L O S SEIS L I B R O SP R I M E R O S DLA G E O M E T R A DE EVCL.IDES.T r a d u z i d o s e n legua Efpaola p o r Rodrigo amorano Aftrol goy Mathematco,yCathedratico de Cofm.ographia p o r fu Magetad en la cafa de la C o n t r a t a d o de Seuilia Dirigidos al jlkitre feor Luciano de Negro, Cannigo dla fania ygk-ia de Seuilia.;

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Con licencia del Confejo R e a l . En Seuilia en cafa de Aonfo de la Barrera.

Efta taflado ea o cijo p e z e t a s

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& | L 1 P P E . Por la grjw Lea deBios.Rey de^Ca jftilla, de Lecn^de & ra i gn de las dos Sicilias de Ierufaen, de aua r r a , d e G r a n a d a , de T o l e d o , de Valencia, de"Galizia,de Mallorcas de Seuilla,de Cerdea, de Cordoua,de Crcega , de Murcia, de Iaen, Duque Mil ende Fdes y de Tirol.eet.Por quato por parte de vos R o drigo ^amorano nos fue fecha relaci dizido q v o s auiades traduzido los feys libros primeros de Ja geometra de Eucli des en nueftra legua efpaolapoique hauan fido muydeTea d o s de muchas gentes p o r ia gran vtihdad qu trayan afia los que liguen las matlematicas cmo a todos los artfices^ y. en traduzir le n o folo auiads pafado mucho trabajo en que materia tan dificil y obfcura,eftuuiefle clara en -nuelra lengua,pero a la repblica fe le hauia hecho n o pequeo beneficio p o r la neceflidad que de ella obra tenia. Suplicando nos lo tnandaflemos Veer y dar os licencia para lo poder im p r i m i r , o e o m o lanueftra mercedfuefle. Lo qual villo p o r l o s d e l n u e f t r o C o n f e j , p o r q u a n t o e n e l d i c h o libro fe h i zieronlas diligencias que la prematica por nos hecha fobre la ymprefion de los libros difpoiie ,fue acordado que d e niamos mandar dar efta nueftra carta para vos en la dicha r a z n & nos touimos lo por b i P o r la qual damos licencia mm y facultad para que p o r efta vez qualquierymprebr deftos nuetrosreynos pueda imprimir el dicho libro fin que p o r ello cayga ni yncurra en pena alguna. Y mandamos que defpues de ympreo n o fe pueda vender ni venda finque p r U-

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Tnroe traya a nuetro Confejo juntamente con el original que fue vifto,que va rubricado y firmado de lun gallo deAndrada nueft.ro fcriuano de cmara de Sos que reiden en el nuetro Gnejo^para queladichaimpreTion fe vea li eta conforme al original y fe de licencia para lo poder vend e r ^ fe taTe el precio a que le huuiere de vender cada pliego defjfopena de caer & incurrir en las penas contenidas en la dicha pregmaticay leyes de nueftros Reynos y mas de la nueftra merced y de diez mili marauedis para la nueftra cmara. Dada Madrid a v e y n t e y q u a t r o das del mes de mar co de mili & quinientos y fet'enta y q u a t r o a o s . D.EpsSegobie. El Licenciado E l d o c l o r Francifco Perogafco. , . fcerndez de lieuana El doctor luys . demUna. El D o c t o r Aguilera,

E Licenciado Coutreras.

Yo lun gallo de Andrada fcriuano de cmara d e f u M a g e ftad la fize fcreuir por fu mandado con acuerdo de los del fu* Confejo. . < \'. ' I . , A i o n f o d e V a r g a s ~. Pecellin y,-... P o r chanciller Jilonfo de Vargas Pecellin

AL ILL VSTRE SE O R -L-VCINO DE N E G R O N cannigo delaaric?tayp-Ieia de Seuilia. (.*0 3j| B L I G M E(l!lulre feor) *%%M lo mucho quc.V.M.merece, li^^^ffl i | y la deuda particular enc|uc todas lasbuenas artes a.V.M |5|i||j le e.fta,adtdicarlc como'a p tro a y tan etdiofo de todas ellas,etos feys libros dla Geometra de Euclides traduzidos en nueftra lengua Epaola para comericar con cito a feruir alguna parte de lo mucho q a.V.M.deuo y deTeo: como a p r ^ ib na que no folo en fus principales e iludios dlas letras fagradas^pero aun en efte g e a e ^ ro de profesiontiene tarnbuna parte, que bailara dar nombre no folo a e l e / p e r o a otros mas Illulres trabajos. El qual co'nfio que fera gratamente recebido de todos los curiofos de las Mathematicas, tanto por yr debaxo de tal proteccin y amparo^ quanto por5

por el titulo de fu proprio authorprincipe de la Gcometria,tan celebrado en todas las lie dades .El qual fi en nueftra lengua a.V.M. die re alguna atisacion,eftare cierto que podra contentar a todos los que guftan de tan loables eftudios. Suplico a.V.M.le admita, que aunquepara el merecimiento de.V.M.el don feapequeo,le ofrece vna voluntad muy gra de para feruirle en cofas mayores. Iiluftre fenor.

Bfalas manos de.v.m.fuferuidorJ

Rodrigo ^amorano.

CA curilo ie&or.

4

.

Rimero q la Geometria( curio fo Ictor)fc reduxefe al fer q ao ra tiene,anduuo vfo entre las getes.Cuyos inutores dizha uer ido los Egyptios por la gr de ncceldad q 3. ella teni.Porq como el rio Nilo enel eftio crecia tato q fu creciere les re gafle y aun anegae todos los capos venia a deshacer y borrar los trminos y linderos delas heredades de toda la tierra. Y ai obre la aueriguacion de lo q a cada vno defpues de la meguante le perteneca, auia ordinariamte, no pequeos peytos y ctiendas entre los vnos y los otros , ecogiendo cada vno para i lo mas y mejor.Por lo qual es era forcado ca da ano acudir de nueuo a los juezes y gouernadores delatierra,para qlos concertaTen. De aqui vino q los juezes median por las reglas que cada vno halaua mas ciertas yverda leras o que a cada vno le perteneca = De los quales el primero que fe lee hauer dado r e glas para la medida fue Mers Rey de Egypto al qual fe atribuyela inuencon de la Geomc4 tria.3

tria. Decle ele vino la facultad del medir puco a poco crefciedo ennueuas inuencio nes haftalos tiemposde Pythagoras philofo pho natural de la lila de Samo : el qual defpues dicen haber inuentado enella las delineationes las frmaseos nter ualls, las di-; lantias y las quantidades. Y acab muchas cofas de efta fcientia, entre las quales hall la virtud opotencia del triangulo rectangu lo, con tanto contentamientoy fatiffatioa de haberle halado,que fe dice del, en pago de la merced recebida haber ofTrecido ala Diofa Minerua elacrificio Hecatombe que entonces llamaban,ene qual facrific cien vacas.Defpuesde Pythagoras hubo muchos hombres excelentes enefta facultad y profe fiondela Geometria.Deos quales fue vno excelentifsimo entre todos Archimedes na tu ral de Sarago^a en Sicilia. Fueron tabica principales ela Anaximclro Mieio y Par menides,elcp por razo Geomtrica affm q la tierra era redonda y de figura fpherica yf queeftaiaaerrtada en el medio del vniuerfo.LLego el negocio de la Geometra cnton ees a tanta cumbre, que entre los antiguos pare-

to.

f.

pareca que e competencia por general inci^^jo^lcmpuinodosatratar dla medida* ^airvnos 2 otros eipoa diueras preguntas y difcultades*y qualqicra coa qu les pare taqeiliua'bieanallada,laguardaua enecri ptQ y^fli la eomncua no folamte enEgip tojpero poco a poco fe vino tibie, a tratar en relasgetes afli apaxtadas^oniOY2nas.Ata q entre todos Euclidesphlofoplio natural de Megara Grecia^que fue el que masfloreeoj toimndoniuy muchas desaquellas inuenebns antiguas/es anadio co u agudeza y fubt leza de ingenio otras muchas. Yporqueno fe peidiefsen los trabajos y eudios dlos antfe guosdas junto todas en qunze libros,os cjua les llamo Elmetos;porque iendoclas fign as de efta obralas primeras demftratones que de Geometra fe hazen, todas las de mas que deftaydelas otras fcientas proceden^ fe ha, dereduziraeftascomo aprincipiosropor que afi como de los quatro elementos fe hazen y penden todas las cofas afi de aqu pen d todas las artes y eencias.Enlas quales ca rifllmamente fe vee la necefidad q tienen de la Geometria.Pcrq fi procedemos de vna eii iil B otra5

otra hallaremos que lo principal que tiene en las artes laArchite&ura el defear de las pa tas y conftitucion de los aleados de loshedifl cios;,y de donde mas fe ayudares dla Geome tra.Y afi fevee claro qu por falta de efta fci enca e han caydo muchos hediricis,por no les hauer dado la forma deuida y que les era ncefaria.La pintiira y efeulptura en fis def& nos y debujos (como parebe por Alberto D a xero en el libro d Symmetria corporishum ni,y por Len Baptifta Alberto en los de pittura) tienen tanta neceffidad de ella, que lo principal de fu arte efta puefto y cofifte en el buen conofcimiento.de la Geometra fin la cjual a ninguna cofa de las que hazen fe epue de dar buena proportion y medida.Muy nial puede eINibelkdor deaguas traerlas' bien al faigar dde deea in ayuda de la Geometra. N i el Ingeniero aflenla guena como ca paz dar bienfio.Geometra la proportion que a fus machinas le deue.Ei capitn y el foldadoj? foera de otras muchas cofas en que cada; di experimenta efto,lo echan de vtyi Guanta hazelafgura para la fortaleza del efquadro i El artillero tamb cb la G comeara mide las a difta5 3 3

fo.

6.

idiftrias ointeruallos 'fegtt la potentia dlas piezas coque tira y haze las minas pata volar loi fuertes.Pet mucho mas Te echa de ver ef tenlascientiastdelas quales la Alronomia podriarhuy.mal probar y demonftrar las qua tidades y proporciones dlos cuerpos ceetia des y de la tierra para el conofcimiento de los anoimieficosy eeripfes del Sol y Luna, i to das Tus demontrationes no las hiziefe Geo metria:de la qual en la Aftronomia fe han lacado tanta multitud de coiasdignas de admi raciony iubtiezaqueparecen trafcender la capacidad humana.LaComographia bi ca ramentedaaentenderquanto'e aproueche ;de cita fcientia enla defeription de las proua cas y fitio de los ugares,y ambas a dos en a compolicion de tantos inftrumtos comotie nen por medio c intercedi dla Geometra. La cientia de la Perpectiua con Geometra ;rueua todas fus c6cluiones,y por-medio de la no folo inueftigay efcudria los interio ~ res fecretos de las obras de natura,pero tambin faca aquella fubtil inuention de los cipe jos vfcorios o/cburtes.La philofophia nata ral q efciiuiero Plato, Aleteles y todos los B 2, ant

antiguos eta ta llena deexcmplos Geometri cos,q fia eta fcitia es imponible poder phi lofophia aber el dia de oycofa alguna.Tbi Ja philofophia moral es cofa clara la necefll ~ dad de Geometra q tiene,pues -Alateles las Eticas copara las dos partes dla jufticiadi flributiuay Comutatiuaalas dos propordo nes, Geomtrica y Arithmetica, Quintiliano haze la Geometra necefaria al Orador,yRar tolo al Iuperito.Y generalmte a todas las dems artes y (ciencias fe les hecha de ver la necefidad,pues vnas fin ella nopued paTar, y a las dems les es vtil en grande manera, co mo lo vera quien a ello vn poco atender qui fiere.Ha fido fiempre tan tenida y elimada eftafcicntia que Platn madaa ninguno- de fus difcipulos entrafe a oyrlephilofophia fino fupiefe primero Geometra.Hyppocrates eferuio vn libro de el quadrar el circulo,Auice na otro de lneas y nmeros, Archimedes mu chosjdelos quales algunos fe han perdido co la injuria del tiempo,y otros andan aun elda de oy entre las manos dlos curiofos . Hypflces criuio dos libros de Geometra que tra*> tan de la proporcin de los cinco cuerpos re guiares

fo.

7.

gulareSjIosquacs con algunos de ios quince de Euclides traduxo en latn ScucrinoBoetio Apolonio Pergeo iolia r llamado diuino por los ocho libros que ccribio de las fc&io nes ConicaSjdc los quales alcn tanta diueridad de fubtilczas en los Rclogcs folares, en los inftrumentos MathcrnaricoSjy principalmente en aquella delicada y admirable mu tion de el Aftrolabio 4 Y finalmente a nadie podemos juzgarpordcCp,anacl;icprperito y ejercitado en u fcienta o en arte alguna:l carece del conocimientode la Geometria ba jfs y fundam.ento de todas elas^Por lo qual fiendo efta fcitia tan antigua^necefaria y no ble jpeure de comunicar la atoaos para que fe puedan vniuerfalmente aprouecnar della en todas las artes y Icientias.Y no me ha pare cido facar aora a luz mas de osprimeros feys libros por er eftos mas neceTarios que los otro?.Ni he querido poner en ellos comenta rios,fcholios ni additones(que pudiera) por que el audor fue en efto ran ingenilo que el que quifiere,con facilidad puede, atendiendo bien a la letra.percebir el fentido ydemon tracion de lo que el enfea. Y aunque efte B 3 mi3

mi pequeo trabajo entiendo ha. defer agradable a muchosjpero a otros no les parecer tambienyporqiie auhnoie hauiabiencomen^ado quahdome dixeron *ms bien y otros mal de mi dilrgecia.^asderpues perfuadido: por ruegos dealgunos amigos,y de la necel dad que de f andar efte libro en nueftra- legua vulgar'h^miaiteiiiendo^ra^lcadalamano delittadu^ioif^uievoiuclr a ella,afta.acabarlos ey^prirnroslifeosyqe ion los mas necearlos det dos iosquEucides eferibio Pareciendo me mejor el proUeeho que a los ^nos bzia que noa murmuracin que por fuerza trg 'd fufrir de los dems, que lespa reoe,que el andar las cieririas en lengua vulgar es hazer las Mechanicas,no mirando que los uthores que al principio las cribieron, las dexarOnfcripts en lengua que entonces eratau vulgar cmoaor Ib es la nueftra,y que no buferon otras ages nque crebrr porque fu intencin fue mas^de aprouechar a todos que no de encubrir a nadie la fcitia. Pero poique eftas gentes me parece que van fuera de buen camino,no curare degaftar pa labras en efto,mas de encomendar a criofo;

lector

fo. Ic&or.,tenga por-bueno m i trabmo^I^rtial i C yo entendiere q u e Je es abepto Tacare O H Bfeuerhenteicque f i l a d l e Eucli Ci des,con otras cofas tocantes t a la 'Atrnbmia,trolo- t . giay Colmogra^snfaycjq 13 *&>i *-5^>entieclo aplacerYw->c" OJH/ .1 7- a t s curiofos. .rnut>?in V^lt\r-ini~2A ? 3 I. KL -i . 3OJSIJg ; r

zaomuim

,5ni fibbconimisi 20J ..zob-nuq-GL --y 5jp EI 23.i313n! J 4. *ol stip o 23 3 i 3 r h s q n 2 * .LJis3i3i.33nom/.I .^indanfi y - : c 3 n i i '*oi s b f h s q u ! s b b s o n i n m i . a o J * z-r. 33n3inln^^ap 23'f;rtli 3ion43q2 c ,23nil znl.siina MmnhtvpZ niii-^aonjiH-.JngA ' i l?.c

Ltiqw n-.i* c bt57.il} no-i:

LB O P I E O I R R MR

D E

LOS E L E M E N T O SDE EV C LI.DE S P H I L d S O P H O Megarenfe. De tres gneros de principios El primero las difinitiones. i. Puntoxs cuya parte es. ^L i n a r e a 3

ninguna..

z. Linea es logitudque no. fe puede enfanchaf. %Los terminosdela linea. fonpun&os., Liaea tortuofa. 4. Linea recta es la que ygualmete efta entrefus; puntos.. Superficie liana. S up erficie es lo que fo < lamente.tiene lgitud y anchura. . 6' Losterminosidelafuperficiefon lineas. 7 Superficie llana^esja.queygualmente efta cntre.fus lineas. Superficie c r a uu . & Angulollano es, la n; clinaciode doslneas qfe toca en vn plano y no. efta en derecho *

Lineacurua,

E G I R. V LD S9

f. 9 a .

7ngulo rectilneo fe llama quandoias lineas que ctienen el ngulo fueren rectas4 g ! r& nu e o o

10 Q ando eftando vna linea re ta fobre otra linea recta hi zicre ngulos de ambas par tes yguaes entre i, es recto cada vno dlos ngulos ygua les j y la linea que fobre efta fe dize perpendicular fobre la que eftuuiere.3

r -g

1

Obtufo

agnd

i i ngulo obtufo es el mayor que recto, i ngulo agudo es el menor que recto. 13 Termino esjl i4.Figufa es lasque es contenida dealguno, o e algunos trminos, en tuern-n Cu-cuio. i s Girculo es vna figurallana ctenida devna linea,quc ellama circfercia, afta ala qual todas las lineas q flieren devn p unto | ele :

LIBRO PRIMERO D E . dentro cayendo enlacircferentia aelmifmo circulo ion entre l yguales. 16 Centro del mimo circulo fe llama aquel puncto. 17Diamet.ro Sesmero de : circulo,e| k.figu

Sepmeno.

I

i

i-

t&&mtU^Jk&3&J&&& tecla v de vna circunferehciade , circulo mayor o menor q medio circulo. .. :-;> %o Figuras rectilneas fon las que fon conten das de lineas rectas.2,

i

Figuras de tres lados fon lascte Triltera, nidas debajo de tres lineas rectas v ^ ^ S ^

EVCLIDES. xx

f:

i J

Figuras quadriktcras fon las que fe comprehcnd.cn debajo de quatro lineas rectas.

Quaratera.

I

x 3 Figuras de muchos lados fo las q fe copreheden debajo de mas que quatro lineas re

De muchos lados

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ft ja&ti>

L-b*

9

xnK*? Cd-

i Equiltero.

2,4 t r o i dlas figuras de treslados triangulo equiltero es.el / q fe c.6tiene debajo de tres lados yguales. x .? Yfofceles es el q es cotenido folamete debajo de doslados ' yguaie's. i6 Efcaleno es el que es conteni do debajo de tres lados del *gukles. ~ttrtg .ns ule tja**n-2c#7 x ? Dems deliro delasfip-uras d tres lados trieulo rectgulo es el que tiene ngulo recto.t

izy^^:

.8 Pero.amblygon.ro es,el quetene'aiguloobtufo .y , ;

Amh^onlo.

LB O P I E O I R RM R .TK t*i efi j/ -

f- V 1 9 Oxigonio el que tienetres anr

Oioi. J x n g o

^ T v * ^ ' * o Pero dalas figuras quadrila/ teras,quadrado es elquc es e/* /* * **7 . quilatero y rectngulo.2 A

^

Q ar d . u ta o l

11 Quadrangulo es,e que es re^P

Quadrgulo ^ 1 Rombo.

^

4H

^

tangulo po no es equ-ilatefo

f t f *

*J

1

1 1 Rombo es la figura q es equilatera, pero no es rctgula. \ \Romboyde.

Romboyde es la figura q tie ?ara*f4*A>*v ^ TIC los lados y ngulos contra *u* a/eq'i** yg aIes,peroniesequila t re tera ni rectngula.3 3ros u

; *$jfy*"

:

fr a

. 7~ " C "o

d e f t o s

dems quadrilateros fue llamauc trapezias.

Trapera?.

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r e ^ s parallelas olas iah*> 2p*** ' q citado vn mimo llano, y ^^f^ eftedidas de abas partes cin-, H ba.x0J.J4LH***> finito, ningaparte coeufe .

frl* 'txzi*"^

%L m e a s

Prlls aaea

LB O P I E O I R RM R .

fo.

^ El femando genero de principios . las peticiones, rrj ;:;

-Tirar vna linca reda defdc qualquer pun d o afta qual quier p undo. Vna linea reda termina da eftender a cotinuay derechamente.. - I

Sobre qualquier centro Jj y diftancia decribir vn .circulov . iup -:./. >fi Todos los ngulos redos fer entre l yguales. Sicayedovna linea reda ib bre'dosineasA

\ B

los ngulos interiores y de vna mima par te menor es-que dos redos, aquellaslineas redas eftendidas en nfinito,es neceTario que concurra azia aquella parte ena qual eftanlos ngulos menores que dos redos

LB O P I E O D I R RM R E

El tercero genero de principios | las comunes fentencias. i Las cofas que a vna mifmafon yguaes tambi entre l fon yguales. ' % Si a coas yguales feles aaden cofas y%

"

A.

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5

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gualesjlos todos fe ran yguales. | Y i de cofasygualeSjfe quita cofas yguales las que quedar feran yguales. *

4 Y l a deigiiales fe

a juntan cofas ygua g=====|f les los todosfera de * guales. \X-. ... ;' j . i * Y i de deiguales e quitan co las yguales las reftas feran deip-uales. ., ;

Las cofas q fon dobladas avna mima fon yguales entre l

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EOS ELEMENTOS.? f

fo,f

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}

j Las cofas que fon de vna mifma ion mi " .ta,d on.yguales. ntre.u, % Las que entre l conuinn oyguaes en trei. ... . ..._ . .. , j,..y , 'nv (

j El todo es mayor que fu parte

-

v

10 Dos lineas redas no cierran fuperfice.

i

LIB R O

P I E OD RM R E

LOS EL E M E N T OSGEOMTRICO S DEVCLIDES philobpho Megarenfe. J\P b m pnmero,propoition primer*, r l a oe

Sabr vna linca r e d a dada terminada hazer y n triangulo equiltero,^4, Sea la linea r fa dada terminada.A B.cSuiene defcreuif ei fobre A Bv trigulo equi .n l a t e r o . Sobre e cetro. k:y l feg elefpacio. A. B . deferi bafe ecrcuo. B.C.D. (por la tercera petiti )Y tm i a b ( o la mifma)fobre el tenpr t oBy efpacio.B A.def r. .el criuafe el o t r o crculo. A.C. E.Y(por!a primera petici) d e el pun&o.C.donde los circuios fe cortan, tirenfe las lie d neas r e a s , C A,C Bat l s pun&os.A.B. Y porque el p n . a o u to.A.es centro d l circulo.C.B.D. lera yuU linea. A. C. e ga a a l linea. AB( o l decima quinta dcnniti)It porque el a . .p r a punto.B.es centro d l circulo.C A E. fera ygual l linea.B C e a a la linea. A B. luego ambas. C A. y la.C B.cn Yguales a la linea. A.B. Y las colas q e a vna foii Yguales,trefiIon y u u ga les(por la primera comn fentencia) luego la linea. C. et ygual a l linea.C B.luego las tres lineas C A . A B . B C. fon a yguales entre i.Sera pues equiltero el triangulo. A B C . y fabricado fobre la linea reta dada terminada. A B.lo qual conuino hazerfe.

~ ESCUDES.V ' ' - - ' ' ' __

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'. i. ..- Sea elfrigu'o yfoceles. A B C. que tenga el lado. A B. y g u a l a l l t . A C. y triendaafederechameteCpor la fecd p e t i t i o n ) laslineas, B .C E. alas lineas. A B. A C, digo que f l n g u l o . A-B C.es.ygual^la.ngnl-o. A C B.y el ngulo,CB D al ngulo., B C E , Tonee e.a la linea.B E>, vnptso a,cafo y A ea.Z.ycortefedekJinea.A / k ^ a y o r (por la tercera p r o p O ' . / \ .. . jici) vna ygual a la. A Z . me j \ jaoryfea.A.Ly:f^atenfe..Z'.G , . /. \ j ^ J i l . y p o r q u e . A.Z.al.A I. ^/ .y A B.ala. A C . fon yguales, / \ luego lasdos ZA.A CloygUa les a las dos.I A .A B.la vna a Ja otra,y cierran el ngulo co mun que es cotejado debajo / \ 4 e Z A i yego la b f s Z C, , ai 7* . spojfA :

l^EVCLIDES. ' fo. i> es( por la.4. propofici) ygual a la bais.I B .y el triangulo. A Z C . f e r a ygual al triangulo. A I B . y los dems ngulos a los de mas ngulos elvno al o t r o fer yguales .debajo d e l e ; quales fe'eftienden yguales lados efto es el ngulo,A C Z. al ngulo,A B l/y el angulthA Z C.al'angulo.A I B . y p o r q t o daa.A Z.es ygual a toda la.AI.de las.qualesla jinea . A B . es ygual ala linea. A C.luego l a q u e realB Z. es ygual (por la.j.com fentencia)aa. C I.q refta. Y ella demoftrado que. 2 G.es ygual ala miima.B Lluego las dos. B Z. Z C.fon ygu Resalas dos.C I. TBJa vna ala otra^y el anguo.B Z C. es y gual alanguo.C I B .(por a^.^ppofici^y la.B C. esbafis co munduego eltriangulo.B Z G.feraygual al triangulo.GIB y o s dems angiies.:alos dems ngulos elvno al otro fer tambin yguales debaxo delos-quales fe eftiendenyguaes lados:(po lafnifm}Itrego el a-hgulb.Z B G.es ygual al angu loil CB.y elanguo. B CZ al ngulo C B I.fn yguales.Pues p o r q t o d o el gulo. A B L c o m efta demoftrado es ygual a t o d o el gulo. A CZ.dlos. quales.CB Les ygual al angulo^B C Z.luego el ngulo.A B C.q refta es ygual (por la.3,com fentcia) al ngulo relate, A C B.y fon fobre la bais del tri ang'ulo.A BC.pero efta.ck-inoftrado,queel_angulo,Z B.G,es ygual al ngulo.IC B,y eft debaxp dla bafis .Luego dlos m n g a l o s y fo'fcles les ngulos que eftan fobre Jaba-s fc'4 yguales entre il,y eftendidas las lineas reclas-y guales.leraa tambin iguales entre fi les ngulos que eftan debaxo de la ba s lo qualfe auia dedemoft;ar, Theorema.j., PropoMciou.6,} :

>. - '; *

C Si los dos n g u l o s del t r i g u l p f u e r c . y g u a J ^ f e n t r e l ^ r a m b i c h los l a d o s q e t a n d e b a x o e:yg;uaesangulGsery.guales e n t r e , ';^S.a'l triangulo. A B C.q tenga al angulo.A BC.ygual al ngulo. A GB.Digo tambin el lado, B, es ygual al lado, C p p r q l u j es yguall lado.AB.alado.A C,elvno delloa & t a rnyer/eaVAB.may'or(YporTa. j.'propoficn^cortefe

[LIBRO P I E O D RM R E del mayor. AB.vna h n e a y g u a l a la. AC.y ella fea. D B. y tirefe la linea. j \ D C(porla.3.petiti)Puespcrcj el la do.DB.es ygual al lado.AC.y com lalinea,B Ciuegolos dos lados . D B.B C. fon yguales a los dos lados. A C C B.e vno al otro^y el ngulo. D E C a i gulo. ACB. p o r la fuppofi ci, luego ia bafisD.C.(porla.4.pro poficioa) es ygual a la bais. AB.y el trigup.DBC,feraygual porlami ma, al triangylo,ACB. es a.faber el menor al iriayor lo qual e s impoli; ble.Luego el Lado. AB^noesjiefigual al l a d o . A C , Sera pues y g u a l . Luego filos dos ngulos de vn triangulo fuere yguales entre. fi,tarbi ferar ygualslo's lados^ntre finque fe elienden debaxo .de yguales ngulos, lo qual fe hauja de demotrar. i .A 3 a r

ji

Theorema.4.

Propofition. 7-., :

- -

Sobre vna mifma linea recta no fe claran dos lneas rectas yguales a otras dos Imeasrectas, la vna a la otra q concurra en Otro pnelo di uerfojteniendo vnos mimos.terminos.c61a5 primeras lineas recias.-/ ; i . . 1qrPorq fi es poible dfe fobre vna mifma linea recia. A B'.a las-dos liheasrectas. AC.CB.otras dos lineasretlas.AD.D B yguales la vna a ia otra, q c'ocurr endiuer s potos q fea C P.hazia vnas mil"mas p a r t e s cuiene a aber hazla. CD.te njdo irnos mifmos trminos q fon. AB.De mera q.CA. fea y g y a l a la.DA.tenido eimifmo termino q es.A.y iCB.ala TClB.tenido'el miino t e r m i n o q es.B.jte le.CD(por .i.p? i ' '** fif?

F. V C L I D E S . tlei}Pues porq. A C es ygual a l a . A D . fertbienygual elar.guio.ACD al angtiio.ADC.Es pues el gulo A D C.menorq eangulo.BDC. luego me or es el anguloACD. q el gilo.BD C.Serapues mucho-menor el ngulo BCD^q el gulo. BDC. luego mucho esmenor el anguo.BCD. Q el ngulo BDG. De mas deftop orque. BC.es yguai a la, DBjEslifegdyguai rabien e angulOjB CD^aianguloXDBjY efta ya demoftrado q es mucho menor , lo qual es impoffible^Luego fobre vna mifma'recia lineaba dos mifmas i " neas recias no fe dar o t r a s d o s lineas recias yguales la vna a ia otra q ccurr en diuerfos pclos haziavnas mifmaspar tesjtemdo ios mifeaos termiios conls primeras lineas re- t-as.Lp qual cnuino demonftrarfe, Theorema.f. Propoficion.8.

C Si dos triguos tuuier los dos lados ygua les a los dos ldos,el vno al otio:y la bais tabi ygual a la bais^dran rabi el ngulo co tenido de yguales lincas recias ygual al gulof Sean d p s t r i n g u l o s . I g C . D E Z . q u e tgalos dos lados B C. A C.ygu'ales a los fa dos.~Z' D Z.el vno al o t r o efto es.C B.ala Z E.y A C a a D Z. y tengan la bafis.B A,ygual a la bais E D , d i g o quel ngulo.B C A-es ygual al ngulo.E Z D.porque puefto el tri atiglo.A B C.fobre el triangulo.D E Z.ypuefto e l p u n t o . B fobre el puato.E.y la linea recla.B A.fobre.E D.cae tambin " C 4 elpunt

LIBRO

PRIMERO DE

e punto.C.fobre el p u n t o . Z . p o r q u e . B C.es ygual a la.E 2 b l caen cambien.C/A. A B . f o b r e . E Z . j D Z . p o r q u e filabaus B A.eae fobre la b a i s . E D . p e r o los lados.B C; A C.no cae fka bre osL-uios.E Z. D Z.fino q fi difieren c n m o . E Z . E C.DZi D C.dare han fobre vna mifma linea recta dos lineas recias yguales a otras dos lineas rectas la vna ala otra q ccurr i, difrerentes puntos h . i z i a v a a iniiina parte tenido vnpsmif mos trminos.Pero no fe clan eas(por la.7.propoficio)me go caydo la bafis.B A . f o b r e l a bafis-E D caer tbin ios la dos.B C. A C.ibbrelos l a d o s . E Z. D Z.por to'ql tambin, el ngulo.B C A.caera f o b r e e l gulo. E Z P ; y le feraygual Luegoi dos tringulos t u u i e r e n los dos lados yguales al los dos lados el yuo_aiatro y la bais rabien-ygual aja bais,tendrn el ngulo tambin y g u a l a! ngulo ccenido de yguales, recias lineas^que ralo qfe auiadedemoilrrvi! -i,i . Problema.^. Propofi.tion,9;'.:>.. v.'

o:.ve:

... >:

Diuidir vn ngulo-dado retMineo:en dc's partes yguales,' ' ,'"'l,V : ; .. .;. :, m 1?

f

*Sea el ngulo reclt lineo J a d o . B A C.cpnieae ddire en dos partes vguales.TomT-ei linea, A'B'.vn puclo' afoy fea. D.Ydelalmea. AG-CporLa,}; pro pofici) cortefe. A E.ygual ala. A D. y(poria.;.petici)tirce la l i n e a . D E y baga'fe.(p'or-U.i'.propc)ici)viitri ' guio d vguales k d o s b b r e . D E. y fea

D Z E.'y (por la. i. peticionare fe laA Z.Dgo q el gulo.B A C.es cortad o coa la !iaea.A Z.en d o s parees ygales.Porq.A D.es ygual ala.A.E.y 'coman la. A Z.luego las- dbs . D A. A Z ib yguales alas dos.E A. A Z.lavaa ala otra^y la bafis^D Z.es Fgaal(por k.,pro3J icJ.)aaba'.is,E Z J a : ^ ( porla,S)elgulo,DAZ sygaaUl! v

:i - i EATCIilD/E'S. O . " * ! ' 1 fb gulojZ A E E l a l u e g o cortado endos partes yguales con la linea'. A Z.el ngulo da Jo de lineas reVas.B A C.lo qual coa uino all hazerfel \ --" ~ "

7

Problema.jy

Propocion.'

:

.10.

^ Diuidt en s pwes^guales vna iraca re .cadadaterminada,. -V,...,_..;. . V,,. ..,'s

S e a dada. laHpjsa;rec^a-terr^da,AB.pnienediusdir fa, i'n6a.4,B.'edos^ fobi e eia el magui- de .ygnaies lados;, , AB.C,fvppria.9,.^poici^cartefe \ dos parces ygnal^. i,angula-., A C-B < cdajine recta: CQ digqq.ialinea >o recia, A .B^es.cortad'; en dos artes jy guales eneipun-So,^par^^-g.or lasy; pr,opoici)AC".,esygiiaLa ia;CB -yla. /A. C D es comn Juego las dos A C. C D fon yguales alas uo B C.C D J a v a a f a l a . p t r a ^ l gulcvA CD es ygual al gul O BC,dD/.|Uuegp(poria-AJja b^isA.D.. teror.D C B.y esygual(por la.? / propoicion)el ngulo. A D B . al \g- >' ~ \' ngulo. A B D.prq el lado. A B. ~ ~ e'sygux : w>

LIBRO PRIMERO DE es ygual al. A D.luego mayor es ej angulo.A E D/que. el aaguio. A C PJiego Hiucho mayor es e ngulo. A B C .que el angulo.A C B.'Iuego el mayor lacio de todo triangulle cli de dchaxo de mayor angulo.que ccmy'no demeftrarfe Thorema.12, prcpoicion. ij.

^"Debaxo de! mayor ngulo de todo triangu lo e eftiende mayor lado . S e a el triangulo. A B C. que tga el angulo.A B C. mayor q el angulo.BC A.digo que el lado. A C.es mayor q el lado. A B.porquc fino lo es, o fera el Iado.A Cyguai al lado .A B. o menor que el.Ygual no lo es el lado. A C. ai lado .A B.que feria(por ia.$\prpofici) ygual el angulo.A B C. al ngulo A C 3 . n o es ygual Juego el lado. A C.en ninguna manera es ygual al Iado.A B.Tpoco el Iado.A C es menerque el lacio. AB.porque el angulo.A B C.ieria menor q el uguo.A C B.pcro no lo es,lue< g o el Iado.A C.en ninguhamanera es menor que el Iado.A B Luego mayor es el lado. A C.q el Iado.A B.Uegodebaxo del iriaybr'ngulo de todo triangulle eende mayor lado.L qual conuino detnotrare.Theorema.13. Propofcr'o. 20.

^Los dos lados de todo triagulo tomados qualquier manera fon mayores q. el q reta.^gSea el triangulo. A E C.Digo que los lados del rnfmo tri angulo.A B C.fon mayores que el que refta de qualqmierma era

era que fe tomen, e s a f a b e r . B A. A C.mayores que. B C . y B C. A B. que.A C. y B C. C A.queel mifmo.A B.tienda fe (por la,2, petiti),B A,kafta e i p u n t o ^ y ( p o r la.z,propo-> iti)pongafe,A'D,yguaIaa,A ! C.y tirefe.D C.Pues p o r q u e - D A.es ygual ala. AC.esygualyel S guio. A DC.(por Ia.f .propofiti on)al angulo.A C D y el ngulo. B C D.es mayer que el angu lo.ACD.luego el ngulo. B C D es mayor que~elanglo.A.DC y p o r q es l triangulo.. D C B. que tiene myorelanglo.B G D.q el angulo.A D- C. y-a m a y o r ngulo fe le eftid mayor _ lad(porla.i8;propoici)lueg0.l3B.esmayor qB C . p o ee y g u a f D B alas dos. A G.AB.luego mayores f los ladosi.B A A C q el-numo.BC*De la mima forma demoftraremos q t bienlosladsA'B.BC.foivmayores q'C A. y t a m b i n . B C C A.q ABiluegolosd-os lados de t o d o tringulo tomados en qua]quier%aera fon mayores que eque reft , lo qual (souinodemftfajrfe; T" '1 1

-i'

; Thcorema.14.

, Propoficion.il."'

:

frSi dlos trminos del vn lado de vn triagulo fe diere dentro del dos lineas rectas^:lasque fe diere feran menores1 que los dos lados del triangulo y contendrn mayor ngulo, ,,,;

< ^Soiueelkdo.pG.dekna^^ dla mifma.B C Jenfe dos lineas rlas dentro del.B jf>, C D digo que.B D. C FJ.fon menores que los lados. B A. A C . j refaa detriangulo^y que el angulo.B D C.es nayor que.B

- D

A C .

i

'

LB O P I E O DE I R RM Rr

porque efti^af(pOr la. z-pehci) " laliaea.B D.afta.E. y porque ( p o r l.z.propoficio} lo^doslados de t o d o triangulo fon mas largos qu el reftante,feran los dos lados. A B AE.deltriangulo. A B E , mayores que.B E.y puelta comn la nea.E C.luego las lineas.B A.A Cdon m y ores que las lineas.B E.E C.Y p o r que p o r la mifma.losdos lados.CE E D del triangulo.C E D.fonmayo S_ res que.PC.pueftapues com.BD.feramay-ores laslineasC E.EB.que las lineasC D.DB.y efta den-olrado que B A , A C f o n mayores que.B E.E C. L u e g o - m e h o mayores fon' B A.A.C.que las lineas.B P - D C . Dems ctefto p o r q ( p o r la i6q)ropoficion)e ngulo exterior de qualtjuiera triangulo es mayor que el opufto inerior,Iuego el angiilo.B D C . e x tenor, del triangulo . C D E. es mayor que e ngulo:. C E ; D . P o r lo qual tambin el ngulo e x t e r i o r a R B - d e l t r i a n g u l o A B E . e s mayor que el angulo.B A C . P e r o efta demoftrado qu elngulo.B DC.es mayor q u e . C E B . L e g o . m u c h o m a y or es el angulo.B DC.que el angulo.B A C . L-aego fi d los trminos del yn lado de vn triagulo le d i e r e n dentro del dos lineas-reftasTas.que fe dieren feran m e n o r e s q u los dos lados-qne reftan del triangulo, y c o n t e n d r n m a y o r ngulo. L o o ual conuino demoftrarfe.: f

''

' ;'probema.S.

prprlcin..: z z .

\ ...

CHaervntTarfgoiodetreslineas re&asque ieany^uales artes lineas reatas- dadas:peroc i'ene^ueias doslineas fcaiimayares que la que relia tamadas de qualquier manera por que-los dos lados de todo triangulotamados ^ dey

EVCLIDES. '

1

fo.

2

de qualquier manera fon mayores rje/rclte*Setres lineas recias da das. A.B.C.dos dlas quales tomadas en qualquier m a era fea mayores q la refta te,es a faber.A. B. mayor q C.yA.C.mayor q.B.y C B , mayor q.A.cuiene de tres lineas rectas, yguales a las tres.A.B.C.hazer vn triagu lo.Defle vna linea termina da da parte.D.per o no ter minada p o r la parte.T.y(por la.2.propoici)ponga fe a lnea.D Z.ygualala-A.y ala.B.lalinea.Z L P e r o ala.C.la lnea T I,y fobre el cetro,Z.y efpacio.Z D ( p o r la.2.petic)defcri bafe el circulo, L K D.y tbien fobre elcenrro.I. y el eipacio. I T ( p o r la mifma petici)del el circulo T L K.y tirfe(por la primera petici)Z K.IK.Digo q el triagulo.K Z I. fe ha he cho de tres lineas recias yguales a las tres.A.B.G.Porque el pdlo.Z^es cetro del circulo.D K L.es ygual(por a.iy. defL= nici")Z D . ala.Z K.y la A.es ygual a la.Z D.luego tbien, Z K.es ygual(por la.i.com fentcia)a la.A.It porq elpcfo . I,es cetro del circulo.L K T.es ygual.IK a la.l T.y la.C. es y gual a la.l T.luego la.l K.es ygual(por la.i.com ftcia )ala C.y la Z Les ygnal a la,B.(por la fuppofici)luego las tres H nes rectas.I Z.Z K.K I.fon yguales a las tres A. B.C. luego detres lineas realas q fon. I Z . Z K;K I.q lo ygualcsa las tres lineas dadas A.B.C.efta hechp el triagulo. K Z I . lo qual fue ceite hazerle.r

~

r

i

Ploblema.g,

Propoficion.23.

/ .

Ij" Sobre vna linea recta y en vn puncto enela calado hazcr vn ngulo de lineas rectas y gual a vn ngulo dado de lineas rec"tas3

(ra

D

z

Sea

L R I O P I E O DE B RM RS^Sea-Ia linea dada.A B.y.elpunto dado en ella fea. A. y el ngulo d a d o rectilneo fea.D CE-cuiene poner la linea re ta dada.AB.yenelpcfo ella dado.A.vn ngulo r&ilineo. ygual al anguloreciilineo da do. D C .Se a ca ib enla vna y otralinea.CDCE.vnos punctos^y lean titos.D E . y tirefe.D E(por la.i. petici) Y de l a s tres lineas rectas Z A ' . Z I . I A , que fon yguales a las. tres lineas recias dadas G D . D E . E C.haga fe(por la precedente vutrianguio y fea A Z l. D e manera que la linea.CD.fcaygual a la linea. A Z.y.C E.a la Iinea.A I.Ttam h i e n . D E.a la,Z I.y porque las dos lineas-D C.G E. fon ypua les a l a s dos lineas. Z A-A LJ vna a la tra,y la bais . D E . (por Ja uppoition)a la bafis.Z I.Luego el ngulo. D C E.es ygual al angulo.2 A I(por la.8.propoficion)lue.go enla linea recta dada. A B.y enel pnelo en ella fealad. A. efta dado el ngulo rectilneo.Z A I.ygual al ngulo recfilinco.D C E . queconuinobazerfe.. ' ' 1 x a

Problema, iy

Propolti.za;.

][

j|S dos triagulos tuuierenJas dos ladosygua les a l o s dbs lados, el vno al otrojpero mayor e l v n ngulo contenido de yguales lineas reatas que el anguojtendran tambin la bais mayor que la bais., .^ i S a n los dos tringulos. A B C . D E Z.'que tengan los dos: iados.A.B.A.C.yguls a los.dosados.D.ED Z.el vno a l o tro

r

EWfDES.

fo.

zj

6tro,conuiene fabef,el lado. A B.allado.D E.y el lado. A C . al lado.D Z.pero el angulo.B A C.fea mayor que el ngulo E D Z.Digo que tambin la bais. B C.es mayor que la bais EZ.porque fendo el angulo.B A C . mayor que el ngulo. E D Z-pongafe(por la propoicion.Z3)enla linea recta. D E. y enl punto. D . en ella el - ngulo. E D I.ygual al ngulo. B A C . y ponga fe l a . D I . ygual a lavna de las dos. A C.D.Z .y tirenfe(por la priBera peticin. I E . Z I .Pues porque.A B es ygual a la.-D E . y A C.a la-D I-fon yguales las dos Eneas, B A. A C. a las dos lineas.E D*D I. Ja vna ala otra,y el angulo.B A C(por la veyntey tres propoicion)ygual al angulou E D I.Luegola bais.B.C;(por la quarta propofici) es ygual a la bafis.E I. Iten porq es yguaLD La la.D-Z. luego elangu l o . D I Z.es ygual al ngulo. Z LLuegoel angulo.D ZI. es 'mayor qu el anguIo.E I Z . ^ p u e s m u c h o mayor el ngulo . E Z I que el angulo-EJ Z . Y porque es el triangulo E Z Lque tiene elangulo. E Z I . mayor el gulo-E 'ZY em i y or ngulo tiene opuefto . mayor lado(pr la.i8.pro. pofcion) luego mayor es ' el lado, E I.que ellado E Z y es ygul ellado.E'L alia - dBC.iuegoellado-B C. mayor es q el.lado.EZ Jue go fi dostriangulostuuiere '.: z losdos lados yguales alos dos lados,ylo que dems fefigue omoenlapropoficion.Loqualconuinodemofl:rar. . . - > . - ' , X f a e o r . e m a . i 6 . Propocion.z?.;

^"Si dos trigulos tuuier los dos lados yguales a los dos lados el vno al otro: pero la bais mayor q la bais tcdr tabi el ngulo c o te do de yguales lineas redas mayor q el gulo.' D 3 ', Siendo

.-

i L I B R O P R I M E R O T) E Sidoxlos triangulos.'A B C Q E ; Z . p {rr

. '

'

'

V" "

'Y

ygual al aHglo.EIJZ.ni-ta pocotes menor el angulo.B A G. qiieel'aguloE D Z P o r q u e k t - '" tfis.B G. feria m^nr fyteh^fc&ttohi&o^stiisg l it guio. B A C . n o es menor-q el ang{jf;EB:Z-. ft de4ipfta do qniygual.Luego mayor es el 5guc.BA:Gl que ebanguo E D Z.Luego fi dos tringulos tuiryJo fJ^ie'fig como enel^theoreina que equino d ^ n i o t r a r : ' ibq'it.hfj . v;.rs f I ' Theorema.iy. ^opbt.z ^.^ angMpsyguales alos do>agulos:>evnG al orre :y el vn lado ygual al vn lado^': abra el'^ eta entre "io'sos ngulosygtiles-;o el euiefe,opone'al vno drds'y^nais anf^lsteftdrantamfeien los derasrlados/jg^icS' 'Tasrdmas lados el yrijD al Qtrp:y ejgu recat a! aglh ritate.r a j

J

^ S e a n lbs dostriagulcs. A B, C.D E Z.que tengan los dos anguloslA BCB C A.yguales los dos angulosD E Z . E Z D el vnb alotro,'s a faberyeaigulo.A B C a l ngulo, p E Z.y elagulo:B CA.al gulo.E Z D - y el vn lado ygual al vn lado y quanto a l o primero fea el q u e efra entre ios des ngulos, ' ello es

lEVetDES

r- :n .: fb.

eo e s t i l a d 0 . B C a l lado.E Z.Digo q los dems latoslos t dr'hibifi^uides'a los. de iras lados, el vno al otro?efto eseiladc'A B o l l a d o D E . Y :eMadoi-Callado.DiZ. y el

ngulo q refta ygual a l angu fo qiea^es a a b n B A C l mfmo.E D C . P o r q fi.AB.no es ygual a D E J e r a iavnama yor,fea m a y o r u l B . y p o n g a fe(pria.s.prGpofici^ ^ . RasIBiygaai-ls-fc. linea.D E.yti 'efe.l C:pues porq.I B .es y gualala'.D E . V j l ^ C a l ^ Z;luep las dosHneasl:IB.' B C fon yguales.s'dos.DE>E'Z':avn*i* l'-u o u a y t ngulo 1B' C a l angio.-D E Z;s y^aljiuegta bafis.I G ( p o r la. 4 . pfopoficib^es ygual ala. >as.DZ.y el triangulo.IBC.es y^a r :

Luego ygual es ebanglo. C B . a f a n g u l a - D Z E.Y el ngulo D Z E.fe upene r ygua al mifimo.B C A . Luego el ngulo I ( p o r la.:i.cp.m fentcia)es yguaJ al angulo.B C A.el tn ibraimayor,q simpo.lible,Luego.AB.noes defigla Ja D-E.fera pues ygul.y es tibien. B C y g u a l a a . E Z . L u e g o y a A.B.'B C fon yguales a.D E.E Z.la vna a l a otra, y l ngulo. A B C e s ygua aangulo.D EZ.Luego(porla.4.propofiti6) la bais. A C.fera ygua a la bais.D Z y el angulo.B i C.reft e,ygual aiangulo.EiDZ.relante.DeiTias dfto feanyguales JSs lados qfe eltiden a yguales nguos,y feas. A B DE.Dig o otra vez que los^demas lados feran yguales a l o s dems lados,es afaljer^ef lado.AC al ado.D2.y el lado.B C a l lado E Z,y dems deftoelgal^ reftte.B AC.al gulo q rea.ED Z.ierayga.Forq . B C n o es yguaLa EZ.el vno.dellos fera mayor.SeapAies snayor fi es pcfliblef lado.B C,y (por la.3. ^pofici)p5g.^eyg.uallalinea.BT.alainea EZ.Ytire(por laa.peticib) AT.Y por q.B T.es ygua-ala.E Z;y A B a l a D E . i " D 4 luego? x > i f V r

r LIBRO P I E O D RM R E luego las dos-A B.B T.bn yguales a las dos.D E.E Z. Ia v a n a la otra, y contiene yguales n g u l o s . Luego la bais l A L , (por la.4.propofici)es ygual a l a bafis.D.Ziy el trigiilo. A B T.al trinngulo.D EZ-es ygual. Y los de mas ngulos fon y guales alos dems ngulos debajo dlos quales e eftienden yguales lados,Luego el angulo.B T A . e s ygual al ngulo. D Z E.Yel angulo.EZD.es ygual alngulo E C A.fera pues el angulo.B TA.ygual al angulo.B C A.Iuego el ngulo e x t e rior.B T A-del triangulo. A T C.es ygual al ngulo interior y opuefto.B C A.Lo quaI(por Ia.i6.propoficion)es impofible-Luego el Iado.E Z.no es de/Igual al lado.B C, y es. A B.y gual a la.D E.Luego las dos. A B . B C . fon yguales a las dos D E.E Z.La vna ala otra y contienen ygalesangulos,luego labafis-ACCpor la * n r u p o G r < o n ) e s y g u a l a I a bafis.D Z . Y el triangulo.A B C a l triangulo.DE Z.y el ngulo que refta. B A C.es ygual al angulo.E D Z.que refta.Luego fi dos trian gulos tuuieren dos ngulos yguales a los dos ngulos, y l o de mas como el theorema.Lo qual cuenia demoftrarfe i-i: Thorema.i8 Fropoficio.zy

CSi cayendo vna linea reda fobre dos lineas redas hiziere los gulos alternos entre i j guales lasmifmas lineas redas fer entre i pa rllelas.MPorque cayendo la linea E Z.fobrelas dos lineas recias. A B.C D.haga entre fi yguales l o s ngulos alternos. A Z . E Z D . D i g o que es parale V . lla.AB.aIa.CD.porque . fino,eftendidas fe juntar, o hacia las partes. B D . o . ^ hacia. AC.etiend fe pues y concurran hacia las par tes.B D.enelpunto.Lfics;

EVCLTDES. fo 2? poflible.Luego el ngulo exterior. A E Z.del triangulo.! E Z es ygual alangulo.EZI.interior y oppueto.Loqual(por la i6.propoicion)e's impol'ible.Luego.A B.C D.eftendidas ha cia-laspartes,B D.en ninguna manera concurren. Tambin de la mifma fuerte fe demotrara que ni hacia las partes. A C . y las lineas que en ninguna p a r t e concurren fon parallelas (por la vltima difinicion)luego.A B.es paralella a la.CD.Lu ego fi cayendo vna linea reta,y lo dems como enel tneore ma que fe hauia de demollrar.3

Theorema. 19, Propoficion.S.

^"Si cayendo vna linea recia fobre dos lineas recias hizieren el ngulo exterior ygual al in terior y oppuefto haciavnas mifmas partes,o los interiores hacia vnas mifmas partesygua lee a dos recios,fer par alellas entre i las mif mas lineas retas. :*>Si cayndola linea re&..E Z \ fobre las dos lineas recias A B.C D.hicieren el ngulo extenor^E I B . ygual al ngulo interior y oppuefto.I T D.o los interiores haca vna mifma prteles faber.B 1T.I T D.yguales a dos recios. Digo que es paralella la linea. - v AB.alalJnea. C D . P o r q u e el ngulo. E I B(por lafupofici) es ygual al ngulo. 1 T D.y el ngulo. E l B(por Ia-if)es ygual al angulo.A I T.luego el ngulo- A I T . es ygual al angulo.ITD.y ion alternos(por la veynte y fiete propofiN v

LIBRO PRIMERO DE p r o p o i c i o n ) luego'es paralell*. AB,.aJa;C D . Dems ds-to p o r q u e los anglilps.B I T.I T D.fon yguales a dos regaos ( p o r l a ltippficin)y los ngulos. A I T . B IT ( p o r la treze propoicion ) fon yguales .a dos redos . Luego los ngulos A I T , B I T.lon yguales a l o s angulcs.B I T.I T D . Quite fe; el ngulo oQ0iun.fiI T.iuegoelreftante.AI T.esygual al re ftantc.I T D.y.fon alternos. Luego parallela es.AB.ala.CD. luego i cayendo vna linea reta fobre dos lineas retas,y J.o = dems como en la propofici olisque e lo q f a uia de demo* s e ftrar. Theorema.o.; ; Proppfidon.a-'.'d i'

CCayendo vnalinearerafo;bre dos lineaste; ctas .paralellas hara Jos ngulos altemos en~ trei yguales: y el exterior ygual al interior y opuefto haciavnas inimas partes : y los dos interiores hacia vnas mifmas partes yguales. a dos recios. .a

M^Gaya fobre las lineas reptas parallelas:A B.C D- la linea refi^iE Z.Digoyquebace yguales los ngulos alternos.A IT y I T D.,y elaugulo exterior.E I B.alinterior y opuefto ha-r ca vnas mifmas partes,elo es,al angulb.l T D y losinterio r e s y acia vnas mifmas p a r t e s que foh.BI T.I T D.ygualesa dos rectos-Porqu i.A 1 T.no es ygual a.l TD.elvno deilo* es m a y o r / e a mayor. A1 T.Pues porque. A 1 T . es m a y o r q 1 T Depngale por. c o m n el angulo.B E T ^ u e g o l o s a n g u . los.A 1T.B 1 T.Ion mayores que.B I T . I T D.ylos ngulos A I T T lB(porla.i3.propofcion)fonygualesadosrecios, luego los ngulos.B i T. 1 T D . fon menores q e dos recios* u ' y (p or la quinta peticin) las lineas que- iiaziendo menores}

qe u

nao

'E-VCLTDES.

que dos rectosfeef tienden en infinito, concurren y ..ellas por ferparaielasho conctnren(porlau pofci^Juego el a n gulo.A' T . n o e s dfigualal ngulo. I T D.LuegO fera'ygual ^l- tgut&A^rT(^o'r'la.tf4>ropfict ri)es ygual ai ngulo - T B . Luegtvango.E I B ( P o r la.i'. comuh fentencia) es yga'-aangulo.I T : D Pngale p o r c o m n . B I T Luego os 'angtsTT B i B T i f o i i yguales a los ngulos. B E T i T D . -y los angulos- I.B.BT T.Tonyguales a dos reclos(por la; 15 propo!icion)lnego los anguios.B T . I T D . fon yguales a dos rectos.Luego cayendo vna linea recia fobre dos lineas rchrs paraiellas,y lo d iras como-erila propoicion^ que co -a ehia deraQlrar._ ...},- \:,c.:h',q.r.,-. V. .'. /.: '.ir .vi 'su;. >'-; ^Theoremaz. l Propoftion. j o v A: r : 1 ; : : ;

^Las; lineas recias-'^ais^-yia^mfia'a'-bn. para 'fieks entre i o n p a r l e l l a s . " V^ S ^ i i < S C ' | ^ p f r | ^ ^ % ^ ^ ^ d i ^ . ( p 2 e . A B.esprale l a a la.G D.caya fobre ellas la linea recia- T K.v porqtiela linea recta. I T K . A ? caefobre las lineas rectas paralelas.A E- gual el gulo. AI T . 1 al ngulo. I T Z , t (por a.zp.propoicion) tem porque fobre las lineas reblas paralelas.EZ.C p . c a e la linea recla.I K. e s , p o r la niima, ygual.IT Z.al.1K D. Y eta declarado"q, AT T.es ygual al ango.ITZ.y queq KD.es ygual a.l.TZ. luego. A I Ivs ygual a,j K D.y fon alternos Juego paralella es.A B. a laCD.' que slcquefeauiadedmoftrar.' ' . ProblemaR f

.. -

t

' 5

LIBRO Problema. 1 0

PRIMERO DE F 0 0 i.o3r p fti . i

>, -

^Por vn pundo dado tirar vna inca reda pa rllela a vna linea reda dada,,^ S e a . A . c l pnelo d a d o , y la 1 inea recta dada fea.B C. con. uienepor el pnelo d a d o . A. tirar vna linea recia paralella a la linea reta.B C.Tomefe vn p n l cf en la mifma li e o a o nea recia.B C.y fea,D.y trefefpor la .1. peticin) la linea. A ,D(y por la propoficio n.z 3)hagafe fobre la linea recia dada A D,y enelpnelo.A.fealado Sellare! angulo.D A Z.ygual al ngulo dado. A D B y eftida fe le la linea A Z.derechamente a la linea A E(por la.z.peticion) Y p o r q u e cayendo: la recia linea. A D.fobre las lineasrclas.B C E Z . h i z o entrefiy g u a ~ les los ngulos alternos.E A D.A D C . f e r a p u e s . E Z . parale lia a la.B C.(porlapropoici.z7)luego por el p n l dado. e o A.fetiro la linea r e c l a . E A Z . p a r a l e l l a a l a b n e a r e c i a . E C. L o qual conuino hazerfe. ' ' ' . f , Theorema.z2. Propoicion. 3*.

CEftendido el vn lado de todo triagulo el ati guio exterior es vgual a los dos interiores de la parte cotraria:y los tres interiores ngulos deltriangulo fon yguales ados redos, . *!>Sea el triguo.BCy ef tidafe vn lado luyo^y fea B C a l l a .D. digo que el an guio.A C D. exterior es y gual a los dos.C A B.A B C. interiores dla parte cotra ria.-ylos tres ngulos interiore*

EVCUIDES. fo 27 riores.A B C.C B A.B A C.del triangulo fon yguales a dosre ctos.Trrefe(por la precedente)por el puncto.C.la linea. C E parallela a lalinearecta=A B.Y porque. A B.esparallela a l a C E.Ylbbre las mimas lineas cae/A C.los ngulos alternos B A C . A C E . f o n entrefiyguales.De mas defto porque A B . es parallela laC E.y fobre ellas cae la lineare6t.B D.el an gulo/,exterior. E C D ( p o r las.zy. z8. Z9. propoficiones) es ygual al ngulo interior. A B C.oppuilo . y demoftrofe, que A C E^es ygual al angulo.B A C.Luego t o d o el ngulo exterior. A C D.es ygua! a los dos interiores y opueftos^que fon B A C.A.B C^Ypongafe por comn el angulo.A C B..Luego A C D . A C.B.fori yguales a los tres nguos.A B C.B C A . C A B.Pero AC D.A C B(por la.i 3. propoicion) fon yguales a dos r e t o S j l u e g los ngulos. A CT.G A B.GB A-.fonygua l e s a dos recfos.Lpego elendido el vn lado de t o d o t r i a n g u lo^y lo de masque fe ligue como enel theorema , q coralino demotrarfe ,: '. .'' ' Theorema.z3 Fropoficio.3 3.)

^~Las lneas recias que juntan a ygualeslineas recias y parallelas.hacia vnas mimas partes, ellas mimas tambie.fon yguales y par alelas;&>Sean las lineas rectas yguales y parallelas. AB.CD. y jun t l a s h a c i a vnas mifmas partes * lineas rectas.A C.B D.di go que.AC.y BTJsn yguales y parallelas. Tire fe(por l a p r i mera peticin) la lnea.B C.Y afi porque. A B.a la.C D.espa rllela y fobre ellas cae. B C .los ' ngulos alternos.A B C.B CD.f e n t r e liyguales(por la.zr?. p r o p o icin)y porque.A Bes ygual ala C D.y comun.B.C. luego las dos A B.B C. fon yguales a las dos. B C.C D Y el gulo.A B C . es yguala s

LIBRO PRIMERO DE alangnlo:B C D.luego labafis.D B ( p o r l a . 4 p r o p b i c i 5 ) s ygual a la bafis.A C.y el triangulo A B C.es ygual at triagulo B C D.y los de mas ngulos fon yguales a los de mas ngulos el vno al o t r o debajo dlos quales fe t i e n d e n yguales lados.Luego el angulo.A C B.es ygual al n g u l o C B D.y elari gulo.B A C al angulo.B C D..Y p o r q f o b r e las dos lineas rectas. A C B D . c a e la linea reta.B C . h a z i e n d o yguales los an gulos alternos A C B.C B D.entrei^luego. A C.parallela es a la.BD(por la.z7.propoicion)y efta demoftrado q tambi le esygual.Luego las lineas rectas q junta a yguales lineas re a s y parallelas bacia vnas mifmas partes^ellas mefirias t bien fon yguales y paralleias,lo qual c o r m i n o demoftr'arfe. Theorema.z4. Propoitio.34,

CLos lados oppueflos y los gulos dlos efpa. cios de lados parallelQSjo yguales entre i: y la diagonal los corta en dos partes yguales,el efpacio de lineas parallelas. A D B.y fu diagonal lea.EC.digo q u e l o s a d o s y l o s ngulos contrarios delelp pi A C D B de lados parallelos fon e n t r e i yguales, y la dia gonal.B C e diuide en dos yguales p a r t e s . P o r q p o r fer. B parallela a 1'aX D.y fobre ellas cae la lnea recta.B C(prjr la Z9.propofici)los ngulos alternos. A B C B C D.Ion entre fi vguales^Demas defto porque. A C.es parallela a la.B D ? Y fobre ellas cae ladinea recta.E C.los n g u l o s alternos.AC B C B D.fon entre i yguales.Luego flos dos tringulos.A B C.B C D-quetienen los dos ngulos. A B C,A C B.yguales a los dos ngulos.B C D . C B D el vno al otro,y elvn lado ntrelos dos ngulos yguales ygua al vn lado y eornun. B C, aentramb'JS,luego(por la^z-propofi cione&Sesit

* E V L T D ES. C ' fo z8 dore) los lados redantes- feran yguales a los lados' reirn-: tes el vno al otro,y el ngulo que refta ygual al angnlo que reft .Luego el lado-.A B. es ygual al lado.C D.y el lado. A C. al lado.B D.y el angulo.B C.es ygual al ngulo. B D C . Y porque el ngulo A 3 C.es ygual al ngulo B C D . y el angu lo.C B D.al ngulo. A C B.Lnego t o d o el angulo.A B D.es y gual a c o d o el ngulo-A C D(por la.z.comuu fentencia) y ef ta demoftrado que el angulo.B AC.es ygual al angulo.CDB luego los lados oppueftos y los ngulos dels epacics de ladsparateos fon yguales eutremDigotbien que la diagonai-fc diside en dos partes yguaies. Porque. A B.esygtul a la; C Dvy la.BC.es corriunduego lasados. A B .B C.fn yguales a las dos.B C.C D.la vna a l a otra, y el angulo.A B C. es ygual' al angulo.B C D.luego(por la.4 p r o p o k i j l a bais. A C . es ygual ala bais.BD.y el triangulo. A B C.es ygual al triagulo BCD.luego la diagonal. B C e n dos partes yguales diuide al paralleiogramo. A B D C.q era lo que fe hauia de demoftrarThcorema.zj.;

Propoition, 37...

^Los paralIcogramos que eftan en vna mimabais yeii vnas mimas lineas parallelas ion yguales entre fi,^4#Selosparalleogramos.ABCD.EB=CZ.que eftan e n vna mifma bais,efto es,B C.y en vnas mifmas parallelas, es a faber.A Z . B . C . Digo que clparalelogramo. ABC D es ygual al paraileogramo E E C Z.Por que es paralle lgrame,A B C D . es ygual AD.ala.B.C.(por la.34.pro poiicion)ypor la mifma ra

LIBRO PRIMERO D E z o n tambien.E Z.es ygual a Ia,B C.y afi tambin A D.es ygual a la.E Z.y es comn la.D E.luego t o d a la. A E es ygual a t o d a Ja.D Z.Yla.A B.es ygual a la.D C.iuogolasdos. E A. A B.fonyguales a las dos.Z D . D C a v n a ala otra y el angu lo.Z D C.es ygual al gulo.E A B.el e x t e r i o r alinterior. le go(por la.4,propoficion)la balis.E B.es ygual a la bafs.Z. C y eltriangulo.E A B.es ygual al triangulo.Z D C. quitefe el comn triangulo.DI E.Luego el t r a p e z i o . E I C Z.: es ygual altrapezio.A B I DJPongae pues c o m n el triangulo.I B C. Luego, t o d o elparaJlelogramo. A B C D.es ygual a t o d o el prallelogratno, E B C Z X u c g o los paralelogramos que ef tan en vna mifma bas,y lo de mas que fe igue,Io qual coa^. Sino demoftrarfe. Theorema.z. Propoicion.36. , ;...3 ;

^"Los parallelogramos que eftan enygualesbais y en vnas mifmas parallelas foh yguales entre i.. : .. :JT;

r&Sean los parallel^gramps. A B C D . E Z I T . P u e f t o s las yguales bafes.B C, Z L y en vnas mifmas parallelas; A T.B I. digo que el paraUepgramo,; A B G D > es ygua al parallelo gramo.E Z I T . Tire.nfe. . B E.T C. Y porque es y, gua.BCalaZI.YjaZI es ygual a la.E T.Luego tambin.B C .es yguala la,. E T.yio paralleas/y juntan las la,BEi. Q T . y las lineas que juntan a li neasyguleiyparalleks fon eias tambii yguales y paral'eIa3(por la propo/icio, 3*3) Luego.E B.T C i yguales y parallelas.Es puese parallelo gramo.EBCT.ygualalparallelogrmo. A B C D . p o r q tiene B

EVCLIDES. fo. i ; tiene la mifma bais, efto es.B C.y en vnas mifmas paralellas es a faber.B C E T.y tambin p o r efto.E Z I T.es ygual a . E B C T , p o r I c q u a l e l p a r a e l o g r a m o . A B C D.esygual alpa rallelogramo.E Z I T.Iuego los paralelogramos que eft en yguales ba.(es y lo de mas que fe figue como en el theoreraa que era lo que fe hauia de demoftrar,9 }

Theorema.zy.

Propoicion.

37.

^"Los tringulos que efta en vna mifma bais y cvnas mimas paralelasrbn yguales entre l^ E f t e n l o s tringulos.A B C.D B C.pueftos en vna mifma bafis.B C.y las mifmas lineas parallelas. A D.B C.digo que el trianguio.A B C.es ygual al triangulo. D B C. eftienda fe ( p o r la.z.petici) A D.de vna y otra p a r t e afta en.E.Z.y pee el punlo.B.tirefe lalinea B E . paralella a la. C A. (por lapropoieion.3i.)y p o r elpunro.C.tirefe. C Z.(por la mifma)q fea pa ralela a la.BD. Son pues parallelogramos.EB C A D B C Z . ( y p o r la.3f.pr0 poficion>s ygual el parallelogr3mo.E B C A.al paraleogra m o . D B C Z.porque eftan en vna mifma bafis.B C.y elasmif mas parallelas.B C.EZ.y el trianguio.A B C.es la mitad del parallelogrmo.EB C A.(por la.34.propoficion)porq la dia gonaLA B.le diuide por rriedio,y el triangulo.D B C.es ( p o r la mifma)la mitad delparallelogrmo.DB CZ.porq la diagonal.D C.le diuidepor medio y las cofas que fon mitad d e cofas yguales,entre fi fon yguales(por Ia.7,ccmun fenttcia) luego el trianguio.A B C.es ygual al triangulo.DB C.Luego los tringulos que eft en vna mifmas bais, y lo quefe figue c o m o enel theorema q era lo que fe hauia de demoftrar. E Theo

LIBRO PRIMERO DE Tdieorema.zg Froponci.38.

^"Los tringulos q u e ean en yguales bafes y e n vnas mimas parallelas fon yguales entrei^ E f t e n los tringulos. A B C.D E Z . e n bafes yguales , ello es,en.B C E Z.y en vnas mifmas parallelas^es a faber .B Z.A D D i g o que el trianguio.A B C.es yual al triangulo. E D Z. eftenda le(por la.z.peticion)A D.de vna y otra parte afta-' | I T . y p o r el pnelo, B.tirc fe B I parallela a la C A. p p r la.3 r. propolcionr) y porepunclo.Z.tirefe.ZT parallela a la.D E ( p o r l a VI Vi \ f rnifma)lt!egoparalelogra . m o es. 1B C A . y t a m b i n . D E Z T . y ( p o r la.3.)el paralielogrmo.I B C A. es ygual a! p a r a l l e l o g r m o . D E Z T , p o r q eftan yguales bafes,efto es> B C E Z . y en vnas mifmas parallelas que fon.BZ. 1 T.y el tri ngulo A B C.es(por la.34.prcpoficioii)mitad del parallelo g r a m o . I B C A . P o r q l a diagonal-A.-B.le diuidepor mechoyy el triangulo.D E Z . e s ( p o r la miima)mitad del parallelogr n i o . D E Z T . P c r q u e ia diagonal-D Z.le diuidepor rnedio,y las cofas que fon mitad d e cofas yguales,fon yguales entren ( p o r la.7.comnfentencia)luego el trigulo.AB C. es ySea.A B.la linea re&adada y f e a . C e l triagulo dado,pero el ngulo dado re'&iineo fea. D.cuienepues fobre la linea ifta.A B.hacer vh parelleog r l m o ygual al triagulo dado C.vm gulo ygual al gulo. D Hagafe(porla.4)elpalelogr eil guk>,B.l.q es ygual al guio, D.yfporla.z.p etici )ha

JD.

W

X1

y

cftiendefe.Z I.afta n.T. y p o r elpfto.A porla^i.jppoficio, tircfe la linea. A T.pai alela a las dos.B LE Z.y tirefe ( p o r l a primera peticin) T B.Y.pcrquefobre las parallelas . A ' T , EZ.cae la linea i-eT I Z. XI L.y los angulos.M T I.T I L.por la mifma,bnygues a dos relos,luego enderecho eftalalinea.Z I.delalinea.IL.ypor que.K Z.(por la-34)es ygual y galela ala.T l.y k . M L.alaT luego p o r la.i.com fentcia.Z K.es ygual ala.M L.y gllela p o r la.jojppolici. Y juta las las dos lin eas re&as.KM.Z L

\\

f

leo ug

E V C L T D E S. 3 3 luego las lineas.KM.Z L.(por l a p r o p o i l c t o n ^ f q i i yguales y paelas.luego.K Z.L M.es pallelogramo,y porquefpor Ia.42.)el tringulo. A B D.es ygualal pa llelogramo.Z T.y el triulo.DB C,alpalelogramo.IM.luego todoelretilmeo A B C D.esygual a t o d o elpalelogramo.KZ L M.Luego ef ta hecho elpaletgrm.K Z L M.ygual al rectilneo dado A B CD.erieLangulo. K M L . q p o r la. 34. es ygual al ngulo dado.E.kfqual. conuino hazerfe. ' ^ p . O ? ! . Problema 1 4 / ' \ Propofcion.46:

,;JI5c yna linea re ta hazer, vn quadrario.fSelalinearecla.B.conuiene d&tibir vn quadrado de lalinea recta. A B.faquefe,pr la.ii.propoici, ngulos re t o s fobre la linea recta. A B. defde el punto dado. A .la hnea A C.y cortefe (por la.3.propoficion ) la linea.A D.ygua ala. A B.y ( p o r l a p r o -poicio.3i)porelpunto.D.trefe.DE.pa lela ala. A B.y p o r la mifma, p o r el p u n to.B.tirefe.B E.palela ala.A D.Iuego es pallelogramo.A D E B . l u e g o esygualla A B. ala D E.y la A D.ala.B E.por la. 34 y la.A Bvestambien ygual ala.A D . luego las quatro. A B.A D.'D E.E B.fon eh< trefi yguales luego elpallelogramo.AD _ E B.es equilatero.Digoque tambi es rectngulo, p o r q u e las palelas. A B.DE.cae la linea recta. A D.Iuego los angu los.B A D . A D E.por Iaprbpofici6,29.fonyguales a dos r e c t o s ^ el angulo.B A D.esrecto.luego l angulo.A D E . t a m bien es re oto,;/los lados y ios ngulos opueftos d los efpcios palelogramos fonyguales entre i.(por la.^.propofcio luego los ngulos contrarios. A B E.B E DVbos tambi fon retos.luego. A B E D.es retanguo,y efta demoftrado que tambin equilaterojego es qadrado,y hecho dla Hnea. AB.que conuino hazerfe. Theorema.33. Propofitio.47.

Els o

LIBRO PRIMERO DE

[Eri Jos tringulos rectngulos .el quadrado que es hecho de el adoq efta opuefto al angu lo recio es ygual a los dos quadrados q fon he chos de los lados q cotienen el ngulo recto,&Sea el triangulo f ectgulq. A B C.q tenga recto el angulp B A C a i g o que ei.quadrado q es hecho delIado.EC.esygual a losquadrados q l e h a z e n deB.y de.A C.Defcribafe.,'pGjr la;4

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EVCLIDES, 3 4. porq tiene vna mifma bais q es. B D . y e a en vnas mifmas parallelas. es a faber.D B.A L.y tbi el quadradod B.por la mifma es doblo del trigulo.Z B C.porq tiene la mifm bais a es B Z.y ella en vnas mifmas parallelas,es a faber.Z B. 1C. y las cofas q fon doblo de cofas yguales,por Ia..comun fe teda entre fi fon yguales,Lnego elparallelogrmo.B L. e s y giialalqLiadrado.lB.Semejtemente fi,por la.i.peticion, fe tir.AE.BK.fe demolrara elparallelogrmoiCL-.fer ygual alqudradOjTC, Luego todo elquadrado.B DEC,esygual a losdos quadrados,1B J C , Y el quadrado,B D E C, es hecho d l a B C , y los quadrados,! B,C T,fon hechos dela,B A A C , Luego elqudrado q d e elladoBC. fe hizocs ygual a los quadrados qfon hechos dlos ados,B A; A C , luego en los tringulos reciangulcsel quadrado q e s hecho del lado q elaoppuefto al ngulo recio y lo que mas fe figue como el theorema,que fe hauia de demoftrar, Theorema.34.. Fropoficon.48.5

^Si el quadrado que es hecho de vno de los 1ados del triagulofuereyguala aqllosquadra dos quede los dems lados del triguloxl an guio comprehendido de los dos lados reftaa tes del triangulojfera recia,El quadrado que es h e c h o del vn l a d c B C.del triangnlo A B C . fea ygual a aqllos quadrados que fon hechos d los dos.B A. A C.digo que el an gulo.B A C . e s rel .Saquefe j (por la.n.propofiti)defde e l pnelo. A. la.A D. en ngulos r e c l o s i n la linea r e c i a . A C. y(por la.^.prpoficion) ponga"] fe.A D.ygual a la.A B,y(por la < .i.petici)tire fe.D C.y p o r q u e s y g u a l . D A,a la.AB.el qua drade: e

LIBRO PRIMERO DE drado q u e es hecho de.D A.es ygual al quadrado de la. A B. pngale c o m n el quadrado dela.A C.Luego losquadrados dela.D A.y de la. A C.fon yguales a l e s quadrados dela.B A. y de la. A C.y(por la precedente)a los quadrados dla. D A y de la.A C.es ygual el quadrado dela.D C . porque es rero el ngulo.DA C.y a los quadrados dela.A B.y dela.A C(por la uppofici)es ygual el q t u d r a d o dela.BC.porque efto afi fe admiti. Luego el quadrado de la.D C e s ygual al quadra d o dela.B C.por lo qual el l'ado.D C.es ygual al lado.B C . Y porque. A D.es ygual a la,A B.y comn la.A C.luego las dos D A,A C . fon yguales a l o s d o s . B A.A C.y la bafis.B C. ala bais. D C. es ygual. Luego el angulo.D A C("porla octaua propoicion ) es ygual a l angulo.B A C, y el ngulo. D A C. es r e c i o , luego tbien el ngulo B A C.es recio, Luego fil quadrado que es hecho de vno de los lados d o s del trigulo,fuere ygual a aquellos qua drados qdelos de mas lados del trian gulo,el ngulo cprehendido dlos dos lados reftantes del trianV -, guio, fera r e c i o , que fe auia de demoftrar.

.JFIN D E

L

PRIMER LIBRO.

EVCLIDES,

3

y.

LIBRO S G y N D ODLOS E L E M E N T O S DEEVCLI des Megarenfe philofopho,Griego. Parallelogrmo rectngulo.

f p f o d o parallelogrmo rectngulo fe dize ef tar contenido debajo de las dos lineas r e d a s que comprehenden el ngulo r e c i o . Q u e fea g n o m o n , ffCada vno de aquellos paralelogramos de t o d o parallelogrmo que eft en la diagonal. fuya:co los dos fupplemtos fellama g n o m o;

T e rm. i. ho a e

Po oi i n ju r p co .

^"Si fueren dos lineas rcctasry la vna dellas fe cortare en algunas partes,el rectngulo cora prehendido debajo de las dos lineas rectas es ygual a aquellos rectngulos que fon cora prehdidbs de ella n o cortada y qualquiera parte .c " Sean

LIBRO SEGVNDODE cfe&aij las des lineas recias. A.y la.B C.y corte fe la vna delias.B C.cmo quiera.efto estenios ptos.D.E.digo que ehe tangido cprehendido dela.A,y dela.BC.es ygua ai recir.n guio cprehendido dla.A.y dela.B D.y a aquel que dela.A. y d e l a . D E,y tambin a aquel que dla. A.y dla. EC.Porcj, (porla.i .propoicion de.i)faquefedefde.B.la.B2.en angu los rectos con k i B C . ( y p o r a , 3 . " "" ~ " del.i.)p6gafe tambin la.B-LyguaP a la. A.y por.I.tirefe Ialinea.I T.pa rllela ala.B C(por la.31. del primero y ( p o r la msfma)por los pun tos. D.E,C.tirenfe a a B J . k s paraileias.D K.EL.CT.espues.ygua B T . a ! . B K . D L : E T . y el.BT.es y gual al que de. A.y dela.B C-Porque es comprehendido dla I B.y de Ia,B C. y es ygual.B i,a|a. A.y B E . e s yguala que de la. A.y dela.B D porque es comprehendido de ia .B I. y de la B D.y es ygual.B I.a la. A.Pero. D L.es ygual al que de l a . A. y dela.D E.porque.D K,efto es,B Les ygual a l a . A .-Y de mas defto dla mifma manera.E T.es ygua al que de la. A.y de la EG.Luego el que es comprehendido de l a . A , y d e l a . B C.es ygual al que dla. A.y dela.B D.y; al que dla. A.y de la. E y tambie"n a aquel que dela.A., y deia.EC.Luego fi fuere dos lineas recias y la vna de ellas fe ccrtare,y lo que de mas e fi gue^que fe hauia de demoftrar. " TheQrema.z. . . Propoficipn.z.

S" Si vna linea r e d a fe cortare como quiera; los redanglos que de roda ella y qualq.uic.ra de us partes fon comprehendidosrfon yguales a aquel quadrado que es de toda ella.Corte

E VC LIDES, ' g el gno&5 C M i j y J L / o n y|uales*al reftangillp^ cprehendido deba xodi'aj A D ; D B,y arquadrado que le'h'az d e , C D , y| gnomon.C M Ly el,L l.fontodo el quadrado, C E ZB,ques dela,B C,luego.el re&guo cprehdido debaxo dela,A D y dla: D B,junramte con elqadrdo'q fe hace dela,C D, .es-ygual al.quadrado que.fehaze deIa,CB,lueg fivna linea recia y lo deas que fe figue" como en el theorema lo qual oninodemoftrarfe, gfir- > - '"> ' - >* Fropoficion .8. .

Theorema.8. -

^ S i vna linca recia e corta cmbquicra,clrc g l b q fe coprenede quatro Veces debajo Me toda-ellay'de vna ci^iirpries cbh ef qua i r a d o que esdejagarteqjelt^esygual qua I r a d o q l e i ^ ^ R ^ ^ y J ^ i k ^ a par re -como 'de vaai; * b b a ? aoi- > >.-.-< > t =f

^Crtele la linearecia:A B . c o m o quiera eiiep5cr.o.C dge g e i rectngulo'qqnatra vezes fe cprehde debajo d. A B. y;dIa.B"G:iuntamte:co e i q u a d r a d o dela.A C. es ygual' quas

HCEVeLIDES. ' . fo. 40 q u a d r a d o ?] fe dcribed l a , B,y del, B C.como de vna. sPor'laz.petici,tdafe en derechera 1> i'jji. A ' B . Ia'linea? B*D. y pgafe le ygual la. B D . a laC'B(por la.3.deLi0y para.4:dl,i,defcribale el qudrado.A E Z D . d e la. A p, ,. k D-yhagafela figura dobla-; da.Eues p o r q es ygual. C.B H s. o alajB D.y C Baa.I E> es fj> R / gul.l-uegofporla. 34.de!.!) y * i B D . e s ygual a !a.K Ni, LueJr . go tibi.LK.es ygual a l a ; K - \ t -i * "i N-Y tbien-P R.a la. R O . e s ygual,Yporq.BC. es ygual / T a l a , E D , y la. IK. a la.K N Luego ygual es.CK.a K D.y-eLIR.'.a.RN(por la. 36. del.f)y p o f k : 4 3 l d e I . i C C e s ygual a.R^,porqGwi bpplementos del parallelogrmOjC O P D.luego,K D.es ygual a.R N.lue go.C K , p K.l R R.fon entrefi yguales. Luego t o d o s q u a t r o fon quat.ro veces t a t o que,C K. ten p o r q es ygual. C B.a la B D , y la.BD.es ygual a la.B K.efto esala.Cl.Luego.CB. ef t o e s . I K.es ygual a la.R P.luego.C Les ygual a l a P.y p a r que yguales.C K.al.K P,y.P R,a la.R 0 , e s ygual,A I, a,L P . y , L P , a l , R T,y,M O ( p o r la, 43, del,i)es ygual a 0 L,porq onfupplemtosdelparaelogrmo,M L.luego tbien, A I. es ygual al.R Z,por la.,43,del mifmo,Luego los q u a t r o , A 1, o. fon

i

3

;

>PR>J J uv^WiUO ^ _ M \J CJ cL \) XA

gnal gnom.S QJF,fon el quadrupulo de,A K,Y p o r q A K, es el q dla, A E,y dela,B D,porque, B K , es vguala la.B D Luego el q q u a t r o veces es dla, A B,y de l a , B D , es el quadrupulo de,A K,Pero ella demoftrado q elgnom 6,S QJ,e* quadruplo de,AK quatro doblado,Luego lo q quatroveces es hecho de,A B^y de,B D,es ygual a l g n o m o , ? CLE,pgafe , F 4 pues: ?

p

u

LB O S G N O E I R E V D D

pues com,X T,q es ygual al quadrado del, A C , Luego e l quatro vezes comprehendido de la. A B.y de la.B D.con el quadrado dela.A C.esygual algnom,S Q-f- alquadrao xT.y elgnom.S Q,F.yXT.y f todo el quadrado.AE2D. q es dea. D,uego lo q quatro vezes es dla , A B, y dla,B D,juntamte con aquel quadrado que fe hace dla, A C , es ygual al quadrado q fe haze dla,A D^Y l a , B D , es ygual ala B C,luego el rectngulo cprehendido quatro vezes de laj, A B,y dela,B Cjutamte c aquel: quadrado q fe haze da A C,es ygualal quadrado que fe haze de la, AD,efto es dla B y dela,B C,comode vna.Luego fi vna linea rel:a,y lo j dornas fe figue, que era lo qfe ama de demoftrar. ? Theorema.^ Fropfici. 9 . . : K ' ':

f Si vna linea reta fe diuide yguales y en de igualesprteseos quadrados qfe hazende las partes delguaies d toda elisin el doblo de aquel quadrado que fe hace dea mitad ,y del que dla que efta en medio dlas diuifio:

*Vna linea recia. A B.cortefe en yguales pies en-el punt. C.y en defiguales en.D.aigo que los quadrados de la.B D. y dela.D A.fonel doblo de aqullos quadrados que fon de la. B C.y dela.CD.Saquel dei'de elpto.C.fobre la.AB.vna e a gulos reros qfea-CE(por la. 1 r. del. 1 ) y haga fe ygu al a cada vna de las d o s . C A. CB.(por Ia 3,dl.i,y(porIa. r; petici,tirenfe, A E.EByp or la.3i.del.i.)por elpunto.Dfaqfe.DZ.pallelaaIa.EC(:y ^ por la mefma ) por elpto.Z.ttrefe^Z Lpalela ala. A B.y por la.i,petici,tirefe.B Z.y porque.B C.es ygual a la.C E.por la quinta deLi.el angulo.E BC.es ygual al angulo.C E B.yporq^ ngulo de jnnto,a, C.es recto,luego los dems.angulos.E B; i A

CCEB

' VCL-DES, 4iC.CEB.fon yguales a vn reciojuego cada vno dlos angu .los.BEC.EB C.es la mitad de vnreto,y por lo mifmo cad^vno dlos dos.E A C.C E A.es la mitad de vn re&o,luego todo. A E B es vn recio. Yporque.I EZ. es la mitad de vn re to,y es re&o.E I Z.porq es ygual al interioryopuefto (por a.29.del.i. efto es al angulo.E C AJuego.E ZI. q rela es 1 a mitad deretojuego por la.6.com fentcia^el angulo.IEZ. es ygual al.EZl,por lo f|lporla;6.cLi.el lado.Z I_.es ygual al l a d o I E.It porq el gulo.A.es medio rel:o,y el guIo.ZD A es retOjporqs ygua alinteriory opueto.ECA,(por la,i9 cl .i)Iuego.AZD.es medio recio Juego el ngulo. A.es ygual al D Z A y afi(por la..del.i.)el lado.D Z.es ygual al lado.DA y porq B C e s ygual a.CE.y es ygual elqadrdo dla. E C. al dela.C duego los quadrados dela.CB.y de la.C E. fon do bldos al dela.B C.y(por la.47.del,i)aIos dela.B C.y de latC E.es ygual el quadrado q fe hace de l.E B,porq-el angul,B C E, es recloAuego el quadrado dela,B E,es el doblo 51 de Ia B C,Itporq, E I,es ygal ala,I Z Jera ygual el qudela, Z I , aqiie dla,I E, luego los quadrados que fon dla,! E , y dea,IZ,foael doblo del quadrado de la,IZ,y alos quadra dos q fe haz de Ja E I,y dela,l Z,es ygual el q de la^EZ^por Ia,47,deL,i,Iuego el quadrado dea,E Z_.es doblado al de la IZ^yes ygal,lZ,aIa,Ct>,iueg el delayE Z,es edobo de el dela,CD ys el q fe haze deia,B E,el doblo di q fe hace dea B CJuego los adrados dela,BE,y dela,E Z fon el doblo de los qdradosqfehac da, B C,y C D , y alos q fe hace dela,B E,y 51a,E Z esygual el q fe hace dla,B 2,porla.47 dl.i.porq el gulo.B EZ.es recto,luego el qdrado de la.B Z.es el d o blo dlos q fe haze deIa,B C.y- dela.C D.Y al q fe hace dea. -B Z.fonyguales los q fe hace dela.B D.y dela.D Z. ( por la. 47,del.r;)porq es recio el angulo.B D Z.luepo losq le hace* dea B D.y dela.D Z.fon el doblo * aqllos aadradosq fe ha cen cela B C.y dla C D.y es ygualla,D z / l a , D A. Luego los quadrados dela,B,D,y dela,D A,fon el doblo dlos qua drados debv.EC^y dela,CD,luegofi vna linea recia fe corta e ; parteas } ;) ? } 3 3 :

LIBRO SEGVNDODE partes yguales y en defigualeslosquadradosq fehac'de la* parres deiguaes de t o d a e j l a / c n e-Lijoplo de aquellos q;dra d o s q e haze dea mita d,y del q delaptelj.efta en medio d las diuiione^.Io qual c o n y u o demcilrar, Theorema.i.o. Propoitton.io

[Si ynaiixca red:ac diuidc en-partes yguai les,y fe le ajunta en aerecho vna linea recta el quadrado d t o d a ella co la anadida y eide la aadida^ambos a dbs,fn el.^ofrlp eixsa drado qfe decribe dla rita : .'i que fe3

VC L I D ES. 4' queTe hazen d la.B A.y dela.A E. quitefe por como e! de la A E.Iuego el Rectngulo que refta cprehendido dela.C Z. y dfa.Z A.es ygual al quadrado que fehace d la.A B.Y el que es da.CZ.y de la.ZA.es e mimo.Z K.porque.Z A.esygual a l a mifma.Z l.Y el que fe hace dela.A B.es_el mifmo.ADdue go.Z A-es ygual al mifmo.A D , Quitefe el com. A.K. luego el que rela.Z T.es ygual al.T D.y T D.es el que de la. A B. y dela.B T.Porque es ygual, A B.a la.B D.y el.ZT.es el que de A T.Luego e rectngulo comprehendido de la.A B. y de la! BT-es ygual a aquel quadrado q fe hace dela.T A.Efta pues linea recta dada.A B.diuidida en.T.de manera q el rectan guio cprehendido dela.AB.y dela,B T.fea ygua a aql qua diado quefe hace dela.A T.o qual conuino hazerfe. Theorema.ir. Propoicion.n.

^"Enlos tringulos de ngulo obtufo el qua drado que fe hace del lado opuefto al ngulo obtufo tanto es mayor que aquellos quadra dos q fe hacen dlos lados quecomprehden el gulo obtufo,quanto es el rectngulo com prehendido dos veces debajo de vno de los que comprehenden el ngulo obtufo ( fobre e qual e (tendido cae vna perpdicular) y del que es tomado fuera debajo dla perpdicu lar aira el anp-ulo obtufo.raiSea el triangulo de ngulo obtufo. A B C. que tenga el an gulo.B A C.obtufo y tirefe defJe el pcto,B J a linea. BD.per pendicular fobr Ia,CB.eftendida.por la.iz.de.i.)Digo q el qadrdo dela.B.C.es mayor que los dek.B.y dela.A C. por el reftguio cprehendido dos vezes debaxo d e l a C A. y de la.A D . P u e s p o r q a l i n e a recta.CD.es cortada comoquiera i. enel

LIBRO SEGVNPODE en t i puncro.A. luego por Ia.^del.*, ei Z\ hace ciia.CD.es ygual a los qua d i a d o s que fe hacen dela.C A.y de la A D.y al rectngulo dos veces copre hendido debajo dela.C A.y dla A D pongafe~por com.el dela.DB.luego los que fe hazen dela,C D.y de l a . D B.fon yguales a los quadrados quefe hacen de k . C A.y dela.A D.y dela.D B.y al rectngulo cprehendido dos> vezes debajo dek.C A.y dela.A D.y a l o s que fe hacen dla C D y de la.D B,es ygual el que dela.C E ( p o r l a . 4 7 - el. i) p o r q u e es recio el angulo.D.y a los que fe hacen de la. A D, y de la.D B(por la mifma)es ygual e que fe hace de i a . ABi luego el quadrado quefe hace dea.CE,es ygualalosquadra dos que e hacen dela,C A.y dea,A B.por la niifma,y aireclangulo contenido dos vezes debajo dea,C A,y dla. A D. P o r lo qual elqadrdo que fe hace d la.C B.es mayor q los que fe hacen dela.C A,y dela,A B.quanto es el rectngulo comprehendido dosvezes debajo dela.C A.y dela,A D , le go en los triaguosde anguloobtufo el quadrado que fe hace del lado opuefto al ngulo obtufo es mayor.Yio de mas que fe figue.que conuino demoftrar.Theorema.12. Propofition.13

^"Enlos triaguios oxigonios ei quadrado q fe hace di lado oppuefto al agulo agudo es tato menor q los quadrados dlos lados q coprehend el ngulo agudo, quato es ei qecpr.e hende dos vezes debajo devno de aquellos q eta cerca del ngulo agudo fobre quie cae la perpendicular, y del tomado dentro debajo dla perpendicular afta el ngulo agudo," il x ....... O O ' _

Se*

VCLIDS.

44;

\lfk D D' 0 q elqadrdo dela.A C , es menor q los quai 2 drados 1 fe hace de la, C B,y de la.B A.quato es el reftagulo dos Vece? cprehendido debaj o dla CJB,y deIa,B D,Pues p o r q la linea re ta,BC,efta cortada comoquiera.D uego(por la,7, de.z)los quadrados la,C B.y delayB D.fon yguales al r e rgulo dosveces ctenido debajo de la,C B.y dela,BD,y al qdrado q le ha ce dla.,CD.pgafe com el quadrado dela,L>A,luego los qdrados dela^C B /&_ y dela-B D , y dela,DA(por la,7,del,z)fonyguales alrecKgu lo cprehendido dos vezes,debajo dela,C B,y dela,B,D, y a qos quadrados q fe hacen dla, A D , y cela D C , YaJos q fe hacen dela,B D , y dea,D ,es ygual'e q f hace de la, A B porcj el angulo,D,es recto,y a los q f hacendela,A D , y de l a , D C,es ygual el dela,A C ( p p r L i , d e l , i 0 eg los q fe hacen de!a,CB,y dela,B A / o n yguales al qfe hace dla, AG y a aql que dos vezes el hecho debajo de la,C B,y dela,B D , por lo qual folo el qfe hace de la, A G , es menor q aquellos quadrados que fe hacen dela_,C"E.y deLa,B A,quanto es el re etangulo dos vezes comprehendido debajo de C B,B D.Lue go en los tringulos oxigonios,y lo que mas fe igue,Io cpal eonuena demoftrar.A l e 4 7 j

...

BoWemaz.

Propoicion. 14.

Kazer vn gdradd-ygual a vn rectilineo dado^ S e a e f r e & i m e o dado.A.cuiene dar v n q d r a d o y o u a aefte retiineOjDefevnpalleogrmo retgulo ygual ai re cfimeo.A(p r la.45-.dei.1Oy fa.B C D-'E.yf es.y:;ua. B E. alaED.Ya efta hecho eprobleina.poru fe da efquadrdo BD.ygualaireaiiineo.A.per&iofer ade4as dos.BE.E D . y -. La0 i

LIBRO S;EGVNDODE

La vna mayor,!"ea l a m a y o r . B E.y eftidafe a f t a 2 . y poga fe EZ,ygualala, E ( p o r la tercera del primero ) y t o r t e fe. B Z p o r medio en.l.y haciendo centro. I. yepacio l a , IB. ^^^MAyi^ i

"-C.I.B^'.;.'"..';

;

i

q ^pt)o^.A;E;T-e^gni^|ai^^ guloyD A E^al angulOjDB l^fctygo mayor s e anguIo,lE;B>q l " angu Io.D B % y a may or .tigulbfm%^r"%dl eta .opuefto ( p o r l a ^ d e / i j L u e g o mfyor e s ^ B ^ q f l o D E e y ^ o r l a , ^ ^

vna;Hnea-ree^a,4^^^^na/manta-de^^

EfMaJue^oae^^ea^ ^gj^nodmofti-ar^ *f>C Klfii'di5i

.'{.-; ;;':

v ' . ...... '-- s-'jfjji

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d;

'.. OKJJ; .,Z E T . y g u 4 a ? 3 g 9 r ^ ^ O R ' ^ r t f tirefc.Z T.Ps porq^^esyguallE>la,E T poi;la.if.derinici dea,yda.E . s cmndugls dos,! EjE 2 , ion yguales a las dos.T E , E Z.Y por la.z^del.^el.angulojIE Z.es ygual al angu lo. T E Z.Lucgo por la.4 .del.,k bafis.2 Les ygual a la baisjT Z . D i g o tambin q a la linea, 2 1 . ninguna otra le cae ygua ene! circulo defde elpuncto,2.porque fi es pofiible ca y a . 2 K . Y p o r q u e . 2 K,es yguala la,Z I,y la^Z T,es ygual ala Z1. Luego.Z K.es ygual a la,Z Tjluego la que elba mas propincua a l a que paTapor l cetro es ygual lama apartada que por'b q eft .demoftrado esimpolible. defta manera por Ia.iq3tici,tirefe,E K.y porq (pbrla.if defiuici deb.) es ygual.I E.a la,E K y comn la,Z E,yla bafis.I Z,es ygual a la bafis,Z K X u e g o por la.8.del.i.elangulo,lEZ, es ygual al, angulo,K E Z,y l anguo.l E 2 , e s ygual al ngulo,TE 2,Lu ego por a.i.com fentenciajelangulr/.T^E 2.esygua al angulo,K E Z , e l menor al mayor que/es impoflible. Luego def de el puncto,Z,ninguna otra caene crculo ygua a la. 1 Z. luego vna fola.Luego fi enel dimetro de vn circulo,ylo que mas fe figue como cnl eheorema q eslo q fe au ja f demoftrarf ; ? I r ol ! } 3

Tbeorema.?

Propoficon. S,

f S fuera de vn circulo Ce t o m a aJg pclro j defde aql puco al circulo fe tira algas lineas recas, de las quales la vna fe eftieda p o r cl cetro

E VCLIDES.

?

1

So.

trb,y las dems como;quiera^de las lineas r e fes q caen en Ja circunferencia conuexa e r sk |>rc la mas prQpnqnaa la q paila por el cetro es mayor qJarnas r e M o t 3 ; P e r delaslieas re t a s q caen ela circfercia cu ra.es la menor la qeftacntre el pfco y el dimetro; y la mas f ifdpinqua a la inenor ip^|s^Venor q u e l | ias ^p^ao^7flaanEt.os^linea$-recias cae Iguales enl c i r c u ^ .;

' hn'voa'.i

1

'A.c-fif'/^^$tielcfri i

algunalineareclia tocare al circulo y defde el centro al t o c a m t o fe tirare algalinea rcba,a tirada fera perpdicular a la q toca.

Alcireulo.AB C.toque le algunalineareaa.DE.enelpu & o . C . y toinefepor lju1.deL3.el cetro del cireulo.A B C.yfe*

E C I E. V LD S

f7

Z ydefde.Z.aftaen.C.tirefeporla.i.periaon,ZC.digo cjZC es perpdicoar fobre la.D . Porque mo,tireepor ia.iz.df primero cefde.Z.fobre . D E . l a " ^etpenicubr.Z LPuesporque ^ ei anguIo.Z IC.es recto,hiego el guloJ C Z.es agudo.Luegoirt* yor es elanguloZ 1 C.q elangulo.Z C Lydebajode mayor angu lo(por la.19.deL1.) fe eitide ma ,yor lado,luego mayor es.- Z C.q \ no-Zl.y es ygual la.Z C.a la.C B por f e r d e l c t r o a l a circunfer cia,luego mayor es.Z B.que !Z l. la menor q l a mayor,qes impp.mbieXiiego.ZLn o es perpendicular fobre. D E . Luego fi a l guna linea retatocare al circulo^y lo q mas fe figue.Lo qua* conuino demoftrarfe. Theorema.17. Propofcion.iy.

f Si alguna linca re&a tocare al circulo, y d e f de e tocam lento e le fcare alguna linea re & a en ngulos re Alcirclo.A B Ctoquelevna linea recta.D E.ene p u n c t o . C . y defde.C.porla.ii.deLi.Tire fe C A.en ngulos rectos,Digoque enla mifma.C A.efta el centrof l rculo,Porq fino,fiespoFible efte en.Z.ypor ia.r.,percion tire fe.C Z. Pues porq ia linea. D E. . toca al circulo. A B C. y defde el centro al tocamiento fe t i r o Z G luego

LIBRO T E R C E R O DE IuegoporIa.18.es p e r p e n d i c u l a r a l a D E.y es recio el angu lo.Z C E , y ei angulo.A C E.es recio.Lucgo el ngulo. Z CE. es ygual al angulo.A C E.el menor al mayor,que es impofli be.Luego.Z.no es c e n t r o del circulo.A B G.Tambien dcma rtraremos de la mifma m a n e r a q ni en otra pa rte fuera del a AC-Luego fi alguna linea recia tocare al circulo, y defde el tocamito fe facare v n a linea recia en ngulos reelos fobre l a q u e tocaren la q u e fe faca eftara el centro del circulo . L o qual conuino d e m o f t r a r e , Theorerria-i?. Propoficion.zo

CEncl circulo,el ngulo foore ei cetro, es do Blado al de fobre la circunfercia,quandoJos ngulos tuuieren ygual circunferencia,a>Sea el circulo, A B* C.y fobre fu centro elle el ngulo. B E C.pero fobre la circunferencia el angulo.B A C,y tenga por vna mifma bais a la circunferencia.B G. Digo que e ngulo B E C.es d o b l a d o a angulo.B A C.Porque tirada.A E. ( por ]a.2.peticion)efiendafe afta en.Z. P u e s porjque es y g u a l ala.E B.pr fer del centro a a circunferencia, es ygual el n g u l o . E A B . al angiir lo.E B A.Luego l o s anguos.C AB, E B A.fon el d o b l o del ngulo. E A B ( p o r la.j.deLi. ) y es ygual el angulo.B E Z . ( p o r la.32.deL1.) a los an^uos.E A B . E BA.Luego el angulo.B E Z.es el d o b l o de.EAB y p o r a mifma m a n e r a tambin el angulo.Z E C.es el d o b l o del anguI-E A C.por ia mifma.Lu ego todo.B C.es el doblo de todo-B A C. Yten pongafe o.* t r o anguio.B D C . y tirefe (por la.i.peticion. D E . y eftienda fe p o r la.z.peticion afta en.i. Demoftrar emos tambi&n deda*

m a i f m

E y e LID ES. ?8. M --.Ti- i'iupuloil E C.es doblado al ngulo. C ^ T T S s e q n e aebaxo de.l E B.es el doblo del a n I E D ? V refta.BEC.es el doblo-de . B D C . f e n circulo elangido fobre el c e n t r o es doblado al de fobX ta circunferencia, quando los ngulos tuuiei en ygual eircunerencia.Lo qual conuino demoftrarfe.

r

!

E!

Theorema-r?.

Propoicion, zi.

^E el circullos ngulos cj eftan en vn mirnoegmento/oB yguales entre l.:

^Efteheneifegmento.B A E D.del circulo.A B C D. los an giosE A D.B ED.dsgo que los ngulos. B A D.B E D . fon. entre yguales/. .Toniri'.: por la i.dei.3.)e centrod circulo. A .. B'CDiy fea.Z.y treme por %i^. .. peticin. B.Z.Z D . y porque el aegulo.B ZD.ejia fobreei.centro^y c! angulo.B A D. fobre la, circinifereieiajy teupor bais. \ / lamiima circunferencia. B C D . Sk Luego e angalo,BZ D , por la precedente,es doblado al angu lo.B A D.Y por eft'b el ngulo. B Z D . c - s tambeh doblado al angulo.B ED.Lu.ego ygual es el angulo.B A D. al ngulo B E D ( por a comn fentciaque dize.Las cofas que devna miima loe mitad entren fon yguales,-Lrego enel circulo los ngulos que canenvnmifmo legm&o fon yguales entre fi.. Lo qual conuino dembftrarfe. < " '' ] Theorema.10. Propoficion.zz. -.

| L o ? ngulos oppaeftosc los quadriateros en ios circuios i o n yguales. a dos rectos, \Sea

LIBRO T E R C E R O DE ^ S e a el eireulo.A B C D.y efte cnel el quadrilatero.ABCD Digo que los ngulos oppueftos fon yguales a dos re&os.Ti renfe(porIa.i.peticion)ACB D.Puesporq(por!a,32.dtl.i) los tres ngulos de todo triangulo fonyguale a dos re&os' luego del triangulo. AB C.los tres aiigulos-C A B. A B C.B C A,fon y guales a dos retos,y el angulo.C. A. B.es ygual al angulo.B D C.por laz1.deL3.por eftar el mimo fegj mento.B A D C.Y el angulo.CB (por la mifma) al ngulo. A D B. por eftar en vn mifmo fegmento, A D C B. luego todo. A D C.es y gual a 1 os dos.B A C. AC B.Ponga fe por comn e angulo.A B C.luego los ngulos. A B C, B A C.B C A-fon yguales a lo* anguloj^A B C A D C y los angu j os.AB C B A C C B.fon yguales a dos recios,luegoiosaa gulos. A B C A D C f o n yguales a dos re&os.Dea mifma fuerte fe demoftrara que tambin fon yguales a dos recios. B A D . D C B.Luego los ngulos oppueftos de los qadrilate ros que eft en los circuios fon yguales a dos rectos. Lo qal conuenia demoftrarfe.1

T e r r a iu h oea .

Propoficion.13.

CSoBre vna miima linca reda dada, no fe da ra hazia vnas mimas partes,dos fegmctos de ^ir-culos femei antes y deguales.Porque fi es polfibIe,haganfe fobre vna mifma lineareta.A B.dos fegmentos.de circuios femejantes y defiguales A C B . A D B . hazia vnas mifmas*partes , y tire fe. A C D . ( por la primera peticin) y defpues tiren f e . C B . D B. Puespor que e fegmento.ACB.es femejante al fegmento V . ADB.

EVCLIDES fj, ADB.y fon femejantes fegmntos de circuios los que recibe yguales anguos,por la definido. io.deL$,luego elangulo. A C B,es ygua! al angulo.A- D B. el exterior a! intenor.Lo qual,por la. 16 del.r.es impofsible. Luego fobre vna mifma linea recta dada no fe darn hazia vnas mifmas partes dos fegmctos de circuios fe mejantesy defiguaes.Lo qual conuino demoftrarfe. Theorema.22. Propoicion.24.

^Los fegmntos femejantes de circulos,pueftos fobre yguales lineas re tas fon yguales entre LH> Ponga fe fobre las lineas realas yguales. A B.C D . Ios fem e m o s decireulos.AEB-CZD,femejantes.Digo queifegmento.A EB.es ygua al fegmen- t o . C Z D.porque fobre puefto el fegmento. A E B.al fegmento. E Z D.y puerto elpunto.A.fobre elpu t o . D y la linea recia. A B. quadr \ \ dofobre la linea reta.D C.tambi en el p u n t o , B . quadrara fobre el puneo.C.Porque es ygual,A B a Ia,C D,y quadrado la linea recta A B,fobrela linea recla,C D , qua dra tambin el fegmento,A E B , . $ alfegmento.C Z D.Porque i la hnea recta, A B , quadra fobre lalinea r e 6 t a , C D , p e r o el fegmento,A EB.no quadra fo bre elfegmento,C Z D,fino que di3ere,como,C 1 D,Y vn cir culo a otro circulo,por la,2,del,3,no le corta en mas q dos puntos,y el circuIo,CI D , c o r t a a l e i r c u l o , C Z D , e n mas que .fin dos pnelos que es en,C.l,D,lo qual p o r la mifina es im 3

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LIBRO T E R C E R O DE pofibe,Luego no q u a d r a n d o la linea recta. A B. fobre la linea recla.C D . t a m p o c d quadrara el fegmento. A E B .fobre el fegmento.C Z D,luego q u a d r a y es le ygual.Luego los feg mentps femejantes de circulos,pueftos fobre yguales lineas rectas,fon yguales entre i X o qual fe hauia de demoftrar. Problema.3, Propoficiomiy.

C D a d o vn fegmento de circulo? defcribir el circulo cuyo f e g m e n t o es.e-aSea cl fegmento del circulo dado.A B C . conuiene defer bir el circulo del qual es fegmto.A BC,Cortefe(por la.10, de.i.)la.AC.por medio e n e l p u n c l o . D . y defde. D . faquefe ( p o r la.n.)del mifmo)la.B D.en ngulos recios fobre A C,y tirefe. A B ( p o r a.i.peticion).C6 p a r a d o pues el angulo.A B D.c el agulo.B A D.oes mayor que e o ygual, o menor.Sea o primero m a y o r , y p o r Ia.r3.del mifmo,ha ga fe fobre la inea rela.A B. y el p n e l o , A.el ngulo. B A E . y gual al angulo.A B D . y p o r Ia.2. petici on,eftiendafe.BD.afta en.E y tire f e ( p o r l a . i . peticin) E C. Pues p o r q u e el ngulo. A B E. es ygual al ngulo. B A .luego es ygual,(por la.6.del.i,)Ia inea r e cia. E B. a la, A E, y porque es y guaL A D . a la,D C, y comn a. D E.Iuego las dos. A D . D E , fygua les a las dos.C D.D E.la vna a la o tra,y el anguo,AD E,por la.4.pe ticion, es ygual al ngulo. C D E. p o r q es recio cada vno. Luego a

E VC LIDES. co. bafis.A E,por Ja.4.dl.i,es ygual a la bais. C E . y efta derrilirada que la.A E,es ygual a la.BEduego la.B Ejes ygual ala C E luego las tres.A E,E B,E C,fon yguales entre i, Luego deferipto vn circulo fobre el punlo.E.fegun el efpacio. A E. oxd^E B,o el epacio.E C(por la.3.petic,paiara por los de maspiwos y quedara deferito.Luego dado vn fegmto de circulo deferibiofe el circulo. Y cofa clara esque el fegmento A B C.es menor que medio circuo porque el centro. E, cae fuera de.Tambien de la mifma manera demoftraremos que aunque el ngulo, A B D,fea ygual al angulo.B A D.Porque fiendo yguaLA D,a cada vna de las dos.B D. DE,luego ias treSjD A,D B , D C fon yguales entre iLy fera centro el mifirio.D.del circulo cumplido. Y tambien.A BC .fera medio cir culo.Pro fi el ngulo, A B D.fuere menor que el angulo.B A Ocharemos por la, 23.delprimero,fobre la linea recia. A B. enelpunlo, A,vn anguloygual al angulo,A B D,dentro del fegmento. A B C.yel centro del circulo caer fobre la,D B.y fera el fegmto,A B C.mayor que medio eircuo,Dado pues vn fegmento fe defcribe e circulo cuyo es fegmento,lo qual conuino h a z e r l i .;

Tfieorema.23,'

,Propoficion.2

| L o s ngulos yguales en yguales circuios eftan bbre yguales circunferencias, aora een fobre los centros o bbre las circunferencias.H) Sean yguales los cireulos.A B C.D E Z yenellosfean ygua- / les los ngu