Electromagnetismo: Electrostática

1.1 Introducción

La electricidad está presente en nuestras vidas cotidianas. Basta pensar en desarrollos

tecnológicos como la red de alumbrado eléctrico o los electrodomésticos, o en fenómenos

meteorológicos como los rayos. Además, muchos fenómenos químicos y biológicos son

fundamentalmente debidos a interacciones electromagnéticas. En este curso sentaremos las bases

para el estudio de campos electromagnéticos y propagación de ondas electromagnéticas. Se

estudiarán los aspectos básicos de las interacciones eléctricas y magnéticas y de los campos

electromagnéticos estáticos y dependientes del tiempo. Sin embargo, será el objetivo de cursos

posteriores el estudio de la propagación de ondas electromagnéticas.

1.2 Carga eléctrica

Aunque el desarrollo tecnológico asociado al uso de fenómenos electromagnéticos se ha dado

principalmente a lo largo del siglo XX, las primeras observaciones de fenómenos de atracción

eléctrica las realizaron los antiguos griegos. En este tema se definirá el campo eléctrico, qué lo

produce (cargas), y cómo predecir lo que sucede cuando varias cargas interactúan (leyes). Antes

de definir qué es un campo eléctrico se analizará qué lo produce.

Ya en el siglo XIX, se sabía gracias a los experimentos que se habían llevado a cabo que existían

unas magnitudes escalares llamadas cargas y que poseían las siguientes propiedades:

− La carga se conserva. La ley o principio de conservación de la carga es una ley

fundamental de la naturaleza. La carga total de los objetos que componen un sistema no

cambia. Puede transferirse carga de unos objetos a otros e incluso pueden generarse nuevas

cargas siempre y cuando la cantidad de cargas negativas y positivas producidas sean

iguales.

− La carga está cuantizada, es decir, una carga Q cualquiera puede expresarse como N

veces (N ∈ N) la carga del electrón e, Q = ± Ne (e = 1,6·10-19

C). La unidad del sistema

internacional (SI) de carga es el culombio C. No es habitual observar la cuantización de la

carga porque N es normalmente un número grande.

− La fuerza entre dos cargas puntuales varía de modo inversamente proporcional al cuadrado

de la distancia entre ellas.

1.3. Ley de Coulomb

Charles Coulomb (1736-1806) estudió la fuerza ejercida por una carga sobre otra. Como es

común en física, dada una serie de fenómenos, experimentos u observaciones, se formulan leyes

que los expliquen. Los resultados de los experimentos de Coulomb (y otros científicos) dieron

lugar a la ley de Coulomb:

La fuerza ejercida por una carga puntual sobre otra está dirigida a lo largo de la línea que las une. Es repulsiva si las cargas tienen el mismo signo y atractiva si las cargas tienen signos

opuestos. La fuerza varía inversamente con el cuadrado de la distancia que separa las cargas y es proporcional al valor de cada una de ellas.

La ley de Coulomb especifica cómo se relacionan dos cargas y qué efecto tiene una sobre la otra.

Su expresión matemática es:

1 2 1 212 2 2

0

ˆ ˆ4πε

e

q q q qF k

r r= r = r

donde q1 y q2 son las cargas puntuales, r es el módulo del vector que une ambas cargas, r̂ es el

vector unitario en la dirección de la línea que une ambas cargas y ke es la constante de Coulomb.

Típicamente se considera el valor ke = 8,99·109

N·m2

/ C2, aunque es necesario destacar que su

valor depende del medio material en el que se considera la interacción y el valor mencionado

corresponde al vacío. En el vacío, tomamos la permitividad del espacio libre ε0, cuyo valor es ε0 =

8.854·10-12

C2/(N·m

2). Como se puede observar, la ley de Coulomb muestra claras similitudes con

la ley de Gravitación Universal.

Gravedad Electricidad

Propiedad fundamental Masa M Carga q (±)

CAMPO rg ˆ2

r

MG−=

�

2ˆ

e

qk

r=E r�

FUERZA g m=F g� �

EF��

0qE =

En primer lugar, existen dos constantes, G y ke ( 6.67259·10-11

N m2/kg

2 y 8,99·10

9 Nm

2 / C

2 ,

respectivamente). Además, también existen dos magnitudes escalares que cumplen el mismo

papel: masa (M) y la carga (q). Así pues, para averiguar la fuerza (magnitud vectorial) existe una

misma ecuación que relaciona la masa y la carga (magnitudes escalares) con otras magnitudes

vectoriales que reciben el nombre de campos: campo gravitatorio g�

y campo eléctrico E�

.

Ambos campos son directamente proporcionales a las magnitudes escalares (masa o carga) e

inversamente proporcionales al cuadrado de la distancia a la que consideramos el campo.

Sin embargo, también existen diferencias entre ambas interacciones. Cabe destacar que la masa

sólo admite magnitudes con signo positivo mientras que las cargas admiten magnitudes con signo

positivo y negativo. Como consecuencia, el campo gravitatorio siempre tendrá un sentido dado

(atractivo), mientras que el signo del campo eléctrico dependerá del signo de las cargas.

1.4. Campo eléctrico y fuerza eléctrica

Del mismo modo que al estudiar el campo gravitatorio, en el estudio de la fuerza eléctrica se

introduce el campo eléctrico para evitar los problemas conceptuales que genera la acción a

distancia. Así pues, el campo eléctrico debido a una carga puntual qi se define de igual manera

que el campo gravitatorio generado por una masa mi, cambiando la masa por la carga. Por tanto,

una carga crea un campo eléctrico E�

en todo el espacio y este campo ejerce una fuerza sobre la

otra carga, o dicho de otro modo, en aquella región del espacio en la que al colocar una carga

eléctrica ésta experimente una fuerza, existe un campo eléctrico.

EF��

0q

E=

2ˆ

e

qk

r=E r�

Si se tiene una serie de cargas puntuales qi en diversos puntos del espacio y se coloca una carga

testigo q0 en un punto determinado P, la fuerza sobre dicha carga es la suma vectorial de las

fuerzas ejercidas por las cargas individuales. Puesto que cada una de estas fuerzas es proporcional

a la carga q0, la fuerza resultante es también proporcional a q0. El campo eléctrico E�

en el punto

P se define como el valor de esta fuerza dividido por q0. Por tanto, cuando existe más de una

carga, el campo eléctrico producido por un sistema de cargas se obtiene sumando las

contribuciones (vectores) de los campos creados por cada una de las cargas. Esto se conoce como

el Principio de Superposición y su expresión matemática es:

∑ ∑==i i

i

i

i

ir

kqrEE ˆ

2

+

+

+

+

q0

q1

q2

q3

E1

E2

E3

E = E1+ E

2+ E

3

+

+

+

+

q0

q1

q2

q3

E1

E2

E3

E = E1+ E

2+ E

3

(a) (b)

Figura 1: Ilustración del concepto de campo eléctrico – (a) Campo eléctrico en distintos puntos del espacio creado por

una carga eléctrica positiva, y (b) campo eléctrico en distintos puntos del espacio creado por una distribución de cargas

eléctricas.

1.5. Líneas de fuerza y superficies equipotenciales

Las líneas de fuerza son una representación conveniente del campo eléctrico. El vector campo

eléctrico es tangente a las líneas en cada punto e indica la dirección de la fuerza eléctrica

experimentada por una carga de prueba. Las reglas para dibujar las líneas de fuerza eléctrica son

las siguientes:

− El número de líneas que abandonan una carga positiva o entran en una carga negativa es

proporcional a la carga.

− Las líneas se dibujan simétricamente saliendo o entrando en la carga puntual.

− Las líneas empiezan o terminan sólo en las cargas.

− La densidad de líneas (número de ellas por unidad de área perpendicular a las mismas) es

proporcional al valor del campo.

No pueden cortarse nunca dos líneas de campo ya que E�

tiene una dirección única en cualquier

punto del espacio (salvo en aquellos puntos ocupados por una carga puntual).

(a) (b) Figura 2: (a) Esquema de las líneas de campo eléctrico producidas por dos cargas eléctricas, una positiva y otra

negativa, y (b) líneas de fuerza de dos cargas puntuales (azul negativa, amarilla positiva)

Tal y como puede observarse en la Figura 2, en las proximidades de cada una de las cargas, las

líneas de campo están separadas por una misma distancia y convergen (cargas negativas) o

divergen (cargas positivas) de ellas según el signo de las cargas. Por el contrario, en puntos

alejados de la misma, la estructura detallada del sistema no es importante y el sistema se

comporta como una única carga puntual con la carga neta del sistema.

La Figura 3 muestra las superficies equipotenciales, es decir, superficies que tienen el mismo

valor del campo eléctrico en cada punto de esa superficie y que se distribuyen alrededor de cargas

eléctricas. Las líneas de fuerza son en todos los puntos perpendiculares a las superficies

equipotenciales. En secciones posteriores se analizara el significado de estas superficies de modo

más detallado.

(a) (b) Figura 3: (a) Superficies equipotenciales de una carga puntual q, y (b) superficies equipotenciales de dos

cargas puntuales.

En la Figura 4 se muestra un ejemplo de campo eléctrico y superficies equipotenciales en un

sistema formado por varias cargas.

(a) (b)

Figura 4: (a) Líneas de fuerza en un sistema de cargas puntuales (azules negativas), y (b) superficies

equipotenciales de un sistema de cargas puntuales (azules negativas)

1.6. Potencial eléctrico y energía eléctrica en distribuciones de carga

discretas

a) Trabajo y energía

Cuando sobre un cuerpo que se mueve actúa una fuerza, en general, ésta realiza un trabajo. El

trabajo depende de la trayectoria que siga el cuerpo salvo que se trate de fuerzas conservativas.

El trabajo que realizan las fuerzas conservativas es independiente de la trayectoria que siga el

cuerpo y sólo depende de las posiciones inicial y final del mismo.

El trabajo realizado por una fuerza sobre un cuerpo que sigue una determinada trayectoria es:

0

limi

i iC

i

W d∆ →

= ⋅∆ = ⋅∑ ∫F F�

� �� �� �

Este tipo de integrales se conocen como integrales de camino. En el caso de fuerzas

conservativas, se verifica que el trabajo que realiza la fuerza si la trayectoria es cerrada (bucle

cerrado) es nulo ya que los puntos inicial y final coinciden. Matemáticamente esto se expresa por

medio de una integral cerrada:

0d⋅ =∫ F����

El trabajo se mide en Joules (1 J = 1 N·m) en el SI.

De igual modo que el concepto de energía potencial es de gran utilidad en el estudio de la

mecánica, es posible definir la energía potencial en el caso de campos electroestáticos, así como

la función potencial eléctrico. El concepto de energía potencial tiene sentido cuando se trabaja

con fuerzas conservativas (como es el caso tanto de la fuerza gravitatoria como eléctrica).

En general, los cuerpos sometidos a campos de fuerzas conservativos tienen una propiedad que

denominamos energía potencial. La energía potencial cambia de valor cuando el cuerpo cambia

de posición. La variación de la energía potencial cuando un cuerpo se desplaza del punto A al

punto B se define como:

B

B AA

U U U d∆ = − = − ⋅∫ F���

La energía potencial U de un cuerpo situado en un punto determinado del espacio se define como

la variación ∆U que se produciría si el cuerpo se desplazase desde un punto de referencia (que

elegimos por conveniencia) hasta el punto en cuestión. Por tanto, si elegimos dos puntos de

referencia diferentes, el valor de U varía. Sin embargo, los valores de ∆U que se obtienen cuando

se calcula el incremento de energía potencian entre los puntos A y B no varían. Por tanto, es la

diferencia de energía potencial ∆∆∆∆U lo que tiene sentido físico. Teniendo en cuenta esta

definición, podemos introducir el concepto de superficie equipotencial. Las superficies

equipotenciales se caracterizan porque una partícula que se encuentra en cualquiera de sus

puntos tiene la misma energía potencial.

Si conocemos la energía potencial U en todos los puntos del espacio, podemos determinar la

componente de la fuerza �

F en cualquier dirección calculando la derivada direccional de U.

Cuando un vector es tal que su componente en una dirección es igual a la derivada direccional de

una función en aquella dirección, se dice que este vector es el gradiente de esta función. Esta

condición se cumple entre la fuerza �

F conservativa y la energía potencial. Matemáticamente:

U= −∇� �F

donde utilizamos el operador gradiente que en coordenadas cartesianas se expresa como:

ˆˆ ˆi j kx y z

∂ ∂ ∂∇ = + +

∂ ∂ ∂

�

Se puede demostrar que el gradiente de la energía potencial es perpendicular a las superficies

equipotenciales, lo que quiere decir que �

F , además de ser perpendicular a éstas, está orientado

en el mismo sentido que las energías potenciales decrecientes.

b) Potencial eléctrico y energía potencial eléctrica

Del mismo modo que una cuerpo de masa m en presencia del campo gravitatorio g tiene una

energía potencial, una carga puntual q en presencia de un campo E creado por otras cargas

también tiene una energía potencial. La variación de energía potencial electrostática de una carga

puntual que se desplaza del punto A al punto B es el trabajo necesario que se ha de realizar en

contra del campo para llevar esta carga del punto A al punto B sin alterar su energía cinética.

La diferencia del potencial eléctrico entre dos puntos A y B se define como:

0

B B

B AA A

V V V d dq

∆ = − = − ⋅ = − ⋅∫ ∫F

E

�� ��� �

La diferencia de potencial representa la cantidad de trabajo realizado por unidad de carga para

mover una carga de prueba desde A a B, sin cambiar su energía cinética. El potencial eléctrico no

debe confundirse con la energía eléctrica potencial, aunque ambas cantidades están relacionadas

por medio de la expresión:

0 ·U q V∆ = ∆

La unidad del Sistema Internacional del potencial eléctrico es el voltio (V): 1volt = 1

joules/coulomb (1 V=1 J/C). Es habitual expresar la energía potencial eléctrica en electrón-voltios

(eV) cuya relación con los joules viene dada por la expresión:

1 eV = (1.6·10-19

C)· (1 V) = 1.6·10-19

J

Tal y como se ha visto, el potencial eléctrico está relacionado con el campo eléctrico. En la

siguiente figura se ilustra la relación entre la diferencia de potencial y las líneas de campo.

Figura 5: (a) Una carga q la cual se mueve en la dirección de un campo eléctrico constante E

�. (b) Una masa m que se

mueve en la dirección de un campo gravitacional constante g�

.

En particular, la diferencia de potencial eléctrico, considerando el campo eléctrico E�

constante, se

calcula como:

0 0B B

B AA A

V V V d d E d∆ = − = − ⋅ = − = − ⋅ <∫ ∫�� �� �E E

lo que implica que el punto B está a un potencial más bajo comparado con A. De hecho, las líneas de campo eléctrico siempre apuntan desde el potencial más alto al más bajo. El cambio en la

energía potencial es dqEUUUAB 0

−=−=∆ . Si la carga es positiva, entonces el incremento es

negativo, lo que implica que la energía potencial de una carga positiva disminuye mientras se

mueve a lo largo del campo eléctrico.

En el caso de que el campo eléctrico E�

y la trayectoria de la partícula no sean paralelos (ver

ejemplo en la Figura 6), la diferencia de potencial entre los puntos A y B se puede calcular como:

cosB B

B AA A

V V V d d θ∆ = − = − ⋅ = − ⋅ ⋅∫ ∫�� �� �E E

Figura 6: Diferencia de potencial entre dos puntos debido a una carga puntual Q.

En la Fig. 6 d d= s� �� , si tenemos en cuenta que el campo eléctrico es el creado por una partícula

con carga Q, la diferencia de potencial se calcula a partir de la siguiente expresión:

2 2

0 0 0

1 1ˆ

4 4 4

B B

B AA A

B A

Q Q QV V V d dr

r r r rπε πε πε

∆ = − = − ⋅ = − = −

∫ ∫r s�

donde se ha considerado que:

ˆ d⋅r s�

= ds·cosθ = dr

En particular, el potencial eléctrico generado por la carga Q en un punto del espacio a una

distancia r de la misma, se define como:

0

( ) 4

QV r

rπε=

que es equivalente a tomar la distancia A en el infinito, o dicho de otro modo, a definir el

potencial cero a una distancia infinita de la carga.

c) Relación entre campo eléctrico, potencial eléctrico, fuerza eléctrica y energía potencial

eléctrica.

En el apartado anterior hemos relacionado el campo eléctrico y el potencial eléctrico mediante la

ecuación.

cosB B

B AA A

V V V d d θ∆ = − = − ⋅ = − ⋅ ⋅∫ ∫�� �� �E E

de forma análoga a como habíamos relacionado la energía potencial eléctrica que adquiere una

partícula cargada cuando una fuerza electrostática realiza trabajo sobre ella.

B

B AA

U U U d∆ = − = − ⋅∫ F���

Del mismo modo que es posible obtener estas magnitudes escalares (∆U y ∆V) a partir de las

magnitudes vectoriales (F y E), es posible recuperar las variables vectoriales si conocemos las

variables escalares. Esto, de hecho, nos permite trabajar con campos escalares y recuperar los

campos vectoriales cuando lo necesitemos. De este modo, la complejidad de los cálculos se

reduce notablemente.

Podemos pensar que siempre que tenemos una carga (o una distribución de cargas) se genera un

campo eléctrico o un potencial eléctrico y éstos están relacionados como se indica en los

esquemas. Estos esquemas destacan que es indistinto pensar en términos de uno u otro ya que

ambos están relacionados. Del mismo modo, la fuerza eléctrica y el campo eléctrico se relacionan

mediante la carga de forma análoga a como lo hacen el potencial y la energía potencial. Podemos

pensar que una carga, o una distribución de cargas, generan un campo eléctrico en todos los

puntos del espacio y otra carga (q en el esquema) siente el efecto del campo, es decir, la fuerza.

Del mismo modo, una partícula cargada genera un campo escalar de potenciales. Al colocar una

carga en un punto (q en el esquema), ésta adquiere una energía potencial. Estos conceptos se

pueden entenderse claramente si pensamos en términos de la fuerza gravitatoria y el potencial

gravitatorio. Una partícula con masa M (por ejemplo la Tierra) da lugar a un campo gravitatorio

(g) que siente otra partícula con masa m (por ejemplo cada uno de nosotros) de modo que

adquirimos un peso P = mg (es decir, sentimos el efecto del campo gravitatorio). Del mismo

modo, podemos pensar en un potencial gravitatorio ∆Vg, de modo que cuando colocamos una

masa a una altura h, ésta adquiere una energía potencial ∆Vg = Ep= mgh. Los esquemas que se

presentan a continuación indican cómo podemos pasar de unas magnitudes a otras.

d) Potencial eléctrico y energía potencial debidos de un sistema de cargas puntuales

El mismo criterio de tomar el potencial nulo en el infinito se puede adoptar cuando se estudia un

sistema de cargas si éste tiene un tamaño finito. En ese caso, el potencial debido a un sistema de

cargas puntuales qi se obtiene como la suma del potencial correspondiente a cada carga puntual.

Por tanto:

0

1( )

4

i ie

i ii i

q qV r k

r r rπε= =∑ ∑

Del mismo modo, la energía potencial electrostática del sistema formado por un conjunto de

cargas puntuales es igual al trabajo necesario para transportar las cargas desde una separación

infinita a sus posiciones finales y es independiente del orden con que las cargas son transportadas

a tales posiciones. A distancias suficientemente grandes, cualquier distribución de carga presenta

un comportamiento equivalente al de una carga puntual con la carga neta q de la distribución.

U V

U

V

F d

p

F q E qp

E d

F

E

− ⋅

= ⋅ ∆ = ⋅ ∆

− ⋅

∫→∆

↑ ↑

∫→∆

��� ��

� �

�� ��

�

��p

U

VU

U

V

ppF

EF

q q

E V

F

E

=−∇

∆= = ∆

=−∇

← ∆

↓ ↓

← ∆

�

��

�

�

��

Basándonos en la definición de energía potencial a partir del trabajo realizado en contra del

campo electrostático, vamos a derivar la expresión de la energía potencial eléctrica de un sistema

de cargas eléctricas. Para ello, se considera el trabajo realizado por un agente externo para traer la

carga q2 desde el infinito a P dado el campo generado por q1, cuya expresión es W2 = q2V1. Debe

destacarse que no es necesario realizar trabajo para llevar la primera carga W1 = 0 cuando el resto

de cargas se encuentran originalmente a distancia infinita. Como q1 es una carga puntual, tenemos

que

120

11

4 r

qV

πε= ,

de modo que la energía potencial viene dada por:

1 212 2

0 124

q qU W

rπε⋅

= =

Si aumentamos el número de cargas, tal y como se indica en la siguiente ilustración, el trabajo

necesario para añadir una tercera carga es :

3 1 22 3 1 2

0 13 23

( )4

q q qW q V V

r rπε

= ⋅ + = +

La energía potencial de la configuración de 3 cargas, es entonces:

1 3 2 31 22 3 12 13 23

0 12 13 23

1

4

q q q qq qU W W U U U

r r rπε ⋅ ⋅⋅

= + = + + = + +

Para un sistema de N cargas, la expresión generalizada de la energía potencial es:

1 10

1

4

N Ni j

i j ijj i

q qU

rπε = =>

⋅= ∑∑

Es necesario destacar que la energía potencial de una partícula en un campo generado por

distintas partículas cargadas es distinta a la energía potencial del sistema que contiene a todas las

partículas. Por definición, la energía potencial electrostática del sistema es igual al trabajo

necesario para transportar las cargas desde una separación infinita a sus posiciones finales,

mientras que la energía potencial de una de las cargas en el sistema se calcula a partir del

potencial que generan las otras en el punto donde tenemos la partícula. Por supuesto, en el cálculo

de la energía potencial del sistema, tenemos en cuenta cuál es la energía potencial de cada una de

las partículas en presencia de las otras a medida que vamos configurando el sistema.

1.7 Campo eléctrico en distribuciones de carga continuas

Hasta ahora sólo hemos calculado el campo eléctrico y la fuerza eléctrica para cargas puntuales,

sin embargo en los siguientes apartados vamos a trabajar con distribuciones de carga continua.

Para ello seguiremos utilizando la Ley de Coulomb, pero debe prestarse especial atención a cómo

representar las cargas continuas.

Figura 7: Distribución de carga continua

En primer lugar es necesario explicar qué se entiende

por una distribución de carga continua. La Figura 7

ilustra un ejemplo de una distribución de carga continua

confinada en el objeto azul. La distribución de carga se

caracteriza a partir de incrementos o “pequeños trocitos”

de carga que se simbolizan con ∆q. Al igual que en el

caso de las cargas puntuales, nos interesa calcular el

campo eléctrico y la fuerza de esta distribución de

carga. De este modo, debe calcularse la contribución al

campo eléctrico y a la fuerza eléctrica de cada elemento

de carga ∆q sobre un punto P. Si se suman todos los

incrementos de la carga en un sumatorio, se obtiene la

carga total. En general, si se trata de una distribución

continua, se utiliza una integral para sumar los

incrementos de carga (en general sería un volumen), que si son lo suficientemente pequeños se

representan por medio de diferenciales (dq).

i

i

Q q= ∆∑V

dq→ ∫

Para calcular el campo eléctrico creado por una distribución continua de carga se tienen en cuenta

todos los campos eléctricos creados por los incrementos de carga ∆q. De modo que con la

anterior equivalencia:

2ˆ

e

qk

r

∆∆ =E r�

2ˆ

e

dqd k

r→ =E r�

a) Densidad de carga

Las distribuciones de carga pueden disponerse formando líneas, superficies o volúmenes. Es

habitual definir en tales casos los conceptos de densidad lineal de carga ( λ ), densidad superficial

de carga ( σ ), y densidad volúmica de carga (ρ ), de modo que el elemento diferencial de carga se

caracteriza por:

dldq ⋅λ=

dSdq ⋅σ=

dVdq ⋅ρ=

b) Cálculo del campo eléctrico en el eje x de un anillo uniforme de carga

Si realizamos una representación esquemática del problema, tenemos la siguiente ilustración.

Supondremos que inicialmente conocemos que la cantidad de carga del anillo, es decir, de la

distribución continua de carga es Q.

Figura 8: Esquema del anillo cargado de radio a e ilustración de las

componentes del campo eléctrico sobre el eje x.

En primer lugar, es importante destacar que todas las componentes perpendiculares del campo

eléctrico se cancelan porque el anillo tiene un elemento simétrico para cada dq. De manera que se

obtiene por simetría:

0E⊥ =

Se asume que el anillo es una distribución lineal de carga, con lo cual cada diferencial de carga se

puede expresar como el producto de la densidad lineal de carga por el diferencial de longitud. De

este modo, el diferencial de carga puede expresarse en función del radio del anillo (a) y del

diferencial del ángulo ( ϕd ). La distancia entre el diferencial de carga y el punto donde se calcula

el campo eléctrico viene dada por r, y se calcula por medio del teorema de Pitágoras aplicado al

triángulo formado por el radio a y la distancia del punto P hasta el centro del anillo x.

ϕ)⋅⋅λ=⋅λ= dadldq (

22xar +=

La ecuación que caracteriza el campo eléctrico para el diferencial de carga es:

32

ˆ

rdqk

rdqkd ee

rrE

��

==

Recordemos que no hace falta calcular el diferencial del campo eléctrico en ambos ejes ya que

por simetría sólo es necesario calcularlo sobre el eje x.

3E

r

xdqkd ex =

De otro modo, se puede sustituir el vector desplazamiento r�

por x, que resulta de calcular la

proyección en el eje x. Como puede comprobarse, el resultado es el mismo en ambos casos.

32

1cosE

r

xdqk

rr

xdqkθdd

eex=⋅=⋅= E

�

Finalmente, para encontrar el campo eléctrico total debemos sumar (integrar) las contribuciones

de todos los campos eléctricos sobre el eje x. Dado que tanto x como r�

son constantes en la

integral, sólo es necesario integrar los diferenciales de carga. En el caso que nos ocupa, éste es un

paso que se puede obviar ya que la carga total es un dato del problema-

∫∫∫ ⋅=== dqr

xk

r

xdqkdEE eexx 33

Qadaaddq =πλ=ϕλ=ϕλ= ∫∫∫π

0

π2

22

0

Sustituyendo el valor obtenido en la expresión del campo eléctrico en un punto del eje x, se

obtiene:

( )

( )iE��

2

322

2

322

3E

xa

xQk

xa

xQk

r

xQk

e

eex

+=

+==

Del mismo modo que al resolver el problema de cargas puntuales se indicó la necesidad de

interpretar geométricamente los resultados es, en general, muy útil analizar los resultados

obtenidos de la resolución de problemas en los límites. Puesto que estas situaciones describen

normalmente problemas más sencillos (para los que se conoce el resultado), la verificación de los

resultados obtenidos de este modo indirecto es una forma de validar los cálculos. En particular, en

este ejemplo, en el caso en el que a tiende a cero se obtiene el campo creado por una carga

puntual.

( )2

2

320

E limx

Qk

x

xQk e

exa

==→

1.8. Ley de Gauss: Concepto de flujo eléctrico y cálculo del campo

eléctrico en distribuciones con un alto grado de simetría

Finalmente, se va a mostrar un método más sencillo para calcular el campo eléctrico que no

requiere el uso directo de la ley de Coulomb (de mayor complejidad cuando se tratan

distribuciones continuas de carga). A cambio, será necesario un alto grado de simetría para que

realmente se pueda aplicar otro procedimiento que facilite los cálculos. Esta nueva ley es

conocida como la ley de Gauss.

a) Flujo eléctrico

La ley de Gauss relaciona el campo eléctrico sobre una superficie cerrada con la carga neta

incluida dentro de la superficie. Esta ley permite calcular fácilmente los campos eléctricos que

resultan de las distribuciones simétricas de carga. En este curso se introducirá la ley de Gauss

haciendo uso de las propiedades de las líneas de campo. La ley de Gauss relaciona el número de

líneas de fuerza que atraviesa una superficie cerrada con la carga en el interior de la misma. La

magnitud matemática que define el número de líneas de fuerza que atraviesa una superficie recibe

el nombre de flujo eléctrico.

Se define el flujo eléctrico ( EΦ ), que atraviesa una superficie perpendicular al campo como el

producto del campo eléctrico que la atraviesa por el área. Puesto que la intensidad del campo es

proporcional al número de líneas de fuerza que atraviesan la superficie, el flujo eléctrico es por

tanto proporcional al número de líneas de fuerza que atraviesan el área.

Las líneas anteriores pueden formularse matemáticamente

como:

ˆ· · A E AE

Φ = = = ⋅�� �

E A E n

donde la superficie se ha representado por medio de un

vector unitario normal a la misma ( n̂ ), que por convenio

apunta hacia fuera de la superficie, y cuya magnitud es el

área de la superficie (A).

Sin embargo, en general el campo eléctrico no es

perpendicular a la superficie sino que forma un cierto

ángulo con la ésta. En este caso, la expresión anterior se

convierte en:

· E A cos E AE n

Φ = = ⋅ θ =��

E A

donde nE ˆ ·E�

=n

es el componente de E�

perpendicular a

la superficie. Finalmente, el caso más general, viene dado

cuando la superficie que se considera es curvada. En la

Figura 10 se muestra un ejemplo en el que además la

superficie es cerrada.

Si se toma un diferencial de esta superficie cerrada y

curvada ( Ai

∆ ) es posible definir un vector que representa

este pequeño incremento de superficie y que es

perpendicular a la misma: ˆAi i

∆ = ∆�A n

Figura 9: (a) Ilustración de un campo

eléctrico que atraviesa una superficie de

área A perpendicular al mismo, y (b)

ilustración de un campo eléctrico que

atraviesa una superficie de área A que no

es perpendicular al mismo.

De este modo, el flujo que atraviesa este incremento de

área es:

· E A cosE i i i i

∆Φ = ∆ = ⋅∆ θ��

E A

El flujo total se encuentra sumando todos los flujos

asociados a los pequeños incrementos de área. Cuando

los incrementos son muy pequeños, es decir, cuando se

tienen diferenciales, el flujo eléctrico se define como:

A 0

lim · E· Ai

E i i

S

d∆ →

Φ = ∆ =∑ ∫∫��

�E A

b) Ley de Gauss

Consideremos una carga puntual Q ubicada en el centro de una esfera de radio R tal y como se

ilustra en la Figura 11. Por la ley de Coulomb, tenemos que esta carga crea un campo eléctrico en

cada uno de los puntos situados a distancia R, igual a:

rE ˆ2

R

kQn

=�

Si se sustituye esta última expresión en la ecuación

que permite el cálculo del flujo a través de la

esfera, se obtiene:

0

2

2

0 0

lim · E· A

E A 4π 4π

14π

4π

i

E i i

A S

n

S

d

kd Q R Q k

R

QQ

ε ε

∆ →

Φ = ∆ = =

= = = =

= =

∑ ∫∫

∫∫

��

�

�

E A

donde ke se ha expresado como 0π4

1

ε=ek , y 0ε recibe el nombre de permitividad del espacio

libre que tiene como valor ε0= 8,85·10-12

C2/Nm

2. Además se ha considerado que

2π4 R es el área

de una esfera. Como puede observarse, el resultado sólo depende de la carga interna a la

superficie de radio R y de la permitividad del medio. Además cabe destacar que el resultado es

independiente del radio. De este modo, la ley de Gauss se resume en la siguiente fórmula

int

0

E· AE

S

Qd

εΦ = =∫∫�

donde la carga que se debe tomar es la carga que encierra la superficie de integración escogida.

Figura 10: Superficie curvada en la que existe

un campo eléctrico.

Figura 11: Campo eléctrico creado por una carga

puntual

El número neto de líneas de fuerza que atraviesa

cualquier superficie que encierra las cargas es

proporcional a la carga encerrada dentro de la

superficie y es el mismo independientemente del

radio y, por tanto, de la superficie que se escoja.

1) Cálculo del campo eléctrico creado por una superficie (distribución continua superficial de

carga con densidad superficial σ )

Si se considera un plano infinito (o muy grande para poder obviar el efecto de los bordes), se

puede construir una superficie de Gauss también, tal y como se ilustra en la Figura 13.

(a) (b)

Figura 13: (a) Campo eléctrico creado por una superficie con una densidad superficial de carga σ, (b) esquema de la

selección de una superficie de Gauss para el cálculo del campo eléctrico generado por una superficie infinita.

Tal y como se puede observar, se tienen tres superficies. El producto escalar entre el campos

eléctrico y el vector normal a las superficie se anula en la superficie lateral. De este modo, sólo se

tiene flujo en ‘las tapas’ del cilindro. En este caso, el cálculo del flujo a través de cada superficie

puede realizarse a partir de las siguientes ecuaciones:

1 2 3 1 2

1 1 2 2 1 2

· · · · E A E A 0

E A E A A(E E )

E n n

S S S S S S

d d d d d dΦ = = + + = + + =

= + = +

∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫� � � �� � � �

� E A E A E A E A

Si se supone además que A1= A2, y que el campo eléctrico es el mismo en ambas superficies, se

tiene la siguiente expresión para el flujo eléctrico:

Figura 12: El flujo eléctrico es siempre el mismo

indepen-dientemente del radio y, por tanto, de la

superficie.

1 2A(E E ) 2AEE z

Φ = + =

Si se aplica la ley de Gauss para

averiguar el valor del campo eléctrico,

se tiene:

intint

0 0

AE 2A 4πz

QkQ

σε ε

⋅= = =

Aislando el campo eléctrico:

02

Eεσ

=z N/C

que también puede expresarse en

relación al vector unitario en la

dirección z, es decir k̂ :

<−

>=

0ˆ2

0ˆ2

0

0

zk

zk

z

εσεσ

E�

N/C

2) Cálculo del campo eléctrico generado por un alambre infinito (distribución de carga lineal)

con densidad lineal λ

En este apartado se utilizará la ley de Gauss para calcular el campo eléctrico generado por un

alambre infinito. Es importante destacar que el problema sólo se simplifica si el alambre es

considerado infinito, o muy largo frente a los puntos donde se va a calcular el campo eléctrico, ya

que sólo así no habrá un cambio de campo eléctrico debido al efecto de los bordes. En este caso,

por simetría, el campo eléctrico será perpendicular al elemento de carga en todos los puntos del

alambre. De este modo, la elección ideal de la superficie es una superficie cilíndrica que rodee el

alambre, tal y como se muestra en la Figura 15.

Figura 15: Distribución lineal de carga (alambre) y construcción de superficies que la rodean.

Figura 14: Gráfica del módulo del campo eléctrico en función de la

distancia (z) a la distribución continua superficial de carga.

La superficie cilíndrica puede dividirse en tres superficies: dos ‘tapas’ (S1 y S2) , es decir,

secciones perpendiculares al campo eléctrico creado por la distribución y una superficie lateral S3

. Por tanto, el cálculo del número de líneas de campo eléctrico que atraviesan estas superficies se

lleva a cabo resolviendo tres integrales de superficie. Como el campo eléctrico es perpendicular a

las superficies A1 y A2, su producto escalar será 0, y por tanto no se tiene flujo en las ‘tapas’ del

cilindro. Sin embargo, en la superficie lateral del cilindro el campo eléctrico y la superficie son

paralelos. Además, el campo eléctrico tiene el mismo valor en cada punto de la superficie, de este

modo, la magnitud del campo se puede sacar de la integral, y sólo es necesario calcular la integral

de la superficie, es decir, sumar todos los pequeños elementos de superficie. Así pues, el flujo

eléctrico es:

1 2 3 3

· · · · 0 0 E A E 2πE n n

S S S S S

d d d d d rLΦ = = + + = + + =∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫E A E A E A E A� � � �� � � �

�

donde Rπ2 L representa el área lateral del cilindro. Si se considera la ley de Gauss, sabemos que

el flujo neto a través de cualquier superficie es igual a:

int

0

intπ4 kQ

Q=

ε

Si se igualan las dos expresiones que se han obtenido para el flujo, se puede determinar el valor

del campo eléctrico.

0

int

0

int λπ4π2E

εεL

kQQ

RLn

=== ,

de donde se deduce que:

CNR

En

/π2

λ

0ε

=

Obtenemos el campo eléctrico de un alambre (una distribución lineal infinita de carga) a una

distancia R que responde al comportamiento ilustrado en la Figura 16.

Figura 16: Representación del módulo del campo eléctrico en función de la distancia entre la

línea de carga y el punto donde se calcula el campo.

3) Cálculo del campo eléctrico creado por una corteza esférica

En primer lugar, es necesario explicar qué se entiende por corteza esférica. Intuitivamente, se

tiene una corteza esférica en casos como la piel de cuero de un balón o de una pelota de tenis en

cuyo interior se tiene aire. En el caso que nos va a ocupar en este tema, en el interior de la corteza

se tiene el vacío. La distribución de carga en el caso de la corteza esférica es simétrica y puede

expresarse como:

2

int

π4 R

Q=σ

Figura 17: Campo eléctrico creado por una corteza esférica

Es conveniente resolver el problema considerando dos regiones distintas, tal y como se ilustra en

la Figura 18:

Figura 18: Superficies gaussianas para encontrar el campo eléctrico para los casos (a) r < a y (b) r > a, respectivamente.

Caso r < a

Puesto que no existe carga en el interior de la corteza esférica, la superficie de Gauss no

encerrará ninguna carga y, por tanto, el campo eléctrico en su interior será nulo.

Caso r > a

Si se considera la ley de Gauss y se toma como superficie de Gauss una esfera, se tiene:

2 intint

0

· E· A E · A E 4π 4πE n n

S S S

Qd d d r kQ

εΦ = = = = = =∫∫ ∫∫ ∫∫E A

��

� � �

Que también puede expresarse en función de la densidad de carga superficial:

2 2

int int

2 2 2 2

0 0 0

ˆE ( ) / ( ) /4π · ·

n n r

Q kQ a ar N C r N C

r r r r

σ σε ε ε

⋅ ⋅= = = ⇒ =E u

�