambien

se llama tension nominal y es mas facil de calcular que la tension real.

4.8.2. Limitaciones en la cinematica

Como ya se ha explicado, el tensor de deformaciones infinitesimales "

solo mide deformaciones de forma exacta cuando estas y los desplazamien-

tos son infinitesimales. Cuando no lo son, el tensor " solo proporciona una

aproximacion a las autenticas deformaciones.

Los tensores de deformacion validos en cualquier situacion deben de cum-

plir, al menos, dos condiciones. La primera es que si el entorno de un punto

(deformado o no) sufre un desplazamiento de solido rıgido de magnitud ar-

bitraria, la deformacion no debe de alterarse. La segunda condicion es que

cuando las deformacion y desplazamientos sean muy pequenos, el tensor de

deformaciones coincida con ".

Bajo estas dos premisas existen infinitos tensores de deformacion validos.


-2

-1

0

1

2

3

4

0.5 1 1.5 2 2.5 3

E(m

)

L/Lo

m = �2m = 0m = 1m = 2

Figura 4.12: Medidas de deformacion uniaxial.

El mas sencillo de comprender, el llamado tensor de deformacion de Green-

Lagrange, se define como

E =

1

2

((I + gradu)

T

(I + gradu)� I) , (4.85)

y ya aparecio en el Capıtulo 3 en el calculo de las deformaciones longitudina-

les, aunque eliminamos el termino cuadratico al suponer que los gradientes

gradu eran pequenos.

Para comprender el por que de esta variedad de medidas de deforma-

cion sin necesidad de comprender los detalles de la cinematica de medios

continuos podemos estudiar la deformacion (unidimensional) de una barra

de longitud Lo

al ser estirada o comprimida hasta una longitud L. En este

caso, las medidas de deformacion

E(m)

=

(log

L

L

o

si m = 0 ,1

m

⇣L

m

L

m

o

� 1

⌘si m 6= 0 ,

(4.86)

son todas ellas validas. En la figura se pueden comparar cuatro medidas de

deformacion del tipo (4.86): la llamada deformacion de Almansi (m =

�2), la deformacion de Hencky o logarıtmica (m = 0), la “ingenieril”

(m = 1) y la de Green-Lagrange (m = 2). Se puede observar como para

deformaciones pequenas (L/Lo

⇡ 1) todas ellas coinciden.

La deformacion de Hencky tiene una propiedad que la hace especial,

entre todas. Consideremos, para ver esto, la deformacion longitudinal de

una barra recta de longitud L0

tal y como aparece en la figura 4.13. Cuando

la barra se estira hasta alcanzar una longitud L1

, la deformacion que esta

experimenta es "0!1

= (L1

�L0

)/L0

. Si la viga se estira mas, hasta alcanzar


L0

L1

L2

"0!1

"1!2

Figura 4.13: Deformacion longitudinal de una barra recta en dos fases.

L0 + u

L0 + u+ du d"

Figura 4.14: Deformacion infinitesimal entre dos configuraciones deformadas

de una barra recta.

la longitud L2

, la deformacion en este segundo paso es "1!2

= (L2

�L1

)/L1

.

Si calculamos la deformacion total "0!2

= (L2

�L0

)/L0

comprobamos que

"0!1

+ "1!2 6= "0!2 , (4.87)

es decir, que la deformacion no es aditiva y que por tanto no da igual como

se calcule (a menos que la deformacion total sea infinitesimal). Si repetimos

este mismo argumento, empleando esta vez la deformacion logarıtmica se

comprueba que

"0!1

+ "1!2

= log

L1

L0

+ log

L2

L1

= log

L2

L0

= "0!2, (4.88)

es decir, que sı es aditiva. Para comprender mejor esta propiedad, conside-

remos la deformacion infinitesimal que aparece cuando se deforma longitu-

dinalmente una barra recta de longitud L0

+u hasta L0

+u+du, tal y como

aparece en la figura 4.14. En este caso, se tiene que

d" =du

L0

+ u. (4.89)

Si sumamos todas las contribuciones diferenciales en una deformacion com-

pleta desde que u = 0 hasta que u = L� L0

concluimos que

" =

Zd" =

Zu

0

du

L0

+ u= log

L0

+ u

L0

= log

L� L0

L0

. (4.90)

Este resultado indica que la deformacion logarıtmica es la que se obtiene

al integrar, en cada incremento infinitesimal de deformacion, la medida de

deformacion estandar.


4.8.3. Limitaciones del modelo constitutivo elastico

La relacion constitutiva elastica lineal, como se indicaba anteriormen-

te, es extremadamente util y se emplea en todos los calculos habituales de

estructuras y diseno de maquinas. Sin embargo presenta algunas paradojas

que senalan a que no puede ser completamente valido. La mas importante

se puede explicar incluso con un modelo unidimensional: en un ensayo de

traccion/compresion unidimensional se tiene que �xx

= E✏xx

. Esta expre-

sion indica que para obtener un alargamiento ✏ = 0,9 se require la misma

tension (en modulo) que para obtener un acortamiento ✏ = �0,9. Aunqueesto puede ser aproximadamente cierto para ✏ pequeno, claramente no puede

ser valido para valores grandes de la deformacion.

Problemas

4.1.

2

p3

6

2

p3

2

30

o

Dibuja sobre la hipotenusa del

triangulo rectangulo de la figura la

tension normal y tangencial corres-

pondiente a su estado tensional. Di-

buja ademas los ejes principales de

tension (Nota: las tensiones estan

expresadas en MPa).

4.2.

5 + 2p3

2

5

4

De un punto en un cuerpo deforma-

ble se extrae un triangulo equilatero

diferencial del cual se conoce el esta-

do tensional sobre alguna de sus ca-

ras. Dibuja el diagrama de Mohr del

estado tensional del punto y com-

pleta el valor de los vectores tension

de la figura, sabiendo que los valo-

res indicados estan en unidades de

MPa. Dibuja la posicion de los ejes

principales sobre el triangulo.


4.3.

x

y

45

A

C

B

Se colocan tres galgas extensometri-

cas sobre la superficie de un cuerpo

deformable como se indica en la fi-

gura. Si las galgas miden:

"A

= 10

�3 , "B

= 2·10�3 , "C

= �3·10�3 ,

y se sabe que el solido esta en un es-

tado de tension plana, siendo z el ejede tension nula. Calcular el tensor

de deformacion completo en el pun-

to en el que las galgas realizan las

mediciones (E = 20000 Kp/mm

2

y

⌫ = 0,35).

4.4. Dados los estados tensionales A y B correspondientes a estados planos

de tension,

a) Considerar el estado C que resulta de sumar las tensiones que crean

los estados A y B. Dibujar el diagrama de Mohr correspodiente a este

tercer estado.

b) Determinar de forma grafica el valor de � para que el estado C sea un

estado de cortante puro.

c) Determinar de forma grafica el valor mınimo de � para que en el estado

C no haya compresion en ningun plano.

d) Determinar de forma grafica el valor maximo de � para que en el estado

C no haya traccion en ningun plano.

e) Resuelve analıticamente las tres preguntas anteriores.

(NOTA: las tensiones en el estado A estan expresadas en MPa).


44

3

3

4

4

3

3

�

�

45

Estado A Estado B

Figura 4.15: Problema 4.4.

4.5.

1 2

5

5

1

A

B

(Tensiones en MPa)

Un punto de un cuerpo tiene un es-

tado tensional plano cuya represen-

tacion grafica se adjunta.

a) Dibuja el diagrama de Mohr

del estado tensional.

b) Identifica sobre la circunferen-

cia de Mohr el estado tensio-

nal de las caras A y B.

c) Calcula a partir de la figura el

valor de las tensiones princi-

pales.

d) Indica el angulo (y el sentido)

que forma la normal n

A

con la

direccion principal primera.


4.6.

23

(Tensiones en MPa)

2

I

II

La figura indica el estado tensional

plano de un punto en un cuerpo de-

formable.

a) Halla el valor de la tension

normal � sabiendo que la ten-

sion cortante maxima en ese

punto es de 5 MPa.

b) Dibuja el cırculo de Mohr

correspondiente al estado de

tension resultante.

c) Identifica, sobre el cırculo, el

estado tensional de la cara I y

de la cara II.

4.7.

44

2

2

2

2

(Tensiones en MPa)

Un punto de un solido deformable

se encuentra sometido a un esta-

do plano de tension representado

por la figura de la izquierda. En-

contar graficamente las tensiones en

las tres caras del triangulo equilate-

ro diferencial de la derecha centrado

en el mismo punto.


4.8.

x

y

Un solido elastico isotropo se en-

cuentra en un estado de tension pla-

na. Uno de sus puntos, que denomi-

namos P , tiene un estado tensional

que en el sistema de coordenadas xyde la figura (siendo z el eje normal

al plano de tension nula) tiene la si-

guiente respresentacion matricial:

[�]

xy

=

4 �1

�1 2

�MPa

a) Dibuja el diagrama de Mohr

del estado plano de tension en el punto P .

b) Calcula las componentes

intrınsecas del vector tension

sobre cada una de las caras

del triangulo diferencial de la

figura, si esta centrado en el

punto P .

4.9. Una viga de acero (E = 210 GPa, ⌫ = 0,3) esta sometida a una traccion

pura de 100 MPa. Calcular su deformacion volumetrica.

4.10. El estado tensional en un punto de un solido de acero, cuando se

refiere a una base ortonormal, tiene por expresion

� =

2

430 20 0

20 �10 0

0 0 70

3

5MPa

Calcular la energıa interna del punto por unidad de volumen de dos maneras

distintas:

a) Empleando la expresion directa de la energıa complementaria y

b) Calculando la deformacion asociada y, a partir de esta, la energıa elasti-

ca.

4.11. Un material ortotropo tiene la siguiente matriz de elasticidades

[C] =

2

6666664

100 10 15 0 0 0

10 40 5 0 0 0

15 5 8 0 0 0

0 0 0 6 0 0

0 0 0 0 7 0

0 0 0 0 0 4

3

7777775MPa


Definimos la siguiente ley de Hooke generalizada

"11

=

�11

E11

� ⌫12

E22

�22

� ⌫13

E33

�33

"22

=

�22

E22

� ⌫21

E11

�11

� ⌫23

E33

�33

"33

=

�33

E33

� ⌫31

E11

�11

� ⌫32

E22

�22

"23

/2 =

�23

G23

"13

/2 =

�13

G13

"12

/2 =

�12

G12

,

sabiendo que para que la matriz de flexibilidades [C]�1

sea simetrica debera

verificarse ademas

⌫ij

Ejj

=

⌫ji

Eii

para toda pareja i 6= j. Determina el valor de las constantes E11

, E22

, E33

,

⌫12

, ⌫13

, ⌫23

, G12

, G13

, G23

.

4.12. Comprueba que, en problemas planos, las ecuaciones de Lame se pue-

den escribir como

� =

¯� tr(")I + 2µ "

siendo

¯� =

8<

:

� deformacion plana ,2�µ

�+ 2µtension plana .

Bibliografıa

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Oxford, England, 1968.

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Bibliografıa 111

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