Electrodinámica Relativista I,II,III

7/26/2019 Electrodinmica Relativista I,II,III

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Electrodinmica relativista I

Aunque este tema corresponde ms bien a la Teora Especial de la Relatividad que a la Relatividad

General, se ha puesto aqu siguiendo no slo la metodologa pedaggica que indica que los temas

deben ser puestos en orden ascendente de difcultad sino tomando en cuenta el hecho de que el

tratamiento del tema requiere de un conocimiento previo del anlisis tensorial que no se acostumbr

dar en un curso introductorio de la Teora Especial de la Relatividad pero que es mandatorio antes d

entrar de lleno en el tema de la Relatividad General. Este tema requiere de cierta amiliaridad con la

nociones bsicas del electromagnetismo.

Antes de que hubiera una Teora de la Relatividad, ya haba una teora matemtica del

electromagnetismo en la cual se inspir Einstein, a grado tal que su primera publicacin se titul

obre la electrodinmica de los cuerpos en movimiento!" Estudiar los orgenes de las ideas de Einst

invariablemente lleva a cualquiera a estudiar los tratados del matemtico #ames $ler% &a'(ell

basadas en la tesis de que en los )enmenos electromagn*ticos lo que importa es el movimiento

relativo de las cargas el*ctricas y los campos el*ctricos en movimiento"

Empe+aremos con el estudio de una seal via-era que en cierto instante de tiempo podemos visuali+

como estacionaria con la siguiente )orma de onda que corresponde a una onda senoidal alternando

entre valores positivos y negativos.

/a ecuacin que nos describe una onda de este tipo cuya amplitud 0que puede ser la amplitud de un

campo el*ctrico Eo de un campo magn*tico Bes A es la siguiente.

y (x)=A sen(kx)

en donde % es una constante num*rica conocida como la constante de propagacincuya 1nica )unc

es estirar! o comprimir! la onda senoidal hori+ontalmente"

i queremos poner a la onda estacionaria de arriba en movimiento, basta con modi2car la e'presin

agregando la variable tiempo t de la siguiente manera.

y (x)=A sen(kxt)
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en donde 3 es otra constante num*rica cuya )uncin es )i-ar la velocidad a la cual se est despla+an

la seal hacia la derecha 0si queremos que la seal se desplace hacia la i+quierda al ir aumentando e

valor de t en el sentido positivo, reempla+amos el signo negativo con un signo positivo4"

/a ecuacin anterior es vlida en una sola dimensin medida a lo largo del e-e5'" 6ero si queremos

describir una onda senoidal via-ando en un espacio tri5dimensional $artesiano, reempla+amos a la

variable ' por el vector posicin x7 0'8,'9,':4 multiplicado en producto escalar vectorial por el vecto

de propagacink7 0%8,%9,%:4 de modo tal que.

k x7 0%8,%9,%:4 ; 0'8,'9,':4 7 %8'8< %9'9< %:':

=e este modo, llegamos a la siguiente ecuacin de onda en donde haremos un ligero cambio de

notacin para denotar la amplitud instantnea como > y la amplitud m'ima como > ?.

(x )=0 sen(k xt)

@tra ecuacin igualmente vlida es la siguiente en la cual usamos la )uncin cosenoidal en lugar de

)uncin senoidal.

(x )=0cos(k xt)

sando la ecuacin de Euler.

ei =cos +isen

podemos escribir.

=0exp i(k xt)

Esta es la ecuacin general de una onda via-era plana de amplitud > ?medida por un observador en

reposo" Esperamos que, desde la perspectiva de la Teora de la Relatividad, la ecuacin de esta onda

via-era para otro observador en movimiento relativo con respecto al observador en reposo, tenga la

misma )orma 0invariante4.

=0exp i(k x t )

!a onda plana debe seguir siendo plana porque la transormacin del marco de reerencia " al marc

de reerencia "# es una transormacin linear0trans)ormacin de /orent+4"


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A continuacin llevaremos a cabo la construccin de un B5vector que llamaremos K, un $%vector de

propagacinque aadiremos a nuestra lista de B5vectores" 6ara ello, escribiremos los )actores de

)ase! de las ondas > y >C de la siguiente manera como el producto vectorial escalar de dos vectores

dos componentes cada uno.

k xt=k x+(i/c)(ict) k xt=(k,i /c) (x , ict) k xt=K X

y del mismo modo.

k x t=(k , i /c )(x , ict)=K X Ahora bien , habiendo hecho x B ict , con lo cual.

X7 0x, 'B4 7 0'8, '9, ':, 'B4

no nos debe quedar ninguna duda de que este es un B5vector posicin, y de que el producto

escalar K X es una invariante, o sea.

K X =K Xe concluye que

Kes un B5vector de propagacin cuyas componentes espaciales

son las mismas de k y cuya cuarta componente, la componente temporal, es i3Dc" iendo as, las

cuatro componentes del B5vector K se deben trans)ormar de manera id*ntica a como se

trans)orman las componentes del B5vector posicin X " Esta similitud nos permite obtener las

ecuaciones de trans)ormacin del B5vector K para pasarlo de un sistema de re)erencia a otro

sistema de re)erencia S " aciendo una comparacin con la )rmula para la componente tempora

que obtuvimos en la entrada previa Rotaciones y trans)ormaciones! para la trans)ormacingenerali+ada de /orent+.

puesto que t en esta )rmula se corresponde con 3DcF y puesto que xse corresponde con k, tenemo

entonces el siguiente resultado.

i la velocidad del marco de re)erencia C con respecto al marco de re)erencia es v, y si G es el ng

entre los :5vectores ky v, entonces con % 7 3DcF obtenemos la siguiente e'presin que nos

proporciona la )recuencia de la onda electromagn*tica en el sistema C.

=[1(v /c )cos] que podemos escribir de la siguiente manera.


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Esta, desde luego, es la )rmula para el despla+amiento =oppler relativista"

Ahora bien, para una nube de carga el*ctrica!, en un sistema de re)erencia en donde la cargael*ctrica est en reposo, un elemento in2nitesimal de carga el*ctrica dq est dado por el producto d

la densidad de carga el*ctrica H?y un elemento in2nitesimal de volumen.

dq=0 dV

i ba-o un esquema relativista la carga el*ctrica es algo que debe ser conservado, entonces la carga

el*ctrica dq, vista desde un sistema de re)erencia C en movimiento, debe permanecer invariable, es

es.

dq=0 dV=0 dV =dq en donde.

d 7 d'8d'9d':JJen

dC 7 d'C8d'C9d'C:JJen C

i C se mueve a lo largo del e-e5'8de con una velocidad , entonces d'C 97 d'9y d'C:7 d':, pero

d'C8e'perimentar una contraccin relativista de longitud igual a.

d'C87 d'8 (1V /c )

Entonces.

H? d 7 HdC 7 H d'C8d'C9d'C:7 H d'8d'9d': (1V /c )

H? d 7 H d (1V /c )

Esto se traduce en una variacin de la densidad de carga el*ctrica por unidad de volumen de acuerd

con la relacin.


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H 7 H? D (1V /c )

=e este modo, la densidad de carga el*ctrica H de un sistema en movimiento est relacionada con la

densidad de cargalocalH? de la misma manera en que la masa y la masa propia estn relacionadas"

ley de la conservacin de la carga el*ctrica se sigue aplicando a la carga totalpero no a la densidad

carga el*ctrica"

$lsicamente, en el :5espacio Euclideano, la densidad de corriente el*ctricaJes simplemente lacantidad de carga por unidad de tiempo que est atravesando una super2cie en un momento dado.

En la 2gura de arriba, una corriente el*ctrica de B amperes est circulando a trav*s de un conductor

cuyo tramo inicial tiene una super2cie transversal 8igual a B centmetros, la cual se reduce a una

super2cie transversal 9igual a 8 centmetro cuadrado" @bviamente, la densidad de corriente el*ctr

es cuatro veces mayor en el segundo tramo del conductor que en el primero, esto es precisamente

que nos mide elJtridimensional" /a corriente de carga el*ctrica I que est atravesando una super2c

est dada por la siguiente de2nicin vectorial.

siendo nun vector unitario normal a la super2cie que est siendo atravesada por la corriente y

siendoJ7 0#', #y, #+4" 6or su parte, el $%vectordensidad de corrienteJ7 0#K4 est de2nido como se ha

indicado arriba, siendo H la densidad de carga el*ctrica de modo tal que la carga in)initesimal dL envolumen pequeo est dada por Hd:', o bien, para la carga completa encerrada en un :5volumen

Euclideano.

=! ! ! dx dyd"


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Resulta obvio que en la teora relativista la densidad de corriente el*ctricaJy la densidad de carga

el*ctrica H no pueden ser entidades )sicas independientes puesto que una carga el*ctrica que

permanece esttica en un sistema de re)erencia en reposo se nos convertir en una distribucin d

corriente el*ctrica en un marco de re)erencia mvil" Esto nos proporciona la -usti2cacin que

necesitamos para -untar la densidad de corriente el*ctricaJy la densidad de carga el*ctrica H en un

vectorJde la siguiente manera.

#=

( c, #) #=

( c , $ ) J7 0cH? D 1%V

2

c2 , uH? D 1%

V2

c2 4

J7 H? 0cD 1%

V2

c2

, uH? D 1%

V2

c2 4

J7 H?( c , $ )

Aqu podemos reconocer casi de inmediato lo que tenemos entre los par*ntesis" Es el B5vector

velocidad Uque ya habamos visto con anterioridad al introducir el tema de los B5vectores" Es as collegamos al siguiente resultado bsico.

J7 H? U

6uesto que H?, la densidad de carga el*ctrica local medida en el sistema de re)erencia en reposo , e

una invariante escalar, y Ues un B5vector, el B5vector velocidad,Jdebe poseer las mismas propieda

de trans)ormacin de Uy por lo tanto tambi*n es un B5vector"

Ma se ha mencionado con anterioridad cmo para desarrollar la Teora Especial de la RelatividadEinstein se inspir en la teora del electromagnetismo de &a'(ell, en la cual tampoco hay

observadores privilegiados capaces de poder detectar el movimiento absoluto" iendo as, no nos de

e'traar el que las ecuaciones de campo del electromagnetismo son invariantes bajo las

transformaciones de Lorentz

En la electrodinmica clsica, tanto el vector del campo el*ctrico E7 0E8,E9,E:4 como el vector del

campo magn*tico B7 0N8,N9,N:4 no son B5vectores, constan de tres componentes" in embargo, las

componentes E8, E9, E:, N8, N9y N:pueden ser utili+adas para de2nir un tensor antisim*trico como lo

veremos a continuacin" En el procedimiento, utili+aremos la convencin.

0'8, '9, ':, 'B4 7 0ct, ', y, +4

!"#BLE$%. "e puede defnir un tensor antisim&trico&7 0OKP4 mediante las siguientes relaciones'


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O8i7 5 EiJJ0i 7 9, :, B4

O9B7 N9JJJO:97 N:JJJOB:7 N8

Encontrar todas las dems componentes a partir de estas relaciones ( acomodarlas en un arreglo

matricial.

6uesto que &es un tensor antisim&trico, entonces todos los elementos en la diagonal principal de la

matri+ deben ser iguales a cero.

O887 O997 O::7 OBB7 ?

6or otro lado, puesto que O8i7 5 Eipara i 7 9, :, B.

O897 5 E8JJJO8:7 5 E9JJJO8B7 5 E:

y en virtud de la antisimetra.

O987 E8JJJO:87 E9JJJOB87 E:

&s a1n.

O9B7 N9JJJO:97 N:JJJOB:7 N8

y en virtud de la antisimetra.

OB97 5 N9JJJO9:7 5 N:JJJO:B7 5 N8

Tenemos todos los elementos que necesitamos para acomodarlos en la siguiente matri+.


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Este tensor es me-or conocido como el tensor de &arada', y logra uni2ca en un B5espacio las tres

componentes del vector campo el*ctrico Econ las tres componentes del vector campo magn*tico B

i en ve+ de utili+ar sub5ndices num*ricos para representar los componentes alineados con las

coordenadas generali+adas de los componentes de Ey Butili+amos lo que realmente signi2can dich

sub5ndices en coordenadas $artesianas 0rectangulares4 entonces el tensor de Oaraday que tenemos

arriba, un tensor contravariante de orden dos, se puede escribir del siguiente modo menos con)uso.

Es importante tomar nota de lo siguiente.los sub%ndices num&ricos empleados para distinguir las

componentes deE( deBno se corresponden directamente con los ndices num&ricos empleados p

distinguir los )* componentes del tensor de +arada("

na cosa que suele sorprender a algunos principiantes en el tema de la Relatividad Qeneral es que e

tensor m*trico g, muy caracterstico de la m*trica que describe la curvatura del espacio5tiempo en u

B5espacio relativista, pueda ser utili+ado tambi*n para subir los ndices de los componentes de un

tensor electromagn*tico, tomando en cuenta el hecho de que el electromagnetismo y la gravedad s

dos )enmenos )sicos di)erentes" o lleva mucho tiempo adaptarse a esta nueva idea siempre (

cuando nos mantengamos en el mbito de la Teora Especial de la Relatividad, llevndonos a

sospechar eventualmente que el campo electromagn*tico y el campo gravitacional tal ve+ puedan s

uni2cados ba-o un solo esquema matemtico, y de hecho esto sucedi como lo demuestr el traba-o

Salu+a5Slein al respecto" Aceptando esto como un hecho, podemos utili+ar al tensor m*trico g del

espacio%tiempo plano de la Teora Especial de la Relatividad para ba-ar ambos ndices del tensor de

Oaraday dado arriba" 6odemos obtener el tensor de Oaraday con dos ndices covariantes ba-ando cad

ndice del tensor de Oaraday que se acaba de dar arriba con la ayuda del tensor m*trico g7 0gU4 qu

corresponde al elemento de lnea propio de un B5espacio /orent+iano en donde hacemos c 7 8 para

2nes de simpli2cacin.


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la operacin del descenso de los dos ndices se puede representar de la siguiente manera.

OU7 gVOVWgWU

/a ecuacin anterior es una ecuacin tensorial en notacin de componentes que requiere llevar a ca

una doble sumatoria sobre los ndices repetidos" El cmputo se puede )acilitar si en lugar de laecuac

tensorial utili+amos la ecuacin matricial correspondiente.

6odemos multiplicar las dos primeras matrices y multiplicar el producto resultante por la tercera

matri+, o podemos multiplicar las 1ltimas dos matrices y multiplicer el producto resultante por laprimera matri+, el resultado ser el mismo en virtud de la propiedad asociativa de la multiplicacin d

matrices" &ultiplicando la segunda matri+ por la tercera matri+ obtenemos lo siguiente.

A continuacin pre5multiplicamos esta matri+ por la primera matri+ para as obtener los componente

del tensor de Oaraday en su representacin tensorial covariante.


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Este es el tensor de Oaraday en su representacin como un tensor covariante.

Resulta obvio que los elementos de OUse pueden obtener a partir de los elementos de O Ucon la

simple inversin de los signos de los componentes de E, o sea sustituyendo Epor (E"

Al igual que como lo hicimos arriba, podemos representar los componentes de los

campos Ey Bmediante notacin $artesiana que nos puede ahorrar equivocaciones y con)usiones.

@tra variante del tensor de Oaraday que resulta e'tremadamente 1til es el tensor dual de fuerza

campo electromagn)ticoo simplemente eltensor de fuerza del campo electromagn)tico, p

cuya obtencin de2nimos primero el siguiente tensor 0o me-or dicho,pseudotensor4 *7 0XUVW4 de ord


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cuatro totalmente antisim*trico.

XUVW7 < 8 para 7 8, U 7 9, V 7 : y W 7 B o cualquier permutacin par de ndices

XUVW7 5 8 para cualquier permutacin impar de ndices

XUVW7 ? si dos ndices son iguales

$on esta de2nicin, y llevando a cabo las sumatorias para la evaluacin de componentes individuale

obtenemos el siguiente tensor de )uer+a del campo electromagn*tico.

$omparando este tensor con el tensor OU, podemos ver que lo podemos obtener de OUhaciendo los

cambios E YBy BY ( Een OU"

=e este modo, al igual que como ocurre con la Teora Especial de la Relatividad en la cual el espacio

el tiempo son uni2cados ba-o un solo concepto en un espacio5tiempo cuatri5dimensional como un

vector que incluye los componentes de ambos, en el electromagnetismo de &a'(ell el campo el*tric

y el campo magn*tico tambi*n pueden ser uni2cados ba-o el tensor de orden dos conocido como

el tensor de Oaraday en donde B7 0N',Ny,N+4 es la parte magn&ticadel campo electromagn*tico

e'presada en sus tres componentes espaciales $artesianas, y E7 0E',Ey,E+4 es la parte el*ctrica del

mismo campo electromagn*tico"

Z6odemos recuperar las ecuaciones del electromagnetismo de &a'(ell a partir del tensor de Oarada

/a respuesta es a2rmativa, pero para ello necesitamos de la ayuda de dos ecuaciones di)erenciales

adicionales, siendo la primera de ellas la siguiente.

En notacin de la coma utili+ada para simboli+ar derivadas, esta ecuacin se escribe de la manera

siguiente 0aqu no empleamos a la derivada covariante simboli+ada con el semicolon puesto que tod


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lo que est siendo desarrollado aqu pertenece al campo de la Teora Especial de la Relatividad4.

!"#BLE$%. emu&strese que la ecuacin que se acaba de proporcionar nos conduce directamente

principio de la conservacin de la carga el&ctrica#K

,K7 ?"

Escribiendo la relacin con un ligero cambio de notacin, en su )orma e'plcita.

/a condicin matemtica para la conservacin de la carga el*ctrica, #K,K7 ?, requiere que tomemos la

derivada con respecto 'K

, lo cual en con)ormidad con la convencin para ndices repetidos activa lasumacin de t*rminos" Tomando, pues, la derivada con respecto a 'Ken ambos lados de la ecuacin

in embargo, el tensor de Oaraday &7 0OU4 es antisim*trico, o sea que OKP7 5 OPK, lo cual implica a s

ve+ que.

en donde hemos invertido tambi*n el orden de la di)erenciacin dado que en la di)erenciacin ordina

0a di)erencia de lo que ocurre con la derivada covariante4 el orden de la di)erenciacin no altera el

resultado 2nal" 6ero en el lado derecho de la ecuacin los ndices que tenemos son ndices monigote

los cuales podemos renombrar como W, \, ], lo que queramos, siempre y cuando mantengamos la

misma )orma" Aqu simplemente cambiaremos K por P y viceversa.


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/o que tenemos entonces es una e'presin del tipo a 7 5a" 6ero ninguna cantidad puede ser igual al

negativo de la misma, a menos de que esta sea cero" e concluye que el lado i+quierdo de la e'pres

debe ser igual a cero, de-ndonos 1nicamente con.

#K,K 7 ?

que es la condicin para la conservacin de la carga el*ctrica"

!"#BLE$%. -btener la primera le( del electromagnetismo de a/0ell, ^;E7 B_H, a partir del tens

de +arada("

Empe+amos con la relacin dada arriba, escrita en su )orma ms e'plcita.

6oniendo U 7 8 en la e'presin y desarrollando la sumatoria de acuerdo a la convencin de sumaci

para ndices repetidos, tenemos lo siguiente.

6uesto que O887 ?, se ha puesto de color ro-o el primer t*rmino, con lo cual slo nos quedan trest*rminos en el lado i+quierdo de la ecuacin" 6ara mayor claridad, se harn de lado las coordenadas

generali+adas y se escribirn los componentes del tensor de Oaraday en )uncin de las coordenadas

rectangulares $artesianas regulares" ubstituyendo los valores del tensor de Oaraday de con)ormida

con lo que tenemos arriba.

e ha subsitudo el valor correspondiente al primer componente # 8en el B5vectorJ7 0#U4 que como s

de)ini arriba es igual a cH" o nos lleva mucho tiempo identi)icar lo que tenemos en el lado i+quierd

de la ecuacin` se trata de la divergencia del vector de campo el*ctrico E" Entonces lo anterior se

puede simpli2car y escribir como.

^;E7 B_H


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Esta es precisamente la primera ley de &a'(ell que nos describe la divergencia de las lneas de )uer

del campo el*ctrico E para una carga el*ctrica puesta dentro de una super2cie cerrada"

!"#BLE$%. -btener la le( de a/0ell'

a partir del tensor de +arada("

saremos la misma ecuacin di)erencial utili+ada en el problema anterior, esta ve+ poniendo U 7 9,

7 : y U 7 B" Empe+aremos con U 7 9.

6uesto que O997 ?, se ha puesto de color ro-o el segundo t*rmino, con lo cual slo nos quedan tres

t*rminos en el lado i+quierdo de la ecuacin" uevamente, para mayor claridad, se harn de lado las

coordenadas generali+adas y se escribirn los componentes del tensor de Oaraday en )uncin de las

coordenadas rectangulares $artesianas regulares" ubstituyendo los valores del tensor de Oaraday d

con)ormidad con lo que tenemos arriba.

Reacomodando, tenemos nuestra primera relacin.

6rocediendo de la misma manera, obtenemos para U 7 :.


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Oinalmente, para U 7 B, obtenemos.

6ero las tres relaciones obtenidas se pueden simpli2car meti*ndolas en una sola con la ayuda

deloperador rotacionalque consiste en tomar el producto cru+ del operador di)erencial vectorial ^ c

el campo magn*tico y utili+ar las relaciones en el orden requerido para obtener la ecuacin de &a'(

pedida" A partir de su de2nicin, el vector rotacional de2nido sobre un vector %en )uncin de sus tr

componentes espaciales es obtenido mediante el siguiente determinante.

aciendo esto obtenemos la ley de &a'(ell pedida al principio del problema"


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os )altan otras dos ecuaciones de &a'(ell que a1n no hemos obtenido a partir del tensor de Oarad

6ara obtenerlas, necesitamos una segunda ecuacin di)erencial que es la siguiente en )uncin del

tensor dual de )uer+a del campo electromagn*tico 0se muestran tanto la representacin compacta

como la representacin e'plcita4.

Esta ecuacin ciertamente es lo ms compacto que pueda haber resumiendo una gran cantidad de

in)ormacin en unos cuantos smbolos" in embargo, podemos obtener lo mismo mediante otra

ecuacin en la cual utili+amos el tensor de Oaraday covariante de dos, la cual se encuentra con may

)recuencia en los libros de te'to.

En notacin e'plcita la misma )rmula se escribe de la siguiente manera.

M en notacin de componentes recurriendo a la coma para representar la derivada parcial, la )rmul

toma el siguiente aspecto.

!"#BLE$%.A partir del tensor de +arada(, obt&ngase la le( de a/0ell que afrma que la divergen

vectorial de un campo magn&tico cualquiera es igual a cero"

6ara esta demostracin utili+aremos los ndices espaciales del tensor de Oaraday, evitando el uso de

ndice temporal 0el ndice 84" aciendo 79, U 7 : y V 7 B, cualquiera de las 1ltimas tres ecuacione

que se acaban de dar arriba se traducen en lo siguiente.


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Reempla+ando cada uno de los valores de los componentes de acuerdo a su posicin notacional en e

tensor covariante de Oaraday, obtenemos entonces.

o bien.

El lado i+quierdo lo reconocemos de inmediato como la divergencia del vector del campo magn*tico

lo cual se representa de )orma ms compacta con la ayuda del operador di)erencial ^ como.

^;B7 ?

i utli+amos cualquier otra combinacin de ndices que e'cluya al ndice 8, obtendremos e'actamen

el mismo resultado" o cuesta mucho traba-o darse cuenta de que todas las combinaciones posibles

ndices 9, : y B 0no repetidos en un mismo t*rmino4 generan la ley de &a'(ell que a2rma que no ha

monopolos 0cargas!4 magn*ticos, )ormando las lneas del campo magn*tico siempre trayectorias

cerradas" Esta es pues la primera ecuacin que podemos e'traer de la ecuacin di)erencial"

!"#BLE$%. -btener la le( de a/0ell'

a partir del tensor de +arada(.

@bviamente, puesto que la coordenada del tiempo aparece en esta ecuacin, tenemos que involucra


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al ndice 8 en la ecuacin di)erencial dada arriba" na posibilidad es haciendo 78, U 7 9 y V 7 :, co

lo cual tenemos lo siguiente.

Reempla+ando cada uno de los valores de los componentes de acuerdo a su posicin notacional en etensor covariante de Oaraday, obtenemos entonces.

Reacomodando los t*rminos llegamos a lo siguiente.

6robando otras combinaciones de ndices, todas las cuales incluyen al ndice 8, podemos obtener ot

dos ecuaciones.

uevamente, y al igual que como ocurri arriba, las tres relaciones se pueden simpli2car meti*ndola

en una sola con la ayuda del operador rotacional^ aplicado al campo el*ctrico E, obteniendo as laecuacin de &a'(ell pedida"

E'iste otra manera de de2nir la ecuacin di)erencial a partir de la cual podemos obtener del tensor d

Oaraday las 1ltimas dos ecuaciones de &a'(ell que se acaban de demostrar, y esta consiste en utili

el tensor de Oaraday contravariante&7 0OU4 en lugar del tensor de Oaraday covariante" 6ara ello,

partiendo de la de2nicin del smbolo , cuyas componentes en el B5espacio son.


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le subimos el ndice a este smbolo con la ayuda del tensor m*trico con-ugado basado en la m*trica

espacio5tiempo plano.

obteniendo de este modo el smbolo cuyas componentes son.

na ve+ que nos hemos puesto de acuerdo en esto, la ecuacin di)erencial puede ser escrita de la

siguiente manera.

/a venta-a de esta simboli+acin es que podemos escribirla de inmediato con solo observar que losndices de un t*rmino al siguiente siguen un orden de permutacin cclico" /a desventa-a es que

tenemos que ser cuidadosos al momento de reempla+ar los ndices generales por ndices num*ricos

las derivadas parciales" A modo de e-emplo, si usamos la combinacin 7:, U 7 8 y V 7 9, entonces

e'pansin de la e'presin nos d.


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Esto es lo mismo que lo que ya habamos obtenido previamente"

!"#BLE$%. -btener la doble contraccin tensorialOUOU" 12u& conclusin se puede e/traer del

resultado3

i de con)ormidad con la convencin de sumacin para ndices repetidos llevamos a cabo la sumaci

sobre , la primera e'pansin de la e'presin nos producir el siguiente resultado.

/levando a cabo ahora la segunda e'pansin sobre U, obtenemos lo siguiente.

ustituyendo valores.

OUOU7JJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJJ

0?40?4 < 0E8405 E84 < 0E9405 E94 < 0E:405 E:4

< 05 E840E84 < 0?40?4 < 0N:40N:4 < 05 N9405 N94

< 05 E940E94 < 05 N:405 N:4 < 0?40?4 < 0N840N84

< 05 E:40E:4 < 0N940N94 < 05 N8405 N84 < 0?40?4

OUOU7JJJJJJJJJJJJJJJJJ

5 E8F 5 E9F 5 E:F 5 E8F < N:F < N9F

5 E9F < N:F < N8F 5 E:F < N9F < N8F


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OUOU7 90N8F < N9F < N:F4 5 90E8F < E9F < E:F4

OUOU7 90BF 5 EF4

6uesto que tanto BF como EF son escalares, se concluye que la cantidad OUOUes un escalar invarian

de /orent+"

!"#BLE$%. "i aplicamos una rotacin de !orent4 en el $%espacio a un tensor de

+arada(&suponiendo que el movimiento entre los dos marcos de reerencia est limitado a un

movimiento relativo a lo largo del e5e%/ com6n, las componentes 7espaciales8 del campo el&ctricoE

el campo magn&ticoBentre ambos marcos de reerencia estn relacionadas de la siguiente

manera 7la derivacin de las relaciones ue llevada a cabo en la entrada titulada 9Gimnasia de

ndices:8'

E87 E8JJJE97 V0E95 UN:4JJJE:7 V0E:< UN94

N87 N8JJJN97 V0N9< UE:4JJJN:7 V0N:5 UE94

;sando estas relaciones, demostrar que el productoEBes una invariante !orent4iana"

EB 7 E8N8< E9N9< E:N:

EB 7 0E840N84 < V0E95 UN:4V0N9< UE:4 < V0E:< UN94V0N:5 UE94

EB 7 E8N8< VF0E95 UN:40N9< UE:4 < VF0E:< UN940N:5 UE94

EB 7 E8N8< VF0E9N9< UE9E:5 UN9N:5 UFE:N:4

< VF0E:N:5 UE9E:< UN9N:5 UFE9N94

EB 7 E8N8< VF08 5 UF4E9N9< VF08 5 UF4E:N:

EB 7 E8N8< E9N9< E:N:

EB 7 EB


22/72

=e este resultado se puede sacar una conclusin importante" iendo el producto EBuna invariante

/orent+, si el campo el*ctrico Ees perpendicular al campo magn*tico Ben un marco de re)erencia

entonces ambos seguirn siendo perpendiculares en cualquier marco de re)erencia C"

!"#BLE$%. escomponiendo vectorialmente los camposE(Ben sus componentes paralelas (

perpendiculares al e5e del movimiento relativo entre los marcos de reerencia, demostrar que el cam

el&ctrico ( el campo magn&tico no pueden tener una e/istencia independiente el uno del otro"

i descomponemos los campos Ey Ben sus componentes paralelas y perpendiculares al e-e del

movimiento relativo entre los marcos de re)erencia y C, entonces podemos escribir lo siguiente 0s

recurrir aqu a la comilla en lugar de la barra hori+ontal superior para denotar los vectores en el ma

de re)erencia C con el 2n de que no se pueda con)undir la barra hori+ontal superior con la echa

puesta tambi*n encima para simboli+ar la naturale+a vectorial de cada campo4.

Inspeccionando las relaciones puestas al principio del problema anterior, podemos generali+arlas pa

escribir las siguientes relaciones vectoriales vlidas para el campo el*ctrico.

6ara el campo magn*tico tambi*n obtenemos relaciones similares, las cuales di2eren de las del cam

el*ctrico mediante un simple intercambio de un signo dentro del par*ntesis adems del intercambio

las literales E y N.

Estos resultados nos indican que el campo el*ctrico y el campo magn*tico no pueden tener una

e'istencia independiente el uno del otro" n campo el*ctrico puro E0sin la presencia de campo

magn*tico alguno4 en el sistema de re)erencia se trans)orma en campos el*ctrico y magn*tico en

sistema de re)erencia C" 6ero no e'iste velocidad alguna menor que la velocidad de la lu+ que perm

la e'istencia de un campo magn*tico puro Ben el sistema de re)erencia C" En pocas palabras, si e'


23/72

un marco de re)erencia /orent+iano en el cual el campo sea completamente el*ctrico, es imposible

encontrar otro marco de re)erencia /orent+iano en el cual el campo sea completamente magn*tico"

este modo, as como el espacio y el tiempo han de-ado de tener una e'istencia independiente el uno

del otro 0matemticamente hablando4 y han sido uni2cados en un B5vector como un solo concepto,

del espacio5tiempo, del mismo modo el campo el*ctrico y el campo magn*tico tampoco tienen una

e'istencia independiente el uno del otro, habiendo sido uni2cados ba-o el tensor de Oaraday" Esta es

2n de cuentas la ra+n de ser del tensor de Oaraday, el llevar a cabo a su m'imo la uni2cacin de la

leyes del electromagnetismo"

umando vectorialmente las componentes paralelas y perpendiculares de cada campo y simpli2can

podemos demostrar que la trans)ormacin generalde los campos el*ctrico y magn*tico est dada p

las siguientes relaciones.

uevamente, estas relaciones demuestran que Ey Bno tienen e'istencia independiente" n campo

puramente el*ctrico o puramente magn*tico en un sistema de re)erencia aparecer como una me+c

de ambos en cualquier otro sistema de re)erencia" =e este modo, en ve+ de hablar separadamente d

campo el*ctrico Ey del campo magn*tico B, ms apropiadamente uno debe de hablar del campo

electromagn&ticoOU

Electrodinmica relativista II

Aunque este tema correponde ms bien a la Teora Especial de la Relatividad que a la Relatividad

General, se ha puesto aqu siguiendo no slo la metodologa pedaggica que indica que los temas

deben ser puestos en orden ascendente de difcultad sino tomando en cuenta el hecho de que el





El tensor de Oaraday &tiene otras aplicaciones adems de las que ya hemos visto previamente" na

ellas consiste en utili+arlo para de2nir dentro del mbito de la electrodinmica clsica la densidad d

fuerza de Lorentzo $%uer4a electromagn&tica de in


24/72

Esta de2nicin se basa en la de2nicin del siguiente B5vector 0contravariante4 densidad de corriente

J7 0#4 7 0cH,J4 7 0cH, #', #y, #+4

6uesto que es la e'presin covariantedel tensorJla que es utili+ada en la de2nicin de la densidad

)uer+a de /orent+, necesitamos ba-ar el ndice con la ayuda del tensor m*trico gque corresponde a

m*trica de la Teora Especial de la Relatividad.

0#4 7 0gK#K4 7 0cH, 5 #', 5 #y, 5 #+4 7 0cH, 5J4

!"#BLE$%. emostrar que la densidad de la uer4a !orent4 es igual a un $%vector con los siguient

componentes temporal ( espacial'

6ara U 7 8 0componente temporal4 la de)inicin de la )uer+a de /orent+ nos proporciona lo siguiente

6uesto que O880puesto en ro-o4 es igual a cero, ello nos de-a 1nicamente tres t*rminos cuya

substitucin nos resulta en lo siguiente.

6ara U 7 9 0primer componente espacial4 la de)inicin de la )uer+a de /orent+ nos proporciona lo

siguiente.


25/72

ubstituyendo valores y haciendo uso de la de2nicin del producto cru+ de dos vectores, tenemos

entonces.

6rocediendo de id*ntica manera, obtenemos las otras dos componentes espaciales de Uque resulta

ser.

#untando los cuatro resultados obtenidos obtenemos as la e'presin que desebamos demostrar pala B5densidad de )uer+a de /orent+"

ablando en t*rminos generales, las )uer+as dinmicas, las )uer+as en movimiento, no tienen cabida

dentro de la Teora de la Relatividad, y esto se aplica no solo a la atraccin de la gravedad que es

generada no como resultado de una )uer+a de atraccin de un cuerpo sobre otro sino como resultad

del campo con el cual un cuerpo genera en torno suyo una curvatura en el espacio5tiempo` se aplica

tambi*n a los )enmenos el*ctricos y magn*ticos" Lui+ la ley ms bsica que podamos encontrar e

la electroesttica es la le' de +oulomb, pre5relativista, que nos dice en similitud con la ley de

gravitacin universal de e(ton. dos cuerpos cargados el*ctricamente se atraen en proporcin

directa del producto de sus cargas y en ra+n inversa del cuadrado de la distancia que los separa!"Esta ley, e'presada matemticamente en unidades del sistema &S 0metro5%ilogramo5segundo4 tien

la siguiente )orma.


26/72

El problema esencial con la ley de $oulomb, al igual que el problema con la ley de la gravitacin

universal de e(ton, es que estn basadas en el concepto de la accin a distancia!, el cual supone

que entre dos cuerpos que estn separados una distancia que 0tericamente4 podra ser medida en

miles de millones de %ilmetros e'iste una )uer+a invisible que los conecta instantneamente" En

principio, si uno de los cuerpos es ale-ado del otro, la )uer+a entre ambos cambia instantneamente

sin que el lmite natural impuesto por la velocidad de la lu+ presente obstculo alguno para la acci

distancia! instantnea" En la ley de $oulomb no aparece la velocidad de la lu+, e inclusive ni siquiera

aparece el tiempo como )actor limitante a la variacin de la )uer+a de atraccin o repulsin

electroesttica" Esto signi2ca que si ponemos a una carga el*ctrica en movimiento sus e)ectos sobre

todas las dems cargas el*ctricas del niverso ser transmitido instantneamente, lo cual por s sol

despierta sospechas y dudas"

/as limitaciones impuestas por la ley de $oulomb para el anlisis de las cargas el*ctricas en

movimiento pueden ser superadas con la ayuda de las leyes del electromagnetismo de &a'(ell, las

cuales son relativsticamente correctas" Esto requiere el abandono de2nitivo del concepto $oulombia

de la )uer+a el*ctrica de atraccin o repulsin entre dos cargas el*ctricas! substituy*ndolo por el

concepto delcampogenerado por dichas cargas" A continuacin tenemos dos cargas, una carga

positiva de dos unidades 0q 7


27/72

A continuacin tenemos dos simulaciones de )otogra)as instantneas! con varias cargas el*ctricas

signos diversos cercanas unas a las otras, en las cuales podemos ver la manera en la cual interact1aentre s los campos de dichas cargas.


28/72

=el anlisis de las cargas el*ctricas puntuales 0suponiendo toda la carga el*ctrica concentrada en un

punto4 en movimiento, con la ayuda de las ecuaciones de &a'(ell se pueden obtener no sin poco

es)uer+o los potenciales Li)nard(,iec-ertque describen el e)ecto electromagn*tico clsico de u

carga el*ctrica en movimiento en t*rminos de un campo potencial vectorial %y un potencial escalarEs importante sealar que los potenciales /i*nard5iechert preceden a la Teora de la Relatividad, lo

cual e'plica las di2cultades empleadas en obtener clsicamente dichos potenciales a partir de las le

de &a'(ell sin el bene2cio de la 2loso)a relativista"

6ara obtener el campo el*ctrico Eproducido por una carga en movimiento, podemos recurrir al

procedimiento pre5relativista partiendo de los potenciales /i*nard5iechert" @ podemos utili+ar en

nuestra venta-a los resultados obtenidos con la ayuda de la Teora de la Relatividad a trav*s del tens

de Oaraday" Ma vimos en una entrada previa que cuando sometemos al tensor de Oaraday &a una

trans)ormacin de /orent+, los tres componentes del campo el*ctrico original E7 0E8,E9,E:4 y del cam

magn*tico original B7 0N8,N8,N:4 estn relacionados con los componentes de los campos ya

trans)ormados E7 0E8,E9,E:4 y B7 0N8,N9,N:4 mediante las siguientes relaciones.

E87 E8JJJE97 V0E95 UN:4JJJE:7 V0E:< UN94


=e con)ormidad con la 2loso)a relativista, en ve+ de considerar la )uer+a el*ctrica descrita por ley d

$oulomb consideraremos el campo el&ctricoEgenerado por una carga puntual en reposoa una

distancia r de dicha carga, de2nido de la siguiente manera 0 res el vector radial, de magnitud variab

r4.


29/72

Estamos interesados en obtener el campo el*ctrico generado por esta carga tal y como sera visto p

un observador situado en un sistema de re)erencia C en movimiento relativo con respecto al sistem

de re)erencia dentro del cual la carga el*ctrica est en reposo, un sistema que se mueve a una

velocidad uni)orme a lo largo del e-e5'8de " 6or conveniencia, consideraremos el campo electrico

medido por el observador en C cuando los orgenes de ambos marcos de re)erencia coinciden, y

designaremos a este instante t 7 tC 7 ?"

6uesto que una carga el*ctrica en reposo no genera campo magn*tico alguno, B7 ? en el sistema d

re)erencia , o sea que todas las componentes de Bdeben ser iguales a cero" Entonces las ecuacion

de trans)ormacin de a C nos dicen que debemos tener lo siguiente.

E87 E8JJJE97 V0E95 UN:4 7 VE9JJJE:7 V0E:< UN94 7 VE:

En el momento t 7 tC 7 ?, las coordenadas son por trans)ormacin inversa de /orent+.

'87 V'8JJJ'97 '9JJJ':7 ':

/a distancia radial rdel punto de origen en donde est centrada la carga el*ctrica al punto de

observacin 0o medicin4 est dada entonces por la siguiente relacin.

=e este modo, las componentes del campo el*ctrico generadas por la carga el*ctrica en movimiento

0al estar en el sistema de re)erencia C4 sern.

o bien, -untando las tres componentes en un solo vector E.


30/72

En el sistema de re)erencia C la proyeccin del vector posicinrde la carga en movimiento sobre e

e-e5'8ser.

'87 r cos G

M del mismo modo.

rF 7 0'84F < 0'94F < 0':4F

Entonces.

0'94F < 0':4F 7 rF senF G

6or lo tanto.

0V'84F < 0'94F < 0':4F 7 VF rF cosF G < rF senF G

0V'84F < 0'94F < 0':4F 7 rF VF cosF G < senF G

0V'84F < 0'94F < 0':4F 7 rF cosF GD08 5 UF4 < senF G

0V'84F < 0'94F < 0':4F 7 rF cosF G < senF G 5 UF senF GD08 5 UF4

0V'84F < 0'94F < 0':4F 7 VF rF 8 5 UF senF G

$on esto, el vectordel campo el*ctrico de la carga en movimiento resulta ser.

en donde res un vector radial unitario apuntando radialmente hacia a)uera 0o hacia adentro4 de la

carga puntual" Esto lo podemos escribir tambi*n de la siguiente manera.


31/72

Este es el mismo resultado, pre5relativista, obtenido laboriosamente a partir de los potenciales

de2nidos en partes primero por Al)red5&arie /i*nard en 8ff e independientemente por Emil ieche

en 8??"

@tro resultado que podemos obtener desde la ptica relativista con lo que ya hemos visto es la le'

Biot(.avartque nos proporciona la induccin magn*tica Bproducida por un alambre in2nitamente

largo que transporta una corriente el*ctrica.

$lsicamente, para obtener la ley que nos proporciona la magnitud de Ba cierta distancia0perpendicular4 al hilo conductor, primero subdividimos el hilo en segmentos in2nitesimales de

longitud.


32/72

y llevando a cabo una integracin sobre la contribucin in2nitesimal d Bal campo producida por cad

elemento in2nitesimal de corriente.

B7 dB

obtenemos la siguiente e'presin.

6ara obtener este mismo resultado por la va de la relatividad, suponemos primero un hilo cargado

el*ctricamente acomodado a lo largo del e-e5'8de , de modo tal que la distribucin de cargas

el*ctricas sobre el hilo estar en reposo para un observador situado -usto a un lado del hilo en el

sistema de re)erencia " 6ero si ponemos al hilo de cargas en movimiento longitudinal con respecto

nosotros 0o bien si nos despla+amos paralelamente al e-e a velocidad constante4 poni*ndonos as en

sistema de re)erencia C, entonces para nosotros el hilo tendr el equivalente real de una corriente

el*ctrica" i hay una densidad uni)orme de carga lineal H a lo largo del hilo en , entonces en cualqu

elemento in2nitesimal de longitud d'8habr una carga el*ctrica Hd'8" =e acuerdo con la ley de la

conservacin de la carga el*ctrica, hay una cantidad igual de carga contenida en el intervalo d' 8ensistema de re)erencia que est* en movimiento relativo con respecto a , con lo cual.

H d'87 H d'8

6uesto que en el sistema de re)erencia no hay campo magn*tico alguno al estar las cargas en


33/72

reposo, si tomamos las relaciones dadas arriba.


tenemos entonces.

N87 N8JJJN97 VUE:JJJN:7 5 VUE9

6or lo tanto, el campo magn*tico dBdebido a un elemento de carga mvil Hd'8en C ser.

$on las relaciones obtenidas por la va del tensor de Oaraday tenemos entonces.

sando lo que hemos visto con anterioridad para el caso de una carga el*ctrica individual en

movimiento, llegamos a lo siguiente.

o bien.

En )orma similar a como ocurre en la derivacin clsica 0pre5relativista4 de la ley de Niot5avart,

obtenemos el campo total Bintegrando esta 1ltima e'presin sobre la longitud total 0in2nita4 de la

distribucin de cargas.

B7 dB


34/72

/levando a cabo la integracin por los procedimientos usuales del clculo.

En el sistema de re)erencia C, la magnitud de la corriente es.

I 7 HUc

mientras que la distancia 0perpendicular4 desde la lnea de cargas mviles 0el e-e '84 hasta un punto

una distancia r?es.

$ombinando lo que hemos obtenido, tenemos entonces la e'presin 2nal para B, que es.

N 7 9IDcr?

Esta es precisamente la ley Niot5avart"

/as predicciones hechas por estas leyes, )ormuladas antes del arribo de la Teora de la Relatividad, s

relativsticamente e'actas, y no requieren de modi2cacin alguna que tome en cuenta la velocidad

las cargas, sobre todo para velocidades cercanas a la velocidad de la lu+"

/o que hemos visto ha establecido una cone'in entre el electromagnetismo de &a'(ell y la Teora

Especial de la Relatividad" 6ero no hemos establecido ninguna cone'in entre el electromagnetismo

la Relatividad Qeneral" Esto lo podemos hacer en cierta )orma a trav*s del tensor energa5tensin co

lo veremos a continuacin"

El tensor energa5tensin /de las ecuaciones de campo de la Relatividad Qeneral es e'traordinario


35/72

el sentido de que incluye todas las energas posibles habidas y por haber. la energa equivalente de

una masa, la energa t*rmica, la energa de rotacin, la energa de movimiento lineal, la energa de

enlace entre dos tomos, la energa de enlace nuclear` y desde luego, la energa electromagn*tica"

la energa que estamos considerando es energa electromagn*tica pura, el tensor que empleamos p

estos casos es el tensor electromagn)tico energ0a(tensi1notensor electromagn)tico energ

momentum, el cual puede ser de2nido de la siguiente manera.

na ligera variante de la )rmula se obtiene llevando a cabo la subida del ndice K como lo indica la

contraccin de OK\con el tensor gK, aunque esto nos resulta en la p*rdida de la simetra que e'hibe

los dos t*rminos dentro del par*ntesis.

Esta de2nicin est basada en el tensor de +arada(&que ya vimos previamente, y en el tensor

m*trico con-ugado g(27 0gKP4 para el espacio5tiempo /orent+iano de2nido aqu como ya lo hemos vis

previamente.

g887 8JJJg997 g::7 gBB7 5 8

gi-7 ?JJJpara i -

!"#BLE$%. -btener los componentes del tensor electromagn&tico energa%tensin/a partir de la

defnicin dada anteriormente"

Empe+aremos con el componente T88, para lo cual hacemos las substituciones 7 U 7 8 en la

de2nicin del tensor energa5tensin /para el campo electromagn*tico.

6uesto que la m*trica es diagonal, en el primer t*rmino dentro de los par*ntesis el 1nico valor de K

para el cual g8Kno ser cero es K 7 8" 6or otro lado, en el segundo t*rmino tenemos la doble

contraccin OUOUdel tensor de Oaraday, la cual ya vimos previamente que nos produce la e'presin


36/72

90BF 5 EF4" E'pandiendo la sumatoria que nos resulta en el primer t*rmino de acuerdo con la

convencin de sumacin para ndices repetidos, despu*s de haber puesto g 887 8, tenemos entonce

A continuacin, substitumos cada uno de los elementos tomndolos tanto del tensor de Oaraday en

)orma contravariante OUcomo del tensor de Oaraday en su )orma covariante OU, obteniendo con est

0se recuerda aqu nuevamente que los sub5ndices num*ricos dados a las tres componentes espacia

tanto del campo el*trico Ecomo del campo magn*tico Bno tienen relacin directa con los ndices

num*ricos empleados para identi2car a las componentes del tensor electromagn*tico energa5

tensin /, al igual que como ocurre en el caso del tensor de Oaraday &4.

impli2cando con el hecho de que EE7 EF 7 E'F < EyF < E+F 7 E8F < E9F < E:F.

Oinalmente llegamos a lo siguiente.

$omo se ha destacado con la simboli+acin en color a+ul, el componente T 88resulta ser una e'presi

muy importante que encontramos en los cursos introductorios de la electrodinmica clsica mucho


37/72

antes de que se tenga conocimiento alguno de lo que es un tensor" e trata de ladensidad de

energ0a del campo electromagn)tico, la energa del campo electromagn*tico por unidad de

volumen" Esta cantidad puede considerarse como una especie de energa potencial" /a cantidad =

0una integral volum*trica4 es considerada usualmente como la energa del campo electromagn&tico

concepto de una energa almacenada en un campo en lugar de residir dentro de una partcula es un

concepto bsico del campo electromagn*tico, y se corresponde" El componente T88se corresponde c

lo que ya habamos visto previamente cuando identi2camos el componente T 88en el mbito de la

Relatividad Qeneral como la densidad de masa5energa H"

A continuacin, llevaremos a cabo la evaluacin del componente T89repitiendo los pasos que

acabamos de e)ectuar, haciendo 7 8 y U 7 9 en la de)inicin del tensor electromagn*tico energa5

tensin.

6uesto que g89es igual a cero, se ha destacado de color ro-o indicndose as con ello que se llevar acabo la eliminacin del segundo t*rmino, de-ndonos 1nicamente con.

/levamos a cabo la e'pansin de la sumatoria de acuerdo con la convencin de sumacin, destacan

de antemano los componentes del tensor de Oaraday que son iguales a cero.

ubstituyendo los valores de cada componente de los tensores de Oaraday covariante y contravarian

que se requieren en este caso, tenemos lo siguiente.


38/72

En la tercera lnea se ha e)ectuado una conversin de los ndices num*ricos a las coordenadas

espaciales $artesianas para que sea ms claro lo que se va a llevar a cabo" /a )orma del t*rmino en

los par*ntesis es la misma que la de un producto cru+, cuyos componentes en coordenadas

rectangulares re)eridas a un triplete de vectores unitarios de base i,jy k, tiene la de2nicin usual q

se le d al producto cru+ mediante el determinante de la siguiente matri+.

En base a esto, podemos ver que la componente producida por el producto cru+ corresponder al

vector ExBque apunta a lo largo de la coordenada espacial '97 ', o sea.

6rocediendo de modo similar, obtenemos las otras dos componentes que corresponden a los

elementos espaciales del tensor /colocados a lo largo del primer rengln en su representacin

matricial, los cuales apuntan a lo largo de las coordenadas espaciales ' :7 y y 'B7 + respectivamen

=e igual manera, se puede veri2car que las tres componentes que corresponden a los elementos

espaciales del tensor /colocadas a lo largo de la primera columna son las siguientes.


39/72

6ara obtener esto 1ltimo, no es necesario llevar a cabo las evaluaciones detalladas a partir de la

de2nicin, porque el tensor electromagn*tico energa5tensin de la electrodinmica /, al igual que e

tensor energa5tensin /de la Relatividad Qeneral, es sim&trico"

A esto 1ltimo podemos darle una interpretacin )sica inmediata apelando a la de2nicin del vector

>o(nting., el cual en unidades Qaussianas est dado por la relacin.

El vector de 6oynting nos e'presa el ?u5o de energa electromagn&tica a trav&s del espacio libre, y n

proporciona la cantidad de energa electromagn*tica que est pasando a trav*s de una super2cie po

unidad de rea por unidad de tiempo"

abiendo determinado las componentes que corresponden al primer rengln y a la primera columna

la matri+ que representa al tensor electromagn*tico energa5tensin, si borramos el el primer rengl

la primera columna de la matri+ nos queda una sub5matri+" Esta sub5matri+, con un signo negativo

antepuesto, es me-or conocida como el tensor de tensi1n de $ax3ell0&a'(ell stress tensor4, lacual podemos representar como T&" A continuacin procederemos a determimar el elemento T9:qu

corresponde a esta sub5matri+ de acuerdo a la de2nicin del tensor completo /dada arriba"

E'pandiendo la sumatoria de acuerdo a la convencin de sumacin.


40/72

A continuacin, substitumos los componentes del tensor de Oaraday covariante y contravariante en

esta e'presin, pero para evitar una posible con)usin de los sub5ndices num*ricos empleados en la

designacin de los componentes de Ey Bcon los ndices del tensor emplearemos la notacincorrespondiente a las coordenadas rectangulares $artesianas.

6rocediendo de modo seme-ante, obtenemos lo siguiente.

Ahora evaluaremos el componente T99que corresponde a una de las entradas diagonales del tensor

tensin de &a'(ell.

En el primer t*rmino, la e'pansin de la sumatoria sobre K slo es e)ectiva para K 7 9 en virtud de q

para cualquier otro valor g9Kes igual a cero" acndolo )uera del par*ntesis y substituy*ndolo por su

valor g997 58 tenemos entonces.

@bs*rvese con atencin que no hemos puesto K 7 9 en el segundo t*rmino, en virtud de que los

ndices no son ndices libres sino ndices monigote al llevar a cabo la doble sumatoria sobre ambos


41/72

ndices como lo requiere la convencin de sumacin"

El segundo t*rmino nos debe resultar )amiliar, ya que en un problema anterior se demostr que la

e'presin OUOUes igual a 90BF 5 EF4" ubstituyendo este resultado y llevando a cabo la sumacin en

primer t*rmino tenemos entonces.

ubstitumos ahora los componentes de los tensores de Oaraday covariante y contravarianteempleando en los sub5ndices de los componentes 0espaciales4 de los campos Ey Bla notacin usua

de coordenadas rectangulares $artesianas para obtener as.

6uesto que.

NF 7 N'F < NyF < N+F

N'F 5 NF 7 5 N+F 5 NyF

tenemos entonces.

lo cual podemos simpli2car llegando a la siguiente relacin.


42/72

6rocediendo de igual )orma, encontramos que los componentes T::y TBBson los siguientes.

Tenemos ya pues los elementos que )orman parte de la sub5matri+ :': que constituye el tensor tens

de &a'(ell"

o cuesta mucho traba-o veri2car que los resultados que acabamos de obtener se pueden obtener

tambi*n mediante la siguiente )rmula.

en la cual i 7 8, 9, : y - 7 8, 9, :" !os ndices num&ricos en esta 6ltima rmula no son los ndices de

tensor energa%tensin del campo electromagn&tico, son los ndices que corresponden e identifcan los elementos de la representacin matricial del tensor tensin de a/0ell"

/a seleccin de componentes a ser utili+ados depender de cada situacin en particular, como lo

demuestra el siguiente e-emplo"

!"#BLE$%. @onstrur la representacin matricial del tensor tensin de a/0ell para el caso en el

cual tenemos un campo el&ctrico esttico"

En este caso, el campo magn*tico B7 ? y los elementos de la matri+ se reducen a los siguientes.


43/72

/os resultados que hemos obtenido para el tensor energa5tensin del campo electromagn*tico sepueden resumir de la siguiente manera.

=e este modo, si tomamos los elementos principales comunes del tensor electromagn*tico energa5

tensin /agrupndolos de acuerdo con el signi2cado com1n que se les puede dar, tenemos los

siguientes cuatro sub5grupos.

En )orma similar a como ocurre con el tensor energa5tensin /de la Relatividad Qeneral, el elemen

TKPdel tensor electromagn*tico energa5tensin se puede interpretar como el )lu-o de la K5componen

del B5momentum !7 06K4 del campo electromagn*tico a trav*s del hiperplano'P7 constante, y

representa la contribucin del electromagnetismo a la )uente del campo gravitacional en la Relativid

Qeneral"

6odemos representar los sub5bloques de los que consta el tensor electromagn*tico energa5tensin

usando la de2nicin de la densidad del momentum del campo electromagn&ticogdada en )uncin d

vector de 6oynting 0no se con)unda con el smbolo utili+ado para representar al tensor m*trico4.


44/72

$on esto, la representacin en sub5bloques del tensor /7 0TU4 es.

&ediante un poco de gimnasia de ndicespodemos obtener las siguientes representaciones

equivalentes del tensor electromagn*tico energa5tensin.

!"#BLE$%4emostrar que el tensor energa%tensin del campo electromagn&tico tiene una tra4a cero"

/a tra+a del tensor /la obtenemos sumando los elementos de la diagonal principal de su

representacin matricial 0aqu usaremos la convencin de sumacin con los ndices repetidos4.

tr j/k 7 TKK

tr j/k 7 T88< T99< T::< TBB

Ma vimos arriba que el componente T88es =, la densidad de energa del campo electromagn*tico, co

cual.

tr j/k 7 =< T%%


45/72

en donde hemos representado 0recurriendo nuevamente a la convencin de sumacin empleando

ndices repetidos4 como T%%a la suma de los componentes espaciales diagonales del tensor /" 6uest

que tenemos que llevar a cabo la suma de T 99< T::< TBB, los agruparemos aqu nuevamente en

preparacin para la adicin de los mismos.

Tenemos entonces.

aciendo uso del hecho de que.

EF 7 E'F < EyF < E+F

NF 7 N'F < NyF < N+F

podemos sumar las columnas! para obtener entonces.

lo cual se reduce 2nalmente a.


46/72

y dado que.

conclumos entonces que.

tr j/k 7 ?

$on el tensor energa5tensin del campo electromagn*tico /en nuestras manos, si queremos saber

cmo un campo electromagn*tico puede producir una curvatura en el espacio5tiempo todo lo que

tenemos que hacer es substiturlo en las ecuaciones de campo de la Relatividad Qeneral" i el tenso

energa5tensin /en cierta regin del espacio5tiempo tiene como 1nicas componentes las que

corresponden al campo producido por un campo electromagn*tico en el espacio libre siendo por lo

tanto el tensor electromagn*tico energa5tensin, entonces las ecuaciones de campo de Einstein son

conocidas como las ecuaciones Einstein($ax3ellse pueden escribir en notacin de componente

de la siguiente manera 0la adicin de la la permeabilidad magn*tica K?se ha e)ectuado aqu con el

propsito de que la e'presin sea dimensionalmente correcta en el sistema internacional de unidade

I4.

i la constante cosmolgica del niverso es puesta igual a cero 0 7 ?4 como termin haci*ndolo

Einstein, las ecuaciones Einstein5&a'(ell se reducen a.


47/72

En principio, de acuerdo con esto 1ltimo y aunque los e)ectos son insigni2cativamente min1sculos, e

campo electromagn*tico tiene la capacidad para provocar una curvatura en el espacio5tiempo" 6ues

que un )otn de lu+ es esencialmente un corp1sculo de energa electromagn*tica, el torrente de

)otones con los cuales el ol est baando constantemente a la Tierra permitiendo que la vida ore+

en nuestro planeta tiene la capacidad para producir en con-unto una pequesima curvatura en el

espacio5tiempo" En pocas palabras, la luz puede provocar los efectos t0picos de una atracci1n

gravitatoria" Esta es una conclusin sorprendente, no prevista por la ley de la gravitacin universa

de e(ton, tomando en cuenta que ni en los tiempos de e(ton ni en los tiempos modernos de hoy

considera que el )otn pueda tener masa alguna" A un )otn se le puede asignar una masa! en

)uncin de su energa E 7 h) y en base a la equivalencia relativista E 7 mcF, pero carece de masa en

reposo" Esto signi2ca que, ni ms ni menos, algo que carece de masa puede e5ercer una atraccin

gravitatoria a causa de la curvatura que provoca en el espacio%tiempo"

Electrodinmica relativista III

Aunque este tema correponde ms bien a la Teora Especial de la Relatividad que a la Relatividad

General, se ha puesto aqu siguiendo no slo la metodologa pedaggica que indica que los temasdeben ser puestos en orden ascendente de difcultad sino tomando en cuenta el hecho de que el





El tensor de Oaraday &, tan importante para el tratamiento tensorial dado a la electrodinmica clsic

puede ser a su ve+ de2nido en t*rminos de un potencial electromagn*tico %utili+ndolo como punt

de partida, a manera de a'ioma o postulado Euclideano, para el desarrollo de todo lo dems" /a

de2nicin del tensor de Oaraday en su )orma covariante sobre esta base es la siguiente.

El potencial electromagn*tico %es, desde luego, un tensor, cumpliendo con la de2nicin bsica de u

tensor.

!"#BLE$%. emostrar que, ba5o una transormacin de coordenadas al pasar de un sistema de

reerencia " a otro sistema de reerencia "#, la defnicin del tensor de +arada(&en uncin del
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potencial electromagn&tico%cumple con la defnicin undamental de un tensor"

En el sistema de re)erencia C, la de2nicin covariante del tensor de Oaraday &, si es que ha

permanecido realmente invariante en )orma, debe tener el siguiente aspecto.

6uesto que %es un tensor, lo podemos substitur aqu por su de2nicin tensorial bsica.

=esarrollando y simpli2cando tenemos entonces.

/o 1ltimo es precisamente la de2nicin de un tensor covariante de orden dos" e concluye que el

tensor de Oaraday, de2nido en t*rminos del potencial electromagn*tico %, es un tensor"

iendo el tensor de Oaraday &un tensor, en el pleno sentido de la palabra, podemos tomar laderivada covariantede dicho tensor, lo cual nos introduce los smbolos de $hristoel de la siguiente

manera 0como siempre, usamos el semicolon para denotar la derivacin covariante y la coma para

denotar la derivacin ordinaria4.

OU`V7 OU,V5 KVOKU5 KUVOK


49/72

e vuelve necesario advertir aqu que la re)ormulacin tensorial de las leyes de la electrodinmica d

&a'(ell slo es vlida para las leyes de &a'(ell en el vaco, o sea para campos electromagn*ticos

propiamente dichos, conocidas tambi*n como las leyes microscpicas! de &a'(ell" 6ara las leyes

macroscpicas! de &a'(ell aplicadas a materiales de todo tipo, la presencia de dichos materiales

establece un marco de re)erencia 2-o con lo cual las leyes de-an de ser covariantes" /as ecuaciones

&a'(ell para el campo electromagn*tico macroscpico en la materia pueden ser deducidas de las

ecuaciones de &a'(ell postuladas para el campo electromagn*tico microscpico" /a inuencia de la

materia es lo que d origen a una densidad de carga el&ctrica microscpicay a una densidad de

corriente el&ctrica microscpica" $omo tales, los electrones producen cambios espaciales rpidos en

campo electromagn*tico"

El tensor de Oaraday es utili+ado tanto en el estudio de los campos electromagn*ticos como de las

cargas el*ctricas en movimiento" 6ara que las )ormulaciones tensoriales puedan ser covariantes,

invariantes en )orma al pasar de un sistema de re)erencia a otro sistema de re)erencia C, es

necesario re)ormular las variaciones con respecto al tiempo en )uncin del tiempo propio 0local4

medido por un observador situado en el sistema en reposo, y se vuelve necesario re)ormular tambi*

las de2niciones dadas clsicamente en el :5espacio Euclideano de modo tal que puedan ser

enunciadas en )uncin de B5vectores" n buen e-emplo de ello lo tenemos en la ecuacin de /orent+

para una carga el*ctrica en movimiento" $lsicamente, el campo el*ctrico Eest dado en )uncin de)uer+a de atraccin 0o repulsin4 &Eque act1a sobre una carga de prueba situada a cierta distancia d

la carga puntual que est generando dicho campo, mientras que la )uer+a &Bque act1a sobre una

carga en movimiento cuando est via-ando dentro de un campo de induccin magn*ticaBest dada

)uncin del producto cru+ de la velocidad ude la carga y la intensidad Bdel campo magn*tico"

/a )uer+a total &que act1a sobre la carga ser igual a la suma vectorial de &Ey de &B.

6uesto que, clsicamente, la )uer+a dinmica actuando sobre una partcula es por de2nicin igual al

cambio en su cantidad de movimiento, dpDdt, el lado i+quierdo de la e'presin anterior lo podemos

escribir de la siguiente manera.

Esta es la ecuaci1n de fuerza de Lorentz, una e'presin clsica pre5relativista, vlida en el :5


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espacio $artesiano 1nicamente para velocidades su2cientemente ba-as en comparacin con la

velocidad de la lu+" amos a tratar ahora de re)ormular esta 1ltima ecuacin para que sea covariant

invariante ba-o trans)ormaciones de /orent+" Antes de continuar, es importante aclarar de antemano

que un postulado esencial en la electrodinmica relativista es el de la invariancia de la carga el&ctri

o sea que la carga el*ctrica de una partcula es una cantidad cuya magnitud no cambia, se conserva

absolutamente sin variar al pasar la partcula de un sistema de re)erencia a otro" /a invariancia de la

carga ba-o trans)ormaciones de /orent+, o ms concretamente, la independencia de la velocidad de

carga observada de una partcula, es algo establecido e'perimentalmente que no resulta de teora

alguna"

En la ecuacin de )uer+a de /orent+, el momentum pde la partcula consta de tres componentes.

p7 0p', py, p+4

i este momentum p)orma parte de un B5vector, tal vector no puede ser otro ms que el B5vector

energa5momentum !que ya hemos estudiado con anterioridad.

!7 0p4 7 0p8, p4 7 0EDc, p', py, p+4

6ero el B5momentum relativista !es simplemente el producto de la masa propia mopor cada una de

las componentes de la B5velocidad U7 04 de la Teora Especial de la Relatividad, o sea.

!7 0mo8, moU4 7 mo

i usamos el tiempo propio 0local4 en lugar del tiempo absoluto t para la di)erenciacin, entonces l

ecuacin de )uer+a de /orent+ puede ser escrita de la siguiente manera para el B5espacio.

El lado i+quierdo lo podemos poner tambi*n en )uncin de la B5velocidad U7 04.

6odemos introducir adems el tensor de Oaraday &para escribir de este modo ambos lados de la B5

)uer+a de /orent+ en notacin tensorial de componentes.


51/72

Ambos lados de esta e'presin estn escritos en )uncin de la B5velocidad U" i queremos escribirlo

en )uncin de la B5posicin, entonces la e'presin resultante es la siguiente.

!"#BLE$%. e la defnicin bsica del $%vector densidad de corrienteJ.

J7 0cH,J4

podemos ver que la carga el&ctrica total 2en cualquier marco de reerencia es'

en donde la integracin m6ltiple se e/tiende sobre una hipersuperfcie t constante. "i defnimos

a ncomo un vector unitario normal a esta hipersuperfcie, demostrar que'

En un :5espacio Euclideano, el :5vector n7 0n8, n9, n:4 es un vector unitario normal 0perpendicular4

un elemento de una 95super2cie d, de modo tal que el?u5o

de un vector%

a trav*s de dichasuper2cie es.

%; d.7 %; nd 7 0A8, A9, A:4 ; 0n8, n9, n:4 d

7 0A8n8< A9n9< A:n:4 d 7 And

En el B5espacio relativista, el u-o netoa trav*s de una :5super2cie quedar de2nida de la misma

manera, como And" i en el 95espacio tenemos que llevar a cabo una doble integracin para cada

seccin de super2cie atravesada por el campo vectorial %, en el :5espacio tenemos que llevar a cab

una triple integracin para cada :5super2cie" i llevamos a cabo la evaluacin de la integral del

vectorJ7 0#4 sobre una super2cie, entonces el u-o totalcuando la integracin se lleva a cabo sobr

una hipersuper2cie t 7 constante est dado por.


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@bviamente, las 1ltimas tres integrales se desvanecen al llevarse a cabo las integraciones sobre una

hipersuper2cie t 7 constante" Esto nos produce la e'presin que se deseaba demostrar para la

obtencin de la carga el*ctrica total L en un B5espacio relativista"

asta aqu hemos visto que un campo el*ctrico Ey un campo magn*tico Bno poseen una e'istenci

verdaderamente independiente ni poseen separadamente cada uno de ellos una invariancia/orent+iana, y hemos visto que ambos son a su ve+ meros componentes del tensor de Oaraday &, el

cual ses una invariante de /orent+, el cual es la descripcin invariante de los campos

electromagn*ticos dentro de la Teora de la Relatividad" emos anali+ado, desde el punto de vista

relativista, lo que ocurre cuando consideramos una carga el*ctrica que est en reposo en un marco

re)erencia y que vista desde otro marco de re)erencia se encuentra en movimiento" Tambi*n hemos

estudiado cmo una lnea in2nitamente larga cargada el*ctricamente, si es vista por un observador

movi*ndose a lo largo de un e-e paralelo a dicha lnea, produce la induccin propia de un campo

magn*tico B" /a concordancia plena entre la electrodinmica clsica y la Teora Qeneral de la

Relatividad es algo que no se pone a discusin" in embargo, al tratar de e'tender la electrodinmic

clsica hacia marcos de re)erencia acelerados, no tardamos en toparnos con problemas al tratar de

compaginar los resultados con las conclusiones obtenidas mediante la Relatividad Qeneral para el ca

del campo gravitacional" Antes de entrar en detalle sobre los problemas que con)rontamos al tratar

pegar! a la electrodinmica clsica con la Relatividad Qeneral, estudiaremos el caso de una carga

el*ctrica que est siendo sometida a una aceleracinconstante" El libro convencional $lassical

Electrodynamics! de #ohn =avid #ac%son utili+ado ampliamente para el estudio de la electrodinmica

programas de postgrado al igual que muchos otros te'tos inspirados en este libro adoptan la postura

de que la potencia de la radiacin emitida por una carga el*ctrica que est siendo acelerada depend

e'clusivamente de la aceleracin" El punto usual de partida es la de2nicin del vector de 6oynting .

o es di)cil demostrar que la potencia de la energa electromagn*tica est dada por la siguiente

)rmula conocida como f1rmula de Larmor para velocidades su2cientemente ba-as en comparaci

con la velocidad de la lu+.

siendo q la carga el*ctrica de la partcula y siendo a7 0a', ay, a+4 la aceleracin en coordenadas


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$artesianas rectangulares" Esta )rmula tiene adems la propiedad de que es una invariante de

/orent+, pese al hecho de que slo es vlida para velocidades su2cientemente ba-as en comparacin

con la velocidad de la lu+"

!"#BLE$%. "in recurrir a clculos detallados, demostrar que la rmula de !armor es una invariant

de !orent4 que conserva su orma tras un cambio de marcos de reerencia"

/a potencia de la energa electromagn*tica que est siendo radiada por la carga el*ctrica que est

siendo acelerada est dada por la ra+n de la p*rdida de energa, 5 dDdt, tal y como se observa y s

mide en el sistema de re)erencia " =el mismo modo, en el sistema de re)erencia C, la p*rdida de

energa est dada por 5 dCDdtC" 6ero es proporcional a la primera componente del B5vector energ

momentum 0EDc, p', py, p+4, mientras que t es proporcional tambi*n a la primera componente de un B

vector, el vector posicin 0ct,',y,+4, y en este caso ambas cantidades estn su-etas a la misma

trans)ormacin de /orent+, con lo cual la los )actores comunes de conversin /orent+iana tanto en e

numerador como en el denominador se cancelan, de-ndonos con la misma e'presin" e concluye q

la )rmula de /armor es una invariante de /orent+, y puede ser escrita para el sistema de re)erencia

de la siguiente manera.

"in embargo, tanto en el sistema de reerencia " como en el sistema de reerencia "#, la rmula de

!armor es slo vlida para velocidades sufcientemente ba5as en comparacin con la velocidad de la

lu4, de modo tal que la rmula de !armor no es covariante" El primer paso consistir en modi2car la

)rmula para que *sta sea covariante, tensorial" /a re)ormulacin de la :5aceleracin acomo una B5

aceleracin %se puede e)ectuar mediante una contraccin tensorial en el B5espacio de la siguiente

manera empleando la convencin de sumacin por la va de los ndices repetidos.

A & A &

=e este modo, la )rmula de /armor covariante queda escrita del siguiente modo especi2cada para

B5espacio en lugar del :5espacio.

Esta es la )rmula de /armor e'presada en )orma covariante" 6ero a1n no es una )rmularelativsticamente correcta" 6uesto que en la )rmula original de /armor tanto la aceleracin aen el

sistema de re)erencia C como la aceleracin aen el sistema de re)erencia son :5aceleraciones, el

paso lgico consiste en reempla+ar la :5aceleracin con una $%aceleracin%7 04, obtenida

directamente de la di)erenciacin con respecto al tiempo propio 0local4 de la B5velocidad U7 04

empleada en la Teora Especial de la Relatividad, la cual en nuestra introduccin a los B5vectores vim

que era igual a.


54/72

'=(' ()=( c , $)

siendo ula :5velocidad" /a di)erenciacin de la B5velocidad Ucon respecto al tiempo propio viene

siendo entonces.

6ara poder llevar a cabo la contraccin tensorial de AKcon AKcomo se indica arriba, necesitamos la

)orma covariante de la B5aceleracin %, la cual obtenemos con la ayuda del tensor m*trico g7 0gU4

que corresponde al espacio5tiempo /orent+iano de la Teora Especial de la Relatividad, con lo cual

obtenemos lo siguiente tras ba-ar el ndice de AK.

6ero el tiempo t y el tiempo propio estn relacionados mediante la e'presin relativista para la

dilatacin del tiempo t 7 V" Entonces de inicio tenemos que tener algo como lo siguiente para el B5

vector velocidad U.

=e este modo, tenemos lo siguiente.


55/72

Este paso anterior era necesario porque nuestro punto de partida )ue una relacin especi2cada no e

el tiempo propio sino en el tiempo del observador e'terno t, y esto nos introduce un )actor V al

ponerlo todo en )uncin de los B5vectores relativistas, algo que tenemos que agregar a la relacin 2n

que obtengamos"

$on lo que tenemos arriba, el procedimiento de desarrollo para obtener la B5aceleracin relativista q

tenemos que utili+ar en la versin covariante de la )rmula de /armor es directo" El lgebra es un po

laboriosa y no ser reproducida aqu" in embargo, una simpli2cacin que podemos utili+ar en los

procedimientos algebraicos para ahorrarnos varios pasos es la siguiente.

$on lo anterior llegamos por 2n a la siguiente )rmula de /armor relativista.

El t*rmino entre los par*ntesis es esencialmente un t*rmino relativista de aceleracin" 6odemos pon

esta ecuacin en una )orma un poco ms 1til, en lo que a interpretacin de resultados )sicos se re2e

recurriendo a la de2nicin del producto cru+ de dos vectores especi2cado del siguiente modo.

y recurriendo tambi*n a la de2nicin del producto escalar de dos vectores especi2cado del siguiente

modo.


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$on estas dos relaciones vectoriales, podemos e)ectuar la siguiente manipulacin del t*rminorelativista dentro los par*ntesis en la )rmula de /armor.

/a )rmula relativista de /armor toma entonces la siguiente )orma.

En un movimiento de aceleracin linealel :5vector velocidad usiempre ser paralelo al :5vectoraceleracin duDdt, de modo tal que el segundo t*rmino dentro del par*ntesis se desvanece

proporcionndonos la energa electromagn*tica emitida por la carga acelerada movi*ndose siempre

una misma direccin" M en un movimiento en el cual el :5vector velocidad uest cambiando de

direccin constantemente, siendo perpendicular al :5vector aceleracin duDdt como ocurre en el cas

de los aceleradores de partculas tales como el ciclotrn y el sincrotrn, el segundo t*rmino contribu

a la radiacin emitida, y es precisamente *ste t*rmino el que pone un lmite prctico a la velocidad q

se le pueda imprimir a partculas atmicas y sub5atmicas en un acelerador rotatorio" aciendo la

simpli2cacin 57 uDc y metiendo la constante cF tomndola del denominador del )actor e'terno par

meterla en el primer t*mino dentro del par*ntesis, -untndola con la otra constante cF que est en e

segundo t*rmino para incorporarla del mismo modo en cada udel segundo t*rmino, tenemos otravariante de la )rmula de /armor relativista, vlida para cualquier velocidad.


57/72

!"#BLE$%. -btener una rmula para la potencia de la energa electromagn&tica radiada en unci

del cambio de la energa cin&tica B de la partcula con respecto a la distancia recorrida 7 dBCd/8 pa

una aceleracin lineal. "uponiendo para los aceleradores electroestticos lineales de partculas una

ganancia de )D eCmetro, demu&strese que ba5o tales condiciones la p&rdida de energa por

radiacin es despreciable"

Ma hemos visto previamente en otra entradas que la energa cin*tica relativista S est dada por la

)rmula.

S 7 0V 5 84 m?cF

Tomando la derivada de S con respecto al tiempo y usando un resultado obtenido arriba tenemos

entonces.

$on la ayuda de la regla de la cadena, podemos obtener dSDd' de la siguiente manera.

=espe-ando esto 1ltimo para poner todo en )uncin de la aceleracin duDdt.

Reempla+ando esto en la e'presin para la potencia radiada en el caso de que la aceleracin es line

con la velocidad uy la aceleracin duDdt colineares 0apuntando en la misma direccin4 obtenemos le'presin deseada.


58/72

Evaluaremos ahora la potencia electormagn*tica radiada para un valor de dSDdt 7 8? &eDmetro"

6odemos llevar a cabo los clculos num*ricos de una manera ms elegante y menos propensa a

errores escribiendo lo anterior de la siguiente manera.

$on estos cambios, en el denominador tenemos a la energa en reposo m?cF de la partcula, que par

un electrn es igual a ?"88 &e" M en el numerador tenemos una cantidad 0qFDm?cF4 que resulta ser

igual a una longitud que en este caso viene siendo el radio clsico del electrnque )ue obtenido por

Thomson con la siguiente )rmula en el sistema de unidades Qaussianas.

6ara que esto sea cierto, tenemos que utili+ar para la unidad )undamental de carga un valor de B"f;88?statcoulombs 0o bien B"f;8?58?esu electrostatic unit, siendo el statcoulomb una unidad cuya

conversin al sistema I es 8 statcoulomb :"::B8?8?coulombs4" Empleando valores num*ric

tenemos entonces que la potencia radiada ser.

j909"f9;8?58:metro40:;8?8?cmDseg4D:0?"88 &e4kDj8? &eD8?? cmkF

88;8?5&eDsegundo

/a )raccin de la potencia que es perdida por radiacin electromagn*tica para esta partcula, en este

caso un electrn que suponemos que est via-ando a velocidades relativistas, ser entonces.

088;8?5&eDsegundo4D08? &eD8?? cm40:;8?8?cmDseg4

:";8?58B


59/72

Esta es una )raccin despreciable, y tiene una consecuencia que ser relevante para nuestra discusi

posterior. es prcticamente imposible obtener de una partcula que est siendo

acelerada linealmente inormacin e/perimental que confrme la e/actitud de las rmulas relativist

para la radiacin electromagn&tica radiada por una carga acelerada"

En realidad, hay un pequeo detalle que hemos pasado por alto con el 2n de no embrollar ms los

clculos tericos" i una partcula es acelerada produciendo con ello un campo electromagn*tico de

radiacin, el movimiento posterior de la partcula indudablemente ser modi2cado por este campo d

radiacin" Este )enmeno es conocido tericamente como reacci1n de

radiaci1noamortiguamiento por la radiaci1n0radiation damping4" =e cualquier manera, en lo q

hemos visto acerca de cargas el*ctricas y consecuentemente campos el*ctricos aceleradostodo ha

aqu parece ser consistente, libre de conictos internos" $onsideraremos ahora cmo empie+an a su

di2cultades en cuanto entra en el panorama la Relatividad Qeneral"

i aceptamos en toda su e'tensin elprincipio uerte de equivalenciade la Relatividad Qeneral, la

equivalencia plena entre la gravedad y la aceleracin, la sola idea de que la radiacin

electromagn*tica es una )uncin de la aceleracin de una carga el*ctrica se vuelve problemtica,

porque ba-o este conte'to un ob-eto puede estar estacionario en el mismo lugar y acelerndose al

mismo tiempo" 6or e-emplo, un ob-eto cargado el*ctricamente puede estar en reposo sobre lasuper2cie de la Tierra, y sin embargo est su-eto tambi*n a una aceleracin gravitatoria gde

apro'imadamente "f metrosDsegF" Es precisamente esta aceleracin gravitatoria la que ocasiona q

una masa tengapeso0,7 mg4, y que ese peso sea menor en la super2cie de un cuerpo celeste co

menor atraccin gravitatoria 0como la /una4 o mayor en la super2cie de un cuerpo celeste con mayo

atraccin gravitatoria 0como el planeta #1piter4, siendo el peso igual a cero cuando el ob-eto est

otando libremente en el espacio" 6odemos decir con plena certe+a que un ob-eto que permanece

estacionario sobre la super2cie de la Tierra no est radiando energa electromagn*tica, al menos de

el punto de vista de observadores co5estacionarios" i estuviese radiando energa electromagn*tica,

tendramos entonces una )uente perpetua y gratuita de energa" 6uesto que la )uer+a de empu-e que

sostiene al cuerpo en su lugar en la super2cie terrestre no act1a a lo largo de distancia alguna, eltraba-o hecho por esta )uer+a es cero" Entonces no se est metiendo energa alguna en el ob-eto, de

modo tal que si el ob-eto estuviese emitiendo energa electromagn*tica 0y suponiendo que la energ

interna del ob-eto permanece constante4 tendramos una violacin del principio de la conservacin d

la energa"

aturalmente, podramos poner en tela de duda la asercin de que no se est haciendo traba-o algu

por la )uer+a de empu-e que mantiene al ob-eto en la super2cie de la Tierra" i imaginamos una

cpsula herm*ticamente sellada en cada libre, y si dentro de dicha cpsula un ob-eto se est

acelerando 0hacia arriba4 de )orma tal que mantiene la misma altura relativa en relacin a la )uente

gravitatoria e'terna, podramos decir que dentrode la cpsula hemos estado haciendo un traba-o

sobre el ob-eto al ir aumentando su velocidad 0hacia arriba4 dentro de la cpsula, relativa a la cpsumisma, pese a que desde el punto de vista 0e'terno4 de la )uente gravitatoria 0la Tierra4 el ob-eto

permanece estacionario y no se ha e)ectuado traba-o alguno sobre el ob-eto" Esto no debe

sorprendernos, puesto que el traba-o y la energa cin*tica son entendidos como conceptos relativos,

pero nos conduce a la conclusin inusual de que la radiacin electromagn*tica tambi*n debe ser un

concepto relativo" /a relatividad que ya nos debe ser )amiliar de la energa cin*tica se corresponde c

la simetra que hay entre marcos de re)erencia distintos, es decir, siempre podemos encontrar un


60/72

marco inercial 0/orent+iano4 de re)erencia con respecto al cual cualquier ob-eto 0en un instante dado

tiene una energa cin*tica igual a cero por estar el ob-eto instantneamente en reposo en dicho mar

de re)erencia que hemos llamado el marco de reerencia comvil" El considerar partculas cargadas

el*ctricamente en presencia de un campo gravitacional parece sugerir de igual modo que siempre

podemos encontrar un sistema de coordenadas 0al menos localmente4 con respecto al cual un ob-et

cargado el*ctricamente no emite radiacin electromagn*tica alguna en un instante dado, aunque la

partcula pueda estar emitiendo radiacin electromagn*tica con respecto a otro sistema de

coordenadas"

Tambi*n podemos cuestionar el hecho de que las ecuaciones de la electrodinmica realmente

impliquen el hecho de que una carga el*ctrica que se est* acelerando necesariamente deba radiar

energa electromagn*tica" orprendentemente, este asunto es un asunto que no se ha +an-ado del

todo en la teora clsica del electromagnetismo" /a di2cultad radica en saber cmo poder dilucidar la

inuencia de una partcula cargada el*ctricamente sobre s misma" Recordemos aqu que dos

electrones se repelen el uno al otro con una )uer+a que es estticamente proporcional al recproco d

distancia que hay entre las cargas" Esto es entendido tradicionalmente como la interaccin de cada

partcula con el campo el*ctrico de la otra partcula" /a intensidad del campo el*ctrico producido po

cada carga aumenta hasta el in2nito con)orme la distancia hacia la carga se apro'ima a cero

0suponiendo cargas puntuales, algo que la &ecnica $untica considera insostenible4" 6ero es aqu e

donde encontramos una di2cultad conceptual, porque de acuerdo con esta descripcin todo electrnest situado precisamente en un lugar en donde e/iste una uer4a de repulsin infnitamente grande

en contra de los electrones"

6odemos intentar mane-ar esto 1ltimo de varias maneras" /a solucin ms simplista consiste

simplemente en proclamar que un electrn no interact1a de modo alguno con su propio campo

el*ctrico, y cuando interact1a lo hace con los campos de otras partculas" i adoptamos *ste punto d

vista, tenemos que e'plicar entonces el por qu* una partcula cargada el*ctricamente opone una

mayor resistencia a cambios en su estado de movimiento que una partcula sin carga el*ctrica algun

pero con la misma masa inercial" El anlisis tradicional de las cargas aceleradas nos dice que *sta

)uer+a de reaccin de radiacin! aplicada a lo largo del movimiento de la carga acelerada es la quenos proporciona el suministro de energa que es emitida en la )orma de ondas electromagn*ticas"

Tradicionalmente se ha e'plicado q

Electrodinámica Relativista I,II,III

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