Elementos de Mecánica Cuántica - David S. Saxon.pdf

ELEMENTOS DE MECÁNICA CUÁNTICA

David S. SaxonUniversidad de California, Los Angeles

I

SEGUNDA EDICIÓN

EDITORULEASO, S, A. MEXICO

vi PREFACIO ìI·'

Se presentan dento cincuenta problemas que son muy importantes pedagógicamente. Los problemas no son exclusivamente deJ tipo ilustrativo del material presentado en el texto; también sirven para ampliarlo. Un número importante sirve para ampliar el curso, señalando nuevos tópicos y nuevos puntos de vista. Muchos problemas son demasiado difíciles para que el estudiante los domine al primer intento.Se le aconseja que vuelva a intentarios a medida que vaya entendiendo la teoría. Finalmente podrá resolver cualquiera de ellos. En el Apéndice III, se exponen respuestas y soluciones completas a cin- :uenta problemas representativos. Alrededor de cuarenta ejercicios se sncuentran distribuidos en el libro. En general se refieren a ciertos Jetalles del texto, pero no todos son triviales.

En UCLA, el material del texto se presenta en una secuencia de jos trimestres, pero el curso también se puede usar en un curso de un lemestre; cualquiera de las secciones marcadas con asterisco en la talla del contenido pueden omitirse sin afectar el desarrollo lógico del ■esto. Si se desea, también puede usarse el texto para un curso de un iflo, pero complementado con otro material. Las representaciones de ieisenberg y de interacción y, en general, la teoría de transformación, ion tópicos que surgen a la mente de inmediato. Respecto a las apli- :aciones, los efectos Zeeman y Staik, las ondas de Bloch, los méto- los de Hartree-Fock y Fermi-Thomas, moléculas simples y espín iso- ópico, son temas adecuados para escoger.

El autor se ha beneficiado de numerosas críticas y sugerencias de :olegas y estudiantes. A todos ellos expresa su gratitud profunda y ispecialmente al Dr. Ronald Blum por su cuidadosa lectura de la edi- :ión preliminar y del manuscrito final. E1 autor también agradecerá ¡omentarios adicionales así como el señalar las erratas y los errores,

David S. SaxonNoviembre, 1967

contenido

I. LA NATURALEZA DUAL DE LA MATERIA Y LA RADIACION

1. El fracaso de la física clásica........................................... 12. Conceptos cuánticos........................................................ 33. El aspecto ondulatorio de las partícu las ...................... 54. Magnitudes numéricas y dominio cuán tico .................. 135. El aspecto corpuscular de las ondas................................ 146 . Complementareidad........................................................ 177. El principio de correspondencia........ ........................... 17

U. FUNCIONES DE ESTADO Y SU INTERPRETACION

1. La idea de función de estado; superposición de estados 192. Valores de expectación............................................. 253. Comparación entre las descripciones cuántica y clásica

de un estado; paquetes de onda................................ 27

III. MOMENTO LINEAL

1. Funciones de estado que corresponden a un momentolineal definido................................................................ .... 30

2. Construcción de paquetes de onda por superposición . 323. Transformadas de Fourier; la función delta de Dirac. . 364/ Espacios de configuración y de momento lin e a l......... 395. Operadores de posición y de momento lin e a l..............406 . Relaciones de conmutación.............................................. 477. El principio de incertidumbre..........................................49

IV. MOVIMIENTO DE UNA PARTICULA LIBRE

1. Movimiento de un paquete de ondas;velocidad de g ru p o ............................................................59

2. El requisito del principio de correspondencia..............623. Popagación del paquete de ondas de una partícula libre

en el espacio de configuración......... ............................... 644. Propagación del paquete de ondas de una partícula libre

en el espacio de momentos; el operador de energía. . . 6 6

5. Evolución en el tiempo de un paquetede ondas gausiano..............................................................6 8

6 . Ecuación de Schrödinger para la partícula libre............707. Conservación de la probabilidad..................................... 728 . Notación de Dirac..............................................................769. Estados estacionarios......................................................... 78

10. Partícula en una caja......................................................... 8011. Resumen.............................................................................. 83

VIH CONTENIDO

V. ECUACION DE SCHRÖDINGER

1. El requisito de la conservación de la probabilidad . . . . 902. Operadores hermitianos........................................................913. El requisito del principio de correspondencia................ 984. Ecuación de Schrödinger en el espacio de configuración

y en el espacio de momentos............................................1 0 1

5. Estados estacionarios......................................................... 1046 . Autoftinciones y autovalores de operadores

hermitianos..........................................................................1087 Observables simultáneos y coiyuntos completos

de operadores.....................................................................Π 1

8 . El principio de incertidum bre...........................................113*9. Movimiento de paquetes de o n d a ................................... 11810, Resumen; los postulados de la mecánica cuántica. . . . 119

/I. ESTADOS DE UNA PARTICULA EN UNA DIMENSION

1. Características generales....................................................1242. Clasificación por simetría: el operador de paridad.. . .1273. Estados ligados en un pozo cuad rado ............................. 130

Para un curso de un semestre cualquiera de las secciones con asterisco puede omitirse sin eijudicai el desarrollo lógico (vei el prefacio).

4. EI oscilador arm ónico.........................................................135*5. La representación del operador de creación....................147*6 . Movimiento de un paquete de ondas en

ei potencial del oscilador arm ónico................................. 1547. Estados continuos en un pozo de potencial

cuadrado................................................................................ 1588 . Estados del continuo; el flujo de probabilidad............... 163

*9. Paso de un paquete de ondas a través deun po tencia l.........................................................................166

*10. Solución numérica de la ecuación de Schrödinger.. . .169

CONTENIDO ix

v a METODOS APROXIMADOS

1. La aproximación W K B ...................................................... 1862. La aproximación de Rayleigh-Ritz................................. 1963. Teoría de perturbación para estados estacionarios.. . .2024. Matrices................................................................................. 2155. Estados vecinos o degenerados........................................ 2186 . Teoría de perturbación dependiente del tie m p o ..........222

v n i . SISTEMAS DE PARTICULAS EN UNA DIMENSION

1 . Form ulación....................................................................... 2422. Dos partículas: coordenadas dei centro de m asa......... 2453. Interacción de partículas en presencia de fuerzas

externas uniform es............................................................. 249*4. Osciladores armónicos acoplados................. ....................251

5. Interacción débil de partículas en presencia defuerzas externas.................................................................... 254

6 . Partículas idénticas y degeneración de intercam bio.. .2577. Sistema de dos partículas idénticas................................ 2598 . Sistemas de muchas part ículas, simetrización

y el principio de exlusión de Pauli.................................... 261*9. Sistemas de tres partículas idénticas..............................26610. Partículas idénticas interaccionando débilmente

en presencia de fuerzas ex ternas...................................... 272

IX. MOVIMIENTO EN TRES DIMENSIONES

1. Formulación: movimiento de una partícula libre . . . .279

*2. Potenciales separables en coordenadas rectangulares. .2833. Potencialescentrales;estadosdem om entoangular. . .2864. Algunos ejem plos.............................................................. 2975. El átomo de hidrógeno.................................................... 304

CONTENIDO

MOMENTO ANGULAR Y ESPIN

1 . Operadores del momento angular orbital yrelaciones de conm utación ............................................,318

2. Auto funciones y autovalores del momento angular.. .322*3. Operadores de rotación y de translación....................... 334

4. Espín; los operadores de Pauli..........................................337*5. Adición del momento angular..........................................348

ALGUNAS APLICACIONES Y OTRAS GENERALIZACIONES

* 1 . El átomo de helio; la tabla periódica.................... 366*2 . Teoría de la d ispersión......................................... , . ,374*3. Funciones de Green para la dispersión;

la aproximación de Born......................................... 383•4. Movimiento en un campo electromagnética . . . 396*5. Teoría del electrón de D irac................................ ......... 401*6 . Estados mixtos y matriz de densidad.................... 411

APENDICES

I. Cálculo de integrales de funciones gausianas................ 423II. Referencias seleccionadas................................................ 426

III. Respuestas y soluciones a problemas seleccionados. . .429

"K ahora lector, afánate, porque siem

pre te ayudaremos en las dificultades,

ya que no esperamos, como otros, que

uses al arte de la adivinanza para des

cubrir nuestro significado, pero no se

remos indulgentes con tu holgazanería

cuando lo único que se te exija sea tu

atención; estarías muy equivocado al

imaginar que empezamos esta gran ta

rea para no dejar nada a tu sagacidad o

al efercicio de tu talento recorriendo

estas páginas sin beneficio ni placer.

Henry Fielding

ILa naturaleza dual de la

materia y la radiación

1.- EL FRACASO DE LA FISICA CLASICA »

A finales del siglo XIX la mayor parte de los físicos pensaban que se había completado la descripción de la naturaleza y que solamente faltaba por desarrollar algunos detalles. Esta creencia se basaba en los logros espectaculares de la mecánica de Newton que, junto con la ley de gravitación y la electrodinámica de Maxwell, describían y predecían las propiedades de sistemas macroscópicos cuyas dimensiones variaban desde el tamafio de un laboratorio al tamaño del cosmos. Sin embargo, al desarrollarse las técnicas experimentales para estudiar sistemas atómicos, surgieron dificultades que no podían explicarse con las leyes de la física clásica ni con sus conceptos. Las nuevas leyes y los nuevos conceptos que fueron necesarios desarrollar durante la primera cuarta parte del siglo XX fueron los de la mecánica cuántica.

Las difícultades que se encontraron fueron de diferentes tipos. En primer lugar se encontraron contradicciones con algunas de las predicciones del teorema de equipartición de la energía. La aplicación directa de este teorema conduce a resultados absurdos para el espectro de radiación del cuerpo negro y a conclusiones erróneas para los calores específicos de sistemas materiales. En ambos casos, el resultado empírico predice que sólo algunos de los grados de libertad del sistema participan en los intercambios de energía que Uevan al equilibrio estadístico.

En segundo lugar, se encontraron dificultades para explicar la es-

* Una disCTiáón detallada de las bases históricas y experimentales de ta mecánica cuántica, se encuentran en las referencias del [ 1] al [5], en el apéndice II.

tructura y la existencia misma de los átomos, tomados como sistemas de partículas cargadas. Para tales sistemas, el equilibrio estático es imposible bajo fuerzas exclusivamente electromagnéticas, siendo también imposible el equilibrio dinámico, por ejemplo en forma de un sistema solar en miniatura. Partículas en equilibrio dinámico están aceleradas y, clásicamente, cargas aceleradas radian energía, lo cual provoca el colapso de las órbitas independientemente de su naturaleza. Pero, aunque se acepte la existencia de los átomos, subsiste el problema de explicar el espectro atómico, es decir, determinar las características de la radiación causada por la aceleración de las cargas de un átomo al perturbar su configuración de equilibrio. Clásicamente se esperaría que dicho espectro consistiera de los armónicos correspondientes a ciertas frecuencias fundamentales. Pero el espectro observado satisface la ley de combinación de Ritz, la cual establece que las frecuencias del espectro se obtienen como diferencias de ciertas frecuencias fundamentales y no como múltiplos.

Una tercera clase de dificultades proviene del efecto fotoeléctrico. La fotoemisión de electrones de superficies iluminadas no puede explicarse clásicamente. La dificultad esencial es la siguiente: el número de electrones emitidos es proporcional a la intensidad de la luz incidente y por lo tanto a ¡a energía electromagnética que incide sobre la superficie, pero la energía transferida a los fotoelectrones no depende de la intensidad de la iluminación. Esta energía depende de la frecuencia de la luz, creciendo linealmente con ella a partir de cierto valor de umbral, característico de la superficie del material. Para frecuencias menores que la del umbral no se emite ningún fotoelectrón aunque sea grande la energía electromagnética transmitida a la superficie metálica. Por otra parte, para frecuencias mayores que la del umbral, aunque la fuente de luz sea débil, siempre se emiten fotoelectrones y siempre con la energía total apropiada a la frecuencia.

Las explicaciones a estas dificultades comenzaron en 1901 cuando Planck supuso la existencia del cuanto de energía para poder obtener la modificación necesaria del teorema de equipartición. La consecuencia de que la radiación electromagnética es de naturaleza corpuscular fue afirmada por Einstein en 1905 al explicar en forma directa y simple las características de la emisión fotoeléctrica. También fue Einstein, dos años más tarde, el primero en explicar el comportamiento del calor específico de los sólidos a bajas temperaturas, cuan tizando los modos de vibración del sólido de acuerdo con las reglas de Planck, La primera explicación del espectro y estructura atómicos se dió en 1913 cuando Bohr introdujo la idea revolucionaria de estado estacionario y estableció las condiciones cuánticas para su determinación. Más tarde, estas condiciones fueron generalizadas por Sommer-

2 LA NATURALEZA DUAL DE LA MATERIA Y LA RADIACION

feld y Wilson, y la teoría resultante explicó casi perfectamente el espectro y estructura atómicos del hidrógeno. Sin embargo, la teoría de Bohr tropezó con dificultades muy serias al intentar estudiar problemas más complejos. Por ejemplo, el átomo de helio fué imposible tratado con esta teoría. La primera indicación para resolver estos problemas fué dada en 1924 cuando de Broglie sugirió que las partículas podrían exhibir un comportamiento ondulatorio, así como las ondas exhibían un comportamiento corpuscular. Siguiendo estas sugerencias, Schrödinger estableció su famosa ecuación de onda en 1926. Heisenberg, poco antes, partiendo de un punto de vista diferente había llegado a establecer resultados matemáticos equivalentes. Aproximadamente al mismo tiempo, Uhlenbeck y Goudsmit introdujeron la idea de espín o giro del electrón, Pauli enunció su principio de exclusión, y así, esencialmente, se había completado la formulación de la mecánica cuántica no relativista.

CONCEPTOS CUANTICOS 3

2. CONCEPTOS CUANTICOS

Las leyes de la mecánica cuántica no pueden demostrarse, análogamente a lo que sucede con las leyes de Newton y las ecuaciones de Maxwell. Sin embargo, se espera que estas leyes puedan deducirse, más o menos directamente, como consecuencias lógicas de ciertos experimentos seleccionados. Pero la descripción cuántica de la naturaleza es demasiado abstracta para que esto sea posible: los conceptos básicos de la teoría cuántica están fuera del alcance de la experiencia diaria. Estos conceptos son los siguientes:

Funciones de Estado. La descripción de un sistema se hace mediante la especificación de una función especial, llamada función de estado del sistema, la cual no puede observarse directamente. La información contenida en la función de estado es esencialmente estadística o probabilística.

Observables. La especificación o determinación de una función de estado es consecuencia de un conjunto de observaciones y mediciones de las propiedades físicas o atributos del sistema estudiado. Propiedades que pueden medirse, tales como enei^ía, momento lineal, momento angular y otras variables dinámicas, se llaman observables. Observaciones u observables se representan por objetos matemáticos abstractos llamados operadores.

El proceso de observación exige que haya cierta interacción entre el instrumento de medida y el sistema observado. Clásicamente pueden suponerse estas interacciones tan pequeñas como se quiera. Ge-

eralmente se toman como infinitesimales, en cuyo caso el sistema 6 se perturba por la observación. Pero, a escala cuántica, la interac- lón tiene características discretas y no puede disminuir indefmida- lente sino hasta cierto límite. El acto de observar provoca en el sis- sma ciertas perturbaciones incontrolables e irreducibles. La observa- tón de la propiedad A provocará cambios incontrolables en otro ob- sryable B relacionado con A. La existencia de un límite absoluto pa- I una interacción o perturbación, permite dar a la idea de tamaño un Ignificado absoluto. Un sistema puede considerarse grande o peque-o, y tratarlo clásica o cuánticamente, dependiendo de que la interac- lón dada pueda considerarse pequeña o no.

La noción de que la observación precisa de una propiedad provoca ue una segunda propiedad {llamada complementaria de la primera) sa inobservable, es un concepto exclusivamente cuántico sin analo- ía en la física clásica. Las características de ser onda o partícula nos roporciona un ejemplo de un par de propiedades complementarias. ^ dualidad partícula-onda de sistemas cuánticos, es una afirmación el hecho de que tales sistemas pueden exhibir cualquiera de las dos aracterísticas dependiendo de las observaciones realizadas sobre el istema. Las variables dinámicas, posición y momento lineal, son un jemplo más cuantitativo de una pareja de observables compleméntalos. Al observar la posición de una partícula, por ejemplo iluminán- ola, necesariamente se provocará una perturbación en su momento neal. Este resultado es consecuencia de la naturaleza corpuscular de 1 luz; la medida de la posición de una partícula exige que, por lo mees, un fotón choque con la partícula, siendo esta colisión la que Tovoca la perturbación. Consecuencia inmediata de esta relación en- re medición y perturbación es que trayectorias precisas de partículas , 0 pueden definirse cuánticamente. La existencia de una trayectoria «finida implica el conocimiento de la posición y del momento lineal e la partícula en él mismo instante. Pero el conocimiento simultá- eo de ambas propiedades no es posible, si la medición de una de lias provoca una perturbación incontrolable y apreciable en la otra, orno es el caso de sistemas cuánticos. Estas perturbaciones mutuasI inoertidumbres no son debidas a la técnica experimental; son con- scuencias inevitables de la medición u observación. La existencia levitable de estos efectos para una pareja de variables complementa- las fué enunciada por Heisenberg en su famoso principio de incerti- 'umbre.

Más adelante se estudiarán estos hechos, pero ahora es conveniente mpezar el desarrollo de las leyes de la mecánica cuántica. El enfoque lue se va a seguir no es el histórico y se llevará a cabo en la forma si- uiente. En el resto del capítulo se intentará hacer plausible algunas

LA NATURALEZA DUAL DE LA MATERIA Y LA RADIACION

de las ideas de la mecánica cuántica, en particular las ideas de incertidumbre y complementareidad. Se hará considerando algunos experimentos y observaciones, que resaltan la naturaleza dual de la materia y de la cual se concluye inmediatamente que las trayectorias precisas de partículas, como en la mecánica de Newton, no existen. Como consecuencia se presenta el problema de cómo caracterizar el estado de movimiento de un sistema cuántico y de cómo describirlo. En el Capítulo II se resolverá este problema introduciendo función de estado de un sistema, discutiendo su interpretación probabilística. En el Capítulo III se considerarán las propiedades generales de observables y de vw^iahles dinánicas en mecánica cuántica y se obtendrán reglas para encontrar sus representaciones abstractas como operadores. En los Capítulos IV y V se completará la primera etapa de esta formulación al introducir la ecuación de Schrödinger, que gobierna el desenvolvimiento en el tiempo de sistemas cuánticos. Métodos para resolver la ecuación de Schrödinger para el sistema más simple, el movimiento de una partícula en una dimensión, se discutirán en los Capítulos VI y VII. Unicamente hasta los cuatro capítulos finales se podrá tratar el problema general de sistemas de partículas interaccionando en tres dimensiones, y así, encontrar la relación con el mundo real. En todo el desarrollo, siempre se usará el principio de que las predicciones cuánticas deben de corresponder a las predicciones de la física clásica en el límite adecuado. Este prtttc^/o de correspondencia jugará un papel muy importante al determinar la forma de las ecuaciones en la mecánica cuántica.

Se recalcarán las propiedades cuánticas de sistemas materiales. Debido a su complejidad, no se presentará ningún desarrollo sistemático de las propiedades cuánticas de campos electromagnéticos, aunque se harán plausibles algunas de sus propiedades cuánticas. '

EL ASPECTO ONDULATORIO DE LAS PARTICULAS 5

3. EL ASPECTO ONDULATORIO DE LAS PARTICULAS

El experimento que mejor revela los elementos básicos de la descripción cuántica de la naturaleza es la dispersión de un haz de electrones por un cristal metálico, realizado por primera vez por Davisson y Germer en 1927. Este experimento fué diseñado principalmente para comprobar la predicción de de Broglie, según la cual, en analo-

‘ En la Secdón 5 de ests c ^ ítu lo se tecune a la naturaleza oorpusculai de la tuz p ú a explicar la tadiadón dcl cuerpo negro y la dispersión de Compton. No será sino hasta la Sección 6, Capítulo VII, en que se discutirá oUa vez la radiación, cuando su emisión y abw l· ción se presenten en forma eurístlca y semidásica. Finalmente, en la Sección 4, C apitub XI, se discutirá brevemente el movimiento de una partícula caigada en un campo etecttomagní- tico clásico.

già a las propiedades corpusculares de la luz, perfectamente establecidas, también puede asociarse a una partícula de momento lineal p una onda X que se llama longitud de onda de de Broglie expresada como,

X h¡p.

La constante h es la constante universal de Planck o el cuanto de acción. La hipótesis anterior fué consecuencia de que de Broglie tratara de acomodar un número entero de semilongitudes de onda en una órbita de Bohr para entender la condición de cuantización de Bohr, aparentemente arbitraria. Pero Davisson y Germer observaron que electrones de momento lineal p, dispersados por un cristal, se distribuían en un patrón de difracción, exactamente como lo harían rayos-X de la misma longitud de onda dispersados por el mismo cristal. Por lo tanto, se verificó cuantitativamente y directamente la hipótesis de de Broglie.

El cuanto de acción tiene dimensiones de momento lineal por longitud o lo que es lo mismo, de energía por tiempo, siendo su valor numérico.

h = 6.625 X 10“^ erg-sec.

En la mayoría de las aplicaciones cuánticas resulta más conveniente usar la cantidad que se abreviará h y será denominada barra” . Su valor numérico es,

h = hl27T= 1.054 X 10“^ erg-sec.

En términos de ft , la relación de de Broghe puede escribirse como

X = \ I 2 tt = h ip ,

donde se ha introducido la longitud de onda reducida K (lambda barra), que, físicamente, caracteriza mejor a la onda que la propia longitud de onda. También es conveniente definir el número de onda k (más bien el número de onda reducido), como el recíproco de X . Entonces, se puede escribir la relación de de Broglie como,

p = hk.


Reuniendo dichas relaciones en una sola expresión, finabnente, se tiene que,

p = h¡\ = lTTh¡\ = ft/X = hk. (O

La hipótesis de de Broglie y el experimento de Davisson y Germer están en conflicto con la física clásica, porque se asignan a la misma entidad ambas propiedades, la de partícula y la de onda. La naturaleza y las implicaciones de este conflicto pueden aclararse imaginando que el experimento se realiza con un haz de electrones tan débil que un solo electrón se dispersa por el cristal y se registra en cierto instante de tiempo. En este evento, no se obtiene inicialmente un patrón de difracción; el electrón será dispersado en cierta dirección, aparentemente al azar. Sin embargo, a medida que transcurre el tiempo, el número de electrones dispersados aumenta a miles y a millones, observándose que mayor número de electrones se dispersan en ciertas direcciones preferentes, y así, se va formando el patrón de difracción.

De ios resultados experimentales de Davisson y Germer pueden obtenerse las conclusiones siguientes;(a) Los electrones poseen propiedades de partícula y de onda. La re

lación cuantitativa entre ellas está expresada por la relación de de Broglie; ecuación (1).

(b) No puede predecirse exactamente el comportamiento de un electrón sino únicamente su comportamiento probable.

(c) En mecánica cuántica no existen trayectorias definidas.(d) La probabilidad de observar a un electrón en una región dada, es

proporcional a la intensidad de su campo ondulatorio asociado.(e) El principio de superposición se aplica a las ondas de de Broglie,

tal como se aphca a las ondas electromagnéticas.Las conclusiones (a) y (b) no necesitan comentarios. La conclusión

(c) se sigue de (b), debido a que, clásicamente, para condiciones iniciales dadas, una partícula se mueve en una trayectoria única b ^ o la influencia de fuerzas especificadas. La conclusión (d) se obtiene del paralelismo entre los patrones de difracción para rayos-X y para electrones, producidos por un determinado cristal. Por último, la conclusión (e) se obtiene de que el patrón de difracción se produce por interferencia de ondas secundarias, generadas en cada átomo del cristal, o sea, por combinación lineal o superposición de estas ondas.

Esta^ conclusiones forman el punto de partida de todo el desarrollo de la mecánica cuántica. Se ha llegado a ellas sin hacer referencia al tipo de interacción entre los electrones (o rayos-X) y los átomos del cristal, y sin estudiar las particularidades del patrón de difracción formado como resultado de esta interacción. Este argumento se basa


totalmente en el comportamiento de un cristal como una red de difracción tridimensional, calibrada por la observación de sus efectos sobre rayos -X de propiedades conocidas. Sin embarco, es poco satisfactorio, al menos pedagógicamente, llegar a dichas conclusiones sin explorar todos los detalles. Pero el entender estos detalles requiere conocer la interacción de un electrón con los átomos de un sólido cristalino, cuya interacción no puede comprenderse sin antes haber entendido la mecánica cuántica. Por esta razón, se considerará a continuación dos experimentos “cruciales” , aunque idealizados, de los cuales se obtienen los mismos resultados en forma más o menos inmediata. Estos experimentos son versiones en una dimensión de la difracción y de la dispersión, interviniendo en ellos los sistemas más simples. Sin embargo, los experimentos se realizan sólo en principio y no en la práctica.

El primer experimento se muestra en la Figura l(a). Una partícula de carga positiva e y masa m se lanza con momento lineal p a lo largo del eje de un tubo, cuyas paredes se encuentran a potencial cero. Separado infmitesimalmente y alineado con él, se encuentra un segundo tubo a un potencial mayor Kq .


Primei tubo Segundo tubo

y=o y = Vn< a )

£,-------------

«K, —

(b)

Figura 1. (a) El sistema de tubos, (b) la energía potencial U como función de la distancia a lo laigo del ^ e del sistema de tubos. Por facilidad se ha supuesto que U varm discontinuamente. Una partícula clásica se refleja si su enei^ía es y se transmite si su energía es £ 2 .


Se supone que la energía de la partícula es Ei = p^^}2m y q u e ^ i es menos que e Vq , como se muestra en la Fig. 1 (b). Clásicamente, la partícula se reflejará en la interfase regresando a lo largo del eje del primer tubo sin cambiar la magnitud de su momento lineal. Si se incrementa la energía hasta alcanzar el valor £ 2 , mayor que como también se muestra en la Fig. l(b), clásicamente se predice que el electrón se desacelera en la interfase y pasa al segundo tubo con momento linea! p tal que.

Para el caso en que la energía es E i , ios resultados de este experimento concuerdan con la predicción clásica, pero no en el caso en que la eneigía es £”2 . Para £ 2 mayor que eF o , la partícula no siempre se transmite sino que algunas veces se refleja. Sm embargo, cuando Ej crece, la reflexión decrece, hasta que, prácticamente, la partícula nunca se refleja coincidiendo con la predicción clásica. Si se define el coeficiente de transmisión T como el número relativo de veces que la

Figura 2. Coeficientes de transmisión y reflexión oomo funciones de la eneigía en el sistema de tubos. Las líneas punteadas se refíeren a las predicciones clásicas.

partícula se transmite y el coeficiente de reflexión/? como el número relativo de veces que la partícula se refleja, entonces, / i + T = 1 y los resultados se muestran en la Figura 2. La predicción clásica está representada por la línea punteada y el resultado experimental por la curva continua, la cual no puede explicarse clásicamente. Hay que recalcar que, en el intervalo de energía donde puede ocurrir la transmisióno la reflexión, no hay forma de predecir el comportamiento preciso de la partícula o asociarle una trayectoria bien definida. Lo único que se puede decir es que la partícula se refleja con probabilidad /i , o bien, que se transmite con probabilidades T = 1 - R .

Otro experimento ideal pero más revelador de las conclusiones anteriores se logra al alinear, con el segundo tubo, un tercer tubo a potencial cero. El potencial U se muestra en la Figura 3. La longitud del tubo intermedio es 2 a y el origen se ha colocado a la mitad de este

LA NATURAL

U


e,

V=Q

v = v„

y^o

2a

Figura 3. Barrera de potencial cuadrada y repulsiva.

tubo. Un potencial como el de la Figura 3 se llama potencial cuadrado repulsivo; si Vq fuera negativo, sería atractivo.

La teoría clásica predice que la partícula se refleja sí su enei^ía £ i es menor que bVq y se transmite por encima de la barrera si su energía es E l excede a e^o , como se muestra en la Figura 3. En ambos casos la interpretación es errónea si la barrera es lo suficientemente estrecha. Sin importar el signo de E - eV{¡, siempre que esta diferencia no sea muy grande, una fracción de las partículas se transmite y una fracción se refleja. Definiendo los coeficientes de reflexión y transmisión como antes, el coeficiente de transmisión experimental como función de la energía se muestra en la Figura 4. La predicción clásica también se muestra en la figura.

Estos resultados son sorprendentes. Particularmente notable es el hecho de que la partícula pueda transmitirse a través de la barrera cuando su energía no es suficiente para que la sobrepase, o sea, que la energía cinética sería negativa al encontrarse la partícula en el interior de la barrera. Clásicamente no se puede asociar un significado físico a una energía cinética negativa, y el movimiento en tal región resulta imposible. Por lo tanto, se tiene la paradoja de que la partícula atraviesa dicha región prohibida y aparece del otro lado de la barrera. Este resultado se conoce como efecto túnel ya que la partícula tiene que atravesar la barrera de potencial. Por el momento sólo se recalcará que la idea de trayectoria clásica pierde su significado cuando los efectos cuánücos son importantes.


Figura 4. Coeficiente de transmisión para la barrera de potencial cuadrada y repulsiva.

Es importante estudiar las oscilaciones de] coeficiente de transmisión. Si el primer máximo ocurre a una energía e por encima de la altura de la barrera, el segundo máximo se observará a 4 « , el tercero a 9c , etc. Al repetir el experimento variando la anchura de la barrera, se encuentra que el valor de € es inversamente proporcional al cuadrado de la anchura de la barrera. Entonces, se concluye que la energía del máximo n-ésimo es tal que,'s/£'n - eV^ es proporcional a n¡a. Sí llamamos p al momento lineal de la partícula al pasar por encima de la barrera, el momento lineal Pn del máximo n-ésimo satisface la relación

n h 2 « = * - —

2 p„

donde la constante de proporcionalidad resulta ser la constante de Planck. Dicho de otra manera, cuando la anchura de la barrera, 2a, es un múltiplo semientero de hjp, la transmisión alcanza su valor máximo de uno y el coeficiente de reflexión es cero resultando que la barra es perfectamente transparente únicamente para estos valores particulares.

Este comportamiento es exactamente análogo al de la transmisión de la luz a través de una placa delgada de dieléctrico o de una película, cuando el coeficiente de reflexión se anula porque el espesor de la película es igual a un número entero de semilongitudes de onda. Por consiguiente lo que se observa es un fenómeno ondulatorio y explí

1 2 LA NATURALEZA DUAL DE LA MATERIA Y LA RADIACION

citamente, existe una onda de longitud de onda X asociada a una par* tícula de momento lineal p, lo cual concuerda con la predicción de de Broglie y los resultados experimentales de Davisson y Germer.

La explicación de las observaciones anteriores sería como sigue. A la partícula incidente en el primer tubo se le asocia una onda que se llamará onda de de Broglie y expresada como.

(2)

Cuando esta onda choca con la primera cara de la barrera de potencial, parte se transmite al interior de la barrera y parte se refleja. La onda transmitida al interior de la barrera tiene la forma

Parte de esta onda se transmite fuera de la barrera y parte se refleja en la segunda interfase. La onda reflejada llega a la primera interfase donde parte se transmite y parte se refleja, volviéndose a repetir el mismo proceso con la onda reflejada en la segunda interfase y así sucesivamente. Por lo tanto, la onda transmitida hada la derecha será una superposición de ondas múltiplemente reflejadas. La condición para que estas ondas interfieran constructivamente para dar un máximo en la transmisión es que la anchura de la barrera sea un múltiplo entero de semilongitudes de ondas. En esta explicación se encuentra implícita la idea de que las intensidades de las ondas transmitidas y reflejadas deben de asociarse con las probabilidades de transmisión y reflexión de la partícula.

En esta interpretación no es esendal que la energía cinética sea negativa o que el momento lineal sea imaginario. Para un momento U- neal imaginario la longitud de onda de de Broghe también es imaginaria, y por lo tanto, las ondas correspondientes son ondas atenuadas y no ondas que se propagan. Estas ondas existen y pueden explicarse satisfactoriamente. El efecto túnel podría explicarse cualitativamente con estos argumentos. La onda que se transmite hacia el interior de la barrera resulta ser una onda atenuada. Llega a la segunda interfase con menor ampütud, pero después de transmitirse se convierte de nuevo en una onda que se propaga. Si la barrera es ancha, la atenuación es grande y la transmisión cae exponenciahnente a cero, lo cual concuerda con la observación, ’

* Un tn taraien to detallado se preaeinta en la Sección 7 del Capítulo VI.

MAGNITUDES NUMERICAS Y DOMÌNIO CUANTICO

4. MAGNITUDES NUMERICAS Y DOMINIO CUANTICO13

Es ilustrativo examinar las magnitudes de las ondas de de Broglie para algunos casos representativos:(a) Un electrón de energía E (en electrón voltios)

piO-« F - '« cm

(b) Un protón de energía E (en electrón voltios)

X a 5 X 1 0 - ’® E -* '* cm

(c) Una masa de un gramo moviéndose a una velocidad de un centímetro por segundo

X = 1 0 “® cm.

Estos números nos revelan por qué los efectos cuánticos sólo se manifiestan a nivel atómico. A nivel macroscópico todas las dimensiones son encones comparadas con las longitudes de onda de de Broglie, por lo cual, las características ondulatorias no son détectables. En el dominio atómico y subatómico las dimensiones son comparables con las longitudes de onda de de Broglie y, por lo tanto, las características ondulatorias predominan.

Estos números también aclaran las dificultades para realizar en el laboratorio el experimento ideal con los tubos antes mencionados. Para simplificar se supuso que los potenciales cambiaban discontinuamente, aunque, en realidad cambian a lo largo de una distancia, pof ejemplo b, lo cual complica el análisis pero no cambian tas características cualitativas de los resultados. Sin embargo, la magnitud de los efectos cuánticos dependen crucialmente del tamaño de b. Los efectos serán apreciables solamente si b es menor que la longitud de ondao comparable con ella. Considerando el caso más favorable, el del electrón, se concluye que el espacio entre los tubos debe ser de unos cuantos anstroms, es decir, de unos cuantos diámetros atómicos.

A escala atómica existen experimentos análogos a los mencioru- dos anteriormente. La emisión de electrones de un metal correspondería al primer experimento y el decaimiento nuclear de partículas, considerado como efecto túnel, correspondería al segundo. El paso de un electrón externo a través de un átomo correspondería al segundo experimento. Se observan resonancias en la transmisión, las cuales se conocen como efecto Ramsauer. En todos estos experimentos intervienen sistemas físicos muy complejos cuyas propiedades no

eden entenderse sin antes haber comprendido perfectamente la canica cuántica.


EL ASPECTO CORPUSCULAR DE LAS ONDAS

Anteriormente se ha demostrado que las partículas clásicas tienen turaleza dual por exhibir propiedades ondulatorias. A continua- ■n, se describirán algunos experimentos que demuestran cómo las das electromagnéticas exhiben propiedades corpusculares. La prime- indicación de este hecho provino de las propiedades espectrales de radiación de un absorbedor perfecto o cuerpo negro. Una buena roximación de él se puede obtener en la forma siguiente. Se toma recipiente construido de paredes opacas a la radiación electromag-

tica y que tenga un agujero infinitesimal en la superficie. La radia- in que entra por el agujero tiene una probabilidad grande de no sa- y así, el agujero se comporta como un cuerpo negro. El campo de

Ilación en el interior del recipiente en equilibrio térmico con éste a rtperatura T, se puede considerar como la radiación de cuerpo ne- >. Puede estudiarse experimentalmente examinando la radiación e escapa por el agujero infinitesimal. Su distribución espectral y isidad de volumen dependen solamente de la temperatura y no de propiedades particulares de las paredes o de alguna otra causa. Dé

lo a esta independencia, resulta que la radiación del cuerpo negro un fenómeno muy importante para entender el intercambio de írgía entre la materia y la radiación cuando se encuentran en equino térmico. La física clásica no explica satisfactoriamente el espec- de esta radiación. El argumento es como sigue.

El campo electromagnético en el interior de una cavidad puede scribirse completamente como una superposición de modos carac- isticos de vibraciones armónicas del campo en la cavidad. La am- tud de cada modo es independiente y, en principio, puede ser asig- da arbitrariamente. Cada modo representa un grado de libertad del ínpo de radiación y estos grados de libertad son de tipo vibracional : acuerdo al teorema de equipartición de la mecánica estadística sica, cada grado de libertad vibracional tiene la misma energía pro- ídio kT en el equilibrio térmico. No es difícü demostrar que el nú- sro de modos en el intervalo de frecuencia entre p y (v + dv) es ir/c3)Fv2dv, donde V es el volumen de la cavidad. Entonces, se tiene el resultado paradójico de que el espectro de la densidad de srgía para el cuerpo negro es (,^7rjc‘i)kTv ‘ dv, lo cual significa e la densidad de radiación con frecuencia entre vyv-\-dv crece in- Tmidamente con el cuadrado de la frecuencia y que, por lo tanto, energía electromagnética total en la cavidad es infinita.

Ejercicio 1. Considerar una caja cúbica de volumen V con paredes perfectamente conductoras.

(a) Demostrar que el número de modos de vibración con frecuencias entre v y v + dv está dado por (Stt/c^) Vv dv (referencia [3l).

(b> ¿Se comportará esta caja como cuerpo negro a todas las frecuencias si tiene una partícula de polvo en su interior? ¿Cúales serán sus propiedades a frecuencias muy b^as?

Este resultado clásico, conocido como la ley de Rayleigh-Jeans, no es totalmente incorrecto; esta ley predice exactamente la parte del espectro correspondiente a bajas frecuencias. Para altas frecuencias el espectro observado es menos intenso que el predicho clásicamente y eventualmente tiende a cero exponencialmente. Se podría expresarlo de otra manera diciendo que no todos los grados de libertad asociados con ias frecuencias altas participan en el reparto de energía y que los correspondientes a las más altas no participan.

El misterio de que algunos grados de libertad no participen fué explicado por primera vez por Planck cuando propuso que la energía de un modo vibracional de frecuencia v podía tomar únicamente valores discretos y no podía variar continuamente como en mecánica clásica. Supuso que la energía, partiendo de cero, podía crecer sólo por saltos iguales de magnitud proporcional a la frecuencia. La constante de proporcionalidad es precisamente la constante de Plank y la energía de un cuanto de frecuencia v, o frecuencia angular o», es

E = /ii» = Aft) (3 )

y entonces, la energía de un oscilador tendrá solamente los valores permitidos O, §<i», 2hc¡>,. . . .

Es fácil ver que, por lo menos cualitativamente, la idea de Planck es correcta. Para modos de frecuencia suficientemente baja, los saltos de energía son muy pequeños comparados con las energías térmicas y, por lo tanto, el teorema de equipartición clásico no se modifica. Para modos cuyas frecuencias son suficientemente altas, los saltos de energía son grandes comparados con las energías térmicas, por lo cual estos modos no participan en el reparto de energía. Entonces, resulta que la energía promedio de un grado de libertad vibracional de frecuencia V a temperatura T es,

’ Se está piesentando el aigumento desde un punto de vista moderno. Planck asoció caiacte- n'sticas cuánticas únicamente a osciladores materiales, los cuales introdujo para reprewntar las propiedades de las paredes de la c^a, y no a U>s modos de vibración del carneo electromagnético. Einstein fué el primero que $e dió cuenta de que el campo de radiación también debía de estar cuantizado.

EL ASPECTO CORPUSCULAR DE LAS ONDAS 15

F = = ___ fA)^ItvlkT^ I ^«aiílrT_ I *

que recobra el valor clásico kT cuando h<ü}kT < 1 y es exponencial para fuajkT fe· 1. La densidad de energía de la radiación del cuerpo negro para frecuencias entre v y v + dv será entonces,

E{v) = ~

que es la ley de radiación de Plandc. Concuerda perfectamente con el experimento y resulta ser, históricamente, el primer método para determinar con mucha exactitud el valor de h.

Ejercicio 2. (V erla referencia [3]).(a) Obtener la ecuación (4) y la ley de radiación de Planck, ecua

ción (5).(b) LlamandoX« a la longitud de onda correspondiente al máxi

mo del espectro del cuerpo n ^ ro , demostrar que = constante Oey de de^lazam iento de Wíen).

(c) Demostrar que la energía total radiada por un cuerpo negro a temperatura T es proporcional a 7+ (ley de Stefan).

Aunque Planck dió una solución completamente satisfactoria a las difícultades de la radiación del cuerpo negro, su trabajo atrajo poca a te n c ió n .F u é tomada seriamente en 1905 cuando Einstein aplicó la idea cuántica al fenómeno de la emisión fotoeléctrica, introdu- dendo explícitamente las propiedades corpusculares de la radiación electromagnética. Estas propiedades corpusculares se observan mejor sn el efecto Compton. Cuando rayos-X de frecuencia dada se dispertan por electrones libres en reposo, la frecuencia de los rayos-X dispersados decrece al crecer el ángulo de dispersión. Este efecto se des- aibe con precisión considerando a los rayos-X como partículas reía- ivistas de energía ñot y momento lineal ñ<a/cy aplicando, a la coli- ión, las leyes usuales de conservación de energía y momento lineal.

Ejercicio 3. Demostrar que en la dispersión de Compton

X’ ~ it = 2Ap sin*

onde X, = hjmc es la llamada longitud de onda de Compton, m es la lasa del electrón, -X es la longitud de onda de los rayos-X incidentes y

E, U, Condon, en Phytics Today. VoL 15, No. 10. p. 37. Oct, 1962,

1 6 LA NATURALEZA DUAL DE LA MATERIA Y LA RADIACION

COMPLEMENTAREIDAD - EL PRINCIPIO DE CORRESPONDENCIA 17

X'es la longitud de onda de los rayos-X dispersados a un ángulo0 . La longitud de onda de Compton puede tomarse como una longitud fundamental asociada con una partícula de masa m. ¿Cuál es su valor numérico aproximado para un electrón, para un protón, para un mesón IT y para una bola de billar? (Ver la referencia [3]).

6 . COMPLEMENTAREIDAD

Como resultado de las consideraciones anteriores se ha establecido que, en la naturaleza, existe cierta simetría entre partículas y ondas, de la cual carece totalmente la física clásica, en donde cierta entidad tiene exclusivamente una de estas características. Estas conclusiones llevan a grandes dificultades conceptuales. De alguna manera se tienen que reconciliar los conceptos clásicos de partícula y onda. En esta reconciliación interviene un principio que se conoce como principio de complementareidad, enunciado por primera vez por Bohr. La dualidad partícula-onda es uno de los muchos ejemplos de la complementareidad.

La idea es la siguiente; los objetos en la naturaleza no son partículas ni son ondas; un experimento o medición que resalte una de estas propiedades, lo hace necesariamente a expensas de la otra. Un experimento diseñado para aislar o describir las propiedades de partícula, tales como la dispersión Compton o la observación de trayectorias, no proporciona información sobre los aspectos ondulatorios. Por Otra parte, un experimento diseñado para aislar las propiedades ondulatorias, por ejemplo la difracción, no proporciona información acerca de las propiedades corpusculares. Este conflicto se resuelve estableciendo que estos aspectos irreconciliables no pueden, en principio, observarse simultáneamente. Otros ejemplos de complementareidad pueden ser, la posición y el momento lineal de una partícula, la energía de un estado y el tiempo que dura dicho estado, la orientación angular de un sistema y su momento angular, etc. Ahora se puede establecer en forma general el principio de complementareidad. La descripción cuántica de las propiedades de un sistema físico se expresa en términos de parejas de variables mutuamente complementarias. La precisión en la determinación de una de estas variables, necesariamente implica una imprecisión en la determinación de la otra.

7. EL PRINCIPIO DE CORRESPONDENCU

Hasta aquí la atención se ha concentrado en experimentos que no pueden explicarse mediante la mecánica clásica y que al mismo tiempo ponen de manifiesto ciertos aspectos de la mecánica cuántica. Sin

18 LA NATURALEZA DUAL DE LA MATERU Y LA RADIACION

embargo, no hay que olvidar que existe un dominio enorme, el dominio macroscópico, para el cual es válida la mecánica clásica. Entonces, se tiene un requisito obvio que la mecánica cuántica debe satisfacer; en el límite clásico apropiado la mecánica cuántica debe llegar a las mismas conclusiones a que llega la mecánica clásica. Matemáticamente, este límite es aquél para el cual fi puede considerarse pequeña. Por ejemplo, para el campo electromagnético significa que el número de cuantos en el campo es muy grande. Para partículas, significa que la longitud de onda de de BrogUe es muy pequeña comparada con todas las otras dimensiories importantes del problema. Naturalmente que los resultados de la mecánica cuántica son probabilísticos por naturaleza, mientras que los resultados de la mecánica clásica son completamente determinísticos. Por ello, en el límite clásico, las probabilidades cuánticas deben de convertirse en certidumbres; las fluctuaciones resultan despreciables.

Este principio, o sea que en el límite clásico las predicciones de las leyes cuánticas deben de estar en correspondencia de uno a uno con las predicciones clásicas, se llama el principio de correspondencia. Sus requisitos son suficientemente rigurosos para que, partiendo de la idea de ondas de de BrogUe y su interpretación probabilística, las leyes de la mecánica cuántica puedan determinarse del principio de correspondencia, como se demostrará más adelante.

Problema 1 . Calcular, con dos cifras significativas, las longitudes de onda de de Broglie siguientes:

(a) Un electrón moviéndose a 10"? cm/seg.(b) Un neutrón ténníco a temperatura ambiente, es decir, un

neutrón en equilibrio térmico a 300°K moviéndose con la energía térmica promedio.

(c) Un protón de SOMeV.(d) Una pelota de golf de lOOgm. moviéndose a 30 metros/seg.

Problema 2. Considerar un electrón y un protón con la misma energía cinética T. Calcular la longitud de onda de de Broglie para cada uno, con una cifra significativa en los casos siguientes:

(a) r = 3 0 e K .(b) r = 3 0 keV.(c) T=3QMeV.(d) 30 30,000 Afe K

Nota: Con bastante exactitud, la energía en reposo de un electrón es0.5 MeV, y la de un protón es de 1 GeF. La relación entre eneigía cinética, momento lineal y masa en reposo puede expresarse como

E = T + mc^ = {pcV·

II

Funciones de estado

y su interpretación

1. LA roEA DE FUNCION DE ESTADO; SUPERPOSICION DE ESTADOS

Las consideraciones que se han hecho en el capítulo anterior han conducido a la idea de que la descripción de cierto tipo de comportamiento de las partículas, requiere la introducción de las ondas de de Broglie. Estas ondas exhiben propiedades de interferencia y la intensidad en una región dada está asociada con la probabilidad de encontrar a la partícula en esa región.

A continuación se intentarán generalizar estas ideas y al mismo tiempo definirlas mejor. Para simplificar las características matemáticas, se considerará el caso del movimiento de una partícula en una sola dimensión bajo la influencia de una fuerza externa determinada. Como primer paso se describirá el estado de movimiento en un instante de tiempo. En mecánica clásica, dicha descripción se establece especificando la posición y el momento lineal de la partícula en el instante de tiempo considerado. Las leyes de Newton suministran la receta para determinar la evolución del tiempo. Pero se ha recalcado que tal descripción no es válida en la mecánica cuántica, ya que las trayectorias de las partículas no están definidas con exactitud. Para poder empezar el estudio de la mecánica cuántica se hará la hipótesis mínimá de que el estado de una partícula al tiempo t se describe completamente, o por lo menos tan completamente como sea posible, mediante una función <í( que se llamaré h función de estado de la partícula o del sistema.

2 0 FUNCIONES DE ESTADO Y SU INTERPRETACION

(2)

(3)

Entonces, se deben de contestar las preguntas siguientes:( I ) ¿Cómo se eg>ecifica ? ¿O sea, cuáles son tas variables de las

que depende?¿Cómo se interpreta Es decir, cómo pueden deducirse de ^ las propiedades de los observables de un sistema?¿Cómo evoluciona 0 en el tiempo? Es decir, determinar la ecuación de movimiento del sistema.

A la primera pregunta se podría contestar suponiendo la hipótesis más sencilla posible, o sea que la función de estado de una partícula sin estructura* en una dimensión y en un instante dado í, puede expresarse como función de las coordenadas espacíales únicamente tp = tftiix), donde el índice t se refiere al instante en el cual es válida la descripción. Usando una notación más conveniente, se puede escribir

»ít= O )siendo t, en este caso, un parámetro. La suposición de que debe de expresarse de esta forma para una partícula sin estructura, resulta correcta y significa que cualquier estado físico puede especificarse en términos de una 0 apropiada que tenga la forma de la ecuación ( 1 ). Surge ahora la pregunta siguiente. ¿Corre^onde a afeún estado físico una función ^ arbitrariamente escogida? La respuesta es negativa, Solamente ciertas clases de funciones de estado llamadas/fsíca- mente aceptables^ corresponden a estado físicos realizables. Por ejemplo, resulta que ij, corresponde a un estado físico si es univaluaday acotada, propiedades que se definirán más adelante.

Respecto a la segunda pregunta, que es el tema principal de este capítulo, se necesita establecer un significado físico preciso para los aspectos probabilísticos de la función de estado de la mecánica cuántica. La suposición más plausible y físicamente necesaria establece que la probabilidad de encontrar a una partícula en una región dada del espacio es grande cuando 0 sea grande y pequeña cuando sea pequeña. Ya que las probabilidades nunca pueden ser negativas y como ^ puede tomar valores positivos, n^ativos o nulos ( de hecho es compleja), la asociación más simple que se puede hacer es tomar la probabilidad relativa proporcional al valor absoluto cuadrado de »í», en analogía con la intensidad de un campo ondulatorio ordinario. Entonces, si P{x, t) dx es la probabilidad relativa de encontrar a la partícula al tiempo t en un volumen dx centrado e n x , se escribirá

P U , / ) d jc= |«í.U, í)t* í/JC = í) í i í 3= O,

* Por partícula sin estructura se entiende una masa puntual convencional. Pata una partícula con grados de libertad internos, como el espín, la descripción tendrá que ser modificada.

donde \f>* es el complejo conjugado de lí». Se puede convertir la expresión anterior a probabilidades absolutas t) dx escribiendo,

LA [DEA DE FUNCION DE ESTADO; SUPERPOSICION DE ESTADOS 21

o bien.

(2)

donde la integral se extiende a todo el e^acio . El hecho deque p d x sea una probabilidad absoluta se sigue de que

J p d x = l .

lo cual significa que la probabilidad de encontrar a una partícula en algún lugar del espacio tiene el valor uno. La cantidad p se llama la densidad de probabilidad. Si la densidad de probabilidad tiene algún significado, la Integral en el denominador tiene que ser acotada. Por lo tanto, todas las funciones físicamente aceptables deben de cumplir la condición de ser cuadráticamente integrables.*

De acuerdo con (2), p no cambia sí 0 se multiplica por un factor arbitrario independiente de las coordenadas, o sea, por un factor c{t) que podría ser complejo y en este sentido 0 está indeterminada por este factor. Es conveniente escoger este factor en tal forma que

1, (3 )

que siempre se cumple para funciones de estado físicamente aceptables. Esta condición se llama condición de normalización y las funciones de estado que la satisfacen se llaman normalizadas. Para funciones de estado normalizadas ií»*»ííserá la densidad de probabilidad,

p(jc,/) (4 )

y puede interpretarse como la amplitud de probabilidad.El procedimiento para normalizar es el siguiente: sea una fun

ción de estado físicamente aceptable. Se calcula / ^ * 0 dx, llamando al resultado M, que es un número real. Entonces,

0 = V m

’ Aunque esta condición es conecta, los físicos encuentran muy frecuentemente que es conveniente trabíyar con funciones de estado idealizadas que satisfacen condiciones más débiles oequivalentescomo,

e'’’' 'dx = M{a, t),

donde M es finita y a arbitrariamente pequeña pero no cero. Más adelante se verán algunos ejemplos.


define la normalización de la función de estado para S arbitraria. Es necesario recalcar el hecho de que se normaliza por conveniencia y que no puede atribuirse ningún significado físico a la magnitud numérica absoluta de una función de estado. Sólo magnitudes relativas son importantes. Dicho de otra manera, si una función de estado se incrementa en todas partes por un orden de magnitud, permanece inalterada físicamente. Este resultado está en contraposición con la física clásica. Por ejemplo, un incremento de la misma magnitud en la presión de una onda acústica, altera totalmente las condiciones físicas para cualquier observador.

Es importante entender con precisión la naturaleza de las cantidades probabilísticas que se han introducido. Se está considerando un sistema que consiste de una partícula moviéndose en una dimensión bajo la influencia de alguna fuerza externa prescrita. A continuación, se supone un conjunto de tales sistemas, idénticos entre sí y que satisfacen condiciones ii^ ia les idénticas. Además, se supone que en algún instante t se han ^ed id o las coordenadas de la partícula de cada sistema del conjunto. Los valores medidos no serán siempre tos mismos, como lo serían clásicamente, sino que se distribuirán en cierto intervalo de valores. La cantidad p{x,t) dx será la fracción de sistemas en el conjunto para los cuales los valores medidos de las coordenadas se encuentran entre x y x -i- dx.

Es necesario recalcar una propiedad importante de las funciones de estado, o sea, la existencia de interferencia. La observación de esta propiedad dió lugar a la asociación de propiedades ondulatorias a las partículas, lo cual implica que si «(í, describe un estado posible del sistema y ^ 2 describe un segundo estado posible, entonces

03 = -I- a2*}>2,

también describe un estado posible del sistema, donde a y a* son arbitrarias. Generalizando, se concluye que una superposición arbitraria de cualquier conjunto de funciones de estado posibles, también es una función de estado posible. Este resultado se llama el principio de mperposicvón. La aplicación de este principio es una de las hipótesis básicas de la mecánica cuántica marcando perfectamente la diferencia entre sus aspectos probabilísticos y los de ta mecánica estadística clásica.

Para aclarar la relación entre interferencia y principio de superposición se podría calcular, por ejemplo, la densidad de probabilidad que corresponde a la superposición particular «((3, definida anteriormente. Se tiene.

03*«í'3 = + |0 2 l »í'í*«í'2 +

Los dos primeros términos son precisamente la suma de las probabilidades individuales para cada estado, multiplicado por un factor de peso indicando la proporción presente de cada estado en la superposición, exactamente como en el caso clásico. Los dos últimos términos son ios términos de interferencia. Estos términos no se expresan sólo en función de las probabilidades individuales asociadas con cada estado, sino que son propiedades de ambos estados simultáneamente. Sus signos están determinados por la fase relativa de y a^ 2 pudiendo ser positivos o negativos, lo cual corresponde a interferencia positiva o negativa en las probabilidades. Este resultado no debe pasarse por alto, pues significa que un conjunto de estados, cada uno de los cuales describe independientemente algún evento con probabilidad finita, pueden combinarse en tal forma que el evento dado no pueda ocurrir.

Un ejemplo interesante es el famoso experimento de la rendija doble, en el cual se estudia el patrón de interferencia registrado en una pantalla opaca producido por un haz de partículas que incide sobre las rendijas. El experimento se muestra esquemáticamente en la Figura l(a). La primera pantalla contiene rendijas idénticas e n ^ y en5 , pudiendo estar abiertas o cerradas cualquiera de ellas. Todo electrón que pase por el sistema de rendijas se registra en la pantalla C. En la Figura 1 (b) se muestra a la izquierda la distribución de partículas cuando está abierta la rendija A o h B, y en la derecha se muestra

LA IDEA DE FUNCION DE ESTADO; SUPERPOSICION DE ESTADOS 2 3

haz incidente de partículas

partículastransmitidas

pantalla con rendijas y B

pantalla de registro C

(a>

rendía A o rendija A abiertas rendías A y B abiertas

(b)

Figura 1. £1 experimento de la rendga doble, (a) Esquema del dispositivo exk perimental, (b) Distribución de las partículas registrada en la pantalla C.

24 > ^^^IraiiiNli n 'lltA D O Y su interpretación

el resultado cuando están abiertas ambas rendijas, A y B. En el primer caso, se tiene el patrón típico de Fraunhofer y en el segundo, este patrón está modulado por la interferencia y claramente no es la superposición de las probabilidades individuales de transmisión a través de cada rendija. Para relacionarlo con el principio de superposición, sea función de estado de un electrón cuando A está abierta y B cerrada, «ft» cuando B está abierta y A cerrada y »(r^ficuando ambas rendijas están abiertas. Sean p^, p» y pab las densidades de probabilidad correspondiente. Entonces, como buena aproximación se tiene que,

de donde se obtiene que

P ab - 10/ iP + l ' / 'f iP-t- 0 /1*0 8 +

Y a que p4 = ps, en contraste con el resultado clásico pab = Pa + p« = 2pA se tiene que,

2 p^[l + eos 6 (jf)],

donde SU) es la fase de 0 b relativa a 0 ^,

0B=04f'®.

El factor de fase S crece linealmente con la distancia al origen O a lo largo de la pantalla opaca C y los mínimos de interferencia ocurren cuando 8 es un múltiplo impar de «■. Aquí se observa explícitamente cómo la superposición produce la interferencia. En particular, cuando ambas rendijas están abiertas, la probabilidad de que un electrón llegue a la pantalla en un mínimo de interferencia es cero, aunque la probabilidad de llegar al mismo punto de la pantalla sea finita cuando una sola rendija está abierta.

Merece comentarse otro aspecto de este experimento. La naturaleza corpuscular del electrón se manifiesta en el hecho de que un electrón es una entidad que puede localizarse. Cuando se detecta o se registra, en la forma que sea, siempre se observa como tal y nunca se observa parte de un electrón. Por lo tanto, un electrón que pasa por la primera pantalla, pasa por una de las dos rendías. Si pasa por la rendija A , ¿cómo puede conocer la existencia de la rendija B y ajustar su comportamiento para dar el resultado experimental correcto? La respuesta es que, en este aspecto, el electrón no está localizado; también tiene atributos que están distribuidos en el espacio a semejanza de una onda. O sea, exhibe ambas propiedades; partícula y onda. Los aspectos complementarios de esta dualidad se recalcan al

VALORES DE EXPECTACION 25

introducir un detector adicional que determine a través de cual de las dos rendijas pasa el electrón, Al hacerlo, se observa que cada electrón pasa con seguridad a través de una de las rendijas, Pero el acto de observar, necesariamente provoca una interacción entre el aparato de medición y el electrón, lo cual acarrea una perturbación incontrolable que destruye la relación de fase necesaria para la interferencia. Se puede decir que al observar a través de cuál de las rendijas pasa el electrón, se le está obligando a actuar como partícula, la interferencia desparece y emeige el resultado clásico correspondiente,

2 - V a l o r e s d e e x p e c t a c i ó n

Dada la interpretación probabilística de la función de estado /) falta mostrar cómo se obtiene información respecto al comportamiento de una partícula. Recordando que pix, O se refiere a la distribución de los valores medidos de la coordenada de una partícula en un conjunto de sistemas, el valor promedio o valor de expectación de la posición será

{x) = f x p (x ,t) dx, (5)

donde la integral cubre todo el espacio. Es preciso recalcar que esto se concluye porque f) dx es la fracción de los valores medidos de la posición que se encuentran entre x y x -i- t/x, Pero si se trata de alguna función de la posición de la partícula como f(x), entonces p(x, í) dx es la fracción del ntimero de veces que el valor medidode f(x ) se encuentra entre f(x ) y f(x -j- dx). Entonces, usando lamisma notación, se tiene que el promedio o valor de expectación es

( / ( x ) ) = f f ( x ) p ( x , O d x . (6 )

Por ejemplo, ú una partícula se mueve en un potencial K(x) y su densidad de probabilidad es p(x, t \ entonces, su energía puede calcularse según (6 ) usando /(x) =

Los valores de expectación se pueden expresar en términos de la función de estado tir(x, t) obteniendo que,

y si la función de estado está normalizada,

(f{x)) = í ^ * ( x , t ) f u m x , t ) d x . (8)

Naturalmente que el orden de los factores en el integrando de (8 ) es irrelevante. Se podría e s c r i b i r o bien que son expresiones más sencillas que el insertar / entre y 0 . Pero se ha escogido esta última forma por razones de conveniencia que se aclararán más adelante.

Hasta aquí se ha visto cómo calcular el análogo cuántico de la posición de una partícula o de cualquier función de la posición. Queda por examinar en una dimensión la variable correspondiente al momento lineal. Una forma de proceder es como sfeue. Como ^ = tltix, t), en general, el valor de expectación de x es una función del tiempo (.v) = /{ /) , entonces, la cantidad md{x)ldt puede calcularse si se conoce \t> como función del tiempo. Esta cantidad corresponderá al momento lineal, al menos en el límite clásico, aunque existen dos dificultades. La primera es fundamental pues se refiere al momento lineal como variable dinámica. Clásicamente, la existencia de una trayectoria asocia un significado preciso a la operación matemática de calcular m dxjdt. En mecánica cuántica, no existen trayectorias definidas y la cantidad dxjdt resulta indefinida y, por lo tanto, no tiene sentido hablar de p si está definida como m dxJdt, o sea, como una cantidad exclusivamente cinemática. Sin embargo, p debe tener un significado físico independiente de las trayectorias. Si se la considera como variable dinámica, en analogía con la variable de posición, es preciso dar un significado a su valor de expectación {p), siendo éste el sfeuiente objetivo.^

La s^unda dificultad es más bien de tipo práctico. Para calcular una cantidad como d(x)/dt, se necesita contestar a la pregunta ¿cómo evoluciona ^ en el tiempo? Todavía no se puede contestar a esta pregunta. Una vez que se entienda el momento lineal como variable dinámica cuántica, se hará uso de los requisitos del principio de correspondencia

<P) =md{x)

di

d ( p ) ___ / d V { x ) \di \ dx /

para establecer la dependencia en el tiempo de ta función de estado.

* Clásicamente, la descripción que conádera la posición y el momento lineal como variables dinámicas del mismo t^ o , es la descripción haniUtoniana. Puede anticuarse que la fundón Hamiltonlana resultará muy impoitante en la formulación de las leyes cuánticas.

COMPARACION ENTRE LAS DESCRIPCIONES CUANTICA YCLASICA DE UN ESTADO ¡PAQUETES DE ONDA 27

3. œM PARACION ENTRE LAS DESCRIPCIONES CUANTICA YY CLASICA DE UN ESTADO; PAQUETES DE ONDA

La discusióii anterior se ha alejado mucho de la fíáca clásica, en la cual se determina con precisión la posición y la velocidad de una partícula en un instante dado y no una distribucón de probabilidad, y mucho menos una amplitud de probabilidad inobservable. Ya que la mecánica cuántica pretende ser más general que la mecánica clásica, a la cual incluye como caso particular, es preciso establecer cómo se puede recobrar la descripción clásica partiendo del concepto de una función de estado cuántica. Esta meta no es difícil. Una trayectoria clásica no es mas que cierta curva en el espacio que evoluciona de cierta manera en el tiempo. La función de estado cuántica tiene como dominio todo el espacio y el tiempo. Aunque sea una entidad esencialmente no localizable, puede usarse para describir una trayectoria si se escoge una función particular y localizada, por ejemplo, una que se anule en todas partes excepto en una vecindad infinitesimal de la trayectoria.

Estas funciones de estado localizadas se llaman paquetes de onda. Juegan un papel muy importante en la explicación de muchos efectos físicos y, naturalmente, en entender la relación entre la mecánica clásica y la cuántica. Un ejemplo de un paquete de ondas en un instante determinado sería la función gausiana,

= A exp [—(jT ~ x^yHL^]. (9)

La distribución de probabilidad relativa sería,

|.4|2exp[-(jr-JCo)Ví-*], (10)

de la cual se concluye que se tiene un estado localizado en la vecindad del punto j: = jco y de dimensión L. Si L decrece, la función de estado está más localizada; el límite clásico de precisión absoluta corresponde al límite en el cual L tiende a cero.

La especificación de la función de estado en un cierto instante es análoga a la especificación clásica de la posición inicial de una partícula. Si una parece más vaga y misteriosa que la otra se debe a que,en el campo clásico, se fijan las condiciones iniciales a través de uncontacto más directo y personal, por lo menos en la imaginación, como en el caso de tirar un objeto o poner a funcionar el mecanismo que dispara un'satéüte. En ambos puntos de vista la forma de establecer las condiciones iniciales es irrelevante para la evolución posterior; únicamente se necesita conocer tas condiciones inicíales. Aunque todavía no se puede discutir cómo se puede preparar ínicialmen-


te un estado cuántico t^ien definido, esto no es una dificultad pues únicamente se necesita conocer el estado inicial y no su origen.

Dado un estado inicial, su evolución en el tiempo se detennina mediante las ecuaciones de movimiento, ya sean clásicas o cuánticas * Si se supone que después de integrar las ecuaciones de movimiento se obtiene la trayectoria

es tentador suponer que la forma adecuada que corresponda a la función de probabilidad cuántica en el límite clásico sea,

e x p í - U - / ( / > m * }

con l suficientemente pequeña. Esta expresión representa un paquete de ondas de anchura moviéndose a lo largo de la trayectoria clá- ■ sica y de acuerdo a las ecuaciones de movimiento clásicas. Esta suposición intuitiva puede verificarse en el caso especial del movimiento de una partícula libre. Para una partícula de masa m, partiendo del origen con momento lineal p«, clásicamente se tiene que,

JT = p^ílm,

y por lo tanto, se supone que la distribución de probabilidad cuántica podría estar dada por ei movimiento del paquete de ondas,

(1 1)

El resultado correcto, obtenido en el Capítulo IV (ecuación IV-22), al integrar las ecuaciones de movimiento cuánticas, coincide con éste, excepto que la constante l queda reemplazada por la función en el tiempo

LU) = V I J T W ñ t ñ ^ ^

Entonces, el resultado correcto revela que el tamaño del paquete crece en el tiempo a partir de su valor inicial L, Pero, para partículas macroscópicas, el segundo término del radicando es de^reciable res-

* La posición y el momento lineal deben especificarse am te i en el caso clásico. En mecánica cuántica, ambas m especificatse con precisión arbitraria. La información respecto almomento lineal esta impíicHamente contenida en la función de estado. Cómo obtener esta información será el objeto d«I capitulo siguiente.

PROBLEMAS 29

pecto a intervalos de tiempo comológicos' y, por lo tanto, la ecuación {1 1 ) no se devía apreciablemente del resultado correcto por lo que las apreciaciones intuitivas anteriores pueden considerarse correctas. En el Capítulo IV se volverá a tratar este tema.

Problema 1. Considerar que una partícula está descrita por el paquete gausiano,

e x p [ - U -

(a) C alculará si ^ está normalizada.Oo) Calcular (x>.(c) Calcular la desviación cuadrada media en la posición de la

partícula, <(x - (x) f) .(d) Suponer que la partícula se mueve en un potencial K{jf).

Calcular (V) para V = mgjc; para V Ver Apéndice 1para el cálculo de integrales gausianas.

Problema 2,(a) Lo mismo que en el Problema 1, pero con la función de es

tado,

>Í>,=A exp[((jc - Xü)lo] e x p [ - (A - x,^VI2a^].

(b) Considerar la superposición de estados

= c , [»((, ± »í»]

donde *¡j es el paquete de ondas del Problema 1, y el paquete anterior. Calcular c-. Graficar y comparar la densidad de probabilidad para los cuatro casos, y

‘ Esta conclusión se obtiene debido a que A es pequeña desde el puntode vista macroscópico.

I li

Momento lineai

1. FUNCIONES DE ESTADO QUE CORRESPONDEN A UN MOMENTO LINEAL DEFINIDO

Una vez entendidas algunas de ias propiedades de las funciones de estado, es necesario comprender el momento lineal como variable dinámica cuántica. La solución la suministra la descripción dada por de Broglie para una partícula libre con momento lineal definido p. Se ha argüido que, de alguna manera, se asocia a la partícula una onda de longitud de onda reducida = ñ¡p. Esta relación indefinida se puede concretar explícitamente suponiendo que, precisamente, la onda de de Broglie es la función de estado de la partícula. Por lo tanto se puede escribir que,

t/lí(jf, t) = exp [/(jrM ) " /W ]

o bien^ escribiendo X en función de p,

ij>p(x, t ) = c x p [ i ( p x / ñ ) - i w ( p ) r ] . (1 )

donde se ha puesto el índice p en ij» para es^jecificar que esta función de estado describe a una partícula que se mueve con momento lineal p definido y f()o. La frecuencia co de las ondas de de Broglie, todavía no recibe atención especial y al escribir la ecuación ( 1 ) se considera a <u como una función característica de p , aunque desconocida por ahora.

La asociación de la función de estado anterior con una partícula de momento lineal bien definido, es un paso crucial en el presente método de desarrollo que es una deducción directa del experimento de Davisson y Germer recalcando que la mecánica cuántica queda

FUNCIONES DE ESTADO QUE CORRESPONDEN A UN MOMENTO LINEAL DEFINIDO 31

fundamentada una vez entendida y aceptada la ecuación (l). Excepto por el espín y ei principio de exclusión, todo lo demás se obtiene del principio de correspondencia.

La importancia de este resultado merece comentarse con algún detalle. Para empezar, hay que hacer notar que se ha escogido <í(p como una función exponencial compleja. Hay que elaborar esta selección con más detalle pues una onda viajera representada por una función trigonométrica, también puede representarse satisfactoriamente por una función exponencial. De hecho, todos los campos cláácos se representan por funciones reales, aunque se usa la notación compleja por conveniencia. Este hecho es esencial en la mecánica cuántica y puede justificarse de la siguiente forma; para una partícula libre todos los puntos del espacio son físicamente equivalentes y la selección del origen es irrelevante ya que el sistema no puede depender de esta lelecclón. Se puede suponer que el o rên se desplaza hacia la izquierda una distancia arbitraria o sea, que se substituyen por jí -I- b. De la ecuación (1), >¡ij, queda multiplicada por un factor de fase que es constante y físicamente indetectable eí*’»"'. Por lo tanto, el estado K describe sin hacer niiûna referencia física ai origen. Este no sería •i caso si se usara una función trigonométrica para representar a»(»p· SU se usara la forma de la onda viajera más general posible dada por,

^ eos (pxlh — wt) + B sin {px¡h - <at) ,

y se impusiera a ^ el requisito de convertirse en un múltiplo de sí misma b ô una translación arbitraria, el resultado obtenido sería la forma exponencial de la ecuación ( I ) . '

^ e r c íc io 1. Demostrarla última afirmación.

Merece comentarse otra propiedad de Esta función de estado correiônde a la falta total de localización en el eâcio . La densidad de probabilidad relativa es

lo cual significa que la partícula puede encontrarse en cualquier elemento de volumen. Como consecuencia inmediata, la función de estado no es físicamente aceptable excepto en el sentido dado en U nota que sigue a la ecuación (II-3). Sin embargo, como (|ip sí co-

* Eit> lílimadóii puede Juttlfloui· oon «) ufumwto mát convendonil y qtdzái mfi «lato ét «xlfU que k ptobablMtd át modiitnr t U ptitíouU h^d«le»Mio d«b· mmota todo momtnto, £itft«awNVOlvetá>Uatw«nkMoojw7dMCtpítidoIV.

.niM

32 MOMENTO LINEAL

rresponde a un valor preciso del momento lineai p, esta función de estado es una idealizadón útil como se demuestra a continuación.

2. CONSTRUCaON DE PAQUETES DE ONDA POR SUPERPOSICION

A continuación se dará un ejemplo importante y muy instructivo de la utilidad de estos estados idealizados, combinándolos para formar un paquete de ondas, la más intuitiva y física de las funciones de estado. Este resultado se obtiene construyendo una superposición de estados de momento lineal i(tp. Ya que existe un continuo de valores de p, la superposición resulta ser una intégrai en lugar de una suma, escribiéndola como,

o = exp[f(px/ft) - iw(p)/] dp (2 )

donde el factor 1 /V 2 ^ aparece por razones de conveniencia. En esta superposición, la amplitud de la función de estado de que corresponde al momento lineal p se escribe como 4>(p). Por el momento no se tomará en cuenta la dependencia en el tiempo de la función de estado o la relación entre y p. Unicamente se estudiará la descripción del estado en un instante determinado, tomándolo como í = O por comodidad. Por lo tanto, en lugar de la ecuación (2 ) se tiene que,

1

V 2 ^ / _dp. (3)

donde

Ahora, podría ser útil dar un ejemplo, aunque sea puramente matemático, para mostrar cómo se puede obtener un estado normalizado y físicamente aceptable t/rU) por superposición de estados del momento lineal, inaceptables e idealizados exp [ípx/ft].Para particularizar a un caso muy simple, sea ^ (p ) constante en un intervalo de anchura Ap a cada lado del momento lineal fijo Po e idénticamente cero fuera de este intervalo. Se escoge <f>(p) como la distribución cuadrada.

O,

\p - /7o) « Ap \p - Poi > Ap, (4)

CONSTRUCCION DE PAQUETES DE ONDA POR SUPERPOSICION 33

siendo c una constante arbitraria. Esto significa que el momento lineai del estado considerado no tiene valor numérico preciso sino que está distribuido uniformemente en una banda de anchura 2 Ap centrada en p„, como se Uustra en la Figura 1.

P« P0 + -1P

Figura 1. Distribucióii de momentos de la ecuación (4).

A l escoger 0(p) de esta manera, (3) se convierte en.

ic eÍPJC/Hdp

= \/hl2ir T- ]

y factorizando el ténnino resulta

♦U ) - c V Ü ii (5)

Este ejemplo proporciona una función de estado que es una onda de de Broglie correspondiente al momento lineal p , modulada por el factor (1/jc) sen {Apxlh). Este factor convierte a ^(Jc) en una función normalizable y por lo tanto físicamente aceptable. Para exammar con más detalle el ejemplo, se normaliza 0 para obtener la constante c en las ecuaciones (4) y (5). Se tiene

rj: dx^ i h w r sii^ IT J_„

l^pxthdx

y cambiando a la nueva variable u = Apjc/ft se obtiene que,

|c | = 1 /V 2 À ^ , (6 )

3 4 MOMENTO LINEAL

donde se ha hecho uso del resultado,

sin^«du = 7T. (7)

Para resumir, se puede decir que la distribución particular (4) proporciona, por superposición, el paquete normalizado de la ecuación (5) si c satisface la ecuación (6 ).

En el límite, cuando Ap tiende a cero, se recobra una onda de de Broglie pura de momento lineal po, o sea que.

lim = vAphrñ .Ap-O

La aparición del factor significa que la amplitud de *(( es infinitesimal, lo cual es una consecuencia del hecho de que la función de estado no puede normalizarse en este límite y por lo tanto no se puede tender al límite en la forma usual. Pero, si la dimensión física relevante del sistema considerado es L, entonces, únicamente se necesita considerar la función de estado en una región de esa dimensión. Como consecuencia, si ApLIh 1, el paquete de ondas normalizado se desvía en forma indetectable deí estado puro de de Broglie. Esto significa que el límite anterior puede lograrse físicamente, o sea que Ap puede tomarse efectivamente como cero cuando sea mucho menor que hlL. Este ejemplo ilustra la forma de utilizar estados puros de momento lineal, no físicos y no normalizables, como idealizaciones de verdaderos estados físicos.

Volviendo al caso general, se necesita interpretar la amplitud 4>(p) que aparece en la superposición integral de la ecuación (3). Como caso particular se puede tomar la superposición únicamente de dos funciones de estado del momento lineal, o sea,

Claramente, esta combinación corresponde a un estado en el cual el momento lineal sería p, o p 2 , con amplitudes de probabilidad relativas Oi y flí respectivamente. El estado más general (3), es un estado en el cual todos los momentos lineales están presentes con probabilidad determinada por <f>(p). Es natural suponer que 4>(p) es proporcional a la amplitud de probabilidad del momento lineal o a la amplitud de probabilidad en el espacio de momentos. Si p(p) es la densidad de probabilidad correspondiente, la probabilidad de que la partícula tenga un momento lineal entre p y p + dp será

CONSTRUCCION DE PAQUETES DE ONDA POR SUPERPOSICION

dp

35

p(p) dpdp

donde, como se indica, la integral se extiende a todo el espacio de momentos. Si está nonnalizada,

y por lo tanto

f ^ * ( p m p ) d p = i .

p{p) = (9)

; donde <fr(p) es directamente la amplitud de probabilidad.Al aceptar esta interpretación se puede considerar al momento li-

como variable dinámica. Si 4>(p) es conocida, análogamente al )cedimiento seguido en el espacio-jc o espacio de configuración, se

^Wene que,

( p ) = í pp ip ) dp

= S <}>*(p)p<}>{p) dp,

JInterpretando a (p) como el momento lineal promedio sobre un con- l^ n to de sistemas igualmente preparados. En general, para una fun- ' ^ n / ( p ) del momento lineal, se tiene que

{f{p)) = f n p ) f ( p m p ) dp.

Como ejemplo particular, el valor de expectación de la eneigía cinética es,

2m 2m<!>{p) dp.

Entonces el momento lineal p se trata en forma análoga a la coordenada X . Sin embargo, quedan todavía algunas preguntas por con- tMtar. Si se fya 4>(p), está determinada por la ecuación (3). Pmo también puede presentarse el problema inverso, fijar H x) V determinar <f>(p). Además, la relación única entre y ií»(jc) dad i por (3>, significa que si una de estas funciones está normalizada, no queda libertad para normalizar la otra. Por lo tanto, como una comprobación de la consistencia e interpretación de esta formulación, W debe exigir que al estar normalizada 4>(p) también debe de estarlo ^(x) y viceversa. En el ejemplo dado por las ecuaciones (4) y (5), se puede verificar que este requisito se cumple. Recordando que i|p(jí) está normalizada si Icj *= I/V2A/), de (4) se obtiene que,

3 6 MOMENTO LINEAL

í^*4, àp =fw+ip

oo- ví/p = 1 ,

y también está normaliz-ada. Naturalmente, es necesario demostrarlo en general y no únicamente para ejemplos particulares.

Para contestar a estas preguntas y a otras semejantes se hará, a continuación, una breve digresión matemática sobre las propiedades de las integrales de Fourier, que así se llaman las integrales que tienen la forma de la ecuación (3).

3. TRANSFORMADAS DE FOURIER; LA FUNCION DELTA DE DIRAC ^

Una función /(^ ) que sea celularmente continua en el intervalo ~ir ^ 0 7T, puede representarse por una serie de Fourier. AJ escribir esta serie en forma exponencial se tiene que.

A O ) = 2 ^ ”

donde

r mJ -it

de

Substituyendo e por ‘irx/L se obtiene,

f(x) = ¿

Ì1 próximo paso será considerar el límite de estas expresiones cuandol tiende a infinito. Para ello se escribe,

ka = nirlL

M. = A„+, -k „ = TTÍL

por lo tanto,

’ambién se escribe,

= nák.

A„ - ( i l D V ^ g { k „ ) = ( I / / . ) V ^ g ( n M ) .

V erlas referencias del [6] al [13] en la lista dada en el Apéndice II.

TRANSFORMADAS DE FOURIER; LA FUNCION DELTA DE DIRAC 37

Reuniendo estas expresiones se tiene que,

\íñ ¡ 2

fí'= V TTÜ ^ fix)

y haciendo que L - * ’ , tal que A A O y hA A: se obtiene que,

1fix) = s ( ¿ ) Í'*' í/ ·

( 11)

utilizando la definición elemental de integral como ei límite de una suma. La pareja de funciones/(x) y g{k \ relacionadas simétricamente por dichas expresiones, se llaman transformadas de Fourier una de otra y las expresiones ( 1 1 ) se llaman representaciones integrales de Fourier.

La ecuación (11) especifica cómo calcular/(Jc) si se conoce (fc) y viceversa. Como a fe c to interesante de dichas relaciones puede considerarse una función arbitraria/(;c) suponiendo queg(fc) puede calcularse de la segunda ecuación de (11). Substituyendo la expresión de ^(/í) en téiminos áef(x) en la primera ecuación, se obtiene que

d k eSkx f ix ') dx’.

donde jc ' es una variable muda de integración en la representación integral de g{k). Suponiendo válido el intercambio en el orden de integración, el resultado se pude escribir como,

f i x ) = J’°^dx'fix')S(x-x'), (12)

donde se ha introducido la abreviación.

S(jc-;r'> e^^-^ ‘ d¡i. (13)

iS MOMENTO LINEAL

La función S(jí - jc') la introdujo Dirac por primera vez y se llama la ^unción delta de Dirac.^ Ya q u e /^ t) es arbitraria en un intervalo nuy amplio, la función delta tendrá propiedades muy particulares. Estas propiedades se obtienen de la ecuación ( 1 2 ); al integrar a todo íl espacio el producto de una función / por la función 8 , se obtiene x)mo resultado el valor d e / e n el punto donde el argumento de la 'unción 6 se anula. Dicho de otra manera, 6 (2 ) selecciona en la integración únicamente el valor de f(z) en el punto z = 0. El comporta- Tiíento d e /(z ) es irrelevante fuera de dicho punto, por lo cual se concluye que 8 (z) se anula en todas partes excepto en el punto z = 0. Eni = O resulta muy grande pero de tal forma que permanece integrable. Este último resultado se concluye explícitamente al escoger f ix) co- 710 constante, por lo cual, de la ecuación ( 1 2 ) se obtiene que.

S ( x - x ’ ) d x ' = l . (14)

;s decir, que la integral de una función 8 está normalizada a la unidad/

Resumiendo, las propiedades básicas de la función 8 de Dirac están Jefinidas por las ecuaciones (14) y (12), siendo (13) su representación integral de Fourier. Algunas propiedades útiles son las siguientes:

S ( - jt) = 6(jf)

o 5 (± ííJ r) = S (jc ), a > 0

ó{x^ [ 0 {x - a ) -H 0 { x + a ) ]

(15)

(16)

(17)

Cambiando x - x' por z y k por y, la definición de la delta puede escribirse como,

S (i ) ■ dy .

Esta expresión significa que, por ejemplo, en analogía con la ecuación (13) se tiene que,

= íí«r.

* Una versión diferente puede construirse como agüe. Considérese la ecuación (12) para x fi* ja, por ejemplo, x ~ h y q u e /(x ) se altere por una cantidad arbllraria i)(^>en la vecindad infinitesimal de un punto cualquiera a 7 b. El miembro izquierdo de la ecuación (12) no cambia, permaneciendo igual a f{b) y, por lo tanto, la contribución adicional del miembro derecho debe de ser cero. Esto implica que S(í» - * )= O, i) # a ,lo cual concuerda con las conclusiones anteriores. Podría ayudar al lector a visualizar las propiedades de la fundón-S si se la considera como el límite de una función de buen comportamiento con un máximo bien definido como por ejemplo una función gausiana, que se discute en los problemas.

ESPACIOS DE CONFIGURACION Y DE MOMENTO LINEAL

, </6 U - a ) , dfj { x ) ------ =dx dx

39

( 18)

La demostración se dejará para los problemas.Finalmente, es útil mencionar el teorema de convolución. Si

y ft (j:)son funciones arbitrarias, con transformadas de Fourier g,(A) y giik) respectivamente, este teorema establece que,

fÁx) fÁx)dx = j Á k ' ) g Á k - k ’) dk ' . (19)

La demostración no es difícil y resulta ser un ejercicio instructivo en la manipulación de integrales de Fourier. Si se substituye/i(a) y f^ix) por sus representaciones integrales de Fourier, resulta que

dx e-*>‘ M x)M x) ^ d k ' g,{k') e'“'^

X í dk" g^ik")

Como en el miembro derecho la dependencia de x es explícita, intercambiando el orden de integración y calculando primero la integral sobre x se obtiene que.

dx M x ) f 2 Íx) = dk' dk" g,ik')g,{k")

2vdx e

El último factor es 8 {A" — k + k ’) de acuerdo con (13). Finalmente, calculando la integral sobre A:" se obtiene el resuhado. Como caso particular se tiene que,

f*{x)f{x) dx = g*{k)g(k) dk. (20)

Ejercicio 2. Demostrar'la ecuación (20).

4. ESPACIOS DE CONFIGURACION Y DE MOMENTO LINEAL

Ahora, es posible establecer una relación precisa entre funciones de onda en el espacio de configuración «(»(x) y funciones (p) en el espacio de momentos. De la ecuación (3) se tiene que.

4 0

<Í<U) =

MOMENTO LINEAL

1

VSttA . ■

mientras que de la ecuación ( 1 1 ) se tiene que,

(Íí{a:) dx. (21)

Unicamente en un sistema de unidades en el cual ft = 1 , «í» es la transr formada de Fourier de 4·. En general,

4>{pth) = V ft if>{p)

es su transformada, siendo p/h = 2 n- ¡k = k donde k es el número de onda reducido. Con esta identificación, y haciendo/ = »(< y ^ =VK\<f>, de la ecuación (2 0 ) se obtiene que,

/ dx=^ ¡ *<í> dp

y se satisface la condición de que >íf y sean normalizables simultáneamente.

Hasta aquí se han establecido dos representaciones equivalentes, o bien, dos formas de escribir una función de estado, una en el espacio de configuración y otra en el espacio de momentos. Ninguna de ellas contiene más información que la otra ni ninguna distinción especial. Juntas, permiten tratar la posición y el momento lineal sin ninguna preferencia como variables dinámicas.

5. OPERADORES DE POSICION Y DE MOMENTO LINEAL

Dada una función de estado tíi(jc), ya se conoce cómo calcular valores de expectación de cualquier función de la posición o de cualquier función de momento lineal. En el último caso, es necesario calcular la función de estado en el espacio de momentos, es decir, hacer la transformación al espacio de momentos. Claramente, el procedimiento es ineficiente y largo, por lo cual convendría desarrollar un método para poder calcular valores de expectación del momento lineal directamente de i|»(a:). La técnica establecida hasta ahora no permite calcular valores de expectación de funciones mixtas de la posición y del momento lineal, como por ejemplo el momento angular.

Para resolver este problema se parte de la ecuación,

(/>) = / 4>*iP)P<f>iP) dp.

Usando la ecuación (21) se expresa <p(p) y &n términos de ((((jc) y (í<*(jc) respectivamente, obteniendo que,

OPERADORES DE POSKION Y DE MOMENTO LINEAL 41

ÍP ) = ^ / / / d p d x d x ' p ^ ( x ) ^ (2 2 )

Como la dependencia de p es explícita se puede hacer primero ta in* legración sobre p. La integración resulta muy simple si se elimina el factor p en el integrando. Para elio se usa el hecho de que,

(23)

como se puede verificar fàcilmente hadendo la diferenciación indicada en el miembro derecho. Substituyendo este resultado en la ecuación (2 2 ), se obtiene que,

) = ^ / X / d p d x dx' <¡,{x) ^ .

A continuación se integra por partes respecto a x . El término integrado es proporcional al valor de ^(j:) en infinito y por lo tanto es cero para funciones de estado físicamente aceptables porque tales funciones se anulan en infinito. Entonces, el resultado de la integración por partes resulta ser,

(P ) = ; / / dp dx dx' 7 ^ ·

Ahora, es fácil integrar respecto a p obteniéndose que,

( p ) = J J dx dx' S U ' - X)

de donde se obtiene finalmente que,

(p} = f d x r U ) j £ H x ) ^ (24)

También se puede calcular el valor de expectación de p" para n arbitraria. Usando la misma técnica,

( p " ) = f ( ^ * ( p ) p ”4f(p) dp

12 v h

o bien,

42 MOMENTO LINEAL

(p'‘> = ^ Í Í S dpdx'dxrix') ^ U ) ( - f (25)

donde, en el último paso, se ha usado la siguiente generalización de la ecuación (23):

pH- m

-ipxfñ

La integración por partes de la ecuación (25) respecto í x , repetida n veces, da como resultado

(P"> = ¿ / / / d p dx' dx r i x ' ) 'í'W ·

ya que el término integrado siempre se anula. De la integración sobre p resulta el factor Inh 6 (x ' - x ) y de la integración sobre x 'se obtiene el resultado final,

<p") = / ííj; ^(jf) = / ííx (27)

Para generalizar este resultado se considera una función que pueda desarrollarse en serie de potencias de p. Obviamente, al generalizar el argumento anterior, se puede escribir que,

«í'*(jt)/(f j ^ ) ^ i x ) d x . (28)

De este resultado se pretende obtener una conclusión importante y fundamental, y por esta razón es necesario aclarar perfectamente su significado. Por hipótesis, f{p) puede expresarse en serie de potencias de p como

ñ p ) =Xn

Entonces la ecuación (28) puede expresarse como,

</ (p)) = X<í«<p") .n

donde cada término puede calcularse usando (27). Este procedimiento no es útil o práctico al tratar con funciones complicadas del momento; sería mucho más sendllo transformar al espacio de momentos. Además, en el caso de funciones que no puedan desarrollarse en

o p e r a d o r e s d e POSICION Y DE MOMENTO LINEAL 4 3

serie de potencias, este último procedimiento es ei único método a seguir.

Por ahora, el tratamiento será más formal que práctico. La ecuación (28) se puede escribir en la forma siguiente.

i ñ p ) ) = ^ * { . x ) f { p ) ^ { x ) dx . (29)

entendiéndose que el momento lineal p en el integrando debe de reemplazarse por el operador diferencial {ñ¡i)d/dx que opera sobre la función >}f{x)que se encuentra a su derecha. Esta substitución se puede expresar en la forma siguiente; en el espacio de configuración, el momento lineal está representado por la operación de diferenciación multiplicada por A/í,

(30)

lo cual significa que,

(31)

y en general,

(32)

Este argumento parece establecer que la interpretación deí momento lineal como operador diferencial en el espado de configuración es válida únicamente cuando se refiere al cálculo de valores de expectación, es decir, nada más en expresiones tales como (29). Esta interpretación puede extenderse aceptando la ecuación (30) como una afirmación general, cuyo contenido operacional expresado por (31) y(32) es independiente del cálculo de valores de expectación. Esta generalización es conceptual pero muy útil, aunque es necesario recalcar que no implica ninguna suposición física adicional. Este hecho se concluye debido a que todo observable o consecuencia medible de la mecánica cuántica, se expresan en términos de mtegrales sobre funcionales cuadráticas de la función de estado, ilustrado por (29).

Hasta ahora la atención se ha restringido a las propiedades del momento lineal en el espacio de configuración. Pero, ¿qué se puede decir acerca de las propiedades de la posición en el espacio de momentos? Calcando los argumentos expuestos anteriormente, se puede

4 4 MOMENTO LINEAL

demostrar que ta posición puede representarse en el espacio de momentos por el operador de diferenciación en dicho espacio multipU- cado por (-A/O, o sea.

i dp(33)

Ejercicio 3. Partiendo de,

i x ) = ! dx

y usando la ecuación (3) para expresar »/»(x) en función de <í>(p), deducir la ecuación (33).

Este resultado significa que, en completa analogía con el espacio de configuración, se puede escribir

(34)

y en general.

y, por lo tanto, en el espacio de momentos,

{ f ( x ) ) = í 0*(p)/( )< (p) d p = í ^*(p)/(-y^)<í*(p) dp.

(35)

(36)

En forma general, se pueden establecer estos resultados diciendo que en mecánica cuántica las vm'iables dinámicas no son números sl· no que están representados por operadores que se aplican a funciones de estado. La forma particular de los operadores depende de la representación. En el espacio de configuración, la variable de posición es precisamente el número x, y la variable de momento lineal es el operador diferencial (30). Recíprocamente, la variable de posición en el espacio del momento lineal es el operador diferencial (33) y la variable del momento lineal es un número. Estos resultados se resumen en la Tabla L

OPERADORES DE POSICION Y DE MOMENTO LINEAL 4 5

RepresentaciónVariable Dinámica

Posición Momento lineal

Espacio de posición je k ± i dx

Espacio de momentos_ h ±

i dp P

TABLA l Representación de los operadores de posición y momento lineal.

Para la caracterización de las variables dinámicas bajo el punto de vista cuántico ha sido necesario introducir el concepto de operador. Estas entidades se encontrarán con mayor frecuencia en el desarrollo posterior de la teoría. Antes de proseguir es conveniente resumir sus propiedades más importantes.

Cualquier regla o receta por la cual se cambia una función en otra, se llama una operación y la representación abstracta de este proceso se define como un operador. Simbólicamente se escribe como,

Af(x) = gix), (37)

donde el operador A está definido sobre cierta clase de funciones si g está determinada para toda / e n esa clase. Puede parecer compUcado pero no es más que una formalización de lo que se acostumbra a hacer. Quizás se aclare con los ejemplos de la Tabla IL

Operación Ecuación (37) Representación simbólica

Multiplicación por 3 A f - 2 f A = 2Multiplicación por A f = A - fDiferenciación A f = d f ! d x A ^ d l d xElevar al cuadrado A f = f ì A = 1Conjugación com p ila A = .

TABLA n. Ejemplos de operaciones y operadores.

Ei miembro izquierdo de la ecuación (37) se parece a un producto aunque no lo es, pues sería un producto si A fuera un número o una función de x, real o compleja. Además existen operadores perfectamente bien ílefinidos aunque no tengan una representación convencional o simbólica, como los dos últimos ejemplos de la Tabla IL

Los operadores de la mecánica cuántica son operadores lineales, o sea, operadores tales que,

.1 ^

46

A { f + f ^ ) - - A j \ + A f , .

MOMENTO LINEAL

(38)

Todos los operadores de la Tabla II son lineales excepto el de elevar al cuadrado. Que el operador de elevar al cuadrado no sea lineal se sigue del hecho de que,

/ ! ( / . + / . ) - + 2 / . / ^ + / / ,

que es diferente de la operación,

Frecuentemente se tendrá que tratar con secuencias de operacio* nes, las cuales operan una después de la otra. Por ejemplo, se encontrarán casos en los cuales un operador B opera sobre una función y sobre el resultado opera el operador A. El resultado neto define el nuevo operador C. Entonces, se puede escribir que,

(39)

Se acostumbra omitir el paréntesis de la derecha y expresar esta relación en la forma,

C f = A B f ,

que implica la relación entre operadores

C = AB,

donde a C se le llama el producto de y B, recalcando que el significado de este producto está expresado por la ecuación (39). El cuadrado de un operador es un caso especial del producto. Productos de más de dos operadores o potencias de operadores, se definen por la aplicación sucesiva de la regla del producto. Por ejemplo.

C = A ^ A i A n

es el resultado de operar primero con A„ , después con /4„_, y así sucesivamente hasta llegar a operar con A i .

Para dar algunos ejemplos concretos, sea A la multiplicación por y 5 la diferenciación respecto a x. Entonces,

dx

RELACIONES DE CONMUTACION 47

El orden de los operadores en un producto determina el orden en el cual estos operadores deben de operar. En general, el resultado dependerá de este orden, o sea que,

AB # BA

por lo que el álgebra de operadores es no conmutativa, contrastando con el álgebra de los números ordinarios que sí lo es. Para los operadores anteriores A y B,

B / í / =

que es diferente de ABf. Análogamente, si C es el operador de conjugación compleja, entonces,

ACf =e' ^f *{x)

pero,

C A f = e - ' ^ f * { x ) .

Por otra parte, para los operadores 5 y C definidos anteriormente, se concluye fácilmente que el orden de los operadores es indiferente y por lo tanto,

B C = C B ,

Entonces, se dice que estos operadores conmutan entre sí o son mutuamente conmutativos.

6 . RELACIONES DE CONMUTACION

Un aspecto importante al considerar las variables dinámicas como operadores, es el hecho de que variables dinámicas indisfinguibles clasicamente, pueden ser totalmente diferentes en la física cuántica. Un ejemplo importante son los productos xp y px. Clásicamente estos productos son idénticos, pero no lo son en la mecánica cuántica, lo cual se comprueba al operar cada producto sobre una función de estado. En el espacio de configuración se tendría que,

,, . A i / ñ eJift

y

MOMENTO LINEAL

londe se obtiene que,

(40)

que 0 es arbitraría se concluye que la diferencia entre px y xp es »perador numérico h/i,

i p x - x p ) = ( p , x ) = J -

a diferencia se llama el conmutador y se ha introducido una nota-1 para representarlo. De modo que si A y B son operadores arbi- ios su conmutador se define como.

iA,B) = A B - B A ^ - { B , A ) . (41)

contraste con la multiplicación ordinaria, la multiplicación de va- >le dinámicas en la mecánica cuántica es no conmutativa, ís instructivo examinar el conmutador de p y x en el espacio de mentos. Se tiene que,

d , f t , h d é

" ( ” 7 “ 7 ' ’ d p '

donde

( p , x ) 4 > ^ {px - xp)4> = j <t>.

que 4» es arbitraria también se concluye que,

(p , j f ) = fi /í .

lunque las expresiones para p y x dependen de la representación, comnutador es independiente de ella. La relación de conmutaciónI) puede tomarse como la relación fundamental entre las propie- tes de las variables dinámicas que representan a la posición y ¡al mentó lineal en la mecánica cuántica. La constante h interviene no la medida cuantitativa de la no conmutatividad. En el límite sico ft podría tomarse como cero, recobrándose entonces la con- tatividad.

EL PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE 4 9

Es fácil generalizar la relación (40) a funciones de variables dinámicas. Por ejemplo, se puede considerar [p, /(:c)] para f (x) arbitraria. Se obtiene que,

(4 2 )

que se comprueba fácilmente en el espacio de configuración. Análogamente,

(43)

que se comprueba fácilmente en el espacio de momentos. Por otra parte,

[p,f{p)] = = 0 (44)

de donde se concluye que, si/(x , p ) es un operador bien definido/

(45)

y que.

(4 6 )

Estas últimas expresiones son equivalentes a

(4 7 )

en el espacio de configuración y a

/{Jr,í') = / ( - T (48)

en el espacio de momentos.

7. EL PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE

La propiedad no conmutativa de los operadores en mecánica cuántica, de la cual se h’an estudiado algunos ejemplos, tiene un significa-

Por opeiadoi bien definido se entiende un opetadoi para el cual el orden de los elementos no ínmutativos en su desanollo en serie de potencias están especificados sin ambigüedad para cada término.

50 MOMENTO LINEAL

do preciso en función de observaciones y mediciones. La especificación de una función de estado particular, implica que el sistema estudiado ha sido preparado mediante una secuencia de observaciones. Medir el valor de una variable dinámica es equivalente a operar sobre la función de estado con el operador que representa a esta variable. En general, bajo el punto de vista cuántico, una medición provoca perturbaciones en el sistema observado. Por lo tanto, la medición de la propiedad A no proporciona necesariamente el mismo resultado si se lleva a cabo después de medir la propiedad 5 o se reaüza previamente a ésta, ya que la perturbación provocada al medir B puede causar cambios en el valor de .4. En este caso, A y B no conmutarían, pero sí conmutarían si no hubiera interferencia.

El principio de incertidumbre se refiere precisamente a la interferencia provocada por la observación. Más adelante se establecerá una relación general entre ta incertidumbre mutua de parejas de observables y su conmutador. Por ahora, se discutirá cualitativamente este principio al estudiar la determinación simultánea de las variables de posición y momento lineal.

Al comienzo de este capítulo se aclaró que la función de estado «(> 1 definida por (1), que describe a una partícula con momento lineal definido, no contiene información acerca de la localización de la partícula. Para describir a una partícula localizada fue necesario construir un paquete de ondas. De la forma de la ecuación (3), la cual representa dicho paquete, se deduce que el momento lineal no está definido con precisión sino que está distribuido en un intervalo de valores fijado por la estructura de 0(p). Este comportamiento, en el cual una de las variables (p o x ) está poco definida a cambio de que lo esté la otra, es un resultado general que se estudiará brevemente.

Como ejemplos, se discutirán dos casos particulares de paquetes de ondas.

(a) Paquete de Ondas Cuadrado. Como primer ejemplo se conside- derará el paquete de ondas cuadrado y normalizado deíínido por.

= 0

1x1(49)

1x1 > L,

que es parte de una onda plana correspondiente al momento lineal p*, de longitud 2L y centrada en el orfeen. De acuerdo a la ecuación (21) se obtiene que.

iV i l

dx

EL PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE 51

o bien,

*(p) = v w ï t » " l í p . - p w « !Pí)~ P

y además de que.

(50)

(51)

cuya gráfica se muestra en la Figura 2. Como se indica en la figura, ta

Figura 2, Distribución de momentos de un paquete de ondas cuadrado,

altura del máximo principal, centrado enp« , es proporcional a i y la anchura es inversamente proporcional a El área bajo la curva es independiente de L y a proximadamente igual a uno. Entonces, un paquete de ondas que localiza a una partícula en un intervalo Ax = 2L localiza al momento lineal en un intervalo Ap = hvjL. Por lo tanto AjcA p es del orden de y es independiente de L. Para L grande, el momento lineal resulta estar bien definido y la localización espacial es muy pobre, y viceversa para L pequeña, pero de tal manera que la incertidumbre en x por la incertidumbre en p es siempre del orden deh.

(b) Paquete de Ondas Gausiano. Como segundo ejemplo se considerará el paquete de ondas gausiano,

*Íi(jí:) = V 1/ L V ^ exp h IL ^y(52)

que está normalizado y describe a una partícula localizada en tomo al origen en un intervalo de longitud L y con momento lineal promedio Po· Usando las técnicas del Apéndice I, resulta que este paquete está dado por.

0(p) = V £ ,/ftv ^ e x p [ - ( p - p o ) * L W ] , (53)

* La altura del tnixim o prindpal se obtiene tomando el li'mite de (51) cuando {p - Po) tiende a ceio. La anchura se obtiene localüuuido el primer oero de la función seno que se encuentra al tom ar su argumento el valor de v .

52 MOMENTO LINEAL

que también es gausiano, de anchura inversamente a L. Además, el momento lineal se encuentra localizado en un intervalo de longitud h¡L centrado en po · De nuevo, el producto de las inoertidumbres es del orden de h.

Ejercicio 4. Calcular {x) y ip ) en el espacio de conf^uración y el de momentos para el paquete de ondas cuadrado (ecuaciones (49) y (5 0 » y p a ra e l paquete de ondas gausiano (ecuaciones (52)y (53)).

Se ha demostrado que la relación entre las anchuras de un paquete de ondas en el espacio de configuración y en el espacio de momentos son aproximadamente las mismas para los paquetes de onda cuadrado y gausiano. A continuación se comprobará que este resultado es general, examinando un paquete de ondas general que puede escribirse como.

Mx) =/(-v) (54)

Se supone que f (x) es real y que es una fiinción de x sin variaciones bruscas, de anchura L, centrada en el or^en. También se supone que fp está normalizada, es decir que.

í: P(X) d x = l.

Se verifica fácilmente que para este paquete el valor de expectación del momento es Po-

Ejercicio 5. Verificar que (p ) = p* para el paquete de ondas de la ecuación (54).

De acuerdo a la ecuación (21), la función de estado en el espacio de momentos para este paquete de ondas es,

4>(p)

Por hipótesis, / ( x ) es una función sin cambios bruscos, centrada en el origen en donde tiene su máximo y cuya anchura es L . Esto significa que la contribución principal a la integral proviene del dominio

Ul ¿ . Entonces, si

{po ~ p )

el argumento de la exponencial es despreciable en el dominio de integración y 4>ip) será aproximadamente constante y proporcional al área bajo la curva/(x). Al crecer (p« - p), la exponencial comienza a oscilar, llegando a oscilar rápidamente en el dominio efectivo de integración, resultando que la integral y por lo tanto son muy peque- ñas. La frontera entre los dos comportamientos está fyada por,

ip o -p ) Llk = 1,

que determina cuándo empieza la oscilación. En otras palabras, cuando se satisface la condición anterior, 4>(p) comienza a decrecer rápidamente desde su valor máximo en p = po. La anchura del paquete de ondas en el espacio de momentos será aproximadamente,

Ap = hlL.

Pero la anchura en el espacio de configuración Ax es igual a L y por lo tanto,


(55)

si / (x) es una función sin cambios bruscos.También puede suponerse que /(x ) tiene cierta estructura, o sea,

que tiene ciertos cambios bruscos. Entonces, (po - p) tiene que ser mayor que antes para que la exponencial oscile rápidamente dentro de la distancia que caracterice a dicha estructura y <f>(p) comience a decrecer. Por lo tanto, la anchura Ap del paquete de ondas en el espacio de momentos resulta mayor y la ecuación (55) representa el mejor resultado que se puede obtener, o sea que en general

ApAx > ft. (56)

Más adelante se definirá con precisión lo que se entiende por Ax y Ap y se obtendrá una desigualdad precisa. Por ahora, se considerarán dichas cantidades como una medición razonable de las anchuras de un paquete de ondas en ambos espacios.

La interpretación física de esta relación matemática trivial es la siguiente. Si una partícula se encuentra localizada en cierta región Ax sin importar el significado, entonces, su momento lineal se encuen-

54 MOMENTO LINEAL

tra localizado en Ajt), y viceversa. En otras palabras, la posición y el momento lineal de una partícula no pueden conocerse (determinarse o medirse) simultáneamente con precisión arbitraria, sino dentro de los límites fijados por (56), siendo ésta una versión matemática no muy precisa del principio de incertidumbre, enunciado por Heisenberg. Este principio demuestra que las trayectorias clásicas no tienen un significado preciso en el dominio de la mecánica cuántica.

En general, la relación de incertidumbre se cumple entre parejas de variables dinámicas canónicamente conjugadas o complementarias. Como segundo ejemplo podría tomarse el siguiente: si se mide la energía de un sistema con incertidumbre el tiempo al cual se refiere esta medición tendrá una incertidumbre Ai tal que.

A£Aí > h. (57)

Para medir la energía de un sistema con mayor precisión se emplea un tiempo mayor. Un aspecto importante de este resultado es la información que suministra acerca del decaimiento de estados excitados. En particular, la vida media y la anchura en energía de estos estados están relacionados por la ecuación (57). Para un ejemplo, ver la Sección 3 del Capítulo VIL

De la discusión anterior se concluye que las relaciones de incertidumbres se obtienen automáticamente en mecánica cuántica. Interpretándolas como mediciones, estas relaciones son consecuencia de la transferencia incontrolable de energía y momento lineal que inevitablemente ocurre durante el proceso de observación entre al aparato de medición y el sistema cuyas propiedades se miden. Como ejemplo puede considerarse la determinación de la coordenada y de una partícula mediante una rendija (Figura 3). Si la rendija tiene abertura ¿ , = L, el patrón de difracción obtenido tendrá anchuraangular $ - \jL ~ hlp^L = h!pa¡íy. La incertidumbre en la componente y del momento lineal es Ap„ = p« sin 0 -■ p«B. Por lo tanto Apu^y = h, de acuerdo con el principio de incertidumbre. Un segundo ejemplo consistiría en la localización de una partícula mediante un microscopio. Para localizar una partícula en una distancia Ax, la longitud de onda de la luz usada en la observación tiene que ser del orden de* < Ajc. Entonces, el momento del fotón sería del orden de p > ft/Ax. La partícula se ve debido a que dispersa o absorbe el fotón y el momento lineal transferido en el proceso de dispersión es del orden h¡£íX, según lo exige el principio de incertidumbre.’

’’ Paia una discusión detallada de éste y otros ejeiMplos, véase U RefeiencU [18].

p»·

f

Figura 3. Localización de una partícula mediante una rendija.

Como se hizo notar anteriormente, es importante reconocer que el principio de incertidumbre es parte importante de la mecánica cuántica, así como consecuencia de ella. La violación a este principio nunca se presenta en mecánica cuántica, y si ésta es correcta en su forma actual, el principio de incertidumbre es una consecuencia necesaria. Este principio es muy útil para entender las propiedades cuánticas de un sistema. Para sistemas muy complicados, cuya solución exacta o completa no es posible obtener, el principio de incertidumbre permite decidir si ciertos efectos existen o no.

Como ejemplo se puede considerar el caso de una partícula confinada por un potencial atractivo V(r) en una región de radio a. Para cada una de ais coordenadas, la incertidumbre en la posición es del orden de a y, por lo tanto, Ap = hja. Como el momento promedio es cero, este resultado es del orden del momento lineal y, por lo tanto, la energía cinética promedio de la partícula< T>no puede ser menor que . La energía potencial promedio (K ) es del orden deV{d). Entonces, la energía total E está dada aproximadamente por.

E{ a ) = { T ) + { V )2 nta^

Via). (58)

Se observa en esta ecuación una competencia muy clara entre la energía cinética y la energía potencial, cuyo origen es cuántico. Si decrece, la energía potencial decrece para interacciones atractivas, pero la energía cinética siempre crece. Una estimación vaga de la energía mínima posible del sistema o energía del estado base, se obtiene dife-

56 MOMENTO LINEAL

rencìando la ecuación (58) respecto a a e igualando el resultado a cero. Como caso particular, se puede considerar el àtomo de hidrógeno donde el potencial de confinamiento es el potencial culombiano ( - e*/r). Entonces, la energía total es,

2 ma^£.a

Se encuentra fácilmente que esta expresión tiene su valor mínimo en a = h^lme^ que es precisamente el radio de Bohr y la energía mínima será i—me*¡7^^) que corresponde al valor correcto de la energía del estado.' La sola existencia de un estado base explica la razón de que los átomos no sufran un colapso, como lo predeciría la mecánica clásica. Debido a que la energía tiene un valor mínimo absoluto, el átomo no puede perder energía por radiación o por otros mecanismos y el sistema es estable.

Este ejemplo es muy instructivo. Se ha usado el principio de incertidumbre para explicar la existencia de un estado base, estableciendo la existencia y estabilidad de los átomos, con lo cual se tiene un método sencillo para estimar su energía, al menos para el átomo de hidrógeno. Entonces, se puede concluir que con el principio de incertidumbre es posible identificar las características esenciales de un sistema complejo, lo suficientemente complejo como para no poder siquiera formular el problema y menos resolverlo, sino hasta el Capítulo IX.

Problema 1.(a) Considerar la función definida por, ¿ ( a:)

Calcular la integral y demostrar que A(x) tiene las propiedades de 8(x) cuando L

(b) Considerar la función.

A(jr) = J„j

oífcjr-OriJfl dk.

Demostrar que A(j:) se comporta como 5(x) en el límite« ^ 0 .(c) Considerar la función A{x) = /le"·*'*"'*. Demostrar que si ^ se

* La selección aparentemente casual de los fadotes numéiicos al estimar (T) y (V), los cuales están determinados por un factor de dos o más, han sido escogidos paia obtenei las íes- puestas correctas pata el átomo de hidrógeno. Esta pequeña trampa no afecta para nada la naturaleza de los resultados.

escoge apropiadamente, A(x) se comporta como 6(Jt) cuando i»· (d) Demostrar lo siguiente ;

(1 ) h i - x ) = b U ) .(2) dS{±íiA·) = S(jc), a > 0.(3) 6 ( j c * - « ^ ) = ¡ [ S U - a ) + S ( ; t + í i ) ] ^ .

(4) n ^ ñ x ) 0 ' i x - a ) dx = ~ r ( a ) ,

donde el acento denota la diferenciación.

EL PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE

>0.

57

Problema 2. Encontrar k representación en series de Fourier de las funciones siguientes en el intervalo —L < x < L :

(a) A x i - x ·(b) /U ) = W.(c) fix ) = \.(d) =

En el caso (d) comparar el comportamiento de las amplitudes de ía serie de Fourier en el límite aL > l con el comportamiento de la transformada de Fourier de e

Problema 3. Encontrar las transformadas de Fourier de las s i l e n te sfunciones:

(a) /U ) =

(b) f(x} =

(c) f(x) =

Problema 4. Considerar el paquete de ondas,

 = A exp[-(ljíl/Z>) + ip ^ lh ] .

(a) Normalizar tf>.(b) Calcular <fr(p) y comprobar que está normalizada.(c) Examinar la anchura de los paquetes de ondas en el espacio de

configuración y en el espacio de momentos, y comprobar que se cumplen la*s relaciones de incertidumbre.

Problema 5. Usando la representación más conveniente, calculai los conmutadores siguientes:

x , \ x \ < \0 , \x\ ^ i .11 , )x| < 10 , kl 1.1 - \x1, kl < f0 , \x\ ^ 1.

5 8 MOMENTO LINEAL

(a) (P,A·*).(b) ip \x ) .(c)(d) ipKAx)].

[Problema 6. Los operadores A¡, A¡,...yAf, actúan sobre una función arbitraria >l>ix) en la forma siguiente; A, multiplica por A 2

eleva 0 al cuadrado, A^ promedia »/»(Jc) en un intervalo 2 1 centrado en torno a x , ^ 4 subtituyex por x +a,A^ s u b titu y e x p o r-x ,y ^ e d i- ferencia «í» dos veces.

(a) Escribir una expresión para ^ ,4 í(x ) en cada caso.(b) Determinar cuáles son lineales.(c) Determinar las parejas de operadores que conmuten.

Problema 7. Usar el principio de incertidumbre para estimar la energía del estado base de los sistemas siguientes:

(a) Una partícula en una caja de longitud L.(b) Un oscüador armónico de frecuencia clásica w .(c) Una partícula colocada sobre una mesa sometida a la grave

dad.

Problema 8. x<> y p« representan los valores de expectación de x y p para el estado « oOc). Considerar el estado iÍí(jc) definido por

+ Jf).

Demostrar que {x}y(p)se anulan para este estado. ¿Viola este resultado al principio de incertidumbre? Explicar.

Problema 9. Una|partícula de masa m moviéndose en un potencial V{x) se encuentra en su estado base dado por »(<o (x). Suponer cono- :ida »í(o aunque no esté normaliiada.

(a) Dar una expresión para la probabilidad de que la medición 3el momento de la partícula tenga un valor entre p y p -í-dp.

(b) Dar una expresión para la probabilidad de que la medición le la energía cinética T de la partícula tenga un valor entre T y T + dT.

E*roblema 10. Considerar una función de estado real, (/((x) = iÍí*(jc).(a) Demostrar que <p) = 0. ¿Qué valores tienen <p*)y<jc)?(b) ¿Bajo qué condiciones sobre 4f{x) la función <t>(p) es real y

:uál sería el valor de ( jc)?

IVMovimiento de una

partícula libre

l. MOVIMENTO DE UN PAQUETE DE ONDAS; VELOCTOAD DE GRUPO

Hasta ahora se ha estudiado la función de estado de un sistema a un tiempo t fijo, pero a continuación se discutirá la forma en que estos paquetes varían como funciones del tiempo. En este capítulo se considerará el problema más sencillo, o sea, el movimiento de una partícula libre de influencias externas. Como punto de partida se recurre a la ecuación (2) del Capítulo III que establece una descripción general del paquete de ondas de una partícula libre como.

V2Trft . <}>ÍP) exp dp, (1)

donde w(p) todavía es desconocida. Se supone que t/» es conocida en at í = O, cuyo valor inicial »(»(»(x) está dado por,

4>{p) dp . ( 2 )

Entonces, dada el problema será calcular »/»(x, t).Como paso preliminar se considerará el ejemplo de la propagación

sin dispersión (como la propagación de la luz en el vacío), donde w es proporcional p¡h. La constante de proporcionalidad tiene dimensiones de velocidaá y se simbolizará por c. Por lo tanto, en este ejemplo,

0} = cplh = 2irc/X

60 MOVIMIENTO DE UNA PARTICULA LIBRE

y la ecuación (1) resulta ser,

0 U ,/) = dp.

Comparándola con la ecuación (2) se concluye que t) como función de (Jc — cf) tiene la m iana forma que tí»« como función de x. Es decir que,

/) = iíí„(jc - r í) ,

y el paquete de ondas se desplaza hacia la derecha con velocidad c, sin distorsión, independientemente de su forma inicial.’

Volviendo al caso general de to(p) desconocida, no se podría calcular: nada si tníp) fuera arbitraria y se tuviera un paquete de ondas completamente arbitrario, aunque no se necesita particularizar mucho para obtener propiedades esenciales. La primera suposición que puede hacerse es que 0(p) sea un paquete de ondas sin variaciones bruscas, definido en el espacio de momentos, centrado en p« y de anchura Ap. Para recalcar este comportamiento se escribe < {p) en la forma

^(í>) = íf(p - Pu),

donde g es una función sin variaciones bruscas, que cae rápidamente a cero cuando su argumento excede en magnitud a Ap. Esto significa que la contribución principal a la integral de la ecuación (1) proviene de una región de anchura Ap en tom o al punto p«.

En segundo lugar, se supone que w(p) es una función de p, sin variaciones bruscas. Por esta razón, w se puede desarrollar en serie de Taylor en tom o a po,

tü(p) = <w(Po) + i p - p ^ ) ^ + · · ·

donde

(1>0 = «(po)

' El tratamiento de este problema como piapagación óptica se ha ^ p lif ic a d o considerablemente. También se debe de considerar el caso cuando y p tienen signos opuestos, u> — -ep fñ . En ó t^ ca , la propagación de un paquete de ondas, rto está determinado únicamente poi TamÚén se tiene c ue ^ a r dtl>ld t(pc, t - 0). Este hecho es consecuencia deque la ecuación de onda electiomagnetíca es de segundo orden en el tiempo.

MOVIMIENTO DE UN PAQUETE DE ONDAS: VELOCIDAD DE GRUPO

día

61

dpa

~rií'dp /

Introduciendo la variable s =4 ) — se puede escribir la ecuación (1 ) como.

(ftU, r) = y u , /) exp •<o»i

donde f {x, t) es la envolvente del paquete de ondas dada por,

/U , O =1

ds g is ) expIS

V ^ttA j

Entonces, la ecuación (2) resulta ser

^oix) = /oU )

donde/o (x) será la envolvente inicial dada por,

I

(j: — Vgt) — ias^t + ... (3)

/o U ) = /U , í = 0) = ds g{s) (4)\^ 2 irh .

La contribución principal a estas integrales proviene de que s es menor en magnitud que Ap debido al comportamiento que se ha supuesto para g (í). Entonces, si f es lo suficientemente pequeño para que

«(Ap)'*/ ^ I,

puede depreciarse el término cuadrático en s en la exponencial de la ecuación (3), quedando la función envolvente,

ñ x , t) “ ds gis)

Comparándola con la ecuación (4) se nota que, con esta aproximac ió n ,/tx , t) es la misma función de (x - V ) q u e / , lo e sd e x , o sea,

f ix ,i ) = / o ( j f - v„/).

Por lo tanto, se ha demostrado que para t íq, donde

, 1 - 2 ® a(Ap)® iAp)*d ldpo

(5)

(6)

el paquete de ondas viaja sin distorsión con velocidad v„, donde

Vj = háúildpo. (7)

La cantidad se llama la velocidad de grupo de las ondas y representa la velocidad de propagación de un grupo de ondas, o sea, las que forman el paquete de ondas. Esta velocidad debe de compararse con la velocidad de fase, que es la velocidad con la que avanza la fase de una onda armónica pura y dada por Vp - Aío/p«. Para propagación sin dispersión, w es proporcional a p y las dos velocidades son iguales aunque en general son totalmente diferentes.

Es necesario recalcar que este resultado es válido sólo para tiempos pequeños comparados con definido por la ecuación (6). Cuando t excede a U, la exponencial comienza a oscilar rápidamente para s menor que Ap. Cuando esto sucede, el dominio efectivo de integración en p se reduce en tamaño, produciendo un incremento correspondiente en la anchura del paquete de ondas en el espacio de configuración, Este resultado significa que, en general, un paquete de ondas vi^a inicialmente sin distorsión con la velocidad de grupo Vg, que finalmente comienza a desparramarse en el espacio. Más adelante se darán algunos ejemplos.

2. EL REQUISITO DEL PRINCIPIO DE CORRESPONDENCIA

Para obtener la forma cuántica de o)(p) se usará el argumento siguiente. Un paquete de ondas bien definido en el espacio de configuración se desplaza con la velocidad de grupo, Vg, por lo menos durante tiempos cortos. En el límite clásico, esta limitación sobre el tiempo no es importante, o sea, í« tiene que resultar muy grande comparado con los demás tiempos importantes. Suponiendo que se cumple esta condición se ex^e que,

classica!

Entonces, de la ecuación (7),

_ p n

dpo m '

Integrando y suprimiendo el índice en p^, se obtiene,

= £ = (8)

que es la relación de Planck. En cierta forma se ha deducido la reía-

6 2 MOVIMIENTO DE UNA PARTICULA LIBRE

EL REQUISITO DEL PRINCIPIO DE CORRESPONDENCIA 6 3

ción de Planck como consecuencia de toda la formulación anterior y de su interpretación.^

Se observa que la ecuación (8) es arbitraria hasta una constante de Integración, la cual se ha tomado como cero. Está relacionado con el hecho de que se tiene la libertad de escoger el cero de la energía Implicando una libertad análoga en la selección de la frecuencia cuántica. Unicamente tienen sentido físico diferencias en energía y por lo tanto también en frecuencias. *

A continuación se examinará el tiempo íq para el cual un paquete de ondas cuántico empieza a desparramarse apredablemente. De las ecuaciones (6) y (8) se tiene que.

Í0 = (Ap)* (9)

Una forma instructiva de escribir esta expresión es hacer uso de la relación de incertidumbre expresando Ap como fi/Ax, donde Ax es la extensión inicial del paquete de ondas. Entonces,

ImiAxy

Para una partícula macroscópica, por ejemplo para una masa de un gramo, cuya posición está definida en 10“'· cms {1 miera), se tiene que,

ío = 10‘* sec.

La edad del universo es aproximadamente de 3x10 '^ años o bien de 10'® seg. Por lo tanto, el paquete de ondas de una partícula macros

cópica no se desparrama durante un período comparable a la edad del universo. Este resultado establece que las trayectorias clásicas para sistemas macroscópicos no están en conflicto con la mecánica cuántica. Pero, por otra parte, para un electrón cuya posición está definida en 10"® cm.,

ío = 10“'® sec,

y la descripción clásica carece de sentido.

Este a ig i^en to demuestra que la ecuadón (8) tiene que cumplirse en el dominio clááco. A nivel cuántico, se puede su ^ n e r que además intervienen términos adicionales si su contribución es despreciable en el Ifmite tís ic o . Sin em balo , no es difícil demostrar por argumentos dimensionales que para partículas libres no existen estos términos y que la ecuación (S) es única, excepto por una constante aditiva.

Anteriormente se vió que la amplitud absoluta de las andas cuántiicas no tiene significado fideo y abora se concluye que la frecuencia absoluta tampoco lo tiene. El contraste con Us ondas clásicas es sorprendente y to ta l

Es posible dar una interpretación física simple del tiempo to. La velocidad de grupo para la propagación de una onda de de Broglie es p/m. En un tiempo dos segmentos de un paquete de ondas que difieran en momento lineal por una cantidad Ap/2, diferirán en distancia recorrida por una cantidad de Aptjlm . Cuando esta distancia sea comparable con la anchura áx del paquete inicial, la anchura de éste empezará a crecer apreciablemente. Por lo tanto, los paquetes empiezan a desparramarse cuando el tiempo toma el valor to definido por,

Ap’

que es la ecuación (9), Este argumento impUca que cuando un paquete de ondas empieza a desparramarse, lo hace con una rapidez lineal en el tiempo. Más adelante se comprobará este resultado.

3. PROPAGAaON DEL PAQUETE DE ONDAS DE UNA PARTICULA LIBRE EN EL ESPACIO DE CONFIGURACION

Al identifwar <a(p) como se hizo anteriormente, la ecuación (1) se puede escribir como.

1exp

ipx ip^í h Intñi

(10)

que es una representación general de la función de estado dependiente del tiempo para la partícula Ubre. Si »(toOc) = 0(x, 0) está determinada, también lo estará ^(p) de acuerdo con (III-21), o sea, mediante,

1/ > «

Ahora, se puede expresar ^ ( j:, /) en términos de su valor inicial substituyendo la expresión anterior en (10), dando como resultado que,

^(x, t)1

lirti J J 'y p d x · iffo(x') exp i p ( x - x ' ) ip^th 2 mh

Como la dependencia en p es explícita, al invertir el orden de integración se puede escribir como.

M x ' , 0 ) K(x' ,x; t) dx', (11)

PROPAGACION DEL PAQUETE DE ONDAS DE UNA PARTICULA LIBRE , ,EN EL ESPACIO DE CONFIGURACION 6 5

donde K está dada por,

l-nh exp ip(x — x') _ ip t k Imh

(12)

Esta integral se puede calcular usando los métodos del Apéndice I, obteniendo que

K { x \x - , t) = V m l i l m h t ) exp [ i { x - x ' Y m í l h t ^ . (13)

La ecuación (11) establece un resultado muy importante, cuyo análisis se hará con cierto detalle. La función de estado inicial \ 0) especifica la amplitud de probabilidad de que la medición de la posición de la partícula resulte j : ' at í = 0. La función de estado »(»(x, /) especifica la amplitud correspondiente en x al tiempo t. La ecuación(11) establece cómo se encuentra esta última a partir de la función de estado inicial, mediante la función intermedia K. Esto implica que K puede interpretarse como la amplitud de probabilidad de que la partícula se propague al punto x durante el intervalo t, cuando originalmente se encontraba en x '. La función K se llama el propagador, y para este caso particular se llama el propagador de la partícula libre. Con esta interpretación, todo el proceso puede describirse de la siguiente manera: la amplitud inicial para encontrar la partícula a:', multiplicada por la amplitud de propagación de x ' a jc en el intervalo t y sumada sobre todas las x ', dará como resultado la amplitud para encontrar a la partícula en x. Este es el significado físico de la ecuación (U ).

Las propiedades generales del propagador de la partícula Ubre no son difíciles de establecer. De (12) o de ( 13) se deduce que,

K{x',x\Qi) = h { x - x ' ) ,

lo cual significa que, para intervalos de tiempo infinitesimales, la amplitud de propagación a cualquier punto jc es despreciable excepto para puntos en la vecindad de x. Al pasar el tiempo, K se desparrama y las contribuciones provienen de intervalos (x - x O cada vez mayores."

Las ecuaciones (11) y (13) establecen una solución completa, general y explícita del problema del movimiento cuántico de una partícula libre. Es análoga al problema clásico correspondiente,

x = Xo + potim.

* Hay que hacer notar que la amplitud es finita para puntos lejanos, aunque pequeña, aún para intervalos de tiempo cortos. Esto refleja el carácter no relativista del tratamiento. El propagador relativista se anula fuera del cono de luz.

66 MOVIMENTO DE UNA PARTICULA LIBRE

Si el Único interés fuera el estudio de la partícula Ubre, no habría nada más que decir. Sin embargo, la intención es establecer el camino para generalizaciones posteriores como el movimiento de una partícula sometida a influencias externas. Cuánticamente, todavía falta dar el paso de la primera ley de Newton a la segunda.

4 PROPAGACION EN EL ESPACIO DE MOMENTOS DEL PAQUETE DE ONDAS DE UNA PARTICULA LIBRE; EL OPERADOR DE ENERGU

A continuación, se discutirá en el espacio de momentos la evolución en el tiempo del paquete de ondas de la partícula libre. Para este propósito, se define !a dependencia temporal de las funciones de estado en el espacio de momentos /) escribiendo la generalización

t) = 1 dx. (14)

Naturalmente t juega el papel de un parámetro, el cual se tomó como cero en la discusión anterior. Dicho de otra manera, < {p) es sencillamente t = 0 ) . Entonces, por el teorema integral de Fourier se tiene que,

1

V2ÏrÂ j ■Comparando esta expresión con (10) se concluye que,

M p , í ) = 0 (/7) t = 0)

(15)

(16)

y.

p ( p , í) = |^ (p , O P - |<A'(p)l* = I = 0 ) .

En otras palabras, únicamente cambia en el tiempo la/ase del paquete de ondas de la partícula Ubre en el espacio de momentos. densidad de probabilidad es independiente del tiempo o estacionaria y, por lo tanto, el valor de expectación de cualquier función del momento es también independiente del tiempo, resultado que no es sorprendente. Se están considerando estados de una partícula libre y, en este caso, clásicamente, el momento lineal es una constante de movimiento. Debido al principio de correspondencia, el momento lineal de una partícula libre también debe de ser una constante de

PROPAGACION DEL PAQUETE DE ONDAS DE UNA PARTICULA LIBREEN EL ESPACIO DE MOMENTOS; EL OPERADOR DE ENERGU 0 7

movimiento en la mecánica cuántica, y así ha resultado.Se ha recalcado que el valor de expectación de cualquier función

del momento es sencillo para la partícula libre. Como ejemplo particular y muy importante, se puede tomar la energía £■, o sea p^¡2 m. Entonces,

<£> =

De la ecuación (16) se obtiene que,

y, por lo tanto, esta expresión puede escribirse como.

_ h d<f>{p, i) i dt

dp.

Además, para cualquier función f (E \ sí el argumento anterior se generaliza, se puede escribir que,

= dp. (17)

Ya que ip,t) es una función de estado arbitraria para la partícula libre, se puede concluir que en el espacio de momentos la energía E puede representarse por el operador de diferenciación respecto al tiempo multiplicado por (-A //), o sea que.

i ./ dt'

(18)

¿Cuál sería la representación de E en el espacio de configuración? Ya que / participa sólo como parámetro respecto a la transformación entre los dos espacios, es claro que E tendrá la misma representación en ambos espacios. Este resultado se obtiene al expresar <f> (p,t) y <f>*(p,t) de la ecuación (17) en términos de »fr y tít* usando la ecuación (14) y calculando la integral sobre p. Se obtiene inmediatamente que.

< /(£ ) ) = ¿)ifr(Ar,í) ¿JC. (19)

Ejercicio 1. Deducir la ecuación (19) en la forma indicada.

5. EVOLUCION EN EL TIEMPO DE UN PAQUETE DE ONDAS GAUSIANO

Antes de continuar con la discusión general, es útil examinar en detalle un ejemplo. Como caso particular se puede tomar un paquete de ondas que inicialmente tenga forma gausiana. En particular, se considerará el paquete de ondas dado por la ecuación (III-52):

lÍ»U,0) = íííg(jf)V I V í

exp (20)

que describe a una partícula localizada inicialmente en tom o al origen, dentro de una distancia L y cuyo momento lineal tiene un valor de expectación igual a p^. Usando (11) y (13), y calculando la integral según los métodos del Apéndice I, se obtiene,

-1 2d V n 'L(—x^¡2L + ipoxih — ipo i llmh) 'exp

L + ititjmL

siendo la densidad de probabilidad.

7T U * +- í l í

exp(x-poílm)^

(21)

•(22)

Ejercicio 2. Considerar inicialmente el paquete de ondas gausiano definido en (20).

(a) Obtener (21)(b) O btener(22)de (21)(c) Escribir <)> (p,t)(d) Calcular (E ) y su fluctuación ((E - .

Comparando la ecuación (22) con la expresión

1

se observa que en p(x, /) sólo hay dos cambios. En primer lugar, el centro del paquete de ondas se mueve con la velocidad de grupo p jm y en segundo lugar, la anchura del paquete crece con el tiempo. Llamando a esta anchura L (í), se tiene que,

L{t) = V U + h ^ tV m ^ L ^ .

Este resultado está completamente de acuerdo con las predicciones respecto a la propagación de paquetes de onda. Iniciahnente, el pa

quete de ondas no está distorsionado, pero empieza a desparramarse apreciablemente cuando ñtjmL^ es del orden de la unidad, que está de acuerdo con la ecuación (9). Además, cuando / resulta muy grande, la anchura del paquete crece linealmente con la rapidez

fi _ ^ m L m '

resultado también predicho.El comportamiento de p{x,t) para un paquete de ondas gausiano se

esboza en la Figura 1. Naturalmente que el área bajo la curva permanece constante.

■s/vLf, (j, O

[.0

EVOLUCION EN EL TIEMPO DE UN PAQUETE DE ONDAS GAUSIANO 69

v/l

-*■ = 0 x = p^ t i /m s = p t f . / m ^

Figura 1. Paquete de ondas gausiano desparramándose en el tiempo

Este ejemplo se presta fácilmente para discutir el límite clásico. Los efectos cuánticos tienen que desaparecer al tomar ^ 0. En el presente ejemplo este resultado se obtiene inmediatamente, ya que en este límite la ecuación (22) se reduce a

p{x, O = exp [ - U - ,

que describe el movimiento clásico de una partícula libre, cuyo momento inicial es precisamente Po pero cuya posición está distribuida en torno al origen de acuerdo a una gausiana de anchura L. La condición inicial clásica, para la cual posición y momento lineal están definidas con precisión, se logra tomando con lo cual

que resulta ser la trayectoria clásica al expresar ésta en el lenguaje de densidades de probabilidad. Esta última expresión senciñamente establece que la probabilidad de encontrar a la partícula en cualquier punto es cero, excepto a lo largo de la trayectoria clásica, tal y como debe de ser.

Es necesario añadir dos comentarios. El primero se refiere a los dos procesos de tomar el límite de la expresión (22) para recobrar el


resultado clásico, siendo crucial el orden en que se ha procedido. ‘ En este ejemplo y en general, es importante obtener el límite clásico haciendo tender ft a cero, antes de fijar las condiciones inicíales de la descripción clásica. En segundo lugar, es necesario observar que el hacer tender ñ a cero, tiene significado para la densidad de probabilidad, pero no lo tiene para \3l función de estado, o por lo menos su significado no es muy claro por ahora. Dicho de otra manera, la amplitud de la función de estado está bien definida en el límite clásico, aunque por ahora, la fase no lo está. Este resultado no es sorprendente puesto que sólo la primera se observa directamente. En el Capítulo VII, Sección 1, se presentará un análisis más sistemático del límite clásico y su significado para la fase, así como para la amplitud de la función de estado.

6. ECUACION DE SCHRÖDINGER PARA LA PARTICULA LIBRE

AI estudiar la evolución en el tiempo de la función de estado de una partícula Ubre, se obtuvieron varias representaciones integrales equivalentes para t), pero ahora también se quiere obtener una representación diferencial que está motivada por la siguiente consideración. Una representación integral es una caracterización global., necesita la especificación de u n a^ n c tó « , el estado inicial, en todo el espacio en un instante dado. Con esta información se puede calcular la solución a un tiempo posterior. Es más común dar una caracterización local, en la cual la información de las propiedades del sistema en una vecindad infinitesimal del espacio-tiempo es suficiente para definir la solución. Esta descripción local se logra mediante ecuaciones diferenciales. Se prefiere esta última descripción no sólo por costumbre sino porque las ecuaciones diferenciales dan un punto de vista poderoso e independiente que es indispensable al tratar problemas más compUcados que la partícula Ubre.

La caracterización local que se busca se obtiene más fácilmente de la ecuación (10). Derivando bajo el símbolo de integración, se obtiene que,

h d ^ j x , t ) _ 1

i d t V I t t ^ jM p ) 2 m exp ipx _ ip h

h 2 mh d p .

El mismo resultado se obtiene al calcular -ih^(2m)d'‘iifldx por diferenciación dentro del símbolo de integración. Se concluye que cual-

* El estudiante encontrará instructivo si invierte este orden, luciendo tender a cero, primero L y después A.

ECUACION DE SCHRÖDINGER PARA LA PARTICULA LIBRE 71

quier función f) definida por (10), y por lo tanto cualquier fün- ción de estado de partícula libre, satisface la ecuación diferencial pa^ cial.

2 m dx i (>t(23)

La ecuación (10) es sencillamente una forma de escribir la solución general de (23), que es la ecuación de Schrödinger en el espacio de configuración para una partícula libre en una dimensión. La ecuación es compleja explícitamente y de primer orden en el tiempo, no de segundo orden como en óptica. ‘

La interpretación de esta ecuación es muy sencilla y directa si se recuerda que en el espacio de configuración el operador del momento lineal es,

„ = Ai íiX '

según la ecuación (111-30), y que el operador de energía es,

/ í / ’según (18). Entonces, la ecuación de Schrödinger será la ecuación de operadores.

¿til(24)

Clásicamente, para una partícula libre,

E = p- i2 m,

y la ecuación cuántica correspondiente exige que al operar con el operador de energía E sobre la función de estado de una partícula libre, se obtenga el mismo resultado que operando con el operador de enei^ía cinética p^!2m. Esta condición asegura que el valor de expectación de cualquier función de la energía total sea el mismo que el valor de exceptación de la misma función de la energía cinética,

< / { £ ) ) = < /{ p * /2 m )> ,

lo que al íliismo tiempo asegura que las condiciones del principio de correspondencia se satisfagan.

Estos aspectos se discutirán en la sección siguiente.

La ecuación de Schrödinger también puede escribirse en el espacio de momentos como,

(25)

que es más sencilla que la ecuación (24) porque p es un operador numérico en esta ecuación. Ya que las ecuaciones (24) y (25) tienen exactamente la misma forma, no es necesario identificar la representación y pueden escribirse simbólicamente,

(26)

donde se intenta dar la idea de que la representación no se especifica. En el espacio de configuración ^=(ft(x, t) y en el espacio de momentos ^ = ^ ( p , /).

La solución de la ecuación (25) es trivial e inmediata. La ecuación puede escribirse como.

i. M — —J sl-<f> di 2/«A’

y por lo tanto,

<{>(p,r) expt-ip*(/-/d)/2mft],

donde to) es arbitraria. Esta solución se reconoce como una generalización obvia del resultado anterior aunque para tiempos arbitrarios iniciales La solución de la ecuación de Schrödinger en el espacio de configuración, donde es una ecuación diferencial parcial y no una ecuación diferencial ordinaria, es más complicada. Este problema se estudiará más adelante.

7. CONSERVACION DE LA PROBABILIDAD

En el proceso de obtener las leyes de la mecánica cuántica se ha identificado a como la densidad de probabilidad, suponiendo que «Íí es normalizable. En particular se supone que, a un tiempo t escogido arbitrariamente, se puede escoger lí» tal que.

>}ß*ix, í) dx= Ì,

y análogamente para el espacio de momentos. La dependencia en el tiempo de las funciones de estado que aparecen en el integrando es-

CONSERVACION DE LA PROBABILIDAD 73

tan condicionadas por la ecuación de Schrödinger. Entonces, al imponer esta condición en un cierto instante, la misma condición se satisfará en el transcurso del tiempo. Al interpretar ^ como la amplitud de probabilidad, la condición de normalización establece que la probabilidad de encontrar una partícula en algún lugar es la unidad. Es necesario comprobar que esta probabilidad permanece igual a uno al pasar el tiempo, es decir, la probabilidad se conserva.

La demostración es inmediata. Al escribir,

Pit)

se quiere demostrar que dP(dt es cero para cualquier solución arbitraria de la ecuación de Schrödinger. Se obtiene que

d Pdt ' dx

dx .

De acuerdo con la ecuación de Schrödinger en el espacio de configuración, ecuación (23), se tiene que.

Sí 2 m dx^ ’y conjugándola se obtiene,

(>í 2 m dx^

Entonces,

^ = r 'd t 2m

= A r A2m dx

dx

dx

ihI m

Debido a que ^ es nonnalizable, se amila en , y por lo tanto el miembro derecho se anula, de lo cual resulta que dP/dt es cero.

Este hecho es crucial en toda la interpretación y es necesario recalcar que la demostración fallaría si la ecuación de Schrodinzer no fue-

¿n ik-#*Mri ili

ra de primer orden en la derivada respecto al tiempo. Este resultado se hace más patente en el espacio de momentos, donde

P{í) =

<JPdt

t) dp

dp

= /

= 0 .

dp

Si en lugar de la ecuación (25), la ecuación de Schrödinger fuera,

la demostración fallaría.

Ejercicio 3. Si se interpreta como la densidad de probabilidad, demostrar que la probabilidad no se conserva necesariamente para la ecuación del tipo.

\ 2 m J

Obtener la causa de esta dificultad teniendo en cuenta que toda solución de la ecuación de Schrödinger también es solución de la ecuar ción anterior.

Se ha recalcado mucho la importancia de la conservación de la probabilidad que es consecuencia de la forma particular de la ecuación de Schrödinger. Cuando se generalice el caso de la partícula libre pasando al caso de una partícula bajo la influencia de fuerzas externas, se invertirá el argumento, partiendo del requisito de que la generalización de la ecuación de Schrödinger tiene que ser construida de tal manera que se garantice la conservación de la probabihdad. Como se verá, ésta es una condición muy estricta y, por lo tanto, muy útil.

Desde este punto de vista se podría preguntar cuál ha sido la razón de que al establecer las ecuaciones de la partícula libre, se haya llegado al resultado correcto. ¿Dónde estuvo el paso esencial? La respuesta, como se hizo notar al principio, se encuentra en el hecho de que

se definieron estados de momento como exponenciales complejas y no como funciones trigonométricas reales, apropiadas a campos cláid- cos. Al rastrear los argumentos, dicha definición lleva primero a la identificación de los operadores de energía y momento, y después a la ecuación de Schrödinger como una ecuadón diferencial de primer orden y explícitamente compleja.

El hecho de que en la mecánica cuántica intervengan números complejos en forma tan esencial, se interpreta a menudo como una manifestación misteriosa de la diferencia entre las descripciones clásica y cuántica. Sin embargo, quizás merezca la pena recalcar que, tanto en la mecánica clásica como en la mecánica cuántica, el uso de números complejos es más bien por razones de economía y conveniencia que por necesidad. La mecánica cuántica podría formularse únicamente en términos de funciones reales en la forma siguiente. Sea «í»! la parte real de lA y «í>2 su parte imaginaria, o sea.

CONSERVACION DE LA PROBABILIDAD 7 5

^

donde <ír, y son reales. Con esta expresión para *í>, después de separar la parte real y la parte imaginaria en la ecuación de Schrödinger (23),.ésta queda como,

2/n 3 A* dt

2m dt '

que son un par de ecuaciones acopladas en y Claramente, toda relación obtenida y usada hasta ahora, puede desdoblarse en la misma forma. Como condición de normalización se obtiene,

1 = / dx

y como valor de expectación del momento,

y así sucesivamente. Resumiendo, se puede decir que la mecánica

cuántica puede iw ilU h i IwiiUiJ· de estados reales de dos componentes. ^

Una descompoilclón aeint^ante de cualquier campo clásico, en su parte real y su parte imaginaria, conduce a un par de ecuaciones diferenciales idénticas no acopladas, una para cada parte. Las partes real e imaginaria de campos clásicos son equivalentes y cualquiera puede utilizarse para caracterizar completamente al campo. En contraste, la mecánica cuántica requiere para su especificación de dos funciones relacionadas. Este es el contenido esencial al establecer que la ecuación de Schrödinger es compleja intrínsecamente.

76

8. N O TA aO N DE DIRAC

Hasta aquí, la formulación de la mecánica cuántica se ha desarrollado consistentemente en el espacio de configuración y en el de momentos, intentando presentar las leyes básicas en tal forma que sean independientes de la representación. Ahora, se introducirá una notación debida a Dirac que permita escribir las ecuaciones independientemente de la representación. La notación de Dirac es bastante más general de lo que se necesita por ahora, y de lo que el lector está preparado para entender. Se introducirán una o dos definiciones, generalizándolas posteriormente y añadiendo otras según se necesiten.

Aquello« que estén famiüaiizados con la notación matrícial podrán daise cuenta que esta descripción no es tan incoovenieate ni engorrosa como parece. La introducción de matrices hüeta y matices columnas.

( : ■) ·

y de b matriz dos-por-dos.

permite transcribir inmediatamente todos los resultados según la regla siguiente; sustituir i por Y en donde ^»atezca. Específicamente,

(3/ííJc)

E — hy ( a / í l ) ,

no alterándose la forma operacíonal de ta ecuación de Sdtr^ inger. Nada de esto es sorpren· dente pues se verinca fácilmente que,

y*y únicamente se ha dado una alternativa para la designación convencional de V H como número imaginario. Es instructivo conwarar esta teoría de dos componentes con la teona de dos componentes de Pauli pata el espm que se presenta en el Capítulo X.

NOTACION DE DIRAC 77

En primer lugar, se establece una forma de escribir el valor de ex- pectaición independientemente de la representación. Sea una funr ción de estado arbitraria, definida en cualquier representación, y A un operador arbitrario. El valor de excectación de A en el estado se escribe como la expresión entre paréntesis.

En la representación de posición será,

{'1 1 l'I' > = / t) dx,

y en la representación de momentos^

i>V\A\'lr) = f <¡,*{p,í)A<k(p,t) dp.

Si el operador A se toma como el operador unidad, « establece oomo segunda definición.

En el espacio de c o n f^ ra d ó n se tiene que,

O ^ i x , t ) d x

y análogamente para el espacio de momentos. En la notación presente, la condición de normalizadón se escribe simplemente como.

( ^ ) ^ ) = 1.

Si se desea, o bien se necesita,'espedficar en esta notación la lepie- sentadón, se logra fácilmente escribiendo explídtam ente el aügamen- to de la áinción de estado. Así, en la representadón de posidón te puede escribir ( t) ¡Ah¡t{x, t ) ). Sin embargo, hay que notar que como factor a la izquierda se escribe '¥ y no La operacióii de coiyugaci^n compleja está implícita en la notación de Dirac. De esta manera, al escribir el valor de expectación como una in t ^ a l , siempre hay que usar el complejo conjugado de la fundón de estado que se encuentra a la izquierda en el paréntesis.

9. ESTADOS ESTACIONARIOS

Volviendo al problema de resolver la ecuación de Schrödinger (23) en el espacio de configuración, se usará el método convencional de separación de variables. Se busca una solución particular en forma de producto tal como.


Substituyendo en la ecuación (23) se obtiene que,

T - ^Im dx· ' / dt

(28)

o sea.

A L■f T dt '

El miembro izquierdo depende únicamente de x, el miembro derecho depende únicamente de t, pero los dos tienen que ser iguales para toda x y í. Por lo tanto, cada uno debe de ser igual a una constante d, que se conoce como constante de separación.

d T^ ~~r~ — <x

y también.i T d t

; — a .Im ^ dx'

La solución a la ecuación (29) es inmediata;7(f) =

Por lo tanto, de la ecuación (28),

(29)

(30)

(31)

donde ií’a(>:) tiene que satisfacer (30) y donde el índice indica que se trata de la solución que corresponde a la constante de separación«.

La interpretación de « es la siguiente. Considerando la función de estado (31) y suponiéndola normalizada, entonces, sin importar las características de <l>a(x), se tiene que.

h 300 ( dt

dx = a.

Análogamente, para cualquier función de la energía / (E) que pueda desarrollarse en serie de potencias,

= / ( « ) ,

lo que significa que es un estado cuya eneigía / (£) tiene un valor preciso y numérico igual a a.* Para recordar este hecho, se sustituirá a por el número E, que es el valor numérico de la energía para el estado considerado. Se puede comparar esta notación con la definida anteriormente para los estados 0p, recordando que estos son estados en los cuales el momento tiene el valor numérico p. De todas maneras, esta notación es desafortunada, ya que el símbolo usado par el valor numérico es el mismo que el usado para el operador en otros contextos. Sin embargo, es común hacerlo y la literatura no podría leerse si no se tuviera en cuenta esta ambigüedad. El lector no puede proceder a ciegas, sino que del texto debe de saber distinguir cuál es el caso. Afortunadamente es fácil hacerlo.

Ahora, se puede escribir la sohición como,

fe U ./) (32)

y la ecuación (30) como,

0 3 )

La ecuación (33), que ya no contiene el tiempo, se llama ecuación de Schrödinger independiente del tiempo, en este caso para la partícula Ubre.

Los estados iíí£(a:, f) tienen una propiedad muy importante. El valor de expectación de cualquier operador A es independiente del tiempo, si A no depende explícitamente del tiempo. Por ejemplo, si A = fip , jf), entonces,< <l>a!Alit/f}no cambia en el tiempo. Por esta razón, los estados se llaman estados estacionarios. Estos estados son soluciones de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo; son estados de energía definida. Cuánticamente, son estados bastante! sencillos, aunque desde el punto de vista'clásico seaniestados complir cados, o por lo menos inapropiados. Esto es debido a que los valores de expectación d c x y p son independientes del tiempo, y por lo tan-

*

* Naturalmente, ésta es una condición suficiente sobre iffa.pero también puede demostraise que es condición necesaria de la forma s c ie n te : cualquier distribución estadística se deaeri· be en fonna dnica con un conjunto completo. Los presentes tienen Ja propiedad de que (£*> = «" = <£) "para toda n. Todas las fluctuaciones de £ en torno a a = (£ ) » anulan y se sigue la conclusión.

ESTADOS ESTACIONARIOS 7 9


to no hay ninguna liga con algún estado de movimiento clásico. Los estados clásicos serán, necesariamente, superposiciones de muchos estados estacionarios.

Finalmente, para completar la discusión, se exhibirán las soluciones de la ecuación (33). Como se puede verificar fácihnente, se obtiene que,

Por lo tanto.

^(-v) =

iV lm E x íEí '

Notar que E tiene que ser positiva para que no crezca exponencialmente en un sentido o en otro. Pero ya que

p = V2rti£,

donde p es el valor numérico del momento correspondiente a la energía E, se puede escribir

ipx ip^t ' h 2 mh E = p m rn ,

donde los dos signos en el exponente exhiben los dos valores posibles del momento que corresponden a la energía E. Esta es una solución de la ecuación de Schrödinger (23) para cualquier valor positivo de Eo, lo que es lo mismo, para cualquier valor de p, positivo o negativo. La solución general de la ecuación (23) es una superposición de estos estados estacionarios con amplitudes arbitrarias. La representación original (10) se reconoce como tal superposición. Por lo tanto, se ha demostrado que la ecuación (10) es una representación de la solución general de la ecuación (23).

10. PARTICULA EN UNA CAJA

Como ejemplo del uso de la ecuación de Schrödinger se estudiarán los estados estacionarios de una partícula, restringida a moverse libremente dentro de una caja (en una dimensión). Esta restricción significa que, fuera de la c^a, la probabilidad de encontrar a la partícula es cero y, por lo tanto, ^ debe de anularse. Si 0 es continua, su comportamiento en el interior de la caja debe ser tal que se anule en las

PARTICULA EN UNA CAJA 81

paredes," Al fijar las paredes en x ^ O y x = L,se buscan soluciones de la ecuación de Schrödinger para la partícula libre, ecuación (33)> tales que,

^t-U = O) = 0^(,í = ¿ ) = O . (34)

Anteriormente se obtuvo que, para una energía fija E,

La solución más general para una energía d a d a í”, será la combinación lineal,

\j)g = A + B

Aplicando las condiciones a la frontera (34), se obtiene que,

A + B = Q^ ut! _|_ g Q

obteniendo de la primera,

B ^ - A

y de la segunda,

sen V2m£ L¡ñ = O,

Esta ùltima condición no se satisface para valores arbitrarios de E, sino únicamente para los valores discretos de £■« tales que.

« = 0, 1,2,. . .

o bien,

En =2 mU ' (35)

’ Ahora se puede demostrar que ifr tiene que ser continua. El problema bajo consideración en realidad no un probiema de partícula líbre, pues las paredes de la caja ^ercen ftiMWs impulsivas sobre la partícula. En los siguientes dos c ^ itu lo s se discutirá el movimiento de una partíoila bajo la influencia de fuerzas externas. El caso de una partícula en una c^a. puede considerarse como el caso límite del movimiento en un pozo de potencial cuadrado cuando el potencial se hace intinitamente profundo. Al considerar este caso, la continuidad y las condiciones a la frontera pueden verificarse.


Las funciones de estado estacionarias que corresponden a estos valores, una vez normalizadas, son

= V tJl senl/ /t7Tjr\ (36)

Entonces, se concluye que se obtienen soluciones únicamente si un número semientero de longitudes de onda de de Broglie, caben exactamente en la caja. Para « = O la función de estado se anula y, por io tanto, el estado de energía más bajo será para « = I ,

= V ÍÍL s e n ( ^ )

E, =

En término de Ei , se puede escribir £„ como,

Por lo tanto, se ha encontrado que, en contraste con la física clásica, una partícula en una caja puede existir únicamente en un conjunto discreto de e s t a d o s A d e m á s , no existe un estado con energía cero, de acuerdo con los requisitos de! principio de incertidumbre. Una partícula en una c^a no puede estar en reposo, siempre poseerá, por lo menos, un estado de movimiento mínimo.

El espectro de energías permitido y sus funciones de onda correspondientes, se muestran en la Figura 2, A pesar de que la separación entre estos niveles de energía crece con n, esta separación es infinitesimal para todas las energías alcanzables de una partícula macroscópica.

Por qemplo, para una partícula de un gramo en una caja de un centímetro de longitud, la energía del estado base es 5 x 10 ®“ ergios, aproximadamente. Para n == 10^®, la energía de este estado es de 10’ ergios = un yulio O'oule) y para el estado n ~ 10'’ su energía será aproximadamente de un millón de yulios. La distancia entre estados vecinos es de 10^^“ ergios aproximadamente en el primer caso y de 10“ ' ergios en el último. Ambos son mucho mayores que el espaciado de 10*®® ergios en la vecindad del estado base, pero muy pequeños e indetectables en la escala de energía macroscópica. Por otra parte, para un electrón en una caja de 2 10"* centímetros, £ 1 =10"'* ergios = 6 eV, que es aproximadamente igual a la separación observada en átomos.” Resulta que el espectro de estados es discreto cuando el movimiento de una p ^ íc u la está m otado, esto es, cuando estí restringido a una región f^a, Esendalmente, u razón es la misma que en el presente (jemplo, o sea, la twcesidad de acomodar un número apropiado de longitudes de onda de de BtogUe en la región tratada.

PARTICULA EN UNA CAJA 8 3

Figura 2. Espectro de energía y funciones de estado para una partícula en un pozo cuadmdo. Al exhibir las funciones de estado, se usará la siguiente convención aquí y en todo lo que sigue. El eje espacial x para el «-ésimo estado, se dibuja a una altura que represente a la energía En. La ordenada, medida desde el eje representa la amplitud de probabilidad i¡>„.

El capítulo se concluirá con una discusión de las propiedades de un paquete de ondas (estado dependiente del tiempo), para una partícula en una c^a. El estado más general, es una superposición arbitraria de un conjunto discreto de estados estacionarios.

donde En y están dadas por las ecuaciones (35) y (36). Por lo tanto,

(37)

que describe un estado en el cual, la energía de la partícula no está definida con precisión, pero puede tomar cualquiera de los valores con cierta probabilidad, determinada por la participación del «-ésimo estado en la superposición. Dicho de otra manera, si Hx, t) está normalizada, una medición de la energía dará En con una probabilidad que será justamente ¡AJ^. Este resultado es muy importante y, a continuación, se demostrará que es correcto.

Las funciones de estado estacionarias que son funciones senoidal de acuerdo con la ecuación (36), cumplen que.

Por brevedad se ha introducido el símbolo , la delta de Krone- cker, que se define como la unidad cuando m es igual a « y cero cuando m es diferente de n. Cualquier conjunto de funciones que satisfaga una ecuación del tipo (38), esto es, que cada función en el conjunto esté normalizada y funciones diferentes en el conjunto sean ortogonales entre sí, se llama un conjunto ortonormal.

Suponiendo que /) esté normalizada,

f) d x = \ ,

y de la ecuación (37) se obtiene que,

í (S í > j í/j: = 1,Jo \ ' ffl

usando n como índice de suma para í) y m en la expresión para 4>(Ar, f). Intercambiando el orden en que se realizan las sumas y la integración, se obtiene que,

<l*E„(x)'lfEjx) dx = \ .

Usando la condición de ortonormalización (38) esta expresión se reduce a.

y, finahnente, la condición de normalización requiere que.

(39)

A continuación se calculará el valor de expectación de la energía. Se obtiene que

t)h d<}}(x, t)

i dtd x ,

y usando (37),

< >ír|£14.) = £ ( 2 /f (a:) ^ ) dx.

Volviendo a usar la condición de ortonormalidad de tí>„ , se obtiene,

(0 |£ |0 ) = 2 £ „ M J * . (40)

y Utilizando el mismo argumento, se concluye que para toda s,

my, por lo tanto, para cualquier función / (£ >,

f ( E , , ) \ A j K (41)

Ya que /{£) es arbitraria se concluye que, como se afirmó anteriormente, lit es un estado en el cual una medición de la energía dará el valor £■,„ con probabilidad ¡AJ^. Dicho de otra manera, A,„ es la amplitud de probabilidad y lAJ'^ la probabilidad de que el sistema se encuentre en su m-ésimo estado estacionario con energía £mal observarlo.

Ahora, se supone que la función de estado de una partícula en una caja se fya en un cierto instante de tiempo que, por simplicidad, se tomará como f = 0. Llamando a este estado, se tiene que,

/ = 0) =«í»oU),

donde se supone conocida *í»o(x). El comportamiento del sistema se puede ahora determinar, por lo menos formalmente. De la ecuación (37), para f = O, se tiene que,

ti

Multiplicando esta expresión por»í>%(;ír) e integrando sobre toda la caja, se obtiene que.

Jo n ■> J

Debido a la ortogonalidad de miembro el derecho se reduce a un solo término ^„dado por,

Am = j ^e „ ( x ) * Í> o U ) d x = ( * ¡ fE j4 io ) . (42)

Para el estado inicial dado <í*o(x), la ecuación (42) resulta ser la amplitud de probabilidad de que el sistema se encuentre en el m-ésimo estado estacionario.

La evolución del sistema en el tiempo puede estudiarse de la siguiente forma. 'La ecuación (42) se sustituye en (37) resultando que,

= 2 (J^'' d x ' j ilf^Jx)

PARTICULA EN UNA CAJA 8 5

usando x 'para indicar la variable muda de integración en la expresión para las amplitudes A„. Este resultado se puede escribir como,

i/tí.í·, /) = A·; r) dx' , (43)J o

dónde K, que es el propagador para una partícula en una c^a resulta ser

Kix'^xu) = X (44)

Estos resultados deben de compararse con los resultados (11) y (12) para la partícula libre.

La forma explícita de K es de cierto interés. De las ecuaciones (35) y (36) se obtiene que,

K{x' , x \ t ) ^ j ¿ s in sin exp [—ó['^77-A//2mí.^]. (45) ^ íí=l ^ ^

En el límite de ¿ ^ , la suma puede sustituirse por una integral y elparecido del resultado con el de la partícula libre no es difícil de apreciar.

Lamentablemente, no es posible obtener K en forma cerrada para una partícula en una caja. Sin embargo, en el límite clásico, es posible demostrar que un paquete de ondas se propaga sin distorsión y, como debe de ser, rebota sucesivamente en las paredes de la caja. Pero el álgebra es bastante tediosa y por ello no se explicará en detalle.


11. RESUMEN

Un resumen del progreso realizado hasta aquí puede ser útil, porque se ha estado trafagando simultáneamente en dos niveles con ce p- tualmente distintos. Superficialmente, el interés principal se ha referido al comportamiento de la partícula libre. Así, se ha formulado la ecuación de movimiento, o sea la ecuación de Schródinger, para esta partícula dando su solución general en términos del propagador de la partícula libre. El resultado se usó para aclarar las relaciones entre las soluciones clásica y cuántica. Se introdujo la técnica de separar ción de variables aplicándola al movimiento de una partícula en una caja. De nuevo se obtuvo una solución general.

Sin embargo, el interés fundamental ha consistido en entender las características generales de la descripción cuántica de la naturaleza, a las cuales se recurrirá repetidamente en desarrollos posteriores. En

tre éstos, destaca en importancia la identificación del operador de energía y la comprensión que se ha logrado de la importancia que tiene la conservación de la probabilidad y el principio de correspondencia al fijar la forma de las ecuaciones cuánticas. En el curso del análisis se ha llegado a la noción de estado estacionario, la fundón de estado cuántica más sencilla. Finalmente, se ha obtenido que para una partícula ligada, los estados estacionarios forman un conjunto discreto y ortonormal.

PROBLEMAS 8 7

Problema 1.(a) En aguas profundas, la velocidad.de fase es v« = Vgxflir pa

ra ondas de longitud de onda X. ¿Cuál es la velocidad de grupo de estas ondas?

(b) La velocidad de fase de una onda electromagnética típica que se propaga en una guía de onda tiene la forma

donde c es la velocidad de la luz en el vacio y es cierta frecuencia característica. ¿Cuál es la velocidad de grupo de estas ondas? Notar que la velocidad de fase es mayor que c. ¿Viola esto la relatividad especial? ¿Cuál es la velocidad de grupo?

Problema 2, Considerar que un paquete de ondas a í = O tiene la forma,

0) (,-ixi/í..

(a) Normalizar 0).(b) Calcular 0) y f). Comprobar que están normaliza

das.(c) Calcular {/>),discutir su dependencia en el tiempo. Hacerlo

mismo para<E).(d) Graficar \<}>(p, í)P contra p, suponiendo que L > ñ/p« y que

L < h¡po. Explicar la diferencia entre los dos casos usando el principio de incertidumbre.

(e) Cdcular (jt) a í == O y a cualquier tiempo t > 0. (Sugerencia; hacerlo en el espacio de momentos).

Problema 3. Una partícula está confinada en una cíya de longitud L.(a) Calcular

( ix\ ^ ( k K ) '

Discutir los resultados en cada caso.(b) El movimiento de una partícula en una caja es periódico con

período T = 2L¡v, siendo v la velocidad de la partícula. El movimiento cuántico no exhibe esta periodicidad. Explicar cómo se obtiene el movimiento periódico clásico yendo al límite apropiado. (Este no es un problema trivial. Su solución exige, más que álgebra, razonamiento).

Problema 4. Una partícula se encuentra en su estado base en una caja de longitud L. La pared de la caja que se encuentra en jc = L, cambia repentinamente a,

(a) X - 2¿(b ) :c = 10¿(c) X - 100¿

En cada caso, calcular la probabilidad de que la partícula se encuentre en el estado base al crecer la caja. En cada caso, encontrar el estado más probable que ocupará la partícula al crecer la caja. Explicar, (Sugerencia: ¿Cuál es la función de estado de la partícula en cada caso?).

Problema 5. Una partícula se encuentra en su estado base en una caja de longitud L. Las paredes de la caja desaparecen repetinamente y la partícula puede moverse libremente.

(a) ¿Cuál es la probabilidad de que el momento de la partícula se encuentre entre p y p + al desaparecer las paredes?

(b) Graficar la densidad de probabilidad del momento en contra de p y discutir cualitativamente el resultado. ¿Qué se esperaría clásicamente? (Sugerencia: ¿Cuál es la función de estado inicial de la partícula?

(c) Calcular < r ) a í = 0 y a í > 0 , (Sugerencia: hacerlo en el espacio de momentos).

(d) Calcular lo mismo suponiendo que inicialmente ía partícula se encuentra en su centésimo estado.

Problema 6, Una partícula en una caja se encuentra en el estado

f) [»Í'OÍJC, O +

donde «f»« es el estado base normalizado y tí», el primer estado excitado, también normalizado. Calcular(E), {x)y{p). Discutir la dependencia en el tiempo de cada una de estas cantidades.

PROBLEMAS 8 9

Problema 7, Demostrar que en el caso de una partícula libre, para un paquete de ondas arbitrario, se cumple que

<-V>, =

de acuerdo con el principio de correspondencia. Hacerlo,(a) en el espacio de momentos, usando la ecuación ( 16) y(b) en el espacio de configuración, usando las ecuaciones (11) y

(12), o bien, usando (11) y (13).

VEcuación de Schrödinger

En el capítulo anterior se obtuvieron las ecuaciones de movimiento cuánticas para una partícula libre. Estos resultados se generalizarán al caso de una partícula moviéndose bajo la influencia de agentes externos. Unicamente se considerarán fuerzas conservativas y por lo tanto se pueden obtener de una función potencial V(x). Se demostrará que los requisitos impuestos por la conservación de la probabilidad y el principio de correspondencia, esencialmente determinan la solución. Para empezar se considerará la conservación de la probabilidad.

1. EL REQUISITO DE LA CONSERVACION DE LA PROBABILIDAD

En el análisis del movimiento de una partícula libre, se recalcó que la derivada a primer orden respecto al tiempo en la ecuación de Schrödinger es esencial para la conservación de la probabilidad. Entonces, en la ecuación general que se busca, se supone que la derivada respecto al tiempo sea a primer orden. Por lo tanto, en el espacio de configuración, se supone que la ecuación de Schrödinger tiene la forma,

i dt (1)

donde H todavía es un operador desconocido. Naturalmente que, si se tiene una partícula libre, H resulta ser el operador de eneigía cine-

OPERADORES HERMITIANOS 91

tica p^l2m. También se supone que H es lineal para conservar el principio de superposición.

Para una función de estado ^ físicamente aceptable que satisfaga la ecuación (1), la conservación de la probabilidad exige que.

dPdt

ddt} í)»í(U, í) d x = 0 .

Diferenciando se obtiene que

didx

y usando (1 ) para eliminar las derivadas respecto al tiempo se reduce a

dPdt = (í'M)

El paréntesis en el primer término se usa para indicar que el operador H*, el complejo conjugado de H, opera sólo sobre la función y no sobre »ir. Si esta expresión se anula, se tiene que,

o bien,

/ :

/ :dx dx. (2)

Ya que esta ecuación se cumple para todo tiempo, también tiene que cumplirse para *¡i arbitraria aunque aceptable, lo cual impone una restricción sobre el operador H. Esta condición se llama condición de hermiticidad y cualquier operador que la satisfaga se llama operador hermitiano (llamado así en honor al matemático Hermite). Entonces, se ha demostrado que H tiene que ser hermitiano.

2 OPERADORES HERMITIANOS

Antes de seguir adelante es conveniente discutir brevemente las propiedades hermitianas y dar algunos ejemplos. Sea A un operador hermitiano,. Si A representa una cantidad física observable, su valor de expectación siempre debe ser real. Se tiene que,

{A)= / :

dx

92

y además,

ECUAOon d e SCHR<3D ING ER

{ A «ÍUtíi)* d x = J ' “‘ (At{>)*^ í^ ·

Si (/I > es real, estas dos expresiones t i e n ^ que ser precisamente la defínición de Jiermiticidad. * Entonces, kdemostradoque cualquier operador que represente ^ un hermitiano.

La definición de hermiticidad se p iA ede que si >4 es hermitiano, y si y sor» dos tables, no necesariamente igUaJes, e n to n c e s

ilx= dx-

La demostración parte de lafundón de estado

que es una superposición arbitraria d e y ^ definición de hermiticidad se tiene qye,

iA^\*i>dx = j ^ * A ^ d x

y substituyendo lí» se obtiene,

l«il X dx + |«s|! j (Ay¡>2) * ^ i dx + a ,*a^ dx

+ dx

= l«.l^ f lííiM^, d x + ^ dx

■•'«ida* f ' {f z^A^f dx .

Ya que ^ es un operador hermitiano, pñmer izquierdo es igual al primer térm ino d e j miembro ^eredio, y análogamente para los segundos, fo r lo ta n to ^ hexpresiéí" ai^norse reduce aa ,* ü i [ f (A>l/,)*it>i d x - f d x ] =

’ El lectoi debe tener cmdado de no confundir < v (J *i El anteriormente. Por definición, el segundo es, ' ^ '*

(h *>que en general es totalmente diferente.

donde ai y a. son arbitrarias y, en particular, su fase relativa es arbitraria. Esta igualdad se cumple independientemente de la fase relativa, por lo cual puede concluirse que cada expresión entre paréntesis se anula/ Esto completa la demostración. Por lo tanto, la ecuación (3) será la definición general de hermiticidad.

La ecuación (3) puede escribirse en la notación de Dirac. La notación se puede generalizar escribiendo,

(0il0£> = í dx.

Como A >iii y A *f>2 son a su vez funciones de estado, usando la misma notación,

= í *A^ 2 dx

OPERADORES HERMITIANOS 9 3

¡0.J ) = / ' d x .

Entonces, si A es hermitiano, de la ecuación (3) se obtiene que,

= (4)

como definición de hermiticidad en la notación de paréntesis de Dirac.Es necesario recalcar que al pasar de la notación de Dirac al lengua

je de integrales siempre hay que tomar el complejo conjugado de la función de la izquierda.

Es importante el hecho de que únicamente operadores hermitianos tengan valores de expectación reales. Significa que el operador que representa a cualquier variable dinámica observable físicamente tiene que ser hermitiana. Es fácil comprobar que el momento y la posición de una partícula satisfacen este requisito. El primero es un número real en el espacio de momentos y el segundo lo es en el espacio de configuración y los números reales son hermitianos.

E jercicio 1.

(a) Demostrar que p y x son hermitianos. En ambos casos demostrarlo en el espado de co n f^ ra c ió n y en el espacio de momentos. (Sugerencia; integrar por partes en los casos no triviales).

* Dicho de o tta manera, el miembto derecho es el com pilo conjugado del miembro izquiei- do, aunque la fase de cada miembro sea arbitraria ya que at y at son arbitrarias. Por lo tanto, la igualdad te cumple, si y sólo si cada miembro es igual a cero.

9 4 ECUACION DE SCHRÖDINGER

(b) Demostrar en la fonna más sencilla posible que cualquier función de p únicamente, real y arbitraria, es hermitiana y lo mismo parax.

(c) ¿Son hermitianos px, xp, (p,x) y ( p x + x p ) ? Basándose en los resultados, determinar el operador que represente al producto de la posición por el momento lineal.

Las variables dinámicas que interesan por ahora son funciones de los operadores hermitianos, posición y momento. ¿Qué se puede decir acerca de las propiedades de estas funciones de operadores hermitianos? Para estudiar el problema se examinarán algunos ejemplos. E>e la defínición de hermiticidad se sigue que la suma de operadores hermitianos es hermitiana, aunque si se considera el caso más general de una combinación arbitraria de operadores hermitianos A y

C = aA +

C sería hermitiano si a y son números reales. Para concluir esto, se nota que

= (0, | (a / í +/3B)4í,), (6)

mientras que,

, (7)

diferente a la anterior. La última ecuación se sigue de

(ú^ííí,|«í»í) = a*{Aiíi¡\\(ii) =

debido a que A es hermitiano. Un resultado análogo se obtiene para el término en B.

Como segundo ejemplo se puede tomar el producto AB de dos operadores hermitianos.

y se tiene

D = A B (8)

Al operar con B sobre se obtiene una nueva función que se designará temporalmente como 2. Entonces,

En el último paso se ha usado la propiedad de que A es hermitiano. Expresando 2 como B^ 2 ¡ se obtiene que,

= (A^,\Bilf2).

y tomando ^ 1(1, como una nueva función <í>i, se puede escribir

donde se ha usado el hecho de que B también es hermitiano. Finalmente, expresando 0, como Ail>jy juntando todo se obtiene que,

(ifr,|£>iíí2) = í*(),\ABiIí2 } = {BAilfi\<f>i). (9)Por otra parte, se tiene que

^ {ABit>,\^2) (10)y por lo tanto D es hermitiano si ^ y 5 conmutan.

Estos resultados aparentemente disconexos, pueden sistematizarse introduciendo el concepto de operador adjunto o hermitiano conjugado. Sea E un operador, no necesariamente hermitiano y eloperador “ adjunto de E” o “£ daga” , definido por

<»ír,|£t0a) - ( £i/(| |»/í2 ) ( l i a )

o bien por,= < Et(í»i|l/T2)

para funciones arbitrarias »/<i y que sean aceptables. De esta definición se sigue que el adjunto del adjunto es el operador mismo,

{£t) t = E.

Se puede demostrar fácilmente que las ecuaciones (1 la) y (1 Ib) son equivalentes, escribiéndolas explícitamente en el espacio de configuración o en el espacio de momentos. La ecuación ( l i a ) tendría la forma,

/ *£t(í(2 í¿r = / dv .

mientras que la ecuación (11b) sería

/ dx = í (Ef>¡Ji)*[¡f2 d x ,

y análogamente en el espacio de momentos. La segunda expresión no es más que el complejo conjugado de la primera, si las funciones

9 6 ECUACION DE SCHRÖDINGER

arbitrarias 0i y ií>2 se vuelven a etiquetar. Dicho de otra manera, el adjunto de un operador que actúa sobre una función en un paréntesis de Dirac, es equivalente al mismo operador actuando sobre la otra función. En el lenguaje de integrales, la definición es una generalización del concepto de integración por partes, en la cual, el símbolo de adjunto en un operador significa que el complejo conjugado del operador se transfiere de una función a la otra.

El hecho de que las ecuaciones (1 la ) y (1 Ib) se cumplan para funciones arbitrarias y que sean aceptables establece, al menos formalmente, una definición completa del adjunto de un operador. Sin embargo, esta definición puede ser tan formal que parezca inútil, porque no contiene una receta clara para construir una representación explícita de £ t cuando se conoce E. Pero esta receta puede establecerse para aquellos operadores de interés, o sea, los operadores que se construyen a partir de operadores hermitianos. Además, la noción de adjunto permite dar una caracterización puramente operacional de las propiedades de los operadores así construidos y de la hermiticidad. Para esta última propiedad, de la ecuación (4) se concluye inmediatamente que todo operador hermitiano es su propio adjunto. Es decir que,

/ f = » T (12)si A es hermitiano. Por esta razón los operadores hermitianos suelen llamarse autoadjuntos o mtoconjugados.

Si se toma un operador como el operador C de la ecuación (5), de a'Tierdo con la definición

y de la ecuación (7) se concluye que,

CH = a U + ^ * B ,

o sea que

(a A + ^ B ) Í = a*A + ¡3*B.

En general, si X i es un conjunto de operadores hermitianos y un conjunto de números,

(2« í / í i ) t = S a r/í ,. (13)Como caso particular, el adjunto de un operador numérico será su complejo conjugado,

a t = a * ,

de modo que la conjugación hermitiana puede considerarse el análogo de la conjugación compleja, pero para el caso de operadores.

Como ejemplo de esta idea se nota que R + R'^ es hermitiano y también lo es (/í - R t )//. Por ello, un operador arbitrario R siempre puede expresarse como la suma de dos operadores hermitianos escribiendo,

R = [ { R + Ri MI] + / [ ( « - /?t)/2,·]. (14)

que es análogo a la forma usual de escribir números complejos entérminos de dos números reales.

Finalmente, considerando productos de operadores, la ecuación (9) muestra que,


D i = BA.

o lo que es lo mismo,

{AB)i = BA.

En general, el adjunto de un producto de cualquier número de operadores hermitianos será sencillamente el producto escrito en orden inverso,

{ABC · · QR)i ^ RQ · · · CBA. (15)

Las ecuaciones (13) y (15) son las reglas que se buscaban. Establecen cómo construir adjuntos de sumas y productos de operadores y así de funciones arbitrarías de operadores que pueden expresarse en forma de series de potencias.

Ejercicio 2, Suponer que A, R son operadores arbitrarios nonecesariamente hermitianos.

(a) Demostrar que {ABC...QR)f = R f Q i...C iB iA i(b) Demostrar que {aA -i- j8B)t = « M t + ^* B i .(c) Demostrar que ú A y B son hermitianas, también lo son

i ( A ^ ) , A B -\-BAyABA.(d) Demostrar que si A es hermitiano, también lo es A”.

Con esta regla para construir adjuntos de operadores, la ecuación ( l l b ) significa que ( » í » , ) y (^ttí<i|4f2 )pueden tomarse como dos expresiones completamente equivalentes de la misma cantidad. Para expresar esta equivalencia, se introduce el símbolo simétrico del pa- réntesis<(í(, 1/4)02),para simbolizar a ambos, definiéndolo como,

(«í'iMt'í'i) = ('í'iM'/'a) = (16)En esta notación está implícita la libertad ganada para pasar operadores de una función de estado a otra o integrar por partes usando ias

jidwiáÉtti

Ü íU A C IO V D e SCHRÖDINGER

de Ul ecuaciones (13) y (15). Esencialmente, el símbolo no condiciona sobre cuál de las dos funciones se opera. Al

evaluar esta expresión se tiene que hacer alguna elección pero se tiene la libertad de escogerla según convenga.

3. EL REQUISITO DEL PRINCIPIO DE CORRESPONDENCIA

Volviendo al problema principal de determinare! operador hermitiano / í de la ecuación (1), el principio de correspondencia exige que.

(17)

y que.

dVdx 4«>. (18)

donde »í» es cualquier solución de la ecuación (1 >. La primera ecuación expresa la relación clásica entre el momento lineal y la velocidad mientras que la segunda es precisamente la segunda ley de Newton.

Como paso preliminar se examinará la expresión paraun operador arbitrario A(p, x , t). Se tiene que

dt

^ 1 " TM*

^*(x,t}A(p,x,í)ii)(x,t) dx

dx.

Separando el término intermedio, que resulta ser el valor de expectación de y usando la ecuación (1) para eliminar las derivadastemporales en el resto de los términos, se obtiene

9Adi

Como consecuencia de la hermiticidad de H, resulta que el primer término en la integral es,

d x ^ dx.

y por lo tanto,

dAdt

dx.

EL REQUISITO DEL PRINCIPIO DE CORRESPONDENCIA 99

Escrita en esta forma, la integral se reconoce como el valor de expectación del conmutador áeH y A, obteniendo en esta forma el importante resultado de que,

Vale la pena señalar que si A no depende expUatamente del tiempo, el primer término se anula y la variación en el tiempo está únicamente determinada por el conmutador át H y A . El primer término determina la variación del operador A en el tiempo; el segundo término está generado exclusivamente por el cambio de h función de estado con el tiempo.

Se ha recalcado que en estas condiciones es fundamental la dependencia explícita en el tiempo del operador^. Se acostumbra pensar que las variables dinámicas tales como posición y momento, son funciones del tiempo porque así se consideran en el dominio clásico. Sin embargo, en el caso cuántico los símbolos x y p se refieren a opero- dores que no varían en el tiempo; son operadores independientes del tiempo. Esto significa que, explícitamente,

1 = 0

dt o.

y análogamente para cualquier operador en cuya determinación no intervenga el tiempo explícitamente.’

En la aplicación de la ecuación (19) intervienen estos operadores de posición y momento independientes del tiempo. Conáderando primero a x se obtiene que,

(20)

En esta presentación de la mecánica cuántica la dependencia en el tiempo de los obseiv»· bles representados pot operadores, está contenida en la función de estado. Fué introducida por Schrödinger y se llama representación de Schrödinger. Una alternativa fué introducida por Heisenbe^ y es la llamada representación de Heisenberg. En ella, la función de estado es independiente del tiempo y toda la dependencia en el tiempo recae en los operadores dinámicos a través de las ecuaciones de movinüento. Esta presentación se parece a la desen» ción clásica. También son posibles versiones intermedias. Todas son equivalentes y cada una tiene su intervalo de simplicidad y utilidad. Se ha esragido la representación de Schitt- dinger porque es la más sencilla de manejar a nivel elemental.

.· iiir¡liíir¥PiriT»rií'

100 ECUACION DE SCHRÖDINGER

El miembro derecho puede escribirse de otra manera si se hace uso de las relaciones de conmutación obtenidas en el Capítulo III. Recordando que.

t op( I I I - 46 )

donde / es cualquier operador función de x y p, y por lo tanto la ecuación (20) se reduce a

BHdp

(21)

En esta forma, toda referencia a fi ha desaparecido y el paso al límite clásico es inmediato, Al comparar con el requisito impuesto por el principio de correspondencia expresado en la ecuación (17) se demuestra que, por lo menos en el límite clásico, se tiene

1m

dHd p

Pero t¡f es una función de estado totalmente arbitraria, aunque aceptable, y por lo tanto este resultado impUca la ecuación de operadores siguiente:

£_m

djj_ ' dp

(22)

Respecto al operador de momento p la ecuación (19) da como resultado que.

Usando la relación de conmutación,

( P , / ) i dx'

se obtiene que

dHd x

(23)

( H I - 45)

(24)

El requisito impuesto por el principio de correspondencia expresado en la ecuación (18) demuestra que, por lo menos en el límite clásico, el resultado es,

ECUACION DE SCHRÖDINGER EN EL ESPACIO DE CONFIGURACIONY EN EL ESPACIO DE MOMENTOS 101

dVdx

dHdx

lo cual implica la ecuación de operadores,

d x dx(25)

Por lo tanto, las ecuaciones (22) y (25) expresan condiciones sobre H que tienen que cumplirse en el límite clásico. Se comprueba que estas condiciones sobre H, se satisfacen cuando,

(26)

El operador l í es la energía total del sistema expresado en términos de las variables de posición y momento, reconociéndose como la junción hamiltonlana y las ecuaciones (21) y (24) como las ecuaciones de movimiento en forma hamiltonlana.* Entonces, se concluye que el principio de correspondencia se satisface si el operador cuántico H como función de las variables cuánticas p y x, es el mismo que el hamiltoniano clásico como función de las correspondientes variables clásicas. El operador H es hermitiano y se reduce a p*/2m para la partícula libre.

Naturalmente que este argumento no impide la posibiUdad de que H pueda contener términos que se anulen en el límite clásico, pues sus efectos serían apredables sólo a nivel cuántico. Pero estos términos no aparecen en la ecuación (26), por lo cual H tiene su forma más simple consistente con el principio de correspondencia.^

4. ECUACION DE SCHRÖDINGER EN EL ESPACIO DE CONFIGURACION Y EN EL ESPACIO DE MOMENTOS

Se ha demostrado que en una dimensión la función de estado satisface la ecuación de Schrödinger (1), donde el operador hamiltoniano H se expresa por la ecuadón (26). En el espacio de configuración esta ecuación toma la forma.

(2 7 )

■* Vet cualquÍMS de las Refeiendas [ l4 ] - [ IT],

¡ La ecuación (26) es correcta únicamente para paitíeulas sin espín. Para partículas con efr pin se necesitan ciertas modificaciones que se verán más adelánte.

102 ECUACION DE SCHRODINGER

¿Qué forma tiene esta ecuación en el espacio de momentos? Si F (x) puede desarrollarse en serie de potencias en x, de acuerdo a la receta general se tiene que.

£ :2 in J i ' (28)

Pero, en general, V (x) contiene términos de todo orden en x, lo cual equivale a una ecuación diferencial de orden infinito que no es muy útil. Un camino más adecuado consistiría en partir de la ecuación(27) y transformarla directamente al espacio de momentos y usar el teorema de convolución para calcular la transformada del producto F(x) i(( (x, /). De esta manera se obtiene la ecuación integral

, _ h f)di

siendo W la transformada de K (x) dada por

w( p ' ) = I y(x) dx.vlirA J-OO

(29)

(30)

La relación entre las ecuaciones (28) y (29) se puede encontrar si se desarrolla <f> (p ~ p ’, t) en serie de potencias en p ' y se identifica el coeficiente de la derivada «-ésima de <í>(p, f) con el término «-ésimo de V(x) desarrollado en serie de potencias.

De todas formas, a menos que el potencial sea una función muy especial, la ecuación en el espacio de momentos sería bastante más complicada que en el espacio de configuración. Por esto se estudia principalmente el último caso. La razón de las complicaciones en el espacio de momentos se debe a que el momento lineal ya no es una constante de movimiento como sucede para la partícula Ubre. La presencia de fuerzas externas significa que la función de estado contiene una mezcla de estados puros del momento y esta superposición se representa explícitamente por la integral en (29).

Ejercicio 3. Verificar la equivalencia de las ecuaciones (28) y (29) en la forma sugerida.

Es fácil concluir que la identificación,

í di ' (31)

ECUACION DE SCHRODINGER EN EL ESPACIO DE CONFIGURACIONY EN EL ESPACIO DE MOMENTOS 1 0 3

que fué obtenida anteriormente, sigue siendo válida para una partícula que no sea libre. Evidentemente,

Por lo tanto, usando la ecuación ( 1 ),

(E) = j (ÍJC = j

donde es cualquier solución aceptable de la ecuación de Schrödinger y análogamente para cualquier función de E, lo cual comprueba la afirmación anterior. El requisito de que la enei^ía es una constante de movimiento si el tiempo no interviene, se satisface automáticamente, Esto se concluye si el operador A de la ecuación (19) se substituye por una función arbitraria de H. Se obtiene inmediatamente que.

d{ f { H) )di = 0 ,

ya que [ / / . / ( / / ) ] = o para/arbitraria.ecuación de Schrödinger (1) se puede escribir como,

(32)donde el operador hamiltoniano H es el hamiltoniano clásico función de las variables dinámicas p y x, pero tomándolas como operadores cuánticos y donde E es el operador (31). Clásicamente,

y por lo tanto, la ecuación de Schrödinger exige que la función de estado tenga la propiedad de que al operar sobre ella con el operador hamiltoniano H se obtenga el mismo resultado que al operar con el operador de la energía total E. Este hecho asegura que el valor de expectación de cualquier función de la energía total es exactamente el mismo que el valor de expectación de la misma fundón del hamiltoniano, requisito impuesto por el prindpio de correspondencia. Ex- plídtam ente,

donde ilf es cualquier solución de la ecuación de Schrödinger.La formulación de la mecánica cuántica es ahora más o menos

completa, pero es necesario generalizarla a tres dimensiones y a siste*


mad de partículas. Ninguna de estas generalizaciones es difícil de lograr, pero se pospondrá su realización. También se introducirá la idea de espín.

El procedimiento particular que se ha seguido en la presente exposición es una de las muchas posibiUdades para hacerlo. En este momento puede ser instructivo esbozar un procedimiento más directo que pueda considerarse com o una aproximación burda al desarrollo histórico. Partiendo de las relaciones de Planck y de de Broglie, la ecuación de Schrödinger para la partícula libre, puede escribirse rápidamente como

^ d '2nt

(que es la ecuación para una onda de de Broglie exp [IttíxIX] ). Para una partícula que se ¡nueva en un potencial

se puede argüir que, en general,

ft"2 fft dx^

Pero de acuerdo con la relación de Planck, la dependencia temporal está dada por de donde, finalmente, la dependencia en el tiempo se puede escribir como,

- 1 1 ^ 2 ni dx'

que no es mas que la ecuación de Schrödinger (27) en el espacio de configuración. Este resultado se puede usar para examinar la dependencia temporal de los valores de expectación y entonces tender al límite clásico. En este esquema o presentación se requiere una demostración de que se cumple el principio de correspondencia. Tal demostración fue dada por primera vez por Ehrenfest y se conoce como teorema de Ehrenfest, En esta presentación se ha invertido la forma de razonamiento en mayor o menor grado.

5. ESTADOS ESTACIONARIOS

Como en el caso de la partícula libre, se puede construir un conjunto básico de soluciones de la ecuación de Schrödinger usando el mé

ESTADOS ESTACIONARIOS 1 0 5

todo de separación de variables para aislar la dependencia en el tiempo, En esta forma, es posible obtener el conjunto de estados estacionarios,

donde*í’£(x) es solución de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo

2 m + V U ) (Ííf = - ^ = E ^ t;(x ) . (3 3 )

para la energía E. La solución general de la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo es una superposición arbitraria de estados estacionarios. Estos estados pueden existir sólo para un conjunto discreto de energías, para un conjunto continuo o bien una mezcla de ambos, según sea la forma de V (x). Sin embargo, esta superposición se puede escribir como.

(34)

pero aceptando que la ecuación (34) es simbólica. Si el espectro de los valores de la energía es continuo, la suma debe de substituirse por una integral. Si el especiro consiste de estados continuos y discretos, la superposición general consiste de una suma sobre los estados discretos y una integral sobre los estados continuos. No existe ninguna dificultad conceptual en este desarrollo, pero estos aspectos se pueden entender mejor si se consideran ejemplos particulares como se verá más adelante. Por ahora, la superposición general se tratará como si consistiera sólo de una suma de términos, porque es más sencillo manejarla algebraicamente.

Para el estado general descrito por la ecuación (34), la energía del sistema no está definida con precisión pero puede tomar cualquiera de los valores E con una probabilidad determinada por la amplitud a, del ¿'-ésimo estado en la superposición. Precisando más, si (JC, t) está normalizada, al medir la energía se obtiene E con probabilidad

donde |Q |* es la probabilidad de que una medición de la energía del sistema revele que éste se encuentre en el estado £'-ésimo. Una demostración más general de estas afirmaciones se dará más adelante.

Ahora, se puede hacer la hipótesis fundamental de que cualquiera que sea la característica del espectro de energía, representa la totalidad de las energías físicamente posibles para el sistema estudiado. Esta hipótesis significa que el conjunto de funciones «í»* forma un conjunto completo en el sentido de que cualquier función de estado

físicamente realizable debe de expresarse como una superposición de estados estacionarios.

Es conveniente escoger estados estacionarios normalizados, y en general se escogerán de esta manera, o sea que,

( = X d x ^ \ .

Se demostrará a continuación que estos estados también son ortogonales, o sea que t/>£ forma un conjunto completo y ortonormal,

( 'í'f'I«/»f ) = X <ix = 6tt·', (35)donde es el símbolo de Kronecker,

1 0 6 ECUACION DE SCHRÖDINGER

1, £ = £ ' O, £ ' ·

La demostración es la siguiente. Se tiene que,

= E>Pe

multiplicando por <í»t * e integrando, resulta que

X H\I/e dx = E Í <¡)e' * ^ i¡ dx. (36)

Análogamente, ya que

o bien que,

que multiplicada por «í'£· e integrada resulta que

/ (H>jfi;^)*'^E dx = E ' f ^E*^k· dx .

Debido a que H es hermitiano, esta expresión puede escribirse como,

X (/(£.*// dx = E ' / < e *<í>e dx .

Comparándola con la ecuación (36) se concluye que,( £ - £ ' ) X^^,*0^rf.í = O

y por to tanto la integral se anula si que era lo que se queríademostrar.

Es instructivo llevar a cabo la demostración en la notación de Dirac para ilustrar su uso. Partiendo de la ecuación (16) y debido a que H es hermitiano.

ESTADOS ESTACIONARIOS 107

y de la ecuación de Schrödinger,

de lo cual se concluye que.

£ ' E.

Puede suceder, y sucede en tres dimensiones, que existan más de un estado estacionario correspondientes a la misma energía E. Estos estados se llaman degenerados. Sean •í't·'”, »Í’e ^',...‘ el conjunto de estados degenerados. La demostración no proporciona información sobre la ortogonalidad de los estados entre sí, y en general no lo son. Sin embargo, dichos estados degenerados siempre pueden escogerse de tal manera que sean ortogonales. Un procedimiento para hacerlo, es el llamado método de ortogonalización de Schmidt que es el siguiente. Se supone que las funciones í no son ortogonalespero están normalizadas. Se define un nuevo conjunto Í í·;“,’ escribiendo.

donde los coeficientes son desconocidos hasta ahora. Estos coeficientes se determinan sucesivamente exigiendo que el conjunto sea ortonormal. Entonces, se empieza por exigir que,

= 1,

y estas dos ecuaciones determinan ttiy a^y por lo tanto A continuación se exige que,

= 1 ,

de donde resultan tres ecuaciones para determinar fci, b-¡ y fc;,. Este procedimiento se continúa hasta encontrar todas las funciones.

Debido a gue el orden inicial de los estados degenerados es arbitrarlo, el conjunto de estados ortogonalizados no es único. De hecho,

t La notación recalc^ el hecho de que se tiata de un grupo de estados, cuyos miembios tie· neo h miams energía E. Et» este giupo de estados degenerados, cada miembro está especificado por lot útdicei (I), (2), y así sucesivamente.

existen muchos estados posibles aún en el caso más simple. En la práctica se usa este hecho para escoger el conjunto más conveniente para el problema estudiado. En lo futuro se supondrá que si existen estados degenerados, éstos han sido ortogonalizados de alguna manera.

Existe otra propiedad muy importante de los estados estacionarios. Se llama la propiedad de cerradura. La cerradura es una propiedad matemática que determina si el conjunto es completo. Si ^ es una función arbitraria y aceptable puede desarrollarse en términos del conjunto completo tíif; como

Mx) = X (37)£

De la ecuación (35),

í‘í-;= / Jx= (»Í'eI»/') · (38)Substituyendo esta expresión en la ecuación (37), después de intercambiar el orden de suma e integración, se obtiene que

= / J x -

Ya que títíx) es arbitraria, se concluye que,

J ^ ^ , : * { x ' H A x ) - ^ ( x - x ’)^ (39)que es el resultado deseado. Cualquier conjunto completo de funciones satisface la condición (39). Recíprocamente, cualquier conjunto de funciones que satisfaga la condición de cerradura, es completo.

6. AUTOFUNCIONES Y AUTOVALORES DE OPERADORES HERMITIANOS

Los estados estacionarios son estados cuyas energías tienen valores precisos. También es de gran interés e importancia discutir estados para los cuales otras cantidades físicamente observables tienen valores precisos como son el momento lineal o el momento angular. Si el observable estudiado está representado por el operador hermitiano A y <tfa es el estado normalizado para el cual el valor preciso (real) del observable es a, significa que para cualquier

o bien que, para toda «,

/ - rt"]tí(„U) í/.v = O, (40)lo cual significa que el operador con A sobre es equivalente a muí-

108 ECUACION DE SCHRODINGER

AUTOFUNCIONES Y AUTO VALORES DE OPERADORES HERMITIANOS 1 0 9

tiplicarla por a , o sea que,

(41)

Oaramente es una condición suficiente para que la ecuación (40) se satisfaga; también puede demostrarse que es una condición necesaria.

La cantidad a se llama el autovalor del operador y <í»n la autofun- ción de A correspondiente al autovalor a. La ecuación (41) se llama ecuación de autovalores. En este lenguaje la función de estado estacionaria «ííftíx) es la autofunción del operador hamiltoniano correspondiente al autovalor de energía E.

Los autovalores de A representan los valores posibles del observable representado por A. Cualquiera que sea la característica del espectro de autovalores de un observable dado, se supondrá que contiene la totalidad de los valores físicamente realizables del observable considerado. Enunciándolo matemáticamente, se supondrá que forma un conjunto completo. Repitiendo el aigumento de la última sección, reemplazando A por H y if>E por se encuentra inmediatamente que la ecuación que corresponde a la ecuación (35) es,

= (42)y la ecuación correspondiente a (39) es,

2 jr')iír„U) = - j ; ') . (-4 3 ^

De hecho, las ecuaciones (35) y (39) pueden considerarse como casos particulares de las ecuaciones (42) y (43),

Conforme a las suposiciones anteriores, cualquier función de estado arbitraria t(((jf) que sea aceptable, puede expresarse en términos de <í»o por la superposición general,

^ (-4 4 ^

donde/ <íí„*(jr)4'{jr) dx= <0„|«í(), (45)

Las ecuaciones (44) y (45) pueden considerarse generalizaciones de las series (o mtegrales) de Fourier,

El significado físico de los coeficientes c« del desarrollo, puede determinarse como sigue. Si '(> (x) está normalizada, se tiene que,

I = < tí'í'í' > = ( 2 ^

é.

y por lo tanto, usando la condición de ortonormalidad (42),

El valor de expectación de A será,2 C„.*C„ ( t í ’a 'M I ' í » « )

a,ú'

y como lita es una autofunción de A con autovalor a,

= X ÚC„-*C„a>{f*

Volviendo a usar la condición de ortonormalidad, finalmente se obtiene que,

i>l)\A\\}l ) = 2

Y, usando exactamente los mismos argumentos, en general se tiene que,

{tí>|/(^)|tí») = X /(<i)|col*.

Por lo tanto, se concluye que \Ca\ es la probabilidad de que en el estado 0 el observable representado por el operador A tenga el valor numérico a. Esta es la demostración y generalización de las afirmaciones anteriores acerca de los coeficientes que se obtienen cuando Una función de estado arbitraria se expresa como una superposición de estados estacionarios.

Como ejemplo particular, sea A el operador de momento

. h d

La ecuación (41) queda como,

1 1 0 ECUACION DE SCHRODINGER

y por lo tanto.

de acuerdo con la discusión anterior acerca de las fundones de estado que corresponden a un momento p definido. Ya que estos estados existen para todos los valores reales de p, el espectro es continuo y la superposición resulta una integral en lugar de una suma. Las autofunciones de los momentos no están normalizadas y el factor multiplica-

OBSERVABLES SIMULTANEOS Y CONJUNTOS COMPLETOS DE OPERADORES 1 1 1

tivo 1/V2irft se ha escogido para conservar la propiedad de cerradura (43), que resulta ser

/ dp = - x')

O b ie n

IInh j dp= S(x - x') .

La condición de ortonormalidad (42) es.

2Trñ d x ^ 6 ( p - p ' ) .

donde la S de Kronecker se ha sustituido por la función 5 de Dirac por ser p continuo.

El desarrollo de una función de onda arbitraria como superposición de autofundones de momento, se expresa como una integral y la ecuación (44) se escribe como,

»/'(jc) = / dp

donde los coeficientes del desarrollo Cp se consideran ahora como funciones continuas de p. Escribiendo Cp = <í»(p) para hacerlo explícito y sustituyendo la forma explícita de se obtiene el resultado familiar.

1 4>(p) í'**’·'"' dp.V2^ft j

y la ecuación (45) también resulta ser la expresión familiar,1

Finalmente ¡<í>(p)l se interpreta como la densidad de probabilidad de que el momento tenga el valor p para un sistema en el estado \ft. De esta manera, otra vez se han obtenido las características de las representaciones en el espacio de momentos, hablando físicamente, o de las transformadas de Fourier, hablando matemáticamente, partiendo de este punto de vista general.

7. OBSERVABLES SIMULTANEOS Y CONJUNTOS COMPLETOS DE OPERADORES

Cuando se reaüza la observadón de algún sistema se obtiene un resultado predso únicamente si el sistema se encuentra en un estado es-


pecial, es decir, si se encuentra en un autoestado del observable estudiado. Si el operador que representa al observable se simboliza por A , entonces, el autoestado «í»« que corresponde al autovalor a se definió por la ecuación (41),

Aip„ = Uili,,.

La comprensión de esta ecuación ha sido la siguiente. Si el operador A que representa algún observable es conocido, es decir, si se conocen los efectos que produce el operador al actuar sobre cualquier función arbitraria aceptable, entonces, la ecuación (41) es una receta matemática precisa para construir los estados abstractos «/»„ cuyo observable tiene el valor preciso a. Esta apreciación del contenido físico de tales ecuaciones cuánticas pueden reforzarse si estas ecuaciones también se interpretan como representaciones abstractas de los procesos físicos de medición, es decir, al operar sobre alguna función de estado con el operador A puede considerarse como equivalente a medir el observable al cual corresponde A. Desde este punto de vista, la ecuación (41) es la afirmación directa de que ((»„ es el estado para el cual la medición del observable representado por A de siempre como resultado el valor a.

La especificación completa de un estado cuántico, como la de un estado clásico, requiere cierto número de observaciones o mediciones, cuyo número está determinado por los grados de libertad del sistema, Como generalización inmediata de los resultados anteriores, se sigue que la medición simultánea de dos o más observables dará un resultado definido para cada uno, sólo si el sistema es autofunción simultánea de los dos operadores. Esto implica que tales observaciones simultáneas son independientes, o sea, las observaciones no interfieren entre sí. Si éste es el caso, el orden en el cual se realizan las mediciones es irrelevante y los operadores que representan a los observables tienen que conmutar. Una demostración formal se da a continuación.

Para empezar, se considera el caso particular de que solamente existan dos operadores A y 5 y sea el estado para el cual los observables representados por A y B tengan los valores precisos a y b. Este estado se llama una autofunción simultánea de ^ y definido por

Evidentemente, se tiene que,

y por lo tanto,

EL PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE 1 1 3

Si el conjunto »!>(,(, es completo, entonces cualauier estado arbitrario «Í» puede expresarse como superposición de 'í'«*. Esto significa que cuando (A, B) opera sobre un estado arbitrario el resultado es cero y, por lo tanto, como se quería demostrar ( 4, 5 ) = 0.

El estado tí»«* es degenerado respecto a a o a í> únicamente. Para una a dada las auto funciones de B con diferentes valores de 6, todas son degeneradas respecto al operador A viceversa.

Por extensión de este argumento se puede concluir que un conjunto completo de autofu nerones simultáneas de un conjunto de operadores, pueden existir solamente si los operadores conmutan entre sí. Teniendo en cuenta la degeneración asociada con estas autofunciones simultáneas, se puede decir que un conjunto de operadores mutuamente ortogonales es completo si define en forma única un conjunto completo de estados. Por ejemplo, para una partícula sin estructura el operador de momento constituye en sí un conjunto completo y lo mismo sucede para el operador de la posición, pero en general no sucede así para el operador hamiltoniano. Junto con H, el conjunto de operadores que conmuta con H define las constantes de movimiento cuánticas. Como se verá, la mayoría de estas constantes, aunque no todas, son análogas a las constantes de movimiento clásicas.

Es importante recalcar que si y 5 conmutan, el presente análisis no implica de ninguna manera que una autofunción de A sea necesariamente una autofunción de 5 y viceversa. Lo que se ha demostrado es la posibilidad de definir un conjunto simultáneo de autofunciones de operadores si éstos conmutan. Todo esto es obvio al expresarlo en términos de mediciones. La conmutatividad significa que observaciones independientes que no interfieran son posibles, pero no que tales observaciones se lleven a cabo necesariamente.

8. PRINCIPIO DE BVCERTIDUMBRE

Los observables toman valores precisos y definidos únicamente en sus autoestados. Para estados más generales, la observación proporciona valores’que fluctúan respecto al promedio o valores de expectación, de una medición a la siguiente. Para un estado aceptable 0 y tin observable dado A, se define la incertidumbre AA como la medida cuantitativa de estas fluctuaciones. La incertídiunbre está definida

como la raíz cuadrada media de la desviación de los valores observados de A respecto al valor de expectación. Se escribe ’

i A A y = { ( A - i A } r ) = i A ^ ) - { A ) \ (48)

donde todos los valores de expectación se toman respecto al estado que se supone normalizado por conveniencia.

Sean A y B dos operadores hemitianos que representan a un par de observables. Si y 5 conmutan, existen estados para los cuales cada uno tiene valores definidos debido a que las observaciones no interfieren. Pero si j4 y S no conmutan, de modo que la medición de uno provoca una perturbación en la medición del otro, entonces, no pueden conocerse simultáneamente con precisión arbitraria. Esta incertidumbre mutua no es una cuestión de técnica experimenta! sino de principio, el principio de incertidumbre. Como enunciado preciso de! principio, se demostrará que para cualquier estado aceptable 4»,

(49)

donde todos los valores de expectación se toman respecto a 4». Además, se demostrará que la igualdad en la ecuación (49), indicando la incertidumbre mínima posible se cumple sólo para estados tales que,

[ A - { A m = c [ B - { B ) ] ^ (50)

donde c es una constante, y al mismo tiempo,

= (51)

Para demostrar la afirmación anterior se consideran un par de funciones arbitrarias/ y g, las cuales cumplen la relación

(52)

’ l a equivalencia de las dos expresiones dadas en (48) se logra elevando al cuadrado la primera. Entonces,

({.A - { / ! ) ) = ) = i ( A ^ - l A { A ) + > .

A es algún número y al valor de expectación de cualquier número es el número mismo. Entonces, para toda n.

{ ( ( . A ) ”) ) ^ <A >".

Procediendo término a término,

( ( /(- (. >) > = iA^)-2{A)^+ {Ay =

que era lo que se quería demostrar.

Debido a que el integrando nunca puede ser negativo, la igualdad se cumple sólo si el integrando es idénticamente cero, es decir si,

(53)

donde c es una constante arbitraria.Elevando al cuadrado el integrando de la ecuación (52) y combi

nando los términos, después de algo de álgrebra se obtiene que,

/ f f * dx / g g * d x ^ í f g * d x / f * g dx , (54)que es la famosa deslealdad de Schwartz, en donde se substituyen / por F t¡/ y g por G >¡f dadas por,

F ^ A ~

Ya que y B son hermitianos y por ello tienen valores de expectación reales, F y G también son hermitianos. Por lo tanto, teniendo en cuenta la ecuación (48), la ecuación (54) resulta

S dx ! dx

= / i ¡ )F*G*^* d x f dx

O sea que,

(A/Í)HAB)^ ^ I í ^*FG<i, dx\ =

La cantidad es compleja porque FG no es hermitiana.Para separarla en su parte real y parte imaginaria, se introduce la identidad,’

EL PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE 1 1 5

FG = ~{FG + G F ) + ^

y se obtiene

( A A f { A B f ^ -h GFm + . (56)

Debido a que el primer término de la derecha en la ecuación (56) es real y el segundo es imaginario, el miembro derecho resulta ser la suma de los cuadrados, obteniéndose,

(A/í)HAB) i |((Í-)FG -H GF| )l*-h il(0|tF,G]|0)|*. (57)

En el primer término aparece el valor de expectación del análogo cuántico de la variable dinámica clásica siendo el producto ú ^ A y B .

* Ver la S«cción 2, en especial la ecuación (14) y también el Ejercicio 2, parte (c).

Este valor de expectación depende del estado y es posible anularlo. El segundo miembro, en el cual interviene el conmutador, con mucha frecuencia puede ser independiente del estado porque, como ya se ha visto, el conmutador de operadores que representan a variables dinámicas, en ciertos casos, es un número. Por lo tanto, el contenido esencial de la ecuación (57) es que existe una limitación fundamental para la determinación simultánea de ^ y 5 fuera de nuestro control, porque siempre se tiene que cumplir que

y usando la ecuación (55),(58)

que es la ecuación (49). Además, la igualdad se cumple si y sólo si el primer término de la ecuación (57) se anula, que se reconoce como la ecuación (51), y si la ecuación (53) también se satisface simultáneamente. Recordando que / y son F >() y G respectivamente, esta condición será

que se reconoce como la ecuación (50).Como caso particular se puede tomar la posición y el momento.

A p .

De la ecuación (49) se obtiene

B ^ X .

que es precisamente la desigualdad prometida e.i la discusión de la Sección 7 del Capítulo IIL Además, (Ap)'^(Ax)^ toma su valor mínimo h'-i4 Únicamente si el estado \l/ es tal que

( p - P„)^ = t (x — xn)^ (59)

y también que,

< M ( p - P n )U - j;«) + (j: - X «)(p - Pi>)|tí'> = o, (60)

donde se han usado las abreviaciones,

La función de estado definida por las ecuaciones (59) y (60) es el llamado paquete de ondas de incertidumbre mínima. Para determinar

EL PRINCIPIO DEINCERTIDUMBRE

este estado se parte de la ecuadón (59) que es equivalente a

117

y por lo tanto,

iPaX Ìc{x-XoVh Ih

Respecto a la ecuadón (60), la forma más sendlla sería la de considerar la relación de conmutación entre p y x que permite escribir

(p-/>o)(Jí-JCo) = 7 + (Jf-Jfo) (/>-/>«),

y la ecuación (60) resulta ser

J + 2{^\{x ~ x^){p - = 0 .

Usando la expresión (59), esta expresión puede escribirse como

por lo cual

c — —2

De donde se concluye que c es un número positivo e imaginario puro. Se puede escribir como,

c ^ ih iu ,

y finalmente se obtiene que

J (x ~ dxL* = 2 ; dx

que se satisface para toda L. Por lo tanto, el paquete de ondas mínimo es una gausiana,

é = A e v o í ^ ( ^ - x o Y ^ h 2U-

que puede normalizarse escc^endoj4 apropiadamente.

>. MOVIMIENTO DE PAQUETES DE ONDA

Se ha supuesto que las autofunciones de cualquier operador hermi- iano A forman un conjunto completo que siempre pueden escogerse n tal forma que sean ortonormales. Esto significa que cualquier fun- ;¡ón de estado arbitraria t) puede expresarse como la superposi- ;ión

a

londe son las autofunciones de A con autovalor a y donde [c„(t)|, !S la probabilidad de que la partícula se encuentre en el estado a al iempo t. Si f) se especifica para algún instante inicial í«, enton- :es, debido a la ortonormalidad de </'« se tiene que,

C'fl(ío) = / dx

! t„(f) se puede conocer iniciahnente. ¿Cómo cambia c„ en el tiempo? Este cambio está determinado por la ecuación de Schrödinger, ?ero no puede darse una receta general. Solamente s i A = H y a=E a descripción es sencilla. En este caso,

/

í’í-(ío) = Ce ío) d x ,

/ por lo tanto,

c'e(í) dx.

Al substituirla en la superposición

E

y como generaUzación de los resultados anteriores para la partícula libre, se obtiene que,

Mx,t) = / ilßix\io)K{x',x; í - í a ) dx', (61)

donde el propagador K es

K i x ' , x U - t o ) = '^ >P^*Íx ')<¡>e M ( ^ 2 )£

Como antes, se tiene que,

K ( x ' , x ; 0 ) = S { x - x ‘),

donde, inicialmente, K se encuentra muy localizada pero al pasar el tiempo se va ensanchando.

i 18 ECUACION DE SCHRÖDINGER

Las ecuaciones (61) y (62) establecen una solución formal para el problema del movimiento de una partícula libre bajo la influencia de fuerzas externas que se expresa en términos de un coiyunto completo de autofunciones del hamiltoniano. Es necesario recalcar que la solución es formal porque, aunque estas funciones sean conocidas, la suma infinita de (62) no se puede evaluar en forma cerrada excepto en casos especiales. En esta forma ha sido posible encontrar el propagador para la partícula libre, ecuación (IV-13), y más adelante se obtendrá K para una partícula acelerada uniformemente y para el oscilador armónico. ’ Estos casos especiales por lo menos indican un camino hacia las características generales de los propagadores. Como se esperaba, K se puede obtener y es muy útil en el límite clásico.

RESUMEN: LOS POSTULADOS DE LA MECANICA CUANTICA 1 1 9

10. RESUMEN: LOS POSTULADOS DE LA MECANICA CUANTICA

Se puede dar un breve resumen en la forma de una lista de postulados básicos que son los siguientes;

(1) Todo estado de movimiento de un sistema físicamente realizable, está descrito por una función de estado 0, Las funciones de estado físicamente aceptables son normalizables y univaluadas. Cualquier superposición de funciones de estado es una función de estado.

(2) Las variables dinámicas se representan por operadores hermitianos que actúan sobre funciones de estado. El espectro de autovalores de un operador, consiste en la totaUdad de valores físicamente reahzables del observable mencionado. Las autofunciones simultáneas de un conjunto completo de operadores que conmuten entre sí, es un conjunto único y completo de funciones de estado. Para una partícula sin estructura en una dimensión, la variable de posición es por sí misma un conjunto completo, y análogamente con el momento, Estos dos operadores se caracterizan por la relación de conmutación (p ,x )= Ä/i.

(3) La dependencia en el tiempo de una función de estado está regida por la ecuación de Schrödinger, = E^i, donde H = p^Hm h- F(x) es el operador hamiltoniano y donde,

'es el operador dy energía.

(4) El valor de expectación de cualquier variable dinámica A, cuando el sistema se encuentra en un estado 0 , es< »I»\A I«;»). El valor

* Para el primero, ver el Problema VI-8; el último se obtiene en el Capítulo VI, Sección 6.

de expectación se interpreta como el promedio de una serie de mediciones de A, realizadas sobre un conjunto de sistemas idénticos, cada uno de los cuales se encuentra en el mismo estado <1/.

Problema 1. Considerar un operador j4 y sus autofunciones 4»«, definidas en el intervalo O ^ x £ y con las condiciones a la frontera

= 0) = t/>a(x = £). (Estas condiciones se llaman condiciones a la frontera periódicas). Encontrar los autovalores y las autofunciones d e ^ para los siguientes casos:

(b) A = i-£ + k, donde k es real, positivo y fijo.

(c) A = operador integral definido por Atli = i j ((í(y) dy.

En cada caso, demostrar si es hermitiana o no y si el conjunto es completo.

Problema 2. Considerar la ecuación de autovalores,

A^aix) = ÍHpJx)

definida en el intervalo-L ^ x ^ L y bajo a las condiciones a la frontera,

= 0 .

(a) Si = (d¡dxY, determinar los valores de n para los cuales A es hermitiana.

(b) Encontrar las autofunciones de A que corresponden para a = O en los casos n = 3,4,5. Si existe d^eneración para una n dada, usar el procedimiento de Schmidt para ortogonalizar los estados degenerados.

Problema 3. Expresar la dependencia en el tiempo de la función de estado para,

(a) un sistema que es un autoestado de su hamiltoniano con autovalor /8,

(b) un sistema que es una mezcla no determmada de un conjunto de autoestados de su hamiltoniano con autovalor ^ y n veces degenerado.

Problema 4. Encontrar el intervalo más pequeño de x en el cual senTrjí/Xft y cos^rv/x* son ortogonales. Determinar á en este mismo

intervalo son ortogonales sen ttxIxq y sen 2irx/x^, sen yexp [iwx/xo] y sen vx/x^ y sen irx¡2xtt.

Problema 5. Sea <)>„ los estados estacionarios ortononnales de un sistema con energía Al tiempo í = O la función de estado nonnalizada del sistema es 'l· =X Suponiendo^, y c„ conocidas,

(a) escribir la función de estado del sistema para í > O,(b) calcular la probabilidad de que una medición de la energía al

tiempo t dé el valor E„(c) calcular el valor de expectación de la energía al tiempo t.

Problema 6, A y B son dos operadores hermitianos. De los siguientes operadores, (i) A B , (ii) A^, (üi) A B - B A , (iv) A B + B A, (v) A B A

determinar cuáles(a) son hermitianos(b) tienen valores de expectación reales no-negatívos,(c) tienen valores de expectación i m í t a n o s puros,(d) son operadores numéricos.

Problema 7.(a) ^ y B son operadores hermitianos, tales que >4* = = 2;

obtener los autovalores de cada uno.<b) Sean (ft* las autofunciones de B que corresponden a los auto-

valores b. Suponer que A es tal que, < M | 6) = O, De la definición de incertidumbre, calcular la incertidumbre en A para un estado con B definido,

(c) Usar este resultado y al princ^io de incertidumbre para obtener el valor de ( (A, B)\ *l>(,}. Verificar la respuesta por cálculo directo deí valor de expectación del conmutador.

Problema 8.(a) Si , 5 y C son operadores aibitrarios, demostrar que

i A , B C ) = ( A , B ) C + B { A , C ) .

(b) Usar este resultado para obtener que,

I iAB} = B) + (A + i <Í / / ,^)B) + I i A{H, B) } .

Problema 9. Para un sistema descrito por el hamiltoniano f f = p^f2m + F(x), obtener una expreáón para df{j^f2m){dt. Discutir la relación entre este résultado y el teorema clásico del trab^o-energía.

Problema 10. Se ha afirmado que la relación de conmutación (p .x ) = hfi es fundamental. En el espacio de c o n ju ra c ió n , donde x es un

RESUMEN: LOS POSTULADOS DE LA MECANICA CUANTICA 121

operador numérico, se ha representado p como el operador diferencial,

_ ñ d ^ i dx'

que es consistente con la relación de conmutación. En forma general, también se podría escribir

sin violar la relación de conmutación y donde f ( x ) es arbitraria. Si esto se hace,

(a> encontrar ias nuevas autofunciones del momento ií»p,(b) expresar una función de estado arbitraria 0 (x) como super

posición de estas autofunciones de momento,(c) verificar que ninguna propiedad físicamente observable del

sistema depende de /(:v) y, por lo tanto, f (x) = O siempre es posible.

Problema 11. Considerar el propagador K de la ecuación (62).(a) Demostrar que K satisface la ecuación integral

dx".

(b) Interpretar esta ecuación como la variación en el tiempo de una función de estado de ío a f, y después de f, a íi.

(c) La ecuación (6 1 ) se obtuvo de la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo y es equivalente a ella. Verificar este resultado obteniendo la ecuación de Schrödinger de la ecuación (61 ). Suponer que »í<£(x) son soluciones conocidas de HíieÍx ) = £ 'fe(x ) conII conocida.

Problema 12. Sean 0n(x) los estados estacionarios ortonormales de un sistema con energía E. Sea 0) la función de estado normalizada del sistema al tiempo í = O y tal que una medición de la energía del sistema resulte E, con probabilidad i , E^ con probabilidad ^ y £ 3, con probabilidad 5 .

(a) Escribir la expresión más general posible para (x, 0) en términos de (x) y consistente con los datos.

(b) Escribir una expresión para la función de estado 0 (x, í) al tiempo / > 0 .

(c) Determinar cuál de las siguientes cantidades tienen valor de expectación que son independientes del tiempo cuando el sistema se entuentra en el estado íí»{x, í) de la parte (b):

1 2 2 ECUACION DE SCHRÖDINGER

(i) posición {x} (iv) hamiltoniano H(ii) energía cinética, , / dV

(iii) energía potencial V(x) impulso y~t

(d) Lo mismo que en (c) cuando el sistema se encuentra en uno de sus estados estacionarios <l>».

Problema 13. Sea C el operador que cambia a una función en su compleja conjugada,

Cijf = tp*,

(a) Determinar si C es hermitiano o no.(b) Encontrar los autovalores de C,(c) Determinar si las autofunciones de C forman un conjunto

completo y si son ortogonales. Explicar brevemente las respuestas.

Problema 14. Demostrar que si el potencial K(x) cambia en una constante en todas partes, las funciones de estado estacionarias permanecen inalterables. ¿Qué se puede decir de los autovalores de energía?

Problema 15. Demostrar que el valor de expectación del cuadrado de un operador hermitiano nunca puede ser negativo.

Problema 16.(a) Usando el resultado dado en el problema 8, parte (b), en

contrar una expresión para d¡dt Y> considerando un estadoestacionario <í'£·, demostrar el llamado teorema del virial

RESUMEN; LOS POSTULADOS DE LA MECANICA CUANTICA 1 2 3

(b) Encontrar el teorema del virial parala mecánica c/ás/cíi transcribiendo la demostración al lenguaje clásico.

Problema 17,(a) Encontrar una expresión para (Ajt)‘'(A7)* donde T = p^l2m

es ei operador de energía cinética.(b) Encontrar una expresión para (Ap)*(A//)*; for (Ajf)*(A//)*.(c) ¿Porqué estos resultados son mucho menos interesantes y

útiles que los obtenidos en el texto para las incertidumbres mutuas en X y p?

VIEstados de una partícula

en una dimensión

1. CARACTERISTICAS GENERALES

Los estados que se van a considerar conesptmden a los estados estacionarios ÿe(x) de una partícula moviéndose en una dimensión. Estos estados son soluciones de la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo H «(»kOc) =E V'íCc) que, escrita en el espacio de configuración, resulta ser la ecuación diferencial de segundo orden.

2m dx^ (1)

Antes de estudiar las soluciones de esta ecuación para potenciales particulares, es conveniente discutir las características generales de éstas para un potencial de tipo general cuya forma se esboza en la Figura I. Al dibujar la figura, el cero de la energía se ha escogido en tal forma que V(x) se anule para x Al crecer x se supone queV (x) crece negativamente hasta algún valor mmimo Vt , después del cual crece y alcanza el valor cuandox^+ oo .E ste potencial es suficientemente general para los propósitos mencionados.

Las propiedades de los estados de movimiento, clásicas y cuánticas, están completamente determinadas por la energía. Se pueden distinguir cuatro regiones en la forma siguiente;

c a r a c t e r ís t ic a s GENERALES 1 2 5

( 1) E > y¡, por ejemplo, £ , en la figura.(2) O < £ < y, /p o r ejemplo £ 2 en la figura.(3) F í < £■ < Ó, por ejemplo en la figura.(4) £ < V2 , por ejemplo en la figura.

A continuación se examinan en este mismo orden.( O í · > V , . En esta región la energía cinética E - F(x) siempre es

positiva. Clásicamente existen dos estados de movimiento independientes. En uno de ellos, la partícula se mueve hacia la derecha y en el otro la partícula se mueve hacia la izquierda. Cuánticamente también existen dos estados de movimiento independientes, aunque más complicados, y corresponden a las dos soluciones independientes de la ecuación diferencial de segundo orden (1). Como la energía cinética es positiva en todas partes, se concluye de la ecuación (1) que d^:^B¡dx^ y i(»E· tienen signos opuestos en todas partes. Por lo tanto,

siempre es cóncava hacia el eje x, es decir, oscilatoria. Por consiguiente, ift£ está acotada pero se extiende a infinito por ambos lados.' Comparte estas propiedades con las autofunciones de momento y, como ellas, no son estrictamente aceptables físicamente. Estos estados, como , también representan idealizaciones muy útiles de los cuales pueden construirse verdaderos estados físicos (paquetes de onda). Los dos estados cuánticos independientes no corresponden a un movimiento hacia la izquierda solamente o bien hacia la derecha; por ejemplo, una partícula incidente por la izquierda no necesariamente continúa su movimiento indefinidamente sino que algunas veces se refleja. Por esta razón los estados son bastante complicados. Estos estados· se presentan para cualquier energía que sobrepase a Vi, concluyendo que el espectro de energía es continuo y doblemente degenerado en esta región.

‘ En la Figtua 1 la sohidón ilustra este oomportamieMo.

126 ESTADOS DE UNA PARTICULA EN UNA DIMENSION

(2) O < £” < Fl . En esta re^ón la energía cinética es positiva a la izquierda de la intersección de £ y K(jc), y negativa a la derecha. El punto de intersección, donde E = F(x) y la energía cinética se anula, es el punto de vuelta clásico del movimiento. Clásicamente, una partícula moviéndose hacia la derecha se refleja en el punto de vuelta y regresa hacia la izquierda; éste es el único tipo de movimiento. Cuánticamente existen dos soluciones independientes de la ecuación de Schrödinger, pero sólo una es aceptable (aún como estado ideal). A la izquierda del punto de vuelta clásico, las soluciones de la ecuación (1) son oscilatorias. Pero a la derecha, donde d \l»E¡dx tiene el mismo signo que , las soluciones son convexas respecto al eje x, por lo cual, crecen sin límite o decrecen rápidamente a cero cuando x crece. La solución general de la ecuación (1 ) contiene una superposición arbitraria de estos dos tipos de soluciones, pero sólo la solución que decrece a cero está permitida por los requisitos físicos. Una de estas soluciones, f e , se ilustra en la Fig. 1. Así, se puede concluir que e/espectro es continuo y no degenerado en esta región. Las soluciones se parecen a las soluciones clásicas en el sentido de que una partícula siempre se refleja.

(3) < £ < 0. En esta r ^ 6 n existen dos puntos de vuelta clásicos y entre ellos la energía cinética es positiva, siendo negativa en to do el resto. Clásicamente, el movimiento es periódico, ccai período determinado por la energía. Entonces, existe sólo un tipo de movimiento para una energía dada. Cuánticamente el movimiento es posible únicamente si la energía tiene exactamente el valor apropiado que corresponde a uno del conjunto de valores propios que constituyen un espectro discreto no degenerado. El argumento es el siguiente: la solución general de U ecuación (I) contiene términos crecientes y decrecientes en la región a la derecha del punto de vuelta derecho y en la región a la izquierda del punto de vuelta izquierdo. Una solución físicamente aceptable tiene que decrecer a cero en ambas regiones. Se escoge aquella solución que tiene las propiedades deseadas a la derecha, Uamindola ,^b derecha, especificada en forma única. Pero a la izquierda, se escoge la solución que decrece a cero »í<e , ¡zqui. También es única. Ambas soluciones, der y >f'£,izq oscilan en la región entre los puntos de vuelta, pero en general no coincidirán suavemente en la reglón común de existencia, Al variar E, la curvatura de estas funciones se altera y la rapidez de oscilación varía, y por lo tanto , si E tiene exactamente el valor correcto, *|»E,izq y 'Í>E,dei pueden unirse suavemente. Podría decirse que este hecho corresponde a escoger E en tal forma que un miembro determinado de las ondas de de Broglie cabe exactamente entre los puntos de vuelta. (Ver la solución f e de la Figura 1 ). Los valores discretos de £ para los cuales se

iVréíMlAh·

CLASIFICACION POR SIMETRIA; EL OPERADOR DE PARIDAD 127

cumple lo anterior, son las energías permitidas. Debido a que la partícula está confinada en una región finita, estos estados se llaman estados ligados. Entonces, se puede concluir que el espectro de estados ligados en una dimensión es discreto y no degenerado.

(4) E <V^ . En esta región, la energía cinética es negativa en dondequiera y ningún movimiento clásico es posible. Tampoco pueden existir estados cuánticos debido a que las soluciones de la ecuación (1) son convexas respecto al eje x en dondequiera y, por lo tanto, crecen sin límite en un sentido o en otro.

2. CLASIFICACION POR SIMETRIA: EL OPERADOR DE PARIDAD

La mayor parte de los potenciales de interés en el dominio microscópico describen interacciones entre parejas de partículas. Estos potenciales son generalmente funciones simétricas de la posición y esta característica permite una simplificadón considerable en el análisis. Por ejemplo, se puede considerar el caso particular para el cual sea simétrico,

y(x) = . (2)

La simplificación mencionada es una consecuencia del hecho de que cuando V es simétrico también lo es el hamiltoniano H. Entonces, cuando H opera sobre cualquier función no cambia las propiedades de simetría de la función. Esto significa que la ecuación de Schródinger puede separarse en dos ecuaciones independientes, una que contiene funciones de estado simétricas y otra que contiene funciones de estado antisimétricas solamente. Este resultado se demostrará a continuación.

Para este propósito se introduce un nuevo operador P, llamado operador de paridad, definido por,

P f U ) = n - x ) , (3)donde f { x ) es arbitraria. Entonces, el operador de paridad simplemente cambia el signo de las coordenadas espaciales de la fiinción sobre la cual opera.

El operador P es hermitiano, ya que para funciones aceptables y 0 2 se tíene que,

^,*\x)P^Ax) dx - í: <l/,*(x)il>ii-x) dx

/: dx.

1 2 8 ESTADOS DE UNA PARTICULA EN UNA DIMENSION

donde se ha cambiado la variable de integración de jc a -x ai pasar a la segunda línea.

Para encontrar los autovalores y las autofunciones de este operador hermitiano, se buscan soluciones de la ecuación

Operando sobre esta ecuación con P se tiene que

pero, para cualquier función/(Jc)P-f{x) = PEP/ÍAr)] = Pf{-x) = f i x ) .

Comparando las dos ecuaciones, a® = 1 y, por lo tanto, los autovalores del operador de paridad son más o menos uno. Llamando y *lf- a los autoestados correspondientes, se tiene que,

= = (4)

o lo que es lo mismo,

donde 0+ es cualquier función par y es cualquier función impar, además de que son ortogcmales. Se tiene el resultado curioso de un operador hermitiano con dos autovalores únicamente, cada uno de los cuates está infinitamente degenerado.

Las autofunciones de P claramente forman un conjunto completo, ya que cualquier fundón áempre puede expresarse como la suma de su parte simétrica y su parte antisimétrica. Se escribe,

f ( x ) = M x ) + f A x ) .

londe/+ está defirüda por

f A x )

y claramente es simétrica, mientras q u e / - defmida por,

f-{x)

es obviamente antisimétrica.Una forma interesante de escribir estas expresiones es la de substi

tu ir / ( - jc) p o r S e obtiene,

/+ U ) = ^= — /(X)

CLASinCACION POR SIMETRIA: EL OPERADOR DE PARIDAD 1 2 9

Las cantidades

/>, - ' 4 ^ (5)

se llama operadores de proyección: P+ proyecta la parte simétrica opar de un estado general, y P- proyecta la parte antisimétrica o impar. Además,

P^P_ = P . P ^ ^ O (6)

P, + P- = \,

que establece las propiedades generales de estos operadores de proyección. En forma sucinta se tiene que,

^ / U ) = / . W . (7)

Ejercicio 1. Verificar las expresiones de (6) por substitución de la ecuación (5).

Para concluir, lo único que se necesita recalcar es que P conmuta con el hamiltoniano si V(x) es simétrico porque,

PiH^I,) = H i - x m - x ) = H{x),f,(-x) = HP^ .

Además P^ conmuta con H y, por lo tanto, al operar sobre la ecuación de Schródinger con P± se obtienen el par de ecuaciones independientes

H^e, - = E’Í»e, -·

Este resultado establece que los estados estacionarios en un potencial simétrico se pueden clasificar de acuerdo a su parida, es dedr, siempre se pueden escoger con simetría definida sin que por esto se pierda generalidad. Aún más, ya que los estados ligados en una dimensión no están degenerados, cada estado ligado en un potencial m é tr ico tiene que ser par o impar.

3. ESTADOS UGADOS EN UN POZO CUADRADO

Como ejemplo se estudiarán los estados ligados en uno de los potenciales más sencillos, el pozo cuadrado. Este potencial se define como.

y(x) =— k',,, —a < X < aO, \x\ > a . (9)

y se muestra en la Figura 2. Como F(x) es simétrico los estados ligados tienen simetría definida, to cual simplifica mucho el álgebra.

Región IIII

Región II Región I

X =1—a

1

X =1= a

y = Q

V - - V,

Figura 2. El pozo de potencial cuadrado.

Como se buscan estados ligados, la energía E tiene que ser negativa y es conveniente introducir la energía de ligadura € definida por

c = - E ,

por lo cual la ecuación de Schrödinger resulta ser(10)

01)

En la región a la derecha de jc = a, llamada región 1 (ver Figura 2), K(jc) se anula y la ecuandón ( t 1) se reduce a

dx^2rm

fe = 0, (12)

cuyas soluciones generales son tl>E ~ . Se escoge sólo la exponencial negativa porque la otra solución crece sin límite cuando jc

tiene a infinito. Por lo tanto, en esta región

tííg = C, e-v5Síí/íí Q3)

Análogamente, en la región a la izquierda de la región III 'Pe también satisface la ecuación (12) y tiene la forma

ESTADOS LIGADOS EN UN POZO CUADRADO

Ψ —, oV¿me jTífíÉ- III

131

(14)

apareciendo únicamente la exponencial positiva, ya que en caso contrarío i¡f crecería sin límite cuando x tendiera a menos infinito.

Finalmente, en la región central entre x = — a y x = a ^ i & región II, donde F(jí) = — Vo, la ecuación <11 ) resulta ser

En esta región es oscilatoria y la solución general se expresa en la forma,

eos {VlmiVo — e)xlk) + Cn*“’sin {V2m(í^n — €)x/h). (15)

Entonces, la función de estado tiene forma diferente en cada región. Ya que V(x) es discontinua al pasar de una región a otra, la ecuación (11) establece que la segunda derivada de *lfB también es discontinua, pero >pB y su pendiente son continuas. Por lo tanto, se tienen dos condiciones de ccnitinuidad que tienen que satisfacerse en la frontera entre las regiones, lo que proporciona cuatro ecuaciones lineales y homogéneas para los coeficientes C\,C\ilC\^'y Cm , Siestas ecuaciones tienen solución el detenninante formado por los coeficientes tiene que anularse. Esta condición determina los valores permitidos de €.

Para reducir el álgebra se hace uso del hecho de que los estados ligados en un potencial simétrico tienen simetría definida; son pareso impares. A continuación se examinan estas dos posibilidades.

Estados Pares;<í'£(x) = 0 b ( - x ) . Para los estados pares se obtiene q u e C iii= C| y C|,‘“* = 0 en la ecuación (15). Además, cualquier condición de continuidad impuesta en jc = a se satisface automáticamente en x = -a debido a la simetría. Solamente se necesitan aplicar estas condiciones en x = a. Al hacerlo, se obtiene :

continuidad de *li

C, = c„<+* CCS {V2m(V^-€) aih)

continuidad de d^idx

C, ^ _ V2m{Vo _e) {V2m(V^- i) afh).

Tomando el cociente de la segunda ecuación entre la primera se obtiene que,

V e = V F o — € tan ( V2m(l·'# — e) a/A) , (16)

BN UNA DIMENSION

1 1 «ipectro de energía de los estados pares, ndente y sus raíces no pueden determinarse al-

Un procedimiento gráfico bastante sencillo y que una caracterización simple, seria el de grafícar el miem

bro dtnciho y el miembro izquierdo de la ecuación (16) como fundón de i ; las raíces serán los puntos de intersección de las dos curva·. Este procedimiento se ilustra en la Figura 3. Ya que el miembro izquierdo resulta imaginario para e negativa y el miembro derecho es real> las raíces existen solamente para e positiva. Este resultado es consistente con lo que se esperaba, ya que e negativa o energía de ligadura negativa, significa que el estado no está ligado. Por otra parte, el miembro derecho resulta negativo para € > y permanece así, como se muestra en la figura y, por lo tanto, no existen estados con energía de ligadura que sobrepasen la profundidad del pozo > de acuerdo con lo esperado. Estas dos limitaciones significan que las

Figura 3. Solución gráfica de la ecuación (16), para las energías permitidas de los estados pares de una partícula en un pozo cuadrado. La curva continua representa el miembro derecho de la ecuación (16) y la curva discontinua el miembro izquierdo. Las intersecciones dan las energías permitidas. Para el valor escogido de F*existen dos energías. La energía del estado base €| y la del siguiente estado más alto

De la figura se observa que el número de raíces y, por lo tanto, el número de estados ügados pares, dependen del número de ceros del miembro derecho de la ecuación (16) cuando é s 0. Los ceros del miembro derecho ocurren cuando,

í = « = 0 ,1 ,2 .........

o sea, cuando € = K , e= V» -ir^h'^Uma^, etc. En la figura se ilustran dos ceros y, por lo tanto, existen dos estados. La energía del estado

ESTADOS LIGADOS EN UN POZO CUADRADO 1 3 3

más ligado es e, y la eneigía del otro estado es ¿3 . La razón de escoger los índices de esta manera se aclarará más adelante. Al decrecer V», la curva que representa el miembro derecho de la ecuación (16) se desplaza hacia la izquierda, y cuando K« < existe un ceroy un estado l^ado solamente. Análogamente, al crecer la curva se desplaza hacia la derecha y cuando V« ^ {2-nyh^l2má^, existen tres ceros y tres estadas ligados, y así sucesivamente. Resumiendo, cuando,

(17)

existen n +1 estados ligados pares. Es necesario recalcar que si V» es positiva siempre existirá, por Jo menos, un estado ligado.

Estados Impares: ^ff(jc) = ~ ;c), Para estados impares,Cir, = -CE y Cii^'en la ecuación (15) tiene que anularse. De nuevo, cualquier condición de continuidad impuesta en jí = a se satisface automáticamente en x = - a por simetría. Procediendo en la misma forma que en el caso anterior, se encuentra que para estados impares, e está determinada por la ecuación

V i = - V f ^ ^ ctn (V 2 m (ro -€ ) a/ft),

que también se resuelve gráficamente como se ilustra en la Figura 4. Se ha usado el mismo valor de Va <iue en la Figura 3, y resulta que se tienen también dos estados ligados, cuyas energías se denominan e¡¡ y

Figura 4. Solución gráfica de la ecuactón (IS) para las energías permitidas de los estados impares de una partícula en un pozo cuadrado. La curva continua representa el miembro derecho de la ecuación (18) y la curva discontinua el miembro izquierdo. Las intersecciones dan las energías permitidas. La energía del estado impar más b^o es «t y la del siguiente estado impar es

1 3 4 ESTADOS PE UNA PARTICULA EN UNA DIMENSION

et. Al comparar con la Figura 3 resulta que «, > e* > « > . Usandolos mismos argumentos anteriores, se concluye que el número de estados l ^ d o s impares es igual al número de ceros del miembro derecho de la ecuación (18) para « ^ O, y que existen exactamente (n + 1 ) estados ligados impares cuando

+ « Ko< [{n+íUYh^l2maK

Sin embargo, no existen estados ligados impares si

(!)■ ft*2ma*‘

(19)

(20)

Este resultado es muy importante y se examinará al discutir problemas tridimensionales.

Los resultados se pueden resumir en la siguiente forma. Al crecer Vo desde cero, al principio sólo existe un estado ligado que es un es

tado par. Al llegar al valor

= { e Y J L ·

aparece el primer estado impar. Cuando

K-- 2ma*’

aparece el segundo estado par. Cuando,

\ 2 ) 2ma*'

aparece el segundo estado impar, y así sucesivamente. Para dada, el espectro consiste de estados pares e impares alternados, siendo par el estado más bajo o estado base, el siguiente es impar, y así sucesivamente, dependiendo el número total de estados de la magnitud de Kft. En la Figura 5 se esboza el espectro y las funciones de estado para el caso particular ilustrado en las Figuras 3 y 4, donde Vq tiene dos estados pares y dos estados impares. De la figura se puede adivinar que cuando decrece, o sea que el pozo se hace menos profundo, el estado más alto es empujado hacia fuera, después el siguiente estado y así sucesivamente, coincidiendo con el análisis indicado. Sin embargo, las ecuaciones (17), (19) y (20) son restricciones sobre y o y no sobre solamente, como se ha supuesto en la discusión por simplicidad. Un decrecimiento en , en sus efectos sobre la energía (pero no sobre la función de estado), es indistinguible de un decrecimiento en . Si decrece gradualmente haciendo el po

EL OSCILADOR ARMONICO 1 3 5

zo más estrecho, también salen sucesivamente los estados más altos.Hay que notar que las funciones de estado se extienden más allá

de las paredes del pozo, en lo que es la región prohibida clásicamente. De acuerdo con las ecuaciones (13) y (14), las fundones de onda decaen exponencialmente en esta región como . Por lo tanto, la distancia que penetran las funciones de estado está dada aproximadamente por

hV2w€’

que es la distanda necesaria para que la exponendal decrezca a l¡e. Para los estados más bajos, donde e es grande, esta distancia es muy t>equeña y la función de estado también es muy pequeña en la frontera. En el límite de un potendal infinitamente profundo, estos estados se anulan en las fronteras y sus energías, medidas respecto al fondo del pozo, crecen como /i* de acuerdo con el análisis previo de los estados de una partícula Ubxe en una cí«a.

Por otra parte, cuando e es pequeña, como por ejemplo en la Figura 5, la distancia h resulta muy grande y la partícula no se puede considerar totahnente confinada al interior del potencial, como se requiere clásicamente.

V = 0 K = o

y ^ - V,Figura 5. Energías de los estados ligados y funciones de onda en un pozo cuadrado. Cada estado de energía más alto tiene un nodo más que el estado precedente.

4. EL O SaLA D O R ARMONICO

A continuadón se considerará el problema más importante de la mecánica cuántica, el osdlador armónico. Reladonado a esta impor- tanda está su simplicidad; es uno de los dos o tres ejemplos no triviales que se pueden resolver explídtam ente con toda generalidad. Se le dedicará la atención que merece.

■iMÈà

1 3 6 ESTADOS DE UNA PARTÍCULA EN UNA DIMENSION

La energía potencial de un oscilador armónico de frecuencia w puede escribirse en la foima,

y la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo será,

(21)

De la discusión general de la Sección 1, se deduce que los estados del oscilador armónico tienen energía positiva, son discretos y no degenerados. Estos estados se encontrarán mediante dos métodos diferentes. El primero, es el método de las series de potencias y el segundo, es el método de factorización.

El Método de Serie de Potencias, Si se introduce la variable sin dimensiones y definida por

(22)y = Vmto/ft JC,

la ecuación de Schrödinger resulta ser.

Cuando y tiende a infinito, el término en E es despreciable comparado con el ténnino en y* y se verifica fácilmente que >/'£■(>’) se comporta como , multiplicado por algún factor algebraico. La solución físicamente aceptable contiene solamente el signo menos y, sin pérdida de generalidad, se puede escribir

(23)

Substituyendo en la ecuación de Schrödinger, despúes de ciertas simplificaciones, se obtiene que

(24)

Esta ecuación se resolverá desarrollando u en serie de potencias en y. Ya que el potencial del oscilador armónico es simétrico, los estados tienen paridad definida. Se considerarán por separado los estasos pares y los impares.

Estados Pares: u(y ) = u(-y). Se busca una solución en la forma de una serie de potencias. Ya que u es simétrica, únicamente potencias pares de y intervendrán y se puede escribir

(25)

Substituyendo en la ecuación (24) se obtiene que,

¿ 2 j (2 5 - 1) '*>'"'*■'’ + 2 ( ^ - I - 4 í ) a * y * * = 0.O O

Substituyendo s por s + 1 en la primera suma, esta expresión s6 puede escribir como,

¿ \ n s + 1) ( 2 i + t )«*+, + ( | ~ - 1 - « .] ) '* * = O ·O

El coefidente de cada potencia de y tiene que anularse por separado y, por lo tanto, se obtiene la relactón de recurrencia

4 s + í - (2Elh^) ..2{s+ l)(2í-l- 1) ™

Dado el coeficiente a , todos los coeficientes en el desarroDo pueden determinarse sucesivamente.’ Entonces,

EL OSaLADOR ARMONKX) l}t

y se obtiene una representación en serie para la solución simétrica de la ecuación (24). La forma de esta solución para y grande está determinada por el comportamiento de a, para s grande. De la ecuación(26) se tiene que

^ = 1 , 5 ^ 0 0 .o, s

Esta razón es exactamente la misma que la razón de los coeñcientes en el desarrollo en serie de potencias de la función exponendal. Entonces, cuando y^ tiende a infinito, u(y) divei^e como e“’, de donde, por la ecuación (23), <í>e(>') diverge como Esto no es una sorpresa, ya que se argüyó que la solución general de la ecuación de Schrödinger se comporta comoí’-"*'^para^ grande. Como la solución general debe de contener términos de ambos signos, necesariamente

La importancia esencial de la tiansfonnación de la ecuadón (23) puede aclaiaise ^ o i a . El lector puede veiiflcar que si pero no u, se desaiioUa en serie de potencias, la fónnuhi de lecurreinda que se obtenga relaciona tres coercientes y po dos, como en la ecuación (26). Estas relaciones entie ties ténninos son, en general, muy dffíciles de resolver.

domina la exponencial positiva. Esta catástrofe puede evitarse si la serie termina después de r términos. De la ecuación (26) se concluye que esta condición se cumple si y sólo si E tiene uno de los valores discretos,

E = y (4 r + 1) = (2r + ^)ftí^, r = 0, 1,2, . .

ya que ür+i, y todas las a, siguientes se anulan. Entonces, se han obtenido un conjunto infinito de soluciones, una para cada valor del entero r. Estos estados simétricos, todavía no normalizados, están dados explídtam ente por

/■ = O, E = A(o/2, í “”''*

f = 1, £ = 5W 2, = «oí 1 - 2y*) (27)

r = 2 , £ = 9hw/2, »1»* = «od - + | y^)

13 8 ESTADOS DE UNA PARTKULA EN UNA DIMENSION

Antes de discutir estas soluciones, es conveniente considerar primero los estados impares.

Estados Impares: «(>') = - u ( - y). Para este caso se expresa u como una serie en potencias impares de y,

ú

Substituyendo en la ecuadón (24) y haciendo las mismas operadones que antes, se obtiene la relación de recurrencia,

_ + 3 — 2E/ft(o2 { s + I ) ( 2 i + 3)

La solución también diverge excepto si la serie termina después de r términos y, por lo tanto, E sólo puede tomar los valores discretos,

£ = (2/- + |)/íw ; r = 0 , l , 2 .........

y las soludones correspondientes sin normalizar son,

r = O, £ = 3 W 2 , = a^y

r = \ , E = 7 M 2 , «í»£ = Opy(I - § y") ·(28)

Reuniendo todos estos resultados se concluye que el estado más bíyo es par y su energía es ft<ü/2, el siguiente estado es impar con

energía 3h<o¡2, el siguiente es par con enei^ía 5h<a¡2,y así sucesivamente. Entonces, el espectro completo se expresa como,

(29)

y los estados son pares o impares según que n sea par o impar. Este es precisamente el espectro propuesto por Planck excepto por la constante aditiva hw/2. La necesidad de este término en el espectro, la energía del punto cero, es obvia si se toma en cuenta el principio de incertidumbre.

Ejercido 2. Usar el principio de incertidumbre para obtener el orden de magnitud de ía energía del punto cero.

La forma más conveniente y usual de escribir las funciones de estado es la siguiente.’

Llamando </>« al estado con energía En, se escribe

'í'n (■«) = ^ (>’) y = Vmw/A jr

(30)

Las funciones h»(y) son polinomios de grado n en potencias pares o impares de y según que n sea par o impar. Estos polinomios se llaman polinomios de Hermite, y los primeros son,*

h^{y) = 1 / i 3 = 8 / - 12y

hi{y)=2y h,= \(>y*-A^y^+\l (31)

htiy) = - 2 h = I2y^ - lóOy“ + 120>-.Los primeros cuatro estados del oscilador armónico se muestran en la Figura 6. Como es usual, se nota que el número de nodos de la función de onda aumenta por uno al pasar de un nivel de energía al inmediato superior.

Una característica curiosa del oscilador armónico es su simetría completa respecto al espacio de configuración y al de momentos. Ya que el operador hamiltoniano es

2m 2

La normalización de las funciones de estado se discutirá en la Sección 4 / 5 .

* Ver la Referencia (7) para una lista más extensa.

(32)

z

n = 3, = lf¡w¡2

n = l,E, = 5ÍÜ./2

« = 1,£i = 3Íü)/2n = O, £o - fiü,/2

Figun 6. Estados de energía y funciones de onda para el oscilador armónico.

a ecuación de Schrödinger^ en el espacio de momentos es idénticai la del espacio de configuración si m se sustituye por 1 /mítt*. Enonces, es fácil comprobar que las funciones de estado en el espacio le momentos son.

(33)

ía gráfíca de estas funciones superpuesta sobre una gráfica de la inercia cinética p^2m , tiene exactamente el mismo aspecto que la "igura 6.

El Método de Factorización. El segundo método, que se presen- ará a continuación, es un método exclusivamente operacional para )btener los autoestados del oscilador armónico. Este procedimien- o, introducido por Dirac, se llama el método de factorización.

Se introducen dos nuevos operadores que se definen en la siguiente brma. El primero llamado a, se expresa en la forma

a = V/nft»/2A jt -I- / vT J lñ u a h p , (34)

F el segundo se define como eí adjunto del primero. Es el análogo leí complejo conjugado para operadores. De acuerdo con la ecua- :ión (V-13) se expresa como

a i = X — i Vl/2/n<tiA p , (35)

londe, como en el Capítulo V, se ha usado la daga para simbolizar el idjunto.

ELO SaLA D O R ARMONICO 141

Para referencia futura, a y a f se expresan en ténninos de la variable sin dimensiones y de la ecuación (30) como.

y análogamente, en el espacio de momentos por

(36)

(37)

escrito en ténninos de la variable ^ de la ecuación (33). Además, como se puede verificar fácilmente,

. resultado obtenido al usar las emaciones (34) y (35) para expresar el miembro izquierdo en términos de x y p y llevando a cabo la multiplicación indicada. Reconociendo el término entre paréntesis comoel hamiltoniano y evaluando el conmutador se obtiene que,

= (38)

donde í f es el operador hamütoniano.’ En la misma forma se encuentra que,

= (39)

Restando la ecuación (39) de la ecuación (38), se obtiene que a y a t satisfacen la regla de conmutación

{a ,a t) = l , (40)

mientras que sumando las dos ecuaciones resulta que,

aaf + aU = ~ H . (41)ñcj

* El método lleva su nombre debido al hecho de que, excepto poi una constante aditiva, el hamiltoniano ha sido JSittor&otfo e au n producto de dos nuevos operadores 0 y a f .


La ecuación de Schrödinger puede entonces escribirse de tres maneras completamente equivalentes, las que corresponden a las ecuaciones (38), (39) y (40);

( o o t - i ) (42a)

(42b)

{aaf + ata) ^ e = 'I>e · (42c)

Como paso esencial para resolver la ecuación de Schrödinger, se demostrará que si se conoce para alguna E, a partir de ésta se puede construir sucesivamente un conjunto infinito de soluciones. Para hacerlo se opera sobre la ecuación (42a) por la izquierda con a% osea.

o bien

y sumando a cada miembro íitííf£· se obtiene que

+ a1fipE=^ hti} atipe-

Comparando con la ecuación (42b) resulta que también es solución de la ecuación de Schrödinger, pero con el autovalor de energía E + fia>, o sea que,

at>¡iE = C^^E+u>, (43)

Donde C+ es una constante. Repitiendo este procedimiento, se puede generar a partir de un estado dado una cadena infinita de estados igualmente espaciados con energías £ +hút ,E + 2 h w , E -I-3Ä(o, y así sucesivamente. Ya que el operar con a t aumenta la energía por un paso, a t se llama el operador de ascenso o más comúnmente el operador de creación.

También se puede demostrar que al dar 0^ se pueden construir sucesivamente estados de energía menor. Para hacerlo, se opera con a sobre la ecuación de Schrödinger (42b) encontrándose

(44)

por lo cual se puede escribir que,

aE = C-^E-iu»·

Por razones obvias el operador a se llama el operador de descenso, o bien, operador de aniquilación.

La operación repetida con a extiende la cadena hacia abajo a partir de E en saltos de ha>. Pero la energía de un oscilador armónico nunca puede ser negativa,* por lo cual, la cadena termina, llamando Eo a la energía del estado más bajo y >íto al autoestado correspondiente.

Para £ = ¿"o la ecuación (44) resulta


Excepto si a«í»o se anula, esta ecuación establece que úfií»o es un auto-estado con autovalor Eo — Aw, en contradicción con el hecho de queEo es el estado más bajo. Por esto se concluye que »í<o es tal que,

a^o = O, (46)y de la ecuación (42b) se concluye que Eo tiene el valor

Eo = htol2.

Suponiendo que se conoce , el resto de los estados del oscilador armónico pueden construirse por aplicación sucesiva de a t sobre incrementando la energía por saltos de hw. Para el «-ésimo estado se tiene que

= (47)^ O

donde c„ es una constante de normalización y, como antes, se tiene que

(« + ?) ftío.Para construir explícitamente en el espacio de configuración, se

hace uso de la ecuación (36) y escribir la ecuación (46) en la forma forma

1

V I

* Esto es cb to de la discusión de la Sección l . Este leniltado también se concluye del hecho de que el hamiltoniano del osciladot annóntoo es podtivo definido y así debe de ser su valor de expectación para cualquier estado.


que se resuelve fácilmente para dar

de acuerdo con el resultado ya establecido. Usando otra vez la ecuación (36), la ecuación (47) resulta

dyj (48)

Como se demostrará posteriormente, resulta que c„ es la misma constante de normalización de la ecuación (30). Comparando este resultado con aquella ecuación se encuentra que,

(49)

siendo una representación muy compacta y conveniente de los polinomios de Hermite. Más adelante se dará una representación aún más sencilla y conveniente.

Las ecuaciones (43) y (45) son muy útiles en muchas aplicaciones, pero es necesario calcular las constantes de proporcionalidad que aparecen en estas relaciones. De la ecuación (48) se tiene que.

at»;»fn+i (50)

y usando la expresión explícita para c» dada por la ecuación (30),

«T0„= (51)

Ahora se puede considerar el caso más difícil de actuar con el operador de aniquilación a sobre tff„. Se obtendrá el resultado de dos formas diferentes para ilustrar cómo se hace uso de estos operadores. La primera manera es inmediata y parte de la ecuación (47), de la cual se obtiene, al operar sobre ella con a,

flfo- O

De la relación de conmutación fundamental, ecuación (40), se obtiene que.

(52)

Ejercicio 3. Demostrar este resultado usando la relación de conmutación de ia ecuación (40). (Hay que señalar que la demostración también puede llevarse a cabo, trivialmente, con los métodos de la próxima sección).

Como a aniquila a el primer término no da contribución y se obtiene que,

^ aV'~' (í»o = «Co Cn-i

de donde, finalmente, usando la ecuación (30),

a*lf„ = V ñ . (53)El segundo método es menos directo. Se parte de la ecuación

(42a) para el (« —l>ésimo estado, o sea p a ra£ = (/i — Arreglando los términos,

Pero, de la ecuación (51)

de donde se concluye el resultado inmediatamente.

Ejercido 4. Verificar la relación de conmutación de la ecuación (40) al operar con el conmutador sobre y usar las ecuaciones (51) y(53) para obtener el resultado.


Ahora, el lector podría estar tentado en considerar que las técnicas algebraicas operacionales del método de factorizadón, son una forma de evitar el método de solución, poco elegante, de las series de poten* cias. Hay que reconocer que este método establece una solución para el problema del oscilador armórtico que es completa e independiente de la representación. No sólo es completa sino que es mucho más conveniente que la representación en el espacio de configuración en la cual participan los polinomios de Hermite. Claramente las funciones de estado son expresiones muy sencillas al escribirlas en términos de y a t , y también lo son las variables dinámicas según las ecuaciones (34) y (35). Por esto, los valores de expectación pueden calcularse fácilmente en el lenguaje de estos operadores. Como ejemplo, se discutirá brevemente la normalización de las autofunciones del osdla-


dor annónico.Para n arbitraria,

Pasando at" del segundo factor al primero y usando la definición de adjunto se obtiene que.

De acuerdo con la ecuación (52) y debido a que aií»* = O,

aat> o = MíJt"“'»(»o.

Análogamente, usando este resultado se encuentra que,

naaV"'^« = n (n— l)a t"“*ííío.

y repitiendo el proceso n veces,

a"at"íí>o = rt!ô,

de donde

«! (ôlô)·

Por lo tanto, si 0« ^^tá normalizada también lo está a condición de que,

u |í = Í£»l!

de acuerdo con la ecuación (30).Como segundo ejemplo se calculará el valor de expectación de la

energía cinética para el n-ésimo estado. Invirtiendo las ecuaciones(34) y (35) se obtiene que.

Vzmtüft , . >

/7 = — 2¡— ( « - o t ) .

y por lo tanto,

Al operar a® sobre «í»„ se obtiene el estado , anulándose el término correspondiente porque los estados forman un conjunto ortonormal. Análogamente, al operar sobre se obtiene ^ , + 2 y tampoco hay contribución. Por lo tanto, los únicos términos que contribuyen son,

^ ^ T ,

que es un medio del valor de expectación del hamiltoniano de acuerdo con la ecuación (42c). Entonces,

LA REPRESENTACION DEL OPERADOR DE CREACION 147

de acuerdo con la relación clásica entre la energía cinética promedio y la energía total de un oscilador.

Aunque no se reconozca como el hamiltoniano la combinación particular de operadores expuesta anteriormente, se puede hacer el cálculo fácilmente usando las ecuaciones (51) y (53). Se tiene que

afa^„ = V ñ

y que.

= V n + 1 = ( n +

de donde se sigue el resultado inmediatamente.^Estos ejemplos ilustran el tipo de manipulaciones que se deben de

llevar a cabo con los operadores de creación y aniquilación para calcular cantidades físicas de interés. En la próxima sección se desarrollará una nueva representación cuya álgebra resultará trivial.

5. LA REPRESENTACION DEL OPERADOR DE CREACION

En la sección anterior se ha introducido una transformación de las variables dinámicas p y x a un nuevo conjunto de variables dinámicas a y a t que satisfacen la relación de conmutación (40). Se introducirá ahora una nueva representación, la representación del operador de creación, efi la cual a t es un operador numérico y a es el operador

’ El lector puede apreciar mejor la simplicidad sorprendente de este método de operadores ú intentara obtener la ecuación (49), o bien, las ecuaciones (30) y (31) en la representación del espacio de configuración.

de diferenciación en el espacio a t , ’ Naturalmente que a y a t son variables dinámicas clásicas muy especiales ya que son complejas y aunque surgen algunas complicaciones, éstas no resultan muy serias.

Para establecer la representación que se busca, primero se buscan las autofunciones del operador de creación en el espacio de configuración. Usando la variable sin dimensiones y y la ecuación (36), se buscan las soluciones de,

(54)

donde a i es un número complejo. Los estados <í’o+ son estados para los cuales el operador de creación tiene el valor numérico a t Estos estados no son físicos porque a t no es un observable físico, pero se pueden usar para construir estados físicos. La solución de la ecuación (54) es.

El estado i es una función divergente de y claramente no es normalizable. Esta solución se puede multiplicar por un factor arbitrario, independiente de y , resultando que es conveniente hacerlo. Se multiplica por el factor por lo cual la solución a la ecuación(54) se escribe como,

'/'«»(>’) = exp [>í*/2 - V2 ^^at -I- at*/2].Entonces, el operador de aniquilación a toma su forma más simple en el espacio a t que es consistente con la relación de conmutación (40), y dada por

a =daf '

(55)

que se demostrará en breve.’Una función de estado »(((x) se puede representar como superposi

ción de autofunciones de at, como anteriormente se representaron funciones de estado como superposiciones de autofunciones del momento o autofunciones de energía (estados estacionarios). Al hacer esta superposición y ya que a t es complejo, se tiene la libertad de

• La motivación para esta representadón proviene de que el conmutado! de of y a es el mismo que el de p y * excepto por el factor ft/f. Que este factor sea imaginario tiene concecu- endas importantes que se verán más adelante. Sin embargo, este procedimiento es análogo al usado en las representadones del espacio de momentos y del de conflguradón.

' Ver el Problema 10 del Capítulo V paia una discusión del mismo problema respecto a la representadón del operador de momento en el espacio de configurodon.

usar la trayectoria de integración más conveniente en el plano complejo at. Se escoge a lo largo del eje imaginario y se escribe,

LA REPRESENTACION DEL OPERADOR DE CREACION 1 4 9

/ ( a t ) exp [y^l2 — V2 j a t -V- ot*/2] d a t . (56)

Para aclarar el significado de esta expresión, se introduce una nueva variable real a al escribir,

«t = i a ,

por lo cual <íf(v) toma la forma

1 T“»(»(y) = f ( a ) exp [yV2 - i V l y a - a^/2] da

o bien,

4>(y) 1" [/(«) e-«*'®] da, (57)

que es una representación de la integral de Fourier de 0(y) enfunción d e /(a ) í "“*'®. Esta relación puede invertirse para dar,

fia.) e-"“'* = -4= r *lf(y) é·*' *«■ rfy (58)Vu- J-«

e introduciendo a t .

/ ( a t ) = - ^ j tp(y) exp [~yV2 -I- V 2 y « t — atV2] dy. (59)

Debido a las propiedades conocidas de la integral de Fourier, estas expresiones demuestran que las autofunciones de af forman un conjunto completo.

El par de funciones »/»(y) y f (a f ) son descripciones compfeíawenfc equivalentes de cualquier estado del oscilador armónico, la primera en el espacio de configuración y la segunda en el espacio del operador de creación. De acuerdo con las ecuaciones (56) y (59) cada una está definida si la otra lo está, y cada una de ellas contiene la misma información. Por esto, se puede hablar de f ia t ) como la representación en el espacio de creación de una función de estado. Pero la normalización en el espacio de configuración no lleva a la normalización en el espacio de creación, en el sentido usual, como se puede concluir de las ecuacionés (57) y (58) con la ayuda del teorema de convolución, ecuación (III-I9). De hecho, no se puede asociar un significado directo a las integrales de normalización de la forma usual en el espacio de de creación. Esta característica, que es una consecuencia del ca

rácter no físico de ese espacio, no causa dificultades si todas las cuestiones sobre la normalización se pasan al espacio de configuración, y esto es lo que se hará.“

Ahora se puede verificar que en el espacio de creación el operador de aniquilación es el operador de diferenciación dado por la ecuación(55). Para hacerlo, se recuerda que de acuerdo con la ecuación (36) se tiene que,

iVI

■/»(y).

Por lo tanto, diferenciando bíuo el signo integral la ecuación (56) se obtiene que,

Í«í'(>’) = — 7= í / ( « + ) { V I V — e x p [vV 2 - V i y a + t / t^ /2 ] d a t iVlTr J-í*

■ k L · ¿„t.Integrando por partes y debido a que el término integrado se anula, se obtiene que

- i = rfV27T J-i dai f iai) exp [>’V2 - V I y í í t + a i V l ] d a ^ .

En otras palabras, se establece que si/(íít) en el espacio de creación es equivalente a »;<(>') en el espacio de configuración, entonces, dfjda^ es equivalente a a^. Es decir, la representación de aijiiy) en el espacio de creación resulta ser df(af)/daf. Análogamente se puede obtener que la representación de g(a) >¡>(y) en el espacio de creación es già/da'^) /(a t). Finalmente, se concluye que en el espacio de creación, el operador a está representado por d/dai, como se quería demostrar.

Las autofunciones en el espacio at, se pueden construir trivialmente. De acuerdo a la ecuación (47), se pueden expresar en términos del estado base 0o (y) por

0„(y) Co

«Las integrales de normalización se pueden definir introduciendo un segundo conjunto de funciones líia, tas autofunciones del operador de aniquilación a. Se puede demostrar que (|ijt y <((, forman lo que se llama conjunto de fundones bíortogonaks. Las propiedades m ^ tematicas de los conjuntos biortogonales son muy conocidas y solamente son un poco más complicadas que las propiedades familiares de los conjuntos ortononnales ordinarios.

donde c» son constantes de normalización y 0oO) es tal que,

íí'í'o(r) = 0 .Entonces, en el espacio a t ,

fo

donde f J a i ) es la representación de tít«0) en el espacio creación y donde/o(«t)es tal que,

afoiai) = 0.Debido a que a es el operador de diferenciación respecto a ai, /« es una constante cq y la función de estado del oscilador armónico en el espacio de creación correspondiente a la energía

E „ = (n + í ) ho),

es el monomio

fn ian = (60)

que es mucho más simple que la gausiana multiplicada por los polinomios de Hermite como se encontró en el espacio de configuración (o de momentos).

Usando la ecuación (56) se puede obtener una representación muy útil y elegante para las autofunciones del oscilador armónico. Esta representación es

r flt"exp[//2~ V2j-íit + atV2] í/«t. (61)(V27J· J-t»

Como primera demostración de la utilidad de estos resultados, se puede calcular la constante de normalización y como ejercicio se puede verificar que las son ortogonales entre sí. Según la discusión anterior, es necesario normalizar en el espacio de configuración, por lo cual se considera.

LA REPRESENTACION DEL OPERADOR DE CREACION 151

( y ) « ■• " ' 'í 'o

Recordando que «t" operando sobre la primera función bajo el signo de la conjugación compleja puede sustituirse por d" operando sobre la segunda función, según la definición de adjunto, se obtiene que,

J dy = I dy.

Expresando el factor (><) de la integral en términos de surepresentación en el espacio de creación y usando las ecuaciones (55) y (61), se obtiene

a'”aV'My) (V2^ Citó)·’í(t" exp [ / / 2 — V Z y a f + o tV 2 ] d a i

que claramente se anula para m > n. Por otra parte, si /« < « .se obtiene el mismo resultado procediendo a la inversa, o sea transfiriendo a t que opera sobre la segunda función en el integrando, a operar sobre la primera función como a. Se observa que el integrando se anula para m = n y que las funciones n son ortogonales. Finalmente si m = M al efectuar las diferenciaciones

a W M y ) = c , 1 ' “ exp [ y V 2 - V l y a f + «t®/2] d a i/V2ff

y por lo tanto.

I í/y = n ! |ií»o|*íív.

Entonces, si las funciones están normalizadas, se encuentra que,

como antes. Falta por determinar c« para lo cual se necesita normalizar en el espacios,

/ í/jr= 1.

Al recordar que jt = Vh¡m<a y la condición de normalización toma la forma,

/ |ií#o(y}|* ífy= Vñw/A.

Tomando en cuenta la ecuación (48) con « = O, se tiene que.

Calculando la integral se encuentra que,

c# = (ímco/Att)*'“

y, finalmente.

‘" " I « ! } '

que coincide con la ecuación (30).Como segundo ejemplo de la utilidad de la representación integral

(61), se puede construir la Wsmaási función generadora de los polinomios de Hermite /i„Cy). I>e la ecuación (30), se tiene que,

*«(>■)= 2"'

y de la ecuación (61) se obtiene la representación integral,

h„iy) = 1 '^ (V2 íit)" exp [y - V2 oty + aiyi] dat. (62)

Multiplicando esta expresión por s^/n y sumando sobre n se obtiene que,

= - P - V I - t , + «tV2]lt=0 ' ^ «=0 J -f* " '

Intercambiando el orden de la suma y la integral, la suma puede llevarse a cabo obteniéndose

y p exp [ f + V 2 a ns - y) + «t*/2] daf.„tí »'■ iV27rj-í»

Para calcular la integral, se sustituye a t por ia y después de completar el cuadrado en el exponente, se tiene que

2 r e x p [ - ^ [ « - /V 2 ( 5 - y ) ] * ] da„to «1 V27T J-~

y, finalmente, al calcular la integral gausiana,

¿ (63)n - O ^ ■

La cantidad a la izquierda se llama la función generadora de los polinomios de Hermite porque estos polinomios se generan como coeficientes en el desarrollo de la función en potencias de s, o sea,

LA REPRESENTACION DEL OPERADOR DE CREACION 1 ^ 3

h„{y) =

Ejercicio 5. ta ra n = 0 ,1,2,3, verificar que hn(y), dada por ta ecuación (31), se obtiene« de la ecuación (62); de la ecuación (63); de la ecuación (49).

6. MOVIMIENTO DE UN PAQUETE DE ONDAS EN EL POTENCIAL DEL OSCILADOR ARMONICO

Ahora se va a considerar el movimiento de un paquete de ondas arbitrario moviéndose en el potencial del oscilador armónico. Para obtener la solución general es necesario calcular el propagador de la ecuación (V-61).

K (x\ jc; r - /„) = 2 .E

en términos del cual

>¡){x\u)K(x' ,x\ í- t ) dx'. (64)

En particular, para el oscilador armónico es necesario encontrar,

K{x',χ■,^)^'2>P.*{x')<l·Ax} (65)

donde, por brevedad, se ha introducido el tiempo transcurrido t definido como.

í - /«. (66)

Antes de pasar adelante, es necesario recalcar una propiedad sorprendente que, entre todos los sistemas cuánticos, solamente la posee el oscilador armónico. Debido a que los estados de energía están igualmente espaciados, el movimiento de un paquete de ondas es periódico, Para ifr el período es el doble del período clásico y es exactamente el período clásico para , Por esto, no importando las condiciones iniciales, los paquetes de onda no se desparraman indefinidamente sino que aumentan y se reducen alternativamente. Este comportamiento se ilustrará más adelante.

La expresión (65) para el propagador no es muy difícil de calcular en forma cerrada si se usa la representación del operador de creación. De la ecuación (61), en el espacio y, se tiene que.

K(y' ,y; r) =

r-'“ (qtttt')"X 2 r fnJ-idú Ji'j

X exp[-V2^yat- l ·y 'af ' ) + + af'^)/2].

Identificando,

(«tot')" [a ta t '

y sumando sobre n se tiene que,

MOVIMIENTO DE UN PAQUETE DE ONDAS EN EL POTENCIALDEL OSCILADOR ARMONICO 1 5 5

X exp [— V2 (>’íít + + («t^ + + a i a f .

(6 7 )

Sustituyendo a t por una nueva variable ia y a t 'p o r -¡/3, resulta que las integrales son del tipo gausiano. Usando los resultados del Apén- dice 1 y expresando y y 'e n términos dex y x ' , se obtiene que

i-í , ·, j a '· - '— 7 f im<» (jc + a:'^) eos ít»T —Aí(jc , A·; t ) = Vmw/(7rft 2f sin w t ) exp ----- ’— ----------------i 2 sin üyr

(68)

que es el resultado deseado,“En esta expresión, el factor multiplicativo (2í sen wt)-*'* se inter

preta como,

(2/seníoT)^''" = í--'“ « (1 -

para que K exhiba la periodicidad mencionada. Como era obvio, de la ecuación (65) se observa que,

(-l) '" /C (;r\;c ;T ). (69)

Además, de la ecuación (65) también se obtiene que,

K ( x ' , x ; r + = (-,·)= "-+ · a: ( j c ' , - j r ; T ) . (7 0 )£l> }

que este resultado también se obtiene de la ecuación (65) se puede concluir directamente. Se tiene que,

K{x \ x \T- \ - i2m + l)7r/tó)

= 2 exp [ - /(« + i)[otT-f (2m -I- 1)7t]]

= (-,·)*'"+! 2 >¡,„*ÍX’)^^{X){~Í)'> n

“ El álgebra M puede verificar examinando la forma que toma el propagador para íu O, ya que en este limite el oscilador armónico se convierte en la partícula libre. Se obtiene

*

de acuerdo con ia ecuación (IV-13).

Recordando que ^a(x) es par para n par e impar para n impar,

se puede escribir

K{x' ,x-,r+ (2m+ ])iTlm) = ( - /)" ’"+' '£n

K íx\- x ;t),

de acuerdo con la ecuación (70).El significado de las ecuaciones (69) y (70) se puede entender de la

siguiente forma. Usando la ecuación (64), de la ecuación (69) se obtiene que,

iít(jc, + 2m7T/(ü) = (— l)'"0(.ic, ío) *

mientras que de la ecuación (70) resulta que, ^(jf ,/o+ ( 2 m+ 1)7t/<ü) =

(71)

(72)

Ahora, supóngase que ^(x, fo) describe una partícula centrada en x« y moviéndose con momento promedio p*. Un ejemplo de tal paquete de ondas es lá expresión,

^(x,t^)=e*‘><^"^f(x~x^),

donde / es real y alcanza su valor máximo cuando su argumento es cero. Después de un intervalo de tiempo tt/w, igual a un medio del período clásico, la ecuación (72) resolta ser

i^(jf,ío+ iT /tó)=-/ e- ^^^^A-x -Xo) ,

O sea que el paquete de ondas está centrado en j: = - jc« , no cambia su forma y se mueve con su momento promedio —p^. Después de un periodo 2 tt/úí , la ecuación (71) muestra que,

( í . ( j f , /« + Iwloi) = A x - Xo) ,

de modo que el paquete de ondas ha vuelto a su posición original, sin cambiar de forma y con su momento promedio original . Entonces, el movimiento continúa indefinidamente y bajo este punto de vista el paquete de ondas se mueve exactamente como !o haría una partícula clásica.*^

Como ejemplo especial se puede considerar un paquete de ondas gausiano inicialmente centrado en el origen y con un momento lineal promedio p#,

Estas conclusiones no dependen de la forma particular escogida para f,);se aplican a un paquete de ondas aibitiaño.

e x p + ip,,xlti].\ L \ / tt

Sustituyendo esta expresión en la ecuación (64) y calculando las integrales gausianas, se encuentra que,

|t|((A·. /) ~ exp [-[.V - {p jm oy ) sín ] , (73)Vjr£.(T)

donde r = / — („ y

MOVIM lENTO DE UN PAQUETE DE ONDAS EN EL POTENCIAL , __DEL OSCILADOR ARMONICO 1 5 7

L ( t ) = eos- (jjT -I- (h(m<jiL)'^ sin^ w t . (74)De acuerdo a las predicciones anteriores, la partícula oscila precisa

mente como lo haría una partícula clásica que partiera del origen con momento inicial /?«, La anchura del paquete de ondas Lij) también oscila, pero con el doble de la frecuencia clásica Oscüa entre sus dos valores extremos, L en el origen y ñlmuyL en el punto de vuelta clásico. Si la anchura InicialdelpaqueteL esm ayorque Vfi/mw,el paquete de ondas disminuye en tamaño al alejarse de su posición inicial. Naturalmente no existe violación al principio de incertidumbre ya que la anchura del paquete de ondas en el espacio de momentos siempre cambia de tal manera que el cambio de la anchura del paquete de ondas en el espacio de configuración queda exactamente compensado. El paquete de ondas en este ejemplo siempre es gausiano y, por lo tanto, siempre es un paquete de ondas de incertidumbre mínima.

Quizás sea más sorprendente el hecho de que si el paquete gausiano inicial es tal que.

L = Vfi/mw

entonces, de acuerdo con la ecuación (74),

L { t ) = ¿ = Vft/mw

es constante. En otras palabras, la forma de este paquete de ondas es independiente del tiempo. Con esta selección de L, la forma del paquete de ondas coincide con la autofunción del estado base. De hecho, si a una partícula en el estado base de un oscilador armónico se le puede comunicar un momento inicial p^, oscilará indefinidamente con la ampUtud y la frecuencia clásicas, y \a forma de su función de estado permanecerá inalterable en el tiempo.

Ejercicio 6.(a) Obtener la ecuación (68) de la ecuación (67)(b) Derivarla ecuación (73)

14i ESTADOS DE UNA PARTICULA EN UNA DIMENSION

7. ESTADOS CONTINUOS DE UN POZO DE POTENCIAL CUA* DRADO

Hasta aquí sólo se han considerado estados ligados, primero en un pozo cuadrado y después en un oscilador armónico. En el oscilador armónico los estados ligados forman todo el espectro. Pero para ei pozo de potencial cuadrado también existe un conjunto continuo de estados con energía positiva que se examinará a continuación.

Usando la misma notación que en la Sección 3 y con referencia a la Figura 2, se buscan soluciones de

- A i ^2m dx^ (75)

donde.

Vix) { O ,• -a < X < a

El pozo de potencial cuadrado tiene estados ligados únicamente para Fo > O {potenciales atractivos), pero existen estados continuos para Fo < O (potenciales repulsivos), y se considerarán ambos casos.

No existe ninguna dificultad en construir las soluciones buscadas, pero sí existe una dificultad en interpretarlas. La naturaleza de esta dificultad es la que se explica a continuación. Para |-c| > a, en las regiones I y III de la Figura 2, la ecuación (75) toma la forma

(76)

y por lo tanto las soluciones son oscilatorias. Pueden expresarse como combinaciones lineales de las ondas de de Broglie exp [±iV2mE xlñ] . Estas soluciones se extienden hasta infinito y no son normalizables, por lo cual, los estados estacionarios no son físicamente aceptables. Para obtener un estado físico verdadero es necesario construir un paquete de ondas como superposición de estos estados. Como ejemplo se considerará un paquete de ondas centrado en algún valor negativo de x que sea grande y viajando hacia el potencial con momento promedio p — V2mE. Este paquete de ondas viajará casi como el paquete de ondas de una partícula libre hasta que Úega a la región del potencial. Como resultado de la interacción con el potencial, una fracción del paquete de ondas se transmitirá a través de las paredes del potencial y otra fracción se reflejará. En otras palabras, una partícula que incide sobre un potencial unas veces se transmite y

1ESTADOS CONTINUOS EN UN POZO DE POTENCIAL CUADRADO 1

Otras se refleja.’’ En la región III, x < —a, aparecerá un paquete de ondas v irando hacia la izquierda además del paquete de ondas que viaja hacia la derecha. Pero, en la región I, jt > 0 , únicamente se encuentra un paquete de ondas viajando hacia la derecha.

Si se supone que la anchura del paquete de ondas inicial crece, como consecuencia, su anchura en el espacio de momentos y la extensión en energía se reducen. De hecho, si la anchura del paquete de ondas crece lo suficiente, la incertidumbre en la energía resulta infinitesimal. Además, el tiempo requerido para que el paquete de ondas incidente complete su interacción con el potencial resulta cada vez mayor. Entonces, en el límite de un paquete de ondas muy ancho, la descripción se reduce al de un estado estacionario, para el cual coexisten al mismo tiempo las ondas incidente, reflejada y transmitida. En el ejemplo discutido, se tiene que,

Region l l l , j r < í i : »írEU)=^ + ß

Region I, A-> ü : = c

donde A, B y C son las amphtudes de las ondas incidente, reflejada y transmitida respectivamente. Al escribir,

r = ICM I·,

el coeficiente de reflexión Ä es la probabilidad de que la partícula incidente se refleje, y el coeficiente de transmisión T es la probabilidad de que la partícula se transmita.”

El cálculo de la función de onda del estado estacionario es un cálculo tedioso que se efectúa como sigue. En la región II, -a o c < a, que es la región en la cual el potencial es distinto de cero, la ecuación de Schrödinger (75) resulta ser,

^ + (£+!/.)♦. = o,

y, por lo tanto, la solución general en esta región es,

= í>, exp + K«) x/h] + exp [—iV2m{E + ^o) jr/ft], (79)

” Ver la Sección 10, en particular las Figuras 8-13, para iadescripcióti de la solución numéri- ca del problema df un paquete de ondas incidiendo sobre un pozo de potencial cuadrado.

Un con/unto de paquetes de ondas incidentes es equivalente a un haz de pMtículas incidentes. Por esto, el siguiente lenguaje se usa para describir el estado caracterizado por la ecuación (77); un haz de intensidad relativa o múo \A |‘ indde sobré un potencial El haz lefleja· do es de intensidad )ß |’ = Äj^)* y el haz trarismitido es de intensidad |Ct> « TMI*.

«ümnii.

Como en el problema del estado ligado, y su pendiente son continuos e n j í = a y e n j c = - i 2 . Entonces, para x ^ ase obtiene que,

ikC e'*“ = iK(b, e'·" - í--'«" )y para x = -a,

A e-i''“ -I- B e·'"' = b, é'“·''" + f>2 f

ik{A É--*“ - B = iK(b, <·-'«'■ - ,

en donde se han introducido los dos números de onda

. V 2 ^

(80)

(81)

V l m i E + V ^ ) . (82)

De la ecuación (80), b, y b-¿ se pueden expresar en términos de C como,

y la ecuación (81 ) resulta ser

A -I- B =

.ííít’ + Jf><7

k(A - B = K

„ía+ííim c

C.

Llamando r = C/<4 a la amplitud del coeficiente de transmisión, se obtiene que

eos 2A íí sen 2 /íí)

y finalmente,(83)

eos ( i V l n H E + K ) <j/fi ) - i sen (2 \ ^2n, (E + V J ü/fi )

.1

Llamando p=B¡A a la amplitud del coeficiente de refiexión, después de cierta álgebra se obtiene que,

ESTADOS CONTINUOS EN UN POZO DE POTENCIAL CUADRADO 16l

p =eos { 2 V 2 m{ E + V^) ujh) - s»" ( 2 V : , « ( £ + V„) alhi

(84)

Considerando primero el caso de potenciales atractivos, F« > O , resulta que.

^ , [^-„^/4£(E+ F,)1sen^ { 2 V 2 m { E + V\) ajh)

l + [ y^^l 4E{ E+ Ko)]sen^ ( 2 V 2 m { E + V, ) í//ft)

' (86)' ' 1 + [F„V 4£(£+ f/<,)]sen^ (2V2nHE+ F«)

en donde se ha usado el resultado de que,

___{ V E I i E + y „ ) + V { E + y J l E ) = 4 +E ( E + y„)

para simplificar las expresiones de los coeficientes de transmisión y reflexión. Como se puede comprobar

R + T = L (87)

de acuerdo a la interpretación dada. También, si 7" = 1 y /í = O, se obtienen resonancias cuando.

2 V 2 íh(£’+ y„) i,lh = UTT.

El momento lineal de la partícula en el interior del potencial es,

p = V 2 w ( E + y„).

Entonces, las resonancias tienen lugar cuando la anchura 2a del potencial es un múltiplo semientero de la longitud de onda de de Bro- gUe hjp en el interior del potencial, resuhado que se estableció intuitivamente en el Capítulo I.

De las ecuaciones (85) y (86) se puede concluir que cuando E es suficientemente grande comparado con V ,, el coeficiente de reflexión tiendt a cero y el de transmisión tiende a uno, resultado que se espera en el límite clásico. La aproximación a este límite es sorprendentemente lenta. Si E es de igual magnitud que , la probabilidad de que una partícula incidente sea reflejada puede sobrepasar 10 por

ciento. Sin embargo, tiay que mencionar que para potenciales más realistas que el pozo cuadrado con sus discontinuidades poco físicas, la tendencia al resultado clásico es mucho más rápida.

Fjguia 7. Efecto túnel o penetración de una barrera.

Ahora se puede considerar el caso más interesante de potenciales repulsivos < O . Si £ + l·'« > O, los resultados anteriores dados por las ecuaciones (85)_y (86) siguen siendo válidos. Pero si í + Vo<0, escribiendo V'o = — V, donde V representa la altura de la barrera de po* tendal, el caso bajo consideración es para E < l^como se ilustra en la Figura 7. De las ecuaciones (83) y (84) se encuentra que,

_ i Ii _ r V4E(l· -£)1senh" ( i V l m j V ~ É) aih)1 + E)]senh^ (2V2m(P~ E) a¡h)

(88)

l + [K^/4£(F~ E)]senh* ( 2 V 2 m ( P - £) ath)'(89)

y, naturalmente, la ecuación (87) sigue cumpliéndose. Aquí se tiene un ejemplo del efecto túnel discutido en el Capítulo I. Existe una probabihdad finita de que la partícula se transmita a través de la región prohibida clásicamente, es decir, donde la energía cinética es negativa. Hay que hacer notar que si la barrera es lo suficientemente ancha o la energía cinética muy negativa, se tiene

2V2m( P - É) a l k > i.

Entonces, como buena aproximación

senh ( 2 V 2 m ( P - £ ) a/fi) - | exp [ 2 V 2 m ( F - £ ) aifi] .

En este caso el coeficiente de transmisión es la cantidad pequeña

ESTADOS DEL CONTINUO; EL FLUJO DE PROBABILIDAD ! 6 3

T = exp [ -4 V 2 /« (F —£) ¿¡¡ñ], (90)

de inodo que la desviación del resultado clásico resulta despreciable. Dicho de otra manera, solamente si la barrera de potencial es muy estrecha y la energía potencial apenas negativa, el efecto túnel a través de la barrera resultará significativo.

Hay que añadir una observación final. Se ha obtenido una solución de la ecuación de Schródinger que corresponde una partícula que incide sobre el potencial desde la izquierda. Se podría haber hecho exactamente lo mismo si la partícula hubiera incidido por la derecha. Esta libertad es el resultado de que existen dos soluciones h- nealmente independientes para la ecuación de Schrödinger de segundo orden de acuerdo con la predicción anterior de que existe una degeneración doble para los estados del continuo que se acaban de discutir.

8. ESTADOS DEL CONTINUO; EL FLUJO DE PROBABILIDAD

Los potenciales más importantes a nivel microscópico describen la interacción entre partículas y tienen la propiedad de

Es de interés discutir los estados en el continuo para tales potenciales. Por simplicidad, la discusión se restringirá al caso en que V(x) tiende a cero más rápidamente que jc“' cuando kl tiende a infinito.“ Bajo estas circunstancias no es difícil darse cuenta de que, para |jc1 suficientemente grande, la función de estado se puede expresar como combinación lineal de las ondas de de Broglie exp [±íV 2m £ xlh], como en el caso del pozo cuadrado. Además, se puede tomar sin alteraciones la interpretación que se ha dado de las soluciones y se puede escribir

JC-»· -00, , (91)

^ -> +«., ^^(;c) (92)

donde se han introducido explícitamente los coeficientes p y t . El conocüniento exacto de la forma de p y de t depende de las caracte-

is El caso en que V(x) decae exactamente como l / x es de mucha importancia, pero requiere un tratamiento espedal que por ahora está fuera del presente objetivo.

f m u é 9 \ pOtinotllt p « o R ” lA>l*representa la probabilidad de que Ultl p tftícu tt se refleje cuando llega al potencial desde infinito y T “ Irt“* representa la probabilidad de que se transmita. Si esta interpretación es correcta también se exige que se cumpla la ecuación (87), R + T = 1, sin tener en cuenta la forma del potencial, A continuación se comprobará que éste es el caso. Para hacerlo, es necesario volver a la descripción de paquetes de onda, de la cual las soluciones estacionarias son el caso límite. Se designa (x, f) a la función de estado y se considera la probabilidad de encontrar a la partícula en una región fija del espacio pero arbitraria entre >> r = , ^ 2 8 untiempo f , escogiendo x, < . Esta probabiUdad es.

VKA PARTICULA KN UNA DIMENSION

Pi x , , / ) = /) dx (93)

y, como se indica, es una función del tiempo. Específicamente, a medida que el paquete de ondas recorre la región del espacio bajo consideración, se espera quePÍJv,, r)crezca desde un valor inicial despreciable hasta un valor cercano a la unidad y posteriormente decrecer prácticamente hasta cero. Se tiene

o bien, ya que tjt es una solución de la ecuación de Schrödinger

2 / h c».v- i d i

se obtiene que,aP(-V|.-v.¿: f)

di

2m dx^-u:( ñ- d-^2/ t l d x ’

dx

ift2m dx dx dx

dx.

Siendo el miembro derecho una diferencial exacta se obtiene.

----- ‘ - - =j{Xy, O f),O Í

(94)

donde

La interpretación de este resultado es la siguiente. El cambio por unidad de tiempo de la probabilidad de encontrar a la partícula en el intervalo entren:, y x 2 , BPIdt, es la diferencia entre la probabilidad por unidad de tiempo de que la partícula entre en X i, j'ixtJ), y emerja en Xí, }<X2 , t). Por lo tanto, / (x, t) tiene el significado de un flujo de probabilidad o corriente, dirigido hacia x positivas.'®

La ecuación (94) establece la conservación de la probabilidad, aplicada a una región finita más que a todo el espacio. La aplicación particular que se intenta se refiere a un estado estacionario como límite de un paquete de ondas. En este límite, se tiene que

y, por lo tanto, se concluye de la definición (93) que P(.v,.a-2 ; f) es independiente del tiempo. Entonces, el miembro izquierdo de la ecuación (94) se anula y se concluye que, para jfi y arbitrarias, i(x¡) = /(xj) por lo cual j(x) es una constante, U· Para Ul -»■ i/ti (x) viene dada por (91) o (92) y se verifica fácilmente que,

Mpvd- tp l^) = \ A \ h ' { l - R )

donde = VlmEjh es la velocidad clásica de la partícula. Ya que éstas tienen que ser iguales se concluye q\xtR + T=\ .

La forma de io en cada región es la esperada, como lo demuestra el siguiente argumento. Para la región donde jt está dada por(92) y

P(jf) = ífr¿-"'Í'E=MP|TP=MI'7' ,

donde p(x) es la densidad de probabilidad. Entonces, el flujo de probabilidad / es pv, como en hidrodinámica. Análogamente, para X ->· - 0 0 , El flujo de probabilidad resultante es la diferencia entre el flujo hacia la derecha \A\^v y el flujo independiente hacia la izquierda \A\^vR.

'*Es útil com pam este resultado y su interpretación con el de la conservación de la carga. Sea Q (xi. atj; / ) la caiga neta entre los puntos x, y x.,de un alambre muy largo y sea I(x, t) la comente eléctrica que fluye por el alambre calculóla en tomando la dircoción del flujo hacia las JC positivas. Entonces, en un intervalo de tiempo Sr, la caiga neta queentiaalalani' bre en X, es/(x ,, 0 S/, y e lque sale por Jfjes/(Xi, í) S í, Por lo tanto, el incremento neto en la caiga, 8Q , is , í) — / (Jt;. 0 ] 6í, o sea

atque tiene la misma forma que la ecuación (94) y afirma la interpietación de / como una corriente Qtrobabilidad).

ESTADOS DEL CONTINUO; EL FLUJO DE PROBABILIDAD 1 6 5


Se observa que los términos de interferencia entre las ondas incidentes y reflejadas se han cancelado completamente ( ¿por qué?).

9. PASO DE UN PAQUETE DE ONDAS A TRAVES DE UN PO- TENQAL

Hasta aquí se han considerado las soluciones estacionarias no físicas como el límite de paquetes de ondas muy anchos. Los argumentos de este proceso límite fueron caruciales en la interpretación de las soluciones, pero son irrelevantes respecto a las propiedades matemáticas de las soluciones. Independientemente de esta interpretación se tiene la libertad de considerar los estados estacionarios como estados idealizados a partir de los cuales se pueden construir, por superposición, estados físicos. La forma de hacerlo se exhibe a continuación. Ya que forma un conjunto completo, una solución de la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo se puede escribir como,

= S >l>EÍx) dE, (96)

donde ta integral se extiende a los estados del continuo y también debe de incluir a los estados discretos, si es que existen. El paquete de ondas que se quiere construir está centrado en x grande y negativa a t=0, por ejemplo en x= -jt„,y se mueve hacia la derecha con momento promedio — V2mE^. Para x grande y negativa, ¡¡ está dado por la ecuación (91), Absorbiendo la amplitud arbitraria A e n /(£ ) , cuando jc —* - qo se tiene que.

= S + PÍE) f-**'"' dE. (97)

Si se escoge/(£ ) como,

/( £ ) = g { £ - £o) (98)

donde g es máximo en £ = £o, se habrá construido el paquete de ondas deseado ya que estas expresiones se reconocen como equivalentes a las representaciones en el espacio de momentos de un paquete de ondas. El primer término en la ecuación (97) representa el paquete de ondas inicial, partiendo de x= —a:« y moviéndose hacia ia derecha. El segundo término inicialmente es despreciable, pero después de transcurrir el tiempo necesario para que el paquete se refleje, o sea, después de un tiempo del orden de (;>:o -i- jt, ) m/po , se obtiene un paquete de ondas reflejado en jr = j:, . Esto se puede verificar directamente, pero está garantizado por el principio de correspondencia y se demostrará cómo usarlo para el paquete de ondas transmití-

do. En primer lugar se observa que al despreciar el segundo término de la ecuación (97), se tiene que,

- / / { £ )o bien que,

0) = ; g ( E ~ £(,) dE

= h(x + Xo)donde h{x + to) es la envolvente del paquete inicia!, centrado en X = -Xq. Puede simplificarse de la forma siguiente. Ya queg (£ — £o) tiene su ináximo principal E - E o, sq introduce una variable nueva rj , escribiendo

£ = £« + T).y al desarrollar en serie de Taylor se obtiene que,

VlmE = V2m(Eo+7)) = VlmEo + i V (2 m /^ ) rj + · · ·

= Po + — >)+■· · .Po

Entonces, al despreciar el término de orden superior se obtiene que, /i(,v + jro) = S g(v) exp [)(/7í/p<,)i9 (x + Xo)/h] di}. (99)

Para obtener el paquete de ondas transmitido cuando jc - » + 0 0 , se usa la ecuación (92), obteniendo que,

<í»(x,/) = / / ( £ ) t ( £ ) e \ p [ i V 2 Í í ^ x l h - iEtlh] dE

= exp[/[p«(jr + jfo) Eot]¡h] f g(r))T(E« + rj)

X exp [i[mlpQ (jt + jr«) - í] 17/ft] dj).

Recordando que |t|* =T, se escribe que.

PASO DE UN PAQUETE DE ONDAS A TRAVES DE UN POTENCIAL 1 6 7

t( £ o + >j) = V r ( £ o + >,)

y se supone que T(£) es una función de£· que varía lentamente, pero que S(£) no varía necesariamente de esta manera. En otras palabras, se hace la suposición de que la magnitud del coeficiente de transmisión no cambia mucho cuando E varía poco, pero su fase cambia significa tivaiiien te. Con esta superposición.

TÍEo + 'n) ^ V7'(£o) exp [/5(£«> -I- ít, dÓldE ] = t{£o)♦

y

I ¡ f (x, í ) =- t { £ o ) exp [ í [ p o { j · + Xo) - £ o í ] / A ] / g ( r t )

X exp [ i[m ¡po{x -I- JCo) “ + hdÓldEi,]'nl^] d i} .

■ rm

1 6 8 BITADOa DE UNA PARTICULA GM UNA DIMENSION

Al comparar con la ecuación (99) se encuentra que, para x +<x>,

H x , t ) * t{ £ o ) h

X exp [í[po(Jí + ^o) - · (100)

x + x , - ^ ( i - h d í i Í d E ^ )

Con esta aproximación, el paquete transmitido no se distorsiona pero su amplitud se reduce en r(£ o ), el coeficiente de transmisión. El paquete aparece en la posición x al tiempo t dado por,

r = — (a- -f jTo) +Po dE^'

El primer término se reconoce como el tiempo empleado por una partícula libre de momento para viajar de —j:« a λ:. El segundo término es el incremento en el tiempo introducido por las fuerzas que actúan sobre la partícula durante su paso a través del potencial Lia- mando a este incremento At se tiene que,

( 101)

Convendría recalcar que estos últimos resultados únicamente son aproximados en la naturaleza. Para obtener las ecuaciones (100) y (101) se han hécho dos suposiciones muy diferentes. La primera se refiere a que en los desarrollos de Taylor en tom o a £» los términos cuadráticos en η y de origen superior se han despreciado. Estos términos provocan que el paquete de ondas se desparrame análogamente al paquete de ondas de una partícula libre. La discusión del Capítulo rv muestra que el aumento en la anchura es despreciable si el paquete de ondas es suficientemente ancho. La segunda suposición se refiere a que la mc^nitud del coeficiente de transmisión τ no cambia significativamente sobre la anchura en energía del paquete de ondas. Los términos que se desprecian en este caso, conducen a una distorsión del paquete de ondas, pero es despreciable si los paquetes de ondas son suficientemente anchos. Aunque los paquetes de onda se desparramen a^o y sufran alguna distorsión, las características cualitativas de los resultados no resultan muy afectadas. Un paquete de ondas transmitido s i aparecerá y su retraso en el tiempo estará expresado por la dependencia de b de la energía. Estas características forman el contenido esencial de las ecuaciones (100) y (101).

',ιΙΙΙΙΙϋίϋ·'

10. SOLUaON NUMERICA DE LA ECUACION DE SCHRÖDINGER

SOLUCION NtIMERICA DE LA ECUACION DE SCHRÖDINGER 169

Hasta aquí, todo el esfuerzo ha estado dirigido a encontrar soluciones de la ecuación de Schrödinger por métodos analíticos. Pero, oomo actuahnente se dispone de computadoras moderiias y rápidas, se ha vuelto relativamente fácil y rutinario obtener estas soluciones numéricamente. Las ecuaciones diferenciales ordinarias que definen los estados estacionarios, pueden integrarse numéricamente en cuestión de segundos o fracciones de segundos, para los estados ligados y los estados continuc«, y también para funciones potenciales complicadas. Sin embargo, ¡a ecuación diferencial parcial de Schrödinger dependiente del tiempo^ es bastante más complicada y su solución, aunque posible, resulta ser un esfuerzo significativo aún para las computadoras más rápidad y mayores. Como resultado, la dependencia en el tiempo del movimiento de paquetes de onda todavía no se ha estudiado extensamente por métodos numéricos y el conocimiento de los detalles de su comportamiento es semicuantitativo. La discu^ón de la última sección es tipica a este respecto.

Esta situación ha mejorado mucho últimamente debido a la construcción de soluciones numéricas exactas para un paquete de ondas gausiano que incide sobre un pozo de potencial cuadrado ,* Los resultados se muestran para diferentes circunstancias de la Figura 8 a la 13 .'® En las figuras 8, 9 y 10, un paquete de ondas incide sobre un potencial atractivo con profundidad y anchura fijas, cuyo comportamiento se estudia variando la eneigía promedio del paquete de ondas. Las figuras se explican por sí solas, consistiendo de una secuencia de instantáneas que muestran el paquete aproximándose al pozo, interaccionando con él y generando paquetes reflejados y transmitidos. En la Figura 8 la energía promedio del paquete es la mitad de la profundidad del potencial atractivo; en la Figura 9 ésta energía es igual a la profundidad del pozo y en la F ^ura 10 es el doble de la profundidad del pozo. De acuerdo con lo esperado, el paquete reflejado decrece rápidamente en magnitud al crecer la eneigía

” A. Goldberg, H.M. Schey y J, L. Schwartz, “Computei'Gener&ted Motion F ic tu n i o f On«· Dimensional. Quantum Mechanical Transmission and Reflection Phenomena", Ametican Journal o f Physics, JJ , 177 (1967).

“ En estas figuras, la envolvente de los p ^ u e te s de ondas está 4 ib i y ^ e n una escala ub ittar lia pata la denddad de probabilidad, mientras que el potendal está dibujado ml una « tc tlt independiente de la eneigía. La altura del paquete req>«cto a la magnitud del potencial no tiene ningún sígnlTicado. El pozo podría dibujaise un décimo más corto o diez vecei tnia la r ^ , sin afectar el comportamiento exhibido del paquete de ondas.


y para la energía más alta se alcanza el límite clásico de reflexión.Las Figuras 11, 12 y 13 muestran el comportamiento de los pa

quetes para el mismo conjunto de energías, pero incidiendo sobre un

Figura S. Paquete de ondas gausiano dispersado poi un pozo cuadrado. La energía promedio es la mitad de la profundidad del pozo. Los números representanel tiempo de cada configuración en unidades arbitrarias.

SOLUCION NUMERICA DE LA ECUACION DE SCHRÖDINGER 171

potencial repulsivo o barrera. En estos casos, se pasa de una reflexión casi total para energías bajas a una transmisión casi total a energías altas, de acuerdo con el comportamiento clásico. El caso de energías intermedias, en et cual se forman paquetes transmitidos y reflejados, es interesante porque inesperadamente queda atrapado den-

Figura 9 . Paquete de ondas gausiano dispersado por un pozo cuadrado. La energía promedio es igual a la profundidad del pozo. Los números representan eltiempo de cada configuración en unidades arbitrarias.

i


tro del potencial una parte de los paquetes de ondas, como lo muestra la Figura 12(b).

Estos resultados exactos demuestran clara y explícitamente las afirmaciones anteriores respecto al comportamiento cualitativo de paquetes de ondas. Claramente es visible la formación de los paquetes reflejados y transmitidos, y que el paquete de ondas se desparra-

0 480

í

1 .

560

720 880 960

1040 1200 1520

A

Figura 10. Paquete de ondas gausiano dispersado por un pozo cuadrado. Laeneigm promedio es dos veces la profundidad del pozo. Los números representan el tiempo de cada configuración en unidades arbitrarias.

SOLUCION NUMERKA DE LA ECUACION DE SCHRoDINGER 1 7 3

ma gradualmente al transcurrir el tiempo. Como se esperaba, este último hecho es menos notorio para paquetes con energía alta que para paquetes con energía baja (¿por qué?). Sin embargo, los paquetes sufren un distorsión despreciable, por lo menos visualmente. Esto es bastante sorprendente al considerar la estructura fácilmente visible y muy complicada que se genera durante el período de interacción

e n ttt «t y^ lte tm eU l. El incremento en tíempo asociadocon. el ptM ÍW pkfU tt· t trivi» del potencial, aunque está presenteres dem itüdo piqutfio para que aparezca en la escala de tiempo de las fígurai.

Este capítulo se puede concluir con algunas observaciones sobre loa métodos más usados para integrar numéricamente ecuaciones diferenciales, tales como la de Schrödinger.*® En primer lugar se considerarán estados estacionarios, para los cuales se quiere resohfer la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo, que se escribe en la forma

k IN UNA DIMENSION

*Í>+fix)^ = 0 ( 102)

donde el punto sobre un símbolo significa diferenciación respecto a X y donde,

(103)

Se supone que f (x ) es una función conodda.Una solución numérica de la ecuación (102) Bonifica el conjunto

de valores de ^ y ^ con exactitud prevista y dados en un conjunto discreto de puntos llamados puntos reticulares o puntos de la malla. '' Estos puntos se toman equidistantes entre ellos, con espaciado e, escribiendo

rt = O, ±1, ± 2 ,. . .. (104)

Como se busca la solución de una ecuación diferencial de segundo orden, es necesario fyar dos constantes de integración para especificar la solución, tomándolas como los valores de ^ y en algún punto fijo que se escogerá por conveniencia el origen. El problema puede establecerse en la forma siguiente: dadas »í» (0) y 4 » (0), construir iíf(jit«) y »í» (;r„) en los puntos reticulares que sean de interés.^' Este proble-

'* P m una discusión geneial, ver la referenda [7] Capítulo 13 y la referenda [9], Capítulo 10. Paia la aplicación a la ecuación de Schiodiagei en el caso de estados ligados, ver R, S. Casvell. “ Improved Fortran Program for Single Particle Energy Levels and Wavefunctions in Nuclear Structure Calculations” , National Bureau o f Standards Technical Note 410, Super- intenden of Documents, U. S. Coverment Printing Office (1966). Para estados continuos ver M. A. McBcanoff, J. S. Nodvik, D. Cantor and D. S. Saxon, A Fortran Program fo r Elastic Scattering Analyses with the Nuclear Optical M odel University o f California Press (1961), especialmente ver pp. 24*29, y M. A. MeUcanoff, T, Sawada y J. Raynal, “Nucteai Optical Model Calculations”, en Methods o f Computational Physics, VoL 6, Academic Press (1966). Este ultimo hace una relación bastante completa y al día.

Solamente if> y tp necesitan conádetarse porque todas las demás derivadas superiores se expresan en términos de estas dos usando la ecuactón (102).

*' Sl la normalización de la ñ indón de estado es arbitraria, solamente la n7ZÓn de iff(0) a i¿i(0) necesita espedflcarse.

" * 1

SOLUCION NUMERICA DE LA ECUACION DE SCHRÖDINGER 175

ma se puede resolver construyendo un par de ecuaciones de diferencias para estas cantidades.

Se considera la expresión

Figuia 12(a) · Paquete de ondas gausiano dispersado por una barrera cuadrada. La energía promedio es igual a la altura de la barrera. Los números representan el tiempo de cada configuración en unidades arbitrarias. Notar el efecto de resonancia, para el cual una parte de la distribudón de probabilidad permanece du· lante un tiempo largo en la región del potencial.


y se desarrolla en serie de Taylor el miembro derecho, obteniéndose

= «/»(jt«) + ííP'Un) + Y ÍÍ>(Xn) + O(é ) ,

Figura 12(b) Detalles del decaimiento del estado resonante que se ve en la Figura 12(a).

y usando la ecuación (102) se tiene que,

+ €\íí(jt„) - y fix„)>l>(xn) + 0(e»). (105)

Esta ecuación permite calcular »Íí(x „+i) si son conocidas »/í(;fH)y «fí(Jí„). Se necesita una ecuación análoga para Se obtiene fácíhnentede la identidad,

(i»(;c„+,) = *^(at„) + í " ^{x) dx

= Mx«) - í " f i x H ( x ) dx,J x„

de donde

( 106)

Esto completa el formalismo, porque al dar ^ (0) y ^ (0), se usan (105) y (106) para calcular ^ ( e ) y i ^ ( e ) . El resultado permite calcular ^ ( 2« ) y tí» ( 2c ), recorriendo de esta manera el conjunto de pun-

SOLUCION NUMERICA DE LA ECUACION DE SCHRÖDINGER 1 7

tos reticulares. Evidentemente el error mínimo en t|< es de orden y en ^ de orden de e®.

Este esquema es lo bastante simple para que la idea básica quede clara, pero es demasiado cmdo para ser útil. El método generalmente usado, llamado de Runge-Kutta, usa la regla de Simpson para la in-

Figufa 13. Paquete de ondas gausiano dispersado por una barrera cuadrada. Laenergía promedio es dos veces la altura de la barrera. Los números representanel tiempo de cada conjuración en unidades arbitrarias.

..Élár

tegradón numérica que lleve a las ecuaciones (105) y (106).*“ Las expresiones que resultan son demadiado complicadas como para escribirlas, pero son apropiadas para el cálculo de máquina y permiten el uso de valores mucho mayores que las expresiones dadas anteriormente para €.

La construcción de soluciones numéricas para estados ligados y estados continuos, siguen procedimientos diferentes y se tratan a continuación.

Estados Ligados.^ En este caso, los autovalores desconocidos que se tienen que determinar son los valores discretos de la energía. Se procede en la siguiente forma. Se suponen autovalores de la energía en orden creciente £„ , para « = 0, 1 ,2 , 3,... La solución maíemaíica de la ecuación de Schrödinger tiene la propiedad de que si £ < tí» no tiene nodos; si Et, < E < tiene un nodo, y así sucesivamente. Entonces, los autovalores surgen por la aparición (desaparición) de un nodo para valores infinitos de x, que a su vez están señalados por el cambio de signo de la forma en que «í» diverge cuando E pasa por un autovalor. Por lo tanto, sencillamente se supone un valor de £ y se integra numéricamente desde el origen hasta que la solución empieza a diverger. Un incremento en £ incrementa la curvatura de y tiende a aumentar el número de nodos, e inversamente para un decremento en £. Por íyustes apropiados en los valores que se han supuesto para la energía se pueden determinar los autovalores. Este comportamiento se ihistra en la Figura 14 para el estado base de un potencial simétrico. En la figura, las soluciones numéricas se muestran esquemáticamente para varios valores de E. De la figura está d arò que la verdadera energía del estado base se encuentra entre E,, y Ec, y está limitada por estos dos valores.

Estados Continuos.^'' En este caso se buscan soluciones para algún valor dado de £ en el continuo. Estas soluciones se obtienen por integración a partir del or^en y uniendo suavemente la solución numérica al comportamiento asintótico hacia una onda pura de de Broglie de las funciones de estado definidas por las ecuadones (91) y (92). El análisis se complica considerablemente por el hecho de que la fundón de estado es compleja y no real.

Finalmente, se pueden hacer algunas observaciones sobre la solución de la ecuación dependiente del tiempo.*® Es necesario introdu-” L aecuadón(105)esequivalent«aunar«£btiape2oidaIde integiadón.

13 Casweil, op. cít.

” MeOunoff, et al, op. cit.

“ Coldbe% Schey y Schwartz, op. d t.

1T9

Figura 14, Comportamiento esquemático de la solución de Schrödinger para W' rios valores de prueba de í en la vecindad de la energía d«l estado base El comportamiento de estas soluciones muestran que E» < f# <

cir una malla o retícula en ia coordenada temporal tanto como en coordenada espacial. Entonces, el problema numérico es el siguiente- Dada 0 en cada punto reticular espacial para el tiempo t„, calcailaf 0 en cada punto reticular espacial / „+1 , partiendo del valor inicial de (Íí en / = 0. Hay que notar que en este caso se tiene que eg)eciff car una fiinción completa para defmir una solución, en contraste coi* el caso independiente del tiempo donde sólo se necesitan dos núme· ros tff (0) y ifr (0), El problema todavía se complica porque es nece· sario evitar inestabilidades*® numéricas y asegurar la conservación d® la probabilidad. Las ecuaciones que resultan, son ecuaciones en dif®· rencias de segundo orden en la coordenada espacial y de primeé orden en el tiempo, pero son largas y complejas, por lo cual no se eí* cribirán explícitamente.

Problema 1. Obtener el espectro de energías y los autoestado» de una partícula en una caja, partiendo de los resultados para una p a f tícula en un pozo de potencial cuadrado de profundidad Vi, al paiaf al límite Ko «o. Verificar que los resultados son los mísmo» qu· los obtenidos directamente en el Capítulo IV, Sufren da: MefUf todas las energías desde fondo del pozo antes de pioceder al límite.

Problema 2. Si es el autoestado n-ésimo del oscilador armónico, calcular:

(a)

( C ) («í'nlí'l'í'».). (»Í'JpN'Í'·.)” Un esquema numérico se dice que es dtestable ú al tnincar y redonde« los erro»», éfto» ·· acumulaó de ta] manera que la solución numérica diverge de la satuclin v e td a ^ ta en feon* incontrolable.

(d)(e) Mx^\^n>(0 (^Jp l'Ì 'n ),

Sugerencias; (1) Proceder en la representadón del espado de creación y usar la ortonormalidad de Ics estados del o s d l a d o r armònico. (2) Expresar x en términos de a y de a t , y análogamente para p. Observación: este problema no es d ifid l si se entiende lo que se hace.

Problema 3. Un oscilador armònico simple de frecuencia ì·*, se encuentra en su estado base. A ( = 0 la fuerza constante disminuye repentinamente hasta un valor tal que la frecuencia resulta,<l) <w = wo/2; (2) itt = w,/10. Para ambos casos:

(a) Calcular tpOc, t = 0).03) Calcular Dibujar el comportamiento de durante

un periodo.(c) Si el momento de Ìa partícula se mide al tiempo i > 0, cal

cular la probabilidad de que se encuentre entre p y p + dp.(d) Si se mide la energia de la partícula, calcularla probabilidad

de que tenga el valor £„ = (n + 1 /2)ft w . (Usar la representación integrai de la ecuación (61) para resolverlo). Calcular el valor d en para el cual esta probabilidad sea máxima. Discutir los resultados brevemente.

Problema 4. Una partícula se mueve en un pozo de potencial cuadrado de anchura 2a y profundidad . Considerar el límite en el cual 2a tiende a cero y a infinito, en tal forma que su producto se aproxime al valor finito g. Considerando las soludones del pozo cuadrado discutidas en el texto, demostrar que este potendal tiene exactamente un estado ligado y que,

(a) su eneigía de ligadura es e = g^m¡2h' .(b) su autoestado normalizado es

A continuación considerar los estados continuos. De las soluciones dadas en el texto,

(c) encontrar la amplitud de los coeficientes de reflexión y transmisión y comprobar que la probabilidad se conserva.

(d) Finabnente, ya que este potencial puede expresarse como una función delta, V(pc) = ^ g é (x ) (¿porqué?), intentar deducir que la pendiente de tiene que ser discontinua al cruzar este potencial. En particular, demostrar que ^ es tal que.

1 8 0 ESTADOS DE UN A PARTICULA EN UN A DIMEN SION

dljidx

_ u+ dx __

Usar este resultado para obtener directamente las respuestas a las partes (a), (b) y (c).

PROBLEMAS 181

Problema 5. Considerando los botes de una pelota de masa m, supo· ner, (1) que el movimiento es exactamente vertical, (2) que las colisiones con el piso son perfectamente elásticas y (3) que la fuerza de gravedad es uniforme.

(a) Esbozar el potencial en el cual se mueve la pelota. Establecer la ecuación de Schrödinger y dar las condiciones a la frontera satisfechas por ifi.

(b) Demostrar que los estados estacionarios del sistema pueden expresarse como funciones Bessel de orden un tercio.

(c) Encontrar la ecuación trascendente que determina las energías permitidas.

Problema 6. Una partícula de masa m se mueve en un potencial atractivo = - Vo

(a) Haciendo la substitución z = demostrar que los estados estacionarios pueden expresarse en términos de funciones Bessel.

(b) Como los estados estacionarios pueden clasificarse de acuerdo a sus paridades, encontrar la ecuación trascendente que detennina la energía de los estados ligados del sistema.

(c) Conáderar los estados continuos E > O, Encontrar expresiones para las amplitudes de los coeficientes de reflexión y de transmisión. Verificar que la probabilidad se conserva.

(d) Encontrar una expresión para el incremento en el tiempo Ai asociado con el paso de,un paquete de ondas a través del potencial,. Comparar los resultados con el que se esperaría clásicamente.

Problema 7. Una partícula se mueve en un pozo de potencial cuadrado de profundidad K y anchura 2a. Considerar únicamente estado» continuos en el límite E > y , y usar las soluciones obtenidas en el texto:

(a) Demostrar que la amplitud del coeficiente de transmisión t está dado por.

t { £ ) - e x p [ i r < , 2a!h]

y calcular el incremento en el tiempo al pasar un paquete de ondas a través del potencial. ExpUcar los resultados.

(b) Demostrar que para las ondas reflejadas.

p(E) [exp t2í( V2m£ + 2 VmjlEVaJK]- exp[2i VlmEalh]].

(c) Usando el mismo método que el usado para obtener las ecuaciones (100) y (101), demostrar que existen dos contribuciones at pa

quete de ondas reflejado y calcular el tiempo de llegada a x = —Xt. Explicar los resultados.

ProUema 8. Una partícula se mueve en un campo de fuerzas uniforme F.

(a) Escribir la ecuación de Schrödinger en el espacio de momentos.

(b) Encontrar los estados estacionarios(c) Dado un paquete de ondas inicial 4>(p,t=Qi), encontrar

Hacerlo, construyendo primero el propagador en el espacio de momentos p;í).

(d) Usar los resultados para obtener una representación integralpara si se da <(»0c,0). Determinarsi el paquete de ondas se acelera en la forma esperada.

Problema 9. Un oscilador armónico se encuentra en el estado

O = [00 (-f, t) + 'Ptix* f ) ] ,

donde y son estados normalizados del oscilador armónico correspondiente al estado base y al primer estado excitado. Calcular (E), (x) y ( p ) y discutir la dependencia en el tiempo para cada uno.

Problema 10. Calcular el flujo de probabilidad / (;c,í) para cada estado del problema 9.

Problema 11.(a) Demostrar que las funciones de onda de los estados estacio

narios ligados siempre se pueden escoger como funciones rea l^ sin perder generalidad.

(b) Demostrar que la corriente de probabilidad / ix,t) es cero para cualquier estado estacionario ligado.

Problema 12. Una partícula de 10 gm. realiza un movimiento armónico simple con frecuencia de 2 ciclos por segundo. Si se encuentra en el estado más bajo, calcular la incertidumbre en su posición y en su momento. Si la partícula efectúa el movimiento con una amplitud de 10 cm., calcular su energía y el orden de magnitud de los números cuánticos correspondientes a los estados de esta energía.

Problema 13. Demostrar que una función de estado con paridad definida en el espacio de configuración, tiene la misma paridad en el es*

pació de momentos. ¿Cuáles son las propiedades explícitas del operador de paridad en el espacio de momentos?

Problema 14. Un oscilador armónico de masa m, carga e y frecuencia clásica se encuentra en su estado base en un campo eléctrico uniforme. Al tiempo í = O, el campo eléctrico repentinamente desaparece.

(a) Usando las propiedades conocidas del propagador, encontrar una expresión cerrada y exacta para el estado del sistema a cualquier tiempo / > 0. Comparar los resultados con los del oscilador clásico.

(b) Si las mediciones se hacen al tiempo / > O, calcular la probabilidad de que el oscilador se encuentre en su n-ésimo estado. Sugerencia: Introducir un desplazamiento del origen para encontrar el estado inicial exacto.

Problema 15.(a) Una partícula se mueve en un potencial V(x). Los estados es

tacionarios (í»«· del sistema tienen las propiedades siguientes:( i) El espectro es discreto para j? < O, y continuo para ^ 0.( ii) Existe un número infinito numerable de estados ligados.Óü) Para cada estado ligado y para cada entero q.

Esbozar un potencial V (x) simple y suave que sea consistente con estas propiedades. Explicar brevemente los razonamientos.

(b) Hacer lo mismo, pero en lugar de (ii) tomar un número (pequeño) finito de estados ligados.

(c) Lo mismo que en (c), pero cambiando la propiedad (üi) por; (iiia) el valor de expectación de x es cero para el estado base, pero crece monotónicamente con la energía de excitación (solamente estados ligados).

(d) Supóngase que en el caso (b) la energía del estado base delsistema es £ o = - 2 eV y que = 4 X 10'*« cm*. Si lamasa de la partícula es de 10 = gm, estimar la intensidad de K(x) en electrón voltios y su extensión en angstroms, o sea, dar una escala numérica aproximada para dibujar la parte (b). Sugerencia: usar el principio de incertidumbre para hacer las estimaciones.

Problema 16. El hamiltoniano de una partícula puede expresarse en la forma j

W = €, a*a + €í(a + d+) , (o, a+) = 1,

PROBLEMAS 183

donde e, y cj son constantes.(a) Encontrar las energías de los estados estacionarios. (No se

necesitan encontrar las funciones de estado correspondientes),(b) Lo mismo, excepto que el conmutador de a y a + es,

(a,a*) = g*,

donde q es un número.Sugerencia; Teniendo en cuenta el oscilador armónico, introducir nuevos operadores de aniquilación y creación b y b ^ mediante,

b = aa + 13, 6+ = aa* + j8

y escoger las constantes « y acertadamente.

Problema 17. Tomar tír(jc,0 como una función de estado arbitraria correspondiente al oscilador armónico dependiente del tiempo. Demostrar que,

(jf ), = (a:)o COS(i>t + sitito/mcú

{p)t= {p)o costo/ — sintü/,

en correspondencia completa con las ecuaciones clásicas.Hacerlo en las dos formas siguientes:

(a) Encontrando expresiones para d(p}¡dt y d{x)¡dt e integrando las ecuaciones acopladas que resultan.

(b) Por cálculo directo de (x)t y (p)t, usando el propagador oscilador armónico para expresar 0(x, t) en términos de ^(x,í).

Problema 18.(a) Sea tí»(jc,í) una función de estado arbitraria correspondiente

a un oscilador armónico dependiente del tiempo. Demostrar que.

(a ) t= {a )oe-^ ‘, <at>,= (íít)«f*"'.

Hacerlo en las tres formas siguientes;i) Encontrando expresiones para dia}jdt y d{ai)/dt e inte

grando las ecuaciones que resulten.ii) Calculando directamente <a>, y <at>, , usando el p rop^a-

dor dado en la ecuación (68) para expresar en términos de »(»(x,0).

üi) Por cálculo directo usando la ecuación (65) para el propagador.

(b) Resolver el problema del oscilador clásico usando como variables dinámicas clásicas a y u t en lugar de x y p.

Problema 19. Usando la r^ la dada por ías ecuaciones ( 105 ) y ( 106) para ia integración numérica, integrar la ecuación diferencial,

desdejf = cero hasta uno para los siguientes dos casos;(a) *|»<0)=0, ^(0) = l(b) ^ ( 0 ) = 1 , »^(0)=0.

En ambos casos usar un tamaño reticular e = 0.2, Comparar los resultados con las soluciones exactas.

PROBLEMAS

VIIMétodos aproximados

1. LA APROXIMACION WKB

En el capítulo anterior se estudiaron las soluciones de la ecuación de Schródiíiger para el oscilador armónico y para el pozo de potencial cuadrado. Son dos ejemplos de potenciales muy importantes para los cuales se pueden obtener soluciones exactas de las ecuaciones cuánticas. Aunque existen muchos potenciales de este tipo en una dimensión, en general se tratará con potenciales para los cuales no se pueden encontrar soluciones exactas’ Para poder tratar este tipo de problemas se estudiarán diferentes métodos de aproximación, cada uno con su dominio de validez.

Para empezar se discutirá un método para tratar potenciales que cambien muy lentamente en una longitud de onda de de Broglie. Para sistemas clásicos la longitud de onda se aproxima a cero, restricción que siempre se satisface para potenciales que se pueden realizar físicamente. Principalmente, este método lleva al límite clásico y, por ello, frecuentemente se llama la aproximación semiclásica. Sin embargo, más a menudo se llama la aproximación WKB, debido a Wentzel, Kramers y Brillouin, que fueron los primeros que aplicaron el método a problemas cuánticos. Este tema es muy viejo para los matemáticos que lo estudiaron como soluciones asintóticas de las ecuaciones diferenciales y se origina en Stokes que inició estas técni-

I Se presenta más comunmente en tres dimensiones y en el estudio de sistemas de partículas en interacción. Como se verá más adelante, en ambos casos, el número de problemas que se pueden resohfer en forma exacta es muy limitado.

cas en la mitad del siglo diecinueve. Estas técnicas fueron redeacu- biertas por Wentzel, Kramers y BiiUouin y también, independientemente, por Jeffries. Por ello, el método algunas veces se llama la aproximación WKBJ,

Para seguir adelante, se considera una partícula moviéndose en un potencial F (x), por lo cual la ecuación de Schrödinger para estados estacionarios tiene la forma usual,

(1)

y se quiere estudiar el límite para el cual ñ tienda a cero. Sin embargo, no se puede proceder directamente con la ecuación (1) tal como está escrita, ya que 4»e oscila tan rápidamente en este límite que el primer término da una contribución finita y no cero, como se esperaría, Para mostrar explícitamente este comportamiento se escribe *¡ie en la forma,

(2)

que es un tipo de onda de de Broglie generalizada, con amplitud j40c) y fase 5(x), que son funciones de la posición, todavía desconocidas.® Al diferenciar dos veces, la ecuación (2) resulta ser.

LA APROXIMACION WKB 1 3 7

dx^ ä x ^ ' d x d x h d x ^ f i* \í ÍK :/

y substituyendo en la ecuación de Schrödinger, cancelando el factor común y reagrupando los términos, resulta la ecuación exacta no lineal.

Considerando a h como parámetro de pequeñez, el primer ténnino es del orden de la unidad, el segundo término es del orden de A y el último del orden de A®. Provisionalmente se desprecia el término en A*, y se hacen cero por separado los otros dos términos, detemiinando de esta manera 5 y ^4. Del primero se obtiene,

d x■ ± V 2 m ( £ — V ) = ± p ( x )

’ EsU fonna puede paiecet muy especial, peto no se pieide gMeialídad al uiaila. Se han Introducido <ios funciones desconocidas en lugar de una sola. Más adelante se uutá como vente a etta redundancia escogiendo f jr 4 en forma particular y muy conveniente.

188 METODOS APROXIMADOS

O bien,

5 U) =±X/ . { j c ) dx.

Usando este resultado el segundo término tesulta^,

(4)

O

O bien, m ultiplicando po r A y com binando los ténninos,

= 0.i (5)

De la ecuación (2), = paraci y 5 reales. Entonces, estaúltima ecuación meramente establece la conservación de la probabilidad, ya que es equivalente a djfdx=Q, donde el flujo de probabilidad /, en la aproximación que se está considerando, se expresa como

j = pv = pim = A plm.

De la ecuación (5) se obtiene,

A = clVp,

donde c es una constante arbitraria y, por lo tanto, la solución aproximada tiene la forma

,±f / p dx/ñ

donde

p = \ /2 m [ E -y { x ) ] .

Esta solución está expresada en términos de una integral indefinida. Puede expresarse en términos de una integral deflnida si se toma el valor de en algún punto fyo x^. Al hacerlo se obtiene que.

= >lfe^iXo) e \ p ± i J p d x l h . (6)

La estructura del resultado WKB es fácil de entender. Ya se vió que la función de amplitud está determinada por el requisito de que la probabilidad se conserve. El factor de fase se interpreta de la siguiente forma. El cambio de fase de una onda de de Broglie de longitud de onda K al avanzar una distancia dx es

* La ecuación (4) se reconoce fácilmente por el lector que esté familiarizado con la formulación de la mecanica clásica de Hamilton-Jacobl (Referencia (14) ).

LA APROXIMACION WKB 1 8 9

Si la longitud de onda no es constante, pero cambia con la poación, entonces, la acumulación del desfasamiento para un avance finito es,

S p dx l h .

de acuerdo con el resultado anterior, aunque este argumento se basa en la noción de una longitud de onda dependiente de la posición. Pero el concepto de longitud de onda pierde a i significado si la longitud de onda no es prácticamente constante en una distancia del orden de la longitud de onda reducida. Por lo tanto, se espera que la presente aproximación sea válida si la longitud de onda cambia por una fracción muy pequeña sobre la distancia anterior. Esto es, se espera que 6A/A I, donde 5X = idMdx)\, y que

dx (7)

para que la aproximación WKB sea válida. Expresando ^ en términos de p, la desigualdad es equivalente a

idx p d x ^

I

y expresando p en términos dcE y V,

2 V 2 ^i

dx\

(8)

(9)

La ecuación (8) establece que el cambio fraccional del momento lineal debe de ser pequeño en una longitud de onda, pero la ecuación (9) establece que, en una longitud de onda, el cambio de la energía potencial debe de ser pequeño respecto a la energía cinética. Otra forma de establecer estas condiciones sería exigir que la longitud de onda sea pequeña comparada con la distancia sobre la que el momento lineal cambia apreciablemente, o bien, sobre la cual el potendal cambia apreciablemente. Naturalmente, las ecuaciones (7), (8) y (9) son equivalentes y son diferentes formas de establecer la misma condición.

Aunque se han seguido argumentos clásicos para obtener la aproximación WKB, de la ecuación (9) se observa que, como beneficio adicional, la aproximación también es válida en regiones prohibías clá- sicamente donde la energía cinética es negativa, a condición de que


esta energía negativa sea suficientemente grande y cambie lentamente. Por otra parte, en la vecindad de un punto de vuelta clásico donde £■= K, p = 0 y A = 00, la aproximación falla completamente. (Estos dos temas se volverán a tratar más adelante).

Todavía faltaría establecer con mayor precisión la condición para la validez de la aproximación WKB. Para hacerlo, es conveniente volver a la ecuación exacta (3) que fué el punto de partida y tomar en consideración el término despreciado“' en . Al incluir este término, la función de fase S se determina mediante la ecuación,

= 0

o bien, por

Æ àdx^'

A primera aproximación, el efecto del término pequeño en h'i se obtiene desarrollando la raíz cuadrada,

dS , , , , , d^A .^ = ± [ p U ) + 5 ^ 3 ^ + · · · ] .

aunque A, a este orden, todavía puede tomarse como proporcional a p~''^ . Entonces, se tiene que

dS

e integrando

donde

^ = ± [p + i h^p-''^dHp-^>'^)¡dx^] ax

5 = ± J p dx + ,

dxp-^‘ id^p-''Vdx^}.

Al escoger los límites de integración de esta manera, en lugar de la ecuación (6) se tiene que.

^E^{x)=>l>i:~ix„) ±> j^^p dxlh + áSlh

* El ténnino en se considera como un ténnino de cotiecctón en L· exptcáón para S. También puede considerarse como un término conectivo en .4. Se ha escogido el primero porque simplifica el análisis posterior, pero el resultado final es independiente de la selección que se haga.

LA APROXIMACION WKB 191

Por lo tanto, se concluye que la aproximación WKB es válida cuando

\ASIh\ = ~ r2 J., ( 10)

que es la condición precisa que se buscaba. Es necesario hacer notar que esta condición contiene algo más que el comportamiento local de p(x); toma en cuenta el error acumulado en la función de fase S en todo el intervalo, desde el punto de referencia x» hasta el punto x donde se calcula la función de estado.

Debido a que la ecuación (10) es complicada y difícil de interpretar, se establecerá una cota aiperior aproximada para A5/ft que es más fácil de entender. Por inspección se tiene que.

A ih

r-TiV p mtn

donde prnin es el valor mínimo de p sobre el dominio de integración. Si por simplicidad se supone que d^p-^‘' liix' es monótona en el intervalo de Xu a X , la integración se puede realizar inmediatamente y se obtiene que.

A5 ^ ftti 2 V^în

Ya que,

\ dx Jj. dx )

dp ~mdx

donde \dp- <' ¡dx\ ^ es el valor máximo que alcanza \dp~'‘ ldx\ enéi intervalo de X(, a x, y se encuentra que

AS dp- <·Â ^Pmin dx majL

Pero si se supone que {d^p~'‘' ídx'^)no es monótona sino que cambia de signo q veces dentro del intervalo de integración, la contribución a |A5/fi| en cada subintervalo en el cual í / ^ f ’ ^/í/jrêsmonotónica, está acotada por el doble del valor máximo alcanzado por \dp~''' idx\ y, por lo tanto, ya que existen <7 + I de estos subintervalos

A 5 dp-^>·^

ñ ^Piala dx max

1 9 2 METODOS APROXIMADOS

donde todavía significa ei valor mayor de \dp~ ^ ldx\sobre todo el dominio de integración. Ya que

dp- <· _ 1 1 dp ^ 1 1dx max 2 pW2 ^ ma* 2 dx »max

se obtiene finalmente que,

A5 ( g + l)fe _ Lí mln

dpdx

y, por lo tanto, la aproximación WKB está garantizada a condición de que se cumpla que

Í £ ± Í 1 A _ LPmin dx l. (8a)

Excepto por factores numéricos del orden de la unidad, esta expresión es la misma que la ecuación (8), y en la cual deben de usarse los valores adecuados para el valor mínimo de p y ei valor máximo de (dp/dx) en el intervalo adecuado. Hay que hacer notar que si el intervalo es suficientemente pequeño, resulta que esta distinción no es importante y la ecuación (8) es, esencialmente, la condición local correcta.

A continuación se estudiarán algunos ejemplos de la aplicación de la aproximación WKB. En primer lugar se discutirá el caso de estados continuos y después el caso más interesante de estados discretos. En este último, se obtendrán las reglas de cuantización de Bohr.

En el tratamiento de los estados continuos la atención se restringirá al caso en el que el potencial se anule en infinito por lo menos tan rápidamente como x K También se supondrá que la partícula tiene una energía E que supera al potencial en todas partes, por lo cual no existen puntos de vuelta clásicos. En este caso, las dos soluciones independientes de la ecuación de Schrödinger están dadas por la ecuación (6), y corre^onden a una partícula que vi^e hacía la izquierda o hacía la derecha, sin reflexión. Esta última característica es una consecuencia de la suposición de que el potencial cambia muy lentamente. En general, el coeficiente de reflexión será tanto más pequeño cuanto más lentamente cambíe el potencial y en el límite WKB la reflexión resultará despreciable, coincidiendo con el comportamiento clásico. Entonces, la amplitud del coeficiente de transmisión tiene magnitud uno, pero contiene un factor de fase 8 que se relaciona con el incremento en el tiempo asociado con el paso de una partícula a través del potencial. A continuación se obtendrán expresiones explícitas para T y para el incremento en el tiempo. Considerando que la partícula se mueve hacia la derecha, de la ecuación (6) se obtiene que.


El punto de referencia jrg se fyarà a la izquierda en infinito; esta selección permite fijar inmediatamente la forma de la onda incidente. En vista del comportamiento supuesto del potencial en infinito,V ) es despreciable si jc# se encuentra lo suficientemente lejano y el momento toma el valor constante,

= V l m E .

La función de estado en esta región es una onda pura de de Broglie y se tiene que,

donde f (E) es la amplitud (arbitraria) de la onda incidente. La expresión para tíiB(jt) puede escribirse en la forma

«ír£.(jr) = limXg-* -»

exp p d x + y / 2 ^ X^!hP !

Para pasar al límite se observa que,

V2mE Jo+ p J j t = V 2 m £ x + {p — V2m£) dx.

Debido a que; {p - VlmE) se anula más rápidamente que se puede tomar el límite y se obtiene para la función de estado WKB la expresión,

Mx)=fiE)( ^ y i(j"jp-V2Íi) dx + Ví^x^h .

Finalmente, haciendo tender x a infinito por la derecha, se tiene que

= / ( £ ) exp í j " ( P - VlmE) dxlA

= t / (£ )donde, como ya se anticipó, el coeficiente de transmisión t tiene la forma

con.

8( £ ) (p - V 2 ^ ) dxlh = ^ ( V £ ^ - V È ) dx.

Es necesario recordar que, de acuerdo con la ecuación (VI-101), el incremento en el tiempo Ar asociado con el paso de una partícula a través de un potencial está dado por

At = h dSIdE

por lo cual, en la aproximación WKB, después de efectuar la diferenciación indicada se obtiene que

d x

f — d x .

donde y(x) = V 2(£ - y)¡m es la velocidad clásica dé una partícula con energía total E en un potencial F(x) y donde Vo = V 2£/m es la velocidad de una partícula libre con la misma energía. Entonces, se ha obtenido exactamente el mismo resultado clásico para la diferencia entre el tiempo de llegada de una partícula libre de energía E y una partícula de la misma energía después de atravesar un potencial V.

A continuación se considerarán los estados ligados de una partícula en un potencial V(x). Se supone que para una energía dada los puntos de vuelta clásicos se encuentran en j:, y jtj , tomando a i < .En el interior del potencial, no muy cerca de los puntos de vuelta, la aproximación WKB para las soluciones puede escribirse como una combinación lineal de ondas que viajan hacía la izquierda y hacía la derecha. Es conveniente escoger esta combinación lineal como

sin [ ( / p ( x ) d x j h ) -I- 6 ] . (II)

Ya que contiene dos constantes arbitrarias c y 6 , esta expresión es totalmente general, A la derecha de Xz, pero no muy cerca, la solución puede encontrarse con la aproximación WKB y es una función exponencial amortiguada; análogamente a la izquierda de Ninguna de estas soluciones WKB son válidas cerca de los puntos de vuelta, siendo el problema matemático básico el de unir las soluciones de un lado del punto de vuelta con las soluciones del otro lado. Este problema puede resolverse de varias formas y se puede dar una respuesta general. La respuest es fácil de entender, aunque los detalles de la derivación son complicados y por ello se omitirán®. Para entender la respuesta es necesario recalcar que si la región prohibida clásicamente también lo fuera cuánticamente, la función de onda tendría que anularse en cada punto de vuelta y esto podría lograrse colocando entre los puntos de vuelta exactamente un número semientero de longitu-

·' El procedimiento común es el siguiente; se supone que la solución WKB es válida excepto en un intervalo de longitud L en tom o al punto de vuelta. Si el potencial canibla con suficiente lentitud, se le puede considerar como lineal en ese intervalo y la ecuación de Schrödinger se puede resolver en términos de funciones Bessel de orden un tercio. Esta solución puede unirse suavemente a la forma WKB en los extremos del intervalo. Para una discusión detallada vet la Refetencia [ 19].


des de onda de de Broglie, o sea, anulando en cada punto de vuelta la función senoidal dé la ecuación ( I I ) . Pero, ya que la función de onda verdadera penetra un poco en la región prohibida, se encuentra que entre los puntos de vuelta se deben de colocar un número ligeramente menor que un número entero de semilongitudes de onda. E»· pecíficamente, en cada extremo resulta que la función de onda se comporta como si se anulara a 1/8 de longitud de onda en la región prohibida. Entonces, resulta que la condición para un estado ligado es que haya un número entero de semilongitudes de onda disminuida en 1/4 de una longitud de onda o en 1/2 de una semilongrtud de onda. Ya que el número de semilongitudes de onda en el intervalo entre Jf, y es

dx 2 ,- - i . L · ’" ' ’'·X/2

se tiene que.

m _ l _ 22 h ir.

p dx, m = 1,2,3,

O bien, sustituyendo m por « +1,

p dx = 2 í p dx = (n n — O, 1,2,.J j J'l ^

( 12)

donde la integral de la izquierda es la integral convencional sobre un período del movimiento clásico y, por lo tanto, es dos veces la integral entre los puntos de vuelta®.

Este resultado se reconoce como la versión modificada de la condición de cuantización de Bohr, modificada por la inclusión de la eneigía del punto cero que proviene del término adicional /i/2 en el miembro derecho. Es un progreso sobre la regla de Bohr y, además, se puede hacer una estimación sobre su dominio de aplicación. Ya que la aproximación WKB exige que la longitud de onda sea corta comparada con la distancia sobre la cual el potencial cambia aprecía- blemente, la ecuación (12) se aplica con mejores resultados si el número cuántico n crece y la longitud de onda correspondiente decrece.

Al aplicar la ecuación (12) se tiene que.

p = V 2 m ( E ~ V ) = p { E , x ) ,

donde los puntos de vuelta también dependen de la energía desconocida E. .Entonces, el miembro izquierdo es una función de £ y las soluciones de la ecuación (12) son las energías permitidas en la aproximación WKB." La ecuación (12) está expresada en ténninos de A y no de ft.

Como ejemplo, se pueden encontrar los autovalores de eneigía del oscilador armónico, para el cudXresulta que la ecuación (12) suministra los valores exactos para todos los estados. Se tiene que,


p = V'2w(£-ma»V/2) ,

y los puntos de vuelta ocurren en,

X = ±\ZlE¡tna)

Entonces la ecuación (12) resultar V2E/mai* -------------------------------- / ■ 1 \

2 I V2m (£ — moy‘'X ¡2) dx = { n + .J-víbTSSs V 2/

Introduciendo la nueva variable $ mediante

X = w2E¡tñ<^ eos Öse obtiene que,

4£ sin $ dß = InEju},O

donde

w .

de acuerdo con el resultado correcto para toda n. Aunque de la aproximación WKB se obtiene la energía correcta, no se obtiene de ella la funpión de onda correcta. Para una comparación entre las funciones de estado correctas del oscilador armónico y las que se obtienen de la aproximación WKB ver el problema V IH 7.

2. LA APROXIMACION DE RAYLEIGH-RITZ

Existe una diferencia significativa en el problema de obtener soluciones aproximadas de la ecuación de Schrödinger para estados ligados y para estados continuos. En el último caso, el problema consiste en encontrar funciones de estado estacionarias para valores de la energía en el continuo. En el primer caso, las energías discretas permitidas también tienen que ser determinadas. A continuación se presentará un método variacional que optimiza la determinación aproximada de las energías permitidas para los estados discretos, por lo menos para los estados más bajos. Esta técnica la iniciaron Rayleigh y Ritz a principios del siglo diecinueve y se originó en problemas clásicos de valores a la frontera.

La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo es( 13)

para un sistema descrito por un hamiltoniano H. Multiplicando por »/»f;* e integrando a todo el espacio el resultado se puede escribir como,

„ 4 ,

donde es conveniente suponer que fe no está noramalizada. Para autofunciones correctas de H, esta ecuación resulta una identidad, pero para los estados ligados que se están considerando E y son desconocidas. Sin embargo, se puede suponer una función aproximada (f< para que substituida en (14) da para£” un valor aproximado E' . En otras palabras, para y >1* físicamente aceptables se define £"por

£ · . ■ <i5)

Evidentemente E' se puede interpretar como el valor de expectación del hamiitoniano para el estado aproximado

Ahora, se demostrará que el error en E' es de segundo orden respecto a los errores en las funciones de estado, o bien, la energía es es- tacionaría respecto a variaciones arbitrarias e independientes de y

respecto a los valores verdaderos. Para esto se necesita definir una clase de funciones ip que incluyan a las funciones verdaderas, lo cual se hace introduciendo la familia de funciones dependientes de un parámetro

= »í'f; + aip,

que simplemente expresa a<fi como la desviación de (í< del valor verdadero El parámetro a sirve como medida de esta desviación. Análogamente se escribe

donde a* y 4^*, Sin embargo, se puede señalar que las propiedades estacionarias se cumplen aunque tí»* no sea el complejo conjugado de sino una función escogida en forma independiente. La ecuación (15) se puede escribir en ta forma,

E ' ( a , ß ) / -l· ßx){^E + a(f>) dx

= f + ß x )H (!{,,.■+ a<{>) dx, (16)

LA APROXIMACION DE RAYLKICH-RITZ 1 9 7

donde, naturalmente, E \ a = O, ß = 0) =E. Diferenciando re^ ec to a y haciendo a = = O, se obtiene que

HE'

o bien,HE'

cr.jí^ü

/ ^ E * ^ B rfjT + E / x«í(£ í/jf = / xHf p ü dx

^ J X Í M ^ e - E ^ e ) d x

; d x

Finalmente, ya que satisface la ecuación (13) por definición, se obtiene que,

AE'Aß

= 0 . (17)

Análogamente, usando el carácter hermitiano de W, se encuentra queAE'd a

= 0 . (18)a.ö-it

Las ecuaciones (17) y (18) significan que E' tiene la forma £''(o£, j8) = £■ + términos cuadráticos y superiores en a y en ß y, por lo tanto, como se afirmó, los errores en la energía aproximada son de segundo orden respecto a los errores en la función de onda aproximada, si la energía se calcula usando la ecuación (15).

Ejercicio 1. Obtener la ecuación (18).

Recíprocamente, si se parte de la ecuación (15) y se exige que <(i y tít*sean tales que E' resulte estacionaria respecto a variaciones independientes en estas funciones, se puede demostrar que »ft y i(f* tienen que ser autofunciones de H. En otras palabras, la ecuación (15) considerada como una expresión estacionaria es enteramente equivalente a la ecuación de Schrödinger, o bien, en el lenguaje del cálculo de variaciones, la ecuación de Schrödinger es la ecuación de Euler del problema variacional.

Para usar estos resultados como un método aproximado, el procedimiento más simple es el de suponer una función físicamente razonable *¡t como función de prueba. Entonces, el cálculo de £"da como resultado una estimación óptima de la eneigía correcta E. Procediendo sistemáticamente, se supone una función de prueba que depende explícitamente de un conjunto de parámetros, se calcula E ' como función de estos parámetros usando la ecuación (15) y, finalmente.

"Ti

LA APROXIMACrON DE RAYLEIGH-RITZ 199

se hace E' estacionaria diferenciándola respecto a cada parámetro e igualando a cero el resultado. Un valor aproximado para la energía se obtiene al encontrar la solución del conjunto de ecuaciones simultáneas que resultan para los parámetros desconocidos. Este valor es el mejor que se puede obtener con ía función de prueba escogida inidal- mente. Más adelante se dará un ejemplo.

La utilidad práctica de este esquema es debido ai hecho de que la energía del estado base calculada de esta manera es una cota superior a la energía verdadera del estado base. Aunque la ecuación <15) proporciona un principio variacional para cualquier autoestado del hamiltoniano, proporciona un principio mínimo para el estado base. La demostración es sencilla. Cualquier fundón de prueba puede expresarse como una superposición del coiyunto completo de autoestados de H. Entonces, se puede escribir

y substituyendo en la ecuación (15) resulta que,

S|c'el^

Si E„ es la energía del estado base, entonces, para cada término en la suma, resulta que E ^ E^y, por lo tanto,

E' ^ £„.Además, la igualdad se cumple solamente para = suponiendo que el estado base no es degenerado.

Obviamente el principio del mínimo no es válido para estados más altos excepto si la función de prueba es ortogonal a todos los estados exactos más bofos. Para comprobar esta conclusión, se toma el estado n-ésimo con eneigía exacta £»y se supone ortogonal a todas las *¡>e para E < En. Entonces, si ^ se expresa como superposición de estados exactos, en la hipótesis no intervienen los ténninos f < £■«, y se tiene que

y, por lo tanto.

Esta condición de ortogonalidad, en general, es difícil de lograr po^ que se necesita conocer todas las fundones de estado exactas para

E < E„ . Afortunadamente, en la práctica se pueden usar propiedades de simetría para asegurar esta ortogonalidad entre los estados más bajos. Por ejemplo, en un potencial simétrico los estados pares y los estados impares automáticamente son ortogonales entre sí. Por lo tanto, el estado par más bajo y el estado impar más bajo satisfacen un principio mínimo. En general, el mejor resultado que se puede obtener es lograr que la función de prueba sea ortogonal a los estados conocidos más b^os aunque sean aproximados, pero el método pierde su validez a medida que crece el número cuántico de los estados. Ya que el método WKB da mejores resultados para números cuánticos grandes, los métodos variacional y WKB se complementan en cierta forma.

El método variacional exige que se introduzca a l^ n a función como función de prueba y se ha sugerido que dicha función sea físicamente razonable. ¿Cómo se escoge esta función y qué significa “ físicamente razonable”? Es difícil dar una respuesta precisa, pero quizás las siguientes observaciones sean de alguna ayuda. Para ello se considera el estado base de una partícula en un potencial simétrico. La función de onda del estado base no tiene nodos y, como todas las funciones de estados base, se anulan rápidamente a grandes distancias. La función de prueba más simple es una función suave, centrada en el origen porque tiene que ser simétrica y que prácticamente se anule en una distancia característica. Esta distancia puede tratarse como un parámetro que se determina por variación. Un ejemplo que se utiliza con mucha frecuencia sería una gausiana.

Otros ejemplos con propiedades semejantes son, csch -l-ít')-"',etc. Se pueden construir funciones más generales multiplicando por polinomios cualquiera de estas funciones y determinando los coeficientes por variación. Excepto en el caso en que se pueda usar una computadora, se usan funciones para las cuales se pueden calcular fácilmente las integrales, pero con las características generales indicadas en los ejemplos anteriores.

Para los estados excitados, también se introducen en la función de prueba el número correcto (y conocido), de nodos, la simetría correcta y el comportamiento general esperado. Para el primer estado excitado en un potencial simétrico, que es impar y tiene un nodo en el origen, cualquiera de las funciones citadas anteriormente multiplicada por X sería una función de prueba adecuada. Para el segundo estado excitado, que es par y tiene dos nodos, cualquiera de las funciones anteriores podría usarse si se multiplica por el polinomÍo{A--jc^).

FilifrÉMUb,.

La localización de los nodos e n x ^ in h puede tratarse por variaciones considerando a b como parámetro variacional.

En resumen, se construyen funciones de prueba que se puedan usar con cierta facilidad y que contengan todas las características generales y específicas de las funciones exactas, o por lo menos tantas como sea posible.

Como ejemplo, se usará el método variacional para estimar la energía del estado base para el oscilador armónico. El uso de una gausiana daría el resultado correcto puesto que el estado base exacto es una gausiana. Por esto, sobre la región |j:| ^ se usará un polinomio con la forma general correcta y que se anule suavemente en los extremos. Para ]j:| > íí , se hará igual a cero la función de prueba y, naturalmente, se determinará a por variaciones. En particular, se escoge la función

0 = {(!'’ — X-)~, | . v | ^ (I,

W . . . ,

Recordando que el hamiltoniano del oscilador armónico es,

H = ^ + \ nttirx'^2m 2

LA APROXIMACION DE RAYLEIGH-RITZ 201

la ecuación (15) resulta serI

x'^\}f*^ iix

J »íí*»ír Jx

Calculando la integral del denominador se obtiene

En la misma forma, el término correspondiente a la energía potencial resulta ser

, , , , , 256«'·

El término correspondiente a la energía cinética se calcula como sigue:

y ya que el primer término se anula,


Reuniendo estos resultados se obtiene que

dx = ~ 256a"7 - 5 - 3 ‘

E'(a^) =

Ä" 256d’ 1 ,^ T e ~-i + T "*« 77 2m 7 · 5 · 3 2 II

256«'■9-7-5 3

256íi»/9 · 7 · 5

Se observa que la energía cinética y la energía potencial rivalizan en importancia, hecho que se mencionó en la discusión cualitativa acei^ ca de las características de los estados ligados, usando el principio de incertidumbre. Si a* disminuye, la energía potencial decrece, pero la enei£Ía cinética se hace mayor debido al incremento en la localización de la función de onda. El procedimiento variacional presenta explícitamente esta rivalidad en el presente caso. Si se diferencia E'respecto al parámetro variacional o* y se iguala a cero el resultado, se obtiene,

dE’ ^ 3 ft* , 1— - = 0 = —:; ----¡ + ^da 2 ma* 22

en donde,

íj® = V33 A/mw

£ ' = ^ f t w V l 2 / n ,

Un error del 5 por ciento solamente y mayor que la verdadera energía del estado base, como se esperaba.

Otros ejemplos se dejan para los problemas.

3. TEORIA DE PERTURBACION PARA ESTADOS ESTACIONARIOS

Ahora, se estudiará el método más importante para obtener soluciones aproximadas de !a ecuación de Schródinger, un método basado en la teoría de las perturbaciones. Este método se aplica a cualquier caso en el cual el hamiltoniano f f que describa al sistema estudiado no difiera mucho de un hamiltoniano //oque describa a un sis tema parecido pero más simple y cuyo conjunto de autofunciones y autovalores se conozcan exactamente. Estas circunstancias parecen demasiado especiales para tener alguna consecuencia, pero de hecho

TEORIA DE PERTURBACION PARA ESTADOS ESTACIONARIOS 2 0 3

se presentan muy a menudo, como se verá en las aplicaciones y debido a este hecho el método deriva su importancia práctica. En esta sección se discutirá el caso más simple, o sea, el caso en el cual los estados son no degenerados, estacionarios y discretos.

Se empieza por expresar el hamiltoniano perturbado H en términos del no perturbado/fo escribiendo, sin perder generalidad, que

/ / = A/o+X/ / ' . (20)

La cantidad H ' se llama el término de perturbación en el hamiltoniano. El parámetro sin dimensiones X, que es redundante, puede tomarse como uno para el problema físico. Se introduce por conveniencia como un parámetro visible de pequeñez y que también permite pasar gradualmente del problema físico al problema no perturbado, en forma bien definida, sencillamente haciendo tender A a cero.

Se buscan las autofunciones y autovalores de H definidos por.

=(//<, + A// ' ) »I»« (21 )

Los autovalores y autofunciones no perturbados son conocidos y están definidos en forma análoga,

= (22)

Se supone que y no son degenerados. Ahora, se puede hacer la suposición fundamental de que cuando X tiende a cero, el conjunto de eneigías £„ tiende hacia alguna (#>„ en particular, y esta correspondencia uno a imo se puede establecer explícitamente etiquetando los estados de tal forma que para cada n

lim EaX-0 limX-0 (23)

Además, los estados perturbados desconocidos se expresan como una superposición del conjunto completo de estados no perturbados. Entonces, se tiene que

=Ì

y como consecuencia de la ecuación (23),

ìlio ^ '

(24)

(25)

Sustituyendo la superposición (24) en la ecuación (21 ) resulta que

^ = (Ho + kH' ) V \i i i T

Multiplicando por j , integrando y usando la ortonormalidad de ,

se obtiene, para cada valor de j,

Cjíi —&¡) = X 2 (26)

donde los números H'¡i, llamados elementos de matriz de / / ', se definen como,

í / ' , = í (27)

Notar que H'a = , ya q u e //'e s hermitiano.Para una n dada, se necesita resolver el conjunto de ecuaciones

exactas (26), ima para cada ; donde <5 , X son desconocidas. Si este conjunto infinito de ecuaciones homogéneas tuviera solución, su determinante debería de anularse, de donde se obtendrían las autofunciones y autovalores exactos del problema. En la práctica no es posible llevar a cabo este procedimiento y se busca una solución aproximada para X pequeña. Las ecuaciones (23) y (25) establecen que, cuando X se aproxima a cero, £’„-»■ c«« ^ 1 y todas las Cj„ seacercan a cero. Separando los términos dominantes se puede escribir la ecuación (26) como

j = n·. c „ „ ( £ „ - < 5 „ ) = X c '„„ //„„ ' + X / / ; , ■ Ci„i

j ^ n: C j„(£„-¿?j) =Kc„„Hj„’ + \ 2 'I

donde el acento en el símbolo de suma significa que el término i = n se omite, ya que este término se ha separado explícitamente. Dividiendo entre c„„, se obtiene que

(28)

KH'Jn. £ü l .í“««

(29)

Si la función de estado perturbada se normaliza, a estas ecuaciones se aííade la condición =1, o bien,

I\cjc,

(30)

De la ecuación (29) se obtiene que cjjc„„ es del orden de x y, por lo tanto, en las tres ecuaciones (28), (29) y (30), los términos de la suma contribuyen a orden X* y superior. Entonces, se puede escribir una serie de potencias en X para los autovalores E„ y para las funcio-

nes de estado , usando un esquema de aproximaciones sucesivas en la forma siguiente. A orden cero, X = O, se obtiene la solución no perturbada E„ =* 3„, Cj, ^ y naturalmente Substituyendo el resultado a orden cero en el miembro derecho de las ecuaciones (28), (29) y (30) se obtiene la solución a primer orden en X, o sea, la solución a primer oden. Por lo tanto,

£„=<©„ + XW'„„ (31)

TEORIA DE PERTURBACTON PARA ESTADOS ESTACIONARIOS 205

<32)<5« &j

y usando estas expresiones para los coeficientes del desarrollo, se obtiene de la ecuación (24) la función de estado a primer orden.

+ <33)

Se observa que la expresión a primer orden para E„ depende únicamente de la función de onda a orden cero ya que Este resultado se entiende fácilmente a partir del principio variado- nal, porque la ecuación (31) es la aproximación de Rayleigh-Ritz para E„ con !a función de prueba \¡f„ = De la ecuación (32), se deduce que una condición necesaria para poder aplicar el método pertul· bativo para el estado n-ésimo es que

para todos los valores de J 9 t t , &s dedr, que la diferencia entre lat enei^ías no perturbadas tiene que ser mucho mayor que el correa pondiente elemento de matriz del término perturbativo en el hamll· toniano.

Si se quiere continuar con el procedimiento, la aproximadón a segundo orden se puede obtener substituyendo los resultados a primer orden de las ecuaciones (31) y (32) en los miembros derechos de (27), (28) y (29). Unicamente se escribirá explídtam ente la aproxi- m adón a segundo orden para la energía, la cual viene dada por

£„ = éJ „ + X + X“ ' ¿ (34)

Debido a q u e / / 'e s hermitiano el resultado se puede escribir en la forma,

£„ = &„ + \ H \ „ + X 2 (35)

donde la energía es real, como tiene que serlo. Notar que únicamente la aproximación a primer orden de y, por lo tanto, de se necesita para calcular esta expresión a segundo orden para la energía. Este resultado es una característica general; el conocimiento de la fiinción de onda a un cierto orden permite el cálculo de la energía a un orden superior."

Continuando con este procedimiento, se pueden obtener correcciones a orden superior, pero el álgebra resulta tediosa y los resultados resultan difíciles de calcular. El método perturbativo es útil cuando converge rápidamente, de tal manera que los términos superiores al segundo orden sean despreciables. En la práctica, se omite generalmente el término a segundo orden a menos que el primer orden se anule idénticamente.®

Una descripción física de las correcciones perturbativas es la siguiente; el término perturbativo en el hamiltoniano está generado por fuerzas que actúan sobre el sistema no perturbado y tienden a desviarlo de su configuración no perturbada. Debido a que se usa la función de estado no perturbada para calcular la energía a primer orden, se ha ignorado esta desviación y el sistema se trata como sí fuera rígido. El cálculo es análogo al cálculo clásico de la energía de interacción con un campo eléctrico externo de una distribución de carga determinada de antemano, o bien el de una distribución de masa dada en un campo gravitatorio externo. Ya que se utilizan funciones de estado perturbadas, el cálculo a segundo orden toma en cuenta la distorsión del sistema debido a las fuerzas perturbativas, por lo menos a primera aproximación. Los elementos de matriz //'j„ miden la intensidad de las fuerzas de distorsión, y la energía en el denominad o r , „ — S i , mide la resistencia a la distorsión, o rigidez del sistema. Estas distorsiones son análogas a la polarización de una distribución de carga en un campo eléctrico externo y a la deformación producida sobre un cuerpo por un campo gravitatorio extemo.

Los signos algebraicos en el desarrollo perturbativo para la energía, determinan si la energía del sistema crece o decrece como resultado de la perturbación. La corrección a primer orden puede tener cualquier signoj dependiendo únicamente del carácter atractivo o repulsivo, en promedio, del término perturbativo; es negativo en el primer caso y positivo en el segundo. Respecto a los términos a segundo orden se acaba de argüir que surgen debido a los efectos de distorsión

' £1 resultado se concluye más fácilmente de la ecuacíón (28). Ya < ue h multiplica la suma, » conclwe inmediatamente que ñ es de orden X*, lá en e ig iase iád eo td er

* Para establecerlo en fonna general, se puede decir aue las correcciones de la teoría de perturbaciones se calculan al orden más bajo diferente de cero. Es muy rato que se anulen el primer orden y el segundo, y se necesiten términos a oiden superior.

TEORIA DE PERTURBACION PARA ESTADOS ESTACIONARIOS 207

o sea, debido al ajuste del sistema a la influencia de las fuerzas de perturbación. Pero, cualquier sistema responde a una fuerza perturbatí- va deformándose a expensas de esta fuerza y, por lo tanto, decreciendo la energía potencial de interacción. Como consecuencia, se espera que la corrección a segundo orden baje la energía, comparada con su valor a primer orden. Sin embargo, no es posible especificar en general las condiciones bajo las cuales se realizan estas conclusiones, excepto para el caso especial del estado base. Para este caso, la corrección a segundo orden siempre baja la energía, sin importar la característica de la perturbación, lo cual se concluye inmediatamente de la ecuación (35). La energía del estado base es menor que-Sj para toda j Q, por lo cual todo término de la suma, y por lo tanto el té^mino en la ecuación, es negativo. Resumiendo, bajo argumentosfísicos se espera que la corrección a segundo orden b^'e la energía, aunque se ha demostrado este resultado nada más para el estado base.

El comportamiento de los elementos de matriz que aprecen en la ecuación (35) dependen demasiado de los detalles del problema como para poder hacer generalizaciones muy amplias. Sin embargo, las propiedades de simetría del sistema sí tienen una influencia muy profunda que es bastante fácil de determinar. Si el hamitoniano no perturbado A/o es simétrico, como en general lo es, y el término perturbativo H ' tiene simetría defmida, par o impar, es fácil concluir que la mitad de los elementos de matriz de H ' son cero. El argumento se basa en el hecho de que los estados no perturbados tienen simetría definida cuando el hamiltoniano no perturbado es simétrico. S i// 'es par, todos los elementos de matriz entre estados de paridad opuesta se anulan automáticamente,

(< ^p a i | / / ' p a i l < ^ p ) “ ' parl<^ p a i ) — O, (36)

Análogamente, si / / ' es impar, todos los elementos de matriz entre estados de la misma paridad se anulan automáticamente.

(37)

Estas reglas tan generales son casos especiales de las llamadas reglas de selección en espectroscopia. Hay que observar que las reglas de selección para H ’ impar tienen como consecuencia que la corree- ción a primer orden pwa la energía se anula para todo estado.** La importancia de este lesultado se puede jozgai partiendo del ^em plo de un e te rn a atómico o nuclear, perturbado por un campo electrico externo y uniforme. En este ejemplo íf» es par y / f ' e$ impar, por lo ctial se aplica la ecuación (37) y la corrección a primer orden d« la eneiigía del estado base se anula. En la energía so existe un término lineal en el campo eléctrico aplicado, lo que significa que tales sistemas no poseen u s momento d ^o la r eléctrico que sea permanente. Esto explica el resultado observado de que átomos y núcleos no posean momentos dipolares eléctricos. Para una discu^ón más detallada ver la Sección 3 d«l Capítulo VIII,

Esta discusión se puede concluir con algunas observaciones sobre la convergencia de los resultados perturbativos. Ya se puntualizó que, para un estado dado n, el método falla excepto sí para todos los valores de yV«, lo cual es una condición necesaria para la conveigencia pero no suficiente en vísta de las sumas infinitas que aparecen en las ecuaciones (33) y (34). Sin embargo, se puede establecer una condición suficiente para la convergencia, aunque no muy rigurosa, encontrando una cota superior para la magnitud de la corrección a segundo orden. Se parte de la ecuación (35) escribiendo una desigualdad que se obtiene sustituyendo cada término en la suma por su valor absoluto.

& n(38)

Se introduce la expresión , que es la diferencia entre<^„y su vecino más cercano, y sustituyendo cada denominador de la ecuación(38) por|A<5„|, lo cual aumenta la deagualdad, se obtiene que.

& n - & i1

donde se ha tomado explícitamente la convención de que un acento sobre el símbolo de suma significa que el término i = w se omite. Sumando y restando este ténnino omitido, se obtiene que,

1

La suma de la derecha se puede calcular en la forma siguiente. De la definición de los elementos de matriz se tiene que,

= 2 / 4>n*( ’) t í ‘(x')<l>iix') dx' J dx.

Sumando sobre / y usando la propiedad de cerradura de 4>> se obtiene

2 \fi 'm\^=S S ^n*ix ' )H'(x' ) d ( x - x ' ) H'{x) dxdx ' ,(

e integrando sobre x ' se encuentra que

íFinalmente usando | se obtiene

•*Paia una derivación de este n a iltad o usando los métodos del álgebra de matrices, ver la sección f í e n t e , ecuación (47) con j4 = B .

TEORIA DE PERTURBACION PARA ESTADOS ESTACIONARIOS 2 0 9

|A¿?„ (39)

es decir que la corrección a segundo orden de la energía de un estado dado es menor en magnitud que la razón de la desviación cuadrada media del hamiltoniano perturbado, respecto a su promedio para el estado en cuestión, entre la energía de separación de ese estado y su vecino más próximo. Hay que aceptar que este resultado no es muy exacto, pero es simple y útil, como se verá más adelante.

Como primer ejemplo del uso dé la teoría de perturbación, se puede considerar el caso de un oscilador armónico con un fondo plano, provocado por una perturbación gausiana. Específicamente se escribe,

y con X = 1,

H = ^ + \ may x + V 2m I

La corrección a primer orden para la energía del estado base, que es el valor de expectación de // 'p a ra el estado base, se calcula fácilmente dando como resultado,

2 \tt + mco/fi /

Hay que notar que para a moí/íi, o sea cuando el término perturbativo es prácticamente constante en el dominio del estado base, la energía crece por la cantidad V que es precisamente lo que debe de pasar cuando se suma al hamiltoniano un potencial constante de esa magnitud. También hay que observar que cuando a > m<ú¡h , o sea que la gausiana es estrecha, la corrección es pequeña aunque V sea comparable en magnitud a ftw. Por lo tanto, el resultado a primer orden parece satisfactorio en los límites de a grande y pequeña, para valores de V que no son pequeños necesariamente y también parece satisfactorio para todos los valores de a. Una forma de comprobar estas conjeturas sería la de calcular las correcciones a segundo orden, pero resultaría muy difícil de llevarlo a cabo y resulta más sencillo usar la cota superior a estas correcciones que proporciona la ecuación(39). Ya que se está tratando con el estado base, el término a segundo orden tiene que ser negativo ( ¿por qué?) y, por lo tanto, después de un cálculo elemental se puede escribir el resultado en la forma

E,=

n o METODOS APROXIMADOS

ionde €, la razón de la corrección de segundo orden a la corrección Je primer orden, se puede expresar como

€ « A« \ a -I- mcúlh/2 a + m b i l k j

[!uando a es pequeña, como es el caso de un potencial aproximada- nente constante, el miembro derecho es del orden de a^V¡h<ú y por lo tanto de^reciable, aunque se tengan valores apreciables de V¡ h<á. Por otra parte, cuando a. > m<a¡h, el miembro derecho es del orden V¡hü> y, por lo tanto, no puede asegurarse que la serie perturbativa Mnveija a menos que Vj tm < 1, contrario a lo que se esperaba. La irerdadera situación para a grande es la siguiente: la corrección a la ínergía es pequeña como ya se ha encontrado, pero la estimación a primer orden de esta corrección no es confiable a menos que F/fiw también sea pequeño.

Como segundo ejemplo, y último, se puede considerar el caso de un oscilador anarmónico que, desde el punto de vista físico, es mucho más interesante y está descrito por el hamiltoniano,

H (40)

El hamiltoniano no perturbado se escribe como.

por lo cual, con X = 1,

Para obtener la energía a primer orden se tiene que calcular donde 4>n es la función de estado n-ésima del oscilador armónico, la cual, de la ecuación VI-47 viene dada por,

Co

De las ecuaciones (VI-34) y (VI-35), se puede escribir que.

X = v h j z ñ ü a (í> -t- a t ) ,

y X* es función de los operadores de aniquilación y creación. Recordando que a t operando sobre un estado del oscilador armónico produce el siguiente estado más alto y a el siguiente estado más b ^ o , se concluye que al operar q veces sobre con a y4-íyveces con a t , en

cualquier secuencia, se obtiene el estado < „+4-*« · Debido a la ortogo* nalidad de las funciones la contribución diferente de cero al elemento de matriz proviene de <jf = 2. En otras palabras, en solamente contribuyen aquellos ténninos que contiene al operador a dos veces y al operador a t también dos veces. Explícitamente,

JC* = + ataa^a + a t V

+ términos que no contribuyen ].

Considerando un término típico, por ejemplo el primero, se tiene que,

= (« + 2){« + 1)(<í>„!<í>„>

= (« + 2>(« + 1),

donde se ha usado el hecho de que, en la representación del operador de creación a = djdaf, o sea que el efecto de operar con a es equivalente a diferenciar respecto a at. Por lo tanto, usando la misma técnica con el resto de los ténninos, se obtiene inmediatamente que,

+ 2)(« -I- i) + (rt -I- 1) -I- -I- I) +

-I- « ( « -I- 1) -l· -I- « ( /I — 1 )]

Finalmente, ya que

se obtiene que

[ l + 2 r t ( « - H ) ] ) . (4 1 )

La validez de esta aproximación requiere que el término de corrección sea pequeño comparado con la distancia entre estados, es decir que,

[ l - t - 2 n ( n - l - l ) ] ^ I .

Por esto, el resultado es válido para b suficientemente grande, pero aunque b sea grande, la aproximación resulta peor a medida que n

crece. Este resultado es de esperarse porque los estados altos se extienden a valores grandes de x y, para valores de :>c lo suficientemente grandes, la perturbación resulta enorme aunque b sea grande.

Aunque la ecuación (41) proporciona una relación entre el término perturbativo del hamiltoniano y las correcciones a los estados de energía, la detección experimental de la presencia de estos términos anarmónicos es posible debido al término cuadrático en . Se podría ver con mayor claridad escribiendo el resultado en la forma equivalente,

donde

£„ = fi(ü) -f- So») {« + ) -I- n^h 5<i», (42)

Por lo tanto, la perturbación anarmónica tiene dos efectos diferentes: primero, aumenta la frecuencia en Sío,“ , y segundo, aumenta la distancia entre los niveles al aumentar la energía. Los espectrocopistas observan este espaciado entre los niveles y este crecimiento sistemático refleja que se trata de un oscilador anarmónico. Para el experimenta- hsta, el problema de descifrar los datos es más complicado de lo que se ha indicado debido a que una perturbación cúbica produce exactamente el mismo comportamiento cualitativo que la cuarta potencia. Es necesario recalcar que una perturbación cúbica contribuye solamente a segundo orden ; la contribución a primer orden es cero ( ¿por qué?).*^ También resulta que esta corrección siempre es negativa para todos los estados, lo cual ya se explicó por argumentos fíacos.

Ahora se puede estudiar el caso más interesante, en el cual, la perturbación cuadrática tiene signo negativo. Se podrían usar todos los resultados anteriores sustituyendo por su negativo y, por ejemplo, la ecuación (42) resultaría

8(0 = —Sin embargo, es necesario aclarar en qué sentido los resultados perturbativos anteriores se pueden aplicar, y son éstas las consideraciones que producen las características sorprendentes del problema. En la Figura 1 se grafica la ene^ ía potendal.

(43)

" Este coirimiento en frecuencia no tiene nada que ver con la alteración del periodo dásico del oscilador dependiente de la amplitud, como se observa claramentej)or la presencia de en la ei^resión para Se puede demostrar que el periodo dáaco esta relacionado a la distancia entre niveles, pero no se continuará con este tema.

» Para una discu^ón de anaimonicidades cúbicas y cuárticas, ver la pigtoa 13$ de la Reforen- cU [24].

y se observa inmediatamente que el espectro de energía exacto es continuo, el espectro no está acotado en ninguna dirección y que, por lo tan to , el sistema no tiene estado base. Estas observaciones son válidas sin importar lo pequeña que sea la perturbación en la vecindad del origen. Entre otras cosas, esto significa que se ha violado la hipótesis fundamental de que los estados exactos y no perturbados se pueden poner en correspondencia uno a uno y que estos estados se aproximan cuando la perturbación tiende a cero. Es claro que este resultado no es cierto para £" < O y para E > Vm, donde K« es el valor máximo alcanzado por el potencial, como se muestra en la Figura 1.

En el caso en O < £ < Km existen dos tipos diferentes de estados:(1) Estados continuos para los cuales la partícula se encuentra caá

exclusivamente fuera del pozo de potencial, por lo cual no se puede poner en correspondencia uno a uno con los estados no perturbados.

Figura 1. La fundón de enei^ía potencial F (x) para el oscilador annónico de la ecuación (43). El valor máximo del potencial se denota por V^.

(2) Estados en los cuales la partícula se encuentra casi exclusivamente dentro del pozo de potencial. Son éstos los estados que corresponden a los estados discretos no perturbados y únicamente para estos estados es válida la aproximación perturbativa. Estos estados se llamarán estados metastables o quasi-acotados.

Clásicamente, estos dos tipos de estados son totalmente diferentes, pero cuánticamente no lo son. Debido al efecto túnel, una partícula que se encuentre fuera del pozo tiene una parte muy pequeña de su función de onda dentro del pozo. Recíprocamente, la función de estado estaciónaria de una partícula que se encuentra dentro del pozo, tiene una parte muy pequeña de amplitud diferente de cero que se extiende fuera del pozo. Esto significa que la probabilidad de encontrar a la partícula en esta región es finita. Por lo tanto, si se tiene un


conjunto numeroso de tales partículas, o se espera un tiempo suficientemente largo, se observarán partículas que emergen de la región interna. Lo que se tiene en este caso es una analogía del proceso de la radiactividades.

Aunque la descripción del sistema anterior mediante estados estacionarios revela sus principales características, es instructivo volverlo a examinar en términos de estados dependientes del tiempo. Para ello, se considera un paquete de ondas muy particular, aquél que se construye por superposición de los estados que se encuentran en la vecindad de uno de los estados quasi-ligados y que se construye de tal manera que la partícula se encuentre en el interior del pozo con absoluta certeza. Esta superposición de estados continuos se necesita para cancelar el final del estado quasi-ligado, que sin ello se extendería a la región exterior. Esta superposición tiene una anchura característica y la rapidez con la que el paquete de ondas, debido al efecto túnel, emerge del interior y está gobernada por esta anchura. Dicho con mayor precisión, se observa que en un tiempo t tal que rA£/ftes deí orden de la unidad, las relaciones de fase que se han puesto en el paquete inicial se alteran radicalmente y el paquete comienza a emerger de la región central. El tiempo t resulta ser la vida media del estado y está dada por

T = hlAE.

Esta relación entre vida media y anchura en energía de un paquete de Ondas es muy general; como se ha establecido anteriormente no es más que otra manifestación del principio de incertidumbre. La característica por la cual el presente caso resulta tan especial, a diferencia de la situación en ei espacio hbre, es ía presencia del pozo de potencial que hace posible construir un paquete de ondas confinado a un dominio muy pequeño y, por lo tanto, bien localizado en el espacio, además de que simultáneamente la energía se desparrama poquísimo. Desde este punto de vista, un estado estacionario verdaderamente 11· gado es el caso límite para el cual el dominio espacial es pequeño y la cantidad que se desparrama la energía es exactamente cero. Cualquiera de estos estados tiene una vida media infinita. Notar que en estos paquetes de onda la cantidad que se desparrama el momento lineal siempre es muy grande debido a la presencia del potencial, por lo que no existe ninguna violación a la relación de incertidumbre entre la posición y el momento.

Finalmente, volviendo a la validez de la apücación de la teoría perturbativa, se ve que solamente para los estados quasi-ligados y quasi- estacionarios se puede usar la teoría. Si la corrección para algún estado no perturbado es pequeña, entonces, está garantizada que la an-

MATRICES 215

chura de ese estado es pequeña. En este sentido se puede decir que el análisis de la teoría perturbativa se aplica sin modificación y la ecuación (41) se apüca con negativa.

4. MATRICES

En el desarrollo de la teoría de perturbación los elementas de matriz del término perturbativo en el hamiltoniano juegan un papel muy importante. A continuación se discutirá brevemente la representación de operadores por matrices y se expondrá los elementos del álgebra de matrices.

Para iniciar este desarrollo se considera un operador A que opera sobre un conjunto completo de funciones ortonormales. El resultado de esta operación será una nueva función que puede expresarse como superposición del conjunto completo, es decir, que

(44)

donde la notación intenta exhibir el hecho de que el coeficiente en la superposición depende del operador A y del estado sobre el cual opera. Debido a ia ortonormalidad de<^mse tiene que

í <f>™* A<l>„ dx=i4>jA\4>„). (45)Este arreglo de números se llama matriz, y cualquier número en particular se llama elemento de la matriz o elemento de matriz. Este arreglo es totalmente equivalente al operador A en el sentido de que estos números definen completamente el efecto de operar con A sobre cualquier función arbitraria Esto se s i^ e de que tal función siempre puede desarrollarse en términos del conjunto completo y y la ecuación (44) describe el resultado de operar sobre cada 0«.. Por lo tanto, la matriz con elementos Amn es una realización o representación del operador^ . Una forma conveniente de visualizar este aireí^o es colocar los números en hileras y columnas conj4m„ como el número en la hilera m-ésima y en la columna n-ésima. Por esto, se puede escribir

! Au

A 2J

A =

imi

A 12

Ais.

A fn2

Ain

A^n

(4é)

/

Es necesario puntualizar que cualquier representación por matrices de un operador depende del conjunto de fiinciones <f>n , o funciones base, que se usan para construir el conjunto de números · Si se usa un conjunto diferente, por ejemplo > se obtiene un nuevo conjunto de elementos de matriz, pero la nueva matriz sigue representando al mismo operador. Las transformaciones de una representadón a otra, forman un tema importante de estudio en mecánica cuántica.'®

También se puede considerar el producto C de dos operadores A y 5 ,

Se tiene que,

Pero,

C = AB.

á x = í dx.

A B4>h — 2s t , k

por lo cual se tiene que,

Cmn = S X».k

y, finalmente, ya que las funciones son ortonormales,

(47)

Esta regla para multiplicar matrices es fácil de recordar. Los elementos de matriz se escriben en el mismo orden que los operadores, donde ei primer índice del primer factor y el segundo del último foctor marcan el elemento de matriz del producto y la suma se toma sobre el índice intermedio que es común. Dicho de otra manera, el elemento de matriz mn del producto se obtiene multiplicando la hilera m-é- sima de la primera matriz por la columna n-ésima de la segunda, elemento por elemento. Notar que la multiplicación está definida únicamente si el número de elementos en las hileras de la primera matriz es ^ a l al número de elementos de las columnas en la segunda matriz.

La generalización a un producto de más de dos matrices es trivial. Aplicando sucesivamente la ecuación (47) se obtiene inmediatamente que,

” Ver Refetencia [19] o cualquiera de las Refeiencias [2 2 ]-[2 8 ],

{ABC · · · lí)„„ = '2 ^ A C * . · · · /f,„. (48)

Usando la representación de matrices se ve claramente que la multiplicación de operadores no es conmutativa, ya que de la regla general se tiene que,

claramente diferente de (AB)„„ si se compara con la ecuación (47). De las defíniciones, se obtiene trivialmente que

(/t + B)„„ = (B + /()„„ =

y, además, si dos matrices son ^ a le s , entonces, cada elemento de la primera es igual al elemento correspondiente de la segunda.

Entonces, se puede concluir que todas las relaciones que se cumplen entre operadores también se cumplen entre las matrices de larepresentación. Por ejemplo, si

(A, B) = C,

entonces,

(A,B)„„ = (AB)„„- iBA)„„ = C^„,

por lo que las matrices que representan a operadores que conmuten también conmutan.

La representación por matrices del adjunto de un operador es fácil relacionarla con la representación por matrices del operador. Recordando la definición de adjunto, ecuaciones (V-1 la, l Ib), se concluye inmediatamente que,

iA^)«,. = A„„*. (49)

Introduciendo el símbolo A para la matriz transpuesta

(■ )mn — Ase concluye que la ecuación (49) puede escribirse como

A t = A*.

que es independiente de la representación.

Ejercicio 2.^ Deducir la ecuación (49).

Se observa que para un operador hermitiano A=A t, de la ecuación (49) se obtiene el resultado encontrado anteriormente para el opera-

MATRICES 217

218

dor hamiltoniano,

METODOS APROXIMADOS

A ain J

Per esto, los elementos di^onales de una matriz hermitiana son reales. Este resultado no es una sorpresa porque A„„ es el valor de expectación de A en el estado

Una representación particularmente simple de un operador se obtiene cuando se usa su conjunto completo de autofunciones como base. Entonces, si son las autofunciones de .4,

se tiene inmediatamente que,Amn~ . {50j

O sea que, en la base formada por sus autofunciones, la representación por matrices de un operador es diagonal y sus elementos de matriz son precisamente los autovalores del operador. Desde este punto de vista, el problema de encontrar los autovalores y autofunciones de un operador es equivalente al de transformar a una base en la cual la representación por matrices es diagonal.

5. ESTADOS VECINOS O DEGENERADOS

El método aproximado de la teoría de perturbación que se ha desarrollado en la Sección 3 necesita para su aplicación que el elemento de m atriz //'„ jque conecta los estados n-ésimo y /-ésim o sea pequeño comparado con la separación de energía 3„ - &¡ entre los estados, para todos los valores de /. Ahora, se puede discutir la modificación que es necesaria hacer cuando esta condición no se cumple para algún estado, como por ejemplo el í-ésimo. Un caso de mucha importancia es aquél para el cual los estados «-ésimo y /-ésimo son degenerados, Si < f ? „ - i no es grande comparado c o n //'„i, no sepuede suponer con seguridad que la amplitud c,„ del estado /-ésimo sea pequeña y al analizar la ecuación (26), que es exacta, se tienen que tratar c«n y Ct» con la misma importancia. Los coeficientes c¡„ que quedan pueden considerarse pequeños y se puede escribir la ecuación (26) como.

(51)

Ííí|t.(

De la última de estas ecuaciones se concluye que el miembro derecho de las dos primeras ecuaciones es del orden de X,® y, por lo tanto, puede despreciarse a primer orden. Con esta aproximación se tieneque,

donde el detenninante de este par de ecuaciones homogéneas en las incógnitas c„„ y tiene que anularse,

(£„ - - < 3 , = 0.

y resolviendo esta ecuación se obtiene que,

3„+ 3 , + HH'„„ + H'n)2

ESTADOS VECINOS o DEGENERADOS 219

2

mientras que de la ecuación (43) resulta/ c , „ y \H ’,„ E S - 3 „ ~ K H \ „\ c „ J E ^ - & i - \ H ' n ^

Se han obtenido dos energías de perturbación y dos estados que corresponden a los signos más y menos en la ecuación (53). Este resultado es debido a que se han tratado dos estados no perturbados, el í-ésimo y el «-ésimo, con la misma importancia y se ha determinado simultáneamente la energía a primer orden para cada uno. Suponiendo que los estados no están degenerados, para poder determinar si esta interpretación es conecta se puede tom ar X casi cero, por lo cual, el término en b ^ o el radical en la ecuación (53) se puede considerar pequeño. Entonces, usando el signo más de la ecuación (53) ae obtiene que.

y usando el signo menos

£„<->= <3,+X//'„

(í) XW'.


Por lo tanto, la primera expresión es el resultado a primer orden de la teoría de perturbación para el estado «-ésimo y la última lo mismo para el estado /-ésimo.

Las características cualitativas de la ecuación (53) pueden aclararse más si se escribe la ecuación en la forma siguiente. En primer lugar se introduce el promedio de las energías a primer orden de los dos niveles,

A continuación, se introduce la separación relativa de las energías a primer orden,

Y la ecuación (53) se puede expresar como.

la cual muestra que los niveles están igualmente espaciados respecto al promedio a primer orden. Hay que notar que los términos a segundo orden siempre incrementan la separación relativa de los niveles y esta cantidad es mayor cuanto mayor sea la degeneración a primer orden, es decir, cuanto más pequeflo sea A. Esta tendencia general de los niveles vecinos a repelerse se ilustra en la Figura 2, donde se grafica E„"¡E como función de A. Se observa que la contribución a segundo orden proviene de la degeneración exacta y así resulta imposible que niveles vecinos se crucen cuando la intensidad de la perturbación se altera.

Figura 2. Energm a segundo orden de un par de estados degenerados vecinos como función de la separación relativa a primer orden A. La magnitud de la confección a segundo orden es la distancia entie las curvas continuas y las curvas punteadas. Por lo tanto, estas últimas son la energías obtenidas al despreciar co· rrecciónes a primer orden.

A continuación se va a tratar la situación en la cual los estados no perturbados tienen una degeneración exacta = 3 f , En este caso las ecuaciones (53) y (54) resultan,

ESTADOSVECINOSODEGENERADOS , 321

f _______________ « ja _________________ _\ c j +

(53)

(56)

Hay que notar que la relación entre ías amplitudes ya no depende de X . Este resultado es consecuencia de la arbitrariedad inherente en cualquier especificación de un conjunto de estados degenerados. Debido a esta arbitrariedad, si no se tiene más información, no es posible establecer a priori una relación única entre estados perturbados y no perturbados. La ecuación (56) establece cuáles son las combinaciones lineales de los estados degenerados no perturbados que se tienen que poner en correspondencia uno a uno con íos estados perturbados y la respuesta depende del carácter de la perturbación. Como ejemplo específico se puede considerar el caso en que

En este caso se obtiene el resultado

Los estados degenerados originales están totalmente mezclados ya que lc,„| = |c„„| , Este caso ocurre para una perturbación antisimétrica que actúa sobre estados degenerados de paridad definida aunque opuesta. Por otra parte, si los estados /-ésimo y n-ésimo tienen la misma paridad, es fácil concluir que//|„ es cero si la perturbación es antisimétrica y los estados permanecen degenerados a primer orden. En este caso, se necesita un cálculo a segundo orden para encontrar el desdoblamiento de los niveles debido a la perturbación.

Como segundo ejemplo, se puede considerar el caso en el cual,

= O,por lo que los estados no están conectados a primer orden. En este caso, tos dos estados están descritos por


= i

E„=^ 3„ + k H ’i, , C(„ = 1,

y la degeneración no interviene en el análisis. Ejemplos de este tipo se presentan cuando la perturbación conmuta con el conjunto de operadores usados para definir los estados no perturbados. Dicho de otra manera, el análisis se reduce al de la teoría de perturbación convencional cuando los estados no perturbados pueden especificarse mediante un conjunto de operadores en forma única, cada uno de los cuales conmuta con el término perturbativo.

6. TEORIA DE PERTURBACION DEPENDIENTE DEL TIEMPO

Finalmente, se puede considerar el caso de un sistema en algún estado inicial definido, sujeto a alguna fuerza externa dependiente del tiempo. Como ejemplo, se puede tomar el caso de un átomo sobre el cual se ejerce una fuerza oscilatoria debido a una onda de luz que pasa a través de él. Se supondrá que la fuerza externa es lo suficientemente débil para que se pueda aplicar un método perturbativo. El hamiltoniano se escribe en la forma,

H = (59)

sin introducir el parámetro K . Ahora se buscan soluciones aproximadas de la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo,

\_Ho + N ‘u m = - J ^ ·

Llamando y a las autofunciones y autovalores del hamiltoniano no perturbado, se puede expresar como la superposición,

= X (')n

donde los coeficientes del desarrollo se toman como funciones del tiempo. Si H' fuero cero, los coeficientes «„serían proporcionales a

5 iu pérdida de generalidad, es conveniente escribir

por lo cual,= 4>Jx) (60)

Por lo tanto, se tiene que

« 0 = ( H o + c „ ( í ) 2 f „ ( / )

yh d\lt _ dc„i J i ~ ~ i X ~di''f»« ^ c j i ) ,

por lo que la ecuación de Schrödinger resulta ser.

Multiplicando por 4>m* e integrando, se obtiene que para cada m

de fíi i c„(0. (61)

Este conjunto simultáneo de ecuaciones diferenciales de primer orden y acopladas es exacto, y es completamente equivalente a la ecuación de Schrodmger dependiente del tiempo. Naturalmente, las condiciones iniciales tienen que especificarse. Se considerará u n ie r e n te el caso en el cual ^( / = o) = , o sea, el sistema se encuentra en el estado inicial fc „o perturbado. Entonces, se tiene que,

perturbación es tan pequeña o los tiempos lo suficientemente cortos, como para considerar que todos los coefi- ne^que* pequeños, excepto Entonces, a primer orden se tie-

m - k : ( f \ r .

m ^ k: ^Sm _ _ í u ’ r.d/ - ¿5 « ’

donde se ha conservado solamente el término fc-ésimo en la suma de la derecha de la ecuación (61), pritnera de estas ecuaciones resulta que,

= exp [ - / £ / / V(/) d(¡ñ] - 1 I £

Despreciando la desviación de c* respecto de la unidad, ya que esta desviación contribuye con términos de orden superior al primero, de la segunda ecuación resulta

^ ^ d t , (^2)‘ h

Como primer ejemplo se supondrá que t í 'es independiente del tiempo, excepto desde í=Ocuandola perturbación aparece repentinamen-

TEORIA DE PERTURBACION 0EPENP1ENT£ DEL TIEMPO 223


hasta cuando desaparece al tiempo t también repentinamente. Entonces, se obtiene que

que corresponde a un corrimiento en la energía, en concordancia con el resultado de la teoría de perturbación estacionaria a primer orden. Para las c„ se tiene que.

Cmil) =E--« - I

o bien,(63)

Para estados no degenerados, si H '^ es bastante pequeño, entonces |e„ I * permanece pequeño para todo tiempo í. Sin embargo, es grande, la aproximación es válida solamente para t pequeño. Eri ambos casos, la interpretación del resultado es la siguiente. La cantidad es la probabilidad de encontrar al sistema en el estadon-ésimo no perturbado después de que ha ocurrido la perturbación si el sistema se encontraba inicialmente en el ^-ésimo estado no perturbado. Desde este punto de vista, al actuar la perturbación durante el intervalo de tiempo de O a í, provoca transiciones entre estados no perturbados.

A continuación se puede considerar el caso de estados degeneradoso aproximadamente degenerados. Para = &k se tiene que

(64)

y, por lo tanto, la probabilidad de tranáción crece rápidamente con el tiempo y finalmente resulta del orden de la unidad. Este resultado es válido sin importar lo pequeño que sea H '^. en tanto que no sea idénticamente igual a cero y la razón es fácil de entender partiendo de los resultados previos de la teoría de perturbación estacionaria. Como ya se estableció, cuando los estados ír-ésimoy m^ésimo están degenerados y H ’mu es diferente de cero, los estados perturbados son combinaciones lineales de los estados degenerados no perturbados con amplitudes relativas del orden de la unidad. El crecimiento de |c„ p refleja el intento decidido (pero sin éxito) del sistema de alcanzar la combinación lineal correcta como respuesta a la perturbación y, como c„ finalmente resulta comparable con la aproximación es válida sólo para tiempos pequeños. Sin embargo, resultados válidos para tiempos arbitrarios se pueden obtener tratando c* y Ck simultáneamente en la ecuación (61) y en ieualdad de condiciones. Las

TEORU DE PERTURBACION DEPENDIENTE DEL TIEMPO 2 2 5

ecuaciones acopladas que resultan son fáciles de resolver, pero los detalles se dejan para los problemas.

Un aspecto de la ecuación (63) que es bastante sorprendente es el resultado de que Um]* inicialmente crece como . Se esperaría que la probabilidad de transición creciera linealmente con el tiempo, o sea, que el efecto de la perturbación se describiera en términos de la rapidez a la cual se inducen las transiciones. Claramente no es éste el caso de transiciones a un solo estado final degenerado, sino a un grupo denso de estados finales, como el continuo. Para entender la im- portanciai de este caso, se considera la probabilidad de transición P a un grupo de estos estados.

P= X lí'«. (r)|*= X (65)

La estructura de esta suma es muy interesante. Para / grande y fya, se puede considerar que el elemento de matriz H ‘„k varía muy lentamente de término a término comparado con el resto del factor. Entonces, la cantidad como función de tiene un máximo muy bien definido en el punto como se muestra en la Figura 3,De la figura se observa claramente que, cuando t tiende a infinito, las transiciones ocurren con probabiUdad (preciable dentro de una banda de estados cada vez más estrecha, con energía E centrada respecto a la energía del estado inicial ■ Este resultado expresa la conservación de la energía, ya que los estados finales que se pueblan apreciablemente son los estados cuya energía difiere de la energía del estado final por una cantidad infinitesimal. Los efectos no conservativos de poner y quitar la interacción resultan despreciables si el tiempo empleado entre los mismos es lo suficientemente grande.

De la figura se nota que la anchura del máximo en la curva para la probabilidad de transición es inversamente proporcional a í, y la altura de la curva es proporcional a . Entonces P, que es proporcional

Figuro 3, Piobabilidad de transiciÓR contra la eneigía.

al área b ^ o la curva, crece Unealmente con t. Para ver este resultado explícitamente y recordando que se supuso que los estados finales son densos, la suma de la ecuación (65) se convierte en una integral sobre un intervalo AE rodeando a 3^, expresando el número de estados en el intervalo de energía entre E y E + dE como p{E) dE. Entonces PÍE) es la densidad de estado en £” y se obtiene que

P . 4 Í , ( £ )

donde significa el elemento de matriz entre el estado inicial y un estado final íípico en el intervalo AE. Despreciando la variación de p(E) y de )//',„*.!* en este intervalo, se obtiene que,

s in n (< g f- g)//2A]

HaciendojT= (E — ¿?fc)í/2fi resulta que,

P ^ j P i E ) |/ /'„ ,.|^ n " ^ dx.

Para /->■“ , se puede demostrar que la integral es igual a tt y por lo tanto,

P ^ ^ p i E ) IW 'J M , (66)

donde P es proporcional a í, como se esperaba. Introduciendo la rapidez de transición como W = dP¡dt, se encuentra que.

= 4p(E) \H’mk

W = ^ p { E ) (67)

Este es un resultado muy importante y útil. Debido a Fermi se acostumbra llamarlo la regla de oro de la mecánica cuántica. En palabras, este resultado establece lo siguiente: el número de transiciones por unidad de tiempo de un estado inicial a un grupo denso de estados f i nales, que conservan la eneigía es 2 vfh veces la densidad de estados finales multiplicado por el cuadrado del valor absoluto del elemento de matriz que conecta el estado inicial con los estados finales.

El dominio de validez de este resultado se determina mediante las siguientes consideraciones. En primer lugar, la probabilidad total P de que el sistema sufra alguna transición del estado inicial tiene que ser pequeña, P l.Por lo tanto, de la ecuación (66) se tiene que,

^ p ( E ) | / / U P f t , (68)\ ílque sirve para restringir el intervalo de tiempo en el cual se aplicael resultado. Por otra parte, de los detalles de la derivación es claroque el intervalo de tiempo no puede ser muy corto. Recordando quela anchura es inversamente proporcional a t como se ve en la Figura 3,

y designándola por «, se tiene que

(69)

También hay que recordar que el cálculo de la suma sobre los estados finales en la ecuación (64) supone que e es tan pequeña como para considerar que la densidad de estados y los elementos de matriz son constantes. Si €„ es una medida de la anchura máxima en la cual se justifica esta suposición, entonces, se tiene que

s 1. (70)

La única forma que, en general, las ecuaciones (68) y (70) se pueden satisfacer simultáneamente, es que sea pequeña. Entonces, resumiendo, no es sorprendente concluir que la regla de oro se aplique JÓ- lo a perturbaciones débiles.

Merece comentarse otro a fe c to de la ecuación (69). La cantidad e mide la incertidumbre en la energía de los estados finales a los cuales llega el sistema debido a la perturbación. El producto de esta incertidumbre por el tiempo durante el cual actúa la perturbación es del orden de ft , en concordancia con el principio de incertidumbre.

Hasta aquí se han considerado perturbaciones independientes del tiempo, excepto mientras se pone o se quita. A continuación se generalizará al caso de una dependencia armónica en el tiempo, considerando una perturbación de la forma

H 'U ,í) = (71)que es del tipo que describe los efectos del campo de radiación electromagnético.“* De la ecuación (53) se concluye inmediatamente que todos los reailtados son válidos si 3^ — se substituye por — 3,„ + hoi. La ecuación (63) resulta

= . (72)( — 3,u + ftw)

Para que la notación quede clara, es necesario puntuahzar que el signo superior en la ecuación (72) corresponde al signo superior en el exponente de la ecuación (71), y análogamente para los signos inferiores.

Las transiciones del estado fc-ésimo al estado m-ésimo suceden con probabilidad apreciable solamente cuando,

¿^,„= + (73)

'·* En forma estricta, la dependencia armónica en el tiempo es trigonométrica, o M* ooi (u t S). Como consecuencia, tiene lugar una interferencia entre las componentei de fttouatisl· positiva y negativa de la perturbación, pero su contribución es despreciable pata lu tn a il · dones con probabilidad apreciable, es decir, cerca de la resonancia.

TEORIA DE PERTURBACION DEPENDIENTE DEL TIEMPO 227


lo cual significa que las transiciones se inducen de preferencia en sistemas que absorben o emiten un cuanto de energía ftw . En el primer caso se llama absorción de resonancia y en el segundo emisión estimulada o inducida. Si w es tal que se satisface la ecuación (73), y si A y m se refieren a estados discretos no degenerados, la probabilidad de transición que viene dada por la ecuación (64) crece duadrática- mente con el tíempo como antes. El resultado es válido para tiempos suficientemente cortos, sin importar lo débil de la perturbación. Sin embargo, como en el caso de la perturbación independiente del tiempo, se pueden obtener resultados válidos para tiempos arbitrarios si se tratan y q con la misma importancia en la ecuación (61). Las ecuaciones que resultan son fáciles de resolver, pero los detalles del cálculo se dejan para los problemas.

Si se consideran transiciones a un (o de un) conjunto denso de estados degenerados en el continuo, la derivación de la ecuación (67) permanece inalterable, pero las energías de los estados inicial y final están relacionados por la ecuación (73). Todavía se puede hablar de conservación de energía en el proceso si se enriende que se refiere a la energía tota/ del sistema, la parte material más el campo de radiación. Por esto, en la absorción, el sistema material absorbe un cuanto Ato a expensas del campo de radiación. En el proceso de emisión, el campo de radiación gana un cuanto a expensas del sistema material.'® Entendiéndolo así, la regla de oro y su interpretación quedan sin modificación.

Es necesario puntualizar que, en este desarrollo, se ha considerado el campo electromagnético como una entidad estrictamente clásica. El hecho de que la emisión y la absorción estén cuanüzadas es una consecuencia automática de las propiedades cuánticas del sistema material; no está directamente relacionado con las propiedades cuánticas del campo, pero sí es consistente con esas propiedades. Si esto último se quiere tomar en cuenta, las amplitudes del campo deben de considerarse como operadores que actúan sobre la función de estado que describe el campo. Estas amplitudes se pueden expresar en términos de variables de oscilador armónico para cada modo, y el estado del campo se puede caracterizar por el número de cuantos en cada uno. La energía del punto cero de estos osciladores armónicos juega un papel crucial en ia interacción de sistemas materiales con el campo electromagnético. Estas fluctuaciones del vacío, como se les llama, son responsables de la emisión espontánea, es decir, la emisión de radiación por un sistema cuando no existe ningún campo de radiación externo presente. El tratamiento clásico, válido únicamente para nú-

' · Procetot de absorción y emisión m últales, donde intervienen dos o más fotones, se describen por cálculos de teoría de perturbación de segundo orden y orden superior.

meros cuánticos altos, no contiene ninguna referencia a las fluctué ciones del vacío y, por ello, no puede tratar la emisión espontánea.'·

Se puede añadir, aunque sin demostrarlo, que la regla de oro también se aplica a la descripción de transiciones inducidas a un estado final discreto y definido, partiendo de un estado inicial que es una mezcla densa de estados degenerados en el continuo. Este proceso es el inverso del proceso descrito anteriormente.

Como ejemplo particular de la aplicación de la regla de oro se puede considerar el caso de una partícula de carga e en su estado base en un potencial Kíjc) , que recibe luz de frecuencia ta , por lo cual salta al continuo. Esencialmente, este proceso es el de foto-ionización. Para llevar a cabo los cálculos se harán dos suposiciones. La primera de éstas se refiere a que se tomará la longitud de onda de la luz muy grande comparada con la dimensión del sistema. Esta es una suposición muy común y generalmente válida ya que, excepto en la región de rayos-X y menor, la longitud de onda es mucho mayor que ías dimensiones atómicas. Con esta suposición, el campo eléctrico 3 que actúa sobre la partícula puede tomarse como uniforme en el espacio, aunque armónico en el tiempo, y por esto la perturbación toma ta forma,

H ’ix,t) ^ H'(x) = - e 3 x e“'*“', (74)

que es precisamente la energía potencial instantánea de la partícula en ese campo*^. La segunda suposición se refiere a tomar la frecuencia w grande para que la energía del estado final E sea muy grande comparada con . Esta última suposición permite tratar el estado final de la partícula como un estado de partícula libre, es decir, como un estado de momento y energía bien definidos.

Las únicas dificultades que se presentan en este cálculo provienen de calcular la densidad de estados finales puesto que se encuentran en el continuo, y de normalizar correctamente estos estados. Ambas se pueden resolver usando el truco de encerrar al sistema en una C£ua de longitud L muy grande y al final hacer tender L a infinito. Cuando el sistema se encuentra en esta caja, se puede obtener fácilmente un conjunto de estados discretos y normalizables, imponiendo condiciones a la frontera apropiadas. Por gemplo, para una c^a real, la función de onda tiene que anularse en las paredes.- Sin embargo, las funciones de estado definidas de esta manera no son estados de momento lineal definido, aún en el límite d e £ , debido a que estados

'«Para una discusión aemiclásicade la emisión e^on táneaverla Referencia [23].

" Se han despreciado fuerzas magnéticas debido a que son del orden vfc raenote» que lu fuerzas eléctricas, donde v e$ la velocidad de la partícula. También se ha omitido el termino de frecuencia positiva porque solamente interésala absorción.



nunca se anulan. Por esto, se recurre a una argucia puramente matemática y no física, que es la condición peródica iftíAo + L) = *donde se supone que las paredes están en y en L. Por razones obvias, este requisito se llama condición a la frontera periódica.

Ya que las autofunciones simultáneas de momento y energía parala partícula libre son ondas puras de de Broglie que

i iiñ se exige

exp [iVlmE (jf„ + D/í ] = exp [iVlmExjñ]

y por lo tanto

V l mE L¡h = IniT, « = O, ± 1, ±2,

Los estados normalizados serán

donde

2 nvh

(75)

(76)

A medida que L crece, el espaciado del espectro resulta cada vez menor y, en el límite, los estados resultantes son los estados continuos de partícula libre con momento definido* Este es precisamente el hecho que motiva y justifica la introducción de las condiciones a la frontera periódicas.

Para calcular la densidad de estadospíí·) hay que recordar que esta densidad se define como el número de estados con energía entre E y £■ + A£. De la ecuación (76), el número total de estados (£) con energía menor o igual que £ es 2« + 1, y expresando n en términos de E resulta que,

N{E) = ^ V l r i Æ + 1.

Por lo tanto,

N (£ + A£) = ^ Vl mi E + AE) + \ = / V ( £ ) A£.

Entonces, despreciando términos de orden superior,

ÙN = N (£ + A£) - N{E) = ^ V l m ! E Úx E ,

TEORIA DE PERTURBACION DEPENDIENTE DEL TIEMPO

pero, por definición AA/ = p{E)AE y por lo tanto.

231

(77)

Falta escribir el elemento de matriz de la perturbación H'ix') definida por la ecuación (74), y para expresar explícitamente que está tomado entre el estado inicial y el final, se escribe H ’i^. El estado inicial del problema es el estado base nomnaJizado ((»„(jt) con enetgía £o = ~ e , donde e es la eneigía de ligadura. El estado final será el estado normalizado de partícula libre definido por la ecuación (75), con energía E{ dada por

£ / = £,( + Aío = ft w — €.

Entonces, el elemento de matriz será,

y usando las ecuaciones (74) y (75),

(78)

dx.

El factor que multiplica la intensidad del campo eléctrico es el elemento de matriz del momento dipolar ex y H'¡f resulta ser el promedio cuántico de la energía de un dipolo en un campo uniforme 3 .

Entonces, la probabilidad de transición por unidad de tiempo resulta ser

iV

(79)

Como se esperaba, la longitud de normalización L no interviene en el resultado final. La densidad de estados es proporcional a L pero, debido a la normalización de los estados continuos, el cuadrado del elemento de matriz es inversamente proporcional a L y el producto de ambos es independiente de la longitud de normalización. Por lo tanto, la ecuación (61) tal y como aparece es el límite alcanzado cuando L resulta infinito.

Es de cierto interés calcular el elemento de matriz para un ejemplo, como sería el de una partícula en su estado base en un pozo de potencial cuadrado. Para simplificar el cálculo, se supondrá que la anchura del potencial es tan estrecha como para considerar que el estado base es el único estado ligado y, además, tan poco ligado que la función de estado se extienda muy lejos de las paredes del poten

cial. Se tomará el límite para el cual la función de onda dentro del pozo cuadrado no contribuye en forma apreciable a la ecuación (61) y puede ignorarse. Extrapolando la función de onda exterior hasta el origen, se puede escribir que,

<¡fo(x) - (V2me/A*)‘'=‘ (80)donde € es la energía de ügadura. Esta función, que está normalizada, se ilustra en la Figura 4, y se compara esquemáticamente con ia verdadera función de onda del estado base para un potencial estrecho.**

F^íira 4. La función de onda de la ecuación (80) comparada con la función de onda verdadera, para el estado base libado débilmente en un pozo de potencial cuadrado muy estrecho.

Con esta simplificación final se tiene que,

= J a: exp [—N/Í^{Vc]jr|—iV^/A-)/A] í/jf

X exp [ — ( V 7 ~ i V E ^ ) x / h ] d x

+ro

X exp [y/2fñ(V7 + iVEf)x /ñ] dx

________ 1( V ¿ - íV £ ^ ) 2 (Ve + ¡ V e ,Y.

I

í l m e V'* 4i V e ^ I ftW 2m Ef^ + €^’

Entonces, la ecuación (79) resulta ser

W = m

'» La función de onda de la ecuación (80) se puede obtener haciendo tender 2« a cero y l·'» a infinito, pero en tal forma que ZaVt seaproxim eaunaconstante, por ejemplo es decir, el límite para el cual et pozo de potencial cuadrado se aproxime a ; 5 (x). La energía de ligadura K expresa en ténninos de ^ como « = m g ‘J2 hK que se puede verificar al tomar el lí- mite de la ecuación (V I -16). Ver también el Problema 4 del Capítulo VI.

donde

E f= h<o —

Ya que se supuso que Aw ^ e , esta expresión se reduce a

Sujeto a todas las simplificaciones que se han hecho, este resultado significa que si una onda electromagnética de frecuencia w y vectOT eléctrico 3 irradia un conjunto de N partículas, cada una de carga e y masa m en su estado base con energía de ligadura « que se encuentra en un pozo de potencial cuadrado, entonces, el número de fotoelectrones producido por segundo con energía - « csNW, donde W viene dada por la expresión anterior.

El ejemplo que se acaba de estudiar es totahnente análogo al cálculo de la foto-ionización de átomos o de la fotodesintegración (eléctrica) de núcleos. El cálculo, aunque no es trivial, se ha hecho en una dimensión, pero el cálculo en tres dimensiones es Ugeramente más difícil. Las diferencias entre tres dimensiones y una, estriba en la densidad de estados. Pueden surgir otras diferencias si la estructura de la función de onda del estado base es diferente. La fotodesintegración (eléctrica) del deuterón aisla los efectos del cambio en la densidad de estados, ya que la función de onda del estado base del deuterón es la que, esencialmente, se ha usado en el cálculo. Entonces, resulta que la probabilidad de transición por segundo es proporcional a

2 energías altas en lugar de Por otra parte, la foto-ionización del átomo de hidrógeno provoca un cambio en la función de onda del estado base que es la que corresponde a un potencial culombiano más que a un pozo cuadrado, con el resultado de que la probabilidad de transición decae mucho más rápidamente con la frecuencia, siendo proporcional a .

Como observación final, es necesario puntualizar la costumbre de escribir que es costumbre describir estos procesos en términos de la probabilidad de desintegración o ionización por fotón htcideníe más bien que en términos de probabilidad por unidad del tiempo. El número de fotones por cm=¡ por segundo en un haz de luz de intensidad / es proporciona] a IjUat, donde / es proporcional al cuadrado del campo eléctrico Entonces, la probabilidad por fotón incidente por cm^ es decir la sección eficaz o sección, es proporcional a para la fotodesintegración del deuterón, y proporcional a <*'*/cü '*para la fotoionización del átomo de hidrógeno.

Ì34 METODOS APROXIMADOS

Problema 1. Si la pared de un potencial infinito se considera como el Dunto de vuelta clásico, la función de onda se anula en el punto de Aielta; no se extiende un octavo de longitud de onda más allá del junto de vuelta. Entonces, la condición ( 12) se tiene que modificar.

(a) ¿Cuál es la condición cuántica correcta para una partícula ;n una caja (paredes infinitas)?

(b) Usar la aproximación WKB para encontrar los estados esta- :ionarios y comparar con los resultados clásicos. Explicar.

Gobierna 2. Considerar el movimiento de una pelota botando. Tonar el movimiento como si fuera perfectamente vertical y las co lisióles de la pelota con el suelo como si fueran perfectamente elásticas, íl potencial se muestra en la Figura 5.

(a) ¿Cuáles son las condiciones cuánticas correctas?(b) Usar la aproximación WKB para encontrar las energías de

os estados estacionarios.(c) ¿Cuál es el orden de magnitud del número cuántico apropía

lo al estado estacionario de una pelota de masa lOOgm. que cae de ina altura de un metro?

V ^ mgx

Figura S. Enei^ía potencial de una pelota botando.

Problema 3. Aplicar el método variacional de Rayleigh-Ritz al osci* ador armónico para encontrar:

(a) La energía del estado base si se usa como función de prueba ma gausiana cuya anchura varía.

(b) La energía del primer estado excitado si se usa como fun- ;ión de onda de prueba,

O,\x\ « a

|jc| «.

•on como parámetro de variación. ¿Se aplica el principio del mí- limo? Explicar,

Problema 4. Aplicar el princio variacional de Rayleigh-Ritz a una >artícula en una caja de anchura!, para encontrar:

(a) La energía del estado base usando un polinomio de segundo [rado como función de prueba.

(b) La energía del estado base usando un polinomio de cuarto grado.

(c) La energía del primer estado excitado usando el polinomio apropiado más simple como fundón de prueba.Nota: En cada caso escoger la función de prueba de tal manera que satisfaga las condiciones a la frontera correctas en las paredes.

Problema 5. En física nuclear, con frecuencia se usa un potencial armónico cortado en jr = ± b, o sea

PROBLEMAS 2 3 5

i |a:| hO, \x\ & b.

(a) Usar el método de Rayleigh-Ritz para estimar las energías del estado base y del primer estado excitado. Como funciones de prueba usar el polinomio de la ecuación (19) del texto y el polinomio del Problema 3(b), considerando en cada caso como parámetro de variación. Escoger b tal que 6 > a.

(b) Hacer lo mismo para el caso b <a.(c) Estimar las energías de los mismos dos estados usando la

aproximación WKB (condición de cuantización de Bohr modificada).(d) De los resultados variacionales y de los resultados del méto-

do WKB, estimar el valor máximo de b para el cual el potencial contiene sólo un estado ligado.

(e) Comparar los resultados WKB y variacionales de los casos anteriores y decidir cuál de ellos es el más confiable. Explicar.

Problema 6. Una partícula se describe con el hamiltoniano donde H„ es el hamiltoniano del oscilador armónico. Poi lo tanto, se trata de un oscilador armónico en un campo gravitatorio uniforme (F = — mg) o en un campo eléctrico uniforme (F = — e&).

(a) Demostrar que a primer orden en la energía no cambian los autovalores,

(b) Demostrar que,

•íH.n+i = J!'ii+i,n = V (n -I- 1) h¡2m<t>

= O, m ^ /I ± 1.

(c) Calcular los autovalores de energía a segundo orden.(d) Encontrar la solución exacta al problema. Sugerencia: in

troducir un corrimiento del origen. Comparar con los resultados de la parte (c).


Problema 7.(a) ¿Cuál es la matriz que representa a ia operación de multipli

car por la unidad? Esta matriz se llama matriz unidad. ¿Qué se puede decir de la multiplicación por un constante c?

(b) Por las reglas de multiplicación de matrices, verificar que al multiplicar la matriz unidad por cualquier matriz, se obtiene el resultado esperado.

(c) Dadas las matrices dos-por-dos

- a ^)- - u 1 ) ·

encontrar A \ B \ A - \ - B , A B y BA.

Problema 8 .(a) Los elementos de matriz x„„, de x para el oscilador armónico

se obtuvieron en el Problema 6(b). Usando las reglas de la multiplicación de matrices, encontrar los elementos de matriz de . Verificar el resultado calculando directamente . (Ver Problema 2(b) del Capítulo VI).

(b) Hacer lo mismo para p y (Ver Problema 2(c) del Capítulo VI).

(c) Usar los resultados obtenidos para verificar que

ip,x)Problema 9. Una partícula con energía E se mueve en un potencial

y(x) = — r i- jT · cosh^ xlh(a) Suponiendo que £ > I Foí encontrar, con la mayor precisión

que sea posible, las condiciones sobre Voy t> para que la aproximación WKB sea válida.

(b) Bajo las condiciones obtenidas en (a), calcular el coeficiente de transmisión r(E) y ei incremento en tiempo asociado con el paso de una partícula de energía E a través del potencial.

Problema 10. Considerar una perturbación H' independiente del tiempo excepto al ponerla a í = O y al quitarla al tiempo í. Suponer que los estados no perturbados «-ésimo y m-éámo están degenerados exactamente

(a) Suponiendo que inicialmente el sistema se encuentra en el estado no perturbado «-ésimo, encontrar su comportamiento posterior. Partir de la ecuación (61 ) y despreciar todos los estados excepto el par degenerado, pero tratar éstos sin ninguna aproximación.

(b) Determinar bajo qué condiciones iniciales se encontrará el sistema en un estado estacionario sin que la perturbación induzca transiciones de primer orden.

pr o b l e m a s 237

(c) Discutir la relación de estos resultados con los obtenidos en la teoría de perturbación estacionaria.

Problema 11. Una partícula de masa m se coloca en una c£Ua de una dimensión, centrada en el origen, de anchura IL y colocada en presencia de un campo gravitatorio uniforme. El hamiltoniano del sistema será,

H = + m g x , \x\ ^ L .

Estimar las energías permitidas del sistema usando:(a) La aproximación WKB.<b) Teoría de perturbación a segundo orden (¿por qué no a pri·

mer orden?).(c) El método Rayteígh-Ritz (únicamente estado base). Usar la

función de prueba (l - « j c ) eos t t x I 2 L . Explicar por qué ésta es una función de prueba razonable, ¿Por qué cualquier función de simetría definida es inferior a la función sugerida?

Problema 12. Una partícula de masa m está confinada al interior del potencial triangular mostrado en la Figura 6. Por lo tanto, el hamiltoniano e s / / = ip'^j2 m) + Vix), donde

F(a:) = oo, jf < O

= Icx, JC > 0 .

Friura 6. Pozo de potencial triangular.

(a) Estimar la energía del estado base usando el principio de incertidumbre,

(b) Estimar la energía del estado base usando el método variacional de Rayleigh-Ritz, Como función de prueba escoger

O , JT Or* (jc* - a ^ ) , 0 ^ X ^ a«(f(jc)

O


y considerar a como parámetro de variación,(c) Sugerir una función de prueba adecuada para los primeros

estados excitados pero no llevar a cabo ningún cálculo. Justificar brevemente esta selección, ¿Satisface el primer estado excitado un principio m ínimo? ¿Por qué?

Problema 13. La energía del estado base de un sistema se estima con el método de Rayleigh-Ritz y con la teoría de perturbación a segundo orden. El resultado de Rayleigh-Ritz es de -27.1 eV y el de la teoría de perturbación es de —26.0 eV, ¿Cuál es el más cercano a la verdadera energía del estado base? Suponer que los números se han intercambiado. ¿Sería posible decidir cuál estimación es la mejor? Explicar eí razonamiento hecho.

Problema 14. Una partícula de masa m se mueve en un potencial F(jc) = Vo(xfL)'^\ donde s es un entero positivo- {Se tendría un oscilador annónico para s = 1 y un pozo cuadrado para .v -*■ 30. )

(a) Estimar la magnitud de la energía del estado base usando el principio de incertidumbre.

(b) Estimar la energía del estado base usando el método de Rayleigh-Ritz utilizando las funciones de prueba

(i) exp [ - x - i 2 ( t ' ]

(ii)eos 7tx¡ 2 í i , X ^ a

O , a: > a.

Considerar a como parámetro de variación en ambos casos. ¿Cuál es la función de prueba que da mejores resultados para diferentes valores de j? Discutir los resultados,

(c) Demostrar que, en la aproximación WKB, la energía del n-é- simo estado se puede expresar en la forma

m

donde k{s) es una cantidad sin dimensiones del orden de magnitud de la unidad para toda s. Encontrar una expresión explícita para k(s).

Problema 15. Un oscilador armónico de masa m, carga e y frecuencia tu se encuentra en su estado base.

(a) Un campo uniforme 3 se pone a í = O y se quita a i = t. Usando la teoría de perturbación dependiente del tiempo a primer orden, estimar la probabilidad de que el sistema se excite al estado n-ésimo.

(b) Calcular lo mismo pero para un campo eléctrico que oscile senoidalmente, 3 = 3^ sen «»„í.

problemas t S 0

Problema 16. Sean t/», y ií»i un par de estados ortonormales y degen^ lados correspondientes a algún sistema. Al tiempo í = O se pone una perturbación H ' y se quita al tiempo í = t. Suponer que el sistema se encuentra inicialmente en el astado ijt, .

(a) Encontrar t) para t > t y encontrar la probabilidad de que ocurra una transición de 0, a Despreciar todos los demás estados excepto el par degenerado. Por sencülez suponer que,

= («ír,|/ / > , ) = €

(b) Comparar la probabilidad de transición obtenida con el resultado que se obtendría al usar la teoría perturbativa dependiente del tiempo a primer orden y encontrar las condiciones precisas para la validez de esta última.

Problema 17. El oscilador armónico se reduce al caso de la partícula libre cuando la frecuencia tiende a cero. Se comprueba fácilmente que el oscilador armónico resulta el de la partícula libre en este límite. Sin embargo, no es fácil demostrar que las funciones de estado del oscilador armónico se reducen a las funciones de estado de la partícula libre.

(a) Hacer tender w ^ O y « ^ ® en tal forma que

E „ = (rt + y ) h(it E

y estudiar la función de estado del oscilador en este límite. (Sugerencia: usar la representación integral de la ecuación (VI-61) y calcular la integral por el método del punto silla).

(b) Considerar la aproximación WKB para las funciones de estado del oscilador armónico (no muy cerca de los puntos de vuelta). Demostrar que, para n grande, la función de estado difiere poco de un estado de partícula libre en la región central,

(c) Demostrar que los estados WKB se reducen a estados correctos de la partícula libre en el límite de frecuencia cero descrito en la parte (a). Notar que los puntos de vuelta en este límite resultan infinitamente remotos.

Problema 18. Un sistema con autoestados no perturbados y energías <f>„y £ „ ,respectivamente, está sujeto a la perturbación dependiente del tiempo

VTT T

donde A es un operador independiente del tiempo.(a) Si el sistema se encuentra inicialmente (í = -oo ) en su esta

do base <í»„, demostrar que, a primer orden, la ampütud de probabilidad de que el sistema a í = x se encuentre en el m-ésimo estado (m ^ 0) es

donde

(b) El límite t*(£', — > 1 se llama el límite adiabático.Discutir el comportamiento del sistema en el limite adiabático cuando pasa de menos a más infinito. ¿Por qué todas las probabilidades de transición tienden a cero en este límite?

(c) Considerar el límite de una perturbación impulsiva t = 0. Demostrar que la probabilidad P de que el sistema, estando en el estado base, sufra cualquier transición es

Sugerencia; Encontrar la probabilidad de transición al estado m-ésimo y sumar a todos los estados excitados usando los métodos del álgebra de matrices.

(d) Demostrar que la perturbación impulsiva de la parte (c) es equivalente a

/ / '( / ) = /lS{r),(e) Integrar la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo

en un intervalo infinitesimal en tom o a / = O y demostrar que t) es discontinua en í = 0. En particular, demostrar que

y por lo tanto, que la solución exacta de la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo es,

f < 0:

f > 0: 4r = X c*„,

c , „ = < 0 , j ( l + 2 ^ ) (l-2x )l< í> .> ·

Si Ä es un operador, su inverso B~' se define, en caso de existir, como

B ''B = B B ' = 1.

PROBLEMAS 24Demostrar que esta solución se reduce al resultado de la teoría é perturbación a pnmer orden si la perturbación es lo suficíentemenh débil

(O Verificar que S = I.

Problema 19. Sean los estados estacionarios ligados de un sistemi cuya energía es £ escogiendo las funciones reales por convenien· cía (ver Problema VI-11),

(a) Demostrar que,

< >}f„\px\>li„) ^ hl2i

(b) Demostrar que,

2 {{«{'>HI*//,)

*

(c) Usando los resultados de (a) y (b), y métodos del álgebr» de matnces, demostrar que,

2 i E , - E „ ) \ x J ^ = hV2m.

[Este resultado es un ejemplo muy importante de lo que se llama regla de suma Su importancia proviene del hecho de que la pro-

habilidad para una transición dipolar entre Asestados «-ésimo y n-i- simo es proporcional a Por lo tanto, estos elementos de m i-triz son cantidades que se pueden medir directamente 1

(d) Verificar la regla de suma para el oscilador annónico, ca)(#lando directamente la suma. ’

■ ■■Problema 20. En el Capítulo VI se demostró que un pozo cuadradfb atractivo tiene por lo menos un estado ligado, sin importar lo débU del potencial. Usar el método variacional del l^ayleigh-Ritz para prò- bar que es una propiedad general de cualquier potencial que sea puramente atractivo. Para hacerlo, usar la función de prueba

y demostrar que a siempre se puede escogertalque E' (a) sea negativa. (¿Por qué constituye una demostración?).

v i l iSistemas de partículas

en una dimensión

1. FORMULACION

Ahora ya se puede hacer la primera generalización importante en la formulación de las leyes de la mecánica cuántica. Los requisitos impuestos por el principio de correspondencia, llevaron a considerar al hamiltoniano como el operador que determina el desarrollo en el tiempo de un sistema que consiste de una sola partícula moviéndose en un campo de fuerzas extemo. Por argumentos análogos, se puede concluir que el operador hamiltoniano de un sistema de partículas, juega exactamente el mismo papel. Este resultado se demostrará a continuación.

Si se considera un sistema de A partículas en interacción, cada una de las cuales puede también considerarse bajo la influencia de una fuerza externa, su hamiltoniano clásico será

f ^ i p .............P a , x „ · · ■ ,i=t ^ i=l i>ain

donde p?i2 m es la energía cinética de la partícula í-ésima de masa y podría ser cualquier potencial extemo (como la grave

dad) en el cual se moviera la partícula. Finalmente,

yi i (xt-Xi) - y}iiX}-Xi)

FORMULACION 243

es la energía potencial de interacción entre la partícula í-ésima en x¡ y la /-ésima en A:j, Como lo muestra la notación, esta interacción depende solamente de la diferencia Xi - X j . La energía total de interacción se obtiene sumando sobre todos los pares de partículas, y una forma explícita de escribir este término sería,

2 :Uii< i

Al sumar sobre í y la condición de que i sea siempre menor que j asegura que cada pareja se cuenta una sola vez.

Respecto a la descripción cuántica de estos sistemas, se pueden hacer las siguientes suposiciones que son, en mayor o menor grado, generalizaciones obvias de la descripción de una sola partícula.

(a) En el espacio de configuración, la función de estado del sistema depende de la coordenada de cada partícula y del tiempo,

(b) Suponiendo que ((»esté normalizada,

í dx dx ' ' dx,4 = 1, (2)

la densidad de probabilidad absoluta en el espacio de configuración es I0 I*. Explícitamente, |0 |* dx, dx^... dx^ es la probabilidad de que la partícula uno se encuentre entre x , y + dx^, la partícula dos entre y x^ + dx¡ y así sucesivamente, para todas las partículas A. Entonces, se concluye que.

p{-V|) = í dXi - · · JCa,. . 01“ (3)es la densidad de probabilidad para la partícula uno solamente e independiente del comportamiento de las demás partículas. Por esto, p(x^) tiene el mismo significado y las mismas propiedades que la densidad de probabilidad de una sola partícula; también tienen que satisfacerse las leyes de conservación de la probabilidad.

(c) Las variables dinámicas de cada partícula son operadores que satisfacen la ley normal de conmutación. Pero, ya que las variables dinámicas de partículas diferentes representan grados de libertad totalmente diferentes y, por lo tanto, observables que no interfieren, las variables dinámicas de partículas diferentes conmutan entre sí. Entonces, se puede escribir que

♦p j ] = [JCj, X}] = 0

[Pi. = - [ ^ u · (4)

244 SISTEMAS DE PARTICULAS EN UNA DIMENSION

Específicamente, en el espacio de configuración las coordenadas Xj son números y los momentos vienen dados por,

A ^i d x i

Y en el espacio de momentos, los momentos p¡ son números y las coordenadas vienen expresadas por,

fí H í i \Jf( = r T (6)j dpi

De estas suposiciones se concluye que la función de estado en el espacio de momentos<í>(Pí* Pa,· 0 es la transformada de Fourier ^-veces' y los valores de expectación se calculan en la forma usual,

Pi.................... =

........ ' T B r : · " ...........y la ecuación de Schrödinger tiene la forma general,

donde H es algún operador lineal y hemitiano. Se necesita, como antes, que la ecuación sea de primer orden en el tiempo para que se cumpla la conservación de la probabilidad. Usando las ecuaciones (4), (5 ) y (6) se obtiene que

[ p u f i X t , . . . , X a\ P ...............P a ) ] = J ^

[ / U , , ------- X a , P i --------

y, por argumentos análogos a los usados en el caso de una sola pai^ tícula (ver Sección 3 del Capítulo V), se encuentra que

‘ Específicamente, esto significa que 0 y están lelacionadas poi

* = CítA)-"^ f dp, ■ ■ ■ dp^<Hp,, ■ · · .p j ) exp +PiXi + ■ ■ ■

y0 = (2Trft) / dx, · · · dx .........exp [ - i ( p iJt i + · · · + 1 .

Asociando valores de expectación con variables clásicas según el principio de correspondencia, se concluye que estas ecuaciones son las ecuaciones clásicas de movimiento en su forma hamiltoniana, si /T en la ecuación (7) es el operador hamiltoniano, es decir, que el hamilto· niano de la ecuación (1) se puede tom ar como una función de las variables dinámicas cuánticas definidas por (4), (5) y (6).

DOS PARTICULAS; COORDENADAS DEL CENTRO DE MASA 248

2. DOS PARTICULAS; COORDENADAS DEL CENTRO DE MASA

Como primera aplicación de esta formulación general se consideran dos partículas de masas m, y ma , que interaccionan entre sí mediante un potencial V(x, - x^) en ausencia de fuerzas externas. El hamiltoniano del sistema viene dado por,

y la ecuación de Schródinger en el espacio de configuración resulta ser,

2 m, dx,^ + V { x , - X , )

La forma de V sugiere que se use como una nueva coordenada la distancia entre las partículas y, por lo tanto, se introduce la transformación

JC = JCi - jci

X = oíjr, + jSjti,

donde a y son parámetros. Naturalmente que X resultará ser la coordenada del centro de masa y resulta instructivo ver cómo se obtiene. Se tiene que,

a dx a _ ^ d X d d ^ b+ i:----TT,= — + of-dxi d x , d x dxi dX dx dX

dXi éx ^ d X ’

por lo cual,

rtifdxi^ rtií fi óx \ / n , nti) SX^ \m i áxdX'


donde ti es la masa reducida del sistema y está expresada por

fi r»! m¿ «I + f«í

Para eliminar el término cruzado, se escoge ß como

(10)

mi

y por lo tanto,

1 5*m, dx, nti dxt^ n dx nit

J LdX'^‘

La selección de a todavía es arbitraria; únicamente sirve para fijar la escala de la coordenada X. La selección más conveniente es claramente aquella para la cual

/ / d x , d x ^ ^ ¡ í dx dX,

lo cual exige que el jacobiano de la transformación sea la unidad. Entonces,

l =

y por lo tanto,

dx dxdxi dx 2

dX dXdx, dXi «

m,

- 1

nttni.

m.mi + ni M'

donde Ai=/«,+ mi es la masa total. Finalmente,ntiXi + nt2Xì

X = X i ~ X i ,

de donde se obtiene que

X =M

y la ecuación de Schrödinger resulta ser,

h‘‘2 il dx 2M ex^

- l 'U .A ' , . ) —I d i

( 1 1 )

( 12)

(13)

Se puede dar otro método para obtener la ecuación de Schrödinger en el sistema de coordenadas del centro de masa, como se llaman las

DOS PARTICULAS: COORDENADAS DEL CENTRO DE MASA 247

coordenadas definidas por las ecuaciones (11) y (12). El hamiltoniano clásico de la ecuación (8), puede escribirse inmediatamente en las coordenadas del centro de masa en la forma familiar^

H = (14)

donde

M

M

d X dx.d i ' d t

+ m·.

' P j . . P td t ^ (v/ÍI, m2

dx-i. ^ = í>, + P.

También se pueden obtener los operadores cuánticos que corresponden a estos nuevos momentos y nuevas coordenadas. Se tiene que,

i P i + P i ) , M

y es fácil demostrar que.

La transformación ác Pt ,x„ Pi,x^z p ,x, P, X deja las reglas de conmutación inalteradas; tal transformación se llama transformación canónica .* Partiendo de estas reglas de -conmutación, se puede escribir en el espacio de configuración que.

P =h ^ i d x ' i d X '

(15)

y la ecuación de Schrödinger en la forma de la ecuación (13) se obtiene inmediatamente de la forma del hamiltoniano en las coordenadas del centro de masa, ecuación (14), El momento/* del centro de masa conmuta con H y, por lo tanto, es una constante de movimiento. Como en física clásica, el momento lineal total de un sistema aislado « conserva.

Claramente, la ecuación de Schrödinger en las coordenadas del centro de masa es separable, lo cual es el objetivo principal de la trans-

♦

- Vet las Refeiencias [14] a la [17].

’ Esta tiansformación es el análogo cuántico de una tratisfoimación canónica clásica, o set, una transformación que deja invariable la forma de las ecuaciones de Hamilton, Ver, por ejemplo, la Referencia [14],

formación. Entonces, escribiendo= x ( X , / ) 0 U , t)

se tiene que,( 16)

2 M d X ^ i d t

La constante de separación no es más que una constante aditiva en la energía total y puede hacerse igual a cero sin pérdida de generalidad, * por lo cual, la función de estado del centro de masa del sistema satisface la ecuación de Schrödinger de una partícula libre.

2 M dX^ i d t’ (17)

y puede tomarse como el paquete de ondas de una partícula libre en reposo o en movimiento uniforme; también puede considerarse como un autoestado del momento total, s e ^ n las drcunstancias.

Ejercicio I. De las ecuaciones (14) y (16) verificar que,

(^loial) (^etn) (^rel))donde £ct>i y ^rei se refieren a la energía del centro de masa y a la energía del movimiento relativo.

El movimiento relativo satisface la ecuación de Schrödinger equivalente a una sola partícula,

2w dx ( d t ' (18)

cuyas soluciones han sido completamente investigadas. Por ejemplo, para una interacción cuadrática V(xj = fi<o^x l2, los estados del movimiento relativo son precisamente los del oscilador armónico. Este sistema es un tipo de molécula diatómica en una dimensión y los estados son de carácter vibracional. Como segundo ejemplo, los estados continuos de la clase discutida anteriormente, pueden interpretarse como la colisión de dos partículas (en una dimensión). Los coeficientes de reflexión y transmisión dan la probabilidad de que las partículas reboten o pasen una a través de la otra durante la colisión. Este proceso de transmisión puede parecer raro bajo el punto de vista clásico, pues las partículas clásicas se consideran impenetrables. Sin

'' En general, la "constante” de sepaiación puede consideráis« oomo una fundón aibitiaiia del tiempo. Este hecho refleia la invariancia de la función de onda total ^ (x, X, T) respec·to a la transformación = que ^ n illc a la substitución simultánea depor ifi í ' '" ’ y de X por x Ningún resultado físico depende de f y no se pierde generalidad al escogerla como cero.

INTERACCION DE PARTICULAS EN PRESENCIA DE FUERZASEXTERNAS UNIFORMES 249

embargo, aún b ^ o el punto de vista clásico, la impenetrabilidad implica un potencial de interacción que resulta definitivamente repulsivo a distancias de separación pequeñas· Para tales potenciales, se anula el coeficiente de transmisión cuántico, lo que concuerda con el resultado clásico.

Hasta aquí, la discusión se ha restringido a considerar una pareja de partículas en interacción. Pero, ¿qué pasa con sistemas aislados de tres o más partículas? Es fácil demostrar que, como en mecánica clásica, es posible separar el movimiento del centro de masa y que este movimiento satisface las ecuaciones de movimiento de una partícula libre. Como en mecánica clásica, el movimiento interno es muy complicado. Aunque se usara la aproximación más tosca, no sería útil en este momento continuar con este tema pues las técnicas usadas para analizar tales sistemas son demasiado complicadas.

3. INTERACCION DE PARTICULAS EN PRESENCIA DE FUERZAS EXTERNAS UNIFORMES

A continuación se generalizarán las consideraciones anteriores al caso en que se encuentren presentes fuerzas externas. B^jo estas circunstancias, la transformación a coordenadas del centro de masa no garantiza la simplificación del problema. Naturalmente que el movimiento del centro de masa está determinado por la fuerza externa neta sobre el sistema, tanto cuánticamente como clásicamente, pero esta fuerza neta depende, en general, de la configuración del sistema. Entonces, el movimiento del centro de masa y el movimiento interno están acoplados o bien, para decirlo de otra manera, la ecuación de Schrödinger no es separable en presencia de fuerzas externas arbitrarias. Sin embargo, debido a los argumentos anteriores, existe una situación excepcional para la cual la separación siempre es posible. Esta situación se presenta cuando las fuerzas externas son uniformes, porque entonces, la fuerza neta es independiente de la configuración. A continuación se estudiará este caso especial.

Se consideran dos partíailas, cadg una sometida a una fuerza externa constante F, y respectivamente e interaccionando con un potencial V{x, - at2 ).E1 hamiltoniano del sistema será,

/ / = ^ + ^ + Vix, - x^) - F,x, -

Transformando a las coordenadas del centro de masa y usando la ecuación (12) se obtiene inmediatamente que.

(F, + F.) X

2 5 0 SISTEMAS DE PARTICULAS EN UNA DIMENSION

y se observa que la ecuación de Schrödinger se puede separar fácilmente, obteniéndose para el movimiento del centro de masa la ecuación,

a*2 M x U . , ) — (19)

y para el movimiento interno,

_ A! ^ + lu,

F,

Como se esperaba, la ecuación (19) es la ecuación que rige el movimiento del centro de masa bajo la influencia sólo de la fuerza externa. Sus soluciones son bastante complicadas, pero únicamente son la transcripción cuántica del movimiento bajo aceleración uniforme.®

El término adicional que aparece en la ecuación (20) representa el efecto de la fuerza externa sobre el movimiento relativo entre las dos partículas. Si este término es pequeño comparado con el potencial de interacción, puede tratarse como perturbación en la forma usual. Por ejemplo, a primer orden, la energía se desplaza por una cantidad igual al valor de expectación de la fuerza externa. Pero, si F(x) es simétrico, los estados no perturbados tienen paridad definida por lo cual el valor de expectación se anula y el corrimiento en la energía es de segundo orden, o sea, proporcional al cuadrado de las fuerzas externas efectivas.

El caso especial de un potencial F(x) cuadrático en x es muy simple, ya que el término perturbativo se puede hacer desaparecer mediante un cambio de origen (ver Capítulo VII, Problema 6). Entonces, se tienen estados de oscilador armónico en los cuales eí mínimo de la energía potencial se desplaza del origen y la energía de cada estado decrece en una cantidad constante, proporcional al cuadrado de la fuerza externa efectiva. Para dar a este ejemplo un significado físico se le puede considerar como una molécula diatómica. Además, las fuerzas externas se podrían particularizar al caso en que la molécula se encuentre en un campo gravitatorio uniforme. En este caso, Fi - - m i g , F i = —ntig y el término correspondiente a la fuerza externa en la ecuación (20) se anula, mientras que en la ecuación (19) resulta ser (m, g = MgX. Por lo tanto, el movimiento interno no resulta afectado por el campo gravitatorio y el centro de masa resulta acelerado en la forma esperada.

A continuación se considerará el caso de una fuerza externa producida por un campo eléctrico uniforme Si las partículas tienen car-

'V er Problema VI-8,

OSCILADORES ARMONICOS ACOPLADOS 281

ga igual y opuesta, de magnitud e, entonces F t = - e S and F* = ^ A Entonces, la fuerza externa neta se anula ya que la molécula no tiene carga neta, y el movimiento del centro de masa resulta ser el de una partícula libre. El término adicional en la ecuación (20) es¿Jex, que es precisamente la energía de un dipolo eléctrico de momento ex en un campo uniforme 3 . Recordando que el corrimiento en la energía es cuadrático en la fuerza externa, la energía del estado base de la molécula diatómica es de la forma

£ = £ „ - i a (21)

donde a se expresa en términos de los parámetros del potencial del oscilador armónico. Este corrimiento en la energía es el de un dipolo inducido, de momento a en el campo & ; la cantidad « se llama la polarizabilidad eléctrica de la molécula. Pero, si el estado base del sistema no tuviera paridad definida, entonces, el corrimiento en la energía sería lineal en y no cuadrático. La energía del estado base tendría la forma

que es la energía de un dipolo eléctrico permanente, de momento ¡te en un campo externo. De este ejemplo se concluye que si el estado base de un sistema tiene paridad definida, no tiene momento dipolar eléctrico permanente. Este es, con mucho, el caso más común en la naturaleza. Para tales sistemas, la acción de un campo eléctrico externo distorsiona el astema produciendo una separación de la carga proporcional a la intensidad del campo eléctrico que se expresa en término de la polarizabilidad. Es necesario aclarar que la polarizabilidad es una cantidad que se puede medir directamente, ya que la susceptibilidad eléctrica de un gas se puede expresar en términos de la polarizabilidad eléctrica de las moléculas que lo constituyen.

4. OSCILADORES ARMONICOS ACOPLADOS

Antes de seguir adelante, se estudiará un segundo ejemplo que se puede resolver exactamente, como es el de un par de osciladores armónicos acoplados. En particular, se puede considerar un hamiltoniano de dos partículas de la forma®

H

■ Poi simplicidad ae ha escogido el caso particular en que los osciladores destcopladot tengan la misma frecuencia.

>W·


Se verifica fácilmente que las coordenadas normales para este problema son precisamente las coordenadas relativas y del centro de masa de la ecuación (11 )/ Al usar estas coordenadas, el hamiltoniano se transforma a la forma separable.

ti = + Wrelidonde

12 M 2

(23)

(24)

y donde la frecuencia w se define como,

- ^ 4

(25)

(26)

Se observa que á el término de interacción es atractivo, fc > O ® > w, y para interacciones repulsivas A: < O se tiene que m <a>.

Si se llaman 4»;i,(A') a las autofunciones de oscilador armónico de y Hnt respectivamente, con las energías (N + é)A(i) y (« + j) Ato , se obtiene para los estados estacionarios exactos que.

'ir^, = <PAX)<Í>nix), /V,« = 0 , l ,2 , .

con energías.

^Nii ~ i + (rt + i) fiw.

(27)

(28)

El espectro, que no es degenerado si 6> y w no son conmesura- bles, es una simple composición de dos espectros de oscilador armónico. Sin embargo, depende de la magnitud relativa de 5> y w . En la Figura l(a) se muestra el espectro para interacciones atractivas débiles, lo cual significa que O < Para este caso, es es Ugeramente mayor que ti» y se obtiene un conjunto de estados bien separados: un estado base aislado, un par de estados excitados muy cercanos, le siguen un triplete de estados excitados muy cercanos entre sí, y así sucesivamente. Para estados cuya repulsión es débil, aparece la misma estructura, pero el orden de los estados vecinos se invierte. En la figura l(b) se muestra el espectro para el caso límite opuesto klfi > , o sea, cuando domina el término de interacción. En estecaso el espectro consiste de un conjunto infinito de estados muy cer-

' Estos detalles se dejan paia los problemas.

Nn

03122130

02H20

0110

00

OSCILADORES ARMONICOS ACOPLADOS

(a)

I — il))

(bi

253

Nn

H = 3jV = 0, 1, 2 .

n = 1N=Q, \ , 2

n = 1A* = 0, 1, 2.

Figurai, (a) Espectro del oscilador acoplado para fuerzas atractivas débiles. Todos los estados cercanos tienen el espaciado común A ( íü — <d), (b) Espectro del oscilador acoplado para fuerzas atractivas predominantemente fuertes. Cada serie infinita de estados que parta de una >r dada tiene ei mismo espaciado ftw.

canos que se superponen, cuyo primer conjunto empieza en el estado base, el siguiente en el estado n = 1, el que sigue comienza en w = 2, y así sucesivamente.

Aunque la función de estado es una función simple de las coordenadas normales, es una función complicada como función de las coordenadas xt y d e las partículas, excepto para el estado base, el cual, correctamente normalizado resulta ser

X exp í _ í - 1 -*22fi 2 ñfi(B — g>)

2fi (Jfi - Xt)^ ■ (29)


Entonces, los estados excitados consisten del mismo factor gausiano multiplicado por polinomios de grado (« + AO en jr, y x .

El problema dei oscilador acoplado tiene cierto interés intrínseco. Por ejemplo, el límite de interacción fuerte es un modelo muy crudo de los estados de una molécula diatómica fuertemente ligada en un cristal. Sin embargo, su principal interés resultaría ser una guía para aplicar métodos aproximados al estudio de las propiedades de un sistema de partículas (Problema 9). A este respecto, se puede aclarar que la utilidad del problema del oscilador acoplado no está limitado al sistema de dos partículas que se ha estado anaUzando. Se pueden encontrar soluciones exactas para cualquier número de partículas® y más adelante se discutirá el caso de tres partículas.

5. INTERACCION DEBIL ENTRE PARTICULAS EN PRESENCIA DE FUERZAS EXTERNAS

Ahora, se puede volver al caso general y considerar fuerzas externas no uniformes donde, como ya se puntualizó anteriormente, el movimiento del centro de masa no puede separarse. Aún para el caso de un sistema de dos partículas, este problema es muy difícil y se restringirá al caso en el cual las fuerzas externas dominan sobre las fuerzas internas, por lo que éstas se pueden considerar como una perturbación. Por lo tanto, el problema se inicia discutiendo los estados no perturbados, que son los de un coiyunto de partículas sin interacción moviéndose en un campo de fuerzas externas. Se considerará en detalle solamente sistemas de dos partículas, pero también se mencionarán brevemente sistemas de muchas partículas.

Se parte del hamiltoniano de dos partículas.

+ = H A p „Xi) + H A p ^,X2). (31)

Para este sistema, las coordenadas del centro de masa son claramente irrelevantes, pues clásicamente consiste en dos partículas moviéndose independientemente. Al escribir,

=«ííl(jCl,/) (32)

la ecuación de Schrödinger resulta separable y se obtienen las dos ecuaciones de una sola partícula cada una,

" Para el caso clásico ver las Referencias [ 14] a [ 17], Pata el caso cuántico ver I. Bloch y Y. Hsieh, Physical Review 96, 382 0 954); IttI. 205 (1956).

INTERACCION DEBIL DE PARTICULAS EN PRESENCU DE ____FUFRZASEXTERNAS 255

2/Mi

. 2íWíLos estados estacionarios del sistema resultan ser ei producto de los estados

con enei^íaEjtm ~ "t" Eijnt

donde y son las autofunciones ortonormales de H¡ y con autovalores £m y £*„· Un estado general arbitrario puede construirse como superposición de estos estados de partícula independiente. En particular, soluciones de la forma del producto (32) se pueden obtener como producto de una superposición arbitraria de los estados de la partícula uno y de una superposición análoga de estados de la partícula dos. Para este producto, de la ecuación (32) se tiene que,

por lo cual las partículas no están correlacionadas y el desenvolvimiento en el tiempo se realiza independientemente, como en el caso clásico.

Sin embargo, hay que notar que es posible tener estados para los cuales no se cumple esta independencia completa. Para ello se considera inicialmente la función de estado arbitraria >tt{xuxs,t = 0 ) . La función de estado más general se puede expresar como

= S e x p I - Í ( E , „ -I- E i n i t l h ] ,

y por lo tanto, ya que y «i»*™ son ortonormales, al invertir y tomar r = O se tiene que,

í·«™ = / / 'KAi, Jíi, ( = 0) (j;i)»í^m* (a:í) dXi dXi.Si el estado iiúcial tiene la forma ^Axι}*l·2 ix2 ), entonces, í'nni se puede expresar como el producto y la función de estado permanece no correlacionada para todo tiempo. Pero si el estado inicial está correlacionado, por la razón que sea, entonces, estas correlaciones sin analogía clásica, persisten en la función de estado para todo tiempo. Estas correlaciones juegan un papel muy importante al determinar las propiedades de sistemas de partículas idénticas, como se verá más adelante.

Ahora, ya se pueden considerar los efectos de las interacciones sobre los estados estacionarios, suponiendo que estos efectos son débiles comparados con las fuerzas externas. Llamando V(x, — jc*) al téi^ mino de interacción, el hamiltoniano tendrá la forma,

^ ^ + y{xt - X2 ) .

Tomando y{xi - x^) como una perturbación, los estados no perturbados son el producto de los estados i/»«™ = «Í»)„{jci)*í»2b.(a:2 ) con eneigía

= Etn + · Entonces, a primer orden se tiene que,


= &am+ (33)

y a segundo orden.

£nni ~ + <*..1 f’w,..) + 2 'ífr ~ ‘'M- (34)

donde los elementos de matriz están dados por

La generalización al caso de más de dos partículas es inmediata. Para un sistema de tres partículas Jos estados no perturbados son productos de tres estados de partícula independiente y, como antes, para estos tres estados se tiene que,

= (ír3,(jC3)

¿ nnií ~ n + + £ j(.

Si la interacción mutua se puede escribir como,

y ~ y I2ÍX i “ -' 3) +

entonces, a primer orden resulta que.

El último término en esta expresión se reduce a una suma de términos como los de la ecuación (33). Para demostrarlo, se puede considerar como ejemplo y, 2 (x - Xi). Se tiene que,

y I2l<l>ntní)

= / ü x , dx-, íyjf:,|ií(,„(.v,)|^ !<í'i,n(jr2) |- I«íf3í(-Vs)| - Xi) ■

La integración sobre X3 se puede calcular inmediatamente y, como está normalizada, el resultado será

que como se esperaba es independiente de 1. En forma análoga, los otros dos términos dan como resultado únicamente contribuciones de dos partículas.

PARTICULAS IDENTICAS Y DEGENERACION DE INTERCAMBIO 257

Para A partículas se tienen productos de A estados de partícula in* dependiente y las correcciones perturbativas tendrán la forma de una suma de contribuciones de dos partículas.

6. PARTICULAS IDENTICAS Y DEGENERACION DE INTERCAMBIO

Ahora se puede considerar el caso extremadamente importante de un sistema de partículas idénticas. Partículas idénticas siempre significará que las partículas son completamente y absolutamente indistinguibles, No se asocia ningún significado físico a la etiqueta de estas partículas. Por esta razón, las coordenadas de todas las partículas idénticas intervienen en el hamiltoniano exactamente en la misma forma. Como ejemplo particular y simple, se puede considerar el caso de dos partículas idénticas sin interacción y bajo la influencia de alguna fuerza externa. Cada partícula siente exactamente el mismo potencial y, por lo tanto, el hamiltoniano tiene la forma

Entonces, las soluciones estacionarias son

(35)

(36)

con energía

£n<i En »

donde (x) es una autofunción del hmiiltoniano común de una partícula

_

im +

con autovalor Pero si ^ y « son diferentes, este estado está degenerado respecto al intercambio de las partículas, es decir, que el estado

0ÍB = «/»„(jfi) (37)

tiene la misma energía que . Esta degeneración se llama degen«· ración de intercambio, que es una consecuencia de la invariancla #vi- dente del hamiltoniano de la ecuación (35) respecto a un intercambio de las coordenadas de las dos partículas.

Este resultado se puede generalizar demostrando que la degenUl· ción de intercambio es una propiedad de las soluciones de la ecuiclöll de Schrödinger para cualquier sistema de partículas idéntica·» ibl Ifll·


portar sus interacciones mutuas ni qué tipo de fuerzas externas actúan sobre las partículas, y tampoco cuántas partículas forman el sistema. Para este propósito es conveniente introducir el llamado operador de intercambio = Pai, el cual intercambia las coordenadas de las partículas uno y dos cuando opera sobre cualquier función de estas coordenadas.^ se define por

(38)

para / arbitraria. Análogamente, Pa intercambia las coordenadas de las partículas ; e /. Como ejemplos se tiene que

Pis ■ .,Jr^) ........ jt^)

P i 2 p , i ñ x u X 2 , X i , ■ ■ . , X a ) = P , 2 f ( x s , X i , X i ................... X a )

= f{x3,xux2.........Xa),

y así sucesivamente. Es necesario subrayar que, como lo demuestran estos ejemplos, el índice de una coordenada etiqueta a la partícula que se refiere a esa coordenada, y no el orden en el cual aparece una coordenada en la función de estado.

El operador P^ conmuta con el hamiltoniano debido a la defínición de indistinguible. Entonces, si « Í í e ( j c i , . . . , X f ¡ ) e s unaautoiun- ción de H con autovalor E, también lo es Ph^e , ya que

Pii '^e = Pjj / / «í»£ = E Pii

Entonces, estos estados están degenerados respecto al intercambio de las partículas i y /, excepto cuando F¡>e resulte ser un múltiplo de

, como por ejemplo el estado de la ecuación (36) con n ^ q . Naturalmente, las etiquetas / y / se refieren a cualquier par de partículas y la degeneración de intercambio ocurre cuando se intercambia cual· quier grupo de dos partículas idénticas. Para un sisteina de A partículas, las soluciones de la ecuanción de Schrödinger pueden estar degeneradas a lo más A ! veces, que corresponde a las A! permutaciones del orden en el cual se pueden etiquetar las A partículas al escrl· bír la función de estado. Cualquier combinación lineal de los estados linealmente independientes formados del corounto completo de las A! permutaciones, es una autofunción del hamiltoniano, y la forma en que se clasifican estos estados en general no es fádl, como se verá más adelante. Para dos partículas el problema es trivial, y a continuación se estudiará este caso simple pero muy importante.

’ Las propiedades algebraicas de los operadores de intercambio se dejan para el Frobkma I,

SISTEMA DE DOS PARTICULAS IDENTICAS

7. SISTEMAS DE DOS PARTICULAS IDENTICAS

259

Para un estado de dos partículas, solamente se necesita tomar en cuenta el operador de intercambio . Evidentemente, el valor A*,** es la unidad y por lo tanto, al igual que el operador de paridad, los autovalores de son ±1, que corresponden a los estados simétricoso antisimétricos respecto al intercambio. Entonces, los estados de dos partículas siempre se pueden clasificar de acuerdo a su simetría respecto al intercambio. Como ejemplo particular, para los estados de partícula independiente de la ecuación (36) se obtienen los estados correlacionados (normalizados),

y, como se puede verificar fácilmente

Pn =

En forma más general, si ((ieÍjti.Aí) es una autofunción de un hamiltoniano de dos partículas con energía E, entonces, los estados simetrizados (no normalizados) que así se les llama, serán

(40)

si no están simetrízados o antisimetrizados desde el inicio.La existencia de la simetría así construida parecería ser ta excep

ción a juzgar por el ejemplo de la partícula independiente en donde se presenta para el caso especial den = q, ecuación (36). Sin embargo, para sistemas físicos reales que contienen interacciones, se demostrará que los verdaderos estados ligados de dos partículas exhibirán automáticamente estas propiedades de simetría. El argumento es muy simple. La función de estado simétrica se anula necesariamente cuando JC, = y, por lo tanto, la probabilidad de encontrar a dos partículas próximas una a otra es menor comparada con la misma probabilidad para un estado simétrico. La contribución del término de interacción en el hamiltoniano, sin importar el signo, es entonces numéricamente mayor para los estados simétricos que para los estados antisimétricos. Por ello, se espera que los estados simétricos y antisimétricos no formen parejas degeneradas excepto por accidente y, por lo tanto, el espectro de estados ligados consiste de un conjunto de estados discretos no degenerados. Ahora, simplemente se invierte el argumento. Si el espectro no es degenerado, olvidando los accidentes, y sabiendo que todos los estados se pueden clasificar por su simetría respecto a intercambio, se puede concluir que los estados


verdaderos tienen simetría definida y, automáticamente, resultan estar simetrizados.’®

La discusión de las propiedades de los estados de dos partículas independientes se puede aclarar considerando los siguientes ejemplos que se pueden resolver exactamente y que se trataron en las Secciones 3 y 4 para el caso de partículas distinguibles.

(a) Fuerzas externas uniformes. En este caso las partículas pueden interaccionar arbitrariamente, pero las fuerzas externas están restringidas a ser uniformes. El hamiltoniano tiene la forma.

H = Pi P i-i- -z-----h V( xj — X2) 4- Fx¡ + F x i .

2m 2m

Como las partículas son idénticas, la fuerza externa F que actúa sobre cada partícula es la misma. Además, el potencial de interacción es necesariamente una función simétrica de su argumento (¿por qué?). Como consecuencia, de la ecuación (20) con mi = »ij = m y Fi = Fj = F , los estados correspondientes al movimiento relativo tienen simetría definida respecto a la coordenada relativa jt = jr, — jt2 . Ya que los estados correspondientes al centro de masa son necesariamente simétricos respecto al intercambio (¿por qué?), los estados del sistema están automáticamente simetrizados, de acuerdo con lo que se esperaba.

Ejercicio 2. Efectuar los detalles de los argumentos que conducen a la conclusión anterior.

(b) Osciladores armónicos acoplados. Este caso es más interesante y se hará con cierto detalle. Para partículas idénticas, el hamiltoniano de la ecuación (22) para osciladores acoplados resulta ser

1 1(41)

La transformación al centro de masa toma la forma simple,

"* Este argumento es muy parecido a la discusión del Capitulo VI respecto a la paridad de los estados en un potencial simétrico. En aquél caso se pudo demostrar que el espectro de estados ligados es siempre no degenerado y, por lo tanto, los estados ligados siempre se pueden cladficai de acuerdo a su simetría respecto á la paridad. En este caso, el argumento es necesariamente cualitativo. De hecho la degeneración se presenta en casi todos los estados para el caso de la partícula independiente, o bien accidentalmente para el caso más real de partículas bteraccionando. Es necesario puntualizar que para el caso real no se ha dado ninguna demostración, sino únicamente se han presentado argumentos plausibles.

SISTEMAS DE MUCHAS PARTICULAS, SIMETRlZACtON Y PRINCIPIODE EXCLUSION DE PAULI 261

V- X) + JC»X 2 ’ ^ (42)

y b ^ o esta transformación el ham iltoniano// resulta ser

= ^ + + ^ + (43)

precisamente como antes, con M = '2m and fi = mi l . También, como antes

n 4 I ^ 9 íS“' = (O* + — = w* H-----/i m

Los estados estacionarios son

= ) 4>niXl - X i ) , (44)

donde

F.í(í>jv«= (45)

y, por lo tanto, estos estados están automáticamente simetrízados,como se esperaba. El espectro para interacciones débiles es el de laFigura l(a) y para interacciones fuertes dominantes se tiene la Figura l(b).

Hasta ahora podría parecer que, a pesar de lo que se esperaba, no resulta ninguna complicación cuando se consideran partículas idénticas. Al contrario, la descripción se simplifica debido a las propiedades de simetría. Esta conclusión es válida para sistemas de dos partículas. Surgen complicaciones importantes solamente para sistemas de tres o más partículas, como se mostrarán a continuación.

8. SISTEMAS DE MUCHAS PARTICULAS, SIMETRIZACION Y PRINCIPIO DE EXCLUSION DE PAULI

Volviendo al estudio de las propiedades de un sistema A partículas idénticas, su hamiltoniano será

= í S + i + S ~ - í^6)Í-I 1-1 palK

donde K(jc) es el potencial externo común en donde se m u e v e n las partículas y V(jc, ~ jcj) = v(jfj - jf|) es el potencial de in te r a c c ió n pa


ra cada par de partículas. Para determinar las características de simetría de los estados de este sistema es necesario examinar las propieda* des de los operadores de intercambio Pjj. Como se dyo anteriormente, P¡j necesariamente conmuta con H para todo par de partículas y, por lo tanto, los estados del sistema pueden tener una degeneración A\ respecto al intercambio, que corresponde nA\ permutacionesdet orden en el cual se pueden caracterizar las A partículas al escribirlas en la función de estado. La clasificación de estos estados es complicada debido a que los operadores/’íj y / ’u no conmutan. La simetría de la función de estado respecto al intercambio de las partículas / y /, y de las partículas / y /r no pueden especificarse arbitraria y simultáneamente. Entonces, se llega a la conclusión importante de que, en general, las soluciones de la ecuación de Schrödinger para un sistema de tres o más partículas idénticas no tienen simetría definida respecto al intercambio entre cada par de partículas.

Sin embargo, existen dos estados excepcionales, ambos de importancia primordial en lo que sigue, que sí tienen simetría definida. Uno de estos estados es simétrico respecto al intercambio de cada par de partículas y se llama estado totalmente simétrico. El otro estado es antisimétrico respecto al intercambio y se llama totalmente antisimétrico. Ambos estados se construyen muy sencillamente a partir de los estados no simetrizados Llamando al primero

y al segundo ^ , se pueden escribir simbólicamente como.

= 2 ......... Xa)permutaciones

(47)

......... -f^)·permutaciones

(48)

En cada caso ia suma corre sobre el conjunto completo de permutaciones. Cualquier intercambio adicional únicamente revuelve estas permutaciones pero deja el estado simétrico inalterable. El índice r sobre el factor ( — 1)'" en el estado antisimétrico es el número de intercambios entre pares de partículas para llegar a una permutación dada. Es importante señalar que el signo de cada término en la suma depende de que el número de intercambio sea par o impar. Al intercambiar cualquier par de partículas en la función de estado totalmente antisimétrica, cambia r par a r impar y viceversa y, por lo tanto, cambia el signo de como debe de ser. La propiedad fundamental de simetría de estos dos estados se puede resumir diciendo que, para todo par de partículas i y /, se tiene

(49)

SISTEMAS DE MUCHAS PARTICULAS, SIMETRIZACION Y PRINCIPIODE EXCLUSION DE PAULI , 263

Esta discusión de las propiedades de simetría de sistemas de mu* chas paiticulas ha demostrado que ios estados degenerados debido di intercambio, que pueden tener una degeneración de v4!, no poseen simetría definida con excepción del caso especial en que los estados estén totalmente simetrízados o antisimetrizados” Afortunadamente, la naturaleza ha simplificado enormemente el problema pues no todas las A ! soluciones de la ecuación de Schrödinger se pueden realizar físicamente. Esta característica es de importancia primordial en la estructura de la materia y del mismo universo.

Para establecer las condiciones de restricción impuestas por la naturaleza, se necesita mencionar que las partículas elementales poseen cierta estructura y necesitan de ciertas coordenadas internas para su especificación completa. La coordenada interna más importante en esta discusión es el momento angular interno, el espín o giro de una partícula, que se denotará por s. Más adelante se tratará este tema con cierto detalle; por ahora, únicamente se señalará que el momento angular de espín tiene una magnitud definida para cada tipo de partícula. Estas magnitudes están cuantizadas y, en unidades de ft , solamente pueden tomar valores enteros o semienteros. Por ejemplo, los electrones, protones y neutrones tienen espín un medio, el fotón tiene espín uno y el mesón tt tiene espín cero. Pero, si ahora se establece que el intercambio de coordenadas significa intercambio de coordenadas internas (espín) y coordenadas externas, entonces, todos los argumentos acerca de la degeneración por intercambio permanecen inalterables por la presencia del espín, y la degeneración X / todavía puede ocurrir. Entonces, la simplificación de la naturaleza establece que para un tipo dado de partícula solamente se observa uno solo de estos A! estados. Específicamente, la función de estado de un sistema de partículas de espín entero siempre tiene que ser total· mente simétrica, y la función de estado de un sistema de partículas de espín semientero siempre tiene que ser totalmente antisimétrica. La primera está descrita por el estado particular de la ecuación (47) y la segunda por ia ecuación (48).

El postulado de que la función de estado para partículas de espin semientero es totalmente antisimétrica no es más que una versión precisa y general del famoso principio de exclusión de Pauli, como se verá a continuación. Estas partículas satisfacen la estadística de Eermi-Dirac y actualmente reciben el nombre fermiones, y las partículas de espín entero satisfacen la estadística de Bose-Einstein y se les llama tesones. Estas relaciones entre espín y estadística, y los

"E n contraste con el caso de dos partículas, estos estados símetiiiados totalmente no ip a n · cen automáticamente. Tienen que ser construidos de acuerdo con las ecuaciones (47) y (48).


mismos postulados de simetría, se descubrieron empíricamente, pero ya se han deducido como consecuencia necesaria de las restricciones impuestas a las leyes cuánticas por los requisitos de invariancia relativista.

Una comprensión mejor de la estructura de las funciones de estado de las ecuaciones (47) y (48) se pueden obtener observando que, para sistemas sin interacción, una solución estacionaria del sistema de A partículas es sencillamente el producto de A funciones de estado de una sola partícula. Se observa que el estado totalmente antisimétrico se puede expresar como un determinante de estas funciones de una sola partícula que se llama determinante de Slater. El estado antisimétrico normalizado es,

1

(jCl-íl) ^ mt {Xi, Si) ' · ■

(Xí, Sí) · · · , (50)

donde el ai^umento de las funciones de una sola partícula es para indicar que intervienen tanto las coordenadas espaciales como las coordenadas de espín. El producto de los elementos diagonales es el estado original no simetrizado y los otros términos generan el conjunto completo de permutaciones, cada una con su signo correcto. En este caso de partícula independiente se observa que una función de onda antisimetrizada se anula si dos partículas se encuentran en el mismo estado espacial y de espín, ya que entonces dos hileras del determinante serían iguales. Por lo tanto, la versión elemental del principio de PauH al establecer que dos partículas no pueden encontrarse en el mismo estado cuántico, es un caso especial del requisito general de antisimetrización.

El estado simétrico no se puede escribir en forma tan elegante, pero se puede describir como una función de onda del tipo anterior en el cual el signo de todos los términos se toma positivo.

Hay que notar que las funciones de onda simetrizadas, como las de la ecuación (50), son estados correlacionados, aunque se hayan formado de productos no correlacionados. Por ello, la probabilidad de que dos partículas tengan idénticas coordenadas espaciales y de espín es cero en un estado antisimétrico. Estas correlaciones producen efectos importantes y son responsables, por ejemplo, del fenómeno del ferromagnetismo.

La reducción de a un solo estado, es el final de la historia para partículas sin espín. Para dar un ejemplo particular y simple, se pue-

SISTEMAS DE MUCHAS PARTICULAS, SIMETRIZACION Y PRINCIPIO .DE EXCLUSION DE PAULI 26S

de considerar el sistema de dos partículas descrito por el hamiltoniano del oscilador acoplado de la ecuación (41), Para partículas sin e·- pín, la función de estado es simétrica b ^ o intercambio y, de acuerdo con la ecuación (45), sólo estados con « par se logran físicamente. Esta conclusión significa que solamente la mitad de las soluciones matemáticas de la ecuación de Schrödinger son soluciones/¿s/car, por lo cual aparecen en el espectro de la Figura l(a) o de la Figura l(b). Para sistemas de tres o más partículas, la reducción en el número de estados es mucho mayor. El análisis de sistemas de muchas partículas es mucho más difícü debido a que los estados no están símetriza- dos automáticamente, lo cual se ilustrará en breve para el caso de tres partículas.

Para partículas con espín un medio, como los electrones, la situación es todavía mucho más difícil. La naturaleza de estas complicaciones adicionales, son debidas a que, excepto para efectos relativistas, el hamiltoniano es independiente de las coordenadas de espín. Por ello, el espín de cada partícula conmuta con H y, por lo tanto, cada espín por separado es una constante de movimiento. Este resultado introduce en las funciones de estado una nueva degeneración, la cual puede expresarse por el hecho de que cualquier solución de la ecuación de Schrödinger independiente del espín, sigue siendo una solución al multiplicarla por una función arbitraria de las coordenadas de espín. Los requisitos de simetría son condiciones sobre la función de onda total y no sobre las coordenadas espaciales o de espín exclusivamente. Por lo tanto, existen muchas formas de lograr la simetrización. En el caso más simple, el de un sistema de dos electrones, se puede construir una función de estado totalmente antisimétrica, de dos maneras; como el producto de una función espacial simétrica y una función de espín antisimétrica, o bien, como el producto de una función espacial antisimétríca por una función de espín simétrica. Como se discutirá en el capítulo X, el primero es un estado de espín total cero, y el segundo, de espín total uno,'* Usando otra vez como ejemplo el oscilador acoplado, significa que para partículas de espín semientero todos los estados se logran físicamente y el espectro es el de la Figura l(a) (o Figura (b) ), en su totalidad. E lt·· dos con n par son estados de espín cero (antisimétrico en los eipÍlMl)i y los de n impar son estados de espín uno (simétrico en los eiplneí^

Si se considera un sistema de tres electrones, se encuentra que oxlfr ten tres formas de construir una función de estado totalmente uitM · métrica. La primera es bastante simple. Es un estado de espín toUl 3/2, simétrico en ios espines y antisimétrico en las coordenadil e ip ·· ciales. Los otros dos, son estados de espín 1/2, ninguno de lo· 0U |^

Lo» estados atómicos del heHo son de este Upo. Ver el Capitulo XI,


tiene simetría definida respecto al intercambio espacial o al intercambio de espín.

Para resumir, se han estudiado ios estados de un sistema de A partículas idénticas y se ha encontrado que las soluciones estacionarias más generales de la ecuación de Schrödinger están degeneradas A / veces. Sin mebargo, dependiendo del espín de la partícula, únicamente se presentan ciertas combinaciones de estos estados. Para partículas sin espín, los estados deben de ser totalmente simétricos respecto al intercambio de cualquier par de partículas. Para partículas con espín un medio, la función de estado tiene que ser totalmente antisimétrica respecto al intercambio de las coordenadas espaciales y de espín, para cualquier par de partículas.

9. SISTEMAS DE TRES PARTICULAS IDENTICAS

Hasta aquí, la discusión del comportamiento de partículas idénticas se ha limitado, por motivos ilustrativos, al caso de sistemas de dos partículas. Sin embaído, el caso de dos partículas es demasiado simple, pues aparecen los estados correctamente simetrizados en las coordenadas. Para ilustrar las nuevas características que aparecen cuando se considera más de dos partículas, a continuación se discutirán las propiedades de sistemas de muchas partículas.

La pregunta esencial es la siguiente: ¿cómo se pueden identificar los estados realizables físicamente de un sistema de muchas partículas? Esto se lleva a cabo, por lo menos en principio, encontrando las soluciones de la ecuación de Schrödinger sin tener en cuenta la simetría y, posteriormente, simetrizando el resultado de acuerdo con la ecuación (47) para partículas de espín cero y de acuerdo con la ecuación (48) para partículas de espín un medio. Se mostrará este procedimiento para un sistema de tres partículas idénticas que, por simplicidad se considerarán sin espín. Pero, el sistema de tres partículas es suficientemente general como para exhibir las características importantes de sistemas de muchas partículas y lo suficientemente sencillo como para permitir que se obtengan explícitamente los detalles.

Se empezará por considerar el sistema de tres partículas más simple, o sea el sistema en el cual las partículas no interaccionan entre sí.'* El hamiltoniano viene expresado por la ecuación (46) con P = o Se pueden expresar en forma de partícula independiente como

= (.V, ) . (51)Í=I

Este es el caso más importante porque sirve como punto de partida para cálculos perturbativos. Ver Sección 10.

donde el hamiitoniano común de una partícula es

y { x ) . (52)

Llamando <Í>„ a las autofunciones de Hs„ y E„ a los autovalores correspondientes, los estados estacionarios se pueden expresar como el producto

(53)

con energía

= £« + £q + £'s* (54)

Si ahora se considera un estado de intercambio que es degenerado como í · , 2 se tiene que

y análogamente para todos los demás. Debido a la forma de la función de estado, una permutación de las coordenadas de las partículas únicamente permuta los índices de la función de estado. Por simplicidad en la escritura, se omitirá el argumento de los estados cuando éste se tome en el orden normal jti. jcj Los 3! = 6 estados de intercambio degenerados se expresan como «í»*«,, ¡¡m·Estos estados serán linealmente independientes o no, según que n, q y j se refieran a estados de una sola partícula o no. Para completar la descripción, se distinguirán tres casos.

(a) « = q La función de estado es simétrica automáticamente y los estados físicamente realizables son,

= <t>ÁX,)(í>n{xú<l>n(Xi) (55)con energía

í itnn —El estado base de sistema se encuentra necesariamente incluido en esta clase.

(b) n = q s. De los seis estados permutados solamente tres son diferentes. Los estados totalmente simetrízados y, por lo tanto, los únicos estados físicamente realizables, son

*í' n n / = r U + n>n + •l'inn) (56)

SISTEMAS DE TRES PARTICULAS IDENTICAS 267

con energíaV3

= 2E« + £,.

El primer estado excitado del sistema está incluido necesariamente en esta clase.

(c) « í¡f # s. En este caso interviene el conjunto degenerado de seis estados de intercambio. Los estados normalizados totalmente simetrizados, o sea, el único estado físicamente realizable, es

+ »íiflíB + + 'f'tB« + 'i'*««) (57)

con energía+ Eq + Ef

Hay que observar que en los tres casos, el orden de los índices para los estados simetrizados no tiene importancia, es decir que,

y análogamente para otra permutación. También hay que observar que la degeneración de los estados físicos depende sólo de la estructura del espectro de una sola partícula. Si más de una combinación (n,q,s) diferente da como resultado la misma energía, el estado está degenerado y en caso contrario no lo está.

Esto completa la descripción para partículas sin espín. ¿Qué modificaciones aparecen para espín un medio? Se presenta una degeneración adicional debido a que existen dos orientaciones posibles del espín de la partícula. Llamando xi a la coordenada de espín y espacial, y a los dos estados posibles del e s p ín s i el hamiltoniano es independiente del espín, los estados <n· y tienen la misma energía

Las soluciones de la ecuación de Schrödinger que corre^onden a la energía se pueden expresar en la forma

(58)

donde a, b y c son símbolos que pueden tomar los valores más o menos. El hecho de que a, í» y c no pueden ser todos diferentes, tiene consecuencias profundas para el sistema, como se demostrará a continuación. La función de estado totalmente antisimétrica se puede expresar como el determinante de Slater, ecuación (50),

V6

<»“(-*3 )

< ,'(jf3)

(59)

Se puede suponei que corresponden al espi'n hacia arriba o hacia abajo respecto a cierto eje de refetencia, como se discute en el Capítulo X.

De nuevo se distinguirán tres casos,(a) n = ^ = í. Debido a que a, 6 y c no pueden ser todos diferen

tes, necesariamente dos renglones del determinante son iguales y el determinante se anula. Entonces, no existe ningún estado físico realizable de este tipo en el espectro, en concordancia con el principio de Pauli,

(b) n =q 9^s. Si el determinante no se anula, se tiene que è = —a, y un estado típicamente realizable se obtiene desarrollando el determinando para obtener que.

SISTEMAS DE TRES PARTICULAS IDENTICAS 2 6 9

t'ita«

+ (60)

con energía= 2E„ + Es.

El estado base del sistema está incluido en esta calse de estados, cada uno de los cuales está doblemente degenerado. Estos estados no tienen simetría definida respecto al intercambio espacial solamente o al espín únicamente; son antisimétricos respecto al intercambio simultáneo de ambos.

(c) n ^ q ^ s. En este caso, existen estados físicamente alcanzables para cualquier combinación de a, 6 y c. Estos estados tienen degeneración óctuple que corresponde a las ocho asignaciones posibles de ia, b, c) El estado más simple de este tipo es totalmente simétrico en los espines y antisimétrico en las coordenadas espaciales. Un ejemplo es,

(«í-«/"")- = ^+ (61)

Ejercicio 3. Encontrar el estado degenerado compañero del estado dado en la ecuación (60).

Como segundo ejemplo, se puede considerar un sistema de tres partículas con interacciones, que se puede resolver exactamente.

Erta degeneración se reduce si ei hamiltoniano tiene términos que dependen del espín. Específicamente, el estado con degeneración óctuple se divide en un estado cuádruple y dO) dobles.


Específicamente, se discutirá un sistema de tres osciladores acoplados, descrito por el hamiltoniano.

-I-1 k ( x i - x ^ ) ^ + i k{x.¿ - (62)

Se comprueba rápidamente que el siguiente conjunto de coordenadas’®, constituye un conjunto de coordenadas nonnales para este problema.

A" = ^ (jTi + í í H- ;tí)

a: = Jf, — j :2

y = x s -Xi + X i

(63)

e inversamente.

= ^ +

X = X -Jc, A 2 3

X3 = x + iy -

(64)

El significado físico de las coordenadas normales es claro; X es la coordenada del centro de masa, x es la coordenada relativa entre las partículas uno y dos, y y es la coordenada relativa de la partícula tres respecto al centro de masa de las partículas uno y dos. La introducción de estas coordenadas transforma el hamiltoniano en la' forma separable,

/ / = 2M

donde

(66)

m'

* Los detalles subsecuentes se dejan paia los problemas.

(67)

SISTEMAS DE TRES PARTICULAS IDENTICAS

y donde los nuevos momentos lineales vienen dados por,

P =pi + p2+pi

Px = i <Pt-P2)

271

(68)

p. = í ( p . - e ^ ) ·

No es difícil demostrar que las relaciones de conmutación canónicas se satisfacen, y las soluciones exactas de la ecuación de Schrödinger son productos de estados de la forma

con energías

Es»j.Ky~ 2 (w + 2(ü) + Nfiw + (/ij + ny)hw.

(69)

(70)

Las funciones <l>,v(>V),0„j.(A-)y son las autofunciones de oscilador armónico correspondientes a las coordenadas normalesX , x y y , La identificación de los estados físicamente realizables y del espectro de energías, se dejan para los problemas, pero se pueden hacer las siguientes observaciones.

(1) Los estados asociados con el movimiento del centro de masa son simétricos respecto al intercambio y, por lo tanto, aparecen como un factor común en todas las funciones de estado simetrizadaji» por lo cual no intervienen en el proceso de simetrización.

(2) El número máximo de estados degenerados respecto alcambio es tres y no seis.'^ .

(3) Cuando es impar, no se pueden formar estados totallrient· simétricos, por lo cual estos estados no aparecerán en el espectro d · partículas sin espín.

(4) En contraste con el ejemplo de partícula independiente, iM soluciones degeneradas debido al intercambio no son ortogonales necesariamente.

Ejercicio 4. Verificar las afirmaciones anteriores.

Esta sección se puede concluir con algunas observaciones respecto a las propiedades generales de sistemas de tres partículas. Sea

" Sin embargo, existen degeneraciones adicionales debido a que los modos nonnalei x y y tienen la misma frecuencia.


Xi, Xs) una autofunción con energía E perteneciente a un hamiltoniano de tres partículas. El número máximo posible de estados linealmente independientes, degenerados respecto al intercambio, es 3! = 6, aunque este número se reduce muy a menudo. Esta reducción está relacionada a propiedades de simetría que aparecen en desde el principio. En particular, si un autoestado es simétrico respecto al intercambio de un par de partículas, solamente exhibirá una degeneración triple respecto al intercambio. Además, si un estado tiene simetría definida respecto a dos pares de partículas, automáticamente es un estado simetrizado totalmente y no exhibirá ninguna degeneración de intercambio.

Ejercicio 5. Demostrar las afirmaciones anteriores.

10. PARTICULAS IDENTICAS INTERACCIONANDO DEBILMENTE EN PRESENCIA DE FUERZAS EXTERNAS

La discusión sobre sistemas de partículas idénticas se concentró en los requisitos de simetrización y en las consecuencias para los estados del sistema. Al hacerlo, se ha supuesto conocida la solución de la ecuación de Schrödinger para muchas partículas. A continuación se tratarán de construir estas soluciones para partículas en interacción en presencia de fuerzas externas, por lo menos aproximadamente. Naturalmente que el problema es muy difícil, pero se restringirá a la situación sencilla para ía cual las fuerzas externas dominan sobre las fuerzas internas, para que estas últimas puedan tratarse como una perturbación. También se restringirá el problema a tratar sistemas de dos partículas.

Entonces, se considera el hamiltoniano

H = H o + y ( x , ~ x , ) , (71)

donde el hamiltoniano no perturbado tiene la forma de la ecuación (35) para partícula independiente,

2m Im + y{x,) + y{x,)

y las soluciones no perturbadas de la ecuación (36), son

»í»«™ = ,

que corresponden a las energías no perturbadas,

+ E„.

PARTICULAS IDENTICAS INTERACCIONANDO DEBILMENTE EN PRESENCIADE FUERZAS EXTERNAS 273

Naturalmente que se tiene que tomar en cuenta la posible degeneración de los estados no perturbados. Como ya se demostró, es fácil de obtenerlo en el caso de dos partículas porque los estados se pueden clasificar por su simetría respecto al intercambio. Se pueden distinguir dos casos.

(a) Perturbación de un estado no degenerado. En este caso se considera el efecto de la interacción sobre un estado no degenerado y no perturbado, o sea, sobre un estado en el cual ambas partículas están en el mismo estado, como por ejemplo el estado base. La función de estado no perturbado tiene la forma

4'nnUi.Jtí) (72)

y es simétrica automáticamente. A primer orden se tiene,

E«n=&nn+i^„n\V\^nn). (73)(b) Perturbación de un estado degenerado. En este caso se consi

dera un estado perturbado que consiste en dos estados de una partícula que son distintos. Se escogen las combinaciones simetrizadas,

<+> : 1 (74)

: I (73)

siendo simétrica la primera y antisimétrica la segunda. El elemento de matriz de la perturbación que relaciona estos estados necesariamente se anula, debido a que la interacción perturbativa conmuta con Pi2 . Entonces, se pueden usar los métodos de la teoría de pe^ turbación no degenerada, obteniéndose para el estado simétrico,

f+> (76)y para el estado antisimétrico,

(77)Los elementos de matriz de las ecuaciones (76) y (77) generalmente son muy diferentes, y los estados se desdoblan debido a la interacción, Como es cero en jcj = y la interacción es más fuerte cuando las partículas están cercanas, el elemento de matriz para el estado antisimétrico es numéricamente menor que para el estado si- métrico._ Naturalmente que el signo del elemento de matriz depende de que V sea atractiva o repulsiva.

Es muy instructivo examinar la estructura de los elementos de matriz en las ecuaciones (76) y (77). Sustituyéndolas funciones no

perturbadas de las ecuaciones (74) y (75), se obtiene,

y

donde que es la llamada energía de interacción directa viene expresada por,

-/„« = / / dx, dXi <í»„*(jc,)^„*(jca)(^(jc, -JC2)<í»„(jfi)íí>m(jC2) (80)

y K„m energía de interacción de intercambio,da por,

/Íb»,= J· / dXi dxi ^„*{xiH,^*iXí)V{xt - xt)i4>^{Xi)^Mi), (81)y donde se ha supuesto que las fases de ((»„ y tfí», se pueden escoger de tal manera que sea real, lo cual siempre se puede hacer sin perder generalidad.

El significado d e e s claro; la cantidad |t/i„(jfi)¡*jt/(m(A:2 )|^ es la probabilidad de que la partícula uno se encuentre en jt, y lapartícula dos en y, por lo tanto, que su energía de interacción sea F(;í, — jta) Como se esperaba intuitivamente, la integral resulta ser la energía de interacción promedio. La cantidad K„„ no tiene una interpretación simple. Parece ser una consecuencia de las correlaciones requeridas por la invariancia respecto al intercambio y no tiene analogía clásica.

Es instructivo volver a obtener estos resultados, pero usando los métodos de la teoría de perturbación para estados degenerados, partiendo de los estados no simetrízados y sin perturbación 0 B(-» i)>í'n.(jf2 ) y »(»m(j[,>t{i„(jCí), lo que se dejará como ejercicio.


Ejercicio 6. Partiendo de los estados no perturbados iíf„(jfi)íífm(Jí2 ) y <í'in(jíi)«ífn(jcs) obtener las ecuaciones (78) y (79). ¿Por qué se tiene que usar la teoría perturbativa de estados degenerados?

¿Cuál es el efecto del espín y la estadística de las partículas? Como ya se estableció, para partículas de espín cero, únicamente pueden ocurrir estados espacialmente simétricos y, por lo tanto, se permite únicamente la función de estado de la ecuación (74) con la energía a primer orden dada por la ecuación (78). Por ello, el espectro sólo contiene alrededor de la mitad de estados de los que sp obtendrían como soluciones matemáticas de la ecuación Schrödinger que se comportan correctamente. Para partículas con espín un medio, ambos tipos de estados se encuentran en el espectro. El estado

espacialmente simétrico está asociado con un estado de espín antisi* métrico (espín cero resulta de que los espines de las partículas son opuestos), y el estado especialmente antísimétríco está asociado con un estado espín simétrico (espín uno resulta de que los espines de las partículas estén alineados). Los estados atómicos del helio son un ejemplo excelente de un sistema de este tipo.

PROBLEMAS 375

Problema 1. Si Pa es el operador de intercambio para las partículas í-ésima y /-esima, verificar cada una de las afirmaciones siguientes:

(a) Pii es hermitiano(b)/*ü^= 1.(c) El operador de proyección Pir para el intercambio es,

P ir =

y tiene las propiedades.

P m " P ii = P if Pii" = o

(d) Pjj y P i conmutan si (i,;) y (fc, 1) se refieren a dos pares de partículas diferentes, pero P^ y P ¡ no conmutan para j

Problema 2.(a) Considerar un sistema de ^ = 2N partículas idénticas. De

mostrar que existen N{2N — 1) operadores de intercambio independientes pero solamente N de ellos conmutan entre sí. Exhibir un conjunto completo de estos operadores que conmutan,

(b> Suponer A = 2?V l , ¿Cuántos operadores de intercambio independiente existen y cuántos conmutan entre sí?

Problema 3.(a) En una caja de anchura L se colocan dos partículas de masas

0.98m y l.02m sin interaccionar. Dibujar un diagrama de niveles de energía mostrando la primera media docena de los estados del sistema.

(b) Suponer que las partículas interaccionan débil y atractivamente. Mostrar cualitativamente qué sucede con los estados del sistema.

Problema 4.(a) En una caja de anchura L se colocan dos partículas idénticas

de masa m que no interaccionan. Dibujar un diagrama de niveles de energía (a la misma escala que en eí Problema 3), mostrando la primera media docena de estados deí sistema. Para cada nivel indicar la degeneración de intercambio en caso de existir.

(b) Lo mismo que ia parte (b) del Problema 3.(c) ¿Qué estados se observarán para partículas de espín cero y

para partículas de espín un medio?

Problema 5.Un sistema consiste de una partícula neutra y de una partícula de

carga e. La interacción entre las partículas se describe por el potencial,

donde ^ es la masa reducida.(a) Encontrar la energía del estado base del sistema si se encuen

tra en un campo eléctrico uniforme<^, dirigido a lo largo del eje x.(b) ¿Cuál es la polarizabilidad del sistema?(c) Describir el movimiento del centro de masa del sistema.

Problema 6.Un sistema de dos partículas está descrito por el hamiltoniano,

" - ^ "· I +>'■>(a) Considerando el término gausiano de interacción como per

turbación, obtener la enei^ía del estado base y del primer estado excitado a primer orden.

(b> Lo mismo, pero transformar primero a tas coordenadas clel centro de masa.

(c) Usar la ecuación (Vll-39) para encontrar una cota superior para la corrección a segundo orden de la energía del estado base. Usar el resultado para determinar las condiciones bajo tas cuales el resultado a primer orden es válido.

(d) Suponer que el término de interacción es lo bastante fuerte como para dominar sobre los términos oscilatorios, por lo menos para los estados bajos. Discutir el comportamiento del sistema con tanto detalle como sea posible.

Problema 7. Lo mismo que el Problema 6, pero para partículas idénticas sin espín.

Problema 8. Considerar el hamiltoniano de oscilador armónico acoplado de la ecuación (41) para dos partículas idénticas.

(a) Demostrar que una transformación a las coordenadas del centro de masa lleva a la ecuación (43) y, por lo tanto, a las soluciones dadas en la ecuación (44),

(b) Encontrar las soluciones clásicas al problema y describir los modos normales en los casos límite de interacción débil y fuerte.

(c) Para partículas sin espín, esbozar el espectro correspondiente a la Figura I(a) y a la Figura l(b).

Problema 9. Un sistema de dos partículas sin espín está descrito por el hamiltoniano de oscilador acoplado de la ecuación (41).

(a) Considerando pequeño el término de interacción, usar teoría de perturbación a primer orden para estimar la energía del estado base y del primer estado excitado.

(b) Lo mismo, pero tratando el hamiltoniano como sigue: elevar al cuadrado el término de interacción y reunir términos semejantes. El hamiltoniano resulta,

W = ^ + ^ - kXiXi,

PROBLEMAS 277

donde

Tomar ahora el término {—kXiXi) como ténnino perturbativo.(c) Usar la ecuación {VII-39) para encontrar una cota superior

para la corrección a segundo orden del resultado a primer orden del estado base. Hacerlo para el método perturbativo de la parte (a) o bien de la parte (b) según el que parezca más fácil,

(d) Usar el método de Rayleigh-Ritz para estimar la energía del estado base, usando como función de prueba un producto de gausianas con anchura variable. En todos los casos, comparar los resultados con el resultado exacto dado en el texto.

Problema 10. Considerar tres partículas idénticas descritas por el hamiltoniano de oscilador armónico acoplado a la ecuación (62).

(a) Demostrar que la transformación a las coordenadas normales de la ecuación (63) da como resultado el hamiltoniano de la ecuación (65).

(b) Encontrar las soluciones clásicas al problema y describir los modos normales en los límites de interacción fuerte y débil.


(c) Demostrar que los momentos de la ecuación (68) y ias coordenadas de ia ecuación (63) satisfacen ias relaciones canónicas de conmutación.

(d) Esbozar el espectro de energía para ios límites de interacción fuerte y débil, si« tener en cuenta la simetrización. Dar las degeneraciones de los primeros estados.

(e) ¿Cuáles de estos estados se pueden alcanzar físicamente para partículas sin espín?Problema H , Un sistema de tres partículas idénticas sin espín está descrito por el hamiltoniano de oscilador annónico de la ecuación (62).

(a) Considerando pequeño el término de interacción, estimar la enei^ía del estado base y del primer estado excitado.

(b) Hacer lo mismo, pero elevando al cuadrado los términos deinteracción, reuniendo términos semejantes y tratando la cantidad (— k) (jCiXj + + jcijcs) como el término perturbativo. (Ver el Problema 9(b) ).

(c) Usar la ecuación (VII-39) para encontrar una cota superior para la corrección a segundo orden del resultado a primer orden. Hacerlo para el método perturbativo de la parte (a) o bien de la parte(b), según ei que parezca más fácil.

(d) Usar el método de Rayleigh-Ritz para estimar la energía del estado base, usando como función de prueba un producto de gausianas de anchura variable. En todos los casos, comparar los resultados con los resultados exactos dados en el texto.Problema 12. Cuatro partículas idénticas están descritas por el hamiltoniano.

donde

H = ix,)( -1

(a) Encontrar las autofunciones y energías del sistema, sin tener en cuenta la simetrización.

(b) Dar la degeneración de los cuatro estados más bajos, incluyendo la degeneración de intercambio.

(c) Lo mismo, pero para los estados físicamente realizables de partículas sin espín.

(d) ¿Cuál es el estado base para partículas de espín un medio y cuál su degeneración?

IXMovimiento en tres

dimensiones

i. FORMULACION: MOVIMIENTO DE UNA PARTICULA LIBRE

Hasta aquí se ha considerado únicamente por sencillez el movimiento en una dimensión. A continuación se generalizará el tratamiento a tres dimensiones. No surge ninguna dificultad conceptual, pero los aspectos matemáticos son bastante más complicados.

Al considerar el movimiento de una partícula de masa m en un potencial extemo l^(r), don de r es la posición de la partícula respecto a un origen conveniente, el hamiltoniano para este sistema es,

= ( 1)

donde p es el vector de momento hneal de la partícula. Introduciendo un conjunto de vectores unitarios éj., y ^ lo largo de los ejes de coordenadas, se tiene que,

r = xéj. + yé^ + zé^

. ^ ^ . (2) P = Pxej, + p„e„ +

A menudo es conveniente usar índices numéricos para identificar las componentes de los vectores, y en adelante también se escribirá

la ecuación (2) en la forma equivalente

r = Xié, + Xîêt +

P = P i ^ i +

donde los índices 1, 2 y 3 representarán a las componentes x, y y z respectivamente.

Diferentes componentes espaciales del movimiento representan grados de libertad diferentes, por lo cual conmutan. Las relaciones generales de conmutación se pueden escribir en forma compacta como.

280 MOVIMIENTO EN TRES DIMENSIONES

(Pi. Pj) = Ui. ^j) = Ö

( P i , - ï j ) = y S í j .

(4)

En particular, en el espacio de configuración, las coordenadas son números y

h d h dA Ai

e introduciendo el operador

i dx ’ i dy ’ i dz'

dz'

se escribe brevemente que.A_

P = y V .

(5)

(6)

La función de estado <ír(r, t) = 0{jí, y, z, t) satisface ia ecuación de Schródinger dependiente del tiempo.

donde

Htft = E*¡>, (7)

y donde, en el espacio de configuración, el operador hamiitoniano viene dado por

1

FORMULACION: MOVIMIENTO DE UNA PARTICULA LIBRE 281

O bien, usando (5),

H = - ^ V ^ + V i r ) . (8)

El operador V * se llama operador laplaciano o simplemente el laplaciano, y la ecuación de Schrödinger en el espacio de configuración s© escribe como,

<9,

Las soluciones estacionarias se escriben como,

^ E ( r , t ) =<(>c{r) (1 0 )

y se obtiene inmediatamente la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo,

«ÍTeír) = E»ítE(r). (II)- £ v + , . ( r )

El hecho de que se obtenga una ecuación diferencial parcial y no una ecuación diferencial ordinaria como en una dimensión, refleja el aumento en la complejidad matemática para el problema en tres dimensiones.

Antes de pasar a considerar las soluciones de la ecuación (11), es necesario observar que para funciones de estado normalizadas, es la densidad de probabilidad en el espacio ordinario tridimensional y los valores de expectación se definen como,

donde el símbolo rfV representa al elemento de volumen tridimensional. El flujo de probabilidad o densidad de corriente se defme como

j = ¿ 7 (« f '* V ^ -W * ) , (12)

que es una generalización obvia de la ecuación (VI-95). No et dlfídt comprobar que la probabilidad se conserva.

Finalmente, es conveniente recalcar que las anteriores ecuidOIIN no sólo se aplican al movimiento de una partícula en un potenolll externo, sino también al movimiento relativo de un par de purtíoulu aisladas en interacción (después de separar el movimiento del OintfO de masa). En el último caso, la coordenada r es la distancia enttt iM partículas, Vir) es el potencial de interacción, p su momento nlltllVO y m la masa reducida.

En general, las soluciones de la ecuación (11) son muy complicadas y únicamente se pueden obtener exacta y explícitamente en unos pocos casos. El caso más simple de todos es el de una partícula libre, cuando V(r) es cero. Las soluciones para la partícula libre son precisamente las ondas de de Broglie viajando en alguna dirección y se puede verificar fácilmente que son

«írp(r) = í·'"''"' = exp [ i i p j j c + + p^z) lh]

E = p^l2m,(13)

donde, como lo indica la notación, son estados con el vector de momento lineal p definido. Estos estados tienen una degeneración infinita porque existen un número infinito de orientaciones posibles del vector momento para una energía fíja£.

Los estados de momento lineal forman un conjunto completo, y por lo tanto cualquier función de estado puede expresarse como una superposición de estas funciones. Entonces, se tiene la representación de Fourier en tres dimensiones.

/ ]= / / / í/Pj· ^P» áp: exp [ i i p ^ x + p^y + p , z ) lh ]

o bien, brevemente

— TiTTñf (14)

En esta expresión <Kp> O representa la amplitud de probabilidad en el espacio de momentos, y puede expresarse en función de »/»(r, /) por la inversión

(15)

Entonces, las ecuaciones (14) y (15) son las generalizaciones a tres dimensiones de los resultados en una dimensión.

Como en el caso de una dimensión discutido en el Capítulo IV, la ecuación de Schródinger para la partícula libre se resuelve trivialmente en el espacio de momentos. La función de estado ^ (p , / ) satisface la ecuación diferencial ordinaria.

con la solución general.

(^(p, /) = if>{p, to) exp [- ipHt - to)i2mh].

Este resultado constituye la solución completa en el espacio de momentos al problema del movimiento de un paquete de ondas de par· tícula libre arbitrario. La solución correspondiente en el espacio de configuración se expresa en términos del propagador tridimensional de la partícula Ubre, que es una generalización inmediata de la expresión en una dimensión, dada por la ecuación (IV-13). Los detalles se dejan para los problemas.

POTENCIALES SEPARABLES EN COORDENADAS RECTANGULARES 283

2. POTENCIALES SEPARABLES EN COORDENADAS RECTANGULARES

El problema tridimensional más simple es aquél en el cual el potencial tiene la forma particular

(16)

ya que en este caso la ecuación de Schrödinger es separable en coordenadas rectangulares, como se demuestra a continuación. La ecuación estacionaria de Schrödinger para este potencial tiene la forma

a*+ Vi(x) -H a"

2m dy^ + vAy)

+ VÁi)

y, escribiendo,

se obtiene para cada factor que

h' a*2m dXi + V i ( X i )

Entonces, los estados se pueden expresar como una simple combinación de estados de una dimensión,*

Como primer ejemplo se tomarán los estados que se obtienen en una caja rectangular de lados L „ L 2 y L· respectivamente. Tomando el origen ert una esquina de la caja, para que i/íg se anule en las paredes,

El movimiento de wna partícula libie puede considerarse como el caso particular en »1 cu«1 los potenciales V < son ceio. Observar que los estados estacionarlos pata la partícula libre de la ecuación (13) son precisamente esta composición de estados para una dimensión.

las soluciones estacionarias serían.


V ^ s i n í ^ s i n ^ s i n ^ , « . = 1 , 2 , 3 . . . ,£-2 ^3

donde el volumen de la c^ a y

= £n

Entonces, el espectro es bastante complicado y no tiene regularidades especiales para i i , Lj y La generales.

Para una caja cúbica de lado L el resultado es más simple, ya que en este caso

El estado más bajo se presenta para «i = = «a = I , y su eneigía esE = . El siguiente estado ocurre cuando una de las «,es igual a dos y las demás son iguales. Este estado está degenerado tres veces y su energía es = 2£«. El tercer estado ocurrecuando dos de las n-, son iguales a dos y ia que queda es igual a uno. También está degenerado tres veces y su energía es 3£o. Esta regularidad se rompe con el cuatro estado, que ocurre cuando una de las n¡ es igual a tres y las otras dos igual a la unidad. Este estado tiene energía I lft%^2m£^= WEJ^ , y posee degeneración triple. El quinto estado tiene energía 4 £o y no está degenerado; ocurre para «i = «a = « 3 = 2.E1 sexto estado tiene energía 14£o/3 , su degeneración es séx- tuple y corresponde a las permutaciones de los números cuánticos 1, 2 y 3. Continuando de esta manera, el espectro que se obtiene se muestra en la Figura l.

También tiene interés el considerar condiciones a la frontera periódicas para la c^a cúbica, es decir, que tiene que tomar el mismo valor sobre cualquier par de paredes opuestas de la c^a. Para este caso.

donde.

/ij = 0 , ± t , ± 2 ......... (17)

Calculando el número total de estados N(E) con energía menor o igual a £ , se puede encontrar la densidad de estados p{E) en la mis-

POTENCIALES SEPARABLES EN COORDENADAS RECTANGULARES 285

Energía Números cuánticos (miKíH,) Degeneración

6£oI7f,/3

14f„/3

4£„ 11 £0/3

3£,

2E,

4 1 1 , 4 1 4 , 1 4 4

3 2 2 , 2 3 2 , 2 2 3

3 2 1 , 3 1 2 , 2 3 1 , 2 1 3 , 1 2 3 , 1 3 2 6

222

3 1 1 , 1 3 1 , 1 1 3

2 2 1 ,21 2 ,1 2 2

2 1 1 ,121,112

III

O LFigura Energías, numeres cuánticos y degeneraciones de los estados de una partícula en una caja cúbica de lado L. La energía ¿i del estado base es 2mL .

ma forma que se procedió para una dimensión. No es difícul demostrar que.

mP ( E ) - ¡ ^ y V É .

que es un resultado muy simple y muy importante.

(18)

Ejercicio 1.(a) Obtener la ecuación (18).(b) Construir una figura análoga a la Figura 1 para los estados

de la ecuación (17).

Como segundo ejemplo se considerará el oscilador armónico tridimensional e isotrópico que se describe por el potencial

y ir) ^ mw‘(x' + y* + 2®).

Este potencial tiene la forma de la ecuación (16) y las soluciones estacionarias de la ecuación de Schrödinger se pueden expresar como.

£«,B,n.= («1 + «2 + «3 + I ) fttó (19)

donde »í<„j(A-j) es la función de estado estacionaria del oscilador arnió- nico en una dimensión. El estado base, con eneigía 3ftw/2 , no está degenerado, pero el resto de los estados lo están, creciendo a) crecer su energía. Por ejemplo, el primer estado excitado tiene energía 5Aü) /2 y degeneración triple (una Wj puede ser uno y las otras dos cero) el segundo estado excitado tiene energía 7 /2 ftw y la degeneración es séxtuple una «j puede ser dos y las otras pueden tomar el valor dos, o bien, dos pueden valer uno y la que queda valer cero. Se puede demostrar que el estado de energía (n -l- 3/2)í<.i está degenerado [(« + 1) (« -I- 2)/2] veces, o sea el número de veces quen se puede expresar como la suma de tres enteros no n a t iv o s .

Ejercicio 2. Demostrar que el estado del oscilador armónico tridimensional con energía (n -i- 3 /2 )Aíu tiene degeneración [(« -t-1)(« -l- 2)/2]

3. POTENCIALES CENTRALES; ESTADOS DE MOMENTO ANGULAR

A continuación se considerará el caso importante del movimiento en un potencial esféricamente simétrico, como es el caso del potencial culombiano entre cargas puntuales o del potencial gravitatorio entre masas puntuales. Estos potenciales dependen únicamente de la magnitud del radiovector a un punto fijo, el cual se tomará como origen. Para describir el movimiento en un potencial de este tipo, es conveniente introducir coordenadas en féricas r, $ , ^ , que se definen como sigue. Si se considera un punto P de coordenadas x, y, z en un sistema rectangular derecho, el vector de desplazamiento de este punto P respecto al origen es

T = éxX + éuy + é¡z,

donde y son vectores unitarios a lo largo de los ejesx, y, zrespectivamente. Como se ilustra en la Figura 2, 0 se define como el ángulo entre r y el eje z, y (í> se define como el ángulo formado por la proyección del vector r en el plano jc-y y el eje x midiendo este ángulo en el sentido de las manecillas de un reloj si se mira hacia la parte positiva del eje z. El ángulo if> varía de cero a 27t y de cero a tt . La coordenada radial r es la magnitud de r y varía de cero a infinito.

POTENCIALES CENTRALES; ESTADOS DE MOMENTO ANGULAR 2«7

F i g u r e 2. Spherical coordinate system.

De la Figura 2 se obtienen las relaciones entre las coordenadas rectangulares de í* y sus coordenadas esféricas. El resultado es,

JC = r sentì cos <f>

y ^ r sentì sin <f>

z = r eos $

r =

tan <}> - ylx

eos » = zlVx^ + y^ + zK

(20)

El sistema de coordenadas definido de esta manera es ortogonal, y se puede demostrar que el elemento de volumen es,

dr sentì dtì d<{>.

El elemento de área sobre la esfera unidad o ángulo sólido, simbolizado por d í l , será

. sentì d<t>,

por lo cual,

é^r = r" dr dSi.

Y la ecuación de Schrödinger

ÈL2m Eifi£

(21)

(22)

(2Î)

se puede escribir en coordenadas esféricas, expresando el opertdorl^ placíano en estas coordenadas. De la ecuación (20) M obtltMque,

d + ■ x z

dx dx dr dx de dx di)) r dr risentì d6

2 8 8 MOVIMIENTO EN TRES DIMENSIONES

, a , eos 0 eos <í» a sen a= sentì CCS fp — + — —---- ^ ^ ---------^ t t ,5r r atì r seny expresiones análogas para a/Sy y para Recordando que,

y sustituyendo las expresiones anteriores, la ecuación (23) resulta ser

1- A i r i A + - J — ± fsin .

Imlr^ di- \ dr } send \ dB } r*sen 6 a<í>

+ = (24)

que es la ecuación de Schródinger en coordenadas esféricas.® A pesar de su apariencia complicada, esta ecuación es separable como se demostrará a continuación.

Se empieza por separar las coordenadas radial y rectangular escribiendo

M r , <f, 4^) = R { r ) Y ( B , <(>).

Se multiplica por-2/íi/^/fi* y se obtiene,

1 d . 1

(25)

sene ^ ( s e n e ^ ) - H90 \ A$/ - = -j3 (26)

(27)

sen' e

donde jS es la constante de separación. De estas ecuaciones, se puede separar la primera si se escribe,

Y{0,,}>} = e{em4>).

y se multiplica por sen^ 0, obteniéndose,

14> , - a ‘ (28)

(29)

donde a* es la segunda constante de separación. Es necesario recalcar el hecho de que las ecuaciones angulares son independientes del

’ Pata la obtención de expiesiones del operador laplaoiano en sistemas de coordenadas curvilíneas, vei la Referencia [7].

potencial V(r) y de la energia E. Entonces, las funciones angulares son funciones universales que aparecerán para cualquier potencial central y resulta que, como se demostrará en un momento, la ecuación (26) define estados de momento angular definido. Aceptando temporalmente esta afirmación y recordando que el momento angular es una constante de movimiento para un potencial central, este resultado no es sorprendente. Unicamente expresa el hecho de que los estados en un potencial central dependen de un conjunto universal de funciones que caracterizan a los estados de momento angular del sistema.

Como se afirmó, se demostrará que la ecuación (26) define estados de momento angular definido. Hay que recordar que, respecto a algún punto fgo que se tomará como origen, el momento angular clásico L se define como,

L = r x p . (30)Cuánticamente, L se considera como la misma función de las va

riables dinámicas cuánticas y, por lo tanto, es un operador vectorial. En el espacio de configuración sus componentes rectangulares son.

POTENCULES CENTRALES; ESTADOS DE MOMENTO ANGULAR 2 8 9

í-í = iypz - zPv) = l dy) (31)

h ,( Ò d \dx dz) (32)

_ h ( 5i V - ^ T x ) ' (33)U = (jfpi, - yPi

No es difícil demostrar que en coordenadas esféricas estas componentes rectangulares resultan ser

L , - - f ( s e n * ^ + c M « c o s 4 , i

= t A .^ i 34>

y por lo tanto,

sen 6 de....... d$ ' sen“ ù .

Entonces, la ecuación (26) es equivalente a

(34)

(35)

(36)

(37)

U Y = ^ h ^ Y (38)

y, como se quería demostrar, Y define un estado cuy3. magnitud del momento angular tiene un valor definido, precisamente V jS ft. La discusión detallada del momento angular y de sus propiedades se pospondrá hasta el Capítulo X, Sin embargo, antes de seguir adelante,es conveniente examinar brevemente la orientación del vector de momento angular. Ya que = (ft//)a/3<^, la ecuación (28) es equivalen* te a

= (39)

Este resultado significa que Y = G<1> también es una autofunción de Lz con autovalor ah. Entonces, los estados Y de momento angular son estados para los cuales la magnitud del vector del momento angular y su proyección sobre el eje z están fijas, determinando j8 la magnitud y a la proyección

Debido al análisis anterior, la forma del laplaciano en coordenadas esféricas, y como consecuencia ta del operador de la energía cinética, resulta ser


_ h'2m 2m 2m

donde tiene la forma (37). Se puede dar una derivación directa e instructiva de este resultado, derivación en la cual el momento angular aparece desde el principio y no hasta el final en forma misteriosa. Para ello se parte de la identidad vectorial

(A X B) · (C X D) = (A*C)(B*D) - ( A * D ) ( B · C) , (41)

que se comprueba fácilmente escribiendo los cuatro vectores en componentes rectangulares y expresando cada lado explícitamente.

En esta identidad vectorial se hace la identificaciónA = C = r ,

B = D = p .

y para el caso clásico resulta que,

= ( r · p ) ^ (43)

Al multiplicar por (l/2mr^) se obtiene una expresión parecida a la ecuación (40). La ecuación (42) también se puede aplicar a la mecánica cuántica, si se mantiene el orden de los operadores r y p que no

* Como se verá más adelante resulta que la orienlación del vector del momento angular no se puede especificar con mayor precisión cuánticamente, y esta falta de precisión no es mas que una manifestación del principio de inoertidumbre.

POTENCIALES CENTRALES; ESTADOS DE MOMENTO ANGULAR Ifl

conmutan. Al escoger el orden ABCD resulta la ecuación vectork(r X p)^ = que se puede escribir como

^ 2 ^iPsXiPs- S -

f.j i.j

donde los términos de la derecha se han escrito en componente» lec tangulares manteniendo el orden. Usando la relación de conmutación

PjjCí = jTjPj + J 8,j,

de la primera suma se obtiene

Y ^ X i P i X i P i = X x ? p ¡ ^ + 7 E ^iP> i . j i . í ' i . j

h

y de la segunda= r V + j r * p ,

3As X iP )X jP i = 2 ^ i ^ í P i P i + r · Pí, j i , i

ih

Entonces,

= yXiP¡XiPi + ^ T » p i.j '

= ( r · p)= + ^ r · p .

U = f ipi - ( r . p ) 2 _ _ ( r · p ) , {AA

que difiere del resultado clásico únicamente por el término piO|Ü cional a fi. Como paso final se observa que, ,;f ín

( r · p ) ^ + 7 ( r · p ) = -

Por consiguiente, al multiplicar la ecuación <44) por la izquierda p( j/r* y despejar se obtiene la expresión

(4!

que se reconoce como la ecuación (40) excepto por el factor comú l/2m . El primer término en la ecuación (45) se reconoce como (

da (£), momento angular (/) y componente z del momento angular í'm).

Antes de considerar las soluciones de la ecuación (49) para potenciales particulares, es necesario señalar algunas propiedades generales de los estados estacionarios. La primera observación se refiere a la degeneración de los estados. La función Rei depende de l pero no de m. Entonces, para cada valor permitido de m para una l dada, se obtiene una autofunción que corresponde a la misma energía. Ya que m puede tomar valores enteros de-/ a /, existen{2/ + Dvalores de m y, por lo tanto, los estados en un potencial central están degenerados (2/ + 1) veces. El número m mide la proyección de L sobre el eje z y está determinado principalmente por la orientación del vector de momento angular. La degeneración en cuestión es consecuencia del hecho de que el hamiltoniano es independiente de esta orientación cuando el potencial es esféricamente simétrico.

La segunda observación se refiere a la paridad de los estados. Como se recordará, el operador de paridad cambia el signo de todas las coordenadas. Entonces, por defínición, para /arb itraria,

P f U , y , x ) ~ y , - z ) .

Recurriendo a la ecuación (20) o a la Figura 1, se obtiene que en coordenadas esféricas,

y en particular

e, <í>)=Rm{r) Y r i w - 0,<f>±'rr).

Recordando que Pî^) es una función par o impar de eos $ según que (/ - tm|) sea par o impar, se concluye que / ’ "{#) tiene paridad (_ y ej factor en , tiene paridad ( - I ) " . Entonces,

PÊ,n.ir, e, 4>) = 0, ,f>), (51)

y los estados tienen paridad definida. La paridad es par o impar, según que l sea par o impar, y no depende en absoluto de m.

Finalmente, se puede señalar la relación entre la ecuación radial (49) y la ecuanción para estados estacionarios en una dimensión. Si se toma la combinación del potencial y{r) más el término centrífugo / ( / + IWIlmr^como equivalente al potencial efectivo

í>(r) = V{r) + i ( i + m Îmr^ ’ (52)

entonces, la ecuación radial tiene un parecido muy estrecho con el movimiento en una dimensión. Este parecido es más estrecho si la

POTENCÍALES CENTRALES; ESTADOS DE MOMENTO ANGULAR Í íS

parte radial de la función onda Rg¡ se escribe en la forma

R . M

que sustituida en la ecuación (49) da como resultado

(53)

Im dr^ V{r) + ft^/(/+ 1)1 2mr^ Uei — EUei , (54)

Esta expresión es más simple que la ecuación (49) y, lo que es más importante, es idéntica en la forma a la ecuación estacionaria de Schrödinger en una dimensión para el movimiento en el potencial efectivo V. Sin embaído, la ecuación (54) tiene significado únicamente para valores positivos de la coordenada r y, además si Ä£i(r) está acostada en el origen, entonces, de acuerdo con la ecuación (53) se tiene que

«^,{r = 0 ) = 0 . (55)De este resultado se concluye que las soluciones de la ecuación

radial son las mismas que las soluciones para estados impares del problema en una dimensión en el potencial simétrico P = V^dx!) + ft*/ (/4-l)/jc*, ya que estos estados impares se anulan en el origen. En una dimensión, los estados pares no satisfacen la ecuación (55) y por lo tanto no aparecen en el espectro. En consecuencia, todas las técnicas que se usaron en una dimensión, se pueden aplicar al movimiento en tres dimensiones. Además, para una l dada, los estados radiales son únicos; existe una y sólo una autofunción radial

Figura 3. Gráfica del potencial radial efectivo K{r) + /(/ + I)íl*/2mr*part los primeros valores de (, en el caso de un potencial repulsivo. Sólo aparecen citados continuos de energía positiva E. Para E dada, ocurre uno de estos estados para cada valor de í.

296 MOVIMIENTO EN TRES DÍMENSIONES

simultánea de £ y / para estados continuos como para estados ligados. Sin embargo, siempre se pueden encontrar en el continuo autoestados de cualquier energía para todo valor de /, por lo cual, los estados continuos en tres dimensiones tienen degeneración infinita que corresponde al conjunto infinito de valores de /. Además, puede ocurrir que en la parte discreta del espectro, estados de l diferente tengan la misma eneigía. La degeneración introducida de esta manera, que se suma a la degeneración intrínseca de (2/ -l- 1 ) discutida anteriormente para cada estado de / dada, se llama generalmente degeneración accidental Esta nomenclatura en ocasiones es inapropiada, ya que este tipo de degeneración no siempre es accidental sino consecuencia de simetrías adicionales en el hamiltoniano que se añaden a la simetría esférica que se ha supuesto para V(r). Más adelante se presentarán algunos ejemplos que ilustren este comportamiento.

Las observaciones anteriores se pueden aclarar observando las figuras. La Figura 3 muestra el efecto del potencial centrífugo cuando V(r) es repulsivo en todas partes. Cuando / crece, eí potencial efectivo se vuelve más repulsivo y el espectro consiste exclusivamente de estados continuos con energía positiva. Para cualquier energía positiva dada, existe un estado radial para cada valor de /. En la Figura 4

Figura 4 . Gráfica del potendal radial efectivo V = V (r) + /( / + l)A^/2mr*para los primeros valores de 7, en el caso de un potencial atractivo. Para energías positivas como E„ el espectro es continuo para toda /, El espectro es discreto para valores de / que corresponden a estados ligados de energía negativa, tales comoE,.

ALGUNOS EJEMPLOS m

se presenta el caso más complicado e interesante de un potendll atractivo. Para energías positivas la situación es la misma que p8I· potenciales repulsivos; el espectro es continuo para todo valor de /. El espectro de los estados ligados con energía negativa y discreta dfr* penden, naturalmente, del comportamiento detallado del potencial y ir). En el ejemplo ilustrado estos estados pueden existir para valores de l iguales a O, 1 y 2, pero para / ^ 3 no existen estados ligado debido a que V es repulsivo para tales estados. El estado ligado más bajo para una Ì dada, no tiene nodos radiales, el primer estado excitado tiene uno y así sucesivamente.

Este comportamiento se ilustra en la Figura 5, mostrando el espectro para / == O y / = 1. En el ejemplo escogido, el cual corresponde a un potencial de corto alcance y poco profundo, resulta que existen tres estados con / = O y dos con / = 1. Cuando el potencial es profundo y de alcance lai^o, como el potencial culombiano, resulta que para cada 1 existe un número infinito de estados ligados discretos. Este problema se estudiará más adelante.

F ^ r a 5. Estados discretos para / = O y / = 1 en ei potencial atractivo d« la W gura 4 . En el jem p lo mostrado existen tres estados Ugados para / = O y do· p ·^ / = 1. La función radial Uei = riíei también se muestra para cada estado. S l u n a de las energías permitidas para l = 1 coincide con una de las enei^íai p i l l / = O, se tendría un ejemplo de degeneración accidental. Como se sefUló en «1 texto , estas degeneraciones se presentan com o consecuencia de las piopledadei de simetría del hamiltoniano.

4. ALGUNOS EJEMPLOS

Para ilustrar el movimiento en potenciales esféricamente simétricos se puéden considerar algunos ejemplos.

(a) Estados esféricamente simétricos (/ = 0). Para estados esféricamente simétricos, o sea, estados con / = O y por lo tanto con momento angular cero, la ecuación (54) se reduce a

+ y(>·) Mfio= Etten,2m dr^

donde M£*(r) satisface la condición a la frontera,

= = 0 .

Este problema es exactamente equivalente al de encontrar los estados impares que caracterizan al movimiento en una dimensión correspondiente al potencial simétrico

= Vir).

La situación es simple debido a la ausencia de complicaciones asociadas con el potencial centrífugo.

Como primer ejemplo se puede considerar el caso de un pozo de potencial esférico. Este ejemplo es muy importante porque proporciona una descripción bastante buena de la interacción de corto alcance entre el neutrón y el protón en el deuterón. Este potencial se describe como

y i r ) = - V ü ,

K ( r ) = 0 .

r < a

r > a.

Y el potencial correspondiente en una dimensión es

v ( x ) = - y ^ , !x| ^ a

= 0 , |jc| > «,

o sea un pozo cuadrado simétrico de anchura 2a. En el Capítulo VI se consideró este problema en detalle y, entre otros resultados, se encontró que se presentan estados ligados cuando

2ma^

Resulta que el deuterón tiene sólo un estado ligado y está débilmente ligado. Entonces, V<, excede a este valor por una cantidad muy pa- queña. Se sabe que el alcance de las fuerzas nucleares es de 1.9 x 10"*® aproximadamente. Si se acepta este valor para a, la profundidad del potencial se puede estimar y resulta ser alrededor de 40 Mev. Es interesante hacer notar que un ejemplo tan simple proporciona el primer valor confiable para la intensidad de las fuerías nucleares.

(b) Oscilador armónico. Como segundo ejemplo se considerará el oscilador tridimensional isotrópico. Este probiema se estudió en coordenadas rectangulares pero es instructivo volver a examinar el

problema en coordenadas esféricas. Los estados / = O son los estadOI impares del oscilador aimónìco en una dimensión y tienen enerj|íi· 3ñ(t>/2 , Ihoiíl , \\h<a¡2 , y así sucesivamente. También se encontró que el espectro completo del oscilador tridimensional se podía expresar como,

E„ = (n + 3 /2 )ftw ,

donde el estado n-ésimo estaba degenerado [(« + 2)(« + l)/2]- veces. Entonces, el estado n-ésimo contiene entre sus [ (n -I- 2) (n -f- l ) / 2 ] miembros, exactamente un estado esféricamente simétrico si n es par y ninguno si n es impar. Es posible demostrar que los estados de momento angular más altos aparecen en el espectro en la forma siguiente: pa ra / = 1, las energías permitidas son, 5/2 ftw, 9/2 Äw,...;para / = 2, las energías permitidas son 7 ft<tf/2, U fia»/2,..;y así sucesivamente. En general, para un momento angular /, las enei^ías permitidas son, (/+3/2)A(y (/-i-2-f3/2) ftw,(/-I-4 3 / 2 ) Dicho de otra manera, los miembros que pertenecen al estado de energía n-ésimo son los estados de momento angular / = «, « ~ 2, n -4 ,..., hasta l — O para n par y hasta / = 1 para n impar.

El espectro, clasificado de acuerdo al momento angular, se muestra en la Figura 6. La degeneración de cada estado en este esquema se puede obtener notando que un estado de momento angular l está degenerado (2/ -i- 1) veces. Así, el estado base con / = O no está degenerado, el primer estado excitado con l = I está degenerado tres veces, el segundo estado excitado que contiene a un estado no degenerado con / = O y a un estado con 1=2 degenerado cinco veces, en total, está degenerado seis veces, y así se prosigue. La presencia constante de estas degeneraciones entre estados de diferentes valores de / es un ejemplo excelente de “degeneración accidental” que no es accidental. Estas degeneraciones se presentan debido a la estructura pai^ ticular del potencial para el oscilador armónico isotrópíco, por lo cual la eoiación de Schrödinger resulta separable en coordenadas rectangulares y esféricas.

Ejercicio 3. Verificar que los estados del oscilador que corresponden a la energía = 5ftw/2 son estados con / = 1. Hacerlo, demostrando que

•í>m±í><.io = / ( r ) r r ' ( e , <#.)

<í-ooi=/{/-)K,«(0, 0 ) ,

donde y ,z )s e define en la ecuaci6n(19). Id e n tif ic a rlo y

ALGUNOS EJEMPLOS


por sustitución verificar que satisface la ecuación de Schrödinger radial.

Degeneración

Figuni 6 . Estados del oscflador armónico tridimensional clasificados de acuerdo con ei m omento angular. También se indica la degeneración de cada estado.

(c) Movimiento de una partícula Hbre. Los estados de una partícula Ubre en coordenadas rectangulares ya se discutieron anteriormente encontrándose que son autofunciones simultáneas del hamiltoniano y del momento lineal. Sin embargo, en coordenadas esféricas se obtuvieron estados que son autofunciones simultáneas de H y del momento angular, es decir, tienen valores definidos de £ , / y m. Las funciones radiales son soluciones de la ecuación (49) con V{r) igual a cero. Satisfacen la ecuación

1 d ( dR^Ä d r \ dr }

/ ( / + 1)

donde

k^=2m£lh^.

(56)

(57)

Estas soluciones también pueden obtenerse de la ecuación (54) que, para una partícula líbre, pueden escribirse en la forma

Ei+ (58)

donde tiEt = rREi Para el caso / = 0 y recordando que «^((r) tiene que anularse en

el origen, de la ecuación (58) se obtiene que

« £ 0 ~ sen kr

y por lo tanto,

„ senA:r

Para / diferente de cero la situación es más complicada, pero resulta que las soluciones de la ecuación (56) son un coiyunto de funciones muy bien estudiadas que se pueden definir como sigue:

© ' ( I

La función ji(kr) se llam a/unció« de Bessel esférica de orden /. En términos de estas funciones excepto por una constante multiplicativa, los estados radiales de la partícula libre son

ALGUNOS EJEMPLOS 301

ReM =J(i.kr), k = VlmEíh, (60)

que claramente se reduce a la solución correcta para / = O . No es difícil demostrar que las funciones definidas por la ecuación (59) son soluciones de la ecuación (46) para valores generales de /

‘ Se puede constmii una demostración simple por inducción en la fonna siguiente. La ecuación (59) es totalmente equivalente a la relación de recurrencia

-•‘''-(reí) (59a)

que expresa Á+i en términos de j | . La equivalencia se establece partiendo de la expresión conocida para / , y aplicando la relación de recurrencia t veces. Pata demostrar que Ja ecuación (59) define ü s soluciones de la ecuación (56), es sufíciente demostrar que si jV, es una solución p ^ a /= /» , entonces, el miembro derecho de la ecuación (59a) necesariamente es una sohidón para f + 1. Para este propósito se define

Siikr)

en términos del cual la ecuación (59a) resulta ser

(59b)

Entonces, se ha demostrado que el miembro derecho de la ecuadón (59b) satisface la misma ecuadón diferencial que el miembro izquierdo, de donde se sigue el resultado.

Como orientación, se puede señalar que la ecuadón (56) es una forma de la eoiación de Bessel Se puede demostrar que

JííftO “ ikr) ,

donde Jy<kr) es una función de Bessel ordinaria (cilindrica) de orden v. Para una dlscudón de las fundones Bessel ver las Referencias [ t ] a f5].

liiál


De la ecuación (59), las primeras funciones de Bessel esféricas son,

sen krjoikr)

hikr) =

j2Íkr) =

kr

s&n kr eos kr(kry

[ ikry

kr

£ 1 kr

(61)

s e n / : r - | ^ eos kr.

y son suficientes para ilustrar la estructura general de estas funciones como polinomios en (l/Ar) multiplicando funciones trigonométricas. De la ecuación (59) es fácil obtener explícitamente el comportamiento de M kr) cuando r es muy pequeño y también cuando r es muy grande. En el primer caso, desarrollando (sen kr)/kr en serie de potencias en kr, el primer ténnino que contribuye en esta serie es (kr)^ y por lo tanto,

2' /!(21+ 1)! ikr)‘ (62)

En el último caso, el término dominante es el término inversamente proporcional a/·, y se encuentra que,

Ji(kr) s e n j k r - ln/2) kr (63)

Entonces, las soluciones a distancias grandes del origen son ondas esféricas. Sin embargo, cerca del origen la barrera centrífuga domina y la función de onda disminuye cuando l crece.

Ejercicio 4. Obtener las ecuaciones (62) y (63) de la ecuación (59).

Como ejemplo de estados de una partícula libre con momento angular definido, se pueden considerar los estados de una partícula confinada en una caja esférica de radio a. La función de onda tiene que anularse en las paredes de la esfera, por lo cual, el espectro de las energías permitidas se determina por las ecuaciones trascendentes

Mka)=0, / = 0 ,1 ,2 , . . ..

Para / = O, de la ecuación (61) se obtiene que esta expresión se reduce a sen fea = O, lo que significa que ka es un múltiplo entero de tt. Para / = 1 la situación no es tan simple pues se tiene que resolver numéricamente la ecuación tan ka = ka.

Evidentemente, las ecuaciones resultan cada vez más complicadas al crecer /, y no se discutirán en este texto.

Falta por discutir un aspecto muy interesante e importante de estos resultados. En la Sección 1 se encontró que tos estados estacionarios de una partícula libre se pueden escribir como ondas de de Broglie expresadas por la ecuación (13) con vector de momento p , orientado arbitrariamente pero definido. Al escribir

p = kkñp,donde es un vector unitario a lo largo de p, la ecuación (13) resulta ser,

(64)Sin embaído, se acaba de demostrar que para cualquier / y m,

>l>Ei«=Mkr)Yrie,<l>) (65)

es también üna función de estado para la partícula libre con la misma eneigía. Estas dos representaciones son complementarias; la primera describe estados estacionarios con momento lineal bien definido pero momento angular mal definido y la segunda, describe estados con momento angular bien definido pero con momento lineal mal definido. Clásicamente ambos estados de la partícula libre están definidos con precisión. En mecánica cuántica el resultado se presenta en forma diferente como consecuencia directa de la no conmutatívidad de ios operadores del momento lineal y angular.

Las representaciones de las ecuaciones (64) y (65) son completas en el sentido de que un estado arbitrario de la partícula libre con energía E se puede expresar como una superposición de cualquiera de ellas. Entonces, cada una se puede expresar en términos de la otra. Usando las propiedades comunes de los armónicos esféricos y de las funciones de Bessel, se puede demostrar® que

4»p(r) = 477 2 (ÍÍP, 0, <^), (66)

donde y definen la orientación angular de p de la misma manera que e y <t> definen la orientación de r . En vista de la ortonormalidad de los armónicos esféricos, también se puede obtener,

0,4>) = j 0p)iAp(r) díl„, (67)

donde díl^~ sen'^p rftfp es el elemento de ángulo sólido entorno at vector unitario «p que define la dirección de p. Para una energía* Fui b obtMción ds U «cuición (66) w puede conniltai, pot templo, taRefeiencii (22), Capítulo DC, Stoolon 9.

ALGUNOS EJEMPLOS m

detemiinada, la ecuación (66) expresa un estado de momento lineal p como superposición de todos los estados de momento angular, y la ecuación (67) expresa un estado de momento angular definido como la superposición de todas las orientaciones del momento lineal

Un caso especial y muy importante de la ecuación (66) se presenta cuando ñp se encuentra a lo largo del eje z, el eje polar del sistema de coordenadas esféricas, o sea «p = O . Ya que.


substituyendo las formas explícitas de y de se obtiene que

= 2 ''(2/ + 1 ) Mkr) P, (eos $) , (68)í=0

donde se ha hecho uso de la ecuación (47),

Y r ^ = Poicos 6).

con Pi (costì) el polinomio de Legendre ordinario. Debido a que se ha escogido el momento lineal a lo largo del eje z, la componente z del momento angular es cero y se obtiene que la superposición de la ecuación (51 ) contiene solamente estados con m igual a cero.

5. EL ATOMO DE HIDROGENO

En lo que queda del capítulo se obtendrán los estados estacionarios de un sistema que consiste de un solo electrón y un núcleo atómico solamente con la interacción electrostática. Llamando e a la carga electrónica y considerando un núcleo de número atómico Z y por lo tanto de carga Ze, el potencial electrostático será.

Para Z = 1 este sistema es el átomo de hidrógeno, para Z = 2 es el helio ionizado una vez, para Z = 3 es el litio ionizado dos veces, y asi sucesivamente. Estos sistemas se llaman hidrogénicos debido a su similitud con el átomo de hidrógeno. Es necesario señalar que se ha escrito el potencial culombiano correspondiente a un núcleo puntual de carga, siendo una aproximación excelente en la escala de distan* cias atómicas.

EL ATOMO DE HIDROGENO 305

Para un estado de momento angular l es necesario resolver la ecuación radial,

EL + Ze* / ( /+ f Ue, — EUeí .

I m ár^

En esta expresión m es la masa reducida del sistema dada por

(69)

m

donde es la masa del electrón y m„ la masa del núcleo. La masa m difiere de la masa en menos de una parte por mil, y las mediciones del espectro atómico son tan precisas que pueden detectar el efecto de la masa reducida.

Es conveniente usar una coordenada sin dimensiones y y una ene^ gía de ligadura sin dimensiones W escribiendo,

r =meí y

E = -me“Ih^

(70)W,

y la ecuación (52) toma la forma más sencilla.

dy"Mi _

(71). y*

siendo ésta la ecuación que se resolverá por el método de series de potencias. Se observa que para valores suficientemente grandes de y, el paréntesis en la ecuación (71) difiere ligeramente de W. Entoncei, el comportamiento asintótico de ue, está dominado por el factorex- ponencial Físicamente sólo es válido el signo negativo, por locual,

M.í=v„(y)

Substituyendo en la ecuación (71) se obtiene.

dy^dv.E l

d y

/ ( / + [) 2Z»'e( = 0.

(72)

(73)

Ahora, se necesita determinar el comportamiento de Vgi cerca del orÍ* gen. Con este propósito se escribe,

Vei - f -

y substituyendo en la ecuación (73) se obtiene que,

J( .v - i)y>-^-2V¡V s r - ^ - l { l + l ) r -* + 2Zy*-' = 0

o bien,


5(5 - 1) - í ( / + l) + 2>(Z - VÍF) = 0.

El último ténnino es despreciable cuando y es pequeña, por lo cual s es tal que,

5 ( s - l ) = / ( / + l )

o bien,

j = / + I, — l.

Ya que Vei tiene que estar acotada en el orfeen, únicamente está permitido el primero y se tiene que.

Por lo tanto, se busca una solución en serie de potencias de la forma.

(74)

que al sustituir en la ecuación (73) resulta

- I V W 2 c j q + l+ l ) r+ '<í=0

- ' ¿ € ^ { 1 + l)y’'*>-* + 2 Z '2 C y'‘*> = 0 fl=0 «-0

y reuniendo términos se puede escribir que,

¿ (2 /+ i) ]y ^ '- ‘ = 2 y c^[Vw{q + i+ i) - z ] y * ‘.0 - 0

Igualando los coeficientes de las mismas potencias de y, se obtiene inmediatamente que,

V i y ( , + t + i ) - zU i + t ) ( g - m + 2 ) '·■t‘a+1 (75)

Esta fórmula de recurrencia permite la determinación sucesiva de todos los coeficientes del desarrollo en términos Co , que es una constante multiplicativa arbitraria, y proporciona una solución de la ecuación de Schrödinger como serie de potencias. Además, el comportamiento correcto de esta solución en el origen está garantizado, pero todavía se tiene que examinar su comportamiento en infinito, el cual está determinado por las propiedades de la serie para q grande. De la ecuación (75) se obtiene que.

EL ATOMO DE HIDROGENO

t». 2VW£ a ± i _C , q

Esta razón es la misma que la obtenida para los términos sucesivo· en el desarrollo de la función exponencial y, por lo tanto, para > v«í está dominada por el factor exponencia! . Significa que Uei = divelle en infinito como y la solución general noes admisible físicamente.

Este comportamiento no resulta ser una sorpresa ya que, como ae demostró anteriormente, Um se comporta en infinito como Entonces, cualquier solución general consiste de una combinación 11" neal de exponenciales crecientes y decrecientes y, necesariamente, la exponencial creciente domina como ya se ha encontrado. Esta dificultad se puede eliminar si la serie se trunca, lo cual significa que e». y todos los coeficientes c, siguientes se anulan. Se obtendrá este resultado si W es tal que,

V w = Zl{n' + l),

o sea, que la energía de ligadura dei átomo es tal que.

n'í in' + i y ' « ' = 1 , 2 , 3 ......... (76)

el cual define el espectro de los estados ligados discretos. El número n 'n o puede tomar el valor cero ya que la función de onda es idénticamente cero si Cq se anula.

Para valores dados de « ' y /, según la ecuación (74), vei es un polí· nomio de grado « ' - 1 multiplicado por el factor y . Estos polinCf* mios se conocen como los polinomios asociados de Laguerre^ y lé simbolizan por . Para poderlos escribir en forma compacta M 'introduce primero el polinomio de Laguerre ordinario ¿*(^), definido por

= (77)

Entonces, el polinomio asociado de Laguerre se expresa como,

= U iz ) . (78)

De estas expresiones se observa que í-*(z) es un polinomio de grado fc en c y un polinomio de grado k - q t n z . Se puede obtener otra’ L u propiedad«· de los potinomiog se discuten en las Referencias [ 1 ] a [5 ].

expresión para estos polinomios en términos de una función generadora apropiada; se puede demostrar que,

l - s fc=0 ·y por la ecuación (78),

i - T ^ )

Finalmente, se puede demostrar que,

í - c » - [ U - { z ) Y d z = i 2 k + \ - q ) ( / _ ^ ) ¡ ·

En términos de estos polinomios, resulta que,

(2yV Kv;),

y no es difícil verificar, por sustitución directa, que esta expresión es una solución de la ecuación (68). De la ecuación (72) la función de onda radial se puede expresar como,

(79)

(80)

Rm = ’f = y' (2yVÍÍVí) (8t)

y usando (80), los estados estacionarios normalizados son,

' • ' c u , 0 ) , (82)— <n'(

donde

.(«' + Oa®.

p z ( r t ' + / ) '3 / 1

r ( « ' - ! ) ! 1V i

« 0 L 2 ( « ' + / ) t ( ^ ' + 2 0 ! ] ® J(83)

y donde, al expresar y en ténninos de r, se ha introducido el radio de Bohr üa, definido por,

«0 = me^ 0.53 X I0-» cm.

Según las ecuaciones (70) y (76), la energía de estos estados es

Z V 1E = ~ 2ao («' + /)“’

« ' = 1,2---/ = 0 , 1 , 2 ..........

(84)

(85)

Se observa que la energía depende solamente de la suma del número cuántico radial n ' y del número cuántico Ì del momento angular. Es

conveniente y usual introducir ahora eí número cuántico prütcipaln definido por

n = n' + l, (86)en términos dei cual,

72 ,2

que es la fórmula familiar de Bohr.* La función de estado tambiénpuede expresarse en términos del número cuántico principal obteniéndose.

EL ATOMO DE HIDROGENO 309

(ÌI)' · <**>donde

n { n - l - 1)’.I «o ) 2n[{n + l)]r¡

112,(89)

Es importante recordar que, de acuerdo con la ecuación (68), para una / dada, n puede tomar únicamente los valores / + 1, / -i- 2,..., y para una n dada / únicamente puede tomar los valores n — \ ,n - 2,.,,0. Las primeras funciones de estado normalizadas se escriben a continuación;

/ 7 \3/2 7^J. = I \ -Zrf20ú Y m, E- 1

£ 9 = -4

La degeneración de los estados se puede encontrar en la forma siguiente. Para un número cuántico principal n y para una energía de ligadura / puede tomar todos los valores desde cero hasta n — l. Para cada valor de l existe una degeneración {2/ -t- 1) y por lo tanto N, el número total de estados con energía E „, es

N = "¿ ( 2 / -I-1) = /I^i-O

‘ Hay que obseivai que la energía es pioporctonal a Z’ aunque la intensidad de U interacción sea proporcional a Z , Este resultado es debido a que el radio promedio del átomo para un estado de it dada es inversamente piopoicional a la in tensi^d de la interacción y por lo tanto inversamente proporcional a Z , Debido a que la energía, de origen electrostático, e> pro· pordonal a la intensidad dividida entre el radio, se concluye la dependencia Z ‘.

il.

De nuevo se tiene aquí un ejemplo de degeneración “accidental” que no es accidental. Aparece debido a que la ecuación de Schrödinger para un potencial culombiano es separable tanto en coordenadas parabólicas como en coordenadas esféricas.

El espectro de un átomo hidrogénico se muestra en la Figura 7. La nomenclatura, que se remonta a los primeros días de la espectroscopia, establece que los estados con / = O se llaman estados-s con / = 1 estados:?), con l = 2 estados-J, con 1 = 3 estados-/, con / = 4 estados-g y así sucesivamente en orden alfabético para estados de l más alto. En la figura se observa cómo se juntan los estados cuando E se aproxima a cero, en contraste con el comportamiento de los estados para un pozo cuadrado. Este resultado es consecuencia del alcance

EN TRES DIMENSIONES

En

P l = I

d/= 2

n = 2

n = 1

F ^ r a 7 . El espectro hidrogénico.

grande de la interacción culombiana que provoca que existan infinitos estados discretos para cada valor de /.

Entonces, se ha obtenido una solución exacta y completa para los estados ligados de un átomo hidrogénico (no relativista). Sin embargo, estos estados resultan demasiado complicados en general y sus comportamientos cualitativos no son fáciles de ver. Para una n dada, los estados más simples son los de momento angular máximo y los de máxima componente z, esto es, los estados »í'b,í-b-i,w=i.-i . Omitiendo los factores de normalización, las funciones de estado en este caso tienen la forma,

= r"- ' sin"-* 0.

Para números cuánticos grandes n, estos estados están bien localizados en ángulo y en radio. En particular, la función de onda tiene un máximo bastante definido en el plano ecuatorial y en tom o al radio

PROBLEMAS 311

de Bohr n^aJZ. Estos estados exhiben el comportamiento predicho por ]a teoría de Bohr, en el sentido de que están centrados respecto a las órbitas circulares de esa teoría y con bastante precisión para números cuánticos suficientemente grandes.

Ejercicio 5. Verificarlas afirmaciones anteriores para el estado »-i

Problema 1.(a) Encontrar el propagador K{v, r' ;t para una partícula li

bre en tres dimensiones.(b) Considerar un paquete de ondas que a f = O es una gausiana.

Encontrar .4 si el paquete de ondas está normalizado.(c) Demostrar que ^(r, í = 0) es un paquete de ondas de Incerti

dumbre mínima.(d) Encontrar í).(e) Encontrar (p, t = 0), 0(p, í).(f) Encontrar <jí) en í = O y para cualquier í > 0.(g) Encontrar (p),<p*) en t = O y para cualquier / > 0.

Nota; Todas las integrales se pueden escribir como productos de las integrales en una dimensión que ya se han tratado en el texto. Sin embargo, el problema puede resolverse más fácilmente en tres dimensiones directamente. Qialquier procedimiento es aceptable.

Problema 2. Usando los resultados del Capítulo VI para un oscilador en una dimensión,

(a) Encontrar el propagador para el oscilador tridimensional,(b) Discutir el movimiento de un paquete de ondas arbitrario en

un oscilador tridimensional.

Problema 3.(a) Calcular la polarizabilidad de un oscüador armónico tridi

mensional que es isotrópico.(b) ¿Cuál es la degeneración de los estados para un oscilador tri

dimensional colocado en un campo externo uniforme E = «^7

Problema 4. Como buena aproximación, el núcleo puede conildenU!» se como una esfera de radio Rq< «<, cargada uniformemente.

(a) ¿Cuál es el potencial electrostático entre un electrón y f t núcleo?

(b) Obtener una expresión para la corrección a primer orden ala energía del estado base de un átomo hidrogénico considerando finito el tamaño del núcleo. ¿Cuál es el orden de magnitud de esta corrección, suponiendo que/ i„= {2Zy< x 10"*» cm? ¿Cómo depende de Z?

(c) Hacer lo mismo para un átomo mesónico (i, o sea, para un sistema que consiste de un núcleo y un mesón negativo (La masa de un mesón es de 207 masas electrónicas aproximadamente). ¿Para qué valores de Z, si es que existe, resulta inadecuada la teoría de perturbación a primer orden? (Las primeras estimaciones de tamaños nucleares se obtuvieron del análisis espectral de un átomo mesónico

Problema 5. Considerar un oscilador armónico anisotrópico descrito por el potencial,

y ( x , y , z) = i m<oi (x^ + y^) + i

(a) Encontrar los estados estacionarios usando coordenadas rectangulares. ¿Cuál es la degeneración de los estados suponiendo que wi y son inconmensurables?

(b) ¿Pueden ser los estados estacionarios autoestados de Z*? ¿Pueden serlo de L*? Explicar en cada caso.

Figura 8 . Movimiento de una partícula en una trayectoria circular.

Problema 6. Una partícula de masa JIf está restringida a moverse por un alambre circular de radio R colocado verticalmente. Suponer la

PROBLEMAS 313

fricción nula y despreciar la gravedad. El hamiltoniano del sistoma es / / = L//2MR^. Ya que L, = (h/i) (dldtf>), la ecuación de Schiódln- ger es,

ft _ h dtjf “ i dt ' 0 ,

donde ^ es la coordenada angular de la partícula como se muestra en la Figura 8.

<a) Resolver la ecuación de Schrödinger para encontrar las energías permitidas y los autoestados de energía . ¿Cuál es la degeneración de estos estados en caso de existir?

(b) Suponer que ahora se incluye el campo gravitatorio. El hamiltoniano será,

f f == + MgR sen<f>.

Considerando el término gravitatorio como perturbación, demostrar que la corrección a primer orden a las se anula. Calcular la corrección a segundo orden a la energía.

<c) Suponer que el término gravitatorio es demaáado grande para tratarlo como perturbación. (¿Para qué valores de los parámetros sería esto cierto?). Estimar la eneigía del estado base usando el método de Rayleigh-Ritz y la aproximación WKB.

(d) Dicutir la transición entre estados ligados en <f>y estados no ligados en ^ , usando la aproximación WKB. ¿Para qué estados, en caso de existir, se pueden aplicar los resultados perturbativos de la parte (b)?

Problema 7. Suponer que dos partículas idénticas án espín se mufr ven sobre la trayectoria del problema anterior. Despreciar la grave^wt

(a) Suponiendo que las partículas no interaccionan entre sí^re» solver la ecuación de Schrödinger para encontrar las energías permití· das y los autoestados de energía. En caso de existir, ¿cuáles son Iw degeneraciones de estos estados?

(b) Suponer que las partículas interaccionan débilmente mediante el potencial + cos(0, - 0*)]. Usar teoríade perturbación para encontrar las correcciones a la energía no perturbada del estado base.

Probfema 8. Una partícula de masa M está restringida a moverse Hr- bremente sobre la superficie de una esfera de radio R.

(a) Resolver la ecuación de Schrödinger para las energías permitidas y para los autoestados de energía.

(b) Clásicamente, la órbita de esta partícula se encuentra en un plano y, cinemáticamente, es equivalente al movimiento en la trayectoria circular del Problema 6, parte (a). Demostrar que, aproximadamente, esta equivalencia también se logra cuánticamente al considerar estados de ¿».máximo para números cuánticos grandes.

Problema 9, Un átomo de hidrógeno se coloca en un campo eléctrico uniforme dirigido a lo lai^o del eje z. Despreciando el espín, el movimiento relativo del electrón y el protón se describe por el hamiltoniano

e a z .2m r

(a) ¿Es una constante de movimiento? ¿LoesL,? ¿Tienen paridad definida los estados? Explicar brevemente.

(b) Considerando el ténnino del campo eléctrico como una perturbación, obtener una expresión para la corrección a segundo orden de la energía del estado base (¿por qué a segundo orden?). Incluir en la respuesta únicamente elementos de matriz diferentes de cero, sin calcular las integrales ni realizar las sumas.

(c) Sugerir alguna función de prueba para hacer un cálculo variacional tomando en cuenta, lo mejor que sea posible, la distorsión del átomo causada por el campo eléctrico, sin efectuar ningún cálculo pero justificando la función de prueba escogida.

Problema 10. Considerar los estados ligados de una partícula en un potencial esféricamente simétrico. Demostrar que si no existen degeneraciones “ accidentales” <.í> y ip) se anulan para CMíiíg«íer estado estacionario. ¿Por qué falla la demostración si existen degeneraciones accidentales? (Sugerencia: ¿qué se puede decir acerca de la paridad de los estados estacionarios?).

Problema 11. El núcleo de (tritón) que consiste de un protón y dos neutrones es inestable. Por emisión beta decae a He* que consiste de dos protones y un neutrón. Suponer que cuando este proceso tiene lugar, sucede instantáneamente. Entonces, la interacción culombiana entre el elctrón atómico y el núcleo se dobla repentinamente cuando el tritio (átomo de H^) decae por emisión beta en He+ ( He^ una vez ionizado). Si el átomo de tritio se encuentra en su estado base al decaer, calcular la probabilidad de que el ión de He+ se encuentre en su estado base inmediatamente después del decaimiento. Hacer el mismo cálculo si en el estado final el ión se encuentra en el estado 2s, en el estado 2p o en cualquier otro estado í.

PROBLEMAS

Problema 12. El campo gravitatorio es muy débil comparado con UH mteracciones electrostáticas. Este hecho se ilustra dramáticament· t i considerar un sistema de neutrones b^jo la sola influencia de ni á tn ^ ción gravitatoria.

(a) Obtener expresiorjes para las energías de los estados ligftdoi y para el “radio de Bohr" de este sistema.

(b) Estimar, a la potencia más cercana de diez, el valor numérico de la energia del estado base (en electrón voltios) y de! radio de Bohr (en cm., en años luz).

Problema 13. Tres partículas idénticas sin interaccionar se descrlboi por el hamitoniano siguiente

/ / = 2 (r.) :1

(a) Encontrar las autofunciones y las energías del sistema, sin tener en cuenta la simetrización.

(b) Dar la degeneración de los tres estados más bajos incluyendo la degeneración de intercambio.

(c) Hacer lo mismo con partículas sin espín para estados realizar bles físicamente.

(d) ¿Cuál es la energía del estado base para partículas con espílj un medio? ¿Cuál es la degeneración del estado base?

■■ .iProblema 14. Un sistema de dos partículas está descrito por el h«m t toniano

2m, Im^ 2

Considerar la interacción gausiana como perturbación y transfoj^í^ a las coordenadas del centro de masa. ^

(a) Encontrar la energía del estado base y de] primer esttdó ítóp citado a primer orden.

(b) Usar la ecuación (¥11-39) para encontrar una cota superior t la corrección a primer orden para la eneigía del estado base·

(c) Usar una gausiana de anchura variable como función de prufr ba para el método de Rayleigh-Ritz estimando la energía del estado base.

Problema 15. Lo mismo que en el Problema 14 pero para partícul« idénticas sin espín.

Problema 16. Un sistema de dos partículas está descrito por el hamll· toniano


Pi2m, 2mg

1 1 1+ 2 m¡ú)W + 2 + 2 *í*·« “ '■2 )*·

(a) Encontrar las soluciones exactas transfomiando a las coordenadas del centro de masa.

(b) Esbozar el espectro en los límites de acoplamiento débil y fuerte k fjuú y k > pw*»*, respectivamente, donde /xcs la masa reducida.

(c) Hacer lo mismo para partículas idénticas sin espín.

Problema 17. Considerar el átomo de hidrógeno en el estado base. Suponer que por alguna causa la interacción culombiana se elimina a / = O y que el electrón se convierte en una partícula libre. Por simplicidad, tratar al protón como partícula con masa infinita.

(a) Encontrar la probabilidad p(p, r)í/*p de que una medición del momento del electrón a cualquier tiempo r > 0 , da como resultado un valor en el volumen elemental en tom o a p. ¿Cómo depende este resultado de í? ¿Cómo depende de la dirección de p ? Explicar.

(b) ¿Cuál es la probabilidad de que una medición de la energía del electrón dé un valor entre E y E + dE1

(c) Encontrar la probabilidad de que una medición de la posición del electrón a cualquier tiempo r > O dé como resultado un valor en el elemento de volumen rf®ren r. (Sugerencia: Usar el propagador de la partícula libre). Demostrar cualitativamente cómo cambia esta probabilidad con el tiempo, partiendo de í = 0. ExpUcar brevemente.

(d) En contraste con las distribuciones de las partes (a), (b) y(c), una medición del momento angular del electrón siempre da un valor preciso y único. ¿Cuál es este único valor?

Problema 18. Obtener una expresión para (^ |p · r|^> y, considerando el estado estacionario , demostrar el teorema del virial

donde T es la energía cinética y K la energía potencial. Usar el teorema del virial para demostrar que E = para el osciladorarmónico y £ = ^ ( «í»£| ) para el átomo de hidrógeno.

I^oUema 19. El neutrón y el protón interaccionan con una fuerza de alcance corto y fuerte. Aproximaciones razonables de estas fuerzas son:

i) Tipo Yukawa:r

ii) Exponencial:

V(r) =

V{r) = -

PROBLEMAS 317

iii) Pozo cuadrado: K(r) = | - V o , r < R

O, r > R .

(a) Usar el método de Rayleigh-Ritz para encontrar una expresión para la energía de ligadura e del estado base en los tres casos anteriores. Usar e"’''** como función de prueba.®

(b) Tomando « = 2,2 MeV y R = 2x10“* cm, encontrar V^etl cada caso. Dibujar las tres interacciones en la misma gráfica.

(c) Como comprobación de la exactitud del método Rayleigh- Ritz, resolver exactamente el caso del pozo cuadrado, usando métodos gráficos para encontrar e para el caso particular del valor de Vo encontrado en la parte (b).

’ Se puedé llegar a un resultado mejor si se considera una función de prueba que contiene un parámetro de variación, tal como Sin embargo, las ecuaciones que resultui toncomplicadas y en los tres casos es necesario resolverlas numéricamente. Hay que lefialat que el caso (ii) puede resolverse exactamente t¡n términos de las funciones Bessel. Ver lastefeten· cias [29], pp.218-220. También se discute en estas páginas el método variacional.

i .thdi

XMomento angular y espín

1. OPERADORES DEL MOMENTO ANGULAR ORBITAL Y RELACIONES DE CONMUTACION

Si en algún instante de tiempo una partícula sin estructura pasa, con momento lineal P , por un punto cuya posición respecto a un origen arbitrariamente escogido es r* entonces, su momento angular L respecto al origen es

y en componentes.

L = r X p

= ypz - zPi>

í-i» = ZPi -

( 1)

(2)

Lz =xpM~ypx·Las variables dinámicas cuánticas que les corresponde y que se llaman operadores del momento angular orbital se encuentran usando estas relaciones pero interpretando a r y a p como variables dinámicas cuánticas. Ya que el conmutador de Xiy ^ anula para i ^ j , se comprueba fácilmente que L es hermitiano.

Ejercido 1. Demostrar que L es hermitiano.

Las relaciones de conmutación entre las componentes rectangulares de L se obtienen de la siguiente manera. Por ejemplo se tiene que.

OPERADORES DEL MOMENTO ANGULAR ORBITALY RELACIONES DE CONMUTACION 31·

= {[yp, - ZP„], [zPx - xp^] )

= iyp, zP í) - {yp. , xpJ - Up„, zp ) + (zpu, xpt) ·

Si se considera el primer término

(yp., zp^) = yp^zp;, - zp^^yPz.

y debido a que y y Px conmutan entre sí y con z y p¡, este término resulta ser

( y p z , z p ^ ) = y p x i p ^ , z) = ^ y p ^ ·

Análogamente, el último término resulta ser,

izpv^xpz) = x pA z , Pí) = ~ j x p y .

Pero como y, x y p , conmutan entre sí, el segundo término se anula,y como z, Py y p^ también conmutan entre sí, el tercer término seanula. Entonces, se obtiene

(L , Ly )= i h {xp^-yp^)

y reconociendo que el término entre paréntesis es L¡, se obtiene que,

{ L ^ , L y ) = i h L , . ( 3 )

De la estructura de L, el resto de las relaciones de conmutación se obtienen inmediatamente por permutación cíclica de las coordenadas, y se tiene que

(4)

yi-j) = iftí-v- (5)

Estas tres relaciones son equivalentes a la sola relación vectorial de conmutación

l i X L = f t L , ( 6 )

que se puede verificar fácilmente escribiendo explícitamente las componentes rectangulares. La naturaleza del operador L se expresa explícitamente por la ecuación (6), ya que el producto vectorial de un vector numérico por sí mismo se anula.

Recordando que existen autofunciones simultáneas de una colección de operadores únicamente si los operadores conmutan, entonces, como las componentes rectangulares del vector de momento angular no conmutan, se puede concluir que no se puede definir un conjunto completo de estados cuyas componentes del vector de momento angular tengan un valor definido y preciso. Unicamente una

320 MOMENTO ANGULAR Y ESPIN

sola componente de L se puede definir con precisión; las dos componentes perpendiculares que quedan son inciertas necesariamente. ' Sin embargo, como se puede escoger la orientación del sistema de coordenadas, se pueden seleccionar estados del momento angular de tal manera que la proyección de L sobre un eje arbitrario tenga un valor definido. Generalmente, a este eje se le llama eje de cuantización (para el momento angular) y se toma como el eje z en cuyo caso Lt tiene un valor definido, pero no lo tienen L , y

Aunque se ha demostrado que la orientación del vector de momento angular no puede especificarse completamente a nivel cuántico, no se ha dicho nada acerca de su magnitud. A continuación se discutirá este tema. Para hacerlo se parte del cuadrado del operador del momento angular,

l / = L ·L · = + L / + L / . (7)y se examinan las propiedades de conmutación de Z.* respecto a sus componentes rectangulares. Primero, se considerará (£,,, . Yaque el conmutador de ¿j, consigo mismo se anula, se tiene que

Z. ) = V ) L / ) .

Desarrollando ambos lados se puede verificar fácilmente que,= (L^, L„) L„)

y, por lo tanto, de la ecuación (3),(/,,, £,„*) =/ft(L,L„-^L„Z,,).

Análogamente, usando la ecuación (5),(L^, L,*) = (L „ L,)L, + L,) = - ih {L^L, + L ,L„).

Combinando estos resultados se obtiene que,

(£,,, L * ) = 0 .De la misma forma se encuentra inmediatamente que,

(L„, L^) = (í,„L *) = 0

o bien, brevemente,(L, í , * ) = 0 . (8)

Entonces, se concluye que y cualquiera de sus componentes rectangulares, por ejemplo L^, se pueden especificar simultáneamente y, además, y Lg forman un conjunto completo de operadores que

' Sin etnbatgo, los estados con momento angular idénticameníe cero no están descartados a pesai de que las tres componentes de L tengan un valor deflnido paia estos estados. No se violan las relaciones de conmutación porque cada lado de ta ecuación (6) se anula cuando se opcia sobre un estado de momento angular cero.

OPERADORES DEL MOMENTO ANGULAR ORBITALY RELACIONES DE CONMUTACION 331

conmutan para la especificación de estados de momento angular. Efrtos estados se caracterizan por la magnitud del momento angular y suproyección sobre un eje z orientado arbitrariamente, pero ambos tienen valores definidos.

Antes de pasar a construir explícitamente las autofunciones del momento angular, se consideran brevemente las propiedades del momento angular para un sistema de partículas. Para este sistema el momento angular es,

L = (9)i

donde Lj es el momento angular de la partícula í-ésima dada por

Lí = r, X P(.

Evidentemente, ya que las variables dinámicas que se refieren a diferentes partículas conmutan, se tiene que

( L í , L , ) = 0 , i ^ J ,

de donde se obtiene que,

L X L — ih L ,

lo mismo que para una sola partícula. Las conclusiones respecto al carácter general de los estados de momento angular de una sola partícula, se aplican sin modificación al momento angular de un sistema de partículas.

Ejercicio 2. Para el momento angular total de un sistema de partículas, verificar la relación de conmutación vectorial.

Característica importante de los sistemas de muchas partículas es el momento angular asociado con el movimiento del centro de masa que no es el momento angular total del sistema. Este resultado contrasta con el del momento lineal: el momento lineal total de un sistema y el momento lineal de su centro de masa son idénticos. Como ejemplo, se considerará el caso más simple, como es el de un sistema de dos partículas. Transformando a las coordenadas relativas y del centro de masa, el momento angular del centro de masa es

L*„ = R x P , (10)

y el momento angular del movimiento relativo,

L r = r x p , (II)

donde


r = r, - r .m j

R - '” . r . + "■■■·=. P - P . + P . .

Por substitución directa se puede verificar fácilmente que el momento angular total del sistema es la suma de los vectores de momento angular del movimiento relativo y el del centro de masa. Además, debido a que las coordenadas del centro de masa y relativa satisfacen las re^as de conmutación usuales (canónicas), se obtiene inmediatamente que,

Ijcm X Ltm —

hr X (AL (12)

(Lr , Lem) = O·

Como consecuencia, los estados de un sistema de dos partículas se pueden clasificar simultáneamente respecto al momento angular de suicentro de masa y al de su movimiento relativo, áendo cadauno formalmente idénticos a los estados de momento angular de una sola partícula.

2. AUTOFUNCIONES Y AUTOVALORES DEL MOMENTO ANGULAR

Para construir las autofunciones simultáneas y los autovalores correspondientes de y se usará el método de factorización que utiliza únicamente las propiedades algebraicas de los operadores. El análisis es análogo al que se utilizó para el oscilador armónico aunque es un poco más complicado. Los operadores que juegan un papel análogo a los operadores a y «í, resultan ser

L+ = Lx -l- iLÿ (13)L_ = Lj — i'L .

como se demostrará en un momento.*Llamando al autovalor de i* y ft« al de L^, y llamando Ya*,

a las autofunciones simultáneas sin normalizar, se obtiene que* Por razones que se adataran en seguida, se llama eJ operador de ascenso para el momento angular y se llama el operador de descenso. Notât que L - = (L +)t,

= (14)

= (15)

Como L* — ¿í* = Lj* + L„* y por lo tanto es un operador no negativo se tiene que r

a" ^ )8. (16)

Pero Lj. y conmutan con y, por lo tanto, también lo hacen L+ y L_ . Entonces,

r / = L Y , (17)

es decir, que si es una autofunción de L* con autovalor ,también lo son las nuevas funciones L . .

Si ahora se considera el conmutador entre ¿+ y se tiene que,

{ L ± , L i ) — ( L j ± i L ¡, , L ¡ )

= —ihL¡, ± í(/ft¿j)

o bien,

L,L. = L A L , ± h ) . (18)

Al operar sobre Yg con esta ecuación de operadores se tiene que,

L.UYg'^^ L . { L , ± h ) Y ¿ ‘

y usando la ecuanción (15),

L , U Y ^ - = H a ± \ ) L ^ Y , « . (19Í

Las ecuaciones (17) y (19) establecen que L± es una autofunción simultánea de L® y con autovalores y ± l ) . Por lo ta # to, de acuerdo a la notación, se puede escribir,

V * ' . ap>:en donde la normalización se ha dejado sin especificar.

Partiendo de un estado determinado Yg que es un autoestado da con autovalor ha , se observa que al operar repetidamente con

se pueden construir sucesivamente autoestados de con autovalorei ft(a + 1), ft(a + 2) y así sucesivamente, los cuales son también autoestados de L* con autovalor Análogamente,poroperaciónrepetida con ¿ - se pueden construir una sucesión de autoestados de Lt con autovalores h{a - 1), h( a - 2 ) , y así sucesivamente, siendo cada estado un autoestado de con el mismo autovalor Pero, ya que

AUTOFUNCIONES Y AUTOVALORES DEL MOMENTO ANGULAR 32l

L* - Li es un operador no negativo esta sucesión de estados no puede continuar indefinidamente en cualquier sentido sino que tiene que terminar. Llamando ha, al autovalor más alto y (—Acf¡¡) al autovalor más bajo, de la ecuación ( 16) se tiene que,

a,® ^ p.

Además, ya que esta sucesión de estados necesariamente contiene un número entero de intervalos n, se tiene que,

£K, + «2 = « ; « = 0 , 1 , 2 , . . . . (21)

En el extremo más alto se cumple que,

= 0 (22)

y en el extremo más bajo se tiene que,

L_Ka"‘« = 0, (23)

Estas condiciones se pueden usar para determinar los valores permitidos de « 1 . «ly 0.

Para hacerlo se expresa en términos de L+, L^y L^.

L+L. = ( U + iL^){L^-iLy) = L·/ + L / -

= L / + + ñL^,

y por lo tanto,- ñL, + L / . (24)

Análogamente,

L_L+= V + - fiL^,

de donde se obtiene la expresión equivalente,L* = L^L+ + A£,, + V . (25)

Con L* en la forma dada por la ecuación (25) se opera sobre y's"'obte“niéndose,

= L.L^Y^«' + (hL, + Z,,*) Ya“\

El primer término de la derecha se anula de acuerdo con la ecuación (22) y Yff“' es una autofunción simultánea de Z·® y de con auto-valores y ftai según las ecuaciones (14) y (15). Entonces, cancelando el factor común A®, se tiene que

j3 = a ,( « ,+ 1). (26)


AUTOFUNCIONES Y AUTOVALORES DEL MOMENTO ANGULAR 325

En la misma forma, operando sobre con L* como en la ecuación (24), se encuentra que.

/3 = a2(aí+ O, (27)

de donde «i(ai + 1) = + 1), La única solución de esta ecuaciónque es consistente con la ecuación (21) es a, = oíí, y po rlo tanto

(28)

donde l es entero o semientero, dependiendo de que n sea par o impar. En los dos casos,

)8 = / ( / + I), (29)

y los autovalores de varían de hl a —hl por saltos enteros de ft . Llamando hm a los autovalores de L¡ en lugar de fta ,m será enteroo semientero dependiendo de / y toma todos los valores desde l a -/ por incrementos enteros como se muestra en la Figura 1. Es fácil concluir que existen (2/ + 1) autoestados de para un valor dado de /.

• m = I

■ w = / - I

■ m = 2

• m ~ \

. m = O■ m = — I

■ m = - 2

= - / + I

• m = - i

■ m = 3/2

• m = 1 / 2

. m = -1/2

m = - 3 / 2

m= - / + I m=

I entero / semientero

Figun 1. Valores de m para estados de momento angular l.

326 MOMENTO ANGULAR Y Eg-IN

De aquí en adelante K," será un autoestado del momento angular con autovalores simultáneos y , y donde sus ecuaciones de autovalores son,

L ^Y r = h ^ i i i + \ ) y r

L ,Y r = hmYi”'.(30)

Por brevedad, estos estados se llaman estados de momento angular/ con componente z igual a m. Estos estados se pueden construir fácilmente partiendo del estado más alto y operando sucesivamente con el operador de descenso L_. Entonces, se puede escribir.

Yi’ el(31)

donde c,"· son constantes de normalización y, como se recordará Y) se define por

(32)

Los estados de momento angular también pueden obtenerse partiendo del estado más b ^o í ' r ' y operando sucesivamente con L+ . En ambos casos, usando las propiedades de los operadores de ascenso y descenso, se pueden construir explícitamente los estados y se pueden determinar sus propiedades principales. Dejando los detalles para el Ejercicio 3, los resultados serían;®

VM— U+mV-(

U Y r = f t V l ( l + l ) - m ( m ± \ ) Y ^ -^ .

(33a)

(33b)

Ejercicio 3.(a) Demostrar que la ecuación (33b) se obtiene de la ecuación

(33a) y, por lo tanto, estas dos ecuaciones son equivalentes.(b) Derivar la ecuación (33b) calculando directamente (¿■±>'(’"1

LiVi™), suponiendo que y,"* está normalizada. Sugerencia: demostrar primero que

’ Para una presentación completa y detallada ver la Referencia [221, egpeciabnente el Capítulo X in V el Apéndice B,

y usar las ecuaciones (24) y (25).(c) Demostrar que las funciones Y r son ortogonales.


Es importante señalar que todos los resultados obtenidos hasta aquí se han obtenido como consecuencia de la relación de conmutación del momento angular dada por la ecuadión (6). Se ha usado ta realización específica de L como la variable dinámica que corresponde al momento angular orbital, defmida por la ecuación (1), solamente al establecer esta relación de conmutación. Los resultados son válidos para cualquier operador que satisfaga la ecuación (6), representen o no a un momento angular oréjía/.

A pesar de esta generalización, se presenta en los resultados una característica inesperada; la aparición en el espectro de estados con momento angular semientero. Es necesario recordar que en el tratamiento de los estados de momento angular orbital para una partícula que se mueve en un potencial central, se dedujo que estos estados deberían de tener momento angular entero para que pudieran cumplir la condición de ser funciones de estado univaluadas. Sin embargo, este requisito se aplicó con demasiado rigor, pues únicamente tienen que ser univaluadas las cantidades físicas observadas, pero estas cantidades siempre se expresan en térmmos de los valares de expectación y son funcionales de segundo grado de la función de estado del sistema. Por ello, no puede existir una objeción a priori a una función de estado únicamente porque puede tomar dos signos diferentes en un punto del espacio, pues el cuadrado de esta función es univaluada.

Expresado de otra manera, se puede decir que no existe ningún significado físico relacionado con el signo absoluto de la función de estado. También hay que recordar que el problema de que la función de estado sea univaluada, se presentó en relación con las autofunciones e‘""* de Lz y con el hecho de que <t> = O y ff> = 2n representan el mismo punto en el espacio. Entonces, el momento angular semientero y, por lo tanto, valores semienteros de m corresponden a la ambigüedad en el signo que se ^noró anteriormente. Sin embargo, el signo relativo entre dos funciones tiene significado físico, ya que los términos de interferencia dependen de la fase relativa. Como consecuencia, el requisito de ser univaluada se violaría si algunas de las funciones de estado de un sistema tuvieran momento angular entero y otras semientero. Para aclarar lo anterior, se puede tomar como un estado con momento angular entero y un estado con momento angular semientero, y considerar la superposición de ambos para tenei el estado,

ír( = tittir, 0, <l>) + (f(a(r, «, 0) .

3 2 8 MOMENTO ANGULAR Y ESPIN

Entonces,

donde no es univaluada, por lo cual estas combinaciones estánprohibidas.

Basándose en esta discusión general y puramente formal, se puede concluir que, en principio, los estados de un sistema dado pueden tener momento angular entero o semientero, pero únicamente uno u otro exclusivamente y nunca una mezcla de los dos. Este resultado significa que, aunque los estados de momento angular orbital pueden tener momento angular entero como ya se ha supuesto, existe la posibilidad de que se presente el momento angular semientero, lo cual debe de examinarse. Para esta prueba puede usarse el átomo de hidrógeno, pero resulta que el suponer valores semienteros para el momento angular orbital no concuerda con el experimento. Entonces, valores semienteros del momento angular orbital tienen que ser eliminados/ Como se verá en breve, no es éste el caso para el momento angular intrínseco o espín de una partícula. Ambas posibilidades para el espín se presentan en la naturaleza.

Como se va a tratar con más de una clase de momentos angulares es conveniente introducir una notación apropiada que permita distinguirlos. Se continuará simbolizando por L al momento angular orbital y a sus autoestados por y,™ . El momento angular espinorial se simbolizará por S y sus autoestados por x," , o sea que Xs™ está definido por

S , x r = hmx,”>.(34)

Flnabnente, se usará el símbolo J como símbolo genérico para el operador del momento angular, ya sea que se refiera al momento angular orbital o al espinorial. Sus autoestados, estarán simbolizados por Kj™, donde

(35)J , Y r = hm Yr·

Para facilitar la escritura, en los tres casos se ha usado m como el número cuántico asociado con la componente z del momento angular. Cuando sea necesario distinguirlos, sencillamente se usarán índices, escribiendo /n,, o bien Wj dependiendo de las circunstancias.

‘ Para eliminar el momento angular orbital semientero se pueden dai argumentos diferentes al argumento empírico que se ha dado en el texto. En particular, surgen dificultades con et flujo de probabilidad para tales estados según J. M, Blatt y V. F. Weisskopf, TheoreticülNuclear Physcs, Wiley (152), Apéndice A.

Es necesario recalcar que todos los operadores de momento angular satisfacen las mismas relaciones vectoriales de conmutación dadas por la ecuación (6) para L,

S X S = /7i S (36)

para s y, para j ,

J X J = i7 iJ . (37)

Sin embargo, existen ciertas diferencias entre el momento angular orbital y espinorial, ya que únicamente este último puede tomar valores semienteros. Se usará J para escribir las relaciones generales que sean válidas para todos, o sea, todas las expresiones escritas en términos de J son válidas por igual para el momento anclar orbital y espinorial. Por otra parte, expresiones escritas en términos de L y S según el contexto, serán casos particulares de las relaciones generales o se referirán a propiedades especiales de una de ellas. Un ejemplo de esto último sería la representación del momento angular orbital en términos de armónicos esféricos; esta representación no enliste para el espín. Las ecuaciones (6) y (36) son ejemplos del primer caso; ambos son casos particulares de la regla general de conmutación para elmomento angular dada por la ecuación (37),

Debido a que, en general, se estudiará el momento angular total de sistemas compuestos, el momento angular total tendrá contribuciones orbitales y espinoriales y, por to tanto, exhibirá únicamente las propiedades compartidas por ambos. Precisamente para exhibir estas propiedades comunes se introduce Ì y el momento angular total de un sistema general se simbolizará por J .

Como ya se ha recalcado, todos los resultados obtenidos hasta aquí se han derivado usando únicamente la relación vectorial de conmutación para el momento angular y, por lo tanto, son válidas para cualquier tipo de momento angular. Para referencia futura y para establecer explícitamente su generalidad, se pueden escribir los resultados principales en términos de J .·

AUTOFUNCIONES Y AUTOVALX)RES DEL MOMENTO ANGULAR 3 2 9

y m = j — U + f » ) , j \ í - m y i

y m ^ . ----- j j !___ / / V+m y - j

(38a)

donde,- f iVjU + i) - m(m± l) (38b)

J^=J ^ ±i J „ (39a)

y330 MOMENTO ANGULAR Y ESPIN

(3 9 b )

Una característica interesante del operador del momento angular es que su proyección sobre el eje z siempre es menor que su magnitud; entonces, como se mencionó anteriormente, su orientación no está definida con precisión. Es ilustrativo discutir este comportamiento en términos del principio de incertidumbre. De acuerdo con la ecuación (V-49), para cualquier pareja de operadores hermitianos A y tiene que.

Esta relación se usa para exammar los efectos de la no conmutatividad de las componentes rectangulares de J . Sin embargo, para cualquier estado Y/”,

~ < r r | r r " ' ) = o,

y como Jj: y J„ son combinaciones lineales de y+ y 7 -,

{ Y ñ J A y n = {Yr ' \ j , \Yr) = Q.

Por lo tanto, para dicho estado,

y

de donde

Además, de acuerdo con el principio de incertidumbre.

La orientación de los ejes x y y es arbitraria, por lo cual se concluye que,

de donde la primera relación resulta ser.

AUTOFUNCIONES Y AUTOVALORES DEL MOMENTO ANGULAR 3 3 1

y la segunda es.

Comparando estas expresiones se obtiene que,

y i P ) tiene que ser siempre mayor que <7^*) , Por lo tanto,

{ p ) ^ <y / ) + ft|<y.)i = i<y,)i(|<-/,)i + A),

y, para un estado de y* dada, como es A + l ) , se tiene que,

1) ^ KJ. ) l (Kv. ) l + ft).De aquí se concluye que el valor máximo posible de {J;¡) es ftjy no ftVjó'-t- 1) como lo sería si el momento angular estuviera orientado a lo largo del eje z.

A estas características cuánticas del momento angular se les puede dar una interpretación geométrica muy simplificada. Para el estadoY i'” , el momento angular J se puede visualizar como un vector de longitud V J u T T ) h sobre la superficie de un cono de altura mh en tom o al eje z, como se ilustra en la Figura 2. Todas las orienta-

v y a + i)ft

Figura 2. Interpretación geométrica de las propiedades del momento angular para el estado í'j” ·

ciones de J sobre la superficie del cono son igualmente probables. Entonces,

( ^ ) = <A> = 0.

Además, por el teorema de Pitágoras,

( V x * > - = ( V } 0 ' + l ) A ) * - ( m f i ) * » [ j 0 + 1 ) - m * ] f t » ,

332 MOMENTO ANGULAR Y ES'IN

que es el resultado correcto como se demostró anteriormente. Para una ; dada, estados de diferente m corresponden a conos de diferente altitud y abertura angular. E! cono de momento angular nunca puede cerrarse completamente, siendo su apertura más pequeña para m = / que corresponde a una abertura angular de eo s" '07Vy (y + I)), La orientación precisa de los vectores del momento angular clásico se recupera en el límite clásico de y 1, como debe de ser.

Estas características se ilustran en la Figura 3, donde los conos de momento angular se dibujan a escala para los estados particulares de momento angular > = I y j —2.

Falta exhibir los estados de momento angular orbital en el espacio de configuración y establecer la relación entre estos resultados y los

m = I

m = O

m = - 1

m = 2

m = 1

»1 = 0

m = - 1

m = -2

(«) j - 1

(b) J = 2

Figuta 3. Representación geométrica de los estados de momento angular; = 2 y/ = 2 .

obtenidos en el Capítulo IX. Se parte de la ecuación (32). Recol· dando tas ecuaciones (34) y (35) del Capítulo IX, se concluye que en el espacio de configuración.

= - k e~"

Escribiendo «í») = /,(6 ) ? la ecuación (32) resulta ser.

g = ( / c t n í i ) / „

de donde se verifica fàcilmente que,

U e ) ~ (sene)',y, por lo tanto,

r / = c,' fseníí)'^·''^.

También se concluye que IKr' tiene exactamente la misma forma. Evaluando la integral de normalización se obtiene finalmente el resultado,

Yr' (e, <fr) = (T)'

La fase de la constante de normalización no está determinada por la condición de normalización. La selección de esta fase arbitraria, que es la de la mayoría de los autores, se encuentra implícita en las ecuaciones (33). Para una discusión más amplia ver la referencia [22].

Ejercicio 4. Calculando la integración angular, verificar que Y r ' como se expresa arriba, está normalizada a la unidad.

Estados con m # ±/ se pueden obtener por operación sucesiva con sobre K r' y los reailtados pueden resumirse en la forma

sen-™ e d'-'”2< /! dicos $y~’"

X (1 - c o s ’ fl)'

334

o bien,

MOMENTO ANGULAR Y ESPIN

¿/(eos ^)'+®

X d - C O S " e ) ' .

Ejercicio 5. Llevando a cabo las diferenciaciones indicadas, encontrar y,**, Vi-‘, ^ 2' ^ y.¡-\ y / y comparar con la Tabla L Capítulo IX.

3. OPERADORES DE ROTACION Y DE TRANSLACION

Una relación interesante e informativa se puede establecer entre las transformaciones de rotación de tas coordenadas espaciales y el operador del momento angular orbital. Se puede considerar una ro* tación infinitesimal de las coordenadas por un ángulo 8<í» alrededor del eje z, y llamar al operador que induce esta transformación. El operador óR¡ actuando sobre cualquier función escalar f { r , 9 , ^ ) , está definido por,

(40)Como es infinitesimal, se puede desarrollar el miembro derecho en serie de Taylor

f { r , e , ^ + b4>)=f{r,e,) + H ^ +

y conservando los términos a primer orden se obtiene que,

/ ( r , 6,4> + ^ ) = {\ + H ¿ ) / ( ^ < í * ) · (41)

Comparando las ecuaciones (40) y (41) se obtiene que.

Pero,

y por lo tanto.

ÒR,= Ì (42)

OPERADORES DE ROTACION Y DE TRANSLACION 391

que establece una relación profunda y fundamental entre las rotacío· nes espaciales y los operadores de momento angular.

Este resultado se puede usar para generar una rotación por un ángulo finito en torno al eje z, que se puede obtener operando repetidamente con hR¡ . Al operador que corresponde a una rotación finita se le puede llamar /ïj(j8), y su acción sobre una función escalar arb itraria/se define como,

Pero,

y escribiendo nS<}> = 8 se tiene que,

Si se procede al límite, de la definición de la función exponencial se obtiene que,

RA^) = = S i i V A /Se puede verificar que este resultado es correcto si se opera con RA/3) en la forma de serie de potencias sobre una función arbitraria/(r, Itì , 0) y se compara el resultado con la representación en serie de Taylor de fir, $ , ^ + En general, el operador flsíjS) que induce una rotación por un ángulo (8 alrededor de una eje orientado a lo largo de un vector unitario n, resulta ser

(43)y el operador de rotación infinitesimal correspondiente 6/? sería,

ÓR‘ = 1 +iS0ft · L/A.

De estos resultados se puede concluir que si el hamiltoniano H de un sistema conmuta con el operador L del momento angular, entonces, H necesariamente es invariante respecto a una rotación arbitraria de los ejes de coordenadas. Por lo tanto, desde este punto de vista, la conservación del momento angular como consecuencia de la conmu* tatividad de L· y H, implica que no existe un sistema de coordenadas preferido para el sistema, y el requisito dinámico de que el momento angular total se conserva para un sistema aislado, es equivalente al requisito puramente geométrico y más profundo de que el espacio es intrinsecamente isótropo.

La relación entre rotaciones espaciales y momento angular también proporciona la interpretación geométrica de que diferentes componentes del momento angular no conmutan. Esta propiedad es una consecuencia directa e inmediata de que las rotaciones finitas alrededor de ^es diferentes no conmutan. Por ejemplo, se verifica fácilmente que una rotación alrededor del eje Jt seguida por una rotación alrededor del eje 7 da un resultado diferente al que se obtendría si estas dos rotaciones se llevan a cabo invirtiendo el orden.

Otro resultado importante que se deduce de estas consideraciones es una comprensión mejor de la degeneración (ZZ-H l) de los estados de momento angular / en un potencial central. Esta degeneración se presenta cuando el hamiltoniano es un invariante rotacional y es una consecuencia del hecho de que la selección del eje z es totalmente arbitraria, por lo cual no se asocia ningún significado físico a los autovalores de . Hay que señalar que si la isotropia del espacio se destruye de alguna manera para el sistema estudiado, la degeneración desaparece. Un ejemplo importante es el desdoblamiento Zeeman de los estados atómicos en presencia de un campo magnético extemo. La dirección del campo magnético selecciona un eje espacial particular y el desdoblamiento es producido por la interacción del campo externo con los momentos magnéticos generados por el movimiento orbital de las cargas del sistema atómico y con cualquier momento magnético intrínseco que puedan poseer los elementos del sistema.

A estas observaciones se puede añadir un hecho interesante. Si el espacio además de ser isotrópico es homogéneo, es decir, que no existe un origen de coordenadas preferido, entonces, se espera que el sistema sea invariante frenta a una translación de coordenadas. Para estudiar este resultado se define el operador de translación infinitesimal Tfir definido como

7'6r/(r) = / ( r + ÒT) . (44)

donde Tfir translada las coordenadas una cantidad Sr , Yaque 5r es infinitesimal, se desarrolla / ( r 8 r) en serie de Taylor

/ ( r + 8 r ) = / ( r ) - ^ 8 r · y / ( r )

y usando p = ftV//,

/ ( r H- 5r) = ( 1 + /8 r · p /f t) /(r) . (4 5 )

Comparando (44) y (45) se obtiene que,

i + í8 r · p/ft, (46)

que relaciona las translaciones espaciales al momento lineal. Por argumentos análogos a los que se usaron para las rotaciones, el opera


ESPIN; LOS OPERADORES DE PAULI 331

dor Ta que induce una translación por una cantidad finita a está dado por

1 (47)

El requisito de que el momento lineal total de un sistema aislado M conserve, es equivalente al requisito geométrico de que el espacio es intrínsecamente homogéneo. Además, la conmutatividad de las diferentes componentes del momento lineal es consecuencia de que los resultados fínales son independientes del orden de los desplazamientos. Una translación neta siempre se puede expresar como la suma de sus componentes tomadas en cualquier orden.

4. ESPIN: LOS OPERADORES DE PAULI

Hasta ahora se ha tratado principalmente con las propiedades det momento angular orbital, o sea, con el momento angular que depetv· de únicamente del estado de movimiento de una partícula y no co^ las características particulares de la partícula. A continuación se estudiará una segunda clase de momento angular que se presenta en la naturaleza y que es un atributo intrínseco de ciertas partículas eic" mentales. Este momento angular intrínseco o espín, como se le IU7

ma, satisface las reglas de conmutación usuales para el momento angular, pero difiere del momento angular en la forma siguiente:

(a) El espín es una propiedad específica de ciertos tipos de pai^tículas y es independiente del estado de movimiento. El espín de una partícula se puede considerar como un grado de libertad intetno que, de alguna manera, está asociado con la estructura interna de láp partículas. ' I

(b) El momento angular de espín puede tomar valores enterp^ semienteros, pero exclusivamente uno de ellos para una | cierto tipo.

(c) Para un tipo de partícula determinada, el espín tiei! magnitud fija e inmutable. Por ejemplo, las partículas que C( yen la materia, el electrón, el neutrón y el protón, todas tlehih'l un medio en unidades de ft , e igual lo tienen tos neutrino!^ muones, así como las antipartículas correspondientes. Loi tienen espín uno. Algunas partículas, como los piones y toi 0Í^ no tienen momento angular intrínseco, o sea, tienen espín ceiO. '

(d) El espín es una cantidad cuántica exclusivamente. En t i IW tido del principio de correspondencia, no existe límite clásico pIM i | espín. Dicho de otra manera, no se puede dar una descripciónpara los grados de libertad asociados con el espín.


Aunque el espín es una propiedad interna de las partículas elementales, tiene que acoplarse de alguna manera al mundo externo para que tenga significado físico. Este acoplamiento se presenta a varios niveles. Las interacciones juertes, que son las que predominan en física nuclear, dependen principalmente del espín. También lo son las interacciones débiles que describen los procesos de decaimiento beta. En e! nivei familiar de las interacciones electromagnéticas, cualquier partícula cargada que posea espín tiene asociado un momento magnético proporcional al vector de espín.

Sin importar la naturaleza de estos acoplamientos, existen ciertas consecuencias generales debido a la existencia del espín. En primer lugar, la conexión entre espín y estadística discutida en el Capítulo VIII tiene importancia dominante en las propiedades termodinámica- estadísticas de la materia. En segundo lugar, a nivel cuántico, el momento angular de espín interviene crucialmente en el significado de las leyes de conservación del momento angular, tan crucialmente como interviene el momento angular orbital. Sin embargo, históricamente, !a existencia del espín no se obtuvo de estas características generales, sino de efectos especiales del momento magnético del electrón en los estados atómicos. El más simple de estos efectos se refiere al desdoblamiento de los estados atómicos en un campo magnético externo. Ya que la degeneración de un estado de momento angular total / es {lj + 1 ), se obtiene que el valor de j para un estado dado está determinado por el número de estados en los cuales se desdobla.

El análisis sistemático y detallado de estos desdoblamientos Zee- man, como se les llama, llevaron a Goudsmit y a Uhlenbeck en 1925 a la conclusión de que el electrón posee un momento angular intrínseco de magnitud fija igual a un medio en unidades de h , que debe de añadirse al momento angular orbital para dar el momento angular to ta l/. Por ejemplo, un estado s {/= 0) de un átomo de hidrógeno se desdobla en dos componentes ya que y =1/2 para dicho estado. Un estado p( i= i) se puede combinar de dos maneras con el espín. En una de ellas, el momento angular orbital y espinorial son paralelos (7=3/2)yenlaot rasonant Íparalelos(y=I /2) . El primero se desdobla en cuatro componentes y el segundo en dos, dando un total de seis componentes en lugar de tres, como se obtendría si el electrón no tuviera espín. Así se continúa para estados de momento angular más alto; para una l dada se presentan dos estados, j - I + \ / 2 y j = / - 1/2 , y el número total de estados en el espectro se dobla. Este análisis se refiere únicamente al átomo de hidrógeno, ya que para átomos que contienen más de un electrón, la descripción es bastante

más complicada.A continuación se intentará desarrollar un fonnalismo para tratar

con el espín, restringiendo la atención al caso más importante, el de espín un medio. Como ya se estableció, la existencia del espín del electrón produce que los estados electrónicos de una sola partícula se doblen lo que corresponde a dos orientaciones posibles, y sólo dos, respecto a un eje escogido arbitrariamente. Este eje se escogerá como el eje z, y se establecerá una expresión general para una función de onda arbitraria de una sola partícula dependiente del espín tí»(r, espín). Esta función de onda será una combinación lineal de dos estados posibles de espín; un estado para el cual la componente z del espín es +h¡l y otro en el cual esta componente es -ft/2 . Entonces, la superposición se escribe como,

(í»(r, spin) =i(F+{r)x+ + »ít-(r)x_, (48)

donde tí>»(r) se refiere a la dependencia de la función de estado y X+ y X- son las autofunciones del momento angular espinorial que corresponden a espín hacia arriba y hacia abajo respectivamente.* Estas funciones contienen toda la información acerca del espín. La densidad de probabilidad de encontrar a la partícula en r con espín hacia arriba es >(»+* (r), y con espín hacia abajo es 0-* (r)i(r_ (r)de donde la densidad de probabilidad de encontrar a la partícula en r , independiente de su espín será . De aquí se sigueque ia integral de normalización para esta función se entiende como

<^(r, espín)|«íí(r, espín)) = (.í»+{r)|^+{r)) + (ííí_(r)|^_{r)), (49)

donde cada término de la derecha tiene su significado convencional como integral en el espacio de configuración. La ecuación (49) se obtiene de la ecuación (48) si se entiende que

(<í'i(r)x±l'í<í(r))f^> = (^,(r)l\í»í(r)) <X:.IXi> (50)y que las x - son ortonormales,

<x+lx+) = <x-lx-> = 1 (x + !x_> = <x_ix + > = 0 .

Puede ser de alguna ayuda el comparar esta forma de escribir la fundón de estado con la forma en la que se escribe un vector ordinario A en términos de sus componentes,

\ = A ^ ^ + Ayé^ + A,é,,

* En la nowclón de la ecuación (34) estas funciones son jíi«’'* / X iír''“respectivamente. Para ah o m i eictltura, se han abreviado en una forma que es común en la literatura.

ESPIN; LOS OPERADORES DE PAULI $ 1 9


donde éj-, «1, y son vectores unitarios ortonormales. En correspondencia con la ecuación (49) se tiene que,

Una función de estado dependiente del espín puede considerarse como una función de dos componentes, una componente por cada orientación del espín y con los estados espinoriales como vectores unitarios.

El siguiente paso será encontrar las propiedades de los estados espinoriales y del operador del momento angular espinorial S que actúa sobre estos estados. Naturalmente que S tiene que satisfacer ías reglas de conmutación usuales para el momento angular de la ecuación (36),

S X S = /ftS,

y X+ y X -, definidos como los autoestados correspondientes a las componentes z del espín -l- h¡2 y —h¡2, deben de satisfacer las relaciones.

(52)

Además, como ambos son estados de espín total A/2 se tiene que,= h ( i + \ ) =

De la Ecuación (48), para una función de estado perfectamente arbitraria 0(r, espín) se tiene que,

espín) = T espín) , o sea, en contraste con el caso de un momento angular orbital, es un operador exclusivamente numérico,

= (53)

También,

Xi 4 X i’

y, por lo tanto, Sz también es un operador exclusivamente numérico lo que se deduce por el mismo argumento. Pero S / , S»,* y 5 * son variables dinámicas totalmente equivalentes y deben de compartir esta propiedad, por lo cual

S 2 = 5 2 = — (54)

ESPIN; LOS OPERADORES DE PAULI m

que claramente es consistente con la ecuación (53).Las ecuaciones (53) y (54) significan que para el momento angutu

espinorial no existe ninguna caracterización diferencial del operadoi en ninguna representación. Esta conclusión no entraña ningún pro· blema, pues un operador está completamente definido por los resut tados que se obtienen cuando opera sobre un estado arbitrario. Estos resultados se han dado para S® y y falta especificarlos para S j y S„ , En lugar de tratar con estos últimos operadores, es mál conveniente tratar con los operadores de ascenso y descenso S+ y 5-i definidos por,

S^ = S^±iS^. (35)

Aplicando la relación general completa, ecuación (38 b), se obtiení inmediatamente para el caso bajo consideración j = \ y m = ;

5+x+ = 0 S+x- = Ax +

e invirtiendo la ecuación (55),

(56)

5.rX+= 2

c5vX + = -2 X -

^ njcX - 2 X

5 í,X - = - - 2 X + ·

(37)

Se comprueba fácilmente queSj:*y son operadores numéricos qu< satisfacen la ecuación (54) y !as relaciones de conmutación correctá*;

Ejercicio 6. ■ ot(a) Obtener la ecuación (57) partiendo de la ecuación ( 3 8 b ) . !(b) Tomando S^, S„ yS^definidas por las ecuaciones (52) y ( S n

demostrar que se satisfacen la ecuación (54) y la relación de conmu< tación vectorial (36). Demostrarlo permitiendo que los operadOÍW espinoriales actúen sobre el estado espinorial arbitrario de la ecuaclóti(48).

El álgebra de los operadores de espín un medio es poco usual, co· mo ya se ha visto, principalmente como consecuencia de la ecuaciór (54), Esta álgebra puede desarrollarse todavía un poco más. De It ecuación (56) se obtiene inmediatamente que 5i* = 0 . Entonces usando la ecuación (55),

O = ( S , ± i5v)* = 5^* - ± HS ^S y + S^S^)


O bien, ya que = ft 74.SxS¡, + : 0 .

La misma relación se cumple entre cualquier par de componentes diferentes, ya que todas las componentes de S son dinámicamente equivalentes. Este tipo de expresión, que es análogo ai conmutador excepto por el signo más en lugar del signo menos, se conoce como anticonmutador. El anticonmutador para cualquier pareja de operadores se define como,

( 5 8 )

Sustituyendo las variables x, y y z áe las componentes de S por índices numéricos, las relaciones de anticonmutación para espín un medio se pueden escribir como.

( 5 9 )

Usando este resultado importante, se pueden simplificar las relaciones de conmutación. Con i , j y k t n orden cíclico se tiene que,

— SjSi = iñSic

y como Si y Sj anticonmutan.

SiSj — 2 * (60)

o bien, multiplicando por S* por la izquierda o por la derecha,

S t S i S k = S k S i S i = i h V » , ( 6 1 )

donde, para recalcar, i, ; y fc se toman en orden cíclico.La ecuación (60) es útil debido a las siguientes razones. Considé

rese un operador totalmente arbitrario pero dependiente del espín y que contiene un término en las componentes de S a la «-ésima potencia. Las ecuaciones (54) y (60) aseguran que este término siempre puede reducirse a un término independiente del espin o a un término lineal en el espín. Para aclarar este resultado se pueden dar los ejemplos siguientes:

(-!)

16 *■

ESPIN; LOS OPERADORES DE PAULI 349En la primera línea se ha sustituido por ( —iA/2)5j., en la se

gunda S / por h^¡4 y en la tercera S,S„ por {ih¡2)S,.

(2)

iñt‘ 32'

En la primera línea se ha sustituido por M®/8 según laecuación (61) y en la segunda S / por ft /4 . Ya que cualquier po· tencia de los operadores de espín se puede reducir como se ha indicado, se concluye que el operador espinorial A más general, se puede expresar como una función lineal del espín, esto es,

A = A( ¡ + A t S x A y S x , (62)

donde los A¡ son operadores arbitrarios independientes del espín del tipo que se han estado tratando.

También se puede demostrar que el operador espinorial está completamente especificado por las ecuaciones (52) y (57), Se puede hacer calculando el resultado de operar con el operador arí>iírario A, ecuación (62), sobre un estado arWfrarío \¡t , ecuación (48). Se obtiene que,

Ai)> = Ao (tí'+x+ + <Í>-X-) + |/4i(ií(+x- + 0-X + ) + ‘-~A2 (<Í)+X-- tí»-x + )

+ 1 >i3(\í'+x+-»í'-x-)

y, reuniendo términos,

>10= ÂQ + Â3^\li++~iAi~iA3)\l f . x +

Por ejemplo, el valor de expectación de A es.

(63)X-·

iMA\»tf) = (*lt+\Aa + Â3\itf+) + I - iA^l^-}

+ { i t > - \ A o - ^ A i \ ^ . } + j {>ít-\At + íîl«í'+)·

(64)

Algunas aplicaciones específicas de estos resultados se dan a continuación.

(1) El operador^ de la ecuación (62) podría ser,

/4 = n · S ,

donde ri es un vector unitario arbitrario con componentes regulares rii, Oy y riz. Entonces, de acuerdo con la ecuación (64), el valor de expectación del momento angular espinorial a lo lai^o del eje n es

(«í»|ii · S|t/<) = rt* I [(0+|«í'+) -

+ 1 + /«„) + 1 ( r t j ; - íH (, ) (»íí+jíí»-). (65)

El último término es el complejo coiyugado del segundo, por lo cual el resultado es real. En el caso especial en el cual 4'+ o sea cero, que corresponde a un estado ^ con espín hacia arriba o hacia abajo, respecto al eje z, el resultado sería,

( < í í i | n - S | 0 . ) = ± n , fi/2.

(2) Como ejemplo similar, pero más importante y más complicado, se puede tomar

^ = L · S,

donde L es el operador del momento angular orbital. Se obtiene que,

(0|L ·

+ 1 (0-|L+|»A+) + 1 (66)

Si es un estado cuya componente z del momento angular orbital es mÄ, los últimos dos términos contribuyen solamente si <(<- contiene estados con componente z del momento angular igual a (m -l-1 )A.

(3) Como último ejemplo se puede considerar un estado de la forma especial,

0(/·, spin) = < ^ ( r ) ( a x + - I - / 3 X - ) , (67)

|«|^-H |)8|* = 1, =

Para el operador general A se obtiene que,

i MA\ ^ } = («ß* + a * ß ) ^ A ^ + Haß* - a*ß)

+ ( W ^ - | ^ I ^ ) | - 4 3 } | 0 ) · (68)

Y para el operador del primer ejemplo /4 = A · S se obtiene el resultado,

<0|h · S |0) = {«^(a/3* + a*fi) + - a ·^ )

+ /t, (69)

Otras aplicaciones se dejan para los problemas.Es útil tener una realización explícita de los operadores espinoria

les aunque, como lo demuestran los ejemplos anteriores, no es necesario hacerlo. Se puede hacer usando una representación matricial ynotando que, debido a que se tienen sólo dos estados de espín, únicamente se necesitan matrices dos por dos. De la definición de los elementos de matriz de un operador, la componente í-ésima de S se puede escribir como.

ESPIN; LOS OPERADORES DE PAULI 94$

Lx>s elementos de matriz se calculan fácilmente usando las ecuaciones(52) y (57). Por ejemplo,

<x+|5.Ix .> = o = < x_ | 5 J x_)

(x+|S.tlx-> = | = < x - 15.rIx+>,

y análogamente para y S*; entonces.

(70)

Usando las reglas de la multiplicación de matrices, es fácil comprobar que las componentes de S satisfacen tas relaciones que se obtuvieron anteriormente.

Ejercicio 7. Usar las reglas de multiplicación de matrices para demostrar que Sj. ,S„y S*, definidas por la ecuación (70), satisfacen tas ecuaciones (54), (59) y (60).

Aunque en todo el análisis anterior se ha usado S , es conveniente eliminar todos los factores ft/2 que aparecen en este análisis. Para

^0 12\ 1 0

^0 —/2 ' 0

f I 02 I -1


ello se introduce un operador sin dimensiones llamado operador de fou/i definido por cr = + o-„e„ + o-A y se escribe,

S = | a .

Usando todos los resultados anteriores se obtiene que.

(71)

o·/··

(T X(T ·

(o-j, (7j)+ :

o'iO'jO·* '

(T/ =

■ 2/(7

‘2Ô.J

/o-ft

■i.

o-,*=l

(72)

y la representación matrícial de a será

— a i) -(r¿) -(¿-Î) (73)

Se concluye fácilmente que a , , o-„, y la matriz unidad forman un conjunto completo de matrices dos por dos en ei sentido de que cualquier matriz dos por dos se puede expresar en términos de ellas (¿por qué?). Esta afirmación es una versión más clara que la anterior, en la cual se afirmaba que un operador arbitrario dependiente del espín siempre puede expresarse como una función lineal del es- pfn. (¿Por qué son equivalentes estas dos afirmaciones?).

Esta representación matrícial de los operadores espinoriales sugiere una representación similar para las funciones de estado de dos componentes en la teoría. En particular, las funciones espinoriales X+ y X- se pueden representar por mafr/ces co/um«ú!® definidas por por

Estas definiciones son consistentes, pues se puede verificar que las ecuaciones (52) y (57) se cumplen cuando se consideran como ecuaciones entre matrices. Los detalles se dejan para los ejercicios.

También se introducen los adjuntos de estas matrices que son las matrices renglón.

X , f = 0 0). x ^ t = ( 0 1).

' A estas matiicea columna también se les llama vectores columna o simplemente vectores.

ESPIN; LOS OPERADORES DE PAULI

de acuerdo con la definición general de adjunto de una matriz, ecmp ción (VIM 9), y de acuerdo con las reglas usuales de la multípUcfr ción de matrices,

x+tx+ = x - t x - = 1y

x+tx^ = x- tx+ = o,

Se observa que estas relaciones son precisamente equivalentes a las expresiones definidas en la ecuación (51) como paréntesis de Dirac, Comparando se obtiene que,

<x±lx±) ^ Xi+X±- De esta manera se ha establecido una visualización de los paréntesis de Dirac para estados espinoriales que faltaba en la definición anterior, pero que es muy útil y conveniente aunque no contenga información nueva.

Ahora, una matriz columna general se define como una combinación lineal arbitraria de x+ y de x - , por lo cual, el estado general dependiente del espín dado por la ecuación (48) se puede expresar en lenguaje matricial como,

»(({r, spin) =«í»+(r)x + + <|í-(r)x- = { [)'Sin embargo, a las expresiones en términos de paréntesis de Dirac en las que intervienen funciones espaciales y espinoriales, falta darles el significado de la ecuación (50).^

Ejercicio 8. Verificar que las ecuaciones (52) y (57) se cumplen cuando se consideran como ecuaciones entre matrices.

Es conveniente hacer algunas observaciones finales. Se ha introducido el espín en forma ad hoc como una necesidad empírica, más o menos como se hizo históricamente. La teoría de dos componentes de Pauli se originó a partir de estas bases empíricas. Sin embargo, se puede mencionar que todas estas características, sin ninguna suposición ad hoc, fueron obtenidas por Dirac en 1930. Partiendo de un electrón sin estructura, Dirac construyó una versión relativista de la ecuación de Schrödinger de la cual se obtuvieron las propiedades es-’ Estas ideas se pueden aplicar con la misma facilidad a la repiesentación de funciones de ei- tado convencionales ^(r}. La función <(í se puede considerar como una superposición d« algún coiOunto completo de funciones base ortononnales . Los coeficientes de esta superposición, por ejemplo Cm-f deflnen completamenta a la cual se puede repiesentai como una matriz columna de dlmen«lón infínita con Cm como el elemento m-ésimo. Al exp ieur operadores como fflatrlcet en 1« misma base, cualquier relación que se cumpla en la descripción convenctotukl U m biin w cumple cuando se cotisideia oomo relaciones matricialei.


pínoriales del electrón como una de sus consecuencias. También predijo la existencia del positrón. En el próximo capítulo se discutirá la ecuación de Dirac y cómo se obtuvieron estos resultados.

Se ha discutido ampliamente el e ^ ín un medio y la forma de tratar partículas sin espín, pero no se ha dicho nada acerca de otros espines como por ejemplo, el espín uno. Ya que para espín uno existen tres orientaciones, la función de estado que describe a una partícula de espín uno tendrá tres componentes. El álgebra correspondiente, aunque inmediata resulta más complicada y no se intentará desarrollarla.

5. A D iaO N DEL MOMENTO ANGULAR

Considérese un sistema de muchas partículas que está aislado. Su momento angular total se puede expresar como

(74)

donde L, es el momento angular orbital y S¡ es el momento angular espinorial de la partícula i-ésima, en caso de existir. Como el momento angular de un sistema aislado se conserva, los estados de tai sistema siempre se pueden escribir como autofunciones simultáneas de y J í con autovalores j { j + l)ft* y mh . Pero frecuentemente sucede que el sistema se puede descomponer en subsistemas que no interaccionan entre sí, dentro de cierta aproximación. En esta aproximación, se puede discutir el sistema en términos del momento angular de sus partes, ideas que son muy familiares en física clááca. Así, el momento angular del sistema solar puede considerarse como compuesto de un número de elementos diferentes; el momento angular orbital de cada planeta en su movimiento en tom o al Sol, el momento angular de las diferentes lunas en tom o a los planetas correspondientes y, finalmente, el momento angular de todos estos objetos y del Sol, debido al movimiento giratorio de cada uno en torno a su eje. A primera aproximación, todos ellos están desacoplados y se conservan por separado, lo cual proporciona una descripción adecuada para el comportamiento a corto plazo del sistema solar. El comportamiento a largo plazo requiere un tratamiento más preciso que tome en cuenta las interacciones mutuas entre los diferentes momentos angulares. Los momentos angulares individuales ya no se conservan por separado, sino únicamente el total para todo el sistema.

Lo importante es encontrar una descripción cuántica del momento angular total de un sistema como composición de los momentos angulares de los subsistemas. Se supone que éstos interaccionan débil· mente para que los efectos de las interacciones se puedan tratar por los métodos de la teoría perturbativa. Entonces, se busca un conjunto

apropiado de estados no perturbados, estados de momento anfUlMi' definido para cada subsistema y de momento angular total para tOdo el conjunto. El proceso clásico de combinar momentos angularei M completamente trivial; simplemente se toma la suma vectorial en It forma usual. Sin embargo, cuánticamente, este proceso es complicado debido a que ninguno de losvectores de momento angular está orientado con precisión. De hecho, se tienen que sumar vectores que se en« cuentran sobre conos, como se ilustra en las Figuras2 y 3, con abertura angular, alturas y orientaciones variables, y formar una resultante que se encuentra sobre dicho cono. No se intentará dar una respuesta completa, sino únicamente enumerar los estados de momento angular to* tal que se pueden lograr al componer estados de momento angular definido. No se intentará construir estos estados en forma explícita, excepto por uno o dos casos especiales.®

El problema de enumerar los estados de momento a n c la r que se pueden tener, tan simple para sistemas clásicos, no es trivial en mecánica cuántica. Como se verá más adelante, la respuesta, que se llama teorema de la adición vectorial del momento angular es la siguiente: cuando un sistema de momento angular Ji se combina con un sistema de momento angular momento angular total / tiene un valor máximo de jt y mínimo de l^i — Jí \ . Los otros valores posibles de / se encuentran entre estos dos extremos, distinguiéndose entre ellos por pasos enteros de uno a otro. El conjunto completo de estas posibilidades será ( / 1 + /e), (Jí + 7s — 0‘i + Jt — 2),...,U'i - j i \ · Además para cada valor de / el estado con componente 2

defmida es único. Pero estos estados únicos son tales que, en general, ías componentes de y, y U no tienen valor definidos por separado. Este resultado es consecuencia directa de la incertidumbre cuántica en la orientación de los vectores del momento angular y de aquí resulta la complicación para construir estos estados.

Para confirmar estas afirmaciones, se puede considerar un sistema compuesto de dos subsistemas sin interacción. Llamando Ji y Ja a los momentos angulares de los susbsistemas y y XH<n a losestados de momento angular de cada subsistema, de acuerdo a las definiciones se tiene que,

* Para una discusión completa ver la Refetencia [22], Para un tratamiento más breve ver las Referencias t;!4] y [25],

® Brevemente, · - iO í + J i ) ÍJi - / ! ( .

en analogía con la regla dei triangulo pata vectores clásicos A y B.

A -I- S \A + B¡ ^ ¡A -

ADICION DEL MOMENTO ANGULAR


J i z X i ^ =( 7 6 )

Los estados del sistema completo se pueden expresar como productos de estas funciones. Se buscan estados compuestos que son autofunciones simultáneas de J * = ( J , + J 2 ) y de 7* y también de y o sea, se buscan estadoscuyosm om entosangularesjiy/i se suman para dar un estado de momento angular / y componente z igual a m. Llamando a esta función de estado compuesta, se tieneque,

(77)

que es la superposición más general de funciones producto que a su vez es autofunción simultánea de /i* y de Las constantes C se llaman coeficientes de Clebsch-Gordan y pueden determinarse por la condición de que sea autofunción simultánea de/®y d e J z .

Para verificar el teorema de adición vectorial se enumerarán los valores permitidos d e / y de m.

Respecto a m la respuesta es inmediata porque Jz = J u + V operando con y, sobre la ecuación (77) se tiene que,

ffi = /«i + m*. (78)

lo cual significa que ta suma doble de (77) se reduce inmediatamente a una sola aama. También establece que el valor máximo posible de m es jt que se alcanza cuando m ^yrih tengan sus valores máximos de i , y h respectivamente, “ y además que el valor máximo de i es 7max = /i + h· Considérese un sistema en el cual m es jx + h —‘i. Este estado se puede formar de dos maneras linealmente independientes; una, en la que /«, es igual a y /n* es A — 1, y la otra en la cual ntt es yi - 1 y m;, es igual a A·*' Una de estas combinaciones tiene que pertenecer al estado = j\ + jt que ya fue identificado, pero una segunda combinación (ortogonal) también existe y tie-

Debido a que hay un solo estado de este tipo en la supeipoúdón (77), este estado se determina Inmediatamente como

+ X ít í f (79)

y también el estado con /n = — (j , + ),

(80)

Estos estados son los únicos que siempre se pueden construir Inmediatamente,

" Estos dos estado linealmente independientes son Xj,j, y X ji.j·-·.

ne que estar asociada con el e s t a d o / + Í 2 - 1 . Pasando ft eitldM con m =7, + j í - 2, existirán tres estados linealmente independí·»· tes. Dos de ellos tienen que estar asociados con los estados de mo* mentó angular total identificados anteriormente, y el tercero esttAl asociado a un estado con momento angular} = y, + Á - 2. Se continúa de esta manera decreciendo ; por pasos enteros hasta que se han cubierto todas las combinaciones y ; alcanza su valor mínimo Jmin ~ U*1 “ A l·

No es difícil comprobar que en esta enumeración se han incluido todos los estados posibles. El argumento es el siguiente. La degeneración del primer subsistema es (2 j , + 1 ) , la del segundo es {2jt + Oy^ por lo tanto, deben de existir (2y, + 1)(2A + I) estados linealmente independientes en cualquier representación. Se puede calcular a continuación el número total de estados en la representación (y,/n). La degeneración de un estado con momento angular/ es l j + 1 y, por lo tanto, suponiendo que J t ^ j ^ se tiene que,

{2 7 , + 1 ){2 7 , + 1) ( 2 j + l ) .j - i i - J i

Se puede calcular la suma escribiéndola en orden inverso, sumándola a la original y dividiendo entre dos. El primer término de cada sumando es 2 (2 7 ) + Oque también lo es para cada par de términos. Como existen (27*2 + 1 ) términos en total, se obtiene el resultado deseado.

Entonces, se han verificado las reglas establecidas anteriormente para la adición de momentos angulares. Estas reglas son equivalentes a las de los vectores ordinarios pero suplementadas por las condiciones cuánticas usuales para los estados de momento angular. Las mismas reglas se pueden aphcar para sumar más de dos momentos angulares. Para hacerlo, se suman dos de ellos y al resultado se le suma el tercero y así sucesivamente.

Existen muchos ejemplos importantes de la adición de momentos angulares. En uno de estos el hamiltoniano es, aproximadamente, independiente del espín, por lo cual el momento angular orbital total de todas las partículas y el momento angular espinorial total forman dos sistemas independientes. El primero se describe en términos de estados de un momento angular L y el segundo por estados de un momento angular S . Estos dos momentos angulares se acoplan por fuerzas débiles dependientes del espín para formar estados de mo* mentó angular total definido. Este esquema se llama acoplamiento Russell-Saunders o L-S y se aplica a estados atómicos en la primera parte de la tabla periódica. En el otro extremo se encuentra la clase de problemas para los que la interacción entre partículas individuales

ADICION DEL MOMENTO ANGULAR

(52 MOMENTO ANGULAR Y ESPIN

jueden despreciarse pero no las fuerzas dependientes del espín. En íste caso, cada partícula se describe por un estado de momento angu- ar total / y el sistema, como conjunto, se describe por la suma de es- :os estados individuales. Este esquema se llama acomplamiento j - j y le aplica a los estados atómicos en la última parte de la tabla periódi- :a y también a estados nucleares en la aproximación del modelo de :apas.

Ahora se puede dar un ejemplo de la adición del momento angular, ie encontrarán los estados de espín total para dos partículas con es- )ín un medio. Este ejemplo es el más sencillo posible, pero de modo [ue todos los detalles se puedan presentar. Sea S, el operador de es- )ín para la primera partícula y S2 el de la segunda partícula. Sea f los estados de espín correspondientes. De acuerdo con la ecua- :ión (77), el estado espinorial más general posible de un sistema de los partículas se puede escribir como la superposición de;2 · ^ + I) (2 ' 4 + I) = 4 estados espinoriales compuestos,

= C™++X, + X2+ + C,m+-Xi+X2_ + X,-Xs-

(81)

'omo se está hablando de estados puros de espín, los autovalores del nomento angular espinorial se han llamado s en lugar de / y los esta- los compuestos espinoriales se han abreviado como X s * . También, >or conveniencia, los índices Wi y en la suma (77) se han sustjtui-10 por los signos más y menos. Finalmente, la suma se ha escrito ex- ¡lícitamente porque contiene sólo cuatro términos.

Ahora se buscan las cuatro combinaciones lineales particulares que on autoestados simultáneos del espín total y de su componente z.11 operador del espín total es

S = Sl + S2 (o-i + íTs) o-. (82)

r tos estados que se buscan son aquellos para los cuales,

• ^X,n. = -í(í +

> bien, en términos de los operadores de Pauii,

o'“x™. = 4 í ( í - l - l )x™

o-iX™ = 2otx,„.£$tos estados se identifican fácilmente con la ayuda del teorema de a adición. De acuerdo con este teorema, dos partículas de espín un

(83)

(84)

medio se pueden combinar para dar solamente espín uno y espín cfr ro. Los estados de momento angular máximo y | m j máximo siempre se pueden construir en forma trivial, y están dados por las ecuaciones (79) y (80). Para este caso, son Jos estados con s = = ± I , porlo cual se obtiene inmediatamente que,

Xll +(85)

X i , - i = X i - X í - ·

Los dos estados que faltan, ambos con m = O, son combinaciones lineales de X i+ X s - y de X 1- X 2+. ¿Qué combinación lineal de dos estados corresponde a s = l , m = O el miembro que falta del conjunto de tres subestados s = 1 ? Observando que cada estado de 5 = 1 identificado por la ecuación (85) es simétrico respecto al intercambio de los espines de las partículas uno y dos, se sigue que el estado buscado también debe de ser simétrico. Entonces, debidamente normalizado, ei estado es

Xio = : ^ (Xi + X i - + X 1- X 2 +) ■ (8 6 )

Evidentemente, el estado faltante que tiene J y m = Oes una combinación lineal análoga pero ortogonal al de la ecuación (86) y, por lo tanto, es el estado antisimétrico

Xoo = ^ / 2 ( X i + X s - ~ X 1- X 2 + ) ' (8 ^ )

ADICION DEL MOMENTO ANGULAR 3 S 3

Ejercicio 9. Verificar la afirmación de que el estado / = 1, m = O tiene que ser simétrico porque los estados j = 1 ,/n = ± lio son. Hacerlo considerando una rotación del eje de cuantización y demostrando que el operador de rotación apropiado es simétrico en los espines de las partículas.

No es difícil comprobar que los estados que se acaban de encontrar son autofunciones simultáneas de S' y o de a· y cji). De acuerdo con la ecuación (84) se tiene que demostrar que para los estados 5 = 1 ,

o-*Xm = 8x.„ m = l , 0 , - l <88)

y para los estados 5 = 0,<r®X«i = O

«»>

Las ecuaciones en a, son triviales pero las ecuaciones en a· son. Se pueden simplificar observando que,

cr^ = {o-, + o-j)* = cr,=* + o-j* + 2a-,

y, debido a que o·,* = ctj* = 3,

no lo

(Tí

at.cr = 6 + 2tr,

Comparándolas con las ecuaciones (88) y (89) se obtiene que o-i · da la unidad cuando opera sobre un estado con s = 1 y menos tres cuando opera sobre un estado de j = O . Este resultado se obtiene fácilmente, pero se dejarán los detalles para los problemas.

Recapitulando, con la ayuda del teorema de la adición vectorial se ha construido explícitamente el estado espinorial llamado tríplete con 5 = l y m = l , 0 , - l , y e l estado singulete con s ~ m = 0. Se encontró que el primero es simétrico respecto al intercambio de espines y el segundo es a n t i s i m é t r i c o . L a s funciones de estado normalizadas y sus propiedades se resumen en la Tabla L

Triplete Singulete

s = 1 Í = 0o·* = 8, (Ti · (Tj = 1 = 0 , ( 7 , · (7i = - 3

m = l : Xi,, = Xi+)c¡+

«> = 0 : Xi.o = (Xn-Xí_ + x , - x s + ) "< = 0 ; X*.»

- , ^ { X i + X í - - X i - X 2 + )

m = - l : x,._ , =

Xi.n. es simétrica Xo.e 6s antisimétricarespecto al intercambio respecto al intercambio____________ respecto at intercambio________________ respecto ai intercambio

Tabla I. Estados espinoriales normalizados para dos partículas de espín un me dio.

Como segundo ejemplo, muy importante, se puede considerar la adición del momento angular orbital y espinorial para el caso de espín un medio. Unicamente se darán los resultados, dejando los detalles para el Ejercicio 10. Para un momento angular orbital / O , hay dos estados con momento angular to ta l; = / ± i , de acuerdo con el teorema de la adición vectorial. Estos estados, a los cuales se les llamará se deñnen como," Esta conclusión comprueba la afirmación del Capítulo VIII de que los estados antisimétri- cos de dos partículas pueden clasificarse como el producto de un estado espinorial antisimétrico (singulete) por un estado espacial simétrico, o bien, como el producto de un estado espinorial simétrico (triplete) por un estado espacial antiamétrico.

= A /(V +Se expresan en términos de las autofunciones de i* y y de los estados espinoriales por,

[V / + m + 1 ií»i„x+ + V / - m x_] (90)

y por,

■ / ·j = l - - , m i = m + ^

^ 2 / + 1 ~ ^ + V / + m + 1 0t.„.nx-]· (91)

En la ecuación (90), m toma todos los valores enteros entre — (/ +1) y /, y en la ecuación (91) tom a los valores enteros entre - l y l - 1.

La importancia de este ejemplo proviene de la existencia de la llamada fiierza espín-órbita. Para un electrón que se mueve en un potencial central y ( r ) , esta interacción está representada en el hamiltoniano por el término,

donde L es el operador de momento angular del electrón y 5 su operador espinorial. Este término, cuyo origen es relativista, es consecuencia del hecho de que el campo magnético producido por una partícula cargada en movimiento interacciona con su momento magnético espinorial. Un hamiltoniano que contenga este término conmuta con J^, Jz y U pero no con L¡. Entonces, los estados de momento angular son precisamente los de las ecuaciones (90) y (91). Esta relación se puede hacer explícita observando que

J ^ = ( L + S)^ = L + 2L·■S + S ^

de donde se obtiene que para una partícula de espín un medio,

ADICION DEL MOMENTO ANGULAR 3 S f

y por lo tanto las autofunciones simultáneas de J y L* son también autofunciones deL · S, es decir,

( L -S ) =

Para j = / + 4 ,L S tiene autovalor th^l2, y para y = / - 4 tiene autovalor - ( /+ 1) h^l2.


Ejercicio 10. Obviamente, las funciones de las ecuaciones (90) y (91) son autofunciones de L' yJ¡. Usar la ecuación (66) para verificar que son autofunciones simultáneas de L · S y por lo tanto de

Ahora, se puede tomar un sistema, como el átomo de hidrógeno, descrito por el hamiltoniano,

^ ~ 2^ + í^(r) + / / sptrmrbli·

Este hamiltoniano es separable en un producto de funciones radial y angular de la forma,

spin) = R¡i

Usando los resultados obtenidos anteriormente para los autovalores de L S.la función de onda radial R¡, satisface la ecuación

A L d i d R , \ r i { l + \ w , / 1 ^2mr· <ir\ d r ) ^ > 2mr

d yR ilc ^ r d r

= (93)

donde la línea superior dentro de los paréntesis se refiere al estado / = l + y la inferior al estado j ^ l - Naturalmente, que el término espín-órbita está ausente para estados s (í = 0 ) , por lo cual la ecuación (93), que es exacta, se apHca solamente para / # O . La perturbación provocada por este término es responsable de la estructura fina de los estados atómicos, y en el dominio nuclear la existencia de una interacción espín-órbita fuerte es esencial para la explicación de las estructuras de los núcleos en el modelo de capas. En el caso atómico donde este término generalmente es pequeño, se puede tomar como buena aproximación la teoría de perturbación a primer orden para la contribución a la energía. Un estado de un electrón con l dada se desdobla en un doblete, cuyo corrimiento en la energía es.

PROBLEMAS

?!flím :

A £ = - J L · Cf)«'· 1 ) .

Entonces, la energía de separación de los dos estados es

La separación de las famosas líneas D del sodio, es un ejemplo del desdoblamiento producido por la interacción espín-órbita.

Problema I.(a) Calcular la energía del estado base del átomo de hidrógeno

suponiendo momento angular semientero. Comparar la energía de ionización con el valor experimental.

(b) ¿Cuáles son las autofunciones del estado base?

Problema 2. Para el oscilador armónico isotrópico en tres dimensiones, encontrar la energía del estado base y la autofunción correspondiente, suponiendo momento angular orbital semientero.

Problema 3. Econtrar las relaciones de conmutación de L j, L„, L,, L*con p^ , py , p t , p ' \ y con j:, y, z,

Problema 4. Considerar el movimiento de una partícula en un campo central Vir), Sea ^ „ ( í· ) la autofunción del hamiltoniano que corresponde al momento angular total / y componente z en unidades de ft. Demostrar que,

es una autofunción de H que corresponde a la misma energía £ y al mismo momento angular total l, sin importar el valor de /3 ni la orientación de ñ . ¿También es 0 ' una autofunción de ? Explicar.

Problema 5.(a) Suponer que n es un vector unitario orientado arbitrariamen

te. Llamar l,m,n a los cosenos directores respecto a los ejes x,y,i, .respectivamente. Demostrar que,

/ - im'In / — im\

donde cr es el operador (vector) de Pauli. Verificar que (n ■ <7 )· = 1, sin importar la orientación de n.

(b) El estado de espín un medio más general es la superposición,

X = Í/+X+ + íí-x^ |«+P + = l,

donde son las autofunciones de con autovalores ± 1. Usar el resultado de la parte (a) para encontrar los valores de a+ y a_ si x es la autofunción de ñ · cr. (Sugerencia: los autovalores de (n · o-)son ± 1 . ¿Porqué?).

(c) El resultado de la parte (b) proporciona los estados espino- rales referidos a un eje arbitrario y no al eje z. Suponer un electíón que tiene su espín orientado a lo largo del eje x positivo. ¿Cuál es su función de espín? ¿Cuál es la probabilidad de que una medición de la componente z del espín dé el valor +1/2?

Problema 6.(a) Debido a que (L,, <¡>) = fi/í y ya que O ^ <}> ^ es

finita necesariamente para cualquier estado, explicar cómo es posible tener estados de L¡= mh definida sin violar el principio de incertidumbre de la ecuación (V-49). (Sugerencia: la ecuación (V-49) se cumple para operadores hermitianos únicamente. ¿Para qué clase de funciones «(<í>) , es hermitiano?).

(b) Considerar el paquete de ondas,

U W = 2 exp [ - (0 - 0 0 + 2í77)*/2t*] .,í = -®

Demostrar que para cualquier función periódica


d4> = fi4>)

(c) ¿Cuál es la probabilidad pm de que una medición de Lj para el paquete de ondas u{4>) dé como resultado m hl

(d) Graficando |m(^)P contra <t> y pm contra m, discutir las incertidumbres en 0 y .

Problema 7. Sea el operador de translación, RniÑ el operador de rotación, P el operador de paridad y Pu el operador de intercambio. Determinar cuáles son las parejas que conmutan:

(I) (ii) « í ( i 8 ) , / í s ( r ) ; (iii) fis(j8),/í| ,,(j8);(iv) P, r „ : ( V ) P, P,J.

¿CXiál debe de ser la relación entre n y a si Ta y R'ni.0) conmutan?

Problema 8, Considerar un sistema de dos partículas idénticas sin espín. Demostrar que el momento angular orbital del movimiento relativo sólo puede ser par ( / = O, 2,4, . . . ),

Problema 9. Demostrar por cálculo directo que los estados triplete del espín de dos partículas de espín un medio son,

· o·! Xtm = Xi«; m = i, o, - 1 ,

y para el estado singulete,

o-f ' Xoo = -3x«o·

Problema 10. Encontrar donde y X>imi se dan enlas ecuaciones (75) y (76) y donde J = Ji + Ja - Sugerencia:

Jl "I" 2 i·

Problema 11. La función de estado de un electrón es

4- = /i(r) r,« ( ^ , 0 ) x , + ^ (0,<í>)x-

(a) Demostrar directamente que la componente z del momento angular total del electrón es 1/2 y que el electrón tiene momento angular orbital igual a uno.

(b) ¿CXiál es la densidad de probabilidad de encontrar al electrón con espín hacia arriba en r, ? ¿Cuál será la probabilidad de encontrarlo con espín hacia abajo?

(c) Demostrar que la densidad de probabilidad de encontrar al electrón en r, 6, <j>, , independientemente del espín es esféricamente simétrica, o sea, independiente de 0 y de 4>-

Problema 12. Escribir la función de estado más general en el espacio de configuración consistente con las condiciones:

(a) Una partícula en una dimensión con momento lineal p definido.

(b) Una partícula en una dimensión con momento lineal p de signo no especificado.

(c) Una partícula en tres dimensiones con momento lineal vectorial p definido.

(d) Una partícula en tres dimensiones con momento lineal de magnitud p sin especificar dirección.

PROBLEMAS 3 5 9

(e) Una partícula con momento angular definido / y m como componente z.

(f) Una partícula con momento angular definido / pero con componente z no especificada.

(g) Una partícula con momento angular total no definido pero con componente z definida tw.

Problema 13. Escribir las constantes de movimiento para cada uno de los casos siguientes (considerar únicamente las variables dinámicas: energía, componentes del momento lineal, componentes del momento angular, el cuadrado del momento angular y paridad):

(a) Una partícula libre.(b) Una partícula en un campo centraL(c) Una partícula en una caja cúbica.(d) Una partícula en una caja esférica,(e) Una partícula en una c^ja cilindrica cuyo eje está orientado

a lo largo del eje z.(f) Una partícula en una caja de forma irregular.(g) Una partícula cacada en un campo eléctrico uniforme en la

dirección z.(h) Una partícula cargada en un campo électrico variable en el

tiempo pero espacialmente uniforme y en la dirección z.

Problema 14.(a) Demostrar que un operador A que conmute con L ^ y

también conmuta con(b) Suponer que A conmute con i / y conL^^. ¿Se puede lle

gar a conclusiones análogas respecto a su conmutador con L?'i

Problema 15.(a) Sea ^ un operador vectorial independiente del espin. De

mostrar que,

{<j · k V = A^ + i(T· (AX A).

(b) Tomando ñ como un vector unitario arbitrario y ^ ( r ) u n a función de la posición independiente del espín, demostrar que

= eos + ia· · ñ sin 0 .Problema 16. El operador más general dependiente del espín un medio es lineal en el espín. Convertir los siguientes operadores a funciones lineales

(a) (b) (1 + Wj,-H(c) (o-, + <r„)" (d) 0 + o - í ) "(e) (acTj + ^a^)"

Problema 17. Como el inverso de un operador A se define de Ift guíente manera, ‘

= A A - ' = i,

reducir a formas lineales las expresiones siguientes:(a) a , - ' (b) (2 + 0 ·^)-'(c) ( l + (Tj. + ÍCTJ,)-* (d) (2 + (7,)~‘ (2 + o-„)(e) (2 + tr„){2 + tr^)-' {f) ¿Tiene(l+<T^) un inverso?

Problema 18.(a) Para una función arb itraria/(r), demostrar que,

e>- -> '> / ( r )= / ( r + a).

(b) Tomar »ít(r, /) como una solución de la ecuación de Schrödinger para una partícula moviéndose en un potencial y(r). Demostrar que í'*“·'*'* iíi(r, í) es una solución de la ecuación de Schrödinger para el movimiento en un potencial F (r + a).

Problema 19. Considerar la transformación de un sistema de coordenadas 5 a un sistema de coordenadas 5 'que corresponde a un cambio de origen

r ' = r - a .

r y r ' sólo son diferentes etiquetas de coordenadas para el mismo punto físico en el espacio como se muestra en la Figwa 4. Sea 0 (r, O la función de estado en 5 y 0 ' ( r ' , r ) en S ’ . Demostrar que esta

PROBLEMAS

Figura 4. Transformación de coordenadas que corresponde a un cambio de oil· gen. Las coordenadas de /*son, r en iS* y r'en 5'.

transformación puede inducirse por el operador de translación T„ de la ecuación (47) de acuerdo con

r i r \ 0 = T . ^ ( r ' , t )

y que, como debe de ser (¿por qué?),

( M r , í )k |0 (r , / ) ) = (tí>'(r', í ) | r ' + a |0 ' ( r ' , f) )■

Además, demostrar que p' = p y que

OP = l0(p, í)p.

(¿porqué?). ¿Es <^'(p , í ) =<í»(p,/)?

Probiema 20. Considerar una transformación en la cual un sistema físico aislado se desplaza una distancia constante a , manteniendo fijo el origen de coordenadas. Una parte del sistema originalmente en r ' se ha transladado al punto r donde,

r = r ' -I-a.

Como se ilustra en la Figura 5, en contraste con el cambio de origen discutido en el Problema 19, cada punto en el espacio retiene su eti-


F^ura 5. Transformación de r'a r, para un sistema físico aislado que corresponde a una translación uniforme a respecto a su origen fijo.

queta en esta transformación. Sea0 ' (r O la función de estado antes de aplicarse la translación y 0(r, r) la función después de la transformación. Demostrar que se cumplen todas las conclusiones del Pro

blema 19 y, por lo tanto, es indiferente que se translade el sistema fí" sico respecto al origen o que se translade el origen (en sentido opu«í- to) respecto al sistema físico.

Problema 21. Demostrar que el operador que induce una translación Pq en el espacio de momentos es

Tp, = (94)

Problema 22. Considerar una transformación de Galileo'^ entre el sistema 5 y el sistema de coordenadas 5 'que se mueven con velocidad relativa constante v. Clásicamente,

r' = r - v / (95a)

p' = p - í f i v , (95b)

y la forma de las ecuaciones de movimiento clásicas es exactamente la misma al expresarlas en cualquier de las coordenadas. Ningún sistema de coordenadas tiene preferencia y, por lo tanto, el concepto de reposo absoluto no tiene significado en un sistema que cumple con la mecánica de Newton. El mismo resultado es válido en la mecánica cuántica (¿por qué?). ¿Cómo se puede demostrar este hecho? Sea «ír(r, f) la función de estado en 5" y sea »/»'(r',/) la función de estado correspondiente en 5 '. Entonces, si ^ es una solución de la ecuación de Schródinger

*“ - · ..........

PROBLEMAS

2m V r ^ + n r )

se tienen que satisfacer las condiciones siguientes:(i) í) es solución de la ecuación,

0 ' ( r ' , / ) = ( - ^ ^ + c ) 0 ' { r ' , / ) , (9'6)

en donde se ha permitido la posibilidad de que haya una constante aditiva en la energía c, que no puede eliminarse porque es indetectable y, por lo tanto, no tiene consecuencias físicas.

(ii) El valor de expectación de cualquier función de las coordenadas se tiene que transformar según la ecuación (95a),

(<íí(r, í ) l / ( r ) |0 ( r , / )) = <«fr'(r', f ) | / ( r ' + ví)]tí''(r', í )> . (97)

(iii) El valor de expectación de cualquier función del momento se tiene que transformar según la ecuación (95b),

'=‘Un tratamiento detallado, desde un punto de vista diferente al desarrollado aquí, m encuentra en la Referencia [29], pp. 174-177. Ver también las Referencias [21], [22] y [28].

■ -Vi.l

< Ψ ( γ , / ) | / ( ρ ) | Ψ ( γ , i ) > = < Ψ ( γ ' , / ) | / ( ρ ' + /« ν)|ψ(Γ',/)> . ( 9 8 )

(a) Debido a la ecuación (95a), se podría escribir Ψ'(γ' , t) = Ψ(γ' + vi, /) . ( 9 9 )

Sin embargo, demostrar que esta expresión no satisface ninguna de las condiciones (i) o (íü), ecuaciones (96) y (98).

(b) Para saber cuál es el error en la ecuación (99), hay que observar que corresponde a la expresión,

0 ' ( r ' , í) = f-'···'""* 0 ( r ' , í ) ,

o sea que 0 ' se genera sólo por la transformación espacial de la transformación de Galileo, omitiendo la translación en el momento. Entonces, debido a la ecuación (94), se sugiere la transformación combinada.

Ψ'(γ ' , / ) í*”·'’'"' Φ(γ ' , 0

= ί-""ν·"Μψ^^' + ν / , ί ) . ( 100)

Demostrar que esta expresión sí satisface las tres condiciones y calcular la constante aditiva en la energía,

(c) Las translaciones en el espacio de momentos y en el espacio de configuración no conmutan. Demostrar que si el par de transformaciones que llevan a la ecuación (100) se aplican en orden inverso, la nueva función satisface las tres condiciones, pero se altera la constante en la energía.

(d) Ni (b) ni (c) son totalmente satisfactorias, pues cada urm impone un orden arbitrario y antinatural de las dos translaciones simultáneas e inseparables que forman la translación de Galileo de la ecuación (95). Para resolver este problema se considera la transformación total formada por una secuencia de transformaciones infinitesimales generadas por incrementos en la velocidad Sv. Demostrar que transformaciones infinitesimales en el espacio de configuración y en el de momentos son conmutativas. Integrando estas transformaciones infinitesimales combinadas, demostrar que se obtiene la transformación combinada simultánea y simétrica

ψ ' ( Γ ' , 0 = ί - * 0( r ' , í )( 101)

(e) Para calcular (101) usar el siguiente teorema que se enuncia sin demostración.'^ Si /I y S son dos operadores y su conmutador

La demostración se encu^U a en la Refetencia (29), p, 145,

iA,B) es un número a , entonces exp [A + = e x p ^ e x p 5 exp(—y a ) . Usando este resultado demostrar que,

PROBLEMAS 365

<íí'(r',í) = exp * ( r ' + « , < ) , (102)

y que la constante aditiva en la energía es cero.(f) Demostrar que, para un sistema de partículas, la transforma

ción de Galileo será la que se ha encontrado con m sustituida por la masa total del sistema y r y p sustituidas por las variables dinámicas del centro de masa R y P .

(g) En un sistema aislado, cuyo centro de masa se mueve como partícula libre, examinar la forma particular que toma la función de estado para las transformaciones discutidas anteriormente.

Problema 23. Un átomo de hidrógeno en su estado base se mueve con velocidad v a lo largo del eje z en el sistema de coordenadas del laboratorio. Si repentinamente el protón se deja en reposo por algún tipo de colisión, calcular la probabilidad de que el átomo de hidrógeno permanezca en su estado base. (Por sencillez, tomar la masa del electrón despreciable respecto a la masa del protón). Usar los resultados del Problema 22 para obtener el estado inicial del sistema.

XIAlgunas aplicaciones

y otras generalizaciones

1. EL ATOMO DE HELIO; LA TABLA PERIODICA

El estudio de átomos del tipo helio, proporciona un ejemplo excelente de ta aplicación de tas técnicas y de las ideas de la mecánica cuántica. Un átomo del tipo helio es un sistema que consiste de dos electrones interaccionando con un núcleo de carga Ze. Para simplificar, se despreciará el movimiento del núcleo, o sea se considera al núcleo como si tuviera masa infinita. Para empezar, también se despreciarán todas tas interacciones que dependan del espín. Entonces, el sistema se reduce a un par de electrones moviéndose en et potencial culombiano det núcleo e interaccionando electrostáticamente entre sí. Suponiendo et núcleo en et origen, el hamiltoniano será,

I Ze^ Ze^tin Im r, j r i - r i l ’ <0

donde r, y son tas coordenadas de los dos electrones, como se indica en la Figura I, y Pi y p* son tos momentos respectivos. Et último ténnino en ta expresión para H, que describe ta interacción elec- trón-electrón, es el responsable por las complicaciones del problema. Aunque los efectos de este ténnino decrecen al crecer Z, en general, no es pequeño. Sin embargo, se comenzará por tratarlo como una

EL ATOMO DE HELIO; LA TABLA PERIODICA 361

Figura 1, Sistema de coordenadas para un átomo tipo helio.

perturbación y más adelante se usará el método variacional de Rayleigh-Ritz para obtener un resultado mejor.

Al despreciar la interacción electrón-electrón, eí hamiltoniano no perturbado es separable y, por lo tanto, la función de onda del estado base es el producto de funciones de onda hidrogénicas. Entonces, se tiene que,

00( ! t 2 ) — 0100 l)0too{^2) tdonde.

0 io o { í · )

3/í

(2)

(3)V«*/con flo el radio de Bohr. La energía no perturbada del estado base es el doble de la energía hidrogénica de! estado base,

ZV*&o = - 2 (4)

y la corrección a primer orden de la energía, AEt, , será.

Esta expresión se reconoce como la energía de interacción de dos distribuciones de carga superpuestas, esféricamente simétricas y cuya densidad de carga es

P = e 0io«*{/·),siendo fácil dar una estimación razonable de la magnitud de AE^, Cada distribución de carga tiene una caiga total e y se extiende a una región espacial de radio aJZ aproximadamente, según la ecuación(3). Entonces, excepto por un factor numérico del orden de uno, la energía de interacción AEd es e^(iaJZ) = Zé ¡ao. La característica ¿n- portante de este resultado es su lineatidad en Z en lugar de ser cuadrática como lo es la energía no perturbada. Por esta razón decrece la importancia de la interacción electrón-electrón at crecer Z.

368 ALGUNAS APLICACIONES Y OTRAS GENERALIZACIONES

El valor del factor númerico en la expresión para se puedeobtener usando técnicas electrostáticas elementales. Un procedimiento más general sería hacer uso de un desarrollo muy familiar en la teoría del potencial y que no se demostrará aquí. Este desarrollo es,

TilLé r '+1 í-o

Pí(cos e ),

2 ; ^ híteos e), 5= r,.(6)

donde O es el ángulo entre n y r* : contribuye únicamente el término esféricamente simétrico (J = 0) debido a la ortogonalidad de los polinomios de Legendre, y la integral que resulta no es difícil de calcular. Por cualquier método la energía será,

Air 58 flo ’

de modo que el factor numérico por el cual hay que multiplicar la estimación anterior es 5/8. La expresión a primer orden para la energía será,

(7)flo ^ ^0

Este resultado y la energía no perturbada se dan en la Tabla I para los elementos desde el helio (Z = 2) hasta el carbono (Z = 6) cuatro veces ionizado. Las energías observadas también se encuentran en la Tabla I, de lo cual se concluye que los resultados son muy buenos considerando las aproximaciones hechas.

Este cálculo se puede medorar mucho si se usa el método variacional. Un error fundamental en el cálculo de la teoría de perturbación a primer orden es debido a que ninguno de los electrones se mueve en el campo del núcleo exclusivamente, sino que cada uno está escudado en cierta forma por el otro. Este hecho se puede tomar en cuenta aproximadamente suponiendo como función de prueba para cada electrón una función de onda hidrogénica apropiada a un núcleo de caiga Z ' e en lugar deZe, y determinando Z 'p o r variaciones. Entonces, se tiene que para el primer electrón.

(8)

y análogamente para el segundo. Después de un cálculo largo pero directo, se obtiene

£ . ( Z ' ) — £ ( 2 Z Z ' - 2 — 5 f ) .

EL ATOMO DE HELIO; LA TABLA PERIODICA

que, naturalmente, se reduce a la ecuación (7) para Z' qué?). Haciendo d E ^d Z ' igual a cero se obtiene que.

Z ' = Z - 5/16,

donde

Ea = - Z\6)

m

= Z (¿por

(9)

( 10)

que es más bajo que el resultado de la teoría de perturbación a pri^ mer orden, ecuación (7), y por consiguiente más exacto. Este resultado es exactamente el resultado que se obtendría si cada electrón se moviera independientemente en el campo de un núcleo de carga (Z — 5/16)c. Los resultados variacionales también aparecen en la Tabla I y son muy cercanos a los valores observados.

Energías del estado base (eF)

Elemento No perturbado Primer orden Variacional Experimental

He 108.24 74.42 77,09 78.62

Li* 243.54 192,80 195.47 197.14

Be·^* 432.96 365.31 367.98 369.96

676.50 591.94 594.6 594.6

974,16 872.69 875.4 876,2

Tabla I. Energías de ligadura observadas y calculadas para átonios tipo helio (según Pauling y Wilson, Referencia [20] ),

Ahora se presenta el problema mucho más difícil de tratar los estados excitados de los átomos tipo helio, que se discutirá solamente con la teoría de perturbación. Del resultado no perturbado se concluye que, excepto para estados excitados muy altos, nada más se necesita considerar el caso en el cual un electrón permanece en su estar do más bajo ( ¿por qué?). Un estado no perturbado, simetrizado y no muy excitado tiene la forma

r*)1

[<#»l(K>(^i)<í*ním(''a) — ^ l o o í ^ í ) 0 n í i t i ( < ‘l ) J » ( 1 O

donde se etiquetan los estados por los números cuánticos sólo del electrón, ya que son los únicos que cambian de un estado a otro. Como el estado base del electrón no tiene momento angular orbital, el momento angular orbital del estado 4>bi», es / y su componente z es m. Para el hamiltoniano independiente del espín que se está conaide-


rando, el momento angular orbital total y su componente z, son constantes de movimiento exactas. Entonces, la clasificación de los estados será exacta dentro de esta aproximación independiente del espín, aunque las estimaciones de las energías sean poco exactas.

Como los estados de / y m diferentes no están acoplados por la perturbación, la corrección a primer orden de la energía de los estados de la ecuación (11) se pueden calcular usando la teoría de perturbación no degenerada. De los resultados del Capítulo VIII se sabe que, a este orden, las energías perturbadas tienen la forma

Eai — + Jnt ± ( 12)

independientes de m y donde el signo positivo se refiere a estados simétricos y el signo negativo a estados antisimétricos. La energía de Coulomb es

(rt) |ri - Til

y , la energía de intercambio está expresada como.

= // ki - r.Estas integrales no se calcularán aquí. Evidentemente cada una es precisamente la cantidad familiar Ze*/«o , excepto por factores numéricos que decrecen al crecer n.

Finalmente, para completar la descripción es necesario incluir el espín. Ya que los electrones son partículas idénticas de espín un medio, satisfacen el principio de exclusión. Entonces, los estados espaciales simétricos deben de estar multiplicados por estados espinoriales antisimétricos o singuletes, y los estados espaciales antisimétricos multiplicados por estados espinoriales simétricos o tripletes. Como consecuencia, el espín de cualquiera de los electrones puede alterarse, invirtiéndose al ocurrir una transición entre cualquier estado de la serie singulete y cualquiera de la serie triplete, llamándoseles de esta inanera a este coiyunto de estados. Casi nunca se presenta este tipo de transición bajo condiciones normales, por lo cual estas series son prácticamente independientes. Históricamente tuvieron origen diferente, por lo cual tuvieron nombres diferentes, llamando para-helio a los estados singulete y orto-helio a los estados triplete.

Aunque no se ha intentado calcular las integrales J y K , sq nota que J es claramente positiva y K también tiene que ser positiva. Esto último se sigue de que la interacción electrostática media de los electrones en el estado espacial antisimétrico, tiene que ser menor que en los estados espaciales simétricos debido a las correlaciones impuestas

por la simetría, presentándose de esta manera a condición de qiM K tenga el mismo signo que J. Entonces, Jos estados triplete se encUMí tran más ab ^o que los estados singulete correspondientes, to cualM un ejemplo de una regla general conocida como regla de Hund, qut dice que los estados de espin más alto son los estados que se encutn· tran más bajos.

Juntando todas estas conclusiones, se pueden exhibir las caractfr Tísticas principales del espectro de helio. Esquemáticamente se exhi> ben en la Figura 2. En esta figura, se tiene la conffeuración no peiV turbada con la designación espectroscópica común de los estados

y la configuración electrónica.

EL ATOMO DE HELIO; LA TABLA PERIODICA

\s2 p -

1í2í-

¡ ET i — €ii + J n + K i,

’S,x:£¡0 — 8io + Jm +

\s2p-

ií2i -

(

V En = £21 + Jll — Ktl

'A...’S,

£20 = £¡0 + ./jo ^ Km

Estados triplete (ortohelio)

Estados singulete (parahelio) :

Figura 2 . Espectro del helio.

La diferencia en el signo de la contribución a la energía de intei^ cambio K^i para los estados triplete y singulete, se pueden expresar en una forma interesante y sugestiva. Recordando que cr, ■ <Tí - —3 cuando opera sobre los estados singulete espinoriales y o-, · o- = I al actuar sobre los estados triplete espinoriales, la energía a primer o ^ den se puede escribir simbólicamente en forma

nt

porque el factor entre paréntesis es +1 para los estados triplete y -1 para los estados singulete. En este sentido, la energía depende explícitamente de tos espines relativos de los electrones aunque el haníiltoniano no contenga el espín. Debido a que los electrones tienen un momento magnético alineado con el espín, se tienen aquí las bases del ferromagnetismo, incluyendo la naturaleza exclusivamente electrostática de las fuerzas responsables de él.

3 7 2 ALGUNAS APLICACIONES Y OTRAS GENERALIZACIONES

Hasta ahora se han despreciado todas las interacciones dependientes del espín, en particular la interacción espín-órbita que es la dominante. Cuando se incluye este término en el hamiltoniano, resultan las modificaciones siguientes:

(1) U, ya no son constantes de movimiento exactas,aunque y J , sí lo son. Entonces, los estados no sólo son estados singulete y triplete exclusivamente, sino que ocurren transiciones débiles (aproximadamente) entre la serie “singulete” y “ triplete” . Se llaman líneas de intercombinación.

(2) Para una l dada, los estados “ triplete” se desdoblan en tres componentes j = l+ 1, l, I — 1. Aunque esta clasificación de estados es aproximada, la interacción espín-órbita es débil, el desdoblamiento es pequeño y la aproximación es buena.

Esta sección se puede concluir con algunas observaciones breves acerca de la tabla periódica.' Se considerará la descripción de un átomo en la aproximación de partícula independiente, donde se supone que cada electrón se mueve en el potencial culombiano del núcleo y en el campo electrostático promedio de los demás electrones. Además se supone que este campo promedio es esféricamente simétrico. Si se desprecian las fuerzas de espín-órbita, se puede asignar a cada electrón un número cuántico principal n y números cuánticos de momento angular / y m, en analogía con los estados hídrogénicos. Naturalmente que la energía no depende de m, pero cada nivel caracterizado por una /, tiene degeneración {21 + l ). Además, si se toman en cuenta las dos orientaciones posibles del espín del electrón, la degeneración total es 2(2/ -f- 1). Para estados hidrogénicos, la energía depende solamente de n y no de /, siendo una consecuencia de las propiedades especiales del potencial culombiano. Pero la interacción electrostática promedio entre los electrones altera la dependencia radial de la energía potencial en la cual se mueve cada electrón, e introduce una dependencia de /. Específicamente, los estados de menorl para una cierta n tienen la energía más baja. Esta conclusión se obtiene de que al disminuir el momento angular, la barrera centrífuga es menos efectiva y aumenta la probabilidad de encontrar al electrón cerca del núcleo donde el potencial nuclear culombiano es fuerte además de ser atractivo. La energía de los estados para una n y l dadas depende de la carga nuclear Ze, y gradualmente disminuyen cuando Z crece de un elemento al siguiente.

El estado base de un elemento es aquél en el cual los Z electrones ocupan el conjunto de estados de partícula independiente más bajo

' P m un tiatamiento detallado ver J. C. Slater, Quantum Theory o f A tom ic Structure, Vols. 1 y 2, McCraw-HlU (1960). Paia una discusión elemental ver, G. P, Hatnwell y W. E. Stepheas, A tom ic Pftysics, McGiaw-Hill (1955).

EL ATOMO DE HELIO; LA TABLA PtR lO D IC A m

posible que sea consistente con el principio de exclusión de Pauli. En general, los estados se ocupan en orden creciente de « y en orden crfr ciente de / para cada «. Un estado d e« y / dadas, contiene 2(2/ + 1) electrones, cada uno con la misma energía. Estos estados se llaman capas y los electrones en la misma capa se llaman electrones equivalentes. Las configuraciones de los estados base de los átomos, se pueden obtener en gran medida del ordenamiento de estas capas según ta energía. Si se usa ta notación espectroscópica común, en ta cual el número cuántico principal tiene su valor numérico y / se denota por una letra, el orden de los estados observados empíricamente serál í , 2 í , 2 p , 3j-, 3 p , [4í-, 3 (/] , 4 p , [5 í , 4 í/ ] ,

5 p , [ 6 í , 4 / , 5 í / ] , 6 p , [ 7 5 , 5 / , W ] .

Ya se ha mencionado que estos estados aparecen en orden creciente de « y /. Sin embargo, para valores más grandes de l, el incremento de la energía con / es más pequeño que el incremento con «, y los estados aparecen en orden inverso. Por ejemplo, las capas 5s{n = 5, / = 0) y 5p(n = 5, / = 1) tienen energías más bajas que la capa 4 / (« = 4 , 1 = 3). Análogamente, las capas 6s y 6p tienen energías menores que Sf. Los paréntesis encierran capas donde esta compensación es casi exacta, de modo que dos o más capas tienen casi la misma energía. La forma de ocupar estos estados es bastante complicada pues hay que tomar en cuenta ta importancia relativa de las capas.

ocupación de la capa 3d es responsable por los primeros elementos de transición, o sea, el grupo del hierro, y la ocupación de la capa 4d produce el grupo del paladio. Al ocupar los catorce estados 4 / se obtienen las tierras raras y la de los estados 5 / el grupo del actinio.

La configuración electrónica del estado base de un átomo se especifica por el número de electrones en cada capa que, convencionalmente, se pone como índice superior en la designación de la capa. Entonces, usando el orden de tas capas mencionado, se pueden escribir los ejemplos siguientes:

z = 1, H : Is

Z = 2, He: li"

Z = 3, Li : 1s"2i

Z = 4, Be :

Z = 5, B : ls'2s^2p

Z = 11, Na:


Z = 36. Kr: Xs'ns^lp^snpHs^^d^oAp^

Para el último ejemplo se tendría que Kr tiene dos electrones en su capa Is, dos en su capa Is , 6 en su capa 2p, y así hasta tener 6 en su capa 4p. Esta notación es redundante puesto que la ocupación de las capas no se necesita escribir explícitamente; únicamente se necesita aclarar la ocupación parcial en la última capa para especificar la configuración. Por ello se usa la abreviación 3s para ei Na, 4p* para el Kr, 5í/*" para el Hg (Z = 80), 5s4cf® para el Rh (Z = 45) o SsMrf'“ para el Pd (Z = 46) . Este último ejemplo ilustra la naturaleza complicada y la importancia relativa entre los estados 5s y 4</ en el grupo del Pd.

Las propiedades químicas de los átomos están determinadas principalmente por los electrones menos ligados o electrones de valencia. Los factores dominantes son el número de estos electrones y el intervalo de eneigía a la siguiente capa no ocupada. Esta periodicidad en la aparición de las capas produce una repetición de las propiedades químicas y por lo tanto es responsable por el carácter periódico de la tabla de los elementos.

2. TEORIA DE LA DISPERSION

En la discusión de los estados estacionarios que caracterizan al movimiento de un par de partículas interaccionando mediante un potencial , únicamente se mencionaron estados discretos y ligados. A continuación se considerarán estados en el continuo, para lo cual se supondrá que f^(r)se anula en infinito con suficiente rapidez para que se cumpla que

lim r y ( r ) = O, (14)

con lo cual existirán estados continuos para todas las energías, £ 2= 0. Hay que notar que la condición (14) elimina el potencial culombiano. Más adelante se examinará este caso especial.

Como consecuencia inmediata de la ecuación (14) se obtiene que para valores grandes de r el potencial l'(r) resulta despreciable y la ecuación de Schrödinger se reduce a la de una partícula libre. Entonces, la función de estado parar grande se compone de estados de partícula libre. En el Capítulo IX se obtuvieron dos descripciones de estos estados, una en términos de autofunciones del momento lineal y otra, en términos de autofunciones del momento angular orbital.

TEORIA DE LA DISPERSION 37!

Ambas intervienen en la descripción de los estados que se buscan sl estos estados tienen significado físico.

Para poder entender el significado físico del problema, es necesario volver por un momento a una descripción independiente del tiempo. Se toma un paquete de ondas en el cual las partículas se encuentran muy separadas inicialmente, y se aproximan con momento relativo promedio p. Al transcurrir el tiempo, las partículas se aproximan, interaccionan y se separan en diferentes direcciones pero con la misma magnitud del momento relativo promedio, si la energía se conserva. Si el paquete resulta lo suficientemente ancho, la extensión en energía puede hacerse infinitesimal. Además, el tiempo necesario para que el paquete de ondas complete su interacción con el potencial resulta mayor. Entonces, en el límite de un paquete de ondas infinitamente ancho, el momento y la energía se pueden definir con precisión y los paquetes de onda incidente y dispersado coexisten en el tiempo. En este límite, que corresponde aúna descripción estacionaria, la onda incidente « mc resulta ser un autoestado del momento lineal.

— pivrik = e,lk-r (15)

donde se ha usado el vector de onda k = p/ft .Por otra parte, la onda dispersada «(»se, que sale de la vecindad

del origen, en donde ha ocurrido la interacción que la produce, tendrá la forma de una onda esférica viajera saliente. Entonces, a grandes distancias, cuando r tiende a infinito a lo largo de una dirección ñ , se tiene que

r-»"=o, tí»sc (ñ/·) =“ /( í i)giprll

■ f in) h - (16)

donde à es un vector unitario a lo largo de la dirección del radio vector r. Juntando las ecuaciones (15) y (16), el campo completo para r grande tiene la forma,

0 ( n , r ) - -1 - /(0 ) (17)

Las coordenadas usadas en esta expresión se muestran en la Figura 3, que también exhibe la onda plana incidente y la onda esférica dispersada.

El lenguaje del análisis subsecuente se simplificará considerablemente si se supone que una de las partículas tiene masa infinita y se encuentra en reposo. A esta partícula se le llama la partícula blanco. Entonces, los estados describen a una sola partícula incidiendo sobre una partícula blanco y dispersada por ésta. Se supondrá que el problema se presenta de esta manera.

Figura 3. Las ondas mcidente y dispersada de la ecuación (17)

La cantidad / ( ñ ) se liama amplitud de dispersión. Es la amplitud de probabilidad de que la partícula incidente emerja a lo largo de la dirección n como resultado de la colisión. Para expresar esta idea en forma más cuantitativa, se nota que el flujo de probabilidad de la onda incidente normalizado a la unidad es,

Usando la misma normalización, el flujo de probabilidad de la onda esférica saliente es.

Pero, la probabilidad por segundo de que la partícula atraviese el elemento de superficie dS después de la colisión es !«■ dS ■ Si dS se encuentra a una distancia r del origen, entonces

· d S = £ 1 / ( 6 ) p 5 - ^ =m m'

ya que ñ - dS = r^ tííl, donde dCl es el ángulo sólido subtendido en el origen por dS. Finalmente, la probabilidad d<r relativa de que la partícula emerja en el ángulo sólido dii será

dcr '■j s c d S

iJincI= l/(n)i^ da. (18)

La cantidad tiene dimensiones de área y se llama la sección eficaz diferencial para la dispersión en el elemento de ángulo sólido dü en n. La cantidad | / (ñ) |^, que simbólicamente se puede escribir

como dcridíl, se llama sección eficaz diferencial, o bien, simplementé sección diferencial. ' i

La razón para llamar a estas probabilidades relativas “ seccione! eficaces” o simplemente “ secciones” es la siguiente. Si se piensa en el flujo de probabilidad uniforme ji„o de la onda incidente, entonces úfcr es el área efectiva transversal en la región de interacción que inte^ cepta el flujo de probabilidad de Ja onda incidente y la transfiere al ángulo sólido dü. Quizás sea más claro si no se piensa en una sola partícula incidente y en una sola partícula blanco, sino más bien en un haz de partículas incidentes sobre un conjunto de partículas blanco. Entonces, si el flujo de partículas incidentes es J por cm*y por segundo y si el número de partículas blanco es N, el número de partículas dN que emergen por segundo en dCl es

TEORIA DE LA DISPERSION

dN =JNdtr = JN\fin)\^ dSl, (19)

de donde cada partícula blanco tiene un área efectiva da para interceptar una partícula incidente y dispersarla en t / í t . La cantidad dN es una cantidad que se observa experimentalmente y la observación de secciones y su dependencia de la energía y dirección es la principal fuente de información sobre ías interacciones entre partículas elementales. No es mucha la información pues lo que se puede concluir acerca de las interacciones se obtiene a partir de las secciones observadas.

En la mayor parte de la discusión anterior se ha tratado la partícula blanco como si tuviera masa infinita, pero no se presentan dificultades serias si la masa de la partícula blanco se toma en cuenta. Se pueden aplicar todos los resultados obtenidos hasta ahora pero teniendo en cuanta que las ecuaciones se refieren a las coordenadas del centro de masa y no a las coordenadas del laboratorio.

Falta proporcionar un método para calcular amplitudes de dispersión y secciones, pero restringiendo la atención a potenciales esféricamente simétricos y considerando estados de momento angular defini·

‘ Es ínstiuctivo comparar esta des^ipción cuántica de las ondas de probabilidad incidentei y dispersadas, con la descripción clásica en ténninos de tiayectorias. Hay que recordar que la sección clásica se define como el número de partículas desviadas en íííl por unidwl de tiempo y por unidad de flujo incidente, en completa analogía con la definición cuántica. b i ^ se puede íerordar (jue paia un potencial esféricamente simétrico, el ángulo de desviación de una partícula clasica de energía dada depende solamente del^ á m e t r o dé impacto y por lo^tanto, únicamente de su momento angular. Entonces, el analisis clásico se hace tomando estados de momento angular d e b id o . Como se vera en un momento, el tníU tli cuántico de tales potenciales también se trata de la misma manera aunque se pletde 1· leta- cíón precisa y directa entre el momento a n c la r y los ángulos de desviación. Una preienti* ción detallada de la teoría de la dispersión clásica se encuentra en la Referencia f I5j; «1 tema también se trata más biebemente en la Referencia [14].

1 . ^


do l. Entonces, la parte radial de la función de onda R eí satisface la ecuación (IX-49),

V{r) R k, = ER E i - (20)

Si V (r)fuera cero, estas funciones radiales serían las funciones Jtikr) de la partícula libre que, de acuerdo con la ecuación (IX-63), parar grande toman la forma

sen(/:r-/7r/2)kr

Ya que V(r) resulta despreciable para r grande, la presencia del potencial no puede alterar la forma funcional pero sí podría alterar la/ose de la función senoidal. Entonces se tiene que,

R Els e n {k r ~ tn ¡ 2 + Sj)

kr (21)

La cantidad S, = 8, (E) se llama el desfasamiento de la onda parciall-ésima. Se puede calcular resolviendo la ecuación radial para R eí y examinando la forma asintótica de la solución parar grande.

Una vez determinadas las S ,, el propósito final es el de expresar la amplitud de dispersión y la sección en términos de los desfasamientos. Esta expresión se logra formando la superposición de ondas parciales

y escogiendo los coeficientes C|„ de tal manera que tenga ta forma de la ecuación (17) cuando r resulte muy grande. Si se escoge el eje z a lo largo de la dirección de incidencia, el término que corresponde a la onda plana incidente en la ecuación (17) se puede expresar en términos de ondas esféricas usando la ecuación (IX-68) como,

i‘ (21+ \)j,(kr)P,(eos 9),J-o

de donde no es muy difícil demostrar que,

= O , íw O

Ct„ = V4Tr(2t+ 1) m = 0 .

(ver, por ejemplo Referencia [24} ), Con este resultado se o b t t l l | |que.

0 0 .oí*'·

donde

= 7 2 V ^M 27TT) sin (e)■ 1-0

= (2/+ 1) e‘®ísin 0,P,{0).(22)

Í -O

Para una energía determinada E, la amplitud de dispersión depende únicamente del ángulo entre la dirección incidente y la dirección de dispersión, y está completamente determinada una vez conocidos los desfasamientos 6 j . Las magnitudes de S, están relacionadas con la intensidad del potencial de interacción en forma bastante complicada. Pero si no existe interacción, con lo cual las partículas se mueven libremente, por definición se anulan los desfasamientos y se observa que la amplitud de dispersión y ta sección también se anulan.

La sección diferencial da - mide la probabilidad de que una partícula sea dispersada hacia un ángulo sólido infinitesimal d ü . También es de interés considerar la sección total o-, que mide la probabilidad de que una partícula sea dispersada en cualquier elemento de ángulo sólido, De la definición se obtiene que,

d<T

d í íd i i = ¡ \ m \ |/(^)|* sin 0 d 0 d (23)

y haciendo uso de la primera forma de la ecuación (22) y de la ortonormalidad de ^,(0) se obtiene que.

4iT^ X ( 2 / + l ) s e n = « i-0

(24)

El hecho de que exista una probabilidad definida, proporcional a la sección total o·, para que una partícula se disperse en cualquier dirección, significa que el flujo de probabilidad decrece a lo largo de la dirección de incidencia para que la probabilidad se conserve. Este decrecimiento se logra mediante la interferencia entre la función de esr tado incidente y la amplitud de dispersión en la dirección hacia adelante. ' Este argumento implica la existencia de una relación general entre la sección total y la amplitud de dispersión hacia adelante. Para establecer esta relación es necesario examinar la amplitud de dispersión hacia a d e la n te /( í = 0). Recordando que para toda /,

P,{d-0) = 1,

de la ecuación (22) se obtiene que,

/(0 = O) = ~ y (2/+ 1) e'^isend,^ 1=0

= ~ V ( 2 / + 1) eos S ,s e n S , + - 2 ( 2 / + l)sen ^ 6,.* (=0 k

Como el segundo término es proporcional a la sección total, la relación que se busca se puede expresar en la forma

0- = ^ l m f ( 0 ^ O ) . (25)

Entonces, se puede decir que la sección total <r es i ^ a la 4 n dividido entre el número onda reducido k por la pca te imaginm'ia de la amplitud de dispersión en la dirección hacia adelante. Este importante resultado se conoce como el teorema óptico o como el teorema de la sección. Este resultado expresa el requisito de la conservación de la probabilidad de que la amplitud de dispersión de la onda incidente se reduce en proporción a la probabilidad total de que lá partícula se disperse en cualquier dirección. Es oportuno señalar que el resultado es mucho más general de lo que el método de obtención hace suponer; es válido para potenciales arbitrarios, esféricos o no, y para procesos de dispersión arbitrarios.

En las expresiones que se han obtenido para la amplitud de dispersión y para la sección, intervienen sumas sobre los desfasamientos de las ondas parciales. Cuestiones sobre la convergencia de estas series infinitas merecen cierta atención en este momento. La importancia de la barrera centrífuga en mantener las partículas separadas juega el papel dominante en estas consideraciones. Para valores de / suficientemente grandes, ias partículas no se aproximan lo suficiente como para interaccionar y ios desfasamientos que corresponden a tales valores de 1 tienen que anularse. Para hacerlo algo más cuantitativo, la distancia de aproximación mínimo entre dos partículas con energía relativa E y momento angular relativo l es el lugar donde, aproximadamente, la altura de la barrera centrífuga es igual a la energía total E,

i { i + \ w^ '

Si se desprecia el uno respecto a / se obtiene una expresión más simple,

/ = Afo, V 2 ^ /A .

Si el alcance efectivo de la interacción es ü , se espera que n f ll ltt muy pequeña cuando / exceda apreciablemente a /m** *■ kR, poi^ que las partículas no se acercarían lo suficiente como para que hayt interacción. Entonces, el número de términos que contribuyen a U suma sobre tos desfasamientos de las ondas parciales es del orden de kR, lo cual significa que para altas energías, cuando kR ^ 1, partíci* pan muchos desfasamientos en la sección y resulta una función que varía rápidamente con el ángulo. Sin embargo, a energías b^as kR < l, solamente el desfasamiento de la onda S o l = O difiere apreciablemente de cero y la dispersión es isotrópica.

Esta sección se concluirá con algunas observaciones sobre el caso particular del potencial culombiano que viola la ecuación (14). Por ello, los estados del continuo no se reducen a la ecuación (17) parar grande y resultan más complicados. Analizando el problema se pueden encontrar la amplitud de dispersión y la sección. Si se usan coo^ denadas parabólicas se puede obtener una solución completa y exacta y la amplitud de dispersión se puede escribir en forma cerrada, áendo el único caso conocidopara el cual se puede hacer, Específicamente, se encuentra que si dos partículas de masa reducida m, con cargas Z¡e y Z^e respectivamente, inciden una sobre otra con momento relativo fik, la amplitud para la dispersión de Coulomb por un ángulo $ respecto a la dirección incidente es

fe W = “ 2ks^n^$j2 f

donde el parámetro culombiano i} es

y donde el factor de fase jS es tal que,

í «» = r ( l + i i ) ) / r ( l -IT,) .

La función T se llama función gamd^ y es una generalización de la función factorial, y está defmida como

r(j ' + 1) = J í'-'jc*' dx.

Cuando v es un entero se puede comprobar fácihnente que F(v +1 )= v !.El parámetro culombiano íj se expresa frecuentemente en térmi

nos de la velocidad relativa v de las partículas,

T) = ZiZte^lhv =

*Pot qem plo, ver la Referencia [8].

donde la constante de la estructura fina a que no tiene dimensiones es,

« = 1^=1/137.

Cabe señalar que la expresión que se ha dado para la amplitud de dispersión culombiana es la que corresponde a la interacción repulsiva entre dos cargas similares. Para dos cargas de signos opuestos i) cambia de signo, lo cual significa que fc se substituye por el negativo de su complejo conjutado.

La sección diferencial para dispersión culombiana se obtiene en la forma usual a partir de la amplitud de dispersión y está dada por

dadü = l / c l * = 4A* sin* $12 sin* $12

Esta expresión concuerda exactamente con el-resultado clásico para la dispersión de cargas puntuales, obtenido por Rutherford en 1911, y llamada la sección de Rutherford. No se puede dar ninguna explicación de esta correspondencia única entre la sección clásica y cuántica. Sin embergo, es importante observar que esta conespondencia ocurre debido a que la magnitud de la amplitud de dispersión no contiene a A y tampoco la contiene d<r¡dil y como consecuencia asume el valor clásico. Pero la fase de la amplitud de dispersión es una cantidad cuántica exclusivamente, por lo cual cualquier proceso que dependa de esta fase exhibirá efectos cuánticos. Un ejemplo importante e interesante de este hecho es la dispersión de partículas idénticas.

Si dos partículas interaccionan y una de ellas emerge a un ángulo $ en el sistema de coordenadas del centro de masa, la otra emergerá a un ángulo tt- 0 . Si la primera emerge a un ángulo ir - la segunda emergerá a un ángulo B. Si las partículas son idénticas, estas dos posibilidades no se pueden distinguir de ninguna manera. Clásica- mente,!las secciones de ambos procesos tienen que sumarse y el resultado clásico para partículas idénticas es

\ d í i / classicaIda($) da{TT — 6)

~ d S Í dii

Cuánticamente se tienen que combinar las amplitudes de dispersión y no las secciones, con el signo relativo determinado por la simetría de las funciones de estado. Para partículas sin espín por ejemplo, partículas (a) la función de onda total tiene que ser simétrica, por lo que las amplitudes de dispersión se suman con el mismo signo,

^ = l / W + / ( i r - d ) | S

Para partículas de espín un medio (por ejemplo electrones o pl nes), la fundón de onda tiene que ser antisimétrica en las coofdl das espaciales y espinoriales juntas. El estado simétrico espadil combina con el estado espinorial de singulete y el estado antisilÉlf trico espacial se combina con el estado espinorial de triplete. E lpfii mero tiene peso estadístico uno y el último lo tiene igual a tres. Eli· tonces, para partículas de espín un medio no polarizadas, ^'

\ m + f i n - e ) \ ^ + 1 |/{tf) - f i 7 T - e ) \ K

En ambos casos los resultados contienen términos de interferefr cia que dependen de la fase relativa de la amplitud de diversión en $ y en w - , y los cuales son de estructura cuántica.·* Para dispersión culombiana de partículas idénticas después de substituir fe de la ecuación (26), estas expresiones resultan ser las s i le n te s :

espín cero

d i T _ ( Z,Z^é^V [· 1 1 2cos (T|f/ttan"g/2)dSl \ 2mv* ) Isen^ fl/2 eos" 012 sen^ 012 eos* $12

espín un medio

da _ ( ZtZ^e^y f 1 1 cosinin tan" 0/2)dü \ 2mv^ ) [seiV $¡2 eos* 012 sen® 012 eos* 6/2 J '

En cada caso, los primeros dos términos dan el resultado clásico; el último término es el término de interferencia cuántico. Naturalmente que el ténnino de interferencia tiene que desaparecer en el límite clásico, y es interesante examinar cómo desaparece. Cuando ft tiende a cero v crece sin límite y el término de interferencia oscila rápidamente. Si ía energía o el ángulo de observación se desparraman por una cantiddad infinitesimal, entonces, provoca que eí promedio de este término sea cero y por lo tanto resulta inobservable.

3. FUNaONES DE GREEN PARA LA DISPERSION; LA APROXIMACION DE BORN

En la sección anterior se estableció un tratamiento formal de la teoría de la dispersión. Se introdujo la ampütud de dispersión y en términos-de eUa se definió una cantidad que se puede medir experimentalmente, la sección. Para el caso especial de potencíales esféri-* Estos efectos no son pequefíoa. Pot ejemplo, a 90° la sección d í r / í í n es dos veces el lesiil- tado clásico para partículas án espín y la mitad del resultado clásico para partículas de espín un medio.

PUNCIONES D E GREEN; APROXIMACION DE BORN


camente simétricos se estableció un método para calcular esta cantidad, el método de las ondas parciales. El cálculo requiere de la solución del conjunto de ecuaciones radiales (20). Estas ecuaciones son tan complicadas, aún para la interacción más simple, que no se intentó discutir sus propiedades.^ Como resultado, no se pudo presentar una descripción cualitativa del carácter general de los procesos cuánticos de dispersión.

En esta sección se corregirá este defecto presentando un método de aproximación introducido por primera vez por Bom. La aproxl· mación de Bom no es más que teoría de perturbación aplicada a estados continuos y está restringida a interacciones suficientemente débiles.* A pesar de esto es una guía indispensable para la dispersión y sirve como la norma respecto a la cual todo se refiere.

La aproximación de Bom se obtendrá mediante dos métodos totalmente diferentes. En el primero se obtiene una ecuación integral exacta para la función de estado mediante la función de Green para la partícula libre. En el segundo método se toma el proceso de dispersión como una transición, inducida por el potencial de interacción entre estados de momentos inicial y final definidos y, así, usar los métodos de la teoría de perturbación dependiente del tiempo.

(a) Método de la función de Green.^ Se busca una solución de la ecuación de Schródinger dependiente del tiempo que se escribe en la forma

2miV^ + k ^ ) ^ { r ) = ^ V { r H i r ) (27)

donde

siendo k el número de onda de la partícula libre para la eneigía E. Se supone que £ > O y que rV(r) se anula en infinito de acuerdo con la ecuación (14). La solución que se busca está sujeta a las condiciones a la frontera dadas por ta ecuación (17) para r grande, que se repetirán por conveniencia;

/likr^(r) = e“‘- ^ + / ( h ) V ,

’ En la práctica, estas ecuaciones se resuelven casi exclusivamente por métodos numéricos con la ayuda de comtnitadoras digitates rápidas. Ver Sección 10, Capitulo VI.

* Pero no está restringida a interacciones esféricamente simétricas. Contrasta con el método de las ondas pardales que resulta completamente intratable para interacciones no esféricas, excepto en casos muy especiales,

’ Fara una discusión general de la fundón de Oreen ver la Referencias [6}a [13).

FUNCIONES DE GREEN; APROXIMACION DE BORN

donde r = firLa ecuación integral que se obtiene para <í((r) incorpora estas OOIÍ·

diciones a la frontera al usar la función de Creen G {r ,r ' ) = í? (r',r)* definida como la onda saliente pura, solución de la ecuación inhomogénea

(V* + A ^ ) C ( r , r ' ) = - 6 ( r - r ' ) . (28)

En esta expresión 8{r — r ' ) es la función 8 de Dirac, que se puede tomar como el producto de tres funciones 8 en una dimensión,

5 ( r - r ’) = 8 ( x - x ' ) H y - y ' ) H z - z ' )

y tal que,/ S ( r - r ' ) < / V ' = l .

Entonces, la función de Green se puede tomar como la función de onda en el punto r generada por una fuente puntual en r ' ,

Posponiendo la construcción de G por un momento, se observa que cualquier función ilf que satisfaga la ecuación integral

= f G(r, r ' ) F(r ') 4-(r') d^r'" Jall space

(29)

en una solución de la ecuación de Schrödinger (27) que satisface automáticamente las condiciones a la frontera de la ecuación (17). Se obtiene que t¡> es una solución al operar sobre la ecuación (29) con (V® + Este operador anula el primer término a la derecha y cuando opera sobre G bajo el signo de integración se obtiene la función 5 de Dirac de acuerdo con la ecuación (28). Entonces,

(V^ + Jt*) C(r, r ' ) K(r') 0 ( r ' ) d^r' ,

= ~ j 8 { r - r ' ) V(r' ) 4>(r') d^r',

= ^ V ( r ) Hr ) ,

que es la ecuación (27). La ecuación (17) se satisface porque G contiene sólo ondas salientes en r generadas por una fuente puntual en r ' , por lo cual la integral a la derecha de la ecuación (29) es simple

mente una superposición de estas ondas salientes y, por lo tanto, toma la forma requerida para r grande. En breve se demostrará este a fe c to explícitamente.

El siguiente paso es la obtención de G. Se parte de la relación,


47T${r), (3 0 )

que es la transcripción en el lenguaje de las ecuaciones diferenciales de la expresión culombiana para el potencial electrostático de una carga puntual. El potencial electrostático 4> generado por una densidad de carga p está dado por la ecuación de Poisson

= — 4 n p .

El potencial de una carga puntual de intensidad unidad es 1/r y su densidad de carga p es S ( r ) ; inmediatamente se obtiene la ecuación (30).® Si ahora se usa la identidad.

g ikr

7*— = r

oikr V * - - Jt*

se obtiene que.

= -47T8(r)

= -4 irS (r),

donde al pasar a la última línea se ha usado la propiedad de la función S, g(r)8(r) = g(0)S(r) para g(r) arbitraria. Finalmente, corriendo el origen al punto r ' se obtiene que,

,íWr-r'l= - S ( r - r ' ) ,4iT-|r-r'|

y comparando con la ecuación (27) resulta que,

G ( r , r ' ) =jíWr-r'l

(31)4 í r l r - r ' lAl substituir esta expresión explícita para la función de Green en la ecuación (29), se obtiene la ecuación integral exacta.

^(r) ,ík*r_ m J |7 — i7|-^ '(r')« í<(r ') d ^ r ' . (32)

"U n análisis directo de la ecuación (30) pennite evitar el recunir a la electrostática. El laplaciano de l/r se anula para f O, lo cual se obtiene llevando a cabo las diferenciaciones directamente. Al integrar la ecuación (30) sobre un volumen infinitesimal Que contenga el origen se obtiene - 4™· para el miembro derecho y se obtiene el mismo resultado para el miembro izquierdo después de aplicar el teorema de Green (ley de Gauss). Ver la Referencia [18). en particular las pp. 543-4.

Ahora se puede encontrar una expresión para la amplitud de dllM persión haciendo tender r = Ar a infinito. Bajo estas condícionei, ' >'

„ i k \ r ~ r ' \ « í f c l n r - r ! l ¿ i k r . / 1 \£-------= 1 ----------= 1 ----+ — I| r - r ' l |6f - r ' | r V / ’

en donde se ha desarrollado |r — r ' | en una serie de Taylor según

/ i ( r - r ' ) = /i(r) - r ' ■ V/i(r) + · · ·.

Entonces, después de substituir este resultado en la ecuación (32) se encuentra que para r grande,

que es de la forma exigida por la ecuación (17). Además, al compararla con esta ecuación, la amplitud de dispersión resulta ser

/(ñ ) = I K(r).ír(r) (33)

donde se ha suprimido el acento sobre las variables de integración. También esta expresión es exacta para cualquier potencial K(r).

La aproximación de Bom se obtiene inmediatamente si se observa que al ser V(r) lo suficientemente pequeña *, entonces, el segundo término de la ecuación (32) es una corrección pequeña al término

de la onda incidente. Entonces, se puede resolver la ecuación (32) en forma iterativa, análogamente a lo que se hizo en la teoría perturbativa. La solución a orden cero es la onda incidente, la solución a primer orden se obtiene substituyendo *1» en la integral por su expresión a orden cero, la solución a segundo orden se obtiene substituyendo la solución a primer orden, y así sucesivamente. El resultado es una serie en potencias crecientes del potencial de interacción que se supondrá convergente si F es suficientemente pequeño. El proceso no se llevará a cabo más allá del primer paso. Considerando únicamente la expresión para la amplitud de dispersión que se obtiene de la ecuación (33) al substituir ((»(r) por ia expresión a orden cero ' , se encuentra que,

" ' 2 ^ ¡ (34)

donde se ha introducido la dirección de incidencia no escribiendo It = K k. La cantidad /[(n* —n) = ¿k es el cambio en el vector del

* Más adelante se discutirá el significado de esta condición.

FUNCIONES DE GR EEN ; APROXIMACION DE BORN

388 a l g u n a s APLÍCACIONES Y OTRAS GENERALIZACIONES

número de onda entre la dirección incidente y la dirección de dispersión y, en esta aproximación, la amplitud de dispersión es proporcional a ia transformada de Fourier del potencial con A k como variable de transformación. La naturaleza cuántica de este resultado es clara; a la dispersión por un ángulo dado contribuye la función potencial en todo punto del espacio y no el potencial a io largo de una trayectoria localizada, como lo sería en el caso clásico.

Es instructivo escribir la ecuación (34) en términos de los momentos en lugar del número de onda. Arreglando los términos se tiene que.

(35)

donde se ha introducido el momento inicial Pj y el momento final p/ escribiendo

Pí = hkño = pño

Pf— ñkn = ph

y donde

p = V l m E .

Entonces, / (n) es proporcional al elemento de matriz de V entre los estados de momentos inicial y final no perturbados (partícula libre). Por lo tanto la sección diferencial

(36)

es proporcional al cuadrado de este elemento de matriz, por lo cual tiene la forma de una probabilidad de transición. A continuación se demostrará que este resultado se puede obtener directamente usando los métodos convencionales de la teoría de perturbación dependiente del tiempo.

(b) Método de la Teoría de Perturbación. Ahora se considera el potencial de interacción como una perturbación que induce transiciones entre un estado de momento inicial definido : p, y un coryunto denso de estados cuya energía final se conserva, es decir, estados con momento final p¡ = pn. Según la regla de oro de la teoría de perturbación dependiente del tiempo, ecuación (VII-37), la rapidez de transición será

w = ^ p { E ) \ y , , \ \

donde p(E) es la densidad de estados finales y V¡j es el elemento de matriz entre el estado inicial y un estado final tipíco.'®En este caso se está tratando con estados en el continuo, no físicos e idealizados, con momento lineal definido y adoptándose el artificio de usar condiciones a la frontera periódica en un cubo de lado L lo que permitirá normalizar correctamente estos estados y calcular su densidad. Con esta convención, los estados de momento lineal se escriben como,

= (37)

que evidentemente están correctamente normalizadas sobre el volumen de periodicidad L*. Entonces, se obtiene inmediatamente que

Si varía lentamente sobre todos los estados fínales que conservan energía, no es necesario que varíe lentamente como se supuso al obtener la regla de oro. Dicho de otra manera, el requisito de que

represente el elemento de matriz a un estado final típico no tiene significado si se permite que p/ cubra todas las direcciones. Entonces, es necesario restringir P/ a un intervalo infinitesimal de orientaciones en torno a alguna dirección dada ñ , es decir, se tiene que encontrar en un ángulo sólido infinitesimal díl en tom o a ñ . Significa que p (E) se interpreta como la densidad de esa fracción particular de estados con energía entre E y E + dE que tienen momento en d S l . Para simbolizar este resultado, se puede llamar dp{E) a la densidad relativa y a la rapidez de transición, por lo cual, usando la ecuación (38) se obtiene que

= I ^ ■ (39)

Debido a que la distribución de los estados de momento lineal para una partícula libre es isotrópica en el espacio de momentos, dp se puede expresar fácilmente en términos de la densidad p de todos los estados; precisamente es p multiplicada por la razón ^Í1 entre 4jr , o sea

. í/a

'"El significado preciso de la palabra típico con referencia a los estados finales se ad a ia ii más adelante.

FUNCIONES DE GREEN; APROXIMACION DE BORN 3 8 9

390 a l g u n a s a p l ic a c io n e s y o t r a s GENERALIZACIONES

De acuerdo con la ecuación (IX-18),

entonces,

y usando la ecuación (39) se obtiene que,

dü.

o sea la probabilidad por unidad de tiempo para una transición del estado inicial a cualquier estado final con momento orientado dentro del ángulo sólido díl . Dicho de otra manera, dW es la probabilidad por unidad de tiempo de que ocurra una dispersión en díl. Recordando la definición de sección diferencial do-, ecuación (18), este resultado no es más que donde Und es la magnitud del flujo deprobabilidad incidente,

U«el=;^l0incl" = ; ¿ 3 .

debido a la ecuación de normalización (36). Entonces, finalmente

dtr = ^ d W = ^ , \y\ dCl,

en concordancia con la ecuación (36).La utilidad y sencillez de la aproximación de Bom se ilustra mejor

con algunos ejemplos. Como primer ejemplo y debido a su importancia, se estudiará con cierto detalle el llamado potencial de Yu- Aawa,“

~rJR(40)

La constante y« se llama la intensidad del potencial de Yukawa, y R es el llamado alcance. Substituyendo en la ecuación (34) se tiene que,

m y^R (41)

"E l i>otencial de Yukawa es de importancia esencial en las interacciones nucleón-nucleón. También se usa frecuentemente para describir ufl potencial culombiano escudado (ver el Problema 8).

La integración se calcula fácilmente si se escoge el eje polar a lo llfÜ " de (ñrt - ñ) como se ilustra en la Figura 4. Llamando al ántulo tre (ño - ñ) y r , se tiene que,

a~rm

FUNCIONES DE GREEN ; APROXIMACION DE BORN

j\ít) = í dr ¡ sen OI dt»¿Tvn^ Jo Jo

Por ser el integrando independiente del ángulo azimutal, la integración sobre este ángulo es 2tt. La integración sobre m también se pue* de hacer fácilmente dando,

m V^Rw 1 = — ------^ /(« ) = ih^k •lo - n|

ImVnR'^ ( _________I\] + k m H Í i ^ - ñ y )

Este resultado se puede expresar inmediatamente en términos del ángulo de dispersión 6, que es el ángulo entre ñ« y íi, como se muestra en la Figura 4. Se obtiene que,

( ñ o ~ ¿ ) ^ = 4 s i n ^ 012,

Figura 4 , Sistema de coordenadas para la integración de la ecuación (40).

y e s c r ib ie n d o / ( ñ ) c o m o / ( 0 ) , se t ie n e q u e ,

ñO) " (1 + 4fe^fi-sen^ í)/2)-‘ . (42)

y ta sección diferencial será, do-díl | /(fl)|^= ) ' ( 1 + 4/t*«^sen^ 0l2r^. (43)

. *1

Finalmente, ía sección total se obtiene integrando la sección diferencial sobre todo el ángulo sólido, como en la ecuación (23). Llevando a cabo la integración se encuentra que'"

\ M i +4k ^ R^ j '(44)

Se observa que a energías suficientemente bajas 1, la ecuación (43) muestra que la dispersión es isotrópica, lo que concuerda con las predicciones anteriores en términos de las propiedades de los desfasamientos 8,. (üuando kR crece, la sección se va concentrando Iiacia adelante y, cuando 4k^R^ ^ 1, la dispersión está principalmente confinada en un dominio angular pequeño 0 < IfkR, que se llama el pico de difracción principal Este comportamiento se ilustra en la Figura 5. Como lo muestra la figura, la dispersión hacia adelante resulta ser independiente de la energía para la aproximación de Bom, mientras que la sección total decrece al crecer la energía, inversamente a la energía de acuerdo con la ecuación (44).

Rgura 5. Sección diferencial para et potencial de Yukawa para diferentes valores de kR, según la aproximación de Etom, ecuación (43),

Todas estas características son bastante generales, distinguiéndose únicamente por los detalles al pasar de un potencial a otro. Para observar este hecho explícitamente se puede considerar como segundo ejemplo un potencial gausiano ;

V{r)=

Suprimiendo los detalles se obtiene que.

(45)

(46)

“ La integral $e lleva a cabo fácilmente introduciendo la variable de in t^ a d ó n ^ = (1 - eos B) = 2«n^ e/2.

y finalmente,

Ejercicio 1, Obtener las ecuaciones (46), (47) y (48).

FUNCIONES DE GREEN; APROXIMACION DE BORN

De nuevo se encuentra que la dispersión en la dirección hacia adelante » = O es independiente de la energía y que la sección es independiente del ángulo a b^jas energías, pero al crecer la energía se forma un pico de difracción de anchura angular $ — 1 IkR. Finalmente, también se encuentra que la sección decrece inversamente con la energía a energías altas. La explicación de estos resultados generales es la siguiente:

Dispersión hacia adelante. De acuerdo con (34), la amplitud de dispersión hacía adelante, ñ = á*, es proporcional a la integral de volumen del potencial. Llamando /(O) a la amplitud de dispersión hacia adelante, se tiene que

/(*>)---- ^ / y(r) d^r. <49)

Excepto por factores numéricos del orden de la unidad, según las ecuaciones (42) y (46) esta ecuación se puede expresar como,

/ ( O ) - - ^ ^ ^ , (50)

donde es la intensidad del potencial y ií su alcance.Dependencia angular. A energías bajas tales como kR ^ l, el

factor potencial en el integrando de la ecuación (34) es del orden de uno sobre el dominio efectivo de integración, el cual es una esfera de radio R aproximadamente. Por lo tanto, para todos los ángulos,

/ ( « ) * / ( 0 ) .

de donde la sección es isotrópica a bajas energías y la sección total resulta sér,

o-= 47t| / ( 0)|* 4íT . (51)

Al comparar con las ecuaciones (44) y (48) en el límite de energías bajas, se encuentra otra vez el resultado correcto, excepto por factores numéricos del orden de la unidad,

A continuación se considerará el límite opuesto en el cual la energía es tan alta que kR > l . En este caso, las oscilaciones del factor exponencial en el integrando de la ecuación (34) tienen que tomarse en cuenta. Este factor oscila más rápidamente a medida que aumenta el ángulo, causando que la amplitud de dispersión disminuya bruscamente al apartarse de la dirección hacia adelante. Esta disminución se presenta para ángulos tales que,

A íí|ño-ft[ = 2*fisen0/2= 1,

debido a que para ángulos menores la exponencial se desvía poco de la unidad. Ya que fcR > 1 , esta relación se puede escribir como

$ = \lkR,

y de esta manera se ha demostrado que la anchura de pico de difracción es del orden de l/kR.

Sección total para energías altas. Este último resultado permite hacer una estimación rápida de la sección total a energías altas. Su característica esencial es que únicamente el pico de difracción principal contribuye apreciablemente a la dispersión, resultando que,

c f\lkK<r = ¡ \fie)iHenBdOc/(f>== j ¡f(0)\Hene

2t!AlkR

\ f W $ de ^ -^ in W k^R ^

y, finalmente, usando la ecuación (50)

_ ( mVoR^Y __n_ / k^R^' (52)

en concordancia con el límite a energías altas de las ecuaciones (44) y (48), excepto por los factores numéricos usuales.

Esta disccusión sobre la aproximación de Bom se puede concluir con ciertas observaciones acerca de su validez. La mayor parte de los tratamientos sobre este tema se basan en una consideración de la magnitud de la corrección de primer orden a la función de estado de onda plana de orden cero, pero resulta muy complicada.'^ Aquí se hará un análisis mucho más simple en el cual la sección total o- juega un papel muy importante. Dentro del espíritu de la teoría de per-

'■'Un tratamiento bastante completo se presenta en la Referencia [ Í8],

FUNCIONES DE G R EEN ; APROXIMACION DE BORN 395

turbación dependiente del tiempo la sección mide directamente la rapidez efectiva de las transiciones a partir del estado inicial. Esta cantidad debe de ser pequeña para que el tratamiento perturbativo sea válido. Expresándolo en forma cuantitativa, se toma esta cantidad como la razón del flujo de probabilidad dispersado sobre el flujo máximo dispersado, o sea, la incidencia sobre, la sección geométrica del dispersor, ír/?".‘ Esta relación es sencillamente y por lo tanto la aproximación de Bom es válida si esta relación es pequeña,

A energías bajas, usando la ecuación (51), la condición será(53)

(54)

y a energías altas, usando la ecuación (52), la condición se cumple cuando

I_ 1 (55)

Se observa que la condición para energía baja es mucho más fuerte que la condición para eneigía alta; cuando se satisface la ecuación(54), se satisface automáticamente la ecuación (55) porque contiene eJ factor que es pequeño a energías altas. Además, a energíassuficientemente altas, la ecuación (55) siempre se puede satisfacer aunque no lo haga la ecuación (54). Por esta razón, la aproximación de Bom se considera principalmente una aproximación para energías altas y complementa el método de desfasamiento que, como se recordará, resulta engorroso en el dominio de las energías altas.

Las ecuaciones (54) y (55) no son condiciones rigurosas o precisas, como es evidente de la forma como se han obtenido. Sin embargo, se puede dar un argumento que quizás sirva para restaurar la confianza en su validez. Hay que recordar que la solución exacta a cualquier problema de dispersión satisface el teorema óptico de la ecuación (25 ),

o- = ^ l m / ( 0 ) .

La aproximación de Born nunca puede satisfacer este teorema ya que, como lo expresa la ecuación (49), la dispersión hacia adelante en la aproximación de Born siempre es real. Este resultado implica que

'* Esta condición es máxima únicamente a energías altas. A energías bajas, ei máximo es mucho mayor debido a la difracción. Como resultado, esta estimación es muy conservativa.

3 9 6 ALGUNAS APLICACIONES V OTRAS GENERALIZACIONES

la aproximación de Born no es confiable a menos que la parte imaginaria de la amplitud de dispersión hacia adelante sea despreciable respecto al valor total de la amplitud de dispersión hacia adelante. Entonces, es necesario tener una condición autoconsistente,

Im/ (0) < 1/(0) I

o bien, multiplicando por 4«·/ y usando el teorema óptico,

o· ^ l / ( 0 ) [ .

Usando las estimaciones dadas por ías ecuaciones (50) y (51) se obtiene que, a bajas energías.

(56)

Esta condición resulta más débil que la ecuación (54) debido a que el factor l /kR resulta muy pequeño en el límite de energías bajas. Pero a energías altas se obtiene que,

1. (57)

que es la raíz cuadrada de la ecuación (55) excepto por factores numéricos, y por lo tanto es una condición algo más fuerte.

Entonces, resumiendo, el requisito de autoconsistencia y el requisito de que la rapidez de transición total sean pequeñas, llevan a condiciones equivalentes para la validez de la aproximación de Bom. Este resultado hace suponer que se han identificado las características fundamentales. Respecto a la aplicación de estas condiciones en la práctica, la guía más segura será la de usar la condición más restrictiva en el dominio de las energías consideradas,

4. MOVIMIENTO EN UN CAMPO ELECTROMAGNETICO

Considérese una partícula de carga positiva e que se mueve en un campo electromagnético extemo descrito por el vector potencial A(r, í) y el potencial escalar 0 (r , í). Se recuerda que en unidades gausianas las intensidades de los campos electromagnéticos y 5íí están dadas por

(58)

y el hamiltoniano clásico es,

= + (59a)

donde V es cualquier potencial adicional que pueda estar presente,·· No es difícü verificar que las ecuaciones de Hamilton

dxt _ »H d t dpi

d t ajt,

proporcionan las ecuaciones de movimiento correctas

m ^ ^ (V X 5«) - VK. (60)

Sin embargo, de la primera ecuación (59b),

dxi eA,

y p no es el momento cinético pero sí es el momento canónico, o sea, la variable que corresponde al momento en el sentido de las ecuaciones de Hamilton.

Los potenciales e lec tro m ^ é tico s no tienen un significado físico directo; únicamente lo tienen las intensidades de campo. Los potenciales y 0 no están completamente definidos por la ecuación (58). La clase de transformaciones que dejan a y a invariables se llaman transformaciones de norma y están generadas por funciones escalares arbitrarias x de acuerdo con,

A' = A - v x , = + (6 2 )

La selección de x determina la norma, pero ningún resultado físico depende de esta selección, o sea, de los potenciales A' y se obtienen las mismas intensidades de campo, las mismas ecuaciones de movimiento, etc., que se obtendrían de A y . Hay que observar que el momento canónico depende de la norma, aunque la velocidad de la partícula no depende de ella como se puede observar de la ecuación (60),' la cual no hace referencia a ninguna cantidad dependiente de la norma.

’* V « por ejemplo, Refetencia [14], especialmente el Capítulo I, Sección 5, y Capítulo VII, Sec5ción3, Ver también el Problema II .

M OVM ffiNTO EN UN CAMPO ELECTROMAGNETICO 397


Como de costumbre, el operador hamiltoniano se obtiene substituyendo las variables dinámicas clásicas en el hamiltoniano clásico por los operadores cuánticos correspondientes. Entonces, la ecuación de Schródinger resulta ser

i dt (63)

A pesar de la presencia del campo, la reglas de cormiutación entre p y r permanecen inalterables y siguen teniendo la forma usual,

(Pf, JCj) = y « u .

Entonces, en el espacio de configuración se tendría,

hP = 7V .

Se nota que, en general p y A ( r , t) no conmutan y es necesario aclarar el significado del primer término en la ecuación (63). Específicamente, se tiene que entender que este término tiene la forma simetri- zada.

( p _ ^ ) ( p . a + A · p ) - h ÿ (64)

en cuyo caso no es difícil concluir que es hermitiano.Se ha argüido que el potencia] vectorial y el potendal escalar no

están completamente definidos y que pueden alterarse mediante una transfoimación de norma. Clásicamente esta transformación no afecta a ningún resultado físico, y la misma conclusión debe de ser válida en el caso cuántico. Para ver este resultado se parte de la transformación de norma de la ecuación (62) y se toma t) como la función de estado transformada, solución de la ecuación de Schródinger en la nueva norma.

2m (p _ í K J + V H ' = - 7

Substituyendo la ecuación (62) se obtiene,

¿ ( p + í V * - £ a ) ’ W — (6 5 )

Comparando las ecuaciones (63) y (65) se obtiene que ^ y están relacionadas por la expresión

teme (66)

que se comprueba por substitución directa. Dicho de otra manera, la transformación de norma de la ecuación (62) se genera substituyendo por ^ en la ecuación (63). Entonces, se concluye que la arbitrariedad en la definición de los potenciales electromagnéticos se refleja en la arbitrariedad de la/ase de la función de estado» la cual está determinada solamente por una función escalar indetectable ^x/Äc, siendo éste el signiñcado de la invariancia de norma de la ecuación Schrödinger.**

Como ejemplo ilustrativo se puede considerar una partícula calcada en un campo magnético uniforme Para este caso, el vector potendal se puede escribir en la forma,

A = ^ ( 5 « X r ) .

Se puede verificar fácilmente que se satisface la ecuación (58). Como p conmuta con este potencial vectorial, se puede escribir A · p + p ■ A = 2A · p y, por lo tanto,

i p - e k í c Y = p ^ - - ^ { ^ X r ) -p + ¿ ( 5 í á x r ) * .

Pero,

X r) · p = ' (r X p) = · L ,

donde L es el operador del momento angular orbital y la ecuación de Schrödinger resulta ser,

MOVIMIENTO EN UN CAMPO ELECTROMAGNETICO 399

Imc 8mc* . - f f . (6 7 ,

El ténnino cuadrático en ^ se entiende fácilmente si se considera el movimiento de una partícula libre en un campo magnético. Clásicamente, la trayectoria de este movimiento es una hélice acotada en el plano perpendicular a El término cuadrático en íXí en la ecuación de Schrödinger es responsable por un confinamiento análogo de la función de estado respecto al movimiento, en el plano transversal. Además, es fácil demostrar que el movimiento en este plano es equivalente al movimiento armónico bidimensional.'^ Entonces, el término cuadrático es esencial en la descripción de tales estados. Por otra parte, al discutir los estados ligados de una partícula en algún potencial de confinamiento V, la contribución del término cuadráti-

Ver el Problema 10, Capítulo V, para «na discusión de la indetectabilidad de un factor de fase como el mencionado.

Ver Referencias [19] o [24].

4 0 0 a l g u n a s a p l i c a c i o n e s y o t r a s G EN ER A LIZA aO N ES

CO generalmente es muy pequeña y casi siempre se puede despreciar.El término lineal en ^ en la ecuación de Schródinger describe ta

interacción con un dipolo magnético de momento magnético

2mc

Si se desprecia el término cuadrático, es esféricamente simétrico y si se escoge el eje 2 a lo largo de , entonces, los estados estacionarios se pueden clasificar como autofunciones simultáneas de i* y de £ ; , pero la energía depende de los autovalores de i» . Si se tiene un estado con eneigía en ausencia de un campo magnético, entonces, en presencia del campo se tiene que,

Entmi — Ent ~eh

Ime

donde el estado degenerado {2/ - I - 1 ) veces se desdobla en 2/ -1- 1 estados con eneigía de separación iguales,

A E = - ^ 9 ^ .2 mc

La cantidad eh¡2mc se llama magnetón de Bohr; es el momento magnético de una partícula con momento angular orbital unidad. Al número cuántico m, se le llama frecuentemente número cuántico magnético debido al papel que juega en la fórmula anterior. Es conveniente señalar que todas las ecuaciones se han escrito para una partícula de carga positiva e. Para un electrón, e se tiene que substituir por -e en todas las expresiones.

Para terminar, es conveniente mencionar los efectos del espín, aunque sea brevemente. Asociado con el espín existe un nomento magnético que se puede escribir en la forma,

eh2 mc

Slh. (68)

La cantidad sin dimensiones g mide la razón del momento magnético en unidades de ehjlmc , al momento angular en unidades de h . Para el movimiento orbital g resulta ser la unidad. Para el momento magnético intrínseco del electrón, resulta que g tiene el valor dos. En cierto sentido, resulta que el momento angular espinorial es dos veces más efectivo para generar un momento m ^ é t i c o que et mo-

mento angular orbitai.*»La existencia del momento magnètico espinorial significa que el

hamiltoniano tiene que ser suplementado con un término de energia magnetica Por ejemplo, para un electrón en un campo magnético uniforme, el término lineai en 9(> en el hamiltoniano tiene la forma,

(At + M*pin) (L + 2S) (J+S)-5(É ,

donde J es el momento angular total. El análisis de este término, que Ueva al llamado efecto Zeeman anómalo, es bastante más complicado que para el caso de una partícula sin espín y no se tratará aquí.*®

5. TEORIA DEL ELECTRON DE DIRAC

En esta sección se desarrollará una versión relativista de la ecuación de Schrödinger para el movimiento del electrón. Para empezar, se considerará al electrón como partícula libre sin que haya ninguna fuerza externa actuando sobre él. Para este caso, el hamütoniano clásico relativista es,

TEORIA DEL ELECTRON DE DIRAC 401

+ (me*)*,

donde m es la masa en reposo del electrón y p su momento lineal. Si p es el operador cuántico usual, se puede concluir que H no está bien definida debido al signo de la raíz cuadrada.“ Una forma de evitar esta dificultad fue sugerida por Klein y Gordon que consideraron la expresión

'* Es inteiesante mencionar valores g paia otras partículas, midiendo siempre tos momentos magnéUcos en las unidades naturales de eh¡lmc^ siendo m la masa de la partícula. Para el m ^ n n , g t i dos también, como para el electrón. Ambos casos están de acuerdo^ con las predicciones de Ja teoría de Dirac. Pero el momento magnético intrínseco del protón no es un niagnetón nuclear (g ^ 2} como se acostumbra llamarlo, sino 2.79 magnetones nucleares Oí = 5. 59), y el momento magnético del neutrón no es cero (como para el neutrino) sino - 1 . 91 magnetones nucleares, donde el signo negativo significa que es opuesto al espín. Estos momentos m ^ é tic o s anomalos indican claramente la existencia de algún tipo de estructura para el protón y el neutrón. Estos temas son de m udto interés en la física de las partículas elementales.

“ Por qem plo, ver la Referencia 122].

" E n el espacio de configuración se tiene que desarrollar en serie de potencias la raiz cuadrada, por lo cual H es equivalente a un operador diferencial de orden infinito. Este hecho se puede evitar si se pasa al espacio de momentos, pero las ecuaciones que resultan son muy complicadas excepto para el caso especial de la partícula libre.


en lugar de

Esta ecuación es una ecuación relativisticamente correcta, pero debido a la segunda derivada respecto al tiempo, la probabilidad no se conservasi t¡f se interpreta como una amplitud de probabilidad. Resulta que esta ecuación, llamada ecuación de Klein-Gordon, se puede interpretar dentro de la teoría cuántica de los campos pero no se puede aplicar al movimiento de una sola partícula.

Este düema fue resuelto por Dirac usando el siguiente argumento. Si 0 se considera como una amplitud de probabilidad, entonces, en la ecuación de Schródinger sólo puede aparecer la primera derivada respecto al tiempo. Ya que relativisticamente las coordenadas espaciales y la coordenada temporal son coordenadas del mismo tipo, las coordenadas espaciales en la ecuación de Schródinger también tienen que aparecer sólo linealmente. Entonces se escribe,

imponiendo que f í sea lineal en el momento,

/ / = [a ' p e -I-

y donde a y j3 se determinan por la condición

//* = (pc)*+ (ntc*)*.

Se observa que Dirac impuso la condición de que

( 6 9 )

(70)

f í = V (p F Í^ T J m c ^

fuera una función lineal de p bien definida. Es claro que a y ^ no pueden ser números si las ecuaciones (69) y (70) se satisfacen, sino que tienen que ser operadores independientes de las coordenadas.

Teniendo en cuenta las caractarísticas de a y de jS se tiene que,

[ a · p e -I- = ( /w ) * + (me*)®

y, conservando el orden de todos los factores,

2 ? X + X (“ íi® + fiat)mc^p,ct i

+ f i ^ m c ^ y = p ^ c ^ + (m e*)*.

Comparando términos se concluye que = i o bien,

= = = 1 (71)

TEORIA DEL ELECTRON DE DIRAC 403

y además,

( a ¡ , a ¡ ) + = 0 , I ¥ ^ j

(a „ 0 )+ = O. (72)

Entonces, las cuatro matrices «.t, <** y fi anticonmutan entres i y el cuadrado de cada una es igual a la unidad

El álgebra de estos operadores de Dirac es idéntico al de los operadores espinoriales de Pauli, excepto que los operadores de Dirac son cuatro. Ya que los operadores de Pauli, junto con la matriz unidad, agotan el número de matrices independientes dos por dos, los cuatro operadores de Dirac no pueden representarse por matrices dos por dos. Matrices tres por tres tampoco los representan, pero las matrices que sí sirven son matrices cuatro por cuatro. Estas matrices no están totalmente definidas por las relaciones de conmutación, pero la selección convencional es,

i8 = a, —

(73)

a , =

O

O

O

^0 - I

que en notación compacta se escriben como,

(i -\) H l o)· (74)

donde cada elemento es una matriz dos por dos y o- es el operador e^inorial de Pauli.

Los operadores de Dirac coimiutan con todas las variables externas, tales como p y r , y por lo tanto deben de actuar sobre alguna clase de grados de libertad internos. Debido a la dimensionalidad de las matrices de CHrac, se debe de tomar a ^ como una función de

onda con cuatro componentes, llamada espinar. Esta función de cuatro componentes se escribirá como una matriz columna, o sea

(75)

sobreentendiendo que cuando una matriz arbitraria^ cuatro por cuatro, con elementos actúa sobre ^ , lo hace de acuerdo con las reglas de multiplicación de matrices, y dando como resultado otra matriz columna. Escribiéndolo explícitamente, se tiene que

A ^ =

Entonces,

a„<l>

(76)

Por lo tanto, la ecuación de Dirac

c [ a · p + 0mc] 0 = - y = £ 0 (77)

se entiende como una ecuación para estas matrices columna. E representa el operador de la energía total, incluyendo la energía en reposo de la partícula.

Se recuerda que si dos matrices son iguales, cada elemento d« Uf primera matriz es igual al elemento correspondiente de la segunda matriz. Entonces, la ecuación de Dirac es una forma compacta de cribir un coruunto de cuatro ecuaciones diferenciales lineales para las cuatro componentes de . Usando la ecuación (76), estas ecuaciones se escriben explícitamente como

h- iPyH4 + = - 7

TEORIA DEL ELECTRON DE DIRAC

(78)

cipx - ip v )^ + cpAí - ~ 7

c{Pí + íp„)«íti - CPA2 - wc=**í’4 = - 7 ^ '

Para resolver estas ecuaciones se toma un estado estacionario con momento lineal definido p y energía E, tomando p a lo largo del eje z. Si este estado se escribe como

^ (79)

donde U es un espinor con componentes constantes,

t /3

la ecuación (78) se reduce a las ecuaciones algebraicas

cp t/3 - (E -m c * )ty , = 0

~ c p U ^- iE ~ m c ^ )U 2 = 0

c p U , — ( £ + m c * )t /3 = 0

- c p U t - ( E + mc^)U^ = 0 .

(80)

Se verifica fácilmente que este sistema tiene solución si se cumple que,

E = ± V ( p c y + (mc^V. (81)

406 MOVIMIENTO EN UN CAMPO ELECTROMAGNETICO

Usando cualquiera de los signos se obtiene que

U j E + m < ^ ^V 3 p e E — mc^

E + mc p e

(8 2 )

p eE — mc^

La ecuación (81) es la relación relativista correcta entre energía y momento y establece que es posible tener energía positiva y negativa. Por ahora se considerarán únicamente los estados de energía positiva, dejando para más adelante el problema de las energías negativas.

De las expresiones (82) se nota que Ui y t / 3 son totalmente independientes de Ui y Ü4 . Este resultado significa que la solución se puede expresar como una combinación lineal arbitraria de dos estados independientes. Estos estados se pueden escribir como.

C/ = a+X+ (83)donde

x+ = x~ = (84)

Los coeficientes a+ y a_ son arbitrarios y, naturalmente, fJi y U3

están relacionados entre si por ta ecuación (82), como lo están y V,.

Estos resultados muestran que estados de una energía dada E y momento lineal determinado, que en el caso presente se encuentra a lo largo del eje z, no son únicos sino que están doblemente degenerados. Esto significa que H y p no forman un conjunto completo de operadores que conmutan sino que tienen que suplementarse por un operador adicional asociado con algún tipo de coordenada interna. Resulta que esta coordenada interna es el espín y el operador que falta es la componente del espín a lo largo de p , lo cual se demuestra a continuación.

En primer lugar se define en cuatro componentes el análogo del operador de espín de Pauli escribiendo

(85)

Esta notación significa, por ejemplo, que


' í 0 0 0'

0 - 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 - u

y análogamente para las demás componentes. Entonces,

donde x - están expresadas mediante la ecuación (84). Ya que el operador de Dirac & tiene exactamente las mismas propiedades algebraicas que el operador o- de Pauli, se puede concluir que describe un estado con el espí'n orientado a lo largo del eje positivo z y que X - describe un estado orientado a lo largo del eje negativo z. Como lo indica la notación, estos estados son los análogos espinoriales de los estados de dos componentes no relativistas que se discutieron en el Capítulo X. Esta relación se puede aclarar si se pasa al límite no relativista, para el cual

E — mc^ < mc'^.

En este límite, se concluye de la ecuación (82) que í/j y resultan despreciables respecto a t/, y a t/a. Si se desprecian dichas componentes, los espinores de Dirac Xi se reducen a estados de dos componentes que son precisamente las representaciones usuales de los estados espinoriales no relativistas y X- , y el operador de Dirac ó- se reduce al operador o-de Pauli.

El argumento que se ha expuesto hace plausible que & esté relacionado al momento angular interno del electrón pero no pretende ser una demostración. Es necesario observar que cuando los efectos relativistas son importantes, una función de estado que sea autoestado de H y p puede hacerse autoestado simultáneo de ta componente de d- alo largo de p , pero no de las componentes perpendiculares. En otras palabras, únicamente la componente paralela de & conmuta co n //. Entonces, relativisticamente, existe un acoplamiento entre grados de libertad internos y externos, pero la separación en “ interno” y “externo” resulta que ya no está bien definida.

En lugar de un argumento plausible, se puede dar una demostración en la siguiente forma. En primer lugar se tiene que examinar si el momento angular es una constante de movimiento. Para ello se

examinan las relaciones de conmutación entre 1 , y H. Después de cierta álgebra se encuentra que**,

( L , / / ) = i f i í - ( a X p ) ,

de donde se concluye que el momento angular orbital no se conserva. Este resultado no es una sorpresa puesto que el hamiltoniano de Dirac no es invariante frente a rotaciones espaciales solamente. Ahora, se puede examinar el conmutador de ó- y H. Después de cierta álgebra se obtiene que,

{ & ,H ) = - 2 ic ( a x p ) ,

de donde se obtiene que J = L + (h/2)& es una constante de movimiento,

[(L + | á - ) , / / ] = ( J , W ) = 0.

Entonces, la cantidad J, que satisface el requisito de las relaciones de conmutación para momento angular, tiene que interpretarse como el momento angular total y (h!2 )& como el operador que representa al momento angular intrínseco. Por lo tanto, la ecuación de Dirac tiene como consecuemcia que el electrón, o cualquier otra partícula que pueda describir, tiene automáticamente un momento angular espinorial de un medio.

Ya que las funciones de onda espinoriales tienen cuatro componentes, se tiene que ampliar la definición de valores de expectación y la de elementos de matriz. El significado de una expresión como ('í'l<^)es.

i=l

donde y <í>i son las i-ésimas componentes de los estados espinoriales ^y<f>. Las cantidades ( •í'díí'i ) tienen su significado usual. Así por ejemplo, en el espacio de configuración,

= /lí»í*(r, í) d^r.

Esta regla es todo lo que se necesita para calcular los elementos de matriz de un operador arbitrario en el espacio ordinario y en el espinorial, ya que siempre se puede escribir = <>íí|<#i')donde

es el nuevo espinor obtenido al operar con A sobre <í>.Ahora se puede regresar al problema de los estados de energi'a ne

gativa. De acuerdo con la ecuación (81), el espectro de energía de

" Loi detalles se dejan para los problemas.

la partícula libre es un continuo desde más infinito hasta la W í en reposo de wc®. Bajo esta energía hay un espacio sin ningún elt(^ do que continúa hasta la energi'a-mc®. Para energías más negatlvu el espectro vuelve a ser continuo y se extiende hasta menos infin ita Este espectro se muestra en la Figura 6. En cierto sentido este remi· tado no es diferente al espectro clásico, ya que también en el caso clásico son posibles formalmente soluciones de energía negativa.

Continuo de energía positiva

i .No existen estados


me-

- 0 -

mcde partícula libre

Continuo de energía n a t iv a

F ^ i a 6 . Espectro de las enei^ías permitidas para una partícula libre de Dirac.

Pero, clásicamente, no existe ninguna comunicación entre las partes de energía positiva y negativa en el espectro. Una partícula no puede cambiar su estado de movimiento con eneigía positiva a un estado de movimiento con energí a negativa, porque para hacerlo tendn'a que pasar por un intervalo de energía en el cual el movimiento es imposible. La existencia de estos estados no causa ninguna dificultad clásicamente; estos estados son inaccesibles y por lo tanto inobservables.

Cuánticamente todo cambia; los cambios discontinuos son la regla. Es posible que ocurran transiciones de estados de energía positiva a negativa liberando una cantidad enorme de energía; mayor que 2mc®. Ya que el espectro de energía negativa se extiende hasta infinito, parecería que no se podría observar ninguna partícula de Dirac con energía positiva. Es decir, todos los electrones del Universo caerían rápidamente al “mar” de energía negativa, un mar suficientemente profundo para aceptarlos.

Una forma de evitar esta dificultad sena la de eliminar los estados de energía negativa por ser inadmisibles físicamente, pero si se hace esto los estados de Dirac no formanan un conjunto completo®*.

“ Este es un jem plo , y muy importante, en que las matemáticas foizaton la interpretación física en lugar de ser al reves. Mediante una interpretación física se ha concluido, correctamente, que la totalidad de los estados fiocamente admisibles tienwi que ser completos. Pero se deja la p re^ n ta de cómo identificar todos los estados fiocamente aceptables. Anteriormente se tomó esta identifícadón como un hecho y el resultado de que sean completos se consideró una consecuencia necesaria. Pero aun cuando la intuición respecto a los estados aceptables físicamente sean inadecuada, el requisito de que sea completo obliga a aceptar los estados de energía negativa.

1 0 ALGUNAS APLICACIONES Y OTRAS GENERALIZACIONES

irac mismo resolvió este problema postulando que en el estado norial del Universo todos los estados de energía negativa están complemente ocupados. En estas condiciones, ei principio de exclusión •ohibe cualquier transición de un electrón en un estado de energía jsitiva a uno de energía negativa. Además, este conjunto vasto e in- nitamente denso de electrones en estados de energía negativa sería erte eléctricamente y mecánicamente, excepto por transiciones del ar negativo a estados de energía positiva. Esta transición requeriría la energía mayor que 2mc*. Esta energía enorme, no se produce oo condiciones normales y, de acuerdo con la experiencia, no se ob- rva partículas con energía negativa.Sin embargo, si se suministra suficiente energía para provocar una

ansición del mar negativo a un estado de energi'a positiva, se obser- in'a la aparición repentina de un electrón ordinario, que no se obser- iba originalmente pues ocupaba un estado de energía negativa. Tam- ién se observaria un cambio repentino en las propiedades del mar ; energía negativa. Este mar ya no sería inerte eléctrica y mecánica- iCnte, ni tampoco inobservable, debido a que no estaría completa- ente lleno; un estado estaría desocupado. Este estado agujero, co-0 se le llama, está asociado con la supresión de una carga negativa í energía negativa del estado inerte del Universo, que se podria lla- ar el vacío. La supresión de una carga negativa de energía negativa11 vacío se puede interpretar como la aparición de una carga positi-1 de energía positiva, llamada el positrón, totalmente equivalente al ectrón excepto porque tiene carga opuesta.Se puede concluir que esta interpretación es razonable si se consi-

eran los efectos de una fuerza electromagnética aplicada al mar de lergi'a negativa cuando este mar contiene un estado agujero. Los ectrones tenderían a moverse en el sentido de la fuerza aplicada yi favorecerían las transiciones al estado agujero que es el único dis- :>nible en el mar. El agujero tenderíá a moverse en sentido opuesto los electrones, haciéndolo como si fuera un objeto aislado.La transición de un electrón de un estado de energía negativa a

no de energía positiva, corresponde a la aparición repentina de un lectrón y un positrón en el mismo punto del espacio del tiempo, y í requiere una energía mínima de 2mc\ Este es el famoso fenóme- D de ia producción de un par. El proceso inverso también es posile, o sea cuando un electrón en estado de energía positiva pase a cupar un estado agujero. El fenómeno se conoce como la aniquilar !ón electrón-positrón, y ía energía se manifiesta como energía elec- •omagnética, generalmente como un par de fotones.

Hasta aquí se ha considerado únicamente el hamiltoniano de Dirac ara la partícula libre. Pero también se puede considerar que el elee-

ESTADOS MIXTOS Y MATRIZ DE DENSIDAD 4 1 1

trón se mueve en un campo electromagnético extemo o en otro potencial, en cuyo caso el hamiltoniano de Dirac se modifica en la forma canónica

H = c[o; · (p — í-A /c ) ] -I- + e<í»+ V ,

donde A y 0 son los potenciales vectorial y escalar respectivamente yV es cualquiera otra interacción que puede estar presente. Si, por ejemplo, se resuelve esta ecuación para un electrón en un campo magnético uniforme, la energía de interacción magnética resulta ser la de una partícula de espín un medio con un momento magnético de un magnetón de Bohr, lo cual coincide con ía observación. Como segundo ejemplo se podn'a calcular la solución a la ecuación de Dirac para los estados del átomo de hidrógeno, cuya concordancia con el experimento es casi perfecta, mcluyendo las correcciones de la estructura fina“ .

La teona del electrón de Dirac, partiendo únicamente de la masa y de la carga de éste, obtiene todas las propiedades intrinsecas del positrón así como de su existencia y de los fenómenos de aniquilación de un par y producción de éste.

La discusión se ha limitado únicamente al electrón, pero cualquier partícula de espín un medio puede describirse por la ecuación de Dirac. Por ejemplo, muones y neutrinos se describen con la misma ecuación tomando la masa en reposo apropiada. Sin embargo, los protones y los neutrones, como consecuencia de su momento magnético anómalo, se describen por un hamiltoniano de Dirac con un término adicional que se ajusta para dar el momento magnético observado. La producción de pares y su aniquilación, en la que intervienen todas estas partículas y sus antipartículas, como se les llama, han sido observadas experimentalmente y concuerdan con las predicciones de la teorfa.

6. ESTADOS MIXTOS Y MATRIZ DE DENSIDAD

En un sistema cuántico todo esto bien definido es una autofunción simultánea de un conjunto de operadores. Si se expresa en tér-

“ Sin embargo, U ecuación de Dirac no proporciona el llamado corrimiento Lamb. Este pequeño corrimiento está generado por tas interacciones con las fluctuaciones del vacío de los campos electromagnéticos. Estas fluctuaciones dei campo, a sem^anza del movimiento del punto cero del oscilador armónico, son de origen estrictamente cuántico y DO aparecen en ningún tratamiento en el cual et campo electromagnético se considera como clt· sico, como es el presente tratamiento.

4 1 2 ALGUNAS APLICACÍONES Y OTRAS GENERALIZACIONES

minos de observaciones, significa que si un estado se especifica correctamente, se tiene que hacer un coiyunto de mediciones que no interfieran entre si. Este tipo de estado se llama estado puro. La evolución en el tiempo de un estado puro está determinada por la ecuación de Schrödinger y esta evolución se puede predecir perfectamente. La naturaleza estadística de la mecánica cuántica se manifiesta en las distribuciones de los valores observados que se obtienen al efectuar mediciones sobre un conjunto de sistemas preparados idénticamente, encontrándose cada uno en el mismo estado puro. Hasta ahora se han tratado únicamente estados puros. Sin embarco, con mucha frecuencia, el conocimiento de los sistemas complicados no es completo y una descripción en términos de estados puros es imposible. Esta falta de conocimiento introduce un segundo elemento estadístico que no es de origen cuántico y que es familiar en mecánica estadística clásica. A continuación se mostrará brevemente cómo se pueden tratar cuánticamente estos estados mixtos.

La desCTipción de un estado mixto requiere de la mezcla estadística de todos los estados puros que sean consistentes con el conocimiento incompleto del problema. Se puede pensar como un conjunto de sistemas, cada uno de los cuales se encuentra en algún estado puro y suponer que un sistema del conjunto esté descrito por el estado puro y que se puede expresar en ténninos de algún conjunto completo ortonormal.

(87)

Sea A un operador que represente algún observable arbitrario. Entonces,

<A) = 2 C^C,*A„„, (88)

donde A„^ son los elementos de matriz de

A^„=(iÍ>M\<f>r.)·

Promediando sobre el conjunto de sistemas como en mecánica estadística, se obtiene que.

iA) = '2 C„C„*A, (89)n,m

donde una barra sobre una cantidad representa que se ha tomado un promedio. Los números A ,^ son fijos de modo que el promedio de la derecha depende únicamente de C„ que aquí representan las varia

bles estadísticas. Como A es arbitrario, el promedio de cualguíéf operador físico está determinado por el conocimiento de la cantldu}

EffTADOS MIXTOS Y MATRIZ DE DENSIDAD

= | p „ „ | « l . (90)

El operador />, con elementos Pm« se llama matriz de densidad, Conr tiene toda la información disponible del sistema, puesto que sí se conoce p , también se conoce la distribución de los valores medidos para cada medición que se haga sobre el sistema.

Expresando la ecuación (89) en términos de p , se obtiene

< A ) = 2 PmnAnm-n * m

Ya que el miembro derecho se puede interpretar como un producto de matrices, esta expresión se reduce a

R > = X ( P ^ > m m · ( 9 1 )

La suma de los elementos d i^onaies de una matriz se llama la traza de la matriz y se escribe como

donde (91) se puede expresar en forma independiente de la representación como,

< T ) = T r ( p ^ ) . (92)

Entonces se ha logrado el principal objetivo, o sea, desarrollar una caracterización adecuada de los estados mixtos. La matriz de densidad para tales estados juega el mismo papel que la función de estado para estados puros. Toda la información disponible está contenida en ella y cada una defme el estado que caracteriza.

A continuación se desarrollarán algunas propiedades de la matriz de densidad. De la ecuación (90) se obtiene que p es hermitiana,

Pm« = P»«*. (93)

Este resultado se concluye de la independencia al promediar y de la conjugación compleja. Al igualar 4 a la unidad en la ecuación (92) se obtiene q u e , '

T r p = l . (94)

o s e a q u e los elementos de la diagoníü de la matriz suman la unidad


Este resultado puede verificarse partiendo de la ecuación (90) ya que.

Tr p = = 2 C „ C „ ^ = l .m m

También se observa que los elementos de la diagonal principal expresan la probabilidad de que el sistema se encuentre en el estado

, por lo cual Pm» nunca puede ser negativo sino que tiene que encontrarse entre cero y la unidad. Si se considera una representación en la cual p es diagonal, entonces, los elementos de la diagonal serán los autovalores de /> y todos los autovalores de la matriz de densidad se encontrarán entre cero y la unidad por lo cual p es un operador positivo definido y acotado.

Supóngase que p está determinado inicialmente. ¿Qué se puede decir acerca de su evolución en el tiempo? Sea H el hamiltoniano del sistema y supóngase que C„, dada por la ecuación (87), es una función del tiempo,

Ya que satisface.

i dt'

se encuentra que C„ satisface el conjunto de ecuaciones,

fi dC„ ^

i

y por lo tanto.

7 di (95)

(96)

en donde, en el último paso, se ha usado el hecho de que H es hermitiano. Multiplicando la ecuación (95) por y la ecuación (96) por C„ y restando se obtiene que,

Como las operaciones de diferenciación respecto al tiempo y la de promediar sobre el conjunto son independientes, se obtiene que,

Finalmente, la evolución de p en el tiempo será,

- f f - ( H . p ) . (97)

de donde se obtiene que p es estacionaria si conmuta con el hamiltoniano.

Algunas de estas propiedades de p se pueden ilustrar con ejemplos sencillos. Como ejemplo se puede considerar un sistema que se encuentra en un estado de energía definida E y momento angular definido l, pero orientado al azar. Entonces, cada uno de los 21 + 1 estados degenerados son igualmente probables. Estos 2 / + 1 estados forman un conjunto completo para el sistema, y en una representaciónque use estos estados, p es sencillamente la matriz unidad divididaentre (2/ + I} . Otro ejemplo podría ser el de una partícula sin polarizar, con espín un medio. En la representación para la cual (r¡ es diagonal.

ESTADOS MIXTOS Y MATRIZ DE DENSIDAD 4 1 5

P^ n i 2 O \

\Q m ) '

que describe a un estado mixto en el cual el espín tiene la misma probabilidad de encontrarse con espi'n hacia arriba o hacia abajo respecto a cualquier eje. En ambos casos la traza de p es la unidad y p es estacionaria.

Un último ejemplo muy importante se refiere a u n sistema en equilibrio térmico a la temperatura T. La probabilidad de que el sistema se encuentre en cierto estado está determinado por el factor de Boltz- mann y por lo tanto,

p = l

donde Z, la función de partición, se expresa como

Z = Try la traza de p es la unidad. Ya que p es función sólo de H, conmuta con H y por lo tanto es estacionaria, como tiene que serlo en el equilibrio. Todas Jas propiedades termodinámicas del sistema se determinan en la forma usual en términos de la función de partición.

Como conclusión se puede señalar que el formalismo de la matriz de densidad se puede aplicar a la descripción de estados puros y de estados mixtos. Si un estado es puro, todos los sistemas del conjunto se encuentran en el mismo estado y el promedio sobre el conjunto no tiene consecuencias. Entonces p„„ tim e ]a. forma producto

P™ = C „ C / . (98)

4 1 6 a l g u n a s a p l i c a c i o n e s y o t r a s g e n e r a l i z a c i o n e s

Precisamente esta fonna es la que identifica a p como describiendo un estado puro. Para obtener una caracterización independiente de la representación, se observa que,

♦« »

y ya que la suma sobre jCd* es igual a la unidad,

(p^ )jii»l ~ Pm» t

O sea, p — p para un estado puro. Como consecuencia

T r p ^ = I , (99)

que es una condición necesaria y suficiente para que el estado sea puro** .

Problema 1. Calcular la integral de la ecuación (5) para encontrar la corrección a primer orden a la enei^'a de átomos tipo helio usando teoria de perturbación.

Problema 2. Usando la función de prueba de la ecuación (8) para un átomo tipo helio, obtener la ecuación (10).

Problema 3. Considérese un átomo del tipo helio con Z = 1 , el íórt negativo del hidrógeno. Demostrar que de acuerdo con la estimación variacional de la ecuación (10), el sistema es inestable respecto a la disociación por un valor algo menor que un eV. [El sistema H "es estable, pero se requiere un cálculo bastante más refinado para demostrarlo que el que se obtiene de la ecuación (10).]

Problema 4.(a) Considerando al protón como una masa infinita y despre

ciando los términos dependientes del espín, demostrar que el hamiltoniano para la molécula de hidrógeno es.

+2m 2m r, r¡ R r, — — R| |ri — R ka -i- R

usando el sistema de coordenadas mostrado en la Figura 7.(b) Una función de prueba razonable para un cálculo de Ray

leigh-Ritz podría ser la que supone que cada electrón es un estado** Ver te Refetencia [22].

- e , '■ i.rf

PROBLEMAS

R

F^ura 7. Sistema de coordenadas para la molécula de hidrógeno.

base hidrogénico 4>o respecto a su “propio” núcleo. Basándose en esta idea, demostrar que una función de prueba correctamente simetri- zada es,

r j ) = 0o(í 'i)0o( ' 'í ) ± + R )0 o ( r i ~ R) ·

(c) Usando esta función de prueba demostrar que,

donde J y K son las intepales directas y de intercambio del hamiltoniano total H, y donde

a = X R)<#»«(r, - R)

Al calcular las integrales, este resultado muestra que solamente el caso simétrico conduce a un estado ligado, donde E+(R) tiene un mínimo cercano al valor exacto en el valor aproximado de JÌ. Ver la referencia [20].

Problema 5. Dibujar la razón de la sección diferencial cuántica a la sección diferencial clásica para la dispersión culombiana de electrones por electrones para una energía de 100 electrón voltios en el centro de masa; también para partículas alfa sobre partículas alfa a 5 MeV.

Problema 6. Usar la aproximación de Bom para encontrar la amplitud de dispersión además de la sección total y diferencial para el potencial exponencial

Comparar el comportamiento a energi'a alta y b^a con el resultado predicho en el texto.

Problema 7. Lo mismo que en el probiema 6 pero considerando un pozo de potencial cuadrado,

t/ — í~ Va-, r < R O , r ^ R .

Problema 8. El efecto de pantalla de los electrones en un átomo neutral, modifica la interacción electrostática entre un átomo y una partícula incidente cargada. Una aproximación razonable a este efecto de pantalla del potencial culombiano es,

que en la forma es el mismo que el potencial de Yukawa. En esta expresión, Z es el número atómico del átomo, ze es la carga de la partícula incidente y R es el radio atómico efectivo.

(a) Demostrar que de la aproximación de Born se obtiene el resultado exacto para la sección de R utherford en el límite de R .

(b) Usando la aproximación de Bom estimar el intervalo angular para el cual la sección diferencial de dispersión de un potencial culombiano de este tipo difiere de la dispersión de R utherford en los casos siguientes:

( i) una partícula alfa de 5MeV dispersada por oro;( ii) un protón de 1 Mev. dispersado por carbón;(üi) un electrón de 100 eV dispersado por carbón.

Por facilidad tomar /i = 1A en todos los casos y suponer que todas las energías se toman en el sistema del centro de masa.

Problema 9.(a) Para una energía de 5 MeV en el centro de masa, los desfasa

mientos que describen la dispersión elástica de un neutrón por un núcleo, tienen los valores siguientes:

6o = 32.5", S, = 8.6", 6* = 0.4".Suponiendo que todos los demás son despreciables, dibujar da/díl como función del ángulo de dispersión. ¿Cuál es la sección total <r? Por sencillez, tomar la masa reducida del sistema como la masa del neutrón.

(b) Hacer lo mismo en el caso de cambiar los signos de los tres desfasamientos.

(c) Hacer lo mismo en el caso en que se cambia sólo el signo de So.(d) Usando los resultados de la parte (a), calcular el número

total de neutrones dispersados por segundo de un haz de 10‘* neutrones por cm* por seg, y área transversal de 2 cm®, que incide sobre una làmina conteniendo 10*' núcleos por cm^ ¿Cuántos neutrones se dispersan por segundo hacia un contador a 90® respecto al haz incidente que subtiende un ángulo sólido de 2 x 10"*esterradianes?

Problema 10. Encontrar los estados del átomo de hidrógeno en un campo magnético de intensidad de 10« gaus. Considerar al electrón

sin espín y despreciar los términos cuadráticos en el campo magnético. ¿Está justificado esto último?

Problema 11. Demostrar que el hamiltoniano clásico, ecuación (59a), lleva a ías ecuaciones de movimiento clásicas correctas, ecuación (60), Notar que

= ~ + V ( v ■ A ) - v X ( V x A )O Í

y que, para cualquier vector B ,

V (B") =2(B -V )B + 2Bx (V X B).

Problema 12. Para la ecuación de Dirac y para la ecuación de Schrödinger, demostrar que,

donde A es un operador (espinor) arbitrario.

Problema 13. Una partícula que satisface la ecuación de Dirac se encuentra en un estado arbitrario. Encontrar expresiones explícitas para

(a) (.v), <p)

(b) ä M .dt ' dt

Problema 14. Demostrar por cálculo directo que J = L + ñ&¡2 conmuta con el hamiltoniano de Dirac.

Problema 15.(a) Partiendo de la ecuación (80) obtener la ecuación (83).(b) Encontrar la función de estado de Dirac para una partícula

libre de masa en reposo m moviéndose a lo largo del eje x con momento p.

Problema 16.(a) Se sabe que un sistema se encuentra en uno de sus tres esta

dos. La probabilidad de encontrarse en el primero es de 1/2 y de encontrarse en el segundo es de 1/3. ¿Cuál es la matriz de densidad del sistema?

PROBLEMAS

4 2 0 ALGUNAS APLKACIONES Y OTRAS GENERALIZACIONES

(b) [)etenninar, en caso de que exista, cuál de las siguientes matrices de densidad describe estados puros.

1 / 2 / \ l ( i 2 e**\4 \ - i 2} 5 U € - ‘* 4 }

Problema 17. El estado de un sistema está descrito por la matriz de densidad,

/0.4y y

(a) x = ^ , y = 1

(b) Verificar si el sistema se encuentra en un estado puro o no.

Problema 18.(a) Se sabe que un sistema se encuentra en uno de dos estados.

Demostrar que la matriz de densidad más general tiene la forma,

?<a < ?|J3| < ?

(b) Demostrar que ¡B = ± V a ( l - a) si el sistema se encuentra en un estado puro.

(c) Demostrar que a = j = O para un haz de partículas no polarizado y de espín un medio.

(d) Encontrar a y (en una representación en la cual ír^es diagonal) para un haz de partículas polarizadas parcialmente de tal manera que el espín paralelo al eje z se presenta dos veces más a menudo que el espín antiparalelo al eje z.

Problema 19. El estado de polarización de un haz de partículas de espín un medio se describe mediante el vector de polarización P definido en términos de la matriz de densidad p como sigue;

P=<o->=Tr(po-) .

Suponiendo que P se detennina experimentalmente, demostrar que

p = ^{ l - ^P ·o ■) .

PtoUema 20. Recordando que la parte independiente del espín en el hamiltoniano de un electrón en un campo magnético 9Ó es,

Meh

2 mc<T

PROBLEMAS 4 2 f

(a) Demostrar que el vector de polarización P (ver Problema 19) de un haz de electrones en este campo satisface la ecuación de movimiento

^ = - P .d i tnc

(b) Suponiendo que el campo magnético es uniforme, resolver esta ecuación de movimiento y discutir los resultados.

APENDICE I

Cálculo de integrales de

funciones gausianas

1. LA INTEGRAL BASICA

Se quiere calcular la integral

dx.

Para llevar a cabo este cálculo, se toma el cuadrado de esta expresión escribiéndola en la forma del producto

/ 2 —/o -* dx

que es equivalente a la integral doble

/ 2 — íO — dx dy

Si se consideran x y y como coordenadas rectangulares en un plano, la integral doble se calcula fácilmente transformando a coordenadas polares/*, 0 . Se obtiene inmediatamente que.

12 — tü — d4> r drO a -l· ib

y por lo tanto,

^ a + ib

En el límite de a -* O,

/(, = ^/írlib = Vtt/í» .

424 APENDICES

Para a = O, la integral gausiana se puede tomar como este límite.

2. INTEGRALES GAUSIANAS

Se puede generalizar el resultado anterior considerando la integral

,-{a+iWjr> dx.

para n entero.Se observa que

2m+i O,

debido a que la integral es impar, y además

Entonces,

Un ejemplo sería.

r ~ ^da) \ a + ib

' ’ " 1 ^ (■' + " » " = 2 Ü T 7 5 ) ' -

3. INTEGRALES GAUSIANAS GENERALIZADAS

Finalmente, se puede considerar una integral de la forma

y« = | "

d o n d e « y ^ pueden ser complejas, pero donde la parte real de « tiene que ser mayor que cero. Para calcular la integral se completa el cuadrado en el exponente.

ax^ +

Substituyendo x + 0l2a por una nueva variable, por ejemplo y, la integral se reduce a la forma considerada en la Sección 1 y se obtiene inmediatamente que.

CALCULO DE INTEGRALES QUE CONTIENEN FUNCIONES GAUMANAS 4 1 # ?

Este resultado también es válido para « imaginaria pura, si se considera como un limite. Si a = « + íí>, a > O, el límite se obtiene cuafr do a 0.

Las integrales del tipo

se calculan por el método de la Sección 2 y se obtienen inmediatamente las expresiones,

J = / _ J ' i a m + i 3 ^ '" '* '* J q Jlm+1 \ ‘ )

= ( - 1)"""*

y

ó"·/«( - 1 ) ' 3a"·

Por ejemplo,

u

Ejercicio 1. / s se puede calcular por la receta anterior, pero también se puede obtener de la relación

a A

Verificar que ambos métodos conducen al mismo resultado. Demostrar que, en general.

'n + l - I L .áj3

APENDICE II

Referencias seleccionadas

i. BASES HISTORICAS Y EXPERIMENTALES

1. G. Holton y D.H.D. Roller, Foundation o f Modem Physicd cience, Addison-Wesley (1958). Una introducción interesante pero xclusivamente elemental y descriptiva.

2. F.K. Richtmyer, E.H. Kennard y T. Lauritse, Introduction to iodem Physics, quinta edición, McGraw-Hill (1955).

3. R.M. Eisberg, Fundamentals o f Modern Physics, Wiley (1962).4. M. Born, Atomic Physics, séptima edición, Blackie, Glasgow

1962). Un libro clásico sobre las bases y orígenes de la mecánica uántica.

5. R.B, Leighton, Principles o f Modern Physics, McGraw-Hill 1959),

¡. BASES MATEMATICAS

6. E.A. Kraut, Fundamentals o f Mathematical Physics, McGraw- [ill(1967).

7. H. Margenau y G.M. Murphy, The Mathematics o f Physics and Chemistry, segunda edición. Van Nostrand (1956).

8. P. Dennery y A. Krzywicki, Mathematics for Physicists, Harper nd Row (1967).

9. J.S. Sokolnicoff y R.M. Redheffer, Mathematics o f Physics nd Modern Engineering, McGraw-Hill (1966).10. D.J. Jackson, Mathematics for Quantum Mechanics, Benjamin 1962).11. G. Arfken, Mathematical Methods for Physicists, Academic ress(1966).12. A. Sommerfeld, Partial Differential Equations in Physics (tra- ucido por E.G. Straus), Academic Press (1949). Un libro clásico sore ecuaciones diferenciales y tópicos afines escrito para físicos.

REFERENCIAS SELECCIONADAS

13. P.W. Berg y J.L. McGregor, Elementary Partial DÍffer$nÍÍOÍ Equationsf Holden-Day 0966).

C. MECANICA CLASICA

14. H. Goldstein, Classical Mechanics, Addíson-Wesley (1950). Recalca aquellos aspectos de la mecánica clásica que son importantes para la mecánica cuántica.

15. J.B. Marion, Classical Mechanics o f Particles and Systems, Academic Press (1965),

16. R,A. Becker, Introduction to Theorical Mechanics, McGraw- Hill (1954).

17. J.C. Slater and N.H. Frank, Mechanics, McGraw-Hill (1947),

D. MECANICA CUANTICA (ELEMENTAL)

18. D. Bohm, Quantum Theory, Prentice-Hall (1951). Tratamiento con motivación física y con énfasis sobre las relaciones entre los conceptos clásicos y cuánticos.

19. R. H, Dicke y J.P. Wittke, Introduction to Quantum Mechanics, Addison-Wesley (1960),

20. L, Pauiing y E.B. Wilson, Introduction to Quantem Mechanics, McGrav/-Hill(1935).

21. D. Park, Introduction to the Quantum Theory, McGraw-Hill (1964).

E MECANICA CUANTICA (AVANZADO)

22. A. Messiah, Quantum Mechanics (en dos volúmenes), North- Holland, Amsterdam (1961). Un texto de fácil lectura y cuidadosamente hecho.

23. L,I, Schiff, Quantum Mechanics, McGraw-Hill (1955).24. L.D, Landau y E.M. Lifshitz, Quantum Mechanics, Non-relati-

vistic Theory, (traducido por J.B. Sykes y J.S. Bell), Addison-Wesley (1958).

25. A.S. Davydov, Quantum Mechanics (traducido por D. ter Haar), Addison-Wesley (1965).

26. G.L, Trigg, Quantum Mechanics, Van Nostrand (1964).27. P.A.M. Dirac, Quantum Mechanics, cuarta edición, Oxford

(1958). Un libro clásico. Ningún estudiante debe sentirse satisfecho sino lo ha leído y entendido.28. P. Stehle, Quantum Mechanics, Holden-Day (1966).

428 APENDICES

29. D. ter Haar, editor. Selected Problems in Quantum Mechanics, Academic Press (1964), Una colección de problemas excelentes. La mayor parte de las soluciones están hechas en detalle.

30. J.D, Bjorken y S.D. Drell, Relativistic Quantum Mechanics, Me Graw-Hill (1964),

APENDICE III

Respuestas y soluciones

a problemas seleccionados

CAPITULO I

Problema 2. Después de encontrarp en términos de(T/mc^)se puede escribir,

X = + 27'/mc^]-''^

donde = A/mc es la longitud de onda reducida de Compton de la partícula. De esta manera se encuentran,

TX (cm )

electrón protón

30 eV 4 X 10-» 10-·»3 0 k e V 10-·“ 4 X 1 0 -'“3 0 M e V 7 X 10-*» 10-'^3 0 G e V 7 X 10-'« 7 X 10-'«

A energías ultrarrelativistas T ^ me*, la longitud de onda de de Broglie es aproximadamente ñ.c/T y es independiente de la masa de la partícula.

CAPITULO II

Problema 1. (a) \A\ = ü"*'*; (b) {x)

Problema 2. (b) |c^| = [2(1 ±

4 3 0 APENDICES

CAPITULO n i

Problema 2.(a) - i k y sin (íiíTJc/L)

7T “ n

(b) — V 1 — ( — 1)" € ^ in ixiL

ProUetna 3.

g W = ^/¿(^)■Problema 4.

(a) ^ = t - ‘«

(b) 0 (p ) = (2 [(í» - PoF + ftVL*]-’

Problema 7. Las ene^ías del estado base son, aproximadamente,

(a) h^imU

(b) ftíü(c) ik^mg^y<\

CAPITULO IV

Problema 1.

(a) *'. = V § = * 'i> /2

(b) v„ = c V t — (¿)o/«)* « c

ProUema 3.

(a)

<'Í'bJ p IV'e„) = 0

r e s p u e s t a s y s o l u c i o n e s a PROBLEMAS SELECCIONADO·

(b) Se considera un paquete de ondas inicial, centrado tn « « j con momento promedio pt, y descrito por j

, / = 0) = /( jf - jfo) (Ij

Seggún las ecuaciones (IV-43) y (IV-45), la evolución en el tiempo (t· este estado es.

tmx

X exp [— (/i*ir*ílr/2mL*]. (2)

Pero un estado de este tipo es exactamente periódico con período_

irh ’aunque este período no tiene nada que ver con el período clásico (¿porqué). Es del orden de 10* segundos para un objeto macroscópico en una caja macroscópica,

A continuación se van a considerar los límites clásicos de las ecuaciones (1) y (2). Para poder tener órdenes de magnitud, se puede tomar una partícula de un gramo de masa en una caja de algunos centímetros de longitud. El momento inicial se toma como un gm-cm/seg y su posición inicial se puede considerar definida por 10~“ cm. Este último dato significa que la función de amplitud / tiene su máximo centrado en ;c =x„ para el cual su argumento es cero, y cuya anchura es de 10“*. Como poM es del orden de 10*’ , se tiene que el factor exponencial en la ecuación (1) oscila alrededor de 1<P veces sóbrela anchura del paquete de ondas. Por esto, para el término «-ésimo en la suma de la ecuación (2), la contribución de la integral es despreciable excepto cuando n es tal que las oscilaciones de sen 7¿ estén exactamente en fase con las oscilaciones del factor exponencial. Para hacerlo explícito se usa un nuevo índice de suma s definido como,

O)TTñ

Ahora se puede establecer fácilmente que la contribución principal proviene de valores de s que son pequeños. El factor importante en el término 7j-ésimo de la ecuación (2) resulta ser,

f ( x ’ - x J s in ^

— ~ ^o) (2ip^x '¡h -t- in x '5/Z.)] .

432 APENDICES

El segundo término entre paréntesis oscila tan rápidamente sobre el paquete de ondas que se obtiene una contribución despreciable para todos los valores de s. El primer término oscila s¡íx n ¡L veces sobre la anchura üx del paquete. Entonces, la región efectiva para la suma ÍS,

\s\ < TTÓiX 10 . (4)

Para establecer la periodicidad clásica del movimiento, se necesita ixaminar las consecuencias de estos resultados únicamente para el Factor dependiente del tiempo en la exponencial y para cada término le la ecuación (2). Sustituyendo la ecuación (3), este factor para el :érmÍno «-ésimo resulta ser

exp [ —in^tr^híllinL^] = exp • _ . STTp t _ .^ I m h ‘ m L ' 2mL^ (5)

Pero de acuerdo con la ecuación (4), el ténnino cuadrático en s no upera a htjm iA xY =“ 10"** t en magnitud, y por lo tanto es despre- iable en los intervalos de tiempo comparables a la edad del universo. Comparar este análisis con el que condujo a la ecuación (lV-9). Omt- iendo el ténnino cuadrático se tiene que.

exp [— = exp Imh mL (6)

intonces, excepto por el factor de fase exp — i , que multi- ilica a todo el paquete de ondas, por lo cual no tiene significado im- )ortante (¿por qué?), la solución es periódica precisamente con e] )eríodo clásico.

y 2mL _ IL P» V

le puede señalar, aunque sin demostración, que usando la ecuación S), sumando primero y después integrando, se puede calcular la cuación (2) en forma cenada sin hacer otra aproximación, dando omo resultado que el paquete de ondas viaja sin distorsión y rebota n las paredes en x = O y x = L. Resumiendo, el centro del paquete e ondas sin distorsión exhibe una forma periódica de diente de siéra cuando se grafica contra /, en concordancia exacta con la solución lásica. Los detalles, que no son totalmente triviales, se dejan como n ejercicio.

RESPUESTAS Y SOLUCIONES A PROBLEMAS SELECCIONADOS

Problema 5. Se supone, por generalidad, que la partícula se encuentra en el estado n-ésimo en la caja cuando las paredes de ésta desapa^ recen. Entonces, como estado inicial se tiene que

V lfL sin nnxIL, 0 ^ x ^ LO , en los demás casos

Después de que las paredes han desaparecido, se tiene que en el espacio de momentos,

4f>(p, =

donde

0) dx.

La integral es elemental, y se tiene que.

1T¿

donde

p„ = niHilL = V2mE„.

Para rt grande, la distribución en momento tiene un máximo definido en p = ± p„ , en concordancia con el resultado clásico.

CAPITULO V

Problema 2.(a) A es hermitiana si y sólo si n es dos.(b) Para n = 3, = x ^ - {no normalizada). Para n = 4 , la au

tofunción general es una cúbica en x. Pero la autofunción identificada para « = 3 , llamada «/»,, automáticamente es una autofunción para M = 4. Entonces se tiene un par de autofunciones degeneradas. La autofunción cúbica se puede hacer ortogonal a «í», determinando sus coeficientes, encontrando que el par degenerado ortogonal (no normalizado) es.

Para n = 5 la autofunción general es cuártica e n x y y \tf¡ también son autofunciones. Escogiendo los coeficientes de la función cuártica .n tal forma que sea ortogonal a »í'i y a «(»i, se puede identificar un

conjunto de tres autofunciones degeneradas tres veces y ortogonales que son

= - f Í -V + } j U = { x ^ - ¿*) (j:* - y ) ·

Observar que, excepto para « = 3, estas autofunciones no son únicas. Por ejemplo, para n = 4, se puede escoger cualquier combinación lineal de ¿I y i¡>2 como nueva autofunción, llamada ifi, y usar la orto- gonalización para encontrar una segunda combinación lineal independiente 5¡í. Análogamente para n = 5. Las autofunciones ortogonales particulares que se han exhibido arriba son las más fáciles de construir.

Problema 6.(a) ii, iv, v; (b) ü; (c) üi; (d) nmguna

Problema 10.(a) Las nuevas autofunciones del momento están definidas por

4 3 4 W ENDICES

y por lo tanto, resultan ser

í[px-o*x)VA

donde

g M = J dx.

Estos estados difieren por un factor de fase de los estados de momento convencionales, que se denotan por para distinguirlos claramente y expresándolos como

donde es la función de estado en la representación convencional. Es necesario recalcar que »í» y $ representan el mismo estado físico, o sea la que corresponde a la fiinción de estado del momento lineal <íf(p>).

(c) En primer lugar se tiene que,

debido a que el factor e"'*·'»"' no interviene en el cálculo del miembro izquierdo. Además se tiene que,

RESPUESTAS Y SOLUCIONES A PROBLEMAS SELECCIONADOS 4 3 9

porque

y los factores de fase en el miembro izquierdo se cancelan. Y finalmente, tomando en cuenta que no se altera la relación de conmutación, se concluye que (f{x, p)) da el mismo resultado en cualquier representación. Entonces, los valores de expectación de cualquier observable y de todos ellos son independientes de f , tal y como se quería demostrar.

Problema 12.(a)

M(a) 0) = tí», y=-H tfí - ^ +

donde 8j son constantes arbitrarias.j íS t - íE t í /« ¿,iS3-iEiÍlñ

(c) iv(d) todos excepto v

CAPITULO VI

Problema 2.(a) 6o,

(c) cero; (2«^ + 2 « -I-1)

436 APENDICES

(d) J í ^ K

Problema 3.

(a)

(b) Considerando a o» arbitraria se pueden tratar ambos casos simultáneamente. Se tiene que,

Mx, t ) = S ix\0 ) K ( x \ x ; t ) dx',

donde el propagador K está expresado por la ecuación (68). La integral es del tipo gausiano, y después de cierta álgebra se obtiene que

[eos ft>/+ {/íDo/(o) sin

X exp WOtJT* ' (uo eos (0 / + i(a sin <at'2fi (tí eos (üt + ítt»o sin (oí

í) =

que se reduce al resultado correcto cuando o» = Para resulta la expresión a la cual se reduce la ecuación (73) para el caso particular de un paquete inicial gausiano en la parte (a).

(c) Se tiene que.

í) 1

V2irfit) e-ipxm dx.

que es del tipo gausiano. Después de calcular la integral se encuentra que la densidad de probabilidad en el espacio de momentos es.

|0 (P , í)l“

X exp

(d)

de la cual se obtiene que,

Pts =

[cos^ < iií + (a)®/ftt(,*) sin^

______pVmficüQcos^ <ot + (ti>*/too ) sin* (üt _

2 (25)!£i>(, + w 2 * ® ( 5 ! ) * + í i > /

Pís+i — o ■usando la representación indicada de . Aunque no es un ejercicio trivial también se puede verificar que,

RESPUESTAS Y SOLUCIONES A PROBLEMAS SELECCIONADOS 4 3 7

00

s-o

Problema 4.(d) La ecuación de Schródinger es,

2 m dx^

Tomando a la función 6 como el límite de una función con un máximo muy definido, no es difícil concluir que es continua pero que dtpE/dx cambia dramáticamente sobre la anchura del potencial por

una cantidad proporcional al área bajo el potencíaj. En el límite, dilfe/dx resulta discontiiiua. Para exhibir esta discontinuidad cuan

titativamente, se íntegra la ecuación de Schródinger desde un punto a la izquierda del origen (0_ ) hasta un punto a la derecha (0+), pero muy cercanos al origen, y después se considera e! límite cuando estos puntos se aproximan al origen (cada uno se aproxima al otro desde sus dominios). Se encuentra que.

dl)>B d^B2 m dx ®+ dx j — = O,

0_ J

anulándose el miembro derecho ya que i/fg es continua. Entonces, la discontinuidad en la derivada de «Ae es,

* dx 0+ dx

La regla para resolver ta ecuación de Schródinger será !a águiente; a la región a la izquierda del origen x < O, se le llama región I, y a la región a la derecha del origen x > O, se le llama región II. El origen se excluye de cada región y en ambas regiones la ecuación de Schródinger resulta la de una partícula libre. Entonces, escribiendo una solución general que satisfaga las condiciones a la frontera en infinito y a la derecha, la solución a la izquierda se puede fíjar al exigir que sea continua y que d^stdx tenga la discontinuidad correcta. A continuación se escriben las soluciones para estados ligados y continuos.

(i) Estados ligados. E < 0 . Sí se escribe £' = — e , en la región II se tiene que,

= A exp (— V2me/Ä* .í) ,siendo la exponencial positiva inadmisible. Análogamente, en la región I,

= B exp (V2mc/fi® j t )

438 APENDICES

siendo ahora inadmisible la exponencial negativa. La condición de que ft>E sea continua en el origen obliga a que A = B. La condición de discontinuidad sobre dt^sidx se puede satisfacer si e tiene el único valor,

E = mg^l2 h^,

que es la energía de ligadura del único estado ligado para un potencial de función S , de acuerdo con el resultado mencionado en la parte (a). La función de estado normalizada para el estado ligado es la que se establece en la parte (b).

(ii) Estados Continuos. E > 0. Para construir una solución que corresponda al caso convencional de una onda incidiendo solamente por la parte izquierda con amplitud A, se toman en cada región las soluciones de la partícula libre.

Imponiendo las condiciones a la frontera en el origen, se obtiene inmediatamente que,

C 1I - i g V m l l E ñ ^

^ \ - Í g ^ m ¡ lE k ^ 'Como lo exige la conservación de la probabilidad |p p + |t |* = l .

Problema 6.(a) Región I, x < 0 . Haciendo z = se obtiene una forma

de la ecuación Bessel y, para la e n e ^ ía £ , la solución general se puede expresar en la forma,

= /47-y(ae*'“ ') -t- B J ,

dondey = i V 2 ^ (2L/A)

a = V2 mñ(2L/ f t ) .Región II, > 0. Haciendo z ■■

encuentra la solución general,P-Jp/Si. , en ia misma forma se

0: Tienen que ser continuas V'e-Condiciones a la frontera en x y d^eldx .

(b) Estados ligados. E < 0 . Al esc rib ir# " t í i es real,

y = (2 Llh) ,

en donde se ha escogido arbitrariamente el signo de laraÍE CU«dn<ta para que y sea positiva ( ¿por qué se tiene esta libertad?). Al conside* rar , se observa que para x -*oo el argumento de las funciones Bessel tiende a cero. Yaque,

j (2 ) = ^ ,

para z -» O (ver referencias [6] — ■ [13] ), únicamente el término es admisible físicamente. Análogamente, también en la región II el único término físicamente admisible es Jr ■ Entonces, se tiene que

=AJy{ae^i^‘-)

Son continuas en el origen 4»« Y d>j>E/dx, po rlo cual se exige queAJy(a) = BJy{a) ,

y también

^ dJAa) j¡dJy(a) da da

Las soluciones serán A = B , dJy/da = 0, o bien, A - —B, /^{a) = O.Las primeras son pares y las segundas impares.

Problema 8. (c) K ( p \ p ; t) = 6 { p ~ p ' - Ft)

Problema 18.

(a) Escribiendo a = b — — , íit = é t - —, se encuentra que H =€|- V /«i : (6t, />) = I. Al comparar con el oscilador annónico se

encuentra que £„ = nci — , n = 0 , 1,2,. . . .

CAPITULO V n

Problema 3.

(a) £(, = ftw/2 (exacto, ¿por qué?(b) £, = f f = 1.6 ftw

RESPUESTAS Y SOLUCIONE· A

440 APENDICES

Problema 4.

(a) £ = 5 , aproximadamente 1 % mayor que el valor co

rrecto ~ *2 mL^

Problema 7.

— (] :) ¡)=- Problema 9·

(a) * > Imh Voi [2m ( £ - ^ 0 )(b) 7 = í*“®', 8 (£) = - 2 V^bmlh

Problema 15.

SS= 0, n ^ \

Problema 16.

(a) «Í»(í) = eos »Íí, - ( sin

CAPITULO VIII

Problema 5.

(a) ^ ft(o — donde m es la masa del elemento cargado.2 ¿tfrtir(b) a = fie lm' ií}(c) aceleración uniforme bajo la fuerza e&

Problema 6.(a) A£ = (<í>io{jc,)<#>j(«(jfí)) H' \ io{x,)<)>2o(xt))> donde <#»,o y <í>ío

son las autofunciones del estado base para el oscilador armónico correspondiente a las partículas l y 2, re^ectivamente. Entonces,

A£ = Vmim* j dxt j dx^

exp I (»tiJCi* + majc,*) - (jci - jCí )*/íJ*

VjWtfO*-·-ft/ ’

donde fi es la masa reducida ntiinJimi + m¡)(b) El resultado no cambia, pero el análisis es más simple. En las

coordenadas del centro de masa, el hamiltoniano resulta ser,

i *

y, por lo tanto, es separable. El problema se reduce al de una sola partícula, que es uno de los ejemplos discutidos en detalle en la Sección 3 del Capítulo VII.

RESPUESTAS V SOLUCIONES A PROBLEMAS SELECCIONADOS 441

Problema 12.

(a) =

E p q n ~ + P + q + r + s ) h ( i > ,

donde p,q,r,s pueden tomar todos tos valores enteros partiendo de cero y 0«(jí) es la n-ésima autofunción del oscilador armónico.

(b) Al escribir p + q + r+ s — N se obtiene que,

E ^ = iN + 2)htí>.

Entonces, la degeneración será el número de formas de combinar estos cuatro números enteros no negativos para que siempre sumen N. Se puede demostrar que este número es (A -i- 1) (Af + 2) (A + 3)/6. Los cuatro primeros estados tienen degeneraciones 1,4,10 y 20 respectivamente. La Tabla I exhibe los números cuánticos de estos estados degenerados,

(c) Para partículas sin espín únicamente se pueden realizar físicamente los estados totalmente simétricos bajo intercambio. El estado base es simétrico automáticamente. Los cuatro estados para N = 1 forman un conjunto degenerado bajo intercambio y el único estado realizable sería una combinación simétrica de ellos. Para = 2, los estados en el grupo (a) son un conjunto degenerado bajo intercambio, como también lo son los del grupo (b). Ya que estos dos grupos de estados son independientes, para N = 2 existen dos estados que se pueden realizar físicamente, la combinación simétrica de los estados del tipo (a) y la de los estados del tipo (b). ParaAf = 3 ,porunargu- mento análogo, existen tres estados que se pueden realizar físicamente; las combinaciones simétricas de los estados degenerados bajo intercambio de los tipos (a), (b) y (c) respectivamente,

4 4 2 APENDICES

N Degeneración pqrs

0 1 0000

1 4 IODO, 0100, 0010, 0001

(a) 2000, 0200, 0020, 00022 10

(b)fllOO, 1010, 1001, 01100101, 0011

(a) 3000, 0300, 0030, 0003(b) 1110, 1101, 1011, 0111

3 20 [2100, 2010, 2001, 1200,(c) 0210, 0201, 1020, 0120,

l0021. 1002, 0102, 0012

Tabla I. Números cuánticos y degeneraciones de los cuatro estados más bajos

(d) El estado base para partículas de espín 1/2 se identifica fácilmente usando el principio de exclusión de PaulL Es el estado N = 1 que corresponde a la combinación totalmente antisimétrica de estados de una sola partícula en la cual dos partículas con espín opuesto se encuentran en el estado base y dos con espín opuesto se concentran en el primer estado excitado. No está degenerado·

CAPITULO IX

Problema 3.(a) a =(b) el mismo resultado que si el campo fuera cero

Problema 4.Zel

O

7 X 10-» Z ‘ '3 eV

Problema 6.

(a) = /« = 0 ,± U ± 2 ,

~ 2 MR^

(b) A£J*> = 0

(c) WKB; E ^ - ^ - V m - M g R

Problema 8.(a) ^,„=yr(í>,<í»)

Ei = kH{i+\)¡ 2 MR·^

Problema 11. Probabilidad para el estado U ^0 .10 , para el estado 2 s = 0.25, para cualquier otro estado que no sea un estados, = 0. (Ver referencia [29], pp. 250-2).

RESPUESTAS Y SOLUCIONES A PROBLEMAS SELECCIONADOS # 4 5

Problema 1 7 .

, ^ 1 r ( - ’·!«* . p ■ r . p^t(a) » f r í P- - (27rA)3« J [ ' ft ' 2mft dh

1 /2o«V'*[1 + (pflo/ft)*]*

p ( p , /) = 4><f> = ^ ¡ [ l + ipajhy]-* = p{p)

(b) ps{E) = 2 M 2 mr>^VÉpÍp = V 2 Ü^ )

Problema 19.A*(a) Yukawa: 8 SfiR^

(b) Exponencial: € = al mismo ( [coincidencia!)

(c) Pozo cuadrado: ~ |

CAPITULO X

Problema 1.(a) £ „ ( / = * ) = i £ , ( / = l )

(b) = V r sine

Problema 3. Algunos conmutadores típicos son los siguientes:= 0 ; (L·χ,y) = ihz\ (L^, p„) = ifip;,

Problema 7. Las parejas (i), (ii) y (v) conmutan; las otras no. y ÍÍi(;3) comnutan sí y sólo si ñ y a son colineales.

Problema 11.

(a) J, = ( L , + S,)

L,^ = hR{r) V m

4 4 4 APENDICES

S,il>=^R(r) {VÍ73y.“ x+~V 2/3 y .> X-}

y por lo tanto,

(b) Densidad de probabilidad para espín hacia arriba: p+ = 4 | / í ( r )p | r . l* .

Densidad de probabilidad para espín hacia abajo: P _ = l l 7 í ( r ) | * | n ‘|*·

(c) p+ + p _ = i | / i ( r ) | ^ (|í',1^ + 2|K.‘|*)

4TT 4ir in*

Problema 13.(a) Todas son constantes de movimiento.(b) Excepto las componentes del momento lineal, todas son

constantes de movimiento.(c) La energía y la paridad.(d) Lo mismo que en (b)(e) E y L,(f) Solamente E(g) E,Lz,Pr,Py(h) Lf, Px , Pj,,

Problema 22, La probabilidad de que el átomo de hidrógeno permanezca en su estado base es [1 + {mvaj lhyy*. (Ver Referencia [29], pp. 310-14).

CAPITULO XI

Problema 3. De acuerdo con la estimación variacional de ta ecuación (10), la energía de ligadura de H~ es

IT _ >21 e*256 ao'

Este resultado tiene que compararse con la energía del sistema disociado, un átomo de hidrógeno neutro más un electrón libre en infinito, La energía del estado base del sistema disociado es precisamente la energía de ligadura del átomo de hidrógeno, Entonces, enesta aproximación, el sistema es inestable a la disociación por tÍ* o sea de 0.7 eV aproximadamente. Naturalmente que el hecho de que el sistema H “sea estable, no viola el principio del mínimo para las energías del estado base ( ¿por qué?)

Problema 7. Después de calcular la integral, la amplitud de dispersión en la aproximación de Bom para el pozo cuadrado se puede expresar como

RESPUESTAS Y SOLUCIONES A PROBLEMAS SELECCIONADOS 4 0

jÁ ^kR sin

* 2kR sin I

donde y, es la función de Bessel esférica de orden uno (ver ecuación IX-61) dada por

. , , sin z eos z z* z ■

Entonces, la sección diferencial dajáíl = |/(ft) |* y la sección total es

<T ■· ( ImVgR^Y IT / , ____ t sinAkR sin* 2^«^V A * / 2k^R^\ U^R^ m * R * } '

Ahora se puede demostrar con relativa facilidad que el comportamiento a baja eneigía y a alta energía concuerda con lo esperado. (Ver Referencia [23] , pp. 168-9, para una discusión detallada).

Problema 9.(a) o- = 2 X 10-“ cm*(b) o· y dirldü no se alteran(c) a· no cambia, pero dafáSl sí.(d) Número to tal dispersados por segundo ™ 4 x 10®; el número

dispersado que llega al contador a 90“ es alrededor de seis por segundo.

4 4 6 APENDICES

Problema 10. Tomando el eje z a lo largo del campo magnético, la energía de un estado con número cuántico principal n, momento angular total l y componente z igual a m, es

- - ( í ^ + 5x lO->»l , )eV.

Los estados s no se afectan y los estados con / O se desdoblan en 2 1 + 1 componentes igualmente espaciadas, cuya distancia en magnitud es de 5xlO-*eV aproximadamente.

Considérese ahora el ténnino que se despreció (cuadrático) en 0 Ù , que se denotará por A . Ete acuerdo con la ecuación (67),

Ya que r es del orden de n*ao, donde n es el número cuántico principal, se tiene que.

(A) 8mc® n*.

Comparándolo con el desdoblamiento a primer orden resulta que

ieh&il2mc) 4ftc " '

de donde se concluye que este ténnino es despreciable para casi to dos los números cuánticos de interés.

Problema 13.

Para una partícula libre (H, p) = O y (H. x ) = TCotxde donde, como se esperaba,

pero,

Al notar que este resultado también se cumple para un electrón que no está libre sino que se mueve en un potencial estático, se concluye que c a juega el papel de un operador de velocidad en la teoría de Dirac. Debido a que los autovalores de cada componente de « son ± l, los autovalores del operador velocidad son ±c, lo que equivale a decir que una medición de la velocidad siempre da como resultado la magnitud de c. Este resultado paradójico se puede entender intuitivamente en la siguiente forma. Una medición de la velocidad instantánea impUca una medición precisa y absoluta de la posición en dos intervalos de tiempo separados infinitesimalmente. Pero, cualquier determinación precisa de la posición provoca una incertidumbre total en el momento, de modo que el momento promedio de las mediciones resulta indefinidameAte grande. Entonces, la medición de la velocidad da siempre el resultado c. Para otra discusión ver la Referencia [30].

Problema 18.

RESPUESTAS Y SOLUCIONES A PROBLEMAS SELECCIONADOS 447

(a) O « a « 1, Iy3| «e V a ( l - a)

(d) « = 2/3 , ^ = 0

Indice

Absorción de luz, 228 Adición del momento angulai, 348 - 357 Adjunto de un operador, 95 - 97 Algebra de matrices, 215 - 218 Amplitud de dispersión, 376, 387 Amplitud de probabilidad, 21,119,243,281

Conservación de la, 72-75,163-165 en el espacio de momentos, 35 ,244, 282 para estados estacionarios, 84-83,105 Restricción impuesta por la, 90-91

Aniquilación y creación de pares, 410-411 Anticonmutadón, Relaciones de, 342, 346,

403Anticonmutador, 342 Arfken, G„ 426 Armónicos esféricos, 292 Atomos hidrogénicos, 304

mesónicos mu, 311 tipo helio, 366-374

Autofunción radial, 293-297 Autofunciones y autovalores, 108-111 Autovalores de energía, para osciladores aco

plados,-251,270 para panículas en una caja, 80-26, 283-

285para el potencial delta 180,437 para el pozo exponencial, 181,438 para la partícula libre, 78-80 para el oscilador armónico, 138, 286 para el átomo de helio, 368-371 para átomos hidrogénicos, 308 - 309 en el pozo cuadrado, 130-135 en la aproximación WKB 186-196

Barrera de potencial {ver potencial de pozo cuadrado, efecto túnel)

Bases, 202 - 215 B ecker,R ,A .,401-427 Berg, P. W., 427

Bessel, funciones de, 302Funciones de, esféricas 300 - 302

Bjorken, J.D., 428 Bohm, D„ 427 Bohr, Magnetón de, 400

Radio de, 308 - 309 Born, M„ 426Botn, Aproximación de, 383 - 396

Validez de la aproximación de, 349-396 Bose-Einstein, Estadística de, 263 Bosones, 263

Campo electromagnético. Transformación de norma y, 397

Movimiento en el, 396-401 Canónica,Transformación, 247 Cantor, D„ 174 Caswell, R. S-, 178 Cerradura, 107-109 Clebsch-Gordan, Coeficientes de, 350 Configuración, Espacio de, 39-40,243 Compton. Efecto, 16

Longitud de onda, de 16 Conjunto completo de operadores que con

mutan, 111-113,119 de autofunciones, 119,107 -109

Conjunto estadístico. Matriz de denudad para un, 41 1 -416

Conmutador, 48Constantes de movimiento, 67, 102 - 103,

247 -248,335 -336 Constante de estructura fina, 382 Coordenadas del centro de masa, 245 - 249

esféricas, 286 - 294Relaciones de conmutación para el mo

mento lineal y las, 47 - 49 Conelación en m eciiica cuántica, 254-257,

264Correspondencia, Principio de, 17 -18

450 INDICE

Restiieciones impuestas por el, 62-64, 98 ' 101_

Cuanto de acción, 5Cuerpo negro, Radiación del, 14-16

Davisson y Germer, Experimento de, 5-8 Davydov, S. S., 427 Degeneración, 106-108,125-127

accidental, 296, 297,299,310 de intercambio, 258 para el átomo de hidrógeno, 310 para el campo central, 293 para la partícula en una caja, 284-285 para el oscilador armónico isótropo, 285

de Broglie, Ondas de, 12, 281 Longitud de onda de, 5

Dennary, P., 426Densidad de estados, 225, 229-230, 285 Desfasamiento de dispersión, 378

en la transmisión a través de una barrera. Incremento en el tiempo asociado con el, 167

Aproximación WKB para el, 193 Deuterón, 298 Dicker, R. H„ 427 Dirac, P. A. M„ 427

Paréntesbde, 76,92-93, 97 Función delta de, 37-39,56 en tres dimensiones, 385 Ecuación de, 401

Dispersión, 374Análisis del desfasamiento para la, 378-

381Amplitud, de, 375, 387en la aproximación de Born, 374-383colombiana, 381para partículas idénticas, 332, 383 Desarrollo en ondas parciales de la, 380 Ecuación integral para estados de, 386 Solución numérica de la, 169 -179 de paquetes de onda, 163-166, 374

DreU, S. D., 428

Ecuación de movimiento para la matriz de densidad,4l4

rara valores de expectación, 99,121 para funciones de estado (ver ecuación

de Schrödinger) de Schrödinger dependiente del tiempo,

(ver ecuadón de Schrödinger) en tres dimensiones, 279 independiente del tiempo, 79,105 radial, 293para la partícula libre, 70 - 72 para el movimiento en un campo electro

magnético, 398 para un sistema de partículas, 244

Efecto túnel. 11 ,1 62 -163 Ehrenfest, Teorema, de, 104 Eisberg, R. M„ 426 Emisión inducida de luz, 227-228

espontánea de luz, 228 Energía, Conservación de, 103

del punto cero, 139 Operador de, 195

Espacio de configuración, 39-40. 243; Espacio de configuración, 39-40. 243

de momentos, 34, 39, 243-245, 282 pata el oscilador armónico, 139-141 Propagador para aceleración uniforme en

el, 182Representación en el, 39-40, 244 Ecuación de Schrödinger en ei, 71, 101,

182Espectro continuo, 125

discreto, 83,126 de energía, 83 ,105,125 para la partícula libre de Dirac, 409

Espín, 337 - 348y la teoría de Dirac, 406 y estadística, 263 Adición de, 351-353

E spin ores, 403 - 405Valores de expectación para, 407

Estadística de Bose-Einstein, 263 de Fermi-Dirac, 263

Estados antisimétricos, y principio de exclusión, 26 1 -262

Estados base, 55Estados continuos de la partícula libre, 30,

64-67,281. 300-303 en una dimensión, 125-126,158-165 y dispersión, 374 de momento lineal, 30, 281 como superposición de estados de mo

mento angular, 303 y paquetes de onda, 32-35 de energía negativa de Dirac, 405, 409-

411de la partícula libre en una dimensión,

59-80estacionarios, 78-80,104-106 como conjunto ortogonal completo, 106

108ligados, 83,126Métodos numéricos para, 169-179 en la aproximación de Rayleigh-Ritz,

196-202en la aproximación WKB, 194-196 quasiligados o quasi-estacionarios, 212-

215Evolución en el tiempo de la matriz de den

sidad, 414 de los valores de expectación 98,119

de funciones de estado, (ver ecuadón de Schròdingei)

Factotizadón, Método de, para el momento angular, 322-330

del oadlador annónico, 140-147 Fermión, 263Foiirici, Integrales de, 36-39

Series de, 36-37 Frank, N, H„ 427Fundón de onda de prueba, 199-201

de estado aceptable, 20 univaluadas, 292,327

Fundones de estados, 3 ,30-31,119 asociadas de Legendre, 292-293 NaturalcM compleja de las, 31, 71 -76 como autofunciones, 708-109 como superpoMción de estado estaciona

rias, 83.105 para energía definida, 79, 81-83 de onda (ver Funciones de estado)

Gauss, Integrales de fundones de, 423-425 Gausiano, Movimiento de un paquete, 68-70

Paquetes de ondas, para el oscilador armonico, 156-157

Paquetes de onda, 51 para el poso cuadrado, 169-179 Potencial, 392

Giromagnetica, Razón (ver valor g)GoJdbers, A. I69n, 178n Goldstein,H .,427 Oreen, Fundón de, 385-386 Grupo, Veloddad de, 62

Hamiltoniano en coordenadas del centro de masa, 247-248

en un campo electromagnético externo,396-398,411

Operador, 100, 244,280-281 para sistemas de partículas idénticas, 257,

261relativista, 401,411

HamweU, O. P., 372n,Heisenberg, Prindpio de incertidumbre de,

(ver Principio de incertidumbre) Representadón de 99n

Hermite, Polinomios de 139-144 Función generadora de los, 153 Representadón integral de los, 153

Hidrógeno, átomo de, 304 Autofunciones del, 309 Degeneradón del, 309 Moléóilade, 416 Niveles de energía del. 309

H oIton,G „426 Hsi h, Y„ 254n

para el mom mto M fllH í 1 para la* coordenidtl y l l r

53,116para ta energía y el tiempo, 54 ,114

Integral de intercambio, 274,370 Intercambio de partículas Idéntlou, 2ÍT

Degeneración bajo el, 258 Operadores de, 257, 275 Simeuía bajo el, 259-266

Interferencia y principio de superporidón, 22

Invariancia bajo rotaciones, 336 bajo translaciones, 335 de Galileo, 36^365 de norma, 397

Inverso de un operador, 240n, 361

Jackson, J. D„ 427

Kennard, E. H,, 426 Klein-Gordon, Ecuadón de, 401402 Kraut. E. A„ 426Kronecker, Símbolo de, la delta de, 83 ,106 Krzywicki, A , 426

Laguerre, Polinomios de, 307 Polinomios asociados, 306-307

Lamb, Corrimiento, 4 U n.Landau, L. D., 427 Lauritsen, T„ 426Legendre, Desarrollo de una onda plana en

polinomio de, 303 Pol¿iomios de, 292-293 Polinomios asociados de, 292-293

Leighton, R. B., 426 Límite clásico, 18,186 Lifshitz, E. M„ 427

Masa reducida, 246 Manético, Número cuántico, 400 Margenau, H., 426 Marión, J. B., 427 McGregor, J. L., 427 Matriz, Adjunto de una, 216-218

de densidad, 411-416Ecuación de movimiento para la, 415 para estados puros, 415 de los operadores de espín, 343-344 de espín, 345

de tos espinores, 408 Elementos de, 204, 215 hermitiana, 217Representación de operadores como,

215-216 Traza de una, 413

4 5 2 INDICE

Transpuesta de una, 217 Medición de observables, 111 Melkanoff. M. A., 174n, 178n Método variacional {ver aproximación de

Rayleigh-Rìte)Messiah, A , 427 Metastable, Estado, 212 Molécula diatómica, 251, 254,416 Momento angular, 289*292, 318-354

Adición de, 348-354 Autovalores del, 289-292, 322, 329 Conservación del, 335 intrinseco o espinorial, 336-348 orbital 289-296,318-322 Operadores de, 289-290, 318-320 Paridad de los estados de, 294 Relación entre estados de momento lineal

deOnido y.Relaciones de conmutación para el, 318-

320Relaciones de incertidumbre del, 330 Rotaciones y, 334-336 total, 321,329, 348-357

Momento dipolar electiico, 193n, 241, 251 inducido, 251 thagnético, 400

Movimiento relativo, 249 Murphy, G. M,, 426

Nodvik. I. S„ 173n Normalización, Condición de, 21

y aceptación física, 21 Número cuántico principal, 309

Observables, 3simultáneos, 111-113 Conjunto completo de, 111-112, 119 como operadores hermitiano«, 91-93

Observaciones, 3Como operadores hermitianos, (ver tam

bién principio de incertidumbre). Ondas parciales, 303, 378-379 Operador adjunto 95-97

autoadjunto, 96de aniquilación y creación, 140-142 de proyección para la paridad, 128 el intercambio, 275 de posición, 40-45, 243 Representación del, 147-153

Operadores, Algebra de, 45-47Autofunciones ortt^onales de, 108-111 como variables dinámicas, 40-45, 91-93,

119de ascenso y descenso para el momento

angular, 322,331-333 del momento lineal, 4 045 ,24 3 , 279-280 como observables, 108-111

hermitianos, 91-93 para el oscilador armónico, 140-143

Optico, Teorema, 380 Ortogonalidad de autofunciones, 108-110 Oscilador armónico, 135-157

Autofunciones del, en el espacio de configuración,

en el espacio de aead ó n , 151 de momentos, 140Movimiento de un paquete de ondas en

un potencial de, 154-157 Propagador, del 155 (ver también oscilador anarmónico)

Osciladores armónicos acoplados, 251-254, 260-261,269-272, 276-278

Paquetes de ondas 32, 50-53 de incertidumbre mínima, 117 como superposición, 32-35 Dispersión de, 163-178, 375 Ensanchamiento de, 28,62-64 Movimiento de, 118-119 para la partícula libre, 64-70 para el oscilador armónico, 154-157 y límite clásico 26-28,68-70 y velocidad de grupo, 59-62

Paridad, 127-129de estados de momento angular, 294 y reglas de selección, 207

Park, D., 427Partículas idénticas, 257-275

y degeneración de intercambio, 257-258 Dispersión de, 382-383 en una caja, 80-87, 284-285, 302 E ^ ín y estadística de, 263 y simetría de funciones de estado, 259^

266Pauli, Operadores de, 346

Teoría de dos componentes de, 347 Principio de exclusión de, 263-264

Pauiing, L„ 427Penetración de bañeras, (ver efecto túnel) Periódicas, Condiciones a la frontera, 120,

229-231, 285 Planck, Constante de, 4-5 Polarización, Vector y matriz de densidad

de, 420Ecuación de molimiento para el vector

de, 421 Polarizabilidad, 251

del átomo de hidrógeno, 314 del oscilador isótropo, 311

Posición, Operador de, 40-45, 244 Potencial culombiano escudado, 418

central, 286-297 Dispersión por un, 378-381 centrífugo, (ver potendal radial efectivo)

l

INDICE 453

de fundón delta, 180,437-438 radial efectivo, 294-297

Potencias, Método de serie de,para el átomo de hidrógeno, 304-307 para el osdlador annónico, 135-140

Pozo aladrado, Estados Ugados en un, 130- 135

Estados continuos de un, 158-163 en tres dimenúones, 298

Probabilidad, Densidad de, 90-91 en el espado de momentos, 35, 244 Conservadón de la, 72-75,164-165 Restricdón impuesta por la, 90-91 Fhijo de, 164

Probabilística, Inteipretadón, 20 ,22, 83-86 Producción y aniquilación de pares, 410 Propagador, 64-66.118-119, 122

para aceleración uniforme, 182,439 para la partícula libre, 65, 311 para el oscilador armónico, 154-155, 311 para una partícula en una c^a, 85

Punto de vuelu, 125-126

Ramsauer, Efecto, 13 Rayleigh-Ritz, Aproximación de, 196-202

y el oscilador armónico, 201-202 y átomos tipo helio, 367-369 y teoría de perturbación, 205 Cotas superiores en la aproximadón de,

199-200funciones de prueba para la, 200-201

Radiadón del cuerpo negro, 14-16 Raynal, S., I74n Rapidez de transidón, 226 Redheffer, R .M „427 Reflexión, Coefidente de, 8-9,154,163 Regla del triángulo, 349n Richtmyer, F. Κ . , 426 Roller, D. H. D.. 426 Rotación, Operadores de, 334-335 Rotadones inflnitesimales, 335 Rutherfoid, Sección de, 382

Saxon, D. S., 174n Sawada, T„ 174n Schery,H. M. 169n, 178n. schiff, L. S., 427Schmidt, Método de ortogonalización de,

107,120Schrödinger, Ecuadón de, para la partícula

Übre, 70-72 dependiente del tiempo, (ver ecuación de

Schrödinger) en el espacio de momentos, 67,101 en tres dimenáones, 281 independiente del tiempo, 79,105 para el movimiento en un campo electro-

magnético, 398 para un sistema de partícula« en tres di

mensiones, 281 Schawartz, J, L„ 169n, 178n,

Desigualdad de, 115 Sepaiadón de variables, 7 8, 290 Sección diferendal, 376

de Rutherford, 382 total, 379 Teorema de la, 380

Simetría. Clasificación de estados por, 127- 129, 259, 263

Propiedades de, para partículas idénticas, 259-275

Simetrización de estados pata partículas idénticas, 265-272, 278

Singulete, Estados, 354,370-371 Slater, J. C , 372n, 427

Determínate de, 264 Sokolmikoff, A,, 426 Sommerfeld, A,, 426 Stehle. P., 427

Tabla periódica, 372Teoría cuántica vs. cuántica, 1-4, 8-14, 26-

29,69-70, 381-383 (ver también principio de corresponden

cia)Teoría de perturbación, degenerada (ver teo

ría de pertuibadón estacionaria y teoría dependiente del tiempo)

a segundo orden, 205-206 Cota superior para la corrección a segun

do orden en la, 208 estacionaria, 202-215, 218-222 Interpretadón física de la, 205-207 para estados degenerados o estados veci

nos, 218-222 pata estados no degenerados, 224 para estados no degenerados a primer or

den, 205 para la dispersión, 388-390 repentina, 239para sistemas de partículas, 207 Regla de oto para la 226, 228 Validez de la, 224, 228 y reglas de selección, 207

Transformación de Galileo, 363-365de norma y campo electromagnético,

397-399y la ecuación de Schrödinger, 399

Transformaciones como operadores, 334-337 361-365

Translación, Operadores de, 336 Transmisión, Coeficiente de, 9-11,159,163 Triplete, Estados, 354, 370-371 Trigg, G. L„ 427

4 5 4 INDICE

Tiaza de una matriz, 413

Valor 400-401,401n.Valor de expectación, 24*26,119. 282

de la posición y el momento lineal, 41- 44

en el espacio espinorial, 343-345 de espinotes, 408Ecuaciones de movimiento para, 98,121

Variables dinámicas como operadores, 3,43- 45 ,67 ,91-93 ,119

Variacional, Método, (ver aproximación Rayleigh-Ritz)

Vector de polarización y matris de densidad 420,

Ecuación de movimiento para el, 421

Wibon, E. B., 427 iTittlce, J ,P „4 2 7 WKB, Aproximación, 186-196

para estados ligados, 194-196 para estados continuos, 192-193 Validez de la, 189-193

Yukawa, Potencial de, 390

Zeeman, Efecto, 338,400401

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