Elegibilidad texto matematicas 8°basico2011 opción A

Estructura del Texto

Páginas de inicio

4 Matemática 8

El Texto Matemática 8 está organizado en 6 unidades. En cada Unidad encontrarás las siguientes páginas y secciones:

Conversemos de...Sección que te plantea preguntas relacionadas con la imagen y con los contenidos de la Unidadque te permitirán exponer tus ideas, dar opinionesy argumentar a partir de tus experiencias.

¿Cuánto sabes?Podrás resolver ejercicios y problemasque te ayudarán a recordar conocimientosque serán la base para el desarrollo de la Unidad.

En esta Unidad podrás...En esta sección conoceráslos principales objetivos quese espera que logres con el desarrollo de la Unidad.

¿Qué debes recordar?Encontrarás el resumen de los principales conceptos trabajados enaños anteriores y que te servirán comoapoyo para los aprendizajes que se espera que logres en la Unidad.

Iniciales 8.0 3/26/10 1:08 PM Page 4

Estructura del Texto 5

Páginas de desarrollo

AyudaTe recuerda uncontenido o procedimiento.

Para discutirPor medio de preguntas,explorarás el contenidomatemático que aprenderás, pondrás enpráctica lo que ya sabes,compartirás tus ideas y extraerás conclusiones.

En equipoDesarrollarás en grupo entretenidas e interesantesactividades que te permitiránprogresar en tu aprendizaje

No olvides que...Encontrarás explicaciones,descripciones o definiciones que destacany precisan lo que vasaprendiendo.

ActividadesResolverás variadas actividades para ir descubriendo los conceptos y reforzar así su aprendizaje.

Te invitamos a ingresar al hipertexto donde encontrarásdiferentes recursos y actividadesinteractivas que complementarántu aprendizaje.


6 Matemática 8

Herramientas tecnológicasAprenderás a ocupar la calculadora para resolver diversos ejercicios y a utilizar planillas de cálculo o programascomputacionales.

Mi progresoResolverás actividadesque te permitiránevaluar tu progresoen el logro de losaprendizajes.

Estrategia mentalPodrás aprender ypracticar diversas estrategias de cálculomental.

Buscando estrategiasObservarás un problemaresuelto paso a paso através de una determinadaestrategia. Podrás aprendery practicar la estrategia utilizada y buscar otras quete permitan encontrar lasolución.


Estructura del Texto 7

Páginas de cierre

ConexionesA partir de una noticia o tema, desarrollarás enequipo una actividad quete permitirá aplicar lo queaprendiste en la Unidad.Además, te invitamos aevaluar tu actitud y la decada integrante del grupopara que puedas mejorartu forma de trabajar.

¿Que aprendí?En estas dos páginasresponderás preguntasde selección múltiple y actividades de desarrollo para evaluarlo que has aprendidoen la Unidad.

¿Que logré?Evaluarás y reflexionarássobre los aprendizajes queadquiriste en esta Unidad.

SíntesisPodrás organizar y sintetizar lo aprendidoutilizando un organizador gráfico. Además, aclararás los conceptos trabajadosrespondiendo preguntas sobre estos y sus relaciones.


Índice

8 Matemática 8

1Unidad

¿Cuánto sabes? 12Multiplicación de un número natural por un número entero negativo 14Multiplicación de números enteros 16División exacta de números enteros 18Mi progreso 21División inexacta de números enteros 22Operaciones combinadas 24

Mi progreso 29Buscando estrategias 30Para finalizar 32¿Qué aprendí? 34

Números enteros 10

2Unidad

¿Cuánto sabes? 38Potencias de base entera y exponente natural 40Valor de la potencia 42Multiplicación de potencias de igual base 44División de potencias de igual base 46Multiplicación de potencias de igual exponente 48División de potencias de igual exponente 50Potencia de una potencia 52

Mi progreso 55Potencias de base fraccionaria positiva y exponente natural 56Potencias de base decimal positiva y exponente natural 58Crecimiento exponencial 60Decrecimiento exponencial 62Mi progreso 65Buscando estrategias 66Para finalizar 68¿Qué aprendí? 70

Potencias 36

Geometría y medición 72¿Cuánto sabes? 74Circunferencia y círculo como lugar geométrico 76Elementos de la circunferencia 78Número π y su relación con la circunferencia 80Longitud de la circunferencia 82Área del círculo 84

Mi progreso 87Área del cilindro y cono 88Volumen del cilindro y cono 92Mi progreso 95Buscando estrategias 96Para finalizar 98¿Qué aprendí? 100

3Unidad


Índice 9

Bibliografía 223

4Unidad

¿Cuánto sabes? 104Transformaciones de figuras y objetos 106Traslaciones de figuras planas 108Reflexiones de figuras planas 110Rotaciones de figuras planas 112Mi progreso 117Teselaciones 118

Teselaciones regulares y semirregulares 120Mi progreso 123Buscando estrategias 124Para finalizar 126¿Qué aprendí? 128

Movimientos en el plano 102

5Unidad

¿Cuánto sabes? 132Interpretación de tablas de frecuencias 134Construcción de tablas para datos agrupados 136Media aritmética para datos agrupados 138Moda para datos agrupados 140Censo y muestreo 142Análisis de encuestas 144

Mi progreso 149Espacio muestral y principio multiplicativo 150Sucesos equiprobables 152Regla de Laplace 154Mi progreso 157Buscando estrategias 158Para finalizar 160¿Qué aprendí? 162

Datos y azar 130

6Unidad

¿Cuánto sabes? 166Situaciones con dos variables 168Noción de función 172Variables dependientes e independientes 174Dominio y recorrido 178Mi progreso 181Variaciones proporcionales y no proporcionales 182

Relación de proporcionalidad directa 184Relación de proporcionalidad inversa 188Mi progreso 193Buscando estrategias 194Para finalizar 196¿Qué aprendí? 198

Funciones y relaciones proporcionales 164

Solucionario 200Índice temático 220


Geometría ymedición

Unidad

3

72 Unidad 3

U3 P72-101 8 3/26/10 1:26 PM 2

• Identificar la circunferencia y círculo como lugar geométrico y representarlosmediante lenguaje conjuntista.

• Identificar el arco, cuerda, secante y tangente en una circunferencia.• Relacionar el número π con el diámetro y la longitud de la circunferencia.• Calcular la longitud de una circunferencia.• Estimar el área del círculo mediante el cálculo del área de polígonos regulares

inscritos en la circunferencia.• Conjeturar respecto del volumen del cilindro y cono.• Calcular el área del cilindro, cono y pirámide y verificarlas, usando un

procesador geométrico.

En esta Unidad podrás...

Para preservar de mejor forma los alimentos durante un largo período de tiempo,se realiza un proceso de manipulación de estos, llamada conserva alimenticia. El objetivo de la conserva es proteger a los alimentos de microorganismos quepodrían modificar sus condiciones sanitarias y su sabor. Las conservas se puedenencontrar en envases de vidrio o de hojalata. El envase de hojalata conserva por más tiempo los alimentos y evita los efectos de la luz, que deteriora su contenido vitamínico.

La fotografía muestra distintas conservas en envases de hojalata de una empresa.Si desean modificar las dimensiones de los tarros, responde las siguientes preguntas.

1. ¿Qué variará si desean agrandar los envases sin modificar su altura?2. ¿Qué sucederá con el volumen del envase si modifican la altura al doble?,

¿cómo lo supiste?3. ¿Con qué forma geométrica asocias estos tarros de conservas?4. ¿Haz consumido algún alimento en conserva?, ¿cuál?

Conversemos de...

Geometría y medición 73

U3 P72-101 8 3/26/10 1:26 PM Page 73

¿Cuánto sabes?

1. Calcula el perímetro de los siguientes polígonos y explica el procedimientoque utilizaste.

a) ABCD cuadrado c) LMNO romboide

b) HGFE trapecio isósceles d) ∆IJK equilátero

2. Calcula el área de los siguientes polígonos y explica el procedimiento que utilizaste.

a) c) ∆EFG isósceles de base EF

b) d)

3. Calcula el área total y volumen de los siguientes cuerpos geométricos.

a) b)

4. El perímetro de un triángulo equilátero es 24 cm. Si la medida de uno de sus lados aumenta en 3 cm, ¿cuánto mide ahora el perímetro del triángulo?,¿sigue siendo equilátero?, ¿por qué?

74 Unidad 3

D C O

K

N

MLA B

JIG

FE

H

5 cm

5 cm

6 cm

3,5 cm9 cm

5 cm

4 cm

8 cm

A B

H K L

M NI J

D C G

FE

2,6 cm

2,6 cm

10 cm

12 cm

5 cm12 cm

17,5 cm 4 cm

3 m

5 m4 cm

5,5 cm

5 m

4 cm

U3 P72-101 8 3/26/10 1:26 PM Page 74

Unidad 3

5. Si los catetos de un triángulo rectángulo miden 9 cm y 12 cm, ¿cuánto midesu perímetro?; ¿y su área?, ¿y si los catetos se duplican?

6. Si el área de un terreno cuadrado es 100 m2, ¿cuántos metros de alambre senecesitan para cercar el terreno con una vuelta?

Verifica en el solucionario de tu Texto si tus respuestas son correctas.¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelvecorrectamente el ejercicio.

• Un polígono es una figura geométrica plana, limitada por al menos tres segmentos rectosconsecutivos no alineados, llamados lados. Según el número de sus lados, se clasifican en:triángulo (3 lados), cuadrilátero (4 lados), pentágono (5 lados), etc.

• Los polígonos que tienen todos sus ángulos de igual medida, al igual que la medida de suslados, reciben el nombre de polígono regular.

• La apotema de un polígono regular es la distancia entre el centro y cualquiera de sus lados; es perpendicular a dicho lado.

• El perímetro de un polígono es la medida de la longitud de su frontera o contorno, expresada en la misma unidad de longitud.

• El área es la medida de la superficie de una figura. • Para calcular el área de un cuadrado de lado a, se puede utilizar la fórmula a2.• Para calcular el área de un rectángulo de lados a y b, se puede utilizar la fórmula a • b.

• Para calcular el área de un triángulo de base b y altura h, se puede utilizar la fórmula .

• En un triángulo rectángulo, las medidas de los catetos se pueden considerar como su base y su altura, ya que son perpendiculares entre sí.

• En un triángulo ABC rectángulo en C se cumple que:

• Un prisma recto es aquel poliedro que tiene dos caras paralelas que son polígonos igualesllamados bases. El resto de las caras son rectángulos perpendiculares a las bases y se llamancaras laterales.

• Las pirámides son poliedros cuya base es un polígono y sus caras laterales son triángulos, que concurren en un punto llamado cúspide. Las pirámides rectas son aquellas cuyas caraslaterales son triángulos isósceles. De lo contrario, se denominan oblicuas. Las pirámidesregulares son aquellas cuya base es un polígono regular.

¿Qué debes recordar?


apotema del pentágono

b • h2

C

B

A

ac

b

a2 + b2 = c2

(Teorema de Pitágoras)

U3 P72-101 8 3/26/10 1:26 PM Page 75

76 Unidad 3

Para discutir

• ¿Cuántos metros hay desde el dispositivo hasta E?, ¿y hasta B y H?,¿cómo lo supiste?

• ¿Qué sucede con los estudiantes que están a menor distancia que 500 m del dispositivo?, ¿y los que están a más de 500 m a la redonda?, ¿cómo lo expresarías geométricamente?

• Si los estudiantes que están ubicados a menos de 500 m deldispositivo se ubicaran justo a 500 m de este, ¿dónde seencontrarían geométricamente?, ¿por qué?

• ¿Con qué conceptos geométricos puedes relacionar a las personasque están a menor distancia de 500 m a la redonda del dispositivo?,¿y los que están a 500 m?, ¿por qué?

En la situación anterior, los puntos que se encuentran a 500 metrosdel dispositivo receptor son H, B y E. Estos puntos y todos aquellosque están a 500 metros del dispositivo receptor O, pertenecen a lacircunferencia. El dispositivo corresponde al centro de lacircunferencia; la distancia desde el centro O a la circunferencia sedenomina radio; en este caso, el radio es de 500 metros. El conjunto de todos los puntos que están en el interior de lacircunferencia de centro O, como C, F, G y D, pertenecen al círculo.Luego, la circunferencia es el contorno del círculo.Los puntos S y T se encuentran a más de 500 m del centro O de lacircunferencia, por lo tanto, no pertenecen a ella (ni al círculo). Esto quiere decir que Sara y Tomás no pueden acceder a la web.

Circunferencia y círculo como lugargeométrico

En el patio de una universidad se ha instalado un dispositivo emisorde Internet, para que los y las estudiantes que dispongan de tarjetasreceptoras en sus computadores personales puedan acceder a laweb. El dispositivo receptor tiene un alcance hasta los 500 metros a la redonda. Observa la imagen que muestra el punto del patiodonde se instaló el dispositivo emisor y a los y las estudiantes que,en ese momento, estaban con sus computadores usando Internet.

Glosario conjunto: es toda agrupación deobjetos. Los objetos agrupadostoman el nombre de elementos delconjunto.pertenece: corresponde a todoslos elementos que forman parte deun conjunto dado. Se simboliza �.no pertenece: corresponde atodos los elementos que noforman parte de un conjunto dado.Se simboliza �.

SaraDaniela

Eduardo

Gabriel

TomásHernán

Carolina

Dispositivo

Francisca

Bernardo

Límite de la señal

H

C

F

BS

DEO

G

T

U3 P72-101 8 3/26/10 1:26 PM Page 76


Unidad 3

Actividades

1. Observa la siguiente circunferencia de centro O y el círculo de centro C, respectivamente y,luego, responde.

a) ¿En qué se parecen ambas figuras?, ¿en qué se diferencian?b) ¿Qué aspectos caracterizan a cada figura?c) ¿Cuándo un punto pertenece al círculo?, ¿y a la circunferencia?

Da 2 ejemplos para cada caso.

2. Observando la figura, completa cada una de las siguientes expresiones con:

• pertenecen • radio • no pertenecen• no pertenece • pertenecen • pertenece

a) El de la circunferencia de centro O mide 1 cm.b) El punto C al círculo.c) Los puntos D y E al círculo.d) Los puntos D y E a la circunferencia.e) Los puntos B y F a la circunferencia.f) El punto E al círculo.

• Un lugar geométrico es un conjunto de puntos que satisfacen determinadas propiedadesgeométricas.

• Una circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que están a igual distanciade un punto fijo, llamado centro; dicha distancia se denomina radio.Matemáticamente, el conjunto C de puntos p del plano P, que pertenecen a unacircunferencia de centro O y radio r, se puede representar de la siguiente manera:

C = �p � P / d (p, O) = r �

• El círculo es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya distancia a otro punto fijo, llamado centro, es menor o igual que la longitud del radio.Matemáticamente, el conjunto C de puntos p del plano P, que pertenecen a un círculo de centro O y radio r, se puede representar de la siguiente manera:

C = �p � P / d (p, O)�r �

La notación d(p, O) representa la distancia desde cualquier punto p del plano P al centro O.

No olvides que...

O C

ED

OB

F

C

U3 P72-101 8 3/26/10 1:26 PM Page 77

78 Unidad 3

Para discutir

• Si mides con una regla OE y OI, ¿qué puedes concluir?, ¿por qué?• ¿Qué diferencias observas entre la parte de la circunferencia

comprendida entre los puntos F y G y el trazo FG?, ¿cómo losupiste?

• Si mides con una regla OE y HI, ¿qué puedes concluir?, ¿por qué?• ¿Qué semejanzas y diferencias observas entre GF y AB

↔?,

¿y entre AB↔

y CD↔

?• ¿Cuánto miden los ángulos OED y CEO? Usa transportador.• ¿Ocurrirá siempre lo mismo con las medidas de los ángulos

formados entre el radio y la recta que interseca a la circunferenciaen un solo punto?, ¿cómo lo supiste?

En la circunferencia anterior, tenemos que OE y OI corresponden asegmentos que unen un punto de la circunferencia con su centro O;estos segmentos corresponden al radio de la circunferencia.La parte de la circunferencia comprendida entre los puntos F y Gse denomina arco (FG�), es decir, corresponde a todos los puntospertenecientes a la circunferencia entre dichos puntos, a diferenciade FG, que contiene solo a dos puntos de la circunferencia. Estesegmento se denomina cuerda. Por otra parte, HI mide el doble del radio; este segmento que unedos puntos de la circunferencia y, además, pasa por el centro de ellase llama diámetro.Al observar AB

↔y CD

↔, podemos notar que la primera recta corta

a la circunferencia en dos puntos, a diferencia de CD↔

, que toca a la circunferencia en un solo punto (E ). En el caso de AB

↔, la recta

se llama secante a la circunferencia, y en el caso de CD↔

, tangentea la circunferencia. Además, el ángulo formado entre la tangente y el radio, en el punto de intersección (E ) es recto (mide 90º).

Elementos de la circunferencia

Observa la siguiente circunferencia de centro O y los elementos marcados en ella. Observa.

Glosario En Matemática puedes utilizar la siguiente notación:Segmento HI: HI�

Recta AB: AB↔

Arco FG: FG�

Ayuda

El arco de una circunferencia selee en sentido inverso al giro delos punteros del reloj.

C

D

FE

IO

H

G

A

B

U3 P72-101 8 3/26/10 1:26 PM Page 78


Actividades

1. Usando regla y compás, dibuja en tu cuaderno una circunferencia de centro O y radio 3 cm.Luego, sigue las instrucciones y responde las preguntas.

a) Traza un diámetro: ¿cuánto mide?b) Traza una recta secante y marca con distintos colores los arcos determinados por ella.c) Traza un radio OA y, luego, una tangente a la circunferencia que pase por A. Para esto,

utiliza escuadra.d) Traza una cuerda de menor longitud que el diámetro, ¿qué sucede si son de igual longitud?

2. Considera la circunferencia de centro O y completa la siguiente tabla.

3. Determina si las siguientes expresiones son verdaderas o falsas. Justifica tus respuestas.

a) Las cuerdas que contienen al centro de la circunferencia se denominan arco.b) El diámetro de una circunferencia mide la mitad del radio.c) Toda recta secante a una circunferencia determina dos arcos.d) Toda recta tangente a una circunferencia interseca al menos en un punto a la circunferencia.e) El diámetro de una circunferencia determina dos arcos de igual medida.

En una circunferencia podemos distinguir los siguientes elementos:

• Radio: segmento que une cualquier punto de la circunferencia con el centro.• Cuerda: segmento que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia.• Diámetro: cuerda que une dos puntos de la circunferencia, pasando por el centro. Es la cuerda

de mayor longitud en la circunferencia. En toda circunferencia se tiene que la medida deldiámetro corresponde al doble de la medida del radio.

• Arco: parte de circunferencia comprendida entre dos puntos de ella.• Secante a una circunferencia: recta que interseca a la circunferencia en dos puntos.• Tangente a una circunferencia: recta que interseca en un único punto a la circunferencia.

No olvides que...

Unidad 3

Cuerda(s)

Diámetro(s)

Radio(s)

Secante(s)

Tangente(s)

Arco(s)

A

B

O

D

C

F

E

U3 P72-101 8 3/26/10 1:26 PM Page 79

80 Unidad 3

Número π y su relación con lacircunferencia

En la actividad anterior, podemos notar que el cociente obtenido en la última columna de la actividad experimental esaproximadamente 3,14 en todos los casos. Si realizáramos el mismoexperimento con circunferencias cuyo radio fuera diferente,observaríamos que dicho valor se mantiene constante. Este valor se representa con la letra griega π, y se pronuncia número pi.

Para discutir

• ¿Cómo calculaste la medida del diámetro?, ¿y la longitud de cada circunferencia?

• Los valores obtenidos en la última columna, ¿tienen algo en común?,¿por qué?

• Si dibujaras otras circunferencias, con distintos radios, ¿qué valoresobtendrías al calcular el cociente entre su longitud y el diámetro?,¿ocurrirá siempre lo mismo?, ¿por qué?

• ¿Reconoces los valores obtenidos en la última columna con algúnnúmero especial?, ¿cuál?

En esta actividad deberán utilizar 1 metro y medio (aprox.) de lana, regla, compás y calculadora paramedir la longitud y el diámetro de circunferencias y calcular el cociente entre dichas medidas. Formengrupos de tres integrantes y sigan las instrucciones.

1. Dibujen en sus cuadernos circunferencias cuyos radios midan 2 cm, 3 cm, 5 cm y 10 cm.2. Pongan la lana sobre cada circunferencia, cortándola de tal modo que mida exactamente

lo mismo que cada una de estas figuras.3. Después que han cortado los trozos de lana, estírenlos y mídanlos con regla, para calcular la

longitud de las circunferencias. 4. Completen la tabla.

En equipo

CircunferenciaMedida del diámetro

(cm)Medida de la longitud

(cm)Valor de la razón entre

la longitud y el diámetro

1

2

3

4

Ayuda

Recuerda que el valor de larazón es el cociente entre doscantidades.

U3 P72-101 8 3/26/10 1:26 PM Page 80


Actividades

1. Usando calculadora, determina cuál de las siguientes expresiones corresponde a una mejoraproximación al número π.

a) c) e)

b) d) f)

2. Agustín dice que para calcular la longitud de una circunferencia basta con multiplicar π por el diámetro de esta. ¿Consideras correcto lo que afirma?, ¿por qué?

3. ¿Puedes obtener la longitud de una circunferencia si conoces la medida de su radio?,¿cómo lo harías?

4. Utilizando calculadora, completa la siguiente tabla. Considera el número π, redondeado a los centésimos (π = 3,14).

La razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro es un número constante quellamamos número π. Este número es decimal infinito no periódico, que truncado a sus primerascifras es:

π � 3,1415926535…

No olvides que...

Unidad 3Unidad 3

355113

227

258

25681

39271250

377120

Circunferencia Medida del radio (cm) Medida del diámetro (cm) Medida de la longitud (cm)

1 37,68

2 62,8

3 31,4

4 15

5 10,5

6 314

7 6,5

8 125,6

U3 P72-101 8 3/26/10 1:26 PM Page 81

82 Unidad 3

Para discutir

• ¿Con qué elemento de la circunferencia puedes igualar los ladosdel hexágono?, ¿por qué?

• Observa el perímetro del hexágono y la longitud de lacircunferencia, ¿cuál es mayor?, ¿cómo lo supiste?

• Según lo estudiado hasta ahora, ¿cómo relacionarías la longitudde la circunferencia con el diámetro y el número π?

En la situación anterior, el hexágono regular inscrito en lacircunferencia con centro en O se ha dividido en 6 triángulosequiláteros y cada lado de los 6 triángulos coincide con el radio de la circunferencia.

Los arcos que se forman con los lados del hexágono tienen medidaun poco mayor que dichos lados y, por lo tanto, es un poco mayorque el radio. Luego, si comparamos la longitud de la circunferencia,que es igual a la suma de todos los arcos; con el perímetro delhexágono, que es igual a 6 veces el radio, tenemos que:

longitud de la circunferencia > perímetro del hexágonolongitud de la circunferencia > 6 veces la medida del radio

longitud de la circunferencia > 3 veces la medida del diámetro

Por otro lado, estudiamos en la actividad experimental de la página80 que el número π es igual a la razón entre la longitud de una

circunferencia (l ) y su diámetro (d ), es decir, π = . Entonces:

π = / multiplicamos por d

π • d = • d

Por lo tanto, l = π • d

Longitud de la circunferencia

La siguiente figura muestra un hexágono regular que está inscrito en una circunferencia. El hexágono regular está dividido en 6 triángulos equiláteros, que tienen un vértice común en elcentro de la circunferencia.

ld

ld

O

E D

CF

BA

ld

U3 P72-101 8 3/26/10 1:26 PM Page 82


Actividades

1. Calcula la longitud de cada circunferencia, sabiendo la medida del radio (r). Considera π = 3,14.

a) r = 4 cm c) r = 4,7 cm e) r = cm g) r = 1000 cm

b) r = 0,5 m d) r = 1,7 km f) r = 9 cm h) r = 10 000 cm

2. Calcula el radio de cada circunferencia, sabiendo la medida de la longitud (l ). Considera π = 3,14.

a) l = 28,26 cm c) l = 1256 km e) l = 3,14 m g) l = 31,4 cmb) l = 11,304 m d) l = 6,28 cm f) l = 188,4 cm h) l = 50,24 m

3. Calcula la longitud de cada circunferencia. Considera π = 3,14.

a) b) c)

Luego, si consideramos lo anterior y, además, que el diámetro esigual a 2 veces el radio (2 • r ), verificamos que:

longitud de la circunferencia > 3 veces la medida del diámetro

π • d > 3 • dπ • (2 • r ) > 3 • (2 • r )

Por lo tanto, 2 • π • r > 2 • 3 • r

Lo anterior se confirma con que π > 3.

La longitud de una circunferencia (l ) es igual al producto de 2 por π por su radio (r ). Es decir,l = 2 • π • r

No olvides que...

Unidad 3

72

G

L

K

5 cm

15 cm

3 cm

U3 P72-101 8 3/26/10 1:26 PM Page 83

84 Unidad 3

Para discutir

• ¿Cómo son entre sí el área del círculo y el área de cada polígonoregular?, ¿qué sucede con estas áreas a medida que aumenta lacantidad de lados del polígono regular?

• ¿Con qué elemento del círculo relacionas la apotema?, ¿quérelación tiene con el número de lados del polígono regular?

• ¿Puedes aproximar el área del círculo conociendo la medida de laapotema y de uno de sus lados?, ¿cómo?

Como puedes observar en las figuras de la situación anterior,mientras más lados tenga el polígono regular, su área será unamejor aproximación al área del círculo. Por otra parte, la medida de la apotema del polígono se aproxima cada vez más al radio del círculo.

Para aproximar el área del círculo, podemos calcular el área de unpolígono regular inscrito en la circunferencia y, mientras más ladostenga el polígono, la aproximación será mejor. Por ejemplo, elpolígono regular de la siguiente figura tiene 10 lados, si cada ladomide 2,5 cm y su apotema mide 3,85 cm, entonces:

Área polígono regular = = 48,125 cm2

Por lo tanto, el área del círculo se aproxima a 48,125 cm2.

Luego, como la longitud de la circunferencia es igual a 2 • π • r , y elárea del círculo (Á) se aproxima a la de un polígono regular demuchos lados, entonces:

Á = = = π • r 2

Área del círculo

Observa los siguientes polígonos regulares inscritos en unacircunferencia.

Ayuda

Recuerda que la fórmula paracalcular el área de un polígonoregular es:

perímetro • apotema2

(10 • 2,5) • 3,852

perímetro • apotema2

(2 • π • r ) • r2

O

U3 P72-101 8 3/26/10 1:26 PM Page 84


Actividades

El área de un círculo (Á) es igual al producto de π por su radio al cuadrado (r2). Es decir, Á = π • r2

No olvides que...

Unidad 3

1. Dados los siguientes polígonos regulares inscritos en una circunferencia, usa escuadra para dibujar la apotema, y con una regla mide uno de los lados y la apotema dibujada.Luego, aproxima el área de cada círculo.

a) b) c)

¿Cuál de las aproximaciones es más cercana al área del círculo correspondiente? Justifica.

2. Observa los siguientes círculos cuyos radios miden lo mismo y los polígonos inscritos en ellos.Utilizando regla, escuadra y calculadora, completa la tabla. Considera el número π, redondeado a los centésimos (π = 3,14).

3. Utiliza la fórmula: Área = π • r 2, para calcular el área de los círculos de la pregunta 1) y,luego, compara los valores obtenidos con las aproximaciones. Considera π = 3,14.

4. Dado un círculo cuyo radio mide 3 cm, ¿qué sucede con su área su duplicas el radio?,¿y si lo triplicas? Calcula el área en cada caso.

Nº lados delpolígono

Medida de la apotema (cm)

Medida del radio (cm) Área polígono (cm2) Área círculo (cm2)

6 1,5 3,14 • 1,52 = 7,065

O C G

U3 P72-101 8 3/26/10 1:26 PM Page 85

86 Unidad 3

Usando Geogebra puedes calcular la longitud de una circunferencia y área de un círculo, entreotras cosas. Para descargar este software ingresa a: www.geogebra.at; en el menú de la izquierdaselecciona Webstart-TeleInicio, luego, el botón Webstart y sigue las instrucciones.

Longitud de la circunferencia y área del círculo

1º Presiona el botón derecho y selecciona Ejes. 2º En las herramientas del software, selecciona Polígono Regular . Haz dos clic en puntos

distintos del plano; luego, indica la cantidad de vértices del polígono (menor que 16) y,finalmente, presiona OK; aparecerá el polígono regular.

3º Selecciona Circunferencia dados Tres de sus Puntos . Haz clic en tres vértices del polígono regular; aparecerá la circunferencia circunscrita en el polígono.

4º Repite los pasos 2º y 3º (en el mismo plano); pero, en este caso, el polígono debe tener 20 lados.

5º Selecciona Distancia o Longitud . Haz clic sobre cada polígono; aparecerá su perímetro. Luego, haz clic sobre cada circunferencia; aparecerá su longitud.

6º Selecciona Área . Haz clic sobre cada polígono; aparecerá su área. Luego, haz clic sobre cada circunferencia; aparecerá el área de cada círculo.

Luego de realizar los pasos anteriores, responde.

a) ¿En cuál de los casos el perímetro del polígono se aproxima más a la longitud de la circunferencia?,¿y en el caso del área?, ¿por qué?

b) Verifica en una nueva aplicación de Geogebra para otros polígonos. Compara los resultadosobtenidos con tus compañeros y compañeras.

Corona circular

1º En una nueva aplicación de Geogebra, presiona el botón derecho y selecciona Ejes. 2º En las herramientas del software, selecciona Circunferencia dado su Centro y uno de

sus puntos . Haz dos clic en lugares distintos del plano; aparecerá una circunferencia.3º Usando la misma herramienta anterior, haz un clic sobre el centro de la

circunferencia y, luego, un clic que esté contenido en la circunferencia (no debe pertenecer a ella), como se observa en la figura.La parte de la superficie que hay entre ambos círculos corresponde a lacorona circular.

4º Selecciona Distancia o Longitud. Haz clic sobre cada circunferencia; aparecerá su longitud.5º Selecciona Área. Haz clic sobre cada circunferencia; aparecerá el área de cada círculo.

Luego responde: ¿cuál es el área de la corona circular?, ¿y el perímetro?, ¿cómo lo hiciste?

Herramientas tecnológicas

AC

B

d

c

U3 P72-101 8 3/26/10 1:26 PM Page 86

Mi progreso

Unidad 3


Criterio Ítem Respuestas correctas

Analizar afirmaciones asociadas a la circunferencia, círculo y π. 1

Calcular la longitud de circunferencias. 2

Calcular el área de una corona circular. 3

Resolver problemas que involucran área de círculo y longitud de circunferencia.

4 y 5

Marca la opción correcta en las preguntas 1 a la 3.

1. ¿Cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones son correctas?

I. La circunferecia es el perímetro del círculo cuya superficie contiene.II. El número π se define como la razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro.III. Una recta tangente es una recta que corta a la circunferencia en dos puntos.

A. Solo I B. Solo II C. I y II D. I, II y III

2. ¿Cuál es la diferencia entre las longitudes de dos circunferencias de diámetros 18 cm y 4 cm?(Considera π = 3,14)

A. 56,52 cm B. 43,96 cm C. 12,56 cm D. 87,92 cm

3. El área de la corona circular es (considera π = 3,14):

A. 28,26 cm2

B. 172,7 cm2

C. 69,08 cm2

D. 229,22 cm2

4. El área del cuadrado de la figura es 16 cm2, ¿cuál es el área del círculo inscrito? (Considera π = 3,14).

5. Para una presentación de gimnasia de un colegio se necesita elaborar 15 argollas de diámetro 80 cm,¿cuántos metros de tubo plástico se debe comprar para su elaboración? (Considera π = 3,14).

Revisa tus respuestas en el solucionario de tu Texto, completa la siguiente tabla y, luego, responde.

¿Tuviste algún error?, ¿cuál? Resuelve correctamente el ejercicio y explica a un compañero o compañerala estrategia utilizada.

5 cm3 cm

O

U3 P72-101 8 3/26/10 1:26 PM Page 87

88 Unidad 3

Para discutir

• Si armas estas redes, ¿qué cuerpos geométricos obtendrías?• Si armas las redes, ¿qué diferencias y semejanzas observas en

cada cuerpo geométrico?• Si rotaras un rectángulo en torno a uno de sus lados, ¿cuál de

estos cuerpos geométricos obtienes?, ¿y si rotaras un triángulorectángulo en torno a uno de sus catetos?

• ¿Es necesario conocer algunos elementos para construir cada una de las redes?, ¿cuáles?

• ¿Cómo calcularías el área total de cada cuerpo geométrico?,¿puedes apoyarte en las redes?, ¿cómo lo harías?

Las redes de la situación anterior se obtienen al desarmar doscuerpos geométricos. Con la primera red es posible construir uncilindro recto de base circular y, con la segunda red, se puedeconstruir un cono recto:.

Si armamos las redes para construir los cuerpos correspondientes,observamos que el cilindro y cono están compuestos por al menosuna cara curva; estos cuerpos se denominan redondos. En cambio,aquellos cuerpos formados solamente por figuras geométricas planas,como la pirámide, se denominan poliedros.

Un cilindro se obtiene al rotar un rectángulo de lados r y h alrededorde uno de sus lados. Los lados no paralelos al eje de girodeterminan círculos llamados bases.

Área del cilindro y cono

Pedro y Lorena elaboraronlas redes que se muestran acontinuación, para construirdos cuerpos geométricosdiferentes. Observa.

Glosario cilindro recto: cuerpo geométricoobtenido al rotar un rectánguloentorno a uno de sus lados.cono recto: cuerpo geométricoobtenido al rotar un triángulorectángulo en torno a un cateto.

h

r

U3 P72-101 8 3/26/10 1:26 PM Page 88


Unidad 3

El cono se obtiene al rotar un triángulo rectángulo de catetos r y halrededor de uno de sus catetos. El otro cateto determina un círculollamado base.

Si quieres dibujar una red para construir un cilindro recto, debesconocer el radio del círculo de la base para dibujar un rectánguloen el que el lado a de este coincide con la longitud de lascircunferencias y, luego, dibujas los círculos con el radio conocido.Para calcular el área total del cilindro, sumamos el área delrectángulo y el área de las bases circulares, es decir:

Á = área rectángulo + 2 • área círculo = (2 • π • r • h) + (2 • π • r2)

Si quieres dibujar una red para construir un cono recto, debesconocer la longitud del radio r de la base y la longitud de lageneratriz g (radio del sector circular) para calcular el ángulo αdel sector circular, el que se calcula con la siguiente fórmula:

α =

Con esta información, construyes una circunferencia de radio gy marcas un ángulo α en el centro, de esta forma obtienes el sectorcircular; luego, dibuja la circunferencia de radio r, como se observaa continuación en la figura.Para calcular el área del cono, sumamos el área de la base y el áreadel sector circular.

Si r es el radio de la base, su área es: Áb = π • r 2

Si g es la generatriz, el área del sector circular es: Ásc = π • r • g

h: altura

g: generatriz

r : radio

a

r : radio

r

ah: altura h

b: base

cara lateral

r • 360ºg

Unidad 3

g: generatriz

U3 P72-101 8 3/26/10 1:27 PM Page 89

• Si r es el radio de la base y h la altura, el área total de un cilindro está dado por:

Ácilindro = (2 • π • r • h) + (2 • π • r 2)

• Si g es la generatriz y r el radio de un cono, el área total del cono está dado por:

Ácono = (π • r 2) + (π • r • g)

No olvides que...

90 Unidad 3

Actividades

1. Calcula el área total de los siguientes cuerpos geométricos rectos (considera π = 3,14).

a) c)

b) d)

Luego, el área total del cono es:

Á = área base + área sector circular = (π • r 2) + (π • r • g)

h

α r

g

sector circular

g: generatriz b: base

r: radio

arista de la base = 10 cmaltura = 12 cm

radio de base = 7 cmgeneratriz = 20 cm

radio de la base = 6 cmgeneratriz = 10 cm

altura = 24 cmgeneratriz = 26 cm

Ayuda

Recuerda que el área de unapirámide se obtiene al sumar elárea de todas sus caras y el áreade la base.

U3 P72-101 8 3/26/10 1:27 PM Page 90


2. El ancho del rectángulo que gira mide 30 cm y su largo mide 45 cm, calcula (considera π = 3,14):

a) el área de la base del cilindro que se genera.b) el área total del cilindro.

3. Calcula el área lateral de un cilindro recto, cuya base es un círculo de 452,16 cm2 de área y cuya altura es igual al diámetro de la base (considera π = 3,14).

4. Calcula el área total de un cono recto donde r = 3 cm y g = 10 cm (considera π = 3,14).

5. Si el radio de la base de un cono recto mide 4 cm y el ángulo del sector circular mide 60º,¿cuál es el área total del cono?

6. Un recipiente tiene forma de cilindro circular recto. El área de cada base es de 1256 cm2

y la altura del cilindro mide 15 cm (considera π = 3,14).

a) ¿Cuánto mide el diámetro de la base?b) ¿Cuál es el área lateral del recipiente?c) ¿Cuánto mide el área total?

7. El área total de un cilindro recto es 565,2 cm2, su radio mide 5 cm y su generatriz mide 13 cm. Si su radio aumentara en 2 cm (considera π = 3,14):

a) ¿cuál es el área total del nuevo cilindro?b) ¿en cuántos cm2 aumenta su área?

8. El perímetro de la base de la pirámide recta cuya base es un polígono regular mide 36 cm,la apotema lateral mide 20 cm. Calcula:

a) la apotema de la base.b) el área de la base.c) el área total.

9. La longitud de la circunferencia de la base de un cilindro recto mide 62,8 cm y su altura mide 18 cm (considera π = 3,14).

a) ¿Cuál es su área lateral? b) ¿Cuál es el área total del cilindro?

10. El radio de un cono recto mide 5 cm y su altura mide 12 cm, calcula:

a) la medida de la generatriz. b) ¿cuál es su área total?

Unidad 3

h

r

U3 P72-101 8 3/26/10 1:27 PM Page 91

92 Unidad 3

Para discutir

• ¿Podrían establecer una fórmula para calcular el volumen delcilindro?, ¿cuál?

• ¿Cuál es el volumen del cilindro construido?, ¿cómo lo calculaste?• ¿Cuánto mide la altura del cono?, ¿cómo la calculaste?• ¿Cuántas veces puedes vaciar la arena que contiene el cono en

el cilindro?, ¿por qué?• Usando la información anterior, ¿puedes encontrar una fórmula

para calcular el volumen del cono?, ¿cuál?

Después de realizar la actividad anterior, y considerando que elárea de un círculo se puede aproximar por medio del cálculo delárea de polígonos regulares inscritos en una circunferencia y,además, que dicha aproximación será mejor mientras mayor sea el número de lados del polígono inscrito. Entonces, para calcular el volumen del cilindro podemos utilizar la fórmula:

área base • altura

Luego, el volumen del cilindro construido es (considerando π = 3,14):

V = 3,14 • 62 • 8 = 904,32 cm3

Por otra parte, notemos que la cantidad de arena que puedecontener el cilindro es exactamente 3 veces lo que puede contenerel cono. Entonces, para calcular el volumen del cono, podemosdividir por 3 el volumen del cilindro calculado anteriormente. Es decir, el volumen del cono es 904,32 : 3 = 301,44 cm3. Notemos que ambos cuerpos redondos tienen la misma altura (8 cm).

Volumen del cilindro y cono

En esta actividad deberán utilizar cartulina, pegamento, tijeras, regla,transportador y arena para dibujar redes de cilindro y cono y, luego,con los cuerpos geométricos que construyeron y la arena, realizarán una actividad exploratoria. Formen grupos de tres integrantes y sigan las instrucciones.

a) Dibujen sobre la cartulina dos redes, una para armar un cilindro recto y otra para un cono recto. El radio de la base del cilindro mide 6 cm y su altura mide 8 cm. El radio de la base del cono mide 6 cm y su generatriz mide 10 cm; con esta información pueden calcular el ángulo del sector circular.

b) Llenen el cono con arena y, luego, vacíenla en el cilindro. Repitan este procedimiento hasta que elcilindro quede completamente lleno.

En equipo

Ayuda

Recuerda que, cuando hablamosde volumen, nos referimos a lamedida que ocupa un cuerpo enel espacio.Para calcular el volumen de unprisma recto, puedes utilizarla fórmula:

Volumen = área base • altura

U3 P72-101 8 3/26/10 1:27 PM Page 92


• El volumen de un cilindro es igual al producto del área de la base por la altura. Es decir, en un cilindro de radio r y altura h, el volumen se calcula:

Vcilindro = área base • altura = π • r 2 • h

• El volumen del cono es igual a un tercio del producto del área de la base por la altura. Es decir, en un cono de radio r y altura h, el volumen se calcula:

Vcono = • área base • altura = • π • r 2 • h

No olvides que...

Actividades

Considera π = 3,14 en cada caso.

1. El radio de un cilindro mide 3,5 cm y su altura mide 10 cm, calcula su volumen.

2. Considera un cilindro cuya base es un círculo de 4 cm de radio y su altura mide 11 cm.Responde las siguientes preguntas.

a) ¿Cuál es su volumen?b) ¿Qué ocurrirá con el volumen si su altura se duplica?, ¿y si se triplica?

3. Considera un cono cuya base tiene 5 cm de radio y su altura mide 12 cm. Responde las siguientes preguntas.

a) ¿Cuál es su volumen?b) ¿Qué ocurrirá con el volumen si su radio se duplica?, ¿y si se triplica?

4. Considera un cono cuya altura mide 24 cm de radio y su generatriz mide 26 cm. Responde lassiguientes preguntas.

a) ¿Cuál es su volumen?b) ¿Qué ocurrirá con el volumen si su altura se reduce a la mitad?, ¿y si se reduce al tercio?

5. El volumen de un cilindro es 240,21 cm3 y el radio de su base mide 3 cm; ¿cuánto mide su altura?Explica, paso a paso, cómo lo calculaste.

6. El volumen de un cono es 1017,36 cm3 y el área de su base es 254,34 cm2; ¿cuánto mide su altura?, ¿y el radio de su base? Explica, paso a paso, cómo lo calculaste.

Unidad 3

13

13

U3 P72-101 8 3/26/10 1:27 PM Page 93

7. Calcula el área total y volumen de los siguientes cilindros y conos rectos, usando calculadoracientífica (para escribir el número π presiona SHIFT y, luego, la tecla donde aparezca π).

a) f)

b) g)

c) h)

d) i)

e) j)

94 Unidad 3

Usando el programa Limix Geometric puedes representar gráficamente distintos cuerposgeométricos y calcular su área y volumen. Para descargar este programa ingresa a:www.limix.net. Luego, descarga Limix Geometric 1.2.16 haciendo clic sobre este link.

Sigue los siguientes pasos para verificar con el software que tus resultados obtenidos en el ítem 7son correctos:

a) Después de abrir el programa, selecciona figura 3D ; aparecerá una lista de cuerposgeométricos. Selecciona cilindro y cono, según corresponda.

b) Luego, debes ingresar los datos solicitados, como se muestra en el ejemplo .c) Presiona Calcular y obtendrás los resultados respectivos. d) Repite los pasos anteriores en una nueva aplicación cada vez, para verificar tus resultados.


15 cm

3,6 cm

4 cm

7 cm

10 cm7,6 cm

7,3 cm

9 cm

15 cm

15 cm

4,5 cm

11,2 cm

39 cm

2,5 cm

8,5 cm

16,3 cm

2 cm

7 cm

15 cm

15 cm

U3 P72-101 8 3/26/10 1:27 PM Page 94

Mi progreso

Unidad 3


12 cm

20 cm


Calcular el área lateral de un cilindro recto. 1

Calcular el volumen de un cono recto. 2

Determinar la altura de un cono, dado el volumen y área basal. 3

Resolver problemas sobre el área y volumen del cilindro y cono. 4 y 5

Marca la opción correcta en las preguntas 1 a la 3. Considera π = 3,14 en todos los casos.

1. ¿Cuál es el área lateral del cilindro recto cuya base es un círculo de 3,5 m de radio y su altura mide 12 m?

A. 340,69 m2 B. 76,93 m2 C. 461,58 m2 D. 263,76 m2

2. Si en un cono recto la altura mide 4 cm y su generatriz mide 5 cm, ¿cuál es su volumen si su radiose triplica?

A. 1017,36 cm3 B. 37,68 cm3 C. 339,12 cm3 D. 942 cm3

3. El volumen de un cono recto es 1004,8 cm3 y su área basal es 200,96 cm2, ¿cuánto mide su altura?

A. 15 cm B. 5 cm C. 1,7 cm D. 45 cm

4. La red dibujada es la de un cono recto. Calcula:

a) el área total.b) el volumen.

5. En una empresa de conservas están haciendo una revisión de sus envases para modificar sus dimensiones, si fuese necesario. Los tipos de envases actuales se muestran a continuación:

a) ¿Cuánto material más necesitan si la altura del envase tipo A aumenta en 2 cm?b) ¿Cuál es la capacidad del envase tipo B, si su radio se modifica a la mitad y su altura se triplica?



4 cm5 cm

8 cm10 cm

Tipo B

Tipo A

U3 P72-101 8 3/26/10 1:27 PM Page 95

Buscando estrategias

Sobre la base superior de un cilindro recto de 6 cm de radio de la base y 12 cm de altura, se construye un cono circular recto cuya altura es el triple que el cilindro y el radio es el mismo. ¿Cuál es el volumen del cuerpo formado? (Considera π = 3,14).

Comprender• ¿Qué sabes del problema?

Que el cono se encuentra en la base superior del cilindro. Ambos cuerpos tienen el mismoradio y la altura del cono es el triple que la altura del cilindro.

• ¿Qué debes encontrar?El volumen del cuerpo formado por el cilindro y el cono.

Planificar• ¿Cómo resolver el problema?

Podemos calcular el volumen del cilindro y el del cono. Luego, sumamos ambos valoresobtenidos para obtener el volumen del cuerpo que se forma.

Resolver• Calculamos los volúmenes de cada cuerpo redondo:

El volumen del cilindro es π • 62 • 12 = 3,14 • 36 • 12 = 1356,48 cm3

El volumen del cono es = = 1356,48 cm3

Luego, sumamos los valores obtenidos: 1356,48 + 1356,48 = 2712,96 cm3

Responder• El volumen del cuerpo formado es 2712,96 cm3.

Revisar• Para comprobar el resultado, puedes realizar la adición algebraicamente y, luego,

remplazar los datos correspondientes.El volumen del cuerpo generado, considerando que la altura del cono (hco) es el triple de laaltura del cilindro (hci), es decir, hco = 3 • hci , entonces:

π • r2 • hci + =

=

= = 2 • π • r2 • hci

Remplazando, 2 • 3,14 • 36 • 12 = 2712,96 cm3

96 Unidad 3

π • 62 • 363

π • r2 • hco

3

3 • π • r2 • hci + π • r2 • hco

3

3 • π • r2 • hci + π • r2 • (3 • hci)

3

6 • π • r2 • hci

3

3,14 • 36 • 363

6 cm

12 cm

U3 P72-101 8 3/26/10 1:27 PM Page 96

Unidad 3

1. Aplica la estrategia aprendida para resolver las siguientes situaciones, donde los radios basalesse mantienen en cada caso (considera π = 3,14).

a) Sobre cada base de un cilindro recto de 8 cm de radio de la base y 15 cm de altura, seconstruye un cono circular recto, uno de altura 20 cm y el otro de altura el doble que elcilindro. ¿Cuál es el volumen del cuerpo formado?

b) Sobre la base de un cono circular recto de 6 cm de radio de la base y 10 cm de generatriz,se construye un cono circular recto cuya altura es la mitad del otro cono. ¿Cuál es el volumen del cuerpo formado?

c) Sobre la base superior de un cilindro recto de 5 cm de radio de la base y 4 cm de altura, se construye un cono circular recto cuya altura es el triple que el cilindro. ¿Cuál es el áreatotal del cono?

d) Dentro de un cubo de arista 6 cm, se construye una pirámide recta de base cuadrada la cualcoincide con una de las caras del cubo. ¿Cuál es el área total de la pirámide recta si su alturaes 6 cm?

2. Ahora resuelve el problema de la página anterior, utilizando otra estrategia de resolución.Explica, paso a paso, y compara tu estrategia con las usadas por tus compañeros y compañeras.

3. Resuelve los siguientes problemas, utilizando la estrategia aprendida u otra. Compara elprocedimiento que utilizaste con el de algún compañero o compañera. ¿Cuál es más simple?,¿por qué?

a) ¿Cuál es el volumen del cuerpo redondo que se obtiene al rotar un triángulo rectángulo de catetos 10 cm y 24 cm, alrededor del vértice que se observa en la figura?

b) Si la arista del cubo mide 14 cm, ¿cuál es el volumen del espacio limitado entre la pirámide recta y el cubo?


10 cm

24 cm

14 cm

U3 P72-101 8 3/26/10 1:27 PM Page 97

Para finalizar

98 Unidad 3

1. Cada uno complete en su cuaderno la siguiente tabla escribiendo Sí, A veces y No, segúncorresponda. Luego, comparen y completen sus respuestas.

2. Comenten y respondan: para el próximo trabajo en equipo, ¿qué aspectos podrían mejorar?

Cone

xion

es

Respetó las opiniones de los demás integrantes.

Cumplió con las tareas con las que se comprometió.

Hizo aportes interesantes para desarrollar el trabajo.

NACIONAL

Existe una técnica para dibujar objetos de forma sencilla yrápida; esta técnica consiste en “envolver” el objeto con algunafigura o cuerpo geométrico, la cual se denomina encaje. En nuestro alrededor existen muchos objetos que podemosencajar en cubos, cilindros, conos y esferas, o bien, porcombinaciones de ellas. En la imagen podemos observar que elárbol de Navidad es, básicamente, la combinación de uncilindro y un cono.Utilizando esta técnica podemos aproximar la medida queocupa un cuerpo en el espacio, calculando el volumen de el o loscuerpos asociados al objeto.

Una técnica para obtener dibujos

Fuente: www.purpuraplastika.org/libros/10.pdf (consultado en noviembre de 2009,biblioteca on line Púrpura Plástica (PPK), libros para consulta).

Integrante 1 Integrante 2 Integrante 3

Evaluamos nuestro trabajo

Trabajen en grupos de tres o cuatro integrantes.

1. Si el radio del cilindro que envuelve a la base del árbol navideño mide 20 cm y su altura mide10 cm y, el radio del cono que envuelve al árbol mide 35 cm y su altura mide 1,5 m, ¿cuántomide aproximadamente el volumen del árbol de Navidad?

2. Escojan un objeto (por persona) de su entorno que se pueda encajar en un cilindro, cono o cubo, o la combinación de estos. Dibújenlo y calculen su volumen aproximado.

3. Comparen las soluciones obtenidas por cada integrante y discutan sobre cuál debería ser lasolución correcta en caso de que existan diferencias entre los resultados obtenidos.

4. ¿Cuál o cuáles cuerpos geométricos escogerían para dibujarse?, ¿por qué? Utilicen estatécnica para calcular el volumen de cada uno.

U3 P72-101 8 3/26/10 1:27 PM Page 98


Unidad 3

A continuación, se presenta un esquema llamado mapa conceptual, que relaciona los principalesconceptos estudiados en la Unidad. Complétalo con las palabras de enlace que indican lasrelaciones que hay entre los conceptos.

Utilizando los contenidos aprendidos en la Unidad y, apoyándote en el esquema anterior, responde.

1. ¿Crees que faltó algún concepto importante en el mapa conceptual?, ¿cuál? Agrégalo.

2. ¿Qué diferencias existen entre la circunferencia y el círculo?, ¿y qué semejanzas?

3. ¿Cuáles son los elementos de una circunferencia?, ¿qué características tienen?

4. ¿Qué relación tiene el número π con la circunferencia? Da 3 ejemplos.

5. ¿Cómo calculas la longitud de una circunferencia?, ¿qué otra forma conoces?

6. ¿Cómo calculas la el área del círculo?, ¿qué otra forma conoces?

7. Explica cómo calcular el área de un cono y un cilindro.

8. ¿Qué datos necesitas para calcular el volumen de un cono recto?, ¿y de un cilindro recto?

9. ¿Tienes alguna duda sobre los conceptos trabajados en la Unidad?, ¿cuál? Compártela en tu curso e intenten aclararla en conjunto.

FIGURAS PLANAS

CIRCUNFERENCIA Y CÍRCULO

PERÍMETRO

• ARCO

• CUERDA

• SECANTE

• TANGENTE

ÁREA

CUERPOS GEOMÉTRICOS

CILINDRO, CONO Y PIRÁMIDE

VOLUMEN

MEDICIONES

Síntesis

U3 P72-101 8 3/26/10 1:27 PM Page 99

¿Qué aprendí?

100 Unidad 3

1. ¿Cuál o cuáles de las siguientes afirmacionesson correctas?

I. Toda recta secante a una circunferenciadetermina una cuerda.

II. Toda cuerda determina dos arcos de igualmedida.

III. En una circunferencia, si radio mide 6 m,entonces, su diámetro mide 12 m.

A. Solo I C. I y IIIB. Solo II D. I, II y III

2. El número π se define como:

A. la razón entre la longitud de unacircunferencia y su diámetro.

B. la razón entre la longitud de unacircunferencia y su radio.

C. la razón entre el diámetro de unacircunferencia y su longitud.

D. la razón entre el radio de unacircunferencia y su diámetro.

3. Si la longitud de una circunferencia es 53,38 m,entonces, su diámetro mide:

A. 8,5 mB. 26,69 mC. 6,28 mD. 17 m

4. Los polígono regulares de la figura estáninscritos en la circunferencia de centro O.La mejor aproximación para el área del círculo es:

A. 45,4 cm2

B. 50 cm2

C. 46,8 cm2

D. 52 cm2

5. Si BC = 7 cm y AC = 11 cm, entonces, el áreade la corona circular es:

A. 153,86 cm2

B. 329,7 cm2

C. 50,24 cm2

D. 379,94 cm2

6. En el rectángulo ABCD, AD = 5 cm, DC = 2 cm,entonces, el área total del cilindro generado alrotar el rectángulo respecto de AD es:

A. 10 cm2

B. 87,92 cm2

C. 75,36 cm2

D. 157 cm2

7. ¿Cuál es el volumen del cono generado al rotarel triángulo rectángulo RST respecto de SR?

A. 12,56 m3

B. 47,1 m3

C. 37,68 m3

D. 113,04 m3

8. Si el radio del cilindro recto mide 10 cm y sualtura mide 24 cm, ¿cuánto mide el área totaldel cono recto?

A. 1130,4 cm2

B. 2135,2 cm2

C. 816,4 cm2

D. 62,8 cm2

Marca la opción correcta en las preguntas 1 a la 8. Considera π = 3,14, en todos los casos.

O

A B C

4 cm

4,2 cm2,6 cm

3,6 cm

A B

D C

R

TS

4 m 5 m

U3 P72-101 8 3/26/10 1:27 PM Page 100

Unidad 3

9. Laura necesita forrar un envase cilíndrico recto cuyo radio mide 6 cm y su alturamide 21 cm. Si solo forrara su cara lateral, ¿cuánto papel necesitará?

10. Tres albañiles pintarán el exterior de un estanque de almacenamiento de aguaque tiene forma de cilindro, cuyas medidas son 20 m de diámetro y 15 m de altura.

a) ¿cuál es el área que pintarán?b) Si cobran $ 860 por m2, ¿cuánto cobrarán por el trabajo completo?

11. La base de una pirámide regular es un hexágono cuyo perímetro es 60 cm, laapotema lateral mide 28 cm. Calcula el área de la base y el área total.

12. Si los radios de dos circunferencias están en la razón 1 : 3 y el radio menor mide4 cm, responde:

a) ¿cuál es la longitud de cada circunferencia?b) ¿cuál es el área de cada círculo?, ¿cuál es la razón entre sus áreas?

Verifica en el solucionario de tu Texto si tus respuestas son correctas. ¿Te equivocasteen alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio.

1. Marca según tu apreciación.

2. Reflexiona y responde.

a) ¿Qué dificultades tuviste en la Unidad?, ¿cómo las superaste?b) ¿Qué te gustó de lo que aprendiste en la Unidad?, ¿por qué?c) Vuelve a la página 73 y revisa el recuadro “En esta Unidad podrás…”,

¿crees que lograste aprender todo lo que se esperaba? Explica.

No lo entendí

Lo entendí

Puedo explicarlo

¿Qué logré?

Circunferencia y círculo como lugar geométrico.

Elementos de la circunferencia.

Número π y su relación con la circunferencia.

Longitud de la circunferencia.

Área del círculo.

Área del cilindro y cono.

Volumen del cilindro y cono.


U3 P72-101 8 3/26/10 1:27 PM Page 101

Funciones y relacionesproporcionales

Unidad

6

164 Unidad 6

U6 164-199 8º 3/26/10 1:15 PM Page 164


• Plantear ecuaciones que representan situaciones de la vida cotidiana, y analizarlasa través de tablas y gráficos.

• Reconocer funciones en diversos contextos, identificar sus elementos y utilizarlospara representar variadas situaciones.

• Distinguir entre variables dependientes e independientes en las funciones, e identificar el dominio y recorrido de estas.

• Identificar variables relacionadas en forma proporcional y no proporcional.• Reconocer y representar funciones de proporcionalidad directa e inversa.• Analizar y comparar situaciones que representan variaciones proporcionales

y no proporcionales; uso de software gráfico en estos casos.• Resolver problemas que impliquen el uso de la relación de proporcionalidad.

En esta Unidad podrás...

En la actualidad, el sedentarismo afecta a un gran porcentaje de la población,a pesar de que se ha demostrado que hacer deporte regularmente producenumerosos beneficios para la salud, tanto físicos como psicológicos: fortalecelos huesos, previene la obesidad y la hipertensión arterial, ayuda a liberartensiones, entre muchos otros. Incluso, se ha probado que las personas quepractican ejercicio físico de forma regular, suelen vivir más que aquellas queno lo realizan.

La fotografía muestra a Carlos; él se moviliza en bicicleta diariamente.Considerando que avanza en promedio a 21 km/h, piensa y responde.

1. Después de cinco horas, ¿cuál es la distancia aproximada que puede recorrer Carlos,si no se detiene y mantiene el mismo ritmo?

2. Si el trabajo de Carlos está a 31,5 km de su casa, y va en bicicleta, ¿cuánto demoraaproximadamente en llegar al trabajo si no se detiene en ningún momento?

3. El fin de semana visitará a su hermana que vive a 84 km de su casa. Si va enbicicleta, ¿cuántas horas tardaría en llegar si no realiza detenciones?, ¿a qué horallegaría a destino si comienza el viaje a las seis de la mañana?

4. ¿Existe alguna ecuación que permita representar la distancia que recorre Carlos en un determinado período de tiempo?, ¿cuál?

Conversemos de...

U6 164-199 8º 3/26/10 1:15 PM Page 165

¿Cuánto sabes?

166 Unidad 6

1. Expresa en lenguaje algebraico las siguientes frases.

a) El triple de un número.b) El doble de la suma de 3 y –8c) La tercera parte del doble de un número.d) La suma del cuarto de un número y el triple de otro número.e) El valor de n paltas a t pesos cada una.f) El valor de quince latas de bebida a x pesos cada una.g) El valor de y kg de pan a $ 750 cada uno.h) El valor de un huevo si la docena cuesta x pesos.

2. Escribe una expresión algebraica que represente el área y perímetro de lassiguientes figuras.

a) b) c)

3. Resuelve las siguientes ecuaciones. Explica, paso a paso, cómo lo hiciste.

a) 4 + 10y – 8 = 2y + 12 d) z + 2 = 62

b) 3x – 6 = x + 2 e) 1,4a – 0,72 = 11,28 – 0,6a

c) 0,8x – 3 = 12 – 2,2x f) – 3 = 5 + x

4. Plantea una ecuación y encuentra en cada caso, el o los númerosdesconocidos.

a) Si a un número le quito 27 se obtiene 77.b) La suma de un número y su antecesor es 49.c) La suma de tres números impares consecutivos es 177. d) Si al cuádruple de un número le quitamos 3, nos resulta el triple del

número aumentado en 12.

5. En un curso de cuarenta estudiantes, el 20% obtuvo nota igual o superior a 6,0 en una prueba; el 30% entre 5,0 y 5,9; el 35% entre 4,0 y 4,9, y el restodel curso obtuvo nota inferior a 4,0.

a) ¿Cuántos estudiantes obtuvieron nota mayor o igual a 6,0?b) ¿Cuántos estudiantes no aprobaron la prueba?c) ¿Cuántos estudiantes obtuvieron nota entre 4,0 y 5,9?

37

23

25

s

r

ta + 3

a + 3

y

x

U6 164-199 8º 3/26/10 1:15 PM Page 166

Unidad 6

• Una razón es una comparación entre dos cantidades que se realiza por medio de una división.

Ejemplo:

• El valor de la razón es el cociente entre las cantidades. Dos razones son equivalentes si su

valor es el mismo. Ejemplo: es equivalente a , ya que = 0,5 y = 0,5.

• Una proporción es una igualdad entre dos o más razones. La proporción entre las cantidades

a, b, c y d se puede expresar a : b = c : d, o bien = y se lee “a es a b, como c es a d”.

• En toda proporción se cumple que = , si y solo si a • d = b • c.

• Un porcentaje se escribe, por ejemplo, 15%, y se lee “quince por ciento”. El porcentaje esuna razón cuyo consecuente es 100.

• Para transformar una razón en porcentaje, basta con multiplicar la razón por 100 y, luego,calcular el cociente.

Ejemplo: • 100 = = 80% “4 representa el 80% de 5”.

• En el lenguaje algebraico se utilizan letras para representar variables. Para variables diferentes se asignan letras distintas. Por ejemplo: “el doble de un número aumentado en el triple de otro número” se puede representar por la expresión algebraica: 2x + 3y.

• Una ecuación de primer grado es una igualdad que contiene al menos un valor desconocidollamado incógnita. Resolver una ecuación equivale a encontrar el o los valores desconocidospara los cuales se cumple la igualdad.

¿Qué debes recordar?

6. Resuelve los siguientes problemas. Explica el procedimiento utilizado.

a) Un padre tiene veintitrés años menos que su madre, y su hijo tiene 35 años menos que él. Si la suma de las tres edades es 168 años, ¿qué edad tiene cada uno?

b) En un negocio, Matías y Josefa ganaron $ 155 000. Como no trabajaronde igual forma, el dinero será repartido en la razón 2 : 3. ¿Cuánto dinero le corresponde a cada uno por el trabajo realizado?

c) En un supermercado, todos los lunes se efectúa un descuento de 3%sobre la compra total. Si Carmen compró el lunes pasado la mercaderíapara el mes y pagó $ 44 232, ¿cuánto habría pagado sin el descuento?

Verifica en el solucionario de tu Texto si tus respuestas son correctas.¿Te equivocaste en alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelvecorrectamente el ejercicio.


ab

antecedenteconsecuente

510

ab

cd

510

48

48

ab

cd

45

4005

U6 164-199 8º 3/26/10 1:15 PM Page 167

168 Unidad 6

En esta situación, si representamos con x cada kilogramo demandarinas, una ecuación que permitiría determinar la cantidad dekilogramos de mandarinas que Tomás compró es:

650x + 500 = 4400

Luego, resolvemos la ecuación y obtenemos:

650x + 500 = 4400 / – 500650x = 3900 / : 650

x = 6

Por lo tanto, Tomás compró 6 kg de mandarinas.Por otro lado, si queremos saber cuánto costarán 9 kg demandarinas, podemos multiplicar el valor de cada kilogramo demandarinas por 9, es decir, 650 • 9 = 5850, lo que significa que 9 kgde mandarinas costarán $ 5850. Para saber el valor de 13 kg demandarinas calculamos 650 • 13 = 8450, entonces, costarán $ 8450.

Otra forma de resolver la situación presentada es registrar los datosen una tabla o representarlos en un gráfico.

Ayuda

• En una ecuación se debeverificar que la soluciónobtenida sea correcta.Por ejemplo:

5x + 5 = 2x + 20 / – 2x3x + 5 = 20 / – 5

3x = 15 / : 3x = 5

Verificamos que la solución x = 5 es correcta remplazando:

5 • 5 + 5 = 2 • 5 + 2030 = 30

• Si se trata de un problema,además se debe verificar si lasolución es pertinente.

kilogramo demandarinas

gasto total

pimentón

Situaciones con dos variables

Tomás compró mandarinas y un pimentón, y gastó $ 4400. El kilogramo de mandarinas costó $ 650 y el pimentón $ 500.

Para discutir

• ¿Cuántos kilogramos de mandarinas compró Tomás?, ¿cómo lo calculaste?

• ¿Cuál es la ecuación que permite calcular esta situación?• ¿Cuánto costarán 9 kg de mandarinas?, ¿y 13 kg?, ¿por qué?• ¿Podrías representar en una tabla o gráfico la relación entre los

kilogramos de mandarinas comprados y su costo?, ¿cómo?

U6 164-199 8º 3/26/10 1:15 PM Page 168


Unidad 6

Actividades

1. Resuelve las siguientes situaciones planteando una ecuación, que en cada caso, permita resolver el problema. Luego, encuentra el valor de la incógnita.

a) Manuel tiene x cantidad de dinero en un bolsillo, y el triple en el otro. Si en total tiene $ 6000, ¿cuánto dinero hay en cada bolsillo?

b) Marcela compró un ramo de flores por $ 8900 y 4 jarrones. Si el valor total de la compra es $ 14 700, ¿cuánto costó cada jarrón?

c) En un rectángulo, el largo mide el doble del ancho. Si el perímetro es 72 cm, ¿cuánto midecada lado?, ¿cuánto mide su área?

• Una situación que involucra encontrar un valor desconocido o incógnita se puede representarplanteando la ecuación que, al resolverla, dará solución al problema en cuestión.

• Si la situación relaciona dos variables, podemos analizar su comportamiento por medio dediversos registros, como una tabla o un gráfico.

No olvides que...

Observa, en cada caso, la relación entre los kilogramos demandarinas y su precio.

Para saber cuánto costarán 7 kg de mandarinas, podemos ver latabla y conocer de inmediato el valor. En el caso del gráfico, paradeterminar cuánto costarán 5 kg de mandarinas, debemos ubicaren el eje de las abscisas el número 5, luego, en el punto que tieneen dicho eje observamos qué valor le corresponde en el eje de lasordenadas. En este caso es 3250.

Glosario eje de las abscisas: correspondeal eje horizontal o eje X.eje de las ordenadas:corresponde al eje vertical o eje Y.

Kilogramos demandarinas

Precio($)

1 650 • 1 = 650

2 650 • 2 = 1300

3 650 • 3 = 1950

4 650 • 4 = 2600

5 650 • 5 = 3250

6 650 • 6 = 3900

7 650 • 7 = 4550

8 650 • 8 = 5200

Precio ($)

Kilogramos de mandarinas1 2 3 4 5 6 7 8

1000

2000

3000

4000

5000

6000

U6 164-199 8º 3/26/10 1:15 PM Page 169

170 Unidad 6

2. En uno de sus planes, una compañía de teléfonos celulares cobra $ 2,5 por segundo al realizarllamadas a cualquier compañía nacional y en cualquier horario. Camila, que tiene este plan, hablócon su amiga Francisca (que tiene un celular de otra compañía) y gastó $ 900 en esa llamada.

a) ¿Cuál es la ecuación que permite saber cuántos minutos habló Camila con su amiga?Resuélvela.

b) Si una llamada le costó $ 300, ¿cuántos minutos habló? c) Si Camila llama nuevamente a su amiga Francisca, ¿cuánto gastará si habla 3 minutos?,

¿y si habla 5 minutos?d) Completa la tabla que relaciona la cantidad de segundos hablados, y su respectivo costo.

e) Si a fin de mes habló 65 minutos a compañías nacionales, ¿cuánto pagará en total ese mes?f) Completa el siguiente gráfico, que relaciona los minutos hablados con el valor mensual del plan.

g) Si Camila hablara 4 minutos y 12 segundos, ¿cuánto dinero gastaría? Analiza el gráficoanterior para responder.

h) Francisca tiene un plan de otra compañía de teléfonos celulares. Los costos de su planaparecen en la siguiente tabla:

Si en un mes habla 200 minutos, ¿cuánto debería pagar?i) Si cada mes hablaras 180 minutos por teléfono celular, ¿qué plan sería más conveniente,

el de Camila o el de Francisca?, ¿por qué?

Minutos hablados

Precio ($)

5 10 15 20 25 30 35

1000

2000

3000

4000

5000

Segundos Precio ($)

1 2,5

10

60

90

180

300

Cargo fijo ($) Minutos incluidos Valor del segundo adicional ($)

14 490 100 2

U6 164-199 8º 3/26/10 1:15 PM Page 170


Unidad 6

3. Sandra se encarga de los pedidos en una empresa de decoración. En una de las compras gastó $ 27 250, al adquirir un florero a $ 1250 y claveles rojos y blancos. Los primeros tienen un costode $ 140, los segundos de $ 120. Compró la misma cantidad de claveles de cada color.

a) ¿Cuántos claveles compró en total?, ¿cuál es la ecuación que permite encontrar la solución?

b) ¿Cuánto gastaría si comprara treinta claveles en total?, ¿y cuarenta?c) ¿Cuánto gastaría, incluyendo el florero, si comprara ochenta y seis claveles en total?d) Completa la siguiente tabla que relaciona la cantidad de claveles y el gasto asociado.

e) Observa la tabla: ¿podría Sandra comprar siete claveles en el pedido realizado?, ¿y quince?,¿cuánto gastaría?

f) Completa el siguiente gráfico.

g) Observa el gráfico y responde: ¿cuánto gastará Sandra en total si compra doce claveles y unflorero que cuesta $ 1450 más que el anterior?

Cantidad de claveles

Precio ($)

2 4 6 8 10 12

250

500

750

1000

1250

1500

Cantidad de claveles Precio ($)

2 260

4

12

20

30

50

80

114

U6 164-199 8º 3/26/10 1:15 PM Page 171

172 Unidad 6

Para discutir

• ¿Cuál será el sueldo de Miguel si vende ocho automóviles duranteun mes?, ¿y si vende dieciséis?, ¿por qué?

• Si durante un mes vendió x automóviles y recibió un sueldo de y pesos, ¿qué expresión algebraica permitiría calcular su sueldo?,¿cuántas variables tiene?

• ¿Cuántos automóviles vendió en un mes que ganó $ 530 000?,¿cómo lo supiste?

Si analizamos la tabla, podemos observar que para determinar cuálserá el sueldo de Miguel si vende ocho automóviles, podemoscalcular 180 000 + 35 000 • 8 = 460 000, es decir, este será de $ 460 000 y, si vendiera dieciséis, calculamos 180 000 + 35 000 • 16 = 740 000, entonces, recibiría $ 740 000.

Si representamos con una y el sueldo recibido por Miguel al venderx automóviles, la situación anterior se puede modelar por la expresióny = 180 000 + 35 000x. Esta expresión, que relaciona dos variables x e yde manera que a cada valor de x (nº autos vendidos) le correspondeun único valor de y (sueldo), recibe el nombre de función.

Luego, para saber cuántos autos vendió en un mes que recibió $ 530 000 de sueldo, podemos resolver la ecuación:

530 000 = 180 000 + 35 000x / – 180 000350 000 = 35 000 • x / : 35 000

10 = x

Por lo tanto, ese mes vendió diez automóviles.

Noción de función

Miguel vende automóviles. Su sueldo fijo mensual es de $ 180 000, y por cada unidad vendida durante el mes, recibe una comisión de $ 35 000.Observa la tabla de valores:

Ayuda

Recuerda que la expresiónalgebraica 35 000x tambiénpuede escribirse como 35 000 • x.

Cantidad de automóviles vendidos Sueldo recibido ($)

1 180 000 + 35 000 • 1 = 215 000

2 180 000 + 35 000 • 2 = 250 000

3 180 000 + 35 000 • 3 = 285 000

4 180 000 + 35 000 • 4 = 320 000

U6 164-199 8º 3/26/10 1:15 PM Page 172


Actividades

1. Construye, en tu cuaderno, un gráfico que represente la situación descrita en la página anterior.

2. Determina, en cada caso, si la relación entre las variables corresponde o no a una función.Justifica tus respuestas.

a) Un número natural y su opuesto aditivo.b) Los sabores preferidos de helado por los integrantes de un curso. c) La longitud del lado de un cuadrado y su área.d) La cantidad de respuestas correctas en una prueba y la nota final obtenida.

3. Andrea compara los planes que le ofrece una compañía de telefonía celular.

a) Completa la tabla con los valores que debería pagar en cada caso, según la cantidad deminutos que va a utilizar.

b) Si Andrea hablara 80 minutos, ¿qué plan le convendría?, ¿y si hablara 120?, ¿por qué?c) Si x representa la cantidad de minutos no incluidos en el plan, ¿qué función representa

el monto y de la cuenta de telefonía celular en cada caso?

Unidad 6

• Una función es una relación entre dos variables x e y, de manera que a cada valor de x le corresponde un único valor de y.

• Una función se puede representar o modelar de diversas formas; por ejemplo, con unaecuación, una tabla de valores o un gráfico.

No olvides que...

Tarifas Cargo fijo Minutos incluidos en el plan Valor minuto adicional

Plan A 9490 60 220

Plan B 12 990 80 160

Plan C 14 490 100 120

Minutos 60 80 100 120 150

Costo plan A 9490

Costo plan B 12 990

Costo plan C 14 490

U6 164-199 8º 3/26/10 1:15 PM Page 173

174 Unidad 6

Para discutir

• ¿Cuánto costarán seis empanadas?, ¿y diecinueve?, ¿y treinta y dos?,¿cómo lo calculaste?

• ¿Cuál es la función que modela esta situación?, ¿qué representa lavariable x y la variable y, en este caso?

• ¿Cuál es el gráfico que representa esta situación?, ¿cómo lo hiciste?• ¿De qué depende el precio final a pagar por las empanadas?

Después de completar la tabla de la situación presentada, podemos observar que para seis empanadas se cancelan $ 5100, ya que 850 • 6 = 5100. En este caso, la expresión algebraica quemodela esta situación es:

y = 850x, o bien f (x) = 850x

donde x representa la cantidad de empanadas por comprar e yrepresenta el valor total a pagar por las empanadas compradas.

Luego, para diecinueve empanadas se cancelan $ 16 150, ya que,para x = 19, se tiene que y = 850 • 19 = 16 150, o bien f (19) = 850 • 19 = 16 150.

Para treinta y dos empanadas se cancelan $ 27 200, ya que, para x = 32, se tiene que y = 850 • 32 = 27 200, o bien f (32) = 850 • 32 = 27 200.

Variables dependientes eindependientes

En una amasandería se venden empanadas a $ 850 cada una.Observa y completa la siguiente tabla.

Cantidad de empanadas Precio ($)

1 850 • 1 = 850

2

3

4

5

6

U6 164-199 8º 3/26/10 1:15 PM Page 174


Actividades

1. Determina, en cada función, las variables dependiente e independiente.

a) El volumen de un cubo y su arista.b) Un número y su sucesor.c) La cantidad de kilogramos de pan y el precio total.

Observa el gráfico que relaciona la cantidad de empanadas y su precio.

En este caso, para distintos valores de x (cantidad de empanadas) se obtendrán distintos valores para y (precio de las empanadas).Además, el valor total de las empanadas compradas depende de lacantidad que se compren, es decir, el valor de la variable y dependedel valor de la variable x.

Unidad 6

• Una relación entre dos variables x e y se puede representar o modelar por una ecuación talque a cada valor de x le corresponde un único valor de y. Como el valor de y depende delvalor x, se dice que y es la variable dependiente y x la variable independiente.

• Para representar una función en un gráfico, los valores de la variable independiente serepresentan sobre el eje horizontal o de las abscisas, y los valores de la variable dependientese representan sobre el eje vertical o de las ordenadas.

• La variable y puede también escribirse como f (x) donde x es la otra variable, y se lee “f de x”.Por ejemplo, la función y = 150 000 + 25 000x, también se puede escribir como f �x� = 150 000 + 25 000x.

No olvides que...

Precio ($)

Cantidad deempanadas1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

1000

2000

3000

4000

5000

6000

7000

8000

9000

U6 164-199 8º 3/30/10 3:43 PM Page 175

2. Las entradas para asistir a un concierto de hip hop tienen un valor general de $ 10 500.

a) ¿Cuál es el precio de siete entradas?, ¿y de doce?b) ¿Cuál es la expresión algebraica que modela esta situación?c) ¿Cuál es la variable dependiente?, ¿y la variable independiente?d) Completa la siguiente tabla según corresponda.

e) Construye en tu cuaderno el gráfico que representa esta situación.

3. Observa los valores de la siguiente tabla y complétala.

a) Si el lado del cuadrado mide 9 cm, ¿cuánto mide su perímetro?, ¿y si mide 15 cm?b) ¿Cuál es la función que representa esta situación?c) ¿Cuál es la variable dependiente?, ¿y la independiente?, ¿por qué?

4. El maestro Camilo pinta todo tipo de muros. Él cobra $ 5000 por metro cuadrado pintado y $ 6800 por la evaluación en terreno del trabajo antes de realizarlo.

a) Completa la siguiente tabla que relaciona los metros cuadrados por pintar y el costocompleto del trabajo.

b) ¿Cuál es la función que modela esta situación?c) ¿Cuál es la variable dependiente?, ¿y la variable independiente?, ¿por qué?d) Si el maestro Camilo no cobrara por la evaluación y pidiera $ 6000 por metro cuadrado

pintado, ¿cuál es la función que representa esta situación? Muéstrala en un gráfico.

5. Observa en el siguiente gráfico, la relación entre la longitud del lado de un triángulo equilátero y su perímetro.

a) ¿Cuál es la variable dependiente? ¿y la independiente?

b) ¿Cuál es la expresión algebraica que representa esta situación?

c) Si el perímetro de un triángulo equilátero es 42 cm, ¿cuánto mide cada uno de sus lados?, ¿por qué?

176 Unidad 6

x 1 3 7 10 12 20

y

m2 1 2 3 4 5 6

Total a pagar

Lado del cuadrado (cm) 2 3 4 5 6

Perímetro del cuadrado (cm) 8

Lado triánguloequilátero (cm)

Perímetro (cm)

1 2 3 4 5

5

10

15

20

U6 164-199 8º 3/26/10 1:15 PM Page 176


Unidad 6

6. Consuelo hace clases particulares a domicilio. Completa la siguiente tabla con el dinero queConsuelo puede reunir durante un mes.

a) ¿Cuánto dinero reúne Consuelo en seis clases?, ¿y en dieciséis?b) ¿Cuál es la función que modela esta situación?c) ¿Cuál es la variable dependiente?, ¿y la independiente?, ¿por qué?d) Construye en tu cuaderno el gráfico correspondiente.

Cantidad declases

1 4 6 16

Dineroreunido ($)

4500 40 500 54 000

En esta actividad deberán utilizar palitos de fósforo para formar triángulos. Formen grupos de cuatrointegrantes y sigan las instrucciones.

1. Formen un triángulo con tres palitos de fósforo.2. Luego, con dos palitos más formen dos triángulos, como se observa en la figura.

3. Con dos palitos más formen tres triángulos, con dos más cuatro triángulos y así, vayanagregando dos palitos más para formar un triángulo más cada vez.

4. Según lo obtenido, comenten y respondan:

a) ¿Qué tipo de triángulos son los que se forman?, ¿por qué?b) En una tabla anoten la cantidad de triángulos que se forman y la cantidad de palitos utilizados

en cada caso, ¿qué observan?c) ¿Cuántos palitos son necesarios para formar siete triángulos?, ¿y veinte?, ¿y ciento tres?, ¿por

qué?d) ¿Cuál es la expresión algebraica que representa esta situación?e) ¿Cuál es la variable dependiente?, ¿y la independiente?, ¿por qué?

En equipo

Dos triángulosUn triángulo

U6 164-199 8º 3/26/10 1:15 PM Page 177

178 Unidad 6

Para discutir

• ¿Cuántas cajas necesita para distribuir los alfajores?, ¿por qué?• ¿Cuál es la función que modela esta situación?• ¿Cuál es la variable dependiente?, ¿y la independiente?, ¿por qué?• ¿Qué valores puede tomar en este caso la variable x?, ¿y la

variable y?, ¿por qué?

Daniel quiere envasar todos los alfajores y repartirlos equitativamenteen las cajas. Por lo tanto, si observamos la tabla anterior, notamosque no podría usar doce cajas, tampoco treinta, ya que tendría quepartir los alfajores, o las cajas no tendrían la misma cantidad.

Luego, la función que modela esta situación es y = , donde la

variable independiente x es la cantidad de cajas y la variable dependiente y es la cantidad de alfajores por caja. En este caso, los valores de x y los de y deben ser números enteros positivos.Como 160 debe ser divisible por x, los valores que puede tomar lavariable x en este caso son: 1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 32, 40, 80, 160.

El conjunto de valores mencionados corresponden al dominio de lafunción y son todos aquellos valores que la variable independientex puede tomar. En el caso de los valores resultantes, al remplazar los valores deldominio son: 160, 80, 40, 32, 20, 16, 10, 8, 5, 4, 2, 1.

Estos valores corresponden al recorrido de la función y son todosaquellos valores que toma la variable dependiente y.Finalmente, los conjuntos dominio y recorrido de la función

f (x) = son:

Dom ( f ) = �1, 2, 4, 5, 8, 10, 16, 20, 32, 40, 80, 160�

Rec ( f ) = {160, 80, 40, 32, 20, 16, 10, 8, 5, 4, 2, 1}

Dominio y recorrido

Daniel hizo ciento sesenta alfajores y quiere envasarlos en cajas que contengan la misma cantidad de unidades. Observa la siguiente tabla.

Cantidad de cajas 8 10 12 16 20 30

Cantidad dealfajores por caja

20 16 13,3 10 8 5,3

160x

160x

U6 164-199 8º 3/26/10 1:15 PM Page 178


Actividades

1. Entre dos ciudades hay una distancia de 360 km. Construye una tabla de valores que relacione larapidez constante y el tiempo que emplearían diversos automóviles en recorrer esta distancia,considerando que la rapidez máxima es de 120 km/h. A partir de la tabla, determina el dominio y el recorrido de la función.

2. El valor general de las entradas para asistir a un teatro es de $ 4500 y su capacidad máxima espara ciento cincuenta personas.

a) ¿Cuánto dinero se recauda si asisten ochenta y seis personas?, ¿y si van ciento treinta y tres?b) ¿Cuál es la función que determina esta situación?c) ¿Cuál es la variable dependiente?, ¿y la independiente?, ¿por qué? d) Determina el dominio y recorrido de esta función.

3. Romina tiene trescientos caramelos que reparte entre los niños del barrio, entregándoles lamisma cantidad de dulces a cada uno.

a) ¿Cuántos caramelos les regala a cada niño si son quince?, ¿y a veinticinco?b) Determina la expresión algebraica que representa esta situación.c) Si uno de los niños recibe cinco dulces, ¿a cuántos niños les repartió los caramelos?d) Determina el dominio y recorrido de esta función.

4. En un triángulo rectángulo la medida de uno de los ángulos agudos se puede representar por lafunción y = 90 – x.

a) ¿Qué representa la variable independiente x en este caso?b) ¿Qué valores puede tomar la variable x?, ¿y la variable y?, ¿por qué?c) ¿Qué sucede con el ángulo x si el triángulo es isóceles?d) Construye en tu cuaderno una tabla que represente esta situación.

• Se llama dominio de una función, y se expresa por Dom ( f ), al conjunto de valores que lavariable independiente x puede tomar en la función f .

• Se llama recorrido de una función, y se expresa por Rec ( f ), al conjunto de valores que toma la variable dependiente y, es decir, todos los valores que resultan al remplazar losvalores del dominio en la función f .

No olvides que...

Unidad 6

U6 164-199 8º 3/30/10 3:44 PM Page 179

180 Unidad 6

Usando una planilla de cálculo, sigue las instrucciones para graficar funciones, determinar laexpresión algebraica asociada y observar su dominio y recorrido.

Gráfico de una función en Excel

1º En la columna A escribe el doble de los siete primeros números naturales, en orden creciente, es decir, en la celda A1 escribe el doble de 1, en A2 el doble de 2, en A3 el doble de 3, así sucesivamente, hasta A7.

2º Selecciona todos los números escritos anteriormente, como se observa a continuación:

3º Selecciona la herramienta “Insertar” y, luego, la opción “Gráfico”. 4º En las opciones de gráficos selecciona “XY Dispersión”.5º Presiona enter o “Siguiente”, hasta que el gráfico aparezca en la planilla, como el que aparece

a continuación:

6º Además, puedes poner el siguiente título al gráfico: Relación entre un número natural y su doble.

Luego de desarrollar los pasos anteriores, realiza las siguientes actividades.

a) ¿Cuál es la expresión algebraica que representa al gráfico anterior?, ¿cuál es su dominio?, ¿y el recorrido?

b) En una nueva planilla de cálculo, escribe el área de seis cuadrados, cada uno tiene comomedida de sus lados un número natural (en cm), partiendo desde 1 hasta 6, en orden creciente.Luego, sigue nuevamente los seis pasos y responde las preguntas anteriores.

c) En el almacén de don Luis se venden masticables a $ 40 cada uno.• ¿Cuál es la expresión algebraica que representa esta situación?• Sigue los seis pasos anteriores para graficar esta función, en una nueva planilla de cálculo.• ¿Cuál es la variable dependiente?, ¿y la independiente?, ¿por qué?• ¿Cuál es su dominio?, ¿y el recorrido?• ¿Cuánto costarán diecisiete masticables?, ¿por qué?


1614121086420

0 1 2 3 4 5 6 7 8

U6 164-199 8º 4/13/10 11:45 PM Page 180

Mi progreso

Unidad 6


x 1 2 3 4 5 6 7

y 5 7 9 11 13 15 17

1200x


Reconocer la función que representa una situación dada. 1

Analizar la veracidad de afirmaciones asociadas a funciones. 2

Resolver un problema que requiere analizar una función. 3

Analizar una función escrita en tabla y escribirla algebraicamente. 4

Marca la opción correcta en las preguntas 1 y 2.

1. En una florería, cada rosa vale $ 1200. Si x representa la cantidad de rosas de un ramo e ysu costo, ¿cuál es la función que representa el precio de un ramo de rosas?

A. y = 1200 B. y = 1200 + x C. y = 1200x D. y =

2. ¿Cuál de las siguientes frases es correcta?

A. El dominio de una función es el conjunto de todos los valores que puede tomar la variabledependiente.

B. Si el dominio de la función y = 3x corresponde al conjunto de los números naturales, el recorrido está compuesto por los divisores de tres.

C. El recorrido de una función es el conjunto de valores que puede tomar la variable independiente.D. La relación entre un número natural y su doble es una función que algebraicamente se

representa como y = 2x.

3. La función y = 130x representa el dinero (y) que se recauda en un día según la cantidad (x) desopaipillas vendidas en una panadería.

a) Si un día contabilizaron $ 12 610, ¿cuántas sopaipillas se vendieron?b) ¿Cuál es la variable dependiente?, ¿y la independiente?, ¿por qué?c) ¿Cuál es el dominio de esta función?, ¿y el recorrido? Explica cómo lo determinaste.d) Grafica esta función en tu cuaderno.

4. ¿Puedes determinar una expresión algebraica que modela los valores de la siguiente tabla?



U6 164-199 8º 3/26/10 1:15 PM Page 181

182 Unidad 6

Para discutir

• ¿Cuál es el valor de la razón en cada caso?• ¿Cuáles de las razones entre las medidas de los lados de las

fotografías forman una proporción?, ¿por qué?• ¿Cuál es la fotografía “distorsionada”?, ¿por qué?

En la situación presentada, al calcular el valor de la razón de lafotografía original, de la fotografía 2 y de la fotografía 3,obtenemos 2, 3 y 2, respectivamente. Notemos que en la fotografíaoriginal y en la fotografía 3 el valor de la razón se mantieneconstante, por lo tanto, la fotografía 3 está correctamenteampliada; en este caso, diremos que las fotografías 1 y 3 sonproporcionales, mientras que las fotografías 1 y 2 no sonproporcionales, ya que sus razones no forman una proporción, es decir, la fotografía 2 es la que se ve distorsionada.

Variaciones proporcionales y noproporcionales

Marisol amplió unas fotografías de su hija, al verlas se dio cuentade que una de ellas está “distorsionada”, es decir, la imagen no seve igual que la fotografía original. Completa la tabla.

Glosario constante: es un valor de tipopermanente, que no se modifica,en una situación dada.

Fotografía 2

Largo (cm) Ancho (cm)Razón entrelargo y ancho

Fotografía (1) 4 2

Fotografía (2) 6 2

Fotografía (3) 6 3

Fotografía 3

Fotografía original (1)

U6 164-199 8º 3/26/10 1:15 PM Page 182


Actividades

• Si el valor de la razón entre dos variables se mantiene constante (no cambia) estas variablesson proporcionales.

No olvides que...

1. Mide el largo y ancho de las siguientes fotografías y determina si son proporcionales a la fotografía original.

a) c)

b)

2. Un padre tiene 40 años de edad y su hijo, 20 años. Completa la siguiente tabla y, luego, responde.

• ¿La edad del padre y la del hijo son proporcionales a medida que transcurren los años?, ¿por qué?

3. Observa los datos respecto de la temperatura de un paciente en un día cualquiera.

a) ¿Cuáles son las variables que intervienen?b) Estas variables ¿son proporcionales o no proporcionales?, ¿por qué?c) Construye el gráfico correspondiente.

Unidad 6

Tiempo transcurrido en años

1 5 10 15

Padre 41

Hijo 21

Hora (h) 8 9 10 11 12 13 14

Temperatura (ºC) 37,5 37 38 38,5 39 37,5 38

Fotografía original

U6 164-199 8º 3/26/10 1:15 PM Page 183

184 Unidad 6

Para discutir

• ¿Cuánto pagarías por cinco boletos?, ¿y por veinticuatro?• ¿Cuál es la función que modela esta situación?• ¿Cuál es la variable dependiente y la independiente?, ¿cuál es su

dominio y recorrido?• ¿Cuál es la razón entre el total a pagar y la cantidad de boletos

vendidos?, ¿cuál es el valor de la razón?, ¿es siempre el mismo?

La situación presentada se puede modelar mediante la función f (x) = 430x. En este caso, el precio total (variable y) depende de lacantidad de boletos vendidos (variable x), por lo tanto, el totalcorresponde a la variable dependiente y la cantidad de boletos a lavariable independiente. Además, dado que se trata de cantidad deboletos, podemos notar que los valores que puede tomar lavariable x, son el conjunto de los números naturales, es decir, Dom ( f ) = � y los valores que resultan al remplazar los númerosnaturales en la función son múltiplos de 430, es decir, Rec ( f ) = �430, 860, 1290, 1720, …�.

Para saber cuánto se cancela por cinco boletos podemos calcular el valor de la función para x = 5, remplazando obtenemos: f (5) = 430 • 5 = 2150, lo que significa que se pagará $ 2150.Si queremos saber cuánto se cancela por veinticuatro boletoscalculamos f (24) = 430 • 24 = 10 320, es decir, se pagará $ 10 320.

Relación de proporcionalidad directa

En una ciudad del país, el valor de un boleto de locomoción públicacuesta $ 430.El gráfico y la tabla que se muestran a continuación representan la relación entre la cantidad de boletos vendidos y el precio.Completa la tabla.

Cantidad de boletos

Total por pagar($)

1 430 • 1 = 430

2 430 • 2 = 860

3

4

5

6

7

Cantidadde boletos

Precio ($)

1 2 3 4 5

500

1000

1500

2000

U6 164-199 8º 3/26/10 1:15 PM Page 184


Actividades

1. Indica si las siguientes variables se relacionan de manera directamente proporcional.Justifica tus respuestas.

a) El número de hojas de un libro y su peso.b) La longitud del lado de un cuadrado y su perímetro.c) Las longitudes de los lados de un triángulo y su área.d) El precio de las entradas para ir al cine y la cantidad comprada.e) El número de trabajadores y los días que demoran en terminar su trabajo.f) La longitud del lado de un triángulo equilátero y su perímetro.

• Dos variables, una independiente x y la otra dependiente y, son directamente

proporcionales si el valor de la razón es constante, es decir, = k, donde k es la constante

de proporcionalidad. • Esta relación de proporcionalidad directa se puede representar como una función de la forma

y = kx. La representación gráfica de esta función son puntos que al unirlos pertenecen a unamisma recta que pasa por el origen en un sistema de coordenadas cartesianas.

• En una función de proporcionalidad directa, si una de las variables aumenta, la otra tambiénaumenta en un mismo factor; y si una de las variables disminuye, la otra también disminuyeen un mismo factor.

No olvides que...

Unidad 6

En esta situación, el valor de la razón entre el total a pagar y lacantidad de boletos vendidos es constante, ya que,

= = = 430.

En todos los casos en que las variables x e y se relacionan de esta

forma, es decir, si el valor de la razón es constante, las variables

son directamente proporcionales. Además, notemos que, en este ejemplo, mientras más boletos compramos, más dinero debemospagar. En general, en una relación de proporcionalidad directa siuna de las variables aumenta o disminuye, la otra también aumentao disminuye en la misma razón.

4301

8602

12903

yx

yx

yx

U6 164-199 8º 3/26/10 1:15 PM Page 185

2. En los días de calor, el dueño de un kiosco vende muchos helados, por eso diseña una tabla conlos posibles pedidos. Complétala.

a) ¿Cuál es la razón entre el precio y la cantidad de helados?, ¿cuál es el valor de la razón?, ¿es constante?, ¿por qué?

b) ¿Cuál es la función que modela esta situación?, ¿cuál es su dominio?c) ¿Cuánto costarán dieciocho helados?, ¿y treinta y cinco?, ¿por qué?d) Completa el gráfico de esta función.

3. Observa el rectángulo. Luego, completa la tabla y el gráfico correspondiente y responde.

a) ¿Qué sucede con el perímetro a medida que x aumenta?, ¿y si disminuye?b) ¿Cuál es la función que modela esta situación? Explica cómo la encontraste.

186 Unidad 6

Cantidad de helados 1 2 5 8 12 17

Precio ($) 360

Cantidad de helados

Precio ($)

1 2 3 4 5 6 7

400

800

1200

1600

2000

x 3x Perímetro rectángulo (y)

1

2

3

4

5

3x

x

Ancho (x)

Perímetro (y)

1 2 3 4 5

10

20

30

40

U6 164-199 8º 3/26/10 1:15 PM Page 186

4. El siguiente gráfico indica la distancia recorrida por dos autos, uno rojo y uno verde, en untiempo determinado sin que cambien sus velocidades en el tiempo.

a) Completa las tablas según el gráfico.b) ¿Cuál de los dos autos va más rápido?, ¿por qué?c) ¿En cuánto tiempo el auto verde recorrerá 60 km?d) ¿Cuál es la razón que se mantiene constante para el auto rojo?, ¿y para el verde?e) ¿A qué distancia del punto inicial se encontrará el auto verde en 10 horas más?f) ¿Cuánto tiempo se demorará el auto rojo en recorrer 480 km?g) ¿Cuál es la función que representa la distancia recorrida por el auto rojo?, ¿y la del auto verde?


Unidad 6

120110

1009080

706050

403020

100

1 2 3Tiempo (h)

Distancia (km) Trayectoria de 2 autos

Tiempo (h) Distancia (km)

1 30

Tiempo (h) Distancia (km)

2 80

Formen grupos de tres integrantes y sigan las instrucciones.

1. En esta actividad deberán buscar información en diversas fuentes para completar y responder las siguientes preguntas.

a) Los trenes del Metro de Santiago viajan con una rapidez promedio de por hora entre cada estación.

b) Si la distancia desde Santiago a Talca es de , ¿cuánto tiempo tardaría el Metro enllegar a esa ciudad si no realizara detenciones?

c) Si la distancia desde Valparaíso a Temuco es de , ¿cuánto tiempo tardaría el Metro en llegar a esa ciudad si no realizara detenciones?

d) Si el Metro logró llegar a su destino en 2,8 horas, ¿cuántos kilómetros recorrióaproximadamente sin considerar las detenciones?

En equipo

U6 164-199 8º 3/26/10 1:15 PM Page 187

188 Unidad 6

Para discutir

• ¿Qué sucedería si contrataran a 10 obreros más y trabajaran todosal mismo ritmo?, ¿se demorarían más o menos tiempo?, ¿y sicontratara a la mitad de obreros considerados inicialmente?

• ¿Cuál es el producto entre el número de obreros y los días quetardan en terminar el edificio?, ¿es constante?

• ¿Cuál es la función que modela esta situación?, ¿cuál es su dominioy su recorrido?

En la situación presentada anteriormente, si contrataran a veinteobreros, estos tardarían quince días en realizar la obra, pues alduplicarse el personal y si trabajan al mismo ritmo, tardarían lamitad del tiempo en terminar el trabajo. En cambio, si contratarana cinco obreros, estos se demorarían sesenta días en realizar eltrabajo, ya que como corresponden a la mitad de los consideradosinicialmente, tardarían el doble del tiempo en terminar el trabajo.

Notemos que la variable independiente x es el número de obreros y la variable dependiente y es el número de días.

Observa que, el producto entre el número de obreros y los días que tardan en terminar el edificio es constante, pues 5 • 60 = 10 • 30 = 20 • 15 = 300.

En todos los casos en que las variables x e y se relacionan de estaforma, es decir, si su producto x • y es constante, las variables soninversamente proporcionales.

Relación de proporcionalidad inversa

Para terminar la construcción de un edificio, el ingeniero a cargo hacalculado que con diez obreros igualmente calificados y trabajandoen las mismas condiciones, termina la obra en treinta días.El gráfico y la tabla que se muestran a continuación representan larelación entre el número de obreros y los días que tardan enterminar el edificio. Completa la tabla.

Número deobreros

5 10 20 30 50

Número dedías

30 6

Nº de días

Nº de obreros10 20 30 40 50

10

20

30

40

50

60

70

U6 164-199 8º 3/26/10 1:15 PM Page 188


• Dos variables, una independiente x y la otra dependiente y, están en proporción inversacuando el producto entre ellas se mantiene constante, es decir, x • y = k, donde k es laconstante de proporcionalidad.

• Esta relación de proporcionalidad inversa se puede representar como una función de la forma

y = . La representación gráfica de esta función son puntos que al unirlos pertenecen a una

curva, llamada hipérbola.• En una función de proporcionalidad inversa, si una de las variables aumenta, la otra

disminuye en un mismo factor; y si una de las variables disminuye, la otra aumenta en unmismo factor.

No olvides que...

Actividades

1. Indica si las siguientes variables son inversamente proporcionales. Justifica tus respuestas.

a) La longitud de los lados de un triángulo equilátero y su perímetrob) El número de días que tardan en realizar un trabajo un cierto número de secretarias.c) El número de dulces del mismo tipo que compro y lo que pago por ellos.d) La rapidez con la que se recorre un camino y el tiempo en que se recorre.e) Litros de bencina del estanque de un automóvil y los kilómetros que rinde.f) El caudal de una llave y el tiempo que se demora en llenar un estanque.

Unidad 6

Por otro lado, notemos que si aumenta la cantidad de obreros,disminuye la cantidad de días que demoran en realizar el trabajoen la misma razón y, si la cantidad de obreros disminuye, aumenta la cantidad de días que tardarán en realizar la obra en lamisma razón.

Luego, la función que modela esta situación es y = , donde x

corresponde al número de obreros y son números naturales e ycorresponde a los días, por lo que son números naturales también.Los valores que puede tomar la variable x son números naturalesdivisores de 300, es decir, Dom ( f ) = �1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, …, 300� ylos valores que resultan al remplazar estos números correspondenal recorrido de la función, es decir, Rec ( f ) = �300, 150, 100, …, 2, 1�.

300x

kx

U6 164-199 8º 3/26/10 1:15 PM Page 189

190 Unidad 6

2. El 8º A irá a una ciudad del sur de Chile como gira de estudios. Los apoderados quieren que ellugar de destino sea sorpresa y la única información que les dan es que si el bus va a 80 km/h,tardarían 6 horas en llegar al lugar.

a) ¿A qué distancia se encuentran de esta ciudad?b) Completa la siguiente tabla que indica la rapidez posible del vehículo y el tiempo que

tardarían con cada una de ellas para llegar a la ciudad. Completa el gráfico correspondiente.

c) ¿Cuál es la función que relaciona la rapidez y el tiempo, en este caso?, ¿cuál es su dominio?d) ¿A qué rapidez debe ir el vehículo para tardar 5 horas en llegar?e) Si el vehículo fuese a una rapidez de 50 km/h, ¿cuánto tiempo tardaría en llegar a destino?f) Si la rapidez promedio de una persona al caminar es de 5 km/h, ¿cuánto demoraría una

persona en realizar el mismo viaje?g) Si unes los puntos del gráfico, ¿qué obtienes?

3. En cada caso, completa la tabla, explica por qué las variables están inversamente relacionadas,determina la función que las modela y construye el gráfico en tu cuaderno.

a) El área de un rectángulo es 6 cm2.

b) Un tren debe recorrer 600 kilómetros. ¿Cuánto tiempo tardará si lleva una rapidez constante?

c) Un panadero elaboró 144 alfajores y quiere envasarlos en cajas que contengan la mismacantidad de unidades. ¿Cuántas cajas podría armar según la cantidad de alfajores que seindican en la tabla?

Tiempo (h)

Rapidez (km/h)

2 4 6 8 10 12 14 16

20

40

60

80

100

120

100

80

60

40

20

Tiempo (h) Rapidez (km/h)

4

6 80

60

10

12

Área 6 cm2base (cm) 1 1,5 2 3 4 6

altura (cm)

Rapidez constante (km/h) 40 50 60 100 120

Tiempo (h) 6

Cantidad de alfajores por caja 6 12 18 24

Cantidad de cajas

0

U6 164-199 8º 3/26/10 1:15 PM Page 190

Unidad 6

4. Descubre qué tablas expresan funciones de proporcionalidad inversa y cuáles directa. En cadacaso, anota el valor de la constante de proporcionalidad (k) donde corresponde. Luego, escribe lafunción que modela los datos en cada tabla.

k = k = k = k =

5. Resuelve en tu cuaderno y, luego, completa la tabla.

ProblemaTipo de

proporcionalidadFunción que la

representaRespuesta al

problema

Quince máquinas iguales hacen sutrabajo en cinco días. ¿Cuántasmáquinas se necesitan para hacer el trabajo en un día?

Una persona acumula en promedio 1 kg de basura diaria. ¿Cuántoskilogramos juntará en diez días?

Si van doce niños a un campamento,los alimentos durarán seis días. Si todos comen la misma cantidad,¿cuántos días durará la comida si vanseis niños más?

Dos ciclistas demoran cuatro horas en llegar a la playa viajando con unarapidez de 30 km por hora. ¿Con quérapidez tendrían que viajar para tardartres horas?

La impresora de un colegio reproducecincuenta y cuatro informes de notas en tres minutos. ¿Cuántos informesimprime en cinco minutos?

x y

4 5

2 10

1 20

0,5 40

x y

7 21

2 6

10 30

0,5 1,5

x y

3 525

5 875

2 350

10 1750

x y

3 8

6 4

12 2

1 24


U6 164-199 8º 3/30/10 3:45 PM Page 191

192 Unidad 6

Usando una planilla de cálculo, sigue las instrucciones para graficar funciones de proporcionalidaddirecta e inversa.

Gráfico de funciones proporcionales y no proporcionales

1º Para graficar la función que representa la relación entre un número natural y su triple, en lacolumna A escribe los primeros seis valores del recorrido de la función, es decir: 3, 6, 9, 12, 15 y 18.

2º Selecciona todos los números escritos anteriormente, como se observa a continuación:

3º Selecciona la herramienta “Insertar” y, luego la opción “Gráfico”. En las opciones de gráficosselecciona “XY Dispersión”.

4º Presiona enter o “Siguiente”, hasta que aparezca en la planilla un gráfico como el siguiente:

Luego de realizar los pasos anteriores:

a) Grafica la función que representa la relación entre un número natural y su sucesor.b) Grafica la función que representa la relación entre un grupo de amigos que están de vacaciones

y la cantidad de días que les alcanzará el alimento, considerando que para tres personas elalimento alcanza cuatro días y todos los días consumen la misma cantidad.

c) Escribe función que modela cada situación. d) ¿Cuál es el dominio de cada función anterior?, ¿y su recorrido?e) En las funciones anteriores ¿las variables se relacionan en forma proporcional? Explica.f) ¿Qué semejanzas observas en los gráficos de cada función?, ¿y qué diferencias?g) ¿Alguna de las situaciones anteriores no representa una variación proporcional?, ¿cuál?, ¿por qué?


02468

101214161820

10 2 3 4 5 6 7

U6 164-199 8º 3/26/10 1:15 PM Page 192

Mi progreso

Unidad 6

x200


200x


Analizar afirmaciones relacionadas con magnitudes proporcionalesy no proporcionales.

1

Analizar una situación de proporcionalidad inversa. 2

Reconocer una función de proporcionalidad inversa escrita enlenguaje algebraico.

3

Resolver un problema sobre función de proporcionalidad directa. 4


1. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa?

A. La cantidad de kilogramos de pan y su costo son proporcionales a medida que aumenta lacantidad de pan.

B. En una función de proporcionalidad directa, si una de las variables aumenta la otra tambiénaumenta.

C. La edad de Juan (12) y su hermano Luis (15) son proporcionales a medida que transcurren los años.

D. En una función de proporcionalidad inversa el producto entre las variables es constante.

2. Carlos viajó a la costa la semana pasada. Tardó dos horas en llegar al destino viajando a 100 km/hdurante todo el trayecto. ¿Cuánto hubiese demorado si fuera a 80 km/h durante todo el viaje?

A. 2 h y 5 m B. 4 h C. 2 h y 50 m D. 2 h y 30 m

3. La función que relaciona el tiempo y la rapidez en la pregunta anterior es:

A. y = B. y = C. y = 200x D. y = 2 • 100

4. Laura hará un queque para quince personas, usando una receta que necesita cinco huevos.

a) Si usa esta receta, ¿cuántos huevos necesitará para hacer un queque para veintiún personas?b) ¿Qué función representa esta situación?, ¿cuál es su dominio?, ¿y el recorrido?c) Construye el gráfico que representa esta situación.



U6 164-199 8º 3/26/10 1:15 PM Page 193

Buscando estrategias

En una distribuidora de productos al por mayor se venden cajas de galletas según la siguienteregla: la primera caja cuesta $ 5000, la segunda cuesta $ 100 menos, la siguiente cuesta $ 100menos que la anterior, y así sucesivamente, con un límite de veinticinco cajas. Si Diego compraveinte cajas de galletas, ¿cuánto pagó por la última caja?

Comprender• ¿Qué sabes del problema?

Que la primera caja cuesta $ 5000, la segunda $ 100 menos, la tercera $ 100 menos que laanterior, y así sucesivamente.

• ¿Qué debes encontrar?El costo de la vigésima caja, si se sigue la regla.

Planificar• ¿Cómo resolver el problema?

Para resolver el problema encontraremos la expresión algebraica que modela esta situación.Es conveniente construir una tabla de valores, a modo de observar el comportamiento de lafunción, para así encontrar una expresión algebraica que la represente y, finalmente, evaluar la función en el valor pedido (20) para responder a la pregunta.

Resolver• En la siguiente tabla se muestran algunos valores para cada caja de galletas y el monto

por pagar:

Luego, podemos escribir la función que representa el costo de una caja, considerandocuántas ya se han comprado:

y = 5000 – 100(x – 1)

donde x es la cantidad de cajas de galletas, e y es el costo de la caja.Finalmente, evaluamos la función en x = 20 y obtenemos:

y = 5000 – 100(20 – 1) = 5000 – 100 • 19 = 3100

Responder• El valor de la vigésima caja, si se sigue la regla, es de $ 3100.

Revisar• Para comprobar que la vigésima caja tiene un costo de $ 3100, podemos completar la tabla

hasta la caja número 20.

194 Unidad 6

Cajas de galletas 1 2 3 4 5 6

Costo de la caja ($) 5000 4900 4800 4700 4600 4500

U6 164-199 8º 3/26/10 1:15 PM Page 194

Unidad 6

1. Aplica la estrategia aprendida para resolver las siguientes situaciones.

a) Claudia solicitó un crédito para comprar una camioneta para su taller. Si el monto total delcrédito es de $ 3 600 000, y lo cancelará en 36 cuotas iguales, ¿cuál es el monto totaldespués de pagar la octava cuota?, ¿y la cuota número 25?, ¿cuál es la función querepresenta esta situación?

b) María Elena compró un saco de 20 kg de cebollas en la vega. Si cada día utiliza 400 g en lasdistintas recetas que prepara, ¿cuánta cebolla le queda después de dos semanas?, ¿cuál esla función que representa esta situación?

c) Un veterinario cobra $ 7000 por realizar un aseo completo a un perro. Si se asean más perros, se efectúa el siguiente descuento: el segundo $ 350 menos, el tercero $ 350 menos que el anterior, y así se sigue esta regla sucesivamente hasta el décimo perro.Si Manuel llevó a asear a sus ocho perros:

• ¿cuánto pagó por el octavo perro?, ¿y cuánto pagó en total?

• ¿cuál es la expresión algebraica que representa esta situación?

• ¿cuál es su dominio?, ¿y su recorrido?

2. Ahora, resuelve el problema de la página anterior, utilizando otra estrategia de resolución.Explica, paso a paso, y compara tu estrategia con las usadas por tus compañeros y compañeras.

3. Resuelve los siguientes problemas, utilizando la estrategia aprendida u otra. Compara elprocedimiento que utilizaste con el de algún compañero o compañera. ¿Cuál es más simple?,¿por qué?

a) Carolina tiene una deuda con su amiga Beatriz. Acordaron que Carolina le pagaría en docecuotas de la siguiente forma: el primer mes abonaría $ 9000, el segundo $ 700 más, eltercero $ 700 más que el mes anterior, y así sucesivamente hasta saldar la deuda completa.

• ¿Cuánto canceló Carolina el séptimo mes?, ¿y el décimo?• ¿Cuánto debe en total Carolina a su amiga?• ¿Cuál es la expresión algebraica que representa esta situación?

b) En una fábrica de empanadas compran 5 kg de aceitunas semanalmente para suelaboración. La semana pasada utilizaron 800 g diarios de aceitunas. ¿Cuántas aceitunasquedaron, si fabrican empanadas de lunes a sábado?


U6 164-199 8º 3/26/10 1:15 PM Page 195

Para finalizar

196 Unidad 6

1. Cada uno complete en su cuaderno la siguiente tabla, escribiendo Sí, A veces y No, segúncorresponda. Luego, comparen y completen sus respuestas.

2. Comenten y respondan: ¿en qué podrían mejorar para el próximo trabajo en equipo?

Cone

xion

es

Respetó las opiniones de los demás integrantes.

Cumplió con las tareas comprometidas.

Hizo aportes interesantes para desarrollar el trabajo.

NACIONAL

La adicción al tabaco es una enfermedad crónica, considerada por laOrganización Mundial de la Salud (OMS) como la causa principal deenfermedades, invalidez y mortalidad prematura a nivel mundial.Además, no solo afecta a los fumadores, sino que a aquellas personasque están cerca de un fumador y respiran el mismo aire (los fumadorespasivos). En Chile, el 17% de las muertes que cada año ocurren seatribuyen al consumo de tabaco. La OMS ha establecido el 31 de mayo como el Día Mundial sin Tabacoy nuestro país no está ajeno a esta cruzada, en la que se llama a tomarconciencia para frenar su consumo, pues ha alcanzado nivelesalarmantes, situándonos como el país con la población más fumadora dela región: en promedio ocho cigarrillos diarios (Estadísticas de consumode tabaco en Chile).

Día Mundial sin Tabaco

Fuentes: Ministerio de Salud, www.redsalud.gov.cl/noticias/noticias.php?id_n=449&show=5-2009 ,publicada el 29 de mayo de 2009.

Integrante 1 Integrante 2 Integrante 3

Evaluamos nuestro trabajo

Trabajen en grupos de tres o cuatro integrantes.

1. Consideren la cantidad promedio de cigarrillos que fuma una persona chilena y, luego, respondan.a) ¿Cuántos cigarrillos fumará una persona en un año?, ¿y en ocho años?, ¿cuáles son las

consecuencias de fumar por largos períodos de tiempo?b) ¿Cuál es la función que representa esta situación?, ¿cuál es su dominio y recorrido?

2. Comparen las soluciones obtenidas por cada integrante y discutan sobre cuál debería ser lasolución correcta, en caso de que existan diferencias entre los resultados obtenidos.

3. Averigüen qué programas o actividades se han realizado este año en nuestro país parapromover la vida sana libre del tabaquismo.

Gent

ileza

MIN

SAL.

U6 164-199 8º 3/30/10 3:45 PM Page 196


Unidad 6

A continuación, se presenta un esquema llamado mapa conceptual, que relaciona los principalesconceptos estudiados en la Unidad. Complétalo con las palabras de enlace.

Utilizando los contenidos aprendidos en la Unidad y, apoyándote en el esquema anterior, responde.

1. ¿Crees que faltó algún concepto importante en el mapa conceptual?, ¿cuál? Agrégalo.

2. ¿Cómo reconoces una función?, ¿cuáles son sus características?, ¿cómo se expresa unafunción en lenguaje algebraico?

3. ¿Qué diferencias hay entre variables dependientes e independientes?, ¿y qué semejanzas?

4. ¿Qué caracteriza al dominio de una función?, ¿y al recorrido?

5. ¿Cuándo las variables se relacionan proporcionalmente?, ¿y cuándo no son proporcionales?

6. ¿Qué caracteriza a una función de proporcionalidad directa? Da un ejemplo.

7. ¿Qué caracteriza a una función de proporcionalidad inversa? Da un ejemplo.

8. ¿Tienes alguna duda sobre los conceptos trabajados en la Unidad?, ¿cuál? Compártela en tu curso e intenten aclararla en conjunto.

VARIABLES DEPENDIENTES

FUNCIONES

VARIABLES INDEPENDIENTES

VARIACIONES PROPORCIONALES

DIRECTA INVERSA

VARIACIONES NO

PROPORCIONALES

SITUACIONES CON

DOS VARIABLES

Síntesis

U6 164-199 8º 3/26/10 1:15 PM Page 197

¿Qué aprendí?

198 Unidad 6

1. En una librería, el precio de cada cuaderno esde $ 890. La función que relaciona la cantidadde cuadernos y su costo es:

A. y = 890 + x

B. y =

C. y = 890 – xD. y = 890x

2. ¿Cuál de las siguientes situaciones nocorresponde a una función?

A. Un número natural y su mitad.B. La cantidad de pasajes de metro

comprados y su costo.C. Los kilómetros recorridos por un automóvil

(va a velocidad constante) y el tiempo que tarda .

D. Los deportes que practican los integrantesde un curso.

3. Si cinco pintores logran pintar una casa encuatro días, ¿cuántos días se demoran diez pintores?

A. Dos días.B. Veinte días.C. Cuarenta días.D. Ocho días.

4. En la función: “el doble de un número natural”,¿cuál es el recorrido?

A. Rec ( f ) = �1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, …�B. Rec ( f ) = �1, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, …�C. Rec ( f ) = �2, 4, 6, 8�D. Rec ( f ) = �2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, …�

5. ¿Cuál de las siguientes relaciones no esproporcional?

A. Distancia recorrida y tiempo utilizado (a velocidad constante).

B. El peso de una mochila y la cantidad decuadernos que lleva dentro.

C. El lado de un cuadrado y su área.D. La velocidad de un automóvil y el

tiempo utilizado.

6. En una chocolatería, el precio de un tipo debombón es de $ 220 la unidad. ¿Cuál es lavariable dependiente?

A. La cantidad de bombones.B. El precio a pagar por los bombones.C. El tipo de bombón.D. La cantidad de bombones y su costo.

7. El sueldo fijo mensual de un vendedor decomputadores es $ 150 000 más una comisiónde $ 9000 por unidad vendida. ¿Cuál de lassiguientes expresiones algebraicas representael sueldo del vendedor?

A. y = 150 000x + 9000B. y = 159 000 + xC. y = 9000x + 150 000D. y = 159 000x

8. Si 1200 g de mermelada se pueden envasar en seis frascos de 200 g. ¿Cuántos frascos de150 g se necesitan para envasar 1200 g demermelada?

A. Ocho frascos.B. Treinta y tres frascos.C. Cincuenta frascos.D. Trece frascos.


890x

U6 164-199 8º 3/26/10 1:15 PM Page 198

Unidad 6


9. Los valores x e y de la tabla representan una función de proporcionalidad directa.Completa con los valores que faltan y construye en tu cuaderno un gráfico.

• ¿Cuál es la expresión algebraica querepresenta esta situación?

10. El gráfico representa la relación entre la cantidad de secretarias y el tiempo que se demoran en organizar un archivo (días),trabajando todas en igualdad de condiciones y la misma cantidad de tiempo.

a) ¿Qué tipo de función representa el gráfico?, ¿por qué?

b) ¿Cuál es la constante de proporcionalidad?c) ¿Cuál es la expresión algebraica que modela esta situación?

Verifica en el solucionario de tu Texto si tus respuestas son correctas. ¿Te equivocasteen alguna?, ¿cuál fue el error? Explícalo y resuelve correctamente el ejercicio.

1. Marca según tu apreciación.

2. Reflexiona y responde.

a) ¿Qué dificultades tuviste en la Unidad?, ¿cómo las superaste?b) ¿Qué te gustó de lo que aprendiste en la Unidad?, ¿por qué?c) Vuelve a la página 165 y revisa el recuadro “En esta Unidad podrás…”,

¿crees que lograste aprender todo lo que se esperaba? Explica.

No lo entendí

Lo entendí

Puedo explicarlo

¿Qué logré?

Análisis de relaciones entre variables.

Noción de función.

Variables dependientes e independientes.

Dominio y recorrido.

Variaciones proporcionales y no proporcionales.

Relación de proporcionalidad directa.

Relación de proporcionalidad inversa.

Resolución de problemas.

x 1 16 32

y 5 10 320

1 2 3 4 5 6

Tiempo (días)

20406080

100120

Cantidad desecretarias

U6 164-199 8º 3/26/10 1:15 PM Page 199

Elegibilidad texto matematicas 8°basico2011 opción A

Documents

Transcript of Elegibilidad texto matematicas 8°basico2011 opción A