1

ELETRÔNICA DE POTÊNCIA

CIRCUITOS COM FORMAS DE

ONDAS PERIÓDICAS

NÃO SENOIDAIS

APLICAÇÃO DA SÉRIE DE FOURIER

(REVISÃO)

PRIMEIRO SEMESTRE DE 2005

2

CIRCUITOS COM FORMAS DE ONDA PERIÓDICAS NÃO SENOIDAIS

SÉRIE DE FOURIER (REVISÃO)

1. FUNÇÕES PERIÓDICAS Uma função f(t) é periódica se:

f(t+T) = f(t) para -∞< t < ∞. [1]

Figura 1- Funções Periódicas O menor T que satisfaz a equação [1] é chamado de período de f(t). A equação [1] implica que f(t + n.T) = f(t); ∀ t no intervalo -∞< t < t; sendo n inteiro. As funções periódicas são completamente especificadas por seus valores em qualquer período. Seja fT(t) = f(t).[u(t-t0) – u(t-t0-T)] [2] Onde u(t) é o degrau unitário

Então ( )∑∞

−∞=

+=n

T Tntftf .)( [3]

A função fT(t) é chamada de gerador de f(t).

T

T

t t+Tt

f(t)

T

f(t)

tt t+T

f(t) = f(t+T)

3

Funções periódicas possuem propriedades de simetria que facilitam sua análise. Função par é uma função periódica que f(-t) = f(t).

Figura 2 - Função par Quando a função é par ela possui simetria com relação ao eixo das ordenadas (eixo y).

Função ímpar é uma função periódica que f(-t) = -f(t).

Figura 3 - Função ímpar Quando a função é ímpar ela possui simetria com relação à origem. Das figuras 2 e 3 acima verifica-se que:

( )[ ] ( )

( )[ ] ( ) ímpar função uma é .sen..sen.

par função uma é .cos..cos.

tAtA

tAtA

ωω

ωω

−=−

=−

Soma de funções pares resultam em uma função par:

( ) ( ) ( )tgKtfKth ppp .. 21 += , onde K1 e K2 são escalares, fp, gp e hp são funções pares.

ωωωωt−ω−ω−ω−ωt

ωωωωt

f(ω(ω(ω(ωt)

A

A.cos(ωωωωt)

ωωωωt−ω−ω−ω−ωt

ωωωωt

f(ω(ω(ω(ωt)

A

A.sen(ωωωωt)

A1

-A1

4

Soma de funções ímpares resultam em uma função ímpar:

( ) ( ) ( )tgKtfKth iii .. 21 += , onde K1 e K2 são escalares, fi, gi e hi são funções ímpares.

Produto de funções pares resultam em uma função par:

( ) ( ) ( )].[].[ 21 tgKtfKth ppp ⋅= , onde K1 e K2 são escalares, fp, gp e hp são funções pares.

Produto de funções ímpares resultam em uma função ímpar:

( ) ( ) ( )].[].[ 21 tgKtfKth iii ⋅= , onde K1 e K2 são escalares, fi, gi e hi são funções ímpares.

Produto de funções pares por funções ímpares resultam em uma função ímpar:

( ) ( ) ( )].[].[ 21 tgKtfKth ipi ⋅= , onde K1 e K2 são escalares, fi é uma função par, e gi e hi

são funções ímpares. Qualquer função periódica f(t) pode ser expressa como sendo a soma de uma função par com uma função ímpar.

( )( ) ( )

( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) [4c]

[4b] 2

[4a] 2

tftftf

tftftf

tftftf

ip

i

p

=+

−−=

−+=

Definições importantes: Valor médio ou média de uma função periódica f(t):

∫+

=Tt

tmédio dttf

Tf

0

0

).(1

[5]

Valor médio quadrado de uma função periódica f(t) (é chamado de potência média em f(t)):

∫+

=Tt

tmédio dttf

Tf

0

0

.)(1 22

[6]

Raiz quadrada do valor médio quadrado, ou valor rms de uma função periódica f(t):

∫+

==Tt

tmédiorms dttf

Tff

0

0

.)(1 22

[7]

5

2. SÉRIE TRIGONOMÉTRICA DE FOURIER Se uma função periódica f(t) obedece às condições de Dirichlet, então a função pode ser representada pela série trigonométrica de Fourier. É bom ressaltar que as condições de Dirichlet são suficientes, mas não necessárias, pois existem funções periódicas que não obedecem a estas condições, e, no entanto possuem série de Fourier. As condições de Dirichlet são:

1. f(t) é contínua por partes 2. f(t) possui um número de máximos e mínimos finitos em qualquer intervalo

finito.

3. f(t) é absolutamente integrável sobre um período, isto é: ( )∫ ∞<T

dttf0

.

A série trigonométrica de Fourier é dada por:

( ) ( ) ( )[ ] [rad/s] onde T

tnbtnaa

tf

n

nn

πωωω

2.sen.cos

2 1

0 =++= ∑∞

=

[8]

an e bn são os coeficientes da série de Fourier e dependem de f(t)

( )

( )

...

..sen).(2

..cos).(2

0

0

0

0

3. 2, 1, 0,=

⋅=

⋅=

∫

∫

+

+

n

dttntfT

b

dttntfT

a

Tt

tn

Tt

tn

ω

ω

[9a]

Outra forma de expressar an e bn em função da variável ωt e período 2π, que é muito comum em engenharia elétrica, é dada abaixo:

( ) ( )

( ) ( )

...

..sen).(1

..cos).(1

2

0

2

0

3. 2, 1, 0,=

⋅=

⋅=

∫

∫

n

tdtntfb

tdtntfa

n

n

π

π

ωωπ

ωωπ

[9b]

Podemos observar que o primeiro termo da série, a0/2 é o valor médio da função f(t). Na análise de circuitos elétricos, é mais conveniente representar-se a série de Fourier combinando-se os termos em seno e cosseno em um único termo em seno ou cosseno (série de Fourier trigonométrica compacta).

6

Figura 4

( ) ( )

−=+=

==

++= ∑∞

=

n

n

nnnn

n

nn

a

bbac

tfac

tncctf

arctan

)( de médio valor 2/

.cos.

22

00

10

θ

θω

[10]

ou

( ) ( )

=+=

==

++= ∑∞

=

n

n

nnnn

n

nn

b

abac

tfac

tncctf

arctan

)( de médio valor 2/

.sen.

22

00

10

φ

φω

[11]

3. INFLUÊNCIA DA SIMETRIA SOBRE OS COEFICIENTES DE FOURIER

3.1. SIMETRIA PAR Funções periódicas com simetria par são do tipo ( ) ( )tftf −= . Para as funções periódicas com simetria par, as equações usadas para calcular os coefi-cientes da série de Fourier se reduzem a:

( )tnan .cos. ω ( )tnsenbn .. ω

( ) ( )tnsenbtna nn ..cos. ωω + Θ

n

φn

an

bn

cn

7

( )

( ) ( )

... 3, 2, 1, 0

... 3, 2, 1, ...cos.4

.2

2/

0

2/

00

==

==

=

∫

∫

kb

kdttktfT

a

dttfT

a

k

T

k

T

ω [12]

Observe que as funções periódicas com simetria par, não possuem termos em seno. 3.2. SIMETRIA ÍMPAR Funções periódicas com simetria ímpar são do tipo ( ) ( )tftf −−= . Para as funções periódicas com simetria ímpar, as equações usadas para calcular os coe-ficientes da série de Fourier se reduzem a:

( ) ( ) ... 3, 2, 1, ... 3, 2, 1, ...sen.4

... 3, 2, 1, 0

0

2/

0

0

===

==

=

∫ kkdttktfT

b

ka

a

T

k

k

ω

[13]

Observe que as funções periódicas com simetria ímpar, não possuem termos em cosse-no, e seu valor médio é nulo. 3.3. SIMETRIA DE MEIA ONDA Funções periódicas com simetria de meia-onda são do tipo

( ) ( ) ( )22TtfTtftf −−=+−= .

Figura 5 - Simetria de meia onda

T/2

t

t+(T/2)

A

-A

T

t

f(t)

8

Para as funções periódicas com simetria de meia-onda, as equações usadas para calcular os coeficientes da série de Fourier se reduzem a:

( ) ( )

( ) ( ) ímpar) ( ... 5 3, 1, ...sen.4

par) ( ... 6, 4, 2, 0

ímpar) ( ... 5 3, 1, ...cos.4

par) ( ... 6, 4, 2, 0

0

2/

0

2/

0

0

kkdttktfT

b

kkb

kkdttktfT

a

kka

a

T

k

k

T

k

k

∫

∫

==

==

==

==

=

ω

ω [14]

Observe que as funções periódicas com simetria de meia-onda, só possuem termos ím-pares, e seu valor médio é nulo. 3.4. SIMETRIA DE QUARTO DE ONDA Funções periódicas com simetria de quarto de onda são funções que possuem simetria de meia-onda e, além disso, simetria em relação ao ponto médio dos semiciclos positivo e negativo. Quando uma função possui simetria de quarto de onda, sempre é possível torná-la com simetria par ou ímpar.

Figura 6 - (a) simetria de quarto de onda par (b) simetria de quarto de onda ímpar

t

f(t)

t

f(t)

(a)

(b)

9

Para as funções periódicas com simetria de quarto de onda, com simetria par, as equa-ções usadas para calcular os coeficientes da série de Fourier se reduzem a:

( ) ( )

)(qualquer ... 3, 2, 1, 0

ímpar) ( ... 5 3, 1, ...cos.8

)par ( ... 6 4, 2, 0

0

4/

0

0

kkb

kkdttktfT

a

kka

a

k

T

k

k

==

==

==

=

∫ ω

[15]

Observe que as funções periódicas com simetria de quarto de onda, com simetria par, só possuem termos ímpares em cosseno, e seu valor médio é nulo. Para as funções periódicas com simetria de quarto de onda, com simetria ímpar, as e-quações usadas para calcular os coeficientes da série de Fourier se reduzem a:

( ) ( ) ímpar) ( ... 5 3, 1, ...sen.8

)par ( ... 6 4, 2, 0

) (todo ... 3, 2, 1, 0

0

4/

0

0

kkdttktfT

b

kkb

kka

a

T

k

k

k

∫ ==

==

==

=

ω

[16]

Observe que as funções periódicas com simetria de quarto de onda, com simetria ímpar, só possuem termos ímpares em seno, e seu valor médio é nulo. Exemplo 1 Calcular os coeficientes a1 e b1 da série de Fourier da senóide recortada de amplitude A como mostra a figura 7 abaixo.

Figura 7

seno

α

β

f(ωωωωt)

ωωωωt

2π

A

10

Solução: Das relações [9b] vem que:

Exemplo 2 Calcular a série de Fourier do trem de pulsos de amplitude A e período T da figura 8 a seguir.

Figura 8 Solução: Das relações [9a] vem que:

Portanto, escrevendo f(t) em termos dos coeficientes an e bn vem que:

)](sen)([sen2

)()cos()sen(.1

)()cos()(1 22

2

01 αβ

πωωω

πωωω

π

β

α

π

−−−−============ ∫∫∫∫∫∫∫∫A

tdttAtdttfa

(((( ))))

−−−−++++−−−−============ ∫∫∫∫∫∫∫∫ 2

)2sen()2sen(2

)()sen()sen()()sen()(1 2

01

βααβ

πωωω

πωωω

π

β

α

πA

tdttA

tdttfb

T

T1

A

t

f(t)

)]1[sen(.

2)cos(.

2)cos()(

21

0

0

0

TnTn

AdttnA

Tdttntf

Ta

TTt

t

n ωωω ∫∫ ===

+

)]1cos(1[.

2)sen(.

2)sen()(

21

0

0

0

TnTn

AdttnA

Tdttntf

Tb

TTt

t

n ωωω −=== ∫∫+

T

TAdtA

Tdttf

T

aTTt

t

1..

1).(

1

2

1

0

00

0

∫∫ ===

+

[ ]∑∞

=

−++=1

)sen()]1cos(1[)cos()1sen(.

2

2

1.)(

n

tnTntnTnTn

ATAtf ωωωω

11

4. A SÉRIE DE FOURIER, O PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO E O CÁLCU-LO FASORIAL.

O principal conceito que se pode inferir da série de Fourier trigonométrica aplicada na análise de circuitos lineares que possuem geradores de tensão e/ou corrente com formas de ondas periódicas não senoidais, caracteriza-se pelos seguintes pontos:

a) O gerador de forma de onda não senoidal pode ser substituído por uma soma de geradores senoidais com amplitudes e freqüências dos respectivos harmônicos da série de Fourier de sua forma de onda periódica, além de um gerador constan-te (corrente contínua) com amplitude correspondente ao valor médio da forma de onda.

b) Se o circuito for linear pode-se aplicar o princípio da superposição, isto é, a res-posta do circuito é a soma das respostas de cada termo (a cada gerador) da série de Fourier.

c) Se estivermos interessados apenas na resposta no regime permanente, pode-se utilizar a análise fasorial para se encontrar as respostas de cada termo (de cada gerador) senoidal (e/ou cossenoidal) da série de Fourier. Neste caso, facilita-se o trabalho se a série estiver escrita em sua forma compacta, isto é, ou somente em termos de seno ou de cosseno (ver item 2).

Figura 8 - Ilustração do Princípio da Superposição

REDE REDE

ω0000

REDE

i0(t)

ω1111

REDE

i1(t)

ωn

REDE

in(t)

i(t)

i(t)

Fonte Original Fontes Equivalentes Superposição

∑∞

==0n

(t)nii(t)

12

Vf(t)

Vfo

nte =

Vc

arg

a

R

L VL

VR

i

ωωωωt0 2πππππ/2π/2π/2π/2 ππππ

300

Cosseno

Exemplo 3 Suponha um gerador de onda quadrada, de amplitude A e freqüência f Hertz (ou ω=2π.f rad/s) alimentado uma carga RL, conforme a figura 9 abaixo. Deseja-se determinar a corrente de regime permanente do circuito.

Figura 9 - Circuito RL série

A série de Fourier da função vf(t), com forma de onda quadrada, é dada por:

( ) ( )ímpar

.sen4

1

nn

tnAtv

n

f ∑∞

=

⋅

=

ω

π

A solução será dada pela série de Fourier da corrente, onde cada harmônico de corrente pode ser calculado a partir de cada harmônico de tensão, dividindo-se o fasor tensão pela impedância calculada na freqüência do respectivo harmônico. O fasor corrente de cada harmônico é dado por:

( )( ) ( )

RLnLnR

nA

Z

VI

nn

nn

nn.arctan.

0.4

22

0

ωω

π

φ

θϕ

+==

Portanto a corrente do circuito é dada pela seguinte série de Fourier:

(((( ))))(((( ))))

(((( ))))(((( ))))R

Lntn

LnRn

Ati .arctan.sen

..

1422

ωωωπ

−−−−++++

⋅⋅⋅⋅==== ∑∑∑∑

Exemplo 4 A onda de tensão da figura a seguir é aplicada a um circuito série RL com R

igual a 2000 Ω e L igual a 10 H. Achar a tensão no resistor empregando a série trigo-nométrica de Fourier.

Figura 10 - Forma da tensão

produzida por um retificador de meia onda.

13

Solução: A onda aplicada possui simetria par, portanto, contém apenas termos em cos-seno, cujo os coeficientes são obtidos pela integração:

cos(nπ/2) é -1 quando n = 2, 6, 10, ... é +1 quando n = 4, 8, 12, ... cos(nπ/2) é 0 quando n é ímpar Para n igual a 1 a expressão é indeterminada e deve ser calculada separadamente.

O valor de a0/2, que é o valor médio da função é dado por:

Assim, a série de Fourier da onda de tensão aplicada ao circuito RL série é dada por:

A impedância total do circuito série é Z = R + j(n.ωL) e deve ser calculada para cada harmônico na expressão da tensão v. Os resultados são mostrados na tabela abaixo.

n n.ω R n.ωL |Z| θ 0 1 2 4 6

0 377 754

1508 2262

2k 2k 2k 2k 2k

0 3,77k 7,54k

15,08k 22,62k

2k 4,26k 7,78k 15,2k 22,6k

0o 62o

75,1o

82,45o 84,92o

Calculando-se os coeficientes para a série da corrente (observando os ângulos de atra-so), temos:

n = 0 ⇒ k

I2

/3000

π=

n = 1 ⇒ )62cos(26,4

2/3001

o−= tk

I ω

( ) ( ) ( ) ( )2/cos)1(

600..cos.cos.300

12

2/

2/

ππ

ωωωπ

π

π

nn

tdtntan ⋅−

=⋅= ∫−

( ) ( )2

300

2

)2sen(

2

300.cos.300

12/

2/

2/

2/

21 =

+⋅=⋅=

−−∫

π

π

π

π

ωω

πωω

π

tttdta

[ ]π

=ωπ

=ωω⋅π

= ∫π

π−

π

π−

300

2

300300

2

1

2

2

2

2

20

/

/

//

)tsen()t(d).tcos(.a

−+−++⋅= ...)6cos(35

2)4cos(

15

2)2cos(

3

2)cos(

21

300ttttv ωωωω

π

π

14

n = 2 ⇒ )1,752cos(78,7

3/6002

o−= tk

I ωπ

etc

A série da corrente é, então:

Fazendo-se o produto da corrente i pelo resistor de 2k vem que a tensão no resistor é:

VALOR MÉDIO E RMS DE UMA FUNÇÃO PERIÓDICA 4.1. VALOR MÉDIO O valor médio de uma função periódica, conforme já visto, é dado pela equação abaixo:

∫+

==Tt

tmédio dttf

TFf

0

0

).(1

0 [17]

Representando-se f(t) por sua expansão em série de Fourier, tem-se:

( )2

...sen.1 0

01

000

0

acdttncc

TF

Tt

tn

nn ==

++⋅= ∫ ∑

+ ∞

=

θω [18]

4.2. VALOR RMS O valor médio de uma função periódica, conforme já visto, é dado pela equação abaixo:

∫+

==Tt

tRRMS dttf

TFf

0

0

.)(1 2

[19]

Representando-se f(t) por sua expansão em série de Fourier, tem-se:

( ) dttnccT

FTt

tn

nnR ...sen.1

2

10

0

0∫ ∑

+ ∞

=

++⋅= θω [20]

A integração, em um período, de termos em seno, ou produtos de termos em seno com freqüências distintas é nula. Portanto, a equação anterior se reduz a:

...)92,846cos()6,22(35

600

)45,824cos()2,15(15

600)1,752cos(

)78,7(3

600)62cos(

26,4)2(

300

2

300

−−+

+−−−+−+=

o

ooo

tk

tk

tk

tkk

i

ωπ

ωπ

ωπ

ωπ

...)92,846cos(483,0

)45,824cos(67,1)1,752cos(4,16)62cos(4,705,95

−−−−−−−−++++

++++−−−−−−−−−−−−++++−−−−++++====

o

ooo

t

tttvR

ωωωω

ωωωωωωωωωωωω

15

∑∑∞

=

∞

=

+=

+=

1

2

20

1

220

22..

1

n

n

n

n

R

cc

cTTc

TF [21]

Observa-se, portanto, que o valor rms consiste na raiz quadrada da soma dos quadrados dos valores rms dos harmônicos individuais mais o quadrado do valor médio da função periódica. 5. ONDULAÇÃO E FATOR DE ONDULAÇÃO DE TENSÕES E CORRENTES

PERIÓDICAS NÃO SENOIDAIS. Considere um dipolo de um circuito linear a parâmetros concentrados som uma tensão e corrente periódicas não senoidais, descritas pelas séries de Fourier abaixo:

( )

( )∑

∑

∞

=

∞

=

++=

++=

1

1

.sen

.sen

n

inpnDC

n

vnpnDC

tnIIi

tnVVv

θω

θω

[22]

onde: VDC – valor da componente contínua da tensão (valor médio da tensão)

Vpn – amplitude do harmônico de ordem n da tensão (valor de pico) θvn – ângulo de fase do harmônico de ordem n da tensão IDC – valor da componente contínua da corrente (valor médio da corrente) Ipn – amplitude do harmônico de ordem n da corrente (valor de pico) θin – ângulo de fase do harmônico de ordem n da corrente

A partir dos resultados do item 5.2, pode-se determinar os valores rms (eficazes) da ten-são e da corrente através das equações abaixo:

∑

∑

∞

=

∞

=

+=

+=

1

22

1

22

n

nDCR

n

nDCR

III

VVV

[23]

onde: 2pnn VV = é o valor rms (eficaz) do harmônico de ordem n da tensão

2pnn II = é o valor rms (eficaz) do harmônico de ordem n da corrente

Os somatórios dentro das equações [23], referem-se à soma dos quadrados dos valores rms (eficazes) dos componentes harmônicos da tensão e da corrente. Como os compo-nentes harmônicos são senóides e, portanto possuem médias nulas, as somatórias refe-rem-se, portanto, ao quadrado do valor rms da componente CA das formas de onda,

16

denominada de ondulação. As componentes CA (ou de ondulação) da tensão e da cor-rente são, portanto, definidas pelas equações a seguir:

22

1

2

22

1

2

DCR

n

nCA

DCR

n

nCA

IIII

VVVV

−==

−==

∑

∑

∞

=

∞

=

[24]

A partir das equações [24], define-se os fatores de ondulação da tensão e da corrente, conforme as equações abaixo:

%100% spercentuai valores em ou,

%100% spercentuai valores em ou,

••••========

••••========

ii

DC

CA

i

vv

DC

CA

v

rrI

Ir

rrV

Vr

[25]

onde: rv é fator de ondulação de tensão, e ri é o fator de ondulação de corrente. Observe que para uma tensão (ou corrente) com forma de onda puramente alternada, o fator de ondulação é infinito, e para uma tensão (ou corrente) com forma de onda cons-tante, o fator de ondulação é nulo. 6. POTÊNCIA E FATOR DE POTÊNCIA EM CIRCUITOS LINEARES COM

CORRENTES E TENSÕES PERIÓDICAS NÃO SENOIDAIS. Considere um dipolo de um circuito linear a parâmetros concentrados som uma tensão e corrente periódicas não senoidais, descritas pelas séries de Fourier das equações [22]. A potência instantânea nos terminais deste dipolo será dada pelo produto v.i. A potência média (ou eficaz) deste dipolo será, portanto:

( ) ( )∫ ∑∑

∫∫

+ ∞

=

∞

=

++

++

++=

==

Tt

tn

inpnDC

n

vnpnDC

Tt

t

Tt

t

dttnIItnVVT

P

dtivT

dtpT

P

0

0

0

0

0

0

11

.sen..sen1

..1

.1

θωθω

[26]

Tendo em vista que os termos em seno e os termos com produto de senos de freqüências distintas possuem integrações nulas em um período, tem-se o seguinte resultado para a equação anterior:

17

( ) ( )

onde cos..

cos..cos2

..

1

11

invnnn

n

nnDCDC

invn

n

nnDCDCinvn

n

pnpn

DCDC

IVIVP

IVIVIV

IVP

θθϕϕ

θθθθ

−=+=

−+=−+=

∑

∑∑

∞

=

∞

=

∞

=

[27]

A equação [26] mostra que a potência média (eficaz) total é a soma das potências mé-dias obtidas a partir da interação de correntes e tensões com a mesma freqüência; cor-rentes e tensões com freqüências diferentes não interagem para produzir potência média (eficaz). Da mesma forma que é definida para circuitos com tensões e correntes senoidais, defi-ne-se também a potência aparente para circuitos com tensões e correntes periódicas não senoidais como sendo o produto da tensão rms (eficaz), com a corrente rms (eficaz), conforme a equação abaixo:

∑∑∞

=

∞

=

+⋅+=⋅=1

22

1

22

n

nDC

n

nDCRR IIVVIVS [28]

Convém chamar atenção aqui que o termo potência eficaz, refere-se à potência média, isto é, o valor médio da potência instantânea, ao passo que os termos tensão e corrente eficazes referem-se aos valores rms da tensão e da corrente. A partir das equações [27] e [28], determina-se o fator de potência, que é definido como sendo a relação entre a potência média (eficaz) e a potência aparente, conforme a equa-ção abaixo:

∑∑

∑

∞

=

∞

=

∞

=

+⋅+

+

=

==

1

22

1

22

1

cos..

.

n

nDC

n

nDC

n

n

nnDCDC

RR

IIVV

IVIV

fp

IV

P

S

Pfp

ϕ

[29]

Observe da equação [29], que quando as formas de onda de corrente e tensão não são senoidais, o fator de potência não pode ser igualado a cos(ϕ), onde ϕ é o ângulo da im-pedância do circuito. 6.1. POTÊNCIA E FATOR DE POTÊNCIA QUANDO UMA DAS FORMAS DE

ONDA (TENSÃO OU CORRENTE) FOR SENOIDAL. É muito comum em circuitos de eletrônica de potência ocorrer que uma da formas de onda, geralmente a tensão, de um determinado dipolo seja senoidal, enquanto que a cor-rente do mesmo é periódica, mas não senoidal. Neste caso, as equações dos itens anteri-ores podem ser simplificadas conforme apresentado a seguir.

18

Seja um dipolo, cujas formas de onda de tensão e corrente possam ser representadas pelas equações abaixo:

( )

( )∑∞

=

++=

+=

1

11

.sen

.sen

n

inpnDC

vp

tnIIi

tVv

θω

θω

[30]

Então, o cálculo da potência média (equações [26] e [27]) se reduz a:

111 cos. ϕIVP = [31] Logo, pode-se observar que apenas o componente de primeiro harmônico da corrente é responsável pela potência média (eficaz). Os demais componentes, tanto o DC, quanto os harmônicos não produzem potência média. A potência aparente do dipolo será dada então por:

∑∞

=

+⋅=⋅=1

2211

n

nR IIVIVSDC

[32]

O fator de potência, neste caso, é determinado pela equação abaixo:

( )( )

( )senoidais correntes para 11

coscoscos.

1

22

1

1

1

22

11

1

111

=≤

+

=

⋅=

+

=⋅

==

∑

∑

∞

=

∞

=

δδ

ϕδϕϕ

n

n

n

n

R

II

I

II

I

IV

IV

S

Pfp

DC

DC

[33]

Quando a forma de onda da corrente possuir componente DC (médio) nulo, as equações da potência aparente e do fator de potência podem ser reescritas conforme a seguir:

( )( )

Harmônico Distorção de Fator :FDH 1

coscoscos.

1

2

1

1

1

2

11

1

111

1

211

≤=

⋅==⋅

⋅==

⋅=⋅=

∑

∑

∑

∞

=

∞

=

∞

=

n

n

n

n

R

n

nR

I

IFDH

FDH

I

I

IV

IV

S

Pfp

IVIVS

ϕϕϕ

[34]

19

Pode-se, então, desenvolver-se a expressão da potência aparente.

( ) 221

2

221

211

2 . DSIVIVSn

n +=

⋅+= ∑

∞

=

[35]

onde: S1 é a potência aparente de primeiro harmônico D é denominada de potência de distorção harmônico A potência aparente S1 é a potência aparente para formas de onda senoidais e pode ser escrita em termos da potência média (ativa ou eficaz) e da potência reativa, ambas de primeiro harmônico.

( )

( )1111

1111

21

21

21

sen.

cos.

ϕ

ϕ

IVQ

IVP

QPS

=

=

+=

[36]

Logo, a equação [35] pode ser reescrita conforme a equação [37], mostrando que a po-tência aparente total é composta de um componente de potência ativa, devido ao primei-ro harmônico, um componente de potência reativa devido ao primeiro harmônico, e um componente de distorção harmônica, devidos aos demais harmônicos de corrente.

221

21

2 DQPS ++= [37] A equação [37] define um tetraedro de potências, ao invés de um triângulo de potências como é o caso de circuitos com formas de onda puramente senoidais.

D

S

S1

P1

Q1

20

A

-A

ωωωωt0 ππππ 2π2π2π2π

A

ωωωωt0 ππππ 2π2π2π2π−π−π−π−π

A

-A

ωωωωt0 ππππ 2π2π2π2π−π−π−π−π

Série de Fourier de algumas formas de onda

-------------------------------------------------------------------------

-------------------------------------------------------------------------

-------------------------------------------------------------------------

++++++++++++++++==== ...ωt)(ωt)(ωt)(t(

π

Atf 7sen

71

5sen51

3sen31

)sen4

)( ωω

++++++++++++++++++++==== ...)7cos(

2)7(

1)5cos(

2)5(

1)3cos(

2)3(

1)cos(

24

2)( tttt

AAtf ωωωω

πω

++++++++−−−−++++−−−−==== ...)5sen(

51

)4sen(41

)3sen(31

)2sen(21

)sen(2

)( tttttA

tf ωωωωωπ

ω

21

A

ωωωωt0 ππππ 2π2π2π2π−π−π−π−π

meio ciclode senóide

A

ωωωωt0 ππππ 2π2π2π2π−π−π−π−π−2π−2π−2π−2π 3π3π3π3π

2αααα

αααα

-------------------------------------------------------------------------

-------------------------------------------------------------------------

A

ωωωωt0 ππππ 2π2π2π2π−π−π−π−π

meio ciclode senóide

−−−−

⋅⋅⋅⋅−−−−

⋅⋅⋅⋅−−−−

⋅⋅⋅⋅−−−−

⋅⋅⋅⋅−−−−++++==== ...)8cos(

972

)6cos(75

2)4cos(

532

)2cos(31

2)sen(

21)( ttttt

Atf ωωωωω

π

πω

++++

⋅⋅⋅⋅−−−−

⋅⋅⋅⋅++++

⋅⋅⋅⋅−−−−

⋅⋅⋅⋅−−−−==== ...)8cos(

972

)6cos(75

2)4cos(

532

)2cos(31

21

2)( tttt

Atf ωωωω

πω

++++−−−−++++−−−−−−−−==== ...

44cos4sen

33cos3sen

22cos2sen

1cossen22

)(αααααααα

ππ

αω

AAtf

22

A

ωωωωt0 2π2π2π2π−2π−2π−2π−2π−4π−4π−4π−4π

-------------------------------------------------------------------------

-------------------------------------------------------------------------

A

ωωωωt0 2π2π2π2π−2π−2π−2π−2π 4π4π4π4π

++++++++++++++++++++==== )...5sen(

51

)4sen(41

)3sen(31

)2sen(21

)sen(2

)( tttttAA

tf ωωωωωπ

ω

++++++++++++++++−−−−==== )...5sen(

51

)4sen(41

)3sen(31

)2sen(21

)sen(2

)( tttttAA

tf ωωωωωπ

ω

A

ωωωωt0

ππππ

2π2π2π2π

−π−π−π−π−2π−2π−2π−2π

-A

++++++++++++++++++++−−−−

++++

++++++++++++++++++++====

)...11sen(111

)9sen(91

)7cos(71

)5cos(51

)3cos(31

)sen(2

...)9sen(2)9(

1)7cos(

2)7(

1)5cos(

2)5(

1)3cos(

2)3(

1)cos(

24

)(

ttttttA

tttttA

tf

ωωωωωωπ

ωωωωωπ

ω

23

(π+δ) / 2(π+δ) / 2(π+δ) / 2(π+δ) / 2

A

ωωωωt0 ππππ 2π2π2π2π−π−π−π−π

-A

δδδδ

(π−δ) / 2(π−δ) / 2(π−δ) / 2(π−δ) / 2

-------------------------------------------------------------------------

αααα

A

ωωωωt0 ππππ

2π2π2π2π−π−π−π−π

−2π−2π−2π−2π

-A

ββββ

senóide

[[[[ ]]]]

∑∑∑∑∞∞∞∞

==== ++++

++++−−−−++++++++

−−−−

−−−−−−−−−−−−⋅⋅⋅⋅++++

++++∑∑∑∑∞∞∞∞

==== ++++

++++−−−−++++++++

−−−−

−−−−−−−−−−−−⋅⋅⋅⋅++++

++++⋅⋅⋅⋅−−−−

++++−−−−++++⋅⋅⋅⋅−−−−++++−−−−====

2).sen(

)1(

])1sen[(])1sen[(

)1(

])1sen[(])1sen[(

2

2).cos(

)1(

])1cos[(])1cos[(

)1(

])1cos[(])1cos[(

2

)sen(2

)2sen()2sen()(

2)cos()(2sen)(2sen

2)cos()cos(

2)(

n

tnn

nn

n

nnA

n

tnn

nn

n

nnA

tA

tAA

tf

ωβααβ

π

ωβαβα

π

ωβα

αβπ

ωαβπ

βαπ

ω

(((( )))) (((( )))) (((( )))) (((( ))))

++++

++++

++++

++++

⋅⋅⋅⋅==== ...7sen

27sen5sen

25sen3sen

23sensen

2sen

4)( tttt

n

Atf ω

δω

δω

δω

δ

πω

24

Forma de onda de um inversor trifásico (Seis pulsos - 3 semicondutores em condução simultânea)

Série de Fourier

Forma de onda de um inversor trifásico (Seis pulsos - 2 semicondutores em condução simultânea)

V

ππππ2π2π2π2π

3π3π3π3π 4π4π4π4π

-V

ωωωωt

2V/3

V/3

-2V/3

-V/3

ABV

ACV

CAV

ANV

BNV

CNV

++++⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅==== ∑∑∑∑

∞∞∞∞

==== 6sen

6cos

4

1

πω

π

πtn

n

n

V

n

ABV

(((( ))))tnn

n

V

n

ωπ

πsen

6cos

3

4

1

⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅==== ∑∑∑∑

∞∞∞∞

====ANV

25

Série de Fourier

V

ππππ2π2π2π2π

3π3π3π3π 4π4π4π4π

-V

ωωωωt

V/2

ABV

ANV

BNV

CNV

-V/2

++++⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅==== ∑∑∑∑

∞∞∞∞

==== 6sen

6cos

2

1

πω

π

πtn

n

n

V

n

ANV

++++⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅==== ∑∑∑∑

∞∞∞∞

==== 3sen

6cos

34

1

πω

π

πtn

n

n

V

n

ABV