ELEMENTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES …victorms/Elementos_de_Ecuaciones... · Ejercicios 1....

63
ELEMENTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS ıctor Manuel S´ anchez de los Reyes Departamento de An´alisis Matem´ atico Universidad Complutense de Madrid

Transcript of ELEMENTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES …victorms/Elementos_de_Ecuaciones... · Ejercicios 1....

Page 1: ELEMENTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES …victorms/Elementos_de_Ecuaciones... · Ejercicios 1. Comprueba que las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales indicadas:

ELEMENTOS DE ECUACIONESDIFERENCIALES ORDINARIAS

Vıctor Manuel Sanchez de los Reyes

Departamento de Analisis MatematicoUniversidad Complutense de Madrid

Page 2: ELEMENTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES …victorms/Elementos_de_Ecuaciones... · Ejercicios 1. Comprueba que las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales indicadas:
Page 3: ELEMENTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES …victorms/Elementos_de_Ecuaciones... · Ejercicios 1. Comprueba que las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales indicadas:

Indice

1. Introduccion 7

1.1. Conceptos basicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.2. Algunos modelos matematicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.1. Desintegracion radiactiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2.2. Movimiento pendular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2.3. La catenaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.2.4. Cuerpos en caıda libre con resistencia del aire . . . . . . . . . . . . 11

1.2.5. La curva braquistocrona . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

1.2.6. Oscilaciones en resortes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.2.7. Dinamica de poblaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2. Ecuaciones diferenciales de primer orden 15

2.1. Ecuaciones de variables separadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2. Ecuaciones homogeneas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3. Ecuaciones exactas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.4. Ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2.5. Algunas ecuaciones especiales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.5.1. La ecuacion de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.5.2. La ecuacion de Ricatti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.5.3. Ecuaciones de grado n respecto a y′ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3

Page 4: ELEMENTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES …victorms/Elementos_de_Ecuaciones... · Ejercicios 1. Comprueba que las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales indicadas:

2.5.4. Ecuaciones de la forma f(y, y′) = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.5.5. Ecuaciones de la forma f(x, y′) = 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.5.6. La ecuacion de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.5.7. La ecuacion de Clairaut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3. Ecuaciones diferenciales lineales de orden superior 25

3.1. Estructura del conjunto de soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.1.1. La ecuacion homogenea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.1.2. La ecuacion no homogenea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.2. Ecuaciones con coeficientes constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.2.1. La ecuacion homogenea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.2.2. La ecuacion no homogenea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4. Sistemas de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden 33

4.1. Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4.2. Estructura del conjunto de soluciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.2.1. El sistema homogeneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

4.2.2. El sistema no homogeneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4.3. Sistemas con coeficientes constantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.3.1. El sistema homogeneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.3.2. El sistema no homogeneo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

5. Transformada de Laplace y metodo de series de potencias 43

5.1. Transformada de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.1.1. Definicion y propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

5.1.2. La funcion de Heaviside y la delta de Dirac . . . . . . . . . . . . . . 44

5.1.3. Traslacion y periodicidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

5.1.4. Transformadas de derivadas e integrales . . . . . . . . . . . . . . . 46

4

Page 5: ELEMENTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES …victorms/Elementos_de_Ecuaciones... · Ejercicios 1. Comprueba que las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales indicadas:

5.1.5. La convolucion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

5.1.6. La transformada inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5.1.7. Aplicaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

5.2. Metodo de series de potencias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5.2.1. Soluciones en torno a puntos ordinarios . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5.2.2. Soluciones en torno a puntos singulares . . . . . . . . . . . . . . . . 52

6. Teorıa cualitativa de ecuaciones diferenciales 55

6.1. Conceptos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

6.2. Sistemas lineales planos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

7. Resolucion numerica de ecuaciones diferenciales 59

7.1. Metodo de Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

7.2. Metodo de Runge-Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Apendice. Teoremas de existencia y unicidad 61

Bibliografıa 63

5

Page 6: ELEMENTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES …victorms/Elementos_de_Ecuaciones... · Ejercicios 1. Comprueba que las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales indicadas:
Page 7: ELEMENTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES …victorms/Elementos_de_Ecuaciones... · Ejercicios 1. Comprueba que las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales indicadas:

Tema 1

Introduccion

1.1. Conceptos basicos

Definicion 1.1.1. Una ecuacion diferencial ordinaria (en adelante, ecuacion dife-

rencial) es la que establece una relacion entre una variable independiente x, la funcion

buscada f(x) y una o varias derivadas de esta funcion f ′(x), f ′′(x), . . . , fn)(x), lo que

equivale, con y = f(x), a una expresion de la forma

F (x, y, y′, y′′, . . . , yn)) = 0.

Definicion 1.1.2. Se denomina orden de una ecuacion diferencial al orden de la derivada

superior que interviene en la expresion.

Definicion 1.1.3. Una ecuacion diferencial de orden n se dice lineal si es de grado uno

respecto a la funcion y y todas sus derivadas, pudiendose entonces expresar de la forma

yn) + a1(x)yn−1) + · · ·+ an−1(x)y′ + an(x)y = g(x).

Cuando las funciones ai(x), 1 ≤ i ≤ n, son constantes se dice que la ecuacion tiene

coeficientes constantes. Si g(x) ≡ 0 la ecuacion se denomina homogenea. En caso

contrario se llama no homogenea o completa.

Definicion 1.1.4. Una solucion de una ecuacion diferencial es una funcion que sustitui-

da en la ecuacion la convierte en una identidad. Si una solucion es una funcion explıcita

(implıcita), se dice que es una solucion explıcita (implıcita).

Definicion 1.1.5. La solucion general de la ecuacion diferencial de orden n dada por

F (x, y, y′, y′′, . . . , yn)) = 0 es una funcion ϕ(x,C1, C2, . . . , Cn) que depende de n constantes

C1, C2, . . . , Cn de modo que la funcion ϕ satisface la ecuacion para todos los valores de

7

Page 8: ELEMENTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES …victorms/Elementos_de_Ecuaciones... · Ejercicios 1. Comprueba que las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales indicadas:

las constantes, y si hay condiciones inicialesy(x0) = y0y′(x0) = y10...yn−1)(x0) = yn−10

se pueden elegir las constantes para que la funcion ϕ las satisfaga.

Una relacion φ(x, y, C1, C2, . . . , Cn) = 0 que define la solucion general implıcitamente

se denomina integral general de la ecuacion diferencial.

Definicion 1.1.6. Una solucion particular de una ecuacion diferencial es la que se ob-

tiene de la solucion general para valores concretos de las constantes. Una curva integral

es la grafica de una solucion particular.

Definicion 1.1.7. Una solucion singular de una ecuacion diferencial es una funcion

que satisface la ecuacion y que, sin embargo, no se obtiene de la solucion general para

ningun valor de las constantes.

Definicion 1.1.8. Resolver o integrar una ecuacion diferencial supone calcular la so-

lucion general si no se han dado condiciones iniciales, y cuando estas existen, hallar la

solucion particular que las satisfaga.

Sea F (x, y, y′) = 0 una ecuacion diferencial de primer orden que se puede expresar

de la forma y′ = f(x, y). Esta funcion f asocia a cada punto de su dominio el valor de

la pendiente de la tangente a la curva integral en ese punto. Por lo tanto, la ecuacion

diferencial determina un campo de direcciones que se representa como un conjunto

de segmentos, cada uno de los cuales pasa por el punto (x, y) y tiene como pendiente y′.

Resolver una ecuacion diferencial se puede interpretar entonces como calcular una curva

cuya tangente en cada punto tenga la misma direccion que el campo de direcciones en ese

punto. Para facilitar este calculo se introducen las isoclinas:

Definicion 1.1.9. Se denomina isoclina al lugar geometrico de los puntos del plano en

los que las tangentes a las curvas integrales de una ecuacion diferencial tienen la misma

direccion.

La familia de isoclinas de la ecuacion diferencial y′ = f(x, y) esta determinada por

la ecuacion f(x, y) = k, siendo k un parametro. Dibujando la familia de isoclinas para

valores de k proximos entre sı, es posible trazar de forma aproximada las curvas integrales

de la ecuacion diferencial. La isoclina f(x, y) = 0 informa de la posible situacion de los

maximos y mınimos locales de las curvas integrales. Los puntos de inflexion, si existen,

estaran situados en la curva definida por

∂f

∂x+∂f

∂yf(x, y) = 0.

8

Page 9: ELEMENTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES …victorms/Elementos_de_Ecuaciones... · Ejercicios 1. Comprueba que las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales indicadas:

Ejercicios

1. Comprueba que las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales

indicadas:

a) y = 2 +√x2 + 1 de la ecuacion diferencial −(x2 + 1)y′ + xy = 2x.

b) y = x√

1− x2 de la ecuacion diferencial yy′ = x− 2x3.

c) y = earc senx de la ecuacion diferencial xy′ = y tag log y.

d)

x = t log ty = t2(2 log t+ 1)

de la ecuacion diferencial y′ log y′

4= 4x.

e)

x = log t+ sen ty = t(1 + sen t) + cos t

de la ecuacion diferencial x = log y′ + sen y′.

2. Verifica que las funciones dadas son soluciones generales de las ecuaciones diferen-

ciales indicadas:

a) y = log(ex + C) de la ecuacion diferencial y′ = ex−y.

b) y =√x2 − Cx de la ecuacion diferencial (x2 + y2) dx− 2xy dy = 0.

c) (x + C)2 + y2 = 4 de la ecuacion diferencial y2((y′)2 + 1) = 4. Obten en este

caso dos soluciones singulares.

3. Comprueba si las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales

indicadas:

a) e−y − Cx = 1 de la ecuacion diferencial xy′ + 1 = ey.

b) y2 + 2Cx = C2 de la ecuacion diferencial y(y′)2 + 2xy′ = y.

c) x = y∫ x0

sen t2 dt de la ecuacion diferencial y = xy′ + y2 senx2.

4. Estudia las isoclinas de las ecuaciones diferenciales siguientes:

a) y′ = x+ 1.

b) y′ = y−xy+x

.

c) y′ = x+ y.

d) y′ = y − x.

1.2. Algunos modelos matematicos

1.2.1. Desintegracion radiactiva

Una reaccion quımica se denomina reaccion de primer orden si en ella una molecula

se descompone en otras espontaneamente, y el numero de moleculas que se descomponen

9

Page 10: ELEMENTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES …victorms/Elementos_de_Ecuaciones... · Ejercicios 1. Comprueba que las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales indicadas:

en una unidad de tiempo es proporcional al numero de moleculas existentes. Por ejemplo,

la desintegracion radiactiva.

Si se considera una sustancia cuya masa viene dada en funcion del tiempo por la

funcion m = m(t), la velocidad de descomposicion viene dada por m′. Si se supone que

esta velocidad es directamente proporcional a la masa, se tiene la ecuacion diferencial de

primer orden

m′ = −km

siendo k > 0 el coeficiente de proporcionalidad.

La solucion general viene dada por

m(t) = Ce−kt.

Para determinar la constante C se supone que se conoce la masa en el instante inicial

t = 0 y que tiene un valor m0, de lo que resulta que

m(t) = m0e−kt.

1.2.2. Movimiento pendular

Se supone un punto material de masa m suspendido de un punto fijo, que se mueve

por la accion de la gravedad a lo largo de un arco de circunferencia que esta en un

plano vertical. Despreciando el rozamiento y la resistencia del aire se pretende calcular la

ecuacion del movimiento en funcion del tiempo.

Se consideran unos ejes de coordenadas cuyo origen esta en el punto inferior de la

circunferencia y el eje de abcisas es tangente en este punto. Sea L la longitud del radio

de la circunferencia, t el tiempo y s la longitud de arco a partir del origen hasta un punto

P , de forma que si P esta a la derecha del origen, es s > 0 y si esta a la izquierda, es

s < 0. Se pretende determinar la funcion s = s(t). La fuerza de la gravedad F = mg

se descompone en las componentes normal Fn y tangencial Ft, siendo esta ultima la que

produce el movimiento. Se tiene que Ft = −mg senα, siendo α el angulo que forma la

direccion de la componente normal con la de la fuerza de la gravedad. Ası, la funcion del

movimiento verifica la ecuacion diferencial

s′′ = −g sens

L.

Una solucion aproximada de dicha ecuacion diferencial viene dada por

s = s0 sen

√g

Lt

donde s0 es la longitud maxima que describe el punto P .

10

Page 11: ELEMENTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES …victorms/Elementos_de_Ecuaciones... · Ejercicios 1. Comprueba que las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales indicadas:

1.2.3. La catenaria

Estudiemos ahora la forma que toma un hilo flexible homogeneo suspendido entre sus

dos extremos y que cuelga por su propio peso.

Sea M(0, b) el punto mas bajo del hilo y P (x, y) un punto cualquiera. La seccion MP

del hilo esta equilibrada por las siguientes fuerzas:

1. La tension T1 que actua a lo largo de la tangente al punto P y forma un angulo α

con el eje de abcisas.

2. La tension T2 en el punto M que es paralela al eje de abcisas.

3. El peso del hilo, paralelo al eje de ordenadas, cuyo modulo es sp, siendo s la longitud

del arco MP y p el peso especıfico del hilo.

Al descomponer T1 en sus dos componentes se obtienen las ecuaciones de equilibrio:T1 cosα = T2T1 senα = sp

luego, dividiendo ambas igualdades entre sı, se tiene que

tag α =sp

T2.

Llamando a = T2p

, derivando ambos miembros de la igualdad y teniendo en cuenta que

s′ =√

(y′)2 + 1 se obtiene la ecuacion diferencial

y′′ =1

a

√(y′)2 + 1.

La solucion particular que pasa por M es

y =a

2

(e

xa + e−

xa

)+ b− a = a cosh

x

a+ b− a.

1.2.4. Cuerpos en caıda libre con resistencia del aire

Se supone ahora que desde una cierta altura se deja caer un cuerpo de masa m, sobre el

que actua, ademas de la fuerza de la gravedad, la resistencia del aire, que es proporcional

a su velocidad de caıda v = v(t), la cual se quiere calcular. La aceleracion es v′, y k es el

coeficiente de proporcionalidad de la fuerza de resistencia del aire. Por tanto,

mv′ = mg − kv

11

Page 12: ELEMENTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES …victorms/Elementos_de_Ecuaciones... · Ejercicios 1. Comprueba que las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales indicadas:

que es una ecuacion diferencial lineal de primer orden con coeficientes constantes no

homogenea.

Se puede comprobar que la funcion

v(t) = Ce−kmt +

mg

k

verifica la ecuacion para todo valor de la constante C. Para determinar la constante C se

supone que se conoce la velocidad del cuerpo en el instante inicial t = 0 y que tiene un

valor v0, de lo que resulta que

v(t) =(v0 −

mg

k

)e−

kmt +

mg

k.

Si la resistencia del aire no existe, es decir, k = 0, la solucion particular es

v(t) = gt+ v0.

Si y = y(t) es la funcion que indica la distancia al cuerpo a partir de un altura dada, se

tiene que y′ = v con lo que

y(t) =1

2gt2 + v0t+ y0

siendo y0 la posicion inicial. Si y0 = v0 = 0, se tiene que v2 = 2gy.

1.2.5. La curva braquistocrona

Se unen dos puntos A y B colocados a distinta altura por un hilo por el que se

deja deslizar una bola esferica, supuestamente sin rozamiento. El problema consiste en

determinar la forma del hilo para que el tiempo que tarda la bola en ir de A hasta B, sin

otra fuerza que la gravedad, sea el mınimo.

Si se supone que la bola va desde A hasta B a traves de dos segmentos AO y OB, con

velocidades v1 y v2, respectivamente, el tiempo total que invierte en su desplazamiento

viene dado por

t =

√x2 + a2

v1+

√(c− x)2 + b2

v2

donde A = (−x, a), O = (0, 0) y B = (c− x,−b). Para que el tiempo sea el mınimo debe

suceder que dtdx

= 0, con lo que

x

v1√x2 + a2

=c− x

v2√

(c− x)2 + b2

o biensenw1

v1=

senw2

v2

12

Page 13: ELEMENTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES …victorms/Elementos_de_Ecuaciones... · Ejercicios 1. Comprueba que las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales indicadas:

siendo w1 = arctag xa

y w2 = arctag c−xb

. Si el numero de segmentos pasa a ser infinito,

aumentando la velocidad de la bola de forma continua, se tiene que la trayectoria debe

verificar que senwv

sea constante. Llamando α = π2− w se tiene que

senw = cosα =1√

(y′)2 + 1.

Como v2 = 2gy, la curva braquistocrona debe satisfacer la ecuacion diferencial

y((y′)2 + 1) = C.

La solucion de dicha ecuacion viene dada porx = r(θ − sen θ)y = r(1− cos θ)

siendo r = C2

y tag θ2

=√

yC−y , que son las ecuaciones parametricas de la cicloide, la curva

que describe un punto de una circunferencia de radio r cuando rueda, sin rozamiento, a

lo largo del eje de abcisas.

1.2.6. Oscilaciones en resortes

Se considera ahora un cuerpo sujeto al extremo de un resorte, sobre el que un dis-

positivo ejerce una fuerza de amortiguacion, y ademas, existe una fuerza externa que

actua sobre el cuerpo. Se supone que la fuerza de elasticidad del resorte es proporcional al

desplazamiento y la fuerza de amortiguacion proporcional a la velocidad del movimiento.

Sea y = y(t) la funcion que indica el desplazamiento del cuerpo de masa m en funcion

del tiempo, k1 > 0 la constante de rigidez del resorte, k2 > 0 la constante de amortiguacion

del dispositivo y g(t) la fuerza externa. Imponiendo que en el punto de equilibrio el peso

del cuerpo se compense con las otras fuerzas, se obtiene la ecuacion diferencial que describe

el movimiento de las oscilaciones amortiguadas forzadas:

my′′ = mg − k1(y + L)− k2y′ + g(t)

siendo L la elongacion del resorte al sujetar el cuerpo de su extremo, con lo que

my′′ + k2y′ + k1y = g(t)

que es una ecuacion diferencial lineal de segundo orden con coeficientes constantes no

homogenea.

13

Page 14: ELEMENTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES …victorms/Elementos_de_Ecuaciones... · Ejercicios 1. Comprueba que las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales indicadas:

1.2.7. Dinamica de poblaciones

Las ecuaciones de Lotka-Volterra modelizan un ecosistema formado por rapaces y

presas, con sus interacciones, obteniendose el sistema:dxdt

= ax− bxydydt

= −cy + fxy

donde las constantes a, b, c y f son positivas. Sin presas (x), las rapaces (y) disminuirıan en

numero por falta de alimento. Y sin rapaces, las presas aumentarıan al no tener enemigos.

Dividiendo ambas ecuaciones se obtiene

a− byy

dy =−c+ fx

xdx

e integrando se tiene la solucion

yae−by = kx−cefx.

14

Page 15: ELEMENTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES …victorms/Elementos_de_Ecuaciones... · Ejercicios 1. Comprueba que las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales indicadas:

Tema 2

Ecuaciones diferenciales de primerorden

2.1. Ecuaciones de variables separadas

Definicion 2.1.1. Una ecuacion diferencial de la forma g(y) y′ = f(x) se denomi-

na ecuacion diferencial de variables separadas ya que se puede expresar como

g(y) dy = f(x) dx. Su solucion general se obtiene integrando ambos terminos:∫g(y) dy =

∫f(x) dx+ C.

Una ecuacion diferencial de la forma f1(x)g2(y) dx = f2(x)g1(y) dy se reduce a una de

variables separadas al pasar dividiendo a f2(x) y g2(y), aunque se pueden perder soluciones

singulares que anulen a estas funciones.

Ejercicios

1. Resuelve la ecuacion diferencial de la desintegracion radiactiva.

2. Halla una solucion aproximada de la ecuacion diferencial del movimiento pendular.

3. Encuentra la expresion de la catenaria.

4. Halla la curva braquistocrona.

5. Resuelve las ecuaciones diferenciales siguientes:

a) 4yy′ + x = 0.

b) x dx+ y dy = 0.

15

Page 16: ELEMENTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES …victorms/Elementos_de_Ecuaciones... · Ejercicios 1. Comprueba que las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales indicadas:

c) y′ cosx = (senx+ x secx) cotag y.

d) y′√x2 + 1 = xe−y.

e) (xy2 − y2 + x− 1) dx+ (x2y + x2 − 2xy − 2x+ 2y + 2) dy = 0.

f ) y′ = (x− y)2 + 1.

6. Dados m,n, p ∈ N cualesquiera, integra la ecuacion diferencial

y′ + 1 =(x+ y)m

(x+ y)n + (x+ y)p.

7. Resuelve la ecuacion diferencial (x2y2 + 1) dx+ 2x2 dy = 0 mediante la sustitucion

xy = z.

8. Integra la ecuacion diferencial (ex + 1)yy′ = ex y encuentra la solucion particular

que pasa por (0, 0).

9. Halla la solucion particular de la ecuacion diferencial y′ senx = y log y que satisface

la condicion inicial y(π2) = e.

10. Demuestra que la curva que posee la propiedad de que todas sus normales pasan

por un punto constante, es una circunferencia.

11. Halla la curva para la cual la pendiente de la tangente en cualquier punto es n veces

mayor que la pendiente de la recta que une este punto con el origen de coordenadas.

12. La temperatura de un cuerpo T rodeado por aire a temperatura T0 varıa de modo

que el ritmo de variacion de su temperatura es proporcional a la diferencia de tempe-

raturas T −T0 (ley del enfriamiento de Newton). Un cuerpo que inicialmente esta a

120C se pone en contacto con aire a 20C. Al cabo de una hora, su temperatura

es de 70C. ¿Cuanto tiempo mas tiene que transcurrir para que esta baje a 40C?

13. Inicialmente un cultivo tiene un numero B0 de bacterias. Al cabo de una hora

se determina que el numero de bacterias es 32B0. Si la razon de crecimiento es

proporcional al numero de bacterias B(t) presentes en el tiempo t, calcula el tiempo

necesario para que se triplique el numero de bacterias.

2.2. Ecuaciones homogeneas

Definicion 2.2.1. Una funcion f(x, y) es una funcion homogenea de grado n en las

variables x e y si f(tx, ty) = tnf(x, y).

Definicion 2.2.2. Una ecuacion diferencial de primer orden de la forma y′ = f(x, y) se

denomina ecuacion diferencial homogenea si la funcion f es homogenea de grado 0.

16

Page 17: ELEMENTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES …victorms/Elementos_de_Ecuaciones... · Ejercicios 1. Comprueba que las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales indicadas:

Las ecuaciones homogeneas se pueden expresar de la forma y′ = g(yx

)y al hacer el

cambio de variable z = yx

la ecuacion se reduce a una de variables separadas.

Si la ecuacion diferencial esta expresada de la forma M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0, es

homogenea si M y N son funciones homogeneas del mismo grado.

Una ecuacion diferencial de la forma

y′ = f

(ax+ by + c

a′x+ b′y + c′

)en la que las rectas ax+ by + c = 0 y a′x+ b′y + c′ = 0 no son paralelas (y c 6= 0 o c′ 6= 0

pues de lo contrario la ecuacion ya es homogenea) se puede transformar en una ecuacion

homogenea trasladando el origen de coordenadas al punto de interseccion de dichas rectas

(x0, y0) mediante el cambio de variablesx = X + x0y = Y + y0

Si las rectas son paralelas, el cambio de variable z = ax+ by reduce la ecuacion a una de

variables separadas.

Ejercicios

1. Resuelve las ecuaciones diferenciales siguientes:

a) y′ = x2+y2

xy.

b) (3y − x)y′ = 3x− y − 4.

c) (2x− 4y + 5)y′ = x− 2y + 3.

d) (x+ y + 1) dx+ (2x+ 2y − 1) dy = 0.

e) 4y(x2 + 3y2) dx = x(x2 − 6y2) dy.

f ) (x2 + y2) dx = x(x+ y) dy.

g) y′ = (x+ y)2.

h) x2y′ = (2x− y + 1)2.

i) (x− y)2y′ = (x− y + 1)2.

2. Integra la ecuacion diferencial (1− x2y2)y′ = 2xy3 mediante un cambio de variable

del tipo y = zα que la transforme en homogenea.

3. Halla las curvas que posean la propiedad de que la distancia del origen de coorde-

nadas a cualquier recta tangente sea igual al valor absoluto de la abscisa del punto

de tangencia.

17

Page 18: ELEMENTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES …victorms/Elementos_de_Ecuaciones... · Ejercicios 1. Comprueba que las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales indicadas:

2.3. Ecuaciones exactas

Definicion 2.3.1. Una ecuacion diferencial de la forma M(x, y) dx+N(x, y) dy = 0 se

denomina ecuacion diferencial exacta si existe una funcion F (x, y) de forma que

∂F

∂x(x, y) dx+

∂F

∂y(x, y) dy = M(x, y) dx+N(x, y) dy.

La solucion general sera entonces de la forma F (x, y) = C.

Teorema 2.3.2. Si M,N son de clase C1, la ecuacion M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 es

exacta si y solo si se verifica

∂M

∂y(x, y) =

∂N

∂x(x, y).

Demostracion. Si la ecuacion es exacta, entonces existe una funcion F (x, y) tal que

∂F

∂x(x, y) = M(x, y) y

∂F

∂y(x, y) = N(x, y).

Utilizando el Teorema de Schwartz se obtiene el resultado.

Recıprocamente, la funcion

F (x, y) =

∫M(x, y) dx+ g(y) con g(y) =

∫ (N(x, y)− ∂

∂y

∫M(x, y) dx

)dy

o bien la funcion

F (x, y) =

∫N(x, y) dy + f(x) con f(x) =

∫ (M(x, y)− ∂

∂x

∫N(x, y) dy

)dx

cumple las condiciones para que la ecuacion sea exacta.

Definicion 2.3.3. Se denomina factor integrante de una ecuacion diferencial de la

forma M(x, y) dx+N(x, y) dy = 0 a toda funcion µ(x, y) tal que al multiplicar la ecuacion

por µ(x, y) se transforma en exacta.

Sean M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0 una ecuacion diferencial no exacta y µ(x, y) su

posible factor integrante. Para ello es necesario y suficiente que se verifique la igualdad

∂(µM)

∂y(x, y) =

∂(µN)

∂x(x, y)

o, equivalentemente,

∂ log µ

∂y(x, y)M(x, y)− ∂ log µ

∂x(x, y)N(x, y) =

∂N

∂x(x, y)− ∂M

∂y(x, y).

18

Page 19: ELEMENTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES …victorms/Elementos_de_Ecuaciones... · Ejercicios 1. Comprueba que las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales indicadas:

Por lo tanto, toda funcion µ(x, y) que verifique esta condicion es un factor integrante de

la ecuacion inicial.

La obtencion de un factor integrante para una ecuacion diferencial puede ser muy

complicada puesto que la condicion anterior es una ecuacion en derivadas parciales que

puede ser difıcil de resolver. Sin embargo, existen situaciones especiales en las que se puede

calcular un factor integrante sin demasiada dificultad. Por ejemplo, µ(x), µ(y), µ(ax+by),

µ(xαyβ), etc.

Ejercicios

1. Resuelve las ecuaciones diferenciales siguientes:

a) e−y dx− (2y + xe−y) dy = 0.

b) (6xy2 + 3x2) dx+ (6x2y + 4y3) dy = 0.

c) (xy2 − 1) dx+ y(x2 + 3) dy = 0.

d)(

2x+ 1y

)dx+

(1y− x

y2

)dy = 0.

e) (senxy + xy cosxy) dx+ x2 cosxy dy = 0.

f ) (1− xy) dx+ (1− x2) dy = 0.

g) (y2 + x) dx− 2xy dy = 0.

h) 2xy log y dx+ (x2 + y2√y2 + 1) dy = 0.

2. Integra la ecuacion diferencial (x2 − y2 + 1) dx+ (x2 − y2 − 1) dy = 0 sabiendo que

tiene un factor integrante que depende de una combinacion lineal de x e y.

3. Resuelve las ecuaciones diferenciales siguientes si su factor integrante es de la forma

µ(y2 + x):

a) (y2 + 3x+ 2y) dx+ (4xy + 5y2 + x) dy = 0

b) (3y2 − x) dx+ (2y3 − 6xy) dy = 0

4. Integra la ecuacion diferencial (y2−xy) dx+x2 dy = 0 sabiendo que existe un factor

integrante que es funcion de xy2.

5. Encuentra un factor integrante de la forma µ(x, y) = f(y2 − x2) de la ecuacion

diferencial (x2 + y2 + 1) dx− 2xy dy = 0 y resuelvela.

6. Dada la ecuacion diferencial (y − xy2 log x) dx + x dy = 0, encuentra un factor

integrante de la forma µ(x, y) = f(xy) y resuelvela.

19

Page 20: ELEMENTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES …victorms/Elementos_de_Ecuaciones... · Ejercicios 1. Comprueba que las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales indicadas:

7. Demuestra que toda ecuacion diferencial de la forma yf(xy) dx + xg(xy) dy = 0

admite como factor integrante a

µ(x, y) =1

xy(f(xy)− g(xy)).

Aplica este resultado a la resolucion de la ecuacion x3y4 dx− (x2y − x4y3) dy = 0.

8. Calcula un factor integrante de la ecuacion diferencial (x2− y2−1) dx+ 2xy dy = 0

sabiendo que admite como solucion general a la familia de curvas x2+y2−Cx+1 = 0.

2.4. Ecuaciones lineales

Vamos a estudiar tres metodos para resolver una ecuacion diferencial lineal de primer

orden y′ + f(x)y = g(x), siendo f y g funciones continuas en la region en la que se

pretende integrar la ecuacion. Supondremos que la ecuacion es no homogenea pues, en

caso contrario, es de variables separadas.

En primer lugar, la ecuacion se puede expresar como (f(x)y − g(x)) dx + dy = 0,

calculando posteriormente un factor integrante que dependa solo de x.

El segundo metodo consiste en realizar el cambio de variable y = uv. Sustituyendo en

la ecuacion se tiene u′v+ u(v′+ f(x)v) = g(x). Pues bien, primero se calcula v como una

solucion particular no nula de la ecuacion diferencial v′ + f(x)v = 0 y despues se calcula

u como la solucion general de la ecuacion u′v = g(x).

Finalmente, un metodo de resolucion consiste en encontrar la solucion general de la

ecuacion homogenea, yh, y una solucion particular de la no homogenea, yp. Se comprueba

facilmente que la suma de ambas es la solucion general de la no homogenea. Para obtener

yp a partir de yh(x) = Ce−∫f(x) dx se emplea el metodo de variacion de las constantes

que consiste en considerar C como una funcion C(x) e imponer que C(x)e−∫f(x) dx sea

solucion de la ecuacion no homogenea.

Ejercicios

1. Calcula la velocidad de un cuerpo en caıda libre con resistencia del aire.

2. Resuelve las ecuaciones diferenciales siguientes:

a) xy′ + (1− x)y = xex.

b) y′ = 1ey−x .

c) y′ + 2xy = 2xe−x2.

20

Page 21: ELEMENTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES …victorms/Elementos_de_Ecuaciones... · Ejercicios 1. Comprueba que las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales indicadas:

d) y′ = 1x cos y+sen 2y

.

e) y′ + y tag x = sec2 x.

f ) y′ = 12x−y2 .

3. Integra la ecuacion diferencial y′ + yx

= 3 cos 2x buscando un factor integrante.

4. Resuelve la ecuacion diferencial y′ = y tag x+cosx realizando el cambio de variable

y = uv.

5. Calcula la solucion particular de la ecuacion diferencial y′+ 2xy = cosx

x2que verifique

la condicion inicial y(π) = 0.

6. Halla la familia de funciones tales que el area del trapecio limitado por los ejes de

coordenadas, la recta tangente a la grafica de la funcion en un punto y la recta

paralela al eje de ordenadas que pasa por el punto de tangencia sea constante e

igual a a2.

7. Dado el problema de valor inicialy′ − y = 1 + 3 senxy(0) = y0

encuentra el valor de y0 para el que la solucion permanece finita cuando x→∞.

8. Dada la ecuacion diferencial 2x2y′ − xy = 2x cosx − 3 senx, x > 0, estudia el

comportamiento de las soluciones cuando x → 0 y cuando x → ∞. ¿Hay alguna

solucion y tal que lımx→∞

y(x) = 0?

9. Dadas y1, y2 e y3 soluciones particulares de una ecuacion lineal y′ + f(x)y = g(x),

demuestra que la expresion y3−y1y1−y2 es constante.

2.5. Algunas ecuaciones especiales

2.5.1. La ecuacion de Bernoulli

Definicion 2.5.1. La ecuacion de Bernoulli es una ecuacion diferencial de la forma

y′ + f(x)y = g(x)yn

con n 6= 0, 1.

Para n = 0 se tiene una ecuacion lineal y para n = 1 es una ecuacion de variables

separadas.

21

Page 22: ELEMENTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES …victorms/Elementos_de_Ecuaciones... · Ejercicios 1. Comprueba que las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales indicadas:

Esta ecuacion se reduce a una ecuacion lineal dividiendo ambos miembros por yn y

haciendo el cambio de variable z = y1−n.

Otra forma de resolverla consiste en realizar el cambio de variable y = uv.

La ecuacion de Bernoulli aparece, por ejemplo, en dinamica de poblaciones y en esta-

bilidad del flujo de fluidos.

2.5.2. La ecuacion de Ricatti

Definicion 2.5.2. La ecuacion de Ricatti es una ecuacion diferencial de la forma

y′ = f(x)y2 + g(x)y + h(x)

con f(x), h(x) 6≡ 0.

Si f(x) ≡ 0, entonces la ecuacion es lineal, y si h(x) ≡ 0, entonces la ecuacion es una

de Bernoulli.

En general, esta ecuacion no puede resolverse por metodos elementales. Si se conoce

una solucion particular y1, entonces haciendo el cambio de variable y = y1 +u la ecuacion

se transforma en la ecuacion de Bernoulli u′ = f(x)u2 + (2y1f(x) + g(x))u la cual se

resuelve a traves del cambio de variable v = 1u. Por lo tanto, se podrıa haber hecho

directamente el cambio de variable v = 1y−y1 en la ecuacion inicial.

La ecuacion de Ricatti aparece, por ejemplo, en hidrodinamica.

2.5.3. Ecuaciones de grado n respecto a y′

Se trata de ecuaciones diferenciales de la forma

(y′)n + f1(x, y)(y′)n−1 + · · ·+ fn−1(x, y)y′ + fn(x, y) = 0.

Para hallar su solucion general basta resolver la ecuacion respecto a y′ e integrar todas

las ecuaciones resultantes.

2.5.4. Ecuaciones de la forma f(y, y′) = 0.

Si en estas ecuaciones se puede despejar y′, resultan ecuaciones de variables separadas.

Si se puede despejar y, y = g(y′), se realiza el cambio de variable y′ = t con lo que

y = g(t). Diferenciando esta ecuacion y sustituyendo dy por t dx se obtiene la solucion

general de la ecuacion diferencial en forma parametrica.

22

Page 23: ELEMENTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES …victorms/Elementos_de_Ecuaciones... · Ejercicios 1. Comprueba que las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales indicadas:

Si no se puede despejar ni y ni y′ pero se pueden expresar parametricamente de la

forma y = g(t)y′ = h(t)

entonces, diferenciando la primera ecuacion y sustituyendo dy por h(t) dx se obtiene la

solucion general de la ecuacion diferencial en forma parametrica.

2.5.5. Ecuaciones de la forma f(x, y′) = 0.

Al igual que en el tipo anterior, si en estas ecuaciones se puede despejar y′, resultan

ecuaciones de variables separadas.

Si se puede despejar x, x = g(y′), se realiza el cambio de variable y′ = t con lo que

x = g(t). Diferenciando esta ecuacion y sustituyendo dx por dyt

se obtiene la solucion

general de la ecuacion diferencial en forma parametrica.

Si no se puede despejar ni x ni y′ pero se pueden expresar parametricamente de la

forma x = g(t)y′ = h(t)

entonces, diferenciando la primera ecuacion y sustituyendo dx por dyh(t)

se obtiene la solu-

cion general de la ecuacion diferencial en forma parametrica.

2.5.6. La ecuacion de Lagrange

Definicion 2.5.3. La ecuacion de Lagrange es una ecuacion diferencial de la forma

y = xf(y′) + g(y′).

Para resolver una ecuacion de este tipo se realiza el cambio de variable y′ = t, redu-

ciendola diferenciando a una ecuacion lineal considerando x en funcion de t. La solucion

general vendra dada entonces en forma parametrica:x = ϕ(t, C)y = ϕ(t, C)f(t) + g(t)

2.5.7. La ecuacion de Clairaut

Definicion 2.5.4. La ecuacion de Clairaut es una ecuacion diferencial de la forma

y = xy′ + g(y′).

23

Page 24: ELEMENTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES …victorms/Elementos_de_Ecuaciones... · Ejercicios 1. Comprueba que las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales indicadas:

Es, por tanto, un caso particular de la ecuacion de Lagrange, cuyas soluciones son una

familia de rectas junto con su envolvente, la cual es una solucion singular.

Ejercicios

1. Resuelve las ecuaciones diferenciales siguientes:

a) 3xy′ − 2y = x3y−2.

b) y = xy′ + (y′)2.

c) y = 2xy′ + sen y′.

d) xy′ + y = y2 log x.

e) y2/3 + (y′)2/3 = 1.

f ) y = 2xy′ + log y′.

g) y = xy′ + a2y′

siendo a una constante.

h) 2y′ senx+ y cosx = y3(x cosx− senx).

i) 2y = xy′ + y′ log y′.

j ) y = (y′)2ey′.

k) x = log y′ + sen y′.

l) y4 − (y′)4 − y(y′)2 = 0.

2. Integra la ecuacion diferencial

xy′ = y +2x

x4 − 1(y2 − x2)

sabiendo que admite soluciones particulares de la forma y = ax+ b.

3. Halla la curva para la cual el segmento de la tangente comprendido entre los ejes

coordenados tiene una longitud constante a.

4. Resuelve las siguientes ecuaciones diferenciales de primer orden y de grado 2 respecto

a y′:

a) y(y′)2 + (x− y)y′ − x = 0.

b) (y′)2 − (2x+ y)y′ + x2 + xy = 0.

c) x(y′)2 + 2xy′ − y = 0.

d) 4(y′)2 − 9x = 0.

e) (y′)2 − 2yy′ = y2(ex − 1).

f ) x2(y′)2 + 3xyy′ + 2y2 = 0.

24

Page 25: ELEMENTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES …victorms/Elementos_de_Ecuaciones... · Ejercicios 1. Comprueba que las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales indicadas:

Tema 3

Ecuaciones diferenciales lineales deorden superior

3.1. Estructura del conjunto de soluciones

Vamos a analizar en esta seccion la estructura del conjunto de soluciones de la ecuacion

diferencial lineal de orden n

yn) + a1(x)yn−1) + · · ·+ an−1(x)y′ + an(x)y = g(x)

siendo ai(x), 1 ≤ i ≤ n, y g(x) funciones continuas en un intervalo (a, b).

Definicion 3.1.1. Dado un conjunto de funciones y1, y2, . . . , yn definidas en un inter-

valo (a, b) y derivables hasta el orden n−1, se denomina wronskiano de estas funciones

y se denota por W [y1, y2, . . . , yn] a la funcion definida por el determinante

W [y1, y2, . . . , yn] =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣y1 y2 · · · yny′1 y′2 · · · y′n...

.... . .

...

yn−1)1 y

n−1)2 · · · y

n−1)n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ .Teorema 3.1.2. Si las funciones y1, y2, . . . , yn son linealmente dependientes en el inter-

valo (a, b), entonces W [y1, y2, . . . , yn] ≡ 0.

Demostracion. Trivial.

Esta condicion no es suficiente pues basta considerar las siguientes funciones definidas

en (−1, 1): y1(x) = x2χ(−1,0) e y2(x) = x2χ[0,1).

25

Page 26: ELEMENTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES …victorms/Elementos_de_Ecuaciones... · Ejercicios 1. Comprueba que las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales indicadas:

3.1.1. La ecuacion homogenea

Teorema 3.1.3. Si las funciones y1, y2, . . . , yn son soluciones de la ecuacion homogenea

en el intervalo (a, b), entonces cualquier combinacion lineal suya tambien lo es.

Demostracion. Trivial.

Teorema 3.1.4. Si las funciones y1, y2, . . . , yn son soluciones linealmente independientes

de la ecuacion homogenea en el intervalo (a, b), entonces su wronskiano en ese intervalo

no es identicamente nulo.

Demostracion. Supongamos que W [y1, y2, . . . , yn] ≡ 0. Dado x0 ∈ (a, b), el sistema ho-

mogeneo de ecuaciones lineales en las variables c1, c2, . . . , cn

n∑k=1

ckyk(x0) = 0

n∑k=1

cky′k(x0) = 0

...n∑k=1

ckyn−1)k (x0) = 0

tiene infinitas soluciones ya que el determinante de la matriz de coeficientes, es decir, el

wronskiano, es nulo. En particular existen c1, c2, . . . , cn no todos nulos que son solucion

del sistema. Por tanto, la funcionn∑k=1

ckyk

es una solucion de la ecuacion homogenea por ser una combinacion lineal de ellas, y tanto

ella como sus derivadas hasta el orden n − 1 se anulan en x0, al igual que la funcion

identicamente nula que tambien es solucion de la ecuacion homogenea. El teorema de

unicidad nos da la contradiccion.

A continuacion demostraremos que bajo la hipotesis del teorema anterior el wronskiano

no se anula nunca.

Lema 3.1.5. Si y1, y2, . . . , yn son funciones derivables hasta el orden n, entonces

W ′[y1, y2, . . . , yn] =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣

y1 y2 · · · yny′1 y′2 · · · y′n...

.... . .

...

yn−2)1 y

n−2)2 · · · y

n−2)n

yn)1 y

n)2 · · · y

n)n

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣.

26

Page 27: ELEMENTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES …victorms/Elementos_de_Ecuaciones... · Ejercicios 1. Comprueba que las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales indicadas:

Demostracion. Por induccion, desarrollando W [y1, y2, . . . , yn] por la ultima fila antes de

derivar.

Teorema 3.1.6. Si las funciones y1, y2, . . . , yn son soluciones de la ecuacion homogenea

en el intervalo (a, b), entonces su wronskiano en ese intervalo o es identicamente nulo o

no se anula en ningun punto.

Demostracion. En primer lugar, se verifica que

yn)i + a1(x)y

n−1)i + · · ·+ an−1(x)y′i + an(x)yi = 0

para todo 1 ≤ i ≤ n. Multiplicando cada una de estas expresiones por el adjunto del

elemento de la fila n y la columna i del wronskiano, sumandolas y aplicando el lema

anterior se tiene la ecuacion diferencial lineal de primer orden

W ′[y1, y2, . . . , yn] + a1(x)W [y1, y2, . . . , yn] = 0

que tiene por solucion general W [y1, y2, . . . , yn] = Ce−∫a1(x) dx obteniendose el resultado.

No se puede prescindir de la hipotesis de que las funciones sean soluciones de la

ecuacion homogenea. Basta considerar, por ejemplo, las funciones definidas en (−1, 1):

y1(x) = x2 e y2(x) = x3.

Definicion 3.1.7. Se denomina conjunto fundamental de soluciones de la ecua-

cion homogenea en un intervalo (a, b) a cualquier conjunto de n soluciones linealmente

independientes en dicho intervalo.

Teorema 3.1.8. Siempre existe un conjunto fundamental de soluciones de la ecuacion

homogenea en el intervalo (a, b).

Demostracion. Sea x0 ∈ (a, b). Por el teorema de existencia, para todo 0 ≤ i ≤ n − 1

existe una solucion yi de la ecuacion homogenea tal que yi)i (x0) = 1 e y

j)i (x0) = 0 si j 6= i.

Las funciones yi con 0 ≤ i ≤ n− 1 son linealmente independientes pues basta con derivar

n − 1 veces una combinacion lineal suya identicamente nula y evaluar cada una de esas

expresiones en x0.

Teorema 3.1.9. Dado un conjunto fundamental de soluciones de la ecuacion homogenea

en el intervalo (a, b), cualquier otra solucion se puede expresar como combinacion lineal

de ellas.

Demostracion. Sean y1, y2, . . . , yn un conjunto fundamental de soluciones de la ecua-

cion homogenea en el intervalo (a, b), ϕ otra solucion cualquiera y x0 ∈ (a, b). Entonces

27

Page 28: ELEMENTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES …victorms/Elementos_de_Ecuaciones... · Ejercicios 1. Comprueba que las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales indicadas:

W [y1, y2, . . . , yn](x0) 6= 0. Se determinan ϕ(x0), ϕ′(x0), . . . , ϕ

n−1)(x0) y se considera el

sistema de ecuaciones lineales en las variables c1, c2, . . . , cn

n∑k=1

ckyk(x0) = ϕ(x0)

n∑k=1

cky′k(x0) = ϕ′(x0)

...n∑k=1

ckyn−1)k (x0) = ϕn−1)(x0)

que tiene solucion unica porque el determinante de la matriz de los coeficientes es no nulo.

El teorema de unicidad conduce al resultado.

Por tanto, el conjunto de soluciones de la ecuacion homogenea tiene estructura de es-

pacio vectorial de dimension n, y dado un conjunto fundamental de soluciones, la solucion

general se puede expresar como una combinacion lineal suya.

3.1.2. La ecuacion no homogenea

Teorema 3.1.10. Si y1, y2, . . . , yn es un conjunto fundamental de soluciones de la

ecuacion homogenea en el intervalo (a, b) y ϕp es una solucion cualquiera de la ecuacion no

homogenea, entonces para toda solucion ϕ de la ecuacion no homogenea existen constantes

c1, c2, . . . , cn tales que

ϕ = ϕp +n∑k=1

ckyk.

Demostracion. Basta comprobar que ϕ−ϕp es solucion de la ecuacion homogenea y aplicar

el teorema anterior.

Por tanto, el conjunto de soluciones de la ecuacion no homogenea tiene estructura

de espacio afın de dimension n construido sobre el espacio vectorial de soluciones de la

ecuacion homogenea.

Ejercicios

1. Demuestra que los conjuntos de funciones siguientes son linealmente independientes

en R:

a) eλ1x, eλ2x, . . . , eλnx.

b) eαx cos βx, eαx sen βx.

28

Page 29: ELEMENTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES …victorms/Elementos_de_Ecuaciones... · Ejercicios 1. Comprueba que las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales indicadas:

c) eλx, xeλx, . . . , xn−1eλx.

2. Comprueba si el conjunto de funciones log x, x log x, x2 log x es linealmente inde-

pendiente en (0,∞).

3. ¿Pueden ser f(x) = x y g(x) = ex soluciones de la ecuacion y′′+a1(x)y′+a2(x)y = 0,

a1(x) y a2(x) continuas, en el intervalo (0, 2)? ¿Y en (−6,−1)?

4. Comprueba si las funciones dadas son soluciones generales de las ecuaciones dife-

renciales indicadas:

a) C1x+ C2 de la ecuacion diferencial y′′ = 0.

b) C1 cosx+ C2 senx de la ecuacion diferencial y′′ + y = 0.

c) C1ex + C2e

−x de la ecuacion diferencial y′′ − y = 0.

d) C1 cosx+ C2 senx+ 1 de la ecuacion diferencial y′′ + y = 1.

e) C1ex + C2e

−x + e2x

3de la ecuacion diferencial y′′ − y = e2x.

5. Resuelve la ecuacion diferencial xy′′ + 2y′ + xy = 0, con x > 0, sabiendo que

y1 = senxx

es una solucion particular. Para ello busca otra solucion particular de la

forma y2 = y1z.

6. Halla la solucion general de la ecuacion diferencial xy′′ − (x + 1)y′ + y = 0, con

x > 0, buscando previamente una solucion particular de tipo exponencial.

7. Las ecuaciones de Cauchy-Euler son de la forma

p0xnyn) + p1x

n−1yn−1) + · · ·+ pn−1xy′ + pny = g(x)

con p0, p1, . . . , pn ∈ R y x 6= 0. Resuelve la ecuacion x2y′′+2xy′−6y = 0, con x > 0,

buscando soluciones de la forma y = xr.

3.2. Ecuaciones con coeficientes constantes

3.2.1. La ecuacion homogenea

Para resolver la ecuacion homogenea se buscan soluciones de la forma y = eλx. Al

sustituir estas funciones en la ecuacion se obtiene que (λn+a1λn−1+· · ·+an−1λ+an)eλx = 0

luego

λn + a1λn−1 + · · ·+ an−1λ+ an = 0

expresion que se denomina ecuacion caracterıstica de la ecuacion homogenea, y poli-

nomio caracterıstico al polinomio que la define. Por tanto, y = eλx es solucion de la

29

Page 30: ELEMENTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES …victorms/Elementos_de_Ecuaciones... · Ejercicios 1. Comprueba que las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales indicadas:

ecuacion homogenea si y solo si λ es raız de su ecuacion caracterıstica. Dichas raıces se

denominan autovalores o valores propios de la ecuacion homogenea. Los autovalores

reales o complejos y su multiplicidad determinan los distintos tipos de soluciones de la

ecuacion homogenea:

1. Si los autovalores son reales y simples, λ1, λ2, . . . , λn, entonces un conjunto funda-

mental de soluciones estarıa formado pory1 = eλ1x

y2 = eλ2x

...yn = eλnx

y por tanto la solucion general es una combinacion lineal de estas funciones.

2. Si hay un autovalor real de multiplicidad m, λ, entonces un conjunto fundamental

de soluciones estarıa formado por las siguientes funciones (ejercicio):y1 = eλx

y2 = xeλx

...ym = xm−1eλx

3. Si hay dos autovalores complejos simples, α±βi, entonces un conjunto fundamental

de soluciones en el plano complejo serıa z1 = e(α+βi)x y z2 = e(α−βi)x, y tambieny1 = z1+z2

2= eαx cos βx

y2 = z1−z22i

= eαx sen βx

4. Si hay dos autovalores complejos de multiplicidad m, α±βi, utilizando los resultados

de los dos casos anteriores se tiene que un conjunto fundamental de soluciones estarıa

formado por las siguientes funciones:

y1 = eαx cos βxy2 = xeαx cos βx...ym = xm−1eαx cos βxym+1 = eαx sen βxym+2 = xeαx sen βx...y2m = xm−1eαx sen βx

5. Finalmente, si los autovalores son de varios de los tipos anteriores, un conjunto

fundamental de soluciones estarıa formado por la conjuncion de las funciones que

aportara cada tipo.

30

Page 31: ELEMENTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES …victorms/Elementos_de_Ecuaciones... · Ejercicios 1. Comprueba que las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales indicadas:

3.2.2. La ecuacion no homogenea

Por el Teorema 3.1.10, obtener la solucion general de la ecuacion no homogenea se

reduce a encontrar una solucion particular de la misma y la solucion general de la ecuacion

homogenea asociada.

Si g(x) = eαx(Pm(x) cos βx+Qr(x) sen βx), siendo Pm(x) y Qr(x) polinomios de grados

m y r, respectivamente, una solucion particular de la ecuacion no homogenea es

ϕp = xseαx(Rk(x) cos βx+ Sk(x) sen βx)

siendo s el orden de multiplicidad de la raız de la ecuacion caracterıstica de la ecuacion

homogenea α± βi, k = max(m, r) y Rk(x) y Sk(x) polinomios de grado k de coeficientes

indeterminados que hay que calcular. Esta tecnica es conocida como metodo de los

coeficientes indeterminados.

Si g(x) es una combinacion lineal de ese tipo de funciones, una solucion particular de

la ecuacion no homogenea es la misma combinacion lineal de las respectivas soluciones

particulares para cada una de dichas funciones.

En general, se puede emplear el metodo de variacion de las constantes que consiste en

obtener primero la solucion general de la ecuacion homogenea

n∑k=1

ckyk

y buscar a continuacion una solucion particular de la no homogenea pero considerando

las constantes como funciones que hay que determinar

ϕp =n∑k=1

ck(x)yk.

Para ello hay que imponer n condiciones que se obtienen derivando ϕp n veces y sustitu-

yendo los resultados en la ecuacion diferencial. Las n condiciones son:

n∑k=1

c′k(x)yk = 0

n∑k=1

c′k(x)y′k = 0

...n∑k=1

c′k(x)yn−2)k = 0

n∑k=1

c′k(x)yn−1)k = g(x)

El sistema tiene solucion unica pues el determinante de la matriz de coeficientes es

W [y1, y2, . . . , yn] que no se anula en ningun punto de (a, b).

31

Page 32: ELEMENTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES …victorms/Elementos_de_Ecuaciones... · Ejercicios 1. Comprueba que las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales indicadas:

Ejercicios

1. Halla la solucion general de las ecuaciones diferenciales siguientes:

a) y′′ − 3y′ + 2y = 0.

b) y′′′ + 6y′ + 20y = 0.

c) y6) + y4) − y′′ − y = 0.

d) y′′′ − y′′ = 12x2 + 6x.

e) y′′ + y = x senx.

f ) y′′ − y = sen2 x.

g) y′′ − 6y′ + 9y = 25ex senx.

h) x2y′′ − 6x2y′ + 9x2y = e3x con x > 0.

i) y′′ + y = secx.

j ) y′′′ + y′ = cosecx.

k) y′′ + 4y = tag 2x.

l) y′′ + 2y′ + y = e−x log x.

2. Resuelve la ecuacion diferencial y′′ + 2y′ + y = 0 y encuentra la solucion particular

que verifique y(0) = y′(0) = 1.

3. Prueba que si xeλx es solucion de una ecuacion diferencial lineal de segundo orden

con coeficientes constantes homogenea, entonces su ecuacion caracterıstica tiene a

λ como raız doble.

4. Calcula la solucion general de la ecuacion diferencial y′′′ − y′′ + y′ − y = x2 + x y

encuentra la solucion particular que verifica y(0) = 0, y′(0) = y′′(0) = 1.

5. Halla las soluciones de la ecuacion diferencial y′′ + 4y′ + 4y = 2ex(senx + 7 cosx)

que verifican lımx→−∞

y(x) = 0.

6. Calcula las soluciones de la ecuacion diferencial (1 − x)y′′ + xy′ − y = (x − 1)2ex

con x < 1, que verifican lımx→−∞

y(x) = 0 e y(0) = 1 sabiendo que y1 = x e y2 = ex

forman un conjunto fundamental de soluciones de la ecuacion homogenea asociada.

7. Dos pesos iguales estan colgados del extremo de un resorte. Halla la ecuacion del

movimiento que efectuara uno de estos pesos si el otro se desprende.

8. Integra la ecuacion de Cauchy-Euler x2y′′ + xy′ − y = 0, con x 6= 0, haciendo el

cambio de variable x = et.

9. Halla la solucion particular de la ecuacion diferencial x2y′′−xy′+y = 2x que verifica

y(1) = 0, y′(1) = 1.

32

Page 33: ELEMENTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES …victorms/Elementos_de_Ecuaciones... · Ejercicios 1. Comprueba que las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales indicadas:

Tema 4

Sistemas de ecuaciones diferencialeslineales de primer orden

4.1. Introduccion

Definicion 4.1.1. Un sistema de n ecuaciones diferenciales de orden k se expresa me-

diante una funcion vectorial F de la forma F (x, f(x), f ′(x), f ′′(x), . . . , fk)(x)) = 0, sien-

do la funcion buscada f(x) = (f1(x), f2(x), . . . , fn(x)). Si k = 1 y es posible despejar

y′ = f ′(x), entonces el sistema se puede expresar de la siguiente forma:y′1 = F1(x, y1, y2, . . . , yn)y′2 = F2(x, y1, y2, . . . , yn)...y′n = Fn(x, y1, y2, . . . , yn)

(4.1)

La solucion general del sistema 4.1 esta formada por n funciones ϕi(x,C1, C2, . . . , Cn),

con 1 ≤ i ≤ n, que dependen de n constantes C1, C2, . . . , Cn y satisfacen las ecuaciones

del sistema para todos los valores de las constantes, y si hay condicion inicial

y(x0) = (y1(x0), y2(x0), . . . , yn(x0)) = (y01, y02, . . . , y0n)

se pueden elegir las constantes para que dichas funciones la satisfagan. Una solucion

particular del sistema es la que se obtiene de la solucion general para valores concretos

de las constantes.

El procedimiento para expresar una ecuacion diferencial de orden n

yn) = f(x, y, y′, y′′, . . . , yn−1))

33

Page 34: ELEMENTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES …victorms/Elementos_de_Ecuaciones... · Ejercicios 1. Comprueba que las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales indicadas:

como un sistema equivalente de n ecuaciones diferenciales de primer orden consiste en

anadir mas variables de la siguiente forma:

y1 = yy2 = y′

y3 = y′′

...yn = yn−1)

con lo que un sistema de ecuaciones diferenciales (lineales) de orden n puede transformarse

igualmente en un sistema de ecuaciones diferenciales (lineales) de primer orden. Por esta

razon, sin perdida de generalidad, basta estudiar estos ultimos.

Recıprocamente, si y1, y2, . . . , yn son soluciones del sistema 4.1, derivando la primera

ecuacion con respecto a x y sustituyendo y′1, y′2, . . . , y

′n por sus expresiones en el sistema

se obtiene y′′1 = G2(x, y1, y2, . . . , yn). Derivando esta expresion con respecto a x y sustitu-

yendo del mismo modo se tiene y′′′1 = G3(x, y1, y2, . . . , yn). Repitiendo el proceso hasta la

derivada de orden n se obtiene yn)1 = Gn(x, y1, y2, . . . , yn). Es decir, se tiene el sistemay′1 = G1(x, y1, y2, . . . , yn)y′′1 = G2(x, y1, y2 . . . , yn)...

yn)1 = Gn(x, y1, y2, . . . , yn)

(4.2)

De las n − 1 primeras ecuaciones se calculan y2, y3, . . . , yn en funcion de x, y1 y sus

derivadas: y2 = H2(x, y1, y

′1, . . . , y

n−1)1 )

y3 = H3(x, y1, y′1, . . . , y

n−1)1 )

...

yn = Hn(x, y1, y′1, . . . , y

n−1)1 )

(4.3)

Introduciendo estas expresiones en la ultima ecuacion de 4.2 se obtiene la ecuacion dife-

rencial de orden n

yn)1 = H1(x, y1, y

′1, . . . , y

n−1)1 ).

Resolviendo esta ecuacion se obtiene la solucion general y1 = ϕ1(x,C1, C2, . . . , Cn) y

calculando sus derivadas y sustituyendo en 4.3 se determinan y2, y3, . . . , yn.

Definicion 4.1.2. Un sistema de n ecuaciones diferenciales lineales de primer orden se

expresa de la siguiente forma:y′1 = a11(x)y1 + a12(x)y2 + · · ·+ a1n(x)yn + g1(x)y′2 = a21(x)y1 + a22(x)y2 + · · ·+ a2n(x)yn + g2(x)...y′n = an1(x)y1 + an2(x)y2 + · · ·+ ann(x)yn + gn(x)

34

Page 35: ELEMENTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES …victorms/Elementos_de_Ecuaciones... · Ejercicios 1. Comprueba que las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales indicadas:

siendo aij(x) y gi(x), 1 ≤ i, j ≤ n, funciones continuas en un intervalo (a, b). Si gi(x) ≡ 0,

1 ≤ i ≤ n, el sistema se denomina homogeneo. La equivalente ecuacion matricial es

y′ = A(x)y + g(x) donde A(x) = (aij(x)) y g(x) = (gi(x)).

Ejercicios

1. Expresa en forma matricial el sistema de ecuaciones diferenciales asociado a la ecua-

cion y′′ + 2y′ + y = 0.

2. Resuelve los sistemas de ecuaciones diferenciales siguientes a traves de sus ecuaciones

asociadas:

a)

(y′1y′2

)=

(1 23 2

)(y1y2

).

b)

y′1y′2y′3

=

0 1 00 0 1−1 −3 −3

y1y2y3

.

4.2. Estructura del conjunto de soluciones

Definicion 4.2.1. Dado un conjunto de funciones vectoriales y1, y2, . . . , yn siendo cada

yk = (yk1, yk2, . . . , ykn), 1 ≤ k ≤ n, se denomina wronskiano de estas funciones y se

denota por W [y1, y2, . . . , yn] a la funcion definida por el determinante

W [y1, y2, . . . , yn] =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣y11 y21 · · · yn1y12 y22 · · · yn2...

.... . .

...y1n y2n · · · ynn

∣∣∣∣∣∣∣∣∣ .

4.2.1. El sistema homogeneo

Teorema 4.2.2. Si las funciones y1, y2, . . . , yn son soluciones del sistema homogeneo en

el intervalo (a, b), entonces cualquier combinacion lineal suya tambien lo es.

Demostracion. Trivial.

Teorema 4.2.3. Si las funciones y1, y2, . . . , yn son soluciones linealmente independientes

del sistema homogeneo en el intervalo (a, b), entonces su wronskiano no se anula en ningun

punto de ese intervalo.

35

Page 36: ELEMENTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES …victorms/Elementos_de_Ecuaciones... · Ejercicios 1. Comprueba que las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales indicadas:

Demostracion. Supongamos que existe x0 ∈ (a, b) tal que W [y1, y2, . . . , yn](x0) = 0. Por

tanto, una columna del wronskiano es combinacion lineal de las otras. Supongamos que

es la primera, es decir, y1(x0) = c2y2(x0) + c3y3(x0) + · · ·+ cnyn(x0). Sea

z = −y1 + c2y2 + c3y3 + · · ·+ cnyn.

Esta funcion es solucion del sistema y se anula en x0. Por el teorema de unicidad, z ≡ 0

lo que contradice que las funciones y1, y2, . . . , yn sean linealmente independientes en el

intervalo (a, b).

Teorema 4.2.4. Si las funciones y1, y2, . . . , yn son soluciones del sistema homogeneo en

el intervalo (a, b), entonces su wronskiano en ese intervalo o es identicamente nulo o no

se anula en ningun punto.

Demostracion. Se puede comprobar por induccion la siguiente expresion para la derivada

del wronskiano:

W ′[y1, y2, . . . , yn] = W [y′1, y2, . . . , yn] +W [y1, y′2, . . . , yn] + · · ·+W [y1, y2, . . . , y

′n].

Ya que y′k = A(x)yk para todo 1 ≤ k ≤ n, sustituyendo en la expresion anterior se tiene

la ecuacion diferencial lineal de primer orden

W ′[y1, y2, . . . , yn] = (a11(x) + a22(x) + · · ·+ ann(x))W [y1, y2, . . . , yn]

que tiene por solucion general W [y1, y2, . . . , yn] = Ce∫traza A(x) dx obteniendose el resul-

tado.

Este ultimo resultado puede obtenerse tambien directamente del anterior.

Definicion 4.2.5. Se denomina sistema fundamental de soluciones del sistema

homogeneo en un intervalo (a, b) a cualquier conjunto de n soluciones linealmente inde-

pendientes en dicho intervalo.

Teorema 4.2.6. Siempre existe un sistema fundamental de soluciones del sistema ho-

mogeneo en el intervalo (a, b).

Demostracion. Sea x0 ∈ (a, b). Por el teorema de existencia, para todo 1 ≤ k ≤ n existe

una solucion yk del sistema homogeneo tal que ykk(x0) = 1 e yki(x0) = 0 si i 6= k. Las

funciones yk con 1 ≤ k ≤ n son linealmente independientes pues basta evaluar en x0cualquier combinacion lineal suya para obtener la nulidad de todos los coeficientes.

Teorema 4.2.7. Dado un sistema fundamental de soluciones del sistema homogeneo en

el intervalo (a, b), cualquier otra solucion se puede expresar como combinacion lineal de

ellas.

36

Page 37: ELEMENTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES …victorms/Elementos_de_Ecuaciones... · Ejercicios 1. Comprueba que las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales indicadas:

Demostracion. Sean y1, y2, . . . , yn un sistema fundamental de soluciones del sistema

homogeneo en el intervalo (a, b), ϕ otra solucion cualquiera y x0 ∈ (a, b). Entonces

W [y1, y2, . . . , yn](x0) 6= 0. Se determina ϕ(x0) y se considera el sistema de ecuaciones

lineales en las variables c1, c2, . . . , cn

n∑k=1

ckyk1(x0) = ϕ1(x0)

n∑k=1

ckyk2(x0) = ϕ2(x0)

...n∑k=1

ckykn(x0) = ϕn(x0)

que tiene solucion unica porque el determinante de la matriz de los coeficientes es no nulo.

El teorema de unicidad conduce al resultado.

Por tanto, el conjunto de soluciones del sistema homogeneo tiene estructura de espacio

vectorial de dimension n, y dado un sistema fundamental de soluciones, la solucion general

se puede expresar como una combinacion lineal suya.

Definicion 4.2.8. Se denomina matriz fundamental del sistema homogeneo en un

intervalo (a, b) a una matriz Φ cuyas columnas forman un sistema fundamental de solu-

ciones del sistema en dicho intervalo. Y se denomina matriz fundamental principal

a aquella tal que Φ(x0) = I para algun x0 ∈ (a, b).

Definicion 4.2.9. Se denomina matriz solucion del sistema homogeneo en un inter-

valo (a, b) a una matriz cuyas columnas son soluciones del sistema en dicho intervalo,

linealmente independientes o no.

La solucion general del sistema homogeneo se puede expresar en terminos de una matriz

fundamental: y = Φ C donde C es un vector de constantes indeterminadas. Una matriz

fundamental queda caracterizada por verificar que Φ′ = A(x)Φ y que su determinante es

no nulo.

4.2.2. El sistema no homogeneo

Teorema 4.2.10. Si y1, y2, . . . , yn es un sistema fundamental de soluciones del sistema

homogeneo en el intervalo (a, b) y ϕp es una solucion cualquiera del sistema no homogeneo,

entonces para toda solucion ϕ del sistema no homogeneo existen constantes c1, c2, . . . , cntales que

ϕ = ϕp +n∑k=1

ckyk.

37

Page 38: ELEMENTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES …victorms/Elementos_de_Ecuaciones... · Ejercicios 1. Comprueba que las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales indicadas:

Demostracion. Basta comprobar que ϕ− ϕp es solucion del sistema homogeneo y aplicar

el Teorema 4.2.7.

Por tanto, el conjunto de soluciones del sistema no homogeneo tiene estructura de

espacio afın de dimension n construido sobre el espacio vectorial de soluciones del sistema

homogeneo.

Ejercicios

1. Prueba que Φ1(x) =

(e2x xe2x

−e2x (1− x)e2x

)y Φ2(x) =

((x+ 1)e2x xe2x

−xe2x (1− x)e2x

)son matrices fundamentales del sistema(

y′1y′2

)=

(3 1−1 1

)(y1y2

).

2. Comprueba que Φ(x) =

0 −2ex 00 ex 2e3x

ex xex e3x

es una matriz fundamental del siste-

ma y′1y′2y′3

=

1 0 01 3 00 1 1

y1y2y3

.

3. Encuentra un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden para el

que Φ(x) =

(2e2x 3ex

e2x 2ex

)sea una matriz fundamental.

4. Dadas las funciones vectoriales y1 = (x, 1) e y2 = (x2, 2x):

a) Calcula su wronskiano.

b) ¿En que intervalos son linealmente independientes?

c) ¿Que conclusion puede formularse acerca de los coeficientes del sistema ho-

mogeneo satisfecho por ellas?

d) Encuentra dicho sistema y verifica las conclusiones del apartado anterior.

5. Contesta a las mismas preguntas del ejercicio anterior para las funciones vectoriales

y1 = (x2, 2x) e y2 = (ex, ex).

38

Page 39: ELEMENTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES …victorms/Elementos_de_Ecuaciones... · Ejercicios 1. Comprueba que las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales indicadas:

4.3. Sistemas con coeficientes constantes

4.3.1. El sistema homogeneo

Para resolver el sistema homogeneo se buscan soluciones de la forma y = veλx, donde

v ∈ Rn\0. Para que y sea solucion del sistema se debe verificar que y′ = λveλx = Aveλx,

es decir, Av = λv, con lo que v es un autovector de la matriz A asociado al autovalor λ.

Por tanto, si A tiene n autovalores distintos, λ1, λ2, . . . , λn, un sistema fundamental de

soluciones del sistema homogeneo estarıa formado por las funciones yk = vkeλkx, siendo

vk un autovector de la matriz A asociado al autovalor λk, 1 ≤ k ≤ n.

Si A tiene el autovalor λ de multiplicidad m y hay m autovectores linealmente inde-

pendientes asociados a λ, v1, v2, . . . , vm, entonces las funciones yk = vkeλx, 1 ≤ k ≤ m,

son m soluciones del sistema homogeneo linealmente independientes.

Si A tiene autovalores simples y multiples, un sistema fundamental de soluciones es-

tarıa formado por la conjuncion de las funciones que aportara cada uno.

En general, si J es la forma canonica de Jordan de A y B es la matriz de cambio

de base, es decir, B−1AB = J , el cambio de variable y = Bz nos conduce al sistema

homogeneo z′ = Jz, resoluble facilmente.

El sistema fundamental que se obtiene, en general, puede estar formado por soluciones

complejas, pero a partir de el se puede obtener otro formado por soluciones reales. En

efecto, para toda solucion compleja z = (a + bi)e(α+βi)x se tiene la solucion z, y las

funciones y1 = z+z

2= eαx(a cos βx− b sen βx)

y2 = z−z2i

= eαx(b cos βx+ a sen βx)

son tambien soluciones del sistema homogeneo linealmente independientes.

Otro metodo para resolver un sistema homogeneo consiste en calcular directamente

una matriz fundamental, lo que conlleva hallar la exponencial de una matriz:

Definicion 4.3.1. Sea A una matriz cuadrada constante. Se define la exponencial de

la matriz A mediante la expresion

eA = I + A+A2

2!+ · · ·+ An

n!+ · · · =

∞∑n=0

An

n!.

Las principales propiedades de la exponencial de una matriz son las siguientes:

1. La exponencial de una matriz diagonal A tambien lo es y en su diagonal principal

aparecen las exponenciales de los elementos de la diagonal principal de A.

39

Page 40: ELEMENTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES …victorms/Elementos_de_Ecuaciones... · Ejercicios 1. Comprueba que las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales indicadas:

2. La exponencial de una matriz nilpotente A (existe n ∈ N tal que An = 0) tiene un

numero finito de sumandos.

3. e0 = I.

4. erI = erI para todo r ∈ R.

5. Si AB = BA, entonces eA+B = eAeB.

6. eA es regular ya que |eA| = etraza A.

7. (eA)−1 = e−A.

Proposicion 4.3.2. eAx es una matriz fundamental principal del sistema homogeneo.

Demostracion. Basta derivar en la expresion de eAx para comprobar que es una matriz

fundamental del sistema homogeneo. Ademas, eAx = I cuando x = 0.

Por tanto, y = eA(x−x0)y0 es la unica solucion del problema de valor inicialy′ = Ayy(x0) = y0

Para calcular eAx, si J es la forma canonica de Jordan de A y B es la matriz de cambio

de base, entonces eAx = BeJxB−1 = BeDxeNxB−1 siendo D una matriz diagonal y N una

nilpotente.

4.3.2. El sistema no homogeneo

Por el Teorema 4.2.10, obtener la solucion general del sistema no homogeneo se reduce

a encontrar una solucion particular del mismo y la solucion general del sistema homogeneo

asociado.

El metodo de variacion de las constantes consiste en obtener primero la solucion general

del sistema homogeneo en terminos de una matriz fundamental ϕ = Φ C donde C es un

vector de constantes indeterminadas y buscar a continuacion una solucion particular del

no homogeneo pero considerando las constantes como funciones que hay que determinar

ϕp = Φ C(x). Al derivar la expresion anterior y sustituir en el sistema se obtiene

Φ′ C(x) + Φ C ′(x) = A Φ C(x) + g(x).

Ya que Φ es una matriz fundamental del sistema homogeneo se tiene que Φ C ′(x) = g(x).

Como Φ es una matriz regular, C ′(x) = Φ−1 g(x). Integrando se obtiene C(x).

40

Page 41: ELEMENTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES …victorms/Elementos_de_Ecuaciones... · Ejercicios 1. Comprueba que las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales indicadas:

Ejercicios

1. Halla la solucion general del sistema homogeneo y′ = Ay en los siguientes casos:

a) A =

(1 −52 −1

).

b) A =

(1 2−2 5

).

c) A =

3 −1 1−1 5 −11 −1 3

.

d) A =

0 1 11 0 11 1 0

.

e) A =

1 1 12 1 −1−3 2 4

.

f ) A =

5 −3 −28 −5 −4−4 3 3

.

g) A =

0 0 −1 10 −1 0 00 0 1 0−1 1 −1 0

.

h) A =

−1 0 −2 0 10 1 0 1 00 0 1 0 00 −2 0 −1 00 0 0 0 −1

.

2. Resuelve el sistema homogeneo

y′1y′2y′3

=

0 1 00 2 −1−1 1 1

y1y2y3

con la condi-

cion inicial y(0) = (2, 3, 4).

3. Integra el sistema homogeneo

y′1y′2y′3

=

2a 1 −10 0 11 0 1

y1y2y3

para los distintos

valores del parametro a ∈ R.

4. Calcula eAx en los siguientes casos:

a) A =

(5 −62 −2

).

41

Page 42: ELEMENTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES …victorms/Elementos_de_Ecuaciones... · Ejercicios 1. Comprueba que las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales indicadas:

b) A =

(3 1−1 1

).

c) A =

1 −1 43 2 −12 1 −1

.

5. Resuelve los sistemas no homogeneos siguientes:

a)

(y′1y′2

)=

(−1 −2−2 −1

)(y1y2

)+

(senx+ cosxsenx− cosx

).

b)

(y′1y′2

)=

(−2 −4−1 1

)(y1y2

)+

(4x+ 1

32x2

).

c)

y′1y′2y′3

=

−6 −3 144 3 −8−2 −1 5

y1y2y3

+

e2x

00

.

6. Integra los sistemas no homogeneos siguientes con las condiciones iniciales indicadas:

a)

(y′1y′2

)=

(7 −122 −3

)(y1y2

)+

(senxcosx

), y(0) = (0, 0).

b)

(y′1y′2

)=

(4 2−1 7

)(y1y2

)+

(e5x

e5x

), y(0) = (0, 0).

c)

y′1y′2y′3

=

−2 −7 31 3 −1−1 −3 2

y1y2y3

+

x0x

, y(0) = (1, 1, 1).

d)

y′1y′2y′3

=

1 0 02 1 −23 2 1

y1y2y3

+

00

ex cos 2x

, y(0) = (0, 1, 1).

42

Page 43: ELEMENTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES …victorms/Elementos_de_Ecuaciones... · Ejercicios 1. Comprueba que las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales indicadas:

Tema 5

Transformada de Laplace y metodode series de potencias

5.1. Transformada de Laplace

5.1.1. Definicion y propiedades

Definicion 5.1.1. Dada una funcion f : [0,∞) −→ R, se define su transformada de

Laplace Lf(x) mediante la funcion

F (s) =

∫ ∞0

e−sxf(x) dx

siempre que la integral sea convergente, con s ∈ R.

Obtengamos ahora algunas condiciones suficientes para que exista la transformada de

Laplace de una funcion.

Definicion 5.1.2. Una funcion f(x) es de orden exponencial c si existen constantes

c,M > 0 tales que |f(x)| ≤Mecx para todo x ≥ x0.

Teorema 5.1.3. Si f(x) es una funcion continua a trozos en el intervalo [0, a] para todo

a > 0 y es de orden exponencial c, entonces F (s) existe para s > c.

Demostracion. Se tiene que

|F (s)| ≤∣∣∣∣∫ x0

0

e−sxf(x) dx

∣∣∣∣+M

∫ ∞x0

e(c−s)x dx.

La primera integral existe por la continuidad a trozos de f(x) en [0, x0] y la segunda es

finita para todo s > c. Por consiguiente,∫∞0e−sxf(x) dx es absolutamente convergente y,

por tanto, convergente para todo s > c.

43

Page 44: ELEMENTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES …victorms/Elementos_de_Ecuaciones... · Ejercicios 1. Comprueba que las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales indicadas:

Las condiciones anteriores no son necesarias. Basta considerar, por ejemplo, la funcion

f(x) =

x−1/2 si x > 00 si x = 0

y calcular su transformada de Laplace a traves del cambio de variable sx = t2, utilizando

que ∫ ∞0

e−t2

dt =

√π

2.

Para garantizar la existencia de la transformada se supone a partir de ahora que todas

las funciones consideradas verifican las condiciones del teorema anterior.

Proposicion 5.1.4. La transformada de Laplace verifica las siguientes propiedades:

1. Laf(x) + bg(x) = aLf(x)+ bLg(x).

2. Lf(kx) = 1kF(sk

)para todo k > 0.

Demostracion. Trivial.

5.1.2. La funcion de Heaviside y la delta de Dirac

Para modelar senales y en general funciones que pueden estar encendidas o apagadas

se usa la funcion de Heaviside o funcion salto, o funcion escalon unidad, ya que, al mul-

tiplicar una funcion de Heaviside por otra funcion, esta queda apagada hasta un valor

determinado, lo que permite expresar las funciones definidas a trozos.

Definicion 5.1.5. Se denomina funcion de Heaviside a la definida por

ua(x) =

0 si x < a1 si x ≥ a

Denotaremos a u0 simplemente por u.

Es facil comprobar que

Lua(x) =

e−as

ssi a > 0

1s

si a ≤ 0

definida para todo s > 0.

La delta de Dirac se utiliza para representar fuerzas externas de gran magnitud apli-

cadas durante un intervalo de tiempo muy breve, es decir, aplicadas en un instante. En

44

Page 45: ELEMENTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES …victorms/Elementos_de_Ecuaciones... · Ejercicios 1. Comprueba que las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales indicadas:

terminos matematicos se puede definir como el lımite puntual de una sucesion de funcio-

nes definidas en intervalos que contengan a un determinado punto a cuya longitud tiende

a 0, de manera que la integral de cada una de ellas vale 1. Este lımite no es una funcion

ya que la sucesion de funciones en cada punto distinto de a tiende a 0, mientras que en a

tiende a ∞.

Definicion 5.1.6. Se define la delta de Dirac δa con a ∈ R por

1. δa(x) = 0 si x 6= a.

2. δa(a) =∞.

3.∫ cbδa(x) dx = χ[b,c](a).

Denotaremos a δ0 simplemente por δ.

Para calcular la transformada de Laplace de δa(x) con a > 0, basta observar que

lımh→0+

1

hχ[a,a+h) = δa.

Calculando el lımite de la transformada de Laplace de estas funciones se obtiene que

Lδa(x) = e−as para todo s > 0.

5.1.3. Traslacion y periodicidad

Teorema 5.1.7. Si F (s) es la transformada de Laplace de una funcion f(x), entonces

1. Leaxf(x) = F (s− a).

2. Lf(x− a)ua(x) = e−asF (s) para todo a ≥ 0.

Demostracion. La primera igualdad es trivial y la segunda se prueba a traves del cambio

de variable x = t+ a.

Proposicion 5.1.8. Sea f(x) una funcion periodica de periodo T , continua a trozos en

(nT, (n + 1)T ), con n ≥ 0, y con lımites finitos en los extremos de dichos intervalos.

Entonces para s > 0 se tiene que

F (s) =1

1− e−Ts

∫ T

0

e−sxf(x) dx.

Demostracion. Basta hacer el cambio de variable t = x−nT en cada una de las integrales

de la expresion

F (s) =∞∑n=0

∫ (n+1)T

nT

e−sxf(x) dx.

45

Page 46: ELEMENTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES …victorms/Elementos_de_Ecuaciones... · Ejercicios 1. Comprueba que las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales indicadas:

5.1.4. Transformadas de derivadas e integrales

Proposicion 5.1.9. Si f(x) es derivable hasta el orden n y f(x) y sus derivadas son de

orden exponencial c, entonces

Lfn)(x) = snF (s)− sn−1f(0+)− sn−2f ′(0+)− · · · − fn−1)(0+)

para s > c.

Demostracion. Por induccion.

Tambien por induccion y derivando respecto a s se tiene el siguiente resultado:

Proposicion 5.1.10. Si F (s) es la transformada de Laplace de una funcion f(x) y F (s)

es derivable hasta el orden n, entonces

F n)(s) = (−1)nLxnf(x).

Para la transformada de una integral se prueba facilmente la siguiente expresion:

Proposicion 5.1.11. Si f(x) es continua a trozos y de orden exponencial c para x ≥ 0,

entonces∫ x0f(t) dt es de orden exponencial c para x ≥ 0, y para s > c se tiene

L

∫ x

0

f(t) dt

=F (s)

s.

Otro resultado sobre integracion es el siguiente:

Proposicion 5.1.12. Si F (s) es la transformada de Laplace de una funcion f(x) y existe

la transformada de la funcion f(x)x

, entonces∫ ∞s

F (t) dt = L

f(x)

x

.

Demostracion. Sean g(x) = f(x)x

y G(s) = Lg(x). Por la Proposicion 5.1.10 se tiene que

G′(s) = −F (s). Integrando entre s e ∞ y utilizando la demostracion del Teorema 5.1.3

se obtiene el resultado, ya que lıms→∞

G(s) = 0.

5.1.5. La convolucion

Definicion 5.1.13. Si f, g : [0,∞) −→ R son dos funciones continuas, se define su

convolucion f ∗ g mediante la funcion

(f ∗ g)(x) =

∫ x

0

f(x− t)g(t) dt.

46

Page 47: ELEMENTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES …victorms/Elementos_de_Ecuaciones... · Ejercicios 1. Comprueba que las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales indicadas:

Se comprueba facilmente que la convolucion verifica las propiedades conmutativa, aso-

ciativa y distributiva.

La relacion entre la convolucion y la transformada de Laplace viene dada por el resul-

tado siguiente:

Teorema 5.1.14. Dadas dos funciones f y g se tiene que

Lf(x)Lg(x) = L(f ∗ g)(x).

Demostracion. Se tiene que

Lf(x)Lg(x) =

∫ ∞0

∫ ∞0

e−s(t+u)f(t)g(u) dt du

=

∫ ∞0

∫ ∞u

e−sxf(x− u)g(u) dx du

=

∫ ∞0

∫ x

0

e−sxf(x− u)g(u) du dx

= L(f ∗ g)(x).

5.1.6. La transformada inversa

Para que la transformada de Laplace tenga utilidad es necesario poder hallar la inversa

de la misma, la cual sera tambien lineal. Su unicidad viene dada para funciones continuas

por el teorema siguiente:

Teorema 5.1.15 (Lerch). Si f : [0,∞) −→ R es una funcion continua a trozos y de

orden exponencial tal que F (s) = 0 para s ≥ s0, entonces f se anula salvo en los puntos

de discontinuidad.

Demostracion. Integrando por partes en F (s) con u = e(s0−s)x y dv = e−s0xf(x) dx se

obtiene para s ≥ s0

F (s) = (s− s0)∫ ∞0

e(s0−s)xg(x) dx

donde

g(x) =

∫ x

0

e−s0tf(t) dt

con x ≥ 0, que es una funcion continua. Ya que

F (s0 + n) = n

∫ ∞0

e−nxg(x) dx = 0

47

Page 48: ELEMENTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES …victorms/Elementos_de_Ecuaciones... · Ejercicios 1. Comprueba que las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales indicadas:

para todo n ∈ N, haciendo el cambio de variable u = e−x y definiendo la funcion φ como

φ(u) =

lımx→∞

g(x) si u = 0

g(− log u) si 0 < u ≤ 1

se tiene ∫ 1

0

φ(u)un−1 du = 0

para todo n ∈ N. Como φ es continua y la integral en [0, 1] del producto de φ por cualquier

polinomio se anula, se tiene que φ ≡ 0, de donde se deduce que g ≡ 0 y, por tanto, que f

se anula salvo en los puntos de discontinuidad.

Basicamente, calcularemos transformadas inversas de funciones racionales, y lo hare-

mos a traves de su descomposicion en fracciones simples.

5.1.7. Aplicaciones

Los pasos para resolver ecuaciones diferenciales lineales mediante la transformada de

Laplace son los siguientes:

1. Aplicar la transformada de Laplace a los dos miembros de la ecuacion.

2. Resolver el problema algebraico despejando la transformada de la funcion solucion

de la ecuacion.

3. Calcular la transformada inversa de la funcion obtenida.

Para sistemas de ecuaciones diferenciales lineales el procedimiento es analogo.

Cuando se conocen las condiciones iniciales, no es necesario obtener primero la solucion

general y a partir de ella la particular que verifica dichas condiciones, ya que se incorporan

de forma automatica en la solucion.

Ejercicios

1. Calcula la transformada de Laplace de una funcion constante, de las funciones tri-

gonometricas sen ax y cos ax y de la funcion exponencial eax, con a > 0.

2. Demuestra que

Lxn =n!

sn+1

para todo n ∈ N ∪ 0.

48

Page 49: ELEMENTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES …victorms/Elementos_de_Ecuaciones... · Ejercicios 1. Comprueba que las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales indicadas:

3. Calcula la transformada de Laplace de la funcion [x] (parte entera de x).

4. Expresa mediante la funcion de Heaviside y calcula la transformada de Laplace de

la funcion

f(x) =

0 si 0 ≤ x < 12x− 3 si x ≥ 1

5. Calcula la transformada de Laplace de las funciones siguientes:

a) f(x) = ex sen2 2x.

b) g(x) = e3x cos 3x cos 4x.

c) h(x) =∫ x0

(x− t)2 cos 2t dt.

d) u(x) =

1 si 0 ≤ x < 10 si 1 ≤ x < 21 si 2 ≤ x < 30 si x ≥ 3

6. Sabiendo que Lexf(x) = 1s2−2s+2

, calcula Le3xf(x)

x

y Lxf(x).

7. Halla la funcion f(x) cuya transformada de Laplace es

F (s) =s+ 2

s2 + 2s+ 5.

8. Calcula la transformada inversa de

F (s) =s2 + s+ 1

(s2 + a2)2

con a ∈ R.

9. Resuelve los siguientes problemas de valor inicial utilizando la transformada de

Laplace:

a)

y′′ − y′ − 2y = 0y(0) = 1y′(0) = 0

b)

y′′ + 3y′ + 2y = χ[0,1)(x)y(0) = y′(0) = 0

c)

y′′ + 2y = δ(x− 2π)y(0) = 1y′(0) = 0

d)

y′′′ − y′′ = 0y(0) = 1y′(0) = 3y′′(0) = 2

49

Page 50: ELEMENTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES …victorms/Elementos_de_Ecuaciones... · Ejercicios 1. Comprueba que las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales indicadas:

e)

2y′1 + y′2 − y2 = xy′1 + y′2 = x2

y1(0) = 1y2(0) = 0

f )

(y′1y′2

)=

(−7 1−2 −5

)(y1y2

)+

(5−37x

), y(0) = (0, 0).

g)

y′1 + 2y′2 + y1 + y2 + y3 = 0y′1 + y′2 + y1 + y3 = 0y′3 − 2y′2 − y2 = 0y1(0) = y2(0) = 1y3(0) = −2

h)

y′′1 + y1 − y2 = 0y′′2 + y2 − y1 = 0y1(0) = y2(0) = 0y′1(0) = −2y′2(0) = 1

i)

xy′′ + (3x− 1)y′ − (4x+ 9)y = 0y(0) = y′(0) = 0

j )

xy′′ − 4y′ − xy = −6xex

y(0) = y′(0) = 0

10. Calcula la solucion particular de la ecuacion diferencial xy′′ + 2y′ + xy = senx que

verifica y(0) = 0.

11. Resuelve la ecuacion integral f(x) = 3 senx+ 2∫ x0

cos(x− t)f(t) dt.

5.2. Metodo de series de potencias

En esta seccion vamos a desarrollar un metodo de resolucion de ecuaciones diferenciales

lineales de segundo orden que consiste en buscar soluciones linealmente independientes

expresadas mediante una serie de potencias.

5.2.1. Soluciones en torno a puntos ordinarios

Definicion 5.2.1. Se dice que x0 es un punto ordinario de la ecuacion diferencial

lineal

y′′ + f(x)y′ + g(x)y = 0

si f y g son funciones analıticas en un entorno de x0, es decir, cada una se puede expresar

como un desarrollo en serie de potencias que converge en un entorno de dicho punto.

50

Page 51: ELEMENTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES …victorms/Elementos_de_Ecuaciones... · Ejercicios 1. Comprueba que las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales indicadas:

Estudiemos en primer lugar la ecuacion de Legendre

(1− x2)y′′ − 2xy′ + p(p+ 1)y = 0

siendo p constante.

Las funciones f(x) = − 2x1−x2 y g(x) = p(p+1)

1−x2 son analıticas en el origen que es, por

tanto, un punto ordinario. Se trata de encontrar una serie de potencias de la forma

y =∞∑n=0

anxn

convergente en un intervalo (−r, r). Sustituyendo en la ecuacion se obtiene que

an+2 =(n− p)(n+ p+ 1)

(n+ 1)(n+ 2)an

lo que permite calcular los terminos pares de la serie en funcion de a0 y los impares en

funcion de a1. Se consideran entonces las siguientes funciones:

y1 = 1 +∞∑n=1

(−1)np(p− 2) · · · (p− 2n+ 2)(p+ 1)(p+ 3) · · · (p+ 2n− 1)

(2n)!x2n

e

y2 = x+∞∑n=1

(−1)n(p− 1)(p− 3) · · · (p− 2n+ 1)(p+ 2)(p+ 4) · · · (p+ 2n)

(2n+ 1)!x2n+1.

Se puede probar por el criterio del cociente que estas series son convergentes para |x| < 1.

Ademas, y1 e y2 son soluciones linealmente independientes de la ecuacion ya que satisfacen

las condiciones iniciales y1(0) = 1, y′1(0) = 0, y2(0) = 0 e y′2(0) = 1, respectivamente. Por

tanto, la solucion general de la ecuacion de Legendre en (−1, 1) esta expresada por

C1y1 + C2y2.

Los polinomios obtenidos para valores del parametro p naturales pares o impares se de-

nominan polinomios de Legendre y tienen importantes aplicaciones practicas.

En general, siguiendo los mismos pasos que se han utilizado para encontrar la solucion

de la ecuacion de Legendre, se puede probar el resultado siguiente:

Teorema 5.2.2. Si x0 es un punto ordinario de la ecuacion diferencial lineal

y′′ + f(x)y′ + g(x)y = 0,

entonces la solucion general es

y =∞∑n=0

an(x− x0)n = C1y1 + C2y2

51

Page 52: ELEMENTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES …victorms/Elementos_de_Ecuaciones... · Ejercicios 1. Comprueba que las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales indicadas:

donde y1 e y2 son soluciones de la ecuacion, analıticas en el mismo entorno de x0 que f

y g. Ademas, existe una unica solucion de la ecuacion en serie de potencias que verifica

que a0 = C1 y a1 = C2, y el resto de los coeficientes se determinan en funcion de a0 y

a1. El radio de convergencia de los desarrollos en serie de y1 e y2 es mayor o igual que el

mınimo de los de las funciones f y g.

5.2.2. Soluciones en torno a puntos singulares

Definicion 5.2.3. Se dice que x0 es un punto singular regular de una ecuacion dife-

rencial lineal de segundo orden si no es ordinario y dicha ecuacion se puede expresar de

la forma

(x− x0)2y′′ + (x− x0)f(x)y′ + g(x)y = 0

siendo f y g funciones analıticas en un entorno de x0.

Si no se verifica esta ultima condicion, se dice que es un punto singular irregular.

Empecemos estudiando la ecuacion de Bessel

x2y′′ + xy′ + (x2 − p2)y = 0

siendo p ≥ 0 constante, para la que el origen es un punto singular regular. Lo haremos a

traves de la teorıa de Frobenius:

Definicion 5.2.4. Se denomina serie de Frobenius o serie de potencias genera-

lizada en un punto x0 a una serie de la forma

|x− x0|t∞∑n=0

an(x− x0)n

con t ∈ R y a0 6= 0, siendo la serie de potencias convergente en un entorno de x0.

La ecuacion de ındices en un punto singular regular x0 es la ecuacion en la varia-

ble t que se obtiene al sustituir en la ecuacion diferencial la incognita por una serie de

Frobenius e igualar a 0 el termino independiente de la expresion que se obtiene dividida

por (x− x0)t.

Las raıces de la ecuacion de ındices son los unicos valores de t que permiten encontrar

soluciones, expresadas mediante series de Frobenius, en un punto singular regular de una

ecuacion diferencial.

En la ecuacion de Bessel vamos a buscar, por tanto, soluciones de la forma

y = |x|t∞∑n=0

anxn

52

Page 53: ELEMENTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES …victorms/Elementos_de_Ecuaciones... · Ejercicios 1. Comprueba que las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales indicadas:

con x ∈ (−r, r) \ 0. Suponiendo primero que x > 0 y sustituyendo en la ecuacion se

obtiene la ecuacion de ındices t2− p2 = 0 que tiene por raıces a ±p. Para t = p se obtiene

a1 = 0 y

an = − an−2n(n+ 2p)

luego consideramos la funcion

y = a0xp

(1 +

∞∑n=1

(−1)nx2n

22nn!(1 + p)(2 + p) · · · (n+ p)

).

Aplicando el criterio del cociente se comprueba que esta serie es convergente. Si se supone

ahora que x < 0, se obtiene la funcion

y = a0(−x)p

(1 +

∞∑n=1

(−1)nx2n

22nn!(1 + p)(2 + p) · · · (n+ p)

).

Por tanto, una solucion de la ecuacion de Bessel para x 6= 0 es

y1 = a0|x|p(

1 +∞∑n=1

(−1)nx2n

22nn!(1 + p)(2 + p) · · · (n+ p)

).

Para t = −p, si 2p 6∈ N, se obtiene la solucion

y2 = a0|x|−p(

1 +∞∑n=1

(−1)nx2n

22nn!(1− p)(2− p) · · · (n− p)

).

Se puede demostrar que y1 e y2 son linealmente independientes y que, por tanto, si 2p 6∈ N,

la solucion general de la ecuacion de Bessel es de la forma

C1y1 + C2y2.

En general, siguiendo los mismos pasos que se han utilizado para encontrar la solucion

de la ecuacion de Bessel, se puede probar el resultado siguiente:

Teorema 5.2.5. Dada la ecuacion diferencial

x2y′′ + xf(x)y′ + g(x)y = 0

siendo f y g funciones analıticas en un intervalo (−r, r), si la ecuacion de ındices tiene

dos raıces reales t1 > t2, entonces la ecuacion tiene al menos una solucion no nula de la

forma

y1 = |x|t1∞∑n=0

anxn

53

Page 54: ELEMENTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES …victorms/Elementos_de_Ecuaciones... · Ejercicios 1. Comprueba que las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales indicadas:

con x ∈ (−r, r) \ 0. Ademas, si t1 − t2 6∈ N, entonces la ecuacion tiene otra solucion

linealmente independiente de la anterior de la forma

y2 = |x|t2∞∑n=0

bnxn

con x ∈ (−r, r) \ 0.

Ejercicios

1. Encuentra la solucion general de la ecuacion diferencial y′′ + xy′ + y = 0 expresada

en series de potencias.

2. Halla una solucion de la ecuacion diferencial (1− x2)y′′ + 2y = 0 expresada en serie

de potencias.

3. Resuelve mediante series de potencias la ecuacion de Airy

y′′ − xy = 0.

4. Encuentra la solucion general de la ecuacion de Hermite

y′′ − 2xy′ + 2py = 0

con p constante, expresada en series de potencias.

5. Dada la ecuacion de Chebyshev

(1− x2)y′′ − xy′ + p2y = 0

con p constante,

a) Halla dos soluciones en serie de potencias linealmente independientes validas

en un intervalo (−r, r).b) Demuestra que si p es un numero entero no negativo, entonces la solucion de

la ecuacion es un polinomio de grado p.

6. Comprueba que el origen es un punto singular regular de la ecuacion diferencial

2x2y′′ + x(2x+ 1)y′ − y = 0 y resuelvela en un entorno suyo.

7. Dada la ecuacion de Laguerre

xy′′ + (1− x)y′ + py = 0

con p constante,

a) Demuestra que el origen es un punto singular regular.

b) Determina una solucion para x > 0.

c) Prueba que si p ∈ N, la solucion encontrada se reduce a un polinomio.

54

Page 55: ELEMENTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES …victorms/Elementos_de_Ecuaciones... · Ejercicios 1. Comprueba que las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales indicadas:

Tema 6

Teorıa cualitativa de ecuacionesdiferenciales

6.1. Conceptos

Definicion 6.1.1. Se dice que el sistema de ecuaciones diferenciales 4.1 es un sistema

autonomo si la funcion F no depende de x.

Si un sistema no es autonomo se puede convertir en uno autonomo sin mas que anadir

la variable x y la ecuacion x′ = 1.

Supondremos que la funcion F es lo suficientemente regular como para garantizar la

existencia y unicidad de las soluciones.

Definicion 6.1.2. Se denomina espacio de estados de un sistema autonomo al sub-

conjunto Ω de Rn en el que existen soluciones del sistema, es decir, y0 ∈ Ω si y solo si

existe una solucion y del sistema tal que y(x0) = y0 para cierto x0.

Definicion 6.1.3. Dada una solucion particular y de un sistema autonomo, se denomina

orbita o trayectoria al subconjunto de Rn dado por los puntos (y1, y2, . . . , yn).

Definicion 6.1.4. Se denomina diagrama de fases de un sistema autonomo al con-

junto de todas las trayectorias de las soluciones del sistema.

Si el sistema es de dimension dos, en el plano (y1, y2) se pueden dibujar un numero

suficiente de trayectorias como para tener una idea de conjunto del comportamiento de

todas las del sistema. Sobre dichas trayectorias se dibuja una flecha que indica el sentido

de la variacion de y1 e y2 al crecer x, lo que proporciona una imagen dinamica de su

recorrido, y con ello se obtiene una descripcion cualitativa del comportamiento de las

soluciones.

55

Page 56: ELEMENTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES …victorms/Elementos_de_Ecuaciones... · Ejercicios 1. Comprueba que las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales indicadas:

Las trayectorias de dos soluciones distintas o bien no tienen ningun punto en comun,

o bien coinciden. Tampoco puede ocurrir que una trayectoria se corte a sı misma:

Proposicion 6.1.5. Sea y una solucion de un sistema autonomo. Si y(x1) = y(x2) con

x1 6= x2, entonces o bien y es una funcion constante, o bien es una funcion periodica y

su trayectoria es una curva cerrada simple.

Definicion 6.1.6. Un atractor de un sistema autonomo es un conjunto cerrado y aco-

tado hacia el cual se aproxima, cuando x tiende a ∞, la trayectoria de las soluciones.

Definicion 6.1.7. Una solucion estacionaria de un sistema autonomo es una solucion

constante. Su trayectoria es un punto de Rn que se denomina punto fijo, punto crıtico,

punto de equilibrio o punto estacionario del sistema.

Un punto y0 ∈ Rn es un punto crıtico del sistema autonomo y′ = F (y) si F (y0) = 0.

En caso contrario se dice que y0 es un punto regular.

Teorema 6.1.8. Dado un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden

con coeficientes constantes homogeneo, el origen es el unico punto crıtico si y solo si 0 no

es un autovalor de la matriz de coeficientes.

Demostracion. Trivial.

Definicion 6.1.9. Dado un punto crıtico y0 de un sistema autonomo:

1. y0 es un nodo estable si para cada ε > 0 existe δ > 0 tal que si y es una solucion

del sistema verificando ‖y(x0) − y0‖ < δ para cierto x0, entonces ‖y(x) − y0‖ < ε

para todo x > x0.

2. y0 es un nodo asintoticamente estable si es estable y existe δ > 0 tal que si y

es una solucion del sistema verificando ‖y(x0) − y0‖ < δ para cierto x0, entonces

lımx→∞

y(x) = y0.

3. y0 es un nodo inestable o repulsor si no es estable.

6.2. Sistemas lineales planos

En un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden con coeficientes

constantes homogeneo, el origen es un punto crıtico. Supongamos que el unico. Una vez

calculados los autovalores de la matriz de coeficientes, λ1 y λ2, se pueden dar los siguientes

casos:

56

Page 57: ELEMENTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES …victorms/Elementos_de_Ecuaciones... · Ejercicios 1. Comprueba que las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales indicadas:

1. Si λ1, λ2 ∈ R, λ1 6= λ2 y v1 y v2 son sus respectivos autovectores, entonces la solucion

general es de la forma y = C1v1eλ1x + C2v2e

λ2x. Por tanto:

a) Si λ1 < λ2 < 0, las trayectorias se aproximan al origen cuando x tiende a ∞,

luego el origen es un nodo asintoticamente estable y un atractor.

b) Si 0 < λ1 < λ2, entonces lımx→∞‖y(x)‖ = ∞, luego las trayectorias se alejan del

origen, siendo este un nodo inestable.

c) Si λ1 < 0 < λ2, entonces las trayectorias que tengan su valor inicial sobre la

recta de vector de direccion v1 se aproximan al origen cuando x tiende a ∞,

pero a las restantes les sucede lo mismo que en el caso anterior. En situaciones

ası se dice que el origen es un punto de silla, y es un nodo inestable.

2. Si λ1 = λ2, entonces se dice que el origen es un nodo degenerado. Pueden darse

varios casos, como que todo vector sea autovector, y entonces o bien todas las

trayectorias son rectas que se aproximan al origen (atractor), o bien todas son rectas

que se alejan del origen (repulsor), dependiendo del signo negativo o positivo del

autovalor, respectivamente. Se dice entonces que el origen es una solucion estrella.

Pero pueden darse otros diagramas de fases distintos donde el origen sea un nodo

asintoticamente estable o un nodo inestable, dependiendo de nuevo del signo del

autovalor.

3. Si λ1 = α+βi y λ2 = α−βi, entonces la solucion general del sistema es de la forma

y = eαx(v cos βx+ w sen βx). Por tanto:

a) Si α < 0, entonces las trayectorias se acercan al origen. Ahora son espirales y

el origen es un nodo asintoticamente estable y un atractor.

b) Si α > 0, entonces se invierte la situacion del caso anterior y las trayectorias

se alejan del origen en espiral, siendo este un nodo inestable.

c) Si α = 0, entonces las soluciones son periodicas de periodo 2πβ

y las trayectorias

son elıpticas. En este caso se dice que el origen es un centro, lo que constituye

un ejemplo de un nodo estable que no es asintoticamente estable.

Ejercicios

1. Determina la solucion general, clasifica el origen como punto crıtico y dibuja el

diagrama de fases en el sistema lineal plano y′ = Ay en los siguientes casos:

a) A =

(−4 13 −2

).

b) A =

(−1 13 1

).

57

Page 58: ELEMENTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES …victorms/Elementos_de_Ecuaciones... · Ejercicios 1. Comprueba que las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales indicadas:

c) A =

(−4 00 −4

).

d) A =

(1 5−1 −3

).

e) A =

(1 1−9 3

).

2. Clasifica el origen como punto crıtico en el sistema lineal plano(y′1y′2

)=

(−2 a−1 −2

)(y1y2

)segun los valores del parametro a ∈ R.

58

Page 59: ELEMENTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES …victorms/Elementos_de_Ecuaciones... · Ejercicios 1. Comprueba que las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales indicadas:

Tema 7

Resolucion numerica de ecuacionesdiferenciales

Consideremos el problema de valor inicialy′ = f(x, y)y(x0) = y0

con x ∈ [x0, b], para el que supondremos existencia y unicidad de solucion. Una vez

dividido el intervalo en n partes iguales por los puntos x0 < x1 < x2 < · · · < xn = b, el

objetivo es encontrar un conjunto de valores yk : 1 ≤ k ≤ n que se aproximen a los

valores que toma la solucion en el conjunto xk : 1 ≤ k ≤ n, es decir, yk ' y(xk), con

1 ≤ k ≤ n. Ese conjunto se denomina solucion numerica del problema de valor inicial.

Los metodos que se van a estudiar a continuacion se caracterizan por obtenerse yk+1

a partir de yk.

7.1. Metodo de Euler

En el metodo de Euler o metodo de las poligonales de Euler se aproxima la

solucion del problema de valor inicial mediante la tangente a dicha solucion. Se toma como

valor y1 el que toma en x1 la recta que pasa por (x0, y0) y tiene como pendiente f(x0, y0):

y1 = y0 + hf(x0, y0)

siendo h = b−x0n

. A continuacion se repite el proceso desde el punto (x1, y1), aproximando

la solucion por la recta tangente que pasa por dicho punto. Por tanto, la expresion general

del metodo de Euler resulta:

yk+1 = yk + hf(xk, yk)

59

Page 60: ELEMENTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES …victorms/Elementos_de_Ecuaciones... · Ejercicios 1. Comprueba que las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales indicadas:

con 0 ≤ k ≤ n− 1. La solucion numerica resultante aparece como una poligonal formada

por segmentos de rectas tangentes.

Ejercicios

1. Dado el problema de valor inicial y′ = y2 + xy(1) = 0

aplica el metodo de Euler para calcular un valor aproximado de y(1,5), siendo el

tamano de paso utilizado h = 0,1.

2. Para el problema de valor inicialy′ = 4y + 1− xy(0) = 1

calcula un valor aproximado de y(1), siendo el tamano de paso h = 0,05. Halla el

error cometido.

7.2. Metodo de Runge-Kutta

La formula del metodo de Runge-Kutta incluye un promedio ponderado de valores

de f en diferentes puntos del intervalo [xk, xk+1] con 0 ≤ k ≤ n− 1. Esta dada por

yk+1 = yk +h

6(ak1 + 2ak2 + 2ak3 + ak4)

con 0 ≤ k ≤ n− 1, siendo

ak1 = f(xk, yk)

ak2 = f(xk + h

2, yk + h

2ak1)

ak3 = f(xk + h

2, yk + h

2ak2)

ak4 = f(xk+1, yk + hak3)

Ejercicios

1. Resuelve los ejercicios de la seccion anterior aplicando el metodo de Runge-Kutta y

compara los resultados obtenidos con ambos metodos. ¿Cual es mas eficiente?

2. Calcula aproximadamente el valor del numero e utilizando el metodo de Runge-

Kutta.

60

Page 61: ELEMENTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES …victorms/Elementos_de_Ecuaciones... · Ejercicios 1. Comprueba que las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales indicadas:

Apendice

Teoremas de existencia y unicidad

Teorema (Picard). Sean f : [a, b] × [c, d] −→ R continua y (x0, y0) ∈ [a, b] × [c, d].

Supongamos que f es lipschitziana respecto de la segunda variable, es decir, existe L > 0

tal que

|f(x, y1)− f(x, y2)| ≤ L|y1 − y2|

para cualesquiera (x, y1), (x, y2) ∈ [a, b] × [c, d]. Entonces existen un intervalo I ⊂ [a, b]

centrado en x0 y una unica funcion y : I −→ R con derivada continua que satisface la

igualdad

y′(x) = f(x, y(x))

para todo x ∈ I y la condicion inicial

y(x0) = y0.

Teorema. Se considera el problema de valor inicialyn) + a1(x)yn−1) + · · ·+ an−1(x)y′ + an(x)y = g(x)y(x0) = y0y′(x0) = y10· · ·yn−1)(x0) = yn−10

con x ∈ [a, b], siendo continuas las funciones ai(x), 1 ≤ i ≤ n, y g(x). Entonces dicho

problema tiene una unica solucion.

Teorema. Sean A(x) una funcion matricial cuadrada de orden n, g(x) una funcion vec-

torial, ambas continuas en un intervalo [a, b], e

y′ = A(x)y + g(x)

61

Page 62: ELEMENTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES …victorms/Elementos_de_Ecuaciones... · Ejercicios 1. Comprueba que las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales indicadas:

un sistema de ecuaciones diferenciales lineales de primer orden. Si se impone la condicion

inicial

y(x0) = (y1(x0), y2(x0), . . . , yn(x0)) = (y01, y02, . . . , y0n)

entonces existe una unica funcion vectorial que es solucion del sistema y verifica dicha

condicion inicial.

62

Page 63: ELEMENTOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES …victorms/Elementos_de_Ecuaciones... · Ejercicios 1. Comprueba que las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales indicadas:

Bibliografıa

[BDL] J.C. Bellido, A. Donoso y S. Lajara, Ecuaciones diferenciales ordinarias, Para-

ninfo (2014).

[BD] W.E. Boyce y R.C. DiPrima, Ecuaciones diferenciales y problemas con valores

en la frontera, Limusa Wiley (2010).

[D] B. Demidovich, Problemas y ejercicios de analisis matematico, Paraninfo (1985).

[FVV] C. Fernandez, F.J. Vazquez y J.M. Vegas, Ecuaciones diferenciales y en dife-

rencias, Thomson (2003).

[KKM] A. Kiseliov, M. Krasnov y G. Makarenko, Problemas de ecuaciones diferenciales

ordinarias, Mir (1988).

[L] M. Lopez, Problemas Resueltos de Ecuaciones Diferenciales, Thomson (2007).

[MSMG] M. Molero, A. Salvador, M.T. Menarguez y L. Garmendia, Analisis matematico

para Ingenierıa, Pearson Prentice Hall (2007).

[Z] D.G. Zill, Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones de modelado, Cengage Lear-

ning (2009).

63