Elementos de Una Relacion

7/23/2019 Elementos de Una Relacion

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[Escribir el nombre de la compaa]

Dulce Alhel Caballero Daz


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Elementos de una relacinCONCEPTO

Correspondencia es equivalente a Relacin. En nuestra lengua, decir en relacina, es equivalente a decir corresponde a.

Por ejemplo:

En una tienda comercial, cada producto se relaciona con su precio; o sea, a cadaartculo le corresponde un precio.

En la gua telefnica, cada cliente se relaciona con un nmero; o sea, a cadanombre de la gua le corresponde un nmero.

R!"#C$! C%R$E&'%(!

$ambi)n se le llama producto cartesiano de con*untos

+ al producto cartesiano de dos con*untos

or e*emplo

% - da como resultado a otro con*unto identificado como /%01, - estar2 formadopor un con*unto de pare*as ordenada /3, +1

Entonces 3 pertenece al primer con*unto - + al segundo con*unto

roducto cartesiano de %0


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RE4%C'!( '(%R'%

Relacin binaria en %

5 "ados dos con*untos % - , una relacin R

binaria es cualquier subcon*unto de %6

5 "ados a% - b, a est2 relacionado con b

por R si /a,b1R, aRb. &i a no est2

relacionado con b, es decir, /a, b1R,

escribimos aRb.

5 &i 7%, R es una relacin binaria en %

8%$R'9 "E RE4%C'!(

Es un grafico compuesto por filas - columnas parecido a una tabla

&E #$'4'9% :REC#E($E8E($E %R%

Cuando se requiere tomar decisiones m2s ob*etivas.

Cuando se requiere tomar decisiones con base a criterios mltiples


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R%:! "E #(% RE4%C'!(

&e puede definir como la manera grafica o visual de representar una relacin

Ejemplos:

Figura 17:Relacin ``toma el curso de para los con!untos

de personas " de materias#

Los elementos de la figura 17definen un nuevo conjunto de elementos, el

conjunto de pares de elementos que estn relacionados. As la relacin toma el

curso de!! es el siguiente:
http://computacion.cs.cinvestav.mx/~acaceres/courses/estDatosCPP/node42.html#rCursoshttp://computacion.cs.cinvestav.mx/~acaceres/courses/estDatosCPP/node42.html#rCursoshttp://computacion.cs.cinvestav.mx/~acaceres/courses/estDatosCPP/node42.html#rCursos


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"LA#$%$"A"$&' (&) *$(& +E )ELA"$&'E#

)ELA"$&' )E%LE$-A

#na relacin en % esReflexiva:&i todo elemento en % est2 relacionado con sigo mismo, consmbolos/$6 %1 /6,61 R

Ejemplo:

% 7 < = , > , ? @

R 7 < / = , = 1 , / = , ? 1 , / > , > 1 , / ? , > 1 , / ? , ? 1 @

Irreflexiva:&i ningn elemento en % est2 relacionado con sigo mismo,con smbolos/$6 %1 /6,61 R

Cuando tenemos la matriA de una relacin es mu- f2cil verificar si esrefle6iva

Ejemplos.&ea % 7 7 /a,a1,/a,d1,/c,b1,/d,a1,/c,e1,/e,e11

R?7 /a,a1,/b,b1,/c,c1,/d,d1,/e,e1,/b,c1,/b,a11

RB7 /a,a1,/a,b1,/b,a1,/b,b1,/b,c1,/b,e1,/c,e1,/b,d1,/d,a1,/e,e1


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Simtrica:

#na relacion binaria R sobre un con*unto % es simetrica si cada veA que a esta

relacionado con b se

sigue que b esta relacionado con a. Es decir,

R es simetrica a, b % /aRb 7 bRa1%& $ &

(ota D.B 4a equivalencia

R es simetrica a, b % /aRb 7 bRa1%& $ &

puede escribirse en la forma

R es simetrica a, b % F/aRb1 bRaG%& $ '

- si aHora negamos ambos miembros, tendremos

F/R es simetrica1 F a, b % F/aRb1 bRaG%& $ '

es decir,

F/R es simetrica1 a, b % FF/aRb1 bRaG%& ( '

de aqu que

R es no simetrica a, b % /aRb bRI a1%& ( )

! sea, si podemos encontrar dos elementos a - b en % tales que a este

relacionado con b - b no lo este

con a, entonces R es no simetrica.

E*emplo &ea % 7 , ?, B@ - R 7 1,/>, =1,/>, ?1,/?, >1,/?, ?1@ unarelacion definida en %.


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Asimtrica

#na relacion binaria R deJnida en un con*unto % se dice que es asimetrica si cada

veA que aRb se

sigue que bRI a. Es decir,

R es asimetrica %&$a, b % /aRb 7&bRI a1

(ota D.D 4a equivalencia

R es asimetrica %&$a, b % /aRb 7&bRI a1

puede escribirse en la forma

R es asimetrica %&$a, b % /aRI b 'bRI a1

de donde negando ambos miembros, resulta

R no es asimetrica %&(a, b % /aRb )bRa1

E*emplo D.=> &ea % 7 , ?, B@ - R 7 1,/=, B1,/>, ?1,/>, B1,/?, =1,/B, ?1@ una

relacion definida

en %..

&olucin

R es, en efecto, asimetrica -a que para cada par /a, b1 que pertenece a R, el par

/b, a1 no pertenece


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)ELA"$&' *)A'#$*$-A

na relacin /inaria 0) de un conjunto 0A es transitiva cuando se cumple la

siguiente le2:

#iempre que un elemento se relaciona con otro 2 este ultimo con un tercero

entonces el primero se relaciona con el tercero

E3E4(L&:

A 5 "

#i A es ma2or que 5, 2 5 es ma2or que " entonces 5 es ma2or que "

))ELA"$&'E# +E E6$-ALE'"$A

Definicin:#na relacin R en un con*unto % es de equivalenciasi

cumple las propiedades refle6iva, sim)trica - transitiva.

Ejemplo:

1. (ara un conjunto cualquiera , es claramente una relacin de

equivalencia.

. #ea 2 defina la relacin por si 2 slo si . "omo

, es refle8iva. #i , entonces , luego es sim9trica.

#i 2 , entonces , es decir, ,

luego es transitiva.


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. #ea una funcin so/re2ectiva 2 defina la relacin

so/re as: si 2 slo si . "laramente es una relacin

de equivalencia.

&*)& E3E4(L&:

#ea un conjunto no vaco de mangos, 2 un conjunto de /arriles distintos,

tal que cada mango est en alg;n /arril de , 2 todo /arril de es un

conjunto no vaco de mangos de . Es claro que para todo tro de mangos

2 :

1. 2 estn en el mismo /arril.

. #i est en el mismo /arril que , entonces est en el mismo /arril

que .

. #i est en el mismo /arril que 2 est en el mismo /arril que ,

entonces est en el mismo /arril que .

Esto es, si definimos so/re la relacin si 2 slo si est en el mismo

/arril que , entonces es refle8iva, sim9trica 2 transitiva. En estas

condiciones, podemos pensar en un mango no como individuo particular, sino

como , el /arril al que pertenece. As, convertimos el conjunto de mangos

en , el conjunto de /arriles. Los mangos pierden

sus diferencias!! dentro de cada /arril, 2 se vuelven equivalentes.


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OPERAIO!ES O! RE"AIO!ES

uesto que las relaciones binarias son con*untos de pares ordenados, lasnociones de interseccin, diferencia sim)trica, unin - diferencia de dosrelaciones, se obtienen de manera similar a las correspondientes para con*untos.

Entonces primeramente es necesario recordar dicHas nociones para con*untos.

a1 4a unin de dos con*untos % - , denotada por % , es el con*unto cu-oselementos son e6actamente los elementos de % , de ambos.

Ejemplos:=1 &i % 7


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=LNKN>N>L7BOBPL

El complemento de > puede formarse de*ando todos los ceros menos significativos

- el primer dgito diferente de L sin cambio, entonces se remplaAan los = por L -

los L por = en los otros dgitos mas significativos.

I!$ERSEI%!En teora de con*untos,la interseccinde dos /o m2s1 con*untoses unaoperacinque resulta en otro con*unto que contiene los elementos comunes a loscon*untos de partida. or e*emplo, dado el con*unto de los nmeros paresP- elcon*unto de los cuadradosCde nmeros naturales,su interseccin es el con*untode los cuadrados pares D

P7 , B, D, P, =L,...@C7 N, ...@D7


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&ean los con*untos de nmeros parese impares. &u interseccin es elcon*unto vaco , -a que no e6iste ningn nmero natural que sea par e*impar a la veA.

Cuando la interseccin de dos con*untos es vaca, se dice que son dis*untos

"os con*untosA- Bse dicen &isjuntossi su interseccin es el con*unto vaco

'!I%!En la teora de con*untos, la uninde dos /o m2s1 con*untoses una operacinqueresulta en otro con*unto cu-os elementosson los elementos de los con*untosiniciales. or e*emplo, el con*unto de los nmeros naturaleses la unin del

con*unto de los nmeros parespositivos P- el con*unto de los nmeroimparespositivos I

P7 , B, D, ...@I7


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InversaEn matem2tica, el inverso multiplicativo, rec(procoo inversade un nmerox,es el nmero, denotado como =UxxV=, que multiplicadoporxda =comoresultado.ElLno tiene inverso multiplicativo. $odo nmero comple*o,salvo el L,tiene un inverso que es un nmero comple*o. El inverso de un nmero real

tambi)n es real, - el de un nmero racionaltambi)n es racional.ara obtener una apro6imacin del inverso multiplicativo dex, empleandonicamente la multiplicacin - la resta, se puede empeAar con un nmero y/unaprimera apro6imacin1, - remplaAarypor >yKxy>. #na veA que la variacin entredos iteraciones sucesivas de yse Haga lo suficientemente pequeWa /- semantenga pequeWa1, yser2 una apro6imacin del inverso dex.

Es decir

&i tenemos +I3 su inverso multiplicativo es 3I+; o bien &i tenemos 3 su inverso multiplicativo es =I3.

O#POSII%! DE RE"AIO!ES

&ea una relacin de % en - una relacin de en C. 4a composicin de- es una relacin consistente de los pares ordenados /a, c1, donde a %

- c C - para los cuales e6iste un b tal que /a, b1 - /b, c1 , es decira b- b c.

4a composicin se denota por , si - son relaciones. Ejemplos:

a1 &ea %7, ?@, 7, ?, B@ - C7@ - sean 7, ?1, /?, =1, /?, B1@ 7, L1, /?, =1, /?, >1, /B, =1@ Entonces 7, =1, />, >1@ b1 &ean %7, ?@, 7, B, D, P@ C7, B1, /?, B1, /?, D1, /?, P1@ 7, u1, /B, s1, /B, t1, /D, t1, /P, u1@ Entonces 7, s1, />, t1, /?, s1, /?, t1, /?, u1@ c1 &ean %7


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PROPIEDADES DE "AS RE"AIO!ESPropie&a& reflexiva:#na relacin es refle6iva si se observa que para todos los valores aun REn otras palabras, todos los valores est2n relacionadas entre s.4a relacin de igualdad X7X es refle6iva. !bs)rvese que para, por e*emplo, todoslos nmeros a /el dominio es R1a 7 a

por lo que X7X es refle6iva.En una relacin refle6iva, que tienen flecHas para todos los valores en el dominioque apuntan de nuevo a s.

Propie&a& transitiva:#na relacin es transitiva si para todos los valores a, b, ca R b - b R c implica una c R4a relacin ma-or que XYX es transitiva. &i 6Y -, - - AY, entonces es cierto que6YA.Esto se Hace m2s claro cuando escribe lo que est2 sucediendo en palabras. 6es ma-or que - e - es ma-or que A. or lo tanto 6 es ma-or que dos -, A.4a relacin esKnoKigual XZX no es transitiva. &i 6 Z - Z A e - entonces podramos

tener 6 7 A o 6 Z A /por e*emplo = Z > - > Z ? - = Z ? pero L Z = - = Z L - L 7 L1..Propie&a& antisimtrica:

#na relacin es antisim)trica si se observa que para todos los valores a - ba R b - b R a implica que a 7 b

%ntiKsim)trica no es lo mismo que Xno sim)tricoX. &i 6 [ -, e - [ 6, entonces - debeser igual a 6.

$ricotom(a &e propie&a&:

#na relacin satisface tricotoma si se observa que para todos los valores a - bque es cierto que a R b o b R a4a relacin esKma-or o igual satisface, -a que, dado dos nmeros reales a - b, escierto que si a [ b o b [ a /tanto si a 7 b1.


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%plicacin de las relaciones.#na relacin , de los con*untos es un subcon*unto del productocartesiano

#na Relacin binariaes una relacin entre dos con*untos.

El concepto de relacin implica la idea de enumeracin, de algunos de loselementos, de los con*untosque forman tuplas.

#n caso particular es cuando todos los con*untos de la relacin son igualesen este caso se representa como ,

pudi)ndose decir que la relacin pertenece a % a la n.

Empleo de funciones&ean % - dos con*untos no vacios. #na funcin de % en , - que notaremos f %V\ , es unaRelacin de % en la que para cada a > %, e6iste un nico elemento b > tal que/a, b1 > f. &i/%, b1 > f, escribiremos f/a1 7 b - diremos que b es la imagen de a mediante f.Es decir, una funcin f de % en es una relacin de % con las caractersticasespeciales siguientes
http://es.wikipedia.org/wiki/Producto_cartesianohttp://es.wikipedia.org/wiki/Producto_cartesianohttp://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_binariahttp://es.wikipedia.org/wiki/Enumeraci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Conjuntohttp://es.wikipedia.org/wiki/Tuplahttp://es.wikipedia.org/wiki/Producto_cartesianohttp://es.wikipedia.org/wiki/Producto_cartesianohttp://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_binariahttp://es.wikipedia.org/wiki/Enumeraci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Conjuntohttp://es.wikipedia.org/wiki/Tupla


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=. Cada elemento de % se presenta como la primera componente de un parordenado de la relacin f.!bs)rvese que esto significa que "om /f1 7 %, luegoPa > %, Mb > f/a1 7 b! sea, para cada elemento a de % Ha de encontrarse un elemento b en tal que

f/a1 7 b.>. &i f/a1 7 b= - f/a1 7 b>, entonces b= 7 b>.4as dos condiciones anteriores nos ofrecen la siguiente caracteriAacin de unafuncin.: % V\ es funcin /1PYY]YY=. Pa > %, Mb > f/a1 7 b+>. Pa > % f/a1 7 b= ^ f/a1 7 b> 71 b= 7 b>G(ota M.= &i en la caracteriAacin anterior negamos ambos miembros, la contrareciproca nos ofrece#na forma sencilla de comprobar que f no es una funcin.: % V\ no es funcin /1PYY]YY=. Ma > % f/a1 D7 b, Pb > _o>. Ma > % /f/a1 7 b= ^ f/a1 7 b>1 ^ b= D7 b>Es decir, una relacin f de % puede de*ar de ser funcin porque e6ista algnelemento en % que(o sea imagen, mediante f, de ninguno de , o bien porque e6ista algn elementoen % que tenga dos'm2genes.4as funciones reciben tambi)n el nombre de aplicaciones o transformaciones, -aque desde un punto"e vista geom)trica, podemos considerarlas como reglas que asignan a cadaelemento a > %, el _nicoElemento f/a1 > .

Si tenemos &os funciones: f)x* + ,)x*- &e mo&o que el &ominio &e la / estinclui&o en el recorri&o &e la 0/- se pue&e &efinir una nueva funcin que


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asocie a ca&a elemento &el &ominio &e f)x* el valor &e ,1f)x*2.

), o f* )x* 3 , 1f)x*2 3 , )x* 3 4 )x* 50 3 6x 5 0

/g o f1 /=1 7 D ` = = 7 O


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E3E4(L +E %'"$&'E#

El concepto de funcin corresponde a una idea intuitiva presente en el idioma dela calle los impuestos que pagan las personas est2n /o deberan estar1 en funcinde los ingresos, los resultados obtenidos en los estudios son funcin del tiempo

dedicado a estudiar, el consumo de gasolina en un via*e es funcin de /XdependedeX1 los ilmetros recorridos, la estatura es funcin de la edad, el nmero deescaWos obtenidos por un partido poltico despu)s de unas elecciones es funcindel nmero de votos obtenidos /le- de nt1, el 2rea de un cuadrado es funcindel lado, el volumen de agua que contiene una piscina es funcin de sus medidas,la proporcin de Carbono =B presente en una momia egipcia es funcin del tiempotranscurrido desde la muerte, etc.

C!8!&'C'( "E :#(C'!(Ena funcin Xf /61X lo que Hace es transformar nmeros X6X en nuevos nmerosque designamos por Xf/61X. % veces sobre un elemento 6 acta primero una funcin

XfX -, despu)s, sobre su imagen vuelve a actuar otra funcin XgX. or e*emplo si f/617 6>- g/61 7 >6=, veamos que sucede con le nmero > al actuar primero f - luegog sobre la imagen obtenida. f/>17B - g/B1 7 M. Resumiendo Hemos pasado del > alnmero M. Esta nueva funcin que se obtiene Haciendo actuar primero f - luego gse llama Xf compuesta con gX - se escribe XgofX. 4o que Hemos HecHo con elnmero > se suele escribir de la siguiente forma/gof1/>1 7 g/f/>11 7 g/B1 7 M.

ara un nmero X6X cualquiera tenemos /gof1/61 7 g/f/611 7 g/6>1 7 >6>=.


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*$( +E %'"$&'E#:

En matem2ticas, una funcin, aplicacin o mapeo f es una relacin entre un

con*unto dado 3 /el dominio1 - otro con*unto de elementos + /el con dominio1 de

forma que a cada elemento 6 del dominio le corresponde un nico elemento delcon dominio f/61.

:unciones %lgebraicas

En las funciones algebraicas las operaciones que Ha- que efectuar con la variable

independiente son la adicin, sustraccin, multiplicacin, divisin, potenciacin -

radicacin.

:unciones e6plcitas

&i se pueden obtener las im2genes de 6 por simple sustitucin.

:unciones 'mplcitas

&i no se pueden obtener las im2genes de 6 por simple sustitucin, sino que es

preciso efectuar operaciones.

:unciones oli nmicas

&on las funciones que vienen definidas por un polinomio.

:unciones Constantes

El criterio viene dado por un nmero real.

:unciones oli nmica "e rimer rado


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:uncin Cuadr2tica

&on funciones poli nmicas es de segundo grado, siendo su gr2fica una par2bola.

:unciones Racionales


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El criterio viene dado por un cociente entre polinomio

:#(C'!(E& '(ER$'4E&

En matem2ticas, una funcin, aplicacin o mapeo f es una relacin entre un

con*unto dado 3 /el dominio1 - otro con*unto de elementos + /el con dominio1 de

forma que a cada elemento 6 del dominio le corresponde un nico elemento del

con dominio f/61.

:unciones %lgebraicas

En las funciones algebraicas las operaciones que Ha- que efectuar con la variable

independiente son la adicin, sustraccin, multiplicacin, divisin, potenciacin -

radicacin.

:unciones e6plcitas

&i se pueden obtener las im2genes de 6 por simple sustitucin.

:unciones 'mplcitas

&i no se pueden obtener las im2genes de 6 por simple sustitucin, sino que es

preciso efectuar operaciones.

:unciones olinmicas

&on las funciones que vienen definidas por un polinomio.

:unciones Constantes

El criterio viene dado por un nmero real.


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:unciones oli nmica "e rimer rado

:uncin Cuadr2tica

&on funciones polinmicas es de segundo grado, siendo su gr2fica una par2bola.

:unciones Racionales

El criterio viene dado por un cociente entre polinomio

:#(C'!(E& '(ER$'4E&"e manera burda se puede decir que si una funcin tiene inversa o es invertibleentonces lafuncin inversa anula la accin de la funcin.para que la funcin sea inversa debe cumplir con la condicin de que sea uno auno.lo anterior nos quiere indicar que si es uno a uno entonces debe cumplir para cadaelemento deldominio le corresponde un elemento del contra dominio - viceversa, es decir paracada elementodel contra dominio le corresponde un elemento del dominio .

%4'C%C'!( "E 4%& :#(C'!(E&

4as 8atematicas "iscretas es quiA2 una de las ramas asociadas con la computacion -

la rama de las 8atematicas mas reciente. "e HecHo, los principios matematicos de la

computacion est2n en esta disciplina tienen como base el %lgebra Cl2sica, - el

%lgebra &uperior, Estadistica - robabilidad.

Esta ciencia tiene como aplicaciones, el desarrollo de los circuitos electrnicos

/procesadores, tar*etas madre1 desde el punto de vista lgico /usando el %lgebraooleana1, el principio matematico del "iseWo - %rquitectura de las ases de

"atos/del cual Codd fue uno de los grandes e6ponentes en =MOL1, la $eora de la

Computacion /en donde se estudian los %utmatas :initos, 8aquinas de $uring - el

tema mas reciente la $esis de CHurcH1 - los principios b2sicos de la 'ngeniera de

Computacion.


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E84E! "E R%:!&

En matem2ticas- ciencias de la computacin, un grafo /del griegografos dibu*o,

imagen1 o gr2fica es el principal ob*eto de estudio de la teora de grafos.

%R$E& "E #(R%:!

'nformalmente, un grafo es un con*unto de ob*etos

llamados v)rticeso nodosunidos por enlaces llamados aristaso arcos, que

permiten representar relaciones binariasentre elementos de un con*unto.

$picamente, un grafo se representa gr2ficamente como un con*unto de puntos

/v)rtices o nodos1 unidos por lneas /aristas1.

RERE&E($%C'( 8%$R'C'%4 "E R%:!&8atriA de ad-acencia.Es una matriA cuadrada en la cual los nodos del grafo se indican como renglones -como columnas. El orden de los nodos es el mismo que guardan los renglones -las columnas de la matriA. &e coloca = como elemento de la matriA cuando e6isteuna relacin entre uno - otro vertice, o bien un L cuando no e6ista relacin alguna.

(ota en una matriA de ad-acencia no es posible representar lados paralelo.

8atriA de incidencia.En esta matriA se colocan los nodos del grafo como renglones - las aristas comocolumnas. En esta matriA si es posible representar lados paralelos. %l sumar loselementos de cada una de los renglones se obtiene la valencia de los nodos, alsumar las columnas es posible distinguir cuando se trata de un laAo -a que susuma es =.

C%8'(!& + C'RC#'$!&

Camino.Es una sucesin de lados que van de un nodoxa un nodo w/dicHos lados sepueden repetir1.

Circuito o ciclo.Es un camino del nodo wal nodo w, esto es, un camino que regresa al mismo
http://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Ciencias_de_la_computaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Idioma_griegohttp://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_grafoshttp://es.wikipedia.org/wiki/V%C3%A9rtice_(teor%C3%ADa_de_grafos)http://es.wikipedia.org/wiki/V%C3%A9rtice_(teor%C3%ADa_de_grafos)http://es.wikipedia.org/wiki/Arista_(teor%C3%ADa_de_grafos)http://es.wikipedia.org/wiki/Arista_(teor%C3%ADa_de_grafos)http://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_binariahttp://es.wikipedia.org/wiki/Conjuntohttp://es.wikipedia.org/wiki/Matem%C3%A1ticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Ciencias_de_la_computaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Idioma_griegohttp://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_grafoshttp://es.wikipedia.org/wiki/V%C3%A9rtice_(teor%C3%ADa_de_grafos)http://es.wikipedia.org/wiki/V%C3%A9rtice_(teor%C3%ADa_de_grafos)http://es.wikipedia.org/wiki/Arista_(teor%C3%ADa_de_grafos)http://es.wikipedia.org/wiki/Arista_(teor%C3%ADa_de_grafos)http://es.wikipedia.org/wiki/Relaci%C3%B3n_binariahttp://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto


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nodo de donde sali.

Circuito simple de longitud n.Es aquel camino del nodo wal nodo wque solamente tiene un ciclo en la ruta quesigue.

Camino simple de longitud n.Es una sucesin de lados que van de un nodoxa un nodo w, en donde los ladosque componen dicHo camino son distintos e iguales a n. Esto significa que no sepuede pasar dos veces por una misma arista.

Camino de Euler.Es aquel camino que recorre todos los nodos pasando por todas las aristas

solamente una veA. #na caracterstica importante de los grafos que tienen caminode Euler es que siempre comienAan - terminan en nodos que terminan en valenciaimpar.

Circuito de Euler.Es aquel ciclo que recorre todos los nodos pasando por todos las aristassolamente una veA.#n grafo tiene un Circuito de Euler si - solo si es cone6o - todos sus nodos tienenvalencia par.

%lgoritmo de :leur-.(os permite determinar un circuito de Euler=1erificar que el grafo sea cone6o - que todos los nodos tengan valencia par. &ino cumple el grafo no tiene circuito de Euler - finaliAar.>1&i cumple con la condicin anterior, seleccionar un nodo arbitrario para iniciar elrecorrido.?1Escoger una arista a partir del nodo actual. Esa arista seleccionada no debe deser lado puente, a menos que no e6ista otra opcin.B1"esconectar los nodos que est2n unidos por la arista seleccionada.

N1&i todos los nodos del grafo -a estan desconectados, -a se tiene un circuito deEuler - finaliAar. "e otra manera continuar con el paso ?.

'&!8!R:'&8!

El descubrimiento delatnde que la forma es lo que importa se recoge en

matem2ticas con el concepto de isomorfismo. #na aplicacinf3+ entre dos
http://es.wikipedia.org/wiki/Plat%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Plat%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Plat%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_(matem%C3%A1tica)http://es.wikipedia.org/wiki/Plat%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Funci%C3%B3n_(matem%C3%A1tica)


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con*untos dotados del mismo tipo de estructura es un isomorfismo cuando cada

elemento de + proviene de un nico elemento de 3 - f transforma las operaciones,

relaciones, etc. que Ha- en 3 en las que Ha- en +. Cuando entre dos estructuras Ha-

un isomorfismo, ambas son indistinguibles, tienen las mismas propiedades, -

cualquier enunciado es simult2neamente cierto o falso. or eso en matem2ticas lasestructuras deben clasificarse salvoisomorfismos.

E*emplos de isomorfismos

or e*emplo, si 3 es un nmero real positivo con el producto - + es un nmero real

con la suma, el logaritmoln 3+ es un isomorfismo,

porque - cada nmero real es el logaritmo de un nico

nmero real positivo. Esto significa que cada enunciado sobre el producto de

nmeros realespositivos tiene /sin m2s que sustituir cada nmero por su

logaritmo1 un enunciado equivalente en t)rminos de la suma de nmeros reales,

que suele ser m2s simple.

!tro e*emplo si en el espacio E elegimos una unidad de longitud - tres e*es

mutuamente perpendiculares que concurren en un punto, entonces a cada punto

del espacio podemos asociarles sus tres coordenadas cartesianas, obteniendo as

una aplicacin fER en el con*unto de las sucesiones de tres nmeros reales.

Cuando en E consideramos la distancia que define la unidad de longitud fi*ada -

en R consideramos la distancia que define la raA cuadrada de la suma de los

cuadrados de las diferencias, f es un isomorfismo. Este descubrimientofundamental de "escartespermite enunciar cualquier problema de la geometra

del espacio en t)rminos de sucesiones de tres nmeros reales, - este m)todo de

abordar los problemas geom)tricos es el ncleo de la llamada geometra analtica.

R%:! 4%(!

En teora de grafos, un ,rafo plano/o planarsegn referencias1 es un grafoquepuede ser dibu*ado en el plano sin que ninguna aristase interseque /una definicin

m2s formal puede ser que este grafo pueda ser XincrustadoX en un plano1. #n

grafo no es plano si no puede ser dibu*ado sobre un plano sin que sus aristas se

intersequen. 4os grafos KN- el K?,?son los grafos no planos minimales, lo cual nos

permitir2n caracteriAar el resto de los grafos no planos.
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#&! "E %R!4E&

Ar7oles:

#n 2rbol es un grafo simple en el cual e6iste un nico camino entre cada par dev)rtices.

&ea 7/,%1 un grafo no dirigido. se denomina %R!4, si es cone6o - nocontiene ciclos.

#n 2rbol con raA, es un 2rbol que tiene un v)rtice particular designado como raA.

E*emplo de 2rbol

En la figura anterior = corresponde a lo que llamamos mediante la definicin

%R!4, en el caso de >, )ste no corresponde debido a que contiene un ciclo.

odemos destacar que cuando un grafo es un %rbol, se reemplaAa , por R.

En la figura mostrada = es un subgrafo de >, en el que = contiene los v)rticesde > - es 2rbol, adem2s lo llamaremos 2rbol abarcador, por que proporcionacone6in minimal para el grafo - un esqueleto minimal que une los v)rtices.

E*emplo de 2rbol raA

ara apo-ar el entendimiento de las definiciones entregadas agregaremos algunos

teoremas.

Teorema:

&i a, b son v)rtices de un 2rbol R /,%1, entonces Ha- un camino nico queconecta estos v)rtices.

Teorema:

En cualquier 2rbol R7 /,%1, hh 7 h%h =.

Teorema:

ara cualquier 2rbol R 7 /,%1, si h%h Y7 >, entonces R tiene al menos dos v)rticescolgantes.

Teorema:

&ea un grafo simple con v v)rtices, entonces se puede decir


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es un 2rbol.

es cone6o - no contiene circuitos.

es cone6o - tiene /nK=1 lados.

no contiene circuitos - tiene /nK=1 lados.

Ar7oles con Ra(8

&ea un grafo dirigido, se denomina 2rbol dirigido si el grafo no dirigidoasociado con es un 2rbol. Cuando es un 2rbol dirigido, se denomina 2rbolcon raA si Ha- un nico v)rtice r, la raA.

&ea un grafo con raA L. &upngase que 6, -, A son v)rtices en - que /vL,v=, ..., vn1, es un camino en .

/nK=1 es el padre de v/n1.

L, v=, ..., v/nK=1 son los antepasados de v/n1.

/n1 es el Hi*o de v/nK=1.

&i 6 es un antepasado de -, entonces - es un descendiente de 6.

&i 6 e - son Hi*os de A entonces 6 e - son Hermanos.

&i 6 no tiene Hi*os entonces 6 es un v)rtice terminal.

&i 6 no es un v)rtice terminal, entonces 6 es un v)rtice interno.

El subgrafo de que consiste en 6 - todos sus descendientes, con 6 como raA,es el subarbol de que tiene a 6 como raA.

&ea R7 /,%1 un 2rbol con raA r. &i R no tiene otros v)rtices, entonces la raAmisma constitu-e el recorrido en orden previo, sim)trico - posterior de R. &i hh Y=, sean R=, R>, R?, ...., R los subarboles de R segn se va de iAquierda aderecHa.

El recorrido de orden previo de R comienAa en r - despu)s pasa por losv)rtices de R= en orden previo, a continuacin por los v)rtices de R> en ordenprevio, - as sucesivamente Hasta que se pasa por los v)rtices de R en ordenprevio.


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El recorrido en orden sim)trico de R primero, se pasa por los v)rtices de R= enorden sim)trico, despu)s por la raA r - a continuacin por los v)rtices de lossubarboles R>, R?,...., R en orden sim)trico.

El recorrido en orden posterior de R pasa por los v)rtices de los subarboles R=,

R>,...., R en orden posterior - a continuacin por la raA.#n 2rbol binario es uno con raA en el cual cada v)rtice tiene un Hi*o a la derecHa oun Hi*o a la iAquierda, o viceversa, o bien ningn Hi*o. #n 2rbol binario completo esuno en el cual cada v)rtice tiene un Hi*o a la derecHa - uno a la iAquierda, o bienningn Hi*o.

Teorema:

&i $ es un 2rbol binario completo con i v)rtices internos, entonces $ tiene i =v)rtices terminales - >i = v)rtices en total.

#n 2rbol binario de bsqueda es un 2rbol binario $ donde se Han asociado datos alos v)rtices. 4os datos se disponen de manera que para cualquier v)rtice v en $,cada dato en el subarbol a la iAquierda de v es menor que el dato correspondientea v.

Ar7oles ,enera&ores:

#n 2rbol $ es un 2rbol generador de un grafo si $ es un subgrafo de quecontiene todos los v)rtices de .

% esta caracterstica general es posible agregar ciertos teoremas de modo dedetallar an m2s el alcance de la definicin. Es as como el rafo que contiene a $debe ser cone6o, pues de lo contrario no e6istira un subgrafo que contuvieratodos sus v)rtices.

En general un grafo tendr2 varios 2rboles generadores ,como el del e*emplo = elcual tiene a lo menos dos arboles generadores $= -$>.

#na coleccin de 2rboles dis*untos es llamado 7osque.

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