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1.

Amplificadores operacionales (AOPs) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1 Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Descripcin bsica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Funcionamiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.1 Etapa diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.2 Etapa cambiadora de nivel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3.3 Etapa de salida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4 Configuraciones bsicas del AOP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1 Realimentacin negativa y positiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.2 Amplificador inversor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.3 Amplificador no inversor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.4 El amplificador sumador inversor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.5 El amplificador derivador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Realizacin prctica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 3 3 6 7 7 8 8 8 9 10 11 12 13

2. Respuesta temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.1 Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.1.1 Resistencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.1.1.1 Una resistencia conectada a un generador de corriente alterna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.1.2 Bobina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 2.1.2.1 Una bobina conectada a un generador de corriente alterna 2.1.3 Condensador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.1.3.1 Un condensador conectado a un generador de corriente alterna . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.1.4 La funcin sinusoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.1.4.1 Onda sinusoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.1.5 Respuesta temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.1.5.1 Valores significativos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.1.5.2 Representacin fasorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.2 Polos y ceros en una funcin de transferencia . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.2.1 Funcin de transferencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 2.2.2 Sistemas de primer orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.2.3 Sistemas de segundo orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.2.3.1 Frecuencia natural no amortiguada (n) y relacin de amortiguamiento () . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.2.4 Polos y ceros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.2.4.1 Grfica de los polos y ceros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.2.4.2 Repeticin y cancelacin de polos y ceros . . . . . . . . . . . . 40 2.2.5 Estudio de los polos de una funcin de transferencia . . . . . . . . 41 2.2.5.1 Polos simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.2.6 Estudio del lugar geomtrico de los polos . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.2.6.1 Especificaciones en el dominio temporal . . . . . . . . . . . . . 44 2.3 Realizacin prctica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3. Rgimen permanente sinusoidal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1 Introduccin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Impedancia de los componentes bsicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Clculo de circuitos con las impedancias . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Fasores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 55 56 57 58

1

4. 5. 6. 7.

3.3.1 Definicin de fasor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.2 Representacin fasorial de seales sinusoidales . . . . . . . . 3.3.3 Propiedades de los fasores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4 Anlisis circuito RLC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 Resonancia, factor de calidad y ancho de banda . . . . . . . . 3.5 Realizacin prctica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Presupuesto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Bibliografa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Anexo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

58 59 59 60 62 63 67 68 68 68

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1.1.1

Amplificadores operacionales (AOPs)Introduccin

El amplificador operacional (AOP) es un circuito cuya popularidad y utilizacin ha crecido de una manera vertiginosa en los ltimos aos gracias a la gran cantidad de operaciones en las que puede ser utilizado, en electrnica analgica, prcticamente en todas, y en electrnica digital en bastantes. Gran parte de esta popularidad hay que agradecerla a la aparicin de la integracin de semiconductores, con la cual este circuito est hoy en da disponible en forma de pequeos circuitos integrados de bajo precio, considerndolo como un componente electrnico ms. El trmino de amplificador operacional fue nombrado para designar una clase de amplificadores que permiten realizar una serie de operaciones tales como suma, resta, multiplicacin, integracin, diferenciacin..., importantes dentro de la computacin analgica. La aparicin y desarrollo de la tecnologa integrada, que permita fabricar sobre un nico substrato monoltico de silicio gran cantidad de dispositivos, dio lugar al surgimiento de amplificadores operacionales integrados que desembocaron en una revolucin dentro de las aplicaciones analgicas. El AOP es un elemento estrella en los sistemas analgicos, con l podemos amplificar seales, atenuarlas, filtrarlas, etc. Los sistemas de control analgico encuentran en el AOP un elemento de conmutacin sumamente simple. Uno de los modelos de AOPs que desbanc a sus rivales de la poca con una tcnica de compensacin interna muy relevante y de inters incluso en nuestros das fue el AOP 741, un circuito que por sus buenas caractersticas, relacin precio-fiabilidad y buena disponibilidad, le hacen acreedor al ttulo de ms utilizado. Los amplificadores basados en tecnologa CMOS han surgido como parte de los circuitos VLSI de mayor complejidad, aunque sus caractersticas elctricas no pueden competir con los de la tecnologa bipolar. Su campo de aplicacin es ms restrictivo pero estructura sencilla y su relativa baja rea de ocupacin les hacen idneos en aplicaciones donde no se necesitan altas prestaciones como son los circuitos de capacidades conmutadas. Combinando las ventajas de los dispositivos CMOS y bipolares, la tecnologa BiCMOS permite el diseo de excelentes AOPs.

1.2

Descripcin bsica

Vamos a considerar nica y exclusivamente el amplificador operacional ideal, que aun no existiendo en la vida real, es una aproximacin muy precisa y perfectamente vlida para el anlisis de sistemas reales. Para este estudio nos limitaremos a uno de los dispositivos de entre la amplia gama existente, el 741.

Figura 1.1

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Un AOP es un dispositivo electrnico de alta ganancia siendo capaz de ofrecer una tensin de salida en funcin de una tensin de entrada, a la que se le dota de etapas adicionales para conseguir una salida variable entre los valores positivo y negativo de alimentacin. La propiedad fundamental de un amplificador diferencial es la de amplificar la diferencia de las tensiones aplicadas a los terminales de entrada VP y VN, los cuales se llaman no inversor e inversor respectivamente. Un amplificador operacional presenta cinco patillas, dos de ellas son las entradas del dispositivo, la primera de ellas llamada entrada inversora (VN), la otra denominada entrada no inversora (VN). Otra de las patillas del amplificador operacional corresponde a la salida del dispositivo (Vo) mientras que las dos patillas restantes corresponden a la alimentacin requerida por el dispositivo (VCC y VEE, VCC ser la alimentacin positiva y VEE ser la alimentacin negativa). En realidad, los AOPs poseen al menos ocho terminales, cinco de los cuales son los definidos anteriormente, dos terminales ms que se denominan ajuste centrado, que se utiliza para ajustar la tensin de salida ya que por no ser idnticas las entradas produce un desequilibrio interno y con este potencimetro podemos ajustar esta seal de error a la salida, a este error se le denomina tensin de offset, y por ltimo existe otra patilla que no tiene utilidad.

Figura 1.2

Asimismo, el 741 necesita dos tensiones de alimentacin VCC y VEE, que pueden variar entre 5V a 18V. En todas nuestras aplicaciones supondremos una alimentacin de 15V salvo que se especifique lo contrario. La relacin entre las tensiones de entrada y salida es

Vo = Ao (VP VN )en la que Ao es la ganancia sin realimentacin, esta ganancia es de un valor muy alto, para el AOP 741 es de 200.000, equivalente a 106dB. Este valor tan alto de Ao est definido para una tensin de alimentacin fija, a temperatura constante y sobre una carga determinada, sin embargo, este valor puede variar con los siguientes parmetros: - temperatura: la ganancia disminuir si tambin disminuye la temperatura, normalmente su valor es de 25 C. - frecuencia: disminuye la ganancia si la frecuencia aumenta, el valor de Ao slo es constante para un valor muy bajo de frecuencia normalmente comprendido entre un valor de 5 a 10 Hz. - tensin de alimentacin: la ganancia disminuye al disminuir sta, en nuestro caso del AOP 741 el valor de Ao, proporcionado por el fabricante, corresponde a una tensin de 15V.

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En el modelo interno de un AOP se observan las resistencias Ri, resistencia de entrada, y Ro, resistencia de salida. Los valores de estas resistencias para el AOP 741 son tpicamente de 2 M para la impedancia de entrada y de 75 para la impedancia de salida. La fuente de tensin de salida que tiene el AOP corresponde al valor de Ao (VP VN). La tensin de entrada se define en modo diferencial (Vd) y modo comn (Vc) como

Vd = (VP VN )

Vc =y la tensin de salida viene expresada por

(VP VN )2

Vo = Ad Vd + Ac VcLa Ad es la denominada ganancia en modo diferencial, y la Ac es la ganancia en modo comn, que no se indica directamente, sino a travs del parmetro de relacin de rechazo en modo comn ( CMRR ). El CMRR indica la relacin entre la ganancia que proporciona el circuito a la tensin diferencial y la ganancia de la tensin comn de entrada, tiene en cuenta que el AOP no puede rechazar totalmente las tensiones comunes que haya en las entradas, este valor es expresado en dB.

CMRR = 20 log

Ao Ac

Otros parmetros que miden estas imperfecciones son los parmetros de offset, que producen una pequea tensin de salida incluso en ausencia de tensin de entrada. - corriente de polarizacin de entrada: es el valor medio de las corrientes de polarizacin de las entradas. - corriente de offset de entrada: es la diferencia de las corrientes de polarizacin de las entradas. - tensin de offset de entrada: es la tensin diferencial de entrada necesaria para obtener una tensin de salida de cero voltios. El fabricante suele dar estos parmetros entre las caractersticas proporcionadas as como la variacin de estos valores ante factores tales como la temperatura, frecuencia de entrada y tensiones de alimentacin. Otro parmetro muy importante de un AOP es la velocidad de variacin de la tensin de salida, que se llama Slew Rate (SR), que viene definido como la mxima velocidad que puede tomar la variacin de la tensin de salida para seales de entrada de gran amplitud.

SR =

Vo t

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Una vez explicado todos los parmetros que pueden afectar al comportamiento de AOP enumeraremos las caractersticas que definen a un AOP ideal resistencia de entrada infinita resistencia de salida cero ganancia en tensin en modo diferencial infinita ganancia en tensin en modo comn cero corrientes de entradas cero ancho de banda infinito ausencia de desviacin en las caractersticas con la temperatura

1.3

Funcionamiento

Para el estudio del funcionamiento de un amplificador operacional dividiremos en tres bloques fundamentales la estructura interna de un AOP 741: etapa diferencial, etapa cambiadora de nivel y etapa de salida.

|_________________________| |_____________________________| |________|Etapa diferencial Etapa cambiadora de nivelFigura 1.3

Etapa de salida

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1.3.1

Etapa diferencial

En la etapa diferencial del amplificador operacional 741 se puede observar dos grupos de transistores Q1-Q3 y Q2-Q4 en configuracin de colector comn Q1 y Q2 y en base comn Q3 y Q4. Los transistores actan a modo de generadores de corriente, junto a estos componentes bsicos se encuentran los restantes elementos de polarizacin. De las ramas comprendidas por los transistores Q5, Q7 y Q6 se podran simplificar por tres fuentes de corriente I1, I2 e I3 respectivamente, asimismo, dada la absoluta simetra respecto al eje vertical que pasa por la fuente de corriente proporcionada por I2 podemos decir que Q1=Q2, Q3=Q4 e I1=I3. En ausencia de seales de entrada la corriente proporcionada por I2 se reparte por igual entre Q3 y Q4, dando lugar a una determinada tensin de salida. Si aplicamos una seal comn a ambas entradas, variaremos las corrientes de polarizacin de Q1 y Q2, pero al suponer que tenemos una absoluta simetra en el circuito nos representar que la corriente I2 se reparte de manera equitativa entre Q3 y Q4 produciendo as que la tensin de salida no vare. Si aplicamos una pequea tensin diferencial de manera que VP > VN conseguiremos aumentar la intensidad de base de Q1, con lo que tambin aumentar su corriente de emisor, este aumento de la corriente de emisor de Q1 provoca un aumento de la corriente de emisor de Q3 y consecuentemente provoca un aumento de su corriente de base. Si la corriente de base de Q3 aumenta, como I2 es constante, la corriente de base de Q4 disminuye, disminuyendo a su vez la corriente de colector de Q4. Como I3 es una fuente de corriente constante una disminucin de la corriente de colector de Q4 provoca un aumento de la corriente que circula por la resistencia de emisor de Q4, y en consecuencia, aumentar la tensin en la misma. En resumen, podemos afirmar que un aumento de VP respecto a VN provoca un aumento de la tensin de salida. Del mismo modo podemos decir que al invertir la polaridad de la tensin diferencial de entrada (VP < VN), nos conlleva a una variacin de sentido contrario de la tensin de salida, disminuyendo sta respecto de su valor original. 1.3.2 Etapa cambiadora de nivel

La segunda etapa resulta ser un puente entre la entrada y la salida de manera que ambas queden separadas y con las impedancias adaptadas. Una tensin diferencial aplicada a las entradas provoca que la tensin de salida de la etapa diferencial aumente o disminuya respecto de un valor determinado. Sin embargo, esta variacin de la tensin se produce con una nica polaridad que hace desaprovechar la caracterstica del AOP de estar alimentado por una fuente de alimentacin simtrica. Por otra parte, la ganancia de tensin no es extremadamente ata, estando bastante lejos de la ganancia tpica de este componente. Para resolver estos dos problemas se intercala a la salida de la etapa diferencial una etapa llamada cambiadora de nivel cuya propiedad principal es la de proporcionar una alta ganancia en tensin, permitir que la tensin de salida vare entre los valores mximos de VCC y VEE y permitir un voltaje de salida cero voltios cuando VP = VN. El transistor Q5 nos permite acoplar la seal procedente de la etapa diferencial sin sobrecargar la corriente proveniente de sta, lo cual podra desequilibrar la tensin de salida del diferencial. Los transistores Q5 y Q6 forman un montaje llamado Darlington, el cul nos proporciona un aumento de la corriente y de la ganancia. Resulta muy interesante la inclusin del condensador, normalmente de 30 pF, es, como mucho, el componente ms voluminoso de cuantos integran el chip ya que la capacidad requiere un rea mnima de placas y un determinado espesor del dielctrico. La misin de esta capacidad es la de compensar la frecuencia del amplificador, controlando as el ancho de banda de ste cuando se utiliza en circuitos con realimentacin negativa.

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1.3.3

Etapa de salida

La salida est formada esencialmente por un circuito seguidor de emisor con simetra complementaria. Una fuente de corriente polariza los transistores previos para que el conjunto apenas consuma potencia en ausencia de seal.

1.41.4.1

Configuraciones bsicas del AOPRealimentacin negativa y positiva

En el circuito de la Figura 1.4 se observa un detalle importante, la seal correctora, que procede de la seal de salida del amplificador operacional, se resta a la seal de entrada del dispositivo. Suponiendo que la seal de error tiende a contrarrestar la procedente del amplificador operacional, si la salida de ste es muy grande, la seal de error se hace negativa y la corriente se estabiliza. Esta tcnica recibe el nombre de realimentacin negativa, ya que la informacin procedente de la salida se resta a la entrada, y es til para situaciones en las que es necesario controlar el crecimiento de una seal.

Figura 1.4

Otra posibilidad consiste en sumar la seal obtenida a la seal de error en vez de restarla, lo que se consigue con un pequeo cambio tal y como se muestra en la Figura 1.4. La realimentacin que se emplea en este dispositivo es ahora realimentacin positiva, y no es demasiado til en aparatos ideales. Lo que ocurre con la seal de salida es que cada vez va creciendo ms y ms, ya que el lazo de realimentacin tiende a hacer que crezca sin control, la aparicin de una seal en la salida hace que se sume un cierto factor a la entrada debido al segundo amplificador, lo que incrementa el nivel de la seal de salida, lo que a su vez vuelve a hacer mayor el valor de , cerrndose as un crculo que lleva a infinito el nivel medido en y.

Figura 1.5

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La realimentacin positiva no es til para construir amplificadores, pero tiene otras aplicaciones prcticas como por ejemplo en circuitos osciladores. 1.4.2 Amplificador inversor

Es el modo de configuracin ms importante en los circuitos con amplificadores operacionales, denominado inversor por estar desfasada la seal de salida 180 con relacin a la de entrada, caracterstica fundamental de este circuito. El circuito de la Figura 1.6 representa el esquema de un amplificador inversor tpico que nos servir para observar el efecto de la impedancia Z2 de realimentacin sobre el comportamiento del amplificador operacional.

Figura 1.6

La conexin de Z2 entre el terminal de salida Vo y el terminal VN equivale a conectar en paralelo con la impedancia de entrada del AOP (Zi) una impedancia de valor Z = Z2/Ao y dado que Ao >> 1 el valor de Z prcticamente ser cero. Por otra parte, si la impedancia de entrada total es Zi = Zi Z y dado que Z 0, entonces Zi 0, lo que indica que la tensin de entrada diferencial (Vd) es prxima a cero, y como VP est conectado a masa, el potencial del terminal inversor tambin es prcticamente el de masa. Este efecto lo describimos diciendo que en la entrada del AOP existe un cortocircuito virtual (masa virtual), indicando con el trmino virtual que aunque est incluida la impedancia Z2 para mantener la tensin diferencial igual a cero, en realidad no circula corriente a travs de este cortocircuito. En la Figura 1.7 se representa un amplificador inversor que utilizaremos para analizar y obtener la ganancia del amplificador operacional. Como se ha citado anteriormente, por el cortocircuito no circula corriente (masa virtual), y el punto que une las resistencias R1 y R2 se comportar como si estuviese conectado a masa.

Figura 1.7

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Utilizando la ley de Kirchhoff en el punto tenemos que

I 1 + I 2 = IB1suponiendo que el AOP es ideal tenemos que IB1 = 0 por tanto

Vi Vd Vo Vd + =0 R1 R2y por otro lado al tener masa virtual (Vd = 0) la ecuacin nos queda

Vi Vo + =0 R1 R 2finalmente podemos decir que

AV =

Vo R2 = Vi R1

Una vez finalizado el anlisis de este circuito se puede ver claramente que la tensin de salida es proporcional a la tensin de entrada, siendo el factor de proporcionalidad una constante que definimos con las resistencias R1 y R2. Este simple diseo de amplificador operacional puede atenuar o amplificar las seales aplicadas a nuestra entrada, el nombre de inversor viene dado por el signo negativo presente en la frmula, es decir, el montaje invierte la fase de la seal de entrada. Finalmente podemos destacar la presencia de una R3, cuya misin es la de compensar los posibles efectos no deseados debidos a imperfecciones en el funcionamiento de los amplificadores operacionales reales, en concreto lo que se busca es disminuir el efecto de unas intensidades de polarizacin residuales presentes en las entradas del amplificador operacional.

1.4.3

Amplificador no inversor

Este circuito presenta como caracterstica ms destacable su capacidad para mantener la fase de la seal, en el apartado anterior veamos como al conectar el terminal VP a masa e introducir la seal de entrada por el terminal VN, la seal de salida Vo estaba invertida respecto a la entrada. Si por el contrario, se invierten las funciones de los terminales de entrada, el resultado es un amplificador no inversor, cuyo circuito bsico es el mostrado en la Figura 1.8. Para analizar este circuito utilizaremos la misma metodologa y razonamiento del circuito amplificador inversor.

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Figura 1.8

Analizando las corrientes en el nudo VN obtenemos que

I1 I 2 = 0por otra parte tenemos que VP = Vi entonces

I1 = I 2

I1 =

Vi R1

I2 =

Vo Vi R2

igualando ambas expresiones tenemos que

Vi Vo Vi = R1 R2Vi R 2 = Vo R1 Vi R1 Vi (R 2 + R1) = Vo R1

AV =

Vo R 2 + R1 R 2 = = +1 Vi R1 R1

Se puede apreciar como no existe signo negativo en la expresin (la seal no se invierte), siendo adems la ganancia siempre superior a la unidad. Este circuito no permite atenuar seales. 1.4.4 El amplificador sumador inversor

La Figura 1.9 muestra un amplificador sumador inversor para dos entradas, el nmero de entradas no est limitado a dos, siendo posible ampliarlo cuando as se requiera. Para analizar el circuito utilizaremos el mismo desarrollo matemtico que en los apartados anteriores.

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Figura 1.9

Analizando las corrientes en el nudo V tenemos que

I1 + I 2 = I 3

V 1 + V 2 = Vo R1 R 2 R3R3 R3 Vo = V 1 + V 2 R2 R1 Al llegar a este punto se debe particularizar la presente configuracin para obtener un sumador. Si se afirma la igualdad entre las resistencias R1=R2=R3=RN se obtiene una tensin de salida igual a la suma algebraica de tensiones de entrada, con la correspondiente inversin de fase. 1.4.5 El amplificador derivador En la Figura 1.10 se puede observar una configuracin de un circuito derivador

Figura 1.10

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Este circuito presenta una salida proporcional a la variacin de la seal de entrada. Debido a la relacin que existe entre la tensin y la corriente a travs de un condensador, y aplicarla sobre nuestro circuito implementado resulta que la tensin de salida es la derivada de la tensin de entrada.

I =C

dV dt

El mtodo utilizado para el anlisis de este circuito es el mismo que en los amplificadores anteriores

I1 = I 2 C dVi Vo = dt R1 dVi dt

Vo = R1 C 1.5 Realizacin prctica

EL objetivo principal de esta prctica es la familiarizacin con un circuito integrado comercial de un amplificador operacional, concretamente el A741. Para ello se llevarn a cabo diversos montajes. Antes de iniciar la prctica cabe recordar la representacin de este dispositivo y su correspondiente patillaje de su encapsulado para diferenciar sus cinco patillas fundamentales a la hora de realizar el montaje prctico.

Figura 1.11

Figura 1.12

13

Ejercicio 1 a) Disear un circuito inversor en el que la ganancia AV=10 y rellenar la siguiente tabla comprobando los valores tericos con los prcticos. Dibujar a partir de los valores prcticos obtenidos la relacin Vo/Vi.

Figura 1.13

I 1 + I 2 = IB1 Vi Vd Vo Vd + =0 R1 R2 Vi Vo + =0 R1 R 2 AV = Vo R2 = Vi R1 R2 R1

10=

10R1=R2 Si tomamos que R1=10k tendremos que R2=100k

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Vi - 2V - 1'8V - 16V - 14V - 12V - 1V - 08V - 06V - 04V - 02V 0V 02V 04V 06V 08V 1V 12V 14V 16V 18V 2V Vo 20V 18V 16V 14V 12V 10V 8V 6V 4V 2V 0V - 2V - 4V - 6V - 8V - 10V - 12V - 14V - 16V - 18V - 20V

Terico Vd 0V 0V 0V 0V 0V 0V 0V 0V 0V 0V 0V 0V 0V 0V 0V 0V 0V 0V 0V 0V 0V Vo - 12,91V - 12,91V - 12,91V - 12,90V - 12,80V - 11,15V - 8,80V - 6,19V - 3,46V - 1,47V 0V 1,21V 3,82V 6,81V 8,07V 10,68V 12,77V 14,28V 14,28V 14,28V 14,28V

Prctico Vd 0,69V 0,41V 0,30V 0,03V 0V 0V 0V 0V 0V 0V 0V 0V 0V 0V 0V 0V 0,01V 0,24V 0,31V 0,58V 0,61V

Figura 1.14

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b) Comprobar con el osciloscopio que el circuito tiene dicha ganancia aplicando varias seales senosoidales de distinta amplitud. Circuito con Vi = 1V de pico

Figura 1.15

Circuito con Vi = 1,2V de pico

Figura 1.16

Circuito con Vi = 1,4V de pico

Figura 1.17

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c) Encontrar el valor de la tensin de entrada Vi para la cual la salida deja de aumentar. A qu es debido esto? El valor obtenido de la tensin de entrada ha sido 1,4V. El amplificador que nosotros hemos utilizado con su correspondiente configuracin, nos dar como mximo 14V, con lo que nos quiere decir que a partir de esta tensin el amplificador operacional saturar la seal de salida, tal y como se puede ver en la figura Ejercicio 2 a) Utilizando el circuito del ejercicio anterior para una Vi = - 1V y cambiando R2 por un potencimetro de 1M, comprobar el valor de la tensin de salida Vo y calcular la ganancia de tensin Av en dB.

Vi = - 1V R2 () 0 100 470 1k 18k 22k 33k 4k7 6k8 10k 33k 68k 100k 120k 330k 470k 560k 1M

Terico Vo (V) Av (dB) 0 10m - 40 47m - 2655 01 - 20 018 - 1489 022 - 1315 033 - 962 047 - 655 068 - 334 1 0 33 1037 68 1665 10 20 12 2158 33 3037 47 3344 56 349 100 40

Prctico Vo (V) Av (dB) 0 1,09 0,74 1,09 0,74 1,09 0,74 1,09 0,74 1,12 0,98 1,32 2,41 1,54 3,75 1,73 4,76 2 6,02 4,28 12,62 6,33 16,02 9,87 19,88 11 20,82 12,95 22,24 12,95 22,24 12,95 22,24 12,95 22,24 12,97 22,24

b) Qu efecto produce la resistencia de realimentacin en un amplificador operacional? Cunto ms grande es la resistencia de realimentacin ms grande ser la tensin de salida con lo que aumentaremos la ganancia en tensin pero antes se saturar el amplificador operacional.

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Ejercicio 3 a) Montar el circuito de la Figura 1.18 denominado seguidor de tensin y rellenar la siguiente tabla.

Figura 1.18

Terico Vi - 8V - 6V - 4V - 2V 0V 2V 4V 6V 8V Vo - 8V - 6V - 4V - 2V 0V 2V 4V 6V 8V Vi - 8V - 6V - 4V - 2V 0V 2V 4V 6V 8V

Prctico Vo 7,95V 5,99V 3,99V 1,98V 0V 1,95V 3,96V 6,01V 8,04V

b) Utilizando el generador de funciones e introduciendo una seal de 5V, poner diferentes tipos de entrada (senoidal, triangular, cuadrada...) y comprobar en el osciloscopio la seal de entrada y la de salida conjuntamente. Deducir cul ser la ganancia de este circuito. Vd = 0 VP VN = 0 VP = VN VP = Vi = VN = Vo Vi = Vo GV =

Vo =1 Vi

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c) Aumentar la frecuencia del generador hasta 4kHz y comentar los resultados. Entrada sinusoidal frecuencia a 1kHz Entrada sinusoidal frecuencia a 4kHz

Entrada triangular frecuencia a 1kHz

Entrada triangular frecuencia 4kHz

Entrada cuadrada frecuencia 1kHz

Entrada cuadrada frecuencia a 4kHz

19

d) Qu finalidad tiene este circuito? Se podra decir que un circuito seguidor de tensin tiene como finalidad proporcionar un medio para aislar una seal de entrada de una carga mediante el uso de una etapa con ganancia unitaria de voltaje, sin inversin de polaridad o de fase, y que acta como un circuito ideal con impedancia muy alta de entrada y baja impedancia de salida. e) Quitar la realimentacin del circuito anterior y poner una tensin fija de 5V (Vref) en la entrada VN del amplificador operacional. Rellenar la siguiente tabla y verificar que se cumple las siguientes expresiones: Vi > Vref Vo = Vcc = 15V Vi < Vref Vo = -Vcc = 0V

Figura 1.19

Vi 4V 47V 48V 49V 5V 51V 52V 53V 54V 55V

Vo terica 0V 0V 0V 0V 0V 15V 15V 15V 15V 15V

Vo prctica 1,32V 1,32V 1,32V 1,32V 1,32V 1,32V 14,28V 14,28V 14,28V 14,28V

Vi 54V 53V 52V 51V 5V 49V 48V 47V 46V 4V

Vo terica 15V 15V 15V 15V 0V 0V 0V 0V 0V 0V

Vo prctica 14,28V 14,28V 14,28V 1,32V 1,32V 1,32V 1,32V 1,32V 1,32V 1,32V

f) Repetir el ejercicio anterior pero intercambiando el valor de Vref de 5V a la entrada VP del amplificador operacional. Deducir en este caso que pasar cuando Vi > Vref y cuando Vi < Vref. Vi 4V 47V 48V 49V 5V 51V 52V 53V 54V 55V Vo terica 15V 15V 15V 15V 0V 0V 0V 0V 0V 0V Vo prctica 14,28V 14,28V 14,28V 14,28V 14,28V 1,32V 1,32V 1,32V 1,32V 1,32V Vi 54V 53V 52V 51V 5V 49V 48V 47V 46V 4V Vo terica 0V 0V 0V 0V 0V 15V 15V 15V 15V 15V Vo prctica 1,32V 1,32V 1,32V 1,32V 1,32V 14,28V 14,28V 14,28V 14,28V 14,28V

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Vi > Vref Vo = -Vcc = 0V Vi < Vref Vo = Vcc = 15V

Ejercicio 4 a) Montar el circuito de la Figura 1.20 teniendo en cuenta que todas las R son de valor 10k, rellenar la tabla.

Figura 1.20

I1 + I 2 = I 3

V 1 + V 2 = Vo R1 R 2 R3 R3 R3 Vo = V 1 + V 2 R2 R1

V1 8V - 9V 2V - 3V 4V 3V

V2 8V - 10V 1V 1V - 2V 6V

Terico Vo - 16V 19V - 3V 2V - 2V - 9V

Prctico Vo - 12,88V - 12,87V - 2,93V 1,98V - 2,01V - 8,98V

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b) Conectar una seal de 2V de pico en la entrada V1 y una seal TTL del generador de funciones a la entrada V2. Visualizar la seal de salida Vo y representarla grficamente. Seal de 2V Seal TTL

Suma de las dos seales anteriores

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2.2.1

Respuesta temporalIntroduccin

En esta prctica se analizarn los diferentes tipos de respuesta de los circuitos RLC (Resistencia Bobina Condensador). Estos tipos de circuitos se pueden describir con una ecuacin diferencial de segundo orden, las respuestas de estos circuitos varan segn sus componentes R, L, y C. Una vez obtenidos los valores de la bobina y el condensador se realizarn los diagramas de Bode para mostrar el desfase entre tensin y corriente en la bobina y el condensador. Para un mayor entendimiento de la respuesta de los diferentes circuitos electrnicos se har una introduccin bsica del funcionamiento de los tres componentes electrnicos que van a formar parte de nuestros circuitos. 2.1.1 Resistencia

Las resistencias son componentes electrnicos que tienen la propiedad de oponer el paso a la corriente elctrica, la relacin que existe entre la tensin aplicada a dos puntos de un conductor y la intensidad que circula entre los mismos es una constante a la que llamamos resistencia (Ley de Ohm). La unidad de medida son los Ohmios ().

R=

V I

La resistencia elctrica que existe entre dos puntos de un conductor cuando una diferencia de potencial constante de un voltio aplicada entre estos dos puntos produce, en dicho conductor, una corriente de intensidad de un amperio. Es un componente electrnico ideal, es decir, que su corriente es directamente proporcional a la tensin (menos en las resistencias especiales NTC, PTC, LDR, VDR). Las caractersticas ms importantes de las resistencias son: Valor nominal: es el valor en ohmios que posee y est inscrito en la propia resistencia con cifras o por medio de un cdigo de colores (ver figura TAL). Tolerancia: es el error mximo con el que se fabrica la resistencia. Por ejemplo una resistencia de valor 10 con una tolerancia del 5% querr decir que la resistencia tendr un valor garantizado de 10 5%, teniendo en cuenta que el 5% de 10 es 05, daremos por buena la resistencia si su valor est comprendido entre 95 y 105. Potencia mxima: es la mayor potencia que ser capaz de aguantar sin llegar a quemarse.

-

-

23

En la siguiente tabla se pueden ver los diferentes colores y numeracin de las resistencias para poder averiguar su valor: Color Negro Marrn Rojo Naranja Amarillo Verde Azul Violeta Gris Blanco Oro Plata Sin anillo 1er y 2o anillo 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ------3er anillo 1 10 100 1.000 10.000 100.000 1.000.000 10.000.000 100.000.000 1.000.000.000 01 001 --Tolerancia --1% 2% ----05% 025% 01% ----5% 10% 20% Coeficiente Ta 200 100 50 15 25 --10 5 1 ---------

2.1.1.1 Una resistencia conectada a un generador de corriente alterna Es el circuito ms simple y sencillo para analizar, el cul est formado por una resistencia alimentada por una fuente de tensin alterna senoidal.

Figura 2.1

La tensin vg tendr un valor instantneo que vendr dado por

vg = Vo sen( t )

donde = 2f

En corriente alterna la oposicin al paso de la corriente elctrica tiene dos componentes, una real y otra imaginaria. Esta oposicin recibe el nombre de impedancia (Z) y no resistencia. La impedancia se expresa mediante un nmero complejo (a + bj), siendo a la parte real del nmero complejo y b la parte imaginaria. Una resistencia presenta una impedancia que slo tiene componente real, ya que la componente imaginaria es de valor cero, con esto entonces tenemos el caso de que la impedancia total del circuito ser igual al valor que presente la resistencia R, ya que no existe ningn otro componente en el circuito. Z = R + 0j

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Ahora calcularemos el valor de la corriente i que circula por el circuito aplicando la ley de Ohm.

i=

vg Vo sen( t ) Vo = sen( t ) = Z R+0j R

Con esta ecuacin podemos observar que la corriente i ser, al igual que la tensin vg, de tipo alterna senoidal, y adems, como el argumento de la funcin seno es el mismo en ambos casos la corriente i estar en fase con la tensin vg.

Figura 2.2

2.1.2

Bobina

Una bobina por su forma (espiras de alambre enrollado), almacena energa en forma de campo magntico. Todo cable por el que circula una corriente tiene a su alrededor un campo magntico generado por la corriente, siendo el sentido de flujo del campo magntico, el que establece la ley de la mano derecha (Electromagnetismo). La bobina es un componente formado por N espiras conductoras enrolladas sobre un ncleo de un material magntico o aire. Al estar la bobina hecha de espiras de cable, el campo magntico circula por el centro de la bobina y cierra su camino por su parte exterior. Una caracterstica interesante de las bobinas es que se oponen a los cambios bruscos de la corriente que circula por ellas. Esto significa que a la hora de modificar la corriente que circula por ellas (ejemplo: ser conectada y desconectada a una fuente de poder de corriente directa), esta tratar de mantener su condicin anterior, es decir, La bobina o inductor es un elemento que reacciona contra los cambios en la corriente a travs de l, generando una tensin que se opone a la tensin aplicada y es proporcional al cambio de la corriente. La unidad de medida de las bobinas son los Henrios (H), y su ecuacin es:

L=

dI dt

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El valor que tiene una bobina depende de: El nmero de espiras que tenga la bobina (a ms vueltas mayor inductancia, es decir, mayor valor en Henrios). El dimetro de las espiras (a mayor dimetro, mayor inductancia, es decir, mayor valor de Henrios). La longitud del cable en que est hecha la bobina. El tipo de material del que est hecho el ncleo, si es que lo tiene.

Una de las aplicaciones ms comunes de las bobinas y que forma parte de nuestra vida diaria es la bobina que se encuentra en nuestros autos y forma parte del sistema de ignicin. Otro ejemplo sera las fuentes de alimentacin, en donde las bobinas se usan para filtrar componentes de corriente alterna para obtener corriente continua a la salida. 2.1.2.1 Una bobina conectada a un generador de corriente alterna El circuito sobre el que vamos a estudiar el comportamiento de la bobina en corriente alterna es el siguiente:

Figura 2.3

En el circuito representado la bobina presentar una oposicin al paso de la corriente elctrica y sta ser reactiva. La naturaleza de la reactancia inductiva es de carcter electromagntico. Una bobina inducir en sus extremos, debido a su autoinduccin, una tensin que se opondr a la tensin que se le aplique, al menos durante unos instantes. Esto provoca que no pueda circular la corriente libremente. Cuanto mayor sea la velocidad de variacin de la tensin aplicada mayor valor tendr la tensin inducida en la bobina, y a consecuencia de esto menor ser la corriente que podr circular por ella. As, a mayor frecuencia de la tensin aplicada mayor ser la reactancia de la bobina y, a la inversa, a menor frecuencia de la tensin aplicada menor ser la reactancia de la bobina. La impedancia que presenta una bobina viene definida por la siguiente expresin: ZL = 0 + jXL En donde XL es la reactancia inductiva de la bobina, que viene a ser la oposicin que sta presenta al paso de la corriente alterna, y se calcula de esta forma: XL = 2f

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A continuacin veremos qu valor tendr la corriente que circula por el circuito, para ello partiremos de la expresin que se suele usar para definir la autoinduccin:

V = L

di dt

Como vg es la tensin en los extremos de la bobina podemos poner: Vg = Vo sen (2ft) = L

di dt

Vo sen (2ft) dt = L di

Integrando los dos miembros de la igualdad tendremos que:

Vo cos(2 f t ) = L i 2 f

Despejando de la ecuacin anterior la corriente i, y teniendo en cuenta la igualdad trigonomtrica - cos = sen ( - 90) quedar de la siguiente forma:

i=

Vo sen(2 f t 90 ) XL

Finalmente, podemos observar que una bobina en corriente alterna atrasa 90 la corriente respecto a la tensin.

Figura 2.4

2.1.3

Condensador

Un condensador es un componente elctrico que es capaz de almacenar carga elctrica. Internamente est formado por dos conductores prximos uno del otro, separados entre s por un aislante de tal forma que puedan estar cargados con el mismo valor pero de signo contrario. Estos dos conductores internos son dos placas metlicas o armaduras paralelas de la misma superficie y encaradas, separadas por una lmina no conductora o dielctrico. Al conectar una de las placas a un generador sta se carga e induce una carga de mismo valor pero de signo opuesto a la otra placa. En definitiva, tenemos dos placas cargadas con una carga cada una pero de signo contrario, por lo tanto la carga neta del sistema es cero.

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Los condensadores pueden conducir corriente continua durante slo un instante, en cambio funcionan bien como conductores en circuitos de corriente alterna. Es por esta propiedad por la cul este componente es muy til cuando se tiene que impedir que la corriente continua entre en determinadas partes de un circuito electrnico. La capacidad de un condensador es proporcional a la carga e inversamente proporcional a la diferencia de potencial (con el vaco como dielctrico), la unidad de medida del condensador son los Faradios (F).

C=

Q V

Como hemos dicho anteriormente en el condensador hay una distancia entre las dos placas, y entre ellas un campo elctrico, por lo que la diferencia de potencial entre las placas ser como se expresa en la siguiente ecuacin: V=Ed donde E es la intensidad de campo y d es la distancia entre las dos placas. El valor del dielctrico puede variar segn el medio en donde se encuentre, cuando se introduce un dielctrico en un condensador, que no es el vaco, su capacidad aumenta ya que la capacidad que inicialmente tena se multiplica por la constante relativa del medio: C = r Co La energa acumulada en un condensador es igual al trabajo necesario para cargar una carga total Q en un condensador descargado. W = 05 Q2 / C Si tenemos en cuenta que: Q = C Vo La energa de un condensador cargado tendr la expresin siguiente: E = 05 C Vo2 Los condensadores estn encapsulados con plstico para conseguir un mayor aislante elctrico, tienen una alta estabilidad trmica y son resistentes a la humedad.

Los condensadores pueden ser de tres tipos: planos, esfricos y cilndricos, pero los ms utilizados son los planos ya que su capacidad es directamente proporcional al producto del dielctrico por la superficie, e inversamente proporcional a la distancia. 2.1.3.1 Un condensador conectado a un generador de corriente alterna El circuito en el que vamos a analizar el comportamiento de la corriente alterna en un condensador es el siguiente:

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Figura 2.5

En este circuito el condensador presentar una oposicin al paso de la corriente alterna, dicha oposicin recibe el nombre de reactancia capacitiva. Este tipo de oposicin al paso de la corriente elctrica es de carcter reactivo, entendiendo como tal una reaccin que introduce el condensador cuando la tensin que se le aplica tiende a variar lentamente o nada. Cuando el condensador est totalmente descargado se comporta como un cortocircuito, y cuando est totalmente cargado se comporta como una resistencia de valor infinito. Para valores intermedios de carga se comportar como una resistencia de valor intermedio, limitando la corriente a un determinado valor. Como en corriente alterna el condensador est continuamente cargndose y descargndose, mientras ms lentamente vare la tensin (frecuencia baja) ms tiempo estar el condensador en estado de casi carga que en estado de casi descarga, con lo que presentar de media una oposicin alta al paso de la corriente. Para variaciones rpidas de la tensin (frecuencias altas) el efecto ser el contrario y por tanto presentar una oposicin baja al paso de la corriente. Podemos decir entonces que la naturaleza de este tipo de oposicin es de carcter electroesttico, la carga almacenada en el condensador se opone a que ste siga cargndose y esta oposicin ser mayor cuanto ms carga acumule el condensador. La impedancia que presenta este circuito viene dada por: Z = 0 jXC En donde XC es la reactancia capacitiva y tiene por ecuacin: XC =

1 2 f C

Como se puede comprobar la impedancia que presenta un condensador slo tiene componente imaginaria o reactiva. Para calcular la expresin de la corriente que circula por un condensador partiremos de la expresin ya conocida que relaciona la tensin en extremos de un condensador, su capacidad elctrica y el valor de la carga que almacena dicho condensador.

V=

q C

La tensin en extremos del condensador la llamaremos vg, con lo que podemos poner:

vg = Vo sen(2 f t ) =

q C

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Si ahora derivamos la carga respecto al tiempo obtendremos la corriente i =

dq dt

Vo 2 f cos(2 f t ) =

i C

Reordenando los trminos y teniendo en cuenta que cos = sen ( + 90) obtenemos finalmente la siguiente ecuacin:

i=

Vo sen(2 f t + 90 ) Xc

Esta expresin final supone un desfase de 90 en delante de la corriente que circula por el circuito respecto a la tensin aplicada en extremos del condensador.

Figura 2.6

2.1.4

La funcin sinusoidal

La forma de onda de la corriente alterna ms comnmente utilizada es la onda senoidal, puesto que se consigue una transmisin ms eficiente de la energa. Sin embargo, en ciertas aplicaciones se utilizan otras formas de onda peridicas, tales como la triangular o la cuadrada. Algunos tipos de ondas peridicas tienen el inconveniente de no tener definida su expresin matemtica, por lo que no se puede operar analticamente con ellas. Por el contrario, la onda senoidal no tiene esta indeterminacin matemtica y presenta las siguientes ventajas:

La funcin seno est perfectamente definida mediante su expresin analtica y grfica. Mediante la teora de los nmeros complejos se analizan con suma facilidad los circuitos de alterna. Las ondas peridicas no senoidales se pueden descomponer en suma de una serie de ondas senoidales de diferentes frecuencias que reciben el nombre de armnicos. Esto es una aplicacin directa de las series de Fourier. Se pueden generar con facilidad y en magnitudes de valores elevados para facilitar el transporte de la energa elctrica. Su transformacin en otras ondas de distinta magnitud se consigue con facilidad mediante la utilizacin de transformadores.

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2.1.4.1 Onda sinusoidal Una seal sinusoidal a(t), se puede expresar matemticamente segn sus parmetros caractersticos como una funcin del tiempo por medio de la siguiente ecuacin: a(t) = Ao sin (t + )

Figura 2.7

donde Ao es la amplitud, tambin llamado valor mximo o valor de pico, y es el mximo alejamiento en valor absoluto de la curva medida desde el eje x. es la pulsacin en radianes por segundo (rad/s), tambin llamada velocidad angular = 2f = 2/T T es el periodo de oscilacin (s), el menor conjunto de valores de x que corresponden a un ciclo completo de valores de la funcin. Toda funcin de una variable que repite sus valores en un ciclo completo es una funcin peridica. t es el tiempo en segundos (s) es el ngulo de fase inicial en radianes (rad). La fase da una idea del desplazamiento horizontal de la sinusoide, si dos sinusoides tienen la misma frecuencia y fase se dice que estn en fase, y si dos sinusoides tienen la misma frecuencia pero distinta fase se dice que estn en desfase y una de ellas est adelantada o retrasada con respecto la otra. Una onda senoidal se trata de una seal anloga puesto que sus valores oscilan en una rama de opciones prcticamente infinita, podemos ver en la figura 2.8 que la onda describe una curva continua. De hecho, esta onda es la grfica de la funcin matemtica seno que posee las siguientes caractersticas: En un tringulo rectngulo, el seno de un ngulo agudo a, que se designa por sen a, es igual a la longitud del cateto opuesto al ngulo dividida por la longitud de la hipotenusa. El seno de un ngulo cualquiera se asigna mediante la circunferencia goniomtrica. Es la ordenada del punto en el que el segundo lado del ngulo la corta.

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Figura 2.8

-

La funcin y = sen x describe la variacin del seno de ngulos medidos en radianes. Es continua y peridica de periodo 2 (recordar que en radianes significa 180). Se denomina funcin sinusoidal.

Figura 2.9

La amplitud A determina el valor mximo que puede adquirir la funcin, puesto que la funcin seno oscila entre 1 y +1, al multiplicarla por un factor A oscilar entre A y +A tal y como se muestra en la figura 2.10 en la que se ve representado simultneamente las funciones y = sin(x) y y = 3 sin(x).

Figura 2.10

En el caso en el que la variable sea el tiempo, tal y como se muestra en la figura 2.11, se observa perfectamente que la nica diferencia entre ellas es el periodo, la primera funcin y = sin(x) tiene un periodo de 2, y la segunda funcin y = sin(4x) tiene como periodo /2.

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Figura 2.11

Finalmente el desfase modifica la posicin horizontal de la curva, al aumentar su valor la sinusoide se desplaza hacia la izquierda. Tal y como se muestra en la figura 2.12 se puede ver esta propiedad:

Figura 2.12

Obviamente si el desfase fuese negativo la curva quedara hacia la derecha. 2.1.5 Respuesta temporal

Una vez obtenido el modelo matemtico de un sistema, disponemos de varios mtodos para analizar el comportamiento del sistema. Los sistemas de control se disean para conseguir un determinado comportamiento, tanto en rgimen permanente como transitorio. La respuesta en el tiempo de un sistema de control se divide normalmente en dos partes: respuesta transitoria y respuesta estacionaria, tambin denominada permanente o en estado estable. En sistemas de control la respuesta transitoria se define como la parte de respuesta temporal que tiende a cero cuando el tiempo se hace muy grande, esta respuesta es originada por la propia caracterstica dinmica del sistema y determina el comportamiento del sistema durante la transicin del algn estado inicial hasta el estado final. La respuesta estacionaria es la parte de la respuesta temporal que permanece una vez que la transitoria ha desaparecido. Depende fundamentalmente de la seal de excitacin al sistema, y si el sistema es estable es la respuesta que perdura cuando el tiempo crece infinitamente. La respuesta transitoria es importante ya que es una parte significativa del comportamiento dinmico del sistema y la desviacin entre la respuesta de salida y la entrada se debe controlar cuidadosamente antes de alcanzar el estado estable. La respuesta estacionaria tambin es importante ya que indica en dnde termina la salida del sistema cuando el tiempo se hace grande.

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De este modo hemos logrado determinar de un modo simple la estabilidad absoluta de un sistema, se dice que un sistema es estable si su respuesta transitoria decae a cero cuando el tiempo tiende a infinito. Si la respuesta en estado estable de la salida no coincide exactamente con la deseada se dice que el sistema tiene un error de estado estacionario. Para facilitar el anlisis en el dominio del tiempo, en sistemas de control, interesa minimizar la desviacin de la seal de salida respecto a la seal de entrada en estado transitorio. Por este motivo, se caracteriza la respuesta transitoria respecto a entradas tpicas o conocidas, conociendo que, como el sistema es lineal, la respuesta del sistema a seales ms complejas es perfectamente predecible a partir del conocimiento de la respuesta a estas entradas de prueba ms simples. Las seales de entrada de uso ms comn son: a) Entrada funcin escaln (funcin de Heaviside): representa un cambio instantneo en la entrada de referencia. r(t) = Au(t) siendo u(t) el escaln unitario

b) Entrada funcin rampa: es una seal que cambia constantemente con el tiempo, esta seal nos dice cmo responde el sistema a seales que cambian linealmente con el tiempo. r(t) = Atu(t)

c) Entrada funcin parablica: esta funcin representa una seal que tiene una variacin ms rpida que la funcin rampa.

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d)Entrada funcin impulso unitario (delta de Dirac): seal en el que la entrada corresponde a un pulso.

2.1.5.1 Valores significativos En toda seal sinusoidal hay unos valores significativos que se deben de indicar: Valor instantneo a(t): es el valor que toma la ordenada en un instante t determinado. Valor pico a pico App: es la diferencia entre su pico mximo y su pico negativo. Por ejemplo una seal sinusoidal que oscila entre +Ao y Ao tendr como valor de pico a pico (+Ao)-(-Ao)= 2Ao Valor medio Amed: es el valor del rea que forma con el eje de abcisas partido por su periodo. El rea se considera positiva si est por encima del eje de abcisas y negativa si est por debajo. Como en una seal sinusoidal el semiciclo positivo es idntico al negativo, su valor medio es nulo. Por eso el valor medio de una onda sinusoidal se refiere a un semiciclo. Mediante el clculo integral se puede demostrar que su expresin es la siguiente:

Amed =

2 Ao

Valor eficaz A: este valor es el que produce el mismo efecto calorfico que su equivalente en corriente continua. Matemticamente, el valor eficaz de una magnitud variable con el tiempo, se define como la raz cuadrada de la media de los cuadrados de los valores instantneos alcanzados durante un perodo:

A=2.1.5.2 Representacin fasorial

Ao 2

Una funcin senoidal puede ser representada por un vector giratorio al que se denomina fasor o vector de Fresnel, girar con una velocidad angular y su mdulo ser el valor mximo o eficaz.

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Figura 2.13

La razn de utilizar la representacin fasorial est en la simplificacin que ello supone. Matemticamente, un fasor puede ser definido fcilmente por un nmero complejo, por lo que puede emplearse la teora de clculo de estos nmeros para el anlisis de sistemas de corriente alterna. Consideremos por ejemplo una tensin de corriente alterna cuyo valor instantneo sea el siguiente:

v(t ) = 4 sen1000t + 4

Tomamos como mdulo del fasor su valor eficaz, la representacin grfica de la anterior tensin ser la representada en la figura 2.13 y se anotar como:

denominadas formas polares o bien:

denominadas forma binmica.

Figura 2.14

2.22.2.1

Polos y ceros en una funcin de transferenciaFuncin de transferencia

Una funcin de transferencia es un modelo matemtico que da la respuesta de un sistema a una seal de entrada. Laplace fue uno de los primeros matemticos en describir estos modelos, a travs de su transformacin matemtica. Una funcin de transferencia, por definicin, se puede determinar por la siguiente expresin:

H (s) =

Y ( s) U ( s)

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donde, H(s) es la funcin de transferencia Y(s) es la transformada de Laplace de la respuesta U(s) es la transformada de Laplace de la seal de entrada La funcin de transferencia puede considerarse tambin como la respuesta de un sistema inicialmente inerte a un impulso como seal de entrada:

La salida o respuesta en frecuencia del sistema se calcula de la siguiente forma: Y(s) = H(s) U(s) Y la respuesta en funcin del tiempo se calcula con la transformada inversa de Laplace de Y(s), tal y como se muestra en la siguiente expresin: y(t) = L-1 [Y(s)] En definitiva, cualquier sistema fsico, mecnico, elctrico, etc... se puede traducir a una serie de valores matemticos a travs de los cuales se conoce el comportamiento de estos sistemas frente a valores concretos. Como por ejemplo, en anlisis de circuitos elctricos, en el que la funcin de transferencia se presenta como:

H (s) =2.2.2 Sistemas de primer orden

Vo Vin

Un sistema de primer orden se describe mediante una ecuacin diferencial de primer orden, el sistema ms simple tiene la ecuacin:

donde a0 y b0 son constantes. Utilizando la transformada de Laplace y reagrupando los trminos: sY(s) y(0-) + a0Y(s) = b0R(s) y despejando Y(s)

donde el primer sumando es la componente de estado cero y el segundo es la componente de entrada cero, por tanto tendr como condicin inicial y valor cero. La funcin de transferencia que relaciona pues Y(s) con R(s) nos quedar como:

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La constante de tiempo de un sistema estable de primer orden es:

Al estimular el sistema con un paso unitario u(t) con condiciones iniciales nulas, la respuesta y(t) puede calcularse de la siguiente forma:

1 = A(s+a) + Bs trmino s 0 = A + B A = B trmino indep. 1 = aA A = 1/a

Y (s) =

1/ a 1/ a + s s+a

En esta expresin se puede comprobar que la respuesta del sistema depender del valor de a. 2.2.3 Sistemas de segundo orden

Un sistema de segundo orden se describe mediante una ecuacin diferencial de segundo orden, el sistema tiene la siguiente ecuacin:

Utilizando la transformada de Laplace y reagrupando los trminos tenemos:

Siendo el primer sumando la componente de estado cero y el segundo la componente de entrada cero, que tendr como valor en su estado inicial cero. La funcin de transferencia quedar de la forma:

Para averiguar las soluciones s1 y s2 del denominador de la funcin utilizaremos la frmula general de la forma cuadrtica:

38

2.2.3.1 Frecuencia natural no amortiguada (n) y relacin de amortiguamiento () La respuesta natural de un sistema subamortiguado de segundo orden queda descrito por la frecuencia angular y la constante exponencial a, la cual se puede determinar a partir del polinomio del sistema: s2 + a1s + a0 = (s + a)2 + 2 Tambin se puede obtener otra descripcin en funcin de la respuesta natural no amortiguada (n), y de la relacin de amortiguamiento (). La relacin existente entre estas descripciones y el polinomio es la siguiente: s2 + a1s + a0 = s2 + 2ns + n2 al igualar las dos descripciones anteriores tenemos que : a = n Para valores de comprendidos entre 0 y 1, las races caractersticas estarn en una circunferencia de radio n con centro en el origen del plano complejo. Para = 0, las races estarn en el eje imaginario. Para = 1, ambas races repetidas, estarn sobre el eje real negativo. 2.2.4 Polos y ceros

Una forma fcil de analizar una grfica de una funcin de transferencia es examinar los polos y ceros de la misma, ya que a travs de estos clculos podemos hacernos una idea ms cualitativa de lo que hace el sistema. Dada una funcin de transformacin en continua en el dominio de Laplace, H(s), o en el dominio discreto de z, H(z), un cero es cualquier valor de s o z para los cuales la funcin de transferencia es cero. Por otro lado, un polo es cualquier valor de s o z para la cual la funcin de transferencia es infinita. 2.2.4.1 Grficas de los polos y ceros Para representar grficamente los polos y los ceros en un plano s o z lo haremos marcando con una x para los polos y con una o para los ceros. Para entender mejor el clculo de los polos y ceros haremos un ejemplo de anlisis de una funcin de transferencia, por ejemplo:

Para calcular los ceros de esta funcin hay que igualarla a cero H(s) = 0 s2 + 4s + 5 = 0 Para hallar las dos soluciones de esta ecuacin utilizaremos la frmula general para un polinomio de la forma ax2 + bx + c =0

39

s=

una solucin ser s1 = 2 + i, y la otra ser s2 = 2 i, y estas soluciones sern los dos ceros que como se puede observar tienen parte imaginaria. Para calcular los polos de esta funcin de transferencia, sta misma tiene que tomar un valor infinito, para que esto suceda el denominador de esta funcin deber de ser cero. s2 + 6s + 8 = 0 s=

- 4 16 20 -4 4 = = 2 i 2 2

- 6 36 32 - 6 4 = = 3 1 2 2

de la misma forma anterior hemos obtenido el valor de los dos polos, un polo tendr como solucin s = 2 y el otro s = 4. En la figura 2.15 se puede observar la ubicacin grficamente de los ceros y los polos tal y como hemos calculado anteriormente.

Figura 2.15

Una vez calculados y representados grficamente los ceros y los polos se puede deducir de la grfica que la magnitud de funcin de transferencia ser mayor cuando se encuentre cerca de los polos y menor cuando se encuentre cerca de los ceros. Esto nos da una idea cualitativa de lo que el sistema hace en varias frecuencias y es crucial para la funcin de estabilidad. 2.2.4.2 Repeticin y cancelacin de polos y ceros En una funcin es posible tener ms de un polo o cero en el mismo punto. Por ejemplo en la funcin de transferencia H(s) = s2 tendr dos ceros en el origen, y en la funcin de transferencia H(s) = 1/s3 tendr tres polos en el origen. Se puede cometer un error al pensar que la funcin

(s + 3)(s + 1) es la misma que ( s + 1)

(s+3), en teora son equivalentes ya que el polo y el cero se encuentran en s = 1 y se cancelan mutuamente, sin embargo si esto fuese una funcin de transferencia de un sistema que fue creado por un circuito no sera comn que el polo y el cero estuviesen en el mismo lugar ya que ocurrira un cambio de infinito en un polo a cero en el cero en una regin de seales.

40

2.2.5

Estudio de los polos de una funcin de transferencia

2.2.5.1 Polos simples a) Polo real negativo en el semiciclo izquierdo

H ( s) =

------(s + )

polo =

ESTABLE

h(t) = K e-t

b) Polo real positivo en el semiciclo derecho

H ( s) =

------(s )

polo = +

INESTABLE

h(t) = K et

c) Polos complejos en el semiciclo izquierdo

polo1,2 = j h(t) = 2 K e-t cos (t + )

ESTABLE

41

d) Polos complejos en el semiciclo derecho

polo1,2 = j h(t) = 2 K et cos (t + )

INESTABLE

e) Polos sobre el eje j

H ( s) =

--s

polo = 0 (origen)

MARGINALMENTE ESTABLE

f) Polos complejos sobre el eje j MARGINALMENTE polo = j ESTABLE

42

Para ver la estabilidad de una funcin de transferencia miramos los polos, en la figura 2.16 podemos ver representada en forma de resumen cuando una funcin es estable o inestable.

Figura 2.16

2.2.6

Estudio del lugar geomtrico de los polos Considerando una funcin de transferencia de segundo orden:

orden N(s) 2 a, b, c nmeros reales normalizamos,

donde, 0 es la frecuencia angular o natural es el coeficiente de amortiguamiento para encontrar los polos igualaremos el denominador de la funcin a cero s2 + 20s + 02 = 0

43

si >1

ESTABLE

si = 1

s1,2 = 0

AMORTIGUAMIENTO CRITICO

si 0 < < 1

SISTEMA SUBAMORTIGUADO si = 0 s1,2 = j0

SISTEMA OSCILANTE

2.2.6.1 Especificaciones en el dominio temporal Las especificaciones para el diseo de un sistema de control frecuentemente involucran ciertos requerimientos asociados a la respuesta temporal del sistema. Estos requerimiento se muestran en la figura 2.17 para una respuesta a un escaln:

44

Figura 2.17

donde: tr, tiempo de subida (rise time), es el tiempo necesario para que la respuesta pase del 10% al 90% de su valor final, o tiempo que tarda el sistema en alcanzar su nuevo valor set-point. tp, tiempo de pico (peak time), es el tiempo que tarda el sistema en alcanzar el valor mximo. ts, tiempo de establecimiento (settling time), es el tiempo que toma el sistema para que el transitorio decaiga. td, tiempo de retardo, es el tiempo para el que la respuesta alcanza la mitad del valor final. Mp, sobrepico (overshoot), es el valor mximo cuando el sistema se sobrepasa en el transitorio.

2.3

Realizacin prctica

El objetivo de esta prctica es estudiar la respuesta temporal de circuitos usando ecuaciones diferenciales. Veremos sistemas de primer orden, aqullos que dan lugar a ecuaciones diferenciales cuya solucin es una exponencial decreciente (solucin homognea) ms la correspondiente solucin particular. Tambin estudiaremos sistemas de segundo orden en los que podremos ver que tienen un comportamiento ms variado teniendo sistemas oscilantes, amortiguados, etc. Ejercicio 1 Carga y descarga de C

Carga del condensador Si el condensador est inicialmente descargado, cuando se cierra el interruptor en el instante t=0 en el circuito de la figura 2.18, aparece una corriente variable durante un cierto intervalo de tiempo.

Figura 2.18

45

Para el conocimiento del circuito determinaremos la corriente de malla i(t) y el voltaje de la resistencia y condensador. Vg (t) = VR(t) + VC(t) Teniendo en cuenta que VR(t) = R i(t) e i (t ) = C

dVc(t ) nos queda dt

Vg (t ) = RC

dVc(t ) + Vc(t ) dt

Esta es una ecuacin diferencial ordinaria de primer orden con coeficientes constantes, en la que la solucin es la suma de la solucin particular y solucin homognea. En nuestro circuito esto corresponde a la componente natural y componente forzada respectivamente. Toda ecuacin diferencial de primer orden requiere una condicin inicial, y en nuestro caso se obtiene del voltaje en el condensador en el instante de cierre del interruptor Vc (t=0) = Vco. Teniendo en cuenta que aplicamos una tensin constante Vg en t 0, la componente forzada ser igual al valor de Vg, mientras que la componente natural ser de tipo exponencial:

Observemos que el coeficiente de la componente natural se ha ajustado para que se satisfaga la condicin inicial. Suponiendo que el condensador inicialmente est descargado no quedar la siguiente ecuacin:

Sabiendo que Vg (t) = VR(t) + VC(t) tendremos que:

que ir disminuyendo exponencialmente con el tiempo, y la intensidad i(t) ser:

El voltaje de Vc(t) aumenta progresivamente hacia el lmite Vg, valor para el cual el condensador est totalmente cargado. La constante de tiempo = RC, representa el instante para el cual el voltaje Vc(t) ha alcanzado el 63% del voltaje final de Vg.

Descarga del condensador Estando el condensador cargado, desconectando la tensin del circuito y dejando nicamente la resistencia conectada con el condensador, la corriente en la descarga del condensador pasa a travs de la resistencia. Tal y como se muestra en la figura 2.19 se puede observar como quedara el circuito y la ecuacin resultante.

46

VR(t) + VC(t) = 0 RC

dVc(t ) + Vc(t ) = 0 dt

Figura 2.19

El signo menos en la corriente indica que su signo es contrario al supuesto, por tanto, se deduce que el condensador est funcionando de forma anloga a un generador de tensin que suministra energa al circuito durante el tiempo que dura la descarga. Para la descarga del condensador se obtiene la misma constante de tiempo, que en este caso, es el tiempo en el cual Vc(t) alcanza el 36% del valor inicial Vco. a) Montar el circuito de la figura 2.20 tomando como valores de R = 10k y C = 2200F, alimentando el circuito con una tensin en continua de 12V. Rellenar la siguiente tabla ayudndose de un reloj para medir el tiempo de carga y descarga del condensador.

Figura 2.20

Carga del condensador Tiempo (s) Vc (V) 0 0 3,92 10 6,85 20 8,64 30 9,73 40 10,47 50 10,96 60 11,27 70 11,47 80 11,60 90 11,69 100 11,75 110 11,79 120 11,82 130 11,84 140 11,85 150 11,87 160

Descarga del condensador Tiempo (s) Vc (V) 11,91 0 7,94 10 5,13 20 3,46 30 2,16 40 1,50 50 1,01 60 0,68 70 0,49 80 0,35 90 0,25 100 0,19 110 0,15 120 0,11 130 94m 140 78m 150 65m 160

47

b) Qu ocurre si se cambia los valores de R por una de 1k? Justificar los resultados. Cuando se cambia la resistencia de valor a 1k, tanto en la carga como en la descarga lo hace ms rpidamente. Teniendo en cuenta que la constante de tiempo es = RC, al disminuir la resistencia disminuiremos el tiempo que Vc tardar en alcanzar el 63% del valor final de Vg. c) Utilizando el mismo circuito anterior con un C = 220nF, R = 1k y cambiando la fuente de alimentacin en continua por una seal cuadrada de 2V de pico y con la ayuda del osciloscopio visualizar la seal del condensador.

d) Aumentar la frecuencia 10 veces y visualizar la forma de onda obtenida en el condensador. Cul es su amplitud en relacin con la amplitud de la onda cuadrada? Justificar los resultados. Como se puede comprobar a una frecuencia ms alta la seal en el condensador tiene una amplitud ms pequea ya que la seal tarda menos en llegar a la seal de entrada.

e) Calcular de forma terica y prctica la constante de tiempo Frmula constante de tiempo Valor terico de la constante de tiempo Valor prctico de la constante de tiempo 0,8 250 = 200s = RC = 1k 220n = 220s

48

f) Conectar una R de 100 en serie con un condensador C de 100F respetando la polaridad del mismo, y aplicar una tensin de continua de +5V con el generador de funciones actuando sobre el mando DC offset. Visualizar en el osciloscopio la seal obtenida en el condensador y observar la evolucin del proceso de carga y descarga del condensador. Carga del condensador Descarga del condensador

g) Repetir el ejercicio anterior cambiando el condensador electroltico de por uno de 10nF. Carga del condensador Descarga del condensador

Ejercicio 2

Carga y descarga de L

Carga del inductor El fenmeno de induccin electromagntica, descrito por la ley de Faraday, explica la produccin de un voltaje inducido adicional cuando aumenta o disminuye la intensidad de corriente que atraviesa una bobina con coeficiente de autoinduccin L. Los cambios en la intensidad de corriente llevan aparejadas variaciones de flujo magntico (t) que atraviesa la bobina. (t) = L i(t) y segn al ley de Faraday: VL (t ) =

d (t ) di (t ) =L dt dt

49

Suponiendo que el coeficiente de autoinduccin L es constante en el tiempo, el sentido del voltaje inducido es tal que, por su defecto en la corriente, se opone a las variaciones de flujo magntico en el interior de la bobina (ley de Lenz). En el circuito de la figura 2.21 la intensidad de corriente i(t) no alcanza instantneamente el valor estacionario, sino que se rige por la siguiente ecuacin:

Figura 2.21

Vg(t) = VR(t) + VL(t) Vg(t) = R i(t) + L

di (t ) dt

Vg (t ) L di (t ) = i (t ) + R R dtConsiderando que Vg(t) = Vg u(t) donde Vg es constante y u(t) es una funcin escaln nos quedar una ecuacin como:

La condicin inicial es la corriente que circula por la bobina en el momento de cerrar el interruptor iL(t=0) = iLO, en este caso tendremos:

Las cadas de tensin tanto en R como en L sern las siguientes ecuaciones:

La constante de tiempo del circuito RL serie es igual a

L , que representa el tiempo R

necesario para que la corriente alcance el 63% del valor final estacionario. Descarga del inductor Para analizar el proceso de disminucin de corriente a travs de la bobina, consideraremos la situacin para la cual se ha alcanzado el rgimen estacionario descrito previamente en el que la ecuacin diferencial es la siguiente: Vg(t) = VR(t) + VL(t) Vg(t) = R i(t) + L

di (t ) =0 dt

50

Figura 2.22

suponiendo que al iniciar la descarga circulase por la bobina una intensidad de corriente iLO =

Vg , en donde la tensin y la corriente de la resistencia vendrn dadas por: R

El signo menos en la corriente indica que su signo es contrario al supuesto, se deduce que la bobina est funcionando de forma anloga a un generador de corriente y, por tanto, suministrando, energa al circuito durante el tiempo que dura su descarga de corriente.

Montar el circuito de la figura 2.23 cambiando la fuente de alimentacin en continua por una seal cuadrada de 5V de pico, R de 470 y L de 10mH. Con la ayuda del osciloscopio visualizar la seal del inductor con varios intervalos de frecuencia.

Figura 2.23

Frecuencia a 1kHz

Frecuencia a 5kHz

51

Frecuencia a 10kHz

b) Calcular de forma terica y prctica la constante de tiempo Frmula constante de tiempo Valor terico de la constante de tiempo Valor prctico de la constante de tiempo 0,15 250s = 37,5s =L/R = 470 250s = 21,27s

Ejercicio 3

Circuito RLC

La ecuacin que representa el circuito de la figura 2.24 es: Vg(t) = VR(t) + VL(t) + VC(t) = i(t)R + L

di (t ) +VC(t) dt

Figura 2.24

Como la intensidad que atraviesa cada uno de los elementos del circuito es la misma, utilizaremos la expresin de la corriente en el condensador i(t) = iC(t) = C suponiendo que la seal de entrada sea un escaln podremos escribir:

dVc(t ) , y dt

Esta es una ecuacin diferencial de segundo orden, cuya solucin general es la suma de la solucin particular y la solucin homognea y requiere dos condiciones iniciales para su solucin. En el caso del circuito RLC serie stas se obtienen del voltaje inicial en el condensador y la corriente inicial en la bobina.

52

La solucin Vc(t) para t 0 es la suma de la respuesta forzada VCF (solucin particular) y la respuesta natural VCN (solucin homognea). La respuesta forzada es del mismo tipo que la entrada: VCF(t) = Vg. La respuesta natural es solucin de la ecuacin homognea:

Considerando una solucin de tipo exponencial en la que VCN(t) = kest tendremos: kest (s2 +

R 1 s+ )= 0 L LC

cuyas soluciones, exceptuando de k = 0, sern:

una vez halladas las soluciones tendremos que:

Las dos constantes que aparecen en la ecuacin, k1 y k2, se determinarn a partir de las condiciones iniciales del circuito. Observar la respuesta a un escaln en un circuito RLC serie, con un inductor de 10mH, un condensador de 10nF y una resistencia de 100.

Voltaje de entrada y condensador

Voltaje de entrada e inductor

Ejercicio 4

Circuito de segundo orden

Montar el circuito de la figura 2.25 y visualizar el voltaje en los tres puntos diferentes del circuito para dos intervalos de frecuencia comparando las grficas. Utilizar R = 10k y C = 10nF. V1 ser el voltaje entre R1 y C1, V2 ser el voltaje entre C1 y R2, V3 ser el voltaje entre R2 y C2.

53

V1 a frecuencia 1kHz

V1 a frecuencia 5kHz

V2 a frecuencia 1kHz

V2 a frecuencia 5kHz

V3 a frecuencia 1kHz

V3 a frecuencia 5kHz

54

3.3.1

Rgimen permanente sinusoidalIntroduccin

En esta prctica estudiaremos la respuesta en rgimen permanente de circuitos con resistencias, bobinas y condensadores cuando la seal de entrada es de tipo sinusoidal (corriente alterna sinusoidal). La eleccin de este tipo de excitacin no es causal, ya que a partir de la respuesta del circuito a una seal sinusoidal de frecuencia arbitraria es posible determinar el comportamiento del mismo frente a otras seales de entrada peridicas. Los mtodos de anlisis de circuitos en corriente alterna en el dominio de la frecuencia son anlogos a los establecidos para el caso de corriente continua y se mantiene la validez de los teoremas y relaciones fundamentales. Las magnitudes fundamentales del anlisis en rgimen permanente sinusoidal son: fasor de corriente, fasor de voltaje e impedancia. Para esta prctica consideraremos el anlisis de circuitos sometidos a una o ms excitaciones permanentes de tipo sinusoidal. Pueden considerarse tres tipos diferentes de anlisis: Anlisis de un circuito funcionando en rgimen permanente sinusoidal a una frecuencia dada (anlisis fasorial). Este tipo de anlisis tambin permite mediante la aplicacin del principio de superposicin, la consideracin de circuitos sometidos a excitaciones con frecuencias diferentes pero fijas. Anlisis de la variacin de respuesta en funcin de la frecuencia de un circuito sometido a una sola excitacin sinusoidal (respuesta en frecuencia). Este tipo de anlisis permite, entre otras posibilidades, determinar en funcin de la frecuencia la variacin de la fase y el mdulo de distintas variables, la variacin de la funcin de transferencia, la frecuencia de resonancia, o la influencia de la variacin de algn elemento pasivo. Anlisis en el dominio del tiempo. Este tipo de anlisis permite representar la variacin de magnitudes elctricas en funcin del tiempo. Pueden considerarse circuitos con dos o ms excitaciones diferentes.

-

-

Las seales en rgimen permanente sinusoidal pueden ser tratadas como combinaciones lineales de seales sinusoidales. Muchos circuitos funcionan en rgimen permanente sinusoidal y el objetivo principal de este anlisis es obtener el mdulo y la fase de la respuesta. El mdulo y la fase de la respuesta dependen de las caractersticas de la excitacin y de los elementos del circuito, conociendo tambin que, la frecuencia de la respuesta es igual a la de la excitacin. Las magnitudes fundamentales se tratan mediante fasores y los elementos pasivos, resistencias, condensadores, inductancias, se tratan como impedancias. A la hora de hacer los clculos matemticos se utiliza las identidades de Euler y los nmeros complejos, tambin pueden aplicarse las leyes de Kirchhoff, anlisis por mallas y nudos, principio de superposicin, etc.

55

3.2

Impedancia de los componentes bsicos

La impedancia elctrica (Z) mide la oposicin de un circuito o de un componente elctrico al paso de una corriente elctrica alterna sinusoidal. El concepto de impedancia generaliza la ley de Ohm en el estudio de circuitos en corriente alterna. En general, la solucin para las corrientes y las tensiones de un circuito formado por resistencias, inductancias y condensadores y sin ningn componente de comportamiento no lineal, son soluciones de ecuaciones diferenciales. Pero cuando todos los generadores de tensin y de corriente tienen la misma frecuencia constante y sus amplitudes son constantes, las soluciones en estado estacionario son sinusoidales y todas las tensiones y corrientes tienen la misma frecuencia y tienen la amplitud y la fase constante. El formalismo de las impedancias consiste en pocas reglas que permiten calcular circuitos que contienen elementos resistivos, inductivos o capacitivos de manera similar al clculo de circuitos resistivos en corriente continua. Estas reglas son vlidas si estamos en rgimen permanente sinusoidal con corriente alterna y que todos los componentes sean lineales. Sea un componente electrnico o elctrico en un circuito alimentado por una corriente sinusoidal de la forma Icos(t), si la tensin en sus extremidades es Vocos(t), la impedancia del circuito o del componente se define como un nmero complejo Z cuyo mdulo es el cociente V/I y su argumento es . Las unidades de las impedancias son los ohms.

Z=

Vo Io

arg(Z ) =

Resistencia: la impedancia de una resistencia R es igual al valor de la propia resistencia ya que son los nicos componentes que tienen una impedancia real. ZR = R Inductancia: la impedancia de una inductancia tiene la forma siguiente: ZL = jL en donde = 2f y j = 1 Capacidad: en el caso de un condensador la impedancia es: ZC =

1 j C

Una impedancia puede representarse como la suma de una parte real y otra parte imaginaria, Z = R + jX, en donde R es la parte real y X la parte imaginaria. La admitancia es el inverso de la impedancia,

Y=

1 Z

56

3.2.1

Clculo de circuitos con las impedancias

Los circuitos que contienen impedancias se pueden calcular de la misma manera que se calculan circuitos con resistencias en corriente continua. Uno de los mtodos por ejemplo sera el clculo de corrientes mediante las leyes de Kirchhoff, en el que se aplicara que la suma de las corrientes que llegan a un nudo es cero, y la suma de todas las tensiones alrededor de una malla es cero. La nica diferencia en esta ocasin es que tanto las tensiones como las corrientes son complejas. Generalizando como dice la ley de Ohm, la tensin entre las extremidades de una impedancia es igual al producto de la corriente por la impedancia. VZ = Z IZ Tanto la impedancia como la corriente y la tensin son complejas. Las impedancias se tratan como las resistencias con la ley de Ohm, es decir, cuando hay ms de una impedancia conectada en serie, la impedancia total es la suma de todas las impedancias de los componentes conectados en serie. De la misma forma pasa cuando hay varias impedancias conectadas en paralelo, que la impedancia total ser el inverso de la suma del inverso de todas las impedancias del circuito. Serie: ZT = Za + Zb + ... + Zn Paraleo:

1 1 1 1 + + ... + Za Zb Zn

Una vez hecho todos los clculos del circuito, el resultado de una tensin o de una corriente es, generalmente, un nmero complejo. Este nmero complejo se puede interpretar de la siguiente manera: El mdulo indica el valor de la tensin o de la corriente calculada. Si, por ejemplo, los valores utilizados para los generadores eran valores de pico, el resultado tambin ser un valor de pico, y si los valores eran eficaces, el resultado tambin ser un valor eficaz, todo vendr acorde con el valor dado por el generador. El argumento de este nmero complejo nos dar el desfase que hay con respecto al generador utilizado como referencia de fase. Si el argumento es positivo la tensin o la corriente calculadas estarn en avance de fase, lo contrario sucede si el argumento es negativo.

-

Realizaremos un ejemplo de un circuito electrnico para el mejor entendimiento del clculo de la corriente y tensiones. Para ello utilizaremos el circuito de la figura 3.1, que representa una resistencia y una inductancia en serie alimentadas por un generador sinusoidal:

Figura 3.1

57

Consideraremos que tenemos un generador sinusoidal de V=10cos(t), 10 voltios de amplitud, una frecuencia de 10kHz, una resistencia de 1,2k y una inductancia de 10mH. Calcularemos la corriente que circula por el circuito:

I=

V 10 10 = = = 0,00654 j 0,003424 A jL + R j 2 100000,01 + 1200 1200 + j 628,3Por tanto nos quedar una corriente que tiene como mdulo

I=y como argumento

10 = 7,38 mA 1200 + j 628,3

= arctg

10 = 0,4823rad = 27,63 1200 + j 628,3

El valor de la corriente es un valor de pico ya que tomamos un valor de tensin del generador de pico, si se quisiera tener el valor eficaz del mismo habra que dividir este valor por

2 . La corriente est en retardo de fase con respecto a la fase del generador tal y como se puede comprobar en el resultado final, es lgico el resultado obtenido ya que se trata de un circuito inductivo.Las impedancias no pueden utilizarse cuando los generadores no tienen la misma frecuencia, el formalismo de las impedancias no puede aplicarse directamente. En ese caso lo que se puede hacer es utilizar el teorema de superposicin, se hace un clculo separado para cada una de las frecuencias (reemplazando en cada uno de los clculos todos los generadores de tensin de frecuencia diferente por un circuito abierto). Cada una de las tensiones y corrientes totales del circuito ser la suma de cada una de las tensiones o corrientes obtenidas a cada una de las frecuencias. Para hacer estas ltimas sumas hay que escribir cada una de las tensiones en la forma real, con la dependencia del tiempo y el desfase, Vicos(it + i) para las tensiones y las frmulas similares para las corrientes. Si las seales no son sinusoidales pero son peridicas y continuas se pueden descomponer las seales en serie de Fourier y utilizar el teorema de superposicin para separar el clculo en uno para cada una de las frecuencias. El resultado final ser la suma de los resultados para cada una de las frecuencias de la descomposicin en serie.

3.33.3.1

FasoresDefinicin de fasor

Un fasor es una constante que representa la amplitud compleja, magnitud y fase, de una funcin de tiempo sinusoide. Normalmente se expresa de una forma exponencial, en ingeniera los fasores se utilizan para simplificar los clculos con sinusoides, ya que permiten reducir un problema de ecuaciones diferenciales a uno algebraico. El fasor no tiene entidad real, combina en un solo nmero la informacin de mdulo y fase de la seal a la que est asociado. Las tcnicas de anlisis estn diseadas para obtener los fasores asociados a las magnitudes de inters. Las magnitudes de potencia y energa carecen de fasores asociados.

58

3.3.2

Representacin fasorial de seales sinusoidales

Una sinusoide u onda seno est definida como una funcin de forma y = Acos(t + ) donde y es la funcin que vara con el tiempo A es la amplitud de la sinusoide, es un valor de pico y es constante es la frecuencia angular dada por = 2f donde f es la frecuencia t es el tiempo es el ngulo de fase de la sinusoide, es constante y viene expresada en radianes La funcin anterior puede ser expresada de la siguiente forma y = R[A(cos(t + ) + jsen (t + ))] R(Z) es la parte real del nmero complejo Z, y de forma equivalente, segn la frmula de Euler y = R[Aexp(j(t + ))] y = R[Aexp(jt)exp(j) definiremos que Y es la representacin fasor de esta sinusoide y quedar de la siguiente forma Y = Aexp(j) de forma que tendremos y = R[Yexp(jt)] el fasor Y es el nmero complejo que contiene la magnitud y fase de la sinusoide. Los fasores normalmente se escriben en notacin angular Y = A el ngulo de fase normalmente se especifica en grados en lugar de en radianes, y la magnitud suele venir especificada en valor eficaz en lugar de valor de pico. El tratamiento terico y prctico del rgimen permanente sinusoidal se simplifica mucho haciendo una transformacin de las funciones seno y coseno reales a la funcin exponencial de variable compleja, sta transformacin es la que previamente hemos presentado como la identidad de Euler. 3.3.3 Propiedades de los fasores

Para agilizar el uso de fasores a la hora de realizar los clculos debemos tener en cuenta una serie de propiedades propias de los fasores: Slo es vlido el empleo de fasores en seales sinusoidales. El fasor es un nmero complejo independiente del tiempo. La simbologa V e I nos indica las amplitudes de la seal, tensin y corriente respectivamente. es la fase inicial. La representacin grfica y las operaciones con fasores son idnticas a las de los nmeros complejos. Los clculos del rgimen permanente sinusoidal se realizarn con fasores .

59

-

Los fasores no sirven para analizar el rgimen transitorio.

Cuando alguna de las funciones v(t) o i(t) se expresen como funcin coseno y la otra como funcin seno, se tendr que tener en cuenta la relacin trigonomtrica sen() = cos( /2, que nos indica que la grfica de la funcin seno est retrasada 90 con respecto a la de la funcin coseno. En el siguiente ejemplo se puede observar numricamente como resolverlo: v(t) = 5cos(t + /3) V = 5exp(/3) = 5cos(/3) + jsen(/3) = 2,5 + j0,87 i(t) = 5sen(t + /3) = 5cos(t + /3 /2) = 5cos(t /6) I = 5exp(/6) = =5cos(/6) jsen(/6) = 4,3 j0,5

3.4

Anlisis circuito RLC serie

Utilizaremos el circuito de la figura 3.2, circuito RLC serie, para entender mejor el anlisis de los voltajes y corriente de cada elemento que compone el circuito.

Figura 3.2

La ecuacin resultante por anlisis de malla de voltaje la obtenemos de la ley de Kirchhoff y queda de la siguiente manera: Vg = VR + VL + VC = RI + jL + la impedancia del circuito es Z(j) =

1 1 = R + j L I C j C 1 j L = C

V = R + Z L + ZC = R + I

la frecuencia angular 0 =

1 LC

anula la parte imaginaria de la impedancia, la

impedancia en forma de mdulo quedar: Z(j) = Z(j)exp(j) =

60

para calcular la corriente procederemos con su ecuacin

I=

Vg Z

una vez conocida la impedancia y la corriente pasaremos a calcular el fasor de voltaje en cada elemento del circuito.

en la figura 3.3 se puede comprobar el diagrama fasorial donde las longitudes de los fasores representan las magnitudes de los voltajes en cada elemento, y los ngulos de los desfases.

Figura 3.3

61

3.4.1

Resonancia, factor de calidad y ancho de banda

Continuando con el circuito anterior RLC serie, debemos decir que existe una frecuencia (fo) a la que la impedancia del circuito es mnima, Z(fo) = R. Esta frecuencia viene dada por: f0 =

1 2 LC

A consecuencia de esto tenemos que la corriente es mxima y est en fase con el voltaje del generador, esta es la situacin tpica de resonancia del circuito. A la frecuencia de resonancia los voltajes en la bobina y en el condensador tienen la misma amplitud pero estn desfasados 180.

El factor de calidad del circuito RLC serie es

El voltaje mximo en el inductor y en el condensador es igual, en amplitud al voltaje del generador amplificado por el factor de calidad. Podemos estudiar el circuito RLC serie tambin como un filtro, tomando como seal de salida el voltaje en la resistencia, tenemos la siguiente funcin de transferencia:

Este sistema se forma un filtro paso-banda, que deja pasar la banda de frecuencias centrada entorno a 0, denominada frecuencia central o de resonancia. La banda de paso est definida por el intervalo comprendido entre las frecuencias angulares 1 y 2 donde la amplitud del voltaje de salida est atenuado en 3dB, con respecto a la amplitud del voltaje de salida mximo, tal y como muestra la figura 3.4. Por este motivo, el ancho de la banda de paso recibe el nombre de ancho de banda a 3dB [(B3dB) = (2 1)/2 = f2 f1].

Figura 3.4

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Aplicando la definicin de ancho de banda a 3dB, resulta fcil obtener la relacin entre frecuencia de resonancia, ancho de banda y factor de calidad. B3dB =

fo Q

[Hz]

3.5

Realizacin prcticaCircuito RLC

Ejercicio 1

Montar el circuito de la figura 3.5 aplicando una seal de 5Vp para unos valores de R = 150, una L = 10mH y C = 47F. Realizar los siguientes apartados: a) Tomando como seal de salida el voltaje en la resistencia, determinar la expresin de la funcin de transferencia H(f) = VR(f) / VG(f).

b) Determinar el valor terico de la frecuencia de resonancia del circuito RLC.

fo =

1 2 LC

=

1 2 47n10m

= 7,34kHz

c) Visualizar en el osciloscopio el voltaje del generador, la resistencia, la bobina y el condensador en el intervalo de frecuencias de 1kHz a 10kHz. Voltaje en la resistencia

frecuencia a 1kHz

frecuencia a 4kHZ

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frecuencia a 10kHz

Voltaje en la bobina

frecuencia a 1kHZ

frecuencia a 4kHz

frecuencia a 10kHz

Voltaje en el condensador

frecuencia a 1kHz

frecuencia a 4kHz

64

frecuencia a 10kHz

d) Determinar el valor prctico de la frecuencia de resonancia. Para determinar la frecuencia de resonancia recordemos que la corriente es mxima y est en fase con el voltaje del generador, esta es la situacin tpica de resonancia del circuito. A la frecuencia de resonancia los voltajes en la bobina y en el condensador tienen la misma amplitud pero estn desfasados 180. f0 7,8kHz

voltaje en condensador y bobina