ELEMENTOS SUPERFICIALES

Ecuaciones de equilibrio (Ecuacin de Lagrange)

Las ecuaciones de equilibrio de los esfuerzos en un diferencial de placa de dimensiones dx x dy y

espesor h como el de la figura.

Fig 1. Esfuerzos de un elemento diferencial de placa

Considerando el equilibrio de fuerzas en el eje Y se obtiene:

Simplificando:

Se desprecia el trmino de tercer orden:

Y finalmente:

Operando igual en el eje X:

Simplificando y despreciando los trminos de tercer orden:

Y finalmente el equilibrio en el eje Z:

Simplificando:

Ahora se sustituyen las expresiones de los momentos obtenidas anteriormente en las ecuaciones

de equilibrio de los ejes X e Y.

Simplificando:

Procediendo igual con la otra expresin de cortante (qy):

Simplificando:

Y sustituyendo estas dos expresiones en la del equilibrio en el eje Z nos queda:

Usando el operador Laplaciano V:

Esta es la ecuacin diferencial de la flexin de placas. Esta ecuacin fue obtenida por Lagrange y es

la base de la teora de placas.

El problema queda reducido a encontrar una flecha w(x,y) que cumpla la ecuacin de Lagrange y

las condiciones de contorno. Una vez conocida w(x,y) se pueden averiguar los esfuerzos con

las expresiones obtenidas anteriormente en que los esfuerzos estaban en funcin de las

derivadas de la flecha.