Elementos de Electricidad y Magnetismo (2013)

NOTAS DEL CURSO: ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO MATERIAL ELABORADO POR EL ING. JOSÉ LUIS MEZA GODÍNES

JULIO 2013

ELEMENTOS DE ELECTRICIDAD Y MAGNETISMOINTRODUCCIÓN GENERALSerway / Jewett

¿POR QUÉ ESTUDIAR ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO?PORQUE LAS LEYES DE LA ELECTRICIDAD Y DEL MAGNETISMO DESEMPEÑAN UN PAPEL MUY IMPORTANTE EN EL FUNCIONAMIENTO DE DISPOSITIVOS COMO REPRODUCTORES DE MP3, TELEVISIONES, MOTORES ELÉCTRICOS, COMPUTADORAS, ACELERADORES DE ALTA ENERGÍA Y OTROS APARATOS ELECTRÓNICOS. INCLUSO, EN SU FORMA MÁS BÁSICA, LAS FUERZAS INTERATÓMICAS E INTERMOLECULARES RESPONSABLES DE LA FORMACIÓN DE SÓLIDOS Y LÍQUIDOS SON, EN SU ORIGEN, ELÉCTRICAS.

EVIDENCIA ENCONTRADA EN DOCUMENTOS DE LA ANTIGUA CHINA SUGIERE QUE DESDE EL AÑO 2000 A.C., EL MAGNETISMO YA HABÍA SIDO OBSERVADO. LOS ANTIGUOS GRIEGOS OBSERVARON FENÓMENOS ELÉCTRICOS Y MAGNÉTICOS DESDE EL AÑO 700 A.C. CONOCÍAN LAS FUERZAS MAGNÉTICAS AL OBSERVAR LA MAGNETITA (F3O4), PIEDRA DE ORIGEN NATURAL, QUE ES ATRAÍDA POR EL HIERRO. (LA PALABRA ELÉCTRICO VIENE DE ELEKTRON, PALABRA GRIEGA PARA DESIGNAR EL “ÁMBAR”. LA PALABRA MAGNÉTICO PROVIENE DE MAGNESIA, NOMBRE DE LA PROVINCIA GRIEGA DONDE SE ENCONTRÓ MAGNETITA POR PRIMERA VEZ).

NO FUE SINO HASTA PRINCIPIOS DEL SIGLO XIX QUE LOS CIENTÍFICOS LLEGARON A LA CONCLUSIÓN DE QUE LA ELECTRICIDAD Y EL MAGNETISMO SON FENÓMENOS RELACIONADOS. EN 1819, HANS OERSTED DESCUBRIÓ QUE LA AGUJA DE LA BRÚJULA SE DESVÍA SI SE COLOCA CERCA DE UN CIRCUITO POR EL QUE SE CONDUCE UNA CORRIENTE ELÉCTRICA. EN 1831, MICHAEL FARADAY Y, EN FORMA SIMULTÁNEA, JOSEPH HENRY, DEMOSTRARON QUE CUANDO SE PONE EN MOVIMIENTO UN ALAMBRE CERCA DE UN IMÁN (O, DE MANERA EQUIVALENTE, CUANDO UN IMÁN SE MUEVE CERCA DE UN ALAMBRE, SE ESTABLECE UNA CORRIENTE ELÉCTRICA EN DICHO ALAMBRE. EN 1873, JAMES CLERK MAXWELL APROVECHÓ ESTAS OBSERVACIONES JUNTO CON OTROS EXPERIMENTOS PARA SUSTENTAR LAS LEYES DEL ELECTROMAGNETISMO TAL COMO SE CONOCEN HOY EN DÍA. (ELECTROMAGNETISMO ES EL NOMBRE QUE SE LE DA AL ESTUDIO CONJUNTO DE LA ELECTRICIDAD Y DEL MAGNETISMO).

LA CONTRIBUCIÓN DE MAXWELL EN EL CAMPO DEL ELECTROMAGNETISMO FUE DE ESPECIAL RELEVANCIA, PORQUE LAS LEYES QUE FORMULÓ SON FUNDAMENTALES PARA EXPLICAR TODAS LAS FORMAS DE FENÓMENOS ELECTROMAGNÉTICOS. SU TRABAJO TIENE TANTA IMPORTANCIA COMO LAS LEYES DEL MOVIMIENTO Y LA TEORÍA DE LA GRAVITACIÓN UNIVERSAL.

(FIN DE LA INTRODUCCIÓN GENERAL)

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ELEMENTOS DE ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO

UNIDAD N° 1: CAMPO ELÉCTRICOTEMAS:1.1 CARGA ELÉCTRICA.1.2 LEY DE COULOMB.1.3 CAMPO ELÉCTRICO.1.4 CAMPO ELÉCTRICO PARA DISTRIBUCIONES DE CARGA (DISCRETAS Y CONTINUAS).1.5 FLUJO ELÉCTRICO.1.6 LEY DE GAUSS.1.7 LEY DE GAUSS PARA DISTRIBUCIONES DE CARGA ARBITRARIAS.1.8 CÁLCULO DE CAMPOS ELÉCTRICOS EMPLEANDO LA LEY DE GAUSS.

1.1 CARGA ELÉCTRICACapítulo 1 / Serway / Jewett

UNA DE LAS FUERZAS FUNDAMENTALES DE LA NATURALEZA ES LA FUERZA ELECTROMAGNÉTICA, LA CUAL SE DA ENTRE PARTÍCULAS CON CARGA. EN ESTE TEMA NOS VAMOS A FAMILIARIZAR CON DEL CONCEPTO DE CARGA ELÉCTRICA, A FIN DE COMPRENDER POSTERIORMENTE LA LEY DE COULOMB, LA CUAL RIGE EL COMPORTAMIENTO DE LAS FUERZAS ELÉCTRICAS PRESENTES ENTRE DOS PARTÍCULAS CON CARGA. POSTERIORMENTE INTRODUCIREMOS EL CONCEPTO DE CAMPO ELÉCTRICO, PARA ASOCIARLOS DESPUÉS A UNA DISTRIBUCIÓN DE CARGA CONOCIDA, A FIN DE CARACTERIZAR EL MOVIMIENTO DE UNA PARTÍCULA CON CARGA, DENTRO DE UN CAMPO ELÉCTRICO UNIFORME.

PROPIEDADES DE LAS CARGAS ELÉCTRICAS

EXISTEN EXPERIMENTOS MUY SENCILLOS (COMO LOS QUE REALIZAMOS EN LAS PRIMERAS PRÁCTICAS CON GLOBOS) QUE DEMUESTRAN LA EXISTENCIA DE CARGAS ELÉCTRICAS.

NOTAMOS, POR EJEMPLO, QUE CUANDO FROTAMOS UN GLOBO CON NUESTRO CABELLO, EL GLOBO ERA CAPAZ DE ATRAER PEDACITOS DE PAPEL. ¿POR QUÉ? PORQUE EL GOBO ESTÁ ELECTRIFICADO, LO CUAL SIGNIFICA QUE SE HA CARGADO ELÉCTRICAMENTE.

YA EN LA ANTIGÜEDAD, EL CÉLEBRE BENJAMÍN FRANKLIN (1706 – 1790) DEMOSTRÓ QUE EXISTEN DOS TIPOS DE CARGAS ELÉCTRICAS, A LAS QUE LLAMÓ POSITIVA Y NEGATIVA.

CUANDO REALIZAMOS LAS PRÁCTICAS, OBSERVAMOS QUE AL FROTAR DOS GLOBOS CON NUESTRO CABELLO, Y LUEGO LOS ACERCAMOS, OBSERVAMOS

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QUE SE REPELEN, PORQUE AMBOS TIENEN LA MISMA CARGA. NO OBSTANTE, SI EL GLOBO CARGADO LO ACERCAMOS A LA PARED, SE ADHIERE A ELLA, PORQUE ESE LADO DE LA PARED QUE TOCA AL GLOBO, MANIFIESTA UNA CARGA DIFERENTE. ESTAS SENCILLAS OBSERVACIONES NOS PERMITEN DEDUCIR UN PRINCIPIO FUNDAMENTAL EN ELECTRICIDAD:

“CARGAS DE UN MISMO SIGNO SE REPELEN Y CARGAS DE SIGNOS OPUESTOS SE ATRAEN”

VER LA FIGURA 1:

FIGURA 1. QUE MUESTRA LA INTERACCIÒN ENTRE CARGAS DE IGUAL Y DISTINTA NATURALEZA.

OTRO PRINCIPIO FUNDAMENTAL QUE PODEMOS DEDUCIR DE LOS EXPERIMENTOS CON GLOBOS ES QUE:

“EN TODO SISTEMA AISLADO, LA CARGA ELÉCTRICA SIEMPRE SE CONSERVA”

ESTO SE CONOCE COMO PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA CARGA. ESTO SIGNIFICA QUE EN TODO PROCESO DE ELECTRIFICACIÒN NO SE CREA CARGA, SINO QUE SÓLO SE LLEVA A CABO UN PROCESO DE TRANSFERENCIA DE CARGA DE UN OBJETO A OTRO.

POR EJEMPLO: CUANDO TOMAMOS UN PEINE Y LO FROTAMOS CON NUESTRO CABELLO, LOS ELECTRONES SE TRANSFIEREN DEL CABELLO AL PEINE: COMO CONSECUENCIA EL PEINE GANA ELECTRONES Y QUEDA CARGADO NEGATIVAMENTE; EN CAMBIO EL CABELLO, AL PERDER ELECTRONES, QUEDA CON CARGA POSITIVA.

ESTO LO OBSERVAMOS PRECISAMENTE AYER CON UN EQUIPO: ESTABAN FROTANDO EL CABELLO CON UN GLOBO, Y AL HACERLO, HUBO UN MOMENTO EN QUE EL CABELLO ERA ATRAÍDO HACIA EL GLOBO POR LA DIFERENCIA DE CARGAS: POSITIVA DEL CABELLO Y NEGATIVA DEL GLOBO.

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-+

+-

-

+

--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++


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¿POR QUÉ ES POSIBLE TODO ESTO?

POR LA NATURALEZA ATÓMICA DE LA MATERIA QUE COMPONE LOS OBJETOS O CUERPOS, YA QUE LOS ÁTOMOS A SU VEZ CONSTAN DE PARTÍCULAS LLAMADAS ELECTRONES (CON CARGA NEGATIVA) Y PROTONES (CON CARGA POSITIVA). ADEMÁS, EN EL NÚCLEO SE ENCUENTRAN LOS NEUTRONES, LOS CUALES AL NO MANIFESTAR CARGA, CONTRIBUYEN A MANTENER LA ESTABILIDAD ELÉCTRICA DEL MATERIAL.

CARGA ELÉCTRICA ELEMENTAL

LA CARGA ELÉCTRICA ELEMENTAL ES LA QUE TIENE EL ELECTRÓN, IGUAL A 1.6X10-19 COULOMBS.

EN EL SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (S.I.) LA UNIDAD DE CARGA ELÉCTRICA (REPRESENTADA ÉSTA POR LA LETRA q O Q, SE DENOMINA COULOMB (SÍMBOLO C) Y SE DEFINE COMO: LA CANTIDAD DE CARGA QUE A UNA DISTANCIA DE 1 METRO, EJERCE SOBRE OTRA CANTIDAD DE CARGA IGUAL, LA FUERZA DE 9X109 NEWTONS (N).

ES PRECISO DECIR QUE UN COULOMB CORRESPONDE A 6.2 X 1018

ELECTRONES. DE DONDE:

1 e = 1 C / 6.2 X 1018 ELECTRONES = 1.6 X 10-19 C, QUE ES LA CARGA DEL ELECTRÓN QUE YA MENCIONAMOS.

NOTA:

COMO EL COULOMB PUEDE SER DEMASIADO GRANDE PARA ALGUNAS APLICACIONES, SE USAN SUBMÚLTIPLOS DE ELLA, A SABER:

1 MILICOULOMB = 1 C / 1000 = 1 Mc1 MICROCOULOMB = 1 / 1 000 000 = 1 µC

(FIN DEL TEMA 1.1)

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1.2 LEY DE COULOMBCapítulo 23 / Tippens

COMO DE COSTUMBRE, LA TAREA DEL FÍSICO CONSISTE EN MEDIR DE FORMA CUANTITATIVA LAS INTERACCIONES ENTRE LOS OBJETOS CARGADOS. NO ES SUFICIENTE CON ESTABLECER QUE EXISTE UNA FUERZQA ELÉCTRICA; DEBEMOS SER CAPACES DE PREDECIR SU MAGNITUD.

LA PRIMERA INVESTIGACIÓN TEÓRICA ACERCA DE LAS FUERZAS ELÉCTRICAS ENTRE CUERPOS CARGADOS FUE REALIZADA POR CHARLES AUGUSTIN DE COULOMB EN 1784. ÉL LLEVÓ A CABO SUS INVESTIGACIONES CON UNA BALANZA DE TORSIÓN PARA MEDIR LA VARIACIÓN DE LA FUERZA CON RESPECTO A LA SEPARACIÒN Y LA CANTIDAD DE CARGA. LA SEPARACIÓN r ENTRE DOS OBJETOS CARGADOS SE DEFINE COMO LA DISTANCIA EN LÍNEA RECTA ENTRE SUS RESPECTIVOS CENTROS. LA CANTIDAD DE CARGA q SE PUEDE CONSIDERAR COMO EL NÚMERO DE ELECTRONES O DE PROTONES QUE HAY EN EXCESO, EN UN CUERPO DETERMINADO.

COULOMB ENCONTRÓ QUE LA FUERZA DE ATRACCIÒN O DE REPULSIÓN ENTRE DOS OBJETOS CARGADOS ES INVERSAMENTE PROPORCIONAL AL CUADRADO DE LA DISTANCIA QUE LOS SEPARA. EN OTRAS PALABRAS, SI LA DISTANCIA ENTRE DOS OBJETOS CARGADOS SE REDUCE A LA MITAD, LA FUERZA DE ATRACCIÓN O DE REPULSIÓN ENTRE ELLOS SE CUADRUPLICARÁ.

EL CONCEPTO DE CANTIDAD DE CARGA NO SE COMPRENDÍA CON CLARIDAD EN LA ÉPOCA DE COULOMB. NO SE HABÍA ESTABLECIDO AÚN LA UNIDAD DE CARGA Y NO HABÍA FORMA DE MEDIRLA, PERO EN SUS EXPERIMENTOS SE DEMOSTRABA CLARAMENTE QUE LA FUERZA ELÉCTRICA ENTRE DOS OBJETOS CARGADOS ES DIRECTAMENTE PROPORCIONAL AL PRODUCTO DE LA CANTIDAD DE CARGA DE CADA OBJETO. ACTUALMENTE, ESTAS CONCLUSIONES SE ENUNCIAN EN LA FAMOSA LEY DE COULOMB:

“LA FUERZA DE ATRACCIÒN O DE REPULSIÒN ENTRE DOS CARGAS PUNTUALES ES DIRECTAMENTE PROPORCIONAL AL PRODUCTO DE LAS DOS CARGAS E INVERSAMENTE PROPORCIONAL AL CUADRADO DE LA DISTANCIA QUE LAS SEPARA”

MATEMÁTICAMENTE, ESTA LEY SE EXPRESA ASÍ:

F=k qq 'r2

(1)

EN DONDE k ES UNA CONSTANTE DE PROPORCIONALIDAD:

k = 9X109 N m2 / C2 (EN UNIDADES DEL SI (SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES).

F ES LA MAGNITUD DE LA FUERZA (YA SEA DE ATRACCIÓN O DE REPULSIÓN);

q Y q’ SON LAS CARGAS Y r ES LA DISTANCIA DE SEPARACIÒN ENTRE DICHAS CARGAS.

APLICACIONES DE LA LEY DE COULOMB

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LA LEY DE COULOMB NOS PERMITE RESOLVER PROBLEMAS MUY INTERESANTES, SEGÚN LO VEREMOS A CONTINUACIÓN:

1. DOS CARGAS POSITIVAS DE 6 µC ESTÁN SEPARADAS POR 0.50 m. ¿QUÉ FUERZA EXISTE ENTRE ELLAS?

SOLUCIÓN:

q = 6 µC = 6 X10-6 C

q’ = 6 µC

r = 0.50 m

F = ¿?

POR FÓRMULA, SABEMOS QUE, DE LA ECUACIÓN ( 1 ):

F = k q q’ / r2

POR LO TANTO, SUSTITUYENDO, TENEMOS:

F = (9X109 Nm2/C2) · (6X10-6C) · (6X10-6C) / (0.50 m2)

HACIENDO OPERACIONES, DA:

F =1.296 N, Y ES UNA FUERZA DE REPULSIÓN, PORQUE LAS CARGAS SON IGUALES.

2. UNA CARGA NEGATIVA DE -2 X10-4 C Y UNA CARGA POSITIVA DE 8X10-4 C ESTÁN SEPARADAS POR 0.30 m. ¿CUÁL ES LA FUERZA ENTRE LAS DOS CARGAS?

SOLUCIÓN:

q = -2X1O-4 Cq’ = 8X10-4 Cr = 0.30 mF = ¿?DE LA FÓRMULA ( 1 ) SABEMOS QUE:

F = k · q q’ / r2

SUSTITUYENDO VALORES, TENEMOS:F = ( 9x10-9 N· m2 ) · (-2X10-4 C) · ( 8X10-4 C ) / (0.30 m)2

HACIENDO OPERACIONES, DA:F = -1.6 X 10-4 N, LA CUAL ES UNA FUERZA DE ATRACCIÓN, PORQUE QUE LAS CARGAS SON DIFERENTES.

3. UNA CARGA NEGATIVA DE -6µC EJERCE UNA FUERZA DE ATRACCIÓN DE 65 N SOBRE UNA SEGUNDA CARGA ALEJADA 0.050 m. ¿CUÁL ES LA MAGNITUD DE LA SEGUNDA CARGA?

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SOLUCIÓN:

q = -6µCF = 65 Nq’ = ¿?R = 0.050 m

POR FÓRMULA, SABEMOS QUE, DE LA ECUACIÓN ( 1 ):

F = k · q q’ / r2

DESPEJANDO, TENEMOS:

F· r2 = k · q q’

POR LO TANTO:

q’ = F· r2 / k q

SUSTITUYENDO VALORES, TENEMOS:q’ = ( 65 N ) · (0.0025 m2) / ( 9X109 N·m2 / C2) · (6X10-6 C)

HACIENDO OPERACIONES, TENEMOS QUE:

q’ = 3.009 X10-6 C (EN DONDE HEMOS USADO VALORES ABSOLUTOS PARA LAS CARGAS, O SEA, SIN LOS SIGNOS).

TAREA

4. EL ELECTRÓN Y EL PROTÓN DE UN ÁTOMO DE HIDRÓGENO ESTÁN SEPARADOS (EN PROMEDIO) POR UNA DISTANCIA DE APROXIMADAMENTE 5.3 X 10-11 m. ENCUENTRE LAS MAGNITUDES DE LA FUERZA ELÉCTRICA Y LA FUERZA GRAVITACIONAL ENTRE LAS DOS PARTÍCULAS, A FIN DE DEFINIR CUÁL FUERZA ES MAYOR Y CON CUÁNTO.[ RESPUESTA: F(eléctrica) = 8.2 X 10-8 N ; F(gravitacional) = 3.6 X10-47 N ; LA RELACIÓN ENTRE AMBAS FUERZAS ES: F(eléctrica) / F(gravitacional) = 2.27 X 1039.POR LO TANTO CONCLUIMOS QUE LA F(gravitacional) ENTRE PARTÍCULAS ATÓMICAS CON CARGA ES DESPRECIABLE, CUANDO SE COMPARA CON LA F(eléctrica).POR LO TANTO, SI NOS PREGUNTASEN: ¿CUÁL FUERZA ES MAYOR Y CON CUÁNTO: LA F(eléctrica) o de Coulomb, O LA F(gravitacional) O DE Newton? YA SABEMOS LA RESPUESTA: ES MAYOR LA F(eléctrica) con 2 X 1039 VECES QUE LA F(gravitacional) ].

Y CON ESTO TERMINAMOS NUESTRO TEMA.

(FIN DEL TEMA 1.2)

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FIGURA 1. LA DIRECCIÓN DE LA INTENSIDAD DEL CAMPO ELÉCTRICO EN UN PUNTO ES LA MISMA QUE LA DIRECCIÓN EN QUE UNA CARGA POSITIVA +q SE MOVERÍA, CUANDO FUERA COLOCADA EN ESE PUNTO.


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1.3 CAMPO ELÉCTRICOCapítulo 24 / Tippens

TANTO EL CAMPO ELÉCTRICO COMO LA FUERZA GRAVITACIONAL SON EJEMPLOS DE FUERZAS DE ACCIÓN A DISTANCIA, LAS CUALES RESULTAN EXTREMADAMENTE DIFÍCILES DE VISUALIZAR. PARA SUPERAR ESTA DIFICULTAD, LOS FÍSICOS DE LA ANTIGÜEDAD POSTULARON LA EXISTENCIA DE UN MATERIAL INVISIBLE, AL QUE LLAMARON ÉTER, QUE SUPUESTAMENTE LLENABA TODO EL ESPACIO. LA FUERZA DE ATRACCIÓN GRAVITACIONAL PODRÍA DEBERSE ENTONCES A ESFUERZOS EN EL ÉTER CAUSADOS POR LA PRESENCIA DE DIVERSAS MASAS. CIERTOS EXPERIMENTOS DE ÓPTICA HAN DEMOSTRADO QUE LA TEORÍA DEL ÉTER ES INSOSTENIBLE, LO QUE NOS HA OBLIGADO A CONSIDERAR SI EL ESPACIO EN SÍ MISMO TIENE PROPIEDADES INTERESANTES PARA EL FÍSICO.

SE PUEDE AFIRMAR QUE LA SOLA PRESENCIA DE UNA MASA ALTERA EL ESPACIO QUE LA RODEA, Y DE ESE MODO PRODUCE UNA FUERZA GRAVITACIONAL SOBRE OTRA MASA CERCANA. ESTA ALTERACIÓN EN EL ESPACIO SE DESCRIBE MEDIANTE LA INTRODUCCIÓN DEL CONCEPTO DE UN CAMPO GRAVITACIONAL QUE RODEA A TODAS LAS MASAS. SE PUEDE DECIR QUE ESE TIPO DE CAMPO EXISTE EN CUALQUIER REGIÓN DEL ESPACIO, DONDE UNA MASA DE PRUEBA EXPERIMENTARÁ UNA FUERZA GRAVITACIONAL. LA INTENSIDAD DEL CAMPO EN CUALQUIER PUNTO SERÍA PROPORCIONAL A LA FUERZA QUE EXPERIMENTA UNA MASA DADA EN ESE PUNTO…

ES POSIBLE APLICAR, ASIMISMO, EL CONCEPTO DE CAMPO A LOS OBJETOS CARGADOS ELÉCTRICAMENTE. EL ESPACIO QUE RODEA A UN OBJETO CARGADO SE ALTERA EN PRESENCIA DE LA CARGA. ASÍ, PODEMOS POSTULAR LA EXISTENCIA DE UN CAMPO ELÉCTRICO EN ESTE ESPACIO, DICIENDO QUE:

“SE DICE QUE EXISTE UN CAMPO ELÉCTRICO EN UNA REGIÓN DEL ESPACIO, EN LA QUE UNA CARGA ELÉCTRICA EXPERIMENTA UNA FUERZA ELÉCTRICA”.

ES PRECISO DECIR QUE LA INTENSIDAD DEL CAMPO ELÉCTRICO E EN UN PUNTO SE PUEDE DEFINIR EN TÉRMINOS DE LA FUERZA F QUE EXPERIMENTA UNA CARGA POSITIVA PEQUEÑA +q, CUANDO ESTÁ COLOCADA PRECISAMENTE EN ESE PUNTO. VER LA FIGURA 1:

q F Q= carga fuerte q= carga de prueba

F q

DE LA FIGURA ANTERIOR, PODEMOS DECIR QUE LA MAGNITUD DE LA INTENSIDAD DEL CAMPO ELÉCTRICO ESTÁ DADA POR:

E = F / q = Newton / Coulomb = N / C ECUACIÓN ( 1 )

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++

+

+

+

+

+

+

+

+Q+

--

--

--

-

-

--

-Q+


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EN DONDE: E ES LA INTENSIDAD DEL CAMPO ELÉCTRICO, F ES LA FUERZA Y q ES LA MAGNITUD DE LA CARGA COLOCADA EN EL CAMPO.SI q ES POSITIVA, E Y F TENDRÁN LA MISMA DIRECCIÓN; SI q ES NEGATIVA, LA FUERZA F ESTARÁ EN DIRECCIÓN OPUESTA AL CAMPO E. VER LA FIGURA 2:

a) b)

FIGURA 2. (a) EL CAMPO EN LA PROXIMIDAD DE UNA CARGA POSITIVA TIENE UNA DIRECCIÓN RADIAL HACIA AFUERA EN CUALQUIER PUNTO. (b) EL CAMPO SE DIRIGE HACIA DENTRO O HACIA UNA CARGA NEGATIVA.

APLICACIONES

1. UNA CARGA POSITIVA DE PRUEBA DE 4 X 10-5 C ES COLOCADAD EN UN CAMPO ELÉCTRICO. LA FUERZA EJERCIDA SOBRE ELLA ES DE 0.60 N, ACTUANDO A 10º . ¿CUÁL ES LA MAGNITUD Y DIRECCIÓN DEL CAMPO ELÉCTRICO EN DONDE SE ENCUENTRA DICHA CARGA DE PRUEBA?

SOLUCIÓN:

q = 4 X 10-5 CF = 0.60 N, A 10ºE = ¿?

POR FÓRMULA, SABEMOS QUE:

E = F / q = 0.60 N / 4 X 10-5 C = 1.5 X 104 N / C

POR LO TANTO, LA DIRECCIÓN DEL CAMPO ES EN LA MISMA DIRECCIÓN DE LA FUERZA, YA QUE ES UNA CARGA POSITIVA. O SEA:

E = 1.5 X 104 N / C, A 10ºTAREA:

2. UNA CARGA NEGATIVA DE 2 X 10-8 C EXPERIMENTA UNA FUERZA DE 0.060 N HACIA LA DERECHA EN UN CAMPO ELÉCTRICO. ¿CUÁL ES LA MAGNITUD Y DIRECCIÓN DE DICHO CAMPO?[RESP. 3 X 106 N/C, EN DIRECCIÓN HACIA LA IZQUIERDA].

3. UNA CARGA DE PRUEBA POSITIVA DE 5 10 -4 C ESTÀ EN UN CAMPO ELÉCTRICO QUE EJERCE UNA FUERZA DE 2.5 X 10-4 N SOBRE ELLA. ¿CUÁL ES LA MAGNITUD DEL CAMPO ELÉCTRICO EN DONDE SE ENCUENTRA DICHA CARGA DE PRUEBA?[RESP. 0.50 N/C].

4. SUPONGAMOS QUE EL CAMPO ELÉCTRICO EN EL PROBLEMA ANTERIOR FUESE CAUSADO POR UNA CARGA PUNTUAL, Y QUE DICHA CARGA ES TRASLADADA HASTA EL DOBLE DE LA

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+ -+++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++ -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

FIGURA 1. EL CAMPO ELÉCTRICO EN P DEBIDO A UNA DISTRIBUCIÓN CONTINUA DE CARGA, ES IGUAL A LA SUMA DE TODOS LOS CAMPOS ∆ E DEBIDOS A TODOS LOS

ELEMENTOS ∆ q DE LA DISTRIBUCIÓN DE CARGA.


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DISTANCIA EN LA CUAL SE ENCUENTRA DICHA CARGA. ¿CUÁL ES LA MAGNITUD DE LA FUERZA QUE EL CAMPO EJERCE SOBRE LA CARGA DE PRUEBA AHORA?[RESP. F2 = 6.3 X 10 -5 N].

(FIN DEL TEMA 1.3)1.4 CAMPO ELÉCTRICO PARA DISTRIBUCIONES DE CARGAS (DISCRETAS Y CONTINUAS)Capítulo 1/Serway/Jewett

CON MUCHA FRECUENCIA, EN UN GRUPO DE CARGAS, LA DISTANCIA EXISTENTE ENTRE ELLAS ES MUCHO MÁS REDUCIDA QUE LA DISTANCIA ENTRE EL GRUPO Y EL PUNTO DONDE SE DESEA CALCULAR EL CAMPO ELÉCTRICO. EN ESTA SITUACIÓN, EL SISTEMA DE CARGAS SE MODELA COMO SI FUERA CONTINUO. ES DECIR, EL SISTEMA DE CARGAS ESPACIADAS EN FORMA COMPACTA ES EQUIVALENTE A UNA CARGA TOTAL QUE ES DISTRIBUIDA DE FORMA CONTINUA A LO LARGO DE UNA LÍNEA, SOBRE ALGUNA SUPERFICIE, O POR TODO EL VOLUMEN. VER LA FIGURA 1:

q

r

P

E

NOTA:

EN ESTOS CASOS, EL CÁLCULO DEL CAMPO ELÉCTRICO REQUIERE DE OTRAS HERRAMIENTAS, TALES COMO EL CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL, LO CUAL TRASCIENDE NUESTRO CURSO, EL CUAL SE CARACTERIZA POR LA SENCILLEZ DE ANÁLISIS.

(FIN DEL TEMA 1.4)

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FIGURA 1. REPRESENTACIÓN DEL FLUJO ELÉCTRICO QUE ATRAVIESA UNA SUPERFICIE “A”.


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1.5 FLUJO ELÉCTRICOFísica: Parte 2/Halliday/ResnickFísica/Serway/Jewett

EL CONCEPTO DE FLUJO ELÉCTRICO ES MUY IMPORTANTE PARA ENTENDER POSTERIORMENTE LA LEY DE GAUSS, DE LA CUAL HABLAREMOS DESPUÉS.

LA PALABRA FLUJO PROVIENE DE LA PALABRA LATINA FLUERE, QUE SIGNIFICA PRECISAMENTE “QUE FLUYE”.

EN ELECTROMAGNETISMO, EL FLUJO ELÉCTRICO O FLUJO ELECTROSTÁTICO, ES UNA CANTIDAD ESCALAR QUE EXPRESA UNA MEDIDA DEL CAMPO ELÉCTRICO QUE ATRAVIESA UNA DETERMINADA SUPERFICIE. SU CÁLCULO PARA SUPERFICIE CERRADA SE REALIZA APLICANDO LA LEY DE GAUSS. POR DEFINICIÓN, EL FLUJO ELÉCTRICO PARTE DE LAS CARGAS POSITIVAS Y TERMINA EN LAS NEGATIVAS, Y EN AUSENCIA DE ESTAS ÚLTIMAS, TERMINA EN EL INFINITO.

EL FLUJO ELÉCTRICO ESTÁ RELACIONADO CON EL NÚMERO DE LÍNEAS DE CAMPO QUE ATRAVIESAN UNA SUPERFICIE. VER LA FIGURA 1:

Líneas del campo eléctrico

(a)

E Normal al plano

(θ =0º)

(b) Plano de la superficie A

DE LA FIGURA 1 (a) VEMOS QUE LAS LÍNEAS DE CAMPO PENETRAN EN UNA SUPERFICIE RECTANGULAR DE ÁREA A, CUYO PLANO TIENE UNA ORIENTACIÓN PERPENDICULAR AL CAMPO ELÉCTRICO E. VER LA FIGURA 1 (b).AL NÚMERO DE LÍNEAS DE CAMPO POR UNIDAD DE ÁREA SE LE LLAMA DENSIDAD DE LÍNEAS Y ES PROPORCIONAL A LA MAGNITUD DEL CAMPO

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La superficie A es perpendicular al campo E el ángulo θ entre E y la normal al plano es 0º (son ambos paralelos).

Normal Al plano de la superficie A

A


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ELÉCTRICO. POR LO TANTO, EL TOTAL DE LÍNEAS QUE PENETRAN EN LA SUPERFICIE ES PROPORCIONAL AL PRODUCTO E · A. PUES BIEN: A ESTE PRODUCTO DE LA MAGNITUD DEL CAMPO ELÉCTRICO E Y EL ÁREA SUPERFICIAL A, PERPENDICULAR AL CAMPO, SE LE CONOCE COMO FLUJO ELÉCTRICO φE, DONDE :φE=E·A (N/C) · m2 (1)POR LO TANTO, CONCLUIMOS QUE:

“EL FLUJO ELÉCTRICO ES PROPORCIONAL AL NÚMERO DE LÍNEAS DE CAMPO ELÉCTRICO QUE PENETRAN EN UNA SUPERFICIE”

¿QUÉ PASA SI LA SUPERFICIE EN CUESTIÓN NO ES PERPENDICULAR AL CAMPO? VER LA FIGURA 2: Normal

θ E

FIGURA 2. REPRESENTACIÓN DEL FLUJO ELÉCTRICO A TRAVÉS DE UNA SUPERFICIE QUE NO ES PERPENDICULAR AL CAMPO.

EN ESTAS CONDICIONES, LA ECUACIÓN (1) SE CONVIERTE EN:φE=E·A·cosθ (N/C)·m2 (2)

DE LA ECUACIÓN ANTERIOR PODEMOS CONCLUIR QUE:

EL FLUJO QUE ATRAVIESA UNA SUPERFICIE DE ÁREA A TIENE UN VALOR MÁXIMO E·A CUANDO LA SUPERFICIE ES NORMAL AL CAMPO (O SEA, CUANDO TAMBIÉN LA NORMAL DE LA SUPERFICIE ES PARALELA AL CAMPO, PORQUE ENTONCES θ = 0º Y LA ECUACIÓN (2) DA:

φE (máximo )=EA· cos0º = EA (1) = EA.

POR OTRO LADO, EL FLUJO ES CERO SI DICHA SUPERFICIE ES PARALELA AL CAMPL (O SEA, CUANDO LA NORMAL DE LA SUPERFICIE ES PERPENDICULAR AL CAMPO, PORQUE EN ESTE CASO LA ECUACIÓN (2) DA:

φE (nulo )=EA·cos90º = EA (0) = 0.

NOTA:

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A

Aquí la normal en relación con la superficie A forma un ángulo θ con el campo eléctrico E

AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA


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ESTA SITUACIÓN LA COMPROBAREMOS TAMBIÉN AL DISEÑAR NUESTRO MOTORCITO: SÓLO CUANDO LOS IMANES DEL ESTATOR SE COLOCAN PARALELOS A LAS ESCOBILLAS QUE LLEVAN LA CORRIENTE A LAS BOBINAS, EL GIRO DEL ROTOR SERÁ MÁXIMO, LO QUE CORROBORAREMOS AL VARIAR LA POSICIÓN DE DICHAS ESCOBILLAS (NOTA MÍA).

APLICACIONES

1. UNA SUPERFICIE RECTANGULAR DE 0.30 m por 0.10m ES ATRAVESADA POR UN CAMPO ELÉCTRICO CUYA MAGNITUD ES DE 90 N/C. SI DICHA SUPERFICIE FORMA UN ÁNGULO θ DE 15º CON LA NORMAL DE ESTE PLANO, CALCULAR EL FLUJO ELÉCTRICO OBTENIDO.

SOLUCIÓN:

φE=EA·cosθADEMÁS: E = F/q

LO QUE SIGUE ES CALCULAR EL ÁREA DE LA SUPERFICIE RECTANGULAR:A = LARGO x ANCHO = (0.30m)·(0.10m) = 0.03 m2

AHORA CALCULAMOS EL FLUJO ELÉCTRICO:φE=EA·cosθ

SUSTITUYENDO VALORES, TENEMOS:

φE=(90 NC ) ·¿2)·cos 5º

=2.6079 (N/C)·m2

2. DEL PROBLEMA ANTERIOR, SI θ CAMBIA A 90º, ¿CUÁL SERÍA EL VALOR DEL FLUJO?

SOLUCIÓN:

φE=(90 NC ) ·¿2)·cos 90º = 0

¿QUÉ SUCEDERÍA, DEL PROBLEMA 1, SI θ=0?

SOLUCIÓN:

φE=(90 NC

) ·¿2)·cos 0º = 2.7 (N/C)·m2 = FLUJO MÁXIMO

TAREA:

4. UNA SUPERFICIE CIRCULAR DE DIÁMETRO IGUAL A 80 cm ES ATRAVESADA POR UN CAMPO ELÉCTRICO DE MAGNITUD IGUAL A 80 (N/C)·m2. SI EL ÁNGULO θ FORMADO ENTRE LA NORMAL Y EL PLANO ES DE 56º, ¿CUÁL SERÁ EL FLUJO ELÉCTRICO OBTENIDO?

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[RESP. φE=22.4865(N/C) · m2].

(FIN DEL TEMA 1.5)

1.6 LEY DE GAUSS1.7 LEY DE GAUSS PARA DISTRIBUCIONES DE CARGA ARBITRARIASCapítulo 24 / Paul E. Tippens

PARA CUALQUIER DISTRIBUCIÓN DE CARGA PODEMOS DIBUJAR UN NÚMERO INFINITO DE LÍNEAS ELÉCTRICAS. POR EJEMPLO, CONSIDEREMOS LAS LÍNEAS DE CAMPO DIRIGIDAS RADIALMENTE HACIA AFUERA, A PARTIR DE UNA CARGA PUNTUAL POSITIVA. VER LA FIGURA 1: N

(a) (b) (c)FIGURA 1. LA INTENSIDAD DEL CAMPO ELÉCTRICO A UNA DISTANCIA r DE LAS CARGAS PUNTUALES, ES DIRECTAMENTE PROPORCIONAL AL NÚMERO DE LÍNEAS ∆ N QUE PENETRAN POR UNIDAD ∆ A DE UNA SUPERFICIE ESFÉRICA CONSTRUIDA A ESA DISTANCIA.

AHORA IMAGINEMOS QUE UNA SUPERFICIE ESFÉRICA RODEA LA CARGA PUNTUAL A UNA DISTANCIA r DE LA CARGA. EN ESTAS CONDICIONES, LA INTENSIDAD DEL CAMPO ELÉCTRICO (O SEA, SU MAGNITUD) EN CUALQUIER PUNTO DE LA ESFERA ESTÁ DADA POR:

E = k · qr2

(1)

PERO DE LA FIGURA 1 (c) VEMOS QUE LA DENSIDAD DE LÍNEAS DEL CAMPO ( O SEA, EL NÚMERO DE LÍNEAS POR UNIDAD DE ÁREA ), ES DIRECTAMENTE PROPORCIONAL A LA INTENSIDAD DEL CAMPO. O SEA:

∆ N /∆ A∝ En (2)

EN DONDE EL SUBÍNDICE n INDICA QUE EL CAMPO ES NORMAL AL ÁREA SUPERFICIAL EN TODAS PARTES.

14

+ +A

r++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++


JULIO 2013

AHORA BIEN, PARA QUE LA EXPRESIÓN (2) SE CONVIERTA EN UNA ECUACIÓN, DEBEMOS INTRODUCIR UNA CONSTANTE DE PROPORCIONALIDAD, Y ÉSTA ESε 0, CONOCIDA COMO “PERMITIVIDAD DEL ESPACIO LIBRE”, EN DONDE:

ε 0 = 1/4πk = 8.85 X 10-12 C2/N·m2 (3)

EN DONDE k=9X109 N·m2/C2 (CONSTANTE DE LA LEY DE COULOMB).

EN ESTAS CONDICIONES, LA EXPRESIÓN (2) PUEDE ESCRIBIRSE COMO:∆ N∆ A

=ε0·En (4)

O BIEN, SI DESPEJAMOS A ∆ N :

∆ N=ε0·En·∆ A (5)

POR OTRO LADO, CUANDO En ES CONSTANTE POR TODA LA SUPERFICIE, EL NÚMERO TOTAL DE LÍNEAS QUE SE DIRIGEN RADIALMENTE HACIA FUERA DE LA CARGA ENCERRADA ES:

N=ε0·En·A (6)

PERO, DE LA ECUACIÓN (3):

(4 πk ) · ε0 = 1

POR LO TANTO k=1/4 πε0 (7)

SUSTITUYENDO LA ECUACIÓN (7) EN LA ECUACIÓN (1), TENEMOS:

E = k· qr2

POR LO TANTO E=1/4 πε0 · (q/r2) (8)

SUSTITUYENDO AHORA LA ECUACIÓN (8) EN LA ECUACIÓN (6), TENEMOS:

N=ε0·¿0 · qr2

) · A

PERO A=4π·r2 (ÁREA DE UNA SUPERFICIE ESFÉRICA)

POR LO TANTO, SUSTITUYENDO, TENEMOS FINALMENTE QUE:

N = q (9)

DE LA ECUACIÓN (9) CONCLUIMOS QUE:

15


JULIO 2013

“EL NÚMERO TOTAL DE LÍNEAS QUE PASAN NORMALMENTE A TRAVÉS DE UNA SUPERFICIE, ES NUMÉRICAMENTE IGUAL A LA CARGA CONTENIDA DENTRO DE LA SUPERFICIE”.

EXPRESANDO MATEMÁTICAMENTE LO ANTERIOR, TENEMOS QUE:

N=∑ ε0En·A = ∑ q (10)

LA EXPRESIÓN ANTERIOR SE CONOCE COMO LA LEY DE GAUSS.

(FIN DEL TEMA 1.6)(FIN DEL TEMA 1.7)

1.8 CÁLCULO DE CAMPOS ELÉCTRICOS EMPLEANDO LA LEY DE GAUSSCapítulo 24 / Paul E. Tippens

DEBIDO A QUE LA MAYOR PARTE DE LOS CONDUCTORES CARGADOS TIENEN GRANDES CANTIDADES DE CARGA SOBRE ELLOS, NO RESULTA PRÁCTICO CONSIDERAR LAS CARGAS EN FORMA INDIVIDUAL. EN ESTOS CASOS, GENERALMENTE SE HABLA DE LA DENSIDAD DE CARGA σ , DEFINIDA COMO LA CARGA POR UNIDAD DE ÁREA SUPERFICIAL:

σ= qA = DENSIDAD DE CARGA (11)

POR LO TANTO: q = σA

APLICACIONES

1. UNA ESFERA CONDUCTORA UNIFORMEMENTE CARGADA, TIENE 24 Cm DE RADIO Y UNA DENSIDAD DE CARGA SUPERFICIAL DE +16µC/m2. ¿CUÁL ES EL NÚMERO TOTAL DE LÍNEAS DE CAMPO ELÉCTRICO QUE SALEN DE ESA ESFERA?

SOLUCIÓN:

ESFERAr = 24 cmσ=+16 µC /m2

N=¿?POR FÓRMULA, SABEMOS QUE:

N=∑ ε0E·A = ∑ q

16


JULIO 2013

PERO TAMBIÉN ES CIERTO QUE:

∑ ε0E·A =σA = N

CALCULAMOS EL ÁREA A:

A=4 π·r2

CONVERTIMOS EL RADIO A METROS:

r = 24 X 10-2 m

SUSTITUIMOS:

A = 4(3.1416)(24 X 10-2m)2 = 0.7238 m2

AHORA CALCULAMOS EL NÚMERO TOTAL DE LÍNEAS:

POR FÓRMULA: N = σA = (16 X 10-6 C/m2) · (0.7238 m2)

POR LO TANTO: N =1.1580 X 10-5 LÍNEAS ≈ 1.16 X 10-5 LÍNEAS

2. UNA CARGA DE +5 n C SE HALLA SOBRE LA SUPERFICIE DE UNA ESFERA METÁLICA HUECA CUYO RADIO ES DE 3 cm. APLIQUE LA LEY DE GAUSS PARA HALLAR LA INTENSIDAD DEL CAMPO ELÉCTRICO A UNA DISTANCIA DE 1 cm DE LA SUPERFICIE DE LA ESFERA. ¿CUÁL ES EL CAMPO ELÉCTRICO EN UN PUNTO UBICADO 1 cm DENTRO DE LA SUPERFICIE?

SOLUCIÓN:

ESCRIBIMOS LOS DATOS Y HACEMOS UN DIBUJO, COMO EL MOSTRADO EN LA

FIGURA 2:

DATOS:

q = +5Nc

r = 3 cm

E= ¿?

R = 1 cm

CONVERTIMOS LOS 3 cm A m:

3 cm = 3 X 10-2 m

17

3 cm

1 cmE

FIGURA 2. REPRESENTACIÓN DE LA

SUPERFICIE GAUSSIANA, PARA EL

PROBLEMA 2.


JULIO 2013

CON ESTE DATO CALCULAMOS EL ÁREA A:

A = 4π·r2

= 4(3,1416)·(3 X 10-2m)2 = 113.0976 X 10-4 m2

AHORA APLICAMOS LA FÓRMULA DE LA LEY DE GAUSS:∑ ε0E·A = ∑ q

ELIMINANDO LAS SUMATORIAS DE CADA MIEMBRO DE LA ECUACIÓN ANTERIOR, TENEMOS:

ε0E·A = q

DESPEJANDO EL CAMPO ELÉCTRICO:

E = q / ε0·A

SUSTITUYENDO VALORES:

E = 5 X 10-9 / (8.85 X 10-12)·(113.0976 X 10-4 m2)

= 5 X 104 N/C

CONTINUAMOS CON LA SEGUNDA PARTE DEL PROBLEMA (PARA CUANDO r = 4 cm)

CONVERTIMOS LOS cm A m:

4 cm = 4 X 10-2 m


A = 4πr2

SUSTITUYENDO VALORES, DA:

A = 201.0624 X 10-4 m2

CALCULAMOS EL CAMPO ELÉCTRICO:

E = q / ε0·A

SUSTITUYENDO VALORES, DA:

18


JULIO 2013

E = 2.81 X 104 N/C

NOTA: PARA CUANDO EL PUNTO SE UBICA 1 cm DENTRO DE LA ESFERA, VEMOS QUE NO PODEMOS APLICAR EL CONCEPTO DE LA SUPERFICIE GAUSSIANA, Y POR TANTO AQUÍ EL CAMPO ES CERO.

(FIN DEL TEMA 1.8 Y TAMBIÉN FIN DE LA UNIDAD Nº 1)

UNIDAD Nº 2: POTENCIAL ELÉCTRICO

TEMAS:

2.1 DEFINICIÓN DE POTENCIAL ELÉCTRICO.2.2 DIFERENCIA DE POTENCIAL Y FUNCIÓN POTENCIAL.2.3 CÁLCULO DEL POTENCIAL ELÉCTRICO PARA DISTINTAS DISTRIBUCIONES DE CARGA.2.4 DETERMINACIÓN DEL CAMPO ELÉCTRICO A PARTIR DEL POTENCIAL ELÉCTRICO.2.5 ENERGÍA POTENCIAL ELÉCTRICA.2.6 RELACIÓN ENTRE VOLTAJE Y CAMPO ELÉCTRICO.2.7 LÍNEAS Y SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES.2.8 POTENCIAL ELÉCTRICO EN CONDUCTORES.

2.1 DEFINICIÓN DE POTENCIAL ELÉCTRICOCapítulo 25 / Tippens

SI SE CONOCE LA INTENSIDAD DEL CAMPO EN CIERTO PUNTO, ES POSIBLE PREDECIR LA FUERZA SOBRE UNA CARGA SITUADA EN ESE PUNTO. DE IGUAL FORMA ES CONVENIENTE ASIGNAR OTRA PROPIEDAD AL ESPACIO QUE RODEA UNA CARGA, Y QUE NOS PERMITE PREDECIR LA ENERGÍA POTENCIAL DEBIDA A OTRA CARGA SITUADA EN CUALQUIER PUNTO. ESTA PROPIEDAD DEL ESPACIO SE LLAMA POTENCIAL Y SE DEFINE COMO SIGUE:

“EL POTENCIAL V EN UN PUNTO SITUADO A UNA DISTANCIA r DE UNA CARGA Q ES IGUAL AL TRABAJO POR UNIDAD DE CARGA, REALIZADO CONTRA LAS FUERZAS ELÉCTRICAS, PARA TRANSPORTAR UNA CARGA POSITIVA +q DESDE EL INFINITO HASTA DICHO PUNTO”.

EN OTRAS PALABRAS, EL POTENCIAL EN DETERMINADO PUNTO A, COMO SE MUESTRA EN LA FIGURA 1, ES IGUAL A LA ENERGÍA POTENCIAL POR UNIDAD DE CARGA. LAS UNIDADES DE POTENCIAL SE EXPRESAN EN JOULES POR COULOMB, Y SE CONOCEN COMO volt (v):

19


JULIO 2013

VA(V) = EP / q (joules) / (coulomb) (1)

VA=kQr

Líneas equipotenciales

FIGURA 1. CÁLCULO DEL POTENCIAL A UNA DISTANCIA r DE UNA CARGA +Q.ESTO SIGNIFICA QUE UN POTENCIAL DE 1 volt EN EL PUNTO A SIGNIFICA QUE SI UNA CARGA DE UN COULOMB SE COLOCARA EN A, LA ENERGÍA POTENCIAL SERÍA DE UN JOULE. EN GENERAL, CUANDO SE CONOCE EL POTENCIAL EN EL PUNTO A, LA ENERGÍA POTENCIAL DEBIDA A LA CARGA q EN ESE PUNTO SE PUEDE DETERMINAR A PARTIR DE:

EP = q· VA (2)

PERO TAMBIÉN ES CIERTO QUE:

EP = k·Q·q / r (3)

POR LO TANTO, SUSTITUYENDO LA ECUACIÓN (3) EN LA ECUACIÓN (2):

VA(V) = Kq / R (4)

EN DONDE LA EXPRESIÓN ANTERIOR ES LA ENERGÍA POTENCIAL ELÉCTRICA.

EN LA ECUACIÓN (4), EL SÍMBOLO VA SE REFIERE AL POTENCIAL ELÉCTRICO EN EL PUNTO A LOCALIZADO A UNA DISTANCIA r DE LA CARGA Q.

YA PARA TERMINAR CON ESTE TEMA,DIREMOS QUE:

“EL POTENCIAL DEBIDO A UNA CARGA POSITIVA ES POSITIVO, Y EL POTENCIAL DEBIDO A UNA CARGA NEGATIVA ES NEGATIVO”.

APLICACIONES:

1. (a) CALCULE EL POTENCIAL ELÉCTRICO EN EL PUNTO A QUE ESTÁ A 30 cm DE DISTANCIA DE UNA CARGA DE -2µC. (b) ¿CUÁL ES LA ENERGÍA POTENCIAL SI UNA CARGA DE +4Nc ESTÁ COLOCADA EN A?

20

+Q

r


JULIO 2013

SOLUCIÓN:

PLAN: AL PRINCIPIO NO HAY ENERGÍA POTENCIAL EP DEBIDO A QUE SÓLO HAY UNA CARGA. NO OBSTANTE, HAY POTENCIAL ELÉCTRICO V EN EL ESPACIO QUE RODEA A LA CARGA. EN LA PARTE (a) USAREMOS LA ECUACIÓN (4) PARA CALCULAR EL POTENCIAL ELÉCTRICO A UNA DISTANCIA DE 0.30 m DE LA CARGA DE -2µC. LUEGO EN (b), USAREMOS LA ECUACIÓN (3) PARA DETERMINAR LA ENERGÍA POTENCIAL CUANDO LA CARGA DE +4 nC SE COLOCA EN A.

PARA (a):

A PARTIR DE LA ECUACIÓN(4) OBTENEMOS:

VA = Kq / r , SUSTITUYENDO VALORES, OBTENEMOS:

= -6 X104 V

PARA (b):

AL RESOLVER LA ECUACIÓN (3) EXPLÍCITAMENTE PARA EP, DETERMINAMOS LA ENERGÍA POTENCIAL DEBIDA A LA COLOCACIÓN DE LA CARGA DE +4nC. O SEA:

EP = kQq / r PERO Kq/r = VA

POR LO TANTO, AL SUSTITUIR EL VALOR ANTERIOR, TENEMOS:

EP = VA·q

SUSTITUYENDO VALORES EN LA EXPRESIÓN ANTERIOR, TENEMOS:

EP = -2.40 X 10-4 joules

RECORDEMOS QUE UN VALOR NEGATIVO PARA LA ENERGÍA POTENCIAL SIGNIFICA QUE, AL SEPARAR LAS CARGAS, EL TRABAJO SE DEBE REALIZAR EN CONTRA DEL CAMPO ELÉCTRICO. EN ESTE EJEMPLO, UNA FUERZA EXTERIOR DEBE SUMINISTRAR UN TRABAJO DE 24 X 10-5 joules PARA PODER TRANSPORTAR LA CARGA HASTA EL INFINITO.

POTENCIAL ELÉCTRICO EN LA VECINDAD DE CIERTO NÚMERO DE CARGAS

EL POTENCIAL ELÉCTRICO EN UN PUNTO EN EL ESPACIO CERCANO A OTRAS CARGAS, ESTÁ DADO POR:

V =∑ kQ /r (5)

ESTA ECUACIÓN ES UNA SUMA ALGEBRAICA PUESTO QUE EL POTENCIAL ELÉCTRICO ES UNA CANTIDAD ESCALAR Y NO UNA CANTIDAD VECTORIAL, COMO OCURRE CON LAS FUERZAS Y LOS CAMPOS ELÉCTRICOS. ESTO SE ILUSTRA EN EL PROBLEMA SIGUIENTE:

21

FIGURA 2. UBICACIÓN DE LAS

DOS CARGAS, ASÍ COMO DE

LOS PUNTOS A Y B PARA EL

CÁLCULO DEL POTENCIAL.


JULIO 2013

2. DOS CARGAS, Q1 = +6µC Y Q2=-6µC, ESTÁN SEPARADAS 12 cm, COMO MUESTRA LA FIGURA 2. CALCULE EL POTENCIAL EN LOS PUNTOS A Y B.

4 cm 8 cm 4 cm

SOLUCIÓN:

PLAN: EL POTENCIAL ELÉCTRICO EN UN PUNTO EN PARTICULAR ES LA SUMA ALGEBRAICA DE LOS POTENCIALES ELÉCTRICOS DEBIDOS A CADA CARGA, CON LAS DISTANCIAS MEDIDAS DE CADA CARGA A DICHO PUNTO. LOS SIGNOS DE LA CARGA PUEDEN USARSE EN EL PROCESO DE SUMA PARA CALCULAR EL POTENCIAL TOTAL.

PARA (a): EL POTENCIAL ELÉCTRICO EN A SE ENCUENTRA UTILIZANDO LA ECUACIÓN (5):

VA = KQ1/ r1 + KQ2/r2

SUSTITUYENDO VALORES, TENEMOS QUE:

VA = (9X109 N·m2/C2) · (6X10-6 C) / (4X10-2 m) + (9X109 N·m2/C2)·(-6X10-6 C) / (8X10-2 m).

POR LO TANTO, HACIENDO OPERACIONES, OBTENEMOS FINALMENTE:

VA = 6.75 X105 V

PARA (b):

EL POTENCIAL ELÉCTRICO EN B ES:

VB = KQ1/r1 + KQ2/r2

SUSTITUYENDO VALORES Y HACIENDO LAS OPERACIONES INDICADAS, COMO EN EL CASO (a), OBTENEMOS:

VB = -10.1 X 105 V

RECORDEMOS UNA NUEVA VEZ MÁS, QUE LOS VALORES NEGATIVOS INDICAN QUE EL CAMPO SE MANTENDRÁ SOBRE UNA CARGA POSITIVA. PARA MOVER 1 C DE CARGA POSITIVA DESDE A HASTA EL INFINITO, OTRA FUENTE DE ENERGÍA DEBE DESARROLLAR UN TRABAJO DE 10.1 X 105 joules. EL CAMPO DESARROLLARÁ UN TRABAJO NEGATIVO, IGUAL A ESTA CANTIDAD.

TAREA:

22

+ -A BQ1


JULIO 2013

3. CALCULE EL POTENCIAL EN EL PUNTO A QUE ESTÁ A 50 mm DE UNA CARGA DE -40 µC. ¿CUÁL ES LA ENERGÍA POTENCIAL SI UNA CARGA DE +3µC SE COLOCA EN EL PUNTO A?[RESP. -7.20 MV, -21.6].

4. UNA CARGA DE +45 nC SE ENCUENTRA 68 mm A LA IZQUIERDA DE UNA CARGA DE -9 nC. ¿CUÁL ES EL POTENCIAL EN UN PUNTO QUE SE ENCUENTRA 40 mm A LA IZQUIERDA DE LA CARGA DE -9 nC?[RESP. 12.4 KV].

5. LOS PUNTOS A Y B ESTÁN A 40 Y 25 mm DE UNA CARGA DE +6µC. ¿CUÁNTO TRABAJO ES NECESARIO HACER CONTRA EL CAMPO ELÉCTRICO (POR MEDIO DE FUERZAS EXTERNAS), PARA TRASLADAR UNA CARGA DE +5µC DEL PUNTO A AL PUNTO B?[RESP. +4.05 joules].

(FIN DEL TEMA 2.1)2.2 DIFERENCIA DE POTENCIAL Y FUNCIÓN POTENCIALCapítulo 25 / Tippens

EN ELECTRICIDAD, MUCHAS VECES DESEAMOS CONOCER LOS REQUISITOS DE TRABAJO PARA MOVER CARGAS ENTRE DOS PUNTOS, LO CUAL NOS CONDUCE AL CONCEPTO DE DIFERENCIA DE POTENCIAL, LO CUAL DEFINIMOS ASÍ:

“LA DIFERENCIA DE POTENCIAL ENTRE DOS PUNTOS ES EL TRABAJO POR UNIDAD DE CARGA POSITIVA QUE REALIZAN LAS FUERZAS ELÉCTRICAS, PARA MOVER UNA CARGA PEQUEÑA DE PRUEBA, DESDE EL PUNTO DE MAYOR POTENCIAL AL PUNTO DE MENOR POTENCIAL”.

EN GENERAL, EL TRABAJO REALIZADO POR UN CAMPO ELÉCTRICO, O TRABAJO ELÉCTRICO, PARA MOVER UNA CARGA q DEL PUNTO A AL PUNTO B SE PUEDE DETERMINAR A PARTIR DE:

Trabajo = q (VA - VB) (1) A→B

APLICACIONES

1. CUÁL ES LA DIFERENCIA DE POTENCIAL ENTRE LOS PUNTOS A Y B EN LA FIGURA 2 DEL PROBLEMA 2 (DEL TEMA 2.1 ANTERIOR). ¿CUÁNTO TRABAJO REALIZA UN CAMPO ELÉCTRICO AL MOVER UNA CARA DE -2nC DEL PUNTO A AL PUNTO B?

SOLUCIÓN:

LOS POTENCIALES EN LOS PUNTOS A Y B SE CALCULARON YA EN EL PROBLEMA 2 DEL TEMA 2.1. ÉSTOS SON:

VA = 6.75 X 105 V

23


JULIO 2013

VB = -10.1 X 105 V

POR TANTO, LA DIFERENCIA DE POTENCIAL ENTRE LOS PUNTOS A Y B ES:

VA - VB = 6.75 X 105 V - ( -10.1 X 105 V) = 16.9 X 105 V

AHORA BIEN, PUESTO QUE A ESTÁ A UN POTENCIAL MAYOR QUE B, EL CAMPO REALIZARÍA UN TRABAJO POSITIVO CUANDO UNA CARGA POSITIVA SE MOVIERA DESDE A HASTA B. SI SE DESPLAZARA UNA CARGA NEGATIVA EL TRABAJO REALIZADO POR EL CAMPO PARA MOVERLA DESDE A HASTA B SERÍA NEGATIVO. EN ESTE EJEMPLO, EL TRABAJO ES:Trabajo = q ( VA - VB ) A→B SUSTITUYENDO VALORES Y REALIZANDO LAS OPERACIONES INDICADAS, OBTENEMOS:

Trabajo = -3.37 X 10-3 joules A→B POR EL HECHO DE QUE EL TRABAJO REALIZADO POR ESTE CAMPO ES NEGATIVO, OTRA FUENTE DE ENERGÍA DEBE SUMINISTRAR EL TRABAJO PARA MOVER LA CARGA.

TAREA:

2. EL GRADIENTE DE POTENCIAL ENTRE DOS PLACAS PARALELAS SEPARADAS 4 mm ES DE 6 000 V/m. ¿CUÁL ES LA DIFERENCIA DE POTENCIAL ENTRE LAS PLACAS?[RESP. 24 V].

3. ¿CUÁL DEBE SER LA SEPARACIÓN DE DOS PLACAS PARALELAS, SI LA INTENSIDAD DE CAMPO ES DE 5 X 104 V/m Y LA DIFERENCIA DE POTENCIAL ES DE 400 V?[RESP. 8 mm].

4. UN ELECTRÒN ADQUIERE UNA ENERGÍA DE 2.8 X 10-15 joules AL PASAR DEL PUNTO A AL PUNTO B. ¿CUÁL ES LA DIFERENCIA DE POTENCIAL ENTRE ESOS PUNTOS EN VOLTS?[RESP. 17.5 Kv].

PROBLEMAS ADICIONALES

5. A CIERTA DISTANCIA DE UNA CARGA PUNTUAL, EL POTENCIAL ES DE 1200 V Y LA INTENSIDAD DEL CAMPO ELÉCTRICO EN ESE PUNTO ES DE 400 N/C. ¿CUÁL ES LA DISTANCIA A LA CARGA Y CUÁL ES LA MAGNITUD DE DICHA CARGA?[RESP. 3m, 400 nC].

6. SUPONGA QUE q=1µC Y d= 20 mm. ¿CUÁL ES LA ENERGÍA POTENCIAL DEL SISTEMA DE CARGAS DE LA FIGURA 1 ANEXA? [RESP. 1.35 joules].

24


JULIO 2013

FIGURA 1. DISTRIBUCIÓN DE LAS CARGAS PARA EL CÁLCULO DE LA ENERGÍA POTENCIAL DEL SISTEMA.

(FIN DEL TEMA 2.2)

2.3 CÁLCULO DEL POTENCIAL ELÉCTRICO PARA DISTINTAS DISTRIBUCIONES DE CARGA.Capítulo 3 / Serway / Jewett

PARA CALCULAR EL POTENCIAL ELÉCTRICO DEBIDO A UNA DISTRIBUCIÓN DE CARGA CONTINUA, ATENDEMOS A LA FIGURA 1 SIGUIENTE:

FIGURA 1. ARREGLO DE UNA DISTRIBUCIÓN CONTINUA DE CARGA.

DE LA FIGURA 1, DIREMOS QUE ES POSIBLE CALCULAR EL POTENCIAL ELÉCTRICO EN EL PUNTO P DEBIDO A UNA DISTRIBUCIÓN DE CARGA CONTINUA, AL DIVIDIR LA DISTRIBUCIÓN DE CARGA EN LOS ELEMENTOS DE CARGA dq Y SUMAR LAS CONTRIBUCIONES DEL POTENCIAL ELÉCTRICO DE TODOS ELLOS … PERO COMO TODO ESTO REQUIERE DE HERRAMIENTAS MATEMÁTICAS ESPECIALES, TALES COMO EL CÁLCULO DIFERENCIAL E

25

d d

d

+q

+q-2q

p

r

dq


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INTEGRAL, ESTO TRASCIENDE LAS EXPECTATIVAS DE NUESTRO CURSO … POR LO TANTO, CON ESTA EXPOSICIÓN TERMINAMOS EL TEMA 2.3.

(FIN DEL TEMA 2.3)

2.4 DETERMINACIÓN DEL CAMPO ELÉCTRICO A PARTIR DEL POTENCIAL ELÉCTRICO.

2.5 ENERGÍA POTENCIAL ELÉCTRICA.

2.6 RELACIÓN ENTRE VOLTAJE Y CAMPO ELÉCTRICO.

LA PARTE ESENCIAL DE ESTOS TEMAS YA LA ESTUDIAMOS AL INICIAR EL DESARROLLO DE ESTA SEGUNDA UNIDAD. POR OTRO LADO, SU ANÁLISIS REQUIERE DEL CONCEPTO Y APLICACIÓN DEL CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL, COMO HERRAMIENTA DE TRABAJO Y, COMO ESTO TRASCIENDE LAS EXPECTATIVAS DE NUESTRO CURSO, PASAMOS AL TEMA SIGUIENTE.

(FIN DE LOS TEMAS: 2.4, 2.5 Y 2.6)

26


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2.7 LÍNEAS Y SUPERFICIES EQUIPOTENCIALEShttp://acer.forestales.upm.es

LAS SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES SON AQUELLAS EN LAS QUE EL POTENCIAL TOMA UN VALOR CONSTANTE. POR EJEMPLO, LAS SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES CREADAS POR CARGAS PUNTUALES, SON ESFERAS CONCÉNTRICAS CENTRADAS EN LA CARGA, COMO SE DEDUCE DE LA DEFINICIÓN DE POTENCIAL (r = CONSTANTE). VER LA FIGURA 1:

V2 B

E A V1

FIGURA 1. SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES CREADAS POR UNA CARGA PUNTUAL POSITIVA.

PARA EL CASO DE UNA CARGA NEGATIVA, OBSERVEMOS LA FIGURA 2:

27

http://acer.forestales.upm.es/


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V1

E

V2

FIGURA 2. SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES CREADAS POR UNA CARGA PUNTUAL NEGATIVA.

DE LA FIGURA 1: ¿QUÉ SUCEDE CUANDO UNA CARGA SE MUEVE SOBRE UNA SUPERFICIE EQUIPOTENCIAL, DIGAMOS DEL PUNTO A AL PUNTO B MOSTRADO? LA RESPUESTA ES QUE LA FUERZA ELECTROSTÁTICA NO REALIZA NINGÚN TRABAJO DEBIDO A QUE EL ∆V ES NULO Y TAMBIÉN PORQUE EL CAMPO ELÉCTRICO ES PERPENDICULAR AL DESPLAZAMIENTO.

YA PARA TERMINAR CON ESTE TEMA, DIREMOS QUE LAS PROPIEDADES DE LAS SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES SE PUEDEN RESUMIR EN TRES, A SABER:

1. LAS LÍNEAS DE CAMPO ELÉCTRICO SON, EN CADA PUNTO, PERPENDICULARES A LAS SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES Y SE DIRIGEN HACIA DONDE EL POTENCIAL DISMINUYE.

2. EL TRABAJO PARA DESPLAZAR UNA CARGA ENTRE DOS PUNTOS DE UNA MISMA SUPERFICIE EQUIPOTENCIAL ES NULO.

3. DOS SUPERFICIES EQUIPOTENCIALES NO SE PUEDEN CORTAR.

(FIN DEL TEMA 2.7)

28


JULIO 2013

2.8 POTENCIAL ELÉCTRICO EN CONDUCTORESFísica / Capítulo 3 / Serway / Jewett

RESULTA INTERESANTE CONOCER EL COMPORTAMIENTO DEL POTENCIAL ELÉCTRICO EN LOS CONDUCTORES, EN PARTICULAR DE LOS QUE SE ENCUENTRAN EN EQUILIBRIO ELECTROSTÁTICO.

COMO SABEMOS, UN BUEN CONDUCTOR ELÉCTRICO CONTIENE CARGAS (ELECTRONES) QUE NO SE ENCUENTRAN UNIDAS A NINGÚN ÁTOMO, Y DEBIDO A ESO, TIENEN LA LIBERTAD DE MOVERSE EN EL INTERIOR DEL MATERIAL. AHORA BIEN: CUANDO DENTRO DE UN CONDUCTOR NO EXISTE NINGÚN MOVIMIENTO NETO DE CARGA, DECIMOS ENTONCES QUE EL CONDUCTOR ESTÁ EN EQUILIBRIO ELECTROSTÁTICO. Y UN CONDUCTOR DE ESTE TIPO TIENE LAS SIGUIENTES PROPIEDADES, A SABER:

1. EN EL INTERIOR DEL CONDUCTOR EL CAMPO ELÉCTRICO ES CERO, SI EL CONDUCTOR ES SÓLIDO O HUECO.

2. SI UN CONDUCTOR AISLADO TIENE CARGA, ÉSTA RESIDE EN SU SUPERFICIE.

3. EL CAMPO ELÉCTRICO JUSTO FUERA DE UN CONDUCTOR CON CARGA ES PERPENDICULAR A LA SUPERFICIE DEL CONDUCTOR, Y TIENE UNA MAGNITUD DE σ /ε0, EN DONDE σ (SIGMA) ES LA DENSIDAD DE CARGA SUPERFICIAL EN ESE PUNTO.

4. EN UN CONDUCTOR DE FORMA IRREGULAR, LA DENSIDAD DE CARGA SUPERFICIAL ES MÁXIMA EN AQUELLOS PUNTOS DONDE EL RADIO DE CURVATURA DE LA SUPERFICIE ES EL MENOR.

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JULIO 2013


UNIDAD Nº 3: CORRIENTE ELÉCTRICA

TEMAS:

3.1 CORRIENTE ELÉCTRICA.3.2 DENSIDAD DE CORRIENTE ELÉCTRICA.3.3 RESISTENCIA Y RESISTIVIDAD.3.4 CONDUCTIVIDAD.3.5 LEY DE OHM.3.6 FUERZA ELECTROMOTRIZ.3.7 POTENCIAL ELÉCTRICO.3.8 EFECTO DE JOULE.3.9 CIRCUITOS SIMPLES CON RESISTENCIAS.3.10 PUENTE DE WHEATSTONE.3.11 CIRCUITOS RC.

3.1 CORRIENTE ELÉCTRICACapítulo 27 / Tippens

SE USA EL TÉRMINO CORRIENTE ELÉCTRICA, O SIMPLEMENTE CORRIENTE, PARA DESCRIBIR LA RELACIÓN DE FLUJO DE CARGA. LAS APLICACIONES MÁS PRÁCTICAS DE LA ELECTRICIDAD SE RELACIONAN CON CORRIENTES ELÉCTRICAS. POR EJEMPLO, LA BATERÍA EN UNA LÁMPARA DE MANO PRODUCE UNA CORRIENTE EN EL FILAMENTO DEL FOCO CUANDO SE ACTIVA EL INTERRUPTOR. MUCHOS ELECTRODOMÉSTICOS FUNCIONAN CON CORRIENTE ALTERNA. EN ESTAS SITUACIONES COMUNES, EXISTE CORRIENTE EN UN CONDUCTOR TAL COMO UN ALAMBRE DE COBRE. ADEMÁS LAS CORRIENTES PUEDEN EXISTIR AFUERA DE UN CONDUCTOR. POR EJEMPLO, UN HAZ DE ELECTRONES EN EL CINESCOPIO DE UN TELEVISOR CONSTITUYE UNA CORRIENTE.

30

FIGURA 1. CARGAS EN MOVIMIENTO A TRAVÉS DE UN ÁREA A. LA RAPIDEZ A LA CUAL FLUYE LA CARGA A TRAVÉS DEL ÁREA SE DEFINE COMO CORRIENTE I.


JULIO 2013

A CONTINUACIÓN VEREMOS DE QUÉ MANERA SE DA EL FLUJO DE LAS CARGAS ELÉCTRICAS A TRAVÉS DE UN MATERIAL. LA CANTIDAD DE FLUJO DEPENDE DEL MATERIAL A TRAVÉS DEL CUAL PASAN LAS CARGAS Y DE LA DIFERENCIA DE POTENCIAL QUE EXISTE DE UN EXTEMO AL OTRO DEL MATERIAL. SIEMPRE QUE HAY UN FLUJO NETO DE CARGA A TRAVÉS DE ALGUNA REGIÓN, SE DICE QUE EXISTE UNA CORRIENTE ELÉCTRICA.

PARA DEFINIR LA CORRIENTE CON MAYOR PRECISIÓN, SUPONGA QUE LAS CARGAS TIENEN UN MOVIMIENTO PERPENDICULAR A UNA SUPERFICIE A, SEGÚN SE OBSERVA EN LA FIGURA 1:

A

IDE LA FIGURA 1, EL ÁREA A PODRÍA CORRESPONDER AL ÁREA DE LA SECCIÓN TRANSVERSAL DE UN ALAMBRE. LA CORRIENTE ES LA PROPORCIÓN A LA CUAL CIRCULA LA CARGA A TRAVÉS DE ESTA SUPERFICIE.TAMBIÉN PODEMOS DECIR QUE LA CORRIENTE ELÉCTRICA I ES LA RAPIDEZ DEL FLUJO DE LA CARGA Q QUE PASA POR UN PUNTO P EN UN CONDUCTOR ELÉCTRICO. MATEMÁTICAMENTE ESTO SE EXPRESA ASÍ:

I = Q /t (1)

LA UNIDAD DE CORRIENTE ELÉCTRICA ES EL ampere. UN ampere (A) REPRESENTA UN FLUJO DE CARGA CON LA RAPIDEZ DE un coulomb por segundo, AL PASAR POR CUALQUIER PUNTO. O SEA:

1 A = 1 C / 1 S (2)

PARA COMPRENDER EL FLUJO DE CORRIENTE ES ÚTIL HACER UNA ANALOGÍA CON EL AGUA QUE FLUYE A TRAVÉS DE UNA TUBERÍA. LA RAZÓN DEL FLUJO DE AGUA EN GALONES POR MINUTO, ES ANÁLOGA A LA RAZÓN DE FLUJO DE CARGA EN COULOMBS POR SEGUNDO. ASÍ, PARA UNA CORRIENTE DE 1 A, 6.25 X 1018 ELECTRONES ( 1 C ) FLUYEN PASANDO POR UN PUNTO DADO CADA SEGUNDO. DEL MISMO MODO QUE EL TAMAÑO Y LA LONGITUD DE LA TUBERÍA AFECTAN EL FLUJO DE AGUA, ASÍ EL TAMAÑO Y LA LONGITUD DE UN CONDUCTOR AFECTAN EL FLUJO DE ELECTRONES.

APLICACIONES

1. ¿CUÁNTOS ELECTRONES PASAN POR UN PUNTO EN 5 S SI SE MANTIENE EN UN CONDUCTOR UNA CORRIENTE CONSTANTE DE 8 A?

SOLUCIÓN:

USANDO LA ECUACIÓN (1):

31

+

+

+

+

+

FIGURA 2. CIRCUITO QUE

MUESTRA LAS DIRECCIONES DE

LAS CORRIENTES ELECTRÓNICA Y

CONVENCIONAL.


JULIO 2013

I = Q / t

DESPEJANDO Q, TENEMOS:

Q = I · t


Q = (8 A) · (5 S) = (8 C/S) · (5 S) =40 C

= (40 C) · (6.25 X 1018 ELECTRONES / C)

= 2.50 X 1020 ELECTRONES.

LA DIRECCIÓN DE LA CORRIENTE ELÉCTRICA

CON RESPECTO A LA DIRECCIÓN DE LA CORRIENTE EN UN CIRCUITO (TRAYECTORIA CERRADA), DIREMOS QUE DICHA DIRECCIÓN DEPENDE DE SI SE TRATA DE LA CORRIENTE ELECTRÓNICA O DE LA CORRIENTE CONVENCIONAL. VER LA FIGURA 2:

S

I convencional

v R

I electrónica

DEL CIRCUITO MOSTRADO EN LA FIGURA 2, VEMOS QUE LA CORRIENTE ELECTRÓNICA FLUYE DEL POLO NEGATIVO DE LA FUENTE AL POLO POSITIVO DE DICHA FUENTE. POR OTRO LADO, TAMBIÉN VEMOS QUE LA CORRIENTE CONVENCIONAL FLUYE DEL POLO POSITIVO DE LA FUENTE AL POLO NEGATIVO DE DICHA FUENTE.

ES PRECISO DECIR QUE NOSOTROS PODEMOS TRABAJAR CON CUALQUIER TIPO DE CORRIENTE: YA SEA LA CORRIENTE ELECTRÓNICA O LA CORRIENTE CONVENCIONAL … PERO HAY UN DETALLE: SI AL RESOLVER UN CIRCUITO DEFINIMOS UN DETERMINADO TIPO DE CORRIENTE, SE DEBE MANTENER ESTA SELECCIÓN DURANTE TODO EL PROCESO DE SOLUCIÓN, PUES NO SE VALE QUE CAMBIEMOS AL OTRO TIPO DE CORRIENTE A LA MITAD DE LA SOLUCIÓN DEL PROBLEMA.

NOTA:

EN NUESTRO CURSO ( A MENOS QUE SE ESTABLEZCA LO CONTRARIO ), TRABAJAREMOS CON LA CORRIENTE ELECTRÓNICA.

32

+

-


JULIO 2013

(FIN DEL TEMA 3.1)

3.2 DENSIDAD DE CORRIENTE ELÉCTRICACapítulo 5 / Serway / Jewetthttp://es.wikipedia.org

LA DENSIDAD DE CORRIENTE J EN EL CONDUCTOR SE DEFINE COMO LA CORRIENTE POR UNIDAD DE ÁREA. MATEMÁTICAMENTE SE EXPRESA ASÍ:

J = I / A = amperes/m2 (1)

PARA EL S.I. (SISTEMA INTERNACIONAL) DE UNIDADES. ESTA EXPRESIÓN ES VÁLIDA SÓLO SI LA DENSIDAD DE CORRIENTE ES UNIFORME Y SÓLO SI LA SUPERFICIE DEL ÁREA DE SECCIÓN TRANSVERSAL A ES PERPENDICULAR A LA DIRECCIÓN DE LA CORRIENTE, DE TAL MANERA QUE:

“TAN PRONTO COMO SE MANTIENE UNA DIFERENCIA DE POTENCIAL A TRAVÉS DEL CONDUCTOR, SE ESTABLECE UNA DENSIDAD DE CORRIENTE Y UN CAMPO ELÉCTRICO”. EN ALGUNOS MATERIALES, LA DENSIDAD DE CORRIENTE ES PROPORCIONAL AL CAMPO ELÉCTRICO, SEGÚN SE MUESTRA EN LA SIGUIENTE EXPRESIÓN:

J = σE (2)

DONDE LA CONSTANTE DE PROPORCIONALIDAD σ (SIGMA) SE CONOCE COMO CONDUCTIVIDAD DEL CONDUCTOR.

EL RECÍPROCO DE LA CONDUCTIVIDAD ES LA RESISTIVIDAD ρ (RO), Y SE EXPRESA ASÍ:

33

http://es.wikipedia.org/


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ρ=1σ=Ω·m

EN LA TABLA 1 SE MUESTRAN ALGUNAS CONDUCTIVIDADES ELÉCTRICAS:

TABLA 1METAL CONDUCTIVIDAD ELÉCTRICA TEMPERATURA (S·m1) (ºC)PLATA 6.30 X 107 20COBRE 5.96 X 107 20COBRE RECOCIDO 5.80 X 107 20ORO 4.55 X 107 20 – 25ALUMINIO 3.78 X 107 20WOLFRAMIO 1.82 X 107 -HIERRO 1.53 X 107 -

(FIN DEL TEMA 3.2)3.3 RESISTENCIA Y RESISTIVIDAD.3.4 CONDUCTIVIDAD.3.5 LEY DE OHM.Capítulo 27 / TippensCapítulo 5 / Serway / Jewett

LA RESISTENCIA (R) SE DEFINE COMO LA OPOSICIÓN A QUE FLUYA LA CARGA ELÉCTRICA. AUNQUE LA MAYORÍA DE LOS METALES SON BUENOS CONDUCTORES DE ELECTRICIDAD, TODOS OFRECEN CIERTA OPOSICIÓN A QUE EL FLUJO DE CARGA ELÉCTRICA PASE A TRAVÉS DE ELLOS. ESTA RESISTENCIA ELÉCTRICA ES FIJA PARA GRAN NÚMERO DE MATERIALES ESPECÍFICOS, DE TAMAÑO, FORMA Y TEMPERATURA CONOCIDOS. ES INDEPENDIENTE DE LA fem ( fuerza electromotriz) APLICADA Y DE LA CORRIENTE QUE PASA A TRAVÉS DE ELLA.

EL PRIMERO EN ESTUDIAR CUANTITATIVAMENTE LOS EFECTOS DE LA RESISTENCIA PARA LIMITAR EL FLUJO DE CARGA FUE GEORG SIMON OHM, EN 1826. ÉL DESCUBRIÓ QUE PARA UN RESISTOR DADO, A UNA TEMPERATURA PARTICULAR; LA CORRIENTE ES DIRECTAMENTE PROPORCIONAL AL VOLTAJE APLICADO. ASÍ COMO LA RAPIDEZ DE FLUJO DE AGUA ENTRE DOS PUNTOS DEPENDE DE LA DIFERENCIA DE ALTURA QUE HAYA ENTRE AMBOS, LA RAPIDEZ DE FLUJO DE LA CARGA ELÉCTRICA ENTRE DOS PUNTOS DEPENDE DE LA DIFERENCIA DE POTENCIAL QUE EXISTE ENTRE ELLOS. ESTA PROPORCIONALIDAD SE CONOCE, EN GENERAL, COMO LA LEY DE OHM:

“LA CORRIENTE QUE CIRCULA POR UN CONDUCTOR ES DIRECTAMENTE PROPORCIONAL A LA DIFERENCIA DE POTENCIAL ENTRE SUS PUNTOS EXTREMOS”

POR TANTO, LA CORRIENTE I QUE SE OBSERVA CON UN VOLTAJE V ES UN INDICIO DE LA RESISTENCIA. MATEMÁTICAMENTE, LA RESISTENCIA R DE UN CONDUCTOR DADO SE PUEDE CALCULAR A PARTIR DE:

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R = V / I , V = I·R , I = V / R LEY DE OHM (1)

CUANTO MAYOR SEA LA RESISTENCIA R, TANTO MENOR SERÁ LA CORRIENTE I PARA UN VOLTAJE DADO V. LA UNIDAD DE MEDICIÓN DE LA RESISTENCIA ES EL OHM, CUYO SÍMBOLO ES LA LETRA GRIEGA MAYÚSCULA OMEGA ( ). DE LA ECUACIÓN (1) TENEMOS QUE:

1 𝜴 = 1 V / 1 A

LO CUAL SIGNIFICA QUE UNA RESISTENCIA DE UN OHM PERMITIRÁ UNA CORRIENTE DE UN AMPERE CUANDO SE APLICA A SUS TERMINALES UNA DIFERENCIA DE POTENCIAL DE UN VOLT.RESISTENCIA DE UN MATERIAL DE LONGITUD L Y DE SECCIÓN TRANSVERSAL A

ES POSIBLE CALCULAR LA RESISTENCIA DE UN MATERIAL CON LA AYUDA DE LA EXPRESIÓN:

R = ρ L / A (2)

EN DONDE ρ (RO) ES LA RESISTIVIDAD DEL MATERIAL Y A ES EL ÁREA DE SU SECCIÓN TRANSVERSAL Y L ES SU LONGITUD.

EL VALOR DE LA RESISTIVIDAD ρ SE PUEDE CONOCER OBSERVANDO LA TABLA 2 SIGUIENTE:

TABLA 2RESISTIVIDADES PARA DIVERSOS MATERIALES A 20ºC

MATERIAL RESISTIVIDAD ( · m )

PLATA 1.59 X 10-8

COBRE 1.7 X 10-8

ORO 2.44 X 10-8

ALUMINIO 2.82 X 10-8

TUNGSTENO 5.6 X 10-8

HIERRO 10 X 10-8

PLATINO 11 X 10-8

PLOMO 22 X 10-8

ALEACIÓN NICROMO 1.50 X 10-6

CARBONO 3.5 X 10-5

GERMANIO 0.46SILICIO 2.3 X 103

VIDRIO 1 X 1010 a 1 X 1014

APLICACIONES

1. EL RADIO DE UN ALAMBRE DE NICROMO CALIBRE 22 ES DE 0.321 mm. A) CALCULE LA RESISTENCIA POR UNIDAD DE LONGITUD DE ESTE ALAMBRE. B) SI UNA

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DIFERENCIA DE POTENCIAL DE 10 V SE MANTIENE A TRAVÉS DE UNA LONGITUD DE 1 m DE ALAMBRE DE NICROMO, ¿CUÁL ES LA CORRIENTE EN EL ALAMBRE?

SOLUCIÓN;

DE LA TABLA 2 VEMOS QUE LA ALEACIÓN DE NICROMO TIENE UNA RESISTIVIDAD DE 1.50 X 10-6 𝜴 · m ,


A = 4 π · r2

SUSTITUYENDO VALORES Y REALIZANDO LAS OPERACIONES INDICADAS, TENEMOS:

A =0.3237 X 10-6 m2

CALCULAMOS LA RESISTENCIA:

R = ρ · L / A

SUSTITUYENDO VALORES Y REALIZANDO LAS OPERACIONES INDICADAS, TENEMOS:R = 4.6339 𝜴PARA CALCULAR LA RESISTENCIA POR UNIDAD DE LONGITUD, TENEMOS:

R / L = 4.6339 𝜴 / 1 m = 4.639 𝜴 / m

PARA EL INCISO B) TENEMOS:

USANDO UNA DE LAS EXPRESIONES DE LA ECUACIÓN (1), TENEMOS:

I = V / R = 10 V / 4.6339 𝜴 = 2.1580 A2. UN ALAMBRE DE COBRE DE 20 m DE LONGITUD TIENE 0.8 mm DE DIÁMETRO. LOS EXTREMOS DEL ALAMBRE SE COLOCAN A TRAVÉS DE LAS TERMINALES DE UNA BATERÍA DE 1.5 V. ¿QUÉ CORRIENTE PASA POR EL ALAMBRE?

SOLUCIÓN:

PRIMERO CALCULAMOS EL ÁREA DEL ALAMBRE Y DESPUÉS CALCULAMOS LA RESISTENCIA, TOMANDO EN CUENTA LA RESISTIVIDAD DEL COBRE.

CONVERTIMOS LOS mm A METROS:

0.8 mm = 0.8 X 10-3 m

DIÁMETRO = 8 X 10-4 m

CON LOS DATOS ANTERIORES CALCULAMOS EL ÁREA:

A = π · D2 / 4

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A = 5.0265 X 10-7 m2

AHORA USAMOS LA ECUACIÓN (2) PARA CALCULAR LA RESISTENCIA;

R = ρ · L / A


R = 0.6764 𝜴POR ÚLTIMO, USAMOS LA FORMA CONVENIENTE DE LA LEY DE OHM DE LA ECUACIÓN (1) :

I = V / R = 1.5 V / 0.6764 𝜴 = 2.2176 A

CÓDIGO DE COLORES PARA RESISTORES

ESTE CÓDIGO ESTÁ EN FUNCIÓN DE LA TABLA 3 SIGUIENTE:

TABLA 3

COLOR NÚMERO MULTIPLICADOR TOLERANCIA

NEGRO 0 1 CAFÉ 1 1 X 101

ROJO 2 1 X 102

NARANJA 3 1 X 103

AMARILLO 4 1 X 104

VERDE 5 1 X 105

AZUL 6 1 X 106

VIOLETA 7 1 X 107

GRIS 8 1 X 108

BLANCO 9 1 X 109

ORO 1 X 10-1 5%PLATA 1 X 10-2 10%SIN COLOR 20%

CÓMO SE APLICA EL CÓDIGO DE COLORES

PARA APLICAR EL CÓDIGO, OBSERVEMOS LA FIGURA 1: BANDAS TOLERANCIA 1ª 2ª 3ª

LAS FRANJAS 1 Y 2 DANLOS DÍGITOS DEL VALOR LA 3ª FRANJA DA EL NÚMERODE LA RESISTENCIA. DE CEROS.

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FIGURA 1. LAS BANDAS DE COLOR EN UN RESISTOR SON UN CÓDIGO PARA IDENTIFICAR SU RESISTENCIA. LOS PRIMEROS DOS COLORES REPRESENTAN LOS DOS PRIMEROS DÍGITOS DEL VALOR DE LA RESISTENCIA. EL TERCER VALOR REPRESENTA LA POTENCIA DE DIEZ DEL MULTIPLICADOR DEL VALOR DE LA RESISTENCIA. EL ÚLTIMO COLOR ES LA TOLERANCI DEL VALOR DE LA RESISTENCIA.

PARA EL RESISTOR DE LA FIGURA 1, SU VALOR ES:

ROJO AZUL ROJO 2 6 2

= 2 6 0 0 𝜴 = 2.6 k𝜴Y COMO ES SIN COLOR (LA TOLERANCIA), ES DEL 20%

(FIN DE LOS TEMAS: 3.3, 3.4 Y 3.5)3.6 FUERZA ELECTROMOTRIZCapítulo 27 / Tippens

UN DISPOSITIVO QUE TIENE LA CAPACIDAD DE MANTENER LA DIFERENCIA DE POTENCIAL ENTRE DOS PUNTOS, SE LLAMA UNA FUENTE DE FUERZA ELECTROMOTRIZ (fem).

LAS FUENTES DE fem MÁS CONOCIDAS SON LA BATERÍA Y EL GENERADOR. LA BATERÍA CONVIERTE LA ENERGÍA QUÍMICA, MECÁNICA A OTRAS FORMAS DE ELLA, EN LA ENERGÍA ELÉCTRICA NECESARIA PARA MANTENER UN FLUJO CONTINUO DE CARGA ELÉCTRICA.

UNA FUENTE DE FUERZA ELECTROMOTRIZ (fem) ES UN DISPOSITIVO QUE CONVIERTE LA ENERGÍA QUÍMICA, MECÁNICA A OTRAS FORMAS DE ELLA, EN LA ENERGÍA ELÉCTRICA NECESARIA PARA MANTENER UN FLUJO CONTINUO DE CARGA ELÉCTRICA.

EN UN CIRCUITO ELÉCTRICO, LA FUENTE DE fem SE REPRESENTA CASI SIEMPRE POR MEDIO DEL SÍMBOLO 𝜺LA FUNCIÓN DE UNA FUENTE DE fem EN UN CIRCUITO ELÉCTRICO ES SIMILAR A LA DE UNA BOMBA DE AGUA, PARA MANTENER EL FLUJO CONTINUO DE AGUA A TRAVÉS DE UNA TUBERÍA. EN LA FIGURA 1 (a), LA BOMBA DE AGUA DEBE REALIZAR EL TRABAJO NECESARIO SOBRE CADA UNIDAD DE VOLUMEN DE AGUA, PARA REEMPLAZAR LA ENERGÍA PERDIDA POR CADA UNIDAD DE VOLUMEN QUE FLUYE A TRAVÉS DE LOS TUBOS: INTERRUPTOR

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VÁLVULA DE PASO POTENCIAL I ALTO PRESIÓN ALTA BOMBA DE 𝜺 R AGUA SERPENTÍN PRESIÓN BAJA POTENCIAL I BAJO a) b)

FIGURA 1. LA ANALOGÍA MECÁNICA DE UNA BOMBA DE AGUA RESULTA ÚTIL PARA EXPLICAR LA FUNCIÓN DE UNA FUNTE DE fem EN UN CIRCUITO ELÉCTRICO.

EN LA FIGURA 1 (b), LA FUENTE DE fem DEBE TRABAJAR SOBRE CADA UNIDAD DE CARGA QUE PASA A TRAVÉS DE ELLA PARA ELEVARLA A UN POTENCIAL MAYOR. ESTE TRABAJO DEBE SUMINISTRARSE CON UNA RAPIDEZ IGUAL A LA RAPIDEZ CON QUE SE PIERDE LA ENEGÍA AL FLUIR A TRAVÉS DEL CIRCUITO.

POR CONVENCIÓN, HEMOS SUPUESTO QUE LA CORRIENTE CONSISTE EN EL FLUJO DE CARGA POSITIVA (CORRIENTE CONVENCIONAL), AUNQUE EN LA MAYORÍA DE LOS CASOS SE TRATA DE ELECTRONES CON SU CARGA NEGATIVA (CORRIENTE ELECTRÓNICA). POR TANTO, LA CARGA PIERDE ENEGÍA AL PASAR A TRAVÉS DEL RESISTOR DE UN POTENCIAL ALTO A UN POTENCIAL BAJO. EN LA ANALOGÍA HIDRÁULICA, EL AGUA PASA DE LA PRESIÓN ALTA A LA BAJA. CUANDO LA VÁLVULA DE INTERRUPCIÓN SE CIERRA, EXISTE PRESIÓN PERO NO HAY FLUJO DE AGUA. EN FORMA SIMILAR, CUANDO EL INTERRUPTOR ELÉCTRICO SE ABRE, HAY fem PERO NO CORRIENTE.

PUESTO QUE LA fem ES TRABAJO POR UNIDAD DE CARGA, SE EXPRESA EN LA MISMA UNIDAD QUE LA DIFERENCIA DE POTENCIAL: EL joule por coulomb O volt:

UNA FUENTE DE fem DE 1 VOLT REALIZARÁ UN joule DE TRABAJO SOBRE CADA coulomb DE CARGA QUE PASA A TRAVÉS DE ELLA.

(FIN DEL TEMA 3.6)

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3.7 POTENCIA ELÉCTRICACapítulo 27 / Tippens (Pág. 539)Capítulo 5 / Serway / Jewett

EN LOS CIRCUITOS ELÉCTRICOS COMUNES, LA ENERGÍA SE TRANSFIERE DE UNA FUENTE, COMO UNA BATERÍA, A ALGÚN DISPOSITIVO, COMO SERÍA UNA LÁMPARA O UN RECEPTOR DE RADIO. POR ELLO CONVIENE DETERMINAR UNA EXPRESIÓN QUE PERMITA CALCULAR LA RAPIDEZ DE TRANSFERENCIA DE ESTA ENERGÍA. PRIMERO OBSERVEMOS EL CIRCUITO MOSTRADO EN LA FIGUA 1:

FIGURA 1. CIRCUITO CONSTITUIDO POR UN RESISTOR DE RESISTENCIA R Y UNA BATERÍA CON UNA DIFERENCIA DE POTENCIAL V ENTRE SUS TERMINALES. LA CARGA POSITIVA FLUYE EN DIRECCIÓN DE LAS MANECILLAS DEL RELOJ (SENTIDO DE LA CORRIENTE CONVENCIONAL).

PARA EL CIRCUITO DE LA FIGURA 1, LA CORRIENTE I SE PUEDE DETERMINAR USANDO LA LEY DE OHM QUE YA CONOCEMOS:

I = V / R (1)

40

S

c

d

b+

V R

I

a-


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POR DESPEJES SUCESIVOS, TENEMOS ADEMÁS QUE:

V = I · R (2)

R = V / I (3)

AHORA BIEN, LA POTENCIA DEL CIRCUITO DE LA FIGURA 1 SE PUEDE EXPRESAR MATEMÁTICAMENTE COMO:

P = V · I = watts = (volts)(amperes) = LEY DE WATT (4)

POR LO TANTO, SUSTITUYENDO LA ECUACIÓN (2) EN (4), TENEMOS:

P = V · I = (I·R) · I = I2 · R (5)

AHORA, SUSTITUYENDO LA ECUACIÓN (1) EN (4), TENEMOS:P = V · I = V · ( V / R ) = V2 / R (6)

APLICACIONES

CON LAS LEYES DE OHM Y DE WATT PODEMOS RESOLVER PROBLEMAS MUY INTERESANTES, COMO LOS QUE MOSTRAMOS A CONTINUACIÓN:

1. UN CALENTADOR ELÉCTRICO SE CONSTRUYE AL APLICAR UNA DIFERENCIA DE POTENCIAL DE 120 V A TRAVÉS DE UN ALAMBRE DE NICROMO QUE TIENE UNA RESISTENCIA TOTAL DE 8𝜴. ENCUENTRE LA CORRIENTE CONDUCIDA POR EL ALAMBRE Y LA POTENCIA DE ESPECIFICACIÓN DEL CALENTADOR.

SOLUCIÓN:

EL ALAMBRE DE NICROMO TIENE ALTA RESISTIVIDAD POR LO QUE SE USA PARA ELEMENTOS CALEFACTORES EN TOSTADORES, PLANCHAS, Y CALENTADORES ELÉCTRICOS. POR LO TANTO, SE ESPERA QUE LA POTENCIA ENTREGADA AL ALAMBRE SEA RELATIVAMENTE ALTA.

USAMOS PRIMERO LA LEY DE OHM PARA CALCULAR LA CORRIENTE EN EL ALAMBRE:

I = V / R = 120 V / 8𝜴 = 15 A

POR LO TANTO, LA POTENCIA NOMINAL SE CALCULA CON LA EXPRESIÓN:

P = I2 · R

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JULIO 2013

SUSTITUYENDO VALORES Y REALIZANDO LAS OPERACIONES CORRESPONDIENTES, TENEMOS:

P = 1.8 X 103 watts = 1.8 K W

TAREA:

2. UN TOSTADOR ESTÁ ESPECIFICADO EN 600 W AL CONECTARSE A UNA ALIMENTACIÓN DE 120 V. ¿CUÁL ES LA CORRIENTE EN EL TOSTADOR Y CUÁL ES SU RESISTENCIA?[RESP. 5 A, 24 𝜴]

(FIN DEL TEMA 3.7)

3.8 EFECTO JOULEes.wikipedia.org

SE CONOCE COMO EFECTO JOULE AL FENÓMENO POR EL CUAL SI EN UN CONDUCTOR CIRCULA CORRIENTE ELÉCTRICA, PARTE DE LA ENERGÍA CINÉTICA DE LOS ELECTRONES SE TRANSFORMA EN CALOR, DEBIDO A LOS CHOQUES QUE SUFREN CON LOS ÁTOMOS DEL MATERIAL CONDUCTOR POR EL QUE CIRCULAN, ELEVANDO LA TEMPERATURA DEL MISMO.

EN ESTE EFECTO SE BASA EL FUNCIONAMIENTO DE DIFERENTES ELECTRODOMÉSTICOS COMO LOS HORNOS, LOS TOSTADORES Y LAS CALEFACCIONES ELÉCTRICAS, ASÍ COMO ALGUNOS APARATOS EMPLEADOS INDUSTRIALMENTE COMO SOLDADORAS, ETC., EN LOS QUE EL EFECTO ÚTIL BUSCADO ES, PRECISAMENTE, EL CALOR QUE DESPRENDE EL CONDUCTOR POR EL PASO DE LA CORRIENTE. NO OBSTANTE, EN LA MAYORÍA DE LAS APLICACIONES ES UN EFECTO INDESEADO Y LA RAZÓN POR LA QUE LOS APARATOS ELÉCTRICOS Y ELECTRÓNICOS (COMO LAS LAP TOPS) NECESITAN UN VENTILADOR QUE DISMINUYA EL CALOR GENERADO, Y EVITE ASÍ EL CALENTAMIENTO EXCESIVO DE LOS DIFERENTES DISPOSITIVOS, COMO PUEDEN SER LOS CIRCUITOS INTEGRADOS. ES DE NOTARSE ESTE EFECTO EN LAS LÁMPARAS INCANDESCENTES (FOCOS), LAS QUE POR LO GENERAL PRODUCEN MÁS ENERGÍA CALORÍFICA QUE LUMÍNICA.

(FIN DEL TEMA 3.8)

42

FIGURA 1. UN CIRCUITO ELÉCTRICO SIMPLE.


JULIO 2013

3.9 CIRCUITOS SIMPLES CON RESISTENCIASCapítulo 28 / Tippens

RESISTORES EN SERIE

UN CIRCUITO ELÉCTRICO CONSISTE EN CIERTO NÚMERO DE RAMAS UNIDAS ENTRE SÍ, DE MODO QUE AL MENOS UNA DE ELLAS CIERRE LA TRAYECTORIA QUE SE PROPORCIONA A LA CORRIENTE. EL CIRCUITO MÁS SENCILLO CONSTA DE UNA SOLA FUENTE DE fem (V) UNIDA A UNA SOLA RESISTENCIA EXTERNA, COMO SE MUESTRA EN LA FIGURA 1:

DE LA FIGURA 1 ANTERIOR, SI V REPRESENTA LA fem Y R INDICA LA RESISTENCIA TOTAL, LA LEY DE OHM QUEDA COMO:V = I · R (1)

DONDE I ES LA CORRIENTE QUE CIRCULA POR EL CIRCUITO. RECORDEMOS QUE TODA LA ENERGÍA QUE SE GANA MEDIANTE UNA CARGA QUE PASA A TRAVÉS DE LA FUENTE DE fem , SE PIERDE DEBIDO AL FLUJO A TRAVÉS DE LA RESISTENCIA.

CONSIDERE AHORA LA ADICIÓN DE CIERTOS ELEMENTOS AL CIRCUITO. SE DICE QUE DOS O MÁS ELEMENTOS ESTÁN EN SERIE SI TIENEN UN SOLO PUNTO EN COMÚN

43

I+V R

-

FIGURA 3. MÉTODO DEL VOLTÍMETRO – AMPERÍMETRO PARA MEDIR LA RESISTENCIA EFECTIVA DE VARIOS RESISTORES CONECTADOS EN SERIE.


JULIO 2013

QUE NO ESTÁ CONECTADO A UN TERCER ELEMENTO. LA CORRIENTE PUEDE FLUIR ÚNICAMENTE POR UNA SOLA TRAYECTORIA POR LOS ELEMENTOS EN SERIE. VER LA FIGURA 2:

FIGURA 2. (a) RESISTORES CONECTADOS EN SERIE. (b) RESISTORES NO CONECTADOS EN SERIE.

LOS RESISTORES R1 Y R2 DE LA FIGURA 2 (a) ESTÁN EN SERIE PORQUE EL PUNTO A ES COMÚN A AMBAS. LOS RESISTORES DE LA FIGURA 2 (b), NO OBSTANTE, NO ESTÁN EN SERIE, YA QUE EL PUNTO B ES COMÚN A TRES RAMALES DE CORRIENTE. AL ENTRAR EN TAL UNIÓN, LA CORRIENTE ELÉCTRICA PUEDE SEGUIR DOS TRAYECTORIAS DISTINTAS.SUPONGA AHORA QUE TRES RESISTORES (R1, R2 Y R3) ESTÁN CONECTADOS EN SERIE Y ENCERRADOS EN UNA CAJA, LA CUAL SE INDICA CON LA PARTE SOMBREADA EN LA FIGURA 3:

V=IR

LA RESISTENCIA EFECTIVA R DE LOS TRES RESISTORES SE DETERMINA A PARTIR DE LA fem (V) Y DE LA CORRIENTE ( I ), REGISTRADOS EN LOS INSTRUMENTOS DE MEDICIÓN. CON BASE EN LA LEY DE OHM, TENEMOS

R = V / I ( 2 )

¿CUÁL ES LA RELACIÓN DE R RESPECTO A LOS TRES RESISTORES? LA CORRIENTE QUE CIRCULA POR CADA RESISTOR DEBE SER IDÉNTICA, PUESTO QUE EXISTE UNA SOLA TRAYECTORIA. EN CONSECUENCIA:

I = I1 = I2 = I3 ( 3 )

APROVECHANDO ESTE HECHO Y CONSIDERANDO QUE LA LEY DE OHM SE APLICA POR IGUAL A CUALQUIER PARTE DEL CIRCUITO, ESCRIBIMOS:

V = I · R V1 = I · R 1 V2 = I · R2 V3 = I · R3 ( 4 )

44

V+

BA

+V

- I

R1

R2

(a) (b)

R1 R3

R2

R1 R3R2

-

V

A


JULIO 2013

EL VOLTAJE EXTERNO ( V ) REPRESENTA LA SUMA DE LAS ENERGÍAS PERDIDAS POR UNIDAD DE CARGA AL PASAR POR CADA RESISTENCIA. POR CONSIGUIENTE:

V = V1 + V2 + V3

POR ÚLTIMO, SI SUSTITUIMOS A PARTIR DE LA ECUACIÓN ( 4) Y DIVIDIMOS ENTRE LA CORRIENTE SE OBTIENE:

I · R = I · R1 + I · R2 + I · R3

POR LO TANTO: R = R1 + R2 + R3 EN SERIE ( 5 )

PARA RESUMIR LO QUE SE HA APRENDIDO ACERCA DE LOS RESISTORES CONECTADOS EN SERIE TENEMOS QUE:

1. LA CORRIENTE ES IGUAL EN CUALQUIER PARTE DE UN CIRCUITO EN SERIE.

2. LA fem A TRAVÉS DE CIERTO NÚMERO DE RESISTENCIAS EN SERIE, ES IGUAL A LA SUMA DE LOS VOLTAJES CORRESPONDIENTES A CADA UNA DE ELLAS.

3. LA RESISTENCIA EFECTIVA DE CIERTO NÚMERO DE RESISTORES EN SERIE ES EQUIVALENTE A LA SUMA DE LAS RESISTENCIAS INDIVIDUALES.APLICACIONES

1. LAS RESISTENCIAS R1 Y R2 DE LA FIGURA 2 ( a ) SON DE 2 Y DE 4 𝜴. SI LA FUENTE DE fem ( V ) MANTIENE UNA DIFERENCIA DE POTENCIAL CONSTANTE DE 12 V, ¿QUÉ CORRIENTE SE SUMINISTRA AL CIRCUITO EXTERNO? ¿CUÁL ES LA CAÍDA DE POTENCIAL A TRAVÉS DE CADA RESISTOR?

SOLUCIÓN:

LOS RESISTORES ESTÁN CONECTADOS EN SERIE, DE FORMA QUE CADA UNO PORTA LA MISMA CORRIENTE, DETERMINADA POR EL VOLTAJE SUMINISTRADO Y LA SUMA DE AMBAS RESISTENCIAS. CON LA APLICACIÓN DE LA LEY DE OHM A CADA RESISTOR SE OBTIENE LA CAÍDA EN CADA ELEMENTO.

DE LA ECUACIÓN ( 5 ), PARA RESISTORES EN SERIE, LA RESISTENCIA EQUIVALENTE ES:

Re = R1 + R2 = 2𝜴 + 4𝜴 = 6 𝜴LA CORRIENTE I QUE PASA POR TODO EL CIRCUITO ES:

I = V / Re = 12 V / 6𝜴 = 2 A

LAS CAÍDAS DE VOLTAJE EN CADA RESISTOR SON:

V1 = I · R1 = ( 2 A ) · ( 2𝜴 ) = 4 VV2 = I · R2 = ( 2 A ) · ( 4 𝜴 ) = 8 V

45

FIGURA 4. LOS RESISTORES R2 Y

R3 ESTÁN CONECTADOS EN

PARALELO.


JULIO 2013

OBSERVE QUE LA SUMA DE LAS CAÍDAS DE VOLTAJE ( V1 + V2 ) ES IGUAL A 12 V, QUE ES LA fem TOTAL APLICADA (ESTO SE CONOCE TAMBIÉN COMO LEY DE VOLTAJES DE KIRCHHOFF).

RESISTORES EN PARALELOCapítulo 28 / Tippens

HAY VARIAS LIMITACIONES EN LA OPEACIÓN DE LOS CIRCUITOS EN SERIE. SI FALLA UN SOLO ELEMENTO DE UN CIRCUITO EN SERIE AL PROPORCIONAR UNA TRAYECTORIA PARA EL FLUJO, TODO EL CIRCUITO QUEDA ABIERTO Y LA CORRIENTE SE INTERRUMPE. SERÍA MUY MOLESTO QUE TODOS LOS APARATOS ELÉCTRICOS DE UNA CASA DEJARAN DE FUNCIONAR CAD VEZ QUE UN FOCO SE FUNDIERA. MÁS AÚN, CADA ELEMENTO DE UN CIRCUITO EN SERIE SE AÑADE AL TOTAL DE LA RESISTENCIA DEL CIRCUITO LIMITANDO, POR TANTO, LA CORRIENTE TOTAL QUE PUEDE SER SUMINISTRADA. ESTAS OBJECIONES PUEDEN SUPERARSE SI SE PROPORCIONAN OTRAS TRAYECTORIAS PARA LA CORRIENTE ELÉCTRICA. ESTE TIPO DE CONEXIÓN, EN LA QUE LA CORRIENTE PUEDE DIVIDIRSE ENTRE DOS O MÁS ELEMENTOS, SE DENOMINA CONEXIÓN EN PARALELO.

UN CIRCUITO EN PARALELO ES AQUEL EN EL QUE DOS O MÁS COMPONENTES SE CONECTAN A DOS PUNTOS COMUNES DEL CIRCUITO. POR EJEMPLO, EN LA FIGURA 4, LOS RESISTORES R2 Y R3 ESTÁN EN PARALELO, PUES AMBOS TIENEN EN COMÚN LOS PUNTOS A Y B. OBSERVE QUE LA CORRIENTE I, SUMINISTRADA POR UNA FUENTE DE fem ( V ), SE DIVIDE ENTRE LOS RESISTORES R2 Y R3 :

46

+V

-

R1

R2 R3

i

i

A

i

I2 I3


JULIO 2013

PARA OBTENER UNA EXPRESIÓN PARA LA RESISTENCIA EQUIVALENTE R DE CIERTO NÚMERO DE RESISTENCIAS CONECTADAS EN PARALELO, SEGUIREMOS UN PROCEDIMIENTO SIMILAR AL EXPUESTO PARA LAS CONEXIONES EN SERIE. SUPONGA QUE SE COLOCAN RES RESISTORES ( R1, R2 Y R3 ) DENTRO DE UNA CAJA, COMO APARECE EN LA FIGURA 5:

.

V= I R

FIGURA 5. CÁLCULO DE LA RESISTENCIA EQUIVALENTE DE CIERTO NÚMERO DE RESISTORES CONECTADOS EN PARALELO.

LA CORRIENTE TOTAL I SUMINISTRADA A LA CAJA ESTÁ DETERMINADA POR SU RESISTENCIA EFECTIVA Y EL VOLTAJE APLICADO. O SEA:

I = V / R ( 6 )

EN UNA CONEXIÓN EN PARALELO, LA CAÍDA DE VOLTAJE A TRAVÉS DE CADA RESISTOR ES IGUAL Y EQUIVALENTE A LA CAÍDA DE VOLTAJE TOTAL. O SEA:

V = V1 = V2 = V3 ( 7 )

EN ESTE EJEMPLO, LA CARGA PUEDE FLUIR POR CUALQUIERA DE LOS TRES RESISTORES. POR TANTO, LA CORRIENTE TOTAL SUMINISTRADA SE DIVIDE ENTRE ELLOS, A SABER:

I = I1 + I2 + I3 ( 8 )

AL APLICAR LA LEY DE OHM A LA ECUACIÓN ( 3 ) SE OBTIENE:

V / R = V1 / R1 + V2 / R2 + V3 / R3

PERO LOS VOLTAJES SON IGUALES, Y PODEMOS DIVIDIR LA EXPRESIÓN ANTERIOR ENTRE ELLOS:

1 / R = 1 / R1 + 1 / R2 + 1 / R3 EN PARALELO ( 9 )

EN RESUMEN, PARA RESISTORES EN PARALELO:

47

B

V+

R1 R3R2

-

A

V

I

FIGURA 6. REDUCCIÓN DE UN CIRCUITO COMPLEJO A UN CIRCUITO EQUIVALENTE SIMPLE.


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1. LA CORRIENTE TOTAL EN UN CIRCUITO EN PARALELO ES IGUAL A LA SUMA DE LAS CORRIENTES EN LOS RAMALES INDIVIDUALES.

2. LAS CAÍDAS DE VOLTAJE A TRAVÉS DE TODOS LOS RAMALES DEL CIRCUITO EN PARALELO DEBEN SER DE IGUAL MAGNITUD.

3. EL RECÍPROCO DE LA RESISTENCIA EQUIVALENTE ES IGUAL A LA SUMA DE LOS RECÍPROCOS DE LAS RESISTENCIAS INDIVIDUALES CONECTADAS EN PARALELO.

EN CASO DE TENER DOS RESISTORES EN PARALELO:

1 / R = 1 / R1 + 1 / R2

AL RESOLVER ESTA ECUACIÓN PARA R SE OBTIENE UNA FÓRMULA SIMPLIFICADA PARA CALCULAR LA RESISTENCIA EQUIVALENTE. O SEA;

R = R1 · R2 /( R1 + R2 ) ( 10 )LO CUAL INDICA QUE: “LA RESISTENCIA EQUIVALENTE DE DOS RESISTORES CONECTADOS EN PARALELO ES IGUAL A SU PRODUCTO DIVIDIDO ENTRE SU SUMA”.

APLICACIONES

1. EL VOLTAJE TOTAL APLICADO AL CIRCUITO DE LA FIGURA 6 ES DE 12 V, Y LAS RESISTENCIAS R1, R2 Y R3 SON DE 4, 3 Y 6𝜴, RESPECTIVAMENTE. (a) DETERMINE LA RESISTENCIA EQUIVALENTE DEL CIRCUITO. (b) DETERMINE LA CORRIENTE QUE PASA POR CADA RESISTOR.

SOLUCIÓN:

LA MEJOR FORMA DE ABORDAR UN PROBLEMA QUE CONTIENE RESISTORES TANTO EN SERIE COMO EN PARALELO, ES REDUCIR EL CIRCUITO SEPARÁNDOLO EN PARTES HASTA SU FORMA MÁS SENCILLA. EN LA FIGURA 6 SE MUESTRA ESTE MÉTODO. LOS DOS RESISTORES EN PARALELO, R2 Y R3, SE COMBINAN PARA FORMAR UNA SOLA RESISTENCIA EQUIVALENTE, Re, PARA TODO EL CIRCUITO. DESPUÉS, CON LA LEY DE OHM SE OBTENDRÁ LA CORRIENTE SUMINISTRADA POR LA FUENTE DE fem ( V ). POR ÚLTIMO, AL CONSIDERAR LOS VOLTAJES Y

48

-+

V

R1

R3R2 -+

V

R1

R1

-+

VRe


JULIO 2013

LAS RESISTENCIAS DE CADA RESISTOR, SE DETERMINARÁ LA CORRIENTE DE CADA ELEMENTO.

PARA ( a ):

LA RESISTENCIA EQUIVALENTE R’ DE LOS RESISTORES EN PARALELO SE HALLA CON LA ECUACIÓN ( 10 ):R’ = R2 · R3 / ( R2 + R3 )

SUSTITUYENDO VALORES Y REALIZANDO LAS OPERACIONES INDICADAS:

R’ = 2𝜴

ESTA RESISTENCIA EQUIVALENTE R’ ESTÁ EN SERIE CON R1, DE MODO QUE CON LA ECUACIÓN ( 5 ) SE DETERMINA LA RESISTENCIA EQUIVALENTE DE TODO EL CIRCUITO, A SABER:

Re = R1 + R’ = 4𝜴 + 2𝜴 = 6𝜴PARA ( b ):LA CORRIENTE TOTAL SUMINISTRADA POR LA FUENTE DE fem ES:

I = V / R = 12 V / 6𝜴 = 2 ACOMO LAS RESISTENCIAS R1 Y R’ ESTÁN CONECTADAS EN SERIE, TIENEN LA MISMA CORRIENTE QUE PROCEDE DE LA FUENTE DE fem ( V ), QUE ES IGUAL A 2 A. O SEA;

I1 = 2 A , I’ = 2 A

CUANDO TODA LA CORRIENTE ( 2 A ) LLEGA AL PUNTO P, SE DIVIDE Y PARTE PASA POR R2 Y EL RESTO POR R3. ESTAS CORRIENTES SE HALLAN CON LA LEY DE OHM:I2 = V’ / R2 = 4 V / 3𝜴 = 1.33 A

I3 = V’ / R3 = 4 V / 6𝜴 = 0.667 A

OBSERVEMOS QUE I2 + I3 = 2 A, QUE ES LA CORRIENTE TOTAL. ESTE RESULTADO NOS PERMITE AFIRMAR QUE: “LA SUMA DE TODAS LAS CORRIENTES QUE ENTRAN A UN CIRCUITO EN PARALELO, ES IGUAL A LA CORRIENTE TOTAL SUMINISTRADA” . O EXPRESADO DE OTRA MANERA: “EL NÚMERO DE CORRIENTES QUE ENTRAN A UN PUNTO (NODO) ES IGUAL AL NÚMERO DE CORRIENTES QUE SALEN DE DICHO PUNTO (NODO)”. ESTO SE CONOCE COMO: “LEY DE CORRIENTES DE KIRCHHOFF”.

TAREA:

1. UN RESISTOR DE 5𝜴 ESTÁ CONECTADO EN SERIE CON OTRO DE 3𝜴 Y UNA BATERÍA DE 16 V. ¿CUÁL ES LA RESISTENCIA EFECTIVA Y CUÁL ES LA CORRIENTE EN EL CIRCUITO?[RESP. 8𝜴, 2 A] .

2. UN RESISTOR DE 8𝜴 Y OTRO DE 3𝜴 SE CONECTAN PRIMERO EN PARALELO Y DESPUÉS EN SERIE CON UNA FUENTE DE 12 V. HALLE LA RESISTENCIA EFECTIVA Y LA CORRIENTE TOTAL CON CADA CONEXIÓN.[RESP. 2.18𝜴, 5.50 A; 11 𝜴, 1.09 A].

49

R1 R2

R3RX


JULIO 2013

3. TRES RESISTORES DE 4, 9 Y 11𝜴 SE CONECTAN PRIMERO EN SERIE Y DESPUÉS EN PARALELO. CALCULE LA RESISTENCIA EFECTIVA DE CADA CONEXIÓN.[RESP. 24𝜴, 2.21𝜴]

4. DETERMINE LA RESISTENCIA EQUIVALENTE DEL CIRCUITO QUE SE MUESTRA EN LA FIGURA 7.[RESP. 2.22 𝜴].

1𝜴4𝜴 6𝜴 FIGURA 7. CIRCUITO PROPUESTO PARA EL

PROBLEMA 4.

3𝜴 2𝜴5. SI SE APLICA UNA DIFERENCIA DE POTENCIAL DE 12 V A LOS EXTEMOS LIBRES EN EL CIRCUITO DE LA FIGURA 7 ANTERIOR, ¿CUÁLES SERÁN LA CORRIENTE Y EL VOLTAJE A TRAVÉS DEL RESISTOR DE 2𝜴?[RESP. 1.60 A, 3.20 V].

(FIN DEL TEMA 3.9)3.10 PUENTE DE WHEATSONEElectricidad, tomo 5 / Harry Mileaf / LIMUSA

CUANDO SE REQUIEREN MEDICIONES DE RESISTENCIA MUY PRECISAS, SE USA UN PUENTE DE WHEATSONE. UN PUENTE DE WHEATSONE CONSTA DE CUATRO RESISTORES CONECTADOS EN UN DISPOSITIVO, COMO EL QUE SE MUESTRA EN LA FIGURA 1:

400𝜴 400𝜴

GALVANÓMETRO

0-1000𝜴

FIGURA 1. PUENTE DE WHEATSTONE

DE LA FIGURA 1 DIREMOS QUE EL RESISTOR VARIABLE R3 (POTENCIÓMETRO O REÓSTATO) ESTÁ CALIBRADO DE MANERA QUE INDICA LA RESISTENCIA PARA CADA AJUSTE. EL PUENTE DE WHEATSTONE RECIBE SU NOMBRE EN HONOR DE SU INVENTOR, SIR CHARLES WHEATSTONE.

50

-+

V

S

DC

A

B

CUANDO EL GALVANÓMETRO

LEE CERO, EL RESISTOR RX ES

IGUAL AL RESISTOR R3.


JULIO 2013

PARA COMPRENDER CÓMO UN PUENTE DE WHEATSTONE MIDE LA RESISTENCIA, SUPÓNGASE QUE LOS RESISTORES TANTO R1 COMO R2 TIENEN 400 OHMS, Y EL RESISTOR R3 VARÍA ENTRE 0 Y 1,000 OHMS. AHORACONÉCTESE EL RESISTOR DESCONOCIDO RX AL CIRCUITO DE PUENTE Y CIÉRRESE EL INTERRUPTOR S. SE PUEDE VER QUE R1 Y R3 FORMAN UN CIRCUITO DIVISOR Y R2 CON RX FORMAN OTRO CIRCUITO DIVISOR. POR LO TANTO, COMO R1 ES IGUAL A R2, SI R3 SE HACE IGUAL A RX, LA CORRIENTE Y LAS CAÍDAD DE POTENCIAL EN AMBOS DIVISORES SERÁN IDÉNTICAS. ADEMÁS, LOS POTENCIALES EN LOS PUNTOS C Y D SERÁN IGUALES, DE MANERA QUE NO PASARÁ CORRIENTE A TRAVÉS DEL MEDIDOR. POR LO TANTO, CUANDO SE AJUSTA R3 PARA UNA LECTURA CERO, SE SABE QUE SU VALOR ES IGUAL A RX. EL RESISTOR VARIABLE R3 SE CALIBRA PARA QUE INDIQUE SU RESISTENCIA EXACTA CUANDO SE AJUSTA. POR LO TANTO, SU AJUSTE TAMBIÉN ESTÁ EN FUNCIÓN DEL VALOR DE LA RESISTENCIA DESCONOCIDA RX …

(FIN DEL TEMA 3.10)

3.11 CIRCUITOS RCCapítulo 6 / Serway / Jewett

HASTA AHORA HEMOS ANALIZADO CIRCUITOS DE CORRIENTE DIRECTA (CORRIENTE CONTINUA), EN DONDE LA CORRIENTE ES CONSTANTE. EN LOS CIRCUITOS DE cd (CORRIENTE DIRECTA) QUE CONTIENEN CAPACITORES, LA CORRIENTE SIEMPRE ESTÁ EN LA MISMA DIRECCIÓN, PERO PUEDE VARIAR EN EL TIEMPO. SE LE LLAMA CIRCUITO RC A UN CIRCUITO QUE CONTIENE UNA COMBINACIÓN EN SERIE DE UN RESISTOR Y UN CAPACITOR.

CARGA DE UN CAPACITOR

UN CAPACITOR ( O CONDENSADOR) ES UN DISPOSITIVO QUE ALMACENA UNA DETERMINADA CANTIDAD DE ENERGÍA ELÉCTRICA (GENERALMENTE DEL ORDEN DE MICROFARADS O PICOFARADS). RESULTA MUY INTERESANTE CONOCER LA FORMA EN QUE SE CARGA UN CAPACITOR. PARA ELLO OBSERVEMOS EL CIRCUITO MOSTRADO EN LA FIGURA 1, EN LA CUAL SE REPRESENTA UN CIRCUITO RC SIMPLE EN SERIE:

CAPACITOR

51

(a) UN CAPACITOR EN SERIE CON

RESISTOR, INTERRUPTOR Y BATERÍA.

b

R

a S

-+

V

CR


JULIO 2013

(a)

(b)

(c)

FIGURA 1. (a) UN CAPACITOR EN SERIE CON RESISTOR, INTERRUPTOR Y BATERÍA. (b) CUANDO EL INTERRUPTOR SE MUEVE A LA POSICIÓN a, EL CAPACITOR COMIENZA A CARGARSE. (c) CUANDO EL INTERRUPTOR SE MUEVE A LA POSICIÓN b, EL CAPACITOR COMIENZA A DESCARGARSE.

EXPLICACIÓN DEL FUNCIONAMIENTO DEL CIRCUITO DE LA FIGURA 1:

SE SUPONE QUE EL CAPACITOR C DE ESTE CIRCUITO ESTÁ INICIALMENTE DESCARGADO. NO EXISTIRÁ CORRIENTE EN TANTO EL INTERRUPTOR S ESTÉ ABIERTO [ FIGURA 1 (a) ]. NO OBSTANTE, SI EL INTERRUPTOR SE MUEVE HACIA a EN t = 0 [ FIGURA 1 (b) ], LA CARGA COMENZARÁ A FLUIR, ESTABLECIENDO UNA CORRIENTE EN EL CIRCUITO, Y EL CAPACITOR COMENZARÁ A CARGARSE. DEBEMOS ADVERTIR QUE DURANTE LA CARGA, LAS CARGAS NO SALTAN DE UNA PLACA A OTRA DEL CAPACITOR PORQUE EL ESPACIO ENTRE LAS PLACAS REPRESENTA UN CIRCUITO ABIERTO. EN VEZ DE ESO, LA CARGA SE TRANSFIERE DE UNA PLACA A OTRA Y A SUS ALAMBRES DE CONEXIÓN, GRACIAS AL CAMPO ELÉCTRICO QUE LA BATERÍA ESTABLECE EN LOS ALAMBRES, HASTA QUE EL CAPACITOR QUEDA COMPLETAMENTE CARGADO. CONFORME LAS PLACAS SE CARGAN, LA DIFERENCIA DE POTENCIAL APLICADA AL CAPACITOR AUMENTA. EL VALOR DE LA CARGA MÁXIMA EN LAS PLACAS DEPENDERÁ DEL VOLTAJE DE LA BATERÍA. UNA VEZ QUE SE ALCANZA LA CARGA MÁXIMA, LA CORRIENTE EN EL CIRCUITO ES IGUAL A CERO, YA QUE LA DIFERENCIA DE POTENCIAL APLICADA AL CAPACITOR ES IGUAL A LA fem ( V ) SUMINISTRADA POR LA BATERÍA.PARA LA POSICIÓN a DEL INTERRUPOR s : EN ESTA POSICIÓN QUEDA UN CIRCUITO COMO EL DE LA FIGURA 2:

AQUÍ, EL VOLTAJE A TRAVÉS DEL CAPACITOR ESTÁ DADO POR:

52

b

R

a

-+

V

I(b) CUANDO EL INTERRUPTOR SE MUEVE A

LA POSICIÓN a, EL CAPACITOR COMIENZA

A CARGARSE.

b

R

a

-+

V

C

(c) CUANDO EL INTERRUPTOR SE MUEVE A

LA POSICIÓN a, EL CAPACITOR COMIENZA

A DESCARGARSE.

C

R

C

-+

V

IFIGURA 2. REPRESENTACIÓN DEL CIRCUITO PARA LA POSICIÓN a DEL INTERRUPTOR s.

FIGURA 3. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LA CARGA DE UN CAPACITOR.


JULIO 2013

q = C · V

DESPEJANDO EL VOLTAJE V:

V = Q / C ( 1 )

POR LO TANTO, LA ECUACIÓN DEL CIRCUITO DE LA FIGURA 2 ES ( DE ACUERDO A LA LEY DE VOLTAJES DE KIRCHHOFF ):

V – qC - I · R = 0 ( 2 )

DONDE qC ES LA DIFERENCIA DE POTENCIAL APLICADA AL CAPACITOR E I · R ES LA

DIFERENCIA DE POTENCIAL APLICADA AL RESISTOR R.

DEBEMOS OBSERVAR QUE LOS VALORES DE q E I [ EN LA ECUACIÓN (2) ] SON VALORES INSTANTÁNEOS QUE DEPENDEN DEL TIEMPO, CONFORME EL CAPACITOR SE CARGA.

UTILIZAMOS LA ECUACIÓN ( 2) PARA DETERMINAR LA CORRIENTE INICIAL EN EL CIRCUITO Y LA CARGA MÁXIMA DEL CAPACITOR. PARA ELLO, EN EL INSTANTE EN QUE SE CIERRA EL INTERRUPTOR ( t = 0 ), LA CARGA DEL CAPACITOR ES IGUAL A CERO, Y EN LA ECUACIÓN (2) APARECE QUE LA CORRIENTE INICIAL Ii EN EL CIRCUITO ES SU VALOR MÁXIMO Y SE CONOCE POR:

Ii = VR (CORRIENTE EN t = 0) ( 3 )

EN ESTE MOMENTO, LA DIFERENCIA DE POTENCIAL DE LAS TERMINALES DE LA BATERÍA APARECE POR COMPLETO APLICADA AL RESISTOR. DESPUÉS, CUANDO EL CAPACITOR HA SIDO CARGADO A SU VALOR MÁXIMO Q, LAS CARGAS DEJAN DE FLUIR, LA CORRIENTE EN EL CIRCUITO ES IGUAL A CERO, Y LA DIFERENCIA DE POTENCIAL DE LAS TERMINALES DE LA BATERIÍA APARECE APLICADA AL CAPACITOR. AL SUSTITUIR I = 0 EN LA ECUACIÓN ( 2 ), SE OBTIENE LA CARGA MÁXIMA DEL CAPACITOR. O SEA:

Q = C · V CARGA MÁXIMA ( 4 )

POR OTRO LADO, LA ECUACIÓN QUE RIGE LA CARGA DE UN CAPACITOR ESTÁ DADA POR:

q ( t ) = C·V ( 1 – e-t/RC ) ( 5 )

DONDE e ES LA BASE DE LOS LOGARITMOS NATURALES. SI GRAFICAMOS LA ECUACIÓN ( 5 ), OBTENEMOS: (VER LA FIGURA 3):

9 CV

0.632 CV ῖ=RC

53

FIGURA 4. REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LA DESCARGA DE UN

CAPACITOR.


JULIO 2013

ῖPOR OTRO LADO, LA DESCARGA DEL CAPACITOR ESTÁ DADA POR LA ECUACIÓN:

q ( t ) = Q · e –t/RC ( 6 )

POR ÚLTIMO, LA CORRIENTE INSTANTÁNEA EN EL CAPACITOR ESTÁ DADA POR:

I ( t ) = - QRC · e –t/RC ( 7 )

DONDE QRC = I i ES LA CORRIENTE INICIAL. EL SIGNO NEGATIVO EN LA ECUACIÓN ( 7 )

INDICA QUE, CONFORME EL CAPACITOR SE DESCARGA, LA DIRECCIÓN DE LA CORRIENTE ES OPUESTA A SU DIRECCIÓN CUANDO EL CAPACITOR SE ESTABA CARGANDO. VER LA FIGURA 4: I Ii

Ii= VR

0.368 Ii

t

ῖDE LA FIGURA 4, OBSERVEMOS QUE LA CARGA ES IGUAL A CERO EN t = 0 Y SE ACERCA AL VALOR MÁXIMO C·V EN t → ∞. LA CANTIDAD RC, QUE APARECE EN LOS EXPONENTES DE LAS ECUACIONES QUE RIGEN LA CARGA Y DESCARGA DEL CAPACITOR SE LLAMA LA CONSTANTE DE TIEMPO τ DEL CIRCUITO. O SEA:

τ=RC CONSTANTE DE TIEMPO ( 8 )


UNIDAD Nº 4: CAMPO MAGNÉTICO

TEMAS:

4.1 DEFINICIÓN DE CAMPO MAGNÉTICO.4.2 FUERZA MAGNÉTICA SOBRE UNA PARTÍCULA.4.3 FUERZA DE LORENTZ.4.4 LEY DE BIOT – SAVART.4.5 LEY DE AMPERE.4.6 MAGNETIZACIÓN DE LA MATERIA.4.7 SUSCEPTIBILIDAD Y PERMEABILIDAD MAGNÉTICA.

4.1 DEFINICIÓN DE CAMPO MAGNÉTICOCapítulo 29 / Tippens

54

FIGURA 1. LA INTENSIDAD DE UN IMÁN SE CONCENTRA EN LA REGIÓN CERCANA A SUS EXREMOS.


JULIO 2013

LOS PRIMEROS FENÓMENOS MAGNÉTICOS OBSERVADOS SE RELACIONARON CON FRAGMENTOS DE PIEDRA DE IMÁN O MAGNETITA ( UN ÓXIDO DE HIERRO ) ENCONTRADA CERCA DE LA ANTIGUA CIUDAD DE MAGNESIA, HACE APROXIMADAMENTE 2000 AÑOS. SE OBSERVÓ QUE ESTOS IMANES NATURALES ATRAÍAN PEQUEÑOS TROZOS DE HIERRO NO MAGNETIZADO. ESTA FUERZA DE ATRACCIÓN SE CONOCE COMO MAGNETISMO, Y AL OBJETO QUE EJERCE UNA FUERZA MAGNÉTICA SE LE LLAMA IMÁN.

SI UNA BARRA IMANTADA SE INTRODUCE EN UN RECIPIENTE QUE CONTENGA LIMADURAS DE HIERRO Y EN SEGUIDA SE RETIRA, SE APRECIA QUE LOS MINÚSCULOS FRAGMENTOS DE HIERRO SE ADHIEREN MÁS FUERTEMENTE A LAS ÁREAS PEQUEÑAS CERCANAS A LOS EXTEMOS (VER LA FIGURA 1). ESTAS REGIONES DONDE PARECE CONCENTRARSE LA FUERZA DEL IMÁN SE LLAMAN POLOS MAGNÉTICOS.

LIMADURAS DE HIERRO

CUANDO UN MATERIAL MAGNÉTICO SE SUSPENDE DE UN CORDEL, GIRA ALREDEDOR DE UN EJE VERTICAL. EN LA FIGURA 2 SE ILUSTRA CÓMO SE ALÍNEA EL IMÁN EN UNA DIRECCIÓN NORTE – SUR:

N

(a) (b)

DE LA FIGURA ANTERIOR, EL EXTREMO QUE APUNTA HACIA EL NORTE SE LLAMA POLO NORTE ( N ) DEL IMÁN. SU OPUESTO, EL EXTREMO QUE VE AL SUR SE LLAMA POLO SUR ( S ) DEL IMÁN. LA POLARIZACIÓN DEL MATERIAL MAGNÉTICO ES LO QUE CUENTA PARA SU APROVECHAMIENTO COMO BRÚJULA PARA LA NAVEGACIÓN. LA BRÚJULA CONSISTE EN UNA AGUJA LIGERA IMANTADA QUE SE APOYA SOBRE UN SOPORTE CON POCA FRICCIÓN.

SE PUEDE DEMOSTRAR FÁCILMENTE QUE LOS POLOS NORTE Y SUR DEL IMÁN SON DIFERENTES. CUANDO SE ACERCA AL IMÁN SUSPENDIDO POR LA CUERDA OTRA BARRA IMANTADA, COMO SE MUESTRA EN LA FIGURA 4.3, LOS DOS POLOS NORTE O LOS DOS POLOS SUR SE REPELEN ENTRE SÍ, MIENTRAS QUE EL POLO NORTE DE UNO Y EL POLO SUR DE OTRO SE ATRAEN MUTUAMENTE. LA LEY DE LA FUERZA MAGNÉTICA ESTABLECE QUE:

55

FIGURA 2. (a) UNA BARRA DE IMÁN SUSPENDIDA TENDERÁ A PERMANECER EN REPOSO EN UNA DIRECCIÓN NORTE-SUR. (b) CARÁTULA DE UNA BRÚJULA.


JULIO 2013

“POLOS MAGNÉTICOS IGUALES SE REPELEN Y POLOS DIFERENTES SE ATRAEN”

FIGURA 3. LOS POLOS IGUALES SE REPELEN ENTRE SÍ; LOS POLOS DIFERENTES SE ATRAEN.

NO EXISTEN POLOS AISLADOS. NO IMPORTA CUÁNTAS VECES SE ROMPA UN IMÁN POR LA MITAD, CADA PIEZA RESULTANTE SERÁ UN IMÁN, CON UN POLO NORTE Y UN POLO SUR. NO SE CONOCE UNA SOLA PARTÍCULA QUE SEA CAPAZ DE CREAR UN CAMPO MAGNÉTICO DE MANERA SIMILAR, A COMO UN PROTÓN O ELECTRÓN CREAN UN CAMPO ELÉCTRICO.

LA ATRACCIÓN QUE EJERCEN LOS IMANES SOBRE EL HIERRO MAGNETIZADO Y LAS FUERZAS DE INTERACCIÓN QUE SURGEN ENTRE LOS POLOS MAGNÉTICOS, ACTÚAN A TRAVÉS DE TODAS LAS SUSTANCIAS. EN LA INDUSTRIA, LOS MATERIALES FERROSOS QUE HAN SIDO DESECHADOS Y SE ARROJAN A LA BASURA PUEDEN SEPARARSE PARA REUTILIZARLOS POR MEDIO DE IMANES.

CAMPOS MAGNÉTICOS

TODO IMÁN ESTÁ RODEADO POR UN ESPACIO, EN EL CUAL SE MANIFIESTAN SUS EFECTOS MAGNÉTICOS DICHAS REGIONES SE LLAMAN CAMPOS MAGNÉTICOS. ASÍ COMO LAS LÍNEAS DEL CAMPO ELÉCTRICO FUERON ÚTILES PARA DESCRIBIR LOS CAMPOS ELÉCTRICOS, LLAMADAS LÍNEAS DE FLUJO, SON MUY ÚTILES PARA VISUALIZAR LOS CAMPOS MAGNÉTICOS. LA DIRECCIÓN DE UNA LÍNEA DE FLUJO EN CUALQUIER PUNTO TIENE LA MISMA DIRECCIÓN DE LA FUERZA MAGNÉTICA QUE ACTUARÍA SOBRE UN POLO NORTE IMAGINARIO AISLADO Y COLOCADO EN ESE PUNTO ( VER LA FIGURA 4:

F LÍNEA DE FLUJO BRÚJULA MAGNÉTICO.

(a) (b)

56


JULIO 2013

FIGURA 4. (a) LAS LÍNEAS DE FLUJO MAGNÉTICO ESTÁN EN LA DIRECCIÓN DE LA FUERZA QUE SE EJERCE SOBRE UN POLO INDEPENDIENTE. (b) LAS LÍNEAS DE FLUJO CERCANAS A UNA BARRA IMANTADA.

DE ACUERDO CON ESTO, LAS LÍNEAS DE FLUJO MAGNÉTICO SALEN DEL POLO NORTE DE UN IMÁN Y ENTRAN EN EL POLO SUR. A DIFERENCIA DE LAS LÍNEAS DE CAMPO ELÉCTRICO, LAS LÍNEAS DE FLUJO MAGNÉTICO NO TIENEN PUNTOS INICIALES O FINALES; FORMAN ESPIRAS CONTINUAS QUE PASAN A TRAVÉS DE LA BARRA METÁLICA, COMO MUESTRA LA FIGURA 4 (b). LAS LÍNEAS DE FLUJO EN LA REGIÓN COMPRENDIDA ENTRE DOS POLOS IGUALES O DIFERENTES SE ILUSTRAN EN LA FIGURA 5:

FIGURA 5. (a) LÍNEAS DE FLUJO MAGNÉTICO ENTRE DOS POLOS IGUALES. (b) LÍNEAS DE FLUJO MAGNÉTICO ENTRE DOS POLOS MAGNÉTICOS DIFERENTES.

( FIN DEL TEMA 4.1 )

4.2 FUERZA MAGNÉTICA SOBRE UNA PARTÍCULA CARGADA EN MOVIMIENTO.Capítulo 29 / Tippens

INVESTIGUEMOS LOS EFECTOS DE UN CAMPO MAGNÉTICO OBSERVANDO LA FUERZA MAGNÉTICA EJERCIDA SOBRE UNA CARGA QUE PASA A TRAVÉS DEL CAMPO. PARA ESTUDIAR ESTOS EFECTOS, ES ÚTIL IMAGINAR UN TUBO DE IONES POSITIVOS COMO EL DE LA FIGURA 1:

B

57

SN

FUERZA Y ÁNGULO DE LA TRAYECTORIA

REGLA DE LA

MANO DERECHA

PARA q POSITIVA.

MANO DERECHA.


JULIO 2013

FIGURA 1. LA FUERZA MAGNÉTICA F SOBRE UNA CARGA EN MOVIMIENTO ES PERPENDICULAR TANTO A LA DENSIDAD DE FLUJO B COMO A LA VELOCIDAD DE CARGA V.

DICHO TUBO NOS PERMITE INYECTAR UN ION POSITIVO DE CARGA Y VELOCIDAD CONSTANTES EN UN CAMPO DE DENSIDAD DE FLUJO MAGNÉTICO B. ORIENTANDO EL TUBO EN VARIAS DIRECCIONES, PODEMOS OBSERVAR LA FUERZA EJERCIDA SOBRE LA CARGA EN MOVIMIENTO. LA OBSERVACIÓN MÁS IMPORTANTE ES QUE DICHA CARGA EXPERIMENTA UNA FUERZA QUE ES PERPENDICULAR TANTO A LA DENSIDAD DE FLUJO MAGNÉTICO B, COMO A LA VELOCIDAD V DE LA CARGA EN MOVIMIENTO. OBSERVE QUE CUANDO EL FLUJO MAGNÉTICO SE DIRIGE DE IZQUIERDA A DERECHA Y LA CARGA SE MUEVE HACIA DONDE ESTÁ EL LECTOR, LA CARGA SE DESVÍA HACIA ARRIBA. SI SE INVIERTE LA POLARIDAD DE LOS IMANES, SE PROVOCA QUE LA CARGA SE DESVÍE HACIA ABAJO.

LA DIRECCIÓN DE LA FUERZA MAGNÉTICA F SOBRE UNA CARGA POSITIVA EN MOVIMIENTO CON UNA VELOCIDAD V EN UN CAMPO MAGNÉTICO DE DENSIDAD DE FLLUJO B, PUEDE ENTENDERSE MEDIANTE LA REGLA DE LA MANO DERECHA ( VER LA FIGURA 2 ):

B

FIGURA 2. USO DE LA REGLA DE LA MANO DERECHA PARA DETERMINAR LA DIRECCIÓN DE LA FUERZA MAGNÉTICA EN UNA CARGA EN MOVIMIENTO. LOS DEDOS APUNTAN EN LA DIRECCIÓN DEL CAMPO B Y EL PULGAR EN LA DIRECCIÓN DE LA CARGA EN MOVIMIENTO ( V ). LA PALMA ABIERTA ESTÁ DE CARA A LA DIRECCIÓN DE LA FUERZA MAGNÉTICA ( F ). LA REGLA DE LA MANO DERECHA SE USA PARA CARGAS POSITIVAS … Y LA REGLA DE LA MANO IZQUIERDA PARA CARGAS NEGATIVAS.CONSIDEREMOS AHORA EL CASO EN QUE EL TUBO DE IONES SE HACE GIRAR LENTAMENTE RESPECTO A LA DENSIDAD DE FLUJO MAGNÉTICO B:

LA EXPERIENCIA HA MOSTRADO QUE LA MAGNITUD DE LA FUERZA MAGNÉTICA ES DIRECTAMENTE PROPORCIONAL A LA MAGNITUD DE LA CARGA q Y A SU VELOCIDAD V.

SE OBSERVARÁ UNA VARIACIÓN NO ESPERADA EN LA FUERZA MAGNÉTICA SI EL TUBO DE IONES SE HACE GIRAR LENTAMENTE RESPECTO A LA DENSIDAD DE FLUJO MAGNÉTICO B. COMO INDICA LA FIGURA 3 PARA UNA CARGA DADA CON VELOCIDAD CONSTANTE V, LA MAGNITUD DE LA FUERZA VARÍA CON EL ÁNGULO QUE FORMA EL TUBO CON EL CAMPO.

58

S N

LA FUERZA MAGNÉTICA F

DEPENDE DE LA

DIRECCIÓN DE LA CARGA

EN MOVIMIENTO.

MANO DERECHA.


JULIO 2013

F

θ V Sen θ V

V

FIGURA 3. LA MAGNITUD DE LA FUERZA MAGNÉTICA ADQUIERE SU VALOR MÁXIMO CUANDO LA TRAYECTORIA ES PERPENDICULAR AL CAMPO; Y SU VALOR MÍNIMO CUANDO ES PARALELA AL MISMO.

DE LA OBSERVACIÓN DE LAS FIGURAS ANTERIORES, SE PUEDE DEFINIR LA DENSIDAD DE FLUJO MAGNÉTICO COMO:

B = Fq·V·senθ ( 1 )

POR LO TANTO, UN CAMPO MAGNÉTICO QUE TENGA UNA DENSIDAD DE FLUJO EQUIVALENTE A 1 TESLA ( 1 WEBER POR METRO CUADRADO ), EJERCERÁ UNA FUERZA IGUAL A 1 NEWTON SOBRE UNA CARGA DE 1 COULOMB, QUE SE MUEVA EN FORMA PERPENDICULAR AL CAMPO, CON UNA VELOCIDAD DE 1 METRO POR SEGUNDO.

POR LO TANTO:

1 T = 1 N / ( C·m/s ) = 1 N / A·m ( 2 )

POR LO TANTO, DESPEJANDO LA FUERZA F DE LA ECUACIÓN ( 1 ) TENEMOS:

F = qv·B·senθ ( 3 )

LA CUAL ES UNA FORMA MÁS ÚTIL PARA CALCULAR DIRECTAMENTE LAS FUERZAS MAGNÉTICAS.

DE LA ECUACIÓN ( 3 ), LA FUERZA F ESTÁ EN NEWTONS CUANDO LA CARGA q SE EXPRESA EN COULOMBS, LA VELOCIDAD V SE MIDE EN METROS POR SEGUNDO Y LA DENSIDAD DE FLUJO B SE EXPRESA EN TESLAS. EL ÁNGULO θ INDICA LA DIRECCIÓN DE V RESPECTO A B. LA FUERZA F SIEMPRE ES PERPENDICULAR A V COMO A B. LA DIRECCIÓN DE ESTOS VECTORES PUEDE

59

N S

N S

N S

REGLA DE LA MANO IZQUIERDA

PARA LA q NEGATIVA.

MANO IZQUIERDA.

FIGURA 5. APLICACIÓN DE LA REGLA DE LA MANO IZQUIERDA.


JULIO 2013

DETERMINARSE POR MEDIO DE LA APLICACIÓN DE LA REGLA DE LA MANO DERECHA.

NOTA: AL REPRESENTAR GRÁFICAMENTE B, SE SIGUE LA CONVENCIÓN DE QUEUNA x INDICA LA DIRECCIÓN HACIA EL PLANO DEL PAPEL Y UN PUNTO ( · ) INDICA QUE LA FLECHA DEL VECTOR APUNTA HACIA AFUERA DEL PAPEL ( VER LA FIGURA 4 ):

F F

V V

(a) (b)

FIGURA 4. LA DIRECCIÓN DEL CAMPO B SE INDICA POR MEDIO DE CRUCES ( x ) HACIA EL PAPEL Y PUNTOS ( · ) HACIA FUERA DEL PAPEL. (a) PARA UNA CARGA POSITIVA Y (b) PARA UNA CARGA NEGATIVA.

APLICACIONES

1. UN ELECTRÓN SE PROYECTA DE IZQUIERDA A DERECHA EN UN CAMPO MAGNÉTICO DIRIGIDO VERTICALMENTE HACIA ABAJO. LA VELOCIDAD DEL ELECTRÓN ES DE 2 X 106 m/s, Y LA DENSIDAD DE FLUJO MAGNÉTICO DEL CAMPO ES DE 0.3 T. DETERMINE LA MAGNITUD Y LA DIRECCIÓN DE LA FUERZA MAGNÉTICOA EJERCIDA SOBRE EL ELECTRÓN.

SOLUCIÓN:

LA CARGA DEL ELECTRÓN ES 1.6 X 10-19 C, LA MAGNITUD DE LA FUERZA SOBRE EL ELECTRÓN SE CALCULA A PARTIR DE LA ECUACIÓN ( 3 ) Y LA DIRECCIÓN SE DETERMINA AL APLICAR LA REGLA DE LA MANO IZQUIERDA. SE USA LA MANO IZQUIERDA PORQUE LA CARGA DE UN ELECTRÓN ES NEGATIVA ( VER LA FIGURA 5 ):

EL ELECTRÓN SE MUEVE EN UNA DIRECCIÓN PERPENDICULAR A B. POR TANTO, sen θ=1 ; RESOLVEMOS PARA LA FUERZA EN LA SIGUIENTE FORMA:

F =qv · B· sen 90º

60

N S

.


JULIO 2013


F = (1.6 X 10-19 C) · (2 X 106 m/s) · (0.3 T) · (1)

HACIENDO OPERACIONES:

F = 9.60 X 10-14 newtons

LA APLICACIÓN DE LA REGLA DE LA MANO IZQUIERDA PARA UN ELECTRÓN MUESTRA QUE LA DIRECCIÓN DE LA FUERZA ES HACIA AFUERA DE LA PÁGINA, O HACIA EL LECTOR. (PARA UNA CARGA POSITIVA COMO UN PROTÓN O UNA PARTÍCULA ALFA, SERÍA HACIA ADENTRO DE LA PÁGINA).

TAREA:

1. UN PROTÓN ( q = +1.6 X 10-19 C ) SE INYECTA DE DERECHA A IZQUIERDA EN UN CAMPO B DE 0.4 T DIRIGIDO HACIA LA PARTE SUPERIOR DE UNA HOJA DE PAPEL. SI LA VELOCIDAD DEL PROTÓN ES DE 2 X 106 m/s, ¿CUÁLES SON LA MAGNITUD Y EL SENTIDO DE LA FUERZA MAGNÉTICA Y EL SENTIDO DE LA FUERZA MAGNÉTICA SOBRE EL PROTÓN?[RESP. 1.28 X 10-13 N, HACIA LA HOJA].

2. UN ELECTRÓN SE MUEVE A UNA VELOCIDAD DE 5 X 105 m/s FORMANDO UN ÁNGULO DE 60º AL NORTE DE UN CAMPO B DIRIGIDO AL ESTE. EL ELECTRÓN EXPERIMENTA UNA FUERZA DE 3.2 X 10-18 N DIRIGIDO HACIA ADENTRO DE LA PÁGINA. ¿CUÁLES SON LA MAGNITUD DE B Y LA DIRECCIÓN DE LA VELOCIDAD?[RESP. 46.2 µT, V ES 60º S DEL E].

3. UN PROTÓN (+1e) SE MUEVE VERTICALMENTE HACIA ARRIBA A UNA VELOCIDAD DE 4 X 106 m/s. PASA A TRAVÉS DE UN CAMPO MAGNÉTICO DE 0.4T DIRIGIDO HACIA LA DERECHA. ¿CUÁLES SON LA MAGNITUD Y EL SENTIDO DE LA FUERZA MAGNÉTICA?

4. SI UN ELECTRÓN SUSTITUYE AL PROTÓN DEL PROBLEMA 3, ¿CUÁLES SERÁN LA MAGNITUD Y LA DIRECCIÓN DE LA FUERZA MAGNÉTICA?[RESP. 2.56 X 10-13 N, HACIA FUERA DE LA HOJA].

( FIN DEL TEMA 4.2 )4.3 FUERZA DE LORENTZCapítulo 13 / Física, Volumen II, Richard Feynman y Robert B. Leighton

LA FUERZA SOBRE UNA CARGA ELÉCTRICA DEPENDE NO SOLAMENTE DE DONDE ÉSTA SE ENCUENTRA, SINO TAMBIÉN DE LA VELOCIDAD CON QUE SE DESPLAZA. TODO PUNTO DEL ESPACIO ESTÁ CARACTERIZADO POR DOS CANTIDADES VECTORIALES QUE DETERMINAN LA FUERZA SOBRE CADA CARGA. LA PRIMERA ES LA FUERZA ELÉCTRICA QUE DA UNA COMPONENTE DE LA FUERZA QUE ES INDEPENDIENTE DEL MOVIMIENTO DE LA CARGA. LA DESCRIBIMOS POR MEDIO DEL CMPO ELÉCTRICO E. LA SEGUNDA ES UNA COMPONENTE ADICIONAL DE LA FUERZA QUE SE LLAMA FUERZA MAGNÉTICA Y QUE DEPENDE DE LA VELOCIDAD DE LA CARGA. LA DIRECCIÓN DE ESTA FUERZA MAGNÉTICA TIENE UN CARÁCTER EXTRAÑO: EN CUALQUIER PUNTO PARTICULAR DEL ESPACIO, LA DIRECCIÓN Y LA MAGNITUD

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DE LA FUERZA DEPENDEN, AMBOS, DE LA DIRECCIÓN EN QUE SE MUEVE LA PARTÍCULA; EN TODO INSTANTE LA FUERZA ES SIEMPRE PERPENDICULAR A UNA DIRECCIÓN FIJA EN EL ESPACIO. VER LA FIGURA 1: B

90° θ V 9 90° F

FIGURA 1. LA COMPONENTE DEPENDIENTE DE LA VELOCIDAD DE LA FUERZA QUE ACTÚA SOBRE UNA CARGA EN MOVIMIENTO ES NORMAL A V Y A LA DIRECCIÓN DE B. ADEMÁS ES PROPORCIONAL A LA COMPONENTE DE V NORMAL A B, O SEA A V·sen θ.

ADEMÁS, LA MAGNITUD DE LA FUERZA ES PROPORCIONAL A LA COMPONENTE DE LA VELOCIDAD PERPENDICULAR A ESTA DIRECCIÓN PRIVILEGIADA. ES POSIBLE DESCRIBIR TODO ESTE COMPORTAMIENTO DEFINIENDO EL VECTOR CAMPO MAGNÉTICO B, QUE ESPECIFICA SIMULTÁNEAMENTE LA DIRECCIÓN PRIVILEGIADA EN EL ESPACIO Y LA CONSTANTE DE PROPORCIONALIDAD CON LA VELOCIDAD. NOS PERMITE TAMBIÉN ESCRIBIR LA FUERZA MAGNÉTICA COMO qV X B. ENTONCES LA FUERZA TOTAL ELECTROMAGNÉTICA SOBRE UNA CARGA SE PUEDE ESCRIBIR EN LA FORMA:

F = q ( E + V X B) ( 1 )

ESTA FUERZA SE LLAMA FUERZA DE LORENTZ.

PUEDE PONERSE FÁCILMENTE EN EVIDENCIA LA FUERZ MAGNÉTICA ACERCANDO UN IMÁN A UN TUBO DE RAYOS CATÓDICOS. LA DESVIACIÓN DEL HAZ DE ELECTRONES MUESTRA QUE LA PRESENCIA DEL IMÁN PRODUCE FUERZAS SOBRE LOS ELECTRONES QUE ACTÚAN PERPENDICULARMENTE A LA DIRECCIÓN DE MOVIMIENTO, TAL COMO LO HEMOS DESCRITO YA.

LA UNIDAD DE CAMPO MAGNÉTICO B ES EVIDENTEMENTE UN newton · segundo por m2. TAMBIÉN SE CONOCE COMO UN weber por metro cuadrado.


4.4 LEY DE BIOT – SAVARTCapítulo 7 / Serway / JewettCapítulo 34 / Resnick / Parte 2

POCO DESPUÉS DE QUE EN 1819 OERSTED DESCUBRIERA QUE LA AGUJA DE UNA BRÚJULA SE DESVÍA POR LA PRESENCIA DE UN CONDUCTOR QUE LLEVA CORRIENTE, JEAN-BAPTISTE BIOT (1774 – 1862) Y FÉLIX SAVART (1791 – 1841) REALIZARON EXPERIMENTOS CUANTITATIVOS EN RELACIÓN CON LA FUERZA EJERCIDA POR UNA CORRIENTE ELÉCTRICA SOBRE UN IMÁN CERCANO. DE SUS RESULTADOS EXPERIMENTALES BIOT Y SAVART LLEGARON A UNA EXPRESIÓN MATEMÁTICA QUE DA EL VALOR DEL CAMPO MAGNÉTICO EN ALGÚN PUNTO DEL ESPACIO, EN FUNCIÓN DE LA CORRIENTE QUE DICHO CAMPO PRODUCE.

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FIGURA 1. EL ELEMENTO DE CORRIENTE dl ESTABLECE UNA CONTRIBUCIÓN dB AL CAMPO MAGNÉTICO EN EL PUNTO P.

DL ES UN ELEMENTO DE LONGITUD DEL CONDUCTOR QUE TRANSPORTA LA CORRIENTE.


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PARA ENTENDER ESTA LEY OBSERVEMOS LA FIGURA 1 SIGUIENTE:

a b i x1

dl c

θ

r dB

p

SEA P EL PUNTO EN EL CUAL SE DESEA CALCULAR EL CAMPO MAGNÉTICO dB ASOCIADO CON EL ELEMENTO dl DEL CONDUCTOR QUE TRANSPORTA LA CORRIENTE i. SEGÚN LA LEY DE BIOT Y SAVART, LA MAGNITUD DE dB ESTÁ DADA POR:

dB = µ0 i / 4π [ dl·senθ / r2 ] ( 1 )

DONDE:

r : ES LA DISTANCIA DEL ELEMENTO DE LONGITUD dl AL PUNTO P Y θ ES EL ÁNGULO ENTRE r Y EL ELEMENTO dl.

ADEMÁS, µ0 ES UNA CONSTANTE LLAMADA PERMEABILIDAD DEL ESPACIO LIBRE:

µ0 = 4π X 10-7 T·m / A ( 2 )

LA ECUACIÓN ( 1 ), AL SER UNA LEY DE VARIACIÓN INVERSA CON EL CUADRADO DE LA DISTANCIA QUE DESCRIBE AL CAMPO MAGNÉTICO DEBIDO A UN ELEMENTO DE CORRIENTE ( dl ), PUEDE CONSIDERARSE COMO EL EQUIVALENTE MAGNÉTICO DE LA LEY DE COULOMB, QUE ES UNA LEY DE VARIACIÓN INVERSA CON EL CUADRADO DE LA DISTANCIA QUE DESCRIBE AL CAMPO ELÉCTRICO DEBIDO A UN ELEMENTO DE CARGA.

NOTA: LA ECUACIÓN ( 1 ) PROPORCIONA LA CONTRIBUCIÓN DE CAMPO MAGNÉTICO DEL ELEMENTO DE LONGITUD dl QUE TRANSPORTA LA CORRIENTE i. POR LO TANTO, PARA CONOCER LA CONTRIBUCIÓN TOTAL DEL CONDUCTOR l , SE INTEGRA LA EXPRESIÓN DADA EN LA ECUACIÓN ( 1 ), PARA OBTENER EL CAMPO MAGNÉTICO TOTAL B … Y COMO ESTO SALE DE LAS EXPECTATIVAS DE NUESTRO CURSO, AQUÍ TERMINAMOS NUESTRO TEMA.

( FIN DEL TEMA 4.4 )4.5 LEY DE AMPERECapítulo 8 / Serway / Jewett

EL DESCUBRIMIENTO DE OERSTED EN 1819 DEL DESVÍO DE LA AGUJA DE LAS BRÚJULAS DEMUESTRA QUE UN CONDUCTOR QUE LLEVA UNA CORRIENTE PRODUCE UN CAMPO MAGNÉTICO. LA FIGURA 1 ( a ) MUESTRA LA FORMA EN QUE ESTE EFECTO PUEDE SER DEMOSTRADO EN EL SALÓN DE CLASES. SE COLOCAN MUCHAS AGUJAS DE BRÚJULA EN UN PLANO HORIZONTAL CERCANO A UN ALAMBRE VERTICAL LARGO. CUANDO NO HAY CORRIENTE EN

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FIGURA 1. ( a ) CUANDO NO EXISTE CORRIENTE EN EL ALAMBRE, TODAS LAS AGUJAS DE LAS BRÚJULAS APUNTAN EN LA MISMA DIRECCIÓN (HACIA EL POLO NORTE DE LA TIERRA). ( b ) CUANDO EL ALAMBRE LLEVA UNA CORRIENTE INTENSA, LAS AGUJAS DE LAS BRÚJULAS SE DESVÍAN EN DIRECCIÓN TANGENTE AL CÍRCULO, LA DIRECCIÓN DEL CAMPO MAGNÉTICO CREADO POR LA CORRIENTE.


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EL ALAMBRE, TODAS LAS AGUJAS APUNTAN EN UNA MISMA DIRECCIÓN ( LA DEL CAMPO MAGNÉTICO DE LA TIERRA ), COMO ERA DE ESPERARSE:

ds

(a) (b)

DEL EXPERIMENTO ANTERIOR SURGE EL CASO GENERAL, CONOCIDO COMO LEY DE AMPERE, QUE SE REPRESENTA MATEMÁTICAMENE COMO:

∮Bds=¿¿µ0 I ( 1 )

LA LEY DE AMPERE DESCRIBE LA CREACIÓN DE CAMPOS MAGNÉTICOS PARA TODAS LAS CONFIGURACIONES DE CORRIENTE CONTINUA, PERO A ESTE NIVEL MATEMÁTICO, SÓLO ES ÚTIL PARA CALCULAR EL CAMPO MAGNÉTICO DE CONFIGURACIONES DE CORRIENTE QUE TIENEN UN ALTO GRADO DE SIMETRÍA. SU USO ES SIMILAR AL DE LA LEY DE GAUSS, PARA EL CÁLCULO DE LOS CAMPOS ELÉCTRICOS CON DISTRIBUCIONES DE CARGA ALTAMENTE SIMÉTRICAS.

POR OTRO LADO, DE LA ECUACIÓN ( 1 ), VEMOS QUE EL CÁLCULO DE LOS CAMPOS MAGNÉTICOS IMPLICA EL USO DEL CÁLCULO DIFERENCIA E INTEGRAL, LO QUE SALE DE LAS EXPECTATIVAS DE NUESTRO CURSO … RAZÓN POR LA CUAL CON ESTO TERMINAMOS NUESTRO TEMA.


4.6 MAGNETIZACIÓN DE LA MATERIACapítulo 8 / Serway / Jewett

FERROMAGNETISMO

UNAS POCAS SUSTANCIAS CRISTALINA EXHIBEN EFECTOS MAGNÉTICOS INTENSOS, LO QUE SE CONOCE COMO FERROMAGNETISMO. ALGUNOS EJEMPLOS DE SUSTANCIAS FERROMAGNÉTICAS SON EL HIERRO, EL COBALTO,EL NÍQUEL, EL GADOLINIO Y EL DISPROSIO. ESTAS SUSTANCIAS

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FIGURA 1. (a) ORIENTACIÓN AL AZAR DE LOS DIPOLOS MAGNÉTICOS ATÓMICOS EN

LOS DOMINIOS DE UNA SUSTANCIA NO MAGNETIZADA. ( b ) CUANDO SE APLICA UN

CAMPO EXTERNO B, LOS DOMINIOS CON COMPONENTES DE MOMENTO MAGNÉTICO

EN LA MISMA DIRECCIÓN QUE B SE VUELVEN MÁS GRANDES, Y SE ALINEAN,

ORIGINANDO UNA MAGNETIZACIÓN NETA.


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CONTIENEN MOMENTOS MAGNÉTICOS ATÓMICOS PERMANENTES ( NOTA: EL MOMENTO MAGNÉTICO SE RELACIONA CON UNA ESPIRA DE CORRIENTE, Y ESTÁ DADO POR µ = I·A , DONDE A = π·r2 ES EL ÁREA ENCERRADA POR LA ÓRBITA DE UN ELECTRÓN. YA EN LA PRÁCTICA SE USA LA RELACIÓN:

µ = ( e / 2 me ) · L ( 1 )

DONDE L = me · v r = MAGNITUD DEL MOMENTUM ANGULAR ORBITAL DEL ELECTRÓN ).

COMO YA LO EXPRESAMOS: ESTOS MATERIALES CONTIENEN MOMENTUMS MAGNÉTICOS ATÓMICOS PERMANENTES, LOS CUALES TIENDEN A ALINEARSE PARALELAMENTE UNO CON OTRO, INCLUSO EN PRESENCIA DE UN CAMPO MAGNÉTICO EXTERNO DÉBIL. UNA VEZ ALINEADOS LOS MOMENTOS, LA SUSTANCIA SE MANTIENE MAGNETIZADA DESPUÉS DE HABERSE RETIRADO EL CAMPO EXTERNO. ESTA ALINEACIÓN PERMANENTE SE DEBE A UN FUERTE ACOPLAMIENTO ENTRE MOMENTOS VECINOS, EL CUAL PUEDE ENTENDERSE SÓLO EN TÉRMINOS DE MECÁNICA CUÁNTIICA ( LO CUAL TAMBIÉN TRASCIENDE LAS EXPECTATIVAS DE NUESTRO CURSO ).

TODOS LOS MATERIALES FERROMAGNÉTICOS ESTÁN CONSTITUÍDOS POR REGIONES MICROSCÓPICAS LLAMADAS DOMINIOS, REGIONES DENTRO DE LAS CUALES TODOS LOS MOMENTOS MAGNÉTICOS ESTÁN ALINEADOS. ESTOS DOMINIOS TIENEN VOLÚMENES DE ALREDEDOR 10-12 A 10-8 m3 Y CONTIENEN 10 17 A 1021 ÁTOMOS. VER LA FIGURA 1:

(a) (b)

LOS DISCOS MAGNÉTICOS PARA COMPUTADORA ALMACENAN INFORMACIÓN AL ALTERNAR LA DIRECCIÓN DE B PARA PORCIONES DE UNA CAPA DELGADA DE MATERIAL FERROMAGNÉTICO. LOS DISCOS FLEXIBLES O FLOPPY DISKS TIENEN LA CAPA COLOCADA SOBRE UNA HOJA CIRCULAR DE PLÁSTICO. LOS DISCOS DUROS CONTIENEN VARIOS PLATOS RÍGIDOS CON RECUBRIMIENTOS MAGNÉTICOS DE CADA LADO. LOS CASETES DE AUDIO Y VIDEO FUNCIONAN DE LA MISMA MANERA QUE LOS DE DISCOS FLEXIBLES, EXCEPTO QUE EL MATERIAL FERROMAGNÉTICO ES UNA CINTA DE PLÁSTICO MUY LARGA. EN UNA CABEZA FONOCAPTORA HAY BOBINAS DIMINUTAS DE ALAMBRE COLOCADAS CERCA DE UN MATERIAL MAGNÉTICO ( QUE SE ESTÁ MOVIENDO RÁPIDAMENTE FRENTE A LA CABEZA ). AL VARIAR LA CORRIENTE EN LAS BOBINAS SE CREA UN CAMPO MAGNÉTICO QUE MAGNETIZA EL MATERIAL DE GRABACIÓN. PARA RECUPERAR LA INFORMACIÓN, SE HACE PASAR EL MATERIAL MAGNETIZADO FRENTE A UNA BOBINA REPRODUCTORA. EL

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MAGNETISMO CAMBIANTE DEL MATERIAL INDUCE UNA CORRIENTE EN LA BOBINA ( COMO SE EXPLICARÁ EN LOS TEMAS SIGUIENTES ). ESA CORRIENTE ES DESPUÉS AMPLIFICADA POR UN EQUIPO DE AUDIO O VIDEO, O ES PROCESADA POR UN EQUIPO DE COMPUTADORA.

CUANDO UNA SUSTANCIA FERROMAGNÉTICA ALCANZA O EXCEDE UNA TEMPERATURA CRÍTICA CONOCIDA COMO TEMPERATURA CURIE, PIERDE SU MAGNETIZACIÓN RESIDUAL. POR DEBAJO DE LA TEMPERATURA CURIE, LOS MOMENTOS MAGNÉTICOS ESTÁN ALINEADOS Y LA SUSTANCIA ES FERROMAGNÉTICA. CUANDO SUPERA LA TEMPERATURA CURIE, LA AGITACIÓN TÉRMICA ES LOS SUFICIENTEMENTE GRANDE PARA ORIENTAR AL AZAR LOS MOMENTOS, Y LA SUSTANCIA SE VUELVE PARAMAGNÉTICA.

PARAMAGNETISMO

LAS SUSTANCIAS PARAMAGNÉTICAS TIENEN UN MAGNETISMO PEQUEÑO PERO POSITIVO, RESULTADO DE LA PRESENCIA DE ÁTOMOS ( O DE IONES ) CON MOMENTOS MAGNÉTICOS PERMANENTES. ESTOS MOMENTOS INTERACTÚAN SÓLO DE MANERA DÉBIL ENTRE SÍ Y SE ORIENTAN AL AZAR EN AUSENCIA DE UN CAMPO MAGNÉTICO EXTERNO, SUS MOMENTOS ATÓMICOS TIENDEN A ALINEARSE CON EL CAMPO. NO OBSTANTE, ESTE PROCESO DE ALINEAMIENTO DEBE COMPETIR CON EL MOVIMIENTO TÉRMICO, QUE TIENDE A ORIENTAR AL AZAR A LOS MOMENTOS MAGNÉTICOS.

DIAMAGNETISMO

CUANDO SE APLICA UN CAMPO MAGNÉTICO EXTERNO A UNA SUSTANCIA DIAMAGNÉTICA, SE INDUCE UN MOMENTO MAGNÉTICO DÉBIL EN DIRECCIÓN OPUESTA AL CAMPO APLICADO, ESTO HACE QUE LAS SUSTANCIAS DIAMAGNÉTICAS SEAN DÉBILMENTE REPELIDAS POR UN IMÁN. AUNQUE EL DIAMAGNETISMO ESTÁ PRESENTE EN TODA MATERIA, SUS EFECTOS SON MUCHO MENORES QUE LOS DEL PARAMAGNETISMO O DEL FERROMAGNETISMO, Y SÓLO SON EVIDENTES CUANDO NO EXISTEN ESOS OTROS EFECTOS …

( FIN DEL TEMA 4.6 )4.7 SUSCEPTIBILIDAD Y PERMEABILIDAD MAGNÉTICA.Capítulo 35 / Feynman / Leighton / Sands / Volumen 2Capítulo 29 / Tippens

DEFINIMOS LA MAGNETIZACIÓN M DE UN MATERIAL COMO EL MOMENTO MAGNÉTICO RESULTANTE POR UNIDAD DE VOLUMEN.

SE SUPONE QUE CADA UNO DE LOS ÁTOMOS TENGA UN MOMENTO MAGNÉTICO µ, QUE SIEMPRE TIENE LA MISMA MAGNITUD, PERO QUE PUEDE APUNTAR EN CUALQUIER DIRECCIÓN. EN UN CAMPO B, LA ENERGÍA MAGNÉTICA ES -µ · B = -µ B ·

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cos θ, donde θ ES EL ÁNGULO FORMADO POR EL MOMENTO Y EL CAMPO. SEGÚN LA MECÁNICA ESTADÍSTICA, LA PROBABILIDAD RELATIVA DE TENER CUALQUIER ÁNGULO ES:

e-energía/kT ,

POR LO QUE LOS ÁNGULOS PRÓXIMOS A CERO SON MÁS PROBABLES QUE LOS PRÓXIMOS A π. DE ESTA MANERA, ENCONTRAMOS QUE PARA CAMPOS MAGNÉTICOS PEQUEÑOS, M ES PARALELO A B Y SU MAGNITUD ES:

M = N µ2 B / 3KT ( 1 )

EN DONDE:

M = MAGNETIZACIÓN DEL MATERIAL

N = NÚMERO TOTAL DE MOLÉCULAS POR UNIDAD DE VOLUMEN

k = CONSTANTE DIELÉCTRICA

1 / T = LEY DE CURIE

B = CAMPO MAGNÉTICO

µ = EL MOMENTO PROMEDIO

DE LA ECUACIÓN ( 1 ) VEMOS QUE LA MAGNETIZACIÓN INDUCIDA – O SEA, EL MOMENTO MAGNÉTICO POR UNIDAD DE VOLUMEN – ES PROPORCIONAL AL CAMPO MAGNÉTICO. ÉSTE ES EL FENÓMENO DEL PARAMAGNETISMO. SE VERÁ QUE EL EFECTO ES MÁS INTENSO A BAJAS TEMPERATURAS Y MÁS DÉBIL A TEMPERATURAS ALTAS.

CUANDO APLICAMOS UN CAMPO A UNA SUSTANCIA, ELLA DESARROLLA, PARA CAMPOS PEQUEÑOS, UN MOMENTO MAGNÉTICO PROPORCIONAL AL CAMPO. SE LLAMA SUSCEPTIBILIDAD MAGNÉTICA AL COCIENTE ENTRE M Y B ( PARA CAMPOS PEQUEÑOS ).

POR LO TANTO, DE LA ECUACIÓN ( 1 ):

M / B = Nµ2 / 3kT = SUSCEPTIBILIDAD MAGNÉTICA

PERMEABILIDAD MAGNÉTICA

PARA ENTENDER ESTE CONCEPTO, ES PRECISO RECORDAR QUÉ ES EL FLUJO MAGNÉTICO φ.

LA DENSIDAD DE FLUJO MAGNÉTICO EN UNA REGIÓN DE UN CAMPO MAGNÉTICO ES EL NÚMERO DE LÍNEAS DE FLUJO QUE PASAN A TRAVÉS DE UNA UNIDAD DE ÁREA PERPENDICULAR EN ESA REGÍÓN. O SEA:

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FIGURA 1. CÁLCULO DEL FLUJO MAGNÉTICO A TRAVÉS DE UNA ESPIRA RECTANGULAR.


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B = φ / A ( 2 )

DONDE φ ES EL FLUJO Y A ES EL ÁREA

LA UNIDAD DE FLUJO MAGNÉTICO EN EL SI (SISTEMA INTERNACIONAL) ES EL weber ( Wb ). LA UNIDAD DE DENSIDAD DE FLUJO DEBE SER ENTONCES webers por metro cuadrado, QUE SE REDEFINE COMO TESLA ( T ). UNA ANTIGUA UNIDAD QUE TODAVÍA SE USA HOY ES EL gauss ( G ). EN RESUMEN

1 T = 1 Wb / m2 = 1 X 104 G ( 3 )

APLICACIONES

1. UNA ESPIRA RECTANGULAR DE 10 cm DE ANCHO Y 20 cm DE LARGO FORMA UN ÁNGULO DE 30º RESPECTO AL FLUJO MAGNÉTICO EN LA FIGURA 1. SI LA DENSIDAD DE FLUJO MAGNÉTICO ES DE 0.3 T, CALCULE EL FLUJO MAGNÉTICO φ QUE PENETRA LA ESPIRA.

A B

θ ASenθ

SOLUCIÓN:

EL ÁREA DE LA ESPIRA RECTANGULAR ES:

A = ( 0.10 m) (0.20 m) = 0.020 m2

DESPEJANDO EL FLUJO φDE LA ECUACIÓN ( 2 ), TENEMOS:

B = φ / A· sen θ

POR LO TANTO: φ = B· A sen θ


φ = 3 X 10-3Wb = 3 mWb

AHORA BIEN, LA DENSIDAD DE FLUJO EN CUALQUIER PUNTO UBICADO EN UN CAMPO MAGNÉTICO SE VE AFECTADA FUERTEMENTE POR LA NATURALEZA DEL MEDIO O POR LA NATURALEZA DEL MATERIAL QUE SE HA COLOCADO EN DICHO MEDIO. POR ESTA RAZÓN, ES CONVENIENTE DEFINIR UN NUEVO VECTOR DE CAMPO MAGNÉTICO, LA INTENSIDAD DEL CAMPO MAGNÉTICO H, LA CUAL NO DEPENDE DE LA NATURALEZA DE UN MEDIO. EN CUALQUIER CASO, EL NÚMERO DE LÍNEAS ESTABLECIDAS POR UNIDAD DE ÁREA ES DIRECTAMENTE PROPORCIONAL A LA INTENSIDAD DEL CAMPO MAGNÉTICO H. PODEMOS ESCRIBIR:

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N S

FIGURA 2. UN MATERIAL PERMEABLE SE MAGNETIZA POR

INDUCCIÓN, LO QUE DA POR RESULTADO UNA MAYOR DENSIDAD

DE FLUJO EN ESA REGIÓN


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B = φ / A = µH ( 4 )

DONDE LA CONSTANTE DE PROPORCIONALIDAD µ ES LA PERMEABILIDAD DEL MEDIO A TRAVÉS DEL CUAL PASAN LAS LÍNEAS DE FLUJO. PUEDE PENSARSE EN LA PERMEABILIDAD DE UN MEDIO COMO UNA CARACTERÍSTICA QUE CONSTITUYE LA MEDIDA DE SU CAPACIDAD PARA ESTABLECER LÍNEAS DE FLUJO MAGNÉTICO. CUANTO MAYOR SEA LA PERMEABILIDAD DEL MEDIO, MÁS LÍNEAS DE FLUJO PASARÁN A TRAVÉS DE LA UNIDAD DE ÁREA.

LA PERMEABILIDAD DEL ESPACIO LIBRE ( VACÍO ) SE DENOTA POR µ0 Y TIENE LA SIGUIENTE MAGNITUD EN UNIDADES DEL SI (SISTEMA INTERNACIONAL):

µ0 = 4π X 10-7 Wb / A·m = 4π X 10-7 T·m / A ( 5 )

NOTA:

NO CONFUNDIR LA PERMEABILIDAD µ DEFINIDA AQUÍ, CON EL MOMENTO MAGNÉTICO QUE TAMBIÉN REPRESENTAMOS CON µ.

AHORA BIEN, PARA EL CASO DEL VACÍO, SE PUEDE ESCRIBIR:

B = µ0H ( 6 )

SI UN MATERIAL NO MAGNÉTICO, COMO EL VIDRIO SE COLOCA EN UN CAMPO MAGNÉTICO COMO EL QUE SE MUESTRA EN LA FIGURA 2, LA DISTRIBUCIÓN DEL FLUJO NO CAMBIA APRECIABLEMENTE EN RELACIÓN CON LO QE SE HA ESTABLECIDO PARA EL VACÍO. NO OBSTANTE, CUANDO UN MATERIAL ALTAMENTE PERMEABLE, COMO EL HIERRO DULCE, SE COLOCA EN EL MISMO CAMPO, LA DISTRIBUCIÓN DEL FLUJO SE ALTERA CONSIDERABLEMENTE. EL MATERIAL PERMEABLE SE PUEDE MAGNETIZAR POR INDUCCIÓN, LO QUE DA POR ERESULTADO UNA MAYOR INTENSIDAD DE CAMPO ( H ) PARA ESA REGIÓN. POR ESTE MOTIVO, LA DENSIDAD DE FLUJO B TAMBIÉN SE CONOCE COMO INDUCCIÓN MAGNÉTICA:

MATERIAL NO MAGNÉTICO

HIERRO

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LOS MATERIALES MAGNÉTICOS SE CLASIFICAN DE ACUERDO CON SU PERMEABILIDAD, COMPARADA CON LA QUE LE CORRESPONDE AL ESPACIO VACÍO. LA RAZÓN DE LA PERMEABILIDAD DEL MATERIAL RESPECTO A LA CORRESPONDIENTE AL VACÍO SE LLAMA PERMEABILIDAD RELATIVA Y SE EXPRESA EN ESTA FORMA:

µr = µ / µ0 ( 7 )

ANALIZANDO LAS ECUACIONES ( 6 ) Y ( 7 ) SE OBSERVA QUE LA PERMEABILIDAD RELATIVA DE UN MATERIAL ES UNA MEDIDA DE SU CAPACIDAD PARA MODIFICAR LA DENSIDAD DE FLUJO DE UN CAMPO, A PARTIR DE SU VALOR EN EL VACÍO.

YA PARA TERMINAR CON ESTE TEMA, DIREMOS QUE LOS MATERIALES CON UNA PERMEABILIDAD RELATIVA LIGERAMENTE MENOR QUE LA UNIDAD, TIENEN LA PROPIEDAD DE SER REPELIDOS POR UN IMÁN FUERTE. SE DICE QUE TALES MATERIALES SON DIAMAGNÉTICOS, Y LA PROPIEDAD RECIBE EL NOMBRE DE DIAMAGNETISMO. POR OTRA PARTE, LOS MATERIALES CON UNA PERMEABILIDAD LIGERAMENTE MAYOR QUE LA DEL VACÍO, SE DICE QE SON PARAMAGNÉTICOS. ESTOS MATERIALES SON ATRAÍDOS DÉBILMENTE POR UN IMÁN PODEROSO.

SÓLO UNOS CUANTOS MATERIALES, COMO HIERRO, COBALTO, NÍQUEL, ACERO Y ALEACIONES DE ESTOS MATERIALES ( COMO EL ALNICO : ALEACIÓN DE ALUMNINIO, NÍQUEL Y COBALTO, CON EL CUAL SE FABRICAN LOS IMANES DE LAS BOCINAS – NOTA MÍA ) TIENEN PERMEABILIDADES EXTREMADAMENTE ALTAS, QUE VAN DESDE ALGUNOS CIENTOS HASTA VARIOS MILES DE VECES MAYORES QUE LA CORRESPONDIENTE AL ESPACIO VACÍO. DE DICHOS MATERIALES, QUE SON FUERTEMENTE ATRAÍDOS POR UN IMÁN, SE DICE QUE SON FERROMAGNÉTICOS.

( FIN DEL TEMA 4.7 Y TAMBIÉN FIN DE LA UNIDAD Nº 4 )

UNIDAD Nº 5: INDUCCIÓN MAGNÉTICA

TEMAS:

5.1 LEY DE FARADAY.5.2 LEY DE LENZ.5.3 INDUCTANCIA.5.4 AUTOINDUCTANCIA.

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5.5 ENERGÍA DEL CAMPO MAGNÉTICO.

5.1 LEY DE FARADAYCapìtulo 31 / Tippens

FARADAY DESCUBRIÓ QUE CUANDO UN CONDUCTOR CORTA LAS LÍNEAS DE FLUJO MAGNÉTICO, SE PRODUCE UN fem ( fuerza electromotriz ) ENTRE LOS EXTREMOS DE DICHO CONDUCTOR. POR EJEMPLO, SE INDUCE UNA CORRIENTE ELÉCTRICA ENEL CONDUCTOR D LA FIGURA 1 ( a ) A MEDIDA QUE ÉSTE SE MUEVE HACIA ABAJO, ATRAVESANDO LAS LÍNEAS DE FLUJO:

FIGURA 1. FIGURA 1. CUANDO UN CONDUCTOR CORTA LÍNEAS DE FLUJO MAGNÉTICO, SE INDUCE UNA CORRIENTE ELÉCTRICA.

CUANTO MÁS RÁPIDO SEA ESE MOVIMIENTO, TANTO MÁS PRONUNCIADA SERÁ LA DESVIACIÓN DE LA AGUJA DEL GALVANÓMETRO. CUANDO EL CONDUCTOR SE MUEVE HACIA ARRIBA, A TRAVÉS DE LAS LÍNEAS DE FLUJO, SE PUEDE HACER UNA OBSERVACIÓN SIMILAR, EXCEPTO QUE EN ESE CASO LA CORRIENTE SE INVIERTE [ VER LA FIGURA 1 ( b ) ]. CUANDO NO SE CORTANLAS LÍNEAS DE FLUJO, POR EJEMPLO SI EL CONDUCTOR SE MUEVE EN DIRECCIÓN PARALELA AL CAMPO, NO SE INDUCE CORRIENTE ALGUNA.

SUPONGAMOS AHORA QUE CIERTO NÚMERO DE CONDUCTORES SE MUEVEN A TRAVÉS DE UN CAMPO MAGNÉTICO, COMO SE OBSERVA EN LA FIGURA 2:

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FIGURA 2. LA fem INDUCIDA EN UNA BOBINA ES PROPORCIONAL AL NÚMERO DE ESPIRAS DE ALAMBRE QUE CRUZAN A TRAVÉS DEL CAMPO.

DE LA FIGURA ANTERIOR, AL DESCENDER UNA BOBINA DE N ESPIRAS A TRAVÉS DE LAS LÍNEAS DE FLUJO, SE INDUCE UNA CORRIENTE QUE ES DIRECTAMENTE PROPORCIONAL AL NÚMERO DE ESPIRAS ( VUELTAS ) Y A LA RAPIDEZ DEL MOVIMIENTO. ES EVIDENTE QUE SE INDUCE UNA fem MEDIANTE EL MOVIMIENTO RELATIVO ENTRE EL CONDUCTOR Y EL CAMPO MAGNÉTICO. CUANDO LA BOBINA PERMANECE FIJA Y EL IMÁN SE MUEVE HACIA ARRIBA SE OBSERVA EL MISMO EFECTO.

RESUMIENDO LO QUE SE HA OBSERVADO MEDIANTE ESTOS EXPERIMIENTOS, SE ESTABLECE QUE:

1. EL MOVIMIENTO RELATIVO ENTRE UN CONDUCTOR Y UN CAMPO MAGNÉTICO INDUCE UNA fem EN EL CONDUCTOR.

2. LA DIRECCIÓN DE LA fem INDUCIDA DEPENDE DE LA DIRECCIÓN DEL MOVIMIENTO DEL CONDUCTOR RESPECTO AL CAMPO.

3. LA MAGNITUD DE LA fem ES DIRECTAMENTE PROPORCIONAL A LA RAPIDEZ CON LA QUE EL CONDUCTOR CORTA LAS LÍNEAS DE FLUJO.

4. LA MAGNITUD DE LA fem ES DIRECTAMENTE PROPORCIONAL AL NÚMERO DE ESPIRAS DEL CONDUCTOR QUE CRUZA LAS LÍNEAS DE FLUJO.

UNA RELACIÓN CUANTITATIVA PARA CALCULAR LA fem INDUCIDA EN UNA BOBINA DE N ESPIRAS ES:

ε=−N·∆φ / ∆ t LEY DE FARADAY ( 1 )

DONDE:

𝜺 = fem media inducida

𝝙𝝋 = CAMBIO EN EL FLUJO MAGNÉTICO DURANTE UN ESPACIO DE TIEMPO 𝝙t.

“UN FLUJO MAGNÉTICO QUE CAMBIA CON UNA RAPIDEZ DE UN WEBER POR SEGUNDO INDUCIRÁ UNA fem DE 1 VOLT POR CADA ESPIRA DEL CONDUCTOR”. EL SIGNO NEGATIVO DE LA ECUACIÓN ( 1 ) SIGNIFICA QUE LA fem INDUCIDA TIENE TAL DIRECCIÓN QUE SE OPONE AL CAMBIO QUE LA PRODUCE.

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AHORA ANALICEMOS CÓMO EL FLUJO MAGNÉTICO 𝝋 QUE SE ACOPLA A UN CONDUCTOR PUEDE CAMBIAR. EN EL CASO MÁS SENCILLO DE UN ALAMBRE RECTO, QUE SE MUEVE A TRAVÉS DE LAS LÍNEAS DE FLUJO, 𝝙𝝋 / 𝝙t REPRESENTA LA RAPIDEZ CON LA CUAL EL FLUJO SE ACOPLA A CAUSA DE LOS CAMBIOS DEL CONDUCTOR.NO OBSTANTE, PARA QUE UNA CORRIENTE INDUCIDA EXISTA, ES NECESARIO QUE FLUYA A TRAVÉS DE UN CIRCUITO CERRADO, Y LO QUE NOS INTERESA CON MÁS FRECUENCIA ES LA fem INDUCIDA EN UNA ESPIRA O EN UNA BOBINA DE ALAMBRE.

RECORDEMOS QUE EL FLUJO MAGNÉTICO 𝝋 QUE PASA A TRAVÉS DE UNA ESPIRA DE ÁREA EFECTIVA A ESTÁ DADO POR:

𝝋 = B · A ( 2 )

DONDE B ES LA DENSIDAD DE FLUJO MAGNÉTICO. CUANDO B ESTÁ EN teslas ( webers por metro cuadrado ) y A ESTÁ EN METROS CUADRADOS, 𝝋 SE EXPRESA EN webers.

UN CAMBIO EN EL FLUJO 𝝋 PUEDE EXPRESARSE PRINCIPALMENTE EN DOS FORMAS:

1. AL CAMBIAR LA DENSIDAD DE FLUJO B A TRAVÉS DE UNA ESPIRA DE ÁREA A :

𝝙𝝋 = ( B ) A ( 3 )

DOS EJEMPLOS DE DENSIDAD DE FLUJO VARIABLE A TRAVÉS DE UNA BOBINA FIJA DE ÁREA CONSTANTE SE ILUSTRAN EN LA FIGURA 3:

NOTAS DEL CURSO DE: ELEMENTOS DE ELECTRICIDAD Y MAGNETISMOMATERIAL ELABORADO POR EL ING. JOSÉ LUIS MEZA GODINESMIÉRCOLES 17 DE JULIO DE 2013

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FIGURA 3. ( a ) INDUCCIÓN DE UNA CORRIENTE POR MEDIO DEL MOVIMIENTO DE UN IMÁN QUE SE DESPLAZA DENTRO DE UNA BOBINA. ( b ) UNA CORRIENTE VARIABLE QUE CIRCULA POR LA BOBINA A INDUCE UNA CORRIENTE EN LA BOBINA B.

2. AL CAMBIAR EL ÁREA EFECTIVA A EN UN CAMPO MAGNÉTICO DE DENSIDAD DE FLUJO B CONSTANTE, SE TIENE QUE:

𝝙𝝋 = B ( A ) ( 4 )

EN LA FIGURA 3 ( a ) , EL POLO NORTE DE UN IMÁN SE MUEVE A TRAVÉS DE UNA BOBINA CIRCULAR. LA VARIACIÓN DE LA DENSIDAD DE FLUJO INDUCE UNA CORRIENTE EN LA BOBINA, COMO LO INDICA EL GALVANÓMETRO. EN LA FIGURA 3 ( b ) NO SE INDUCE CORRIENTE EN LA BOBINA B MIENTRAS LA CORRIENTE EN LA BOBINA A SEA CONSTANTE. NO OBSTANTE, MEDIANTE UNA RÁPIDA VARIACIÓN DE LA RESISTENCIA EN EL CIRCUITO IZQUIERDO, LA DENSIDAD DE FLUJO MAGNÉTICO QUE LLEGA A LA BOBINA B PUEDE AUMENTAR O DISMINUIR. MIENTRAS LA DESIDAD DE FLUJO ESTÁ CAMBIANDO, SE INDUCE UNA CORRIENTE EN LA BOBINA DE LA DERECHA.

OBSERVE QUE CUANDO EL POLO NORTE ( N ) DEL IMÁN SE MUEVE EN LA BOBINA EN LA FIGURA 3 ( a ), LA CORRIENTE FLUYE EN LA DIRECCIÓN DE LAS MANECILLAS DEL RELOJ SI VEMOS HACIA EL IMÁN. POR TANTO, EL EXTREMO DE LA BOBINA CERCA DEL POLO N DEL IMÁN SE VUELVE TAMBIÉN UN POLO N ( A PARTIR DE LA REGLA DE LA MANO DERECHA ). EL IMÁN Y LA BOBINA EXPERIMENTARÁN UNA FUERZA DE REPULSIÓN, POR LO CUAL SERÁ NECESARIO EJERCER UNA FUERZA PARA JUNTARLOS. SI SE EXTRAE EL IMÁN DE LA BOBINA, EXISTIRÁ UNA FUERZA DE ATRACCIÓN QUE HACE NECESARIO EJERCER UNA FUERZA PARA SEPARARLOS ( NOTA: TALES FUERZAS SON UNA CONSECUENCIA NATURAL DEL PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA ).

APLICACIONES

1. UNA BOBINA DE ALAMBRE QUE TIENE UN ÁREA DE 2 X 10 -3 m2 SE COLOCA EN UNA REGIÓN DE DENSIDAD DE FLUJO CONSTANTE IGUAL A 0.65 T. EN UN

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INTERVALO DE 0.003 S, LA DENSIDAD DE FLUJO AUMENTA A 1.4 T. SI LA BOBINA CONSTA DE 50 ESPIRAS DE ALAMBRE, ¿ CUÁL ES LA fem INDUCIDA?

SOLUCIÓN;

EN ESTE CASO, EL ÁREA QUE EL FLUJO PENETRA NO CAMBIA, Y TODA LA fem INDUCIDA ES PRODUCIDA POR CAMPO B VARIABLE. SI CONSIDERAMOS QUE EL CAMBIO EN EL FLUJO ES PRODUCTO DEL ÁREA Y DEL CAMBIO EN B, PODEMOS DETERMINAR EL CAMBIO EN EL FLUJO Y USARLO PARA CALCULAR LE fem INDUCIDA A PARTIR DE LA LEY DE FARADAY.

POR LO TANTO, PRIMERO CALCULAMOS EL CAMBIO EN EL FLUJO:

𝝙𝝋 = ( B ) · A = (Bf - Bo · A = ( 1.4 T – 0.65 T ) · ( 2 X 10-3 m2 )

𝝙𝝋 = 1.50 X 10-3 Wb.

PARA DETERMINAR LA fem INDUCIDA, SUSTITUIMOS ESTE CAMBIO EN LA ECUACIÓN ( 1 ) DE LA LEY DE FARADAY:

ε = - N · 𝝙𝝋 / 𝝙 t = [ - ( 20 espiras ) ( 1.5 X 10 -3 Wb ) ] / 0.003 s

𝜺 = 10 V

LA fem NEGATIVA INDICA OPOSICÍON AL FLUJO EN AUMENTO.

LA SEGUNDA FORMA GENERAL EN LA QUE PUEDE CAMBIAR EL FLUJO ACOPLADO A UN CONDUCTOR ES HACIENDO VARIAR EL ÁREA EFECTIVA PENETRADA POR EL FLUJO. EL SIGUIENTE EJEMPLO ILUSTRA LO ANTERIOR:

2. UNA BOBINA CUADRADA, QUE MIDE 20 cm DE UN LADO Y CONSTA DE 16 ESPIRAS DE ALAMBRE, ESTÁ COLOCADA EN FORMA PERPENDICULAR A UN CAMPO B DE DENSIDAD DE FLUJO DE O.8 T. SI LA BOBINA SE GIRA HASTA QUE SU PLANO ES PARALELO AL DEL CAMPO EN UN TIEMPO DE 0.2 s, ¿CUÁL ES LA fem MEDIA INDUCIDA?

SOLUCIÓN:

CALCULAREMOS EL ÁREA DE LA BOBINA; OBSERVE QUE ELCAMPO B DE 0.8 T PERMANECE CONSTANTE. EL CAMBIO EN EL FLUJO ES EL PRODUCTO DEL CAMBIO EN EL ÁREA ( DE SU VALOR ORIGINAL A CERO ) POR EL CAMBIO CONSTANTE B. LA fem PUEDE, POR TANTO, CALCULARSE COMO ANTES.

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POR LO TANTO, EL ÁREA DE LA ESPIRA CUADRADA ES EL CUADRADO DE CUALQUIER LADO. O SEA:

A = ( 0.2 m )2 = 0.04 m2

ESTA VEZ, EL CAMBIO EN EL FLUJO SE DEBE AL ÁREA VARIABLE:

𝝙𝝋 = B · ( A ) = B · ( 𝝙f – 𝝙0 ) = 0.8 T ( 0 – 0.04 m2 ) = - 0.032 Wb ( LÉASE “VEBERS” ).

EL SIGNO NEGATIVO INDICA QUE EL FLUJO ESTÁ DISMINUYENDO. POR LO TANTO, LA fem INDUCIDA ES:

𝜺 = - N · 𝝙𝝋 / 𝝙 t = - ( 16 espiras ) ( - 0.032 Wb ) / 0.2 s = 2.56 V

OBSERVE QUE EL FLUJO EN DISMINUCIÓN HA RESULTADO EN UNA fem POSITIVA. ESTO ES NECESARIO, COMO YA DIJIMOS, PARA CONSERVAR LA ENERGÍA.

TAREA

1. UNA BOBINA DE ALAMBRE DE 8 cm DE DIÁMETRO TIENE 50 ESPIRAS Y ESTÁ COLOCADA DENTRO DE UN CAMPO B DE 1.8 T. SI EL CAMPO B SE REDUCE A 0.6 T EN 0.002 s, ¿CUÁL ES LA fem INDUCIDA?[ RESP. -151 V ].

2. UNA BOBINA DE 300 ESPIRAS QUE SE MUEVE EN DIRECCIÓN PERPENDICULAR AL FLUJO EN UN CAMPO MAGNÉTICO UNIFORME, EXPERIMENTA UN ENLACE DE FLUJO DE 0.23 Wb EN 0.002 s. ¿CUÁL ES LA fem INDUCIDA?[ RESP. – 34.5 V ].

3. UNA BOBINA DE 120 ESPIRAS TIENE 90 mm DE DIÁMETRO Y SU PLANO ESTÁ EN POSICIÓN PERPENDICULAR A UN CAMPO MAGNÉTICO DE 60 m T GENERADO POR UN ELECTROIMÁN CERCANO. CUANDO LA CORRIENTE DEL ELECTROIMÁN SE INTERRUMPE Y EL CAMPO DESAPARECE, UNA fem DE 6 V ES INDUCIDA EN LA BOBINA. ¿CUÁNTO TIEMPO TARDA EL CAMPO EN DESAPARECER?[ RESP. 7.63 m s ].

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4. UN ALAMBRE DE 0.15 m DE LONGITUD SE DESPLAZA A UNA VELOCIDAD CONSTANTE DE 4 m / s EN UNA DIRECCIÓN QUE FORMA UN ÁNGULO DE 36º CON UN CAMPO MAGNÉTICO DE 0.4 T. EL EJE DEL ALAMBRE ES PERPENDICULAR A LAS LÍNEAS DE FLUJO MAGNÉTICO. ¿CUÁL ES LA fem INDUCIDA?[ RESP. 0.141 V ].



5.2 LEY DE LENZCapítulo 31 / Tippens

EN TODOS LOS ESTUDIOS ACERCA DE LOS FENÓMENOS FÍSICOS HAY UN PRINCIPIO QUE SIRVE DE GUÍA Y QUE SE DESTACA SOBRE TODOS LOS DEMÁS: EL PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA. NO PUEDE EXISTIR UNA fem SIN UNA CAUSA. SIEMPRE QUE UNA CORRIENTE INDUCIDA PRODUCE CALOR O REALIZA UN TRABAJO MECÁNICO, LA ENERGÍA NECESARIA DEBE PROVENIR DEL TRABAJO EFECTUADO PARA INDUCIR LA CORRIENTE. RECORDEMOS EL EJEMPLO DADO EN LA FIGURA 3 ( a ) DEL TEMA ANTERIOR. EL POLO NORTE DEL IMÁN INTRODUCIDO EN UNA BOBINA INDUCE UNA CORRIENTE QUE A SU VEZ ORIGINA OTRO CAMPO MAGNÉTICO. EL SEGUNDO CAMPO PRODUCE UNA FUERZA QUE SE OPONE A LA FUERZA ORIGINAL. SI SE RETIRA EL IMÁN SE CREA UNA FUERZA QUE SE OPONE A LA RETIRADA DEL IMÁN. LO ANTERIOR ILUSTRA LA LEY DE LENZ:

LEY DE LENZ: “UNA CORRIENTE INDUCIDA FLUIRÁ EN UNA DIRECCIÓN TAL QUE POR MEDIO DE SU CAMPO MAGNÉTICO SE OPONDRÁ AL MOVIMIENTO DEL CAMPO MAGNÉTICO QUE LA PRODUCE”.

CUANTO MÁS TRABAJO SE REALIZA AL MOVER EL IMÁN EN LA BOBINA, MAYOR SERÁ LA CORRIENTE INDUCIDA Y, POR TANTO, MAYOR LA FUERZA DE RESISTENCIA. ÉSTE ERA EL RESULTADO ESPERADO A PARTIR DE LA LEY DE LOA CONSERVACIÓN DE LA ENERGÍA. PARA PRODUCIR UNA CORRIENTE MÁS INTENSA SE DEBE REALIZAR UNA MAYOR CANTIDAD DE TRABAJO.


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LA DIRECCIÓN DE LA CORRIENTE INDUCIDA EN UN CONDUCTOR RECTO QUE SE MUEVE A TRAVÉS DE UN CAMPO MAGNÉTICO, SE PUEDE DETERMINAR POR LA LEY DE LENZ. NO OBSTANTE, ES MÁS FÁCIL USAR UNA MODIFICACIÓN DE LA REGLA DE LA MANO DERECHA … ESTE MÉTODO, CONOCIDO COMO LA REGLA DE FLEMING, SE ILUSTRA EN LA FIGURA 1.1:

FIGURA 1. REGLA DE LA MANO DERECHA PARA DETERMINAR LA DIRECCIÓN DE LA CORRIENTE INDUCIDA. ESTA REGLA TAMBIÉN SE CONOCE COMO REGLA DE FLEMING.

REGLA DE FLEMING: SI EL PULGAR, EL DEDO ÍNDICE Y DEDO MEDIO DE LA MANO DERECHA SE COLOCAN EN ÁNGULO RECTO ENTRE SÍ, APUNTANDO CON EL PULGAR EN LA DIRECCIÓN EN LA QUE SE MUEVE EL CONDUCTOR, Y APUNTANDO CON EL ÍNDICE EN LA DIRECCIÓN DEL CAMPO ( DE N A S ), EL DEDO MEDIO APUNTARÁ EN LA DIRECCIÓN CONVENCIONAL DE LA CORRIENTE INDUCIDA.NOTAS DEL CURSO DE: ELEMENTOS DE ELECTRICIDAD Y MAGNETISMOMATERIAL ELABORADO POR EL ING. JOSÉ LUIS MEZA GODINESMIÉRCOLES 17 DE JULIO DE 2013

NOTA:

A VECES LOS ESTUDIANTES RECUERDAN ESTA REGLA MEMORIZANDO MOVIMIENTO – FLUJO – CORRIENTE - . ÉSTAS SON LAS DIRECCIONES INDICADAS POR EL PULGAR, EL ÍNDICE Y EL DEDO MEDIO.


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5.3 INDUCTANCIA.5.4 AUTOINDUCTANCIA.Capítulo 10 / Serway / Jewett

EN TEMAS ANTERIORES VIMOS QUE EN UNA ESPIRA DE ALAMBRE SE INDUCEN UNA fem Y UNA CORRIENTE CUANDO EL FLUJO MAGNÉTICO A TRAVÉS DEL ÁREA ENCERRADA POR LA ESPIRA CAMBIA CON EL TIEMPO. ESTE FENÓMENO DE LA INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA TIENE ALGUNAS CONSECUENCIAS PRÁCTICAS. EN LOS TEMAS DE AHORA, PRIMERO SE DESCRIBE UN EFECTO CONOCIDO COMO AUTOINDUCCIÓN, EN EL CUAL UNA CORRIENTE VARIABLE CON EL TIEMPO EN UN CIRCUITO, PRODUCE UNA fem INDUCIDA QUE SE OPONE A LA fem ESTABLECIDA INICIALMENTE POR DICHA CORRIENTE. LA AUTOINDUCCIÓN ES LA BASE DEL INDUCTOR, UN ELEMENTO DE CIRCUITO ELÉCTRICO. EXPLICAREMOS LA ENERGÍA ALMACENADA EN EL CAMPO MAGNÉTICO DE UN INDUCTOR, ASÍ COMO LA DENSIDAD DE ENERGÍA ASOCIADA CON EL CAMPO MAGNÉTICO.

POSTERIORMENTE ESTUDIAREMOS LA FORMA EN QUE SE INDUCE UNA fem EN UNA BOBINA COMO RESULTADO DE UN FLUJO MAGNÉTICO CAMBIANTE PRODUCIDO POR UNA SEGUNDA BOBINA: ÉSTE ES EL PRINCIPIO BÁSICO DE LA INDUCCIÓN MUTUA. POR ÚLTIMO ( SI EL TIEMPO LO PERMITE ), EXAMINAREMOS LAS CARACTERÍSTICAS DE CIRCUITOS QUE CONTIENEN INDUCTORES, RESISTORES Y CAPACITORES EN DIFERENTES COMBINACIONES.

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AUTOINDUCCIÓN E INDUCTANCIA

ES NECESARIO DISTINGUIR CUIDADOSAMENTE ENTRE fem’s Y CORRIENTES CAUSADAS POR FUENTES FÍSICAS COMO BATERÍAS Y AQUELLAS INDUCIDAS POR CAMPOS MAGNÉTICOS CAMBIANTES. CUANDO SE UTILIZA UN TÉRMINO SIN ADJETIVOS ( POR EJEMPLO, fem Y corriente ) SE DESCRIBEN LOS PARÁMETROS ASOCIADOS CON UNA FUENTE FÍSICA Y SI SE UTILIZA EL ADJETIVO INDUCIDO SE DESCRIBEN AQUELLAS fem’s Y CORRIENTES CAUSADAS POR UN CAMPO MAGNÉTICO CAMBIANTE.

CONSIDERE UN CIRCUITO FORMADO POR UN INTERRUPTOR, UN RESISTOR Y UNA FUENTE DE fem ( V ), COMO SE MUESTRA EN LA FIGURA 1:

FIGURA 1. UNA VEZ CERRADO EL INTERRUPTOR, LA CORRIENTE PRODUCE UN FLUJO MAGNÉTICO A TRAVÉS DEL ÁREA ENCERRADA POR LA ESPIRA. CONFORME LA CORRIENTE AUMENTA HACIA SU VALOR DE EQUILIBRIO, ESTE FLUJO MAGNÉTICO CAMBIA CON EL TIEMPO E INDUCE UNA fem EN LA ESPIRA.

EL DIAGRAMA DE CIRCUITO DE LA FIGURA ANTERIOR SE REPRESENTA EN PERSPECTIVA, PARA MOSTRAR LAS ORIENTACIONES DE ALGUNAS LÍNEAS DE CAMPO MAGNÉTICO DEBIDO A LA CORRIENTE EN EL CIRCUITO. CUANDO EL INTERRUPTOR SE COLOCA EN POSICIÓN CERRADA, LA CORRIENTE NO SALTA INMEDIATAMENTE DE CERO A SU VALOR MÁXIMO V / R ( RECORDEMOS LA LEY DE INDUCCIÓN ELECTROMAGNÉTICA DE FARADAY QUE YA VIMOS EN TEMAS ANTERIORES:

𝜺 = - N · 𝝙𝝋 / 𝝙 t

CONFORME LA CORRIENTE AUMENTA CON EL TIEMPO, EL FLUJO MAGNÉTICO DEBIDO A ESTA CORRIENTE, A TRAVÉS DE LA ESPIRA DEL CIRCUITO, TAMBIÉN

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AUMENTA. ESTE FLUJO CRECIENTE GENERA UNA fem INDUCIDA EN EL CIRCUITO. LA DIRECCIÓN DE LA fem INDUCIDA ES TAL QUE CAUSARÍA UNA CORRIENTE INDUCIDA EN LA ESPIRA (REPRESENTADA POR EL ALAMBRE DEL CIRCUITO ) [ SI ÉSTA NO LLEVASE YA UNA CORRIENTE ], QUE ESTABLECERÍA UN CAMPO MAGNÉTICO ORIGINAL. POR LO TANTO, LA DIRECCIÓN DE LA fem INDUCIDA ES EN SENTIDO OPUESTO A LA DIRECCIÓN DE LA fem DE LA BATERÍA, LO QUE DA COMO RESULTADO UN INCREMENTO GRADUAL, EN VEZ DE INSTANTÁNEO, DE LA CORRIENTE HASTA QUE ALCANCE SU VALOR DE EQUILIBRIO FINAL. DEBIDO A LA DIRECCIÓN DE LA fem INDUCIDA TAMBIÉN SE LE CONOCE COMO fuerza contraelectromotriz, QUE ES SIMILAR A LA QUE SE PRESENTA EN UN MOTOR. ESTE EFECTO SE LLAMA AUTOINDUCCIÓN DEBIDO A QUE EL FLUJO CAMBIANTE SURGE DEL CIRCUITO MISMO. LA fem 𝜺L

ESTABLECIDA EN ESTE CASO SE LLAMA fem autoinducida.

PARA OBTENER UNA DESCRIPCIÓN CUANTITATIVA DE LA AUTOINDUCCIÓN, RECUERDE LA LEY DE FARADAY, LA CUAL DICE QUE LA fem INDUCIDA ES IGUAL AL NEGATIVO DE LA RAPIDEZ DE CAMBIO EN EL TIEMPO DEL FLUJO MAGNÉTICO. ÉSTE ES PROPORCIONAL AL CAMPO MAGNÉTICO, EL CUAL A LA VEZ ES PROPORCIONAL A LA CORRIENTE EN EL CIRCUITO. DEBIDO A ESO, UNA fem AUTOINDUCIDA SIEMPRE ES PROPORCIONAL A LA RAPIDEZ DE CAMBIO EN EL TIEMPO DE LA CORRIENTE. PARA CUALQUIER ESPIRA DE ALAMBRE, SE PUEDE ESCRIBIR ESTA PROPORCIONALIDAD COMO:

𝜺L = - L · 𝝙 I / 𝝙 t ( 1 )

DONDE L ES UNA CONSTANTE DE PROPORCIONALIDAD - LLAMADA INDUCTANCIA DE LA ESPIRA – QUE DEPENDE DE LA GEOMETRÍA DE LA ESPIRA Y DE OTRAS CARACTERÍSTICAS FÍSICAS. SI CONSIDERA UNA BOBINA CON ESPACIOS CERRADOS DE N VUELTAS ( UN TOROIDE O UN SOLENOIDE IDEAL ) QUE LLEVA UNA CORRIENTE I Y CONTIENE N VUELTAS, LA LEY DE FARADAY DICE QUE:

𝜺L = - N · 𝝙𝝋 / 𝝙 t

POR LO TANTO, AL COMBINAR ESTA EXPRESIÓN CON LA ECUACIÓN ( 1 ), TENEMOS:

-L · 𝝙I / 𝝙t = -N · 𝝙𝝋/ 𝝙t

ELIMINANDO 𝝙t DE AMBOS MIEMBROS DE LA ECUACIÓN ANTERIOR, TENEMOS:

-L · 𝝙I = -N · 𝝙𝝋81


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QUITANDO LOS SIGNOS MENOS DE AMBOS MIEMBROS Y DESPEJANDO L DE LA ECUACIÓN ANTERIOR, TENEMOS:

L = N·𝝋 / I INDUCTANCIA DE UNA BOBINA DE N VUELTAS ( 2 )DONDE SE SUPONE QUE PASA EL MISMO FLUJO MAGNÉTICO A TRAVÉS DE CADA UNA DE LAS VUELTAS Y L ES LA INDUCTANCIA DE TODA LA BOBINA. POR LA ECUACIÓN ( 1 ), TAMBIÉN SE ESCRIBE LA INDUCTANCIA COMO LA RELACIÓN:

𝜺L = -L · 𝝙I / 𝝙t

DESPEJANDO L DE LA ECUACIÒN ANTERIOR, TENEMOS:

L = - [ L / ( 𝝙I / 𝝙t ) ] INDUCTANCIA ( 3 )

RECORDEMOS QUE LA RESISTENCIA MIDE LA OPOSICIÓN A LA CORRIENTE (R = 𝝙V / 𝝙I ); EN COMPARACIÓN CON LA ECUACIÓN ( 3 ), LA CUAL MUESTRA QUE LA INDUCTANCI ES UNA MEDIDA DE OPOSICIÓN A UN CAMBIO DE CORRIENTE.

LA UNIDAD DEL SI ( SISTEMA INTERNACIONAL ) PARA LA INDUCTANCIA ES EL HENRY ( Hy ), EL QUE, COMO SE PUEDE VER POR LA ECUACIÓN ( 3 ), EQUIVALE A 1 volt – segundo por cada ampere: 1 Hy = 1 V · s / A.

COMO SE MUESTRA EN EL SIGUIENTE EJEMPLO 1, LA INDUCTANCIA DE UNA BOBINA DEPENDE DE SU GEOMETRÍA.

EJEMPLO 1: INDUCTANCIA DE UN SOLENOIDE

CONSIDERE UN SOLENOIDE (BOBINA CON NÚCLEO DE AIRE) CON N VUELTAS Y LONGITUD L DEVANADO ( ENROLLADO ) UNIFORMEMENTE. SUPONGA QUE L ES MUCHO MAYOR QUE EL RADIO DE LOS DEVANADOS Y QUE EL NÚCLEO DEL SOLENOIDE ES AIRE. DE ACUERDO A LO ANTERIOR:

( a) ENCUENTRE LA INDUCTANCIA DEL SOLENOIDE.

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( b ) CALCULE LA INDUCTANCIA DEL SOLENOIDE SI CONTIENE 300 VUELTAS, SU LONGITUD L ES DE 25 cm Y SU ÁREA DE SECCIÓN TRANSVERSAL ES DE 4 cm2.

( c ) CALCULE LA fem AUTOINDUCIDA EN EL SOLENOIDE SI LA CORRIENTE QUE PORTA DISMINUYE A LA RELACIÓN DE 50 A / s.

SOLUCIÓN:

( a ) LAS LÍNEAS DE CAMPO MAGNÉTICO DE CAD VUELTA DEL SOLENOIDE PASAN A TRAVÉS DE TODAS LAS VUELTAS, DE MODO QUE UNA fem INDUCIDA EN CADA BOBINA SE OPONE AL CAMBIO EN LA CORRIENTE.

ENCONTRAMOS EL FLUJO MAGNÉTICO CON AYUDA DE LA EXPRESIÓN:

𝝋B = B · A = µ0 [ N2· A / L ] , DONDE L ES LA LONGITUD DE LA BOBINA ( NO CONFUNDIRLA CON EL SÍMBOLO DE LA INDUCTANCIA L ).

SUSTITUYENDO ESTA EXPRESIÓN EN LA ECUACIÓN ( 2 ), TENEMOS:

L = N·𝝋B / I = µ0 · N · I · A / L ( 4 )

( b ) SUSTITUYENDO VALORES EN LA ECUACIÓN ( 4 ) ANTERIOR, TENEMOS:

L = ( 4π X 10-7 T·m2 / A )· [ (300)2 / 25 X 10-2m ]·( 4X10-4 m2 ) = 0.181 mHy

( c ) SUSTITUYENDO 𝝙I / 𝝙t = -50 A / s EN LA ECUACIÓN ( 1 ), TENEMOS:

𝜺L = -L·𝝙I / 𝝙t = - ( 1.81 X 10-4 Hy ) ( - 50 A / s ) = 9.05 Mv

( FIN DEL TEMA 5.3 )( FIN DEL TEMA 5.4 )

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5.5 ENERGÍA DEL CAMPO MAGNÉTICOCapítulo 10 / Serway / Jewett

PARA ENTENDER ESTE TEMA, HABLEMOS UN POCO ACERCA DE LOS CIRCUITOS RL.

SI UN CIRCUITO CONTIENE UNA BOBINA, TAL COMO UN SOLENOIDE, LA AUTOINDUCTANCIA DE ÉSTA IMPIDE QUE LA CORRIENTE EN EL CIRCUITO AUMENTE O DISMINUYA DE MANERA INSTANTÁNEA. UN ELEMENTO DE CIRCUITO CON UNA GRAN INDUCTANCIA SE CONOCE COMO INDUCTOR Y UTILIZA EL SÍMBOLO DE CIRCUITO, DADO POR LA FIGURA 1:

FIGURA 1. SÍMBOLO DEL INDUCTOR O BOBINA, COMO ELEMENTO DE UN CIRCUITO ELÉCTRICO.

SIEMPRE SUPONGA QUE LA INDUCTANCIA DEL RESTO DEL CIRCUITO SE PUEDE IGNORAR EN COMPARACIÓN CON LA DEL INDUCTOR. NO OBSTANTE, RECUERDE QUE INCLUSO UN CIRCUITO SIN UNA BOBINA TIENE ALGO DE INDUCTANCIA QUE PUEDE AFECTAR SU COMPORTAMIENTO.

DADO QUE LA INDUCTANCIA EN UN INDUCTOR RESULTA EN UNA FUERZA CONTRAELECTROMOTRIZ, UN INDUCTOR EN UN CIRCUITO SE OPONE A LOS CAMBIOS EN LA CORRIENTE DENTRO DE DICHO CIRCUITO. EL INDUCTOR INTENTA MANTENER LA CORRIENTE IGUAL A COMO ESTABA ANTES DE QUE OCURRIERA EL CAMBIO. SI EL VOLTAJE DE LA BATERÍA EN EL CIRCUITO SE INCREMENTA PARA AUMENTAR LA CORRIENTE, EL INDUCTOR SE OPONE A ESTE CAMBIO, Y EL AUMENTO DE CORRIENTE NO ES INSTANTÁNEO. SI SE REDUCE EL VOLTAJE DE LA BATERÍA, EL INDUCTOR DA COMO RESULTADO

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UNA REDUCCIÓN LENTA DE LA CORRIENTE EN VEZ DE UNA CAÍDA INMEDIATA. POR LO TANTO, EL INDUCTOR HACE QUE EL CIRCUITO SEA LENTO EN REACCIONAR A LOS CAMBIOS EN EL VOLTAJE.

CONSIDEREMOS AHORA EL CIRCUITO QUE SE MUESTRA EN LA FIGURA 2:

FIGURA 2. CIRCUITO RL. CUANDO EL INTERRUPTOR S2 ESTÁ EN LA POSICIÓN a, LA BATERÍA ESTÁ CONECTADA AL CIRCUITO. CUANDO EL INTERRUPTOR S1

SE CIERRA, LA CORRIENTE AUMENTA Y SE INDUCE UNA fem EN EL INDUCTOR QUE SE OPONE A LA CORRIENTE CRECIENTE. CUANDO EL INTERRUPTOR ESTÁ EN LA POSICIÓN b, LA BATERÍA YA NO ES PARTE DEL CIRCUITO Y LA CORRIENTE DISMINUYE. EL INTERRUPTOR ESTÁ DISEÑADO DE MODO QUE NUNCA SE ABRE, LO QUE HARÍA QUE LA CORRIENTE SE DETUVIERA.

EL CIRCUITO DE LA FIGURA 2, COMO VEMOS, CONTIENE UNA BATERÍA V ( DE RESISTENCIA INTERNA DESPRECIABLE ). ESTE CIRCUITO ES UN CIRCUITO RL PORQUE LOS ELEMENTOS CONECTADOS A LA BATERÍA SON UN RESISTOR Y UN INDUCTOR … LAS LÍNEAS CURVAS EN EL INTERRUPTOR S2 SUGIEREN QUE ESTE INTERRUPTOR NUNCA SE PUEDE ABRIR; SIEMPRE ESTÁ EN a O EN b. ( SI EL INTERRUPTOR NO SE CONECTA NI EN a NI EN b, CUALQUIER CORRIENTE EN EL CIRCUITO SÚBITAMENTE SE DETIENE ). AHORA SUPONGAMOS QUE S2 SE PONE EN a Y QUE EL INTERRUPTOR S1 SE ABRE PARA t < 0 Y LUEGO SE CIERRA EN t = 0. LA CORRIENTE EN EL CIRCUITO COMIENZA A AUMENTAR Y EN EL INDUCTOR SE INDUCE UNA FUERZA CONTRAELECTROMOTRIZ, DE ACUERDO A LA ECUACIÓN QUE YA CONOCEMOS:

𝜺L = - L · 𝝙I / 𝝙t ,

LA CUAL SE OPONE A LA CORRIENTE CRECIENTE.

SI APLICAMOS LA LEY DE VOLTAJES DE KIRCHHOFF AL CIRCUITO DE LA FIGURA 2, TENEMOS:

V – IR – L · 𝝙I / 𝝙t = 0 ( 1 )

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DONDE IR ES LA CAÍDA DE VOLTAJE A TRAVÉS DEL RESISTOR.

UNA SOLUCIÓN PARA LA ECUACIÓN ( 1 ) ESTÁ DADA POR:

I = V / R ( 1 - e−t / τ ) ( 2 )

DONDE τ ES LA CONSTANTE DE TIEMPO DEL CIRCUITO RL, DONDE:

τ=L/R ( 3 )

SI LLEVAMOS A LA GRÁFICA LA ECUACIÓN ( 2 ), TENEMOS ( VER LA FIGURA 3):

FIGURA 3. GRÁFICA DE LA CORRIENTE EN FUNCIÓN DEL TIEMPO PARA EL CIRCUITO RL QUE SE MUESTRA EN LA FIGURA 2. EL INTERRUPTOR SE CIERRA EN t = 0, Y LA CORRIENTE AUMENTA HACIA SU VALOR MÁXIMO V / R. LA CONSTANTE DE TIEMPO τ ES EL INTERVALO DE TIEMPO NECESARIO PARA QUE LA CORRIENTE I ALCANCE 63.2 % DE SU VALOR MÁXIMO.

(HASTA AQUÍ, TERMINA EL REPASO QUE HICIMOS DE LOS CIRCUITOS RL )

POR LO TANTO, PREVIO ANÁLISIS DE LOS CIRCUITOS RL , VOLVEMOS AL TEMA QUE NOS OCUPA: ENERGÍA EN UN CAMPO MAGNÉTICO.

UNA BATERÍA ( COMO V EN EL CIRCUITO DE LA FIGURA 2 ) EN UN CIRCUITO RL PROPORCIONA UNA ENERGÍA QUE SE REPARTE DE LA SIGUIENTE MANERA: UNA PARTE SE PROPORCIONA AL RESISTOR R, EN TANTO QUE LA ENERGÍA RESTANTE ES ALMACENADA EN EL CAMPO MAGNÉTICO DEL INDUCTOR ( O BATERÍA ).

ESTO SIGNIFICA QUE, DE ACUERDO CON LA ECUACIÓN ( 1 ):V – IR – L · 𝝙I / 𝝙t = 0 ( 1 )

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POR LO TANTO: - IR – L · 𝝙I / 𝝙t = - V

MULTIPLICANDO POR ( - 1 ) AMBOS MIEMBROS:

V = IR + L · 𝝙I / 𝝙t

SUSTITUYENDO 𝝙I POR dI Y 𝝙t POR dt :

V = IR + L · dI / dt ( 4 )

SI MULTIPLICAMOS CADA UNO DE LOS MIEMBROS DE LA ECUACIÓN ( 4 ) POR I, TENEMOS:

VI = I2 R + LI · dI / dt ( 5 )

POR LO TANTO, DE ESTA ECUACIÓN, AL RECONOCER A VI COMO LA RAPIDEZ A LA CUAL LA ENERGÍA SE SUMINISTRA POR LA BATERÍA E I2R COMO LA RAPIDEZ A LA CUAL SE ENTREGA ENERGÍA AL RESISTOR, ENTONCES LI · di / dt DEBE REPRESENTAR LA RAPIDEZ A LA CUAL SE ALMACENA ENERGÍA EN EL INDUCTOR.

POR TANTO, SI U REPRESENTA LA ENERGÍA ALMACENADA EN EL INDUCTOR EN CUALQUIER INSTANTE, ENTONCES SE PUEDE ESCRIBIR LA RELACIÓN dU / dt ( CON LA CUAL SE ALMACENA ENERGÍA ) DE LA FORMA:

dU / dt = L·I · dI / dt ( 6 )

AL RESOLVER LA ECUACIÓN ( 6 ), OBTENEMOS:

U = ½ ( L·I2 ) ENERGÍA ALMACENADA EN EL CAMPO ( 7 ) MAGNÉTICO DEL INDUCTOR CUANDO LA CORRIENTE ES IGUAL A I.

( FIN DEL TEMA 5.5 Y TAMBIÉN FIN DE LA UNIDAD Nº 5 )

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NOTAS DEL CURSO DE: ELEMENTOS DE ELECTRICIDAD Y MAGNETISMOMATERIAL ELABORADO POR EL ING. JOSÉ LUIS MEZA GODINESVIERNES 19 DE JULIO DE 2013

UNIDAD Nº 6: CORRIENTE ALTERNATEMAS:6.1 CIRCUITOS RL Y RLC.6.2 VOLTAJE E INTENSIDAD DE CORRIENTE ALTERNA.6.3 IMPEDANCIAS Y REACTANCIAS.6.4 LEY DE OHM DE IMPEDANCIAS.6.5 POTENCIA DE CIRCUITOS ALTERNOS.Electricidad / Harry Mileaf / Limusa / Tomo 4Capìtulo 10 / Serway / Jewett

NOTA: TODOS ESTOS TEMAS DE LA UNIDAD 6 LOS VAMOS A ESTUDIAR DE MANERA CONJUNTA, YA QUE TODOS SE RELACIONAN DE MANERA IMPLÍCITA Y TAMBIÉN PORQUE PORQUE NO DISPONEMOS DE MUCHO TIEMPO, PARA CUBRIR EL 100 % DEL CURSO QUE NOS HEMOS PROPUESTO.

EN ESTA ÚLTIMA UNIDAD VAMOS A DESCRIBIR LOS CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA ( ca ). CADA VEZ QUE ENCENDEMOS UN TELEVISOR, UN ESTÉREO O CUALQUIER OTRO APARATO ELÉCTRICO EN CASA, UTILIZAMOS CORRIENTE ALTERNA PARA OBTENER LA POTENCIA QUE NECESITAN. DICHO ESTUDIO INICIA CON LA INVESTIGACIÓN DE LAS CARACTERÍSTICAS DE CIRCUITOS EN

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SERIE SIMPLES QUE CONTIENEN RESISTORES, INDUCTORES Y CAPACITORES. Y QUE SE ACTIVAN MEDIANTE VOLTAJE SENOIDAL.

CIRCUITOS EN SERIE RL

CUANDO SE CONECTAN LAS COMPONENTES RESISTIVA E INDUCTIVA DE UN CIRCUITO, DE TAL MANERA QUE POR CADA UNA DE ELLAS FLUYE LA CORRIENTE TOTAL DEL CIRCUITO, EL CIRCUITO ESTÁ EN SERIE RL. CONVIENE ESTABLECER QUE LA CORRIENTE ES IGUAL EN TODOS LOS PUNTOS DEL CIRCUITO …

UN CIRCUITO EN SERIE RL , PUEDE CONSTAR DE UNO O MÁS RESISTORES, O CARGAS RESISTIVAS, CONECTADAS EN SERIE CON UNA O MÁS BOBINAS. O, PUESTO QUE EL ALAMBRE USADO EN CUALQUIER BOBINA TIENE ALGO DE RESISTENCIA, UN CIRCUITO EN SERIE RL PUEDE CONSTAR DE SÓLO UNO O MÁS BOBINAS, EN DONDE LA RESISTENCIA DE LAS BOBINAS, QUE ESTÁ EFECTIVAMENTE EN SERIE CON LA INDUCTANCIA, CONSTITUYE LA RESISTENCIA DEL CIRCUITO. VER LA FIGURA 1:

FIGURA 1. REPRESENTACIÓN DE UN CIRCUITO RL EN SERIE SIMPLE.

EN ESTA NOTAS, LA FASE DE LA CORRIENTE DEL CIRCUITO, SE USA COMO REFERENCIA DE FASE PARA TODAS LAS DEMÁS CANTIDADES DEL CIRCUITO. ESTO SE HACE POR CONVENIENCIA, YA QUE LA CORRIENTE ES LA MISMA EN TODO EL CIRCUITO. PUESTO QUE LA CORRIENTE SE USA COMO REFERENCIA, EL VECTOR DE CORRIENTE ( FASOR ) EN UN DIAGRAMA VECTORIAL TIENE UN ÁNGULO DE FASE DE GRADOS, LO CUAL SIGNIFICA QUE ES HORIZONTAL Y SEÑALA HACIA LA DERECHA. POR LO TANTO, CUALQUIER MAGNITUD DEL CIRCUITO QUE ESTÉ EN FASE CON LA CORRIENTE, TENDRÁ TAMBIÉN UN ÁNGULO DE FASE DE 0 GRADOS. VER LA FIGURA 2:

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FIGURA 2. LAS MAGNITUDES EN FASE CON LA CORRIENTE, TAMBIÉN TIENEN ÁNGULOS DE FASE DE 0º.

VOLTAJE

CUANDO SE APLICA UN Vca ( VOLTAJE DE ca ) A UN CIRCUITO EN SERIE RL, LA CORRIENTE PRODUCE UNA CAÍDAD DE TENSIÓN TANTO EN LA RESISTENCIA COMO EN LA INDUCTANCIA. RECORDEMOS QUE LA CAÍDA DE VOLTAJE EN UNA RESISTENCIA ESTÁ EN FASE CON LA CORRIENTE QUE LA PRODUCE, EN TANTO QUE LA CAÍDA DE VOLTAJE EN UNA INDUCTANCIA, ESTÁ ADELANTADA 90 GRADOS CON RESPECTO A LA CORRIENTE. PUESTO QUE EN UN CIRCUITO EN SERIE RL LA CORRIENTE EN LA RESISTENCIA Y EN LA INDUCTANCIA ES LA MISMA, LA CAÍDA DE VOLTAJE EN LA INDUCTANCIA ( EL ), ESTÁ ADELANTADA 90º CON RESPECTO A ER. LA AMPLITUD DE LA CAÍDA DE VOLTAJE EN LA RESISTENCIA ES PROPORCIONAL A LA CORRIENTE Y EL VALOR DE LA RESISTENCIA ( ER = R·I ). POR OTRO LADO, LA AMPLITUD DEL VOLTAJE EN LA INDUCTANCIA ES PROPORCIONAL A LA CORRIENTE Y AL VALOR DE LA REACTANCIA INDUCTIVA ( EL = I · XL ).

ES PRECISO DECIR QUE, PARA APLICAR A UN CIRCUITO DE CORRIENTE ALTERNA LA LEY DE OHM, DEBEMOS HACER UNA SUMA VECTORIAL DE LAS CAÍDAS DE VOLTAJE, EN LUGAR DE HACER UNA SIMPLE SUMA ARITMÉTICA, COMO LO HACÍAMOS PARA LOS CIRCUITOS DE CORRIENTE CONTINUA ( cc ). ESTO SE ILUSTRA EN LA FIGURA 3:

FIGURA 3. LA RELACIÓN ENTRE EL VOLTAJE APLICADO Y LAS CAÍDAS DE VOLTAJE EN UN CIRCUITO SERIE RL ES TAL QUE EL VOLTAJE APLICADO ( Vca ) ES IGUAL A LA SUMA VECTORIAL DE LAS CAÍDAS DE VOLTAJE.

FORMAS DE ONDA DE VOLTAJE

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EN LOS CÁLCULOS ANTERIORES HEMOS VISTO QUE, AUNQUE LAS DIVERSAS CAÍDAS DE VOLTAJE ERAN DE 300 Y 400 VOLTS, EL VOLTAJE APLICADO ERA DE 500 VOLTS, EN LUGAR DE LOS 700 VOLTS QUE SUMAN LAS CAÍDAS DE 300 Y 400 VOLTS YA MENCIONADOS. ¿CUÁL ES LA RAZÓN?


LA RAZÓN ES QUE LAS DISTINTAS CAÍDAS DE VOLTAJE ESTÁN DEFASADAS. SI HUBIERAN ESTADO EN FASE, HUBIESEN ALCANZADO SUS AMPLITUDES MÁXIMAS AL MISMO TIEMPO Y SE PODRÍAN HABER SUMADO DIRECTAMENTE. PERO, EN VISTA DE QUE ESTABAN DEFASADAS, TENÍAN QUE SUMARSE TODOS SUS VALORES INSTANTÁNEOS Y LUEGO ENCONTRAR EL VALOR PROMEDIO O EL EFECTIVO DEL VOLTAJE. ESTO SE LOGRA POR MEDIO DE LA ADICIÓN DE VECTORES. DEPENDIENDO DE QUÉ VALORES SE USEN, EL RESULTADO QUE SE OBTENGA SERÁ EL VALOR MEDIO O EL VALOR EFECTIVO DEL VOLTAJE APLICADO. VER LA FIGURA 4:

FIGURA 4. REPRESENTACIÓN DE LAS DIFERENTES FORMAS DE ONDA EN UN CIRCUITO SERIE RL SIMPLE.


CIRCUITOS RLC

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LOS CIRCUITOS DONDE LA RESISTENCIA, INDUCTANCIA Y CAPACITANCIA ESTÁN CONECTADAS TODAS EN SERIE, SE LLAMAN CIRCUITOS RLC. AQUÍ VEREMOS QUE LAS PROPIEDADES FUNDAMENTALES DE LOS CIRCUITOS RLC Y LOS MÉTODOS USADOS PARA RESOLVERLOS, SE ASEMEJAN A LOS QUE YA ESTUDIAMOS PARA LOS CIRCUITOS SERIE RL, SÓLO QUE AHORA VEREMOS EL EFECTO DE INCLUIR UNA CAPACITANCIA. VER LA FIGURA 5:

FIGURA 5. CIRCUITO SERIE RLC

VOLTAJE

DEBIDO A QUE HAY TRES ELEMENTOS EN UN CIRCUITO SERIE RLC, HAY TRES CAÍDAS DE VOLTAJE EN EL CIRCUITO: UNA EN LA INDUCTANCIA; OTRA EN LA CAPACITANCIA Y LA ÚLTIMA EN LA RESISTENCIA. LA MISMA CORRIENTE FLUYE POR CADA UNO DE LOS ELEMENTOS DEL CIRCUITO, DE MANERA QUE LAS RELACIONES DE FASE ENTRE LAS CAÍDAS DE VOLTAJE SON IGUALES A LAS QUE SE TIENEN EN CIRCUITOS SERIE RL QUE YA ESTUDIAMOS. LAS CAÍDAS DE VOLTAJE EN LA INDUCTANCIA Y LA CAPACITANCIA ESTÁN DEFASADAS 180º, ESTANDO LA CAÍDA INDUCTIVA DE VOLTAJE ( EL ) ADELANTADA 90º CON RESPECTO A LA CAÍDA RESISTIVA ( ER ) Y LA CAÍDA CAPACITIVA DE VOLTAJE ( EC ) ATRASADA 90º CON RESPECTO A LA CAÍDA RESISTIVA DE VOLTAJE ( ER ). ESTO SE ILUSTRA EN LA FIGURA 6:

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FIGURA 6. ( a ) CIRCUITO RLC Y CAÍDAS DE VOLTAJE. ( b ) CÁLCULOS PARA COMPROBAR QUE LA SUMA VECTORIAL DE LAS CAÍDAS DE VOLTAJE EN UN CIRCUITO SERIE RLC ES IGUAL AL VOLTAJE APLICADO Vca.

POR ÚLTIMO, EN LA FIGURA 7 SE TIENE LA REPRESENTACIÓN VECTORIAL DE LOS VALORES ANTERIORES:


FIGURA 7. REPRESENTACIÓN VECTORIAL DE LAS CAÍDAS DE VOLTAJE EN UN CIRCUITO RLC EN SERIE.

IMPEDANCIA

LA IMPEDANCIA DE UN CIRCUITO SERIE RLC ES LA SUMA VECTORIAL DE LA REACTANCIA INDUCTIVA, LA REACTANCIA CAPACITIVA Y LA RESISTENCIA. MATEMÁTICAMENTE:

Z = √R2 + ( XL - XC )2 ( SI XL ¿ XC ) ( 1 )

O TAMBIÉN PODEMOS ESCRIBIR:

Z = √R2 + ( XC - XL )2 ( SI XC ¿ XL ) ( 2 )

LA FIGURA 8 ILUSTRA UN EJEMPLO DEL CÁLCULO DE UNA IMPEDANCIA, ASÍ COMO EL ÁNGULO DE FASE θ:

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FIGURA 8. ( a ) CIRCUITO RLC. ( b ) CÁLCULOS DE Z Y θ .

CORRIENTE

LA MISMA CANTIDAD DE CORRIENTE FLUYE EN TODAS LAS PARTES DE UN CIRCUITO EN SERIE RLC. SI SE CONOCEN LA IMPEDANCIA ( Z ) Y EL VOLTAJE APLICADO, SE PUEDE CALCULAR LA MAGNITUD DE LA CORRIENTE APLICANDO LA LEY DE OHM PARA CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA ( ca ):

I = Vca / Z ( 3 )

LA CORRIENTE SIEMPRE ESTÁ ADELANTADA 90º CON RESPECTO AL VOLTAJE EN LA CAPACITANCIA; MIENTRAS QUE DICHA CORRIENTE ESTÁ ATRASADA 90º CON RESPECTO AL VOLTAJE EN LA INDUCTANCIA. RECORDEMOS EL MNEMOTÉCNICO: “ELI, THE ICE MAN”.

POR OTRO LADO, LA CORRIENTE Y EL VOLTAJE ESTÁN EN FASE EN LA RESISTENCIA.OTRAS ECUACIONES ÚTILES PARA CALCULAR EL ÁNGULO DE FASE, SE PUEDEN OBTENER A PARTIR DE LOS DIAGRAMAS VECTORIALES QUE DETERMINAN LA IMPEDANCIA Y EL VOLTAJE APLICADO ( Vca ). DOS DE ESTAS ECUACIONES SON LAS SIGUIENTES:

cos θ=¿ R / Z ( 4 )

tan θ = EX / Er ( 5 )

DONDE EX = EL – EC ( INDUCTIVO: EL ¿ EC ) ( 6 )

Y EX = EC - EL ( CAPACITIVO: EC ¿EL ) ( 7 )

POTENCIA

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EL VALOR DE LA POTENCIA REAL EN UN CIRCUITO EN SERIE RLC SE PUEDE CALCULAR DE LA ECUACIÓN NORMAL DE LA POTENCIA EN CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA ( ca ), A SABER:

P REAL = Vva · I · cos θ ( 8 )

LA ECUACIÓN TAMBIÉN SE PUEDE EXPRESAR ASÍ:

PREAL = I2 Z · cos θ ( 9 )

Y, PUESTO QUE DE UN DIAGRAMA VECTORIAL PARA IMPEDANCIA:

R = Z · cos θ ( 10 )

ENTONCES LA POTENCIA REAL TAMBIÉN SE PUEDE EXPRESAR COMO:PREAL = I2 · R ( 11 )

POR ÚLTIMO, LA POTENCIA APARENTE, QUE ES LA POTENCIA TOTAL QUE TRANSMITE LA FUENTE, ES SIMPLEMENTE IGUAL AL VOLTAJE APLICADO, MULTIPLICADO POR LA CORRIENTE DEL CIRCUITO. O SEA:

PAPARENTE = Vca · I ( 12 )

APLICACIONES

1. CALCULE LA CORRIENTE EN EL CIRCUITO DE LA FIGURA 9 SIGUIENTE:

FIGURA 9. CIRCUITO SERIE RLC PARA EL EJEMPLO 1.

SOLUCIÓN:

LA CORRIENTE SE CALCULA A PARTIR DE LA ECUACIÓN I = Vca / Z. EL VOLTAJE APLICADO ESTÁ DADO, PERO LA IMPEDANCIA DEBE DETERMINARSE ENTES DE QUE SE PUEDA CALCULAR LA CORRIENTE.

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CÁLCULO DE Z:

XL ¿ XC, DE MANERA QUE LA ECUACIÓN PARA Z ES:

Z = √ R2 + ( XL - XC )2

POR LO TANTO, SUSTITUYENDO VALORES Y REALIZANDO LAS OPERACIONES INDICADAS, TENEMOS QUE:

Z = 58 OHMS, INDUCTIVA.

CÁLCULO DE I:

I = Vca / Z

POR LO TANTO, SUSTITUYENDO VALORES Y REALIZANDO LAS OPERACIONES INDICADAS, TENEMOS QUE:

I = 1.9 amperes.

2. PARA EL CIRCUITO DE LA FIGURA 9 ANTERIOR, ¿QUÉ RELACIÓN EXISTE ENTRE LA CORRIENTE Y EL VOLTAJE APLICADO?

SOLUCIÓN:

CON LA ECUACIÓN CONOCIDA SE PUEDE CALCULAR EL ÁNGULO DE FASE θ ENTRE LA CORRIENTE Y EL VOLTAJE APLICADO, DE ACUERDO CON CUALQUIERA DE LAS SIGUIENTES EXPRESIONES:

Tan θ = X / R = ( XL - XC ) / R = 30 / 50 = 0.6 ∴ θ = 31ºCos θ = R / Z = 50 / 58 = 0.862 ∴ θ = 31º

LA IMPEDANCIA DEL CIRCUITO ES INDUCTIVA, YA QUE XL ES MAYOR QUE XC, DE MANERA QUE LA CORRIENTE ESTÁ ATRASADA CON RESPECTO AL VOLTAJE APLICADO, COMO LO ESTÁ EN TODOS LOS CIRCUITOS INDUCTIVOS. POR LO TANTO, UNA DESCRIPCIÓN COMPLETA DE LA RELACIÓN DE FASE ENTRE LA CORRIENTE Y EL VOLTAJE APLICADO, ES QUE LA CORRIENTE ESTÁ ATRASADA 31º CON RESPECTO AL VOLTAJE (RECORDEMOS EL MNEMOTÉCNICO: “ELI, THE ICE MAN”.

3. PARA EL MISMO CIRCUITO DE LA FIGURA 9, ¿CUÁNTA POTENCIA SE CONSUME?

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SOLUCIÓN:

LA POTENCIA CONSUMIDA ES POTENCIA REAL Y SE SABE QUE LA POTENCIA REAL SE PUEDE CALCULAR POR MEDIO DE LA ECUACIÓN:

PREAL = Vca · I · cos θ

NO OBSTANTE, TAMBIÉN ES CIERTO QUE:

PREAL = I2· R

PUESTO QUE SE CONOCEN LOS VALORES TANTO DE I COMO DE R, SE PUEDE UTILIZAR ESTA ECUACIÓN:

PREAL = I2 · R = ( 1.9 )2 ( 50 ) = 181 watts.

4. PARA EL CIRCUITO DE LA FIGURA 10, ¿CUÁLES SON LAS CAÍDAS DE VOLTAJE ENTRE AB, BC, CD, BD Y AC?

FIGURA 10. CIRCUITO PARA EL EJEMPLO 4.

SOLUCIÓN:

ANTES DE QUE SE PUEDAN DETERMINAR LAS CAÍDAS DE VOLTAJE, TIENE QUE CALCULARSE LA CORRIENTE DEL CIRCUITO; PERO ANTES DE QUE ESTO PUEDA HACERSE, DEBE DETERMINARSE LA IMPEDANCIA. XL ES MAYOR QUE XC, DE MANERA QUE LA IMPEDANCIA SE CALCULA MEDIANTE LA SIGUIENTE ECUACIÓN:

Z = √R2 + ( XL - XC)

SUSTITUYENDO VALORES Y REALIZANDO LAS OPERACIONES INDICADAS, TENEMOS QUE:

Z = 50 , INDUCTIVA.

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AHORA PUEDE DETERMINARSE LA CORRIENTE MEDIANTE LA LEY DE OHM PARA CIRCUITOS DE CORRIENTE ALTERNA ( ca ):

I = Vca / Z = 100 V / 50 𝜴 = 2 A

CONOCIENDO LA CORRIENTE, SE PUEDEN CALCULAR LAS CAÍDAS DE VOLTAJE:

CÁLCULO DE LA CAÍDA DE VOLTAJE AB: LA CAÍDA DE VOLTAJE EN LA RESISTENCIA ES IGUAL A LA CORRIENTE MULTIPLICADA POR LA RESISTENCIA:ER= IR = ( 2 A ) ( 30 𝜴 ) = 60 V.

CÁLCULO DE LA CAÍDA DE VOLTAJE BC: LA CAÍDA DE VOLTAJE EN LA INDUCTANCIA ES IGUAL A LA CORRIENTE MULTIPLICADA POR LA REACTANCIA INDUCTIVA:EL= IXL = ( 2 A ) ( 60 𝜴 ) = 120 V.

CÁLCULO DE LA CAÍDAD DE VOLTAJE CD: LA CAÍDAD DE VOLTAJE EN LA CAPACITANCIA ES IGUAL A LA CORRIENTE MULTIPLICADA POR LA REACTANCIA CAPACITIVA:EC= IXC = ( 2 A ) ( 20 𝜴 ) = 40 V.

CÁLCULO DE LA CAÍDAD DE VOLTAJE BD: LA CAÍDA DE VOLTAJE BD ES EL VOLTAJE NETO, EX, EN AMBAS REACTANCIAS. ES IGUAL A LA DIFERENCIA ENTRE LAS DOS CAÍDAS DE VOLTAJE INDIVIDUALES EL Y EC:EX = EL - EC = 120 – 40 = 80 V.

CÁLCULO DE LA CAÍDA DE VOLTAJE AC: LA CAÍDA DE VOLTAJE AC ES LA SUMA VECTORIAL DE LAS CAÍDAS DE VOLTAJE EN LA RESISTENCIA Y LA INDUCTANCIA. ESTOS DOS VOLTAJES ESTÁN DEFASADOS 90º ENTRE SÍ, DE MANERA QUE SE PUEDEN SUMAR VECTORIALMENTE MEDIANTE EL TEOREMA DE PITÁGORAS:

ECA = √ER2 + EL

2 = √( 60 )2 + ( 120 )2 = 134 V.

( FIN DE LA UNIDAD Nº 6 Y TAMBIÉN FIN DEL CURSO DE: ELEMENTOS DE ELECTRICIDAD Y MAGNETISMO )

AGRADECIMIENTOS:

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SE AGRADECE LA COLABORACIÓN DE LOS JÓVENES ESTUDIANTES:

JESÚS ALBERTO MEZA PÉREZ ( ESTUDIANTE DE COMUNICACIÓN, DE LA UJAT, ASÍ COMO DE GUILLERMO MEZA PÉREZ ( ESTUDIANTE DE ING. EN SISTEMAS COMPUTACIONALES, DEL TECNOLÓGICO DE VILLAHERMOSA ), EN LA ELABORACIÓN DE LOS DIAGRAMAS Y LA REPRESENTACIÓN DE LAS EXPRESIONES MATEMÁTICAS, REQUERIDAS EN EL PRESENTE TRABAJO, ASÍ COMO TAMBIÉN POR LAS SUGERENCIAS HECHAS, A FIN DE OPTIMIZAR LA PRESENTACIÓN DE ESTE MATERIAL. ¡ MUCHAS GRACIAS ¡

ING. JOSÉ LUIS MEZA GODINES

CUNDUACÁN, TAB.; SÁBADO 20 DE JULIO DE 2013

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