ELEMENTOS DE ESTADSTICA DESCRIPTIVAUnidad 5

IntroduccinLa Estadstica es una ciencia que facilita la solucin de problemas en los cuales necesitamos conocer caractersticas sobre el comportamiento de algn suceso o evento.

Nos permite inferir el comportamiento de sucesos iguales o similares sin necesidad de que estos ocurran.

Esto nos da la posibilidad de tomar decisiones acertadas y a tiempo, as como realizar proyecciones del comportamiento del suceso.

Slo se realizan los clculos y el anlisis con los datos obtenidos de una muestra de la poblacin y no con toda la poblacin.

Actualmente el INEGI es el encargado de concentrar y publicar la informacin estadstica del estado y del pas.

Conceptos bsicosEstadstica:Es la ciencia que se encarga de recolectar, organizar, resumir y analizar datos para despus obtener conclusiones. Se divide en Estadstica Descriptiva y Estadstica Inferencial.

Estadstica descriptiva:Se encarga de la recoleccin, organizacin, presentacin y anlisis de los datos de una poblacin.

Estadstica inferencial:Se encarga de analizar la informacin presentada por la estadstica descriptiva mediante tcnicas que nos ayuden a conocer, con determinado grado de confianza, a la poblacin. Lo que nos permite tomar decisiones.

Poblacin:Conjunto definido de TODOS los INDIVIDUOS, de donde se observa cierta caracterstica.

Al nmero de integrantes de la poblacin se llama tamao de la poblacin y se representa con la letra N.

Las poblaciones pueden ser finitas o infinitas.

Poblacin Estadstica:Conjunto de TODOS los DATOS que se obtienen al realizar la medicin de una variable en los elementos de una poblacin.

Muestra:Subconjunto de una poblacin, que intenta reflejar las caractersticas de la poblacin lo mejor posible.

El nmero de individuos que integran la muestra, llamado tamao de la muestra se representa con la letra n.

Individuo:Es el elemento de la poblacin o de la muestra que aporta informacin sobre lo que se estudia.

Variable:Caracterstica o propiedad de los individuos que se desea estudiar y se puede medir o calificar; cambia o vara con el tiempo en un individuo dado, o cambia o vara de elemento a elemento.Ej. Edad, peso, sexo, estado civil, nmero de hijos, etc.

Dato:Valor que se obtiene al realizar la medicin de la caracterstica de la variable en estudio.Pueden ser univariados, bivariados o multivariados.

La naturaleza de los datos pueden ser datos cuantitativos o datos cualitativos.

Datos Cuantitativos (nmeros):Valores obtenidos al medir peso, estatura, temperatura, nmero de hijos.

Datos Cualitativos (categoras):Se obtienen al calificar la caracterstica en cuestin como el sexo, estado civil, grado mximo de estudios.

Variable Dicotmica:Slo puede tomar dos valores (s no, 0 1, hombre mujer, bueno malo, encendido apagado).

En la variable CUANTITATIVA se pueden distinguir dos tipos: continua y discreta.

Variable Continua:Si la variable puede tomar cualquier nmero real entre dos valores dados (decimal o entero). Ej. El peso de un individuo.

Variable Discreta:Si la variable slo puede tomar nmeros enteros.Ej. El nmero de hijos de un individuo.

Escalas de MedicinEscala Nominal

Escala Ordinal

Escala de Intervalo

Escala de Razn

Escala Nominal:Est asociada a variables cualitativitas y es denominada de este modo si no se pueden hacer operaciones aritmticas entre sus valores, pues stos son nicamente ETIQUETAS.

Ejemplo: sexo, cdigo postal, estado civil, nmero telefnico, nmero al correr en un maratn, deporte favorito, carrera a estudiar, etc.

Escala Ordinal:Los valores de la variable que tienen un ORDEN con un nivel especfico, pero no se pueden hacer operaciones aritmticas entre ellas.

Ejemplo: Psimo Malo Regular Bueno ExcelentePrimaria Secundaria Preparatoria - Licenciatura

Escala de Intervalo:En ella existe un orden entre los valores de la variable y adems una NOCIN DE DISTANCIA aunque no se puedan realizar operaciones. El cero o punto de inicio no es nico, es ms bien un punto de referencia.

Ejemplo: Escalas de temperatura, la edad de la Tierra, la lnea del tiempo de la humanidad.

Escala de Razn:La magnitud tiene SENTIDO FSICO, existe el cero absoluto, existe orden, se puede determinar cuntas veces es mayor uno que otro.

Ejemplo: peso, estatura, edad, distancia, dinero, etc.

Fuentes de informacinEncuesta:Recopilar los datos mediante el uso de cuestionarios o entrevistas.Experimento:Procedimiento utilizado en la investigacin cientfica para obtener informacin que permita conocer el comportamiento de algn proceso.

Fuentes de InformacinInvestigacin Documental:Procedimiento para obtener datos mediante la consulta de informacin ya escrita y concentrada en documentos que se localicen en libros o revistas en bibliotecas, hemerotecas, o en centros virtuales.

Redondeo de datos, notacin cientfica y cifras significativas.Redondeo:El redondeo de datos es un procedimiento que consiste en escribir un nmero que representa a una cantidad con menos cifras de las que tiene realmente para tener una idea rpida de la cantidad.

Notacin CientficaEs una manera de escribir en forma breve cifras muy grandes o pequeas. La forma general es a x 10 , en donde a es un nmero entre 1 y 9, n es un nmero entero.

Ejemplo:El nmero 25 000 se escribe 2.5 x 10 , o el nmero 0.00025 se escribe como 2.5 x 10 .n4- 4

Cifras SignificativasA los dgitos exactos que se utilizan para escribir una cifra, a parte de los ceros para localizar el punto decimal, se les llama cifras significativas.

Ejemplos:3.22 tiene 3 cifras significativas.

0.0032 = 3.2 x 10 tiene 2 cifras significativas.

0.00320 = 3.20 x 10 tiene 3 cifras significativas.- 3- 3

La cifra 3.22 se encuentra realmente entre 3.215 y 3.225.

La cifra 0.0032 es un valor que se encuentra entre 0.00315 y 0.00325.

La cifra 0.00320 se encuentra entre las cifras 0.003195 y 0.003205

Orden de datosLa ordenacin es el proceso mediante el cual los datos estn acomodados de tal manera que se establece un orden (ascendente o descendente) entre ellos.

Hay dos mtodos comunes:Listado en orden ascendenteMtodo de tallo y hojas

EjemploConsidera que la variable de estudio es el peso de 25 estudiantes. Los pesos se encuentran en la siguiente tabla:

Peso de 25 estudiantes (en kg)40434851495644425552526244505963505655455766635158

Listado en orden ascendenteEl proceso consiste en ordenarlos de menor a mayor40424344444548495050515152525555565657585962636366

Peso de 25 estudiantes (en kg)42404851495644435552526244505963505655455766635158

Peso de 25 estudiantes (en kg)

Mtodo de tallo y hojasSi los nmeros de los datos estn formados por dos dgitos, se hace una columna con el primer dgito (decenas) y a la derecha de cada uno de ellos se escribe, en fila, slo el segundo dgito (unidades) de cada uno de los datos que tengan el mismo primer dgito.

Datos sin ordenar:

Datos ordenados:0,2,3,4,4,5,8,90,0,1,1,2,2,5,5,6,6,7,8,92,3,3,62,0,8,9,4,3,4,51,6,5,2,2,0,9,0,6,5,7,1,82,3,6,3

456

456

Peso de 25 estudiantes (en kg)42404851495644435552526244505963505655455766635158

Doble talloUna variante de este mtodo es en lugar de dividir en un grupo las decenas, se divide en dos grupos. El primero abarcando los dgitos del 0 al 4 y el segundo del 5 al 9.

El ejemplo anterior queda:

40,2,3,4,445,8,950,0,1,1,2,2,55,5,6,6,7,8,962,3,366

Caso de variables cualitatitivasEl procedimiento es:

Se identifican todos los valores diferentes y se acomodan en columna.

Se agrega una segunda columna en donde se van registrando, mediante una lnea vertical, la veces que aparece el valor dado.

EjemploConsidera que la variable de estudio es el color de playera de 25 estudiantes. Los colores se encuentran en la siguiente tabla:

rosaazulblancoazulrosagrisblancocafnegroblancorosa azulcafblancoblancogrisazulblancorosagrisgrisblancocafnegroverde

I I I II I I I I II I II I I II II I I II

rosaazulblancoazulrosagrisblancocafnegroblancorosa azulcafblancoblancogrisazulblancorosagrisgrisblancocafnegroverde

ColorFrecuenciaAzulBlancoCafGrisNegroRosaVerde

Tabla de Frecuencia de DatosUna vez que se tenga ordenados los datos, se acomodan en la Tabla de distribucin de frecuencias o tabla de frecuencias.

La tabla es bsicamente una tabla de valores x-y, dnde x representa el dato y y representa la frecuencia.

La frecuencia es el nmero de veces que aparece cada dato.

Hay dos clases de tablas de frecuencias:Para datos NO agrupados.Para datos agrupados.

Tabla de frecuencias para datos NO agrupadosEst formada por dos columnas: una para la variable xi y la otra para su frecuencia f, a esta frecuencia se le llama frecuencia absoluta o frecuencia observada.

EjemploTabla de frecuencias de los pesos en kg de 25 alumnos.4042434444454849505051515252555556565758596263636611121112222211112125

Peso de 25 estudiantes (en kg)

xif404243444548495051

xif525556575859626366Total

Frecuencia relativa y acumuladaPor lo regular, se agregan dos columnas: la de la frecuencia relativa fr y la de la frecuencia acumulada fa.La frecuencia relativa se obtiene mediante el cociente de la frecuencia y el nmero total de datos, esto es fr = f/n.La frecuencia acumulada se obtiene sumando las frecuencias anteriores a las frecuencias de un dato dado.

Ejemplo0.040.040.040.040.040.040.040.040.040.040.040.080.080.080.080.080.080.081/252/25123567810121416181920212224251Siempre es el nmero totalSiempre es 1

xiffrfa401421431442451481491502512

xiffrfa522552562571581591621632661Total25

Intervalo de claseEn ocasiones es conveniente acomodar los datos en pequeos grupos de igual tamao, llamados intervalos de clase.El punto medio o marca de clase xi, se obtiene con:

El tamao del intervalo se obtiene mediante la diferencia de los lmites superior e inferior.Marca de clase = Lmite inferior + lmite superior2

EjemploLmite inferiorLmite superiorLm inf + Lim sup

2

Intervalo de clasePunto medio xi38 424043 474548 525053 575558 626063 6765

Lmite verdadero del intervaloFrontera de clase o lmite verdadero del intervalo:40 2.540 + 2.5

Intervalo de clasePunto medio xi37.5 42.54042.5 47.54547.5 52.55052.5 57.55557.5 62.56062.5 67.565

Tabla de intervalos con lmites verdaderosUsando smbolos de desigualdad

Usando parntesis y corchetes

Est incluidoNo est incluidoEst incluidoNo est incluidoEl tamao del intervalo es de 5

Intervalo de clasePunto medio xi37.5 x < 42.54042.5 x < 47.54547.5 x < 52.55052.5 x < 57.55557.5 x < 62.56062.5 x < 67.565

Intervalo de clasePunto medio xi[37.5 , 42.5)40[42.5 , 47.5)45[47.5 , 52.5)50[52.5 , 57.5)55[57.5 , 62.5)60[62.5 , 67.5)65

Si por alguna razn no es fcil decidir el ancho del intervalo y el nmero de ellos, se pueden utilizar las siguientes frmulas:K = 1 + 3.3 log (n)Donde K = nmero aproximado de clasesn = nmero de datos.Amplitud de los intervalos = Rango / KDonde Rango = diferencia entre el dato mayor y el dato menor.

EjemploPara el ejemplo de los datos de los pesos de 25 alumnos, el valor de K:

Y la amplitud de los intervalos sera:K = 1 + 3.3 log (n) = 1 + 3.3 log (25) = 5.6.Por lo tanto se requieren aproximadamente 6 intervalos.Amplitud = Rango / K = (66 40) / 5.6 = 4.64.Aproximadamente 5 unidades es la amplitud de los intervalos.

Tabla de distribucin de frecuencias para datos agrupadosSe elabora con los intervalos de clase, sus puntos medios y las frecuencias correspondientes para cada uno de los intervalos.Datos sin agruparDatos agrupados24853325

xif401421431442451481491502512

522552562571581591621632661Total25

Intervalo de clasePunto medio xif38 424043 474548 525053 575558 6260- 6765Total

Se agregan las columnas de frecuencia relativa fr y frecuencia acumulada fa:0.080.160.320.200.120.12126141922252/254/258/25

Intervalo de clasePunto medio xiffrFa38 4240243 4745448 5250853 5755558 62603- 68653Total25

Por ltimo se agregan las columnas:Frecuencia porcentual, f% %f, se obtiene multiplicando la frecuencia relativa fr x 100.Frecuencia relativa acumulada fra, se obtiene sumando las frecuencias relativas anteriores a un dato dado.Frecuencia porcentual acumulada, f%a, se obtiene sumando las frecuencias porcentuales acumuladas a un dato dado.

Tablas de frecuencias absoluta, relativa y acumulada816322012121000.080.240.560.760.8818245676881000.08 x 1002/250.08 x 100

Intervalo de clasePunto medio xiffrf%fafraf%a38 424020.08243 474540.16648 525080.321453 575550.201958 626030.1222- 686530.1225Total251

Grfica de DatosExisten dos tipos de grficas mas usuales:Polgono de FrecuenciasHistograma

Otros grficos:Grfica de barrasPictogramaGrfico Circular o de pastel.

Polgono de FrecuenciasEs la representacin mediante un grfico de lnea. En l se muestra la distribucin de frecuencias y est formado por segmentos de lnea que unen los puntos correspondientes a la frecuencia de cada una de las clases.

El eje x representa el dato xi y el eje y las frecuencias.

Ejemplo

Intervalo de clasePunto medio xif38 4240243 4745448 5250853 5755558 62603- 68653Total25

El eje y puede ser sustituido por las frecuencias relativas o porcentuales.frxiPolgono de Frecuencia Relativa

% fxiPolgono de Frecuencia Porcentual

HistogramaEs la representacin grfica de los datos mediante una sucesin de rectngulos.Est formado por rectngulos cuya anchura representa a cada uno de los intervalos y la altura corresponde a la frecuencia.En el eje x estarn los lmites verdaderos, los puntos medios y en el eje y las frecuencias.

Ejemplo

Intervalo de clasePunto medio xif38 4240243 4745448 5250853 5755558 62603- 68653Total25

Tambin podemos usar la frecuencia relativa y la frecuencia porcentual.frxi

% fxi

Pirmide PoblacionalUna variante en el histograma es colocar en el eje x de tal manera que las columnas quedarn en forma horizontal, es muy comn en datos poblacionales.

OjivaEs la representacin grfica de las frecuencias acumuladas mediante un grfico de lnea. Se muestra la distribucin de frecuencias acumuladas de los datos.

En el eje x estarn los puntos medios y en el eje y las frecuencias acumuladas.

Ejemplo

Intervalo de clasePunto medio xiffrfa38 424020.08243 474540.16648 525080.321453 575550.201958 626030.1222- 686530.1225Total251

Usando la frecuencia acumulada y la frecuencia porcentual.

Intervalo de clasePunto medio xiffrf%fafraf%a38 424020.08820.08843 474540.161660.242448 525080.3232140.565653 575550.2020190.767658 626030.1212220.8888- 686530.1212251100Total251100

Grfico CircularTambin es llamado grfico de pastel.

Slo se representan datos de frecuencias relativas o frecuencias porcentuales.

Se debe dividir el rea del crculo de manera proporcional a las frecuencias.

Agregaremos una columna a nuestra tabla de frecuencias Frecuencia relativa al crculo, multiplicando (fr)(360), para mostrar la parte proporcional de crculo medida en grados que corresponde a cada intervalo.

Ejemplo 128.80.08 x 3600.16 x 36057.6115.27243.243.2360

Intervalo de clasePunto medio xiffr(fr ) (360)38 424020.0843 474540.1648 525080.3253 575550.2058 626030.12- 686530.12Total251

Ejemplo 2I I I II I I I I II I II I I II II I I II

ColorFrecuenciaConteoAzul4Blanco7Caf3Gris4Negro2Rosa4Verde1

Otros GrficosLa grfica de barras se traza similar al Histograma, slo que las barras se dibujan separadas unas de otras.La escala en el eje x es para mostrar categoras o intervalos de nmeros NO consecutivos.

CarreraAlumnosMedicina8Mecnica11Civil8Agronoma3Fsico - Matemticas3Leyes6Contadura11

PictogramaSimilar al de barras, slo que se sustituyen por figuras, generalmente relacionadas con la variable estudiada.