Elementos de Elasticidad

27.- Elementos de elasticidad.

§27.1. Introducción (819); §27.2. Esfuerzo normal (820); §27.3. Deformación unitarialongitudinal (821); §27.4. Deformaciones elásticas. Ley de Hooke (823); §27.5. Elasticidadpor tracción o compresión. Módulo de Young (825); §27.6. Deformación transversal.Coeficiente de Poisson (827); §27.7. Isotropía y anisotropía (828); §27.8. Deformacióndebida a tres esfuerzos ortogonales (829); §27.9. Compresión uniforme. Módulo decompresibilidad (832); §27.10. Esfuerzo cortante (834); §27.11. Cizalladura. Módulo derigidez (835); §27.12. Constantes elásticas y coeficientes de Lamé (839); §27.13. Torsiónde tubos y barras (841); §27.14. Determinación del módulo de rigidez (843); Problemas(845)

§27.1. Introducción.- Los cuerpos rígidos representan tan sólo una idealizaciónútil de los cuerpos reales, que se deforman, en mayor o menor grado, bajo lainfluencia de las fuerzas aplicadas. Ya hemos estudiado las condiciones de equilibrioconcernientes al sólido rígido (§20.4); en tanto que esas ecuaciones sean satisfechas,el sólido rígido permanecerá en equilibrio. Así, cuando aplicamos cualquier sistemade fuerzas equivalente a cero sobre un sólido rígido ideal no se produce cambioalguno. Sin embargo, la aplicación de un tal sistema de fuerzas sobre un cuerpo realproduce cambios en su forma y/o su volumen, e incluso su ruptura.

El conocimiento de las deformaciones que experimentan los cuerpos reales bajola influencia de las fuerzas aplicadas es de la mayor importancia en los proyectos deestructuras de todo tipo; es necesario prever como se estirarán, flexionarán oretorcerán cada uno de los elementos de la estructura bajo la acción de las cargas queésta deberá soportar y si los esfuerzos pudieran ocasionar la ruptura de algúnelemento estructural. Para llevar a cabo tal estudio no son suficientes las leyes de laMecánica que hemos establecido en las lecciones anteriores; se requiere unaexperimentación adicional que nos permita formular nuevas leyes referentes alcomportamiento de los cuerpos reales bajo la acción de las fuerzas.

La Teoría de la Elasticidad estudia las relaciones existentes entre las fuerzas queactúan sobre los cuerpos y las deformaciones correspondientes. Cada materialconstituyente de los cuerpos reales presenta propiedades características que varían deunos a otros. La Teoría de la Elasticidad se interesa principalmente por el comporta-miento de aquellos materiales que poseen la propiedad de recuperar su forma ydimensiones primitivas cuando cesa la acción de la fuerza deformadora. Dichosmateriales son denominados materiales elásticos. Encontramos estas propiedadeselásticas, al menos en pequeño grado, en todos los materiales sólidos.

Manuel R. Ortega Girón 819

820 Lec. 27.- Elementos de elasticidad.

El problema fundamental de la Teoría de la Elasticidad es determinar el estadode tensión y de deformación en el interior de un cuerpo cuando:

a) su superficie está sometida a una determinada distribución de fuerzasexteriores,

b) su superficie está deformada de una forma conocida.

El análisis a fondo de este problema nos llevaría a tratar muy diversos aspectosdel mismo: el comportamiento de los materiales, los mecanismos atómicos quedeterminan las propiedades elásticas de los materiales, las leyes de la elasticidad y,finalmente, las limitaciones de dichas leyes cuando las fuerzas son suficientementegrandes para que se presenten las deformaciones plásticas y la ruptura.

En esta lección nos proponemos simplemente establecer un contacto con lasleyes fundamentales de la elasticidad, sin abordar la explicación atómico-moleculardel comportamiento observado. En último término, el cambio de forma o dedimensiones que experimenta un cuerpo bajo la acción de las fuerzas exteriores estádeterminado por las fuerzas existentes entre sus átomos o moléculas (fuerzaselectromagnéticas). En esta lección, nos limitaremos a considerar magnitudes que sondirectamente medibles, fuerzas aplicadas y deformaciones, y estableceremos lasrelaciones existentes entre ellas.

§27.2. Esfuerzo normal.- Consideremos una barra material de sección recta

Figura 27.1

uniforme; sea S el área de dicha sección. Supongamos que aplicamos fuerzas detracción Fl, iguales y opuestas, en los extremos de la barra y en la direcciónlongitudinal de la misma; se dice que la barra está sometida a tensión longitudinal.Elijamos una sección recta cualquiera a lo largo de la barra (Figura 27.1). Puesto quecualquier porción de la barra se encuentra en equilibrio, la parte de la barra situadaa la derecha de dicha sección debe tirar de la parte situada a la izquierda con unafuerza Fl, y viceversa. Si la sección recta que estamos considerando no se encuentrademasiado próxima a los extremos de la barra, estas tracciones Fl, estaránuniformemente distribuidas sobre toda el área S. Se define el esfuerzo en la secciónrecta S de la barra como la razón de la fuerza Fl al área S; lo designamos por σl

[27.1]σl

Fl

S

y lo denominamos esfuerzo tensor, puesto que cada parte a un lado de la secciónrecta considerada tira de la otra.

§27.2.- Esfuerzo normal. 821

Análogamente, podemos suponer una barra sometida a fuerzas de compresión ensus extremos (Figura 27.2); esto es, una barra sometida a compresión longitudinal.Entonces podemos hablar del esfuerzo compresor en cada sección recta de la barra,que estará definido también por la expresión [27.1], ya que cada parte de la barrasituada a un lado de la sección recta considerada empuja o comprime a la otra parte.

Las unidades del esfuerzo son las de una fuerza por unidad de área; así, se

Figura 27.2

expresará en newtons por metro cuadrado (N/m2), dinas por centímetro cuadrado(dyn/cm2) y kilogramos por metro cuadrado (kg/m2), en los sistemas de unidades mks(SI), cgs y técnico, respectivamente. Obsérvese que el esfuerzo es dimensionalmenteequivalente a una presión; sin embargo, no se recomienda utilizar para el esfuerzounidades de presión tales como el pascal (Pa), la atmósfera (atm), la atmósfera-técnica (kg/cm2), el bar (b), ...

Obsérvese que aun cuando no hemos asignado una dirección específica1 a losesfuerzos tensores o compresores, las fuerzas distribuidas sobre las secciones rectasde la barra, en la que hemos definido dichos esfuerzos, son perpendiculares a esassecciones rectas. Por eso, los designaremos como esfuerzos normales.

§27.3. Deformación unitaria longitudinal.- Volvamos al ejemplo de laFigura 27.1. Sea l la longitud original de la barra. Cuando aplicamos las fuerzas detracción Fl en los extremos de la barra, ésta experimenta un alargamiento Δl.Definiremos la deformación unitaria longitudinal como el cociente entre elalargamiento y la longitud original de la barra; designándolo por l, tenemos

[27.2]l

Δll

que es adimensional por ser el cociente entre dos longitudes. Normalmente, l es unacantidad muy pequeña ( l 1). Para comprender que es así, tengamos en cuenta quemuchos materiales, como la madera, el vidrio, el acero, ..., se rompen cuando ladeformación es superior a un pequeño tanto por ciento de la longitud original.Obviamente, la definición [27.2] seguirá siendo válida para un esfuerzo compresor alo largo de la barra; en este caso, tanto Δl como l serán negativos.

1 El esfuerzo, a diferencia de la fuerza, no es una magnitud vectorial; pertenece a una categoríade magnitudes físicas llamadas tensores.


Designemos como eje x la dirección longitudinal de la barra y sea ξ la

Figura 27.3

elongación de un punto de la barra cuando se aplica un esfuerzo tensor (ocompresor), como se ilustra en la Figura 27.3. Obviamente, el alargamiento de la barraen la dirección x ocurrirá si el desplazamiento ξ no es uniforme, sino que aumentaconforme nos desplazamos de izquierda a derecha. En general, el desplazamiento ξque experimenta cada punto de la barra será función de su posición; ξ = ξ(x). Ladeformación unitaria longitudinal l para el elemento sombreado en la Figura 27.3 será

[27.3]l

ΔξΔx

donde Δξ representa el alargamiento experimentado por el elemento de barra delongitud Δx. Pasando al límite tenemos

[27.4]l lím

Δx→0

ΔξΔx

dξdx

i.e., la deformación unitaria longitudinal en un punto de la barra.Aunque para una barra uniforme y homogénea la deformación unitaria longitudinal l es

independiente de la posición x, la definición [27.4] seguirá siendo válida cuando la deformaciónunitaria longitudinal varíe con la posición a lo largo de la barra.

Notación.- Los esfuerzos tensores y las

Figura 27.4

deformaciones asociadas a ellos son positi-vos; por el contrario, los esfuerzos com-presores y sus deformaciones asociadas seconsideran negativos. Con este conveniode signos, las expresiones anteriores, asícomo las que seguirán en esta lección,tienen validez para uno u otro tipo de es-fuerzos. En la Figura 27.4 justificamos esteconvenio de signos atendiendo a la direc-ción de la fuerza asociada al esfuerzo y ala orientación de la superficie sobre la queactúa.

§27.4.- Deformaciones elásticas. Ley de Hooke. 823

§27.4. Deformaciones elásticas. Ley de Hooke.- Cuando sometemos uncuerpo a la acción de un sistema de fuerzas exteriores, sus partículas se desplazanligeramente hasta que se establece un equilibrio entre las fuerzas interiores (a nivelatómico-molecular) y las fuerzas aplicadas exteriormente. El cuerpo se deforma ymantendrá la deformación en tanto que sigan actuando las fuerzas exteriores. Si laintensidad de las fuerzas exteriores va disminuyendo gradualmente, las fuerzasinteriores tenderán a restituir las posiciones iniciales de las partículas y el cuerpopuede recuperar su forma y volumen originales.

Si cuando cesa la acción de las fuerzas que originaron la deformación, el cuerporecupera su forma y volumen primitivos, se dice que ha experimentado unadeformación elástica. Pero si la deformación persiste, al menos en parte, se dice queha experimentado una deformación plástica. La deformación será elástica o plásticadependiendo de la naturaleza del cuerpo y del grado de deformación al que haya sidosometido. Si las propiedades de recuperación se mantienen en una gran amplitud deacciones deformantes, se dice que el cuerpo es elástico; si predominan lasdeformaciones permanentes, el cuerpo se considera como plástico. Así, el acero y elcaucho son considerados materiales elásticos; pero el plomo y la cera son considera-dos materiales plásticos.

Para estudiar las propiedades elásticas de los materiales debemos

Figura 27.5

recurrir a la experimentación. Un modo sencillo de proceder consiste enaplicar fuerzas tensoras conocidas en los extremos de una varilla oalambre (probeta), fabricada con el material que se desea ensayar, ymedir las deformaciones longitudinales que se producen. Mediante uníndice y una escala, como se muestra en la Figura 27.5, podemos medirlos cambios de longitud que experimenta la probeta, y relacionarlos conlos esfuerzos tensores correspondientes. De ese modo obtendremos eldiagrama de deformación unitaria-esfuerzo ( l,σl). Estos diagramaspueden ser muy variados en cuanto a su aspecto.

En la Figura 27.6 hemos representado un diagrama ( l,σl) característi-co de un metal dúctil, como el acero, el cobre, ... Observemos en dichodiagrama como durante el primer tramo de la curva, hasta una deforma-ción unitaria inferior al 0.5%, el esfuerzo tensor σl es directamenteproporcional a la deformación unitaria; esto es

[27.5]σl ∝ l

resultado experimental que constituye la ley de Hooke, descubierta por el físico-mate-mático inglés Robert HOOKE (1635-1703). La ley de Hooke es aplicable tan sólo parapequeñas deformaciones unitarias, hasta que se alcanza el punto A o límite deproporcionalidad.

Entre los puntos A y B del diagrama no existe proporcionalidad entre el esfuerzoy la deformación; no obstante, si disminuimos gradualmente la carga en cualquierpunto situado entre O y B, la curva se recorre hacia atrás y el material recobra sulongitud inicial. En el tramo OB el material presenta un comportamiento elástico; elpunto B recibe el nombre de límite elástico.


Si aumentamos gradual-

Figura 27.6

mente el esfuerzo por encimadel límite elástico, la deforma-ción uni tar ia aumentarápidamente; pero al disminuirgradualmente el esfuerzo, unavez superado el límite elástico,el material no recupera total-mente su longitud original,sino que el punto representati-vo en el diagrama recorrerá eltrayecto de trazos indicado y,cuando el esfuerzo se anula,conserva una cierta deforma-ción permanente.

Ciertos materiales frágiles,como el vidrio y el bronce fosforado, se rompe en cuanto se supera el límite elástico;en dichos materiales no pueden producirse deformaciones permanentes. Otrosmateriales, como el acero, el cobre y el oro, son dúctiles; al contrario que los frágiles,los materiales dúctiles pueden ser laminados en frío (acero), estirados en hilo (cobre)o batidos en hojas (oro).

Cuando un alambre de material dúctil se somete a esfuerzos superiores al límiteelástico se presenta el comportamiento plástico; el alambre parece que fluye comoun líquido viscoso y pueden conseguirse alargamientos considerables sin aumentosignificativo de los esfuerzos. Puesto que entonces la sección recta del alambredisminuye de un modo apreciable, conviene definir el comportamiento del alambreen función del esfuerzo aparente2, definido como el cociente entre la fuerza queproduce el alargamiento y el área original de la sección recta del alambre.

Aumentando progresivamente el esfuerzo que soporta la probeta, llegaremoshasta el punto representativo E, llamado límite de ruptura, al que corresponde unesfuerzo denominado esfuerzo de ruptura o resistencia a la tracción, a pesar de quela ruptura se produce poco después (F), cuando el material sufre un alargamientosignificativo localizado en una pequeña porción de la probeta. Entonces, se forma unapequeña garganta o huso, reduciéndose rápidamente la sección transversal; ladeformación plástica, que se repartía en un principio a lo largo de toda la probeta,se concentra en esa zona y da lugar a la estricción, el esfuerzo disminuye y laprobeta se rompe.

La ley de Hooke es válida para un gran número de materiales comunes, peroexisten algunos materiales elásticos para los que no es válida en absoluto; el caucho

2 El gráfico ( l,σl) no refleja exactamente lo que ocurre en realidad, ya que los esfuerzostensores los calculamos dividiendo la fuerza F ejercida por la sección inicial que tenía la probeta;pero esta sección ha ido disminuyendo al estirarse la probeta, lo que hace que los esfuerzosanotados en el diagrama sean erróneos, por defecto, a medida que van aumentando lasdeformaciones. A pesar de ello, podemos prescindir de este pequeño error, ya que resultaprácticamente imposible tener en cuenta las secciones reales.

§27.4.- Deformaciones elásticas. Ley de Hooke. 825

vulcanizado es uno de esos materiales. Si

Figura 27.7

repetimos los ensayos anteriormente descritoscon una tira de goma elástica, obtendremos undiagrama de deformación unitaria frente alesfuerzo semejante al que se muestra en laFigura 27.7, en el que la tira de goma ha sidoestirada hasta seis veces su longitud natural. Lascurvas que mostramos en la Figura 27.7 se alejannotablemente, incluso para deformacionesrelativamente pequeñas, de la línea recta quedebería esperarse de la ley de Hooke; sinembargo, la sustancia es elástica en el sentido de que recupera su longitud originalcuando se suprime el esfuerzo. Pero al suprimir gradualmente el esfuerzo, la curvano es recorrida en sentido contrario, sino que el punto representativo sigue un caminodiferente, como se muestra en la Figura 27.7. La falta de coincidencia existente entrelas curvas correspondientes a esfuerzos crecientes y decrecientes recibe el nombre dehistéresis elástica. Puede demostrarse que el área encerrada entre ambas curvas esigual a la energía disipada por unidad de volumen (en forma calorífica) en el interiordel material elástico. El fenómeno de la histéresis elástica hace que los materiales quelo exhiben sean muy adecuados para absorber vibraciones.

Para terminar, diremos que existen materiales, como el plomo, en los que seobserva la llamada pereza elástica, consistente en que la deformación definitiva seadquiere transcurrido un cierto tiempo tras la aplicación del esfuerzo. La fatigaelástica consiste en una alteración de las características elásticas de un materialdespués de haber sido sometido a muchos ensayos; la presentan, en mayor o menorgrado, todos los materiales.

§27.5. Elasticidad por tracción o compresión. Módulo de Young.-Consideremos una barra material, homogénea, de longitud l0 y sección recta uniformeS. Cuando la sometemos a la acción de fuerzas de tracción, aplicadas en susextremos, la barra experimenta un alargamiento Δl, o sea, una deformación unitarialongitudinal l = Δl/l0, como se muestra en la Figura 27.8. Si la deformación essuficientemente pequeña, será aplicable la ley de Hooke, que establece la proporcio-nalidad entre el esfuerzo y la deformación unitaria. Esto es, la expresión [27.5] podráescribirse como

[27.6]σl E l

donde E es el módulo de elasticidad longitudinal o módulo de Young3, que es unaconstante para un material dado, con independencia de las dimensiones geométricasde la barra. Obsérvese que el módulo de Young queda definido como la razón delesfuerzo longitudinal (tensor o compresor) a la deformación unitaria longitudinal quedicho esfuerzo produce:

3 En honor de Thomas YOUNG (1773-1829), físico experimental y médico inglés. Secretariode la Royal Society a partir de 1802. Trabajó en los campos de la Óptica, de la Física Matemática,de la Estadística y de la Técnica.


[27.7]Eσl

l

Fl /S

Δl /l0⇒ Fl

ESl0

Δl ES dξdx

Puesto que la deformación

Figura 27.8

unitaria es adimensional, elmódulo de Young se expresaráen las mismas unidades que elesfuerzo; esto es, fuerza porunidad de superficie. En laTabla 27.1 (página 840)presentamos los valorescorrespondientes a diversosmateriales.

Obsérvese que el módulo deYoung representa el esfuerzo que debería aplicarse a la barra para que se duplicase su longitud(Δl=l0, l=1); naturalmente, antes de que eso ocurra deja de aplicarse la ley de Hooke que sirvede base para la definición de E.

Las expresiones [27.6] y [27.7] son directamente aplicables para el caso deesfuerzos longitudinales de compresión; entonces, tanto σl como l serán negativos.Se ha comprobado experimentalmente que el módulo de Young para un material dadotiene el mismo valor para la tracción que para la compresión longitudinales.

La expr. [27.7] puede escribirse en la forma

[27.8]FlESl0

Δl k Δl con k ESl0

de modo que k representa la constante de fuerza o constante elástica, tal como lahemos definido en la Lec. 13, para las deformaciones longitudinales (tensoras ycompresoras) en la varilla.

Cuando los esfuerzos longitudinales, tensores o compresores, producen un cambioen la longitud de una barra, las fuerzas aplicadas exteriormente producen un trabajoque queda "almacenado" en la barra en forma de energía potencial elástica. Enefecto, cuando dejan de actuar las fuerzas exteriores, las fuerzas interiores restablecenlas dimensiones originales (si no se ha sobrepasado el límite elástico), realizando untrabajo a expensas de la energía elástica almacenada.

El trabajo elemental realizado por las fuerzas exteriores cuando la barraexperimenta un alargamiento dl será dW=F(l)dl, donde l representa la longitud de labarra en cada instante. Entonces, la expresión de la fuerza que hay que aplicar encada instante será función de la longitud actual de la barra, de modo que

[27.9]F(l) ESl l0l0

k (l l0)

y el trabajo total realizado por esta fuerza para producir un alargamiento Δl=l-l0 será

§27.5.- Elasticidad por tracción o compresión. Módulo de Young. 827

[27.10]W ⌡⌠l

l0

F(l) dl ESl0 ⌡⌠l

l0

(l l0) dl 12ESl0

(Δl)2 12k (Δl)2

resultando que es proporcional al cuadrado de la deformación. Podemos escribir laexpresión anterior en la forma:

[27.11]W 12

⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

ES Δll0

Δl 12FlΔl

Este trabajo queda almacenado en la barra como energía potencial elástica. Laenergía potencial elástica almacenada por unidad de volumen será:

[27.12]u WSl0

12σl l

12E 2

l

σ2l

2E

§27.6. Deformación transversal. Coeficiente de Poisson.- Se observa

Figura 27.9

experimentalmente que cuando una barra se alarga mediante una tracción longitudi-nal, se produce simultáneamente una contracción transversal, de modo que el área dela sección recta de la barra disminuye (Figura 27.9). Si suponemos que la barra estáhecha de un material isótropo, entonces la deformación unitaria transversal seráindependiente de la orientacióny viene dada por

[27.13]D

ΔDD

donde D es cualquier dimen-sión transversal de la barra(v.g., su diámetro, en el casode una barra cilíndrica).

El cociente, cambiado designo, entre las deformaciones unitarias transversal y longitudinal, que designaremospor μ, esto es

[27.14]μ D

l

ΔD /DΔl /l

es una constante característica del material de que está hecha la barra, y recibe elnombre de coeficiente de Poisson.

El coeficiente de Poisson es adimensional; su valor está comprendido entre ceroy 0.5. Para los metales, el valor µ está comprendido entre 0.2 y 0.5. En la Tabla 27.1

(página 840) hemos recogido algunos valores característicos.Cuando la barra se somete a esfuerzos longitudinales, se producen cambios en

su volumen; dichos cambios dependen del valor de μ. En efecto, si suponemos una


barra cilíndrica, su volumen será V=Sl=πD2l/4, siendo D el diámetro de la secciónrecta. Al diferenciar logarítmicamente tenemos:

[27.15]dVV

2 dDD

dll

2 D l

en donde sustituiremos D = - μ l para obtener

[27.16]dVV

(1 2μ) l

Esta expresión será válida cualquiera que sea la forma de la sección recta de la barra.De ella se deduce que si μ<0.5, el alargamiento va acompañado de un aumento devolumen. Si la barra estuviese sometida a compresión longitudinal ( l<0), elacortamiento de la barra iría acompañado de un aumento de sus dimensionestransversales y de una disminución de su volumen.

§27.7. Isotropía y anisotropía.- Las dos constantes elásticas E y μ definencompletamente las características elásticas de un material homogéneo e isótropo. Esimportante distinguir entre materiales sólidos isótropos y anisótropos. En losmateriales isótropos, las propiedades físicas son las mismas en todas las direcciones;en los anisótropos, dependen de la dirección.

La madera constituye un ejemplo familiar de material

Figura 27.10

anisótropo. Su estructura fibrosa hace que sus propiedades físicassean diferentes en las tres direcciones principales. Así, un cubode madera (Figura 27.10) se comportará de modos muy diferentescuando lo sometamos a esfuerzos compresores sobre cada uno delos pares de caras opuestas, de modo que será necesario definirmás de dos constantes elásticas para describir completamente sus

propiedades elásticas.Los materiales cristalinos son generalmente anisótropos. Los cristales simples son

anisótropos, salvo algunas excepciones como la sal de roca, el diamante, ... Encambio, los materiales policristalinos, compuestos por un gran número de pequeñoscristales orientados al azar, se comportan como materiales isótropos. Este es al casocorriente en los metales sólidos que se emplean en la práctica de la ingeniería;incluso a simple vista puede apreciarse la estructura policristalina en la superficie defractura de una pieza de fundición. El hormigón constituye otro ejemplo corriente dematerial policristalino. Las mismas consideraciones son válidas para materialesamorfos como el vidrio.

Naturalmente, el estudio del comportamiento elástico de los materialesanisótropos resulta ser mucho más complejo que el de los materiales isótropos. Enesta lección vamos a limitar nuestro estudio a los materiales homogéneos e isótropos,de modo que sus características elásticas quedarán completamente definidas por elmódulo de Young y el coeficiente de Poisson. En la práctica, se utilizan otrasconstantes elásticas distintas; pero siempre serán expresables en términos de E y μ.

§27.8.- Deformación debida a tres esfuerzos ortogonales. 829

§27.8. Deformación debida a tres esfuerzos ortogonales.- Puesto que lasexpresiones [27.6] y [27.14], que definen el módulo de Young y el coeficiente dePoisson, implican relaciones lineales entre los esfuerzos y las deformaciones, seráválido el Principio de Superposición:

La deformación resultante de la aplicación simultánea de dos o más sistemasde fuerzas es la suma de las deformaciones que producirían cada uno de lossistemas al ser aplicados por separado.

El Principio de Superposición será aplicable siempre que el límite de proporcio-nalidad no sea sobrepasado ni por las deformaciones parciales ni por la deformaciónresultante.

Estamos ahora en condiciones de estudiar como será el comportamiento de uncuerpo cuando se encuentre sometido a una determinada combinación de esfuerzosexteriores. Comenzaremos nuestro estudio con una situación relativamente sencilla;la de un cuerpo de forma paralelepipédica rectangular sobre cuyas caras, quesituaremos perpendicularmente a los ejes cartesianos (x,y,z), se aplican esfuerzosnormales.

Notación.- Resulta conveniente generalizar la notación que hemos estado utilizandohasta ahora para los esfuerzos normales, puesto que nos encontramos con laaplicación de esfuerzos simultáneos en más de una dimensión. Utilizaremos lasiguiente notación:

Figura 27.11

[27.17]σl → σxx , σyy , σzz

donde el primer subíndice designa la direcciónnormal al plano sobre el que actúa el esfuerzo,y el segundo subíndice designa la dirección en laque actúa la fuerza. Evidentemente, lacoincidencia de ambos subíndices nos indica quela fuerza actúa perpendicularmente a lasuperficie en cuestión (esfuerzo normal).

Del mismo modo, debemos generalizar lanotación para la deformación unitaria longitudinal [27.4] a las tres direcciones delespacio:

[27.18]l → xx

∂ξ∂x

, yy∂η∂y

, zz∂ζ∂z

En términos de esta notación generalizada, reescribiremos las expresiones [27.6]

y [27.14], referentes a los esfuerzos y deformaciones longitudinales en una barra y ala contracción transversal asociada, en la forma:


[27.19]

⎧⎪⎨⎪⎩

σxx E xx ; σyy σzz 0

yy zz μ xx

De acuerdo con la notación de doble

Figura 27.12

subíndice, los esfuerzos normales que actúansobre las caras del paralelepípedo rectangular(Figura 27.12) serán designados por σxx, σyy,σzz. Supongamos que dichos esfuerzos seanesfuerzos de tracción4. Obviamente, se pro-ducirán cambios en las dimensiones delparalelepípedo. Pasemos a considerar ladeformación unitaria xx; será un alarga-miento unitario σxx/E debido al esfuerzo σxxque actúa en la dirección del eje x, más doscontracciones transversales debidas a los

esfuerzos σyy y σzz.El esfuerzo σyy produce un alargamiento σyy/E en la dirección del eje y; pero

dicho alargamiento implica una contracción transversal a la dirección del eje x,produciéndose una deformación unitaria negativa (acortamiento) en las aristasparalelas al eje x (y también al eje z) que valdrá -μ(σyy/E). En definitiva, la deforma-ción unitaria resultante en las aristas paralelas al eje x será

[27.20]xx

1Eσxx

μEσyy

μEσzz

Encontraremos expresiones análogas para las deformaciones unitarias que seexperimentan en las direcciones de los ejes y y z. El conjunto de las tres ecuacioneselásticas podemos escribirlo en la forma

Ec. elásticas [27.21]

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

xx1E

( σxx μσyy μσzz )

yy1E

( μσxx σyy μσzz )

zz1E

( μσxx μσyy σzz )

4 En la Figura 27.12, y en las que siguen en este Capítulo, los esfuerzos aparecen "asociados"a unos "vectores", a pesar de que no tienen carácter vectorial (sino tensorial, como ya hemosapuntado anteriormente). Debemos entender que tales "vectores" representan a las "fuerzas"actuantes que están asociadas con los esfuerzos correspondientes.

§27.8.- Deformación debida a tres esfuerzos ortogonales. 831

Así, por ejemplo, si σyy=σzz=0 (tracción longitudinal simple), entonces las tres ecuaciones anterioresse reducen a xx=σxx/E, yy= zz= -μσxx/E=-μ xx, que definen el módulo de Young y el coeficiente dePoisson.

Podemos resolver el sistema de tres ecuaciones [27.21] para expresar los esfuerzos normales σxx,σyy, σzz, en función de las deformaciones unitarias xx, yy, zz. El resultado es

[27.22]

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

σxxE

(1 μ)(1 2μ)(1 μ) xx μ yy μ zz

σyyE

(1 μ)(1 2μ)μ xx (1 μ) yy μ zz

σzzE

(1 μ)(1 2μ)μ xx μ yy (1 μ) zz

El cambio en las dimensiones del paralelepípedo rectangular irá acompañado deun cambio de volumen. Si las dimensiones originales de sus aristas eran a, b y c, elvolumen primitivo del paralelepípedo era V=abc; calculando la diferencial logarítmicadel volumen resulta:

[27.23]dVV

daa

dbb

dcc

donde da, db y dc representan los cambios infinitesimales en las dimensiones de lasaristas respectivas. Considerando unas deformaciones unitarias uniformes, podemossustituir los diferenciales de la expresión anterior por incrementos finitos:

[27.24]ΔVV

Δaa

Δbb

Δcc

o sea [27.25]ΔVV xx yy zz

resultando que el cambio unitario en el volumen o dilatación unitaria es igual a lasuma de las deformaciones unitarias a lo largo de cada una de las tres direccionesortogonales consideradas.

Sumando miembro a miembro las tres ecuaciones elásticas de [27.21] se obtiene

[27.26]dVV xx yy zz

1 2μE

(σxx σyy σzz )

Esta expresión se puede aplicar en cualquier situación. Así, por ejemplo, para σyy=σzz=0tenemos

[27.27]ΔVV

1 2μE

σxx (1 2μ) xx

que es la misma expresión [27.16] que encontrábamos para el cambio de volumen de una barrasometida a un esfuerzo longitudinal simple.

Por último, es importante encontrar la expresión de la energía potencial elásticaalmacenada por unidad de volumen (u) en el paralelepípedo rectangular sometido atres esfuerzos ortogonales; generalizando la expresión [27.12] tendremos


[27.28]u 12σxx xx

12σyy yy

12σzz zz

que también podemos escribir como

[27.29]u 12E

σ2xx σ2yy σ2zz 2μ (σxxσyy σyyσzz σzzσxx)

o bien

[27.30]u E

2(1 μ)(1 2μ)(1 μ )( 2

xx2yy

2zz) 2μ ( xx yy yy zz zz xx)

§27.9. Compresión uniforme. Módulo de compresibilidad.- Frecuentemente

Figura 27.13

nos encontramos con fuerzas de compresión que actúan perpendicularmente sobre unasuperficie y distribuidas de una manera continua sobre ella; entonces, llamamospresión a la fuerza referida a la unidad de superficie. La presión es simplemente un

esfuerzo compresor normal a una superficiey distribuido en toda su extensión. Obvia-mente, las unidades de la presión son lasmismas que las del esfuerzo.

Una manera práctica de conseguir quetoda la superficie de un cuerpo esté sometidaa presión será, por ejemplo, sumergiéndoloen un líquido (tanque de presión), pues lafuerza que éste ejercerá sobre el cuerpo seráperpendicular a cada elemento de superficie.Cuando la presión es la misma en todos lospuntos de la superficie de un cuerpo, deci-mos que se encuentra sometido a compresiónuniforme.

Un incremento de presión hidrostática Δp es equivalente a tres esfuerzoscompresores normales en las tres direcciones del espacio; esto es,

[27.31]σxx σyy σzz Δp

La experiencia nos muestra que un cuerpo homogéneo e isótropo sometido a unacompresión uniforme creciente va disminuyendo de volumen en tanto que su formapermanece invariable. Por eso, a este tipo de deformación se le llama tambiénelasticidad de volumen. Sustituyendo en las tres ecuaciones elásticas [27.21] losesfuerzos normales σxx, σyy, σzz, por el aumento de la presión hidrostática -Δp,tenemos

[27.32]xx yy zz

1E

(1 2μ) Δp

de modo que una compresión uniforme implica la misma deformación unitaria linealen las tres direcciones del espacio y el cuerpo no experimenta cambio alguno en su

§27.9.- Compresión uniforme. Módulo de compresibilidad. 833

forma. El signo negativo en [27.32] significa que una compresión implica un acorta-miento en las dimensiones lineales del cuerpo.

Para un cuerpo homogéneo e isótropo, sometido a compresión uniforme, elcambio unitario en su volumen

[27.33]ΔVV xx yy zz

3E

(1 2μ) Δp

depende de las características elásticas el material, representadas por el módulo deYoung y el coeficiente de Poisson, y del incremento de presión. Los sólidos y loslíquidos experimentan tan sólo pequeñas variaciones de su volumen por compresión;son poco compresibles. En cambio, los gases experimentan grandes cambios devolumen por compresión; son muy compresibles.

Resulta conveniente definir el llamado módulo de compresibilidad K de unmaterial como el cociente, cambiado de signo, entre la variación de presión Δp queactúa sobre él y la variación unitaria de volumen correspondiente. Esto es,

[27.34]K ΔpΔV /V

V ΔpΔV

donde se incluye el signo negativo con la finalidad de que K sea siempre un númeropositivo, ya que un aumento de presión produce siempre una disminución en elvolumen del cuerpo.

El módulo de compresibilidad K, al igual que el módulo de Young E, tienedimensiones de una fuerza por unidad de superficie; se expresará en N/m2 (pascal,Pa) en el sistema de unidades m.k.s. (S.I.). En la Tabla 27.1 (página 840) hemosrecogido algunos valores representativos de K para sólidos y líquidos. El valor delmódulo de compresibilidad para los gases, en condiciones especificadas, puedecalcularse a partir de las ecuaciones que resumen sus propiedades termodinámicas.

Obsérvese que el módulo de compresibilidad K viene a representar el aumento de presiónuniforme al que habría que someter un cuerpo para que su volumen se anulase. En efecto, si ΔV=-V, sería K=Δp. Naturalmente, eso no es factible, pues la expresión [27.34], que ha servido paradefinir el módulo de compresibilidad, sólo es aplicable para cambios de volumen relativamentepequeños (ley de Hooke).

En ocasiones se prefiere utilizar el llamado coeficiente de compresibilidad β, definido comoel valor inverso del módulo de compresibilidad K:

[27.35]β 1K

ΔV /VΔp

1V

ΔVΔp

que representa la disminución relativa de volumen por unidad de aumento de presión. Así, para elagua es β=50×10-6 atm-1, lo que significa que su volumen disminuye en 50 millonésimas de suvolumen primitivo por cada atmósfera que aumenta la presión5. Cuanto más compresible sea unmaterial, mayor será su coeficiente de compresibilidad β.

Es fácil expresar el módulo de compresibilidad K de un material isótropo enfunción de su módulo de Young y su coeficiente de Poisson. Bastará combinar laexpresión [27.34], que define al módulo K, con la expresión [27.33] para obtener

5 1 atm = 1.013 × 105 Pa


[27.36]K E3 (1 2μ)

Esta relación pone de manifiesto que tan sólo dos de las tres constantes elásticasque hemos definido (E, μ, K) son independientes; dadas dos de ellas, siempre seráposible calcular la tercera. La relación [27.36] pone también de manifiesto que siempreserá μ<0.5, ya que K debe ser siempre positivo; si K fuese negativo, el material seexpansionaría al someterlo a compresión uniforme.

Finalmente, encontraremos la expresión de la densidad de la energía potencialelástica almacenada en un material sometido a compresión uniforme. Obtendremosfácilmente el resultado sustituyendo en la expresión [27.28] los valores de losesfuerzos y deformaciones unitarias siguientes:

[27.37]

⎧⎪⎨⎪⎩

σxx σyy σzz Δp

xx yy zz13ΔVV

de modo que resultará

[27.38]u 32

( Δp) ⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

13ΔVV

12

Δp ΔVV

que también podemos escribir en la forma

[27.39]u 12K ⎛

⎜⎝

⎞⎟⎠

ΔVV

2 (Δp)2

2K

sin más que hacer uso de la definición del módulo de compresibilidad K.

§27.10. Esfuerzo cortante.- Consideremos ahora una fuerza que actúetangencialmente a una superficie, como se ilustra en la Figura 27.14. Definimos elesfuerzo cortante o tangencial como la fuerza referida a la unidad de superficie:

Figura 27.14

[27.40]σc

Fc

S

y sus unidades serán, obviamente, el N/m2, en elsistema de unidades m.k.s. (S.I.).

Obsérvese que, aún cuando el esfuerzo cortante esdimensionalmente equivalente a una presión, existe unadiferencia fundamental entre ambas magnitudes físicas;la presión siempre corresponde a una fuerza (por unidadde superficie) perpendicular a la superficie sobre la queactúa.

Resulta conveniente utilizar la notación dedoble subíndice para designar los esfuerzos cortantes:

[27.41]σc → σxy , σyx , σyz , σzy , σzx , σxz

§27.10.- Esfuerzo cortante. 835

donde el primer subíndice indica la dirección normal al plano sobre el que actúa elesfuerzo y el segundo subíndice indica la dirección en la que actúa la fuerza.Evidentemente, un esfuerzo cortante queda caracterizado por dos subíndicesdiferentes.

Consideremos un elemento paralelepipédico

Figura 27.15

de dimensiones a, b, c, como se ilustra en laFigura 27.15. Supongamos que sobre dos pares decaras opuestas actúan esfuerzos cortantes puros.Para que elemento se encuentre en equilibrio,será necesario que se cumplan las dos ecuacio-nes cardinales de la estática; esto es, ∑F=0 y∑M=0.

La fuerza tangencial que actúa sobre cadacara se obtendrá integrando el esfuerzo cortantecorrespondiente sobre toda su superficie. Para un elemento de dimensiones muypequeñas, podemos suponer que el esfuerzo cortante sea constante en toda lasuperficie de cada una de sus caras; por consiguiente, las fuerzas tangenciales queactúan sobre las caras sometidas a esfuerzos serán:

[27.42]

⎧⎪⎨⎪⎩

σzy ab σzy′ ab

σyz ac σyz′ ac

y las direcciones de estas fuerzas son las indicadas en la Figura 27.15.Evidentemente, la condición de equilibrio de traslación se cumplirá si los

esfuerzos cortantes sobre las caras opuestas son iguales y opuestos:

[27.43]σzy σzy′ ; σyz σyz′

Para que exista el equilibrio de rotación deberá ser nulo el momento resultantecon respecto a cualquier punto del espacio. Tomando el origen de coordenadas comopolo o centro de reducción, la condición ∑M=0 se reduce a

[27.44]σ zy (ab)c σ yz (ac)b ⇒ σzy σyz

Este resultado también es válido para el otro par de esfuerzos cortantes de laFigura 27.15. En general, podemos asegurar que

[27.45]σxy σyx ; σyz σzy ; σzx σxz

Obsérvese que se necesitan dos pares de esfuerzos cortantes para mantener enequilibrio el elemento de volumen. La aplicación de un par único lo haría girar entorno a un eje perpendicular al plano del par.

§27.11. Cizalladura. Módulo de rigidez.- Examinaremos ahora la deformaciónproducida por un sistema de esfuerzos cortantes. La situación más simple quepodemos considerar es la ilustrada en la Figura 27.16a, en la que un elemento devolumen de forma cúbica se deforma bajo la acción de los efectos cortantes aplicados


a dos pares de caras opuestas, y toma el aspecto que se muestra en la Figura 27.16c.

Figura 27.16

Las caras del elemento de volumen sobre las que no actúan esfuerzos cortantes (x=0,x=Δx) adoptan la forma rómbica (Figura 27.16b).

Para comprender la naturaleza de esta deformación, observaremos que las láminasparalelas al plano xy, en que podemos suponer descompuesto el cubo, deslizan unasrespecto a las otras en la dirección del esfuerzo cortante σzy. La magnitud de estadeformación queda definida por γz = tg αz, donde αz es el ángulo que se indica en laFigura 27.17a. Para la mayor parte de los materiales, el ángulo αz es muy pequeño(siempre que no supere el límite elástico), de modo que αz y γz son prácticamenteiguales. El valor de γz viene dado por

[27.46]γz tgαzΔηΔz

→ γz∂η∂z

como se deduce fácilmente de la observación de la Figura 27.17a.Análogas consideraciones serán válidas para los deslizamientos internos

producidos por el par de esfuerzos cortantes (σyz,σyz), de modo que

[27.47]γy tg αyΔζΔy

→ γy∂ζ∂y

como se deduce de la Figura 27.17b. Entonces, la deformación angular total producidapuede expresarse por

[27.48]γzy γz γy∂η∂z

∂ζ∂y

donde los subíndices zy identifican el plano en que se presenta la deformaciónangular o de cizalladura debida a los dos pares de esfuerzos cortantes (σzy,σzy) y(σyz,σyz). El "ángulo" γzy (expresado en radianes) es el que se indica en la Figura 27.16c.Obsérvese que en la deformación de cizalladura no cambia el volumen del cuerpo;tan sólo cambia su forma. Este tipo de deformación es exclusivo de los materialessólidos; decimos que presentan rigidez. En los líquidos y en los gases no existe unaestructura ordenada entre sus átomos y moléculas que resista a los cambios de forma.Este hecho es crucial para establecer la distinción entre sólidos y fluidos. Los sólidospresentan elasticidad de volumen y elasticidad de forma; los líquidos tan sólo pre-sentan elasticidad de volumen.

§27.11.- Cizalladura. Módulo de rigidez. 837

En los materiales sólidos, dentro

Figura 27.17

de los límites de validez de la ley deHooke, existirá una proporcionalidadentre el esfuerzo cortante aplicado yla deformación de cizalladura produ-cida; esto es,

[27.49]σ zy G γ zy

donde G es una constante característi-ca del material que recibe el nombrede módulo de rigidez. El módulo de rigidez queda definido como el cociente entreel esfuerzo cortante y la deformación angular que dicho esfuerzo produce:

[27.50]Gσzyγzy

de modo que sus dimensiones son las mismas que las del esfuerzo. En el sistema deunidades m.k.s. (S.I.), se expresará en N/m2. En la Tabla 27.1 (página 840) damos elvalor del módulo de rigidez para algunos materiales sólidos representativos.

El módulo de rigidez G de un material sólido, homogéneo e isótropo puedeexpresarse en función del módulo de Young E y del coeficiente de Poisson μ delmaterial. La relación existente entre ellos es

[27.51]G E2 (1 μ)

Puesto que el módulo de rigidez G debe ser positivo, la relación anterior implicaque el coeficiente de Poisson μ debe ser mayor que -1, i.e., -1<μ<0.5; sin embargo,en la práctica siempre es 0<μ<0,5.

Ahora encontraremos la expresión de la densidad de energía potencial elásticaasociada con una deformación de cizalladura. Refiriéndonos a la Figura 27.16, esfácil comprender que el trabajo realizado por los esfuerzos cortantes σzy y σyz alproducirse la deformación γzy es

[27.52]W 12σzy Δx Δy

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

∂η∂z

Δz 12σyz Δx Δz

⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

∂ζ∂y

Δy

donde σzyΔxΔy es la fuerza tangencial que actúa sobre el "techo" del cubo y(∂η/∂z)Δz representa el desplazamiento que efectúa dicho "techo" respecto de la"base", que consideramos estacionaria. Una interpretación similar corresponde para(σyzΔxΔy) y (∂ζ/∂y)Δy. El factor 1/2 procede del hecho de que el "desplazamiento"crece linealmente con la fuerza. Puesto que σzy=σyz y γ=∂η/∂z+∂ζ/∂y, tenemos:

[27.53]u ΔWΔxΔyΔz

12σzyγzy

12Gγ2zy

σ2zy2G

donde hemos hecho uso de la expresión [27.55] que define a G.


Ejemplo I.- Deducir la expresión [27.51] que relaciona el módulo de rigidez de un material consu módulo de Young y su coeficiente de Poisson.

Para encontrar la relación existente entre G, E y μ, comenzaremos por considerar un cubo dematerial homogéneo e isótropo sometido a esfuerzos normales tensores y compresores sobre dospares de caras, como se muestra en la Figura 27.18; esto es, σxx=0, σyy=σ, σzz=-σ. Utilizaremos lasecuaciones elásticas [27.21] para calcular las deformaciones unitarias lineales:

Figura 27.18

[27.54]

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

xx1E

(0 μσ μσ) 0

yy1E

(0 σ μσ) 1 μE

σ

zz1E

(0 μσ σ) 1 μE

σ

de modo que resulta que el cambio relativo en el volumen es nulo:

[27.55]ΔVV xx yy zz 0

Supongamos ahora que tengamos el mismo cubo, de arista l y superficie de sus caras S=l2,sometido a un sistema de esfuerzos cortantes como se indica en la Figura 27.16a. Todos losesfuerzos serán iguales en magnitud, de manera que no haya momento resultante y el cubo esté enequilibrio. La fuerza tangencial que actúa sobre las caras del cubo será F=σS; la longitud de lasdiagonales de las caras será D= l√2. La deformación producida por el sistema de esfuerzos cortantesconsiderado hará tomar al cubo el aspecto que se esquematiza en la Figura 27.19.

Si cortásemos el cubo a 45° a lo largo de la diagonal A, la fuerza que actuaría sobre esa

Figura 27.19 Figura 27.20 Figura 27.21

sección plana sería igual a F√2, y como el área de dicha sección es S√2, el esfuerzo tensor sobreesa sección sería F√2/S√2 = F/S = σ. Análogamente, el esfuerzo compresor que actuaría sobre lasección plana que resultaría al cortar el cubo por la diagonal B sería -σ. Así, vemos que la deforma-ción producida por un sistema de esfuerzos cortantes es equivalente a la producida por la combi-nación de esfuerzos normales tensores y compresores perpendiculares entre sí y a 45° con las áreasdel cubo (Figura 27.20). El cambio unitario en las longitudes de las diagonales del cubo sería:

[27.56]ΔDD

± 1 μE

σ

donde el doble signo significa que una diagonal se alarga y la otra se acorta.

En la Figura 27.21 podemos ver que el deslizamiento horizontal δ que experimenta el "techo"del cubo respecto a su "base" es igual a ΔD√2, siempre teniendo en cuenta que el "ángulo" γ esmuy pequeño, de modo que

§27.11.- Cizalladura. Módulo de rigidez. 839

[27.57]γ δl

2 ΔDl

2 ΔD

D / 22 ΔDD

Sustituyendo la expresión [27.57] en la [27.58] obtendremos

[27.58]γ 2 1 μE

σ

y finalmente encontramos la relación entre G, E y μ:

[27.59]G σγ

E2 (1 μ)

§27.12. Constantes elásticas y coeficientes de Lamé.- Aunque hemosdefinido cuatro constantes elásticas (μ, E, K y G) para un material sólido, homogéneoe isótropo, tan sólo dos de ellas son independientes. Esto es, conocidos los valoresde dos constantes elásticas para un material dado, las otras dos pueden calcularse.

La determinación experimental de las constantes elásticas es relativamente fácilpara el módulo de Young (E) y para el módulo de rigidez (G). En cambio, ladeterminación directa del coeficiente de Poisson (μ) y del módulo de compresibilidad(K) resulta considerablemente difícil. Por ello, es preferible determinar los valores deμ y K mediante cálculo, a partir de los valores experimentales de E y G; tenemos

[27.60]μ E2G

1 K GE3 (3G E)

En la Tabla 27.1 (página 840), los valores de μ y K para varios materiales sólidoscaracterísticos, de interés práctico, han sido calculados a partir de los valores de Ey G determinados experimentalmente6. Naturalmente, en los líquidos sólo tienesignificado el módulo de compresibilidad, ya que los líquidos sólo presentanelasticidad de volumen.

En algunos casos, resulta conveniente caracterizar las propiedades elásticas de un materialsólido homogéneo e isótropo mediante los coeficientes o constantes de LAMÉ ( y m), definidosen la siguiente forma:

[27.61]2μG1 2μ

μ E(1 μ)(1 2μ)

(E 2G)G3G E

m G

Entonces, los módulos elásticos vienen expresados en función de las constantes de Lamé mediantelas relaciones:

[27.62]E m (3 2m)m

μ2 ( m)

K 23m G m

6 Prácticas de Laboratorio de Física General, del mismo autor.Práct. 11.- Elasticidad: flexión de una barra (medida del módulo de Young).Práct. 12.- Péndulo de torsión (medida del módulo de rigidez)


Tabla 27.1

Valores de la densidad, de los módulos elásticos y de los límites elásticospara algunos materiales sólidos característicos.

Material

densidad

×103

(kg/m3)

µ

E

×1010

(N/m2)

K

×1010

(N/m2)

G

×1010

(N/m2)

límiteelástico

×107

(N/m2)

límiteruptura

×107

(N/m2)

acero 7.87 0.28 20 15.3 7.8 25.†41.‡

50.†69.‡

aluminio 2.70 0.34 7.1 7.4 2.65 13 14

cobre 8.96 0.36 12.8 15 4.7 15 34

latón 8.53 0.37 10.4 13 10.8 38 43

níquel 8.90 0.31 21. 18 8.0

oro 19.32 2.8

plata 10.50 0.38 8 11 2.9

platino 21.45 0.37 17 22 6.2

plomo 11.35 0.43 1.6 3.7 0.56

tungsteno 19.3 0.34 36 38 13.4

lucita 1.18 0.43 0.40 0.9 0.14

sílicefundida

2.2 0.17 7.3 3.8 3.1

vidrio Pirex 2.32 0.24 6.2 4 2.5

† acero ordinario ‡ acero especial para muelles y resortes

Valores de la densidad y del módulo de compresibilidadpara algunas sustancias líquidas características.

Material densidad×103(kg/m3)

K×1010(N/m2)

Material densidad×103(kg/m3)

K×1010(N/m2)

agua 1.00 0.22 glicerina 1.261 0.48

alcohol etílico 0.79 0.11 mercurio 13.55 2.9

éter etílico 0.71 0.06 sulfuro de carbono 1.261 0.16

§27.13.- Torsión de tubos y barras. 841

§27.13. Torsión de tubos y barras.- Consideremos un cilindro (hueco omacizo) que se retuerce alrededor de su eje de simetría al sujetar firmemente uno desus extremos y aplicar un momento en la dirección de dicho eje en el otro extremo;se dice que el cilindro ha experimentado una torsión, que queda definida por elángulo φ que ha girado la sección recta en el extremo libre respecto a la sección rectaen el extremo libre del cilindro. Estamos interesados en establecer la relaciónexistente entre el ángulo de torsión φ y el momento de torsión M aplicado. La torsiónde tubo y barras cilíndricos constituye uno de los ejemplos más simples de lasdeformaciones producidas por esfuerzos tangenciales o cortantes.

Analizaremos el comportamiento que presentan los tubos y barras cilíndricossometidos a momentos de torsión, imaginándolos descompuestos en un conjunto decapas o cortezas cilíndricas de espesor infinitesimal dr, i.e., en tubos de paredes muydelgadas. En la Figura 27.22a ilustramos la deformación que experimenta una capacilíndrica, de radio r y de longitud de generatriz l, cuando un esfuerzo tangencialconstante σ actúa sobre la superficie dS=2πrdr de su borde. Puede observarse queuna generatriz tal como la AB pasa a ser una hélice AB′. Se comprende fácilmente(Figura 27.22a) que la torsión de la capa cilíndrica es equivalente a una cizalladurauniforme de ángulo α. Para mayor claridad, en la Figura 27.22b mostramos la capacilíndrica "desenrollada"; bajo la acción de los esfuerzos cortantes σ, la "lámina"experimenta una cizalladura de ángulo α.

En definitiva, la capa cilíndrica experimenta una cizalladura uniforme definidapor el ángulo α (estrictamente, por γ=tg α) determinado por una generatriz de la capaantes de la deformación y la dirección de dicha generatriz después de la deformación.Como el ángulo de cizalladura α resulta difícil de medir, se prefiere expresar ladeformación de la capa en función del ángulo de torsión φ definido anteriormente.A partir de la geometría de la Figura 27.22a se establece la relación:

[27.63]l α r φ

En las deformaciones en las que no se sobrepasa el límite elástico, el ángulo αserá siempre pequeño, de modo que la deformación unitaria por cizalladura (γ)puede expresarse en función del ángulo de torsión φ:

[27.64]γ tgα ≈ α rlφ

La relación existente entre el esfuerzo cortante σ que actúa sobre el borde de lacapa y el ángulo de torsión φ se establece a partir de la definición del módulo derigidez G; esto es,

]σ G γ G rlφ

El momento elemental dM que produce el esfuerzo cortante σ al actuar sobre elárea dS=2πrdr del borde de la capa es

[27.66]dM (σ dS)r 2πσ r 2dr


en donde sustituiremos la expresión [27.65] para obtener

Figura 27.22

[27.67]dM 2π Gl

φ r 3 dr

la relación existente entre el momento elemental de torsión y el ángulo de torsión φcorrespondiente.

Consideremos ahora un cilindro hueco, y sean R1 y R2 sus radios interior yexterior, respectivamente. Podemos imaginarlo como un conjunto de capas cilíndricas,cada una de las cuales experimenta un mismo ángulo de torsión φ (aunque losesfuerzos internos sean diferentes para cada capa). El momento torsional total serála suma de los momentos necesarios para torcer cada una de las capas:

[27.68]M 2πGl

φ ⌡⌠R2

R1

r 3dr π2GR 4

2 R 41

lφ τ φ

que en el caso de una barra cilíndrica maciza, con R1=0 y R2=R, se reduce a

[27.69]M π2G R

4

lφ τ φ

El coeficiente de φ en las expresiones [27.68] y [27.69] recibe el nombre decoeficiente o constante de torsión τ, y representa el momento necesario para produciruna torsión unitaria, i.e., un ángulo de torsión φ=1 rad. Las unidades de τ son las deun momento; esto es, m N en el sistema de unidades m.k.s. (SI). Cuanto mayor seala constante de torsión, mayor será la "rigidez" del tubo o barra ante la deformaciónpor torsión. Tenemos

[27.70]

⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩

Tubo cilíndrico: τ π2GR 4

2 R 41

l

Barra cilíndrica: τ π2G R 4

l

Obsérvese que la constante de torsión es, en cualquier caso, directamenteproporcional al módulo de rigidez G del material e inversamente proporcional a la

§27.13.- Torsión de tubos y barras. 843

longitud l del tubo o barra. En el caso de una barra cilíndrica, la constante de torsiónτ es directamente proporcional a la cuarta potencia de su radio; esto significa que sise duplica el radio de la barra, su resistencia a la torsión se multiplica por dieciséis.

La energía elástica almacenada por unidad de longitud en un tubo cilíndricosometido a torsión viene dada por

[27.71]Ul

12Mφl

12⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

τlφ2 π

4GR 4

2 R 41

l 2φ 2 M 2

πG(R 42 R 4

1 )

y en el caso de una barra cilíndrica

[27.72]Ul

12Mφl

12⎛⎜⎝

⎞⎟⎠

τlφ2 π

4G R

4

l 2φ 2 M 2

πGR 4

Ejemplo II.- Demostrar que, a igualdad de masa y de longitud, un tubo (hueco) ofrece mayorresistencia a la torsión que una barra (maciza) hecha con el mismo material.

Consideremos las constantes de torsión τt y τb correspondientes a un tubo y a una barra de lascaracterísticas citadas; su cociente será

[27.73]τt

τb

R 42 R 4

1

R 4

y el cociente entre sus masas será

[27.74]mt

mb

ρπ (R 22 R 2

1 )l

ρπ R 2l

R 22 R 2

1

R 21

ya que hemos supuesto mt=mb. Combinando las dos expresiones anteriores se sigue fácilmente que

[27.75]τt

τb

(R 22 R 2

1 )(R 22 R 2

1 )

R 4

R 22 R 2

1

R 2

2R 22 R 2

R 22⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

R2

R

2

1 > 1

de modo que la constante de torsión para el tubo resulta ser mayor que la de la barra.

§27.14. Determinación del módulo de rigidez.- La expresión [27.69], querelaciona el ángulo de torsión φ que experimenta una barra cilíndrica con el momentotorsional M al que está sometida, nos permite determinar de una forma cómoda yprecisa el módulo de rigidez G del material con el que está hecha la barra.

Método estático.- El montaje experimental que se necesita es relativamentesimple. Se sujeta firmemente la barra por uno de sus extremos, en tanto que el otroextremo permanece libre en un cojinete sin rozamiento (Figura 27.23). Un discosolidario con la barra nos permite aplicar un momento de torsión conocido mediantela suspensión de diferentes pesas en el extremo libre de un cable enrollado en laperiferia del disco; dicho momento será M=F b, siendo b el radio del disco.


Obsérvese que aún cuando el ángulo de

Figura 27.23

cizalladura α sea muy pequeño, elángulo de torsión φ puede ser muygrande si el cociente l/R es suficiente-mente grande. En definitiva, el conoci-miento de las dimensiones l y R de labarra, del momento torsional aplicadoM y del ángulo de torsión φ correspon-diente nos permite determinar el valordel módulo de rigidez G del materialensayado.

Método dinámico.- Podemos conseguir aún más precisión en la determinación de G

Figura 27.24

mediante un método que utiliza un péndulo de torsión. Consideremos un hilo desección recta circular suspendido verticalmente, con su extremo superior fijo (Figu-

ra 27.24). En el extremo inferior del hilo se cuelga un cuerpo de momento de inerciaI conocido. Al aplicar un momento torsional M en el extremoinferior del hilo, éste experimenta una deformación de torsióncomo hemos explicado antes. Dentro de los límites de validez dela ley de Hooke, el ángulo de torsión φ es directamente propor-cional al momento torsional M aplicado, de modo que

[27.76]M τ φ con τ π2G R

4

l

donde τ es la constante de torsión definida en el epígrafeanterior.

Debido a la elasticidad del hilo (rigidez) aparecerá unmomento recuperador igual y opuesto al momento torsionalaplicado; cuando se haga desaparecer el momento torsionalaplicado, el sistema se encontrará en las condiciones precisaspara iniciar un movimiento oscilatorio de torsión/rotación.Igualando el momento recuperador -τφ al producto del momento

de inercia I del sistema por la aceleración angular α=d2φ/dt2, tenemos la ecuacióndiferencial del movimiento de rotación

[27.77]τφ I φ̈ ⇒ φ̈ τIφ 0

que es formalmente idéntica a la ec. dif. correspondiente a un movimiento armónicosimple. Así pues, las oscilaciones del péndulo de torsión son armónicas, y lafrecuencia angular y el periodo de las mismas son

[27.78]ω τI

T 2π Iτ

En consecuencia, mediante la determinación precisa del periodo de lasoscilaciones del péndulo de torsión podemos calcular el valor de la constante de

§27.14.- Determinación del módulo de rigidez. 845

torsión τ [27.78], y a continuación el valor del módulo de rigidez G del materialensayado [27.76].

Problemas

27.1.- Un cuerpo de 10 kg está suspendidoverticalmente de un cable de acero de 3 m delongitud y 1.00 mm de diámetro. a) ¿Qué es-fuerzo soporta el cable? b) Cuál es el alarga-miento resultante? c) Calcular la contraccióntransversal que experimenta el cable. d) Cal-cular la energía elástica almacenada en elcable.

27.2.- Una varilla de latón de 80 cm de longi-tud y sección recta circular de 6 mm de diá-metro se encuentra sometida a fuerzas de com-presión en sus extremos que le producen unacortamiento de 2 mm. a) ¿Cuál es la magni-tud del esfuerzo compresor a lo largo de lavarilla? b) ¿Ídem de la fuerza compresora enlos extremos de la varilla? c) ¿Qué expansióntransversal experimenta la varilla?.

27.3.- Un hilo de acero, de 2 m de longitud y1.2 mm de diámetro, está sujeto por su extre-mo superior y cuelga verticalmente. a) ¿Quécarga puede soportar en su extremo inferior sinsobrepasar el límite elástico? b) Calcular loscambios de longitud y de volumen queexperimenta el hilo, así como la energíaelástica almacenada en el mismo bajo la ac-ción de dicha carga. c) Calcular la cargamáxima que puede soportar el hilo sin rom-perse.

27.4.- Un hilo de acero de 1 m de longitud y1 mm2 de sección recta está extendido hori-zontalmente entre dos soportes rígidos unidosa sus extremos. Entonces, se cuelga un peso de5 kg en el punto medio del hilo. a) Calcular eldescenso que experimenta el punto medio delhilo, así como el esfuerzo tensor que soporta elmismo. b) Calcular la energía elásticaalmacenada en el hilo tensado.

27.5.- Un cable de cobre está tensado medianteun cabrestante, como se indica en la figura. Elbrazo de la manivela mide 45 cm.a) Determinar el ángulo que deberemos girar

Prob. 27.5

la manivela para que se produzca la ruptura.

b) Determinar el trabajo que habremos reali-zado hasta que se produzca la ruptura.

27.6.- Un ascensor de 2500 kg está sostenidopor cuatro cables de acero trenzado, cada unode los cuales tiene una sección recta eficaz de1.2 cm2. Calcular la máxima aceleración haciaarriba que puede darse al ascensor si el esfuer-zo en cada cable no debe exceder del 35% delcorrespondiente al límite elástico.

27.7.- Un hilo de cobre de 3 m de longitud yotro de acero de 2 m, cada uno de los cualestiene una sección recta de 1 mm2, se unenfuertemente entre sí por uno de sus extremosy el conjunto se suspende verticalmente de unpunto fijo por uno de los extremos libres. Secuelga un peso W del extremo inferior delconjunto de dos hilos. a) ¿Cuál deberá ser elvalor de W para que se produzca un aumentode longitud total de 2 mm? b) ¿Cuál será,entonces, el aumento de longitud de cada hilo?c) ¿Qué energía elástica queda almacenada encada hilo? d) Calcular el módulo de Young deun hilo simple equivalente al sistema de doshilos en serie.

27.8.- Un tubo de acero de 2 m de longitud ycuyos diámetros exterior e interior son 3 cm y2 cm, respectivamente, soporta longitudinal-mente una carga de 1000 kg. a) Calcular elesfuerzo longitudinal y la disminución de


longitud que experimenta el tubo. b) Calcularla expansión transversal que aparece bajo laacción de la carga compresora.

27.9.- Una barra

Prob. 27.9

rígida de 1 m delongitud, cuyopeso es desprecia-ble, está sostenidahorizontalmenteen sus extremospor dos hilosverticales de lamisma longitud; uno de ellos es de acero y elotro de cobre, como se ilustra en la figura ad-junta, siendo sus secciones rectas de 1 mm2 y2 mm2, respectivamente. ¿En qué punto de labarra ha de suspenderse un pesoW para produ-cir: a) igual esfuerzo en ambos hilos?; b) igualdeformación unitaria en ambos hilos?

27.10.- Una vigue-

Prob. 27.10

ta rígida que pesa10 kg está suspen-dida del techo me-diante tres cables,dos de ellos deacero y el otro decobre, como semuestra en la figura adjunta. Los diámetros delos cables son de 2 mm para los de acero y de3 mm para el de cobre. a) Calcular las tensio-nes y esfuerzos que soportan cada cable.b) Calcular el aumento unitario de longitudque experimenta cada cable.

27.11.- Un paralelepípedo rectangular dealuminio, cuyas dimensiones son 10 cm ×6 cm × 2 cm, está sometido a fuerzas normalestensoras de 500 kg y 200 kg sobre sus caras de10 × 6 cm2 y 10 × 2 cm2, respectivamente, ycompresoras de 300 kg sobre las caras de 6 ×2 cm2. a) Calcular las deformaciones unitariasque experimentan sus aristas, así como elcambio en el volumen del cuerpo. b) ¿Cuál esla densidad de energía elástica almacenada enel cuerpo?

27.12.- Calcular la velocidad angular crítica aque puede girar un aro de acero de 25 cm deradio antes de que ocurra su ruptura debido alefecto centrífugo.

27.13.- a) Calcular el aumento de longitud queexperimenta un cable de acero ordinario de100 m de longitud cuando se le suspendeverticalmente por uno de sus extremos, demodo que se estira elásticamente bajo laacción de su propio peso. (Despreciar lasvariaciones originadas en la sección recta y enla densidad como consecuencia del alarga-

miento). b) ¿Se supera el límite elástico enalguna sección recta de cable suspendido?c) ¿Qué longitud máxima de cable puede sus-penderse sin que ocurra su ruptura?

27.14.- En el Problema 27.13, calcular la ener-gía elástica total almacenada en el cable sus-pendido verticalmente que se estira elásti-camente bajo la acción de su propio peso.Dato: Sección transversal del cable, 2 mm2.

27.15.- Una varilla de aluminio, delgada y uni-forme, de 10 cm de longitud, gira en un planohorizontal alrededor de un eje vertical quepasa por uno de sus extremos, a razón de400 rps. a) Expresar el esfuerzo tensor queactúa a lo largo de la varilla en función de ladistancia al eje de rotación. b) ¿Cuánto vale elesfuerzo máximo? c) ¿Qué aumento de longi-tud experimenta la varilla? d) Calcular lamáxima velocidad angular que puede tener lavarilla sin que ocurra su ruptura.

27.16.- Un cuerpo,

Prob. 27.16

cuya forma es la deun paralelepípedorectangular, sesomete a compre-sión normal unifor-me sobre dos desus caras opuestas,en tanto que seimpide la expan-sión transversal, de modo que su anchurapermanezca constante, utilizando una armadurarígida como la que se muestra en la figuraadjunta. Demostrar que los valores efectivosdel módulo de Young (E′) y del coeficiente dePoisson (μ′) correspondientes a esta forma decompresión vienen dados por:

E′σ xxxx

E1 μ2

μ′ zz

xx

μ1 μ

27.17.- Reconside-

Prob. 27.17

remos el Proble-ma 27.16 peroahora se impidecualquier expansióntransversal delcuerpo sometido acompresión sobredos caras opuestas,colocándolo en elinterior de una armadura rígida ajustada comose ilustra en la figura adjunta. Demostrar queel módulo de Young efectivo (Eef) para unadeformación longitudinal pura viene dado por

Problemas 847

Eef

1 μ(1 2μ ) (1 μ )

E

27.18.- Un pilar cilíndrico,

Prob. 27.18

de 20 cm de diámetro y3 m de altura, de hormigón(E=2.8×1010 N/m2, μ=0.4),esta revestido exteriormentecon un zuncho de aceroque impide las dilatacionestransversales. Determinar lacontracción longitudinalque experimenta el pilarcuando soporta una carga vertical de 8000 kg.

27.19.- Un bloque de plomo de 15 cm ×10 cm × 5 cm, está sumergido en un tanque depresión lleno de agua. Se aplica una sobre-presión de 400 atm en el tanque. Calcular:a) las dimensiones del bloque sometido a pre-sión y el cambio que experimenta su volumen;b) la densidad de energía elástica en el bloquey en el agua.

27.20.- Calcular el incremento de presión aque deberemos someter cada uno de los mate-riales siguientes para aumentar en un 0.1% susdensidades: acero, latón, mercurio, agua y éteretílico.

27.21.- a) Calcular el incremento de presión aque necesitamos someter 1 m3 de agua paradisminuir su volumen en un 0.01%. ¿Cuál serála energía elástica almacenada en ese volumende agua comprimida? b) Repetir los cálculosdel apartado anterior para el mercurio. c) Ídempara el éter etílico.

27.22.- a) Calcular los coeficientes de com-presibilidad (β) para el acero y el mercurio, enatmósferas recíprocas (atm-1). b) ¿Cuál de lasdos sustancias puede comprimirse más fácil-mente?

27.23.- Cuando se modifica el volumen de unmaterial sometido a compresión uniforme, sudensidad también cambia. Este cambio en ladensidad suele presentar más interés que el delvolumen. a) Demostrar que la relación exis-tente entre el cambio de presión Δp=p-p0 y elcorrespondiente cambio de densidadΔρ=ρ-ρ0 es

Δp K ln⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

1 Δρρ0

b) Demostrar que siempre que sea muy peque-ño el cambio unitario en la densidad (i.e.,Δρ/ρ0 1) podemos poner

Δp K Δρρ0

27.24.- La profundidad media de los océanoses de 3800 m y la presión hidrostática corres-pondiente a esa profundidad es de 380 atm.¿Cuál es la densidad del agua del océano a esaprofundidad si la densidad en la superficie (ala misma temperaturaa) es de 1024 kg/m3?

27.25.- a) Demostrar que la densidad del aguadel océano a una profundidad h viene dada porla expresión

1ρ

1ρ0

gKh

donde ρ0 es la densidad del agua en la super-ficie, K es el módulo de compresibilidad delagua y g es la aceleración gravitatoria (i.e.,9.8 m/s2). b) Demostrar que la presión hi-drostática a una profundidad h viene dada por

Δp K ln⎛⎜⎜⎝

⎞⎟⎟⎠

1ρ0 g h

K

c) Aplicación numérica: Calcular la densidaddel agua y la presión hidrostática a una pro-fundidad de 3800 m. (En todos los casos,supóngase constante la temperatura).

27.26.- a) Demostrar que cuando un gas idealexperimenta una expansión o compresiónisotérmica (i.e., a temperatura constante), demodo que obedece a la ley de BOYLE, pV=cte,el módulo de compresibilidad coincide con lapresión del gas (i.e., KT = p). b) Demostrar quecuando un gas ideal experimenta unaexpansión o compresión adiabática (i.e., sinintercambiar calor con el medio ambiente), demodo que obedece a la ecuación pVγ=cte(donde γ es el coeficiente adiabático), elmódulo de compresibilidad es KQ=γp.

27.27.- Un cubo de aluminio de 10 cm dearista está sometido a fuerzas cortantes de100 kg, como se muestra en la Figura 27.15.a) Calcular el ángulo de cizalladura γ. b) Cal-cular la energía elástica almacenada en el cubodeformado.

27.28.- El esfuerzo de ruptura por cortadurapara el cobre laminado ordinario es de apro-


x i m a d a m e n t e

Prob. 27.28

1 6 × 1 0 7 N / m 2 .¿Qué fuerza Fdebe aplicarsepara cortar conuna cizalla unatira de cobre de60 mm de ancho y3 mm de espesor?.

27.29.- El acero

Prob. 27.29

ordinario requiereun esfuerzo deaproximadamente35×107 N/m2 para que se produzca la rupturapor cortadura. Determinar la fuerza que es pre-ciso ejercer sobre elpunzón para hacerun agujero de20 mm de diámetroen una plancha deese acero de 6 mmde espesor.

27.30.- Una varillamaciza de latóntiene 20 mm dediámetro y 3 m delongitud. a) Calcular la constante de torsión deesta varilla. b) Se sujeta firmemente unextremo de la varilla y se aplica un momentode torsión en el otro extremo. ¿Cuál será elángulo máximo de torsión sin que se produzcadeformación permanente de la varilla? (Dato:El límite elástico por cizalladura para el latónes 13.8×107 N/m2).

27.31.- El eje de transmisión de un automóviles de acero y mide 1.80 m de longitud por2.5 cm de diámetro. a) ¿Qué ángulo se tuerceuno de sus extremos con respecto al otrocuando el eje está transmitiendo una potenciade 30 CV a 2400 r.p.m.? b) ¿Qué energíaelástica está entonces almacenada en el eje?

27.32.- Un eje de transmisión está constituido

Prob. 27.32

por dos segmentos conectados entre sí pormedio de una articulación universal que trans-mite "momento" sin experimentar ella mismauna torsión apreciable, como se ilustra en lafigura adjunta. Uno de los segmentos consisteen una barra de acero cuyo módulo de rigidezes 7.6×1010 N/m2, de 1.20 m de longitud y5 cm de diámetro. El segundo segmento es de

otro tipo de acero, de módulo de rigidez8.0×1010 N/m2, siendo su longitud de 40 cm ysu diámetro de 4 cm. Calcular el ángulo detorsión que experimenta el eje en su conjuntocuando está transmitiendo una potencia de40 CV a 1800 r.p.m..

27.33.- Un eje de transmisión de potencia estáconstituido por una barra de acero, de longitudl y radio R. Deseamos diseñar un eje detransmisión formado por un tubo hueco, delmismo material y longitud que la barra, cuyoradio exterior será r y el espesor de su pared0.10r, de modo que presente la misma resis-tencia a la torsión. a) ¿Cuál será la razón delradio del tubo al de la barra? b) ¿Cuál será larazón del material empleado en el eje tubularal del eje macizo?

27.34.- Dos varillas rectas, del mismo materialy del mismo diámetro, pero una más larga quela otra, están sometidas a un mismo momentode torsión creciente en sus extremos. ¿Cuál deellas se romperá antes? Razonar la respuesta.

27.35.- La densidad de energía elástica alma-cenada en un material sometido a deformaciónpor cizalladura viene dada por u=Gγ2/2. Apartir de esta expresión, demostrar las fórmulas[27.71] y [27.72] para la energía elástica alma-cenada por unidad de longitud en un tubo yuna barra sometidos a torsión.

27.36.- Cuando una varilla de acero se calientaal rojo y después se enfría (templado), lasconstantes elásticas del acero varían radial-mente, siendo mayores cerca de la superficieque en el eje de la varilla. Consideremos unavarilla de acero de radio R que ha sido tem-plada, de modo que su módulo de rigidezvaría con r (distancia al eja) de acuerdo con laexpresión G(r)=7.8×1010 (1+0.48r/R) N/m2.Calcular la constante de torsión (τ) de lavarilla.

27.37.- Una varilla metálica de longitud 2l y

Prob. 27.37

radio r, está sujeta firmemente por sus extre-mos mediante sendas mordazas, y mantenida

Problemas 849

en posición horizontal. En el punto medio dela varilla se ha soldado un disco semicircular,de masa M y radio R, de forma que su planoes perpendicular a la varilla. En la figuraadjunta se muestra el sistema varilla-disco encuatro posiciones. En la posición (a), la varillano está deformada, y el disco se encuentra enequilibrio inestable. Entonces, giramos el discohasta la posición (b); cuando se le abandona,el disco se remonta hasta la posición (c),donde queda instantáneamente en reposo. Acontinuación, el disco oscila en el cuadrantedefinido por (a) y (c). Las oscilaciones seamortiguan y finalmente el disco queda enreposo en la posición (d). Supongamos que enningún momento se haya sobrepasado el límiteelástico. Determinar la constante de torsión dela varilla y el módulo de rigidez del materialde la misma.

27.38.- Un péndulo de torsión está formadopor un alambre de acero ordinario, de 80 cmde longitud y 1 mm de diámetro, que lleva ensu extremo inferior un disco homogéneo deplomo, de 12 cm de diámetro y 1 cm deespesor. Se gira el disco un cierto ángulo ydespués se abandona de modo que efectúeoscilaciones de rotación en un plano horizon-tal. El tiempo empleado en 100 oscilacionescompletas es 315 s. a) ¿Qué esfuerzo tensorsoporta el alambre? ¿Se supera el límite elásti-co? b) Calcular la constante de torsión delpéndulo. c) Determinar el módulo de rigidezdel acero del alambre.

27.39.- Una balanza de Cavendish (vide §24.5)

Prob. 27.39

está constituida por una varilla rígida y ligera,de 20 cm de longitud, suspendida horizontal-mente por su punto medio mediante unadelgada fibra de vidrio de 30 cm de longitud,cuyo módulo de rigidez es 2.5×1010 N/m2. En

los extremos de la varilla se han acoplado dos

esferillas de plomo, de 20 g de masa cada una.Las dos grandes esferas fijas tienen una masade 2 kg cada una, y la distancia entre loscentros de las esferas grandes y las pequeñases de 5 cm. La deflexión angular queexperimenta la fibra de suspensión se deducea partir del desplazamiento que realiza unamancha luminosa sobre una escala milimetradasituada a 5 m de distancia de un espejitocolocado en el centro de la varilla, como seilustra en la figura adjunta. (Téngase en cuentaque el desplazamiento angular del rayoluminoso reflejado es el doble del girado porel espejito). a) Calcular el diámetro deseguridad que debe tener la fibra para podersoportar las dos pequeñas esferas sin que seproduzca la ruptura, tomando un factor deseguridad del orden de 3. (Dato: el esfuerzolímite de ruptura por tracción para la fibra devidrio es del orden de 109 N/m2). b) Calcularla constante de torsión de la fibra de suspen-sión y el periodo de las oscilaciones libres detorsión del aparato. c) Calcular eldesplazamiento de la mancha luminosa sobrela escala milimetrada que se observará cuandolas esferas grandes se pasan de la posicióninicial (sombreada en la figura) una posiciónequivalente al otro lado de las esferaspequeñas.

27.40.- La primitiva balanza gravitatoria,utilizada por Cavendish en su célebre experi-mento en 1798, era de grandes dimensiones, alobjeto de conseguir atracciones gravitatorias ymomentos de torsión tan grandes como fueseposible. Sin embargo, una balanza de torsiónde esas características exigía la utilización deun hilo de suspensión relativamente grueso,que pudiese soportar el peso de las esferasmóviles. Casi un siglo más tarde, en 1895,C.V. BOYS fabricó un aparato de Cavendish enminiatura, utilizando una delicada fibra desílice fundida como elemento de suspensión.Constituye un ejercicio interesante compararlas sensibilidades conseguidas en cuanto con-cierne al ángulo de deflexión máxima, con lautilización de un aparato grande y la de otromás pequeño, en cuanto concierne al ángulo dedeflexión máxima. Para ello, imaginemos dosaparatos, A y B, construidos con los mismosmateriales, de modo que todas las dimensioneslineales del aparato B (radios de las esferas,separación entre ellas y longitudes de la varillay de la fibra de suspensión) sean las delaparato A multiplicadas por un mismo factorde escala f. Naturalmente, en ambos aparatosutilizaremos fibras de suspensión tan delgadascomo sea posible, dentro de unos márgenes deseguridad, pero que sean capaces de soportarlas masas suspendidas sin romperse. Comparar


las deflexiones angulares máximas que puedenobtenerse con estos dos aparatos de distintotamaño.

Elementos de Elasticidad

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