Elementos finitos

VI Congreso Internacional de Ingeniera Estructural Ssmica y Puentes 2014

M.Sc. Cristina Navarro FloresMg. William Carlos Echegaray Castilo


Las losas son elementos estructurales horizontales

cuyas dimensiones en planta son relativamente

grandes en comparacin con su altura donde las

cargas son perpendiculares a su plano, se emplean

para proporcionar superficies planas y tiles.


Se postula que mediante un algoritmo multimalla para

resolver numricamente un sistema lineal de

ecuaciones, obtenida con el elemento finito HCT se

puede conseguir buenos resultados de los

desplazamientos en la losa de concreto armado.


Espacio

Se define

Con producto interno y norma, respectivamente:


Espacio de Sobolev

Se define como

Donde


Las multimallas, son mtodos numricos para

sistemas lineales no densas y de un nmero de

condicin muy alto (sistemas inestables). Ellas

consisten en disminuir el error global en la malla que

se encuentre, estos errores globales presentan dos

componentes de alta y baja frecuencia (vistos en

espacios de Fourier).


Para reducirlos, se usa:

Proceso de relajacin, para reducir las

componentes de alta frecuencia y sucede en el

nivel de malla superior (malla fina).

Correccin en las mallas ms inferior (malla

gruesa), para reducir las componentes de baja

frecuencia. Ver (Ref.1), (Ref.2)


Fig.(1)

Fig.(2)


Los mtodos multimallas son de dos tipos:

Geomtricas, si el nmero de nudos interiores de

la malla coinciden con el orden del sistema lineal a

resolver.

Algebraicas, si no se tiene informacin de la malla

en el sistema lineal a resolver, o no se da el caso

anterior.


Definicin (Nmero de contraccin)

Sea el sistema a resolver y

el resultado de usar un mtodo multimalla, con vector

inicial para las iteraciones, los pasos

pre-suaves y pos-suaves de la multimalla, se define:


Teora Aditiva de las Multimallas

Se identifica los operadores:

Identidad

Relajacin , definido por

Restriccin

Interpolacin

Desarrollada en (Ref.4).


Sea el tringulo K de vrtices a1, a2 y a3 con centro

de gravedad a, y adems, sean los puntos

donde recaen las alturas. El tringulo K se divide en

tres tringulos como se observa en la figura:

Fig.(3)


Donde:

Su desarrollo se expresa en coordenadas de rea:


Polinomio de Forma

Para cada subtringulo se tiene 12 funciones de forma,

que se denotan como:

Donde:

,,


Fig.(4) Doce funciones de forma para

K1


Fig.(5) Dos funciones de forma para el subtringulo K2


Fig.(6) Dos funciones de forma para el subtringulo K3


,

La aplicacin se realizar en una losa delgada de

material elstico homogneo e istropo.

Donde: E: Modulo de Young : Coeficiente de Poisson e: Espesor de la losa f: Fuerza uniformemente distribuida a la losa u: Desplazamiento vertical del plano medio de la losa

::


,

Cuya formulacin variacional es:

Donde:

::


,

::


,

::

0 5 10 15 20 250.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1Multimalla V-Ciclo simtrico

m : # de pasos pre suaves y pos suaves

Nro

. de

Con

tracc

in

k=2k=3k=4k=5

0 5 10 15 20 250.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1Multimalla W-Ciclo simtrico


Nro

. de

Con

tracc

in

k=2k=3k=4k=5

0 5 10 15 20 25

0.65

0.7

0.75

0.8

0.85

0.9

0.95

1Multimalla F-Ciclo simtrico


Nro

. de

Con

tracc

in

k=2k=3k=4k=5


,

::


,

::


,

::

Con m=6 en la multimalla


Fig.(8): Usando el V-Ciclo en el nivel k=5, con 648 elementos


,

::



Fig.(9): Usando el W-Ciclo en el nivel k=5, con 648 elementos


,

::



Fig.(10): Usando el F-Ciclo en el nivel k=5, con 648 elementos


,

::

Fig.(11): Asintocidad de las curvas de convergencia




,

::


,

::

El elemento finito HCT, por sus propiedades del operador de

interpolacin nodal, hace que sea apropiado para resolver

problemas de cuarto orden.

En los resultados numricos se verifica, la convergencia de

los mtodos multimalla V-Ciclo y F-Ciclo y que sus nmeros

de contraccin decrecen uniformemente como el nmero de

pasos suaves (m) aumenta, para cualquiera que sea el nivel

de malla.


,

::

Se sugiere usar como un suavizador en los algoritmos

multimalla, el mtodo de Relajacin de Richardson, por la

simplicidad de su algoritmo. Tambin puede usarse el

algoritmo de Jacobi (SORJacobi) con w = 2/3 como el

coeficiente de relajacin.

Los resultados de la deformada de la losa, va depender: De

un buen mallado del dominio, la eleccin de un buen mtodo

de relajacin para las multimallas y la cuadratura que se elija.


M.Sc. Cristina Navarro FloresMg. William Carlos Echegaray Castillo

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